人教版九年级数学上册教案：21.2.1 直接开平方法

21.2.1 直接开平方法

教学内容

运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．

教学目标

理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．

提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．

重难点关键

1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．

2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．

教学过程

一、复习引入

学生活动：请同学们完成下列各题

问题1．填空

（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．

问题2．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s?的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，

BC=12cm ，?P 、Q 都从B 点同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2？

https://www.360docs.net/doc/9314663407.html, P 老师点评：

问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（

2p ）2 2p ．问题2：设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2

则PB=x ，BQ=2x

依题意，得：

12x ·2x=8 x 2=8

根据平方根的意义，得x=±

即x 1

，x 2

可以验证，

都是方程12

x ·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．所以

秒后△PBQ 的面积等于8cm 2．

二、探索新知

上面我们已经讲了x 2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±

x 换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？

（学生分组讨论）

老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x ，那么2t+1=±

即

，

方程的两根为t 1

-12，t 2

-12

例1：解方程：x 2+4x+4=1

分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．解：由已知，得：（x+2）2=1

直接开平方，得：x+2=±1

即x+2=1，x+2=-1

所以，方程的两根x1=-1，x2=-3

例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．

分析：设每年人均住房面积增长率为x．?一年后人均住房面积就应该是10+?10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2 解：设每年人均住房面积增长率为x，

则：10（1+x）2=14.4

（1+x）2=1.44

直接开平方，得1+x=±1.2

即1+x=1.2，1+x=-1.2

所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2

因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．

所以，每年人均住房面积增长率应为20%．

（学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？

共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．?我们把这种思想称为“降次转化思想”．

三、巩固练习

教材练习．

四、应用拓展

例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？

分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，?那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x．

那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31

把（1+x）当成一个数，配方得：

（1+x+1

2）2=2.56，即（x+3

）2=2．56

x+3

2=±1.6，即x+3

=1.6，x+3

=-1.6

方程的根为x1=10%，x2=-3.1

因为增长率为正数，

所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．

五、归纳小结

本节课应掌握：

由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=转化为应用直接开平方法解

形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=

六、布置作业

1．教材复习巩固1、2．

2．选用作业设计:

一、选择题

1．若x 2-4x+p=（x+q ）2，那么p 、q 的值分别是（）．

A ．p=4，q=2

B ．p=4，q=-2

C ．p=-4，q=2

D ．p=-4，q=-2

2．方程3x 2+9=0的根为（）．

A ．3

B ．-3

C ．±3

D ．无实数根

3．用配方法解方程x 2-23

x+1=0正确的解法是（）．

A ．（x-

13）2=89，x=13±3 B ．（x-13）2=-89

，原方程无解

C ．（x-

23）2=59，x 1=23+3，x 2=23 D ．（x-23

）2=1，x 1=53，x 2=-13 二、填空题

1．若8x 2-16=0，则x 的值是_________．

2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．

3．如果a 、b 2-12b+36=0，那么ab 的值是_______．

三、综合提高题

1．解关于x 的方程（x+m ）2=n ．

2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m ），?另三边用木栏围

成，木栏长40m．

（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？

（2）鸡场的面积能达到210m2吗？

3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，?并说明你制作的理由吗？

答案:

一、1．B 2．D 3．B

二、12．9或-3 3．-8

三、1．当n≥0时，x+m=x1，x2-m．当n<0时，无解2．（1）都能达到．设宽为x，则长为40-2x，

依题意，得：x（40-2x）=180

整理，?得：?x2-20x+90=0，x1x2

同理x（40-2x）=200，x1=x2=10，长为40-20=20．

（2）不能达到．同理x（40-2x）=210，x2-20x+105=0，

b2-4ac=400-410=-10<0，无解，即不能达到．

3．因要制矩形方框，面积尽可能大，

所以，应是正方形，即每边长为1米的正方形．

九年级上直接开平方法教案

九年级上直接开平方法教案 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.

直接开平方法教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．教学目标理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a （ex+f ）2+c=0型的一元二次方程．重难点关键 1．重点：运用开平方法解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程；领会降次── 转化的数学思想． 2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x 2=n ，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题1．填空（1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x 2+px+_____=（x+______）2．问题2．如图，在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始，沿AB 边向点B 以1cm/s?的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果AB=6cm ，BC=12cm ，?P 、Q 都从B 点同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2 B C A Q https://www.360docs.net/doc/9314663407.html, P 老师点评：问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（2p ）2 2 p ．问题2：设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2 则PB=x ，BQ=2x 依题意，得：12 x ·2x=8 x 2=8 根据平方根的意义，得x=±

