2021年高二3月月考 数学(理科 含答案

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2021-2022学年四川省内江市资中县球溪高级中学高二下学期3月月考数学(理)试题(解析版)

2021-2022学年四川省内江市资中县球溪高级中学高二下学期3月月考数学(理)试题(解析版)

2021-2022学年内江市球溪高级中学高二下学期3月月考数学(理)试题一、单选题1.下列语句是命题的是( )①三角形的内角和等于180︒;②23>;③2x >;④这座山真险啊! A .①② B .①③ C .②③ D .③④【答案】A【分析】能够判断真假的陈述语句是命题,据此判断即可.【详解】①三角形的内角和等于180︒是命题;②23>是命题;③2x >不能判断真假,故不是命题;④这座山真险啊!不是陈述句,因此不是命题. 故选:A.2.过椭圆225x + 29y =1左焦点F 1引直线l 交椭圆于A 、B 两点,F 2是椭圆的右焦点,则△ABF 2的周长是( ) A .20 B .18 C .10 D .16【答案】A【分析】根据椭圆的定义求得正确选项. 【详解】依题意5a =,根据椭圆的定义可知,三角形2ABF 的周长为420a =. 故选:A3.下列有关命题的说法错误的是( )A .()2lg(23)f x x x =-++的增区间为(1,1)-B .“1x =”是“2x -4x +3=0”的充分不必要条件C .若集合{}2440A x kx x =++=中只有两个子集,则1k =D .对于命题p :.存在0x R ∈,使得20010x x ++<,则⌝p :任意x ∈R ,均有210x x ++≥【答案】C【分析】A.利用复合函数的单调性判断;B.利用充分条件和必要条件的定义判断;C.由方程2440kx x ++=有一根判断;D.由命题p 的否定为全称量词命题判断. 【详解】A.令223t x x =-++,由2230x x -++>,解得13x ,由二次函数的性质知:t 在(1,1)-上递增,在(1,3)上递减,又lg y t =在()0,∞+上递增,由复合函数的单调性知:()2lg(23)f x x x =-++在(1,1)-上递增,故正确;B. 当1x =时,2x -4x +3=0成立,故充分,当2x -4x +3=0成立时,解得1x =或3x =,故不必要,故正确;C.若集合{}2440A x kx x =++=中只有两个子集,则集合只有一个元素,即方程2440kx x ++=有一根,当0k =时,1x =-,当0k ≠时,16160k ∆=-=,解得1k =,所以0k =或1k =,故错误;D.因为命题p :.存在0x R ∈,使得20010x x ++<是存在量词命题,则其否定为全称量词命题,即⌝p 任意x ∈R ,均有210x x ++≥,故正确; 故选:C4.已知命题:p 垂直于同一平面的两直线平行;命题:q 平行于同一平面的两直线平行.则下列命题中正确的是( ) A .()()p q ⌝∧⌝ B .p q ∧ C .()p q ⌝∨ D .p q ∨【答案】D【分析】判断命题p 、q 的真假,利用复合命题的真假可得出合适的选项. 【详解】垂直于同一平面的两直线平行,命题p 为真命题, 平行于同一平面的两直线平行、相交或异面,命题q 为假命题, 所以,()()p q ⌝∧⌝、p q ∧、()p q ⌝∨均为假命题,p q ∨为真命题. 故选:D.5.已知椭圆C :2212516x y +=的左、右焦点为1F ,2F ,上顶点为P ,则( )A .12PF F △为锐角三角形B .12PF F △为钝角三角形C .12PF F △为直角三角形D .P ,1F ,2F 三点构不成三角形【答案】A【分析】根据题意求得1212,,PF PF F F ,要判断12PF F △的形状,只需要看12F PF ∠是什么角即可,利用余弦定理判断,从而可得结论.【详解】解:由椭圆C :2212516x y +=,得22225,16,9a b c ===,则()()()123,0,3,0,0,4F F P -, 则12125,6PF PF F F ===, 所以1221PF F PF F ∠=∠且为锐角,因为2221212252536140PF PF F F +-=+-=>, 所以12F PF ∠为锐角, 所以12PF F △为锐角三角形. 故选:A.6.已知椭圆2222135x y m n+=和双曲线2222123x y m n -=有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程为 A .15x y = B .15y = C .3x y = D .3y x = 【答案】D【详解】试题分析:∵椭圆和双曲线有公共焦点,∴22223m 5n 2m 3n -=+,整理得22m 8n =,∴双曲线的渐近线方程为y=223n 3132m 28x x ±=±⨯=,故选D .【解析】本题主要考查双曲线、椭圆的标准方程及几何性质.点评:基础题,先根据椭圆方程和双曲线方程分别表示出c ,令二者相等即可求得m 和n 的关系,进而利用双曲线的方程求得双曲线的渐近线方程.7.双曲线221916x y -=的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线上,下列结论不正确的是( )A .该双曲线的离心率为53B .该双曲线的渐近线方程为43y x =±C .点P 到两渐近线的距离的乘积为14425D .若PF 1⊥PF 2,则△PF 1F 2的面积为32 【答案】D【分析】根据双曲线的离心率、渐近线、点到直线距离公式、三角形的面积等知识来确定正确答案.【详解】由题意可知,a =3,b =4,c =5,22169169144x y -=⨯=, 故离心率e 53=,故A 正确;由双曲线的性质可知,双曲线线221916x y -=的渐近线方程为y =±43x ,故B 正确;设P (x ,y ),则P 到两渐近线的距离之积为22169434316914455252525x y x y x y --+⨯⋅===,故C 正确;若PF 1⊥PF 2,则△PF 1F 2是直角三角形,由勾股定理得2221212||||100PF PF F F +==,由双曲线的定义可得|PF 1|﹣|PF 2|=2a =6(不妨取P 在第一象限),∴2221212()||PF PF PF PF -=+-2|PF 1|⋅|PF 2|=100﹣2|PF 1|⋅|PF 2|,解得|PF 1|⋅|PF 2|=32,可得12121162PF F S PF PF =⨯⨯=,故D 错误. 故选:D8.已知m 是2与8的等比中项,则圆锥曲线221yx m-=的离心率等于( )A 5B 2C 53D 35【答案】C【分析】由等比中项定义求得m ,根据m 的取值确定曲线是椭圆还是双曲线,然后计算离心率.【详解】由已知228m =⨯,4m =±,当4m =-时,方程为2214y x +=,曲线为椭圆, 224,1a b ==,413c -3e =当4m =时,方程为2214y x -=,曲线为双曲线,221,4a b ==,415c =+=为5e = 故选:C .9.已知O 为坐标原点,设F 1,F 2分别是双曲线x 2-y 2=1的左、右焦点,P 为双曲线左支上任意一点,过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线,垂足为H ,则|OH |=( ) A .1 B .2 C .4 D .12【答案】A【分析】利用几何关系结合双曲线定义,以及中位线性质可得. 【详解】如图所示,延长F 1H 交PF 2于点Q ,由PH 为∠F 1PF 2的平分线及PH ⊥F 1Q ,易知1PHF PHQ ∽,所以|PF 1|=|PQ |.根据双曲线的定义,得|PF 2|-|PF 1|=2,即|PF 2|-|PQ |=2, 从而|QF 2|=2.在△F 1QF 2中,易知OH 为中位线,则|OH |=1. 故选:A.10.已知函数()f x 和()g x 的定义域均为[],a b ,记()f x 的最大值为1M ,()g x 的最大值为2M ,则使得“12M M >”成立的充要条件为( ) A .[]1,x a b ∀∈,[]2,x a b ∀∈,()()12f x g x > B .[]1,x a b ∀∈,[]2,x a b ∃∈,()()12f x g x > C .[]1,x a b ∃∈,[]2,x a b ∀∈,()()12f x g x > D .[],x a b ∀∈,()()f x g x > 【答案】C【分析】先解读选项ABC ,D 选项是12M M >成立的充分不必要条件,再判断得解. 【详解】解:A 选项表述的是()f x 的最小值大于()g x 的最大值; B 选项表述的是()f x 的最小值大于()g x 的最小值;C 选项表述的是()f x 的最大值大于()g x 的最大值成立的充要条件;D 选项是12M M >成立的充分不必要条件. 故选:C11.已知椭圆C :()222210x y a b a b +=>>的短轴长为2,上顶点为A ,左顶点为B ,1F ,2F 分别是C 的左、右焦点,且1F AB 23-P 为C 上的任意一点,则1211PF PF +的取值范围为( )A .[]1,2B .2,3⎡⎣C .2,4⎡⎤⎣⎦D .[]1,4【答案】D【分析】由已知和面积得到2a =,3c 1211PF PF +进行化简,配方求最值. 【详解】由已知的22b =,故1b =.∵1F AB 23-∴()1232a c b --=,∴23a c -=又∵222()()1a c a c a c b -=-+==, ∴2a =,3c =∴()2212121111||112444PF PF a PF PF PF PF PF PF PF PF ++===--+, 又12323PF ≤,∴2211114(2)44PF PF PF ≤-+=--+≤, ∴121114PF PF ≤+≤.∴1211PF PF +的取值范围为[]1,4. 故选:D.【点睛】本题主要考查椭圆的定义、椭圆的几何性质,以及配方求最值的问题. 12.已知O 为坐标原点,A ,B 分别是双曲线22:1169x y C -=的左、右顶点,M 是双曲线C 上不同于A ,B 的动点,直线AM ,BM 分别与y 轴交于点P ,Q ,则OP OQ ⋅=( ) A .16 B .9 C .4D .3【答案】B【分析】设动点0(M x ,0)y ,由双曲线方程可得A ,B 的坐标,求出AM ,BM 所在直线方程,可得P 与Q 的坐标,求得202016·16y OP OQ x =-,再由动点M 在双曲线22:1169x y C -=上,得2200169(16)y x =-,则||||OP OQ ⋅的值可求. 【详解】解:设动点0(M x ,0)y ,由双曲线方程22:1169x y C -=得(4,0)A -,(4,0)B , 则004AM y k x =+,004BM y k x =-,所以直线AM 的方程为00(4)4y y x x =++,直线BM 的方程为00(4)4y y x x =--, 由此得004(0,)4y P x +,004(0,)4y Q x --, 所以200020004416··()4416y y y OP OQ x x x =-=+--. 因为动点M 在双曲线22:1169x y C -=上,所以22001169x y -=,所以2200169(16)y x =-,则22002200169(16)·91616y x OP OQ x x -===--. 故选:B. 二、填空题13.命题“9的平方根是3”是________命题(选填“真”或“假”). 【答案】假【分析】根据9的平方根是3±判断即可.【详解】解:因为9的平方根是3±,所以命题“9的平方根是3”是假命题. 故答案为:假14.经过点(1,3)A -,并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为 . 【答案】22188y x -=【详解】设双曲线的方程为:22x y λ-=,将(1,3)A -代入可得,8λ=-,所以等轴双曲线的方程为:22188y x -=.15.若斜率为k 的直线l 与椭圆22:132x y C +=交于A ,B 两点,且AB 的中点坐标为11,23⎛⎫⎪⎝⎭,则k =___________. 【答案】-1【分析】根据给定条件设出点A ,B 的坐标,再借助“点差法”即可计算得解. 【详解】依题意,线段AB 的中点11,23⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 内,设()11,A x y ,()22,B x y ,由22112222132132x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得:()()()()12121212032x x x x y y y y -+-++=, 而121221,3x x y y +=+=,于是得1212033x x y y --+=,即12121y y k x x -==--, 所以k =1-. 故答案为:1-16.城市的许多街道是相互垂直或平行的,因此,乘坐出租车往往不能沿直线到达目的地,只能按直角拐弯的方式行走.在平面直角坐标系中,定义()1212,d P Q x x y y =-+-为两点()11,P x y 、()22,Q x y 之间的“出租车距离”.给出下列四个结论:①若点()0,0O ,点()1,2A ,则(),3d O A =;②到点()0,0O 的“出租车距离”不超过1的点的集合所构成的平面图形面积是π;③若点()1,2A ,点B 是圆221x y +=上的动点,则(),d A B 的最大值是32+.其中,所有正确结论的序号是______. 【答案】①③【分析】理解“出租车距离”的定义,根据定义写出有关代数式即可求解. 【详解】对于①,根据定义(),10203d O A =-+-= 故正确; 对于②,根据定义,设目的地为(),A x y , 则(),001d O A x y x y =-+-=+≤…① ,当A 点在第一象限时,①式即为1x y +≤ ,第二象限时为1x y -+≤ , 以此类推得如下图形(阴影部分):其面积为:12222⨯⨯= ,故错误;对于③,设(),B x y ,(),11d A B x y =-+- ,∵B 在圆221x y += 上,∴1,1x y ≤≤ ,(),123d A B x y x y =-+-=-- ,()3,y x d A B =-+- ,为在区域为221x y +=,目标函数为(),3d A B x y =--求最大值的 线性规划问题,, 如下图:显然当直线()3,y x d A B =-+-为圆221x y +=在第三象限的切线时,(),d A B 最大, 为32,故正确; 故答案为:①③. 三、解答题17.(1)求焦点在x 轴上,长轴长为6,焦距为4的椭圆标准方程; (2)求离心率2e =()5,3M -的双曲线标准方程. 【答案】(1)22195x y +=;(2)2211616x y -= 【分析】(1)根据题意直接得出,a c 后求解 (2)待定系数法设双曲线方程,列方程组求解【详解】(1)由题意得3,2a c ==,故2945b =-=,椭圆标准方程为22195x y +=(2)①若双曲线焦点在x 轴上,设其方程为22221x y a b-=,由题意2c a =而222c a b =+故a b =,由222591a b a b⎧-=⎪⎨⎪=⎩解得2216a b ==,故双曲线标准方程为2211616x y -= ②若双曲线焦点在y 轴上,设其方程为22221y xa b-=,同理a b =,此时将()5,3M -代入后方程无解综上,双曲线标准方程为2211616x y -= 18.已知命题p :函数()3log f x x a =-在区间1,99⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点;命题q :[]00,2x ∃∈,使得30035x x a -+-<0成立.(1)若p 和q 均为真命题,求实数a 的取值范围;(2)若p 和q 其中有一个是真命题,另外一个是假命题,求实数a 的取值范围. 【答案】(1)()3,+∞;(2)(][],22,3-∞-⋃.【分析】先求出当命题p 为真时,解得2a ≤-或2a ≥;再求出当命题q 为真,解得3a >.(1)先判断命题p ,q 均为真命题,再求出实数a 的取值范围为(3,)+∞;(2)先判断p ,q 一真一假,最后实数a 的取值范围为(,2][2,3]a ∈-∞-. 【详解】(1)函数()f x =3log x a -在区间1,99⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,p 为真命题∴()f x =3log x a -在区间1,99⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点∴311log 2099f a a ⎛⎫=-=--≥ ⎪⎝⎭或者()39log 920f a a =-=-≤得2a ≤-或2a ≥令()335(02)f x x x a x =-+-≤≤∴()f x '=233x -当()f x '>0时,得12x ≤≤,当()f x '<0时,得0≤x <1∴()f x 最小值为()13f a =- q 为真∴a >3(1)p ,q 均为真命题∴a 的取值范围是()3,+∞ (2)p ,q 一真一假若p 真,q 假,则223a a a ≤-≥⎧⎨≤⎩或,解得a 的范围是(][],22,3-∞-⋃;若p 假,q 真,则223a a -⎧⎨⎩<<>,解得无解; ∴a 的取值范围是(][],22,3-∞-⋃.19.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为2,一条渐近线方程为20x y -=(1)求双曲线C 的标准方程; (2)已知倾斜角为34π的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点,且线段AB 的中点的纵坐标为4,求直线l 的方程.【答案】(1)2214y x -=(2)3y x =-+【分析】(1)由实轴长得到a ,由渐近线斜率得到ba,即可得到方程;(2)由倾斜角得到直线斜率,设直线方程,联立双曲线方程,消去x ,利用韦达定理即可表示线段AB 的中点的纵坐标,解出参数即可.【详解】(1)由题,22a =,由20x y -=得,222by x b a=∴=∴=,,,所以双曲线C 的标准方程为:2214y x -=(2)直线斜率3tan 14k π==-,设直线为y x m =-+,联立得2214y x my x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩得2238440y my m -+-=,设,A B 两点坐标分别为()11x y ,、()22x y ,,线段AB 的中点的纵坐标为4,则1282483my y +==⨯=,3m ∴=∴,直线方程为3y x =-+.20.已知5:21p x ≥+,22:20q x mx m --≤,其中0m >. (1)若p 是q 的充分条件,求实数m 的取值范围;(2)是否存在m ,使得p ⌝是q 的必要条件?若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)m 1≥(2)不存在,理由见解析【分析】(1)解不等式,由充分条件的定义得出实数m 的取值范围;(2)由p ⌝是q 的必要条件得出不等关系,结合0m >作出判断.【详解】(1)由521x ≥+得2301x x -≤+,故有3:12p x -<≤. 由2220x mx m --≤得()()20x m x m -+≤,即:2q m x m -≤≤.若p 是q 的充分条件,则p q ⇒成立,即1322m m -≤-⎧⎪⎨≥⎪⎩得m 1≥. (2)因为3:12p x -<≤,所以:1p x ⌝≤-或32x >. 若p ⌝是q 的必要条件,则q p ⇒⌝成立,则21m ≤-或32m ->, 显然这两个不等式均与0m >矛盾,故不存在满足条件的m .21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的焦距为226. (1)求椭圆C 的方程;(2)若斜率为1的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ,B ,求AB 的最大值.【答案】(1)2213x y +=; 6.【分析】(1)由题设可得222c =6c a 结合椭圆参数关系求2b ,即可得椭圆C 的方程;(2)设直线l 为y x m =+,联立抛物线整理成一元二次方程的形式,由0∆>求m 的范围,再应用韦达定理及弦长公式求AB 关于m 的表达式,根据二次函数性质求最值即可.【详解】(1)由题设,222c =6c a 2c =3a =2221b a c =-=,所以椭圆C 的方程为22:13x C y +=. (2)设直线l 为y x m =+,联立椭圆C 并整理得:2246330x mx m ++-=,所以2223616(33)48120m m m ∆=-⨯-=->,可得22m -<<,且32A B m x x +=-,23(1)4A B m x x -=, 所以22229|23(1)64|(11)4A B m m x x m AB k ---=-=+⋅(2,2)m ∈-, 故当0m =时,max 6AB =22.已知双曲线C :()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为3y x =±,过双曲线C 的右焦点()2,0F 的直线1l 与双曲线C 分别交于左、右两支上的A 、B 两点.(1)求双曲线C 的方程;(2)过原点O 作直线2l ,使得21//l l ,且与双曲线C 分别交于左、右两支上的点M 、N .是否存在定值λ,使得MN MN AB λ⋅=?若存在,请求出λ的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)2213y x -= (2)存在,2λ=【分析】(1)由题意得到3b a =2c =,结合222c a b =+,求得,a b 的值,即可求得双曲线的方程;(2)由MN 与AB 同向,所以2MNAB λ=,设直线1:2l x ty =+,联立方程组,结合韦达定理求得121222129,3131t y y y y t t -+==--,利用弦长公式求得()226131t AB t +=-,根据21//l l ,设2:l x ty =,联立方程组求得()22212131t MN t +=-,进而求得λ的值,得出结论.【详解】(1)解:因为双曲线C :()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为3y x =, 所以3b a=3b a =. 又因为右焦点F 的坐标为()2,0,所以2c =,又由222244c a b a =+==,解得1a =,所以3b =所以双曲线C 的方程为2213y x -=. (2)解:存在定值2λ=,使得MN MN AB λ⋅=.因为MN 与AB 同向,所以2MNAB λ=,由题意,可设直线1:2l x ty =+,联立方程组22213x ty y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,整理得()22311290t y ty -++=, 设()11,A x y ,()22,B x y ,可得121222129,3131t y y y y t t -+==--, 由直线1l 分别交双曲线C 的左、右两支于A 、B 两点,可得()()()222212310Δ12363136100t t t t x x ⎧-≠⎪⎪=--=+>⎨⎪<⎪⎩,即()()()221223103422031t t ty ty t ⎧-≠⎪⎨-+++=<⎪-⎩,可得2310t ->, 所以2121AB t y =+-()22121214t y y y y =++-()2222226112361313131t t t t t t +-⎛⎫+- ⎪---⎝⎭由21//l l ,可设2:l x ty =, 由2233x ty x y =⎧⎨-=⎩,整理得()22313t y -=. 设00(,)M x y ,则()00,N x y --,所以202331y t =-, 则()()()()222222000212111431t MN t y t y t +=+--=+⋅=-,所以22MNAB λ==,故存在定值2λ=,使得MN MN AB λ⋅=.。

