《1.4.1 曲边梯形面积与定积分》课件1-优质公开课-人教B版选修2-2精品
定积分的几何意义
【问题导思】 定积分和曲边梯形的面积有何关系？
【提示】
(1)当函数 f(x)≥0 时，定积分 f(x)dx 表示由
a
b
直线 x＝a， x＝b(a<b)， y＝0 及曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形 的面积．(2)当函数 f(x)≤0 时，曲边梯形位于 x 轴的下方，此
b 时 f(x)dx a
●教学建议 1．关于曲边梯形面积的求法的教学 教学时，建议教师充分利用图形的直观性，和学生一起 分析“分割、近似代替、求和、取极限”的过程，使学生体 会“以直代曲，以不变代变”的数学思想，为学生真正理解 定积分做好准备．
2．关于求曲边梯形的面积与汽车行驶的路程的教学 教学时，建议教师注意把握题目难度，通过一些简单的、 易计算的例子，重点让学生体会求解过程中渗透的数学思想 方法，而不要引申出一些过难的问题，不要深入介绍极限的 概念． 3．关于定积分概念的教学 教学时，建议教师注意解决好如下两个问题：一是定积 分是一个具体的值，是一个和式的极限，只与函数和区间有 关；二是积分表达式中各部分的含义及其整体意义．
2．过程与方法 理解求曲边图形面积及求汽车行驶的路程的过程： 分割、 以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法． 3．情感、态度与价值观 通过曲边梯形的面积，进一步感受极限的思想．
●重点难点 重点：掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近(取 极限)；理解定积分的概念及几何意义． 难点：对过程中所包含的微积分“以直代曲”思想的理 解．
i＝0 n－1
把 和式In的极限 叫做 函数f(x)在区间[a，b] 上的定积分， 记作
b 被积函数 ， ∫b ∫ f ( x )d x ， 即 f ( ξ )Δ x 其中 f ( x ) 叫做 a af(x)dx＝lim i i → λ 0 i＝0 n－1
a 叫 积分下限 ，b 叫 积分上限 ，f(x)dx 叫做被积式，此时称 函数 f(x)在[a，b]上 可积 .
bf(x)dx c (a＜c＜b)．
2．定积分的几何意义 当函数
b f(x)在区间[a， b]上恒为正时， 定积分 f(x)dx a
的几
何意义是 以曲线f(x)为曲边的曲边梯形的面积 ； 一般情况下， 定积分 f(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、曲线 f(x)以及直线 x
●教学流程
演示结束
1.了解定积分的实际背景． 课标 2.借助几何直观体会定积分的基 解读 本思想，初步了解定积分的概 念．(重点、难点)
曲边梯形
【问题导思】 1．能否用求直边图形面积的方法求曲边梯形的面积？ 【提示】 由于曲边梯形有一边是曲线段，因此不能用
求直边图形面积的方法求曲边梯形的面积． 2．当曲边梯形的高很小时，是否可用“直边图形”的面 积近似代替曲边梯形的面积？
i i－1 1 每个小区间的长度为 Δx＝ － ＝ .过各分点作 x 轴的 n n n 垂线，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，它们的面积分别记 作：ΔS1，ΔS2，„，ΔSi，„，ΔSn.
(2)近似代替 i－1 用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积： 在小区间[ ， n i ]上任取一点 ξi(i＝1,2，„，n)，为了计算方便，取 ξi 为小区 n i－1 i－1 间的左端点，用 f(ξi)的相反数－f(ξi)＝－( )( －1) 为其 n n 1 一边长，以小区间长度 Δx＝ 为另一边长的小矩形对应的面 n 积近似代替第 i 个小曲边梯形面积，可以近似地表示为 i－1 i－1 1 ΔSi≈－f(ξi)Δx＝－( )( －1)·(i＝1,2，„，n)． n n n
等于曲边梯形面积 S
b 的相反数，即 f(x)dx＝－S. a
(3)当 f(x)在区间[a，b]上有正有负时，定积分 f(x)dx 表
a
b
示介于 x 轴、函数 f(x)的图象及直线 x＝a， x＝b (a≠b)之间各 部分面积的代数和(在 x 轴上方的取正，在 x 轴下方的取负)．
【提示】 可以．
曲边梯形 由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x) 的图形称为曲边梯形(如图 1－4－1)． 所围成
图 1－4－1
定积分的定义
【问题导思】 分析求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程的步 骤，试找出它们的共同点．
【提示】 两个问题均可通过“分割、近似代替、求和、 取极限”解决．都可以归结为一个特定形式和的极限．
1．定积分的性质 (1)
bC· f(x)dx＝ a
C
bf(x)dx(C a
b
为常数)；
(2)设 f(x)，g(x)可积，则 g(x)]dx [f(x)± ＝ f(x)dx±
a b
b g(x)dx a ；
a
(3)
bf(x)dx＝cf(x)dx＋ a (x)定义在区间[a，b]上(如图 1－4－2)．用分 点 a＝x0＜x1＜x2＜„＜xn－1＜xn＝b 把区间[a，b]分为 n 个小 区间，其长度依次为 Δxi＝xi＋1－xi，i＝0,1,2，„，n－1.
记 λ 为这些小区间长度的最大者，当 λ 趋近于 0 时，所 有的小区间长度都趋近于 0.在每个小区间内任取一点 ξi，作 和式 In＝ f(ξi)Δxi，当 λ→0 时，如果和式的极限存在，我们
《1.4.1 曲边梯形面积与定积分》课件1
●三维目标 1．知识与技能 (1)通过求曲边梯形的面积，了解定积分的背景；
(2)了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程 问题的过程的共同点，感受在其过程中渗透的思想方法：分 割、以不变代变、求和、取极限(逼近)； (3)借助几何直观体会定积分的基本思想、初步了解定积 分的概念．
a
b
＝a、 x＝b 之间的各部分图形 面积的代数和 ，在 x 轴上方的 面积取 正号 ，在 x 轴下方的面积取 负号 .
求曲边梯形的面积
求由直线 x＝0，x＝1，y＝0 和曲线 y＝x(x－1) 围成的图形面积．
【思路探究】 步骤进行求解． 按分割、近似代替、求和、取极限四个
【自主解答】 (1)分割 n－1 1 2 将曲边梯形分割成 n 个小曲边梯形， 用分点 ， ， „， n n n 把区间[0,1]等分成 n 个小区间： i－1 i n－1 n 1 1 2 [0， ]，[ ， ]，„，[ ， ]，„，[ ， ]， n n n n n n n i－1 i 简写作[ ， ](i＝1,2，„，n)． n n
数学选修2-2训练：1 曲边梯形面积与定积分 含解析.
