北京市海淀区2014届高三上学期期中考试数学(理)
海淀区高三年级第一学期期中练习数学(理科) 2013.11本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合{1,1,2}A =-，{|10}B x x =+≥，则A B = ( A ) A. {1,1,2}-B. {1,2}C. {1,2}-D.{2}2.下列函数中，值域为(0,)+∞的函数是( C )A. ()f x =B. ()ln f x x =C. ()2x f x =D.()tan f x x =3. 在ABC ∆中，若tan 2A =-，则cos A =( B )B.D.4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(0,1),(1,2),(,0)O A B C m -，若//OB AC，则实数m的值为( C )A. 2-B. 12-C.12D. 25.若a ∈R ，则“2a a >”是“1a >”的（B ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知数列{}n a 的通项公式2(313)n n a n =-，则数列的前n 项和n S 的最小值是（B ） A. 3SB. 4SC. 5SD. 6S7.已知0a >，函数2πsin ,[1,0),()21,[0,),x x f x ax ax x ⎧∈-⎪=⎨⎪++∈+∞⎩若11()32f t ->-，则实数t 的取值范围为（D ）A. 2[,0)3-B.[1,0)-C.[2,3)D. (0,)+∞8.已知函数sin cos ()sin cos x xf x x x+=，在下列给出结论中：①π是()f x 的一个周期；②()f x 的图象关于直线x 4π=对称； ③()f x 在(,0)2π-上单调递减.其中，正确结论的个数为（C ） A. 0个B.1个C. 2个D. 3个二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9.10(21)d x x +=⎰___________.210. 已知数列{}n a 为等比数列，若13245,10a a a a +=+=，则公比q =____________.2 11. 已知23log 5,23,log 2b a c ===，则,,a b c 的大小关系为____________.a b c >>12.函数π()2sin()(0,||)2f x x =+><ωϕωϕ的图象如图所示，则ω=______________，ϕ=__________.2π3,π613.已知ABC ∆是正三角形，若AC AB λ=- a 与向量AC的夹角大于90 ，则实数λ的取值范围是__________.2λ>14.定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①当[1,3)x ∈时，()1|2|f x x =--；②(3)3()f x f x =.设关于x 的函数()()F x f x a =-的零点从小到大依次为12,,,,n x x x .若1a =，则123x x x ++=；若(1,3)a ∈，则122n x x x +++= ________________.答案：14；6(31)n -三、解答题: 本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。
15.（本小题满分13分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,60A = ,32,b c=ABC S ∆=（Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求sin B 的值.解：（Ⅰ）由60A =和ABC S ∆=1sin 602bc = 分所以6bc =， --------------------------------------3分 又32,b c =所以2,3b c ==. ------------------------------------5分（Ⅱ）因为2,3b c ==,60A = ,由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得 ------------------------------------7分2222367a =+-=，即a =. ------------------------------------9分由正弦定理sin sin a bA B=可得------------------------------------11分2sin B =，------------------------------------12分所以sin B =.------------------------------------13分 16. （本小题满分14分）已知函数2π()2cos (2)14f x x x =-++.（I ）求()f x 的最小正周期；（II ）求()f x 在区间ππ[,]64-上的取值范围.解：（I ）π()cos(4)2f x x x =-+------------------------------------2分4sin 4x x =+------------------------------------4分π2sin(4)3x =+------------------------------------6分()f x 最小正周期为πT 2=，------------------------------------8分（II ）因为ππ64x -≤≤，所以ππ4π4333x -≤+≤-----------------------------------10分所以πsin(4)13x ≤+≤-----------------------------------12分所以π2sin(4)23x ≤+≤， -----------------------------------13分所以()f x 取值范围为[. ------------------------------------14分 17.（本小题满分13分）如图，已知点(11,0)A ，直线(111)x t t =-<<与函数y =的图象交于点P ，与x 轴交于点H ，记APH ∆的面积为()f t .（I ）求函数()f t 的解析式； （II ）求函数()f t 的最大值.解：（I ）由已知11,AH t PH =-= -------------------------------------1分所以APH ∆的面积为1()(111112f t t t =--<<. ---------------------4分（II ）解法1. 1'()(11)2f t t =+⨯-= -------------------------------------7分 由'()0f t =得3t =， -------------------------------------8分 函数()f t 与'()f t 在定义域上的情况下表：-----------------------------------12分所以当3t =时，函数()f t 取得最大值8. ------------------------------------13分解法2.由1()(111112f t t t =-=-<< 设2()(11)(1),111g t t t t =-+-<<， -------------------------------------6分 则2'()2(11)(1)(11)(11)(1122)3(3)(11)g t t t t t t t t t =--++-=--++=--.-------7分 函数()g t 与'()g t 在定义域上的情况下表：------------------------------------11分所以当3t =时，函数()g t 取得最大值， -----------------------------------12分所以当3t =时，函数()f t 8=.------------------------------------13分18.（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足：①20a >；②对于任意正整数,p q 都有2p q p q a a +⋅=成立.（I ）求1a 的值；（II ）求数列{}n a 的通项公式；（III ）若2(1)n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和.解：（I ）由②可得2112a a ⋅=，3122a a ⋅= -------------------------------2分由①可得12a =. -------------------------------3分（II ）由②可得112n n a a +⋅=， ------------------------------6分所以数列{}n a 的通项公式2n n a =. ------------------------------7分 （III ）由（II ）可得21(1)421n n n n b a +=+=++，易得1{4},{2}n n +分别为公比是4和2的等比数列，------------------------------8分由等比数列求和公式可得124(14)4(12)1(416)214123n n n n n S n n ++--=++=-++--.