2021-2022学年河南省郑州市第四高级中学高二下学期第三次月考(期末模拟)理科数学试题 解析版

2021-2022学年河南省郑州市第四高级中学高二下学期第三次月考(期末模拟)理科数学试题 解析版

郑州四中2021-2022学年下期高二年级期末模拟考试理科数学命题人 审题人一、单选题(共60分)1.已知复数i z =,则复数1iz-的模是( )A.2 D.32.已知函数()f x 满足()()()221202x f x f e f x x -=-+',则()f x 的单调递减区间为( ) A.(),0∞- B.()1,∞+ C.(),1∞- D.()0,∞+3.已知随机变量ξ的分布列如下表,()D ξ表示ξ的方差,则()32D ξ+=( )A.2 B.2 C.2 D.1324.5位大学生在若假期间主动参加,,A B C 三个社区的志愿者服务,且每个社区至少有1人参加,则不同的安排方法共有( )A.30种B.90种C.120种D.150种5.已知实数,x y 满足2x y +=,则下列结论的证明更适合用反证法的是( ) A.证明1xy ≤ B.证明,x y 中至少有一个不大于1 C.证明222x y +≥ D.证明,x y 可能都是奇数6.某制衣品牌为使成衣尺寸更精准,选择了10名志愿者,对其身高(单位:cm )和臂展(单位:cm )进行了测量,这10名志愿者身高和臂展的折线图如图所示.已知这10名志愿者身高的平均值为176cm ,根据这10名志愿者的数据求得臂展u 关于身高v 的线性回归方程为ˆˆ1.234uv =-,则下列结论不正确的是( )A.这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差B.这10名志愿者的身高和臂展呈正相关关系C.这10名志愿者臂展的平均值为176.2cmD.根据回归方程可估计身高为160cm 的人的臂展为158cm 7.下列有关线性回归分析的六个命题:①在回归直线方程20.5ˆyx =-中,当解释变量x 增加1个单位时,预报变量ˆy 平均减少0.5个单位 ①回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 ①当相关性系数0r >时,两个变量正相关①如果两个变量的相关性越强,则相关性系数r 就越接近于1①残差图中残差点所在的水平带状区域越宽,则回归方程的预报精确度越高 ①甲、乙两个模型的相关指数2R 分别约为0.88和0.80,则模型乙的拟合效果更好 其中真命题的个数为( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.已知曲线2ln 3y x x x =-的一条切线在y 轴上的截距为2,则这条切线的方程为( ) A.420x y --= B.520x y --= C.420x y +-= D.520x y +-=9.柯西分布(Cauchydistribution )是一个数学期望不存在的连续型概率分布.记随机变量X 服从柯西分布为()0,X C x γ~,其中当01,0x γ==时的特例称为标准柯西分布,其概率密度函数为()()211f x x π=+.已知()(211,0,,(1312X C P X P X ~≤=<≤=,则()1P X ≤-=( )A.16B.23C.14D.1210.已知实数12em dx x =-⎰,则521m x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中含21x 的项的系数为( ) A.130 B.110 C.110- D.130-11.在一个正三角形的三边上,分别取一个距顶点最近的十等分点,连接形成的三角形也为正三角形(如图1所示,图中共有2个正三角形),然后在较小的正三角形中,以同样的方式形成一个更小的正三角形,如此重复多次,可得到如图2所示的优美图形(图中共有11个正三角形),这个过程称之为迭代,如果在边长为27的正三角形三边上,分别取一个三等分点,连接成一个较小的正三角形,然后选代得到如图3所示的图形(图中共有7个正三角形),则图3中最小的正三角形面积为( )12.已知0,0a b >>,且1(1)(3)b a a b ++=+,则( ) A.1a b >+ B.1a b <+ C.1a b <- D.1a b >-二、填空题(共20分)13.类比推理在数学发现中有重要的作用,开普勒说过:我珍视类比胜过任何别的东西,它是我最可信赖的老师,它能揭示自然界的秘密.运用类比推理,人们可以从已经掌握的事物特征,推测被研究的事物特征.比如:根据圆的简单几何性质,运用类比推理,可以得到椭圆的简单几何性质等.已知圆222:C x y r +=有性质:过圆C 上一点()00,M x y 的圆的切线方程是200x x y y r +=.类比上述结论,过椭圆22:1124x y E +=的点()3,1P -的切线方程为__________.14.现用5种颜色,给图中的5个区域涂色,要求相邻的区域不能涂同一种颜色,则不同的涂色方法共有种__________.15.已知函数()32ln 1,042,0x x f x xx x x +⎧>⎪=⎨⎪--<⎩,若方程()f x ax =有四个不等的实数根,则实数a 的取值范围是__________.16.某武装部在预备役民兵的集训中,开设了移动射击科目,移动射击科目规则如下:每人每次移动射击训练只有3发子弹,每次连续向快速移动的目标射击,每射击一次消耗一发子弹,若目标被击中,则停止射击,若目标未被击中,则继续射击,3发子弹都没打中,移动目标消失.通过统计分析该武装部的预备役民兵李好以往的训练成绩发现,李好第一枪命中目标的概率为0.8,若第一枪没有命中,第二枪命中目标的概率为0.4,若第二枪也没有命中,第三枪命中目标的概率为0.2.则目标被击中的条件下,李好第二枪命中目标的概率是__________.三、解答题(共70分)17.已知122i,34i z a z =+=-(其中i 为虚数单位)(1)若12z z 为纯虚数,求实数a 的值;(2)若2023122iz z -<+(其中2z 是复数2z 的共轭复数),求实数a 的取值范围.18.给出下列条件:①若展开式前三项的二项式系数的和等于16;①若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4:1.从中任选一个,补充在下面问题中,并加以解答(注:若选择多个条件,按第一个解答计分)已知()*nx n N ⎛∈ ⎝⎭,__________. (1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中所有的有理项.19.已知函数()()24ln 1,f x ax x a =-+为常数.(1)若()f x 在1x =处有极值,求a 的值并判断1x =是极大值点还是极小值点; (2)若()f x 在[]2,3上是增函数,求实数a 的取值范围. 20.已知数列{}n a 的前n 项和112n n na S a =+-,且0,n a n N +>∈. (1)求123,,a a a ;(2)猜想{}n a 的通项公式,并用数学归纳法证明.21.随着原材料供应价格的上涨,某型防护口罩售价逐月上升.1至5月,其售价(元/只)如下表所示:(1)请根据参考公式和数据计算相关系数(精确到0.01)说明该组数据中y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合,并求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+; (2)某人计划在六月购进一批防护口罩,经咨询届时将有两种促销方案:方案一:线下促销优惠.采用到店手工“摸球促销”的方式.其规则为:袋子里有颜色为红、黄、蓝的三个完全相同的小球,有放回的摸三次.若三次摸的是相同颜色的享受七折优惠,三次摸的仅有两次相同颜色的享受八折优惠,其余的均九折优惠.方案二:线上促销优惠.与店铺网页上的机器人进行“石头、剪刀、布”视频比赛.客户和机器人每次同时、随机、独立地选择“石头、剪刀、布”中的一种进行比对,约定:石头胜剪刀,剪刀胜布,布胜石头.手势相同视为平局,不分胜负.客户和机器人需比赛三次,若客户连胜三次则享受七折优惠,三次都不胜享受九折优惠,其余八折优惠.请用(1)中方程对六月售价进行预估,用X 表示据预估数据促销后的售价,求两种方案下X 的分布列和数学期望,并根据计算结果进行判断,选择哪种方案更实惠.参考公式:()()()()nnii ii xx y y xx y y r ----==∑∑,ˆˆˆybx a =+,其中()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑,ˆˆay bx =-. 6.5≈, 2.08y =,()()516.4i i i x x y y =--=∑,()5214.208i i y y =-=∑.22.已知函数()cos f x x x =⋅.(1)当()0,x π∈时,求证:()sin f x x <; (2)求证:当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,方程()210f x -=有且仅有2个实数根. 参考答案:1.B 【解析】先求出z ,进而根据复数的除法运算法则进行化简,最后求出模即可. 【详解】由题可得i z =,则)()i 1i 1i 2z+=-,所以1i z ==-故选:B. 2.A 【解析】 【分析】对()f x 求导得到关于()2f '、()0f 的方程求出它们的值,代入原解析式,根据0f x 求单调减区间.【详解】由题设()()()22e 0x f x f f x -''=-+,则()()()2202f f f ''=-+,可得()02f =,而()()2022e f f -'==,则()2e 22f '=,所以()212e 22xf x x x =-+,即()2e 2x f x x '=-+,则()00f '=且fx 递增,当0x <时0f x,即()f x 递减,故()f x 递减区间为(-∞,0).故选:A 3.C 【解析】 【分析】根据分布列的性质求出a ,根据公式求出()D ξ,再根据方差的性质可求出结果. 【详解】根据分布列的性质得11214a a +-+=,得14a =,所以111()2101424E ξ=⨯+⨯+⨯=,所以222111()(21)(11)(01)424D ξ=-⨯+-⨯+-⨯12=,所以9(32)9()2D D ξξ+==. 故选:C 4.D 【解析】 【分析】每个社区至少有1人参加,所以这5位大学生共分为三组,共有1,2,2和1,1,3两种情况,分别求每种情况的安排方法可得答案.因为每个社区至少有1人参加,所以这5位大学生共分为三组,共有1,2,2和1,1,3两种情况.若是1,2,2,则共有1223542322C C C A 90A ⨯=(种); 若是1,1,3,则共有1133543322C C C A 60A ⨯=(种), 所以共有6090150+=(种)不同的方法. 故选:D. 5.B 【解析】 【分析】根据反证法的特点:假设结论的对立面,最终导出矛盾,从而肯定结论成立,观察四个选项可作出判断. 【详解】实数,x y 满足2x y +=,观察四个选项,更适合用反证法的是B , 原因是:假设1x >且1y >,则2x y +>,与已知矛盾,故原结论成立, 其它选项均不适合. 故选:B 6.C 【解析】 【分析】利用平均值、极差、线性回归方程的特征进行逐项判断. 【详解】 解:对于选项A :因为这10名志愿者臂展的最大值大于身高的最大值,而臂展的最小值小于身高的最小值,所以这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差,故A 正确.对于选项B :因为1.20>,所以这10名志愿者的身高和臂展呈正相关关系,故B 正确. 对于选项C :因为这10名志愿者身高的平均值为176cm ,所以这10名志愿者臂展的平均值为1.217634177.2cm ⨯-=,故C 错误.对于选项D :若一个人的身高为160cm ,则由回归方程ˆˆ1.234uv =-,可得这个人的臂展的估计值为158cm ,故D 正确. 故选:C 7.B 【解析】 【分析】对于①,根据回归直线方程的特点即可判断;对于①,根据回归直线的几何意义即可判断;对于①,根据相关指数大于0,可得两变量正相关即可可判断;对于①,根据相关系数r 与变量的相关性的关系即可可判断;对于①,根据残差图的特点即可判断;对于①,根据模型的2R 与效果的关系即可判断. 【详解】对于①,根据回归系数的含义,可得回归直线方程ˆ20.5y x =-中,当解释变量x 增加1个单位时,预报变量ˆy平均减少0.5个单位,故①正确; 对于①,回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线,不正确.回归直线也可能不过任何一个点;故①不正确;对于①,当相关性系数0r >时,两个变量正相关,故①正确;对于①,如果两个变量的相关性越强,则相关性系数r 的绝对值就越接近于1;故①不正确; 对于①,残差图中残差点所在的水平带状区域越宽,则回归方程的预报精确度越低,故①不正确; 对于①,甲、乙两个模型的2R 分别约为0.88和0.80则模型甲的拟合效果更好,故①不正确, 则正确的个数为2. 故选:B. 8.D 【解析】 【分析】设出切点坐标()20000,ln 3x x x x -,根据导数的几何意义写出切线方程,将点()0,2代入求出0x 的值,进而得切线方程. 【详解】函数2ln 3y x x x =-的定义域为()0,∞+,设切点坐标为()20000,ln 3x x x x -,因为ln 61y x x '=-+,则切线斜率为00ln 61x x -+,所以切线方程为()()2000000ln 3ln 61y x x x x x x x -+=-+-,将点()0,2代入切线方程并整理得200320x x --=,解得01x =,或023x =-(舍去),所以这条切线的方程为()351y x +=--,即520x y +-=. 故选:D. 9.C 【解析】 【分析】根据柯西分布的对称性进行求解即可. 【详解】 因为21()()π(1)f x f x x -==+,所以该函数是偶函数,图象关于纵轴对称,由P (|X |=23,可得1(03P X <<=,因为P (1X <≤=112,所以111(01)3124P X <<=-=,因此1(10)4P X -<<=,所以111(1)244P X ≤-=-=, 故选:C 10.C 【解析】 【分析】由微积分基本定理求解m ,将5221x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭看作5个因式22(1)x x +-相乘,要得到21x ,分析每个因式所取项的情况. 