2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二数学上12月月考(第二次模拟检测)(文)试题(含答案)
湖南省长郡中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题(含精品解析)
长郡中学2017-2018学年度高二第二学期期末考试数学（文科）一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分.1. 设集合，，则集合为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：化简集合，再由交集的定义，即可得到所求集合.详解：集合，，所以，故选B.点睛：本题主要考查了集合的交集的运算，其中正确求解集合的解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2. 若复数是纯虚数，则实数等于（）A. 2B. -2C. -1D. 1【答案】A【解析】分析：复数的分母实数化，利用复数是纯虚数，求出a的值即可．详解：因为，是纯虚数，所以a=2．故选：A．点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3. 下列函数中，与函数的单调性和奇偶性一致的函数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数即是奇函数也是上的增函数，对照各选项：为非奇非偶函数，排除；为奇函数，但不是上的增函数，排除；为奇函数，但不是上的增函数，排除；为奇函数，且是上的增函数，故选D.4. 已知：命题：若函数是偶函数，则；命题：，关于的方程有解.在①；②；③；④中真命题的是（）A. ②③B. ②④C. ③④D. ①④【答案】D【解析】分析：先分析命题p，q的真假，再根据复合命题的真值判断方法即可求解．详解：若函数f（x）=x2+|x﹣a|为偶函数，则（﹣x）2+|﹣x﹣a|=x2+|x﹣a|，即有|x+a|=|x﹣a|，易得a=0，故命题p 为真；当m＞0时，方程的判别式△=4﹣4m不恒大于等于零，当m＞1时，△＜0，此时方程无实根，故命题q为假，即p真q假，故命题p∨q为真，p∧q为假，（￢p）∧q为假，（￢p）∨（￢q）为真．综上可得真确命题为①④．故选：D．点睛：本题考查复合命题的真假的判断．解题关键真确判断命题p，q的真假，再根据复合命题真值的判断方法求解．属于基础题．（1）由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p且q真，则p 真，q也真；若p或q真，则p，q 至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假．（2）可把“p或q”为真命题转化为并集的运算；把“p 且q”为真命题转化为交集的运算．5. 若，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：用已知函数值的角表示要求的角，再由两角和差公式得到结果.详解：=因为， ,,故代入得到结果为：.故答案为：A.6. 已知数列是等差数列，满足，下列结论中错误的是（）A. B. 最小 C. D.【答案】B【解析】由题设可得，即，所以答案D正确；由等差数列的性质可得，则，所以答案A正确；又，故答案C正确。
湖南省长郡中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题(解析版)
长郡中学2017-2018学年度高二第二学期期末考试数学（理科）一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】因，故复数对应的点在第二象限，应选答案B。
2. 设、为非空集合，定义集合为如图非阴影部分的集合，若| ，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：所求的集合是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合．详解：依据定义，A B就是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合；对于集合A，求的是函数的定义域，解得：A={x|0≤x≤2}；对于集合B，求的是函数y=3x（x＞0）的值域，解得B={y|y＞1}；依据定义：A*B={x|0≤x≤1或x＞2}，故选：D．点睛：本小题考查函数的定义域和值域，考查集合交并运算的知识，考查运算能力，属于中档题．3. 阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】输入执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，由题可知满足，输出故故选C4. 使不等式成立的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解不等式，可得，即，故“”是“”的一个必要不充分条件，故选B.5. 已知集合，，则从到的映射满足，则这样的映射共有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个【答案】B【解析】分析：根据映射的定义，结合已知中f（3）=3，可得f（1）和f（2）的值均有两种不同情况，进而根据分步乘法原理得到答案详解：：若f（3）=3，则f（1）=3或f（1）=4；f（2）=3或f（2）=4；故这样的映射的个数是2×2=4个，故选：B．点睛：本题考查的知识点是映射的定义，分步乘法原理，考查了逻辑推理能力，属于基础题6. 在直角坐标系中，若角的终边经过点，在（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意角的终边经过点，即点，利用三角函数的定义及诱导公式，即可求解结果.详解：由题意，角的终边经过点，即点，则，由三角函数的定义和诱导公式得，故选C.点睛：本题主要考查了三角函数的定义和三角函数诱导公式的应用，其中熟记三角函数的定义和三角函数的诱导公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.7. 定义运算，，例如，则函数的值域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：欲求函数y=1*2x的值域，先将其化成分段函数的形式，再画出其图象，最后结合图象即得函数值的取值范围即可．详解：当1≤2x时，即x≥0时，函数y=1*2x=1当1＞2x时，即x＜0时，函数y=1*2x=2x∴f（x）=由图知，函数y=1*2x的值域为：（0，1]．故选：D．点睛：遇到函数创新应用题型时，处理的步骤一般为：①根据“让解析式有意义”的原则，先确定函数的定义域；②再化简解析式，求函数解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数比较相似；③根据定义域和解析式画出函数的图象④根据图象分析函数的性质．8. 若在区间上单调递减，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意，在区间（﹣∞，1]上，a的取值需令真数x2﹣2ax+1+a＞0，且函数u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．详解：令u=x2﹣2ax+1+a，则f（u）=lgu，配方得u=x2﹣2ax+1+a=（x﹣a）2 ﹣a2+a+1，故对称轴为x=a，如图所示：由图象可知，当对称轴a≥1时，u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上单调递减，又真数x2﹣2ax+1+a＞0，二次函数u=x2﹣2ax+1+a在（﹣∞，1]上单调递减，故只需当x=1时，若x2﹣2ax+1+a＞0，则x∈（﹣∞，1]时，真数x2﹣2ax+1+a＞0，代入x=1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）故选：A．点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.9. 已知，，分别为内角，，的对边，且，，成等比数列，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为成等比数列，所以,利用正弦定理化简得：,又，所以原式=所以选C.点睛：此题考察正弦定理的应用，要注意求角度问题时尽量将边的条件转化为角的等式，然后根据三角函数间的关系及三角形内角和的关系进行解题.10. 已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）=0，则||的最大值是（）A. 1B. 2C.D.【答案】C【解析】分析：由向量垂直的条件可得•=0，运用向量的平方即为模的平方，可得|+|=，再化简运用向量的数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可得到所求最大值．详解：由题意可得•=0，可得|+|==，（﹣）•（﹣）=2+•﹣•（+）=||2﹣||•|+|cos＜（+，＞=0，即为||=cos＜+，＞，当cos＜+，＞=1即+，同向时，||的最大值是．故选：C．点睛：本题考查向量的模的最值的求法，注意运用向量数量积的定义和性质，考查余弦函数的值域的运用，属于中档题．11. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值等于（）A. 1B.C. 3D. 0【答案】C【解析】由导数的几何意义得所以=，故选C.12. 设，则使得的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据题意，由函数f（x）的解析式分析可得函数f（x）的图象关于直线x=1对称，当x≥1时，对函数f（x）求导分析可得函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，则原不等式变形可得f（|x|）＜f（|2x﹣3|），结合单调性可得|x|＞|2x ﹣3|，解可得x的取值范围，即可得答案．详解：根据题意，f（x）=﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x）=﹣（x﹣1）2﹣2（e x﹣1+）+1，分析可得：y=﹣（x﹣1）2+1与函数y=2（e x﹣1+e1﹣x）都关于直线x=1对称，则函数f（x）=﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x）的图象关于直线x=1对称，f（x）=﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x），当x≥1时，f′（x）=﹣2x+2﹣（e x﹣1﹣）=﹣2（x+1+e x﹣1﹣），又由x≥1，则有e x﹣1≥，即e x﹣1﹣≥0，则有f′（x）＜0，即函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，f（x+1）＜f（2x﹣2）⇒f（|x+1﹣1|）＜f（|2x﹣2﹣1|）⇒f（|x|）＜f（|2x﹣3|）⇒|x|＞|2x﹣3|，变形可得：x2﹣4x+3＜0，解可得1＜x＜3，即不等式的解集为（1，3）；故选：B．点睛：处理抽象不等式问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若为偶函数，则，若函数是奇函数，则．13. 已知函数，其中为函数的导数，则（）A. 2B. 2019C. 2018D. 0【答案】A【解析】由题意易得：∴函数的图象关于点中心对称，∴由可得∴为奇函数，∴的导函数为偶函数，即为偶函数，其图象关于y轴对称，∴∴故选：A14. 中，角、、的对边分别为，，，若，三角形面积为，，则( )A. 7B. 8C. 5D. 6【答案】A【解析】分析：由已知及三角形的面积公式可求bc，然后由a+b+c=20以及余弦定理，即可求a．详解：由题意可得，S△ABC=bcsinA=bcsin60°∴bcsin60°=10∴bc=40∵a+b+c=20∴20﹣a=b+c．由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccos60°=（b+c）2﹣3bc=（20﹣a）2﹣120解得a=7．故选：A．点睛：本题综合考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式等知识的综合应用，解题的关键是灵活利用公式．考查计算能力．15. 在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求cosC=0 即C=90°，再由，S△ABC=6可得bccosA=9，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1），设则，，由=（x，0）+（0，y）=（x，y）可得x=3λ，y=4﹣4λ则4x+3y=12而，利用基本不等式求解最小值．详解：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b∵sinB=cosA•sinC，∴sin（A+C）=sinCcosA，即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA，∴sinAcosC=0，∵sinA≠0，∴cosC=0 C=90°∵，S△ABC=6∴bccosA=9，∴，根据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15∴c=5，b=3，a=4以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1）设，则，∴=（x，0）+（0，y）=（x，y）∴x=3λ，y=4﹣4λ则4x+3y=12=故所求的最小值为故选：C．点睛：本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的是一个单位向量，从而可用x，y表示，建立x，y与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由x=3λ，y=4﹣4λ发现4x+3y=12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分.16. 《左传.僖公十四年》有记载:“皮之不存,毛将焉附?"”这句话的意思是说皮都没有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基础,就不能存在.皮之不存,毛将焉附?则“有毛”是“有皮”的__________条件(将正确的序号填入空格处).①充分条件②必要条件③充要条件④既不充分也不必要条件【答案】①【解析】分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．详解：由题意知“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分条件．故答案为：①．点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．17. 对于，，规定，集合，则中的元素的个数为__________．【答案】41【解析】分析：由⊕的定义，a b=36分两类进行考虑：a和b一奇一偶，则ab=36；a和b同奇偶，则a+b=36．由a、b∈N*列出满足条件的所有可能情况，再考虑点（a，b）的个数即可详解：a b=36，a、b∈N*，若a和b一奇一偶，则ab=36，满足此条件的有1×36=3×12=4×9，故点（a，b）有6个；若a和b同奇偶，则a+b=36，满足此条件的有1+35=2+34=3+33=4+32=…=18+18共18组，故点（a，b）有35个，所以满足条件的个数为41个．故答案为：41．点睛：本题考查的知识要点：列举法在排列组合中的应用，正确理解新定义的含义是解决本题的关键．18. 已知平面向量，满足||=1，||=2，|﹣|=，则在方向上的投影是__________．【答案】【解析】分析：根据向量的模求出•=1，再根据投影的定义即可求出．详解：∵||=1，||=2，|﹣|=，∴||2+||2﹣2•=3，解得•=1，∴在方向上的投影是=，故答案为：点睛：本题考查了平面向量的数量积运算和投影的定义，属于中档题．19. 已知函数，若正实数，满足，则的最小值是__________．【答案】【解析】因为，所以函数为单调递增奇函数，因此由，得因此，当且仅当时取等号.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.20. 已知集合，且下列三个关系：，，中有且只有一个正确，则函数的值域是__________．【答案】【解析】分析：根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a，b，c的值，结合的最值即可求出函数的值域．详解：由{a，b，c}={2，3，4}得，a、b、c的取值有以下情况：当a=2时，b=3、c=4时，a≠3，b=3，c≠4都正确，不满足条件．当a=2时，b=4、c=3时，a≠3成立，c≠4成立，此时不满足题意；当a=3时，b=2、c=4时，都不正确，此时不满足题意；当a=3时，b=4、c=2时，c≠4成立，此时满足题意；当a=4时，b=2，c=3时，a≠3，c≠4成立，此时不满足题意；当a=4时，b=3、c=2时，a≠3，b=3成立，此时不满足题意；综上得，a=3、b=4、c=2，则函数=，当x＞4时，f（x）=2x＞24=16，当x≤4时，f（x）=（x﹣2）2+3≥3，综上f（x）≥3，即函数的值域为[3，+∞），故答案为：[3，+∞）．点睛：本题主要考查函数的值域的计算，根据集合相等关系以及命题的真假条件求出a，b，c的值是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，每小题8份，共40分.21. 以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线的参数方程为（为参数），设点，直线与曲线相交于，两点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）极坐标方程化为直角坐标方程；（2）联立直线线l的参数方程与曲线C方程，巧解韦达定理表示，解得其值.试题解析：（1）由曲线C的原极坐标方程可得，化成直角方程为．（2）联立直线线l的参数方程与曲线C方程可得，整理得，∵，于是点P在AB之间，∴．点睛：过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为 (t为参数)，t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即t＝|PP0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P1，P对应的参数分别为t1，t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为 (t1＋t2)222. 如图，在中，角，，所对的边分别为，，，若.（1）求角的大小；（2）若点在边上，且是的平分线，，，求的长.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用正弦定理将边化角，根据三角恒等变换即可得出，从而得出的大小；（2）利用余弦定理求出，根据是的平分线，可得，故而可求得结果.试题解析：(1)在中，∵,∴由正弦定理得，∵，∴，∵，∴.(2)在中，由余弦定理得，即,解得,或（负值，舍去）∵是的平分线，，∴,∴.23. 已知函数（为自然对数的底数）.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递增区间是；单调递减区间是.（2）【解析】试题分析：(1)，根据题意，由于函数当t=-e时，即导数为,,函数的单调递增区间是；单调递减区间是（2) 根据题意由于对于任意，不等式恒成立，则在第一问的基础上，由于函数,只要求解函数的最小值大于零即可，由于当t>0,函数子啊R递增，没有最小值，当t<0，那么可知，那么在给定的区间上可知当x=ln（-t）时取得最小值为2，那么可知t的取值范围是．考点：导数的运用点评：主要是考查了导数的运用，以及函数最值的运用，属于中档题。
2017-2018年湖南省长沙市长郡中学高二(上)期末数学试卷(理科)及答案
2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）与命题“若a∈A，则b∉A”的真假性相同的命题是（）A．a∈A或b∉A B．若b∉A，则a∈AC．若a∉A，则b∈A D．若b∈A，则a∉A2．（3分）某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是（）A．=﹣10x+200B．=10x+200C．=﹣10x﹣200D．=10x﹣2003．（3分）设复数z1=1﹣3i，z2=3﹣2i，则在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（3分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（3分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（）A．B．C．D．06．（3分）若二项式（2x+）7的展开式中的系数是84，则实数a=（）A．2B．C．1D．7．（3分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在（a，b）内的极大值点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（3分）设椭圆+=1和双曲线﹣x2=1的公共焦点分别为F1，F2，P为这两条曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|的值为（）A．3B．C．D．9．（3分）在等差数列{a n}中，若a n＞0，公差d＞0，则有a4•a6＞a3•a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n＞0，q＞1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是（）A．b4+b8＞b5+b7B．b5+b7＞b4+b8C．b4+b7＞b5+b8D．b4+b5＞b7+b810．（3分）若a，b，c均为正实数，则三个数（）A．都不大于2B．都不小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于211．（3分）函数f（x）=﹣2x2+7x﹣6与函数g（x）=﹣x的图象所围成的封闭图形的面积为（）A．B．2C．D．312．（3分）若函数f（x）=x3﹣12x在区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围（）A．k≤﹣3或﹣1≤k≤1或k≥3B．﹣3＜k＜﹣1或1＜k＜3C．﹣2＜k＜2D．不存在这样的实数k13．（3分）假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30至7：30之间把报纸送到小明家，小明爸爸离开家去工作的时间在早上7：00至8：00之间，问小明的爸爸在离开家前能得到报纸的概率是（）A．B．C．D．14．（3分）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）A．152B．126C．90D．5415．（3分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16B．14C．12D．10二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.16．（3分）从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数共有．