2017届高考数学大一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 6.6 综合法与分析法、反证法课件 理
a＋mb2 a2＋mb2 ≤ 已知 m>0，a，b∈R，求证： 。 1 ＋ m 1＋m
证明 因为m>0，所以1＋m>0。 所以要证原不等式成立， 只需证明(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)， 即证m(a2－2ab＋b2)≥0， 即证(a－b)2≥0，
而(a－b)2≥0显然成立，
∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1。 ∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0。 ∴q＝1，这与已知矛盾。 ∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列。
【规律方法】 反证法的适用范围及证题的关键 (1)适用范围：当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一” 或以否定形式出现时，宜用反证法来证。 (2)关键：在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与 假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，推导出的矛盾必须 是明显的。
因为 AF∥DE，DE＝3AF， GA AF 1 所以GD＝DE＝3。 1 因为 BM＝3BD， BM 1 所以 BD ＝3。 BM GA 1 所以 BD ＝GD＝3。 所以 AM∥GB。 又 AM⃘ 平面 BEF，GB 平面 BEF， 所以 AM∥平面 BEF。
角度二：数列证明题
2 ．定义：若数列 {An} 满足 An ＋ 1 ＝ A ，则称数列 {An} 为“平方递推数 列”。已知数列 {an} 中， a1 ＝ 2 ，点 (an ， an ＋ 1) 在函数 f(x) ＝ 2x2 ＋ 2x 的图像
解析 a＝ 3＋2 2，b＝2＋ 7两式的两边分别平方，可得 a2＝11＋ 4 6，b2＝11＋4 7，显然， 6< 7，所以 a<b。
4．下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能 b a 3 使 ＋ ≥2 成立的条件的个数是________ 。 a b b a b a 解析 要使a＋b≥2，只要a>0 且b>0，即 a，b 不为 0 且同号即可，故 有 3 个。
应用反证法证明数学命题的一般步骤： (1) 作出否定结论的假设 ； (2) 进行推理，导出矛盾 ； (3) 否定假设，肯定结论 。
基 础 自 测
[判一判]
(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明。( × )
解析 错误。综合法和分析法都是直接证明。 (2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件。 ( × ) 解析 错误。分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的 )
1 解 f′(x)＝ ，g′(x)＝b－x＋x2， 1＋x
g0＝f0， 由题意得 解得 a＝0，b＝1。 f ′ 0 ＝ g ′ 0 ，
(2)证明：f(x)≤g(x)。
证明：令 h(x)＝f(x)－g(x) 1 1 ＝ln(x＋1)－ x3＋ x2－x(x>－1)。 3 2
由因导果
的证明方法。
3．反证法
在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者必居其
一。我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果 与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛 盾，从而断定命题结论的反面不可能成立。由此断定命题的结论成立，这 种证明方法叫作反证法。 数学中的命题，都有题设和结论两部分，反证法是从否定这个命题的 结论出发，通过正确、严密的逻辑推理，由此引出一个新的结论，而这个 新结论与已知矛盾，得出结论的反面不正确，从而肯定原结论是正确的一 种间接证明方法。
知 识 梳 理
1．综合法 从命题的 条件 出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎 推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，把这样的思 维方法称为综合法。综合法是一种 2．分析法 从求证的 结论 出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分 条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，把 这样的思维方法称为分析法。分析法是一种 执果索因 的证明方法。
(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列。
【解】 证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的 k∈N＋， (ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)， a2 k＋1＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，
2k k k－1 a2 · a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1， 1q ＋2a1q ＝a1q
(6)证明不等式 2＋ 7< 3＋ 6最适合的方法是分析法。( √
解析 正确。
)
[练一练]
1 ．(2014·山东卷 )用反证法证明命题“设a，b 为实数，则方程 x3＋ax ＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根 解析 因为至少有一个的反面为一个也没有，所以要做的假设是
证明 因为DE⊥平面ABCD， 所以DE⊥AC。
因为ABCD是正方形，
所以AC⊥BD。又BD∩DE＝D， 所以AC⊥平面BDE。
1 (2)若 AF∥DE，DE＝3AF，点 M 在线段 BD 上，且 BM＝3BD，求证： AM∥平面 BEF。 证明 如图，延长 EF、DA 交于点 G，连接 BG，