【详解】1ee122ln |2(ln e ln1)2m dx x x=-=-=--=-⎰, 则5221x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭表示5个因式22(1)x x +-相乘,所以其展开式中含21x 的项为1个因式中取22x ,4个因式取1-,或者2个因式中取x ,2个因式取22x ,1个因式取1-所得到的项, 则5221x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中含21x 的项的系数为()()412225532C 12C C 1110-+-=-. 故选:C. 11.C 【解析】 【分析】先用余弦定理得到边长之间的关系,进而可求出最小正三角形的边长,然后利用面积公式即得. 【详解】设最大正三角形的边长为1a ,则127a =,其内部迭代出的正三角形的边长分别为237,,,a a a ⋅⋅⋅,由余弦定理得2222111112222cos 333333a a a a a a π⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 同理得22226237,,33a a a a =⋅⋅⋅=,①62271113a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,①最小的正三角形的面积77711sin 1232S a a π=⨯⨯⨯=⨯=.故选:C. 12.B 【解析】 【分析】根据题意,两边取对数整理得()()()ln 1ln 3ln 211a b b a b b +++=>++,进而构造函数()()()ln 10x f x x x+=>,利用单调性来比较自变量a 与1b +的大小. 【详解】 解:因为()()113b aa b ++=+,0a >,0b >,所以()()()ln 1ln 3ln 211a b b a b b +++=>++. 设()()()ln 10x f x x x +=>,则()()2ln 11xx x f x x -++'=.设()()()ln 101x g x x x x =-+>+,则()()()22110111x g x x x x -'=-=<+++, 所以()g x 在()0,∞+上单调递减.当0x →时,()0g x →, 所以()0g x <,即()0f x '<,故()f x 在()0,∞+上单调递减. 因为()()1f a f b >+,所以1a b <+. 故选:B. 13.40x y --= 【解析】 【分析】通过类比可得类似结论:过椭圆2222:1x y E a b+=上一点00(,)P x y 的椭圆的切线方程为00221x x y y a b +=,然后可得.【详解】通过类比可得类似结论:过椭圆2222:1x y E a b+=上一点00(,)P x y 的椭圆的切线方程为00221x x y y a b +=.所以,,过椭圆22:1124x y E +=上的点()3,1P -的切线方程为31124x y -+=,即40x y --=. 将4y x =-代入221124x y+=得:2690x x -+=,解得3x = 所以直线40x y --=和椭圆22:1124x y E +=有唯一交点()3,1P -,即直线与椭圆相切. 故答案为:40x y --= 14.420按照A B C D E →→→→的顺序进行涂色, 其中B 与D 的颜色可以相同也可以不相同,所以不同的涂色方法共有()5431322607420⨯⨯⨯⨯+⨯=⨯=种.故答案为:42015.()0,1【解析】【分析】将原问题转化为函数()g x 的图象与直线y a =有4个交点,分0x >和0x <两类情况讨论,利用导数判断函数()g x 的单调性求得最值,由此作出函数()y g x =的图象,利用数形结合即可求出实数a 的取值范围.【详解】方程()f x ax =有四个不等的实数根,等价于()222ln 1,024,0x x x y g x x x x +⎧>⎪⎪==⎨⎪--<⎪⎩的图象与直线y a =有4个交点.当0x >时,()22ln 1x g x x+=,则()34ln x g x x -'=,令()0g x '<,可得1x >,则函数()g x 在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减,故函数()g x 在()0,∞+上的最大值为()11g =.当0x <时,()224g x x x =--,则()()3222122x g x x x x +'=+=,令()0g x '<,可得1x <-,则函数()g x 在(),1-∞-上单调递减,在()1,0-上单调递增,故函数()g x 在(),0∞-上的最小值为()11g -=-.作出函数()g x 的图象,如图所示,要使函数()g x 图象与直线y a =有4个交点,则01a <<,故实数a 的取值范围是()0,1.故答案为:()0,1. 16.10113【解析】【分析】根据全概率公式结合条件概率公式计算即可【详解】记事件A :“李好第一枪击中目标”,事件B :“李好第二枪击中目标”,事件C :“李好第三枪击中目标”,事件D :“目标被击中”,则()()()()()P D P A B C P A P B P C =++=++0.80.20.40.20.60.20.904=+⨯+⨯⨯=,()0.20.40.08P B =⨯=,()()()()()0.08100.904113P BD P B P B D P D P D ====. 故答案为:1011317.(1)83a =(2)24a <<【解析】【分析】(1)根据题意123846i 2525z a a z -+=+,再根据纯虚数性质求解;(2)根据题意得122i z z -<-,即.(1) 由12i z a =+,234z i =-,得()()122i 34i 2i3846i 34i 252525a z a a a z +++-+===+-, 因为12z z 为纯虚数,所以38025a -=,且46025a +≠,所以83a =(2)()()()122i 34i 32i z z a a -=+-+=--, 因为2023122i z z -<+,所以122i z z -<-<即()2345a -+<,解得24a <<.18.(1)4352T x =和74254T x =(2)51T x =,4352T x =,35516T x =【解析】【分析】(1)无论选①还是选①,根据题设条件可求5n =,从而可求二项式系数最大的项.(2)利用二项展开式的通项公式可求展开式中所有的有理项.(1)二项展开式的通项公式为:211C C,0,1,2,,2rr r r r n n n r r n T x x r n --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭.若选①,则由题得012C C C 16n n n ++=,①()11162n n n -++=,即2300n n +-=,解得5n =或6n =-(舍去),①5n =.若选①,则由题得()221111C 22141C 22n n n n n n nn n n----⎛⎫- ⎪⎝⎭==-=⎛⎫ ⎪⎝⎭,①5n =,展开式共有6项,其中二项式系数最大的项为22443515C 22T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭,,7732345215C 24T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭.(2)由(1)可得二项展开式的通项公式为:5521551C C ,0,1,2,,52r r r r r r r T x x r --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭. 当52r Z -∈即0,2,4r =时得展开式中的有理项, 所以展开式中所有的有理项为:51T x =,5423522215C 22T x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭=,5342545415C 216T x x -⎛⎫= ⎪=⎝⎭. 19.(1)1a =,极小值点(2)1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】(1)先求定义域,再求导,根据极值点列出方程,求出1a =,从而求出单调区间,判断出1x =是()f x 的极小值点;(2)问题转化为2max2a x x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭,求出2211,63x x ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦,从而求出实数a 的取值范围. (1)①()f x 定义域为(1,)-+∞,()421f x ax x'=-+; 若()f x 在1x =处有极值,则()1220f a '=-=,①1a =,此时()()24ln 1f x x x =-+,()()()2214 211x x f x x x x+-'=-=++. ①1x >-,①20x +>,10x +>,当11x -<<时,()0f x '<,()f x 为减函数.当1x >时,()0f x '>,()f x 为增函数.①1x =是()f x 的极小值点.(2)由条件知()0f x '≥在[]2,3x ∈上恒成立,即4201ax x -≥+, ①22a x x ≥+在[]2,3x ∈上恒成立,只需2max2a x x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭, ①2211[6,12]24x x x ⎛⎫+=+-∈ ⎪⎝⎭,①2211,63x x ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦,即13a ≥,即a 的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.20.(1)11a,2a3a (2)n a .【解析】【分析】(1)赋值法进行求解;(2)猜想n a(1)令1n =得:111112a a a =+-,因为0n a >,n ∈+N ,解得:11a ,令2n =得:2122112a a a a +=+-,即2221112a a a +=+-解得:2a ,令3n =得:31233112a a a a a ++=+-,3331112a a a =+-,解得:3a(2)猜想{}n a的通项公式为n a当1n =时,11a ,成立,假设n k =时,k a =则12315321211k k S a a a k k =+++=-+-++--=则当1n k =+时,111112k k k a S a +++=+-,即111112k k k k a S a a ++++=+-1111112k k k a a a++++=+-,解得:1k a +综上:n a n *∈N 都成立.21.(1)相关系数0.98;ˆ0.640.16yx =+ (2)6月预计售价为4元/只;方案一分布列见解析;期望为14645;方案二分布列见解析;期望为446135;应选择方案一【解析】【分析】(1)依据题中所给数据,计算出x y 、的值,带入参考公式计算即可. (2)根据(1)中线性回归方程,求得X 可取的值,依次计算概率,列出分布列,求解数学期望,利用数学期望比较两种方案.(1)相关系数()()56.40.986.5i ix x y y r --==≈≈∑, 由于0.98接近1,说明y 与x 之间有较强的线性相关关系.()()()51521 6.4ˆ0.6410i ii i i x x y y b x x ==--===-∑∑,ˆ 2.08 1.920.16a =-=, 所以ˆ0.640.16yx =+. (2)由(1)可知,ˆ0.640.16yx =+,当6x =时,ˆ4y =,即6月预计售价为4元/只. X 可取的值为2.8,3.2,3.6.若选优惠方案一,1331( 2.8)39C P X ===; 1111321332( 3.2)33C C C C P X ===; 3332( 3.6)A P X ===; 此时122438146() 2.8 3.2 3.693913545E X =⨯+⨯+⨯==. 若选优惠方案二,客户每次和机器人比赛时,胜出的概率为132133C =,则不胜的概率为23.33311( 2.8)327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭;211221331212242( 3.2)3333993P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭; 30328( 3.6)327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭;此时128446() 2.8 3.2 3.627327135E X =⨯+⨯+⨯=.438446135135<,说明为使花费的期望值最小,应选择方案一.22.【解析】(1)令()()sin cos sin g x f x x x x x =-=⋅-,()g x 的定义域为(0)π,,()cos sin cos sin g x x x x x x x =--=-⋅'⋅, 当0()x π∈,时,()0g x '<恒成立,①()g x 在(0)π,上单调递减, ①当0()x π∈,时,()(0)0g x g <=恒成立,故当0()x π∈,时,()sin f x x <;(2)设()2()12cos 1h x f x x x =-=⋅-,()h x 的定义域为(0)2π,,()2(cos sin )h x x x x =-⋅',设()cos sin x x x x ω=-⋅,()x ω的定义域为(0)2π,,()2sin cos x x x x ω=--⋅',当(0)2x π∈,时,()0x ω'<恒成立,①()x ω在(0)2π,上单调递减,又(0)10ω=>,()022ππω=-<,①存在唯一的0(0)2x π∈,使据0()0x ω=,当00x x <<时()0x ω>,则()2()0h x x ω'=>,①()h x 在0(0)x ,上单调递增, 当02x x π<<时()0x ω<,则()2()0h x x ω'=<,①()h x 在0()2x π,上单调递减,①()h x 在0x x =处取得极大值也是最大值,又(0)10h =-<,()104h π>,()102h π=-<,①()h x 在(0)4π,与()42ππ,上各有一个零点,即当(0)2x π∈,时,方程2()10f x -=有且仅有2个实数根.。