（用数字作答）17．（3分）在△ABC中，不等式++≥成立；在四边形ABCD中，不等式+++≥成成立；在五边形ABCDE中，不等式++++≥成立．猜想在n边形中，不等式成立．18．（3分）如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为．19．（3分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为．20．（3分）已知函数，g（x）=e x﹣2，若g（m）=f（n）成立，则n ﹣m的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.21．（8分）已知椭圆=1（a＞b＞0）经过点A（0，4），离心率为；（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．22．（8分）设曲线在点（1，f（1））处的切线方程为（其中，a，b∈R，e是自然对数的底数）．（1）求a，b的值；（2）求f（x）在区间[﹣3，3]上的最大值和最小值．23．（8分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．24．（8分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，倾斜角为45°的直线l 过点F与抛物线C交于A，B两点，△OAB的面积为（O为坐标原点）．（1）求p；（2）设点E为直线与抛物线C在第一象限的交点，过点E作C的斜率分别为k1，k2的两条弦EM，EN，如果k1+k2=﹣1，证明直线MN过定点，并求出定点坐标．25．（8分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+1（a为常数）．（1）若函数f（x）在其定义域上为增函数，求实数a的取值范围；（2）若存在x0∈（0，1]，使得对任意的a∈（﹣2，0]，不等式（其中e为自然数对数的底数）都成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）与命题“若a∈A，则b∉A”的真假性相同的命题是（）A．a∈A或b∉A B．若b∉A，则a∈AC．若a∉A，则b∈A D．若b∈A，则a∉A【解答】解：由于逆否命题是等价命题，则与命题“若a∈A，则b∉A”的真假性相同的命题是若b∈A，则a∉A，故选：D．2．（3分）某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是（）A．=﹣10x+200B．=10x+200C．=﹣10x﹣200D．=10x﹣200【解答】解：由x与y负相关，可排除B、D两项，而C项中的=﹣10x﹣200＜0不符合题意．故选：A．3．（3分）设复数z1=1﹣3i，z2=3﹣2i，则在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z1=1﹣3i，z2=3﹣2i∴===+（﹣）i∴在复平面内对应的点为（，﹣）且此点为第四象限故选：D．4．（3分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．5．（3分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（）A．B．C．D．0【解答】解：以DA，DC，DD1所在直线方向x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则可得A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0）∴=（﹣1，0，﹣1），=（1，﹣1，﹣1）设异面直线A1E与GF所成角的为θ，则cosθ=|cos＜，＞|=0，故选：D．6．（3分）若二项式（2x+）7的展开式中的系数是84，则实数a=（）A．2B．C．1D．【解答】解：二项式（2x+）7的展开式即（+2x）7的展开式中x﹣3项的系数为84，所以T r==，+1令﹣7+2r=﹣3，解得r=2，代入得：，解得a=1，故选：C．7．（3分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在（a，b）内的极大值点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，可得：函数f（x）在（a，b）内的极大值点为A，C，共有2个．故选：B．8．（3分）设椭圆+=1和双曲线﹣x2=1的公共焦点分别为F1，F2，P为这两条曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|的值为（）A．3B．C．D．【解答】解：∵椭圆和双曲线的公共焦点分别为F1、F2，∴m﹣2=3+1∴m=6∴|PF1|+|PF2|=2，||PF1|﹣|PF2||=2两式平方相减可得，4|PF1|•|PF2|=12∴|PF1|•|PF2|=3故选：A．9．（3分）在等差数列{a n}中，若a n＞0，公差d＞0，则有a4•a6＞a3•a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n＞0，q＞1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是（）A．b4+b8＞b5+b7B．b5+b7＞b4+b8C．b4+b7＞b5+b8D．b4+b5＞b7+b8【解答】解：在等差数列{a n}中，a n＞0，公差为d＞0，所以{a n}为各项为正数的递增数列，由于4+6=3+7时有a4•a6＞a3•a7，而在等比数列{bn}中，b n＞0，q＞1，则{bn}为各项为正数的递增数列，由于4+8=5+7，所以应有b4+b8＞b5+b7，∴b4+b8＞b5+b7．故选：A．10．（3分）若a，b，c均为正实数，则三个数（）A．都不大于2B．都不小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2【解答】解：由题意，∵a，b均为正实数，∴当且仅当a=b时，取“=”号若，则结论不成立，∴，至少有一个不小于2∴至少有一个不小于2故选：D．11．（3分）函数f（x）=﹣2x2+7x﹣6与函数g（x）=﹣x的图象所围成的封闭图形的面积为（）A．B．2C．D．3【解答】解：由得和∴函数f（x）=﹣2x2+7x﹣6与函数g（x）=﹣x的图象所围成的封闭图形的面积S=∫13（f（x）﹣g（x））dx=∫13（﹣2x2+8x﹣6）dx=（﹣x3+4x2﹣6x）|13=（﹣18+36﹣18）﹣（﹣+4﹣6）=故选：C．12．（3分）若函数f（x）=x3﹣12x在区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围（）A．k≤﹣3或﹣1≤k≤1或k≥3B．﹣3＜k＜﹣1或1＜k＜3C．﹣2＜k＜2D．不存在这样的实数k【解答】解：由题意得，f′（x）=3x2﹣12 在区间（k﹣1，k+1）上至少有一个实数根，而f′（x）=3x2﹣12=0的根为±2，区间（k﹣1，k+1）的长度为2，故区间（k﹣1，k+1）内必须含有2或﹣2．∴k﹣1＜2＜k+1或k﹣1＜﹣2＜k+1，∴1＜k＜3 或﹣3＜k＜﹣1，故选：B．13．（3分）假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30至7：30之间把报纸送到小明家，小明爸爸离开家去工作的时间在早上7：00至8：00之间，问小明的爸爸在离开家前能得到报纸的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设送报人到达的时间为x，小明爸爸离家去工作的时间为y，记小明爸爸离家前能看到报纸为事件A；以横坐标表示报纸送到时间，以纵坐标表示小明爸爸离家时间，建立平面直角坐标系，小明爸爸离家前能得到报纸的事件构成区域如图示：由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意，只要点落到阴影部分，就表示小明爸爸在离开家前能得到报纸，即事件A发生，所以P（A）=，故选：C．14．（3分）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）A．152B．126C．90D．54【解答】解：根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C31×A33=18种；②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；1°丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作，有A32×C32×A22=3×2×3×2=36种；2°甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同一份工作：A32×C31×C21×A22=72种；由分类计数原理，可得共有18+36+72=126种，故选：B．15．（3分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16B．14C．12D．10【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y=x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴|DE|=•|y1﹣y2|=×=8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，根据焦点弦长公式可得|AB|==|DE|===∴|AB|+|DE|=+==，∵0＜sin22θ≤1，∴当θ=45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.16．（3分）从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数共有34．（用数字作答）【解答】解：分3步来计算，①从7人中，任取4人参加某个座谈会，分析可得，这是组合问题，共C74=35种情况；②选出的4人都为男生时，有1种情况，因女生只有3人，故不会都是女生，③根据排除法，可得符合题意的选法共35﹣1=34种；故答案为34．17．（3分）在△ABC中，不等式++≥成立；在四边形ABCD中，不等式+++≥成成立；在五边形ABCDE中，不等式++++≥成立．猜想在n边形中，不等式成立．【解答】解：在△ABC中，不等式++≥成立；在四边形ABCD中，不等式+++≥成成立；在五边形ABCDE中，不等式++++≥成立．…归纳可得：在n边形A1A2A3…A n中，；故答案为：；18．（3分）如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为．【解答】解：由条件，知，．所以=+2+2+2=62+42+82+2×6×8cos120°=68所以CD=2．故答案为：2．19．（3分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=，可得：=，即，可得离心率为：e=．故答案为：．20．（3分）已知函数，g（x）=e x﹣2，若g（m）=f（n）成立，则n ﹣m的最小值为ln2．【解答】解：根据题意，g（m）=f （n）即e m﹣2=ln+，∴m=2+ln（ln+），∴n﹣m=n﹣2﹣ln（ln+），=lne n﹣2﹣ln（ln+），=ln，设h（x）=，则h′（x）=，令h′（x）=0，得ln+﹣=0，由x＞0，可得ln+﹣递增，当x=2时，h′（x）=0，x＞2时，h′（x）＞0，h（x）递增；0＜x＜2时，h′（x）＜0，h（x）递减．可得x=2处取得极小值且为最小值h（2）=2，则n﹣m的最小值为ln2．故答案为：ln2．三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.21．（8分）已知椭圆=1（a＞b＞0）经过点A（0，4），离心率为；（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．【解答】解：（1）由椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点A（0，4），则b=4，椭圆离心率为e===，则a=5，∴C的方程为+=1；（2）过点（3，0）且斜率为的直线方程为y=（x﹣3），设直线与C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程y=（x﹣3）代入C的方程，得x2﹣3x﹣8=0，解得：x1=，x2=，∴AB的中点M（x 0，y0）坐标x0==，y0==（x1+x1﹣6）=﹣，即中点为（，﹣）．22．（8分）设曲线在点（1，f（1））处的切线方程为（其中，a，b∈R，e是自然对数的底数）．（1）求a，b的值；（2）求f（x）在区间[﹣3，3]上的最大值和最小值．【解答】解：（1），依题可得：，∴a=3．又，∴b=0．∴a=3，b=0．（2），，令f′（x）=0，解得x=0或2．∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减．故f（x）在区间[﹣3，3]上的最大值为max{f（﹣3），f（2）}=f（﹣3）=27e3，最小值为min{f（0），f（3）}=f（0）=0．23．（8分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（）．，，．设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y=1，得．∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，．∴cos＜＞==．由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．24．（8分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，倾斜角为45°的直线l 过点F与抛物线C交于A，B两点，△OAB的面积为（O为坐标原点）．（1）求p；（2）设点E为直线与抛物线C在第一象限的交点，过点E作C的斜率分别为k1，k2的两条弦EM，EN，如果k1+k2=﹣1，证明直线MN过定点，并求出定点坐标．【解答】解：（1）y2=2px（p＞0）的焦点为，则直线l的方程为，代入抛物线方程得，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=3p，根据抛物线定义，，所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4p．坐标原点O到直线l的距离，所以△OAB的面积为，解得p=2；（2）证明：抛物线方程为y2=4x，直线，即x=1，解得E（1，2）．设M（x3，y3），N（x4，y4）．根据题意，显然k1，k2都不等于零，直线EM：y﹣2=k1（x﹣1），即，代入抛物线方程得．由于点E（1，2）在抛物线上，依据根与系数的关系得，所以．同理．而直线MN的方程为，因为M，N也在抛物线上，所以，，代入上述方程并整理得，，．令，则y3+y4=﹣4t﹣4，y3y4=4（6t+1），代入MN的方程得，整理得t（y+6）+（x+y+1）=0，若上式对任意变化的t恒成立，则，解得．故直线MN经过定点（5，﹣6）．25．（8分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+1（a为常数）．（1）若函数f（x）在其定义域上为增函数，求实数a的取值范围；（2）若存在x0∈（0，1]，使得对任意的a∈（﹣2，0]，不等式（其中e为自然数对数的底数）都成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，依题意：在（0，+∞）上恒成立．即：在（0，+∞）上恒成立．∴．∴实数a的取值范围是（﹣∞，]；（2）依题意：对任意的a∈（﹣2，0]，不等式都成立，即对任意的a∈（﹣2，0]，不等式2me a（a+1）﹣a2﹣4a﹣2＞0都成立，记h（a）=2me a（a+1）﹣a2﹣4a﹣2，由h（0）＞0⇒2m＞2⇒m＞1，且．∴对任意的a∈（﹣2，0]，不等式2me a（a+1）﹣a2﹣4a﹣2＞0都成立的必要条件为m∈（1，e2]．又h'（a）=2me a（a+1）+2me a﹣2a﹣4=2（a+2）（me a﹣1），由h'（a）=0，得a=﹣2或a=﹣lnm．∵a∈（﹣2，0]，∴2（a+2）＞0，①当1＜m＜e2时，﹣lnm∈（﹣2，0），且a∈（﹣2，﹣lnm）时，h'（a）＜0，a∈（﹣lnm，0）时，h'（a）＞0，∴h（a）min=h（﹣lnm）=lnm•（2﹣lnm）＞0，∴a∈（﹣2，0]时，h（a）＞0恒成立；②当m=e2时，h'（a）=2（a+2）（e a+2﹣1），∵a∈（﹣2，0]，∴h'（a）＞0，此时h（a）单调递增，且h（﹣2）=2e2e﹣2（﹣1）﹣4+8﹣2=0，∴a∈（﹣2，0]时，h（a）＞h（﹣2）=0成立．综上，m的取值范围是（1，e2]．。
湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高三上学期第二次月考数学试卷(理科) Word版含解析
湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高三上学期第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，没小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或13．（5分）已知函数f（x）=sinωx在上单调递增且在这个区间上的最大值为，则实数ω的一个值可以是（）A．B．C．D．4．（5分）已知向量与的夹角为θ，定义×为与的“向量积”，且×是一个向量，它的长度|×|=||||sinθ，若=（2，0），﹣=（1，﹣），则|×（+）|=（）A．4B．C．6D．25．（5分）一几何体的三视图如图，该几何体的顶点都在球O的球面上，球O的表面积是（）A．2πB．4πC．8πD．16π6．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β7．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，下列选项中不可能是关于（n，S n）的图象的是（）A．B． C．D．8．（5分）在数列{a n}中，a1=1，对于任意自然数n，都有a n+1=a n+n•2n，则a15=（）A．14•215+2 B．13•214+2 C．14•215+3 D．13•215+39．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈．人们还用过一些类似的近似公式．根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是（）A．d≈B．d≈C．d≈D．d≈10．（5分）已知数列{a n}的通项公式为a n=|n﹣13|，则满足a k+a k+1+…+a k+19=102的整数k（）A．有3个B．有2个C．有1个D．不存在二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．（5分）复数=．12．（5分）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则=．13．（5分）若△ABC中，已知•=tanA，当A=时，△ABC的面积为．14．（5分）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a=．15．（5分）已知在平面直角坐标系中有一个点列：P1（0，1），P2（x2，y2），…，．若点P n（x n，y n）到点P n+1（x n+1，y n+1）的变化关系为：（n∈N*），则|P2013P2014|等于．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．17．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=3，AC=BC=2，D为AB 中点，E为BB1上一点，且=λ．（Ⅰ）当λ=时，求证：CE⊥平面A1C1D；（Ⅱ）若直线CE与平面A1DE所成的角为30°，求λ的值．18．（12分）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=m+log a x（a＞0且a≠1）的图象过点（8，2），点P（3，﹣1）关于直线x=2的对称点Q在f（x）的图象上．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）令g（x）=2f（x）﹣f（x﹣1），求g（x）的最小值及取得最小值时x的值．20．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，则称{a n}是“H数列”．（1）若数列{a n}的前n项和为S n=2n（n∈N*），证明：{a n}是“H数列”；（2）设{a n}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{a n}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{a n}，总存在两个“H数列”{b n}和{c n}，使得a n=b n+c n（n∈N*）成立．21．（14分）已知函数f（x）=（其中k∈R），f′（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求证：曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线不过点（2，0）；（Ⅱ）若在区间（0，1]中存在x0，使得f′（x0）=0，求k的取值范围；（Ⅲ）若f′（1）=0，试证明：对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．湖南省长沙市长郡中学2015届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，没小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：计算题；简易逻辑．分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．2．（5分）已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或1考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．专题：计算题．分析：求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值．解答：解：求导函数可得y′=3（x+1）（x﹣1），令y′＞0，可得x＞1或x＜﹣1；令y′＜0，可得﹣1＜x＜1；∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减，∴函数在x=﹣1处取得极大值，在x=1处取得极小值．∵函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，∴极大值等于0或极小值等于0．∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0，∴c=﹣2或2．故选：A．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，解题的关键是利用极大值等于0或极小值等于0．3．（5分）已知函数f（x）=sinωx在上单调递增且在这个区间上的最大值为，则实数ω的一个值可以是（）A．B．C．D．考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由增函数的意义可知，f（）=，从而可求实数ω的一个值．