中考数学复习专题五：统计与概率(通用)

中考数学复习专题 统计与概率 【考点聚焦】 统计与概率主要是研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，它通过对数据收集、整理、描述和分析以及对事件发生可能性的刻画，来帮助人们做出合理的决策．随着社会的不断发展，统计与概率的思想方法也越来越重要．因此，统计与概率知识是各地中考重点考查内容之一． 1．能根据具体的实际问题或者提供的资料，运用统计的思想收集、整理和处理一些数据，并从中发现有价值的信息，在中考中多以图表阅读题的形式出现． 2．了解总体、个体、样本、平均数、加权平均数、中位数、众数、极差、方差、频数、频率等概念，并能进行有效的解答或计算． 3．能够对扇形统计图、列频数分布表、画频数分布直方图和频数折线图等几种统计图表进行具体运用，并会根据实际情况对统计图表进行取舍， 4．在具体情境中了解概率的意义；能够运用列举法（包括列表、画树状图）求简单事件发生的概率．能够准确区分确定事件与不确定事件． 5．加强统计与概率的联系，这方面的题型以综合题为主，将逐渐成为新课标下中考的热点问题． 【热点透视】 热点1：通过丰富的实例，感受抽样的必要性，能指出总体、个体、样本，通过实例体会用样本估计总体的思想，能用样本的平均数、方差来估计总体的平均数和方差． 例1 （2020娄底）去年娄底市有7.6万学生参加初中毕业会考，为了解这7.6万名学生的数学成绩，从中抽取1 000名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ） （A）这1 000名考生是总体的一个样本 （B）7.6万名考生是总体 （C）每位考生的数学成绩是个体 （D）1 000名学生是样本容量 分析：在这个问题中，样本应是“1 000名考生的数学成绩”而不是“1 000名考生”， 所以（A）不正确， 同样总体是指“7.6万名考生的数学成绩”这一数量指标，而不是“7.6万名考生”这个具体对象，所以（B）不正确，样本容量是样本中个体的数目，故样本容量是1 000，（D）显然不正确． 解：选（C）． 点评：总体，个体，样本，样本容量是统计里的重要概念，用样本估计总体是统计的基本思想方法，也是一个重要的考点． 热点2：在具体情境中计算平均数、加权平均数、众数、中位数；根据具体问题，能选择合适的统计量表示数据的集中趋势． 例2 （2020长沙）某校社会实践小组八位成员上街卖报，一天的卖报数如下表： 成员 A B C D EE F G H 卖报数（份） 25 28 29 28 27 28 32 25 则卖报数的众数为（ ） （Ａ）25 （Ｂ）26 （Ｃ）27 （Ｄ）28 分析：本题考查如何确定众数，观察发现表中卖报数为28份的最多，为3人，故众数为28． 解：选（D）． 点评：确定众数的方法是找该组数据中出现次数最多的数，如果有多个数出现的次数相同，那这些出现次数相同的数都是这组数据的众数；平均数、众数、中位数及其应用，在中考试卷中它们有机地交汇于实际情境中，考查应用意识． 热点3：会用条形统计图、折线统计图、扇形统计图直观表示数据，能从统计图中获得所需要的信息回答相关问题是最常见的题型之一． 例3 （2020郴州）“农民也可以报销医疗费了！”这是某市推行新型农村合作医疗的成果．村民只要每人每年交10元钱，就可以加入合作医疗，每年先由自己支付医疗费，年终时可得到按一定比例返回的返回款．这一举措极大地增强了农民抵御大病风险的能力． 小华与同学随机调查了他们乡的一些农民，根据收集到的数据绘制了如图1的统计图．

根据以上信息，解答以下问题： （1）本次调查了多少村民，被调查的村民中，有多少人参加合作医疗得到了返回款？ （2）该乡若有10 000村民，请你估计有多少人参加了合作医疗？要使两年后参加合作医疗的人数增加到9 680人，假设这两年的年增长率相同，求这个年增长率． 分析：由条形统计图，可看出共调查了300个村民；从扇形统计图，可以看出占2.5%，即参加合作医疗得到返回款的为6人． 解：（1）240＋60＝300（人），240×2.5％＝6（人）． （2）因为参加合作医疗的百分率为24030080％， 所以估计该乡参加合作医疗的村民有：10 000×80％＝8 000（人）． 设年增长率为x，由题意知28000(1)9680x， 解得10.1x，22.1x（舍去）， 即年增长率为10％． 答：共调查了300人，得到返回款的村民有6人，估计有8 000人参加了合作医疗，年增长率为10％． 点评：条形统计图和扇形统计图是一种基本的统计图表，通过条形统计图可以看到各个对象或多个因素的绝对统计数据，能反应具体的数据；通过扇形统计图可清楚地表示出各部分数量占总量的百分比．本题背景新颖，首先考查了同学们的“图表”阅读能力，其次考查同学们根据图表中反映出的数据解答有关问题的能力． 热点4：通过实例理解频数、频率的概念，了解频数分布的意义和作用，会列频数分布表，画频数分布直方图和频数折线图，并能解决简单的实际问题； 例4 （2020湘潭）某中学为促进课堂教学，提高教学质量，对七年级学生进行了一次“你最喜欢的课堂教学方式”的问卷调查．根据收回的问卷，学校绘制了“频率分布表”和“频数分布条形图”（如图2）．请你根据图表中提供的信息，解答下列问题． 频率分布表： 代号 教学方式 最喜欢的频数 频率 1 老师讲，学生听 20 0.10 2 老师提出问题，学生探索思考 100 3 学生自行阅读教材，独立思考 30 0.15 4 分组讨论，解决问题 0.25