人教版初中数学第1课时直接开平方法2教案

21.2.1 配方法第1课时直接开平方法教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．教学目标理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．重难点关键 1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想． 2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题1．填空（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．问题2．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s?的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，?P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？

B C A Q https://www.360docs.net/doc/9314663407.html, P 老师点评：问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（2p ）2 2 p ．问题2：设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2 则PB=x ，BQ=2x 依题意，得： 12x ·2x=8 x 2=8 根据平方根的意义，得x=± 即x 1 ，x 2 可以验证，和都是方程 12x ·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．所以秒后△PBQ 的面积等于8cm 2．二、探索新知上面我们已经讲了x 2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=± ，如果x 换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x ，那么2t+1=± 即，方程的两根为t 1 -12，t 2 -12 例1：解方程：x 2+4x+4=1

人教版九年级数学下册教学设计(优秀)

第二十六章反比例函数 26.1 反比例函数 26.1.1 反比例函数 1．理解反比例函数的概念；(难点) 2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求解析式；(重点) 3．能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型．(重点) 一、情境导入 1．京广高铁全程为2298km，某次列车的平均速度v(单位：km/h)与此次列车的全程运行时间t(单位：h)有什么样的等量关系？ 2．冷冻一个物体，使它的温度从20℃下降到零下100℃，每分钟平均变化的温度T(单位：℃)与冷冻时间t(单位：min)有什么样的等量关系？问题：这些关系式有什么共同点？二、合作探究探究点一：反比例函数的定义【类型一】反比例函数的识别下列函数中：①y＝ 3 2x；②3xy＝1；③y＝ 1－2 x；④y＝ x 2.反比例函数有() A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①y＝ 3 2x是反比例函数，正确；②3xy＝1可化为y＝ 1 3x，是反比例函数，正确； ③y＝ 1－2 x是反比例函数，正确；④y＝ x 2是正比例函数，错误．故选C. 方法总结：判断一个函数是否是反比例函数，首先要看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的定义去判断，其形式为y＝ k x(k为常数，k≠0)，y＝kx －1(k为常数，k ≠0)或xy＝k(k为常数，k≠0)．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】根据反比例函数的定义确定字母的值已知函数y＝(2m2＋m－1)x2m2＋3m－3是反比例函数，求m的值．解析：由反比例函数的定义可得2m2＋3m－3＝－1，2m2＋m－1≠0，然后求解即可．

人教版九年级数学上册教案《圆》

《圆》圆是常见的几何图形，是平面几何中基本的图形之一，它具有独特的性质。本章是在学生在小学学过的圆的知识的基础上，系统研究圆的概念和性质，点与圆、直线与圆的位置关系、正多边形和圆的关系，以及圆的弧长与面积的计算等问题。本小节是圆这一章的第一节课，主要是研究圆的概念及其相关概念，本节内容是继续研究圆的性质的基础。教材一开始是让学生观察生活中有关圆的形象的物体，结合小学学过的有关圆的知识，通过用圆规画圆的方法导入圆的定义的。圆的定义方法有两种，一种是描述性定义，一种是集合性定义。圆的描述性定义，要让学生用自己的语言尝试表述，教师可以引导学生通过观察画加深理解；圆的集合定义，应通过观察、体会画圆的过程，引导学生从圆和点两个方面去思考得出圆的集合定义。得出圆的定义后，接着介绍圆心、半径、弦、直径、弧、半圆、等圆、等弧等相关性质。教材中的例1是证明四点共圆，只要证明矩形的四个顶点到对角线的交点距离相等即可，进一步让学生体会圆的集合定义的应用。【知识与能力目标】 1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念； 2.了解等圆、等弧的概念。

【过程与方法目标】从感受圆在生活中大量存在到圆的概念的形成过程中，让学生体会圆的不同定义方法，感受圆和实际生活的联系。【情感态度价值观目标】在探索圆的概念的过程中让学生体会数学知识无处不在，感受生活中处处有数学。【教学重点】对圆的两种定义的理解。【教学难点】对圆的集合定义的理解。多媒体课件、教具等。一、创设情境，引入新课问题1 观察下列图形，你能从中找出它们的共同特征吗？追问：你能再举出一些生活中类似的实例吗？设计意图：让学生观察图形，感受圆和实际生活的密切联系，为学习圆的相关概念打下基础，同时还可以激发学生的学习热情。二、探索新知，形成概念问题2 观察下列画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？

