高中数学椭圆经典课件讲课讲稿
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《椭圆及其标准方程》课件
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《椭圆及其标准方 程》ppt课件
目 录
• 椭圆的定义 • 椭圆的方程 • 椭圆的性质 • 椭圆的图像 • 椭圆的实际应用
01
椭圆的定义
椭圆的几何定义
01
椭圆是由平面内两个定点F1、F2 的距离之和等于常数（常数大于 F1、F2之间的距离）的点的轨迹 形成的图形。
02
两个定点F1、F2称为椭圆的焦点 ，焦点的距离c满足关系式： c²=a²-b²，其中a为椭圆长轴半径 ，b为短轴半径。
椭圆的范围
总结词
椭圆的范围是指椭圆被坐标轴所限制的范围。
详细描述
这意味着椭圆永远不会出现在坐标轴之外。在x轴上，椭圆的范围是从-a到a；在y轴上，椭圆的范围是从-b到b。 其中a和b是椭圆的长轴和短轴的半径。
椭圆的顶点
总结词
椭圆的顶点是指椭圆与坐标轴的交点 。
详细描述
椭圆的顶点是椭圆与x轴和y轴的交点 。这些点是椭圆的边界点，并且它们 位于椭圆的长轴和短轴上。具体来说 ，椭圆的顶点是(-a,0)，(a,0)，(0,-b) 和(0,b)。
小和形状。
平移变换
将椭圆在坐标系中移动，可以实现 椭圆的平移变换。平移变换不会改 变椭圆的大小和形状，只会改变椭 圆的位置。
旋转变换
通过旋转椭圆，可以实现椭圆的旋 转变换。旋转变换会改变椭圆的方 向，但不会改变椭圆的大小和形状 。
椭圆的图像应用
天文学
在天文观测中，行星和卫星的轨道通常可以用椭圆来近似 描述。通过研究椭圆的性质，可以更好地理解天体的运动 规律。
焦点位置
离心率
定义为c/a，其中c是焦点到椭圆中心 的距离，a是椭圆长轴的半径。离心率 越接近0，椭圆越接近圆；离心率越 大，椭圆越扁。
椭圆的简单几何性质ppt课件
由 e 1 ，得 1 k 1 ，即 k 5 ．
2
94
4
∴满足条件的 k 4 或 k 5 ．
4
例3：酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到 距地球表面近地点(离地面 近的点)高度约200km, 远地点(离地面最远的点)高度约350km的椭圆轨 道(将地球看作一个球，其半径约为6371km),求 椭圆轨道的标准方程。(注:地心(地球的中心)位
2.椭圆的标准方程
标准方程 图形
焦点在x轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
y P
F1 O F2
x
焦点在y轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
y
F2
P
O
x
F1
焦点坐标 a、b、c 的关系 焦点位置的判断
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
分别叫做椭圆的长轴和短轴。 A1
o
A2 x
B2(0,-b)
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？ 焦点落在椭圆的长轴上
椭圆的简单几何性质
长轴：线段A1A2； 长轴长
短轴：线段B1B2； 短轴长
注意
焦距
|A1A2|=2a |B1B2|=2b |F1F2| =2c
y
B2(0,b)
①a和b分别叫做椭圆的 A1 (-a, 0)
b
a
A2 (a, 0)
长半轴长和短半轴长；
F1 a
o c F2 x
② a2=b2+c2，|B2F2|=a；
B1(0,-b)
高中数学课件圆锥曲线基本知识-椭圆课件.ppt
2024/9/27
15
练习 3
椭圆 4x2 y2 16
长轴长是 短轴长是 离心率是 焦点坐标 准线方程
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16
练习 4
椭圆
x2 y2 1 a8 9
的离心率是0.5，求a的值？
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17
练习 5
假设椭圆x2行于x轴，那么m的
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7
练习 7
过点〔3，-2〕且与椭圆 4x2+9y2=36有相同焦点的 椭圆方程是
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8
练习 8
椭圆x+2 4y 2=36的弦被点〔4， 2〕所平分，那么此弦所在 的直线方程是
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9
练习 9
P(x,y)是椭圆4x2+9y2 =36 上的动点，定点A(a,0) (o<a<3),|AP|的最小值是1， 那么a的值为
P x
(a>b>0)
12
椭圆中的根本元素
长轴：2a 短轴：2b 焦距：2c 离心率：e=
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13
练习 1
过椭圆 4x2 y2 16的一个
焦点F1的直线与椭圆交于A、 B两点，F2为椭圆的另一个焦 点，那么三角形ABF2的周长 是
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14
练习 2
假设方程x2 ky2 2 表示焦 点在y轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是
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10
椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和 等于常数〔大于|F1F2|〕的点的轨迹 叫做椭圆
到一个定点的距离和它到一条定 直线的距离的比是常数e (0<e<1) 的点的轨迹叫做椭圆
3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(共34张PPT).ppt
焦点在x轴上：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
焦点在y轴上：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
O
x
其中, PF1 PF2 2a, F1F2 2c,c2 a2 b2.