--13分19.（本小题满分14分）已知函数2()2(1)2ln (0)f x x a x a x a =-++>.（I ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （II ）求()f x 的单调区间；（III ）若()0f x ≤在区间[1,e]上恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（I ）因为1a =，2()42ln f x x x x =-+,所以2242'()(0)x x f x x x-+=>, ------------------------------1分(1)3f =-，'(1)0f =, ------------------------------3分 所以切线方程为3y =-. ------------------------------4分 (II ）222(1)22(1)()'()(0)x a x a x x a f x x x x-++--==>, ----------------------------5分由'()0f x =得12,1x a x ==, ------------------------------6分 当01a <<时，在(0,)x a ∈或(1,)x ∈+∞时'()0f x >，在(,1)x a ∈时'()0f x <,所以()f x 的单调增区间是(0,)a 和(1,)+∞，单调减区间是(,1)a ； ---------------7分 当1a =时，在(0,)x ∈+∞时'()0f x ≥，所以()f x 的单调增区间是(0,)+∞；-----8分 当1a >时，在(0,1)x ∈或(,)x a ∈+∞时'()0f x >，在(1,)x a ∈时'()0f x <.所以()f x 的单调增区间是(0,1)和(,)a +∞，单调减区间是(1,)a . ---------------10分 (III ）由（II ）可知()f x 在区间[1,e]上只可能有极小值点，所以()f x 在区间[1,e]上的最大值在区间的端点处取到，-------------------------12分即有(1)12(1)0f a =-+≤且2(e)e 2(1)e 20f a a =-++≤,解得2e 2e2e 2a -≥-. ---------------------14分20.（本小题满分13分）已知数列{}n a 的首项1,a a =其中*a ∈N ，*1*,3,,31,3,.n nn nn a a l l a a a l l +⎧=∈⎪=⎨⎪+≠∈⎩N N 令集合*{|,}n A x x a n ==∈N .（I ）若4a 是数列{}n a 中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项； （II ）求证：{1,2,3}A ⊆；（III ）当2014a ≤时，求集合A 中元素个数()Card A 的最大值.解：（I ）27,9,3；8,9,3；6,2,3. --------------------------------------3分（II ）若k a 被3除余1，则由已知可得11k k a a +=+,2312,(2)3k k k k a a a a ++=+=+；若k a 被3除余2,则由已知可得11k k a a +=+,21(1)3k k a a +=+,31(1)13k k a a +≤++；若k a 被3除余0，则由已知可得113k k a a +=,3123k k a a +≤+；所以3123k k a a +≤+，所以312(2)(3)33k k k k k a a a a a +-≥-+=-所以，对于数列{}n a 中的任意一项k a ，“若3k a >，则3k k a a +>”. 因为*k a ∈N ，所以31k k a a +-≥.所以数列{}n a 中必存在某一项3m a ≤（否则会与上述结论矛盾！）若3m a =,则121,2m m a a ++==；若2m a =,则123,1m m a a ++==,若1m a =,则122,3m m a a ++==,由递推关系易得{1,2,3}A ⊆. ---------------------------------------8分 （III ）集合A 中元素个数()Card A 的最大值为21.由已知递推关系可推得数列{}n a 满足：当{1,2,3}m a ∈时，总有3n n a a +=成立，其中,1,2,n m m m =++ .下面考虑当12014a a =≤时，数列{}n a 中大于3的各项： 按逆序排列各项，构成的数列记为{}n b ，由（I ）可得16b =或9， 由（II ）的证明过程可知数列{}n b 的项满足：3n n b b +>，且当n b 是3的倍数时，若使3n n b b +-最小，需使2112n n n b b b ++=-=-，所以，满足3n n b b +-最小的数列{}n b 中，34b =或7，且33332k k b b +=-，所以33(1)13(1)k k b b +-=-，所以数列3{1}k b -是首项为41-或71-的公比为3的等比数列，所以131(41)3k k b --=-⨯或131(71)3k k b --=-⨯，即331k k b =+或3231k k b =⨯+， 因为67320143<<，所以，当2014a ≤时，k 的最大值是6，所以118a b =，所以集合A 重元素个数()Card A 的最大值为21.---------------13分。
数学理卷·2014届北京市海淀区高三上学期期末考试(2014.01)扫描版
---------------------------------------------4 分
（Ⅱ）由题意可得点 A(−2,0), M (1, 3) , 2
------------------------------------------6 分
所以由题意可设直线 l : y = 1 x + n , n ≠ 1 .------------------------------------------7 分 2Leabharlann +1>0
，解得
a > −e2 ,-------------------9 分
所以此时 −e2 < a < 0 ；
-----------------------------------------------10 分
②当 a > 0 时， F(x), F '(x) 的情况如下表：
第 8 页 共 11 页
=
1 2
x1
+
n
−
3 2
+
1 2
x2
+n− 3 2
=1+
n −1
+
n −1
x1 − 1
x2 −1
x1 − 1 x2 − 1
= 1 + (n − 1)(x1 + x2 − 2) x1x2 − ( x1 + x2 ) + 1
=1−
(n − 1)(n + 2) n2 + n − 2
=
0，
---------------------------------13 分
所以 sin A = 1 − cos2 A = 4 ,------------------------------------7 分 5
北京市海淀区2014届高三上学期期中考试数学(文)试卷Word版含解析
第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合{1,0,1,2}A =-，{|1}B x x =≥，则A B =( )A. {2}B. {1,2}C. {1,2}-D. {1,1,2}-2.下列函数中，为奇函数的是( )A. ()f x =B. ()ln f x x =C. ()2xf x =D. ()sin f x x =3.已知向量(1,2),(,1)m =-=-a b ，且//a b ，则实数m 的值为( )A. 2-B.12-C. 12D. 2【答案】C 【解析】试题分析：因为，向量(1,2),(,1)m =-=-a b ，且//a b ，所以，11,122m m -==-，选C. 考点：平面向量的坐标运算，共线向量.4.“π6α=”是“1sin2α=”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知数列{}na的前n项和为n S，且*1110,3()n na a a n+=-=+∈N，则nS取最小值时，n的值是（）A. 3B. 4C. 5D. 66.若函数tan,0,()2(1)1,0x xf xa x xπ⎧-<<⎪=⎨⎪-+≥⎩在π(,)2-+∞上单调递增，则实数a的取值范围( )A. (0,1]B. (0,1)C. [1,)+∞ D. (0,)+∞【答案】A7.若函数()sinf x x kx=-存在极值，则实数k的取值范围是( )A. (1,1)- B. [0,1) C. (1,)+∞ D. (,1)-∞-8.已知点(1,0)B，P是函数e xy=图象上不同于(0,1)A的一点.有如下结论：①存在点P使得ABP∆是等腰三角形；②存在点P使得ABP∆是锐角三角形；③存在点P使得ABP∆是直角三角形.其中，正确的结论的个数为( )A. 0B.1C. 2D. 3【答案】B第Ⅱ卷（共90分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市第14中学2014届高三上学期期中考试数学(理)试题含答案
