2019-2020学年河南省平顶山市鲁山一中高二下学期3月月考数学试卷(理科) (解析版)

2019-2020学年河南省平顶山市鲁山一中高二第二学期3月月考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为（）A．B．﹣C．D．﹣2．已知△ABC中，a＝4，b＝4，A＝30°，则B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°3．给定下列命题：①a＞b⇒a2＞b2；②a2＞b2⇒a＞b；③a＞b⇒＜1；④a＞b⇒＜．其中正确的命题个数是（）A．0B．1C．2D．34．＝（1，﹣1），＝（﹣1，2），则（2+）＝（）A．﹣1B．0C．1D．25．在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是（）A．B．C．D．6．在等差数列{a n}中，已知a4+a8＝16，则该数列前11项和S11＝（）A．58B．88C．143D．1767．直线l1：y＝ax+b与直线l2：y＝bx+a（ab≠0，a≠b）在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（）A．B．C．D．8．关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题：①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n；其中真命题的序号是（）A．①②B．③④C．①④D．②③9．设点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过P（1，1）且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是（）A．{k|k≥或k≤﹣4}B．{k|﹣4≤k≤}C．{k|﹣≤k＜4}D．以上都不对10．设函数f（x）＝mx2﹣mx﹣1，若对于x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+4恒成立，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，0]B．C．D．11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a sin A﹣b sin B＝4c sin C，cos A＝﹣，则＝（）A．6B．5C．4D．312．如图，O为△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则•的值为（）A．4B．5C．7D．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知点A（m，3），B（2m，m+4），C（m+1，2），D（1，0），且直线AB与直线CD平行，则m的值为．14．记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1＝，a42＝a6，则S5＝．15．直线l与直线y＝1，x﹣y﹣7＝0分别相交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），那么直线l的斜率为．16．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知＝（﹣1，3），＝（3，m），＝（1，n），且∥．（1）求实数n的值；（2）若⊥，求实数m的值．18．已知直线l的方程为3x+4y﹣12＝0，求直线l'的方程，使得：（1）l'与l平行，且过点（﹣1，3）；（2）l'与l垂直，且l'与两轴围成的三角形面积为4．19．记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S9＝﹣a5．（1）若a3＝4，求{a n}的通项公式；（2）若a1＞0，求使得S n≥a n的n的取值范围．20．已知Rt△ABC的顶点A（﹣3，0），直角顶点B（﹣1，﹣2），顶点C在x轴上．（1）求点C的坐标；（2）求斜边上的中线的方程．21．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C．（1）求A；（2）若a+b＝2c，求sin C．22．如图所示，在△ABC中，AC＝BC＝AB，四边形ABED是正方形，平面ABED⊥底面ABC，G，F分别是EC，BD的中点．（1）求证：GF∥平面ABC；（2）求证：平面DAC⊥平面EBC；参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】直接根据倾斜角和斜率之间的关系即可得到结论．解：因为直线的斜率k和倾斜角θ的关系是：k＝tanθ∴倾斜角为60°时，对应的斜率k＝tan60°＝故选：A．2．已知△ABC中，a＝4，b＝4，A＝30°，则B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°【分析】△ABC中由条件利用正弦定理求得sin B的值，再根据及大边对大角求得B的值．解：△ABC中，a＝4，b＝4，A＝30°，由正弦定理可得，即＝，解得sin B＝．故选：D．3．给定下列命题：①a＞b⇒a2＞b2；②a2＞b2⇒a＞b；③a＞b⇒＜1；④a＞b⇒＜．其中正确的命题个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】给a和b赋值，举出反例，一一验证命题的正确性即可，例如①a＝0，b＝﹣1，②a＝﹣2，b＝﹣1，③a＝﹣1，b＝﹣2，④a＝1，b＝﹣1．解：①例如，a＝0，b＝﹣1，满足a＞b，但a2＜b2，即①错误；②例如，a＝﹣8，b＝﹣1，满足a2＞b2，但a＜b，即②错误；③例如，a＝﹣1，b＝﹣2，满足a＞b，但＞1，即③错误；④例如，a＝1，b＝﹣4，满足a＞b，但，即④错误．故选：A．4．