江苏省常州市第一职业高级中学2021年高二数学理月考试题含解析

江苏省常州市第一职业高级中学2021年高二数学理月考试题含解析

江苏省常州市第一职业高级中学2020-2021学年高二数学理月考试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. “方程表示一个圆”是“”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案:C【分析】根据条件得到方程表示圆则,反之也是正确的,从而得到答案.【详解】方程表示一个圆,则需要满足,反之,则满足方程是一个圆,故选择充要条件.故答案为:C.【点睛】判断充要条件的方法是:①若p?q为真命题且q?p为假命题,则命题p是命题q的充分不必要条件;②若p?q为假命题且q?p为真命题,则命题p是命题q的必要不充分条件;③若p?q为真命题且q?p为真命题,则命题p是命题q的充要条件;④若p?q为假命题且q?p为假命题,则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.⑤判断命题p与命题q所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题p与命题q的关系.2. 已知A是B的充分不必要条件,B是C的充要条件,则C是A的( ).A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案:B略3. 如果一个几何体的三视图如图所示(长度单位: cm), 则此几何体的表面积是()A. B.C. D.参考答案:A4. 复数(i是虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点是()A.(2,﹣2)B.(2,2)C.(﹣2,﹣2)D.(﹣2,2)参考答案:B【考点】复数的代数表示法及其几何意义.【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出.【解答】解: ==2﹣2i(i是虚数单位)的共轭复数2+2i在复平面内对应的点(2,2).故选:B.5. 设,则()A.0.16 B.0.32 C.0.84 D.0.64参考答案:A6. 若多项式x5+x10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+……+a9(x+1)9+a10(x+1)10,则a4=( )A.205B.210C.-205D.-210参考答案:A7. 已知椭圆的离心率为,则b等于().A.3B.C.D.参考答案:B8. 阅读下图左边的流程图,若输入,则输出的结果是()A.2 B. 4 C.5 D. 6参考答案:A9. 已知,,且,则的最大值是()A. B. C. D.参考答案:B略10. 已知点P的极坐标为,则点P的直角坐标为()(1,)(1,﹣)C (,1)D(,﹣1)A解答:解:x=ρcosθ=2×cos=1,y=ρsinθ=2×sin=∴将极坐标(2,)化为直角坐标是(1,).故选A.11. 若为实数,则“”是“或”的 ________条件.参考答案:充分而不必要条件略12. 若对任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是.参考答案:a≥考点:基本不等式在最值问题中的应用.专题:不等式的解法及应用.分析:根据x+≥2代入中求得的最大值为进而a的范围可得.解答:解:∵x>0,∴x+≥2(当且仅当x=1时取等号),∴=≤=,即的最大值为,故答案为:a≥点评:本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用.属基础题.13. 对于曲线∶=1,给出下面四个命题:(1)曲线不可能表示椭圆;(2)若曲线表示焦点在x轴上的椭圆,则1<<;(3)若曲线表示双曲线,则<1或>4;(4)当1<<4时曲线表示椭圆,其中正确的是()A .(2)(3) B. (1)(3) C. (2)(4) D.(3)(4)]参考答案:A14. 已知=2, =3, =4,…若=6,(a,t均为正实数),则类比以上等式,可推测a,t的值,a+t= .参考答案:41【考点】F3:类比推理.【分析】观察所给的等式,等号右边是,,…第n 个应该是,左边的式子,写出结果.【解答】解:观察下列等式=2, =3, =4,…照此规律,第5个等式中:a=6,t=a2﹣1=35a+t=41.故答案为:41.【点评】本题考查归纳推理,考查对于所给的式子的理解,主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系,本题是一个易错题.15. 已知,,则线段AB的中点坐标为________;_________.参考答案:( -1, -1, -1),;16. 已知集合,,则集合.参考答案:略17. △ABC的三边长分别为3、4、5,P为面ABC外一点,它到△ABC三边的距离都等于2,则P到面ABC的距离是________.参考答案:三、解答题:本大题共5小题,共72分。