解答：解：∵f（x）=sinωx在上单调递增且在这个区间上的最大值为，∴f（）=sinω=，依题意知，ω=，∴ω=．故选C．点评：本题考查正弦函数的单调性与最值，考查三角函数的周期，属于中档题．4．（5分）已知向量与的夹角为θ，定义×为与的“向量积”，且×是一个向量，它的长度|×|=||||sinθ，若=（2，0），﹣=（1，﹣），则|×（+）|=（）A．4B．C．6D．2考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用数量积运算和向量的夹角公式可得=．再利用平方关系可得，利用新定义即可得出．解答：解：由题意，则，∴=6，==2，=2．∴===．即，得，由定义知，故选：D．点评：本题考查了数量积运算、向量的夹角公式、三角函数的平方关系、新定义，考查了计算能力，属于基础题．5．（5分）一几何体的三视图如图，该几何体的顶点都在球O的球面上，球O的表面积是（）A．2πB．4πC．8πD．16π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离；球．分析：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面为等腰直角三角形，取O 为SC的中点，可证OS=OC=OA=OB，由此求得外接球的半径，代入球的表面积公式计算．解答：解：由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为2，底面为等腰直角三角形，如图：SA⊥平面ABC，SA=2，AC的中点为D，在等腰直角三角形SAC中，取O为SC的中点，∴OS=OC=OA=OB，∴O为三棱锥外接球的球心，R=，∴外接球的表面积S=4π×=8π．故选：C．点评：本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，判断几何体的特征性质及数据所对应的几何量是关键．6．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可判断A；根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征，可判断B；根据线面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，可判断C；根据面面垂直及线面平行的几何特征，可判断D．解答：解：若l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A错误；若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确；若l⊥α，l∥β，则存在直线m⊂β，使l∥m，则m⊥α，故此时α⊥β，故C错误；若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误；故选B点评：本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键．7．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，下列选项中不可能是关于（n，S n）的图象的是（）A．B． C．D．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等差数列{a n}的前n项和是s n=an2+bn，（其中a、b为常数，且n∈N*），它表示过原点的一条曲线，对每一个选项进行判定即可．解答：解：∵S n是等差数列{a n}的前n项和，∴设s n=an2+bn，（a、b为常数，且n∈N*），它表示过原点的一条曲线，当a=0时，是直线，如选项C，当a≠0时，是抛物线，如选项A、B；选项D的曲线不过原点，∴不合题意．故选：D．点评：本题考查了等差数列的前n项和公式的应用问题，解题时应根据等差数列的前n项和公式进行分析，是基础题．8．（5分）在数列{a n}中，a1=1，对于任意自然数n，都有a n+1=a n+n•2n，则a15=（）A．14•215+2 B．13•214+2 C．14•215+3 D．13•215+3考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：在数列递推式中依次取n=1，2，3…，n﹣1．得到n﹣1个等式，累加后再利用错位相减法求解a n，则答案可求．解答：解：∵a n+1=a n+n•2n，∴，，，…，．累加得：a n﹣a1=1•21+2•22+3•23+…+（n﹣1）•2n﹣1 ①又2a n﹣2a1=1•22+2•23+3•24+…+（n﹣2）•2n﹣1+（n﹣1）•2n ②①﹣②得：﹣a n+a1=2+22+23+24+…+2n﹣1﹣（n﹣1）•2n==（2﹣n）•2n﹣2．∴．∴a15=13•215+3．故选：D．点评：本题考查数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．9．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈．人们还用过一些类似的近似公式．根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是（）A．d≈B．d≈C．d≈D．d≈考点：进行简单的演绎推理．专题：计算题；压轴题．分析：根据球的体积公式求出直径，然后选项中的常数为，表示出π，将四个选项逐一代入，求出最接近真实值的那一个即可．解答：解：由V=，解得d=设选项中的常数为，则π=选项A代入得π==3.375；选项B代入得π==3；选项C代入得π==3.14；选项D代入得π==3.142857由于D的值最接近π的真实值故选D．点评：本题主要考查了球的体积公式及其估算，同时考查了计算能力，属于中档题．10．（5分）已知数列{a n}的通项公式为a n=|n﹣13|，则满足a k+a k+1+…+a k+19=102的整数k（）A．有3个B．有2个C．有1个D．不存在考点：数列的概念及简单表示法．专题：计算题；压轴题．分析：根据数列的通项公式，去绝对值符号，因此对k进行讨论，进而求得a k+a k+1+…+a k+19的表达式，解方程即可求得结果．解答：解：∵a n=|n﹣13|=，∴若k≥13，则a k=k﹣13，∴a k+a k+1+…+a k+19==102，与k∈N*矛盾，∴1≤k＜13，∴a k+a k+1+…+a k+19=（13﹣k）+（12﹣k）+…+0+1+…+（k+6）==102解得：k=2或k=5∴满足a k+a k+1+…+a k+19=102的整数k=2，5，故选B．点评：本题考查根据数列的通项公式求数列的和，体现了分类讨论的数学思想，去绝对值是解题的关键，考查运算能力，属中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．（5分）复数=﹣2i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果．解答：解：复数===﹣2i，故答案为：﹣2i．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．12．（5分）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则=．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：过A作与BC平行的母线AD，由异面直线所成角的概念得到∠OAD为．在直角三角形ODA中，直接由得到答案．解答：解：如图，过A作与BC平行的母线AD，连接OD，则∠OAD为直线OA与BC所成的角，大小为．在直角三角形ODA中，因为，所以．则．故答案为点评：本题考查了异面直线所成的角，考查了直角三角形的解法，是基础题．13．（5分）若△ABC中，已知•=tanA，当A=时，△ABC的面积为．考点：平面向量数量积的运算；三角形的面积公式．专题：平面向量及应用．分析：由条件利用两个向量的数量积的定义，求得AB•AC=，再根据△ABC的面积为AB•AC•sinA，计算求得结果．解答：解：△ABC中，∵•=AB•AC•cosA=tanA，∴当A=时，有AB•AC•=，解得AB•AC=，△ABC的面积为AB•AC•sinA=××=，故答案为：．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，三角形的面积公式，属于基础题．14．（5分）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a=．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；点到直线的距离公式．专题：导数的概念及应用．分析：先根据定义求出曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，然后根据曲线C1：y=x2+a的切线与直线y=x平行时，该切点到直线的距离最近建立等式关系，解之即可．解答：解：圆x2+（y+4）2=2的圆心为（0，﹣4），半径为，圆心到直线y=x的距离为=2，∴曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离为2﹣=．则曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于，令y′=2x=1解得x=，故切点为（，+a），切线方程为y﹣（+a）=x﹣即x﹣y﹣+a=0，由题意可知x﹣y﹣+a=0与直线y=x的距离为，即解得a=或﹣．当a=﹣时直线y=x与曲线C1：y=x2+a相交，故不符合题意，舍去．故答案为：．点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及点到直线的距离的计算，同时考查了分析求解的能力，属于中档题．15．（5分）已知在平面直角坐标系中有一个点列：P1（0，1），P2（x2，y2），…，．若点P n（x n，y n）到点P n+1（x n+1，y n+1）的变化关系为：（n∈N*），则|P2013P2014|等于21006．考点：进行简单的合情推理．专题：计算题；推理和证明．分析：由题设知P1（0，1），P2（1，1），P3（0，2），P4（2，2），P5（0，4），…，寻找其规律，即可求出|P2013P2014|．解答：解：由题设知P1（0，1），P2（1，1），P3（0，2），P4（2，2），P5（0，4），…∴|P1P2|=1，|P2P3|=，|P3P4|=2，|P4P5|=，…，∴|P2013P2014|==21006．故答案为：21006．点评：本题考查合情推理，考查学生对新定义的理解，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π求得ω=2．再根据图象关于直线x=对称，结合﹣≤φ＜可得φ的值．（Ⅱ）由条件求得sin（α﹣）=．再根据α﹣的范围求得cos（α﹣）的值，再根据cos（α+）=sinα=sin，利用两角和的正弦公式计算求得结果．解答：解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2．再根据图象关于直线x=对称，可得2×+φ=kπ+，k∈z．结合﹣≤φ＜可得φ=﹣．（Ⅱ）∵f（）=（＜α＜），∴sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=．再根据0＜α﹣＜，∴cos（α﹣）==，∴cos（α+）=sinα=sin=sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin=+=．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中档题．17．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=3，AC=BC=2，D为AB 中点，E为BB1上一点，且=λ．（Ⅰ）当λ=时，求证：CE⊥平面A1C1D；（Ⅱ）若直线CE与平面A1DE所成的角为30°，求λ的值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，证明，即可证明CE⊥平面A1C1D；（Ⅱ）求出平面A1DE的一个法向量，直线CE的向量，根据直线CE与平面A1DE所成的角为30°，利用向量的夹角公式，即可求λ的值．解答：（Ⅰ）证明：建立空间直角坐标系如图所示，则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），A1（2，0，3），B1（0，2，3），C1（0，0，3），D（1，1，0），∵，∴，∴…（3分）又∴，∴CE⊥平面A1C1D；…（6分）（Ⅱ）解：由题知，，，，∴平面A1DE的一个法向量为…（9分）∴即解得λ=2．…（13分）点评：本题考查线面垂直，考查直线与平面所成的角，考查向量知识的运用，确定向量的坐标是关键．18．（12分）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出函数的导数，通过导数为0，利用二次函数的根，通过a的范围讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，推出f′（1）≥0且f′（2）≥0，即可求a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=ax3+3x2+3x，∴f′（x）=3ax2+6x+3，令f′（x）=0，即3ax2+6x+3=0，则△=36（1﹣a），①若a≥1时，则△≤0，f′（x）≥0，∴f（x）在R上是增函数；②因为a≠0，∴当a≤1，△＞0，f′（x）=0方程有两个根，x1=，x2=，当0＜a＜1时，则当x∈（﹣∞，x2）或（x1，+∞）时，f′（x）＞0，故函数在（﹣∞，x2）或（x1，+∞）是增函数；在（x2，x1）是减函数；当a＜0时，则当x∈（﹣∞，x1）或（x2，+∞），f′（x）＜0，故函数在（﹣∞，x1）或（x2，+∞）是减函数；在（x1，x2）是增函数；（Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f′（x）=3ax2+6x+3＞0 故a＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当且仅当：f′（1）≥0且f′（2）≥0，解得﹣，a的取值范围=（x＞1），∵，当且仅当即x=2时，“=”成立，而函数y=log2x在（0，+∞）上单调递增，则，故当x=2时，函数g（x）取得最小值1．点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了利用基本不等式求函数最小值，利用基本不等式求最值一定要注意应满足的条件，即“一正、二定、三相等”，是中档题．20．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，则称{a n}是“H数列”．（1）若数列{a n}的前n项和为S n=2n（n∈N*），证明：{a n}是“H数列”；（2）设{a n}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{a n}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{a n}，总存在两个“H数列”{b n}和{c n}，使得a n=b n+c n（n∈N*）成立．考点：数列的应用；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用“当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，当n=1时，a1=S1”即可得到a n，再利用“H”数列的意义即可得出．（2）利用等差数列的前n项和即可得出S n，对∀n∈N*，∃m∈N*使S n=a m，取n=2和根据d＜0即可得出；（3）设{a n}的公差为d，构造数列：b n=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，c n=（n﹣1）（a1+d），可证明{b n}和{c n}是等差数列．再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“H”的意义即可得出．解答：解：（1）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当n=1时，a1=S1=2．当n=1时，S1=a1．当n≥2时，S n=a n+1．∴数列{a n}是“H”数列．（2）S n==，对∀n∈N*，∃m∈N*使S n=a m，即，取n=2时，得1+d=（m﹣1）d，解得，∵d＜0，∴m＜2，又m∈N*，∴m=1，∴d=﹣1．（3）设{a n}的公差为d，令b n=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，对∀n∈N*，b n+1﹣b n=﹣a1，c n=（n﹣1）（a1+d），对∀n∈N*，c n+1﹣c n=a1+d，则b n+c n=a1+（n﹣1）d=a n，且数列{b n}和{c n}是等差数列．数列{b n}的前n项和T n=，令T n=（2﹣m）a1，则．当n=1时，m=1；当n=2时，m=1．当n≥3时，由于n与n﹣3的奇偶性不同，即n（n﹣3）为非负偶数，m∈N*．因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使T n=b m成立，即{b n}为H数列．数列{c n}的前n项和R n=，令c m=（m﹣1）（a1+d）=R n，则m=．∵对∀n∈N*，n（n﹣3）为非负偶数，∴m∈N*．因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使R n=c m成立，即{c n}为H数列．因此得证．点评：本题考查了利用“当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，当n=1时，a1=S1”求a n、等差数列的前n 项和公式及其通项公式、新定义“H”的意义等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、构造法，属于难题．21．（14分）已知函数f（x）=（其中k∈R），f′（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求证：曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线不过点（2，0）；（Ⅱ）若在区间（0，1]中存在x0，使得f′（x0）=0，求k的取值范围；（Ⅲ）若f′（1）=0，试证明：对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程，代入点（2，0）验证，即可得出结论；（Ⅱ）由f′（x0）=0得k=，确定其单调性，可求k的取值范围；（Ⅲ）令g（x）=（x2+x）f′（x），对任意x＞0，g（x）＜e﹣2+1等价于1﹣x﹣xlnx＜（e ﹣2+1）．再构造函数，研究单调性，即可证明结论．解答：（Ⅰ）证明：由f（x）=得f′（x）=，x∈（0，+∞），所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为f′（1）=，因为f（1）=，所以曲线y=f（x）切线方程为y﹣=（x﹣1），假设切线过点（2，0），代入上式得：为0﹣=（2﹣1），得到0=1产生矛盾，所以假设错误，故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线不过点（2，0）…（4分）（Ⅱ）解：由f′（x0）=0得k=因为0＜x0≤1，所以k′＜0，所以k（x0）在（0，1]上单调递减，故k≥1…（7分）（Ⅲ）证明：令g（x）=（x2+x）f′（x），当x0=1时，k=1，所以g（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），因此，对任意x＞0，g（x）＜e﹣2+1等价于1﹣x﹣xlnx＜（e﹣2+1）．…（9分）由h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），所以h′（x）=﹣lnx﹣2，x∈（0，+∞），因此，当x∈（0，e﹣2）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；x∈（e﹣2，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减．所以h（x）的最大值为h（e﹣2）=e﹣2+1，故1﹣x﹣xlnx≤e﹣2+1．…（12分）设φ（x）=e x﹣（x+1），因为φ′（x）=e x﹣1，所以x∈（0，+∞）时φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，φ（x）＞φ（0）=0，故x∈（0，+∞）时，φ（x）=e x﹣（x+1）＞0，即＞1．所以故1﹣x﹣xlnx≤e﹣2+1＜（e﹣2+1）．因此，对任意x＞0，f′（x）＜恒成立…（14分）点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的证明，构造函数，确定单调性是关键．。
湖南省长郡中学2017-2018学年高二12月月考(第二次模块检测)物理试题及答案