fx1＋fx2 x1＋x2 ， 【证明】 要证明 ≥f 2 2 3x1－2x1＋3x2－2x2 即证明 2 x1＋x2 x1＋x2 ≥3 －2· ， 2 2
3x1＋3x2 x1＋x2 因此只要证明 2 －(x1＋x2)≥3 2 －(x1＋x2)， 3x1＋3x2 x1＋x2 即证明 ≥3 ， 2 2 3x1＋3x2 因此只要证明 ≥ 3x1· 3x2， 2 由于 x1，x2∈R，所以 3x1>0,3x2>0， 3x1＋3x2 由基本不等式知 2 ≥ 3x1· 3x2显然成立，故原 已知 a>0，b>0，且 a＋b>2，求证： ， 中至少有 a b 一个小于 2。
1＋b 1＋a 证明 假设 ， 都不小于 2， a b 1＋b 1＋a 即 ≥2， ≥2。 a b ∵a>0，b>0，∴1＋b≥2a,1＋a≥2b。 ∴1＋1＋a＋b≥2(a＋b)，即 2≥a＋b， 这与已知 a＋b>2 矛盾，故假设不成立。 1＋b 1＋a 即 a ， b 中至少有一个小于 2。
方程x3＋ax＋b＝0没有实根。
答案 A
2 ． (2016· 北京模拟 ) 若 a ， b ， c 是不全相等的实数，求证： a2 ＋ b2 ＋
c2>ab＋bc＋ca。 证明过程如下：
因为a，b，c∈R，所以a2＋b2≥2ab，
b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac。 又因为a，b，c不全相等，
所以以上三式至少有一个不能取“＝”，
充分条件，而不是充要条件。 (3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”。(× 解析 错误。用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a≤b”。
(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾。(× ) 解析 错误。反证法只否定结论。 (5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法 展现解决问题的过程。( √ 解析 正确。 )
第六章 不等式、推理与证明
第六节
综合法与分析法、反证法
基础知识 自主学习
热点命题 深度剖析
思想方法 感悟提升
最新考纲
1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法，了解
分析法和综合法的思考过程、特点； 2.了解间接证明的一种基本方法 ——反 证法，了解反证法的思考过程、特点。
J 基础知识
自主学习
S
思想方法
感悟提升
⊙1种关系——综合法与分析法的关系 分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分
析，寻求结论与条件的关系，找到解题思路，再运用综合法证明；或两种
方法交叉使用。 ⊙2个注意点——利用分析法和反证法应注意的问题 (1)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要 证(欲证)„”“即要证„”“就要证„”等，分析到一个明显成立的结论。 (2)利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行 推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的。
⊙3个关键点——反证法证明的关键点
(1)准确反设。 (2)从否定的结论正确推理。
(3)得出矛盾。
所以将以上三式相加得2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)， 所以a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca。
此证法是(
A．分析法
)
B．综合法 D．反证法
C．分析法与综合法并用
解析 由已知条件入手证明结论成立，满足综合法的定义。 答案 B
a<b 3．设 a＝ 3＋2 2，b＝2＋ 7，则 a，b 的大小关系为________ 。
上，其中n为正整数，证明：数列{2an＋1}是“平方递推数列”。
证明 ∵点(an，an＋1)在函数f(x)＝2x2＋2x的图像上， ∴an＋1＝2a＋2an。
∴2an＋1＋1＝4a＋4an＋1＝(2an＋1)2。
∴{2an＋1}是“平方递推数列”。
角度三：与函数、方程、不等式结合的证明题
1 2 1 3 3．已知函数 f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx－ x ＋ x ，函数 y＝f(x)与函 2 3 数 y＝g(x)的图像在交点(0,0)处有公共切线。 (1)求 a，b 的值；
R
热点命题
深度剖析
考点一
综合法
综合法证明问题是历年高考的热点问题，也是必考问题之一，通常在 解答题中出现，考查立体几何、数列、函数、不等式及一些新型定义问 题，因而掌握好综合法是突破此类问题的关键。
角度一：立体几何证明题 1．(2015·烟台诊断)如图，ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD。
高考数学一轮总复习第六章不等式推理与证明6.6直接证明与间接证明数学归纳法课件新人教B版
(3) 用反证法证明命题： “三角形的内角中至少有一个不大于
60°”，假设正确的是( B )
A．假设三个内角都不大于 60° B．假设三个内角都大于 60° C．假设三个内角至多有一个大于 60° D．假设三个内角至多有两个大于 60°
(2)证明：由题可得， f′(x)＝λlnx＋λx＋x 1－1. 由题设条件，得 f′(1)＝1，即 λ＝1. ∴f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1. 由(1)知，lnx－x＋1<0(x>0，且 x≠1)． 当 0<x<1 时，x－1<0，f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1＝xlnx＋(lnx－x ＋1)<0，∴xf－x1>0. 当 x>1 时，x－1>0，f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1＝lnx＋(xlnx－x＋ 1)＝lnx－xln1x－1x＋1>0，∴xf－x1>0. 综上可知，xf－x1>0.
1．综合法 (1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，
