第05讲-耦合和约束方程、不同单元的联合使用
耦合常微分方程组
耦合常微分方程组耦合常微分方程组（coupled ordinary differential equations）是指由多个微分方程组成的系统，每个微分方程都与其他方程相关并相互影响。
这种方程组常出现在许多领域，如物理学、工程学和生物学等。
在本文中，我们将介绍耦合常微分方程组的基本概念、求解方法以及一些应用示例。
首先，让我们明确耦合常微分方程组的定义。
耦合常微分方程组由n个微分方程组成，每个方程都涉及n个未知函数和它们的导数。
这些方程之间存在相互关系，因此必须同时求解才能得到系统的完整解。
具体而言，耦合常微分方程组可以表示为:dx1/dt = f1(x1, x2, ..., xn)dx2/dt = f2(x1, x2, ..., xn)dxn/dt = fn(x1, x2, ..., xn)其中x1, x2, ..., xn是未知函数，f1, f2, ..., fn是给定的函数。
解决耦合常微分方程组的一种常见方法是数值求解。
数值求解可以将微分方程组转化为差分方程，然后使用数值方法逼近解。
其中一种常用的数值方法是欧拉法（Euler's method），它基于线性插值来逼近解。
欧拉法的基本思想是用导数值在某一点上的近似值来估计下一个点上的函数值。
通过迭代计算，可以逼近整个解曲线。
然而，欧拉法的精度有限，对于一些高阶的方程组可能不够准确。
因此，还有许多其他更高阶的数值方法可供选择，如龙格-库塔法（Runge-Kutta method）和Adams方法等。
另一种求解耦合常微分方程组的方法是使用解析解。
解析解是指用一种或多种已知的函数去表示解的形式。
通常，解析解只存在于特殊的情况下，对于大多数复杂的方程组而言，很难找到解析解。
然而，对于某些简单的方程组，可以通过分离变量、线性叠加或变量替换等方法，得到解析解。
解析解具有精确性和清晰的物理意义，因此在一些特定应用中很有用。
现在让我们来看一些实际的应用示例。
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16.1.8 练习：耦合循环对称边界
❖ 在此练习中，由生成耦合DOF 设置来模拟有循环对称性的模 型的接触问题
1.建模并在图形窗口中画单元 2.在总体柱坐标系下，生成具有
Y的增量为30的节点复制件 a.将当前坐标系变为总体柱坐
标系 b. 在当前坐标系中，以Y=30
的增量拷贝所有的结点
例如, cp,,ux,all 是把所有选择节点在UX方 向上耦合
输入耦合设置参考号 ，选择自由度卷标
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16.1.6 创建耦合设置(续)
❖②在零偏移量的一组节点之间生成附加耦合关系: ❖Main Menu: Preprocessor > Coupling / Ceqn > Gen w/Same Nodes
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16.2.1 约束方程的特点
约束方程的特点 ❖ 自由度卷标的任意组合 ❖ 任意节点号 ❖ 任意实际的自由度方向――在不同的节点上
ux可能不同
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16.2.2 一般应用
❖ 连接不同的网格 • 实体与实体的界面 • 2－D或3－D • 相同或相似的单元类型 • 单元面在同一表面上，但结点位置不重合
如：用耦合施加循环对称 性，在循环对称切面上的 对应位置实施自由度耦合
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16.1.3 施加对称条件
❖ 耦合自由度常被用来施加移动或循环对称性条件。 这可以保证平面截面依然是平面。例如：
❖ -对圆盘扇区模型 (循环对称)，应使两个对称边界上 的对应节点在各个自由度上耦合。
性区的其它节点上 ❖ 使用CERIG 命令(或 Preprocessor > Coupling/Ceqn
ns方程以及各类耦合方程 概述及解释说明