解一元二次方程(直接开平方法)教学设计

解一元二次方程(直接开平方法)教学设计一、教学目标： 1、掌握用开平方法解形如ax2+c=0（缺一次项）的方程。 2、掌握用开平方法解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程。二、重难点：重点：运用开平方法解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程．难点：通过平方根的意义解形如x2=a的方程，再迁移到形如（x+m）2=n（n≥0）的方程。三、设计思路：通用复习平方根的意义，为运用开平方法解一元二次方程作铺垫；通过问题引出运用开平方法解方程的必要性；通过习题的练习和讲解，由浅入深迁移到解可化为形如（x+m）2=n（n≥0）的方程。四、教学过程：（一）复习引入 1、复习平方根的意义。 2、练习：求出下列各式中x的值。（1）x2=16 （2）x2=7 4（3）x2=a（a>0）（3）x2= 25 （二）探索问题:一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？解：设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为 dm2，列方程，整理，得

对照上述练习解方程的过程，你能解下列方程吗？（老师）解出完整的过程。小结：方程x2=P，①当P﹥0时，x1=-P，x2=P；②当P=0时，x1= x2=0；③当P﹤0时，方程无实数根。练习：解方程下列方程。（1）x2-9=0 （2）3x2=15（3）2x2-8=0 （三）解讲例题：解方程（1）（x-3）2=5 （2）3（x+2）2-9=0 （学生）归纳：应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±p 转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±p。（四）课堂练习： 1、若3x2-15=0，则x的值是_________。 2、方程2（x-3）2=36的根是________。 3、方程2x2+8=0的根为（）． A．2 B．-2 C．±2 D．无实数根 4、解下列方程（1）x2-5=0 （2）3x2-12=0 （1）4x2-1=0 （4）（2x-3）2-4=0 五、课外练习：P6练习六、课外作业：P16复习巩固第1题

苏教版九年级数学《圆》教案

P O 苏教版九年级数学《圆》教案宿城区埠子中学蔡志慧教学目标 1、理解圆的定义（圆的描述概念和圆的集合概念）； 2、掌握点和圆的三种位置关系； 3、会利用点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系判定点和圆的位置关系； 4、初步会运用圆的定义证明四个点在同一个圆上。教学重点：确定点和圆的三种位置关系以及圆的集合概念的理解教学难点：点和圆的三种位置关系的理解和应用教学过程：一，探究新知观察图形，议一议：车轮为什么是圆的？能否做成正方形或三角形？一切平面图形中，最美的是圆！ ——毕达哥拉斯[古希腊数学家 1、圆的描述定义：把一条线段OP （用你手边的圆珠笔代替）的一个端点O 固定，使线段OP 绕点O 在平面内旋转一周，另一个端点P 所形成的图形是______。其中，定点O 叫______，线段OP 叫______。以点O 为圆心的圆，记作______，读作______。

O 2、思考：确定一个圆的两个要素是_______和________，以定点A 为圆心作圆，能作______个圆；以定长r 为半径作圆，能作______个圆；以定点A 为圆心、定长r 为半径作圆，能且只能作_______个圆。二、观察、思考与小结： 1、请你在圆上任取3个点，分别量出这三个点到圆心的距离，你发现了什么? 小结：（1）圆上各点到圆心（定点）的距离都______定长______；反之，到圆心的距离等于半径的点都在______上。（2）满足上述两个条件，我们可以把圆看成是一个集合。圆的集合定义：圆是________________________________。 2、请你在圆内任取3个点，你发现了什么? 小结：（1）圆内的点到圆心（定点）的距离都______定长______；反之，到圆心的距离小于半径的点都在______。（2）圆的内部可以看作是____________________________________。 3、请你在圆外任取3个点，你发现了什么? 小结：（1）圆外的点到圆心（定点）的距离都______定长______；反之，到圆心的距离大于半径的点都在______。（2）圆的外部可以看作是____________________________________。如果⊙O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，那么点P 在圆内?_____________；点P 在圆上?_____________；点P 在圆外?_____________。三、尝试与交流 1，已知⊙O 的面积为25π，判断点P 与⊙O 的位置关系．（1）若PO=5.5，则点P 在；（2）若PO=4，则点P 在；（3）若PO= ，则点P 在圆上 2画一画作图说明满足下列要求的图形: 1. 给定一个A 点，请作出到点A 的距离等于2cm 的所有点组成的图形. 2. 再给定一个B 点，使线段AB=3cm ，请作出到点B 的距离等于2cm 的所有点组成的图形. 3. 请作出到点A 和点B 的距离都等于2cm 的所有点组成的图形. 4. 到点A 和点B 的距离都小于2cm 的所有点组成的图形. 5. 到点A 的距离小于等于2cm,且到点B 的距离都大于等于2cm 的所有点组成的图形.