＝（1，﹣1），＝（﹣1，2），则（2+）＝（）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】利用向量的加法和数量积的坐标运算解答本题．解：因为＝（1，﹣1），＝（﹣1，2）则（2+）＝（7，0）•（1，﹣1）＝1；故选：C．5．在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是（）A．B．C．D．【分析】在A中，推导出线面垂直，从而得到AB⊥CD；在B中，AB与CD成60°角；在C中，AB与CD成45°角；在D中，AB与CD所成角的正切值为．解：在A中，CD⊥BE，CD⊥AE，BE∩AE＝E，∴CD⊥平面ABE，又AB⊂平面ABE，∴AB⊥CD，故A正确；在C中，AB与CD成45°角，故C错误；故选：A．6．在等差数列{a n}中，已知a4+a8＝16，则该数列前11项和S11＝（）A．58B．88C．143D．176【分析】根据等差数列的定义和性质得a1+a11＝a4+a8＝16，再由S11＝运算求得结果．解：∵在等差数列{a n}中，已知a4+a8＝16，∴a1+a11＝a8+a8＝16，故选：B．7．直线l1：y＝ax+b与直线l2：y＝bx+a（ab≠0，a≠b）在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（）A．B．C．D．【分析】分别判断两条直线的斜率和截距的符号是否一致即可．解：A．l1的斜率a＞0，截距b＜0，l2的斜率b＞0，截距a＞7，两个图象不一致，B．l1的斜率a＜0，截距b＞0，l2的斜率b＞2，截距a＞0，两个图象不一致，D．l1的斜率a＞0，截距b＞0，l2的斜率b＞0，截距a＞3，两个图象有可能一致，故选：D．8．关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题：①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n；其中真命题的序号是（）A．①②B．③④C．①④D．②③【分析】根据线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理，对四个结论逐一进行分析，易得到答案．解：若m∥α，n∥β且α∥β，则m，n可能平行也可能异面，也可以相交，故①错误；若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m，n一定垂直，故②正确；若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m，n可能相交、平行也可能异面，故④错误故选：D．9．设点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过P（1，1）且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是（）A．{k|k≥或k≤﹣4}B．{k|﹣4≤k≤}C．{k|﹣≤k＜4}D．以上都不对【分析】根据题意，设直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣1），即kx﹣y+1﹣k＝0，由一元二次不等式的几何意义可得（2k+3+1﹣k）（﹣3k+2+1﹣k）≤0，解可得k的取值范围，即可得答案．解：根据题意，设直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣1），即kx﹣y+1﹣k＝0，直线l过P（4，1）且与线段AB相交，则A、B在l的两侧或在直线上，即（k+4）（4k﹣3）≥0，即k的取值范围是{x|k≥或k≤﹣4}；故选：A．10．设函数f（x）＝mx2﹣mx﹣1，若对于x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+4恒成立，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，0]B．C．D．【分析】利用分离参数法，再求出对应函数在x∈[1，3]上的最大值，即可求m的取值范围．解：由题意，f（x）＜﹣m+4，可得m（x2﹣x+1）＜5．∵当x∈[1，3]时，x2﹣x+1∈[4，7]，∵当x＝3时，的最小值为，则必须m＜，故选：D．11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a sin A﹣b sin B＝4c sin C，cos A＝﹣，则＝（）A．6B．5C．4D．3【分析】利用正弦定理和余弦定理列出方程组，能求出结果．解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin A﹣b sin B＝4c sin C，cos A＝﹣，解得5c2＝，故选：A．12．如图，O为△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则•的值为（）A．4B．5C．7D．6【分析】可延长AO交外接圆于点N，并连接BN，CN，从而可得到，而由M为BC中点即可得出，从而有，显然，从而便可得出的值．解：如图，延长AO交△ABC的外接圆于点N，连接BN，CN；∴，且；＝＝故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知点A（m，3），B（2m，m+4），C（m+1，2），D（1，0），且直线AB与直线CD平行，则m的值为0或1．【分析】由题意利用两条直线平行的性质，直线的斜率公式，求出m的值．解：∵点A（m，3），B（2m，m+4），C（m+1，2），D（4，0），且直线AB与直线CD平行，∴直线AB的斜率与直线CD的斜率相等，当m≠0时，有＝，求得m＝1．故答案为：3或1．14．记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1＝，a42＝a6，则S5＝．【分析】根据等比数列的通项公式，建立方程求出q的值，结合等比数列的前n项和公式进行计算即可．