江苏省宝应中学2021-2022学年高二上学期月考测试数学理试题 Word版含答案

江苏省宝应中学2021-2022学年高二上学期月考测试数学理试题 Word版含答案

江苏省宝应中学17-18学年第一学期高二班级月考测试 (数学理科)一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上........).. 1.赋值语句为:235T T T ←←-+,,则最终T 的值为 ▲ .2.在一次数学测验中,某小组16名同学的成果与全班的平均分116分的差分别是2,3,3-,5-,-6,12,12,8,2,1-,4,10-,2-,5,5,6那么这个小组的平均分是 ▲ . 3.抛物线2=4x y 的焦点到准线的距离为 ▲ .4.样本数据8321,,,,x x x x 的平均数为6,若数据)8,7,6,5,4,3,2,1(63=-=i x y i i ,则8321,,,,y y y y ⋅⋅⋅的平均数为▲ .5.某校高一班级有同学400人,高二班级有同学360人,现接受分层抽样的方法从全校同学中抽出56人,其中从高一班级同学中抽出20人,则从高三班级同学中抽取的人数为 ▲6. 以线段AB :40(04)x y x +-=≤≤为直径的圆的方程为 ▲ .7、阅读如图所示的程序框,若输入的n 是28,则输出的变量S 的值是__▲____. 8.、椭圆192522=+y x 的两个焦点是21,F F ,过1F 的直线交椭圆于B A ,两点,且1222=+B F A F ,则||AB 的长为 ▲ .9.已知无论p 取任何实数,0)32()32()41(=-+--+p y p x p 必经过肯定点,则定点坐标为 ▲ .10.若直线x +n y +3=0与直线nx +9y +9=0平行,则n 的值等于__▲___11.双曲线2212x y m m -=+ 的一条渐近线方程为x y 2=,则此m 等于 ▲ .12已知平面上两点A(0,2)、B(0,-2),有一动点P 满足PA-PB=2,则P 点的轨迹方程为 ▲ .13. 若关于x 的方程24420x kx k ---+=有且只有两个不同的实数根,则实数k 的取值范围是 ▲14、 如图,已知椭圆12222=+by a x (0a b >>)的左、右焦点为1F 、2F ,P 是椭圆上一点,M 在1PF 上,且满足MP P F 31=,M F PO 2⊥,O 为坐标原点.椭圆离心率e 的取值范围 ▲ .二、解答题:本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题14分)某赛季甲、乙两名运动员每场竞赛得分状况如下表: 第一场 其次场 第三场 第四场 第五场 第六场 第七场 甲 26 28 24 22 31 29 36 乙26293326402927(1)绘制两人得分的茎叶图;(2)分析并比较甲、乙两人七场竞赛的平均得分及得分的稳定程度.16.(本题14分)已知椭圆C 的方程为.(1)求k 的取值范围; (2)若椭圆C 的离心率,求k 的值.17.(本题14分)为了调查高一新生是否住宿,招生前随机抽取部分准高一同学调查其上学路上所需时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中上学路上所需时间的范围是[0,100],样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]. (1)求直方图中x 的值;(2)假如上学路上所需时间不少于40分钟的同学应住宿,且该校方案招生1800名,请估量新生中应有多少名同学住宿;(3)若担忧排住宿的话,请估量全部同学上学的平均耗时(用组中值代替各组数据的平均值).(第7题)18. (本题16分)已知△ABC 三个顶点坐标分别为:A (1,0),B (1,4),C (3,2),直线l 经过点(0,4). (1)求△ABC 外接圆⊙M 的方程;(2)若直线l 与⊙M 相切,求直线l 的方程;(3)若直线l 与⊙M 相交于A ,B 两点,且AB=2,求直线l 的方程.19.(本题16分)如图,在平面直角坐标系xoy 中,圆C :22(1)16x y ++=,点(1,0)F ,E 是圆C 上的一个动点,EF 的垂直平分线PQ 与CE 交于点B ,与EF 交于点D 。

【ks5u发布】河北省唐山一中2020-2021学年高二下学期第三次月考理科数学试题Word版含答案

【ks5u发布】河北省唐山一中2020-2021学年高二下学期第三次月考理科数学试题Word版含答案

唐山一中2022-2021学年度其次学期高二班级第一次月考数学试卷(理科) 命题人:李鹏涛 审核人:乔家焕试卷Ⅰ(共60分)一、选择题(本题共12个小题,每题只有一个正确答案,每题5分,共60分。

请把答案涂在答题卡上)1.设1z i =+(i 是虚数单位),则22z z+= ( ) A .1i -- B .1i -+ C .1i - D . 1i +2、用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,假设正确的是 ( ) A .假设三内角都不大于60° B .假设三内角都大于60°C .假设三内角至多有一个大于60°D .假设三内角至多有两个大于60°3.点P 为ΔABC 所在平面外一点,PO ⊥平面ABC ,垂足为O,若PA=PB=PC ,则点O 是ΔABC ( )A.内心B.外心C.重心D.垂心4. 设函数()f x ,()g x 在[,]a b 上均可导,且'()'()f x g x <,则当a x b <<时,有 ( )A. ()()f x g x >B. ()()f x g x <C. ()()()()f x g a g x f a +<+D. ()()()()f x g b g x f b +<+5.函数1,(10)()cos ,(0)2x x f x x x π+-≤<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为 ( ) A.32 B. 1 C. 2 D.126. 6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的做法种数为 ( )A .144B .120C .72D .24 7.在同一坐标系中,方程)0(0122222>>=+=+b a by ax b y a x 与的曲线大致是 ( )8、设m 、n 是两条不同的直线,,,αβγ是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若m ⊥α,n //α,则m n ⊥ ②若αβ//,βγ//,m ⊥α,则m ⊥γ ③若m //α,n //α,则m n // ④若αγ⊥,βγ⊥,则//αβ其中正确命题的序号是 ( )A. ①和②B.②和③C.③和④D.①和④9.已知0||2||≠=b a ,且关于x 的函数x b a x a x x f ⋅++=23||2131)(在R 上有极值,则a 与b 的夹角范围为 ( )A .)6,0[πB .],6(ππC .],3(ππD .2[,]33ππ10.双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2,有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合,则mn 的值为 ( )A .163B .83C .316D .3811.函数)(x f 在定义域R 内可导,若)2()(x f x f -=,且当)1,(-∞∈x 时,0)()1(<'-x f x ,设).3(),21(),0(f c f b f a ===则 ( )A .c b a <<B .b a c <<C .a b c <<D .a c b <<12.已知椭圆1532222=+n y m x 和双曲线1322222=-ny m x 有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程是 ( )A .y x 215±= B .x y 215±= C .y x 43±= D .x y 43±= 试卷Ⅱ(共计90分)二、填空题(本题共4个小题,每题5分,共计20分,请将答案写在答题纸上)13.36的全部正约数之和可按如下方法得到:由于2236=23⨯,所以36的全部正约数之和为22222222(133)(22323)(22323)(122)133)91++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=(参照上述方法,可求得2000的全部正约数之和为_______________14.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,假如分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是_________.15. 1121lim (1)n n n n nn →∞-++++写成定积分是_________.16.如图是y =f (x )的导函数的图象,现有以下四种说法:(1)f (x )在(-3,1)上是增函数;(2)x =-1是f (x )的微小值点;(3)f (x )在(2,4)上是减函数,在(-1,2)上是增函数; (4)x =2是f (x )的微小值点; 以上正确的序号为________.三、解答题(本题共6小题,其中17题10分,其余各题12分,共计70分。

江西省九江市三汊港中学2021年高二数学理月考试题含解析

江西省九江市三汊港中学2021年高二数学理月考试题含解析

江西省九江市三汊港中学2020-2021学年高二数学理月考试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 在复平面内,设z=1+i(i是虚数单位),则复数+z2对应的点位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限参考答案:A略2. 若函数,则函数的图像可以是( )参考答案:A3. 已知α、β是两个不同平面,m、n是两条不同直线,则下列命题不正确的是( )A.则 B.m∥n,m⊥α,则n⊥αC.n∥α,n⊥β,则α⊥β D.m∥β,m⊥n,则n⊥β参考答案:D 4. 根据偶函数定义可推得“函数在上是偶函数”的推理过程是 ( )A.归纳推理B.类比推理C.演绎推理D.非以上答案参考答案:C略5. 若为虚数单位,则()A. B. C. D.参考答案:C略6. 函数的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列,则以下不可能成为该等比数列的公比的数是()A. B. C. D.参考答案:D函数等价为,表示为圆心在半径为3的上半圆,圆上点到原点的最短距离为2,最大距离为8,若存在三点成等比数列,则最大的公比应有,即,最小的公比应满足,所以,所以公比的取值范围为,所以不可能成为该等比数列的公比.7. 如图茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分),已知甲组数据的平均数为18,乙组数据的中位数为16,则x,y的值分别为()A.18,6 B.8,16 C.8,6 D.18,16参考答案:C【考点】茎叶图.【分析】利用中位数、平均数计算公式求解.【解答】解:由茎叶图知,甲组数据为:9,12,10+x,24,27,∵甲组数据的平均数为18,∴5(9+12+10+x+24+27)=90,解得y=8.∵甲组数据为:9,15,10+y,18,24,乙组数据的中位数为16∴10+y=16,解得y=6.故选:C.8. 甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜想的数字记为b,其中,若|a-b|≤1,则称甲乙“心有灵犀”。

2023-2024学年山西省晋中市平遥县高二下册3月月考数学试题(含解析)

2023-2024学年山西省晋中市平遥县高二下册3月月考数学试题(含解析)