ns方程以及各类耦合方程概述及解释说明1. 引言1.1 概述在流体力学领域中，研究流体的运动和相互作用是非常重要的。
然而，由于流体运动的复杂性和多样性，需要使用一系列方程来描述和模拟这一过程。
其中最为基础且广泛应用的方程之一就是Navier-Stokes (NS) 方程。
本文将对NS方程以及各类耦合方程进行概述和解释说明。
首先，我们将介绍NS方程的定义与背景，并讨论其数学形式及物理意义。
随后，我们将探讨各类耦合方程的定义与分类，并着重介绍主要的耦合模型以及特殊情景下的耦合效应。
1.2 文章结构本文共分为五个部分。
除了引言外，还包括NS方程、各类耦合方程、解释与说明以及结论部分。
每个部分都有自己明确的内容目标，形成文章逻辑清晰、条理性强的结构。
1.3 目的本文旨在全面介绍NS方程和各类耦合方程，并对其进行详细解释和说明。
通过阐述数学形式、物理意义和特殊情景下的耦合效应等内容，读者能够更好地理解这些方程在流体力学中的应用和作用。
此外，我们还将探讨解析解和数值解的求解方法，并通过工程实例展示其应用价值。
最后，在结论部分，我们将总结文章的主要内容，并对局限性进行分析，并展望未来研究方向，以促进相关领域的发展和创新。
本文所涵盖的内容旨在为读者提供一个全面且具有参考价值的概述，帮助他们更好地理解和运用NS方程及各类耦合方程。
通过深入研究和了解这些概念和方法，读者可以拓宽自己在流体力学领域的知识面，并为相关研究提供有益的指导和启示。
2. NS方程：2.1 定义与背景：NS方程是流体力学中的一组偏微分方程，描述了流体运动的基本规律。
NS方程由连续性方程和动量守恒方程组成，用于描述流体的质量守恒和动量转移。
在欧拉描述下，连续性方程表示了质量守恒的法则，即流体在任意时刻和位置的质量保持不变。
而动量守恒方程则描述了力对流体运动产生的影响，其中包括惯性项、压力梯度项、粘性项等。
2.2 数学形式：NS方程可以写作以下形式：连续性方程：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0动量守恒方程：ρ(∂v/∂t + v·∇v) = -∇P + μ∇^2v + f其中，ρ代表流体的密度，t 代表时间，v是速度矢量，P是压力，μ是动力黏度（反映了流体粘性特性），f代表外部施加给流体的力。
耦合约束
当生成模型时，典型地是用单元去连接节点以建立不同自由度间的关系，但是，有时需要能够刻划特殊细节（刚性区域结构的铰链连接，对称滑动边界，周期条件，和其他特殊内节点连接等）。
这些用单元不足以来表达。
可用耦合和约束方程来建立节点自由度间的特殊联系，利用这些技术能进行单元做不到的自由度连接。
1）什么是耦合当需要迫使两个或多个自由度（DOFs）取得相同（但未知）值，可以将这些自由度耦合在一起，耦合自由度集包含一个主自由度和一个或多个其他自由度。
耦合只能将主自由度保存在分析的矩阵方程里，而将耦合集内的其他自由度删除。
计算的主自由度值将分配到耦合集内的所有其他自由度中去。
典型的耦合自由度应包括：部分模型包含对称；在两个重复节点间形成销钉，铰链，万向节和滑动连接；迫使模型的一部分表现为刚体。
2）如何生成耦合命令：cpGUI:preprocessor——coupl/ceqn——couple DOF在生成一个耦合节点之后，通过执行一个另外的耦合操作（保证用相同的参考编号集）将更多节点加到耦合集中。
也可用选择逻辑来耦合所选节点的全部耦合。
可用cp命令输入负的节点号来删除耦合集合中的节点。
要修改一耦合自由度（即增删节点或改变自由度标记）用CPNGEN命令（无GUI）CPINTF命令通过在对每对重合节点上定义自由度标记生成一耦合集而实现对模型重合节点的耦合。