—、选择题（本题包括12小题，每小题4分，共48分.每小题给出的四个选项中，1〜8题只有一个选项正确，9〜12题有多个选项正确，全部选对的得4 分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）1.在电磁学发展过程中，许多科学家做出了贡献，下列说法中符合物理学发展史的是A.奥斯特发现了点电荷的相互作用规律B.库仑发现了电流的磁效应C.安培发现了磁场对运动电荷的作用规律D.法拉第最早引入电场的概念，并发现了磁场产生电流的条件和规律2.关于涡流，下列说法中不正确的是A.真空冶炼炉是利用涡流来熔化金属的装置B.家用电磁炉锅体中的涡流是由恒定磁场产生的C.阻尼摆摆动时产生的涡流总是阻碍其运动D.变压器的铁芯用相互绝缘的硅钢片叠成能减小涡流3.如图所示，矩形线圈abed绕轴OO′匀速转动产生交流电，在图示位置开始计时，且按图示方向转动，则下列说法正确的是A.t=T/4(T为周期）时感生电流沿abcda方向B. t=0时穿过线圈的磁通量最大，产生的感生电流最大C.若转速增大为原来的2倍，则交变电流的频率是原来的4倍D.若转速增大为原来的2倍，则产生的电流有效值为原来的4倍4.多数同学家里都有调光台灯、调速电风扇，过去是用变压器来实现上述调节的，这种调节方法成本高、体积大、效率低，且不能任意调节灯的亮度或 电风扇的转速.现在的调光台灯、调速电风扇是用可控硅电子元件来实现 调节的.如图甲所示为一种调光台灯的电路示意图，它通过双向可控硅电 子元件实现了无级调节亮度.给该台灯接正弦交流电后加在灯管两端的 电压为如图乙所示的周期性电压(每个周期的前半部分为一正弦函数完整波形的前1/4段），则此时交流电压表的示数为A.220VB.110VC.2202VD. 1102V 5.理想变压器上接有三个完全相同的灯泡，其中一个与该变压器的原线圈串联后接入交流电源，另外两个并联后接在副线圈两端.已知三个灯泡均正常发光.该变压器原、副线圈的匝数之比为A. 1 : 2B. 2 : 1C. 2 : 3D.3 : 26.如图所示的电路中，电源的电动势为E ，内阻为r ，电感L 的电阻不计，电阻R 的阻值大于灯泡D 的阻值.在t=0时刻闭合开关S ，经过一段时间后，在t=t 1时刻断开S.下列表示A 、B 两点间电压U AB 随时间t 变化的图象中，正确的是7.物体导电是由其中的自由电荷定向移动引起的，这些可以移动的自由电荷又叫载流子.金属导体的载流子是自由电子，现代广泛应用的半导体材料分为两大类:一类是 N 型半导体，它的载流子为电子；另一类是P型半导体，它的载流子为“空穴”，相当于带正电的粒子，如果把某种材料制成的长方体放在匀强磁场中，磁场方向如图所示，且与前后侧面垂直，长方体中通有方向水平向右的电流，设长方体的上下表面M、N的电势分别为φM和φN，则下列判断中正确的是A.如果是P型半导体，有φM>φNB.如果是N型半导体，有φM<φNC.如果是P型半导体，有φM<φND.如果是金属导体，有φM<φN8.电池甲和乙的电动势分别为E1和E2，内电阻分别为r1和r2，已知E1<E2，若用甲、乙电池分别向某个电阻R供电，则在这个电阻上所消耗的电功率相同.若用甲、乙电池分别向某个电阻R′供电，则在R′上消耗的电功率分别为P1和P2，已知R′>R则A. r1>r2，P1 >P2B. r1<r2，P1 <P2C. r1<r2，P1 >P2D. r1>r2，P1 <P29. 一台发电机最大输出功率为4 000 kW，电压为4 000 V，经变压器T1升压后向远方输电.输电线路总电阻为R=1kΩ.到目的地经变压器T2降压，负载为多个正常发光的灯泡(220 V 60 W).若在输电线路上消耗的功率为发电机输出功率的10%，变压器T1和T2的耗损可忽略，发电机处于满负荷工作状态，则A.T1原、副线圈电流分别为103A和20 AB.T2原、副线圈电压分别为1.8×105 V和220 VC .T1和T2的变压比分别为1：50和40 :1D.有6×104盏灯泡(220 V 60 W)正常发光10.如图所示，两根通电长直导线a、b平行放置，a、b中的电流分别为I和21，此时a受到的磁场力为F，以该磁场力方向为正方向.ab的正中间再放置一根与ab平行共面的通电长直导线c后，a受到的磁场力大小变为2F，则此时b受到的磁场力的大小为A. 0B.FC. 4FD. 7F11.如图甲所示，打开电流和电压传感器，将磁铁置于螺线管正上方距海绵垫高为h处静止释放，磁铁穿过螺线管后掉落到海绵垫上并静止.若磁铁下落过程中受到的磁阻力远小于磁铁重力，且不发生转动，不计线圈电阻.图乙是计算机荧屏上显示的UI-t曲线，其中的两个峰值是磁铁刚进入螺线管内部和刚从内部出来时产生的.下列说法正确的是A.若仅增大h，两个峰值间的时间间隔会增大B. 若仅减小h，两个峰值都会减小C. 若仅减小h，两个峰值可能会相等D.若仅减小滑动变阻器的值，两个峰值都会增大12.劳伦斯和利文斯设计出回旋加速器，工作原理示意图如图所示.置于高真空中的D形金属盒半径为R，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可忽略.磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直，高频交流电频率为f，加速电压为U,若A处粒子源产生的质子质量为m、电荷量为+q，在加速器中被加速，且加速过程中不考虑相对论效应和重力的影响.则下列说法正确的是A.质子被加速后的最大速度不可能超过2πRfB.质子离开回旋加速器时的最大动能与加速电压U成正比C.质子第2次和第1次经过两D形盒间狭缝后轨道半径之比为2:1D.不改变磁感应强度B和交流电频率f该回旋加速器的最大动能不变二、实验题(本题共2小题，每空2分，共14分，把答案填在题中横线上或按题目要求作答)13.某班级开展了一次10分钟实验竞赛，试题命题形式为各小组自已出题，然后交给老师进行审核，并汇总在一起，在某自习课进行随机抽取试题比赛，某小组在本次实验竞赛中，抽到的试题为：(1)利用20分度的游标卡尺测量长度如图所示，但该游标卡尺的游标尺前面部分刻度值被污渍覆盖看不清，该材料长度为cm.(2)现有一多用电表，其欧姆挡的“0”刻度线与中值刻度线间刻度模糊，若用该欧姆挡的×100Ω挡，经正确调零后，规范测量某一待测电阻R时，指针所指的位置与“0”刻度线和中值刻度线间的夹角相等，如图所示，则该待测电阻R= Ω.14.某同学测量电流表G1内阻r1的电路如图所示，供选择的仪器如下：①待测电流表G1(0〜5 m A，内阻约300Ω②电流表G2 (0〜10 mA，内阻约100Ω)③定值电阻R1（300Ω)④定值电阻R2（10Ω)⑤滑动变阻器R3（0〜1 000 0Ω)⑥滑动变阻器R4（0〜20Ω)⑦干电池(1.5V)⑧开关及导线若干.(1)定值电阻应选，滑动变阻器应选.(在空格内填写序号）(2)完成实物图连接.(3)补全实验步骤：①按电路图连接电路，将滑动触头移至最端(填“左”或“右”）②闭合开关，移动滑动触头至某一位置，记录G1、G2的读数I1、I2③多次移动滑动触头，记录相应的G1、G2读数I1、I2;④以I1为纵轴，I2为横轴，作出相应图线，如图所示.(4)根据I1-I2图线的斜率k及定值电阻，写出待测电流表内阻r1的表达式.三、计算题（本题共4小题，满分48分.解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤.只写出最后答案的不能得分.有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位）15. (10分)海洋中蕴藏着巨大的能量，利用海洋的波浪可以发电.在我国南海上有一浮桶式波浪发电灯塔，其原理示意图如图甲所示.浮桶内的磁体通过支柱固定在暗礁上，浮桶内置线圈随波浪相对磁体沿竖直方向运动，且始终处于磁场中，该线圈与阻值R=15Ω的灯泡相连.浮桶下部由内、外两密封圆筒构成(图中斜线阴影部分），如图乙所示，其内为产生磁场的磁体，与浮桶内侧面的缝隙忽略不计;匝数N=200的线圈所在处辐射磁场的磁感应强度B=0. 2 T，线圈直径D=0. 4 m，电阻r=1Ω.取重力加速度g=10 m/s2，π2= 10.若浮桶随波浪上下运动的速度可表示为v=0. 4πsin(πt)m/s.求：(1)波浪发电产生电动势e的瞬时表达式;（2）灯泡的电功率；(3)灯泡两端电压的有效值.16. (12分)如图所示为某学校一套校内备用供电系统，由一台内阻为1Ω的发电机向全校22个教室（每个教室有“220 V 40 W”的白炽灯6盏)供电.如果输电线的总电阻R是4Ω，升压变压器和降压变压器(都认为是理想变压器)的匝数比分别是1 : 4和4 : 1，则：(1)发电机的输出功率应是多大?(2)发电机的电动势是多大？(3)输电效率是多少？17.如图甲所示，在真空中，半径为R的圆形区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外.在磁场左侧有一对平行金属板M、N，两板间距离也为R，板长为L，板的中心线O1O2与磁场的圆心O在同一直线上.置于O1处的粒子发射源可连续以速度v0沿两板的中线O1O2发射电荷量为q、质量为m的带正电的粒子（不计粒子重力)，MN两板不加电压时，粒子经磁场偏转后恰好从圆心O的正下方P点离开磁场;若在M、N板间加如图乙所示交变电压U MN，交变电压的周期为L/v0，t= 0时刻入射的粒子恰好贴着N板右侧射出.求：(1)匀强磁场的磁感应强度B的大小；(2)交变电压电压U0的大小；(3)若粒子在磁场中运动的最长、最短时间分别为t1t2，则它们的差值∆t为多大？18. 如图甲所示，MN、PQ为间距L= 0.5 m足够长的平行导轨，NQ┴MN，导轨的电阻均不计.导轨平面与水平面间的夹角θ=37°，NQ 间连接有一个R=4Ω的电阻.有一匀强磁场垂直于导轨平面且方向向上，磁感应强度为B0=1T.将一根质量为m=0. 05 kg有一定阻值的金属棒ab紧靠NQ放置在导轨上，且与导轨接触良好.现由静止释放金属棒，当金属棒滑行至cd处时达到稳定速度，已知在此过程中通过金属棒截面的电量q=0. 2 C，且金属棒的加速度a与速度v的关系如图乙所示，设金属棒沿导轨向下运动过程中始终与NQ平行.(sin 37°= 0. 6，cos 37°= 0. 8)求：(1)金属棒与导轨间的动摩擦因数μ；(2)cd离NQ的距离s;(3)金属棒滑行至cd处的过程中，电阻R上产生的热量；(4)若将金属棒滑行至cd处的时刻记作t= 0，从此时刻起，让磁感应强度逐渐减小，为使金属棒中不产生感应电流，则磁感应强度B应怎样随时间t变化(写出B与t的关系式).答案： 题 号 1 2 3 4 5 6 7 89 10 11 12答 案 D B A B B B C B AB BD BD ACD二、实验题(本题共2小题，每空2分，共14分，把答案填在题中横线上或 按题目要求作答）13.(1) 10. 155 ⑵50014.(1)③⑥（2）如图：（3）①左（4）11(1)r k R =-15.（1)线圈在浮桶里随波浪上下运动切割磁感线产生感应电动势，e=NBLv=NBπDv= 200×0. 2×π×0. 4×0. 4πisin(πt) V=64sin(πt) V(2)R 总=16Ω，则灯泡中电流i 的瞬时表达式为 4)(e i sin t A R π==总灯泡中电流的有效值为4222I A A == 灯泡的电功率P=I 2R=120W(3)灯泡两端电压的有效值为U=IR=15×22V=302V16.【解析】（1)全校教室白炽灯消耗的功率P 用=22×40×6 W=5 280 W设输电线路电流为I 线，输电电压为U 2，降压变压器原线圈电压为U 3， 334441U n U n ==，而 U 4 =220 V 则 U 3 =4×220 V=880 V ，35280=6880P I A A U ==用线 线路损失功率P 损=I 2线R 线=36×4 W= 144 W所以P 出=P 用+P 损=5 424 W(2 )U 损=1 线 R 线=6×4 V=24 V ，U 送=U 2=U 损+U 3 =904 V 由1122U n U n =得: 11221=904=2264n U U V n =⨯ 升压变压器原线圈电流11542424226P I A A U ===出 发电机的电动势E=I 1r+U 1 = 24×1 V+226 V= 250 V (3)0000005280100=100=97.35424P P η=⨯⨯用送 17.【解析】（1)当U MN =0时粒子沿O 1`O 2方向射入磁场轨迹如图 圆O 3，设其半径为R 1由几何关系得R 1=R Bqv=201v m R 解得:0mv B qR= (2)在t=0时刻入射粒子满足：2001()2222U q R L mR v =⨯⨯⨯解得220022mR v U qL= (3)经分析可知所有粒子经电场后其速度仍为v 0，0(21)(0,1,2,3,....)2L t k k v =+=时刻入射的粒子贴M 板平行射入磁场轨迹如圆O 4，偏转角为a.由几何知识可知四边形QOPO 4为菱形，故a=120°23T t = 0L t k v = ( k= 0，1，2，3…）时刻入射的粒子贴N 板平行射入磁场轨迹如图O 5；偏转角为β由几何知识可知SOPO 5为菱形，故β=60°26T t = 又02R T v π= 故1203R t t t v π∆=-= 18.（1)当v=0时a=2 m/s 2mg sinθ-umg cos θ=maμ=0. 5(2)由图象可知：v m = 2 m/s 当金属棒达到稳定速度时，有F A =B 0IL E=B 0Lv m E I R r =+mg sinθ=F A +umg cosθ解得r=1Ω ()q I t t t R r R r∆Φ∆Φ=∆=∆=∆++ s=2m （3）21cos372F m mgh mgs W mv μ--= =0.1F W Q J =总4=0.085R Q Q J =总 (4)当回路中的总磁通量不变时，金属棒中不产生感应电流.此时金属棒将沿导轨做匀加速运动. mg sin θ-μmgcos θ=maa =2 m/s 2201()2m B Ls BL s v t at =++ 02221222m B s B t ts v t at ==++++。
湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高二(上)入学数学试卷
2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）入学数学试卷一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分. 1.（3分）已知集合{}1,1A =-，{}1B x mx ==，且A B A =，则m 的值为（ ）A.1B.1-C.1或1-D.1或1-或02.（3分）下列命题中正确的是（ ） A.第一象限角必是锐角 B.终边相同的角相等C.相等的角终边必相同D.不相等的角其终边必不相同3.（3分）已知函数()3xg x t =+的图象不经过第二象限，则t 的取值范围为（ ） A.–1t ≤B.1t <-C.3t ≤-D.3t ≥-4.（3分）等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，36927a a a ++=，则数列{}n a 前9项的和9S 等于（ ） A.99B.66C.144D.2975.（3分）如图，该程序运行后输出的结果为（ ）A.7B.15C.31D.636.（3分）下列命题中：（1）平行于同一直线的两个平面平行； （2）平行于同一平面的两个平面平行； （3）垂直于同一直线的两直线平行； （4）垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有（ ） A.1B.2C.3D.47.（3分）如图所示，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是AC 与BD 的中点，若6CD =，3AB =，EF BA ⊥，则EF 与CD 所成的角为（ ）A.90︒B.45︒C.60︒D.30︒8.（3分）函数tan 23x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ） A.242,233k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭B.52,233k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭C.244,433k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D.5,33k Z k k ππππ⎛⎫+⎪⎭-∈⎝9.（3分）若仅存在一个实数0,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得曲线():sin 06C y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭关于直线x t =对称，则ω的取值范围是（ ） A.17,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.410,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.17,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D.410,33⎛⎤⎥⎝⎦ 10.（3分）直线:20l ax y a +--=在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是（ ） A.1B.1-C.2-或1-D.2-或111.（3分）在ABC △中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知()22b c b c =+，若a =7cos 8A =，则ABC △的面积等于（ ）D.3 12.（3分）若函数()2lg 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（ ） A.()0,1B.()–1,0C.(),0-∞D.()(),01,-∞+∞13.（3分）已知圆()()22:4325T x y -+-=，过圆T 内定点()2,1P 作两条相互垂直的弦AC 和BD ，那么四边形ABCD 面积最大值为（ ）A.21B. C.212D.4214.（3分）设a ，b ，c 分别是ABC △内角A ，B ，C 的对边，若1tan A ，1tan B ，1tan C依次成公差不为0的等差数列，则（ ） A.a ，b ，c 依次成等差数列 B.2a ，2b ，2c 依次成等差数列D.2a ，2b ，2c 依次成等比数列15.（3分）已知函数()ln 1f x x =-，()223g x x x =-++，用{},min m n 表示m ，n 中的最小值，设函数()()(){}min ,h x f x g x =，则函数()h x 的零点个数为（ ） A.1B.2C.3D.416.（理科选做）已知函数()1f x x =-，关于x 的方程()()20f x f x k -+=，下列四个结论中正确的有（ ）①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根. A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分. 17.（3分）sin15cos15︒+︒=________.18.（3分）已知()12log 11x +≥，则实数x 的取值范围是________.19.（3分）已知圆内接四边形ABCD 的边1AB =，3BC =，2CD DA ==，则BD 的长为________.20.（3分）已知20a b =≠，且关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是________.21.（3分）（文科选做）已知动直线l 与圆22:4O x y +=相交于A ，B 两点，且满足2AB =，点C 为直线l 上一点，若M 是线段AB 的中点，则OM OC ⋅=________.22.（理科选做）如图，在Rt ABC △中，2AB =，60BAC ∠=︒，90B ∠=︒，G 是ABC △的重心.则GB GC ⋅=________.三、解答题：本大题共5个小题，每小题8分，共40分.23.（8分）如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，E ，F 分别是BC ，1CC 的中点，（Ⅰ）证明：平面AEF ⊥平面11B BCC ；（Ⅱ）若直线1A C 与平面11A ABB 所成的角为45︒，求三棱锥F AEC -的体积.24.（8分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且12231a a +=，23269a a a =.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设31323log log log n n b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .25.（8分）过点(Q -作圆()222:0C x y r r +=>的切线，切点为D ，且4QD =.（1）求γ的值；（2）设P 是圆C 上位于第一象限内的任意一点，过点P 作圆C 的切线l ，且l 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，设OM OA OB =+求OM 的最小值（O 为坐标原点）26.（8分）如图，1l ，2l ，3l 是同一平面内的三条平行直线， 1l 与2l 之间的距离是1，2l 与3l 之间的距离是2，三角形ABC 的三个顶点分别在1l ，2l ，3l 上.（1）若ABC △为正三角形，求其边长；（2）若ABC △是以B 为直角顶点的直角三角形，求其面积的最小值. 27.（8分）已知函数()3xf x =，()3g x x a =+-，其中a R ∈.（Ⅰ）若函数()()h x f g x =⎡⎤⎣⎦的图象关于直线2x =对称，求a 的值； （Ⅱ）给出函数()y g f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数，并说明理由.参考答案1.【分析】利用A B A B A =⇒⊆，写出A 的子集，求出各个子集对应的m 的值.【解答】解：∵AB A =∴B A ⊆∴B =∅；{}1B =-；{}1B = 当B =∅时，0m = 当{}1B =-时，1m =- 当{}1B =时，1m = 故m 的值是0；1；1- 故选：D.【点评】本题考查等价转化的数学思想方法、分类讨论的数学思想方法、写出集合的子集. 2.【分析】根据终边相同的角应相差周角的整数倍，举反例或直接进行判断.【解答】解：A 、如角390︒与30︒的终边相同，都是第一象限角，而390︒不是锐角，故A 不对； B 、终边相同的角应相差周角的整数倍，而不是相等，故B 不对；C 、因为角的始边放在x 轴的非负半轴上，则相等的角终边必相同，故C 正确；D 、如角390︒和30︒不相等，但是它们的终边相同，故D 不对. 故选：C.【点评】本题考查了终边相同的角和象限角的定义，利用定义进行举出反例进行判断. 3.【分析】根据指数函数的性质，求出恒过坐标，即可得出t 的取值范围.【解答】解：由指数函数的性质，可得函数()3xg x t =+恒过点坐标为()0,1t +，函数()g x 是增函数，图象不经过第二象限，∴10t +≤，解得：1t ≤-. 故选：A.【点评】本题考查了指数函数的性质，求图象恒过坐标的问题.属于基础题.4.【分析】由等差数列的性质可得413a =，69a =，可得4622a a +=，再由等差数列的求和公式和性质可得()46992a a S +=，代值计算可得. 【解答】解：由等差数列的性质可得1742a a a +=，3962a a a +=， 又∵14739a a a ++=，36927a a a ++=，， ∴1474339a a a a ++==，3696327a a a a ++==， ∴413a =，69a =，∴4622a a +=， ∴数列{}n a 前9项的()()194699992299222a a a a S ++⨯==== 故选：A.【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题.5.【分析】赋值框内的循环变量的赋值1A =，符合条件，进行运算，累加变量同时加1替换，判断是否符合条件，符合条件再进入循环，否则算法结束，输出S. 【解答】解：因为1A =，1s =判断框内的条件15≤成立，执行2113s =⨯+=，112i =+=； 判断框内的条件25≤成立，执行2317s =⨯+=，213i =+=； 判断框内的条件35≤成立，执行27115s =⨯+=，314i =+=； 判断框内的条件45≤成立，执行215131s =⨯+=，415i =+=； 判断框内的条件55≤成立，执行231163s =⨯+=，516i =+=；此时65>，判断框内的条件不成立，应执行否路径输出63，所以输入的m 值应是5. 故选：D.【点评】本题考查了程序框图中的当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件进入循环，不满足条件，算法结束.6.【分析】（1）平行于同一直线的两个平面，或平行，或相交；（2）由平行公理知，平行于同一平面的两个平面平行；（3）垂直于同一直线的两条直线或平行，或相交，或异面；（4）由线面垂直的性质知，垂直于同一平面的两直线平行.【解答】解：（1）平行于同一直线的两个平面平行，是错误的； （2）平行于同一平面的两个平面平行，是正确的； （3）垂直于同一直线的两直线平行，是错误的； （4）垂直于同一平面的两直线平行，是正确的.故选：B.【点评】本题考查了用文字语言叙述的空间中平行和垂直关系的判定，是基础题；空间中的垂直和平行，是立体几何的重要内容.7.【分析】取AD 中点G ，连结EG ，FG ，则//EG CD ，//GF AB ，FEG ∠是EF 与CD 所成的角（或所成角的补角），132EG CD ==，1322GF AB ==，GF EF ⊥，由此能求出EF 与CD 所成的角. 【解答】解：取AD 中点G ，连结EG ，FG ， ∵在四面体ABCD 中，E ，F 分别是AC 与BD 的中点， ∴//EG CD ，//GF AB ，∴FEG ∠是EF 与CD 所成的角（或所成角的补角）， ∵6CD =，3AB =，EF BA ⊥， ∴132EG CD ==，1322GF AB ==，GF EF ⊥， ∴30FEG ∠=︒，∴EF 与CD 所成的角为30︒. 故选：D.【点评】本题考查直线EG 与直线BC 所成角的余弦值的求法，考查异面直角所成角的等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.【分析】根据正切函数的单调性，解不等式2232x k k πππππ-+<+<+，k Z ∈，将所得的解集化为等价的开区间，即为所求函数的单调增区间. 