八年级数学竞赛讲座应用题附答案

第三十五讲应用题

在本讲中将介绍各类应用题的解法与技巧．

当今数学已经渗入到整个社会的各个领域，因此，应用数学去观察、分析日常生活现象，去解决日常生活问题，成为各类数学竞赛的一个热点．

应用性问题能引导学生关心生活、关心社会，使学生充分体会到数学与自然和人类社会的密切联系，增强对数学的理解和应用数学的信心．

解答应用性问题，关键是要学会运用数学知识去观察、分析、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，将其转化为数学模型．其求解程序如下：

在初中范围内常见的数学模型有：数式模型、方程模型、不等式模型、函数模型、平面几何模型、图表模型等．

例题求解

一、用数式模型解决应用题

数与式是最基本的数学语言，由于它能够有效、简捷、准确地揭示数学的本质，富有通用性和启发性，因而成为描述和表达数学问题的重要方法．

【例1】(2003年安徽中考题)某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变。有关数据如下表所示：

（1）该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，平均日总收入持平。问风景区是怎样计算的？ （2）另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%。问游客是怎样计算的？

（3）你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？ 思路点拨 （1）风景区是这样计算的：

调整前的平均价格：()元165

2520151010=++++，设整后的平均价格：

()元165

30

251555=++++

∵调整前后的平均价格不变，平均日人数不变． ∴平均日总收入持平．

（2）游客是这样计算的：

原平均日总收入：10×1+10×1+15×2+20×3+25×2=160（千元） 现平均日总收入：5×1+5×1+15×2+25×3+30×2=175（千元） ∴平均日总收入增加了

%4.9160

160

175≈- （3）游客的说法较能反映整体实际． 二、用方程模型解应用题

研究和解决生产实际和现实生恬中有关问题常常要用到方程<组)的知识，它可以帮助人们从数量关系和相等关系的角度去认识和理解现实世界．

【例2】 (重庆中考题)某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2min 内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4mln 内可以通过800名学生．

(1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生?

(2)检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低20％．安全检查规定：在紧急情况下全大楼的学生应在5min 内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门整否符合安全规定?请说明理由．

思路点拨 列方程(组)的关键是找到题中等量关系：两种测试中通过的学生数量．设未知数时一般问什么设什么．“符合安全规定”之义为最大通过量不小于学生总数．

(1)设平均每分钟一道正门可以通过x 名学生，一道侧门可以通过y 名学生，由题意得： ⎩⎨

⎧=+=+800)(4560)2(2y x y x ,解得：⎩

⎨⎧==80120

y x

(2)这栋楼最多有学生4×8×45=1440(名)． 拥挤时5min4道门能通过． 5×2(120+80)(1－20％)=1600(名),

因1600>1440，故建造的4道门符合安全规定． 三、用不等式模型解应用题

现实世界中的不等关系是普遍存在的，许多问题有时并不需要研究它们之间的相等关系，只需要确定某个量的变化范围，即可对所研究的问题有比较清楚的认识．

【例3】 (苏州中考题)我国东南沿海某地的风力资源丰富，一年内月平均的风速不小于3m ／s 的时间共约160天，其中日平均风速不小于6m ／s 的时间占60天．为了充分利用“风能”这种“绿色资源”，该地拟建一个小型风力发电场，决定选用A 、B 两种型号的风力发电机，根据产品说明，这两种风力发电机在各种风速下的日发电量(即一天的发电量)如下表：一天的发电量)如下表：

根据上面的数据回答：

(1)若这个发电场购x 台A 型风力发电机，则预计这些A 型风力发电机一年的发电总量至少为 千瓦·时；

(2)已知A 型风力发电机每台O.3万元，B 型风力发电机每台O.2万元．该发电场拟购置风力发电机共10台，希望购机的费用不超过2.6万元，而建成的风力发电场每年的发电总量不少于102000千瓦·时，请你提供符合条件的购机方案． 根据上面的数据回答：

思路点拨 (1) (100×36+60×150)x=12600x ； (2)设购A 型发电机x 台，则购B 型发电机(10—x)台, 解法一根据题意得：

⎩

⎨

⎧

≥-+≤-+102000)10(7800126006.2)10(2.03.0x x x 解得5≤x ≤6．

故可购A 型发电机5台，B 型发电机5台；或购A 型发电机6台，B 型发电视4台． 四、用函数知识解决的应用题

函数类应用问题主要有以下两种类型：(1)从实际问题出发，引进数学符号，建立函数关系；(2)由提供的基本模型和初始条件去确定函数关系式．

【例4】 (扬州)杨嫂在再就业中心的扶持下，创办了“润杨”报刊零售点．对经营的某种晚报，杨嫂提供丁如下信息：

①买进每份0.20元，卖出每份0.30元；

②一个月内(以30天计)，有20天每天可以卖出200份，其余10天每天只能卖出120份；

③一个月内，每天从报社买进的报纸份数必须相同．当天卖不掉的报纸，以每份0.10元退回给报社；

(1)填表：

(2)设每天从报社买进该种晚报x份，120≤x≤200时，月利润为y元，试求出y与x的函数关系式，并求月利润的最大值．

思路点拨(1)填表：

(2)由题意可知，一个月内的20天可获利润：

20×=2x(元)；其余10天可获利润：

10=240—x(元)；

故y=x+240，(120≤x≤200)，当x=200时，月利润y的最大值为440元．

注根据题意，正确列出函数关系式，是解决问题的关键，这里特别要注意自变量x的取值范围．另外，初三还会提及统计型应用题，几何型应用题．

【例5】 (桂林市)某公司需在一月(31天)内完成新建办公楼的装修工程．如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成．

（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数．

(2)如果请甲工程队施工，公司每日需付费用2000元；如果请乙工程队施工，公司每日需付费用1400元．在规定时间内：A．请甲队单独完成此项工程；B．请乙队单独完成此项工程；C．请甲、乙两队合作完成此项工程．以上方案哪一种花钱最少?

思路点拨这是一道策略优选问题．工程问题中：工作量=工作效率×工时．

(1)设乙工程队单独完成此项工程需x天，根据题意得：