MATLAB 小波处理

• 离散小波变换是指：不仅其中使用的变换核不同，而且这些
函数的基本特征和他们的应用方法也不同。 • 在此利用变换核对或定义该核对的一组参数来表征每个 DWT，无论哪种变换，变换的展开函数是变化频率和持续 时间受限的小波。 • 小波核的特征： • 性质1 可分离性、尺度可变性、平移性， 核可用三个可分 的二维小波来表示：
• 性质2 多分辨率的一致性 • 一维尺度函数满足多分辨率分析的如下需求：
• a. j ,k 与其整数平移正交。
• b. 在低尺度或低分辨率下可表示为一系列 j ,k 的展开 的一组函数，包含在可以以更高尺度表示的函数中。 • c. 唯一可以以任意尺度表示的函数是f(x)=0 • 当 j 时，可用任意精度来表示任何函数。
• 性质3 正交性 • 展开函数对于一组一维可测的、平方可积函数形成一 个正交基或双正交基。
7.2 快速小波变换
( x) h (n) 2 (2 x n)
n
( x) h (n) 2 (2 x n)
n
h 和h 的展开系数分别为尺度和小波向量， 他们是快速小波变换(FWT)滤波器的系数。
高的子带，LL表示频率最低的子带。这个过程可以重
复，直到符合应用要求为止。这样的滤波器组称为分 解滤波器树(decomposition filter trees)
• 小波分解得到的图像
补充：小波变换定义及特点
• 小波（Wavelet），即小区域的波，是一种特殊 的长度有限、平均值为0的波形。
• 特点：（1）“小”，即在时域都具有紧支集或 近似紧支集 （2）正负交替的“波动性”，也即直流分量 为零
S A1 AAD3 DAD3 DD2
三级小波包分解树
降采样过程
• 在使用滤波器对真实的数字信号进行变换时，得
到的数据将是原始数据的两倍。例如，如果原始
信号的数据样本为1000个，通过滤波之后每一个
通道的数据均为1000个，总共为2000个。
• 根据尼奎斯特(Nyquist)采样定理就提出了降采样 (downsampling)的方法，即在每个通道中每两个 样本数据取一个，得到的离散小波变换的系数 (coefficient)分别用cD和cA表示
3
• FT变换适于分析平稳信号。实际中大多数信号含 有大量的非平稳信号，例如：突变，奇异，事件 的起始与终止等情况。这些情况反映了信号的重 要特征，是分析的对象。例如下图：典型的地震 信号
典型的地震记录
4
实际采集的地震信号
它们的频域特性都随时间而变化。分析它需要提取某 一时间段的频域信息或某一频率段所对应的时间信息
字信号处理中常称为双通道子带编码。
离散小波变换定义
任意L2(R)空间中的x(t )的DWT 为： Wx ( j , k ) x(t ) j ,k (t ) dt
R __________
其中 j（ ,k t )
1
t ( j k) j 2 2
需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续的尺度 参数和连续平移参数的，而不是针对时间变量t的。
• 部分小波波形
11
正交基的解释
若一物体可用颜色和大小表示，我们称颜色 和大小为特征基，构成此物体特征描述空间。
大小和颜色是互不相干的2种描述，我们称 其为正交。 同时若这些基能够完全表示所有物体，我们 称其为完备特征基。 因为特征基表现了物体特征，因而可以用更 简洁的描述表示物体。
12
小波变换的提出
• 1984年法国的年轻的地球物理学家Jean Morlet
在进行石油勘探的地震数据处理分析时与法国
理论物理学家A.Grossman一起提出了小波变换
(wavelet transform, WT)的概念。
(6) 三种变换的比较
14
各种信号分析方法的对比
(a) 二维图
• 考虑一个大小为M*N的图像f(x,y)，其正向离散变换 T(u,v,…)可用一般的多项式关系表示为