【解答】解：令,2322x k k πππππ⎛⎫+∈-++ ⎪⎝⎭，k Z ∈ 即2232x k k πππππ-+<+<+，k Z ∈可解得：52233k x k ππππ-<<+，k Z ∈∴函数tan 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间是52,233k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈故选：B.【点评】本题给出含有正切的三角函数式，求函数的增区间，着重考查了正切函数的单调性和复合三角函数的单调区间求法等知识，属于基础题.9.【分析】根据三角函数的性质求解对称的，令0k =，和1k =，求解对称轴，根据存在一个实数0,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭建立不等式即可求解.【解答】解：函数，可得()sin 06y x πωω⎛⎫=> ⎪⎝⎭，其对称方程为62x k ππωπ-=+，可得23k x ππω+=.∵对称轴0,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 则当0k =时，可得对称性：232k πππω+<，解得：43ω>.当1k =时，可得对称性：232k πππω+≥，解得103ω≤故得ω的取值范围是410,33⎛⎤⎥⎝⎦ 故选：D.【点评】本题考查了函数对称轴问题，根据0ω>，只需求解相邻对称轴分别位于2π两边即可满足题意. 10.【分析】先求出直线在两个坐标轴上的截距，由在两个坐标轴上的截距相等解方程求得a 的值. 【解答】解：由直线的方程：20ax y a +--=得， 此直线在x 轴和y 轴上的截距分别为2a a+和2a +， 由22a a a+=+， 得1a =或2a =-， 故选：D.【点评】本题考查直线在两坐标轴上的截距的定义，待定系数法求参数的值.11.【分析】根据条件求出2b c =，结合余弦定理求出b ，c 的值，然后利用三角形的面积公式进行求解即可.【解答】解：∵()22b c b c =+∴2220b bc c --= 即()()20b c b c +-=∵b 、c 均为三角形的边，0b c +≠， ∴20b c -=， 即2b c =，由三角形的余弦定理2222cos a b c bc A =+- 得：22764b c bc +-= （*） 再将2b c =带入（*）式可得：227562c c -=，即24c =， 得2c =，4b = ， 又由cos 78A =，可得sin 8A =所以，三角形ABC的面积是：112422si n S bc A ==⨯⨯= 故选：C.【点评】本题主要考查三角形面积的计算，利用余弦定理以及方程关系求出b ，c 的值是解决本题的关键.12.【分析】根据条件容易判断0a ≠，从而可得出()2lg 1a a x a f x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，根据()f x 为奇函数，定义域关于原点对称，从而讨论a 的符号解不等式201a a x a x +⎛⎫- ⎪⎝⎭>-，并满足该不等式的解集关于原点对称，这样便可求出1a =-，从而得出()()1lg1x f x x -+=-，这样解不等式()1lg01x x -+<-便可得出x 的取值范围. 【解答】解：0a =时，显然()f x 不是奇函数； ∴0a ≠；∴()2lg 1a a x a f x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭=-； ∵()f x 的定义域关于原点对称；∴（1）若0a >，则20a a +>，∴不等式201a x a ax +⎛⎫- ⎪⎝⎭>-的解集不关于原点对称；即这种情况不存在； （2）若0a <，则解得201a a x a x +⎛⎫- ⎪⎝⎭>-得，21a x a+<<；∴21a a+=-； 解得1a =-，满足条件； ∴()()1lg1x f x x -+=-； ∴解()1lg01x x -+<-得：()1011x x -+<<-；解得10x -<<；∴使()0f x <的x 的取值范围是()1,0-. 故选：B.【点评】考查奇函数的定义，奇函数定义域关于原点对称的特点，以及分式不等式的解法，对数函数的单调性．13.【分析】设圆心到AC 、BD 的距离分别为1d ，2d ，则22128d d +=，代入面积公式12S AC BD =⨯⨯，使用基本不等式求出四边形ABCD 的面积的最大值.【解答】解：设圆心()T O 到AC 、BD 的距离分别为1d ，2d .则2222128d d TP OP +===.四边形ABCD 的面积为：()22125042dd =-+=.当且仅当2212d d =时取等号，故选：D.【点评】此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．学生做题时注意对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半． 14.【分析】由等差数列的性质得tan ta t 221n an B A C=+，利用正弦定理、余弦定理推导出2222a c b +=，从而2a ，2b ，2c 依次成等差数列.【解答】解：∵a ，b ，c 分别是ABC △内角A ，B ，C 的对边，1tan A ，1tan B ，1tan C依次成公差不为0的等差数列， ∴tan ta t 211n an B A C=+， 根据正弦定理可得cos cos cos 2b a CcB A =+， ∴2cos cos ac B bc A abcsC =+，∴22222222222b c a a b c a c b +-+-+-=+，∴2222a c b +=，∴2a ，2b ，2c 依次成等差数列. 故选：B.【点评】本题考查三个数成等差数列或等比数列的判断，考查等差数列、等比数列的性质、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.15.【分析】根据{}min ,m n 的定义，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可. 【解答】解：作出函数()f x 和()g x 的图象如图，两个图象的下面部分图象， 由()2230g x x x =-++=，得1x =-，或3x =，由()ln 10f x x =-=，得x e =或1x e=，∵()0g e >，∴当0x >时，函数()h x 的零点个数为3个， 故选：C.【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，利用数形结合是解决本题的关键．注意函数定义域的作用． 16.【分析】化简()11f x x =-≥-，再令()f x t =，从而化方程()()20f x f x k -+=为2k t t =-，从而作函数2k t t =-的图象，结合图象分类讨论解得，①②③④均正确. 【解答】解：∵()11f x x =-≥-， ∴当1a =-时，()f x a =有且只有一个解， 当1a >-时，()f x a =有两个不同的解， ∵令()f x t =，则方程()()20f x f x k -+= 可化为2k t t =-，作函数2k t t =-的图象如右， 结合图象可知，当14k =时， 2k t t =-有两个不同的解， 且12t =±故方程()()20f x f x k -+= 有四个不同的解，则②正确； 当104k <<时，2k t t =-有4个不同的解，且11t -<<， 故方程()()20f x f x k -+=有8个不同的解，则④正确；当0k =时，2k t t =-有三个不同的解，分别为1-，0，1； 故方程()()20f x f x k -+=有5个不同的解，则③正确； 当0k <时，2k t t =-有两个不同的解，且1t <-或1t >， 故方程()()20f x f x k -+=有2个不同的解，则①正确； 故选：D.【点评】本题考查了分类讨论与数形结合的思想应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用． 二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分.17.【分析】原式提取2，利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化简，即可得到结果. 【解答】解：()sin15cos15sin15154522⎫+=+=+⎪︒︒︒︒︒⎪⎭︒60=︒=.【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键.18.【分析】根据绝对值的定义，利用对数函数的图象与性质，列出不等式求解集即可. 【解答】解：()12log 11x +≥，∴()12log 11x +≥-或()12log 11x +≤-，解得1012x <+≤或12x +≥， 即112x -<≤-或1x ≥； ∴实数x 的取值范围是[)11,1,2⎛⎤--+∞ ⎥⎝⎦.故答案为：[)11,1,2⎛⎤--+∞ ⎥⎝⎦.【点评】本题考查了绝对值的定义与对数函数的性质应用问题，是基础题. 19.【分析】连结BD ，利用180A C +=︒和余弦定理，即可求得BD 的长. 【解答】解：连结BD ，由于180A C +=︒，则cos cos A C =-， 由题设及余弦定理得，在BCD △中，2222cos 1312cos BD BC CD BC CD C C ⋅=+-=-，…① 在ABD △中，2222cos 54cos BD AB DA AB DA A C =+-⋅=+，…②由①②解得BD =【点评】本题考查了圆内接四边形内角和定理与余弦定理的应用问题，是基础题．20.【分析】利用二次方程有实根的充要条件列出方程，利用向量的数量积公式及已知条件求出夹角． 【解答】解：设两向量的夹角为θ20x a x a b ++⋅=有实根240a a b ∆=-⋅≥即24cos 0a a b θ-⋅≥ ∵20a b =≠∴1cos 2θ≤ ∴,3πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案为：,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点评】本题考查二次方程有实根的充要条件：0∆≥；向量的数量积公式.21.【分析】先在直角三角形OBM 中求出3OM =23OM OC OM ⋅==.【解答】解：如图：在直角三角形OMB 中，22241OMOB BM=-=-=2cos 3OM OM OC OM OC MOC OM OC OM OC⋅=⨯∠=⨯⨯==，故答案为：3.【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题.22.【分析】由已知可得4AC =，BC =30ACB ∠=︒，结合G 是ABC △的重心及向量数量积的性质及定义可求【解答】解：Rt ABC △中，2AB =60BAC ∠=︒，90B ∠=︒，∴4AC =，BC =30ACB ∠=︒， ∵G 是ABC △的重心.()()()2111339GB GC BC BA CB CA BC CB CA BA BC AB AC ⎡⎤⋅=-+⋅-+=--⋅-⋅+⋅⎢⎥⎣⎦111240242092⎛⎫=---+⨯⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭故答案为：20-【点评】本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单应用，属于基础试题三、解答题：本大题共5个小题，每小题8分，共40分. 23.【分析】（Ⅰ）证明1AE BB ⊥，AE BC ⊥，1BC BB B =，推出AE ⊥平面11B BCC ，利用平面余平米垂直的判定定理证明平面AEF ⊥平面11B BCC ；（Ⅱ）取AB 的中点G ，说明直线1A C 与平面11A ABB 所成的角为45︒，就是1CA G ∠，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积.【解答】（Ⅰ）证明：∵几何体是直棱柱，∴1BB ⊥底面ABC ，AE ⊂底面ABC ，∴1AE BB ⊥， ∵直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，E 分别是BC 的中点， ∴AE BC ⊥，1BCBB B =，∴AE ⊥平面11B BCC ，∵AE ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面11B BCC ；（Ⅱ）解：取AB 的中点G ，连结1A G ，CG ，由（Ⅰ）可知CG ⊥平面11A ABB ，直线1A C 与平面11A ABB 所成的角为45︒，就是1CA G ∠，则1AG CG ==∴1AA ==2CF =.三棱锥F AEC -的体积：111113232CE AE CF ⨯⨯⋅⋅=⨯⨯=.【点评】本题考查几何体的体积的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．24.【分析】（1）利用已知条件求出数列的公比与首项，然后求数列{}n a 的通项公式. （2）利用对数运算法则化简31323log log log n n b a a a =+++，然后化简数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，利用裂项相消法求和即可.【解答】解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，由23269a a a =.得22349a a =.所以219q =.由条件可知0q >，故13q =. 由12231a a +=，得11231a a q +=，所以113a =. 故数列{}n a 的通项式为13n n a =. （6分） （2）()()()123313233123log log log log log 3n n n n b a a a a a a -++++=+++===()()11232n n n +++++=--. 故()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭， 数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和：121111111122122311n n n T b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=--+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为：21n nT n =-+（12分） 【点评】本题考查数列求和以及通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力. 25.【分析】（1）利用圆的切线的性质，结合勾股定理，可求r 的值；（2）设出直线方程，利用OM OA OB =+，表示出OM ，求出模长，利用基本不等式即可求得结论. 【解答】解：（1）圆()222:0C x y rr +=>的圆心为()0,0O ，则∵过点(Q -作圆()222:0C x y r r +=>的切线，切点为D ，且4QD =∴3r OD ====；（2）设直线l 的方程为()10,0x ya b a b+=>>，即0bx ayab +-=，则(),0A a ，()0,Bb ， ∵OM OA OB =+，(),OM a b =，∴2OM a =∵直线l 与圆C 3=222a b ab +=≤∴2236a b +≥∴6OM ≥当且仅当a b ==OM 的最小值为6.【点评】本题考查圆的切线的性质，考查向量知识的运用，考查基本不等式，属于中档题.26.【分析】（1）根据题意作高AE ，BG ，CF .根据等边三角形及直角三角形的性质，设AD x =，则3AC x =，求出DG ，BG 根据三角形相似根据其相似比可求出DF ，DE 的长，再根据勾股定理即可解答. （2）过点B 作2MN l ⊥，交1l 于M ，交3l 于N ，设AM a =，CN b =，由AMB BNC △△∽，得2b a=，则ABBC ==，12ABCS AB BC ⨯⨯==△ 由此利用均值不等式能求出ABC △面积的最小值. 【解答】解：（1）作高AE ，BG ，CF （如图）， 设AD x =，则3AC x =， 于是322xDG x x =-=，3BG x == ∵BDG CDF ∠=∠，90BGD CFD ∠=∠=︒，∴Rt BDG Rt CDF △△∽，∴BG DGCF DF =，即222xDF =，∴DF =，∴DE =∵22212812727AD AE DE =+=+=，∴AD =∴333AC x ===. ∴ABC △的边长为3. （2）过点B 作2MN l ⊥，交1l 于M ，交3l 于N ，设AM a =，CN b =， 则AMB BNC △△∽，∴MB AM NC BN =，即12ab =，∴2b a =，AB =BC ==∵ABC △是以B 为直角顶点的直角三角形， ∴12ABC B BC S A ⨯⨯=△=2=≥. 当且仅当212a =，即1a =，2b =时，ABC △面积取最小值2.【点评】本题考查三角形边长的求法，考查三角形的面积的最小值的求法，考查平行线、直线方程、均值定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题. 27.【分析】（Ⅰ）函数()()33x a h x f g x +-⎡⎤=⎣⎦=的图象关于直线2x =对称，则()()44h x h x x a x a -==⇒+-+恒成立2a ⇒=-；（Ⅱ）函数()33x y g f x a ==+-⎡⎤⎣⎦的零点个数，就是函数()3x G x a =+与3y =的交点，分①当03a ≤<时；②当3a ≥时；③30a -≤<时；④当3a <-时，画出图象判断个数. 【解答】解：（Ⅰ）函数()()33x a h x f g x +-⎡⎤=⎣⎦=的图象关于直线2x =对称，则()()44h x h x x a x a -==⇒+-+恒成立2a ⇒=-；（Ⅱ）函数()33x y g f x a ==+-⎡⎤⎣⎦的零点个数，就是函数()3x G x a =+与3y =的交点， ①当03a ≤<时，()33x x G x a a =+=+与3y =的交点只有一个，即函数()y g f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数为1个（如图1）；②当3a ≥时，()33x x G x a a =+=+与3y =没有交点，即函数()y g f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数为0个（如图1）；③30a -≤<时，()3x G x a =+与3y =的交点只有1个（如图2）；④当3a <-时，()3x G x a =+与3y =的交点有2个（如图2）；【点评】本题考查了函数的零点，把零点个数转化为两函数交点个数是常用方法，属于中档题．。
2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二(下)期末数学试卷(文科)(J)
2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二（下）期末数学试卷（文科）(J)副标题一、选择题（本大题共15小题，共15.0分）1.设集合，0，1，2，，则集合为A. 0，1，B. 0，1，C. 0，1，2，D. 0，1，2，【答案】B【解析】解：集合0，1，0，1，2，，则集合0，1，．故选：B．化简集合A，再由交集的定义，即可得到所求集合．本题考查集合的交集的求法，注意运用化简变形和定义法，考查运算能力，属于基础题．2.若复数是纯虚数，则实数a等于A. 2B.C.D. 1【答案】A【解析】解：是纯虚数，，即．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.下列函数中，与函数的单调性和奇偶性一致的函数是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：函数是奇函数且是增函数，对于A，函数是非奇非偶函数，对于B，函数在定义域上无单调性，对于C，函数的定义域上无单调性，对于D，函数是奇函数且是增函数，故选：D．根据函数奇偶性的定义以及函数的单调性判断即可．本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，是一道基础题．4.已知：命题p：若函数是偶函数，则．命题q：，关于x的方程有解．在；；￢；￢￢中为真命题的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：若函数为偶函数，则，即有，易得，故命题p为真；当时，方程的判别式不恒大于等于零，当时，，此时方程无实根，故命题q为假，即p真q假，故命题为真，为假，￢为假，￢￢为真．综上可得真确命题为．故选：D．先分析命题p，q的真假，再根据复合命题的真值判断方法即可求解．本题考查复合命题的真假的判断解题关键真确判断命题p，q的真假，再根据复合命题真值的判断方法求解属于基础题．5.若，，则的值为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，，可得：，，可得：，又，可得：，整理可得：，解得：，或舍去．故选：A．由已知利用两角和的余弦函数公式可求，结合同角三角函数基本关系式可求，进而解得的值．本题主要考查了两角和的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．6.已知数列是等差数列，满足，下列结论中错误的是A. B. 最小 C. D.【答案】B【解析】解：等差数列的前n项和为，，，解得：．，故A正确；，不一定最小，故B错误；，，故C正确；，故D正确．错误的结论是B．故选：B．由已知条件利用等差数列的前n项和公式和通项公式求出首项和公差的关系，然后逐一核对四个选项得答案．本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，属中档题．7.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为，再由点C沿北偏东方向走10m到位置D，测得，则塔AB的高是单位：A.B.C.D. 10【答案】B【解析】解：设塔高为x米，根据题意可知在中，，，，从而有，，在中，，，，由正弦定理可得，可得，则；所以塔AB的高是米；故选：B．设塔高为x米，根据题意可知在中，，，，从而有，在中，，，，，由正弦定理可求BC，从而可求x即塔高．本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，即正确建立数学模型，结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据，进而选择合适的公式进行求解．8.函数的图象可能是A. B.C. D.【答案】A【解析】解：若使函数的解析式有意义则，即即函数的定义域为可排除B，D答案当时，，则可排除C答案故选：A．由函数的解析式，可求出函数的定义域，可排除B，D答案；分析时，函数值的符号，进而可以确定函数图象的位置后可可排除C答案．本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握函数定义域的求法及函数值符号的判定是解答的关键．9.设数列是首项为1，公比为的等比数列，若是等差数列，则A. 4026B. 4028C. 4030D. 4032【答案】B【解析】解：数列是首项为1，公比为的等比数列，可得，由是等差数列，即为常数，可得，即，，即有．故选：B．运用等比数列的通项公式和等差数列的定义，求得，进而得到所求和．本题考查等比数列的通项公式和等差数列的定义，考查运算能力，属于中档题．10.将函数的图象向左平移个单位，再将所得函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，若函数在上单调递增，则的值不可能为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：将得图象横坐标缩短到原来的倍，得到，然后将函数图象向右平移个单位，得到，函数在上单调递增，，则，得，当时，，当时，，显然不可能取得，故选：C．