预习导航1．函数的极值(1)已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有f(x)＜f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极大值，记作y极大＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极大值点．如果在x0附近都有f(x)＞f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点．(2)极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．思考1 (1)极大值(极小值)是否就是函数在定义域内最大的值(最小的值)?(2)函数是否一定存在极值？若存在，是否是唯一的？(3)极大值是否一定比极小值大？(4)函数的极值点是否可以出现在区间的端点？提示：(1)极值是一个局部概念．由定义知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小．(2)在一个给定的区间上，函数可能存在若干个极值，也可能不存在极值；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值．(4)不可以，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，因为不符合极值点的定义．2．求函数y＝f(x)极值的步骤第1步：求导数f′(x)；第2步：求方程f′(x)＝0的所有实数根；第3步：考察在每个根x0附近，从左到右，导函数f′(x)的符号如何变化．如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果由负变正，则f(x0)是极小值．如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左、右侧，f′(x)的符号不变，则f(x0)不是极值．思考2 (1)导数为0的点一定是函数的极值点吗？(2)函数在极值点处的导数一定等于0吗？提示：(1)不一定，例如对于函数f(x)＝x3，虽有f′(0)＝0，但x＝0并不是f(x)＝x3的极值点，要使导数为0的点成为极值点，还必须满足其他条件．(2)不一定，例如函数f(x)＝|x－1|，它在x＝1处取得极小值，但它在x＝1处不可导，就更谈不上导数等于0了．但对可导函数来说，极值点处的导数值一定等于0.3．函数的最值函数f(x)的最大(小)值是函数在指定区间上的最大(小)的值．点拨函数极值与最值的联系与区别：(1)函数的极值是表示函数在某一点附近的变化情况，是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义区间上的情况，是对整个区间上的函数值的比较，具有绝对性．(2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值最多只能各有一个，具有唯一性；而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常函数就没有极大值，也没有极小值．(3)极值只能在函数的定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得．有极值的不一定有最值，有最值的不一定有极值，极值有可能成为最值，最值只要不是在端点处取到，则一定是某个极值．4．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤第1步：求f(x)在开区间(a，b)内所有使f′(x)＝0的点．第2步：计算函数f(x)在区间(a，b)内使f′(x)＝0的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．思考3如果函数f(x)在闭区间[a，b]上是单调函数，如何求其最值？提示：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上恰好是单调函数，那么函数的最值恰好在两个端点处取到．当f(x)在闭区间[a，b]上递增时，f(a)是最小值，f(b)是最大值；当f(x)在闭区间[a，b]上递减时，f(a)是最大值，f(b)是最小值．点拨函数f(x)在开区间上最值的求法：如果要研究函数在开区间上的最值情况，那么就要与闭区间加以区别．由于是开区间，所以函数的最值不能在端点处取得，而只能在极值点处取得，当函数在开区间上只有一个极值时，这个极值也必然是最值．如果在无穷区间(－∞，＋∞)上函数只有一个极值，那么这个极值也就是最值．此外，还要注意研究函数值的变化趋势，必要时应画出函数的大致图象，结合图象分析函数的最值．。
人教版A版高中数学选修2-2：定积分的概念教学内容
求和:求出n个小矩形面积之和，作为曲边梯
n
形面积S的近似值，即S Sn i1
1 f i 1 n n
n
由 Sn
i 1
1 f i 1 n n
n
1
i
1
2
i1 n n
1
0
1
1
2
1
2
2
1
n
1
2
n n n n n n n
1 n3
n
1n2n
1
0.8
0.6
0.4
f(x) = x2
0.2
01
n
0.2
2 3 4 0.5 nn n
i 1 i nn
f (i 1) n
1 n
A
1
f(i) n
f (i 1) n
f(i) n
1 n
1 n
1.5
2
0.4
1.4
以第一种方1.2法为例，可把曲边梯形分割成n个小矩形
1
0.8
0.6
0.4
f(x) = x2
0.2
0
0.5
1
0.2
当分割的小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之 1.4
和与曲边梯形的面积有什么关系
1.2
1
0.8
0.6
n = 10.00
0.4
f(x) = x2
0.2
0
0.5
1
0.2
当分割的1.4小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之 和与曲边梯形的面积有什么关系
1.2
1
0.8
0.6
n = 20.00
即S
高中数学选修2-2定积分在物理中的应用课件
4、 一圆柱形蓄水池高为5米，底半径为3米，底半径为3米，池内盛满了水全部吸出，需作多少功？
解：建立坐标系如图
取x为积分变量，x [0,5]
取任一小区间[ x, x dx],
这一薄层水的重力为 9.8 32 dx
功元素为 dw 88.2 x dx,
5
w 0 88.2 x dx
88.2
所对应的薄层的体积用圆柱体体积代替,得到
0 x
x dx
Ry
x
新知探究
dV = πy2dx = π(R2 - x2 )dx.
由于将这一薄层水吸出是这一薄层水的重力在作功，设水的比重为 γ = 1, 所以功的元素为
dW = γπx(R2 - x2 )dx
(3) 求定积分：将满池水全部抽出所作的功为
W = R γπx(R2 - x2 )dx = π R x(R2 - x2 )dx = π R4
答：克服弹力所作的功为
. 1 kl2(J) 2
Q
l
F
新知探究
万有引力定律
两个质量分别为 m1 , m2 ，相距为 r 的质点间的引力
F
k
m1m2 r2
若要计算一细长杆对一质点的引力，此时由于细杆上各点与质点的距离是变化的，所以不能直接 利用上述公式计算.
新知探究
例3
设有一长为 l 质量为 M 的均匀细杆，另有一质量为 m 的质点和杆在一条直线上，它到杆
人教版高中数学选修2-2
第1章 导数及其应用
定积分在物理中的应用
课前导入
定积分的物理应用包括作功、水压力和引力等问题。本节仅给出作功、水压力和引力问题的例子. 定积分的物理应用包括变速直线运动作功、水压力和引力等.本节仅给出变速直线运动作功、水 压力和引力问题的例子.
高中数学：4.1.2定积分(一)教案(北师大选修2-2)
定积分1.复习不定积分的观点.2.讲解新课2.1 两个引例引例 1曲边梯形的面积由连续曲线y f ( x) （ f x0 ）和 x a, x b 及 y 0围成的平面图形AabB 称为曲边梯形（如图5-1 ）．因为曲边梯形在底边上各点处的高 f ( x) 在区间a,b 上是不停变化的，因此它的面积不可以由公式A底×高求得 . 为了计算曲边梯形的面积，我们能够先将它切割成若干个小曲边梯形，在小曲边梯形中 f ( x) 的变化很小，能够用相应的小矩形近似取代，用全部小矩形的面积之和近似代替整个曲边梯形的面积. 明显，切割的越细，近似程度就越高，当无穷细分时，全部小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精准值.依据以上剖析，我们按下边的方法求曲边梯形的面积.设函数 f (x) 在区间a, b 上连续，且 f x0 .在 [ a, b] 上任取n 1 个内分点：a x0 x1 x2x n 1x nb ，将区间 a, b切割为 n 个小区间:图 1[ x0 , x1],[ x1, x2 ], K ,[ x n 1 , x n ] ，记每一小区间长度为i i i 1 ，过分点x i (i1,2, , n)作 x 轴的垂线，将曲边梯形x x xAabB 分割为n个小曲边梯形；设A i表示第i个小曲边梯形的面积，则曲边梯形AabB AabB 的面积为A n. 在每个小区间x i , x i 1i，以 x i为底边，A i上随意取一点k1f ( i ) 为高作小矩形，则小矩形的面积为 f ( i ) x i，当x i很小时，有A i f (i ) xi( i 1,2,L, n )若分点越多，x i就越小，上式的近似程度就越高，小矩形的面积总和也就越靠近于曲边梯形AabB 的面积.即nA f i x i，i1此为曲边梯形面积的近似值．若用max{x i} 来表示全部小区间中的最大区间长度，当分1i a点数无穷增大且趋于零时，该近似值就趋近于曲边梯形AabB 的面积 A ，即nnA A i.lim f i x ik10i 1n我们把极限 lim f i x i称之为曲边梯形的面积．0i 1引例 2 变速直线运动的行程设质点运动的速度函数v v t是连续变化的且大于零，考虑从时辰 a 到时辰b所走过的行程 s ．我们仍旧采纳切割的方法：（ 1 ）用分点：a t0t1 t2tn 1t n b 将时间区间 [a, b] 分红 n 个小区间:t i 1 ,t i(i 1,2,,n) ，每个小区间的长度记为t i t i t i 1 (i 1,2,, n) ．（ 2）近似取代：在每一时间区间内任取一时辰i，则质点在该时间区间走过的行程近似为s i v i t i，(i1,2,, n)（ 3）乞降：将每个时间区间上质点所经过的行程的近似值累加起来，就获得时间区间[a,b] 上质点所经过的行程s 的近似值，即n ns s i v i t ii 1i 1（4）取极限：当分点无穷增添时，记小区间最大的一个长度为max{t i } ，当1 i an时，则和式v i t i的极限就是质点从时辰 a 到时辰 b 的行程，即i 1ns lim0i 1vit i定积分的定义以上两个例子的实质意义不一样，但办理问题的思想方法是同样的，最后所获得的结果都归纳为乞降式的极限. 数学大将这种和式的极限称作为定积分.