2023-2024学年山西省晋中市平遥县高二下册3月月考数学试题一、单选题1.为响应国家“节约粮食”的号召,某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食,并在用餐时积极践行“光盘行动”,则不同的选取方法有()A .48种B .36种C .24种D .12种【正确答案】B利用分步计数原理,分3步即可求出【详解】解:由题意可知,分三步完成:第一步,从2种主食中任选一种有2种选法;第二步,从3种素菜中任选一种有3种选法;第三步,从6种荤菜中任选一种有6种选法,根据分步计数原理,共有23636⨯⨯=不同的选取方法,故选:B2.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若532a a =,则95S S =()A .910B .1518C .95D .185【正确答案】D【分析】根据等差数列的前n 项和21(21)n n S n a -=-,将95S S 转化为5a 和3a 的算式即可得到所求.【详解】解:依题意,数列{}n a 为等差数列,所以19951553992552a a S a a a S a +⨯⨯==+⨯⨯,又因为532a a =,所以955399182555S a S a ⨯===⨯,故选D.等差数列的性质,等差数列的前n 项和,考查分析解决问题的能力和运算能力,属于基础题.3.北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相,好评不断,这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合,是一次现代设计理念的传承与突破.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会,某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场,若小明和小李必须安装同一个吉祥物,且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装,则不同的安装方案种数为()A .8B .10C .12D .14【正确答案】A【分析】分为三人组中包含小明和小李和不包含小明和小李两类,分别计算方案种数即可得结果.【详解】由题意可知应将志愿者分为三人组和两人组,当三人组中包含小明和小李时,安装方案有12326C A =种;当三人组中不包含小明和小李时,安装方案有222A =种,共计有628+=种,故选:A.4.设F 为抛物线C :24y x =的焦点,点M 在C 上,点N 在准线l 上且MN 平行于x 轴,若NF MN =,则MF =()A .3B .1C .3D .4【正确答案】D【分析】由抛物线方程可知焦点坐标及准线方程,设准线l 与x 轴交点为E ,画出图象,由抛物线定义及NF MN =可知MNF 是正三角形,结合平行关系可判断60EFN ∠=︒,利用直角三角形性质即可求解.【详解】由题可知,2p =,抛物线焦点F 为()1,0,准线l 为=1x -,设准线l 与x 轴的交点为E ,如图所示,由题知MN l ⊥,由抛物线的定义可知MN MF =,因为NF MN =,所以MNF 是正三角形,则在Rt NEF 中,因为MN EF ∥,所以60EFN MNF ∠=∠=︒,所以224MF NF EF p ====.故选:D5.三棱锥A BCD -中,AC ⊥平面BCD ,BD CD ⊥.若3AB =,1BD =,则该三棱锥体积的最大值为()A .2B .43C .1D .23【正确答案】D【分析】先利用线面垂直的判定定理与性质定理依次证得BD ⊥平面ACD 、BD AD ⊥与AC CD ⊥,从而利用基本不等式求得2ACDS≤,进而得到23A BCDB ACD V V --=≤,由此得解.【详解】因为AC ⊥平面BCD ,BD ⊂平面BCD ,所以AC BD ⊥,又BD CD ⊥,AC CD C = ,,AC CD ⊂平面ACD ,所以BD ⊥平面ACD ,因为AD ⊂平面ACD ,所以BD AD ⊥,在Rt △ABD 中,3AB =,1BD =,则AD ==,因为AC ⊥平面BCD ,CD ⊂平面BCD ,所以AC CD ⊥,在Rt ACD △中,不妨设(),0,0AC a CD b a b ==>>,则由222AC CD AD +=得228a b +=,所以()221111222244ACDSAC CD ab ab a b =⋅==⨯≤+=,当且仅当a b =且228a b +=,即2a b ==时,等号成立,所以11221333A BCDB ACD ACDV V SBD --==⋅≤⨯⨯=,所以该三棱锥体积的最大值为23.故选:D..6.()62121ay x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中23x y -项的系数为160,则=a ()A .2B .4C .2-D .-【正确答案】C先求得()61ay +展开式中3y 的系数,可得()62121ay x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中23x y -的系数,从而得答案.【详解】二项式()61ay +展开式的通项为()6166C 1C rr rr r r r T ay a y -+=⨯=,令3r =可得二项式()61ay +展开式中3y 的系数为336C a ,∴()62121ay x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中23x y -的系数为()3361C 160a -=,可得38a =-,解得2a =-,故选:C .7.甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”,决出第一名到第五名的名次(无并列名次),已知甲排第三,乙不是第一,丙不是第五.据此推测5人的名次排列情况共有()种A .5B .8C .14D .21【正确答案】C【分析】按乙排第五和不是第五分类讨论.【详解】乙排在第五的情况有:33A ,乙不在第五的方法有112222C C A ,共有3112322214A C C A +=,故选:C .关键点点睛:本题考查排列组合的综合应用,解题关键是确定完成事件的方法:是先分类还是先分步:分类后每一类再分步.然后结合计数原理求解.8.设函数()f x ,()g x 在R 上的导函数存在,且()()f x g x ''<,则当(),x a b ∈时()A .()()f x g x <B .()()f xg x >C .()()()()f x g a g x f a +<+D .()()()()f xg b g x f b +<+【正确答案】C【分析】对于AB ,利用特殊函数法,举反例即可排除;对于CD ,构造函数()()()h x f x g x =-,利用导数与函数单调性的关系证得()h x 在R 上单调递减,从而得以判断.【详解】对于AB ,不妨设()2f x x =-,()1g x =,则()2f x '=-,()0g x '=,满足题意,若()1,x a b =-∈,则()()21f x g x =>=,故A 错误,若()0,x a b =∈,则()()01f x g x =<=,故B 错误;对于CD ,因为()f x ,()g x 在R 上的导函数存在,且()()f x g x ''<,令()()()h x f x g x =-,则()()()0h x f x g x ''-'=<,所以()h x 在R 上单调递减,因为(),x a b ∈,即a x b <<,所以()()()h b h x h a <<,由()()h x h a <得()()()()f x g x f a g a -<-,则()()()()f x g a g x f a +<+,故C 正确;由()()h b h x <得()()()()f b g b f x g x -<-,则()()()()f x g b g x f b +>+,故D 错误.故选:C.二、多选题9.有3位男生和3位女生,要在某风景点前站成一排照合影,则下列说法正确的是()A .共有66A 种不同的排法B .男生不在两端共有2424A A 种排法C .男生甲、乙相邻共有2525A A 种排法D .三位女生不相邻共有3333A A 种排法【正确答案】AC【分析】根据给定条件,利用无限制条件的排列判断A ;利用有位置条件的排列判断B ;利用相邻、不相邻问题的排列判断C ,D 作答.【详解】有3位男生和3位女生,要在某风景点前站成一排照合影,共有66A 种不同的排法,A 正确;男生不在两端,从3位女生中取2人站两端,再排余下4人,共有2434A A 种排法,B 不正确;男生甲、乙相邻,视甲乙为1人与其余4人全排列,再排甲乙,共有2525A A 种排法,C 正确;三位女生不相邻,先排3位男生,再在2个间隙及两端4个位置中插入3位女生,共有3334A A种排法,D 不正确.故选:AC 10.()20232202301220231ax a a x a x a x +=++++ ,若16069a =-,则下列结论正确的有()A .3a =B .202301220232a a a a ++++=- C .202312220231333a a a +++=- D .()20231ax +的展开式中第1012项的系数最大【正确答案】BC【分析】利用二项式展开式的通项公式求解含x 项的系数,从而求解a ,即可判断选项A ,赋值法即可求解系数和问题,从而判断选项B 、C ,利用展开式系数符合规律判断选项D 【详解】对于A ,112023C 20236069a a a =⋅==-,可得3a =-,故A 错误;对于B ,因为()2023201213x a a x a x -=++20232023a x ++ ,令1x =,则()202320230122023132a a a a ++++=-=- ,故B 正确;对于C ,令0x =,则01a =,令13x =,则2023202312002202311313333a a a a a ⎛⎫+++=-⨯-=-=- ⎪⎝⎭ ,故C 正确;对于D ,由展开式知,20n a >,210n a -<,故第1012项的系数10110a <,不会是展开式中系数最大的项,故D 错误.故选:BC11.对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠,给出定义:设()f x '是函数()y f x =的导数,()f x ''是函数()f x '的导数,若方程()0f x ''=有实数解0x ,则称()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.若函数()()3211R 32f x x x x b b =-++∈,则()A .()f x 一定有两个极值点B .函数()y f x =在R 上单调递增C .过点()0,b 可以作曲线()y f x =的2条切线D .当712b =时,123202220222023202320232023f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【正确答案】BCD【分析】对()f x 求导,得出()0f x ¢>,没有极值点,可判断A ,B ;由导数的几何意义求过点()0,b 的切线方程条数可判断C ;求出三次函数()f x 的对称中心,由于函数的对称中心为1,12⎛⎫⎪⎝⎭,可得()()12f x f x +-=,由倒序相加法求出所给的式子的值,可判断D.【详解】由题意知()21f x x x '=-+,1430∆=-=-<,()0f x ¢>恒成立,所以()f x 在R 上单调递增,没有极值点,A 错误,B 正确;设切点为3211,32m m m m b ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,则()21k f m m m '==-+,切线方程为()()32211132y m m m b m m x m ⎛⎫--++=-+- ⎪⎝⎭,代入点()0,b 得32321132m m m m m m -+-=-+-,即322132m m =,解得0m =或34m =,所以切线方程为y x b =+或1316y x b =+,C 正确;易知()21f x x ''=-,令()0f x ''=,则12x =.当712b =时,102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭'',112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以点1,12⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心,所以有11222f x f x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即()()12f x f x +-=.令123202320232023S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 20222023⎛⎫ ⎪⎝⎭,又20222021202012023202320232023S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以12022220232023S f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22021202212022240442023202320232023f f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=⨯= ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ,所以2022S =,D 正确.故选:BCD.12.已知椭圆C :22143x y +=的左、右焦点分别为1F ,2F ,上顶点为B ,直线l :()0y kx k =≠与椭圆C 交于M ,N 两点,12F MF ∠的角平分线与x 轴相交于点E ,与y 轴相交于点()0,G m ,则()A .四边形12MF NF 的周长为8B .1114MF NF +的最小值为9C .直线BM ,BN 的斜率之积为34-D .当12m =-时,12:2:1F E F E =【正确答案】AC【分析】对A 选项,由椭圆的定义知,四边形12MF NF 的周长为4a 即可求解;对B 选项,由直线()0y kx k =≠与椭圆相交的对称性知:12NF MF =,11121414MF NF MF MF ∴+=+,借助基本不等式可得1114MF NF +的最小值;对C 选项,设()11,M x y ,则()11,N x y --,由点()11,M x y 在椭圆上,即可化得BM BN k k ⋅的值;对D 选项,设出()()11,0t E t -<<,由条件推出()121MF t =+,()221MF t =-,又在椭圆C 中,由其第二定义1MF e =得()1112212MF x t =+=+,从而得到M ,E ,G 三点坐标,再根据其三点共线,化简求解即可.【详解】对A 选项,由椭圆的定义知,四边形12MF NF 的周长为2248a a a +==,A 正确;对B 选项,1112141414MF NF MF MF +=+=()21121212414191444MF MF MF MF MF MF MF MF ⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥,当且仅当1248,33MF MF ==时等号成立,故B 错误;对C 选项,设()11,M x y ,则()11,N x y --,又(B,所以211121113BM BNy y y k k x x x --⋅=⋅=-.因为点()11,M x y 在椭圆上,所以2211143x y +=,即()222111441333y x y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,所以2121334BM BNy k k x -⋅==-,C 正确;对D 选项,设()()11,0t E t -<<,则12F E F E 1211MF t t MF +==-,124MF MF +=所以()121MF t =+,()221MF t =-,在椭圆C :22143x y +=中,由其第二定义1MF e d =(d 指的是椭圆上的点到相应的准线的距离)得221111()()22M a a MF de x e x e x c c ==+⋅=+⋅=+,12MF ∴=+()11212x t =+,所以14x t =,故()14,M t y ,(),0E t ,10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭G ,因为三点共线,所以1123y t t =,解得132y =,则29164143t +=,解得14t =±,当14t =时,1211541314F E F E +==-,当14t =-时,1211341514F E F E -==+,故D 错误.