人教版九年级数学上册全册教案

(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！) 数学教案（七年级上册）第1章有理数第2章整式的加减第3章一元一次方程第4章图形认识初步第一章有理数 1.1正数和负数教学目标： 1、了解正数与负数是从实际需要中产生的。 2、能正确判断一个数是正数还是负数，明确0既不是正数也不是负数。 3、会用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量。重点：正、负数的概念重点：负数的概念、正确区分两种不同意义的量。 2、正数和负数教师：如何来表示具有相反意义的量呢？我们现在来解决问题4提出的问题。结论：零下5℃用－5℃来表示，零上5℃用5℃来表示。为了用数表示具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量。如零上、向东、收入和高于等规定为正的，而把与它相反的量规定为负的。正的用小学学过的数（0除外）表示，负的用小学学过的数（0除外）在前面加上“－”（读作负）号来表示。根据需要，有时在正数前面也加上“+”（读作正）号。注意：①数0既不是正数，也不是负数。0不仅仅表示没有，也可以表示一个确定的量，如温度计中的0℃不是没有表示没有温度，它通常表示水结成冰时的温度。②正数、负数的“+”“－”的符号是表示量的性质相反，这种符号叫做性质符号。

三、巩固知识 1、课本P3 练习 2、课本P4例义。四、总结 ①什么是具有相反意义的量？②什么是正数，什么是负数？③引入负数后，0的意义是什么？五、布置作业课本P5习题1.1第1、2题。 1.2.1有理数教学目标： 1、正确理解有理数的概念及分类，能够准确区分正整数、0、负整数、正分数、负分数。 2、掌握有理数的分类方法，会对有理数进行分类，体验分类是数学上常用的处理问题的方法。重点：正确理解有理数的概念重点：有理数的分类教学过程：一、知识回顾，导入新课什么是正数，什么是负数？问题1：学习了负数之后，我们对数的认识范围扩大了，你能写出三个不同类型的数吗？（请三位同学上黑板上写出，其他同学在自己的练习本上写出，如果有出现不同类型的数，同学们可上黑板补充。）问题2：观察黑板上的这么数，并给它们分类。先让学生独立思考，接着讨论和交流分类的情况，得出数的类型有5类：正整数、0、负整数、正分数、负分数。二、讲授新课 1、有理数的定义引导学生对前面的数进行概括，得出：正整数、零、负整数统称为整数；正分数和负分数统称分数。整数可以看作分母为1的分数，正整数、零、负整数、正分数和负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数，即整数和分数统称有理数。 2、有理数的分类让学生在总结出5类数基础上，进行概括，尝试进行分类，通过交流和讨论，再加上老师适当的指导，逐步得出下面的两种分类方式。（1）按定义分类：（2）按性质分类：

一元二次方程的解法(直接开平方法)

用直接开平法解一元二次方程学习目标： 1、使学生理解直接开平方法的定义和基本思想； 2、学会用直接开平方法解一元二次方程； 3、知道：形如（含有未知数）2＝非负数，的方程都可以用直接开平方法解。重点：用用直接开平方法解一元二次方程；难点：如何识别一个一元二次方程可以用用直接开平方法解；教学过程：一、检查预习 1、解方程：0362=-x 二、复习练习 1、把下列方程化为一般形式，并说出各项及系数。（1）245x x -= （2）235x = （3）()()()2212 2-+=+-y y y y 2、要求学生复述平方根的意义。（1）文字语言表示：如果一个数的平方等于a ，这个数叫a 的平方根。（2）用式子表示：若a x =2，则x 叫做a 的平方根。一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。（3）4 的平方根是，81的平方根是， 100的算术平方根是。三、新课讲解例1：解下列方程（1）x 2＝4；（2）x 2－1＝0; 处理：1、让学生尝试解，然后总结方法。 2、形如)0(2≥=a a x ，a x ±= 练习：解下列方程（1）092=-x （2）022=-x 例2、解方程（1）025162=-x 练习：解下列方程：（1）12y 2－25＝0；（2）01642=-x 例3、解方程（x ＋1）2＝144 练习：解方程025)2(42=-+x 四、巩固练习

1、请大家帮帮忙，挑一挑，拣一拣，下列一元二次方程中，哪些更适宜用直接开平方法来解呢？ ⑴ x 2=3 ⑵ 3t 2-t=0 ⑶ 3y 2=27 ⑷ (y-1)2-4=0 ⑸ (2x+3)2=6 ⑹ x 2+x-9=0 ⑺ x 2=36x ⑻ x 2+2x+1=0 2、解下列方程（1）0822=-x （2）3592=-x （3）09)6(=-+x （4）06)1(32=--x ] 五、小结。直接开平方法解一元二次方程的关键是要化成什么形式？（学生畅所欲言）六、小测解下列方程（1）1692=x （2）01222=-x （3）036)2(2=-+x （4）3)13(2=-x 七、作业 1、预习配方法：尝试解方程 0242=+-y y 2、完成学习辅导P17——P18。