定义1设函数 f (x)在 [a, b]上有定义，任取分点a x0x1x2x n 1x n b将 [ a, b]分红n 个小区间[ x i1, x i ](i1,2,., n) ，记x i x i x i 1(i1,2,., n)为区间长度，max{ x i } ，并在每个小区间上任取一点i ( x i 1 i x i ) ，得出乘积 f ( i ) x i1 i a的和式nf ( i )x ii 1若0 时，和式的极限存在，且此极限值与区间[a, b]的分法及点i的取法没关，则f ( x) 在 [ a, b] 上的定积分，记为b称这个极限值为函数 f ( x)dx ，即ab na f (x)dx limf (i ) x i.(1)0i 1这里 f ( x) 称为被积函数， f ( x)dx 称为被积表达式，x 叫积分变量， [ a,b] 叫积分区间，a 称为积分下限，b称为积分上限.若 f (x) 在a,b上的定积分存在，则说 f ( x) 在 [ a, b]上可积 .A b依据定义，在上述例中的曲边梯形的面积用定积分能够表示为 f (x)dx ；变速as b直线运动的质点的行程能够表为：v(t )dt .a对于定积分的定义，有以下说明：(1)定积分的值只与被积函数、积分区间相关，与积分变量的符号没关. 即b bf (t )dt b f ( x)dxa f (u)du .a a(2) 定义中要求a b ，若 a b 、 a b 时有以下规定：当 a b 时，b af ( x) f ( x) ，a b即交换定积分的上、下限，定积分要变号.当 a b 时，a0.f ( x)dxa在如何的条件下， f ( x) 在a,b上的定积分必定存在呢？有下边的定理：定理 1假如 f ( x) 在a, b上连续，则 f ( x) 在a, b上可积.定理 2假如 f ( x) 在a, b上有界，且只有有限个中断点，则 f ( x) 在a, b上可积.由此可知，初等函数在其定义区间内都是可积的.定积分的几何意义在议论曲边梯形面积时，假设 f x 0 ，曲边梯形的图形在x 轴的上方，则积分值是正bf ( x)dx A 0 ；的，即ab A ；若 f x0 ，图形在 x 轴的下方，则积分值是负的，即 f x dxa( )nx i若 f x在 [a,b] 上有正有负时，则积分值就表示曲线lim f ( i )0i 1y f x在 x 轴上方和 x 轴下方的面积的代数和.如图 2所示 .例 1用定积分表示图中暗影部分的面积.解 (1)2x2 dx ；(2)A1A 1 x2 dx .图 211图 2图 3图 4例 2利用定积分的几何意义，说明22 的建立．xdx2y x x2，y0 围解的几何意义是由曲线，成的图形的面积S ，如图5-5所示，求得面积为S2，故20xdx 2．定积分的性质设 f x 、 g x 在 a, b 区间上可积，则依据定义可推证定积分有以下的性质：图 5性质 1b ba . 1dx dx ba a性质 2常数因子可直接提到积分符号前方.b bkf (x)dx k f (x)dx .a a性质 3代数和的积分等于积分的代数和，即b b b[ f ( x) g( x）]dxf ( x)dx g( x) dx .a a a这一结论能够推行到有限多个函数代数和的状况.性质 4对随意的点 c ，有b c ba f ( x)dxf ( x) dxf (x)dx .ac这一性质称为定积分的可加性，不论ca, b 仍是 ca,b ，性质均建立假如在 a,b 上有 fxgb f ( x)dxb性质 5x ，则g ( x)dx .aa 特别地，当 fx0 时，bf ( x)dx 0 . a性质 6 （估值定理）若函数f x 在区间 a,b上的最大值与最小值分别为M 和 m ，则m(b a)bM (b a) .f (x)dxa这是因为 mf ( x)bmdxbf ( x) dxbM ，由性质 5得a Mdx ，再由性质 1 和性质aa2 即可得结论 .性质 7( 积分中值定理 )设 f (x) 在闭区间a,b 上连续，则起码存在一点a,b ，bf b a .使f (x)dxa其几何意义是：设 f x0 ，则由曲线 y f ( x) ，直线 x a, x b 及 x 轴所围成的曲边梯形面积等于以区间[ a,b] 为底，以 f ( ) 为高的矩形abcd 的面积 ( 如图 6 所示 ). 我们称f ( )1bx 在 a, b 上的均匀值 .b f ( x)dx 为 fa ay f ( x)图 6例 3 比较以下各对积分值的大小：1x 2dx 与1 1 1(1)0xdx ； (2)10xdx 与5xdx .解 (1)0,1 上 x2x ，所以1 1 xdx .因为在x 2 dx0,1 上 10x5x，所以11 (2) 因为在10 xdx5x.例 43e xdx 的值．预计定积分1解因 f ( x)e x 是指数函数，由指数函数的性质知，f ( x) 在 [1,3] 上的最大值为 e 3 ，最小值为 e ，由性质６有e(31)3e3 (3 1），e x dx12e 32e3.即e x dx1小结定积分的观点（1）定积分的实质背景是解决已知变量的变化率，求它在某范围内的积累问题．经过“切割，局部以不变代变得微量近似，乞降得总量近似，取极限得精准总量”的一般解决过程，最后抽象获得定积分的观点．即b n． f ( x) dx limf (i ) x ia0i 1（ 2）据定积分的定义，在[ a，b] 上连续非负函数的定积分总表示由y=f ( x)， x=a， x=b与x 轴围成的单曲边梯形的面积，获得定积分b f ( x )dx的几何意义是由y=f ( x)，x=a x=ba，与 x 轴围成地区的代数面积．（3）定积分是一个数，不定积分是一个函数的原函数的全体．所以，定积分和不定积分是两个完整不一样的观点．4．部署作业（略）。
最新人教版高中数学选修2-2第一章《曲边梯形的面积》示范教案
1.5定积分的概念1．5.1曲边梯形的面积整体设计教材分析本节的主要内容是定积分的引入、定积分的定义和几何意义、定积分的基本性质．教科书在对两类典型问题——求曲边梯形的面积和求变速运动物体的位移进行详细讨论的基础上，抽象、概括出它们的共同本质特征，进而引入定积分的概念及其几何意义，最后给出定积分的基本性质．在本节的开头，教科书提出了如何计算平面“曲边图形”的面积、如何求变速直线运动物体的位移、如何求变力所作的功等问题，并猜测解决它们的基本思想方法，即将求“曲边图形”的面积转化为求“直边图形”的面积，利用匀速直线运动的知识解决变速直线运动的问题，从而引发学生学习定积分知识的兴趣．为了研究问题的方便，教科书在描述连续函数意义的基础上，将本节研究对象限定在连续函数的范围内．课时分配1课时．教学目标知识与技能目标通过探求曲边梯形的面积使学生了解定积分的实际背景，了解“以直代曲”“逼近”的思想方法，为理解定积分的概念及几何意义奠定基础．过程与方法目标理解求曲边梯形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法．情感、态度与价值观激发学生学习数学的兴趣，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．重点难点重点：了解定积分的基本思想——以直代曲、逼近的思想，初步掌握求曲边梯形面积的步骤．难点：理解对过程中所包含的基本的微积分思想——“以直代曲”．教学方法探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生探究讨论→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力．教具准备多媒体课件．教学过程引入新课1．我们学过如何求正方形、长方形、三角形等图形的面积，这些图形都是由直线段围成的．那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？比如山东省地图的面积．物理中，我们知道了匀速直线运动的时间、速度与路程的关系等，能否利用匀速直线运动的知识解决变速直线运动的问题？为此，我们需要学习新的数学知识——定积分．2．如果函数y＝f(x)在某一区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把函数y＝f(x)称为区间I上的连续函数(不加说明，下面研究的都是连续函数)．探究新知提出问题1：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线y＝f(x)的一段，我们把由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积呢？活动设计：学生先独立思考，必要时允许学生合作、讨论、交流．请同学提出自己的想法，只要切实可行即可．学情预测：学生可能想到下面的方法：方法(1)将图形放在网格纸上，也即将图形进行分割，看它有多少个“单位面积”．方法(2)将图形从里(或外)面用规则图形(或规则图形的组合)进行逼近．方法(3)将图形用一个正方形围住，然后随机地向正方形内投“点”(如豆子等)，当点数P足够大时，统计落入阴影图形中的点数A，则图形的面积与正方形面积的比约为A∶P.方法(4)将图形用一个正方形围住，均匀铺满细沙，分别称得正方形内沙重P、所求图形内沙重A，则图形的面积与正方形面积的比约为A∶P.活动成果：在众多方法中出现“分割”的思想．设计意图其中方法(1)、(2)蕴含积分的基本思想，方法(3)是随机模拟的方法，称为“蒙特卡罗方法”，方法(4)是伽利略测量摆线与直线围成的面积时所用的方法，也是统计学中常用的一种思想方法．根据学生反馈的情况有选择性地进行点评，提高学生的学习兴趣，并进一步筛选出本节所用的思想方法．提出问题2：图中阴影部分是由抛物线y＝x2，直线x＝1以及x轴所围成的平面图形，求它的面积S.提出问题3：曲边梯形与“直边图形”有何区别？能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求“直边图形”面积的问题？活动设计：学生先独立思考，必要时，允许合作讨论．教师巡视指导． 学情预测：学生的说法可能会有很多种，教师从中提炼本节的基本思想．活动结果：得出“曲边梯形”与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段，进一步引出“以直代曲”思想的应用，教师将各个学生或学习小组的图分别展示，然后让全班学生比较，选择适当的图形，以使近似计算简便、步骤简洁．最终师生达成一致意见，选定两种方案：不足近似与过剩近似．提出问题4：若采用“分割”法求曲边梯形的面积，应分割成多少个？活动结果：教师引导，学生探究．分割越多越好，分割越“细”，结果越精确．把区间[0,1]分成许多个小区间，进而把曲边梯形拆为一些小曲边梯形．对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确．当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S.也即：用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积．提出问题5：如何用数学的形式表达分割的几何图形越来越多？ 活动结果：教师引导学生得出“取极限”． 设计意图让学生体会极限思想的价值，尤其是在定积分中的作用． 提出问题6：求曲边梯形面积的步骤是什么？ 活动结果：教师引导学生梳理步骤： (1)分割在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个点，将区间[0,1]等分成n 个小区间： [0，1n ]，[1n ，2n ]，…，[n －1n，1]，记第i 个区间为[i －1n ，i n ](i ＝1,2，…，n)，其长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n.