故选:AC方法点睛:直线与圆锥曲线位置关系的题目,往往需要联立两者方程,利用韦达定理解决相应关系,其中的计算量往往较大,需要反复练习加以强化.三、填空题....道上有编号1,2,.3,....10的十盏路灯,为节省用电又能看清路面,可以把其中的三盏路灯关掉,但不能同时关掉相邻的两盏或三盏,在两端的灯都不能关掉的情况下,满足条件的关灯方法有__________种.【正确答案】20【分析】采用插空法即可求解.【详解】10只灯关掉3只,实际上还亮7只灯,而又要求不关掉两端的灯和相邻的灯,此题可以转化为在7只亮着的路灯之间的6个空挡中放入3只熄灭的灯,有36C 20=种方法,故答案为.2014.我国古代《九章算术》将底面为矩形的棱台称为刍童.若一刍童为正棱台,其上、下底1,则该刍童的外接球的表面积为______.【正确答案】20π【分析】根据题意,作出图形,设该刍童外接球的球心为O ,半径为R ,分两种情况讨论,分别根据条件列出方程组,即可求出外接球半径,代入球的表面积公式计算即可求解.【详解】设该刍童外接球的球心为O ,半径为R ,上底面中心为1O ,下底面中心为2O ,则由题意,121O O =,22AO =,111A O =,1R OA OA ==.如图,当O 在12O O 的延长线上时,设2OO h =,则在2AOO 中,22R 4h =+①,在11A OO 中,()22R 11h =++②,联立①②得1h =,2R 5=,所以刍童外接球的表面积为20π,同理,当O 在线段12O O 上时,设1OO h =,则有22R 1h =+,()22R 14h =-+,解得2h =,不满足题意,舍去.综上所述,该刍童外接球的表面积为20π.故20π.15.两名学生一起去一家单位应聘,面试前单位负责人对他们说:“我们要从面试的人中招聘3人,你们俩同时被招聘进来的概率是170.”若每个参加面试的人被招聘的可能性相同,则根据这位负责人的话,可以推断出参加面试的人数为______.【正确答案】21【分析】利用古典概型的概率公式求解.【详解】设参加面试的人数为n ,依题意有()()()()2122362C C 61C 12170n nn n n n n n --===---,即()()242020210n n n n --=+-=,解得21n =或20n -(舍去).16.南宋数学家杨辉善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为求离散量的垛积问题,在他的专著《详解九章算法·商功》中给出了著名的三角垛公式()()()()()1112123123126n n n n ++++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=++,则数列{}22n n +的前n 项和为____________.【正确答案】()()1121226n n n n ++++-【分析】由三角垛公式可知数列()12n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为()()1126n n n ++,根据()212222n n n n n n ++=⨯-+,采用分组求和法,结合等差、等比求和公式可求得结果.【详解】()11232n n n ++++⋅⋅⋅+=,∴数列()12n n +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和为()()1126n n n ++,()212222n n n n n n ++=⨯-+ ,∴数列{}22n n +的前n 项和()()()1211223212222222n n n n S n +⎛⎫⨯⨯=⨯++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭()()()()()()121211211122232126n n n n n n n n n n +-+++=++-+=+--.故答案为.()()1121226n n n n ++++-关键点点睛:本题考查数列中的分组求和法的应用,解题关键是能够将所求数列的通项进行变型,从而与已知的三角垛公式联系起来,利用所给的三角垛公式来进行求和.四、解答题17.现有一些小球和盒子,完成下面的问题.(1)4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中(允许有空盒子),一共有多少种不同的放法?(2)4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中,恰有1个空盒的放法共有多少种?【正确答案】(1)256;【分析】(1)根据题意分析将4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中,每个小球有4种放法,由分步计数原理计算即可得出答案;(2)根据题意,分两步进行,①将4个小球分为3组,②在4个盒子中任选3个,放入三组小球,根据分步计数原理计算即可得出答案;【详解】(1)4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中,每个小球有4种放法,则4个小球有4444256⨯⨯⨯=种不同的放法;(2)①将4个小球分为3组,有24C 6=种分组方法,②在4个盒子中任选3个,放入三组小球,有3343C A 24=种情况,则624144⨯=种不同的放法.18.如图,四边形ABCD 是圆柱底面的内接四边形,AC 是圆柱的底面直径,PC 是圆柱的母线,E 是AC 与BD 的交点,AB AD =,60BAD ∠=︒.(1)记圆柱的体积为1V ,四棱锥P ABCD -的体积为2V ,求12V V ;(2)设点F 在线段AP 上,4,4PA PF PC CE ==,求二面角F CD P --的余弦值.【正确答案】【分析】(1)利用平面几何的知识推得AC BD ⊥,进而得到BD =与4AC EC =,从而利用柱体与锥体的体积公式求得12,V V 关于,EC PC 的表达式,由此得解;(2)根据题意建立空间直角坐标系,设1CE = ,结合(1)中结论与(2)中所给条件得到所需向量的坐标表示,从而求得平面FCD 与平面PCD 的法向量n 与m ,由此利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【详解】(1)因为ABD ∠与ACD ∠是底面圆弧AD 所对的圆周角,所以ABD ACD ∠=∠,因为AB AD =,所以在等腰ABD △中,ABD ADE ∠=∠,所以ADE ACD ∠=∠,因为AC 是圆柱的底面直径,所以90ADC ∠=︒,则90CAD ACD ∠+∠=︒,所以90CAD ADE ∠+∠=︒,则90AED ∠=︒,即AC BD ⊥,所以在等腰ABD △,BE DE =,AC 平分BAD ∠,则1302CAD BAD ∠=∠=︒,所以60ADE ∠=︒,则30∠=︒CDE ,故在Rt CED 中,2CD EC =,DE ,则2BD DE ==,在Rt ACD △中,24AC CD EC ==,因为PC 是圆柱的母线,所以PC ⊥面ABCD ,所以()22211ππ24π2V AC CP EC PC EC PC ⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭,2211143263V AC BD PC EC PC EC PC =⨯⋅⋅=⨯⨯⋅=⋅,所以12V V =.(2)以C 为坐标原点,CA 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -,不妨设1CE = ,则44AC EC ==,DE =44PC CE ==,则()()()()0,0,0,4,0,0,1,,0,0,4C A D P ,所以()CD = ,()0,0,4CP = ,()4,0,4PA =- ,因为4PA PF =,所以()11,0,14PF PA ==- ,则()()01,0,1(1,0,3,0,4)CF CP PF ==+=-+ ,设平面FCD 的法向量(,,)n x y z = ,则00n CF n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即300x z x +=⎧⎪⎨=⎪⎩,令3x =-,则1y z ==,故(n =- ,设平面PCD 的法向量(,,)m p q r = ,则00m CP m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即400r p =⎧⎪⎨=⎪⎩,令3p =-,则0q r ==,故(m =- ,设二面角F CD P --的平面角为θ,易知π02θ<<,所以cos cos ,13||||n m n m n m θ⋅====⋅ ,因此二面角F CD P --19.记数列{}n a 的前n 项和为n T ,且111,(2)n n a a T n -==≥.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设m 为整数,且对任意*n ∈N ,1212nn m a a a ≥+++ ,求m 的最小值.【正确答案】(1)21,1,2, 2.n n n a n -=⎧=⎨≥⎩(2)7【分析】(1)由数列n a 与n T 的关系可得()122n n a a n +=≥,再结合等比数列的通项可得解;(2)利用错位相减法求出1212nn a a a +++ ,结合范围即可得解.【详解】(1)因为111,(2)n n a a T n -==≥,所以211a a ==,当2n ≥时,112n n n n n a T T a a +-+===,故()222222n n n a a n --==⋅≥,且11a =不满足上式,故数列{}n a 的通项公式为21,1,2, 2.n n n a n -=⎧=⎨≥⎩(2)设1212n nn S a a a =+++ ,则11S =,当2n ≥时,102122322n n S n --=+⋅++⋅+⋅ ,故112112232222n n S n ---=+⋅+⋅+⋅+ ,于是()122115222222n n n S n ----=++++-⋅ ()121121252212n n n -----=+-⋅-.整理可得27(2)2n n S n -=-+,所以7n S <,又54968S =>,所以符合题设条件的m 的最小值为7.20.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>过点A ,且焦距为10.(1)求C 的方程;(2)已知点3),B D -,E 为线段AB 上一点,且直线DE 交C 于G ,H 两点.证明:||||||||GD HD GE HE =.【正确答案】(1)221169x y -=(2)证明见解析【分析】(1)根据题意列方程组求出,a b ,即可得出C 的方程;(2)根据,,,D E H G 四点共线,要证||||||||GD HD GE HE =即证HE GE G H D D ⋅=⋅,设出直线:DE y x =-,()()1122,,,G x y H x y,)E t ,联立直线方程与椭圆方程得出1212,x x x x +,将其代入G G HE E DH D ⋅-⋅ ,计算结果为零,即证出.【详解】(1)由题意可得2232910a b-==,故4,3a b ==,所以C 的方程为221169x y -=.(2)设)E t ,()()1122,,,G x y H x y ,当x =2321169y -=,解得3=±y ,则||3t <, 双曲线的渐近线方程为34y x =±,故当直线DE 与渐近线平行时,此时和双曲线仅有一个交点,此时直线DE方程为(34y x =±-,令x =y =||t ≠则直线:DE y x =-.由221169y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得()222292161440t x x t -+--=,所以212229x x t +=-,21221614429t x x t +=-.()()()()11221122,,,G HE GE DH x y x t x D y t y x y ⋅-⋅=--⋅----⋅-)()121212122232x x y y x x t y y =+-+-++()2221212243244t x x t x x t ⎛⎛⎫=+-++++ ⎪⎝⎭⎝()()()222222248943244322929t t t t t t t +++=-++--0=.所以HE GE G H D D ⋅=⋅ ,所以cos0cos0HE G G E D DH = 即||||||||GD HD GE HE =.关键点睛:本题第二问不能直接计算长度,否则计算量过大,而是转化为证明向量数量积之间的关系,采取设)E t ,从而得到直线DE 方程,再使用经典的联立法,得到韦达定理式,然后证明0HE GE G D D H ⋅-⋅= 即可.21.设()()21031x Q x x ax b -=-++,其中()Q x 是关于x 的多项式,a ,b ∈R .(1)求a ,b 的值;(2)若28ax b +=,求103x -除以81的余数.【正确答案】(1)10a =,12b =-;(2)28.【分析】(1)利用二项式定理及已知即求;(2)由题可知x 的值,然后利用二项式定理可求.【详解】(1)由已知等式,得()()()1021131x Q x x ax b -+-=-++⎡⎤⎣⎦,∴()()()()10920189101010101010C 1C 1C 1C 1C 3x x x x -+-+⋅⋅⋅+-+-+-()()21Q x x ax b =-++,∴()()()()()8722018101010C 1C 1C 110121x x x x Q x x ax b ⎡⎤-+-+⋅⋅⋅+-+-=-++⎣⎦,∴1012x ax b -=+,∴10a =,12b =-.(2)∵28ax b +=,即101228x -=,∴4x =,∴103x -1043=-()10313=+-0101991010101010C 3C 3C 3C 3=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+-()406156441010103C 3C 3C 4035328=⨯⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯+⨯+()0615610101081C 3C 3C 4528=⨯⨯+⨯+⋅⋅⋅+++,∴所求的余数为28.22.已知函数()()1e 6x f x k x ⎡⎤=--⎣⎦(其中e 为自然对数的底数).(1)若1k =,求函数()f x 的单调区间;(2)若12k ≤≤,求证:[]0,x k ∀∈,()2f x x <.【正确答案】(1)单调递增区间为[)0,∞+,单调递减区间为(),0∞-;(2)见解析.【分析】(1)求导,当()0f x '≥时,0x ≥,当()0f x '<时,0x <,即可解决;(2)由()211e 60x x x k ⎡⎤---<⎣⎦令新函数()21()1e 6x g x x x k=---,求导,由()()1e 6k g k k k =---,再令新函数()()()1e 6k h k g k k k ==---,证明()0h k <在12k ≤≤上恒成立,即可得证.【详解】(1)由题知()()1e 6x f x k x ⎡⎤=--⎣⎦,所以()()e 1e e x x x f x k x kx '⎡⎤=+-=⎣⎦,当1k =时,()e x f x x '=,当()0f x '≥时,0x ≥,当()0f x '<时,0x <,所以()f x 的单调递增区间为[)0,∞+,单调递减区间为(),0∞-,(2)由题知12k ≤≤,[]0,x k ∀∈,()2f x x <,所以()21e 60x k x x ⎡⎤---<⎣⎦,因为12k ≤≤,所以()211e 60x x x k ⎡⎤---<⎣⎦令()21()1e 6x g x x x k=---即证()21()1e 60x g x x x k =---<在[]0,x k ∈上恒成立,因为22()e (e )x x g x x x x k k'=-=-当()0g x '=时,2ln x k=,当()0g x '≥时,2lnx k ≥,即()g x 在2ln ,k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,当()0g x '≤时,2ln x k ≤,即()g x 在20,ln k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,因为(0)70g =-<,()()1e 6k g k k k =---,令()()()1e 6k h k g k k k ==---,所以()e 1k h k k '=-,因为12k ≤≤,所以()e 10k h k k '=->,所以()h k 在[]1,2上单调递增,所以2max ()(2)e 80h k h ==-<,所以()0g k <恒成立,因为(0)0,()0g g k <<,所以()21()1e 60x g x x x k =---<在[]0,x k ∈上恒成立,即得证.。

