《数形结合思想在高考中的实际应用》公开课20160325
数形结合思想在高考解题中的应用
数形结合思想在高考解题中的应用数形结合不仅是一种重要的解题方法，也是一种的思维方法。
它在中学数学教学中占有重要的地位，也是历年高考重点考察的内容之一。
在运用数形结合解题时要注意以下两点：（1）“形”中觅“数”：根据形的直观性来寻求数量关系，将几何问题代数化，以数助形，使问题得到解决；（2）“数”中构“形”：根据代数问题具有的几何特征，进而发现数与形之间的关系，从而使代数问题几何化，使问题得到解决。
下面通过一些典型例题来说明数形结合思想在解题中的运用。
题型一、集合问题例1．已知集合A={}{}|23,|14x x B x x x -≤≤=<->或,则集合A B = ____________________.解析：利用数轴表示，可得{}|21A B x x =-≤<-评注：本题考查集合的基本运算，属容易题。
题型二、函数问题 例2．点P （x,y ）在直线430x y +=上，且x,y 满足147x y -≤-≤，则P 到坐标原点距离的取值范围是__________________.解析：如图，直线430x y +=分别与直线14,7x y x y -=--=的交点为12(6,8),(3,4)P P --易知12||10,||5OP OP ==，故||OP 的取值范围为[]0,10评注：考查两点间的距离公式及分析、解决问题的能力。
注意虽然12||10,||5OP OP ==，但||OP 的取值范围不是[]5,10。
题型三、三角问题例3函数()2)f x x π=≤≤的值域是_______________. 解析：原式可化为y ==1)x ≠ 由数形结合思想得1cos 1sin x x-+可理解为动点(sin ,cos )x x 与定点(1,1)连线斜率的取值范围，。
可求取值范围是[]0,+∞，由此可求得1)x ≠的值域为[1,0)-，当sin 1x =时，()0f x =，所以值域是[]1,0-。
例谈“数形结合”思想在高考数学中的应用
２０２４年３月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀例谈 数形结合 思想在高考数学中的应用∗◉湖北江汉大学数学与大数据系㊀周㊀岭㊀许㊀璐㊀㊀著名数学家华罗庚曾说过: 数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休 ．所谓 数形结合 就是把抽象的数学语言㊁数量关系与直观的几何图形㊁位置关系结合起来,通过 以形助数或 以数解形 ,即通过抽象思维与形象思维的结合,将复杂问题简单化,抽象问题具体化,达到实现优化解题路径的目的,起到事半功倍的效果．下面将结合高考数学试题实例,分析说明 数形结合 思想在解决问题中的作用和简捷．１数形结合思想在解析几何中的应用例１㊀(２０２３年全国新高考Ⅰ卷)过点(０,－２)与圆x ２＋y ２－４x －１＝０相切的两条直线的夹角为α,则s i n α＝(㊀㊀)．A．１㊀㊀㊀B ．１５４㊀㊀C ．１０４㊀㊀D．６４分析:此题可以先将圆的方程化为标准形式,设出切线方程,利用点到直线的距离公式求出两条切线的斜率,最后利用夹角公式求得s i n α的值,但是计算相对复杂．解析:依题意,圆的方程可化为(x －２)２＋y ２＝５．图１如图１,得到圆心C (２,０),r ＝５,P (０,－２)．所以|P C |＝２２．设过点P 的两条切线为P A 和P B ,则øA P B ＝α,可得s i nα２＝r |P C |＝５２２＝１０４,c o sα２＝１－(s i n α２)２＝６４．所以s i n α＝２s i nα２c o s α２＝１５４．故选:B ．例２㊀(２０２３年新高考I 卷)已知双曲线C :x ２a ２－y ２b２＝１(a ＞０,b ＞０)的左㊁右焦点分别为F １,F ２．点A 在C 上,点B 在y 轴上,F １A ңʅF １B ң,F ２A ң＝－２３F ２B ң,则C 的离心率为．分析:此题常见解法是设出点A ,B 的坐标,利用已知条件列出三个方程,再解出方程求得点A ,B 的坐标,进而得出双曲线C 的离心率．这样计算量会很大,如果利用数形结合的思想结合双曲线的定义求其离心率将会大大简化计算．解析:由F ２A ң＝－２３F ２B ң,得|F ２A ||F ２B |＝２３．设|F ２A |＝２x ,则|F ２B |＝３x ,|A B |＝５x ,|F １B |＝|F ２B |＝３x ．由双曲线的定义,得|A F １|＝|A F ２|＋２a ＝２x ＋２a ．设øF １A F ２＝θ,则s i n θ＝３x ５x ＝３５,所以c o s θ＝４５＝２x ＋２a５x,解得＝a ,则|A F １|＝４a ,|A F ２|＝２a ．图２如图２,在әF １A F ２中,由余弦定理,可得c o s θ＝１６a ２＋４a ２－４c ２１６a２＝４５．整理,得５c ２＝９a ２．故e ＝c a ＝３５５．点评:这类题目考查了学生 数学抽象 的核心素养．解决此类题的关键在于将数学符号语言和图形语言相互转化,利用图形的直观性,结合相关定义㊁公式即可快速解题．２数形结合思想在立体几何中的应用例３㊀(２０２２年新高考I 卷)已知正方体A B C D ＧA １B １C １D １,则(㊀㊀)．A．直线B C １与D A １所成的角为９０ʎB ．直线B C １与C A １所成的角为９０ʎC ．直线B C １与平面B B １D １D 所成的角为４５ʎD．直线B C １与平面A B C D 所成的角为４５ʎ分析:此题可以通过建立空间直角坐标系来判断各选项是否正确,但计算较繁琐．解析:选项A ,B 的判断略．９３∗基金项目:江汉大学研究生科研创新基金项目 基于新课标新课改背景下提升中学生数学学科核心素养的探究 ,项目编号为K Y C X J J ２０２３５０;教育部产学合作协调育人２０２２年第一批立项项目 基于P y t h o n 的大数据分析与应用课程混合教学模式探索 ,项目编号为２２０５０６６２７２４２０５７．学习指导２０２４年３月上半月㊀㊀㊀图３如图３所示,连接A１C１,设A１C１ɘB１D１＝O,连接B O．由B B１ʅ平面A１B１C１D１,C１O⊂平面A１B１C１D１,得C１OʅB１B．因为C１OʅB１D１,B１D１ɘB１B＝B１,所以C１Oʅ平面B B１D１D,所以øC１B O为直线B C１与平面B B１D１D的夹角．设正方体棱长为１,则C１O＝２２,B C１＝２,于是s i nøC１B O＝C１O B C１＝１２．所以直线B C１与平面B B１D１D所成的角为３０ʎ,故选项C错误．因为C１Cʅ平面A B C D,所以øC１B C为直线B C１与平面A BC D的夹角,易得øC１B C＝４５ʎ,故选项D正确．综上所述,此题选:A B D．点评:本题主要考查立体几何中直线与直线的夹角㊁直线与平面的夹角,是对学生 逻辑推理 直观想象核心素养的考查．此题如果通过建系来计算,将比较复杂,耗时较长;若采取 传统 方法,结合图形并运用立体几何㊁三角函数相关知识,即可快速㊁直观作出判断．３数形结合思想在函数中的应用例４㊀(２０２１年全国乙卷)设aʂ０,若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)２(x－b)的极大值点,则有(㊀㊀)．A．a＜b B．a＞b C．a b＜a２D．a b＞a２分析:此题如果利用导数知识来求该函数的极大值点,再通过a与b的大小来判断选项将非常复杂．如果通过数形结合先考虑函数的零点情况,注意零点附近左右两侧函数值是否变号,结合极大值点的性质,对a进行分类画出该函数的图象再来判断选项将大大简化了问题,既直观又方便快捷[１]．解析:若a＝b,则f(x)＝a(x－a)３为单调函数,无极值点,不符合题意,故aʂb．所以f(x)有x＝a和x＝b两个不同零点,且在x＝a附近左右两侧不变号,在x＝b附近左右两侧变号．因为x＝a为函数f(x)＝a(x－a)２(x－b)的极大值点,所以f(x)在x＝a附近左右都小于０．①当a＜０时,由x＞b,f(x)ɤ０,画出f(x)的图象如图４所示．由b＜a＜０,得a b＞a２．图４㊀㊀㊀图５②当a＞０时,由x＞b,f(x)＞０,画出f(x)的图象如图５所示．由b＞a＞０,得a b＞a２．综上a b＞a２成立．故选:D．例５㊀(２０２１年新高考I卷)已知O为坐标原点,点A(１,０),P１(c o sα,s i nα),P２(c o sβ,－s i nβ),P３(c o s(α＋β),s i n(α＋β)),则(㊀㊀)．A．|O P１ң|＝|O P２ң|B．|A P１ң|＝|A P２ң|C．O Aң O P３ң＝O P１ң O P２ңD．O Aң O P１ң＝O P２ң O P３ң分析:此题如果画出图形,利用数形结合思想解题,既直观又简捷．图６解析:如图６,可得|O P１ң|＝|O P２ң|＝１,故选项A正确．仅当α＝－β时,|A P１ң|＝|A P２ң|成立．故选项B错误．由O Aң O P３ң＝|O Aң| |O P３ң|c o s(α＋β),O P１ң O P２ң＝|O P１ң| |O P２ң| c o s(α＋β),|O Aң|＝|O P３ң|＝|O P１ң|＝|O P２ң|＝１,可知O Aң O P３ң＝O P１ң O P２ң．故选项C正确．观察图象,易得‹O Aң,O P１ң›＝α,‹O P２ң,O P３ң›＝α＋２β．故选项D错误．此题应选:A C．例６㊀(２０２１年新高考I卷)若过点(a,b)可以作曲线y＝e x的两条切线,则(㊀㊀)．A．e b＜a B．e a＜bC．０＜a＜e b D．０＜b＜e a分析:此题要求作出曲线y＝e x的两条切线,通过几何图形进行直观想象,很容易判断各选项是否正确．解析:作出y＝e x的图象．易得,若想作出切线,点(a,b)需在曲线y＝e x的下方和x轴上方,如图７,即b＜e a．图７㊀㊀图８但点(a,b)在x轴及其下方时,仅能作出一条切线,如图８．所以点(a,b)需在y轴上方,即b＞０．综上,可得０＜b＜e a．故选:D．综上所述,在高考数学中利用数形结合思想解题往往可以起到简化计算㊁提高解题效率的作用．因此,平时教学中教师应通过数形结合思想丰富的展现形式不断对其进行渗透,促进学生数与形相互转换的能力,刺激学生学习数学的欲望,引导学生投入到数形结合分析的专题探究中[２],从而达到数学抽象思维具象化㊁发散化的教学目的,最终达到提升学生核心素养和全面发展的教育目的．参考文献:[１]常国良．数学教学中渗透直观想象素养的三重境界[J]．教学与管理,２０２０(３１):６２Ｇ６４．[２]李兆芹．探究数形结合思想如何有效运用于高中数学教学[J]．数学学习与研究,２０１８(５):４３．Z０４。