此操作对“扣紧”几对节点（诸如一条缝）尤为有用命令:CPINTFGUI:preprocessor——couple/ceqn——coincident nodes除耦合重复节点外，还可用下列替换方法迫使节点有相同的变现方式：1如果对重复节点所有自由度都要耦合，通常用NUMMRG（numbering——mergeit）将这些节点合并起来更方便；2可用EINTF命令（create——element——at coincident）在重复节点生成2节点单元连接3用EINTF(preprocessor——couple/ceqn——adjacent rejoins)将两个不相似网格模式的区域连接起来，这项操作使一个区域的选定节点与另一个区域的选定单元连接起来生成约束方程4用下列方法以相同的节点号但与已有模式集不同的自由度标记生成新的耦合集命令：CPSGENGUI：preprocessor——couple/ceqn——genw/sam node5用下列方法生成与已有耦合集不同（均匀增加的）节点编号但有相同的自由度标记的新耦合集命令：CPSGENGUI:couple/ceqn_genw_samdof6用下列方法对耦合自由度集列表命令：CPLISTGUI:list——other——couple set7用下列方法删除耦合命令：CPDELEGUI:couple/ceqn——del couple sets（删除集）必须用cpngen命令或cp命令以耦合集中删除特定的节点！3）耦合的其他条件1每个耦合的节点都在节点坐标系下进行耦合操作，通常应当保持节点坐标系一致性2自由度是在一个集内耦合而不是集之间耦合，不允许一个自用度出现在多于一个耦合集中3接地自由度（由D或其他约束命令指定自由度值）不能包括在耦合集合中4在减缩自由度分析中，如果主自由度要从耦合自由集中选取，只有主要自由度才能被指定为主自由度（不能指定耦合集中的删除自由度为主自由度）5在结构分析中，耦合自由度以生成以刚体区域有时会引起明显的平衡破坏不重复的或不与耦合位移方向一致的一个耦合节点集会产生外加力矩但不会出现在反力中1 耦合当需要迫使两个或多个自由度取得相同（但未知）值，可以将这些自由度耦合在一起。
约束和耦合方程
工程问题中的约束和耦合方程
结构分析
在结构分析中，约束和耦合方程用于描述结 构的位移、应力和应变，如有限元分析中的 刚度方程和约束条件。
控制系统
在控制系统中，约束和耦合方程用于描述系统的动 态行为，如状态方程和控制方程。
热力学
在热力学中，约束和耦合方程用于描述热量 的传递和物质的相变过程，如传热方程和相 变方程。
优化约束方程
1 2
定义
优化约束方程是指带有优化目标的满足 $x + y = 1$，$x^2 + y^2 leq 1$。
3
解法
常用的解法有梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
约束方程的解法
单纯形法
适用于线性约束方程，通过迭 代寻找最优解。
梯度法
适用于连续可微的非线性约束 方程，利用函数梯度寻找最优 解。
牛顿法
适用于非线性约束方程，通过 迭代更新解的近似值。
拟牛顿法
适用于非线性约束方程，利用 拟牛顿矩阵近似海森矩阵，提
高牛顿法的收敛速度。
03
耦合方程的分类与解法
线性耦合方程
定义
线性耦合方程是指方程中未知数 的系数为常数，且方程之间通过 线性关系相互关联。
特点
线性耦合方程具有形式简单、易 于求解的特点，通常可以通过代 数方法或迭代方法求解。
工程设计
在工程设计中，约束和耦合方程被广泛应用于结构分析、流体动 力学等领域。
物理模拟
在物理模拟中，约束和耦合方程被用于描述物理现象的相互作用 和演化。
经济建模
在经济建模中，约束和耦合方程被用于描述不同经济主体之间的 相互关系和影响。
02
约束方程的分类与解法
线性约束方程
定义
耦合的公式(二)
耦合的公式(二)耦合的公式在物理学和工程学中，耦合是指两个或多个系统之间相互影响或相互依赖的现象。
在数学建模中，我们可以使用耦合的公式来描述这种相互影响或依赖关系。
下面是一些常见的耦合公式及其解释说明。
1. 费马的小定理费马的小定理是数论中的一个重要定理，它描述了素数与模运算之间的关系。
该定理可以表示为以下公式：a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}其中，a是一个整数，p是一个素数。
例如，我们要判断一个数是否为素数，可以使用费马的小定理。
如果对于给定的数a，我们选择一个素数p，计算a^{p-1}对p取余，如果结果等于1，则a可能是素数，否则不是素数。
2. 随机游走随机游走是一种随机过程，描述了在随机因素的影响下，物体在空间中的连续移动。