北京市第 14 中学 2013-2014 学年度第一学期期中测试高三数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第 1 页至第 2 页；第Ⅱ卷第 3 页至第 5 页，答题纸第7 页至第 12 页。
共 150 分，考试时间120 分钟。
请在答题纸第 7、9、 11 页左边密封线内书写班级、姓名、准考据号。
考试结束后，将本试卷的答题纸和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共 40分）一、选择题（本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．）1．已知会合 S = R，A{ x | x22x30}, B { x || x 2 |2} ，那么会合 C S (A B) 等于（）A．{ x | 0 x 3}B．{ x | 1 x 2}C．{ x | x 0,或x 3}D．{ x | x1,或 x 2}2. 以下说法错误的选项是（）A．“x 1”是“x 1 ”的充足不用要条件B．若p且q为假命题，则p、 q 均为假命题C．命题“若x24x30 ，则 x3”的逆否命题是：“若 x 3，则 x2 4 x30 ”D．命题p：“x R ，使得 x2x10 ”，则 p ：“x R ，均有 x2x10 ”3．若向量a、b知足a +b =（ 2， - 1），a =（ 1， 2），则向量a与b的夹角等于（）A．135B．120C．60D．454. 以下函数中，周期为 1 的奇函数是（）A. y 1 2sin 2xB.y sin x cos xC. y tan xD.y sin（2 x）235．若定义在R 上的偶函数 f (x) 知足 f ( x2) f (x), 且当 x[0,1] 时， f (x)x, 则方程f (x)log3 | x | 0 的根的个数是（）A．2B．3C．4D．6f( )max 的导函数 f'(x) 2x1 ，则数列1 n 项和为（）6． 设函数 的前x xf ( n)nB.n 2C.n n1A.1 n1n 1D.nn7．已知 △ ABC 中，A30 ， AB ，BC 分别是 32 ， 3－ 2 的等差中项与等比中项，则 △ ABC 的面积等于（）A ．3B ．3 C ．3或 3D ．3 或 32422 48. 关于以下命题：1 i0)①已知 i 是虚数单位，函数f ( x) 1 i ,( xa=2.i在 R 上连续，则实数a x a,( x0)②五本书排成一排，若A 、B 、C 三本书左右次序必定（不必定相邻） ，那么不一样排法有A 33 A 33③如图，⊙ O 中的弦 AB 与直径 CD 订交于点 p ， M 为 DC 延伸线上一点， MN 为⊙ O 的切线， N 为切点，若 AP ＝ 8, PB ＝ 6, PD ＝ 4, MC ＝ 6，则 MN 的长为 2 33④在极坐标系 （ ， （） 0 ≤<2π ）中，曲线 =2sin与cos1交点的极坐标为 (2,3)4⑤设 n24cos xdx, 则二项式 ( x1) n 的睁开式的常数项为6x此中假命题的序号是（）A. ②⑤B. ②③C. ②D. ①④第Ⅱ卷 （共110 分）二、填空题：（本大题每题5 分，满分 30 分）9. 若 sin( 3)3, 且的终边过点P x,2 , 则x； tan( ) =.2510．已知数列{ a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，a 43 ,S 4212.则 数 列{ a n }的 通 项 公式a n； n=时， S n 最大 .11．函数 y Asin x cos Acos x sin 2(A 0,0,02 ) 的图象如右，则=______,=______.12．函数 y log a x 3 1(a 0, a1) 的图象恒过定点A ，且点 A 在直线 mx ny 1 0 上，此中 mn0，则12 的最小值为.m n13. 在正方形 ABCD 中，已知 AB ＝ 2， M 为 BC 的中点，若 N 为正方形内（含界限）随意一点，则 AM · AN 的最大值为.14. 已知函数 f ( x)e x 2,( x0)（ a 是常数且 a 0 ）．关于以下命题：2ax 1,( x 0)① 函数 f x 的最小值是1；② 函数 fx 在 R 上是单一函数；③ 若 f ( x)0 1 ,上恒建立，则 a 的取值范围是a 1；在2④ 对随意 x 10, x 2 0 且 x 1 x 2 ，恒有 f (x 1 x 2) f ( x 1 )f (x 2 ) ．22此中正确命题的序号是．（写出全部正确命题的编号）三、解答题 （本大题共 6 小题，共 80 分 . ）15. （本小题满分 13 分）在数列 { a n } 中， a 1 3 ， a na n 1 2n 1 ( n 2，且 n N * ) .（Ⅰ）证明：数列 {}是等比数列；a n n （Ⅱ）求 { a n } 的通项公式；（Ⅲ）求数列 { a n } 的前 n 项和 S n .16．（本小题满分 13 分）盒内有大小同样的9 个球，此中 2 个红色球， 3 个白色球， 4 个黑色球．规定拿出 1 个红色球得 1 分，拿出 1 个白色球得0 分，拿出 1 个黑色球得1分．现从盒内一次性3 个球．取（Ⅰ）求拿出的 3 个球得分之和恰为 1 分的概率；（Ⅱ）设为拿出的 3 个球中白色球的个数，求的散布列和数学希望．17．（本小题共13 分）已知向量 a(sin x, cos x) ，b (cos x,sin x2cos x) ，x.42（Ⅰ）若 a ∥ b ，求x；（Ⅱ）设 f ( x) a b，求 f ( x) 的单一减区间；（Ⅲ）函数 f ( x) 经过平移后所得的图象对应的函数能否能成为奇函数？假如是，说出平移方案；假如否，说明原因 .18.（本小题共 13 分）已知函数()ln(2)2.f x x x bx c（Ⅰ）若函数f(x)在点 x=1 处的切线与直线3x7 y 2 0 垂直，且f（－1）=0，求函数f(x)在区间 [0， 3]上的最小值；（Ⅱ）若 f(x)在区间 [0， 1]上为单一减函数，求 b 的取值范围 .19．（本小题共14 分）2ln(1x)设函数 f ( x)(1x)2（Ⅰ）若在定义域内存在x0，而使得不等式 f ( x0 )m0 能建立，务实数m 的最小值；a 的取（Ⅱ）若函数g( x) f (x)x2x a 在区间0,2上恰有两个不一样的零点，务实数值范围20. （本小 共 14 分）已知 f ( x) 是定 在 R 上的函数， f (1)1，且x 1 , x 2 R ， 有f (x 1 x 2 )f (x 1 ) f ( x 2 ) 1 恒建立．（Ⅰ） g( x)f ( x) 1，求 ：g ( x) 是奇函数；（Ⅱ）nN * ，有 a n1 ， b nf (1) 1 ， c nb n，求 { c } 的前 n 和S ；f (n) 2n 1a n（Ⅲ）求 F( n) a n 1an 2a 2 n (n 2, n N ) 的最小 ．高三数学期中测试答案及评分标准（理科）一、 ：本大 每小5 分， 分40 分． CBAB CADC5 分， 分 30 分． 9.3 4 a n11 二、填空 ：本大 每小2，10． n ； n=53211.=3, =3 12.8 13.614．① ③ ④三、解答 ：本大6 小 ， 分 80 分15．（13 分）解：（Ⅰ）a n n a n 12n 1an 1n 1an 1n1，1由定 知数列 { a nn} 是等比数列； ⋯5 分因 数列a n n（Ⅱ）{} 是等比数列，公比 -1，首 4，a n n( 1) n 1 4n N ⋯⋯.8 分n( 1 n ) (n 2k k, N )2 ,（Ⅲ）S n⋯13 分n( 1 n )4 , n( k2 k1 , N)2北京市第14中学2014届高三上学期期中考试数学(理)试题含答案17. （ 13分）解：（ I ）若 a ∥ b ， sin x (sin x 2cos x)cos 2 x, ⋯⋯ 1 分即 sin 2xcos2x,tan 2x1⋯⋯⋯⋯ 2 分又∵4x， ∴2x，22∴ 2x3 ， x或3⋯⋯⋯ 4分4或848（ II ） f ( x)a b = 2sin x cos x - 2cos 2 x = sin2x - cos2x -1= 2 sin(2 x) 14(x) a b = 2sin x cos x - 2cos 2 x = sin2 x - cos2x - 1= 2 sin(2 x) 1⋯⋯⋯7 分4令2k 2x32k , kZ422得，3kx 7k ,k Z ，又4 x8)和(3,82∴ (,) 是 f (x) 的 减区 ⋯ ⋯⋯11 分4 8 8 2（Ⅲ）是，将函数f ( x) 的 象向上平移1 个 位，再向左平移k ,k N 个 位或向右平移78k , k N 个 位，即得函数g( x)2 sin 2x 的 象，而 g (x) 奇函8数⋯⋯⋯ 13分18. （ 13 分）解：（ 1） f(x)1 b. （2 分）x 2x2因 与直 3x7y20 垂直的直 的斜率7,令 f (1)7, 得 b 433又 f （－ 1） =ln （ 2－ 1）－ 1－ 4+c=0，因此 c=5f （ x ） =ln （ x+2）－ x 2+4x － 5,f (x)1 2x 4 （ 6 分）3 2x 由 f ( x) 0,得 x22当 x[0,32] ， f ′（x ）≥ 0， f （ x ） 增2当 x[ 3 2 ,3] ， f ′ （ x ）≤ 0， f （x ） 减（8 分）2又 f （ 0） =ln2+5， f （ 3）=ln5+8，因此 f （ x ）在 [0， 3]最小 ln2+5 （ 10 分） （Ⅱ）因 f （ x ）是减函数因此 f (x)1 2xb 0即 b 2 x1 对 x [0,1] 恒建立（ 12 分）x22x因 2x1因此（ 2x －11在 [0， 1]上 增x ） min =－x 222因此当 b ≤－ 1， f （ x ）在区 [0，1]上 减（ 13分）219. （ 14 分）解： (Ⅰ )要使得不等式f (x 0 )m 0 能建立，只要 mf ( x)min 。