H ( x, y ) ( x) ( y ) V ( x, y ) ( x) ( y ) D ( x, y ) ( x) ( y )
其中， H ( x, y )， V ( x, y )和 D ( x, y )分别为水平、 垂直和对角小波。一个二维可分的尺度函数是
• 小波的缩放因子与信号频率之间的关系可以这 样来理解。缩放因子小，表示小波比较窄，度
量的是信号细节，表示频率w 比较高；相反，
缩放因子大，表示小波比较宽，度量的是信号 的粗糙程度，表示频率w 比较低。
离散小波变换（DWT）
39
在每个可能的缩放因子和平移参数下计算小波
系数，其计算量相当大，将产生惊人的数据量，而且
* u ,v
变换域的u , v本别表示水平和垂直频率。变换核 是可分的。因为 hu ,v ( x, y ) hu ( x)hv ( y ) 1 j 2 (ux / M ) 其中，hu ( x) e ， M 1 j 2 ( uy / N ) hv ( x) e 是正交的。 N
• 变换核的可分性简化了二维变换的计算，这样就可以 使用先行后列或先列后行的一维变换来实现二维变换 ；正交性导致了正反变换和之间的复共轭关系。
第7章 小波
7.1 背景知识 7.2 快速小波变换 7.3 小波分解结构的运算 7.4 快速小波反变换 7.5 图像处理中的小波
7.1 背景知识
小波变换的由来 傅立叶变换
2
基本思想：
将信号分解成一系列不同频率的连续正 弦波的叠加。
缺陷：丢掉了时间信息，无法根据变换结果
判断一个特定的信号是在什么时候发生的。
5
• 如何完成只分析数据中的一小部分?
6
短时傅立叶变换（STFT）
• 基本思想：
给信号加一个小窗，主要集中在对小窗内的信号进行变换， 因此反映了信号的局部特征。
7
• 缺陷：
其窗函数的大小和形状均与时间和频率无关，
保持固定不变，对于分析时变信号不利！
（高频信号持续时间短，低频长。我们希望对于 高频采用小的时间窗，低频使用大时间窗进行 分析。） STFT无能为力了！ 不能构成正交基，给数值计算带来不便。
(x, y )=(x)(y )
每个二维函数是两个一维实平方可积的尺度和小波 函数的乘积
j , k ( x) 2 j / 2 (2 j x y ) j , k ( x) 2 j / 2 (2 j x y )
平移参数k决定了这些一维函数沿x轴的位置，尺度j决 定了他们的宽度，即它们沿着x轴有多宽多窄，而2 j / 2 控制 它们的高度或幅度。
二维离散小波变换
列
行 Lo_D
W ( j 1, m, n)
列下 采样
行下 采样 1 2 1 2 1 2 1 2 cAj+1 cDj+1(h) cDj+1(v) cDj+1(d)
Lo_D Hi_D Lo_D
2 1
cAj Hi_D 2 1 Hi_D
表示其相应的频谱
图中的符号
表示频带降低1/2，HH表示频率最
31
基本小波函数ψ()的缩放和平移操作
(1) 缩放 就是压缩或伸展基本小波，缩放系数越小，
则小波越窄
f (t ) O f (t ) O f (t ) O t f (t ) ＝ (4t ) ；scale ＝0.25 t f (t ) ＝ (2t ) ；scale ＝0.5 t f (t ) ＝ (t ) ；scale ＝1
8
小波信号隆重登场
• 登场原因： （1）继承和发展了STFT的局部化思想。 （2）克服了窗口大小不随频率变化、缺乏离 散正交基的缺点。
What is wavelet
• 一种函数
– 具有有限的持续时间、突变的频率和振幅
– 波形可以是不规则的，也可以是不对称的 – 在整个时间范围里的幅度平均值为零 – 比较正弦波
即:C越大,两者越相似;
小波变换的步骤
三 移动小波,重复步骤一和二,一直遍历整个数据;
34
四 对小波进行缩放,重复步骤一到三;
五 在所有小波尺度下,重复上述步骤.