其中一个经典的随机游走模型是随机行走模型，可以用以下公式表示：x_t = x_{t-1} + \epsilon_t其中，x_t表示在时间t的位置，x_{t-1}表示在时间t-1的位置，_t表示在时间t的随机步长。
例如，我们可以用随机游走模型来模拟股票价格的变动。
每个时间点的股票价格可以通过上一个时间点的价格加上一个随机的步长来计算。
3. 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是电磁学中的一组基本方程，描述了电场和磁场之间的耦合关系。
其中一个麦克斯韦方程可以表示为以下公式：\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf {B}}{\partial t}其中，表示电场，表示磁场，，表示对时间的偏导数。
这个方程描述了磁场随时间变化的规律与电场的旋度之间的关系。
4. 生态系统模型生态系统模型是用于描述生物群落、能量流动和物质循环等生态系统过程的数学模型。
一个常见的生态系统模型是Lotka-Volterra方程，可以表示为以下公式：\frac{dN_1}{dt} = r_1N_1 - \alpha_1N_1N_2\frac{dN_2}{dt} = -r_2N_2 + \alpha_2N_1N_2其中，N_1和N_2表示两个物种的数量，r_1和r_2表示它们的自然增长率，_1和_2表示相互作用的强度。
abaqus coupling约束详解
abaqus coupling约束详解abaqus是一款强大的有限元分析软件，其耦合约束功能在工程仿真中起着至关重要的作用。
本文将详细介绍Abaqus耦合约束的类型、设置方法以及在实际工程中的应用，帮助读者更好地理解和利用这一功能。
一、Abaqus耦合约束概述Abaqus耦合约束主要用于将两个或多个变量之间建立强耦合关系，从而实现特定物理场的仿真。
在abaqus中，耦合约束可分为内部耦合和外部耦合两类。
内部耦合约束用于同一部件内的不同变量之间，而外部耦合约束则用于不同部件之间。
二、常见耦合约束类型及应用1.内部耦合约束：包括位移耦合、力耦合、温度耦合等。
在实际应用中，位移耦合最为常见，可用于模拟不同部件之间的相对运动关系。
2.外部耦合约束：主要包括表面耦合和接触耦合。
表面耦合用于模拟两个部件之间的表面之间的相互作用，接触耦合则用于实现部件间的接触与摩擦行为。
三、耦合约束设置与操作方法1.创建耦合约束：在Abaqus中，可通过创建场变量并与部件几何体或边界条件进行耦合来实现约束。
具体操作步骤为：创建场变量-> 定义场变量耦合-> 选择部件或边界条件-> 设置耦合关系。
2.管理耦合约束：在仿真过程中，可通过管理耦合约束面板来查看和编辑已设置的耦合约束。
此面板提供了耦合约束的详细信息，如约束类型、目标变量等。
3.删除耦合约束：若需删除耦合约束，可在管理耦合约束面板中选中需删除的约束，点击删除按钮即可。
四、耦合约束在实际工程中的应用案例1.结构力学仿真：在桥梁、建筑等结构力学仿真中，可通过耦合约束实现不同部件之间的位移关系，以评估结构的稳定性和安全性。
2.热传导仿真：在电子器件、建筑节能等领域，耦合约束可用于模拟温度分布，分析热传导过程中的热应力、热膨胀等现象。
3.流固耦合仿真：在航空航天、汽车工程等领域，耦合约束可实现流体与固体部件之间的相互作用，如空气动力学仿真、发动机燃烧室仿真等。
ansys自由耦合技术
耦合及约束方程
B. 约束方程
• 约束方程 (CE) 定义节点自由度之间的线性关系
– 如果耦合两自由度, 它们间的关系为UX1 = UX2. – CE 是更一般的耦合形式，允许写诸如UX1 + 3.5*UX2 = 10.0.的约束方
程
• 在模型中可以定义任意数目的CEs • 而且，一个CE可以有任意数目的节点和任意组合的自由度。一般
Y X
耦合每一节点 对的UY自由度
第5页/共15页
耦合及约束方程
耦合
铰链 • 耦合可用于模拟铰联接。如铰链及万向节 • 通过力矩释放: 耦合一点的平移自由度并剩下旋转自由度不耦合 • 例如, 如果在A处的重合节点在UX及UY方向耦合，而ROTZ不耦
合，A点是一个铰链。
A Coincident nodes, shown separated for clarity.