2014海淀高三理科数学期中14题
2014海淀高三理科数学期中14题
这道题难度还是比较大的。
涉及到绝对值函数，周期函数，等比数列等一系列的动系
没有办法画图，我简单的说一下吧
首先在[1,3)上面是个绝对值函数，开口向下的折线，这里f（3）=f （1）=0，根据周期性得到的
其实你就会发现f（3^N）都是零，当然N是需要取整数的，然后我们发现x=1和x=3是取最小值0，当x=2时取得最大值1
这个周期（3^N是周期）不规律的函数极大值就是2*3^N，最小值就是0
对已a=1，就可以算出来其实是x1=2，x2=4，x3=8
第一问就是14
然后第二问的话是比较难的，首先可以知道在[1,3]之间是没有根的，然后在[3,9]包括以后的区间内必有两根（画图吧，数形结合思想很重要，我给你算一下答案就好了具体想弄明白可以加扣口）
其实你会发现跟a是没有多大关系，就是一个首项为12，公比为3
的等比数列
答案就是6（3^n-1）
1。
2014年海淀区高三数学理科期中试题(答案)
海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理）答案及评分参考 2014.11一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）C （4）B （5）B （6）A （7）D （8）A 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。
有两空的小题，第一空2分，第二空3分）（9 （10）0 （11）0 （12）2 （13）2- （14）2；12三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）ππππ11()sin sin()1222322f =-+=-=. ……………… 3分 （Ⅱ）π()sin sin()3f x x x =-+ππsin (sin cos cos sin )33x x x =-+ ……………… 5分11πsin (sin )sin sin()223x x x x x x =-+==-. ……………… 9分 函数sin y x =的单调递增区间为ππ[2π,2π]()22k k k -+∈Z ， 由πππ2π2π()232k x k k --+∈Z ≤≤， ……………… 11分 得π5π2π2π()66k x k k -+∈Z ≤≤.所以 ()f x 的单调递增区间为π5π[2π,2π]()66k k k -+∈Z . ……………… 13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）因为 132,,a a a -成等差数列，所以 3122a a a =-. ……………… 2分 设数列{}n a 的公比为(0)q q >，由112a =可得21112222q q ⨯=-， ……………… 4分即2210q q +-=.解得：12q =或1q =-（舍）. ……………… 5分 所以 1111()222n n n a -=⨯=. ………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：12n n a n n -=-.所以 2311111232222n n S n =-+-+-++- ………………8分2311111232222n n =++++----- ………………9分11(1)(1)1(1)221122212n n n n n n -++=-=---. ……………… 13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）因为 2D B ∠=∠，cos 3B =， 所以 21cos cos 22cos 13D B B ==-=-.……………… 3分因为 (0,π)D ∠∈，所以 sin 3D ==. ……………… 5分因为 1,3AD CD==，所以 △ACD 的面积11sin 13223S AD CD D =⋅⋅=⨯⨯⨯= ……………… 7分（Ⅱ）在△ACD 中，2222cos 12AC AD DC AD DC D =+-⋅⋅=.所以 AC =……………… 9分 因为 BC =sin sin AC ABB ACB=∠， ……………… 11分所以sin(2)sin 22sin cos 3AB AB AB B B B B ====π-. 所以 4AB =. ……………… 13分 （18）（共14分）解：（Ⅰ）当1a =时，2()2ln 1f x x x =-+.222(1)()2x f x x x x--'=-=，0x >. ……………… 2分令22(1)()0x f x x--'=<. 因为 0x >，所以 1x >. ……………… 3分 所以 函数()f x 的单调递减区间是(1,)+∞. ……………… 4分（Ⅱ）xa x x x a x f )(222)(2--=-=',0>x . 令'()0f x =，由0a >，解得1x =2x =. ……………… 5分 ①1≤，即01a <≤时，在区间[1,)+∞上'()0f x ≤，函数()f x 是减函数. 所以 函数()f x 在区间[1,)+∞上的最大值为(1)0f =； ……………… 7分 ②1>，即1a >时，x 在[1,)+∞上变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表1a所以 函数()f x 在区间[1,)+∞上的最大值为)ln 1f a a a a =-+.……………… 10分 综上所述：当01a <≤时，函数()f x 在区间[1,)+∞上的最大值为(1)0f =； 当1a >时，函数()f x 在区间[1,)+∞上的最大值为ln 1f a a a =-+.（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：当01a <≤时，0)1()(=≤f x f 在区间),1[+∞上恒成立；……………… 11分当1a >时，由于)(x f 在区间],1[a 上是增函数，所以 0)1()(=>f a f ,即在区间),1[+∞上存在x =()0f x >.……………… 13分 综上所述，a 的最大值为1. ……………… 14分（19）（共13分）（Ⅰ）解：由题意知：1112a S +=，即1112a a +=. 解得：11a =. ……………… 2分（Ⅱ）证明：因为 (1)(1,2,3,)2n n n a S n +==， 所以 11(1)(1)2n n n a S ---+=（2n ≥）. ……………… 4分因为 1n n n a S S -=-（2n ≥）. ……………… 6分 所以 11(1)2n n n na n a a -+--=，即1(2)1(1)(2)n n n a n a n --+=-≥.……………… 7分（Ⅲ）数列{}n a 是等差数列.理由如下： ……………… 8分又22(2)(1)2n n n a S ---+=（3n ≥），由（Ⅱ）可得：112n n n a S S ---=-12(1)1(2)2n n n a n a ---+--=（3n ≥）. ……………… 9分所以 1212(1)(2)2n n n n n na n a n a a a -----+--=，即12(2)2(2)(2)0n n n n a n a n a -----+-=. ……………… 11分 因为 3n ≥，所以 1220n n n a a a ---+=，即112n n n n a a a a ----=-（3n ≥）. 所以 数列{}n a 是以1为首项，21a -为公差的等差数列. ……………… 13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）221016()(51623)x f x x x +'=-++.所以 1(1)24f '-=-. 所以 L 的方程为11(1)1224y x -=-+，即112424y x =-+． ……………… 3分（Ⅱ）要证除切点1(1,)12-之外，曲线C 在直线L 的下方，只需证明1(,1)(1,)5x ∀∈-∞---，2111516232424x x x <-+++恒成立. 