（1）补全“频率分布表”； （2）在“频数分布条形图”中，将代号为“4”的部分补充完整； （3）你最喜欢以上哪一种教学方式或另外的教学方式，请提出你的建议，并简要说明理由．（字数在20字以内） 分析：本题背景材料来源于同学们的生活实际，可从仔细阅读频率分布表和频数分布条形图中获取重要信息来解决问题． 解：（1）频数：50； 频率：0.5； （2）略； （3）答案不惟一（略）． 点评：频数、频率、频数分布表，频数分布直方图是重要考点，本题既考查了同学们对统计图表的应用，各种统计量的计算掌握情况，又考查了解释统计结果及根据结果做出简单判断的能力，同时还为同学们留有个性化的思考和创新的空间． 热点5：考查极差和方差的意义和计算方法，并会用它们表示数据的离散程度 例5 （2020岳阳）某地统计部门公布最近五年国民消费指数增长率分别为8.5%，9.2%，9.9%，10.2%，9.8%．业内人士评论说：“这五年消费指数增长率之间相当平稳”，从统计角度看，“增长率之间相当平稳”说明这组数据的（ ）比较小． （A）方差 （B）平均数 （C）众数 （D）中位数 分析：由题可知，判断“增长率之间是否相当平稳”，是考查数据的波动大小（离散程度）． 解：选（A）． 点评：统计中，数据的代表比较多，如平均数、众数、中位数、方差、极差、频数、频率等等，它们表示的意义各不相同，我们应抓住它们的本质．对统计概念的掌握一直以来都是中考的考点，新课标下的中考也不例外． 热点6：会判断一个事件是确定事件（必然事件和不可能事件）还是不确定事件 例6 （2020张家界）下列事件中是必然事件的是（ ） （A）明天我市天气晴朗 （B）两个负数相乘，结果是正数 （C）抛一枚硬币，正面朝下 （D）在同一个圆中，任画两个圆周角，度数相等 分析：此题主要考查对确定事件与不确定事件的了解和掌握，准确对几类事件概念的理解是解决此题的关键． 解：选（Ｂ）． 点评：这类题是基础题，只要弄清概率的基本概念，不难正确解决． 热点7：理解概率的意义，会求一些事件的概率；会运用列举法（列表、画树状图）计算事件发生的概率，并能利用它们解决实际问题 例7 （2020怀化）“六一”儿童节前夕，我市某县“关心下一代工作委员会”决定对品学兼优的“留守儿童”进行表彰，某校八年级8个班中只能选两个班级参加这项活动，且8（1）班必须参加，另外再从其它班级中选一个班参加活动．8（5）班有学生建议采用如下的方法：将一个带着指针的圆形转盘分成面积相等的4个扇形，并在每个扇形上分别标上1，2，3，4四个数字，转动转盘两次，将两次指针所指的数字相加，（当指针指在某一条等分线上时视为无效，重新转动）和为几就选哪个班参加，你认为这种方法公平吗？请说明理由． 分析：本例是判断游戏公平的题，它的关键是正确求出概率，而后看它们获胜的概率是否相等． 解：方法不公平． 用表格说明：

所以，八（2）班被选中的概率为：116，八（3）班被选中的概率为：21168，八（4）班被选中的概率为：316，八（5）班被选中的概率为：41164，八（6）班被选中的概率为：316，八（7）班被选中的概率为：21168，八（8）班被选中的概率为：116，所以这种方法不公平． 点评：判断游戏是否公平的（或者奖项设置是否合理）原则是双方获胜的概率是否相等，公平的游戏机会是相等的；这类题既可以考查同学们正确掌握求概率方法的程度，也可以考查同学们运用概率思想和知识解决实际问题的能力．无论是强化应用意识，还是培养综合能力，都是有价值的． 【考题预测】 1．我市某一周的最高气温统计如下表： 最高气温（℃） 25 26 27 28 天数 1 1 2 3 则这组数据的中位数与众数分别是（ ） （A）27，28 （B）27.5，28 （C）28，27 （D）26.5，27 2．将五张分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、等腰梯形、正六边形的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张卡片，图形一定是中心对称图形的概率是（ ） （Ａ）15 （Ｂ）25 （Ｃ）35 （Ｄ）45 3．在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是（ ） （A）12 （B）9 （C）4 （D）3 4．随着中国经济的高速发展，股市持续上涨，到2020年5月28日止，股市的开户人数已达到1亿人，同日对股民的市场抽样调查如图3所示，据此估计当日对后市看涨的股民为_________万人． 5．据统计，某州今年参加初三毕业会考的学生为46 000人．为了了解全州初三考生毕业会考数学考试情况，从中随机抽取了500名考生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，样本容量是________． 6．某市篮球队到市一中选拔一名队员．教练对王亮和李刚两名同学进行5次3分投篮测试，每人每次投10个球，图4记录的是这两名同学5次投篮中所投中的个数．