分别过上述n －1个分点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n .显然，S ＝i ＝1n ΔS i .(2)近似代替记f(x)＝x 2.如图(1)所示，当n 很大，即Δx 很小时，在区间[i －1n ，in ]上，可以认为函数f(x)＝x 2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点i －1n处的函数值f(i －1n)．从图形上看，就是用平行于x 轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边(如图(2))．这样，在区间[i －1n ，in ]上，用小矩形的面积ΔS i ′近似地代替ΔS i ，即在局部小范围内“以直代曲”，则有(1)(2)ΔS i ≈ΔS i ′＝f(i －1n )·Δx ＝(i －1n )2·Δx ＝(i －1n )2·1n (i ＝1,2，…，n)．①(3)求和由①，图(2)中阴影部分的面积S n 为 ΔS n ＝i ＝1n ΔS i ′＝∑i ＝1nf(i －1n )·Δx ＝i ＝1n (i －1n )2·1n＝0·1n ＋(1n )2·1n ＋…＋(n －1n )2·1n ＝1n 3[12＋22＋…＋(n －1)2]＝1n 3(n －1)n (2n －1)6＝13(1－1n )(1－12n)． 从而得到S 的近似值S ≈S n ＝13(1－1n )(1－12n)．(4)取极限分别将区间[0,1]等分成8,16,20，…等份(如图(3))，可以看到，当n 趋向于无穷大，即Δx 趋向于0时，S n ＝13(1－1n )(1－12n)趋向于S ，从而有S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞∑i ＝1n f(i －1n )·1n ＝lim n →∞ 13(1－1n )(1－12n )＝13.(3)我们还可以从数值上看出这一变化趋势：提出问题7：在“近似代替”中，如果认为函数f(x)在区间[i －1n ，in ]上的值近似地等于右端点i n 处的函数值f(i n )，用这种方法能求出S 的值吗？若能求出，这个值也是13吗？如果不是在区间的两个端点取，而是在每一个区间中间取任意一点作为高，会有怎样的结果？ 学情预测：学生的说法可能会有多种，对此再组织学生交流讨论． 设计意图认识“有限”和“极限”的区别，并进一步认识所得极限值和面积的关系． 归纳总结：求曲边梯形面积的四个步骤：第一步：分割．在区间[a ，b]等间隔地插入n －1个点，将它们等分成n 个小区间[x i －1，x i ](i ＝1,2，…，n)，区间[x i －1，x i ]的长度Δx i ＝x i －x i －1.第二步：近似代替，“以直代曲”．用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．第三步：求和． 第四步：取极限． 理解新知1．根据以上步骤，求曲边梯形面积的流程图为：分割→近似代替→求和→取极限.利用这种方法可以解决任意封闭图形的面积问题． 2．最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值． 运用新知1求y ＝2x －x 2，y ＝0,0≤x ≤2所围成的曲边梯形面积． 解：(1)分割在区间[0,2]上等间隔地插入n －1个点，将区间[0,2]等分成n 个小区间： [0，2n ]，[2n ，4n ]，…，[2(n －1)n，2]．记第i 个区间为[2(i －1)n ，2i n ](i ＝1,2，…，n)，其长度为Δx ＝2i n －2(i －1)n ＝2n.分别过上述n －1个分点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n .显然，S ＝1nii S=∆∑.(2)近似代替∵y ＝2x －x 2，当n 很大，即Δx 很小时，在区间[2(i －1)n ，2in ](i ＝1,2，…，n)上，可以认为函数y ＝2x －x 2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点2(i －1)n 处的函数值2[2(i －1)n ]－[2(i －1)n ]2.这样，在区间[2(i －1)n ，2in ]上，用小矩形的面积ΔS i ′近似地代替ΔS i ，即在局部小范围内“以直代曲”，则有ΔS i ≈ΔS i ′＝{2[2(i －1)n ]－[2(i －1)n ]2}·Δx ＝{2[2(i －1)n ]－[2(i －1)n ]2}·2n .①(3)求和由①，右上图中阴影部分的面积S n 为S n ＝1ni i S =∆∑′＝∑i ＝1n{2[2(i －1)n ]－[2(i －1)n ]2}·2n＝∑i ＝1n4·i －1n ·(1－i －1n )·2n ＝8n 3∑i ＝1n [n(i －1)－(i －1)2]＝8n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]－8n3[12＋22＋…＋(n －1)2]＝8n 2n (n －1)2－8n 3(n －1)n (2n －1)6.从而得到S 的近似值S ≈S n ＝8n 2n (n －1)2－8n 3(n －1)n (2n －1)6.(4)取极限S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞∑i ＝1n[8n 2n (n －1)2－8n 3(n －1)n (2n －1)6]＝43.点评：巩固求曲边梯形面积的方法，通过学生熟悉的函数模型构造曲边梯形，体会方法步骤的“程序化”及解题思路“四步曲”．巩固练习求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积S. 答案：S ＝83.点评：规范步骤，注意计算过程． 变练演编1．直线x ＝1，x ＝__________，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积为21. 2．已知f(x)＝__________，求直线x ＝1，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．(选择一个你熟悉的函数填上，并试求其结果)答案：1.4 2.答案略．点评：1.训练逆向思维，进一步熟练解题步骤．2．有选择性地选取学生所提出的熟知的函数进行训练．设置本组问题，意在增加问题的多样性、趣味性、探索性和挑战性，训练学生思维的发散性、收敛性、灵活性和逆向性，长期坚持，学生不仅会加深对数学的理解、掌握，而且会潜移默化地学会编题、解题．达标检测 1．求由曲线y ＝x ，x ＝1以及x 轴所围成曲边梯形的面积S.2．设直线x ＝0，x ＝π，y ＝0与曲线y ＝sinx 所围成的曲边梯形的面积为S ，直线x ＝0，x ＝－π，y ＝0与曲线y ＝sinx 所围成的曲边梯形的面积为T ，则S 与T 的大小关系为__________．3．直线x ＝0，y ＝2与曲线y ＝2x 所围成的曲边梯形的面积为S ，直线y ＝0，x ＝2与曲线y ＝log 2x 所围成的曲边梯形的面积为T ，则S 与T 的大小关系为__________．答案：1.S ＝23.2.S ＝T 3.S ＝T课堂小结知识整理，形成系统(由学生归纳，教师完善)．1．知识收获：求曲边梯形面积的步骤：分割→近似代替→求和→取极限. 2．方法收获：“以直代曲”“逼近”的方法． 3．思维收获：近似代替的思想，极限的思想． 布置作业补充练习1,2题． 补充练习 基础练习1．曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成的曲边梯形的面积为__________． 2.求直线y ＝0，x ＝2与曲线y ＝x 2－1所围成的曲边梯形的面积． 答案：1.13 2.43.拓展练习3．求直线y ＝x ＋3与曲线y ＝x 2－2x ＋3所围成的曲边梯形的面积． 答案：92.设计说明本节课的设计以实际问题为背景，让学生观察探究、合作交流讨论，让探究式教学走进课堂，唤醒学生的主体意识，增强学生的主动性，让学生在参与中学会学习、合作、创新，并体会数学的实际应用价值．学生对图形的感受与认知，比对单纯的数学问题及数学运算要容易理解和接受．通过“数形结合”，加以理性的思考、探索和创新，认识并掌握求曲边梯形面积的问题，为下一节定积分的引出做好充分的准备．在教材的处理上，大胆创新，根据求曲边梯形面积的步骤方法，结合学生的认知能力和思维习惯进行引导，“四步曲”简单明了，便于学生掌握．师生共同探索，整个过程以学生探究为主，使其体会探索的乐趣和数学的“力量”．针对课本题目较少的特点，例题和练习的设计遵循由浅入深、循序渐进的原则，低起点，多角度，多层次地认识曲边梯形的面积，多梯度地进行求面积的训练，照顾到各个层次的学生，目的是强化基本技能的训练和基本知识的灵活运用．(设计者：韩辉杰)。
人教课标版高中数学选修2-2：《曲边梯形的面积》教案-新版
第一章导数及其应用曲边梯形的面积一、教学目标1．核心素养通过定积分的概念的学习，提升分析问题、解决问题的能力、抽象概括能力和逻辑思维能力.2．学习目标（1）通过求曲边梯形的面积，了解定积分的实际背景．（2）通过求变速直线运动的路程，了解定积分的实际背景．3．学习重点“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.4．学习难点“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务预习教材P2—P4,完成P6相应练习题2．预习自测1．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[x i，x i＋1]上的近似值等于（）A．只能是左端点的函数值f(x i)B．只能是右端点的函数值f(x i＋1)C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[x i，x i＋1])D．以上答案均不正确答案：C答案：D3．直线x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )(f (x )>0)所围成的曲边梯形的面积S ＝（ ） A ．∑i ＝1n f (ξi )·1nB ．lim n →∞∑i ＝1nf (ξ1)·1nC ．∑i ＝1n f (ξi )·b －anD ．lim n →∞∑i ＝1nb －an ·f (ξi )答案：D （二）课堂设计 1．知识回顾本节可能会用到的数学公式： （1）211(1)(21)6ni i n n n ==++∑；（2）231(1)2ni n n i =+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑； （3）11101110lim k k k k kk k n k k k a n a n a n a a b b n b nb n b ---→∞-⋅++++=⋅++++（其中i a ，i b 为常数，0,1,,i k =）.2．