问题4：若焦点F1、F2 在y轴上，且F1(0,-c)，F2 (0,c)，a,b的意义同上， 则椭圆的方程是什么？
F1(c,0), F2(c,0) F1(0,c), F2 (0,c)
概念辨析1：椭圆的定义
1.命题甲: 动点P到两定点A、B的距离之和| PA | | PB | 2a(a为常数,a 0)
命题乙: 动点P的轨迹是椭圆.
则命题甲是命题乙的___B____条件.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
甲 / 乙 乙甲
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若两定点F1, F2,且 F1F2 10,则满足下列条件的动点P 的轨迹是什么？ ① PF1 PF2 10; 线段F1F2 ② PF1 PF2 16; 椭圆 ③ PF1 PF2 6. 不存在
1(a
b 0),
(法1) 2a
22 3
2
5
22 3 5 2
( 15
3)2
( 15
3)2 2 15,
a 15,b2 15 5 10,方程 y2 x2 1为所求.
15 10
(法2)
代入(2,3)得
9 a2
4 b2
1,
又b2
a2
5,
联立解得a2
15或3(3
设为 y2
a2
x2
b2
1(a
b 0)
椭圆的几何性质优秀课件公开课
切线斜率与法线斜率互为相反数的倒数。
3
切线、法线与椭圆关系
切线、法线都与椭圆在切点处有且仅有一个公共 点。
应用举例：求解相关问题
求给定点的切线方程
给定椭圆上一点，求该点的切线方程。
求给定斜率的切线方程
给定椭圆的方程和切线的斜率，求切线的 方程。
求椭圆与直线的交点
利用切线、法线解决最值问题
给定椭圆和直线的方程，求它们的交点坐 标。
加空间的变化和美感。
椭圆在物理学中的应用
天体运动轨道
椭圆是描述天体运动轨道的重要几何形状之一， 如行星绕太阳的轨道就是椭圆形的。
光学性质
椭圆的光学性质也被广泛应用于物理学中，如椭 圆形的透镜、反射镜等。
电磁学
在电磁学中，椭圆也被用于描述电场和磁场的分 布。
椭圆在工程学中的应用
机械工程
01
椭圆在机械工程中应用广泛，如椭圆形的齿轮、轴承等机械零
工程学
在工程学中，椭圆也经常被用来描述一些物体的形状或运动轨迹。例如，一些机械零件的 截面形状就是椭圆形的；在航空航天领域，飞行器的轨道也可能是椭圆形的。
数学及其他领域
在数学领域，椭圆作为一种重要的几何图形，经常被用来研究一些数学问题。此外，在物 理学、经济学等其他领域，椭圆也有着广泛的应用。
02
从椭圆外一点向椭圆引切线，切线长 相等。这个定理在解决与椭圆切线有 关的问题时非常有用。
03
椭圆上点与焦点关系
点到两焦点距离之和为定值
椭圆上任意一点到两 个焦点的距离之和等 于椭圆的长轴长。
通过该性质，可以推 导出椭圆的其他几何 性质。
这是椭圆定义的基础 ，也是椭圆最基本的 几何性质之一。
点到两焦点距离差与长轴关系
3
切线、法线与椭圆关系
切线、法线都与椭圆在切点处有且仅有一个公共 点。
应用举例：求解相关问题
求给定点的切线方程
给定椭圆上一点，求该点的切线方程。
求给定斜率的切线方程
给定椭圆的方程和切线的斜率，求切线的 方程。
求椭圆与直线的交点
利用切线、法线解决最值问题
给定椭圆和直线的方程，求它们的交点坐 标。
加空间的变化和美感。
椭圆在物理学中的应用
天体运动轨道
椭圆是描述天体运动轨道的重要几何形状之一， 如行星绕太阳的轨道就是椭圆形的。
光学性质
椭圆的光学性质也被广泛应用于物理学中，如椭 圆形的透镜、反射镜等。
电磁学
在电磁学中，椭圆也被用于描述电场和磁场的分 布。
椭圆在工程学中的应用
机械工程
01
椭圆在机械工程中应用广泛，如椭圆形的齿轮、轴承等机械零
工程学
在工程学中，椭圆也经常被用来描述一些物体的形状或运动轨迹。例如，一些机械零件的 截面形状就是椭圆形的；在航空航天领域，飞行器的轨道也可能是椭圆形的。
数学及其他领域
