大学线性代数论文

线性代数论文

线性代数课程是高等学校理工科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它广泛应用于科学技术的各个领域。尤其是计算机日益发展和普及的今天，使线性代数成为工科学生所必备的基础理论知识和重要的数学工具。线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。

主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现（见于我国古代数学名著《九章算术》）。①线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位；②在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分；③该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的；④随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。

行列式的计算方法.

定义法

在引进行列式的定义之前,,为了更加容易的理解行列式的定义,首先介绍排列和逆序的概念.

(1) ｎ级排列:由1,2.3…ｎ组成的一个有序数组称为一个ｎ级排列.

(2) 在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即:前面的数大于后面

的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序

数.

(3) 逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列.

在做好这些工作之后,来引入行列式的定义:

定义:n阶行列式

等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积.

a1j1a2j2a3j3………anj n <Ⅱ>

的代数和,这里j1,j2,j3,……j n为1,2,3,……,n的一个排列,每一项<Ⅱ>

j1,j2,j3,……j n是偶排列时, <Ⅱ>带有正号,当都按下列规则带有符号,当

j1,j2,j3,……j n是奇排列时,<Ⅱ>带有负号.

即:

例1:计算行列式:

解:由行列式的定义知:

=(-1)t(123)5×1×4+(-1)t(132)5×2×6+(-1)t(213)2×4×4+(-1)t(231)2×2×3+(-1)t(312)3×4×6+(-1)t(321)3×1×3=20-60-32+12+72-9=3

例2计算

解:由行列式的定义知:

=(-1) t(j1j2…jn)1×2×3……×n=(-1)0n！=n！.

由以上两个例子可以看出,若计算阶数较低(不超过三阶)的行列式及上三角(下三角)行列式运用定义法较为简单,但若是高阶非上(下)三角型的行列式按定义法计算比较繁琐.因此,我们必须寻求其它的，让计算变得简洁的计算方法.

按照行列式的性质将行列式化成上三角(下三角或反三角)法.

运用行列式的性质是计算行列式的一个重要途径,大多数行列式的计算都依赖于行列式的性质,将行列式化成上三角(下三角或反三角)的形式,再根据行列式的定义来计算行列式. (行列式的性质见参考文献).

行列式的性质告诉了我们该如何求行列式,而一切的行列式都可以根据以上性质来进行初等行变换(列变换),变成阶梯形(上三角)的行列式,再根据定义计算即可.

其计算步骤可归纳如下:

(ⅰ)看行列式的行和(列和),如果行列和相等,则均加到某一列(行)【直观上加到第一列(行)】.

(ⅱ)有公因子的提出公因子.

(ⅲ)进行初等行变换(列变换)化成上三角(下三角或反三角)的行列式.

(ⅳ)由行列式的定义进行计算.

由以上四步,计算一般行列式都简洁多了.