解：在等比数列中，由a42＝a6，得q6a42＝q5a1＞0，即q＞0，q＝3，故答案为：15．直线l与直线y＝1，x﹣y﹣7＝0分别相交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），那么直线l的斜率为﹣．【分析】设出P、Q两点坐标，根据重点公式求出P、Q两点的坐标，利用两点表示的斜率公式计算直线l的斜率．解：设P（a，1），Q（b，b﹣7），∵线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），∴7＝，且﹣1＝，∴P（﹣2，5），Q（4，﹣3），直线l的斜率为：＝﹣，故答案为﹣．16．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为．【分析】由题意画出图形，证明三棱锥P﹣ABC为正三棱锥，且三条侧棱两两互相垂直，再由补形法求外接球球O的体积．解：如图，由PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，可知三棱锥P﹣ABC为正三棱锥，则顶点P在底面的射影O为底面三角形的中心，连接BO并延长，交AC于G，∵E，F分别是PA，AB的中点，∴EF∥PB，∴正三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直，其直径，2R＝，则球O的体积为V＝＝．故答案为：π．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知＝（﹣1，3），＝（3，m），＝（1，n），且∥．（1）求实数n的值；（2）若⊥，求实数m的值．【分析】（1）由已知得到向量，利用向量平行求n；（2）求出，的坐标，由向量垂直，数量积为0 求m．解：因为＝（﹣1，3），＝（3，m），＝（1，n），所以＝＝（3，2+m+n），（1）因为∥．所以，即，解得n＝﹣3；所以•＝0，即8+（3+m）（m﹣7）＝0，解得m＝±1．18．已知直线l的方程为3x+4y﹣12＝0，求直线l'的方程，使得：（1）l'与l平行，且过点（﹣1，3）；（2）l'与l垂直，且l'与两轴围成的三角形面积为4．【分析】（1）根据平行直线的斜率相等，先求出斜率，点斜式求得直线方程．（2）根据垂直关系求出直线的斜率，得到它在坐标轴上的截距，根据与两坐标轴围成的三角形面积为4 求出截距，即得直线方程．解：（1）∵直线l的方程为3x+4y﹣12＝0∴直线l斜率为﹣∴直线l'斜率为﹣（2）∵l′⊥l，∴k l′＝．由题意可知，S＝|b|•|﹣b|＝4，∴b＝±．∴直线l′：y＝x+，或y＝x﹣．19．记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S9＝﹣a5．（1）若a3＝4，求{a n}的通项公式；（2）若a1＞0，求使得S n≥a n的n的取值范围．【分析】（1）根据题意，等差数列{a n}中，设其公差为d，由S9＝﹣a5，即可得S9＝＝9a5＝﹣a5，变形可得a5＝0，结合a3＝4，计算可得d的值，结合等差数列的通项公式计算可得答案；（2）若S n≥a n，则na1+d≥a1+（n﹣1）d，分n＝1与n≥2两种情况讨论，求出n的取值范围，综合即可得答案．解：（1）根据题意，等差数列{a n}中，设其公差为d，若S9＝﹣a5，则S9＝＝9a8＝﹣a5，变形可得a5＝0，即a7+4d＝0，则a n＝a3+（n﹣5）d＝﹣2n+10，当n＝1时，不等式成立，又由S9＝﹣a5，即S9＝＝9a5＝﹣a5，则有a5＝0，即a1+4d＝5，则有（n ﹣2）≥﹣2a5，则有2≤n≤10，综合可得：n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．20．已知Rt△ABC的顶点A（﹣3，0），直角顶点B（﹣1，﹣2），顶点C在x轴上．（1）求点C的坐标；（2）求斜边上的中线的方程．【分析】（1）由题意利用两条直线垂直的性质求得直线BC的斜率，可得BC的方程，根据点C在x轴上，从而得到C的坐标．（2）先求出AC的中点，再用点斜式求得直线OB的方程．【解答】解（1）∵Rt△ABC的顶点A（﹣3，0），直角顶点B（﹣1，﹣2），顶点C在x轴上，∴AB⊥BC，故k AB•k BC＝﹣1．∴直线BC的方程为y+2＝（x+1），即x﹣y﹣3＝0．（2）由（3）得C（3，0），∴AC的中点为（0，0），∴直线OB的方程为y＝8x．21．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C．（1）求A；（2）若a+b＝2c，求sin C．【分析】（1）由正弦定理得：b2+c2﹣a2＝bc，再由余弦定理能求出A．（2）由已知及正弦定理可得：sin（C﹣）＝，可解得C的值，由两角和的正弦函数公式即可得解．解：（1）∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．∵（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C．∴由正弦定理得：b2+c2﹣a2＝bc，∵4＜A＜π，∴A＝．∴由正弦定理得，解得sin（C﹣）＝，∴C﹣＝，C＝，∴sin C＝sin（）＝sin cos+cos sin＝+＝．22．如图所示，在△ABC中，AC＝BC＝AB，四边形ABED是正方形，平面ABED⊥底面ABC，G，F分别是EC，BD的中点．（1）求证：GF∥平面ABC；（2）求证：平面DAC⊥平面EBC；【分析】（1）连接AE．推导出GF∥AC．由此能证明GF∥平面ABC．（2）推导出EB⊥AB．从而BE⊥平面ABC，进而BE⊥AC，推导出AC⊥BC．从而AC⊥平面EBC．由此能证明平面DAC⊥平面EBC．【解答】证明：（1）连接AE，∵四边形ADEB为正方形，∴AE∩BD＝F，且F是AE的中点，又AC⊂平面ABC，GF⊄平面ABC，（2）∵四边形ADEB为正方形，∴EB⊥AB．∴BE⊥平面ABC，∴AC⊥BC．∴AC⊥平面EBC．∴平面DAC⊥平面EBC．。