在数学领域，椭圆作为一种重要的几何图形，经常被用来研究一些数学问题。此外，在物 理学、经济学等其他领域，椭圆也有着广泛的应用。
02
从椭圆外一点向椭圆引切线，切线长 相等。这个定理在解决与椭圆切线有 关的问题时非常有用。
03
椭圆上点与焦点关系
点到两焦点距离之和为定值
椭圆上任意一点到两 个焦点的距离之和等 于椭圆的长轴长。
通过该性质，可以推 导出椭圆的其他几何 性质。
这是椭圆定义的基础 ，也是椭圆最基本的 几何性质之一。
点到两焦点距离差与长轴关系
椭圆的课件ppt
椭圆的焦点性质与离心率性质的应用
焦点性质
椭圆焦点位置决定了椭圆形状，当两个焦点距离越大，椭圆越扁平；当两个焦点 距离越小，椭圆越圆。
离心率性质的应用
离心率可以用于计算椭圆形状的变化，离心率越小，椭圆越圆；离心率越大，椭 圆越扁平。
椭圆的焦点三角形与离心率三角形
焦点三角形
以椭圆中心为顶点，以两个焦点为侧顶点的三角形称为焦点三角形。
椭圆的范围与顶角
01
椭圆的范围是指椭圆上任一点到 椭圆中心的距离范围。对于标准 椭圆，这个范围是从-a到a的，其 中a是椭圆的长半轴长度。
02
椭圆的顶角是指椭圆上与两个焦 点相连的线段之间的夹角。对于 标准椭圆，这个夹角是90度。
椭圆的性质在生活中的应用
椭圆性质在生活中的应用广泛，例如在物理 学中，椭圆运动轨迹经常出现，如篮球投篮 、行星运动等；在工程学中，椭圆形状也经 常被用于建筑设计、汽车制造等方面。
转化方法
通过一些数学变换，可以将椭圆的参数方程或极坐标方程转化为另一种形式， 从而方便解的焦点与离心率
椭圆的焦点与离心率定义
椭圆焦点
椭圆的两个焦点位于长轴的端点，与椭圆中心距离相等，连 接两个焦点的线段称为焦距。
离心率定义
椭圆的离心率是指椭圆焦点到椭圆中心的距离与椭圆长轴长 度的比值。
离心率三角形
以椭圆中心为顶点，以两个焦点为侧顶点的三角形称为离心率三角形。
CHAPTER 04
椭圆的性质与运用
椭圆的对称性
椭圆的对称性是指椭圆关于坐标轴和原点都是对称的。这意味着无论从哪个方向开始，沿着坐标轴方 向移动，椭圆上的点都会以相同的形状和大小出现。
在椭圆中，与两个焦点距离之和等于定值的点构成的图形。这个定值是椭圆的长轴长度，与两个焦点 之间的距离之差等于短轴长度。
《椭圆的定义》课件
《椭圆的定义》ppt课件
• 椭圆的定义 • 椭圆的几何意义 • 椭圆的参数方程 • 椭圆的焦点与离心率 • 椭圆的面积与周长 • 椭圆的扩展知识
01
椭圆的定义
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程是：$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 是椭圆的半长轴和半短轴。
当 $a = b$ 时，椭圆变为圆；当 $a > b$ 时，椭圆为扁平椭圆；当 $a < b$ 时，椭圆为长椭圆。
这个方程描述了一个椭圆，其形状由 半长轴 $a$ 和半短轴 $b$ 的大小决 定。
椭圆的基本性质
椭圆是封闭的曲线，它有两个焦点， 分别位于长轴的端点。
椭圆上任意一点到焦点的距离与该点 到椭圆中心的距离之比是一个常数， 这个常数等于半短轴 $b$ 与半长轴 $a$ 的比值，记作 $e$，即 $e = frac{c}{a}$。
椭圆是平面内到两定点距离之差等于常数的点的轨迹：这个常数小于两定点之间的 距离。
椭圆是平面内到两定点距离之积等于常数的点的轨迹：这个常数大于两定点之间的 距离。
椭圆在日常生活中的应用
01
02
03
04
天文学
行星和卫星的轨道通常呈现椭 圆形形状，这是因为它们受到
太阳的引力作用。
物理学
粒子在磁场中的运动轨迹可能 是椭圆形。
椭圆和双曲线有一个共同的焦点 ：两点的中点。
椭圆和双曲线都可以由平面截取 圆锥面得到：一个平面与圆锥面 的母线形成的角为锐角得到椭圆 ，形成的角为直角得到双曲线。
THANKS
感谢观看
$S = pi ab$，其中a和b分别是椭圆长轴和 短轴的半径。