小波变换的步骤
35
36
7.5 小波变换的步骤
小波尺度和信号频率的关系
大尺度
小尺度
信号的低频
信号的高频
CWT的变换过程图示
CWT小结

t b W f ( a, b) f (t ) ( )dt ,(a 0) a aR 表示小波变换是信号 f(x) 与被缩放和平移的小波函数 1
ψ()之积在信号存在的整个期间里求和的结果。
CWT 的变换结果是许多小波系数 C ，这些系数是缩放因
子（scale）和平移（position）的函数。
• 用不规则的小波函数来逼近尖锐变化的信号显然要比 光滑的正弦曲线要好，同样，信号局部的特性用小波 函数来逼近显然要比光滑的正弦函数来逼近要好。
30
连续小波变换
连续小波变换（Continuous Wavelet Transform，
CWT）用下式表示： C ( scale, position) f (t ) ( scale, position, t )dt
有许多数据是无用的。
如果缩放因子和平移参数都选择为 2j（j>0且为
整数）的倍数， 即只选择部分缩放因子和平移参数
来进行计算， 就会使分析的数据量大大减少。
离散小波变换（DWT）
40
使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换称为 双尺度小波变换（ Dyadic Wavelet Transform ），它
x, y
T (u, v,...) f ( x, y) gu ,v,... ( x, y)
• 其中，x,y是空间变量，u,v,…是变换域变量。若给定 T(u,v,…)，则f(x,y)可用一般的离散反变换：
f ( x, y) T (u, v,...)hu ,v,... ( x, y)
•
gu ,v , hu ,v... 在这些方程中分别称为正变换核和反变换核。
他们决定了变换对的性质、计算复杂度和主要用途。变换 系数T(u,v,…)可看做是f关于{hu,v…}的一系列展开系数。
x, y
1 hu ,v ( x, y ) g ( x, y ) e j 2 (ux / M vy / N ) MN 其中，u 0,1,..., M 1, v 0,1,..., N 1。
27
小波变换定义及特点
28
小波变换定义及特点
• 傅立叶分析所用的正弦波在时间上没有限制，从负无 穷到正无穷，但小波倾向于不规则与不对称。
29
• FT将信号分解成一系列不同频率正弦波的叠加，小波 分析是将信号分解成一系列小波函数的叠加。而这些 小波函数都是由一个母小波函数经过平移与尺度伸缩 得来的。
是 离 散 小 波 变 换 （ Discrete Wavelet Transform ，
DWT）的一种形式。 通常离散小波变换就是指双尺度小波变换。
离散小波变换（DWT）
41
执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器， 该方法是Mallat于1988年提出的，称为Mallat算法(马
拉 ) 。这种方法实际上是一种信号分解的方法， 在数
离散小波变换（DWT）
Fra Baidu bibliotek
44
一个滤波器为低通滤波器，通过该滤波器可得到信号 的近似值A（Approximations） 另一个为高通滤波器， 通过该滤波器可得到信号的细 节值D（Detail）。
45
图 多级信号分解示意图 （a） 信号分解； (b) 小波分树； （c）小波分解树
• 图表示的是一棵三级小波包分解树。小波包分 解方法是小波分解的一般化，可为信号分析提 供更丰富和更详细的信息。例如，小波包分解 树允许信号S表示为
DWT变换方法
• 执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器 – 该方法是Mallat在1988年开发的，叫做 Mallat算法 – 这种方法实际上是一种信号的分解方法，在 数字信号处理中称为双通道子带编码 • 用滤波器执行离散小波变换的概念如图所示 – S表示原始的输入信号，通过两个互补的滤 波器产生A和D两个信号 – A表示信号的近似值(approximations) – D表示信号的细节值(detail)
小波的缩放操作
基本小波函数ψ()的缩放和平移操作
(2) 平移。小波的延迟或超前。在数学上,函数f(t)延
32
迟k的表达式为f(t-k)，
小波的平移操作 (a) 小波函数ψ(t)； (b) 位移后的小波函数ψ(t-k)
小波变换的步骤
• 小波变换的步骤:
33
一 取一个小波与信号的最前面部分比较;
二 计算相关因子C,C代表小波和这段数据的相关性