因为 2516230x x ++>，所以 只需证明1(,1)(1,)5x ∀∈-∞---，32511710x x x +++<恒成立即可．……………… 5分设321()5117 1 ().5g x x x x x =+++-≤则2()15227(1)(157)g x x x x x '=++=++. 令()0g x '=，解得11x =-，2715x =-. ……………… 6分 当x 在1(,]-∞-上变化时，()'(),g x g x 的变化情况如下表71571(,)155-0+↗所以 1(,1)(1,)5x ∀∈-∞---，32511710x x x +++<恒成立. ……………… 8分（Ⅲ）（ⅰ）当1211,,55x x <-<-且315x <-时，由（Ⅱ）可知：11211111()516232424f x x x x =-+++≤， 22222111()516232424f x x x x =-+++≤，33233111()516232424f x x x x =-+++≤. 三式相加，得12312311()()()()248f x f x f x x x x ++≤-+++. 因为 1233x x x ++=-，所以 1231()()()4f x f x f x ++≤，且当1231x x x ===-时取等号． ……………… 11分（ⅱ）当123,,x x x 中至少有一个大于等于15-时，不妨设115x -≥，则2221118511851516235(5()2055555x x x ++=++-++=)≥，因为 2222285151516235()555x x x ++=++≥，2233385151516235()555x x x ++=++≥，所以 1231551()()()2051514f x f x f x ++++<≤． 综上所述，当1231x x x ===-时123()()()f x f x f x ++取到最大值14.……………… 14分。
2014北京市海淀区高三第一学期期末数学理科试有答案
海淀区高三年级第一学期期末练习 数学 （理科2）2014.1本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 复数21i-化简的结果为 A.1i + B.1i -+ C. 1i - D.1i --2.已知直线2,:2x t l y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与圆2cos 1,:2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是A.π,(1,0)4 B.π,(1,0)4- C.3π,(1,0)4 D.3π,(1,0)4- 3.向量(3,4),(,2)x ==a b , 若||⋅=a b a ,则实数x 的值为 A.1- B.12-C.13- D.1 4.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的p 为24，则输出 的,n S 的值分别为A.4,30n S ==B.5,30n S ==C.4,45n S ==D.5,45n S ==5.如图，PC 与圆O 相切于点C ，直线PO 交圆O 于,A B 两点，弦CD 垂直AB 于E . 则下面结论中，错误．．的结论是 Ａ.BEC ∆∽DEA ∆ B.ACE ACP ∠=∠ C.2DE OE EP =⋅ D.2PC PA AB =⋅6.数列{}n a 满足111,n n a a r a r +==⋅+（*,n r ∈∈N R 且0r ≠），则“1r =”是“数列{}n a 成等差数列”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 用数字0,1,2,3组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为A. 144B.120C. 108D.72B8. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是A.12(,)33B.1(,1)2C. 2(,1)3D.111(,)(,1)322二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 以y x =±为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为______.10.数列{}n a 满足12,a =且对任意的*,N m n ∈，都有n mn ma a a +=，则3_____;a ={}n a 的前n 项和n S =_____.11. 在261(3)x x+的展开式中，常数项为______.(用数字作答)12. 三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为_________.13. 点(,)P x y 在不等式组 0,3,1x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥+⎩表示的平面区域内，若点(,)P x y 到直线1y kx =-的最大距离为___.k =14. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -表面上运动，且PA r =（0r <<，记点P 的轨迹的长度为()f r ，则1()2f =______________;关于r 的方程()f r k =的解的个数可以为________.（填上所有可能的值）.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题满分13分）已知函数21()cos cos 2222x x x f x =+-，ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .（I ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()1,f B C +=1a b ==，求角C 的大小.DABC左视图16.（本小题满分13分）汽车租赁公司为了调查A,B 两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表:（I ）从出租天数为3天的汽车（仅限A,B 两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A 型车的概率；（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率； （Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A ，B 两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.17. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12,AB AC AA ===E 是BC 中点.（I ）求证：1//A B 平面1AEC ；（II ）若棱1AA 上存在一点M ，满足11B M C E ⊥，求AM 的长； （Ⅲ）求平面1AEC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.18. （本小题满分13分）已知函数e ().1axf x x =-（I ） 当1a =时,求曲线()f x 在(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.EC 1B 1A 1CBA19. （本小题满分14分）已知()2,2E 是抛物线2:2C y px =上一点，经过点(2,0)的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点（不同于点E ），直线,EA EB 分别交直线2x =-于点,M N . （Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；（Ⅱ）已知O 为原点，求证：MON ∠为定值.20. （本小题满分13分）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若2()f x y x =在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”. 我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω. (Ⅰ)已知函数32()2f x x hx hx =--，若1(),f x ∈Ω且2()f x ∉Ω，求实数h 的取值范围； (Ⅱ)已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出，求证：(24)0d d t +->；(Ⅲ)定义集合{}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取,请问：是否存在常数M ，使得()f x ∀∈ψ，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由.。