应用场景
• 椭圆的定义 • 椭圆的几何意义 • 椭圆的参数方程 • 椭圆的焦点与离心率 • 椭圆的面积与周长 • 椭圆的扩展知识
01
椭圆的定义
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程是：$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 是椭圆的半长轴和半短轴。
当 $a = b$ 时，椭圆变为圆；当 $a > b$ 时，椭圆为扁平椭圆；当 $a < b$ 时，椭圆为长椭圆。
这个方程描述了一个椭圆，其形状由 半长轴 $a$ 和半短轴 $b$ 的大小决 定。
椭圆的基本性质
椭圆是封闭的曲线，它有两个焦点， 分别位于长轴的端点。
椭圆上任意一点到焦点的距离与该点 到椭圆中心的距离之比是一个常数， 这个常数等于半短轴 $b$ 与半长轴 $a$ 的比值，记作 $e$，即 $e = frac{c}{a}$。
椭圆是平面内到两定点距离之差等于常数的点的轨迹：这个常数小于两定点之间的 距离。
椭圆是平面内到两定点距离之积等于常数的点的轨迹：这个常数大于两定点之间的 距离。
椭圆在日常生活中的应用
01
02
03
04
天文学
行星和卫星的轨道通常呈现椭 圆形形状，这是因为它们受到
太阳的引力作用。
物理学
粒子在磁场中的运动轨迹可能 是椭圆形。
椭圆和双曲线有一个共同的焦点 ：两点的中点。
椭圆和双曲线都可以由平面截取 圆锥面得到：一个平面与圆锥面 的母线形成的角为锐角得到椭圆 ，形成的角为直角得到双曲线。
THANKS
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$S = pi ab$，其中a和b分别是椭圆长轴和 短轴的半径。
应用场景
椭圆及其标准方程课件(公开课)
椭圆的参数方程是描述椭圆形状 和大小的一种数学表达方式，它 通过引入参数变量来表达椭圆上
的点。
参数方程通常采用极坐标或直角 坐标系中的参数方程形式，以便
更好地描述椭圆的几何特性。
参数方程在解决与椭圆相关的数 学问题时非常有用，因为它能够 直观地表达椭圆的形状和大小。
参数方程与普通方程的转换
参数方程和普通方程是描述椭圆的不 同方式，它们之间可以进行相互转换 。
普通方程转换为参数方程则需要引入 参数变量，将其表达为参数方程的形 式。
参数方程转换为普通方程需要消去参 数变量，将其转化为标准的椭圆方程 形式。
参数方程的应用
01
在几何学中，参数方程 被广泛应用于描述和分 析椭圆的形状和性质。
02
在物理学中，参数方程 可以用于描述物体的运 动轨迹，例如行星的运 动轨迹等。
03
在工程学中，参数方程 可以用于设计各种机械 零件和机构，例如轴承 、齿轮等。
04
在经济学中，参数方程 可以用于描述市场供需 关系和价格变动等。
05
椭圆的扩展知识
椭圆的扩展定义
椭圆是平面内与两个定点$F_1$和$F_2$的距离之和等于常 数且大于$F_1$和$F_2$之间距离的点的轨迹。
扩展定义中的两个定点称为椭圆的焦点，而常数等于 $F_1$和$F_2$之间的距离时，轨迹为线段。
光学仪器
椭球面镜是许多光学仪器 的重要元件，如显微镜和 望远镜。
02
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程推导
椭圆的标准方程推导基于平面几何和 代数知识，通过设定椭圆上的点满足 的条件，经过一系列的推导和简化， 最终得到标准方程。
推导过程中涉及了椭圆的定义、性质 和参数设定等，有助于深入理解椭圆 的几何特征和代数表达。
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25 16
的两个焦点，则|PF1|+|PF2|等于 （ D ）
A.4
B.5
C.8
D.10
解析 由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=10.