高考数学解题中数形结合思想的应用
高考数学解题中数形结合思想的应用赵世鹏(武夷山市第二中学ꎬ福建武夷山３５４３００)摘㊀要:在高考数学解题教学中ꎬ教师需注重有关数形结合思想理论知识的讲解ꎬ带领学生着重研究数量关系和空间图形之间的关系ꎬ并围绕数形结合思想的应用开设专题训练ꎬ帮助他们掌握具体用法.文章主要对高考数学解题中数形结合思想的应用进行探讨ꎬ同时分享部分解题实例.关键词:高考数学解题ꎻ数形结合思想ꎻ转换途径中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０１－００５１－０３收稿日期:２０２３－１０－０５作者简介:赵世鹏(１９７８.１２－)ꎬ男ꎬ福建省武夷山人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀数形结合思想是数学语言和直观图形的有机结合ꎬ能够在解题中通过图形性质来说明数的事实ꎬ或者用数的精准性来阐明图的某些特征.驱使学生把抽象思维和直观思想整合起来ꎬ从不同视角分析和思考问题ꎬ使其形成新的解题思想ꎬ拓展他们的解题思路.高中数学教师在平常的解题训练中应指导学生准确应用数形结合思想ꎬ把数和形巧妙结合到一起灵活运用ꎬ使其把抽象化㊁复杂化的数学试题变得具体化㊁简单化ꎬ有效提高他们的解题效率[１].１由数到形的转换途径在高考数学解题训练中ꎬ要想更好地应用数形结合思想ꎬ教师首先需指导学生学会从数到形进行转化ꎬ能够解决以下三个方面的数学试题.(１)处理方程或者不等式问题时ꎬ应用数形结合思想能够将问题转化成两个图象的交点位置关系问题ꎬ然后结合函数的图象和性质展开解答.通过由数到形的转化ꎬ把文字性内容变得直观化ꎬ学生可以直接观察函数图象同坐标轴的交点情况ꎬ或者根据方程对应的函数图象找出不等式㊁不等式组ꎬ他们再结合这方面的知识展开解题ꎬ最终快速㊁准确地求得结果[２].例１㊀如果定义域是Ｒꎬ函数ｆ(ｘ)＝｜ｌｇ｜ｘ－１｜｜ꎬｘʂ１ꎬ０ꎬｘ＝１ꎬ{那么关于ｘ的方程ｆ２(ｘ)＋ｂｆ(ｘ)＋ｃ＝０存在７个不同的实数解的充要条件为(㊀㊀).Ａ.ｂ<０ꎬｃ>０㊀㊀㊀㊀Ｂ.ｂ>０ꎬｃ<０Ｃ.ｂ<０ꎬｃ＝０Ｄ.ｂȡ０ꎬｃ＝０解析㊀结合题干中提供的已知信息可以画出函数ｆ(ｘ)的图象ꎬ如图１所示.通过对图象的观察和分析可知ꎬ由于关于ｘ的方程ｆ２(ｘ)＋ｂｆ(ｘ)＋ｃ＝０存在７个不同的实数解ꎬ所以当ｆ(ｘ)＝０时需要有３个解ꎬｆ(ｘ)ʂ０时需要有４个解ꎬ由此能够确定当ｂ<０ꎬｃ＝０时满足题设条件ꎬ故选Ｃ.(２)集合作为学生步入高中阶段以后接触到的第一个数学知识点ꎬ虽然难度一般ꎬ却是学习函数知识的前奏与基础ꎬ也是高考数学中的必考知识点之１５图１㊀例１解析图一.在处理集合类试题时ꎬ有时无需计算ꎬ可以直接使用韦恩图的方式ꎬ也就是对数形结合思想的应用ꎬ通常用圆来表示集合ꎬ利用两个圆是否相交来判断这两个集合是否存在公共元素ꎬ从而省略掉繁杂的计算步骤[３].例２㊀如图２所示ꎬＩ是全集ꎬＭꎬＰꎬＳ为Ｉ的三个子集ꎬ那么阴影部分所表示的集合为.图１㊀例２题图解析㊀通过对图象的观察㊁分析和研究能够发现ꎬＭɘＰ的子集与∁ＩＳ的子集均是阴影部分ꎬ所以阴影部分集合为(ＭɘＰ)ɘ∁ＩＳ.(３)解析几何作为高中课程体系中难度相对较大的一类知识ꎬ涉及的题目难度也较大ꎬ在高考数学试卷中还通常同其他知识联系到一起成为综合题ꎬ对学生的解题能力有着较高要求ꎬ他们极易陷入困境之中.例３㊀已知点Ｐ为直线ｌ:３ｘ＋４ｙ＋８＝０上的一个动点ꎬＰＡ与ＰＢ为圆Ｃ:ｘ２＋ｙ２－２ｘ－２ｙ＋１＝０的两条切线ꎬＡꎬＢ两点是切点ꎬＣ为圆心ꎬ那么四边形ＰＡＣＢ的面积最小值是多少?解析㊀根据题意画出如图３所示的图象ꎬ四边形ＰＡＣＢ的面积由әＰＡＣ和әＰＢＣ组成ꎬ当点Ｐ移动至ＰＣ是øＡＰＢ的角平分线且ＰＣ最短时ꎬ四边形ＰＡＣＢ的面积最小ꎬ根据切线原理可知ＣＡʅＰＡꎬＣＢʅＰＢꎬәＰＡＣɸәＰＢＣꎬ则ＳＰＡＣＢ＝２ＳәＰＡＣ＝２ˑ１２ ｜ＰＡ｜ ｜ＡＣ｜＝ＰＣ２－１ꎬ由于此时ＰＣ最短ꎬ所以定点Ｃ到定直线上动点Ｐ的距离最小即可ꎬ点Ｃ(１ꎬ１)距离直线ｌ:３ｘ＋４ｙ＋８＝０的距离最短ꎬ根据点到直线的距离公式得到ｄ＝｜３ˑ１＋４ˑ１＋８｜３２＋４２＝１５５＝３ꎬ即当ＰＣ＝３时四边形ＰＡＣＢ的面积最小ꎬ(ＳＰＡＣＢ)ｍｉｎ＝ＰＣ２－１＝３２－１＝９－１＝８＝２２ꎬ所以四边形ＰＡＣＢ的面积最小值是２２.图３㊀例３解析图２由形到数的转换途径在高考数学解题教学中ꎬ针对数形结合思想的应用ꎬ除从数到形这种情形以外ꎬ还有一种由形到数的转换ꎬ能够解决以下两类试题.(１)解析法.在高考数学解题教学中ꎬ部分题目给出的图形较为简单ꎬ通过直接观察很难看出规律所在.这时ꎬ教师可以指引学生应用数形结合思想ꎬ适当地给图形赋值ꎬ像角度和边长等ꎬ或者根据题意构建直角坐标系ꎬ使其利用坐标之间的代数关系把几何图形表示出来ꎬ有助于他们形成明朗㊁清晰的解题思路.例４㊀已知әＡＢＣ中ꎬＡＢ＝２ꎬＡＣ＝２ＢＣꎬ那么әＡＢＣ面积的最大值是多少?解析㊀根据题意可以ＡＢ为ｘ轴ꎬ线段ＡＢ的中垂线为ｙ轴ꎬ以Ｏ为原点ꎬ建立一个平面直角坐标系ꎬ则点Ａ的坐标是(－１ꎬ０)ꎬ点Ｂ的坐标是(１ꎬ０)ꎬ点Ｃ的坐标是(ｘꎬｙ)ꎬ根据ＡＣ＝２ＢＣ可得(ｘ－３)２＋ｙ２＝８(ｙʂ０)ꎬ当ＡＣ是最大边ꎬ高为ＢＣ时әＡＢＣ的面积最大ꎬ即ＡＣ是斜边ꎬ则有ＡＣ２＝ＡＢ２＋ＢＣ２ꎬ ２５代入相关数据后得到ＡＣ＝２２ꎬＢＣ＝２ꎬ那么(ＳәＡＢＣ)ｍａｘ＝１２ˑ２ˑ２２＝２２ꎬ所以әＡＢＣ面积的最大值是２２.(２)向量法.由形到数的另外一种表现形式即为向量ꎬ利用向量来表示几何图形ꎬ结合向量知识解答几何图形中有关夹角与距离等问题ꎬ可以达到把抽象几何图形转换成代数计算的效果.例５㊀已知平面向量αꎬβ(αʂ０ꎬβʂ０)满足｜β｜＝１ꎬ且α与α－β的夹角是１２０ʎꎬ那么｜α｜的取值范围是什么?解析㊀根据α与α－β的夹角是１２０ʎ这一条件可以得到β的对角是６０ʎꎬ则向量α的终点在以ＡＢ为弦ꎬ半径为３３的圆的优弧ＡＣＢ(上运动ꎬ所以说｜α｜的取值范围是(０ꎬ２３３].３数形之间的相互转换对于高考数学解题教学而言ꎬ要想更好地应用数形结合思想ꎬ不仅可以采用上述两种途径ꎬ实现单向转换ꎬ还能够进行数与形之间的双向转换.即在同一道题目中对数形结合思想进行多次使用ꎬ将学生的思路变得更为开阔ꎬ让他们找到简便的解题思路与方法ꎬ使其体会到数形结合思想的妙用.例６㊀已知数列{ａｎ}满足ａｎ＋１＝ａｎ１＋ａｎ(ｎɪＮ∗)ꎬ数列{ａｎ}的前ｎ项和是Ｓｎꎬ那么(㊀㊀).Ａ.１２<Ｓ１００<３㊀㊀㊀Ｂ.３<Ｓ１００<４Ｃ.４<Ｓ１００<９２Ｄ.９２<Ｓ１００<５解析㊀因为ａｎ＋１＝ａｎ１＋ａｎ的右边分子ａｎ和分母ａｎ存在二次关系ꎬ所以可以对原递推式的两边取倒数ꎬ得到１ａｎ＋１＝１ａｎ＋１ａｎ.设ｂｎ＝１ａｎ(ｂｎȡ１)ꎬ则ｂｎ＋１＝ｂ２ｎ＋ｂｎ.所以点列(ｂｎꎬｂｎ＋１)位于函数ｆ(ｘ)＝ｘ２＋ｘ的图象上ꎬｆ(ｘ)又位于第一象限ꎬ因而顶点坐标是(０ꎬ０)ꎬ其中一条渐近线是ｙ＝ｘ＋１２.又因为ｘȡ１ꎬ则ｆ(ｘ)的图象位于直线ｙ＝ｘ＋１２与直线ｙ＝ｘ＋２－１之间ꎬ这时能够得到ｂｎ＋２－１ɤｂｎ＋１<ｂｎ＋１２ꎬ然后采用累加法可以得到ａｎɤ１(２－１)２(ｎ＋２)２ꎬａｎȡ４(ｎ＋１)２ꎬ则ａｎ＋１ａｎɤｎ＋１ｎ＋３.所以ａｎɤ６(ｎ＋１)(ｎ＋２)＝６(１ｎ＋１－１ｎ＋２).由裂项相消求和得到Ｓ１００<３ꎬ故选Ａ.４结束语总的来说ꎬ在高考数学解题教学活动中ꎬ数形结合思想有着极为广阔的应用空间.但教师需意识到数学思想的培养并非一蹴而就ꎬ要练习大量的试题ꎬ指引学生从以形助数㊁以数解形㊁数形互换三个方面切入ꎬ驱使他们灵活转变解题思路ꎬ快速找到解题的切入点ꎬ能够自觉㊁准确地应用数形结合思想ꎬ使其找到解答数学试题的窍门ꎬ为高考做好准备.参考文献:[１]陶政国.论数形结合思想在高中数学解题中的优势与应用[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２２(１６):７８－８０.[２]邱晓昇.例析数形结合思想在解答高中数学问题中的应用[Ｊ].数理天地(高中版)ꎬ２０２２(２４):１６－１７.[３]夏国俊.高中数学解题中数形结合思想的应用[Ｊ].数理天地(高中版)ꎬ２０２２(１８):３４－３５.[责任编辑:李㊀璟]３５。
高三数学第二轮《数形结合》公开课教案
华侨中学高三数学（理科）第二轮复习专题：数形结合思想教学地点：厦门一中集美分校高三（4）班授课教师：华侨中学王磊2016.03.24【思想方法概述】数形结合的思想在每年的高考中都有所体现，它常用来研究方程根的情况，讨论函数的值域（最值）及求变量的取值范围等．对这类内容的选择题、填空题，数形结合特别有效．从2015年的高考题来看，数形结合的重点是研究“以形助数”．预测2016年高考中，仍然会沿用以往的命题思路，借助各种函数的图象和方程的曲线为载体，考查数形结合的思想方法，在考题形式上，不但有小题，还会有解答题，在考查的数量上，会有多个小题考查数形结合的思想方法．复习中应提高用数形结合思想解题的意识，画图不能太草，要善于用特殊数或特殊点来精确确定图形间的位置关系．以形助数(数题形解)借助形的生动性和直观性来阐述数形之间的关系，把形转化为数，即以形作为手段，数作为目的的解决数学问题的数学思想．数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合．以数辅形(形题数解)借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的的解决问题的数学思想．为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：（1）等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．（2）双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．（3）简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．3．数形结合思想在高考试题中主要有以下六个常考点（1）集合的运算及Venn图；（2）函数及其图象；（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线；（5）对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可；（6）对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图象求解（函数的零点、顶点是关键点），做好知识的迁移与综合运用．