问题探究问题探究一：求曲边梯形的面积 曲边梯形的概念：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()=的一段，我们把由直y f x线,(),0==≠=和曲线()x a x b a b y=所围成的图形称为曲边梯形．y f x如何求2x=所围成的平面图形面积S？=与0y xy=及1活动1：请讨论：如何分割？以下几种分割方法，哪种最合适？（1）竖向分割（2）横向分割（3）随意分割分析发现，竖向分割更容易求面积.活动2：请讨论：分割多少份合适？分析发现分割的越多，误差越小，为了便于计算，引导学生会利用n控制分割的份数，把[0,1]分割成n等份.活动3：以什么样的直边图形近似代替小曲边梯形？ 展示部分近似代替的方案：（1） （2） （3）矩形 矩形 梯形 不足 过剩 代替分割后，转化成n 个曲边梯形，利用直边图形代替，合作交流后确定方案，即以矩形不足或矩形过剩计算较为方便.活动4：如何用n 的式子表示直边图形面积的和？ 展示学习小组部分计算结果：（1）以方案（1）计算：)211)(11(311n n S --=（2）以方案（2）计算：)211)(11(312n n S ++=（3）以方案（3）计算：)211(3123nS +=通过分割、近似代替两步以后，进行求和，根据不同的方案计算出不同的面积和，发现每一种和结果的代数式子不一样，为后面引入极限做个铺垫. 活动5：请讨论：对控制变量n 怎样理解，面积S 变化趋势怎样？ (1)几何画板演示，21,S S 随变量n 变大，它们的变化趋势. （2）取极限：（1）当+∞→n 时，31)211)(11(311→--=n n S（2）当+∞→n 时，31)211)(11(312→++=n n S结论：以上三种方案得到的面积都是用n 表示的表达式，而曲边梯形的面积应该是一个常数，如何确定这个常数，已经知道分割的份数越多，误差就越小，利用前面导数的概念，可以确定当n 趋近于无穷大时，21,S S 趋近于一个常数，这个常数就是该图形面积的值，体现了无限逼近的思想方法，极限的含义. 活动6：在求小矩形的面积时，我们提到了可以取2)(x x f =在区间],1[nin i -上任意一点i ξ处的值)(i f ξ作为小矩形的高，会有怎样的结果？1111lim ()lim ()3nni i x n i i S f x f n ξξ∆→→∞===∆==∑∑例1：求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积 【知识点：曲边梯形面积】 解:令f (x )＝x 2. (1)分割将区间[0,2]n 等分，分点依次为x 0＝0，x 1＝2n ，x 2＝4n，…，x n －1＝2（n －1）n ，x n ＝2.第i 个区间为[2i －2n ，2i n ](i ＝1,2，…，n )，每个区间长度为Δx ＝2i n －2i －2n ＝2n . (2)近似代替、求和，取ξi ＝2in (i ＝1,2，…，n )，S n ＝∑ni ＝1f (2i n )·Δx ＝∑n i ＝1 (2i n )2·2n ＝8n 3∑n i ＝1i 2＝8n 3(12＋22＋…＋n 2)＝8n 3·n （n ＋1）(2n ＋1)6＝43(2＋3n ＋1n 2)．(3)取极限S ＝li m n →∞S n ＝li m n →∞ 43(2＋3n ＋1n 2)＝83， 即所求曲边梯形的面积为83. 点拨：求曲边梯形面积的步骤①分割：把区间[a ，b ]等分成n 个小区间；（如下图1）②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值（如下图2）；③求和：计算出n 个小矩形的面积之和S n ，S n 即为曲边梯形面积的近似值； ④取极限：求lim n n S S →+∞=（S 即为曲边梯形的面积）问题探究二、如何求汽车行驶的路程？活动一：汽车以速度v 作匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程为S vt =．如果汽车作变速直线运动，在时刻t 的速度为()22v t t =-+（单位：km /h ），那么它在0≤t ≤1(单位：h )这段时间内行驶的路程S （单位：km ）是多少？分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题．把区间[]0,1分成n 个小区间，在每个小区间上，由于()v t 的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得S （单位：km ）的近似值，最后让n 趋紧于无穷大就得到S （单位：km ）的精确值． 解：1．分割在时间区间[]0,1上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间：10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 记第i 个区间为1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其长度为11i i t n n n-∆=-=.把汽车在时间段10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上行驶的路程分别记作：1S ∆，2S ∆，…，n S ∆，显然，1ni i S S ==∆∑图 1 图2（2）近似代替当n 很大，即t ∆很小时，在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，可以认为函数()22v t t =-+的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点1i n-处的函数值2112i i v n n --⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从物理意义上看，即使汽车在时间段1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻1i n-处的速度2112i i v n n --⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭作匀速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是用小矩形的面积i S '∆近似的代替i S ∆，即在局部范围内“以直代取”，则有21112i i i i S S v t n n n ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'∆≈∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2112(1,2,,)i i n n n n -⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭ ①（3）求和由①，21111112nnn n i i i i i i S S v t n n n n ===⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'=∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑ =221111102n n n n n n-⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()222311212n n ⎡⎤-+++-+⎣⎦=()()3121126n n n n ---+=11111232n n ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭从而得到S 的近似值 11111232n S S n n ⎛⎫⎛⎫≈=---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（4）取极限当n 趋向于无穷大时，即t ∆趋向于0时，11111232n S n n ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭趋向于S ，从而有1111115lim lim lim 112323nn n n n i i S S v nn n n →∞→∞→∞=-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===---+= ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑点拨：本题所用数学思想为化归，即用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）．活动二：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S 与由直线0,1,0t t v ===和曲线22v t =-+所围成的曲边梯形的面积有什么关系？ 汽车行驶的路程在数值上等于由直线0,1,0t t v ===和曲线22v t =-+所围成的曲边梯形的面积.一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为()v v t =，那么我们也可采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a t b ≤≤内所作的位移s . 3．课堂总结 【知识梳理】求曲边梯形面积的步骤①分割：把区间[a ，b ]等分成n 个小区间；（如下图1）②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值（如下图2）；③求和：计算出n 个小矩形的面积之和n S ，n S 即为曲边梯形面积的近似值；④取极限：求lim n n S S →+∞=（S 即为曲边梯形的面积）. 【重难点突破】1.求曲边梯形面积 “近似代替”中，取任意一点1ξ代替求出的最终的曲边梯形面积均是同一个常数.2.求曲边梯形面积与求变速直线运动的物体的路程的本质是一样的，都采用分割、近似代替、求和、取极限的步骤求解. 4．随堂检测1．直线x ＝0、x ＝2、y ＝0与曲线y ＝x 2所围成曲边梯形的面积是_______． 答案：见解析解析：【知识点：曲边梯形的面积；】图 1图2将区间[0,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为2(1)2[,]i in n-. 第i 个小区间的面积2(1)2i i S f n n-⎛⎫∆=⋅ ⎪⎝⎭，所以2223321112(1)4(1)(1)(21)4(1)(21)2288(1)63nn nn i i i i i n n n n n S f i n n n nn n n ===------⎛⎫=⋅==-=⋅=⎪⎝⎭∑∑∑故24(1)(21)4118limlim lim[(1)(2)]333n n n n n n S S n n n→∞→∞→∞--===--= ∴所求曲边梯形面积为83.2．已知汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度(单位：km /h )为v (t )＝t 2＋2，那么它在1≤t ≤2(单位：h )这段时间行驶的路程为多少？ 