经过一系列的 推理论证 ，最后推导出所要证明的结论 成立 ，这种证
明方法叫做综合法．
(2)框图表示： P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q (其中 P 表 示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论)．
2．了解反证法的思考过 解析几何等知识交汇命题，在求解过程中
程和特点．
应注意解答的规范化．
3．了解数学归纳法的原 3．数学归纳法在近年高考中没有出现过，
理.
只做一般的认识就可以了.
01知识梳理·诊断自测 02考点探究·明晰规律
课时作业
2017版高考数学一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 第三节 二元一次不等式(组)与简单的线
第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题【最新考纲】 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．1．二元一次不等式(组)表示的平面区域2.线性规划相关概念1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )(2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．( )(3)线性目标函数的最优解可能不唯一．( )(4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是( )A．(0，0) B．(－1，1)C．(－1，3) D．(2，－3)解析：∵－1＋3－1>0，∴点(－1，3)不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内． 答案：C3．(2015·湖南卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥－1，2x －y≤1，y ≤1，则z ＝3x －y 的最小值为( )A ．－7B ．－1C ．1D ．2解析：画出可行域，如图中阴影部分所示．目标函数z ＝3x －y 可化为y ＝3x －z ，其斜率为3，纵截距为－z.平移直线y ＝3x 知当直线y ＝3x －z 经过点A 时，其纵截距最大，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x ＋y ＝－1， 得A(－2，1)， 故z min ＝3×(－2)－1＝－7.答案：A4．(2016·保定调研)在平面直角坐标系xOy 中，若点P(m ，1)到直线4x －3y －1＝0的距离为4，且点P(m ，1)在不等式2x ＋y≥3表示的平面区域内，则m ＝________．解析：由题意得|4m －3－1|5＝4及2m ＋1≥3，解得m ＝6. 答案：65．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y≤0，x －y －4≤0表示的平面区域的面积是________．解析：不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x ＋y ＝0得A(1，－1) 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x －y －4＝0得B(1，－3) 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0x －y －4＝0得C(2，－2) ∴|AB|＝2，∴S △ABC ＝12×2×1＝1.答案：1一种方法确定二元一次不等式表示的平面区域的方法是“直线定界，特殊点定域”．1．直线定界：即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．2．特殊点定域：当C≠0时，常把原点作为测试点；当C ＝0时，常选点(1，0)或者(0，1)作为测试点．一个程序利用线性规划求最值的步骤是：1．在平面直角坐标系内作出可行域；2．考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；3．确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； 4．求最值：将最优解代入目标函数求最值． 两个防范1．画平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．2．求二元一次函数z ＝ax ＋by(ab≠0)的最值，利用其几何意义，通过求y ＝－a b x ＋zb的截距z b 的最值间接求出z 的最值，要注意：当b>0时，截距zb 取最大值时，z 也取最大值；截距zb 取最小值时，z 也取最小值．当b<0时，结论与b>0的情形恰好相反．一、选择题 1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24，7) B ．(－7，24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 解析：根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)<0. 即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a<24. 答案：B2．(2015·广东卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z ＝3x ＋2y 的最小值为( )A ．4 B.235C ．6 D.315解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2表示的平面区域为如图所示的阴影部分．作直线l 0：3x ＋2y ＝0，平移直线l 0，当经过点A 时，z 取得最小值．此时⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，4x ＋5y ＝8，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，45，∴z min ＝3×1＋2×45＝235.答案：B3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y≤0表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：画出平面区域如图所示：直线y ＝kx 一定垂直x ＋y －4＝0，即k ＝1，只有这样才可使围成的区域为直角三角形，且面积为1.