4．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：（1）准确画出函数图象，注意函数的定义域；（2）用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个函数的图象，由图求解；（3）在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观代替相关的计算和推理论证．【例题1】. 【2015课标全国Ⅰ理15】若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值为 .【变式】设点P (,)x y 为圆221x y +=上的动点.(1) 求22(2)(1)x y +++的取值范围 （2）求x y -的取值范围； (3)求12y x ++的取值范围 【规律方法】如果参数、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，一般考虑用数形结合的方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：(1)y ＝kx ＋b 中k 表示直线的斜率，b 表示直线在y 轴上的截距．(2)b －n a －m表示坐标平面上两点(a ，b)，(m ，n)连线的斜率． (3)（a －m ）2＋（b －n ）2表示坐标平面上两点(a ，b)，(m ，n)之间的距离． 只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法．【例题2】已知0 1.a <<则方程|||log |x a a x =的实根个数为【变式】已知关于x 的方程m x x =+-542有四个不相等的实根，则实数m 的取值范围为【规律与总结】抽象的数学问题通过图象的直观性获得解题思路，以形辅数。
探析数形结合思想在高中数学教学中的应用
探析数形结合思想在高中数学教学中的应用数形结合思想是指在数学教学中，通过数学概念和形象图形相结合，以形象的方式帮助学生理解抽象的数学概念和解决数学问题。
在高中数学教学中，数形结合思想被广泛运用，有助于提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
本文将探索数形结合在高中数学教学中的具体应用，并讨论其在提高教学效果和培养学生数学兴趣方面的重要性。
数形结合思想在高中数学教学中的应用体现在多个方面。
在解决几何问题时，可以通过绘制图形来辅助学生理解和推导几何定理，从而深化学生对几何概念的理解。
在解决代数问题时，可以通过图解的方式帮助学生理解和分析代数表达式或方程的意义和性质，进而引导学生掌握解决代数问题的方法和技巧。
在概率和统计等数学领域，数形结合思想也可以帮助学生理解和应用相关概念，提高问题解决的效率和准确性。
数形结合思想在高中数学教学中的应用对学生的学习和成长具有积极的影响。
通过形象的图解，可以激发学生对数学的兴趣和好奇心，让学生在轻松愉快的氛围中学习数学，从而增强学生对数学的积极态度。
数形结合可以帮助学生更直观地理解和记忆数学知识，加深对数学概念的理解和记忆，并帮助学生发现数学之美，从而培养学生对数学的审美情感。
数形结合还可以培养学生的想象力和创造力，在解决问题的过程中激发学生的思维，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
数形结合思想在高中数学教学中的应用有助于提高教学效果。
通过数形结合，可以使抽象的数学概念和定理得到直观的展示和解释，能够帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高学生的学习效率和学习成绩。
数形结合还可以促进学生之间的交流和合作，激发学生的学习兴趣和潜能，提高教学的活跃度和趣味性，使学生在愉快的氛围中学习数学，达到事半功倍的效果。
要充分发挥数形结合思想在高中数学教学中的作用，教师需要具备相应的能力和素养。
教师需要具备丰富的数学知识和教学经验，能够熟练运用数形结合思想进行教学设计和教学实施。
数形结合在高考题中的应用
数形结合在高考题中的应用作者：朱琦来源：《人间》2016年第07期摘要：数形结合是中学数学中重要的数学思想方法之一，它也是解答高考数学试题一种常用方法与技巧。
本文通过比较数形结合思想的试题在历年高考中的比重，以及典型例题，阐述了数形结合思想在解题中的作用。
关键词：数形结合；高中；解题中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-864X（2016）03-0000-01引言：我国已故著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。
”这恰恰体现了“数与形”不可分割的关系。
“数与形”反映了事物两个方面的属性，在数学发展过程中，数与形常常结合在一起，内容上互相联系，方法上互相渗透，并在一定的条件下互相转化。
纵观多年来的高考试题，它对数形结合的思想与方法有着较高的要求，巧妙运用这一思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果。
一、数形结合思想与高中数学教学（一）从新课程数学内容的特点来看数形结合思想。
新高中数学课将精选出代数、几何等基础知识综合为一门学科，这样有利于精简教学内容，有利于数学各部分内容相互的联系，有利于数学思想方法的相互渗透。
新教材充实了平面向量和空间向量，这些改革都有利于“形”与“数”的结合。
（二）数形结合思想在高中数学教学中的作用。
1.有助于学生形成和谐、完整的数学概念。
2.有助于拓展学生寻找解决问题的途径。
3.有助于学生数学思维能力的发展。
4.利用数形结合，唤起学生对数学美的追求。
二、数形结合思想在高考解题中的应用1.数形结合思想在平面几何和立体几何中的应用。
例：（2007年四川卷）是同一平面内的三条平行线，与间的距离是1，与间的距离是2，正三角形的三顶点分别在，，上，则三角形的边长是（）2.数形结合思想在集合问题中的应用。
集合运算中常常借助于数轴、venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，运算快捷明了。
例：（2008年北京卷）已知全集，集合A= ，B= ，那么集合等于（）3.数形结合思想在圆锥曲线中的应用。
高考数学 第5讲 数形结合思想在解题中的应用
高考数学 第5讲 数形结合思想在解题中的应用一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
二、例题分析例1.的取值范围。
之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2.解：法一、常规解法：法二、数形结合解法：例3.A. 1个B. 2个C. 3个D. 1个或2个或3个分析：出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B）。
数形结合思想在高中数学解题中的应用
数形结合思想在高中数学解题中的应用【摘要】数统计。
感谢合作！本文将探讨数形结合思想在高中数学解题中的应用。
在几何问题中，我们将看到如何通过数形结合来解决复杂的图形关系；在代数问题中，数形结合思想可以帮助我们理清方程与图形之间的关系；在概率问题中，数形结合思想能够帮助我们更好地理解事件发生的可能性；而在应用题中，数形结合思想更是不可或缺的重要工具。
最后我们将通过具体案例展示数形结合思想在高考数学中的应用。
数形结合思想在高中数学中的应用具有重要性，对数学学习有着深远的意义。
未来，我们可以进一步探讨数形结合思想在数学领域的更广泛应用，为数学教育的发展带来新的思路与方向。
【关键词】关键词：数形结合思想、高中数学、几何问题、代数问题、概率问题、应用题、案例、高考数学、重要性、意义、未来发展方向。
1. 引言1.1 数形结合思想在高中数学解题中的应用在高中数学教学中，数形结合思想是一种重要的解题方法，通过将数学知识和几何形态相结合，可以更深入地理解和应用各种数学概念。
数形结合思想在高中数学解题中的应用，不仅能够帮助学生提高解题能力，而且能够培养他们的抽象思维能力和创新思维能力。
数形结合思想在解决几何问题中起着至关重要的作用。
通过数值计算和几何图形的相互作用，可以帮助学生更好地理解几何定理和性质，从而解决各种几何问题。
在代数问题中，数形结合思想可以帮助学生更好地理解代数方程与图形之间的关系，从而解决各种代数问题。
2. 正文2.1 几何问题中的数形结合思想几何问题中的数形结合思想是高中数学解题中的重要内容之一。
在解决几何问题时，经常需要通过数学知识和形状的特点相结合，才能得出正确答案。
在求解几何问题时，我们经常需要利用代数知识来解决。
通过坐标系和方程的运用可以求解几何图形的交点、距离等问题。
这需要我们将几何图形转化为代数表达式，然后通过代数方法解决。
这种数形结合的思想，可以帮助我们更快捷地解决复杂的几何问题。
几何问题中的数形结合思想是高中数学学习中不可或缺的一部分。
高考数学思想02 运用数形结合的思想方法解题(精讲精练)(解析版)