2014-2015海淀区高三第一学期期末数学(理)试题(有答案)高清版
数学（理）答案及评分参考一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）B （4）C （5）B （6）A （7）C （8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。
有两空的小题，第一空2分，第二空3分）（9）15（10）11）3 （12）2π3（13）13；4（14）11,,A B D 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）ϕ的值是π6. ………………2分0x 的值是53. (5)分（Ⅱ）由题意可得：11ππ()cos(π())cos(π)sin π3362f x x x x +=++=+=-. ………………7分所以1π()()cos(π)sin π36f x f x x x ++=+- ππcos πcos sin πsin sin π66x x x =--………………8分1πsin πsin π2x x x =--3ππsin ππ)23x x x =-=+. ………………10分 因为11[,]23x ∈-，所以ππ2ππ633x -≤+≤.所以当ππ03x +=，即13x =-时，()g x当π2ππ33x +=，即13x =时，()g x 取得最小值2-. ………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）抽取的5人中男同学的人数为530350⨯=，女同学的人数为520250⨯=. ………………4分（Ⅱ）由题意可得：2323551(3)10A A P X A ===. ………………6分 因为321105a b +++=， 所以15b =. ………………8分 所以113232101105105EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.………………10分 （Ⅲ）2212s s =. (13)分（17）（共14分） 证明：（Ⅰ）连接1BC .在正方形11ABB A 中，1AB BB .因为 平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B平面111BB C C BB =，AB平面11ABB A ，所以 AB 平面11BB C C . ………………1分 因为 1B C 平面11BB C C ，所以1ABB C . ………………2分在菱形11BB C C 中，11BC B C .因为 1BC 平面1ABC ，AB平面1ABC ，1BC AB B ，CBC 1B 1A 1A所以 1B C 平面1ABC . (4)分 因为1AC 平面1ABC ，所以 1B C ⊥1AC .………………5分（Ⅱ）EF ∥平面ABC ，理由如下： (6)分取BC 的中点G ，连接,GE GA . 因为 E 是1B C 的中点， 所以GE ∥1BB ，且GE 112BB . 因为 F 是1AA 的中点， 所以AF112AA . 在正方形11ABB A 中，1AA ∥1BB ，1AA 1BB .所以 GE ∥AF ，且GEAF .所以 四边形GEFA 为平行四边形.所以 EF ∥GA . ………………8分 因为 EF平面ABC ，GA平面ABC ，所以 EF ∥平面ABC . ………………9分（Ⅲ）在平面11BB C C 内过点B 作1Bz BB .由（Ⅰ）可知：AB平面11BB C C . 以点B 为坐标原点，分别以1,BA BB 所在的直线为,x y轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，设(2,0,0)A ，则1(0,2,0)B . 在菱形11BB C C 中，11=60BB C ∠，所以(0,C -，1(0,1C .GFECB C 1B 1A 1A设平面1ACC 的一个法向量为(,,1)x y =n .因为10,0AC CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即(,,1)(2,0,(,,1)(0,2,0)0,x y x y ⎧⋅--=⎪⎨⋅=⎪⎩所以20,x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩即=n .………………11分由（Ⅰ）可知：1CB 是平面1ABC 的一个法向量.………………12分所以1113((0,3,2cos ,CBCB CB ⋅⋅<>===⋅n n n . 所以二面角1B AC C --的余弦值为7.………………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）由22143x y +=得：2,a b ==. 所以椭圆M 的短轴长为………………2分 因为1c ==， 所以12c e a ==，即M 的离心率为12. ………………4分（Ⅱ）由题意知：1(2,0),(1,0)C F --，设000(,)(22)B x y x -<<，则2200143x y+=. (7)分因为10000(1,)(2,)BF BC x y x y ⋅=---⋅---2200023x x y =+++………………9分20013504x x =++>，………………11分 所以π(0,)2B ∠∈.所以点B 不在以AC 为直径的圆上，即：不存在直线l ，使得点B 在以AC 为直径的圆上. (13)分另解：由题意可设直线l 的方程为1x my =-，1122(,),(,)A x y B x y .由221,431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩可得：22(34)690m y my +--=. 所以122634m y y m +=+，122934y y m -=+. ………………7分 所以1122(2,)(2,)CA CB x y x y ⋅=+⋅+21212(1)()1m y y m y y =++++22296(1)13434m m m m m -=++⋅+++ 25034m -=<+. ………………9分因为cos (1,0)CA CB C CA CB⋅=∈-⋅，所以π(,π)2C ∠∈. ………………11分所以π(0,)2B ∠∈.所以点B 不在以AC 为直径的圆上，即：不存在直线l ，使得点B 在以AC 为直径的圆上.………………13分（19）（共13分）解：（Ⅰ）函数()f x 是偶函数，证明如下： ………………1分对于ππ[,]22x ∀∈-，则ππ[,]22x -∈-. ………………2分因为()cos()sin()cos sin ()f x a x x x a x x x f x -=---=+=，所以()f x 是偶函数. ………………4分 （Ⅱ）当0a >时，因为 ()cos sin 0f x a x x x =+>，ππ[,]22x ∈-恒成立， 所以集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为0. ………………5分 当0a =时，令()sin 0f x x x ==，由ππ[,]22x ∈-， 得0x =.所以集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为1. ………………6分 当0a <时，因为 π'()sin sin cos (1)sin cos 0,(0,)2f x a x x x x a x x x x =-++=-+>∈，所以函数()f x 是π[0,]2上的增函数. ………………8分因为ππ(0)0,()022f a f =<=>，所以()f x 在π(0,)2上只有一个零点.由()f x 是偶函数可知，集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为 2. ………………10分综上所述，当0a >时，集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为0；当0a =时，集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为1；当0a <时，集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为2.（Ⅲ）函数()f x 有3个极值点. ………………13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）因为123224(,),(,),(,)a a a a a a T ∈，所以21(,)0T d a a =，23(,)0T d a a =，24(,)1T d a a =，故2()1T l a =.………………1分因为24(,)a a T ∈，所以42(,)0T d a a =.所以4414243()(,)(,)(,)1012T T T T l a d a a d a a d a a =++≤++=.所以当244143(,),(,),(,)a a a a a a T ∈时，4()T l a 取得最大值2. ………………3分 （Ⅱ）由(,)T d a b 的定义可知：(,)(,)1T T d a b d b a +=.