根据三角函数的图象关系求出的解析式，结合三角函数的单调性进行求解判断即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据三角函数的关系求出函数的解析式，以及利用三角函数的单调性的性质是解决本题的关键．11.已知函数，若函数在区间上有最值，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，由函数在区间上有最值在区间上单调且存在零点．，可得，解得．此时在区间上单调递减．实数a的取值范围是．故选：A．，由函数在区间上有最值在区间上存在零点利用函数零点存在定理即可得出．本题考查了利用对数研究函数的单调性极值与最值、函数零点存在定理、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．12.如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，，E，F分别为BC，CD的中点，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：四边形ABCD是边长为2的菱形，，可得，则，故选：D．运用向量的加减运算和数量积的定义以及性质，主要是向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．本题考查向量的加减运算和向量数量积的定义以及性质，考查运算能力，属于中档题．13.已知函数，的部分图象如图所示，且，则A. 6B. 4C.D.【答案】D【解析】解：，其中，，设函数的最小正周期为T，则，可得：，，可得：，即关于对称，而与的距离为半个周期，．故选：D．利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，其中，，由函数图象可求周期T，由，利用正弦函数的对称性可求，利用正弦函数的周期性进而可求的值．本题主要考查了三角函数的图象和性质，考查了数形结合思想的灵活应用，属于中档题．14.已知为数列的前n项和，，，若关于正整数n的不等式的解集中的整数解有两个，则正实数t的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，，时，，，整理得，，．不等式，化为：，，，关于正整数n的不等式的解集中的整数解有两个，可知，2．，故选：A．由，时，，则，即有，可得：不等式，化为：，，，关于正整数n的不等式的解集中的整数解有两个，即为1，2，即可得出正实数t的取值范围．本题考查数列的递推关系、不等式的性质的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.已知函数若方程有五个不同的实根，则实数a的取值范围A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，显然是方程的一个根，当时，，当时，，显然，若为方程的解，则为方程为的解，方程有5个不同的根，方程在上有两解，做出和的函数图象，如图所示，设与相切，切点为，则，解得，，与在上有两个交点，，即，故选：D．求出的解析式，根据x的范围不同得出两个不同的方程，由两个方程的关系得出在上有解，根据函数图象和导数的几何意义得出a的范围本题主要考查了函数的解析式，以及函数与方程和根的存在性和根的个数的判断，属于中档题．二、填空题（本大题共5小题，共5.0分）16.______．【答案】【解析】解：，故答案为：．利用两角差的正弦公式、二倍角的正弦公式，求得要求式子的值．本题主要考查两角差的正弦公式、二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．17.若复数满足，则的值为______．【答案】【解析】解：由且，得，即，，即，．．故答案为：．把代入，整理后利用复数相等的条件列式求得x，y 的值，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．18.设是定义在R上的周期为3的函数，当时，，则______．【答案】【解析】解：是定义在R上的周期为3的函数，当时，，，．故答案为：．推导出，由此能求出．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．19.下列命题中：是的充分不必要条件；函数的最小正周期是；中，若，则为钝角三角形；若，则函数的图象的一条对称轴方程为；其中是真命题的为______．【答案】【解析】解：对于若“”成立则能推出“”成立，反之若“”成立，则有即推不出“”成立，所以是的充分不必要条件；故对对于函数的最小正周期是故错对于，若则则为锐角，则C为钝角，则为钝角三角形故对对于，是图象的一条对称轴故对故答案为根据题意，依次分析命题可得：利用充要条件的判断方法得到对；通过画图形求出函数的周期得到错；通过两角和的余弦公式及三角形的内角和判断出对；利用三角函数的公式及整体角处理的方法研究三角函数的性质判断出对，综合可得答案．本题考查如何判断条件问题、考查三角函数周期的求法、考查两角和的余弦公式及三角形的内角和公式、开始三角函数的重要公式、考查整体角处理的思想方法．20.若a，b是函数的两个不同的零点，且a，b，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于______．【答案】9【解析】解：由题意可得：，，，，可得，，又a，b，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得或解得：；解得：．，，则．故答案为：9．由一元二次方程根与系数的关系得到，，再由a，b，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案．本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．三、解答题（本大题共5小题，共5.0分）21.已知点和向量若向量与向量同向，且，求点B的坐标；若向量与向量的夹角是钝角，求实数k的取值范围．【答案】解：设，则，若向量与向量同向，则有，若，则，解可得或，当时，，与向量反向，不合题意，舍去；当时，，与向量同向，则B的坐标为；若向量与向量的夹角是钝角，则有且，解可得且，故k的取值范围是．【解析】根据题意，设，易得向量的坐标，分析可得且，解可得x、y的值，验证向量与向量是否同向，即可得答案；根据题意，由向量数量积的计算公式可得且，解可得k的取值范围，即可得答案．本题考查向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的坐标计算公式．22.在等比数列中，，且是与的等差中项．求数列的通项公式；若数列满足，求数列的前n项和．【答案】解：设等比数列的公比为q，，且是与的等差中项．即有，即为，解得舍去，即有；，数列的前n项和．【解析】设等比数列的公比为q，运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，解方程可得q，进而得到所求通项公式；求出，运用数列的求和方法：分组求和，以及裂项相消求和，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，等差数列的中项的性质，考查数列的求和方法：分组求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．23.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．求角C；若，的面积为，M为AB的中点，求CM的长．【答案】解：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．．由正弦定理，得，即．又由余弦定理，得．，．，为等腰三角形，且顶角．故，解得．在中，由余弦定理，得：．解得．【解析】推导出，由正弦定理，得由余弦定理，得，由此能求出．由得到，求出，再由余弦定理，能求出CM．本题考查三角形的内角求法，考查三角形的边的求法，考查同角三角函数关系式、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．24.已知函数，．讨论函数的单调性；证明：若，则对于任意，，，有．【答案】解：的定义域为．若即，则故在单调增．若，而，故，则当时，；当及时，故在单调减，在，单调增．若，即，同理可得在单调减，在，单调增．考虑函数则由于，故0'/>，即在单调增加，从而当时有，即，故，当时，有【解析】根据对数函数定义可知定义域为大于0的数，求出讨论当时导函数大于0，函数单调递增；当时分类讨论函数的增减性；当时讨论函数的增减性．构造函数，求出导函数，根据a的取值范围得到导函数一定大于0，则为单调递增函数，则利用当时有即可得证．考查学生利用导数研究函数单调性的能力，以及基本不等式证明的能力．25.已知函数，如曲线在点处的切线方程为，求a，b的值；若，，关于x的不等式的整数解有且只有一个，求a的取值范围．【答案】解：函数的定义域是R，，曲线在点处的切线方程为，，，解得：；当时，，，关于x的不等式的整数解有且只有一个，等价于关于x的不等式的整数解有且只有1个，构造函数，，故F，时，，，故，又，故F，故F在递增，，，在存在唯一整数，使得，即；当时，为满足题意，函数在上不存在整数使得，即在上不存在整数使得，，，当时，函数，在递减，；当时，--，不合题意，综上，a的范围是．【解析】由曲线在处的切线方程为，得，求出a，b的值即可；构造函数，通过对构造的函数求导并分类讨论，即可得出a的范围．本题考查导数的几何意义，导数的研究函数中的应用以及不等式问题，意在考查转化和化归思想，数形结合思想以及学生的运算能力．。
湖南省长郡中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文----精校解析Word版
设集合，则集合为（B.D.详解：集合，故选若复数是纯虚数，则实数等于（A. 2B. -2C. -1D. 1详解：因为的单调性和奇偶性一致的函数是（B. C. D.即是奇函数也是上的增函数，对照各选项：；为奇函数，但不是为奇函数，但不是上的增函数，排除为命题若函数是偶函数，；命题：的方程在①；②；③；④，，则B. C. D.【答案】=， ,,故代入得到结果为：.6. 已知数列是等差数列，满足，下列结论中错误的是（）B. C. D.【答案】【解析】由题设可得，所以答案7. 如图，为测得河对岸塔的高，先在河岸上选一点，使在塔底15°方向走到位置，测得，则塔）B. C.BC=即塔高．BC=中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°由正弦定理可得，BC=.；10的图象可能是（B.D.的定义域为，可排除时，，故选考点：函数的图象，函数的定义域，正弦函数、对数函数的性质设数列，公比为（）的等比数列，若A. 4026B. 4028C. 4030D. 4032可得q=1，即a n=1，=1=2×2014=4028．故选：B．将函数的图象向左平移的图象，若函数在上单调递增，则B. C. D.【答案】得图象横坐标缩短到原来的=sin2）在（﹣2φ，，得≤k=0时，≤φ≤k=﹣1时，≤φ≤不可能取得，故选：已知函数，若函数在区间上有最值，则实数B. C. D.四边形的菱形，，、分别为、则（B. C. D.【答案】故选：D．已知函数（，的部分图象如图所示，且），==，利用正弦函数的周期性进而可求=，则+）﹣==1（x x=x由函数的周期求利用“五点法”中相对应的特殊点求已知的前项和，，，若关于正整数的不等式的解集中的整的取值范围为（B. C. D.【答案】t＞0，0＜n≤2t，关于正整数n的不等式，整理得：∴a n=n．∴1≤t＜故答案为：已知函数，若方程有五个不同的根，则实数B. C. D.f（﹣x）=f）的一个根，∵y=e x与y=﹣∴﹣a＞e，即【答案】.【解析】分析：先切化弦，再由两角公式化一，最终得到结果故答案为：点睛：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式、二倍角的正弦公式的应用，属于基，，这三者我们成为三姐妹，结合若复数，）满足，则是定义在时，【答案】【解析】分析：由））时，）=4×（﹣）2﹣2=，f（（，故答案为：点睛：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意函数的周期性和分段函数的性质的合理运用．（）是）函数的最小正周期是中，若，则为钝角三角形；，则函数的图象的一条对称轴方程为；）（的充分不必要条件，因为等价于）函数的最小正周期是，故选项不正确；中，若则，则函数将代入满足等式，故正确、是函数（，）的两个不同的零点，且、、等差数列，也可适当排序后成等比数列，则，所以等比数列只能是（或，故有，即，因此，则，由，且，所以，考点：韦达定理，等差数列与等比数列的性质．已知点和向量）若向量与向量同向，且，求点）若向量与向量的夹角是钝角，求实数(1)【解析】分析：（1）根据题意，设，易得向量的值，验证向量与向量，则与向量同向，则有，则，，或时，，与向量反向，不合题意，舍去；时，，与向量的坐标为）若向量与向量且且的取值范围是点睛：本题考查向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的坐标计算公式．平面向量数量积公式有两种，二是，主要应用以下几个方面往往用坐标形式求解）上的投影是）向量垂直则;(4)求的模（平方后需求中，，且是与）求数列满足（，求数列项和(1).【解析】试题分析：）设等比数列的公比为程可得公比）化简的公比为与的等差中项，即有，解得，的前23. 在中，角、、所对的边分别为、、，且.（1）求角；（2）若，的面积为，为的中点，求的长.【答案】(1) .(2) .【解析】分析：（1）由三角函数的恒等变换和正弦定理，得，再由余弦定理，得，即可求解的值；（2）由，得，所以，在由余弦定理，即可求解的长）由，.由正弦定理，得，.又由余弦定理，得，所以.）因为，为等腰三角形，且顶角，所以.中，由余弦定理，得.已知函数，.）讨论函数的单调性；，则对任意，，.的定义域为（i）若即，则，故在）若，而，故，则当时，及时，，在）若即，同理可得在，，由于，故，即在单调增加，从而当时有时，有点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略构造差函数已知函数（，）如果曲线在点处的切线方程为、，，关于的不等式的整数解有且只有一个，求(1) ..【解析】分析：）由曲线在处的切线方程为，求出的取值范围．）函数的定义域为因为曲线在点处的切线方程为，解得）当时，，的不等式的整数解有且只有一个等价于关于的不等式的整数解有且只要一个，构造函数.时，因为，所以，又，所以，所以在，所以在上存在唯一的整数使得在内不存在整数使，即在上不存在整数使，所以时，函数，所以内为单调递减函数，所以，即时，综上所述，的取值范围为点睛：本题考查了导数几何意义，以及导数在函数中的综合应用，其中利用导数研究不等式恒成立或解不。
2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）复数z＝cos+i sin在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（3分）1、设A、B为非空集合，定义集合A*B为如图非阴影部分表示的集合，若，B＝{y|y＝3x，x＞0}，则A*B＝（）A．（0，2）B．[0，1]∪[2，+∞）C．（1，2]D．[0，1]∪（2，+∞）3．（3分）阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中a的取值范围为（）A．5≤a≤6B．5＜a＜6C．5≤a＜6D．5＜a≤64．（3分）使不等式|x+1|≤4成立的一个必要不充分条件是（）A．2≤x≤3B．﹣6≤x≤3C．﹣5≤x≤3D．﹣6≤x≤2 5．（3分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{3，4}，则从A到B的映射f满足f（3）＝3，则这样的映射共有（）个．A．3B．4C．5D．66．（3分）在直角坐标系中，若角α的终边经过点，则sin（π﹣α）＝（）A．B．C．D．7．（3分）定义运算a*b，，例如1*2＝1，则函数y＝1*2x的值域为（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．[1，+∞）D．（0，1]8．（3分）若f（x）＝lg（x2﹣2ax+1+a）在区间（﹣∞，1]上递减，则a的取值范围为（）A．[1，2）B．[1，2]C．[1，+∞）D．[2，+∞）9．（3分）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且a，b，c成等比数列，且B ＝，则+＝（）A．B．C．D．10．（3分）已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）＝0，则||的最大值是（）A．1B．2C．D．11．（3分）已知函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是+2，则f （1）+f′（1）的值等于（）A．1B．C．3D．012．（3分）设f（x）＝﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x），则使得f（x+1）＜f（2x﹣2）的x的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（3，+∞）B．（1，3）C．（﹣∞，）∪（1，+∞）D．（，1）13．（3分）己知函数f（x）＝+sin x，其中f′（x）为函数f（x）的导数，求f（2018）+f（﹣2018）+f′（2019）﹣f′（﹣2019）＝（）A．2B．2019C．2018D．014．（3分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a+b+c＝20，三角形面积为，A＝60°，则a＝（）A．7B．8C．5D．615．（3分）在△ABC中，已知，sin B＝cos A•sin C，S△ABC＝6，P为线段AB上的一点，且．，则的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分.16．（3分）《左传•僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在．皮之不存，毛将焉附？则“有毛”是“有皮”的条件（将正确的序号填入空格处）．①充分条件②必要条件③充要条件④既不充分也不必要条件17．（3分）对于a，b∈N规定a*b＝，集合M＝{（a，b）a*b ＝36，a，b∈N+}M中的元素的个数为．18．（3分）已知平面向量，满足||＝1，||＝2，|﹣|＝，则在方向上的投影是．19．（3分）已知函数f（x）＝2x﹣sin x，若正实数a，b满足f（a）+f（2b﹣1）＝0，则的最小值是．20．（3分）已知集合{a，b，c}＝{2，3，4}，且下列三个关系：a≠3，b＝3，c≠4有且只有一个正确，则函数的值域是．三、解答题：本大题共5小题，每小题8份，共40分.21．（8分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），设点P（1，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求|P A|+|PB|的值．22．（8分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2a cos A＝b cos C+c cos B．（1）求角A的大小；（2）若点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，AB＝2，BC＝4，求AD的长．23．（8分）已知函数f（x）＝e x+tx（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当t＝﹣e时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立，求实数t的取值范围．24．（8分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）＝（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．25．（8分）已知函数f（x）＝，g（x）＝alnx﹣x（a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：当a＞0时，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：由题意可知，z＝cos+i sin＝+i，对应的点在第二象限．故选：B．2．【解答】解：依据定义，A#B就是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合；对于集合A，求的是函数的定义域，解得：A＝{x|0≤x≤2}；对于集合B，求的是函数y＝3x（x＞0）的值域，解得B＝{y|y＞1}；依据定义：A*B＝{x|0≤x≤1或x＞2}，故选：D．3．【解答】解：由框图的流程得：第1次循环S＝0+1＝1，i＝2；第2次循环S＝1+2＝3，i＝3；第3次循环S＝3+3＝6，i＝4；第4次循环S＝6+4＝10，i＝5；第5次循环S＝10+5＝15，i＝6；此时满足条件6＞a，退出循环，输出S的值．综上可得：5≤a＜6．故选：C．4．【解答】解：不等式|x+1|≤4，即﹣4≤x+1≤4，即﹣5≤x≤3，故“﹣6≤x≤3”是“﹣5≤x≤3”的一个必要不充分条件，故选：B．5．【解答】解：若f（3）＝3，则f（1）＝3或f（1）＝4；f（2）＝3或f（2）＝4；故这样的映射的个数是2×2＝4个，故选：B．6．【解答】解：∵角α的终边经过点，可得cosα＝sin＝，sinα＝cos＝﹣，∴sin（π﹣α）＝sinα＝﹣，故选：C．7．【解答】解：当1≤2x时，即x≥0时，函数y＝1*2x＝1当1＞2x时，即x＜0时，函数y＝1*2x＝2x∴f（x）＝由图知，函数y＝1*2x的值域为：（0，1]．故选：D．8．【解答】解：令u＝x2﹣2ax+1+a，则f（u）＝lgu，配方得u＝x2﹣2ax+1+a＝（x﹣a）2 ﹣a2+a+1，故对称轴为x＝a，如图所示：由图象可知，当对称轴a≥1时，u＝x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上单调递减，又真数x2﹣2ax+1+a＞0，二次函数u＝x2﹣2ax+1+a在（﹣∞，1]上单调递减，故只需当x＝1时，若x2﹣2ax+1+a＞0，则x∈（﹣∞，1]时，真数x2﹣2ax+1+a＞0，代入x＝1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）故选：A．9．【解答】解：∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，利用正弦定理化简得：sin2B＝sin A sin C，∵B＝，∴原式＝+＝＝＝＝＝．故选：C．10．【解答】解：由题意可得•＝0，可得|+|＝＝，（﹣）•（﹣）＝2+•﹣•（+）＝||2﹣||•|+|cos＜（+，＞＝0，即为||＝cos＜+，＞，当cos＜+，＞＝1即+，同向时，||的最大值是．故选：C．11．【解答】解：由已知点点M（1，f（1））在切线上，所以f（1）＝，切点处的导数为切线斜率，所以，即f（1）+f'（1）＝3，故选C．12．【解答】解：根据题意，f（x）＝﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x）＝﹣（x﹣1）2﹣2（e x﹣1+）+1，分析可得：y＝﹣（x﹣1）2+1与函数y＝2（e x﹣1+e1﹣x）都关于直线x＝1对称，则函数f（x）＝﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x）的图象关于直线x＝1对称，f（x）＝﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x），当x≥1时，f′（x）＝﹣2x+2﹣（e x﹣1﹣）＝﹣2（x+1+e x﹣1﹣），又由x≥1，则有e x﹣1≥，即e x﹣1﹣≥0，则有f′（x）＜0，即函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，f（x+1）＜f（2x﹣2）⇒f（|x+1﹣1|）＜f（|2x﹣2﹣1|）⇒f（|x|）＜f（|2x﹣3|）⇒|x|＞|2x﹣3|，变形可得：x2﹣4x+3＜0，解可得1＜x＜3，即不等式的解集为（1，3）；故选：B．