思想02运用数形结合的思想方法解题【命题规律】高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等．【核心考点目录】核心考点一：研究函数的零点、方程的根、图象的交点核心考点二：解不等式、求参数范围、最值问题核心考点三：解决以几何图形为背景的代数问题核心考点四：解决数学文化、情境问题【真题回归】1．（2022·北京·统考高考真题）在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-【答案】D【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，因为1PC =，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动，设()cos ,sin P θθ，[]0,2θπ∈，所以()3cos ,sin PA θθ=-- ，()cos ,4sin PB θθ=--，所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯-22cos 3cos 4sin sin θθθθ=--+13cos 4sin θθ=--()15sin θϕ=-+，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()415sin 6θϕ-≤-+≤，即[]4,6PA PB ⋅∈-；故选：D2．（2022·天津·统考高考真题）设a ∈R ，对任意实数x ，记(){}2min 2,35f x x x ax a =--+-．若()f x 至少有3个零点，则实数a 的取值范围为______．【答案】10a ≥【解析】设()235g x x ax a =-+-，()2h x x =-，由20x -=可得2x =±．要使得函数()f x 至少有3个零点，则函数()g x 至少有一个零点，则212200a a ∆=-+≥，解得2a ≤或10a ≥．①当2a =时，()221g x x x =-+，作出函数()g x 、()h x的图象如下图所示：此时函数()f x 只有两个零点，不合乎题意；②当2a <时，设函数()g x 的两个零点分别为1x 、()212x x x <，要使得函数()f x 至少有3个零点，则22x ≤-，所以，()2224550ag a ⎧<-⎪⎨⎪-=+-≥⎩，解得a ∈∅；③当10a =时，()21025g x x x =-+，作出函数()g x 、()h x的图象如下图所示：由图可知，函数()f x 的零点个数为3，合乎题意；④当10a >时，设函数()g x 的两个零点分别为3x 、()434x x x <，要使得函数()f x 至少有3个零点，则32x ≥，可得()222450a g a ⎧>⎪⎨⎪=+-≥⎩，解得4a >，此时10a >．综上所述，实数a 的取值范围是[)10,+∞．故答案为：[)10,+∞．3．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是________________．【答案】13【解析】∵椭圆的离心率为12c e a ==，∴2a c =，∴22223b a c c =-=，∴椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵222AF a OF c a c ===，，，∴23AF O π∠=，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，∴直线DE直线DE的方程：x c =-，代入椭圆方程22234120x y c +-=，整理化简得到：221390y c --=，判别式()22224139616c c ∆=+⨯⨯=⨯⨯，∴122264613cDE y =-=⨯⨯⨯⨯=，∴138c =，得1324a c ==，∵DE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22AD DF AE EF ==，，∴ADE V 的周长等于2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到2F DE △周长为222211*********DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a ++=+++=+++=+==．故答案为：13．4．（2022·浙江·统考高考真题）设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++ 的取值范围是_______．【答案】[12+【解析】以圆心为原点，37A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示：则1345726(0,1),,,(1,0),,,(0,1),,,(1,0)222222A A A A A A A ⎛⎫⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，822A ⎛- ⎝⎭，设(,)P x y ，于是()2222212888PA PA PA x y +++=++ ，因为cos 22.5||1OP ≤≤，所以221cos 4512x y +≤+≤，故222128PA PA PA +++的取值范围是[12+．故答案为：[12+．5．（2022·天津·统考高考真题）在ABC 中，,CA a CB b == ，D 是AC 中点，2CB BE = ，试用,a b表示DE 为___________，若AB DE ⊥，则ACB ∠的最大值为____________【答案】3122b a - 6π【解析】方法一：31=22DE CE CD b a -=- ，,(3)()0AB CB CA b a AB DE b a b a =-=-⊥⇒-⋅-=，2234b a a b+=⋅223cos 4a b b a ACB a b a b ⋅+⇒∠==a = 时取等号，而0πACB <∠<，所以(0,6ACB π∠∈．故答案为：3122b a - ；6π．方法二：如图所示，建立坐标系：(0,0),(1,0),(3,0),(,)E B C A x y ，3(,(1,)22x y DE AB x y +=--=--，23(1)022x y DE AB x +⊥⇒-+= 22(1)4x y ⇒++=，所以点A 的轨迹是以(1,0)M -为圆心，以2r =为半径的圆，当且仅当CA 与M 相切时，C ∠最大，此时21sin ,426r C C CM π===∠=．故答案为：3122b a - ；6π．【方法技巧与总结】1、以形助数（数题形解）：借助形的生动性和直观性来阐述数与形之间的关系，把抽象问题具体化，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想．2、以数辅形（形题数解）：借助于数的精确性、规范性、严密性来阐明形的某些属性，把直观图形数量化，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想．【核心考点】核心考点一：研究函数的零点、方程的根、图象的交点【典型例题】例1．（2023·河北衡水·高三周测）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则在区间(]2,6-内关于x 的方程()()2log 20f x x -+=的根的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，所以(2)(2)(2)f x f x f x -=+=-，即()(4)f x f x =+，所以函数()f x 的周期为4，当[0,2]x ∈时，则[2,0]x -∈-，此时()()112xf x f x -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，即()21,[0,2]xf x x =-∈，由()2log (2)0f x x -+=，(]2,6x ∈-，得()2log (2)f x x =+，分别作出函数()y f x =和2log (2)y x =+，(]2,6x ∈-的图象，如图所示，则由图象可知两个函数的图象的交点个数为4个，即方程()()2log 20f x x -+=的零点个数为4个．故选：D ．例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数23,0()3,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是A ．1(,1)2B ．1(2，2)C ．(1,2)-D ．(1,3)-【答案】C【解析】设函数1y kx =-00(,)P x y 关于直线1y =-对称的点为(,)P x y '，则00,12y y x x +==-，所以02y y =--，而P 在函数1y kx =-上，所以21y kx --=-，即1y kx =--，所以函数1y kx =-恒过定点(0,1)A -，（1）当0x >时，()ln 3f x x x x =-，设直线1y kx =--与()f x 相切于点(,ln 3)C x x x x -，()ln 31ln 13ln 2x x x f x x x x k x-+'=+-=-=-=，整理可得ln 2ln 31x x x x x x -=-+，解得1x =，所以ln122AC k k =-=-=-；（2）当0x ≤时，()23f x x x =+，设直线1y kx =--与函数()f x 相切于点B 点2(,3)x x x +，()23123x x f x x k x++'=+=-=，整理可得222331(0)x x x x x +=++≤，解得=1x -，所以2(1)31AB k k =-=-+=，故21k -<-<，即12k -<<时，在0x >时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点；在0x ≤时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点，故函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有4个交点时的k 的范围是(1,2)-．故选：C ．例3．（2023·上海·高三专题练习）已知函数f （x ）＝x 2＋ex －12（x <0）与g （x ）＝x 2＋ln （x ＋a ）的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（）A ．(-∞B ．(-∞C ．)+∞D ．)+∞【答案】B【解析】()()2102xx e f x x =+-<关于y 轴对称得到的函数为()()2102x h x x e x -=+->，依题意可知()h x 与()g x 在()0,∞+上有公共点，由()()h x g x =得()221ln 2x x e x x a -+-=++，()11ln 2x x a e =++．对于函数1xy e =，在()0,∞+上单调递减，且()0,1y ∈．对于函数()1ln 2y x a =++，在()0,∞+上单调递增．当0a ≤时，1ln 2x +的图像向右平移a 个单位得到()1ln 2y x a =++，与1x y e =图像在()0,∞+上必有1个交点．