所以122113311()[(,)(,)][(,)(,)]n T i T T T T i la d a a d a a d a a d a a ==+++∑1111[(,)(,)][(,)(,)]T n T n T n n T n n d a a d a a d a a d a a --+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++21(1)2n C n n ==-. ………………6分设删去的两个数为(),()T k T m l a l a ，则1()()(1)2T k T m l a l a n n M +=--. 由题意可知：()1,()1T k T m l a n l a n ≤-≤-，且当其中一个不等式中等号成立，不放设()1T k l a n =-时，(,)1T k m d a a =，(,)0T m k d a a =.所以()2T m l a n ≤-. ………………7分 所以()()1223T k T m l a l a n n n +≤-+-=-. 所以1()()(1)232T k T m l a l a n n M n +=--≤-，即1(5)32M n n ≥-+. ………………8分（Ⅲ）对于满足()1T i l a n <-（1,2,3,,i n =）的每一个集合T ，集合S 中都存在三个不同的元素,,e f g ，使得(,)(,)(,)3T T T d e f d f g d g e ++=恒成立，理由如下：任取集合T ，由()1T i l a n <-（1,2,3,,i n =）可知，12(),(),,()T T T n l a l a l a ⋅⋅⋅中存在最大数，不妨记为()T l f （若最大数不唯一，任取一个）.因为()1T l f n <-，所以存在e S ∈，使得(,)0T d f e =，即(,)e f T ∈. 由()1T l f ≥可设集合{|(,)}G x S f x T =∈∈≠∅. 则G 中一定存在元素g 使得(,)1T d g e =. 否则，()()1T T l e l f ≥+，与()T l f 是最大数矛盾.所以(,)1T d f g =，(,)1T d g e =，即(,)(,)(,)3T T T d e f d f g d g e ++=. ………………14分。
专题31以立体几何中探索性问题为背景的解答题-2021年高考数学备考优生百日闯关系列(解析版)
【名师综述】利用空间向量解决探索性问题立体几何中的探索性问题立意新颖，形式多样，近年来在高考中频频出现，而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色，它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具，应用空间向量这一工具，为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法．下面借“题”发挥，透视有关立体几何中的探索性问题的常见类型及其求解策略，希望读者面对立体几何中的探索性问题时能做到有的放矢，化解自如．1.以“平行、垂直、距离和角”为背景的存在判断型问题是近年来高考数学中创新型命题的一个显著特点，它以较高的新颖性、开放性、探索性和创造性深受命题者的青睐．此类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形等)是否存在或某一结论是否成立．“是否存在”的问题的命题形式有两种情况：如果存在，找出一个来；如果不存在，需要说明理由．这类问题常用“肯定顺推”的方法． 求解此类问题的难点在于：涉及的点具有运动性和不确定性．所以用传统的方法解决起来难度较大，若用空间向量方法来处理，通过待定系数法求解其存在性问题，则思路简单、解法固定、操作方便．解决与平行、垂直有关的存在性问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若导出与条件或实际情况相矛盾的结果，则说明假设不成立，即不存在．如本题把直二面角转化为这两个平面的法向量垂直，利用两法向量数量积为零，得参数p 的方程．即把与两平面垂直有关的存在性问题转化为方程有无解的问题．2.与“两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角”有关的存在性问题，常利用空间向量法解决，可以避开抽象、复杂地寻找角的过程，只要能够准确理解和熟练应用夹角公式，就可以把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．事实说明，空间向量法是证明立体几何中存在性问题的强有力的方法．【精选名校模拟】1.【成都石室中学2014届高三上期“一诊”模拟考试（一）（理）】(本小题满分12分)已知直三棱柱111C B A ABC -的三视图如图所示，且D 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：1A B ∥平面1ADC ； （Ⅱ）求二面角1C AD C --的余弦值；（Ⅲ）试问线段11A B 上是否存在点E ，使AE 与1DC 成60︒角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．2.【四川省绵阳市高2014届第二次诊断性考试数学（理）】（本题满分12分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD //BC ，∠ADC =90º，AE ⊥平面ABCD ，EF //CD ， BC =CD =AE =EF =12AD =1． （Ⅰ）求证：CE //平面ABF ； （Ⅱ）求证：BE ⊥AF ；（Ⅲ）在直线BC 上是否存在点M ，使二面角E -MD -A 的大小为6π？若存在，求出CM 的长；若不存在，请说明理由．试题解析：（I）证明：如图，作FG∥EA，AG∥EF，连结EG交AF于H，连结BH，BG，∵EF∥CD且EF=CD，∴AG∥CD，即点G在平面ABCD内．由AE⊥平面ABCD知AE⊥AG，∴四边形AEFG为正方形，故在直线BC 上存在点M ，且|CM |=|32(2)3-±|=33．………………………12分 法二、作AH DM ⊥，则3AH =，由等面积法得：233,33DM CM =∴=. 3.【四川省成都七中高2014届高三“一诊”模拟考试数学（理）】如图四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是平行四边形，⊥PG 平面ABCD ，垂足为G ，G 在AD 上且GD AG 31=，GC BG ⊥，2==GC GB ，E 是BC 的中点，四面体BCG P -的体积为38. （1）求二面角P BC D --的正切值； （2）求直线DP 到平面PBG 所成角的正弦值；（3）在棱PC 上是否存在一点F ，使异面直线DF 与GC 所成的角为060，若存在，确定点F 的位置，若不存在，说明理由.试题解析：（1）由四面体BCG P -的体积为38.∴4PG =设二面角P BC D --的大小为θ2==GC GB E 为中点，∴GE BC ⊥ 同理PE BC ⊥∴PEG θ∠=∴tan 22θ=……………………………………………………3分4.【湖北省稳派教育2014届高三上学期强化训练（三）数学（理）试题】如图，正方形ABCD 所在平面与圆O 所在的平面相交于CD ，线段CD 为圆O 的弦，AE 垂直于圆O 所在的平面，垂足E 为圆O 上异于C 、D 的点，设正方形ABCD 的边长为a ，且a AE 21=.（1）求证：平面⊥ABCD 平面ADE ；（2）若异面直线AB 与CE 所成的角为θ，AC 与底面CDE 所成角为α，二面角E CD A --所成角为β ，求证βαθtan tan sin =.又)21,0,0(a EA =，)21,,23(a a CA -=，4222141||||,cos sin 2=⋅=⋅>=<=∴a a a CA EA α，由此得77tan =α，5.【2014安徽省六校教育研究会高三2月联考数学理】（本小题满分12分）（Ⅰ）求证:1A D ⊥平面BCED ;（Ⅱ）在线段BC 上是否存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60?若存在,求出PB 的长,若不存在,请说明理由.【答案】（Ⅱ）在线段BC 上存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60,此时52PB = 【解析】试题分析：（Ⅰ）二面角1A DE B --为直二面角,要证1A D ⊥平面BCED ；只要证1A D DE ⊥；设PB x =()03x ≤≤,则2x BH =,3PH x =,在Rt △1PA H 中,160PA H ∠=,所以112A H x = ,在Rt △1A DH 中,11A D =,122DH x =- ,由22211A D DH A H +=, 得222111222x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,解得52x =,满足03x ≤≤,符合题意 所以在线段BC 上存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60,此时52PB = ………………………12分解得54a =,即522PB a ==,满足023a ≤≤,符合题意,所以在线段BC 上存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60,此时52PB = . ………………………12分6.