13．【解答】解：函数f（x）＝+sin x＝sin x++1，设g（x）＝sin x+，则g（﹣x）＝sin（﹣x）+＝﹣（sin x+）＝﹣g（x），即g（﹣x）+g（x）＝0，即f（﹣x）+f（x）＝2，则f（2018）+f（﹣2018）＝g（2018）+1+g（﹣2018）+1＝2，又f′（x）＝g′（x），由g（x）为奇函数，则g′（x）为偶函数，可得f′（2019）﹣f′（﹣2019）＝g′（2019）﹣g′（﹣2019）＝0，即有f（2018）+f（﹣2018）+f′（2019）﹣f′（﹣2019）＝2，故选：A．14．【解答】解：由题意可得，S△ABC＝bc sin A＝bc sin60°∴bc sin60°＝10∴bc＝40∵a+b+c＝20∴20﹣a＝b+c．由余弦定理可得，a2＝b2+c2﹣2bc cos60°＝（b+c）2﹣3bc＝（20﹣a）2﹣120解得a＝7．故选：A．15．【解答】解：△ABC中设AB＝c，BC＝a，AC＝b∵sin B＝cos A•sin C，∴sin（A+C）＝sin C cos A，即sin A cos C+sin C cos A＝sin C cos A，∴sin A cos C＝0，∵sin A≠0，∴cos C＝0 C＝90°∵，S△ABC＝6∴bc cos A＝9，∴，根据直角三角形可得sin A＝，cos A＝，bc＝15∴c＝5，b＝3，a＝4以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得＝（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1）设，则，∴＝（x，0）+（0，y）＝（x，y）∴x＝3λ，y＝4﹣4λ则4x+3y＝12＝故所求的最小值为故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分.16．【解答】解：由题意知“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分条件．故答案为：①17．【解答】解：a⊕b＝36，a、b∈N*，若a和b一奇一偶，则ab＝36，满足此条件的有1×36＝3×12＝4×9，故点（a，b）有6个；若a和b同奇偶，则a+b＝36，满足此条件的有1+35＝2+34＝3+33＝4+32＝…＝18+18共18组，故点（a，b）有35个，所以满足条件的个数为41个．故答案为：41．18．【解答】解：∵||＝1，||＝2，|﹣|＝，∴||2+||2﹣2•＝3，解得•＝1，∴在方向上的投影是＝，故答案为：19．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝2x﹣sin x，有f′（x）＝2﹣cos x＞0，则函数f（x）为增函数，又由f（﹣x）＝2（﹣x）﹣sin（﹣x）＝﹣（2x﹣sin x）＝﹣f（x），则函数为奇函数，若正实数a，b满足f（a）+f（2b﹣1）＝0，则有f（a）＝﹣f（2b﹣1）＝f（1﹣2b），又由函数为增函数，则a＝1﹣2b，即a+2b＝1，＝（）（a+2b）＝9++≥9+2＝9+4，当且仅当b＝a时等号成立，即的最小值是9+4，故答案为：9+4．20．【解答】解：由{a，b，c}＝{2，3，4}得，a、b、c的取值有以下情况：当a＝2时，b＝3、c＝4时，a≠3，b＝3，c≠4都正确，不满足条件．当a＝2时，b＝4、c＝3时，a≠3成立，c≠4成立，此时不满足题意；当a＝3时，b＝2、c＝4时，都不正确，此时不满足题意；当a＝3时，b＝4、c＝2时，c≠4成立，此时满足题意；当a＝4时，b＝2，c＝3时，a≠3，c≠4成立，此时不满足题意；当a＝4时，b＝3、c＝2时，a≠3，b＝3成立，此时不满足题意；综上得，a＝3、b＝4、c＝2，则函数＝，当x＞4时，f（x）＝2x＞24＝16，当x≤4时，f（x）＝（x﹣2）2+3≥3，综上f（x）≥3，即函数的值域为[3，+∞），故答案为：[3，+∞）．三、解答题：本大题共5小题，每小题8份，共40分.21．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ，即ρ2sin2θ＝4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2＝4x．（2）直线l的参数方程为（t为参数），代入曲线C方程y2＝4x．可得（1+t）2＝4（1+t），整理得，∵t1•t2＝﹣15＜0，∴点P在AB之间，∴|P A|+|PB|＝|t1﹣t2|＝＝4．22．【解答】解：（1）∵2a cos A＝b cos C+c cos B，∴2sin A cos A＝sin B cos C+sin C cos B＝sin（B+C）＝sin A，∵sin A≠0，∴cos A＝，∴A＝．（2）在△ABC中，由余弦定理的cos A＝＝，解得AC＝1+或AC＝1﹣（舍）．∵BD是∠ABC的平分线，∴＝，∴AD＝AC＝．23．【解答】解：（Ⅰ）当t＝﹣e时，f（x）＝e x﹣ex，f'（x）＝e x﹣e．由f'（x）＝e x﹣e＞0，解得x＞1；f'（x）＝e x﹣e＜0，解得x＜1．∴函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞）；单调递减区间是（﹣∞，1）．（Ⅱ）依题意：对于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立，即e x+tx＞0恒成立，即在x∈（0，2]上恒成立．令，∴．当0＜x＜1时，g'（x）＞0；当1＜x＜2时，g'（x）＜0．∴函数g（x）在（0，1）上单调递增；在（1，2）上单调递减．所以函数g（x）在x＝1处取得极大值g（1）＝﹣e，即为在x∈（0，2]上的最大值．∴实数t的取值范围是（﹣e，+∞）．所以对于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立的实数t的取值范围是（﹣e，+∞）．24．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时，f（x）＝2x+﹣90＞40，即x2﹣65x+900＞0，解得x＜20或x＞45，∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x≤30时，g（x）＝30•x%+40（1﹣x%）＝40﹣；当30＜x＜100时，g（x）＝（2x+﹣90）•x%+40（1﹣x%）＝﹣x+58；∴g（x）＝；当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．25．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，．当a＞0时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：当a＜0时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：综上所述，当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（﹣1，1），单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），单调递减区间为（﹣1，1）．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当a＞0时，f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）在（1，e]上单调递减，又f（0）＝a，f（e）＝所以f（x）min＝a，同样地，当a＞0时，g（x）在（0，a）上单调递增，g（x）在（a，e]上单调递减，所以g（x）max＝g（a）＝alna﹣a，因为a﹣（alna﹣a）＝a（2﹣lna）＞a（2﹣lne）＝a＞0，所以对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x）max＝g（e）＝alna﹣a＜a＝f（x）min．所以对于任意x1，x2∈（0，e]，仍有x1，x2∈（0，e]．综上所述，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．…（13分）。
湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）复数=（）A．B．C．D．2．（3分）已知p：x2﹣6x﹣27≤0，q：|x﹣1|≤m（m＞0），若q是p的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是（）A．m≤4 B．m＜4 C．m≥8 D．m＞83．（3分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A．10 B．9C．8D．64．（3分）甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3：1的比分获胜的概率为（）A．B．C．D．5．（3分）若=1，则f′（x0）等于（）A．2B．﹣2 C．D．6．（3分）把下面在平面内成立的结论：（1）如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则它与另一条相交（2）如果两条直线同时与第三条直线平行，则这两条直线平行（3）如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则它与另一条垂直（4）如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行类比地推广到空间，且结论也正确的是（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（2）（4）D．（3）（4）7．（3分）用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（n+3）=时，第一步验证n=1时，左边应取的项是（）A．1B．1+2 C．1+2+3 D．1+2+3+48．（3分）三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=AD=2，∠BAD=90°，∠BAC=60°，∠CAD=60°，则=（）A．﹣2 B．2C．D．9．（3分）曲线y=与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为（）A．2ln2 B．2﹣ln2 C．4﹣ln2 D．4﹣2ln210．（3分）已知斜率为2的直线l双曲线交A、B两点，若点P（2，1）是AB的中点，则C的离心率等于（）A．B．C．2D．11．（3分）若对于任意实数x，有x3=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3，则a2的值为（）A．3B．6C．9D．1212．（3分）下列选项中，说法正确的是（）A．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆是真B．设是向量，“若，则||=||”的否是真C．“p∪q”为真，则p和q均为真D．∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”．13．（3分）f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0且f（﹣1）=0则不等式f（x）g（x）＜0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）14．（3分）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．15．（3分）方程ay=b2x2+c中的a，b，c∈{﹣3，﹣2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A．60条B．62条C．71条D．80条二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）16．（3分）平面内有10个点，其中5个点在一条直线上，此外再没有三点共线，则共可确定个三角形．17．（3分）已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=．18．（3分）设的展开式中的常数项等于．19．（3分）已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=．20．（3分）蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f（n）表示第n幅图的蜂巢总数．则f（4）=；f（n）=．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）21．（8分）已知p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；q：双曲线=1的离心率e∈（）．若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．22．（8分）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．23．（8分）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD=1．（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；（2）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．24．（8分）已知直线y=kx+1和双曲线3x2﹣y2=1相交于两点A，B．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过原点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．25．（8分）已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）复数=（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：利用i的幂的运算法则，化简分子，然后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可．解答：解：复数====故选C点评：题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，是基础题．2．（3分）已知p：x2﹣6x﹣27≤0，q：|x﹣1|≤m（m＞0），若q是p的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是（）A．m≤4 B．m＜4 C．m≥8 D．m＞8考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的性质求出p，q对应的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义建立条件关系即可得到结论．解答：解：由x2﹣6x﹣27≤0，得﹣3≤x≤9，即p：﹣3≤x≤9，由|x﹣1|≤m（m＞0），得1﹣m≤x≤1+m，即q：1﹣m≤x≤1+m，若q是p的必要而不充分条件，则，即，解得m≥8，即实数m的取值范围是m≥8，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出的等价条件是解决本题的关键．3．（3分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A．10 B．9C．8D．6考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，故|AB|=x1+x2+2，由此易得弦长值．解答：解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=﹣1，∵抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点∴|AB|=x1+x2+2，又x1+x2=6∴∴|AB|=x1+x2+2=8故选C．点评：本题考查抛物线的简单性质，解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等，由此关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题，大大降低了解题难度．4．（3分）甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3：1的比分获胜的概率为（）A．B．C．D．考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．专题：计算题；概率与统计．分析：以甲3胜1败而结束比赛，甲只能在1、2、3次中失败1次，第4次胜，即可得出结论．解答：解：甲以3：1的比分获胜，甲只能在1、2、3次中失败1次，第4次胜，因此所求概率为：P==．故选：A．点评：本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，等可能事件的概率，属于基础题．5．（3分）若=1，则f′（x0）等于（）A．2B．﹣2 C．D．考点：极限及其运算；变化的快慢与变化率．专题：计算题．分析：先将进行化简变形，转化成导数的定义式，即可解得．解答：解：根据导数的定义可得，=故选C点评：本题主要考查了导数的定义的简单应用，以及极限及其运算，属于基础题．6．（3分）把下面在平面内成立的结论：（1）如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则它与另一条相交（2）如果两条直线同时与第三条直线平行，则这两条直线平行（3）如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则它与另一条垂直（4）如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行类比地推广到空间，且结论也正确的是（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（2）（4）D．（3）（4）考点：类比推理．专题：综合题；推理和证明．分析：对4个分别进行判断，即可得出结论．解答：解：（1）如果一条直线与两条平行线中的一条相交，与另一条不一定相交，也可能异面，在长方体中找．（2）如果两条直线同时与第三条直线平行，根据平行公理，则这两条直线平行；（3）如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直，符合异面直线所成角的定义；（4）垂直于同一条直线的两条直线还可能相交或异面，比如墙角上的三条垂直的直线．故选B．点评：本题考查了线面的平行和垂直定理，借助于具体的事物有助于理解，还能培养立体感．7．（3分）用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（n+3）=时，第一步验证n=1时，左边应取的项是（）A．1B．1+2 C．1+2+3 D．1+2+3+4考点：数学归纳法．专题：阅读型．分析：由等式，当n=1时，n+3=4，而等式左边起始为1的连续的正整数的和，由此易得答案．解答：解：在等式中，当n=1时，n+3=4，而等式左边起始为1的连续的正整数的和，故n=1时，等式左边的项为：1+2+3+4故选D．点评：本题考查的知识点是数学归纳法的步骤，在数学归纳法中，第一步是论证n=1时结论是否成立，此时一定要分析等式两边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．解此类问题时，注意n的取值范围．8．（3分）三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=AD=2，∠BAD=90°，∠BAC=60°，∠CAD=60°，则=（）A．﹣2 B．2C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：根据所给的条件把三棱锥底边上的向量写成两条侧棱的差，进行数量积的运算，这样应用的边长和角都是已知的，得到结果．解答：解：===0﹣2×=﹣2故选A．点评：本题考查平面向量的数量积的运算，本题解题的关键是把未知量转化为已知量，用侧棱做基底表示未知向量．9．（3分）曲线y=与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为（）A．2ln2 B．2﹣ln2 C．4﹣ln2 D．4﹣2ln2考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：作出函数的图象，可得围成的封闭图形为曲边三角形ABC，它的面积可化作梯形ABEF的面积与曲边梯形BCEF面积的差，由此结合定积分计算公式和梯形面积公式，不难得到本题的答案．解答：解：令x=4，代入直线y=x﹣1得A（4，3），同理得C（4，）由=x﹣1，解得x=2，所以曲线y=与直线y=x﹣1交于点B（2，1）∴S ABC=S梯形ABEF﹣S BCEF而S BCEF=dx=2lnx|=2ln4﹣2ln2=2ln2∵S梯形ABEF=（1+3）×2=4∴封闭图形ABC的面积S ABC=S梯形ABEF﹣S BCEF=4﹣2ln2故选D点评：本题利用定积分计算公式，求封闭曲边图形的面积，着重考查了利用积分公式求原函数和定积分的几何意义等知识，属于基础题．10．（3分）已知斜率为2的直线l双曲线交A、B两点，若点P（2，1）是AB的中点，则C的离心率等于（）A．B．C．2D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），根据AB的中点P的坐标，表示出斜率，从而得到关于a、b的关系式，再求离心率．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则﹣=1，①；﹣=1，②，①﹣②得=，∵点P（2，1）是AB的中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2，∵直线l的斜率为2，∴=2，∴a2=b2，c2=2a2，∴e=．故选A．点评：本题考查了双曲线的简单性质，解题的关键是利用“设而不求”法求直线l的斜率．11．（3分）若对于任意实数x，有x3=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3，则a2的值为（）A．3B．6C．9D．12考点：二项式定理的应用．分析：由等式右边可以看出是按照x﹣2的升幂排列，故可将x写为2+x﹣2，利用二项式定理的通项公式可求出a2的值．解答：解：x3=（2+x﹣2）3，故a2=C322=6故选B点评：本题考查二项式定理及通项公式的运用，观察等式右侧的特点，将x3=（2+x﹣2）3是解题的关键．12．（3分）下列选项中，说法正确的是（）A．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆是真B．设是向量，“若，则||=||”的否是真C．“p∪q”为真，则p和q均为真D．∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”．考点：的真假判断与应用．专题：证明题．分析：要否定一个只要举出反例即可：对于A、B、C可举出反例；D根据全称p：“∃x0∈M，p（x0）”的否定￢p为：“∀x∈M，￢p（x）”即可判断出正确与否．