当0a >时，1ln 2x +的图像向左平移a 个单位得到()1ln 2y x a =++，要使()1ln 2y x a =++与1x y e=图像在()0,∞+上有交点，则需当0x =时（也即y 轴上），()1ln 2y x a =++的函数值小于1xy e =的函数值，即0111ln ,ln 22a a e +<<，解得0a <<．综上所述，a 的取值范围是(-∞．故选：B ．例4．（2023·全国·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x R ∈，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()122xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 20(01)a f x x a -+=<<恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．1,42⎫⎪⎪⎝⎭B ．4⎛ ⎝⎭C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】 对于任意的x R ∈，都有(2)(2)f x f x -=+，∴函数()f x 关于直线2x =对称，又 当[2x ∈-，0]时，1()2()2xf x =-，且函数()f x 是定义在R 上的偶函数，故函数()f x 在区间(2-，6]上的图象如下图所示：若在区间(2-，6]内关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=恰有3个不同的实数解则log 42a >-，log 82a <-，解得：1(,)42a ∈故选：A核心考点二：解不等式、求参数范围、最值问题【典型例题】例5．（2023春·山东枣庄·高三枣庄市第三中学校考阶段练习）设函数()()()222ln 2f x x a x a =-+-，其中0x >，a R ∈，若存在0x R ∈，使得()045f x ≤成立，则实数a 的值是A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】A【解析】函数()f x 可以看作是动点2(,)M x lnx 与动点(,2)N a a 之间距离的平方，动点M 在函数2y lnx =的图象上，N 在直线2y x =的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由2y lnx =得，22y x'==，解得1x =，∴曲线上点(1,0)M 到直线2y x =的距离最小，最小距离5d ==，则4()5f x ，根据题意，要使04()5f x ，则04()5f x =，此时N 恰好为垂足，由2021112MN a a k a a -===---，解得15a =．故选A ．例6．（2023·全国·m ≥对任意a ∈R ，()0,b ∈+∞恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎝⎦B．2⎛-∞ ⎝⎦C．(-∞D ．(],2-∞【答案】B【解析】设T =T 的几何意义是直线y x =上的点(,)P a a 与曲线()ln f x x =上的点(,ln )Q b b 的距离，将直线y x =平移到与面线()ln f x x =相切时，切点Q 到直线y x =的距离最小．而()1f x x '=，令()0011f x x ='=，则01x =，可得(1,0)Q ，此时，Q 到直线y x =2=，故min ||2PQ =，所以2m ≤．故选：B例7．（2023春·黑龙江黑河·高三嫩江市高级中学校考期中）设函数()2x f x xe a =+，()x g x e ax =+，其中1a <，若存在唯一的整数0x 使得00()()f x g x <，则a 的取值范围是（）A ．3[2e-，1)B ．3[2e，1)C ．3[2e -，34D ．3[2e ，3)4【答案】B【解析】由题意可知，存在唯一的整数x ，使得(21)x x e ax a -<-，构造函数()(21)x h x x e =-，则()(21)x h x x e '=+．当12x <-时，()0h x '<；当12x >-时，()0h x '>．所以，函数()(21)x h x x e =-的单调递减区间为1(,)2-∞-，单调递增区间为1(,)2-+∞．函数()y h x =在12x =-处取得极小值1(2h -=如下图所示，由于(0)1h =-，3(1)h e-=-，所以，(1)(0)h h -<，结合图象可知，(0)0(1)(1)h a a h a a <⨯-⎧⎨-⨯--⎩，解得312a e < ．故选：B核心考点三：解决以几何图形为背景的代数问题【典型例题】例8．（2023·全国·高三专题练习）已知3,||,||AB AC AB t AC t ⊥==，若点P 是ABC 所在平面内的一点，且3||||AB ACAP AB AC =-，则PB PC ⋅ 的最大值等于（）A ．8B ．10C ．12D ．13【答案】C【解析】∵AB AC ⊥，∴可以A 为原点，,AB AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系；不妨设()30,,(,0)B t C t ，则(0,1)3(1,0)(3,1)AP =-=- ，故点P 坐标为(3,1)-则()33,1,(3,1)PB t PC t =--=-- ，∴()333(3)1310PB PC t t t t ⋅=---+-=-++ 令3()310,0f t t t t =-++>，则2(333(1)(1),0f t t t t t -+=-+-≥'，则当(0,1)t ∈时，()0f t '>，当(1,)t ∈+∞时，()0f t '<，则函数()f t 在[0,1)递增，在(1,)+∞上递减，则max ()(1)12f t f ==，即PB PC ⋅的最大值为12．故选：C ．例9．（2023春·浙江杭州·高二学军中学阶段练习）2≤的解集为[],a b ，则ab 的值是（）A ．5B．C ．6D ．7【答案】D【解析】设23y =，则y =2≤．2=．2=±2=，两边平方可得，()()2222154x y x y -+=-+±，整理可得，27x =-，两边平方整理可得()22313y x --=．2=表示的点(),x y 在双曲线()22313y x --=上．2≤表示的点(),x y 在双曲线()22313yx--=上及其内部．2≤与不等式组()2223133y x y ⎧--≤⎪⎨⎪=⎩同解，整理可得2670x x -+≤．由已知可得，不等式2670x x -+≤的解集是[],a b ，所以2670x x -+=的两个解为a 、b ，根据韦达定理有7ab =．故选：D ．例10．（2023春·安徽六安·(0)kx k ≤>的解集为区间[,]a b ，且2b a -=，则k =（）A ．3B C D ．2【答案】C【解析】如图所示：因为y =4为半径位于x 轴上方（含和x 轴交点）的半圆，(0)y kx k =>表示过坐标原点及第一三象限内的直线，(0)kx k ≤>的解集为区间[,]a b ，且2b a -=，即半圆位于直线下方的区间长度为2，所以2,4a b ==，所以直线与半圆的交点(2,，所以2k ==故选：C ．核心考点四：解决数学文化、情境问题【典型例题】例11．（2023·全国·高三专题练习）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M ，N 是锐角AQB ∠的一边QA 上的两点，试在QB 边上找一点P ，使得MPN ∠最大．”如图，其结论是：点P 为过M ，N 两点且和射线QB 相切的圆与射线QB 的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点M （-1，2），N （1，4），点P 在x 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是（）A ．1B ．-7C ．1或-1D ．2或-7【答案】A【解析】由题M （-1，2），N （1，4），则线段MN 的中点坐标为（0，3），易知1MN k =，则经过M ，N 两点的圆的圆心在线段MN 的垂直平分线3y x =-上．设圆心为(),3S a a -，则圆S 的方程为()()()222321x a y a a -+-+=+．当MPN ∠取最大值时，圆S 必与x 轴相切于点P （由题中结论得），则此时P 的坐标为(),0a ，代入圆S 的方程，得()()22213a a +=-，解得1a =或7a =-，即对应的切点分别为P （1，0）和()7,0P '-．因为对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，又过点M ，N ，P '的圆的半径大于过点M ，N ，P 的圆的半径，所以MPN MP N ∠>∠'，故点P （1，0）为所求，即点P 的横坐标为1．故选：A ．例12．（2023春·北京大兴·高三校考阶段练习）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线22:C x y x y +=+就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线C 围成的图形的面积是2π+；②曲线C 上的任意两点间的距离不超过2；③若(),P m n 是曲线C 上任意一点，则3m n +-的最小值是1．其中正确结论的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】当0x 且0y 时，曲线C 的方程可化为22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当0x 且0y 时，曲线C 的方程可化为22111222x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当0x 且0y 时，曲线C 的方程可化为22111222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当0x 且0y 时，曲线C 的方程可化为22111222x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，曲线C 的图像如图所示；由图可知，曲线C从而曲线C所围成的面积2114π2π22⨯⨯+=+，故①正确；过原点O 且连接两个半圆圆心M 、N 的直线交曲线C 于D 、E两点，如下图所示：则|||||MN DM EN ===，所以，||||||||2DE MN DM EN =++=>，故命题②错误；因为(,)P m n 到直线30x y +-=的距离为d ，所以|3|m n +-=，当d 最小时，易知(,)P m n 在曲线C 的第一象限内的图象上，因为曲线C 的第一象限内图象是圆心为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭的半圆，所以圆心11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线30x y +-=的距离d '所以min d d ='⎭所以|3|m n +-的最小值为12=，故③正确．