答案：这段时间行驶的路程为133km . 解析：【知识点：变速直线运动的路程；】222311)[12(1)]n n n++-++++-（三）课后作业 基础型 自主突破 1．函数2()f x x =在区间1[,]i in n-上（ ）A ．()f x 的值变化很小B ．()f x 的值变化很大C ．()f x 的值不变化D ．当n 很大时，()f x 的值变化很小 答案：D解析：【知识点：定积分；】2．在求由抛物线y ＝x 2＋6与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个区间为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n C ．[i －1，i ] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i n ，i ＋1n 答案：B解析：【知识点：定积分；】在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个点，将它等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，n ＋1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋1n ，n ＋2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n －1n ，2，所以第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1,2，…，n )． 3.若做变速直线运动的物体v (t )＝t 2在0≤t ≤a 内经过的路程为9，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：C解析：【知识点：定积分；】将区间[0，a ]n 等分，记第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a (i －1)n ，ai n (i ＝1,2，…，n )，此区间长为a n ，用小矩形面积⎝ ⎛⎭⎪⎫ai n 2· a n近似代替相应的小曲边梯形的面积，则∑n i ＝1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫ai n 2·an ＝a 3n 3·(12＋22＋…＋n 2)＝a 33⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n 近似地等于速度曲线v (t )＝t 2与直线t ＝0，t ＝a ，t 轴围成的曲边梯形的面积．依题意得lim n →∞ a 33⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＝9， ∴a 33＝9，解得a ＝3．4．汽车以v ＝(3t ＋2) m /s 作变速直线运动时，在第1 s 到第2 s 间的1 s 内经过的路程是________． 答案：6.5解析：【知识点：变速直线运动的路程；】将[1,2]n 等分，并取每个小区间左端点的速度近似代替，则Δt ＝1n ，v (ξi )＝v (1＋i －1n )＝3(1＋i －1n )＋2＝3n (i －1)＋5.∴s n ＝∑ni ＝1[3n (i －1)＋5]·1n ＝{3n [0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5n }·1n ＝3n 2·n (n －1)2＋5＝32(1－1n )＋5.∴s ＝li m n →∞s n ＝32＋5＝6.5. 5．求抛物线f (x )＝1＋x 2与直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成的平面图形的面积S . 答案：43解析：【知识点：求曲边梯形的面积；】(1)分割：把区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )其长度Δx ＝1n ，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，其面积分别记为ΔS i (i ＝1,2，…，n )． (2)近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积．ΔS i ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫i －1n ·Δx ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n (i ＝1,2，…，n )． (3)求和：∑i ＝1nΔS i ＝∑i ＝1n1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2.(4)取极限：S ＝li m n →∞∑i ＝1n1n ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2＝1＋li m n →∞∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n ＝1＋li m n →∞ 13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＝1＋13＝43.6．已知一物体做变速直线运动，其瞬时速度是v (t )＝2t (单位：m /s )，求该物体在出发后从t ＝1 s 到t ＝5 s 这4 s 内所经过的位移． 答案：24m.解析：【知识点：变速直线运动的路程；】(1)分割：把时间段[1,5]分成n 等份，分点依次是：1，1＋4n ，1＋8n ，…，1＋n －1n ·4,5，每个小区间的长度Δx ＝4n .(2)近似代替：在时间的小区间段，以匀速来代替变速，故在每一小时间段内，经过的位移Δs i ≈Δs ′i ＝v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4i n ·4n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋8i n ·4n，其中i ＝1,2，…，n . (3)求和：所求的位移s ≈s n ＝∑i ＝1nΔs ′i ＝4n ∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋8i n ＝8＋32n 2·n (n ＋1)2＝8＋16·n ＋1n ＝8＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n . (4)取极限：当分割无限变细，即4n 趋向于0(亦即n 趋向于＋∞)时，s n 趋向于所求位移s ，从而有s ＝li m n →＋∞s n ＝li m n →＋∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤8＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝8＋16＝24， 即所求物体经过的位移是24m . 能力型 师生共研7．lim n →∞∑i ＝1n[(15i n )·(5n )]的含义可以是（ ） A ．求由直线x ＝1，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积 B ．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0，y ＝15x 围成的图形的面积 C ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积 D ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0及曲线y ＝5x 围成的图形的面积答案：C解析：【知识点：曲边梯形的面积；】将区间[0,5]n 等分，则每一区间的长度为5n ，各区间右端点对应函数值为y ＝15in ，因此∑i ＝1n[(15i n )·(5n )]可以表示由直线x ＝0、x ＝5、y ＝0和y ＝3x 围成的图形的面积的近似值．8．由直线x ＝0、x ＝1、y ＝0和曲线y ＝x 2＋2x 围成的图形的面积为________． 答案：43解析：【知识点：曲边梯形的面积；】将区间[0,1]n 等分，每个区间长度为1n ，区间右端点函数值y ＝(i n )2＋2·i n ＝i 2n 2＋2in .作和∑i ＝1n[(i 2n 2＋2i n )1n ]＝∑i ＝1n (i 2n 3＋2i n 2)＝1n 3∑i ＝1n i 2＋2n 2∑i ＝1n i ＝1n 3×16n (n ＋1)(2n ＋1)＋222(1)(1)(21)126n n n n n n n n ++++⋅=+8n 2＋9n ＋16n 2，∴所求面积S ＝lim n →∞ 8n 2＋9n ＋16n 2＝lim n →∞ (43＋32n ＋16n 2)＝43. 9．设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式I n ＝∑i ＝1nf (ξi )Δx (其中Δx 为小区间的长度)，那么I n 的大小( )A ．与f (x )和区间[a ，b ]有关，与分点的个数n 和ξi 的取法无关B ．与f (x )、区间[a ，b ]和分点个数n 有关，与ξi 的取法无关C ．与f (x )、区间[a ，b ]和ξi 的取法有关，与分点的个数n 无关D ．与f (x )、区间[a ，b ]、分点的个数n 、ξi 的取法都有关 答案：D解析：【知识点：定积分】10．求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积. 答案：83解析：【知识点：曲边梯形的面积；数学思想：以不变代变】 令f (x )＝x 2.(1)分割：将区间[0,2]n 等分，分点依次为x 0＝0，x 1＝2n ，x 2＝4n ，…，x n －1＝2(n －1)n ，x n ＝2.第i 个区间为[2i －2n ，2i n ](i ＝1,2，…，n )，每个区间长度为Δx ＝2i n －2i －2n ＝2n .(2)近似代替、求和，取ξi ＝2i n (i ＝1,2，…，n )，S n ＝∑n i ＝1f (2i n )·Δx ＝∑n i ＝1 (2i n )2·2n ＝8n 3∑ni ＝1i 2＝8n 3(12＋22＋…＋n 2)＝8n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＝43(2＋3n ＋1n 2)．(3)取极限S ＝li m n →∞S n ＝li m n →∞ 43(2＋3n ＋1n 2)＝83，即所求曲边梯形的面积为83. 探究型 多维突破11．设力F 作用在质点m 上使m 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F ＝x 2＋1且力的方向和x 轴正向相同，求F 对质点m 所作的功．. 答案：342.解析：【知识点：定积分；】将区间[1,10]n 等分，则各小区间的长度为9n ，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋9n (i －1)，1＋9n i 上取ξi ＝1＋9n i .