解答：解：A．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆是“若a＜b，则am2＜bm2”，对于逆，取m=0时不成立；B．设是向量，“若，则||=||”的否是“若，则||≠||”是假，若向量、的起点相同，其终点在同一个圆周上，则必有||≠||，故其逆是假；C．只要p、q中有一个为真，则pVq即为真．由此可知：C为假；D．根据：全称p：“∃x0∈M，p（x0）”的否定￢p为：“∀x∈M，￢p（x）”可知：D正确．综上可知：正确答案为：D．故选D．点评：掌握四种间的关系、或的真假关系、全称与特称的否定关系是解题的关键．13．（3分）f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0且f（﹣1）=0则不等式f（x）g（x）＜0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）考点：导数的乘法与除法法则；函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：构造函数h（x）=f（x）g（x），由已知得到当x＜0时，h′（x）＜0，所以函数y=h （x）在（﹣∞，0）单调递减，又因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得到函数y=h（x）为R上的奇函数，得到函数y=h（x）在（0，+∞）单调递减，画出函数h （x）的草图，结合图象得到不等式的解集．解答：解：设h（x）=f（x）g（x），因为当x＜0时，f'（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0，所以当x＜0时，h′（x）＜0，所以函数y=h（x）在（﹣∞，0）单调递减，又因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以函数y=h（x）为R上的奇函数，所以函数y=h（x）在（0，+∞）单调递减，因为f（﹣1）=0，所以函数y=h（x）的大致图象如下：所以等式f（x）g（x）＜0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）故选A．点评：本题考查导数的乘法法则、导数的符号与函数单调性的关系；奇函数的单调性在对称区间上一致，属于基础题．14．（3分）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分等腰三角形△F1F2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围．解答：解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以离心率e＞．当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P 这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）点评：本题给出椭圆的焦点三角形中，共有6个不同点P使得△F1F2P为等腰三角形，求椭圆离心率e的取值范围．着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．15．（3分）方程ay=b2x2+c中的a，b，c∈{﹣3，﹣2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A．60条B．62条C．71条D．80条考点：排列、组合及简单计数问题．专题：综合题；压轴题．分析：方程变形得，若表示抛物线，则a≠0，b≠0，所以分b=﹣3，﹣2，1，2，3五种情况，利用列举法可解．解答：解：方程变形得，若表示抛物线，则a≠0，b≠0，所以分b=﹣3，﹣2，1，2，3五种情况：（1）当b=﹣3时，a=﹣2，c=0，1，2，3或a=1，c=﹣2，0，2，3或a=2，c=﹣2，0，1，3或a=3，c=﹣2，0，1，2；（2）当b=3时，a=﹣2，c=0，1，2，﹣3或a=1，c=﹣2，0，2，﹣3或a=2，c=﹣2，0，1，﹣3或a=﹣3，c=﹣2，0，1，2；以上两种情况下有9条重复，故共有16+7=23条；（3）同理当b=﹣2或b=2时，共有16+7=23条；（4）当b=1时，a=﹣3，c=﹣2，0，2，3或a=﹣2，c=﹣3，0，2，3或a=2，c=﹣3，﹣2，0，3或a=3，c=﹣3，﹣2，0，2；共有16条．综上，共有23+23+16=62种故选B．点评：此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的9条抛物线．列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法．要能熟练运用二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）16．（3分）平面内有10个点，其中5个点在一条直线上，此外再没有三点共线，则共可确定110个三角形．考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：先把10个点看作不共线的，此时能确定的最多三角形数求出来，再减去共线5点所确定的三角形数即可解答：解：先把10个点看作不共线的，此时能确定的最多三角形数求出来，再减去共线5点所确定的三角形数，故有﹣=110个三角形．故答案为：110．点评：本题考查排列组合的基本问题，属于基础题．17．（3分）已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=8．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用椭圆的定义，可得三角形ABF2的周长为4a=20，再由周长，即可得到AB的长．解答：解：椭圆=1的a=5，由题意的定义，可得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，则三角形ABF2的周长为4a=20，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=20﹣12=8．故答案为：8点评：本题考查椭圆的方程和定义，考查运算能力，属于基础题．18．（3分）设的展开式中的常数项等于﹣160．考点：二项式定理的应用；定积分．专题：计算题．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．解答：解：∵=﹣（cosπ﹣cos0）=2，则=的展开式的通项公式为T r+1=••=•26﹣r•x3﹣r．令3﹣r=0，解得r=3，故展开式中的常数项等于﹣160，故答案为﹣160．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．19．（3分）已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=3．考点：导数的运算．分析：先将x=1代入切线方程可求出f（1），再由切点处的导数为切线斜率可求出f'（1）的值，最后相加即可．解答：解：由已知切点在切线上，所以f（1）=，切点处的导数为切线斜率，所以，所以f（1）+f′（1）=3故答案为：3点评：本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率．20．（3分）蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f（n）表示第n幅图的蜂巢总数．则f（4）=37；f（n）=3n2﹣3n+1．考点：归纳推理．专题：规律型．分析：根据图象的规律可得相邻两项的差的规律可分析得出f（n）﹣f（n﹣1）=6（n﹣1），进而根据合并求和的方法求得f（n）的表达式．解答：解：由于f（2）﹣f（1）=7﹣1=6，f（3）﹣f（2）=19﹣7=2×6，f（4）﹣f（3）=37﹣19=3×6，f（5）﹣f（4）=61﹣37=4×6，…因此，当n≥2时，有f（n）﹣f（n﹣1）=6（n﹣1），所以f（n）=++…++f（1）=6+1=3n2﹣3n+1．又f（1）=1=3×12﹣3×1+1，所以f（n）=3n2﹣3n+1．当n=4时，f（4）=3×42﹣3×4+1=37．故答案为：37；3n2﹣3n+1．点评：本题主要考查了数列的问题、归纳推理．属于基础题．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）21．（8分）已知p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；q：双曲线=1的离心率e∈（）．若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．考点：椭圆的简单性质；复合的真假；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由p真与q真分别求得m的范围，利用复合的真假判断即可求得符合题意的实数m 的取值范围．解答：解：p真，则有9﹣m＞2m＞0，即0＜m＜3…2分q真，则有m＞0，且e2=1+=1+∈（，2），即＜m＜5…4分若p或q为真，p且q为假，则p、q一真一假．①若p真、q假，则0＜m＜3，且m≥5或m≤，即0＜m≤；…6分②若p假、q真，则m≥3或m≤0，且＜m＜5，即3≤m＜5…8分故实数m的取值范围为0＜m≤或3≤m＜5…10分点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，考查复合的真假判断，考查集合的交补运算，属于中档题．22．（8分）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（I）从7张卡片中取出4张的所有可能结果数有，然后求出取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的结果数，代入古典概率的求解公式即可求解（II）先判断随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值解答：解：（I）设取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片为事件A，则P（A）==所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为（II）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4P（X=1）=P（X=2）=P（X=3）==P（X=4）==X的分布列为EX==x 1 2 3 4P点评：本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力．23．（8分）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD=1．（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；（2）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．专题：计算题；证明题；转化思想．分析：（1）先将BF平移到CE，则∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角，在三角形CED中求出此角即可；（2）设Q为CD的中点，连接PQ，EQ，易证∠EQP为二面角A﹣CD﹣E的平面角，在直角三角形EQP中求出此角即可解答：解：（1）由题设知，BF∥CE，所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角．设P为AD的中点，连接EP，PC．因为FE=∥AP，所以FA=∥EP，同理AB=∥PC．又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD．而PC，AD都在平面ABCD内，故EP⊥PC，EP⊥AD．由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=a，CD=DE=EC=a，故∠CED=60°．所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°．（2）取CD的中点Q，连接PQ，EQ由PC=PD，CE=DE∴PQ⊥CD，EQ⊥CD∴∠EQP为二面角A﹣CD﹣E的平面角，由ED=CD=a，在等边△ECD中EQ= a在等腰Rt△CPD中，PQ= a在Rt△EPQ中，cos∠EQP=．故二面角A﹣CD﹣E的余弦值为．点评：本小题考查线线垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力．24．（8分）已知直线y=kx+1和双曲线3x2﹣y2=1相交于两点A，B．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过原点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）联立直线y=kx+1与双曲线3x2﹣y2=1可得（3﹣k2）x2﹣2kx﹣2=0，由△＞0，且3﹣k2≠0，解得即为k的范围；（2）假设存在，则设A（x1，y1）、B（x2，y2），依题意，x1x2+y1y2=0，利用韦达定理可得x1+x2=，x1x2=，从而可求得+1=0，继而可解得k的值．检验成立．解答：解：（1）由，得（3﹣k2）x2﹣2kx﹣2=0，由△＞0，且3﹣k2≠0，得﹣＜k＜，且k≠±；（2）假设存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过原点．设A（x1，y1）、B（x2，y2），因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，又x1+x2=，x1x2=，∴y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1，∴k2x1x2+k（x1+x2）+1+x1x2=0，即++1+=0，∴+1=0，解得k=±1．经检验，k=±1满足题目条件，则存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过原点．点评：本题考查双曲线的标准方程和性质，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，突出考查韦达定理的应用，考查转化思想与综合运算能力，属于中档题．25．（8分）已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题．分析：（Ⅰ）求导函数，可得，由于分母恒正，故由分子的正负，确定函数的单调区间；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的讨论，分别可求得f（x）的最小值，根据f（x）的最小值为1，可确定a 的取值范围．解答：解：（Ⅰ）求导函数，可得，∵x≥0，a＞0，∴ax+1＞0．①当a≥2时，在区间（0，+∞）上，f'（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）．②当0＜a＜2时，由f'（x）＞0解得，由f'（x）＜0解得x＜，∴f（x）的单调减区间为，单调增区间为．（Ⅱ）当a≥2，由（Ⅰ）①知，f（x）的最小值为f（0）=1；当0＜a＜2时，由（Ⅰ）②知，f（x）在处取得最小值＜f（0）=1，综上可知，若f（x）的最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞）．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，合理分类是关键．。
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长郡中学2017—2018学年度高二第一学期第二次模拟检测数学（文科） 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合21,2,3,4,|,ABxxnnA，则AB（ ） A．1,4 B．2,3 C．9,16 D．1,2 2. 某公司10位员工的月工资（单位：元）为1210,,,xxx，其均值和方差分别为x和2s，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ） A．22,100xs B．22100,100xs C．2,xs D．2100,xs 3. 设(12)()iai的实部与虚部相等，其中a为实数，则a（ ） A．3 B．2 C．2 D．3 4. 如图，在矩形区域ABCD的,AC两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和CBF扇形区域（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常），若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（ ） A．14 B．12 C．22 D．4
5. 已知双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为62，左顶点到一条渐近线的距离为263，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．22184xy B．221168xy C．2211612xy D．221128xy 6. 设平面,，直线,,,abab，则“//,//ab”是“//”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7. 若实数,xy满足条件0222xyxyxy，则2zxy的最大值是（ ） A．10 B．8 C．6 D．4 8. 函数1()cos(fxxxxx且0)x的图象可能为（ ）
9. 若函数,fxgx分别是R上的奇函数，偶函数，且满足xfxgxe ，则有（ ） A．230ffg B．032gff C．203fgf D．023gff 10. 根据下边的图，当输入x为2006时，输出的y （ ） A．28 B．10 C．4 D．2
11.在ABC中，,,abc分别为内角,,ABC的对边，若3,3aA，则bc的最大值为 （ ） A．4 B．33 C．23 D．2 12. 如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，1212,,,AABB为椭圆的顶点，2F为右焦点，延长12BF与22AB交于点P，若12BPB为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A．52(,1)2 B．52(0,)2 C．51(0,)2 D．51(,1)2
第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.设向量(,1),(1,2)axxb，且ab，则x ． 14.已知tan()2，则cos2sin2 ． 15设点P为函数311()2fxxx图象上任意一点，且fx在点P处的切线的倾斜角为，
则取值范围是. ． 16.已知直角梯形0,90,224ABCDBADADCABADCD，沿AC折叠成三棱锥DABC，当三棱锥DABC的体积最大时，其外接球的表面积为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在极坐标系中，已知圆C的圆心(2,)4C，半径3r. （1）求圆C的极坐标方程；
（2）若[0,]4，直线l的参数方程为2cos(2sinxttyt为参数），直线l交圆C于,AB两点， 求弦长AB的取值范围. 18. 等差数列na中，22a，数列nb中，422,4,nanbbbnN. （1）求数列na，nb的通项公式； （2）若2111322212017nnnnabababababab，求n的最大值. 19.如图所示的几何体QPABCD为一简单的组合体，在底面ABCD中060,,DABADDC
,ABBCQD 平面ABCD,//,1,2PAQDPAADABQD.
（1）求证：平面PAB平面QBC； （2）求该组合体QPABCD的体积.
20. 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下的资料： 该兴趣小组确定的研究方案是：现从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选用的2组数据进行检验.
（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率； （2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月的数据，求出y关于x的线性回
归方程ˆˆˆybxa
；
（3）若有线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（2）中所得线性回归方程是否是理想？ 参考公式：
221122211()(),()()nniiiiiinniiiixynxyxxyybaybxxnxxx
21.已知抛物线2:2(0)Eypxp，直线3xmy与E交于,AB两点，且6OAOB，其中O为坐标原点. （1）求抛物线E的方程； （2）已知点C的坐标为(3,0)，记直线,CACB的斜率分别为12,kk，证明：22212
112mkk
为定值. 22.已知函数1,sinxgxeexhxaxex . （1）求gx的单调区间； （2）若gxhx对一切[0,1]x恒成立，求a的取值范围. 试卷答案 一、选择题 1-5: ADAAA 6-10: BCDDB 11、C 12：C 二、填空题 13. 23 14. 15 15. [,)32 16.16 三、解答题 17.解：（1）因为(2,)4C的直角坐标为(1,1)，所以圆C的直角坐标方程为22(1)(1)3xy，
化为极坐标方程是22(cossin)10.
（2）将2cos(2sinxttyt为参数），代入圆C的直角坐标方程22(1)(1)3xy， 得22(1cos)(1sin)3tt，即22(sincos)10tt， 有12122(sincos),1tttt， 故22121212()44(sincos)422sin2ABtttttt， 因为[0,)2[0,)42，所以0sin21，所以2223AB， 即弦长AB的取值范围是[22,23) 18.解：（1）设等差数列na的公差为d， 由题意，可得到4242422,2,242aaaabb， 整理，得4224aa，即224d，解得1d，又21aad， 故121aad，所以1(1),2nnnaandnb. （2）211132221211322()()nnnnababababababaabaab 11222()2212nnnnnaab
，
故2111322212017nnnnabababababab可化为1222017n， 即122019n，即201922n， 因为2xfx在R上为增函数，且2019204820199512,10222ff， 所以n的最大值是9. 19.解：（1）证明：因为QD平面,//ABCDPAQD，所以PA平面ABCD， 又因为BC平面ABCD，所以PABC，又因为ABBC，且ABPAA， 所以BCPAB平面，又因为BC平面QBC，所以平面PAB平面QBC. （2）平面QDB将几何体分成BPADQ和三棱锥QBDC两部分， 过B作BOAD，因为PA平面ABCD，BO平面ABCD，所以PABO， 又因为,ADOBPAADA，所以BOPADQ平面，即BO为四棱锥BPADQ的高， 并且3,3PADQBOS，所以133BPADQVBO， 因为QD平面ABCD，且已知BCD为顶角等于0120的等腰三角形，32,3ABCDBDS,
所以组合体QPABCD的体积为23113399. 20.解：（1）13； （2）183097yx； （3）该小组所得线性回归方程是理想的.
21.解：（1）设1122(,),(,)AxyBxy，联立方程组223ypxxmy， 消元得2260ypmyp，所以12122,6yypmyyp，