故选：C例13．（2023·青海海东·统考一模）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的前纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均为正方形ABCD 各边的中点（如图2），若P 在 BC 的中点，则()PA PB PO +⋅=___________．【答案】8【解析】方法一：图3如图3，取BC 中点为E ，连结PO ，显然PO 过E 点．易知，90BPC ∠=o ，45BPE ∠= ，则1EP EB EC ===，PB =2PO PE OE =+=．所以，cos PB PO PB PO BPE ⋅=∠ 222=⨯=．图4如图4，延长PO 交AD 于F ，易知F 是AD 的中点，且PF AD ⊥．则3PF PE EF =+=，1AF =，在Rt AFP 中，AP ==，cos10PF APF PA ∠==所以，cos PO PA PO PA APF ⋅=∠ 26==．所以，()8PA PB PO PA PO PB PO +⋅⋅==⋅+．故答案为：8．方法二：图5取BC 中点为E ，连结PO ，显然PO 过E 点．易知，90BPC ∠=o ，45BPE ∠= ，1PE =如图5，取AB 中点为G ，显然OG PO ⊥，1OG =，2PO PE OE =+=．在Rt GOP 中，PG ==cosOP GPO PG ∠===．又G 为AB 中点，则2G PA B P P =+．所以，()2PA PB PO PG PO +⋅=⋅ cos 2GPO PG PO =∠ 228==．故答案为：8．【新题速递】一、单选题1．（2023春·江苏盐城·高三盐城中学校考）若直线():40l x m y +-=与曲线x =有两个交点，则实数m 的取值范围是（）A ．03m <<B ．0m ≤<C ．0m <≤D ．0m ≤≤【答案】B【解析】x =表示的曲线是圆心为()0,0，半径为2的圆在y 轴以及右侧的部分，如图所示：直线():40l x m y +-=必过定点()0,4，当直线l 与圆相切时，直线和圆恰有一个交点，2=，结合直线与半圆的相切可得m =，当直l 的斜率不存在时，即0m =时，直线和曲线恰有两个交点，所以要使直线和曲线有两个交点，则0m ≤<故选：B.2．（2023春·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考阶段练习）已知x ，y 是实数，且22410x y x +-+=，则21y x ++的最大值是（）A ．66B ．116C ．336D ．66【答案】D【解析】方程可化为()223x y -+=，表示以()2,021y x ++的几何意义是圆上一点与点A ()1,2--连线的斜率，设21k y x =++，即()21y k x +=+，当此直线与圆相切时，斜率最大或最小，当切线位于切线AB 时斜率最大.=，66k =，，所以21y x ++的最大值为66.故选：D ．3．（2023春·陕西渭南·高一统考）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()24f x x x =-.若函数()()()R g x f x m m =+∈，则函数()g x 的零点个数不可能是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()224(2)4f x x x x =-=--,作出()f x的图象如图：，故当0m =时，()()g x f x =有3个零点；当0m <或4m =时，()()g x f x m =+的图象与x 轴有两个交点，则函数有2个零点；当04m <<时，()()g x f x m =+的图象与x 轴有4个交点，则函数有4个零点；由于()()g x f x m =+也为偶函数，结合()f x 图象可知，()()g x f x m =+不可能有1个零点，故选：A4．（2023春·陕西西安·高三统考期末）已知函数()e ,03,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，若函数()()()g x f x f x =--，则函数()g x 的零点个数为（）A ．1B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】当0x >时，0x -<，()3f x x-=当0x <时，0x ->，()exf x --=()()()3e ,00,0e 3,0x x x xg x f x f x x x x -⎧->⎪∴=--==⎨⎪+<⎩，()()()()g x f x f x g x -=--=-，且定义域为R ，关于原点对称，故()g x 为奇函数，所以我们求出0x >时零点个数即可，(0,)3e x g x x x =->，()3e 0x g x '=->，令()3e 0x g x '=->，解得0ln 3x <<，故()g x 在()0,ln 3上单调递增，在(ln3,)+∞单调递减，且(ln 3)3ln 330g =->，而()226e 0g =-<，故()g x 在(ln 3,2)有1零点，1311e 03g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故()g x 在1(,ln 3)3上有1零点，图像大致如图所示：故()g x 在()0,∞+上有2个零点，又因为其为奇函数，则其在(),0∞-上也有2个零点，且()00g =，故()g x 共5个零点，故选：D.5．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）若函数()f x 的定义域为(),1f x -R 为偶函数，当1x ≥-时，()31x f x -=-，则函数()()12g x f x =-的零点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】D 【解析】令310x --≥解得0x ≤，令310x --<解得0x >，所以当1x ≥-时，()11,1033111,03xx x x f x x -⎧⎛⎫--≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=-=⎛⎫⎪-+> ⎪⎪⎝⎭⎩，()1f x -为偶函数，所以()1f x -的图象关于y 轴对称，所以()f x 的图象关于直线=1x -轴对称，故作出()f x的图象如下，令()()102g x f x =-=，即()12f x =，由图象可知，()f x 的图象与12y =的图象共有四个交点，所以函数()()12g x f x =-的零点个数为4个.故选:D.6．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且(1)f x -是奇函数，当01x 时，有()f x =()(2021)y f x k x =--的零点个数为5，则实数k 取值范围是（）A ．15<2<1kB ．16<3<1kC ．12<4<k 或12k =-D ．31<2k -<-或12<3<k 【答案】C【解析】∵偶函数()f x ，()()f x f x ∴-=，(1)f x -是奇函数，得(1)(1)f x f x -=---，即()(2)f x f x =---，(2)()f x f x ---=-，得4T =，()(2021)0f x k x --=，即()y f x =与(2021)y k x =-的图像交点的个数，因为4T =，即为()y f x =与(1)y k x =-的图像交点的个数，因为()f x =k 应该在1k 与2k 之间或为3k ，21341212k k k ===-12<4<k 或12k =，故选：C.7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()ln2,01ln 2ln 2,12x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-+≤<⎪⎩，若存在02a b c <<<<使得()()()f a f b f c ==，则111ab bc ca ++的取值范围是（）A ．20,93⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．∞⎫+⎪⎪⎣⎭D ．⎫⎪⎪⎣⎭【答案】A【解析】∵()()ln 2ln2ln 22x x ⎡⎤-+=-⎣⎦，∴ln 2y x =与()ln 2ln2y x =-+的图象关于直线1x =对称，作出()f x的大致图象如图所示，易知2b c +=，由ln2ln2a b =，即ln 2ln 2a b -=，ln 40ab =，得14ab =，∵112b <<，∴11124a <<，得1142a <<，∴()()421621112181244a a a a b c a c ab bc ca abc a a+++++++====--.设81t a =-，则()1,3t ∈，111117184t ab bc ca t ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭.17t t+≥=t 故当()1,3t ∈时，令()1718h t t t +=+，()h t 单减，()()80136,33h h ==，故1172018,943t t ⎛⎫⎛⎫++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A二、多选题8．