答案：B4．(2016·郑州模拟)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，y ≤a （a>1），x －y≤0，若函数z ＝x ＋y 的最大值为4，则实数a 的值为( )A ．2B ．3C ．4 D.32解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≤a （a>1），x －y≤0作出可行域，如图所示的阴影部分，当z ＝x ＋y 过y ＝x 和y ＝a 的交点A(a ，a)时，z 取得最大值，即z max ＝a ＋a ＝4，所以a ＝2.答案：A5． x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1解析：如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a>0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a<0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.答案：D 二、填空题6．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y ＋2≥0，x ≤2表示的平面区域的面积为________．解析：作出可行域为△ABC(如图)，则S △ABC ＝4.答案：47．(2015·课标全国Ⅱ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析：画出可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋2y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝12.∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12. 由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，平移直线l 0：x ＋y ＝0. 当直线过点A 时，z 最大，z max ＝1＋12＝32.答案：328．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________．解析：画出可行域如图所示：作直线l 0：y ＝－2x ，平移直线l 0，当过点A(k ，k)时，使得z 最小，由最小值为－6，可得3k ＝－6，解得k ＝－2.答案：－2 三、解答题9．若直线x ＋my ＋m ＝0与以P(－1，－1)、Q(2，3)为端点的线段不相交，求m 的取值范围．解：直线x ＋my ＋m ＝0将坐标平面划分成两块区域，线段PQ 与直线x ＋my ＋m ＝0不相交，则点P 、Q 在同一区域内，于是，⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m>0，2＋3m ＋m>0，或⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m<0，2＋3m ＋m<0，所以，m 的取值范围是m<－12.10．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y)＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4（100－x －y ）≤600，100－x －y≥0，x ≥0，y ≥0，x 、y∈N. 整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y≤200，x ＋y≤100，x ≥0，y ≥0，x 、y∈N.目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图所示，作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50. ∴最优解为A(50，50)，此时ωmax ＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元．。
高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明
第六章⎪⎪⎪ 不等式、推理与证明第一节不等关系与不等式1．两个实数比较大小的依据 (1)a －b ＞0⇔a ＞b ． (2)a －b ＝0⇔a ＝b ． (3)a －b ＜0⇔a ＜b ． 2．不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(5)可乘方：a >b >0⇒a n>b n(n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a >b >0⇒na > nb (n ∈N ，n ≥2)．[小题体验]1．(教材习题改编)用不等号“＞”或“＜”填空： (1)a ＞b ，c ＜d ⇒a －c ________b －d ； (2)a ＞b ＞0，c ＜d ＜0⇒ac ________bd ； (3)a ＞b ＞0⇒3a ________3b ．答案：(1)＞ (2)＜ (3)＞2．限速40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km/h ，写成不等式就是__________．答案：v ≤40 km/h3．若0<a <b ，c >0，则b ＋c a ＋c 与a ＋cb ＋c的大小关系为________． 答案：b ＋c a ＋c >a ＋cb ＋c1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a ≤b ，b <c ⇒a <c ．2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．[小题纠偏]1．设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B ．1a <1bC ．a 2>b 2D ． a 3>b 3答案：D2．若ab >0，且a >b ，则1a 与1b的大小关系是________．