3．(2009·湖北)已知双曲线x22－y22＝1 的准线过椭
圆x42＋by22＝1(b>0)的焦点，则 b 等于
(C )
A．3
B. 5
C. 3
D. 2
解析 双曲线x22－y22＝1 的准线方程为 x＝±1. 又椭圆的焦点为(± 4－b2，0)，故 4－b2＝1. ∴b2＝3，∴b＝ 3.
2．椭圆的两种标准方程 xa22＋by22＝1，ay22＋xb22＝1. (1)a>b>0；(2)a2－b2＝c2.
3.椭圆的几何性质
标准 方程
x2 a2
by22
1(ab0)
y2 x2 a2 b2 1(ab0)
图形
范围 对称性
顶点
-a≤x≤a -b≤y≤b
对称轴：坐标轴
A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)
-b≤x≤b -a≤y≤a
对称中心：原点
A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0)
性
轴
质
焦距
离心率
a,b,c的关 系
准线
长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b
|F1F2|=2c
e c (0,1) a
x a2 c
c2=a2-b2
y a2 c
4.参数方程
椭圆xa22＋by22＝1 (a>b>0)的参数方程是
故动圆圆心的轨迹方程为 x2 y2 1.
25 16
探究提高 平面内一动点与两个定点F1、F2的距 离之和等于常数2a，当2a>|F1F2|时,动点的轨迹 是椭圆；当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是线段F1F2； 当2a<|F1F2|时，轨迹不存在. 知能迁移1 已知圆（x+2）2+y2=36的圆心为M，
解 两定圆的圆心和半径分别为O1(-3，0),r1=1； O2(3,0)，r2=9.设动圆圆心为M(x，y),半径为R， 则由题设条件可得|MO1|=1+R，|MO2|=9-R. ∴|MO1|+|MO2|=10. 由椭圆的定义知：M在以O1、O2为焦点的椭圆上, 且a=5，c=3. ∴b2=a2-c2=25-9=16，
a x 2 2 b y 2 2 1 (a b 0 )或 a y 2 2 b x 2 2 1 (a b 0 ),
由已知条件得
2a 53
(2c)2
52
, 32
解得a=4,c=2,b2=12.
故所求方程为 x2y2 1或y2x2 1. 1612 1612
方法二
设所求椭圆方程为
x2 a2
by22
1(ab0)
x＝acos θ y＝bsin θ
(θ 为参数)．
基础自测
1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离
心 C. 1
D. 3
3
解析
设长轴长、3 短轴长分2 别为2a、22b,则2a=4b,
eca2b2 4b2b23.
aa
2b 2
2.设P是椭圆 x2 y2 1 上的点.若F1，F2是椭圆
4.已知椭圆C的短轴长为6，离心率为 4 ，则椭圆
5
C的焦点F到长轴的一个端点的距离为 （ C ）
A.9
B.1
C.1或9
D.以上都不对
b 3
解析
由题意得
c a
4, 5
∴a=5，c=4.
∴a+c=9，a-c=1.
5.椭圆的两个焦点为F1、F2，短轴的一个端点为A，
且 F1AF2是顶角为120°的等腰三角形，则此
或y2 a2
bx22
1(ab0).
两个焦点分别为F1，F2.
由题意知2a=|PF1|+|PF2|=8,∴a=4.