∴F i ＝ξ2i ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋9n i 2＋1，∴W i ＝F i ·9n ＝9n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋9n i 2＋9n(i ＝1,2，…，n )． ∴W ＝li m n →∞∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤9n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋9n i 2＋9n ＝li m n →∞∑i ＝1n 9n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋18n i ＋81n 2i 2 ＝li m n →∞∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫18n ＋162n 2i ＋729n 3i 2＝li m n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤18＋162n 2·n (n ＋1)2＋729n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6 ＝18＋81＋243＝342. 故F 对质点所作的功为342. 自助餐1.求曲边梯形面积的四步曲中的第二步是( ) A ．分割B ．近似代替C ．求和D ．取极限 答案：B解析：【知识点：求曲边梯形的面积】2.在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1]D ．以上答案均正确 答案：C解析：【知识点：定积分】 3.和式∑10i ＝1 (x i －3)等于( ) A ．(x 1－3)＋(x 10－3) B ．x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10－3 C ．x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10－30 D ．(x 1－3)(x 2－3)(x 3－3)·…·(x 10－3) 答案：C解析：【知识点：和式的概念】∑10i ＝1(x i －3)＝(x 1－3)＋(x 2－3)＋(x 3－3)＋…＋(x 10－3)＝(x 1＋x 2＋…＋x 10)－30.4.对于由函数y ＝x 3和直线x ＝1，y ＝0围成的曲边梯形，把区间[0,1]三等分，则曲边梯形面积的近似值(每个ξi 取值均为小区间的左端点)是( ) A.19 B.125 C.127 D.130 答案：A解析：【知识点：求曲边梯形的面积】 S ＝0×13＋(13)3×13＋(23)3×13＝19.5.一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为（ ） A ．13 B ．12 C ．1 D ．32 答案：B解析：【知识点：变速直线运动的路程】 6.在等分区间的情况下，f (x )＝11＋x 2(x ∈[0,2])及x 轴所围成的曲边梯形的面积和式的极限形式正确的是( ) A ．li m n →∞∑i ＝1n⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋(i n )2·2n B ．li m n →∞∑i ＝1n⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋(2i n )2·2n C ．li m n →∞∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋i 2·1n D ．li m n →∞∑i ＝1n⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋(i n )2·n 答案:B解析：【知识点：求曲边梯形的面积】将区间n 等分后，每个小区间的长度为Δx ＝2n ，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n (i ＝1,2,3，…，n )，则由求曲边梯形的面积的步骤可得曲边梯形的面积和式的极限形式为li m n →∞∑i ＝1n⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋(2i n )2·2n . 7．把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间的长度均为________． 答案：见解析解析：【知识点：求曲边梯形的面积】区间[1,3]的长度为2，故n 等分后，每个小区间的长度均为2n .8．如果汽车做匀变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝t 2＋2(单位：km /h )，则该汽车在1≤t ≤2这段时间内行驶的路程可用一个平面图形的面积来表示，则围成该图形的直线和曲线分别是_____________________． 答案：见解析解析：【知识点：求曲边梯形的面积】围成该图形的直线和曲线分别是t ＝1，t ＝2，v ＝0，v ＝t 2＋2.9．已知某物体运动的速度为v ＝t ，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________． 答案：55解析：【知识点：变速直线运动的路程】把区间[0,10]10等分，每个小区间右端点处的函数值为n (n ＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.∴物体运动的路程近似值s ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.10.求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________. 答案：1.02解析：【知识点：求曲边梯形的面积】将区间5等分所得的小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，65，⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，75，⎣⎢⎡⎦⎥⎤75，85，⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，95，⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，2，于是所求平面图形的面积近似等于110⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3625＋4925＋6425＋8125＝110×25525＝1.02. 11．汽车以v ＝(3t ＋2) m /s 做变速直线运动时，求在第1 s 到第2 s 间的1 s 内经过的路程．答案：6.5解析：【知识点：变速直线运动的路程】将[1,2]n 等分，并取每个小区间左端点的速度近似代替，则 Δt ＝1n ，v (ξi )＝v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ＝3⎝⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ＋2＝3n (i －1)＋5. ∴s n ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3n (i －1)＋5·1n ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n [0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5n ·1n ＝3n 2·n (n －1)2＋5＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋5.∴s ＝li mn →∞s n ＝32＋5＝6.5. 12．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及曲线f (x )＝12x 2所围成的图形的面积． 答案：16解析：【知识点：求曲边梯形的面积】解：(1)分割：将区间[0,1]等分成n 个小区间：[0，1n ]，[1n ，2n ]，…，[i －1n ，i n ]，…，[n －1n ，1]．每个小区间的长度为Δx ＝1n .过各分点作x 轴的垂线，将曲边梯形分成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n .(2)近似代替：在区间[i －1n ，i n ]上，用i －1n 处的函数值12(i －1n )2作为高，以小区间的长度Δx ＝1n 作为底边长的小矩形的面积近似代替第i 个小曲边梯形的面积，即ΔS i ≈12(i －1n )2·1n .(3)求和：曲边梯形的面积为S n ＝∑i ＝1nΔS i ≈∑i ＝1n12(i －1n )2·1n ＝12n 3[12＋22＋…＋(n －1)2]＝12n 3·(n －1)n (2n ＋1)6＝112(1－1n )(2＋1n )．(4)取极限：S ＝li mn →∞S n ＝112×1×2＝16.∴所围图形的面积为16.。
定积分：定积分ppt全
(梯形公式)
为了提高精度, 还可建立更好的求积公式, 例如辛普森
公式, 复化求积公式等,
并有现成的数学软件可供调用.
三、定积分的性质
(设所列定积分都存在)
( k 为常数)
证:
= 右端
证: 当
时,
因
在
上可积 ,
所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 ,
于是
当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如
用直线
将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2) 常代变.
在第i 个窄曲边梯形上任取
作以
为底 ,
为高的小矩形,
并以此小
梯形面积近似代替相应
窄曲边梯形面积
得
3) 近似和.
4) 取极限.
令
则曲边梯形面积
2. 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动,
且
求在运动时间内物体所经过的路程 s.
解决步骤:
1) 大化小.
第五章
积分学
不定积分
定积分
定积分
第一节
一、定积分问题举例
二、 定积分的定义
三、 定积分的性质
定积分的概念及性质
第五章
一、定积分问题举例
1. 曲边梯形的面积
设曲边梯形是由连续曲线
以及两直线
所围成 ,
求其面积 A .
矩形面积
梯形面积
解决步骤 :
1) 大化小.
在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
积分中值定理对
因
例4.
计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均
速度.