（2023·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为30 的直线分别交y 轴与双曲线右支于点,M P ，1PM MF =，下列判断正确的是（）A ．2160PF F ∠= ，B ．2112MF PF =C ．ED ．E的渐近线方程为y =【答案】BCD 【解析】如下图所示，因为1PM MF =，即M 为1PF 中点，O 为12F F 中点，所以2//OM PF ，因为12OM F F ⊥，所以212PF F F ⊥，所以212PF F π∠=，2112MF PF =，A 错误，B 正确；由212PF F F ⊥知：22b PF a=，又122F F c =，1230PF F ∠= ，2c =)222c a ac -=220e -=，解得：e =C 正确；所以==c e a ，所以223c a =，所以22222b c a a =-=，所以b a=所以E 的渐近线方程为y =，D 正确．故选：BCD ．9．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l 过抛物线2:8C y x =的焦点F ，l 与抛物线交于,P Q两点（P 在第一象限），以,PF QF 为直径的圆分别与y 轴相切于,A B 两点，则下列结论正确的是（）A ．32||3PQ =B ．ABC ．若M 为抛物线C 上的动点，(2,1)N ，则min (||||)4MF MN +=D ．若0(,M x 为抛物线C 上的点，则9MF =【答案】ABC【解析】设直线PQ 的方程为：y =x ﹣2），与28y x =联立整理可得：3x 2﹣20x +12=0，解得：x 23=或6，则P （6，，Q （23，3-）；所以|PQ |=623++4323=，选项A 正确；因为F (2,0),所以PF ，QF 的中点分别为：（4，，（43，3-），所以A （0，，B （0，3-），所以|AB 33=，选项B 正确；如图M 在抛物线上，ME 垂直于准线交于E ，可得|MF |=|ME |，所以|MF |+|MN |=|ME |+|MN |≥NE =2+2=4，当N ，M ，E 三点共线时，|MF |+|MN |最小，且最小值为4，选项C 正确；对于选项D ，若0(M x 为抛物线C 上的点，则05x =，又4p =，所以072p MF x =+=，选项D 错误.故选：ABC.10．（2023春·河南·高三校联考）在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，2BD CD ==，ABD △为等边三角形，E 是棱AC 的中点，F 是棱AD 上一点，若异面直线DE 与BF 所成角的余弦值为28，则AF 的值可能为（）A ．23B ．1C ．43D ．53【答案】AC【解析】由ABD △为等边三角形，取BD 的中点O ，连接AO ,则AO BD⊥又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD BD=所以AO ⊥平面BCD ，由BD CD⊥过O 作与CD 平行的直线为y 轴，分别以,OB OA 为,x z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为2BD CD ==，则()1,0,0B ，()()(1,0,0,1,2,0,D C A --，所以1,1,22E ⎛- ⎝⎭．设()F a，则12DE ⎛= ⎝⎭，()BF a =- ，则28=13a =-或23a =-，故1233AF AD ==或2433AF AD ==．故选：AC11．（2023秋·福建三明·高一福建省宁化第一中学校考阶段练习）已知G 为ABC 的重心，60BAC ∠=︒，2AB AC ⋅= ，则||AG uuu r 的可能取值为（）A ．23B ．1CD ．32【答案】CD【解析】如图，G 是ABC 的重心，记,,AB c AC b AB a ===，则2211()()3323AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+ ，222222111()(2)(4)999AG AB AC AB AB AC AC b c =+=+⋅+=++ ，又1cos 6022AB AC bc bc ⋅=︒== ，即4bc =，所以2228b c bc +≥=，当且仅当2b c ==时等号成立，所以214(84)93AG ≥⨯+=．即3AG ≥ ．只有CD 满足．故选：CD ．12．（2023春·湖北黄冈·高三校考开学考试）已知ABC 的重心为G ，过G 点的直线与边AB ，AC 的交点分别为M ，N ，若AM MB λ= ，且AMN 与ABC 的面积之比为920，则λ的可能取值为（）A ．43B ．32C ．53D ．3【答案】BD【解析】如图，()AM MB AB AM λλ==- ，1AM AB λλ∴=+ ，即1AB AM λλ+= ，设AC t AN = ，则11()333t AG AB AC AM AN λλ+=+=+ ，M G N 、、三点共线，1=133t λλ+∴+，12t λ∴=-，所以12AC AN λ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，AMN ∴ 与ABC 的面积之比为920，191sin sin 2202AM AN A AB AC A ∴=⨯⨯ ，即112029λλλ+⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得22990λλ-+=，解得32λ=或3.故选：BD13．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校联考）在三维空间中，定义向量的外积：a b ⨯ 叫做向量a 与b 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：①()a a b ⊥⨯ ，()b a b ⊥⨯ ，且a ，b 和a b ⨯ 构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；②a b ⨯ 的模sin ,a b a b a b ⨯= ，(,a b 表示向量a ，b 的夹角)．在正方体1111ABCD A B C D -中，有以下四个结论，正确的有（）A ．11AB AC AD DB⨯=⨯ B ．111AC A D ⨯ 与1BD 共线C ．AB AD AD AB ⨯=⨯ D ．6BC AC ⨯ 与正方体表面积的数值相等【答案】ABD【解析】对于A ，设正方体的棱长为1，在正方体中1,60AB AC =︒ ，则111sin ,AB AC AB AC AB AC ⨯= ，因为11//BD B D ，且1160AD B ∠=︒，所以1,120AD DB =︒ ，所以111sin ,2AD DB AD DB AD DB ⨯== 所以11AB AC AD DB ⨯=⨯ ，所以A 正确；对于B ，1111AC B D ⊥，111A C BB ⊥，1111B B B D B ⋂=，111,B B B D ⊂平面11BB D D ，11A C ⊥平面11BB D D ，因为1BD ⊂平面11BB D D ，所以111BD A C ⊥，同理可证11BD A D ⊥，再由右手系知，111AC A D ⨯ 与1BD 同向，所以B 正确；对于C ，由a ，b 和a b ⨯ 构成右手系知，a b ⨯ 与b a ⨯ 方向相反，又由a b ⨯ 模的定义知，sin ,sin ,a b a b a b b a a b b a ⨯===⨯ ，所以a b b a ⨯=-⨯ ，则AB AD AD AB ⨯=-⨯ ，所以C 错误；对于D ，正方体棱长为a ，266sin 4566BC AC BC AC a a ⨯=⋅︒=⨯⨯，正方体表面积为26a ，所以D 对．故选：ABD ．三、填空题14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数243,0()41,01x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪+⎩.若关于x 的方程()()()2[]2110f x m f x m +--+=有6个不同的实数根，则m 的取值范围___________.【答案】7,5⎛- ⎝⎭【解析】因为243,0()41,01x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪+⎩，所以当0x ≤时，()243f x x x =++开口向上，对称轴为2x =-，()()min 21f x f =-=-，两零点为1,3x x =-=-；当0x >时，()411f x x =-+，则()f x 在()0,∞+上单调递减，零点为3x =，且()1f x >-；由此作出()f x的图像如图，.令()t f x =，则当13t -<<时，()t f x =有三个实数根，因为()()()2[]211f x m f x m +--+有6个不同的实数根，所以()22110t m t m +--+=必须有两个不等实根12,t t ，且()21,1,3t t ∈-，令()()2211g t t m t m =+--+，则()()103021132Δ0g g m ⎧->⎪>⎪⎪⎨--<-<⎪⎪>⎪⎩，即()()()()212110932110621221410m m m m m m m ⎧---+>⎪+--+>⎪⎨-<-<⎪⎪---+>⎩，解得75m -<<7,52m ⎛∈-- ⎝⎭.故答案为：7,5⎛- ⎝⎭.15．（2023春·全国·高一期末）已知函数241,1()log 3,1x x f x x x ⎧-⎪=⎨+>⎪⎩ 集合21()2()02M x f x t f x t ⎧⎫⎛⎫=-++=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∣，若集合M 中有3个元素，则实数t 的取值范围为________．【答案】{|0t t =或1}2t ≥【解析】令()f x m =，记21()(2)2g m m t m t =-++的零点为12,m m ，因为集合M 中有3个元素，所以()f x 的图象与直线12,y m y m ==共有三个交点，则，12001m m =⎧⎨<<⎩或12101m m =⎧⎨<<⎩或12001m m >⎧⎨<<⎩当10m =时，得0=t ，212m =，满足题意；当11m =时，得12t =，212m =，满足题意；当12001m m >⎧⎨<<⎩时，(0)01(1)1202g t g t t =>⎧⎪⎨=--+<⎪⎩，解得12t >.