在方程
x2 a2
y2 b2
1
中，令x=±c得|y|= b 2 a
,
在方程
y2 a2
x2 b2
1
中，令y=±c得|x|= b 2 a
,
依题意有 b 2 =3，∴b2=12.
a ∴椭圆的方程为
（2）若 a=c ，则集合P为线段；
（3）若 a＜c，则集合P为空集.
(2)第二定义：动点 M 到定点 F 的距离和它到定直 线 l 的距离之比等于常数 e(0<e<1)，则动点 M 的轨 迹是椭圆，定点 F 是椭圆的焦点，定直线 l 叫做椭 圆的准线，常数 e 是椭圆的离心率． 这里要注意：一是动点 M 到定点的距离除以它到定 直线的距离，其商是常数 e；二是这个常数 e 的取 值范围是(0,1)；三是定点 F 不在定直线 l 上．
设A为圆上任一点，N（2，0），线段AN的垂直
平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是 （ ）
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
解析 点P在线段AN的垂直平分线上， 故|PA|=|PN|，又AM是圆的半径， ∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6＞|MN|， 由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆. 答案 B
第八章 圆锥曲线
§8.1 椭圆
基础知识 自主学习
要点梳理 1.椭圆的定义
（1）第一定义：在平面内到两定点F1、F2的距离的 和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫 椭圆 .这 两定点叫做椭圆的 焦点，两焦点间的距离叫 做焦距 . 集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}，|F1F2|=2c,其中 a＞0,c＞0，且a，c为常数： （1）若 a＞c ，则集合P为椭圆；
题型二 椭圆的标准方程 【例2】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且
P到两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直 的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程. 思维启迪
设椭圆方程为 a x2 2b y2 21或 b x2 2a y2 21(ab0)
根据题意求a,b
得方程 .
解 方法一 设所求的椭圆方程为
3
椭圆的离心率为 2 .
解析
由已知得∠AF1F2=30°，故cos
30°=
c a
，
从而e= 3 .
2
题型分类 深度剖析
题型一 椭圆的定义 【例1】一动圆与已知圆O1：（x+3)2+y2=1外切,与
圆O2：（x-3）2+y2=81内切，试求动圆圆心的轨 迹方程. 思维启迪 两圆相切时,圆心之间的距离与两圆 的半径有关,据此可以找到动圆圆心满足的条件.
x2y2 1或y2x2 1.
1612 1612
探究提高 运用待定系数法求椭圆标准方程，即设 法建立关于a、b的方程组，先定型、再定量，若位 置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要， 椭圆方程可设为mx2+ny2=1 (m＞0,n＞0,m≠n)， 由题目所给条件求出m、n即可.
的两个焦点，则|PF1|+|PF2|等于 （ D ）
A.4
B.5
C.8
D.10
解析 由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=10.
3．(2009·湖北)已知双曲线x22－y22＝1 的准线过椭
圆x42＋by22＝1(b>0)的焦点，则 b 等于
(C )
A．3
B. 5
C. 3
D. 2
解析 双曲线x22－y22＝1 的准线方程为 x＝±1. 又椭圆的焦点为(± 4－b2，0)，故 4－b2＝1. ∴b2＝3，∴b＝ 3.
2．椭圆的两种标准方程 xa22＋by22＝1，ay22＋xb22＝1. (1)a>b>0；(2)a2－b2＝c2.
3.椭圆的几何性质
标准 方程
x2 a2
by22
1(ab0)
y2 x2 a2 b2 1(ab0)
图形
范围 对称性
顶点
-a≤x≤a -b≤y≤b
对称轴：坐标轴
A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)
-b≤x≤b -a≤y≤a
对称中心：原点
A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0)
性
轴
质
焦距
离心率
a,b,c的关 系
准线
长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b
|F1F2|=2c
e c (0,1) a
x a2 c
c2=a2-b2
y a2 c
4.参数方程
椭圆xa22＋by22＝1 (a>b>0)的参数方程是
故动圆圆心的轨迹方程为 x2 y2 1.