– 模拟圆盘的一个扇区(循环对称), 耦合两个对称边界节点对的所有自由度 – 模拟梳状模型的半个齿（平移对称), 耦合一侧的所有节点的自由度
这个边界的对 称边界条件
耦合这些节点 的所有自由度
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耦合及约束方程
耦合
无摩擦界面 • 若满足下列条件，一个接触表面可以用耦合自由度来模拟:
– 表面已知保持接触 – 分析为几何线性的(小变形) – 摩擦可以忽略 – 两个表面的节点形式相同第6/共15页耦合及约束方程
耦合
生成耦合集的方法 • 在一个方向上耦合节点集: • 耦合重合节点对: • 通过一定的偏距耦合节点对，如循环对称:
第7页/共15页
耦合及约束方程
耦合
• 需要注意的:
– 耦合集中的自由度方向(UX, UY,等.)是在节点坐标系下。 – 求解器将保留节点集的第一个自由度作为主自由度并消除其余自由度 – 施加到耦合节点上的力(在耦合自由度方向上)将求和并施加到主节点上 – 耦合自由度方向的约束将施加到主节点上。
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提供的单元分析时，各个单元的节
点自由度之间相互独立。
但在某些情况下，这些自由度之间可能存
使用耦合或约束方程来
一个耦合设置是一组被约束在一起，有着相同大小、但值未知的自由的梁模型，每个节点上有三
点为一铰链连接。
结构可用下面右图Main Menu: Preprocessor > Coupling / Ceqn > Couple DOFs
2.单击OK
1.拾取将要耦合的结点
3.输入耦合设置参考号
，选择自由度卷标4.单击OK .湖南大学土木桥梁
> Gen w/Same Nodes
3.单击OK
输入现存耦合设
> Coincident Nodes
指定自由度卷标.3.单击OK。
通常应当保持节点坐标系的一致。
不允许一个自由度出现在多于一个
，顶部截面位置的高度一致，
5000kN。
1000kN
5000kN
*SET,ND_LEFT,NODE(0,0,20) !* 得到节点号CP,1,UX,ND_LEFT,ND_RIGHT !* 耦合顶部节点
约束方程提供了一种比简单耦合更为通用的联系节点不同或相同自由度
而耦合仅仅描述两个节点或节点集之间位移的相等关系，是约束方程的
湖南大学土木桥梁9建立转动自由度和平动自由度之间的关系
本例中：ROTZ2=(UY3-UY1)/10
与接触耦合相似，但在两个界面之间允许有过盈量或穿透湖南大学土木桥梁
输入常数项，
湖南大学土木桥梁
: Main Menu: Preprocessor > Coupling / Ceqn >
: Main Menu: Preprocessor > Coupling/Ceqn >
3.选择OK
湖南大学土木桥梁> Rigid Region >
1.选择将要使用的
2.单击OK
湖南大学土木桥梁
> Adjacent Regions
3.5.单击OK
4.CEINTF,0.25,UX,UY,UZ,,,,0,
所有约束方程都是以小变形和小应变理论为基础的，不能用于几何非线
）中应用约束方程，应当只约束那
实际的工程结构均是复杂的三维结构，但是在结构分析中，往往根据各构件
的几何形状和受力特点进行降维处理，分别简化为不同维数维的典型构件，
湖南大学土木桥梁把板单元或梁单元如果不作处理，与实体单元连接，这样就不传递转角
非传弯单元。
如果单元的结点自由度中既包含有平动自由度，又包含有转动自由度，即C1
传弯单元；同类连接：若各单元在连接点上具有相同性质的结点自由度，一个单元
上的荷载可以完整地传递到相邻的单元上，这种连接对单元间的相互约非同类连接：单元在连接点上的结点自由度数量和性质不相同，导致结
点连接对单元间的约束不充分，使传弯单元上承受的弯曲无法通过连接点传递到非传弯单元上，荷载传递中断，出现单元间约束不足。
在有限元模型中，有些单元间的连接不完全是通过结点进行的，而是通过
有限元模型中自由度不协调是有限元分析的一个难点，处理的方法很多。
湖南大学土木桥梁
约束不足的处理方法示例（板与块）
轴的旋转自由度，当梁与板的连接如果诱发板单元
湖南大学土木桥梁。