答案：1a <1b考点一 比较两个数式的大小基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．已知x ∈R ，m ＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 2＋1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(x 2＋x ＋1)，则m ，n 的大小关系为( ) A ．m ≥n B ．m ＞n C ．m ≤n D ．m ＜n答案：B2．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ____b (填“＞”或“＜”)．解析：易知a ，b 都是正数，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a ．答案：＜3．已知等比数列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．解析：当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3＜S 5a 5． 当q ＞0且q ≠1时，S3a 3－S 5a 5＝a 1－q 3a 1q 2－q －a 1－q 5a 1q 4－q＝q 2－q3－－q 5q 4－q＝－q －1q4＜0， 所以S 3a 3＜S 5a 5． 综上可知S 3a 3＜S 5a 5． 答案：S 3a 3＜S 5a 5[谨记通法]比较两实数(式)大小的2种常用方法考点二 不等式的性质重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．设a ，b ∈R 则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A (a －b )·a 2＜0，则必有a －b ＜0，即a ＜b ；而a ＜b 时，不能推出(a －b )·a 2＜0，如a ＝0，b ＝1，所以“(a －b )·a 2＜0”是“a ＜b ”的充分不必要条件．2．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A ．a d ＞b c B ．a d ＜b c C ．a c ＞b dD ．a c ＜b d解析：选B 法一：因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0，所以1－d ＞1－c＞0．又a ＞b ＞0，所以a －d ＞b －c ，所以a d ＜bc ．故选B ．法二：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0c ＜d ＜0⇒c cd ＜dcd ＜0⇒1d ＜1c＜0⇒⎭⎪⎬⎪⎫－1d ＞－1c ＞0a ＞b ＞0⇒－a d ＞－b c ⇒a d ＜b c ．法三：令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2， 则a c＝－1，b d＝－1，排除选项C 、D ； 又∵－32＜－23，排除A ．故选B ．[由题悟法]不等式性质应用问题的3大常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用．(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．[即时应用]1．(2016·河南六市第一次联考)若1a ＜1b＜0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2C ．a ＋b ＜0D ．|a |＋|b |＞|a ＋b |解析：选D ∵1a ＜1b＜0，∴b ＜a ＜0，∴b 2＞a 2，ab ＜b 2，a ＋b ＜0，∴选项A 、B 、C 均正确，∵b ＜a ＜0，∴|a |＋|b |＝|a ＋b |，故D 项错误，故选D ．2．(2017·赣中南五校联考)对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；②若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； ③若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； ④若a ＞b ，则1a ＞1b．其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B ①由ac 2＞bc 2，得c ≠0，则a ＞b ，①正确； ②由不等式的同向可加性可知②正确； ③错误，当0＞c ＞d 时，不等式不成立．④错误，令a ＝－1，b ＝－2，满足－1＞－2，但1－1＜1－2．故选B ．考点三 不等式性质的应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4．求f (－2)的取值范围． 解：由题意知f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ．f (－2)＝4a －2b ．设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b ．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤f (－2)≤10． 即f (－2)的取值范围为[5,10]．[类题通法]利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．[即时应用]1．若6＜a ＜10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，则c 的取值范围是( ) A ．[9,18] B ．(15,30) C ．[9,30]D ．(9,30)解析：选D ∵a 2≤b ≤2a ，∴3a 2≤a ＋b ≤3a ，即3a2≤c ≤3a ．∵6＜a ＜10，∴9＜c ＜30．故选D ．2．已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________． 解析：∵－1<x <4,2<y <3， ∴－3<－y <－2，。
2017届高考数学一轮复习课件：第6章 不等式、推理与证明6-3
2．[教材改编]不等式组xx－－3yy＋＋26≥<00， 表示的平面区域是(
)
解析 x－3y＋6<0 表示 x－3y＋6＝0 的左上方的区域，x－y＋2≥0 表示 x－y＋2＝0 直线及右下方的 区域，取两个区域的公共部分，故选 C.