综上，t 的取值范围为{|0t t =或1}2t ≥.故答案为：{|0t t =或1}2t ≥16．（2023秋·黑龙江绥化·高一校考期末）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知30,12=︒=A b ，若ABC 有两解，写出a 的一个可能的值为__________．【答案】7（满足(612)a ∈，均可，答案不唯一）【解析】由于满足条件的ABC 有两个，则sin b A a b <<，即612a <<.故答案为：7（满足(612)a ∈，均可，答案不唯一）．17．（2023·海南·统考模拟预测）已知函数()sin 314f x x m π⎛⎫++- ⎪⎝⎭在3,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有3个零点1x ，2x ，3x ，其中123x x x <<，则1232x x x ++=______．【答案】53π-【解析】令()0f x =314x m π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，故()314f x x m π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭的零点为函数()314g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭与函数y ＝m 交点的横坐标，作出函数g (x )在3,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的大致图象：令3()42x k k πππ+=+∈Z ，解得()123k x k ππ=+∈Z ，令1k =-，得4x π=-，则由图知2322=4x x ππ⎛⎫+=⨯-- ⎪⎝⎭，令2k =-，得712x π=-，则由图知12772=126x x ππ⎛⎫+=⨯-- ⎪⎝⎭，故123752263x x x πππ++=--=-．故答案为：53π-﹒18．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）已知双曲线22:14x y C m-=与直线2y x =无交点，则m 的取值范围是_____．【答案】(]0,16【解析】依题意，由22:14x y C m -=可得0m >，双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，因为双曲线C 与直线2y x =无交点，所以直线2y x =应在两条渐近线上下两部分之间，2≤，解得016m <≤，即(]0,16m ∈.故答案为：(]0,16..。
数形结合思想在高中数学解题中的运用
数形结合思想在高中数学解题中的运用数形结合思想属于高中数学解题过程中一种常用的思想，其本身具有简便、直观、形象等优势，针对集合问题采用代数的方法来进行解答，抑或是针对代数问题采用集合图形来进行解答。
通过掌握数形结合思想，能够有效整合高中的数学知识，更好地学习数学。
一、数形结合思想概念分析1.数形结合思想的概述“数”“形”都是数学组成的重要基础，数量关系当中一般都可以采用直观的图像来进行展示，而任何一个集合图形当中都包含着一定程度的数量关系，因此，将“数”“形”结合起来进行数学问题的解答是一种十分重要的数学解题思想。
其主要包含两个方面的内容，一是以形助数，二是以数解形。
2.数与形之间的转化措施从数形之间的有效转化模式来看，其主要囊括三种，分别为通过形转化为数、通过数转化为形、数与形的互相转化。
针对通过形转化为数的模式来看，其通常是根据已知的图形，经过认真地分析以后，将图像当中隐藏的各种数量与相关性造出来，使得几何图形的相关属性能够通过数的方式反映出来。
针对通过数转化为形的模式来看，其通常是根据问题当中所给出的各种假设，将与之对应的图形描绘出来，在图形当中体现对应的数量关系，最终揭示数与形之间的本质。
针对数与形的互相转化模式来看，其主要是充分利用数与形的相互对立统一特点，来针对图形的形状进行观察，针对数与式子之间的结构实施研究，从中进行对应的联想，进行相应的转化，把原本空洞、抽象的内容转变成形象、直观的内容。
二、数形结合在高中数学解题中的实例分析1.数形结合思想在集合解题中的运用集合属于高中数学教学中的基本知识，是掌握其他数学知识的重要基础。
而集合无论是在交集、补集以及并集等各个内在关系方面，抑或是其外在表达式方面，都包括了图形的重要意味，数形结合思想在集合解题当中具有十分重要的作用。
例：假设存在两个集合依次为M={（x，y）︳x2+y2=1，x∈R，y∈R}，N={（x，y）︳x2-y=0，x∈R，y∈R}，则集合M∩N当中的元素个数为几个？答案：2个。
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其解题目的的优化.
数形结合思想
数形结合思想 就是充分运用 “ 数 ” 的严谨和 “ 形 ” 的直观，将抽象的数
学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思
维结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学 问题的一种数学思想方法。 它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。
【问题】
1. 你熟悉的函数有哪些？能正确画出它们的图象（草图）， 说明相关性质吗？（请在纸上尝试画一画.） 2.倘若给你一方程： log x | x 2 | 0 ，求其根的个数？
，b 5
log 4 3.6
1 log30.3 ，c ( ) ，则（ 5
B）
A.a b c C.c a b
B.a c b D.c b a
x－y＋1≤0， (2)若实数 x、y 满足x>0， y≤2，
y 则x的最小值是____.
解析 可行域如图所示. y 又x的几何意义是可行域内的点与坐标原点
图形
例 3
构造函数模型－－研究方程根或函数零点的范围问题
(2014·江苏 ) 已知 f(x) 是定义在 R 上且周期为 3 1 的函数，当 x∈[0,3) 时， f(x) ＝ |x2 － 2x ＋ |. 若函 2 数 y ＝ f(x) － a 在区间 [ － 3,4] 上有 10 个零点 ( 互不相
x= 3
x=4
数形结合思想赏析 “数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。 数缺形时少直觉，形缺数时难入微。 数形结合百般好，隔裂分家万事非，
切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离。”
数与形相辅相成，缺一不可。数的抽象，形的具体，两者 珠
联璧合，对于数学解题将有出其不意的效果。
【学习目标】
a.能将一些抽象的问题转化或构造为函数模型. b.会画出所构造函数模型图象（草图），并结合函数图象 的直观性及性质解决实际问题. c. 体验运用数形结合思想解决问题的过程，并从中感悟用
§数学思想篇之二：高考中数形结合思想在实际中的应用 7.3 高考中的二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
y
5 4 f(x) = x 3 2 1 y= 1 2 ∙x 2 +1 y=x
y
4 f(x) = x2 3 2 1 2∙x + 1 2
–3
–2
–1
O
–1 –2
1
2
3
4
x
–1 –1
O
1
2
3
4
5
6
x
图形
规律总结
数形结合思想在解题中的应用 (1)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系. (2)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等式.
(3)构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数的零点的范围.
(4)构建解析几何模型求最值或范围.
当堂测
(1)已知 a 5
log 2 3.4
3
你会怎样处理？
例 2
构造函数模型－－求参数的取值范围或解不等式问题
(2014·山东 ) 已知函数 f(x) ＝ |x － 2| ＋ 1 ， g(x) ＝ kx ， 若方程 f(x) ＝ g(x) 有两个不相等的实根，则实数 k 的取值
范围是(
B
)
1 A.(0，2) C.(1,2)
1 B.(2，1) D.(2，＋∞)
∴此时|PA|min＝ |PC| －|AC| ＝2 2.
2 2
∴(S 四边形 PACB)min ＝2(S△PAC)min＝2 2.
答案 2 2
课后作业
二轮《步步高专题突破》第141页 A组 第5、6、7、11、12题.
连线的斜率 k.
由图知，过点A的直线OA的斜率最小.
x－y＋1＝0， 联立 得 A(1,2)， y＝2，
2－0 y 所以 kOA＝ ＝2.所已知奇函数f(x)的定义域是{x|x≠0，x∈R}，且在(0，＋ ∞)上单调递增，若f(1)＝0，则满足x· f(x)<0的x的取值范围 (－1,0)∪(0,1) 是____________. 解析 作出符合条件的一个函数图象草图即可， 由图可知x· f(x)<0的x的取值范围是(－1,0)∪(0,1).
(4)已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2
＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心， 则四边形PACB面积的最小值为________. 解析 如图，
1 1 SRt△PAC＝2|PA|· |AC|＝2|PA|，
|3×1＋4×1＋8| 当 CP⊥l 时，|PC|＝ ＝3， 2 2 3 ＋4
1 (0, ) 同)，则实数a的取值范围是 2 ________.
图形
例 4
构造解析几何模型－－求最值或范围
(2015·绵阳三诊 ) 已知点 A （ 1-m,0 ）， B(1+m,0) ， 若圆C：x y 8x 8 y 31 0 上存在一点P，使
2 2
6 得 PA PB 0 ，则m的最大值为________.