减治法

第5章减治法（Decrease and Conquer）

减治法的基本思想

规模为n的原问题的解与较小规模（通常是n/2）的子问题的解之间具有关系：

（1）原问题的解只存在于其中一个较小规模的子

问题中；

（2）原问题的解与其中一个较小规模的解之间存

在某种对应关系。

由于原问题的解与较小规模的子问题的解之

间存在这种关系，所以，只需求解其中一个

较小规模的子问题就可以得到原问题的解。

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减治法的基本思想

一旦建立了这种关系，

就可以从顶至下（递归），

也可以从底至上（非递归）的来运用

Example, n!

A top down (recursive) solution

A bottom up (iterative) solution

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减治法的类型

减治法有三种变种：

1)减去一个常量

2)减去一个常数因子

3)减去的规模是可变的gcd（m, n）4

减（一）治技术

a problem of size n

subproblem

of size n-1

a solution to the

subproblem

e.g., n!

a solution to

the original problem

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减(半) 治技术

a problem of size n

subproblem

of size n/2

a solution to the

subproblem

e.g., Binary search

a solution to

the original problem

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7

典型的分治法

subproblem 2 of size n /2

subproblem 1

of size n /2a solution to

subproblem 1 a solution to

the original problem

a solution to subproblem 2

a problem of size n

e.g., mergesort

减治与分治的区别

考虑以下指数问题: 计算a n

减一法

Bottom-up: iterative (brute Force) Top-down:recursive

分治法:

减常因子法:a n= a*a*a*a*...*a

a n= a n-1* a if n > 1

= a if n = 1

a n= a ?n/2 ?* a ?n/2?if n > 1

= a if n = 1

a n = (a n/2 ) 2if n is even and positive

= (a(n-1)/2 ) 2 * a if n is odd and > 1 = a if n = 1

O (log

2

n) O (n log

2

n)

8

9

1

11)2/(0)(>=???+=n n n T n T 所以，通常来说，应用减治法处理问题的效率是很高的，一般是O (log 2n

)数量级。

减治法只对一个子问题求解，并且不需要进行解的合并。应用减治法（例如减半法）得到的算法通常具有如下递推式：

5.1 插入排序Play card

如何排序手中的扑克牌？

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算法示例

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插入排序: 迭代实现

算法InsertionSortIter(A[0..n-1])

//An iterative implementation of insertion sort

//Input: An array A[0..n-1] of n orderable elements

//Output: Array A[0..n-1] sorted in nondecreasing order

for i ?1 to n –1 do// i: the index of the first element of the unsorted part.

key = A[i]

for j ?i –1 to 0 do// j: the index of the sorted part of the array if (key< A[j])//compare the key with each element in the sorted part A[j+1] ?A[j]

A[j +1] ?key//insert the key to the sorted part of the array

算法是否正确?

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插入排序：递归实现ALGORITHM InsertionSortRecur(A[0..n-1], n-1)

//A recursive implementation of insertion sort

//Input: An array A[0..n-1] of n orderable elements

//Output: Array A[0..n-1] sorted in nondecreasing order

if n > 1

InsertionSortRecur(A[0..n-2], n-2)

Insert(A[0..n-2], n-1) //insert A[n-1] to A[0..n-2]

ALGORITHM Insert(A[0..m-1], m)

//Insert A[m] to the sorted subarray A[0..m-1] of A[0..n-1]

//Input: A subarray A[0..m] of A[0..n-1]

//Output: Array A[0..m] sorted in nondecreasing order

key = A[m]

for j ?m –1 to 0 do

if (key< A[j])

A[j+1] ?A[j]

else

break A[j +1] ?key 有问题么?

Index of the element/key to be inserted.

Index of the last element

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算法效率分析

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图的遍历Graph Traversal

许多实际问题要求系统的处理图的所有顶点和边

G = < V , E >

图的遍历算法:

深度优先查找Depth-first search

广度优先查找Breadth-first search

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5.2.1 深度优先查找

基本思想

traverse “deeper”whenever possible.

将当前顶点标记为已访问。

每次迭代，算法处理与当前顶点邻接的未访问顶点，如果存在多个邻居，则根据顶点的字母顺序来选择顶点。

当到达一个死端（一个顶点的所有邻接顶点都已经被访问），算法沿来路后退一步（一条边），并尝试继续从该处访问未访问的顶点，当算法后退到起始顶点，且起始顶点也为死端时，算法终止。

与树的前序遍历很相似

用栈来跟踪深度查找的操作比较方便.

第一次访问一个顶点时将其入栈.

当顶点成为死端的时候出栈

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Example –无向图

深度遍历：

给出顶点的访问（入栈）顺序和出栈顺序.a b e f c d g h order pushed onto stack: a b f e g c d h

order popped from stack: e f h d c g b a

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深度优先查找(DFS)Pseudocode for Depth-first-search of graph G=(V,E)dfs(v )//Use depth-first to visit a connected component starting //from vertex v.count ?count + 1

mark v with count //visit vertex v

for each vertex w adjacent to v do if w is marked with 0 //w has not been visited yet .dfs(w)

DFS(G) // Use depth-first to visit a graph, which might // contain multiple connected components.

count ?0 //visiting sequence number

mark each vertex with 0 // (unvisited)

for each vertex v ∈V do

if v is marked with 0 //w has not been visited yet.

dfs(v)

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5.2.2 广度优先查找(BFS)

Prim’s最小生成树算法的原型Archetype

Dijkstra’s最短路径算法原型

基本思想

Traverse “wider”whenever possible.

将当前顶点标记为已访问

访问当前顶点的所有邻接顶点

在访问k+1层的任一顶点之前访问k层的所有顶点

类似树的逐层遍历

BFS采用队列来跟踪操作

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