第八页，编辑于星期六：一点 二十一分。
3 ． [ 教 材 改 编 ] 不 等 式 x － 2y≥0 表 示 的 平 面 区 域 是 _____直__线__x_－__2_y_＝__0__及__右__下__方__的__区__域__________________________________________________.
第九页，编辑于星期六：一点 二十一分。
回扣教材 1.确定二元一次不等式(组)表示平面区域的方法 (1)一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式 Ax＋By＋C>0 表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧的所 有点组成的平面区域(半平面) 不包括 边界直线，把边界直线画成虚线；不等式 Ax＋By＋C≥0 所表示的平 面区域(半平面) 包括 边界直线，把边界直线画成实线． (2)对于直线 Ax＋By＋C＝0 同一侧的所有点(x，y)，使得 Ax＋By＋C 的值符号相同，也就是位于同一 半平面的点，如果其坐标满足 Ax＋By＋C>0，则位于另一个半平面内的点，其坐标满足 Ax＋By＋C<0 . (3)可在直线 Ax＋By＋C＝0 的同一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从 Ax0＋By0＋C 的 符号 就可 以判断 Ax＋By＋C>0(或 Ax＋By＋C<0)所表示的区域． (4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的 公共部分．
2017届高三数学一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 6.5 合情推理与演绎推理课件
4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1∶2，则它们的面积比为 1∶4。 类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为 1∶2，则它们的体积比为 __________。
1 解析：VV12＝313SS12hh12＝SS12·hh12＝14×12＝18。 答案：1∶8
解析：三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的 面积，内切圆半径类比为内切球的半径。二维图形中21类比为三维图形中的13，得 V 四 面体 ABCD＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r。
答案：V 四面体 ABCD＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r。
考点三
演绎推理
【例 3】 数列{an}的前 n 项和记为 Sn，已知 a1＝1，an＋1＝n＋n 2·Sn(n∈N*)，证明：
A．使用了归纳推理 B．使用了类比推理 C．使用了“三段论”，但推理形式错误 D．使用了“三段论”，但小前提错误
解析：由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的。 答案：C
2．数列 2,5,11,20，x,47，…中的 x 等于(
A．28
B．32
C．33
) D．27
解析：由 5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9。则 x－20＝12，因此 x＝32。 答案：B
►名师点拨 类比推理的一般步骤 (1)找出两类事物之间的相似性或一致性。 (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)。
通关特训 2 在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为 a，b，c，内切圆半 径为 r，则三角形面积为 S△ABC＝12(a＋b＋c)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四 面体 ABCD 的四个面的面积分别为 S1，S2，S3，S4，内切球的半径为 r，则四面体的 体积为__________”。
高考数学大一轮复习-第六章 不等式与推理证明 第6课时 直接证明与间接证明课件 理 北师大版
课时规范训练
第6课时 直接证明与间接证明
1．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了 解分析法和综合法的思考过程、特点．
2．了解间接证明的一种基本方法——反证法：了解反证法 的思考过程、特点．
1．综合法 (1)定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经 过一系列的 推理证明，最后推导出所要证明的结论 成立，这种证 明方法叫综合法． (2)框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q (其中P表示条件，Q表示要证结论)．
在证明数学命题时，先假定命题结论的 反面 成 立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、 定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与 假定相矛盾，从而说明命题结论的 反面 不可能成 立，由此断定命题的 结论 成立．这种证明方法叫 作反证法．
(1)作出否定结论的假设； (2)进行推理，导出矛盾； (3)否定假设，肯定结论.
分析法是一种从未知到已知(从结论到题设的逻辑推理方 法)．具体说，即先假设所要证明命题的结论是正确的，由此逐步 推出保证此结论成立的必要的判断，而当这些判断恰恰都是已证 的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条 件时，命题得证．
1．△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边 分别为a，b，c.
(1)证明：an＋2＝3an； (2)求Sn.