因式分解法、直接开平方法(2)

第一章因式分解 1.2.1 因式分解法、直接开平方法（2）主备人备课时间集体修订时间课型新授课授课人许大精授课时间教学札记教学目标： 1、知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程。 2、学会用因式分解法和直接开平方法解形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程。 3、引导学生体会“降次”化归的思路。知识与能力：通过两种方法解简单的一元二次方程，初步培养学生解方程的能力，培养学生观察、类比、转化的思维能力．情感态度价值观：通过平方根的理论，因式分解的理论求一元二次方程的解，使学生建立旧知与新知的联系，由已有的知识形成新的数学方法，激发学生的学习兴趣，让学生形成勤奋学习的积极情感，为以后学习打下良好的基础．通过解方程的教学，了解“未知”可以转化为“已知”的思想．教学重点: 掌握用因式分解法和直接开平方法解形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程。教学难点：通过分解因式或直接开平方将一元二次方程降次为一元一次方程。教学课时：1课时教学方法：自主、合作、探究教学媒体：多媒体教学过程：（一）复习引入 1、判断下列说法是否正确 (1) 若p=1，q=1，则pq=l( )，若pq=l，则p=1，q=1( )； (2) 若p=0，g=0，则pq=0( )，若pq=0，则p=0或q=0( )； (3) 若x+3=0或x-6=0，则(x+3)(x-6)=0( )，若(x+3)(x-6)=0，则x+3=0或x-6=0( )； (4) 若x+3= 或x-6=2，则(x+3)(x-6)=1( )，

若(x+3)(x-6)=1，则x+3= 或x-6=2( )。答案：(1) √，×。(2) √，√。(3)√，√。(4)√，×。 2、填空：若x2=a；则x叫a的，x= ；若x2=4，则x= ；若x2=2，则x= 。答案：平方根，±，±2，±。（二）创设情境前面我们已经学了一元一次方程和二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是什么？(消元、化二元一次方程组为一元一次方程)。由解二元一次方程组的基本思路，你能想出解一元二次方程的基本思路吗？引导学生思考得出结论：解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程。给出1．1节问题一中的方程：(35-2x)2-900=0。问：怎样将这个方程“降次”为一元一次方程? （三）探究新知让学生对上述问题展开讨论，教师再利用“复习引入”中的内容引导学生，按课本P．6那样，用因式分解法和直接开平方法，将方程(35-2x)2-900=0“降次”为两个一元一次方程来解。让学生知道什么叫因式分解法和直接开平方法。（四）讲解例题展示课本P．7例1，例2。按课本方式引导学生用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程。引导同学们小结：对于形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程，既可用因式分解法解，又可用直接开平方法解。因式分解法的基本步骤是：把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积(本节课主要是用平方差公式分解因式)的形式，然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解。直接开平方法的步骤是：把方程变形成(ax+b)2=k(k≥0)，然后直接开平方得ax+b= 和ax+b=- ，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解。注意：(1) 因式分解法适用于一边是0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程；

人教版九年级数学下册：全套教案

第二十六章二次函数 [本章知识要点] 1．探索具体问题中的数量关系和变化规律． 2．结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念． 3．会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 4．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 5．会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解． 6．会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题． 26．1 二次函数 [本课知识要点] 通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义． [MM 及创新思维] （1）正方形边长为a （cm ），它的面积s （cm 2）是多少？（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x 厘米，则面积增加y 平方厘米，试写出y 与x 的关系式．请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义． [实践与探索] 例1． m 取哪些值时，函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？分析若函数)1()(22 +++-=m mx x m m y 是二次函数，须满足的条件是： 02≠-m m ．解若函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是二次函数，则 02 ≠-m m ．解得 0≠m ，且1≠m ．因此，当0≠m ，且1≠m 时，函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是二次函数．回顾与反思形如c bx ax y ++=2 的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数．探索若函数)1()(22 +++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数，则m 取哪些

浙教版九年级数学上册《圆》教案

《圆》教案探索与思考：探索（一）：车轮为什么是圆形的 1)如图，A 、B 表示车轮边缘上的两点，O 表示车轮的轴心，A 、O 之间的距离与B 、O 之间的距离有什么关系？ 2）C 是表示车轮边缘上的任意一点，要是车轮能够平稳滚动，C 、O 之间的距离与A 、O 之间的距离应满足什么关系？ 3）在车轮的边缘上到点O 的距离与A .O 之间的距离相等的点还有吗？如果有请在图中描出几个点. 4）圆形车轮为什么平稳? A 自我归纳：从运动的观点看圆的定义1：等圆的定义：探索（二）：投圈游戏 1)一些学生正在做投圈游戏,他们呈“一”字型排开,这样的队形对每个人公平吗?如果不公平，画出你认为公平的示意图. 23 52) . 自我归纳：从集合的观点看圆的定义2：试根据圆的定义填空： 1、圆上各点到的距离都等于 . 2、到定点的距离等于定长的点都在 . 一个圆将其所在的平面分成几部分？它们分别是： 1)圆：圆是到定点的距离等于定长的点的集合.