江西省上高二中2021届高三上学期第三次月考数学(理)试题 Word版含答案

江西省上高二中2021届高三上学期第三次月考数学(理)试题 Word版含答案

上高二中2021届高三数学(理科)第三次月考试卷1.已知全集U =R ,集合{}220M x N x x =∈-≤,{}21xA y y ==+,则()U M C A ⋂=( )A .{}1B .{0,1}C .{0,1,2}D .{}01x x ≤≤2. 若p 是q ⌝的充分不必要条件,则p ⌝是q 的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 3.若c>b>a>0,则( ) A. log a c>log b c lnc -c a >b -cbD. a b b c >a c b b 4. 某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是( )A .新农村建设后,种植收入减少B .新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C .新农村建设后,养殖收入增加了一倍D .新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半5.已知函数()2sin f x x x =-+,若3(3)a f =,(2)b f =--,2(log 7)c f =,则,,a b c 的大小关系为( ) A .a b c << B .b c a <<C .c a b <<D .a c b <<6.已知()31ln1x f x x ++=--,则函数()f x 的图象大致为 ( ) A. B.C. D.7.下列命题中正确的共有( )个①. (0,),23x xx ∃∈+∞> ②. 23(0,1),log log x x x ∃∈<③. 131(0,),()log 2x x x ∀∈+∞> ④.1311(0,),()log 32x xx ∀∈< A .1B. 2C. 38.已知定义域为R 的函数f (x )满足f (-x )= -f (x+4),当x>2时,f (x )单调递增,如果x 1+x 2<4且(x 1-2)(x 2-2)<0,则f (x 1)+f (x 2)的值( )A .恒小于0B .恒大于0C .可能为0D .可正可负9.已知x ,y ∈R ,且满足020(0)2y ax y ax a x -≥⎧⎪-≤>⎨⎪≤⎩,若由不等式组确定的可行域的面积为1,则目标函数z =x +ay 的最大值为( ) A.32B.2C.3 10.已知函数f(x)=1+log a (x -2)(a>0,a ≠1)的图象经过定点A(m ,n),若正数x ,y 满足1m nx y+=,则2xx y y++的最小值是( ) B.10 C.5+11.已知函数y =f(x)在R 上可导且f(0)=2,其导函数f'(x)满足()()2f x f x x '-->0,对于函数g(x)=()xf x e ,下列结论错误..的是( ) A.函数g(x)在(2,+∞)上为单调递增函数 是函数g(x)的极小值点 ≤0时,不等式f(x)≤2e x 恒成立 D.函数g(x)至多有两个零点12.若关于x 的方程10x x xx em e x e+++=+有三个不等的实数解123,,x x x ,且1230x x x <<<,其中m R ∈, 71828.2=e 为自然对数的底数,则3122312x x x x x x m m m e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为( )A .eB .2eC .()42m m +D .()41m m +13.已知2'()2(2)f x x xf =+,则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 .14.奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-,当01x <≤时,()()2log 4f x x a =+,若1522f ⎛⎫=-⎪⎝⎭,则()a f a +=___________.15.设函数()(1)e x f x x =-.若关于x 的不等式()1f x ax <-有且仅有一个整数解,则正数a 的取值范围是_______.16.已知实数x ,y 满足y ≥2x>0,则92y xx x y++的最小值为 。

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2021年高二3月月考数学(理科含答案
一、选择题 (本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.直线与函数的图像相切于点,且,为坐标原点,为图像的极大值点,与轴交于点,过切点作轴的垂线,垂足为,则=( )
A.B.C.D. 2
【答案】B
2.过点(0,1)且与曲线在点(3,2)处的切线垂直的直线的方程为( ) A.B.C.D.
【答案】A
3.由曲线y=x2和直线x=0,x=1,y=t2,t∈(0,1)所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为( )
A.1
4 B.
1
3
C.
1
2
D.
2
3
【答案】A
4.曲线在处的切线方程为( ) A.B.
C.D.
【答案】A
5.过曲线()上横坐标为1的点的切线方程为( )
A.B.C.D.
【答案】B
6.设,则( )
A.B.C.D.
【答案】D
7.已知函数在R上可导,且,则函数的解析式为( )
A.B.C.D.
【答案】B
8.设函数,其中为取整记号,如,,.又函数,在区间上零点的个数记为,与图像交点的个数记为,则的值是( )
A.B.C.D.
【答案】A
9.曲线在点 (3,27) 处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是( ) A.45 B.35 C. 54 D. 53
【答案】C
10.若,则的导数是( )
A.B.
C.D.
【答案】A
11.曲线在点处的切线与直线垂直,则实数的值为( )
A.2 B.C.D.
【答案】A
12.一个物体的运动方程为其中的单位是米,的单位是秒,那么物体在秒末的瞬时速度是( )
A.5米/秒B.米/秒C.7米/秒D.米/秒
【答案】A
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)
13.____________.
【答案】
14.若点是曲线上一点,且在点处的切线与直线平行,则点的横坐标为____________
【答案】1
15.曲线在点处的切线的倾斜角为 。

【答案】
16.已知函数,若在区间内任取两个不同实数,不等式恒成立,则实数的取值范围是 .
【答案】
三、解答题 (本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.某商品每件成本9元,售价为30元,每星期卖出432件,如果降低价格,
销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值(单位:元)的平方成正比,已知商品单价降低2元时,一星期多卖出24件。

(1)将一个星期的商品销售利润表示成的函数;
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大。

【答案】(1)设商品降价元,则多卖的商品数为,若记商品在一个星期的获利为, 则依题意有22()(309)(432)(21)(432)f x x kx x kx =--+=-+,
又由已知条件,,于是有, 所以32()61264329072[030]f x x x x x =-+-+∈,,。

(2)根据(1),我们有2()1825243218(2)(12)f x x x x x '=-+-=---。

故时,达到极大值.因为,,所以定价为元能使一个星期的商品销售利润最大。

18.已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)若对,,都有,求的取值范围。

【答案】 (1),令得
当时,在和上递增,在上递减;
当时,在和上递减,在上递增
(2) 当时,;所以不可能对,都有;
当时有(1)知在上的最大值为,所以对,都有即,故对,都有时,的取值范围为。

19.某化工企业生产某种产品,生产每件产品的成本为3元,根据市场调查,预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时,一年的产量为(11 – x)2万件;
若该企业所生产的产品能全部销售,则称该企业正常生产;但为了保护环境,用于污染治理的费用与产量成正比,比例系数为常数a (1≤a≤3).
(Ⅰ)求该企业正常生产一年的利润L (x)与出厂价x的函数关系式;
(Ⅱ)当每件产品的出厂价定为多少元时,企业一年的利润最大,并求最大利润.【答案】(Ⅰ)依题意,L (x) = (x – 3 ) (11 – x)2– a (11 – x)2
= (x – 3 – a) (11 – x)2,x∈[7,10].
(Ⅱ)因为L′(x) = (11 – x)2– 2 (x – 3 – a) (11 – x) = (11 – x ) (11 – x – 2x + 6 + 2a)
= (11 – x )(17 + 2a – 3x).
由L′(x) = 0,得x = 11[7,10]或x = .
∵1≤a≤3,∴.
在x = 的两侧L′(x)由正变负,
故①当,即1≤a≤2时,L′(x)在[7,10]上恒为负,∴L (x)在[7,10]上为减函数.
∴[L (x)]
= L (7) = 16 (4 – a).
max
= L
②当7,即2<a≤3时, [L (x)]
max
即1≤a≤2时,则当每件产品出厂价为7元时,年利润最大,为16 (4 – a)
万元.当2<a≤3时,则每件产品出厂价为元时,年利润最大,为(8 – a)3万元.20.已知.
(1)求函数的单调区间;
(2)求函数在上的最小值;
(3)对一切的,恒成立,求实数的取值范围.
【答案】
(2) (ⅰ)0<t<t+2<,t无解
(ⅱ)0<t<<t+2,即0<t<时,
(ⅲ),即时,,
(2)由题意: 即
可得
设,

令,得(舍)
当时,;当时,
当时,取得最大值, =-2
.
的取值范围是.
21.某商店经销一种奥运会纪念品,每件产品的成本为30元,并且每卖出一件
产品需向税务部门上交元(为常数,2≤a≤5 )的税收。

设每件产品的售价为x元(35≤x≤41),根据市场调查,日销售量与(e为自然对数的底数)成反比例。

已知每件产品的日售价为40元时,日销售量为10件。

(1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式;
(2)当每件产品的日售价为多少元时,该商品的日利润L(x)最大,并求出L (x)的最大值。

【答案】(1
(2)
①当2≤a≤4时,33≤a+31≤35,当35 <x<41时,
∴当x=35时,L(x)取最大值为
②当4<a≤5时,35≤a+31≤36,
易知当x=a+31时,L(x)取最大值为
综合上得
22.已知函数在处取得极值,记点.
⑴求的值;
⑵证明:线段与曲线存在异于、的公共点;
【答案】解法一:∵,依题意,
∴,(2分)
由,得
令,的单调增区间为和,
,单调减区间为
所以函数在处取得极值。


所以直线的方程为
由得
令,易得,
而的图像在内是一条连续不断的曲线,故在内存在零点,这表明线段与曲线有异于的公共点。

解法二:同解法一,可得直线的方程为
由得
解得
所以线段与曲线有异于的公共点。

29165 71ED 燭37649 9311 錑35947 8C6B 豫933992 84C8 蓈V33099 814B 腋35501 8AAD 読33268 81F4 致34077 851D 蔝24700 607C 恼u 39966 9C1E 鰞。

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