解：(1)证明：由已知条件，对任意n∈N＋，有
an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，
①
因而对任意n∈N＋，n≥2时，有
an＋1＝3Sn－1－Sn＋3. ②
①－②，得an＋2－an＋1＝3an－an＋1，即an＋2＝3an，n≥2.
又a1＝1，a2＝2，所以
2017版高考数学一轮总复习第六章不等式、推理与证明第五节合情推理与演绎推理课件文
1．进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想 进行对比，提出猜想，其中找到合适的类比对象是解题的关键． 2． 类比推理常见的情形有： 平面与空间类比； 低维与高维类比； 等差数列与等比数列类比；运算类比(加与积、乘与乘方，减与除， 除与开方)．数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等．
n（ n－1） ，∴ 2
n－1 dn＝ c1·c2·…·cn＝c1·q 2 ，即{dn}为等比数列，故选 D.
(2)三角形的面积类比四面体的体积，三角形的边长类比四面体 1 四个面的面积，内切圆半径类比内切球的半径，二维图形中的 类比 2 1 3V 三维图形中的 ，得 R＝ . 3 S1＋S2＋S3＋S4 答案：(1)D 3V (2)R＝ S1＋S2＋S3＋S4
＋1＝4an. n＋2 证明：(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝ S， n n ∴(n＋2)Sn＝ n(Sn＋ 1－Sn)，即 nSn＋1＝2(n＋1)Sn. Sn＋1 Sn S1 ∴ ＝2· ，又 ＝1≠0，(小前提) n 1 n＋1
第六章
第五节
不等式、推理与证明
合情推理与演绎推理
(1)(2015· 陕西卷)观察下列等式： 1 1 1－ ＝ ， 2 2 1 1 1 1 1 1－ ＋ － ＝ ＋ ， 2 3 4 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1－ ＋ － ＋ － ＝ ＋ ＋ ， 2 3 4 5 6 4 5 6 …， 据此规律，第 n 个等式可为________．
(2014· 陕西卷)观察分析下表中的数据： 多面体 三棱柱 五棱锥 立方体 面数(F) 5 6 6 顶点数(V) 6 6 8 棱数(E) 9 10 12
猜想一般凸多面体中 F，V，E 所满足的等式是________． 解析：观察 F，V，E 的变化得 F＋V－E＝2. 答案：F＋V－E＝2
2017届高考数学一轮复习课件：第6章 不等式、推理与证明6-7
当 n＝3 时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝74.
当 n＝4 时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，∴a4＝185.(2 分)
由此猜想 an＝22n－n－11(n∈N*)．(4 分)
第二十一页，编辑于星期六：一点 二十一分。
猜想 Sn＝n＋n 1(n∈N*)． 下面用数学归纳法证明这个结论． ①当 n＝1 时，结论成立． ②假设 n＝k(k∈N*，k≥1)时结论成立，即 Sk＝k＋k 1， 当 n＝k＋1 时，Sk＋1＝2－1 Sk＝2－1k＋k 1＝kk＋ ＋12＝k＋k＋11＋1. 即当 n＝k＋1 时结论成立． 由①②知 Sn＝n＋n 1对任意的正整数 n 都成立．
第十二页，编辑于星期六：一点 二十一分。
命题角度 2 用数学归纳法证明不等式
典例2
等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知对任意的 n∈N*，点(n，Sn)均在函数 y＝bx＋r(b>0，且 b≠1，
b，r 均为常数)的图象上．
(1)求 r 的值；
(2)当 b＝2 时，记 bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)． 证明：对任意的 n∈N*，不等式b1b＋1 1·b2b＋2 1·…·bnb＋n 1> n＋1成立． 解 (1)由题意，Sn＝bn＋r， 当 n≥2 时，Sn－1＝bn－1＋r，所以 an＝Sn－Sn－1＝bn－1·(b－1)，
第十六页，编辑于星期六：一点 二十一分。
(2)证明：①由(1)知，当 n＝1,2,3 时，通项公式成立． ②假设当 n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立， 即 ak＝ 2k＋1－ 2k－1. 由于 ak＋1＝Sk＋1－Sk＝ak2＋1＋ak1＋1－a2k－a1k， 将 ak＝ 2k＋1－ 2k－1代入上式，整理得 a2k＋1＋2 2k＋1ak＋1－2＝0， ∴ak＋1＝ 2k＋3－ 2k＋1， 即 n＝k＋1 时通项公式成立． 由①②可知对所有 n∈N*，an＝ 2n＋1－ 2n－1都成立．