2）圆的内部: 可以看作是到圆心的距离半径的点的集合. 3）圆的外部: 可以看作是到圆心的距离半径的点的集合. 探索（三）：投镖游戏观察这5个点与圆的位置关系 1) 点A .B .C .D .E 到圆心的距离分别与圆的半径有怎样的大小关系？ 2) 如果点P 与⊙O 都在同一平面内，那么点P 与⊙O 可能有哪几种关系？ 3) 你能根据P 与⊙O 的位置关系，确定P 到⊙心O 的距离d 与圆的半径r 的大小关系吗？反过来，你能根据d 与圆的半径r 的大小关系，确定点P 与⊙O 的位置关系吗？ 4）在平面内点与圆的位置关系有三种：当点在圆上是；反过来，当时，点在圆上. 当点在圆内是；反过来，当时，点在圆内. 当点在圆外是；反过来，当时，点在圆外. 合作交流，成果展示 A 1、画图：已知Rt △ABC ，AB

直接开平方法和因式分解法教案设计

直接开平方法和因式分解法【教学目标】 1．会用直接开平方法解形如a(x-k)2=b（a≠0，ab≥0）的方程； 2．灵活应用因式分解法解一元二次方程。 3．使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换远方法。【教学重难点】合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程，理解一元二次方程无实根的解题过程。【教学过程】一、提问导入怎样解方程(x+1)2=256的？让学生说出作业中的解法，教师板书。解：1．直接开平方，得x+1=±16；所以原方程的解是x1＝15，x2＝－17。 2．原方程可变形为： (x+1)2-256=0；方程左边分解因式，得： (x+1+16)(x+1－16)=0；即可(x+17)(x－15)=0；所以x＋17=0，x－15=0；原方程的解：x1＝15，x2＝－17。二、例题讲解与练习巩固 1．例1：解下列方程：（1）(x＋1)2－4＝0；（2）12(2－x)2－9＝0。分析：两个方程都可以转化为a(x-k)2=b （a≠0，ab≥0）的形式，从而用直接开平方法求解。

解（1）原方程可以变形为： (x＋1)2＝4，直接开平方，得： x＋1＝±2。所以原方程的解是：x1＝1，x2＝－3。原方程可以变形为________________________，有________________________。所以原方程的解是x1＝________，x2＝_________。 2．说明：（1）这时，只要把(x+1)看作一个整体，就可以转化为x2=b（b≥0）型的方法去解决，这里体现了整体思想。 3．练习一解下列方程：（1）(x＋2)2－16＝0；（2）(x＋2)2－18＝0；（3）(1－3x)2＝1；（4）(2x＋3)2－25＝0。三、读一读四、讨论、探索：解下列方程（1）(x+2)2=3(x+2)；（2）2y(y-3)=9-3y；（3）( x-2)2— x+2 =0；（4）(2x+1)2=(x-1)2；（5）x2-2x+1=49。五、本课小结 1．对于形如a(x-k)2=b（a≠0，ab≥0）的方程，只要把(x-k)看作一个整体，就可转化为x2=n（n≥0）的形式，用直接开平方法解。 2．当方程出现相同因式（单项式或多项式）时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解。

解一元二次方程练习题(直接开平方法、配方法)

? 解一元二次方程（直接开平方法、配方法） 1. 用直接开平方法解下列方程：（1）2225x =；（2）2 1440y -=． 2. 解下列方程：（1）2 (1)9x -=；（2）2(21)3x +=； ( （3）2(61)250x --=．（4）281(2)16x -=． 3. 用直接开平方法解下列方程：（1）25(21)180y -=；（2） 21(31)644 x +=；【（3）26(2)1x +=；（4）2 ()(00)ax c b b a -=≠，≥ … 4. 填空（1）28x x ++（）=（x + ）2 ．（2）223 x x - +（）＝（x - ）2．（3）2b y y a -+（）＝（y - ）2． 5. 用适当的数（式）填空： 23x x -+ (x =- 2)；