【2014年“皖西七校”高三年级联合考试】（本小题满分12分）如图1，已知O ⊙的直径4AB =，点C 、D 为O ⊙上两点，且=45CAB ∠，60DAB ∠=，F 为弧BC 的中点．将O ⊙沿直径AB 折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图2）． （Ⅰ）求证：//OF AC ；（Ⅱ）在弧BD 上是否存在点G ，使得//FG 平面ACD ？若存在，试指出点G 的位置；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求二面角C -AD -B 的正弦值.⊥于E，连CE．（Ⅲ）过O作OE AD⊥，平面ABC⊥平面ABD，故CO⊥平面ABD．因为CO AB则CEO ∠是二面角C -AD -B 的平面角，又60OAD ∠=，2OA =，故3OE =． 由CO ⊥平面ABD ，OE ⊂平面ABD ，得CEO ∆为直角三角形， 又2CO =，故7CE =，可得cos CEO ∠=37=217，故二面角C -AD -B 的正弦值为27.121210(3)03121cos 771n n |n ||n |θ⋅⨯+-⨯+⨯∴===⋅⋅，故二面角C -AD -B 的正弦值为27. 7.（山东省日照市2014届高三12月校际联考）（本小题满分12分）在四棱锥P-ABCD 中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ，90,1,2ADC AB AD PD CD ∠=====ADC -900,AB=AD= PD=1.CD=2. (I)求证：BC ⊥平面PBD ：(II)设E 为侧棱PC 上异于端点的一点，PE PC λ=，试确定λ的值，使得二面角 E-BD-P 的大小为45．试题解析：（Ⅰ）证明：因为侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，所以PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥AD .又因为ADC ∠＝90，即AD ⊥CD ，以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,1)P ，所以(1,1,0),(1,1,0).DB BC ==- 所以0DB BC ⋅=，所以BC BD ⊥ 由PD ⊥底面ABCD ，可得PD BC ⊥, 又因为PDDB D =，所以BC ⊥平面PBD . ……5分8.【昌平区2013－2014学年第一学期高三年级期末质量抽测（理）】(本小题满分14分)在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，2PD CD BC AD ===,//,90AD BC BCD ∠=︒.(Ⅰ)求证：BC PC ⊥；(Ⅱ)求PA 与平面PBC 所成角的正弦值；(Ⅲ)线段PB 上是否存在点E ,使AE ⊥平面PBC ？说明理由. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）10Ⅲ) E 为PB 中点时，AE ⊥平面PBC(Ⅲ)（法一）当E 为线段PB 的中点时,AE ⊥平面PBC . 如图：分别取,PB PC 的中点,E F ,连结,,AE DF EF . 所以//EF BC ,且12EF BC =. 因为//,AD BC 且12AD BC =， 所以//,AD EF 且AD EF =. 所以四边形AEFD 是平行四边形.9.【海淀区2014届高三年级第一学期期末练习数学(理科)】（本小题共14分） 如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是菱形，AC BD O =,PAC ∆是边长为2的等边三角形，6PB PD ==,4AP AF =. （Ⅰ）求证：PO ⊥底面ABCD ；（Ⅱ）求直线CP 与平面BDF 所成角的大小；（Ⅲ）在线段PB 上是否存在一点M ，使得CM ∥平面BDF ？如果存在，求BMBP的值，如果不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）30；（Ⅲ）存在，BM BP =13【解析】试题分析：（Ⅰ）ACBD O =,所以O 为,AC BD 中点。
北京市海淀区2014届高三数学上学期期中试题 文(含解析)
北京市海淀区2014届高三数学上学期期中试题 文（含解析）新人教A 版第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合{1,0,1,2}A =-，{|1}B x x =≥，则A B =( )A. {2}B. {1,2}C. {1,2}-D. {1,1,2}-2.下列函数中，为奇函数的是( )A. ()f x =B. ()ln f x x =C. ()2xf x =D. ()sin f x x =3.已知向量(1,2),(,1)m =-=-a b ，且//a b ，则实数m 的值为( )A. 2-B. 12-C. 12D. 2【答案】C 【解析】试题分析：因为，向量(1,2),(,1)m =-=-a b ，且//a b ，所以，11,122m m -==-，选C. 考点：平面向量的坐标运算，共线向量.4.“π6α=”是“1sin2α=”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知数列{}na的前n项和为n S，且*1110,3()n na a a n+=-=+∈N，则nS取最小值时，n的值是（）A. 3B. 4C. 5D. 66.若函数tan,0,()2(1)1,0x xf xa x xπ⎧-<<⎪=⎨⎪-+≥⎩在π(,)2-+∞上单调递增，则实数a的取值范围( )A. (0,1]B. (0,1)C. [1,)+∞ D. (0,)+∞【答案】A7.若函数()sin f x x kx =-存在极值，则实数k 的取值范围是( ) A.(1,1)-B.[0,1)C.(1,)+∞D.(,1)-∞-8.已知点(1,0)B ，P 是函数e xy =图象上不同于(0,1)A 的一点.有如下结论：①存在点P 使得ABP ∆是等腰三角形； ②存在点P 使得ABP ∆是锐角三角形； ③存在点P 使得ABP ∆是直角三角形. 其中，正确的结论的个数为( ) A. 0 B.1 C. 2 D. 3【答案】B第Ⅱ卷（共90分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市海淀区2014-2015学年度高三第一学期期中试卷(理)-含答案
数 学（理） 2014.11本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合1{|}A x x >=∈R ，{|12}B x x =∈-R ≤≤，则A B =（ ）（A ）[1,)-+∞（B ）(1,)+∞（C ）(1,2]（D ）[1,1)-（2）已知向量(2,1)=-a ，(3,)x =b . 若3⋅=a b ，则x =（ ） （A ）6（B ）5（C ）4（D ）3（3）若等比数列{}n a 满足135a a +=，且公比2q =，则35a a +=（ ） （A ）10（B ）13（C ）20（D ）25（4）要得到函数πsin(2)3y x =+的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ） （A ）向左平移3π个单位 （B ）向左平移6π个单位 （C ）向右平移3π个单位 （D ）向右平移6π个单位 （5）设131()2a =，21log 3b =，2log 3c =，则（ ）（A ）a b c >>（B ）c a b >>（C ）a c b >>（D ）c b a >>（6） 设,a b ∈R ，则“0ab >且a b >”是“11a b<”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）已知函数,0,()0.x x f x x -<⎧⎪=≥若关于x 的方程()(1)f x a x =+有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）1[,)2+∞（B ）(0,)+∞ （C ）(0,1) （D ）1(0,)2（8）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .在同一个坐标系中，()n a f n =及()n S g n =的部分图象如图所示，则（ ）（A ）当4n =时，n S 取得最大值 （B ）当3n =时，n S 取得最大值 （C ）当4n =时，n S 取得最小值（D ）当3n =时，n S 取得最小值二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。