25 16
探究提高 平面内一动点与两个定点F1、F2的距 离之和等于常数2a，当2a>|F1F2|时,动点的轨迹 是椭圆；当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是线段F1F2； 当2a<|F1F2|时，轨迹不存在. 知能迁移1 已知圆（x+2）2+y2=36的圆心为M，
解 两定圆的圆心和半径分别为O1(-3，0),r1=1； O2(3,0)，r2=9.设动圆圆心为M(x，y),半径为R， 则由题设条件可得|MO1|=1+R，|MO2|=9-R. ∴|MO1|+|MO2|=10. 由椭圆的定义知：M在以O1、O2为焦点的椭圆上, 且a=5，c=3. ∴b2=a2-c2=25-9=16，
a x 2 2 b y 2 2 1 (a b 0 )或 a y 2 2 b x 2 2 1 (a b 0 ),
由已知条件得
2a 53
(2c)2
52
, 32
解得a=4,c=2,b2=12.
故所求方程为 x2y2 1或y2x2 1. 1612 1612
方法二
设所求椭圆方程为
x2 a2
by22
1(ab0)
x＝acos θ y＝bsin θ
(θ 为参数)．
基础自测
1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离
心 C. 1
D. 3
3
解析
设长轴长、3 短轴长分2 别为2a、22b,则2a=4b,
eca2b2 4b2b23.
aa
2b 2
2.设P是椭圆 x2 y2 1 上的点.若F1，F2是椭圆
4.已知椭圆C的短轴长为6，离心率为 4 ，则椭圆
5
C的焦点F到长轴的一个端点的距离为 （ C ）
A.9
B.1
C.1或9
D.以上都不对
b 3
解析
由题意得
c a
4, 5
∴a=5，c=4.
∴a+c=9，a-c=1.
5.椭圆的两个焦点为F1、F2，短轴的一个端点为A，
且 F1AF2是顶角为120°的等腰三角形，则此
或y2 a2
bx22
1(ab0).
两个焦点分别为F1，F2.
由题意知2a=|PF1|+|PF2|=8,∴a=4.
在方程
x2 a2
y2 b2
1
中，令x=±c得|y|= b 2 a
,
在方程
y2 a2
x2 b2
1
中，令y=±c得|x|= b 2 a
,
依题意有 b 2 =3，∴b2=12.
a ∴椭圆的方程为
（2）若 a=c ，则集合P为线段；
（3）若 a＜c，则集合P为空集.
(2)第二定义：动点 M 到定点 F 的距离和它到定直 线 l 的距离之比等于常数 e(0<e<1)，则动点 M 的轨 迹是椭圆，定点 F 是椭圆的焦点，定直线 l 叫做椭 圆的准线，常数 e 是椭圆的离心率． 这里要注意：一是动点 M 到定点的距离除以它到定 直线的距离，其商是常数 e；二是这个常数 e 的取 值范围是(0,1)；三是定点 F 不在定直线 l 上．
设A为圆上任一点，N（2，0），线段AN的垂直
平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是 （ ）
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
解析 点P在线段AN的垂直平分线上， 故|PA|=|PN|，又AM是圆的半径， ∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6＞|MN|， 由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆. 答案 B
第八章 圆锥曲线
§8.1 椭圆
基础知识 自主学习
要点梳理 1.椭圆的定义
（1）第一定义：在平面内到两定点F1、F2的距离的 和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫 椭圆 .这 两定点叫做椭圆的 焦点，两焦点间的距离叫 做焦距 . 集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}，|F1F2|=2c,其中 a＞0,c＞0，且a，c为常数： （1）若 a＞c ，则集合P为椭圆；
题型二 椭圆的标准方程 【例2】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且
P到两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直 的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程. 思维启迪
设椭圆方程为 a x2 2b y2 21或 b x2 2a y2 21(ab0)
根据题意求a,b
得方程 .
解 方法一 设所求的椭圆方程为
3
椭圆的离心率为 2 .
解析
由已知得∠AF1F2=30°，故cos
30°=
c a
，
从而e= 3 .
2
题型分类 深度剖析
题型一 椭圆的定义 【例1】一动圆与已知圆O1：（x+3)2+y2=1外切,与
圆O2：（x-3）2+y2=81内切，试求动圆圆心的轨 迹方程. 思维启迪 两圆相切时,圆心之间的距离与两圆 的半径有关,据此可以找到动圆圆心满足的条件.
x2y2 1或y2x2 1.
1612 1612
探究提高 运用待定系数法求椭圆标准方程，即设 法建立关于a、b的方程组，先定型、再定量，若位 置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要， 椭圆方程可设为mx2+ny2=1 (m＞0,n＞0,m≠n)， 由题目所给条件求出m、n即可.