2x px -+ ＝(x - 2) % 23223(x x x +-=+ 2)+ ． 6. 用配方法解下列方程 1）．210x x +-= 2）．23610x x +-= 3）．21(1)2(1)02 x x ---+= ' 7. 方程22103x x -+=左边配成一个完全平方式，所得的方程是． 8. 用配方法解方程． 23610x x --= 22540x x --= ? 9. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ，2x = ． 10. 关于x 的方程22220x ax b a +-+=的解为 11. 用配方法解方程（1）210x x --=；（2）23920x x -+=．（ 12. 用适当的方法解方程（1）23(1)12x +=；（2）2 410y y ++=；

一元二次方程的解法直接开平方法教案

第二课：一元二次方程的解法-----直接开平方法教学目的：掌握解一元二次方程的直接开平方法；重点、难点：直接开平方法解一元二次方程教学过程：一、探索：请你和同学一起来探讨如何解下列方程：（1）x2＝4；（2）x2－1＝0; 归纳什么是直接开平方法；二、新课：例1解下列方程：（1）x2－2＝0; （2）16x2－25＝0. 解：（1）移项：(2) 直接开平方： ∴原方程的解是 2、练习：解下列方程：（1）x2＝169；（2）x2－7=0 （3）45－x2＝0；(4) 12y2－25＝0 (5)16x2－49=0 (6)2x2－32=0 例2解下列方程（1）（x＋1）2－4＝0；（2）12（2－x）2－9＝0. 分析：两个方程都可以转化为（）2=a的形式，从而用直接开平方法求解. 解：（1）（2）

4、练习：解下列方程：（1）（x ＋2）2－16＝0；（2）(x －1)2－18＝0；（3）(1－3x )2＝1；（4）(2x ＋3)2－25＝0. （5）（2x －3）2=5 (6)(x+1)2－12=0 (7) (x －5)2－36=0 (8) (6x －1)2=25 三、堂上练习： 1、用直接开平方法解下列方程；（1）012=-x （2）0162=-x （3）01212=-y （4）12822=x （5）021 22=-x （6）3432=y （7）x x x x +=-225 （8）15272-=-x

（9）1652=+)(x （10）49172=+)(x （11）41732=-)(y （12）010062=-+)(y 四、成果检测： 1、解下列方程（1）0642=-x （2）762=+y （3）3632=x （4）042=-)(x （5）16542=-)(y （6）24362=+)(y （7）8321 2=-)(x （8）0101012=-x （9）01622=-x （ 10）041212=-+)(x

新人教版初中数学九年级上册《第二十四章圆：24.1圆的有关性质》公开课获奖教案_1

24.1.1圆教学设计学习目标： 1、感受并发现圆的有关特征，理解圆的圆心、半径和直径等概念。 2、进一步积累认识图形的学习经验，培养学生的观察能力、动手操作能力、抽象概括能力和合作交流能力，增强空间观念，发展数学思考。 3、体验圆与生活的联系，从数学的角度感受圆的美，激发学生数学学习的热情和兴趣。教学过程：（一）情境引入前段时间我们学习了图形的旋转，图形的旋转创造了生活中的许多美。思考：圆绕其圆心旋转任何度数都能和自身重合吗？圆是一种基本的几何图形，圆形物体在生活中随处可见。展示图片（生活中的圆）这一节课我们一起学习“圆”。（二）学生自学组织学生自学，并要求学生完成自学提纲里的问题。自学提纲为：请同学们阅读课本78页至79页练习前的内容，并思考: 1. ①观察画圆的过程，你能概括出圆的定义吗？ ②圆的图形符号怎样来表示？ ③确定一个圆需要哪两个要素？ 2. ①从集合的角度怎样定义圆？ ②车轮为什么做成圆形的？ 3. ①理解圆的相关概念：弦、直径、弧、半圆、等圆、等弧。 ②注意区别优弧和劣弧。（三）检查自学效果请学生回答自学提纲中的问题，检测学生是否真正理解这些知识点，再组织学生进行评价并纠错，在学生回答的过程中老师把主要知识点在黑板上予以呈现，部分答案利用多媒体展示。（四）学以致用（变式练习）想一想：通过七道题，先让学生独立思考，然后请学生汇报结果，再请学生评价并纠错，最后归纳解题方法。老师适时做以引导，方法上的总结。 1、判断下列说法的正误 (1)弦是直径；( ) (2)半圆是弧； ( ) (3)过圆心的线段是直径； ( ) (4)过圆心的直线是直径；( ) (5)半圆是最长的弧；( ) (6)直径是最长的弦；( ) (7)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆;( (8)半径相等的两个圆是等圆.( ) 2、圆中最长的弦长为12cm,则该圆的半径为 3、下列说法错误的有（）个 ①经过P点的圆有无数个。 ②以P为圆心的圆有无数个。 ③半径为3cm且经过P点的圆有无数个。