2017高考新课标数学大一轮复习讲义课件：第6章-第6节直接证明与间接证明
主干知识·整合 热点命题·突破
课时作业
第五页，编辑于星期六：二十一点 五十八分。
主干知识·整合 01
课前热身 稳固根基
第六页，编辑于星期六：二十一点 五十八分。
直接证明
1．综合法 (1)定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理 等，经过一系列的________，最后推导出所要证明的结论 ______，这种证明方法叫做综合法． (2)框图表示：P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q (其中 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等， Q 表示要证的结论)．
第二十三页，编辑于星期六：二十一点 五十八 分。
分析法的应用
【例 2】 已知△ABC 三边 a，b，c 的倒数成等差数列， 证明：B 为锐角．
第二十四页，编辑于星期六：二十一点 五十八 分。
【证明】 要证明 B 为锐角，根据余弦定理，也就是证 明 cosB＝a2＋2ca2c－b2>0，即需证 a2＋c2－b2>0.
3．已知点 An(n，an)为函数 y＝ x2＋1图象上的点，Bn(n， bn)为函数 y＝x 图象上的点，其中 n∈N*，设 cn＝an－bn，则 cn 与 cn＋1 的大小关系为________．
解析：由题意知，an＝ n2＋1，bn＝n，∴cn＝ n2＋1－ n＝ n2＋11＋n.显然，cn 随着 n 的增大而减小，∴cn>cn＋1.
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(2)当 q＝1 时，{Sn}是等差数列． 当 q≠1 时，{Sn}不是等差数列．假设 q≠1 时，S1，S2， S3 成等差数列，即 2S2＝S1＋S3，2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋ q2)． 由于 a1≠0，∴2(1＋q)＝2＋q＋q2，即 q＝q2， ∵q≠1，∴q＝0，这与 q≠0 相矛盾． 综上可知，当 q＝1 时，{Sn}是等差数列； 当 q≠1 时，{Sn}不是等差数列.
高考数学一轮复习第6章不等式、推理与证明第5讲综合法与分析法、反证法课件文北师大
综合法的证题思路 (1)综合法是“由因导果”的证明方法， 它是一种从已知到未 知 (从题设到结论 )的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件 或已证的真实判断 (命题 )出发，经过一系列中间推理，最后 导出所要求证结论的真实性． (2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理 .
1.在△ ABC 中，设 a， b， c 分别是内角 A， B， C 所对的边，且直线 bx＋ ycos A＋ cos B＝ 0 与 ax＋ ycos B＋ cos A＝0 平行，求证：△ ABC 是直角三角形．
2．分析法
求证的结论 出发， (1)定义： 从要______________ 一步步地探索保证前一 充分条件 ，直到归结为这个命题的条件， 个结论成立的____________
或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称 为分析法． (2) 框 图 表 示 ： Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 → … → 得到一个明显成立的条件 .
(3)反证法证题的一般思路 反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立． 反证法的主要 依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是 A， 或者是非 A，即在同一讨论过程中，A 和非 A 有且仅有一个 是正确的，不能有第三种情况出现．
1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法； ③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间 接证法．其中正确的有( D ) A． 2 个 C． 4 个 B． 3 个 D． 5 个
结论 ． (3)否定假设，肯定________
1．辨明两个易误点 (1)用分析法证明数学问题时， 要注意书写格式的规范性， 常 常用“要证 (欲证 )…” “即要证…” “就要证…”等分析到一 个明显成立的结论． (2)利用反证法证明数学问题时， 要假设结论错误， 并用假设 命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推 理过程是错误的．