直接开平方法(第一课时)

22.2解一元二次方程第一课时直接开平方法教学目的 1．使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程． 2．引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、归纳出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c＜0)的方法．教学重点、难点重点：准确地求出方程的根．难点：正确地表示方程的两个根．教学过程复习过程回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据．求下列各式中的x： 1．x2=225； 2．x2-169=0；3．36x2=49； 4．4x2-25=0．一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．解题的依据是：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．即一般地，如果一个数的平方等于a(a≥0)，那么这样的数有两个，它们是互为相反数．引入新课我们已经学过了一些方程知识，那么上述方程属于什么方程呢？新课例1 解方程 x2-4=0．解：先移项，得x2=4．即x1=2，x2=-2．这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．例2 解方程 (x+3)2=2．练习：P28 1、2 归纳总结 1．本节主要学习了简单的一元二次方程的解法——直接开平方法．

2．直接法适用于ax 2+c=0(a ＞0，c ＜0)型的一元二次方程．布置作业：习题22.1 4、6题达标测试 1.方程x 2-0.36=0的解是 A.0.6 B.-0.6 C.±6 D.±0.6 2.解方程:4x 2+8=0的解为 A.x 1=2 x 2=-2 B.2,221-==x x C.x 1=4 x 2=-4 D.此方程无实根 3.方程(x+1)2-2=0的根是 A.21,2121-=+=x x B. 21,2121+-=+=x x C. 21,2121+=--=x x D. 21,2121--=+-=x x 4.对于方程(ax+b)2=c 下列叙述正确的是 A.不论c 为何值,方程均有实数根 B.方程的根是a b c x -= C.当c ≥0时,方程可化为:c b ax c b ax -=+= +或 D.当c=0时,a b x = 5.解下列方程: ①.5x 2-40=0 ②.(x+1)2 -9=0 ③.(2x+4)2-16=0 ④.9(x-3)2-49=0

直接开平方法解一元二次方程教案

直接开平方法解一元二次方程教案教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程"降次"，转化为两个一元一次方程．教学目标理解一元二次方程"降次"──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．重难点关键 1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想． 2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n （n≥0）的方程．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题1．填空（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．问题2．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s?的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，?P、Q都从B 点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？老师点评：问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（）2 ．问题2：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2 则PB=x，BQ=2x 依题意，得：x·2x=8 x2=8 根据平方根的意义，得x=±2 即x1=2，x2=-2 可以验证，2和-2都是方程x·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．所以2秒后△PBQ的面积等于8cm2．二、探索新知上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±2，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±2 即2t+1=2，2t+1=-2 方程的两根为t1=-，t2=-- 例1：解方程：x2+4x+4=1 分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．解：由已知，得：（x+2）2=1 直接开平方，得：x+2=±1

直接开平方法练习题

1.下列方程中，不能用直接开平方法的是（） A. 230x -= B. 2(1)40x --= C. 2 20x x += D. 22(1)(21)x x -=+ 2. 下列说法中正确的是（） A. 方程24x =两边开平方，得原方程的解为 2x = B. 3x =是方程29x =的根，所以得根是3x = C. 方程2250x -=的根是5x =± D. 方程232640x x -+=有两个相等的根 3.已知0a ≠，方程2229160a x b -=的解是( ) A. 169b x a = B.43b x a = C.43b x a =± D.2 243b x a =± 4. 方程220(0)x m m +=<的根( ) A.2m - B.2m - C.22 m -± D.2m -± 5. 若2(1)10x +-=，则x 得值等于( ) A. 1± B. 2± C. 0或2 D. 0或-2 6、用直接开平方法解方程k h x =+2)( ，方程必须满足的条件是（） A ．k ≥o B ．h ≥o C ．hk ＞o D ．k ＜o 7、方程22) 1(=-x 的根是（） A.-1、3 B.1、-3 C.1-2、1+2 D.2-1、2+1 8、下列解方程的过程中，正确的是（） (A)22-=x ,解方程，得x=±2 (B)42)2(=-x ,解方程，得x-2=2,x=4 (C)92)1(4=-x ,解方程，得4(x-1)= ±3, x1=47;x2=41 (D)252)32(=+x ,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4 9.当x =________时，分式293 x x -+无意义；当x =________时，分式293 x x -+的值为零。 10. 若222(3)25a b +-=，则22a b +=_________ 11.一元二次方程22(21)(3)x x -=-的解是___________ 12.方程()412 =-x 的解是______________。