解: 已知自由落体速度为
故所求平均速度
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第一章 1.5 1.5.1 曲边梯形的面积
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值的变化逐渐缩小，当 n 很大时，f(x)的值变化很小． 答案：D
自 测 自 评
i－1 i 2． 当 n 很大时， 函数 f(x)＝x 在区间 ，n上的值可 n
2
以用下列哪个值近似代替(
1 A ．f n 2 B．f n
)
i C．f n
2 y ＝ x ，x≥0， 由 得交点为(2,4)， y＝4， 2
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跟 踪 训 练
如图所示，先求由直线 x＝2，y＝0 和曲线 y＝x2 围成的曲边梯形的面积．
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跟 踪 训 练
2 (1)分割：将区间[0,2]n 等分，则 Δx＝n， 取小矩形的
2i－1 . 高为 f n
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nn＋1
2
；1 ＋2 ＋3 ＋„＋n ＝
2
2
2
2
nn 训 练
2． 求由抛物线 y＝x2 与直线 y＝4 所围成的曲边梯形的面积．
解析：因为 y＝x2 为偶函数，图象关于 y 轴对称， 所以所求曲边梯形的面积应为抛物线 y＝x (x≥0)与 直线 x＝0，y＝4 所围图形面积 S 的 2 倍，下面求阴 影部分的面积 S.
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自 测 自 评
i－1 i 1．函数 f(x)＝x 在区间 ，n上( n
2
)
A．f(x)的值变化很小 B．f(x)的值变化很大 C．f(x)的值不变化 D．当 n 很大时，f(x)的值变化很小
i－1 i 解析：函数 f(x)＝x 在区间 ，n上，随着 n 的增大，f(x)的 n
第一章
导数及其应用
1．5 定积分的概念 1．5.1 曲边梯形的面积
数学：1.4.1《曲边梯形面积与定积分》同步练习(2)(新人教B版选修2-2)
曲边梯形面积与定积分一、选择题1．给出如下命题： ①abbadx dt b a ==-⎰⎰（a b ，为常数且a b <）；②π4-==⎰⎰； ③曲线sin y x =，[02π]x ∈，，与直线0y =围成的两个封闭区域的面积之和为2． 其中真命题的个数为（ ） Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3答案：Ｂ 2．3204x dx -⎰等于（ ）Ａ．213Ｂ．223Ｃ．233Ｄ．253答案：Ｃ3．若某产品一天内的产量是时间t 的函数，若已知产量的变化率为a =第3小时到第6小时期间内的产量为（ ）Ａ．12Ｂ．32-Ｃ．6+Ｄ．6-答案：Ｄ 4．0(sin cos sin )xy t t dt α=+⎰，则y 的最大值是（ ）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．72-Ｄ．0答案：Ｂ 二、填空题5．若()f x 是一次函数，且1()5f x dx =⎰，1017()6x fx dx =⎰，那么21()f x dx x⎰的值是． 答案：43ln 2+6．物体按照规律24(m)x t =做直线运动，设介质的阻力与速度成正比，且速度等于10m/s 时，阻力为2N ，则物体从0x =到2x =阻力所做的功等于．答案：J 15-三、解答题7．在曲线2(0)y x x =≥上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成图形的面积为112，试求： （1）切点A 的坐标；（2）过切点A 的切线方程．解：（1）设切点200()A x x ，，切线斜率为002x x k y x ='==，∴切线方程为2002()y x x x x -=-，令0y =，得02x x =．00222320000211[(2)]1212x x x s x dx x x x x dx x ∴=+--==⎰⎰，解得01x =，∴切点A 的坐标为(11)，；（2）将(11)A ，代入切线方程，得12(1)y x -=-， 整理，得21y x =-． 即所求切线方程为21y x =-．8．已知质量为m 的物体，将该物体发射升空脱离地球，求证：物体脱离地球时所做的功为MmW GR=（其中M ， R 分别为地球的质量和半径，G 为引力常数）． 证明：引力2MmF G x=，F ∴使物体自R 运动到L 时所做的功为21LL L RR MmW Cdx GMm x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭⎰11GMm R L ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故物体脱离地球时所做的功为11lim lim L L l W W GMm R L →+∞→+∞⎛⎫==-⎪⎝⎭MmGR=．。
最新人教版高中数学选修2-2第一章《定积分的概念》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、曲边梯形的面积 1.曲边梯形我们把直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形. 2.曲边梯形面积的算法把区间［a,b ］分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形,每个小曲边梯形“以直代曲”,即用矩形的面积近似替代小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值,对这些近似值求和,就得到曲边梯形面积的近似值.方法点拨 拆分越来越细,近似程度就会越来越好,即用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积. 3.求曲边梯形面积的步骤(1)分割:将［a,b ］等分成n 个小区间:［a,a+n a b -］,［a+n a b -,a+na b )(2-］,…,［a+n a b n ))(1(--,b ］.第i 个区间为［a+n a b i ))(1(--,a+na b i )(-］.分别过n 个小区间的端点作y 轴的平行线将曲边梯形分成n 个小曲边梯形,每个小曲边梯形的面积记作ΔS 1、ΔS 2,…,ΔS n .S=∑=∆ni iS1.(2)近似代替:当Δx 很小时,可用小矩形的面积ΔS i ′近似地代替ΔS i , 即ΔS i ≈ΔS i ′=f ［a+na b i ))(1(--］Δx.(3)求和:S n =∑='∆ni iS 1.(4)取极限:S=∑=∞→∞→'∆=ni i n nn S S1lim lim .深化升华 ①近似代替时,用第i 个小区间左端点对应的函数值与Δx 相乘求出的为不足近似值.用右端点对应的函数值与Δx 相乘求出的为过剩近似值;当n→∞时这两种取法求得的曲面面积是相同的,实质上只要取区间［a+n a b i ))(1(--,a+na b i )(-］内任何一点对应的函数值计算小曲面的面积,只要n→∞,求得的结果都一样. ②求和时首先可提公因式n1,再将和进行处理,算出S n . ③取极限时注意n→∞. 二、汽车行驶的路程一般地,如果物体做变速直线运动,速度函数为v=v(t),那么我们可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法,求出它在a≤t≤b 内所做的位移s.方法点拨 其解决的方法与求曲边梯形面积类似,我们采取“以不变代变”的方法,把求变速直线运动的路程问题,化归为求匀速直线运动的路程问题. 三、定积分的概念 1.定积分的概念如果函数f(x)在区间［a,b ］上连续,用分点a=x 0<x 1<…<x i -1<x i <…<x n =b,将区间［a,b ］等分成n 个小区间,在每个小区间［x i -1,x i ］上任取一点ξi (i=1,2,…,n),作和式x=∑∑==-=∆ni n i inab x f 11)(εf(ξi ),当n→∞时,上述和式无限接近于某个常数,这个常数叫做函数f(x)在区间［a,b ］上的定积分,记作dx x f ba⎰)(,即∑⎰=-=ni i baf nab dx x f 1)()(ε.这里a 与b 分别叫做积分下限和积分上限,区间［a,b ］叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积式.疑点突破 ①定积分是一种“和”的极限.在定积分的定义中,含着分割、近似代替、求和、取极限这种解决问题的思想.这种思想方法来源于“计算底在区间［a,b ］上,高为y=f(x)的曲边梯形的面积”等问题.②定积分上限和下限之间的关系.在定义中假设a<b.当a=b 或a>b 时,不难验证dx x f aa⎰)(=0,dx x f b a⎰)(=dx x f ab⎰-)(.③定积分的值仅与被积函数f(x)及积分区间［a,b ］有关,与积分变量用什么字母无关. ④定积分dx x f ba⎰)(存在的必要条件是函数f(x)在区间［a,b ］上有界.因此,当函数f(x)在区间［a,b ］上无界时,定积分dx x f ba⎰)(是不存在的.⑤定积分是一个常数.因为定积分是一种“和”的极限值,所以是一个常数,因此,(dx x f ba⎰)()′=0,d dx x f ba⎰)(=0.2.定积分的几何意义图1-5-1当函数f(x)在区间［a,b ］上恒为正时,定积分dx x f ba⎰)(的几何意义是以曲线f(x)为曲边的曲边梯形的面积.一般情况下(如图1-5-1),定积分dx x f b a⎰)(的几何意义是介于x 轴、函数f(x)的图象以及直线x=a 、x=b 之间各部分面积的代数和,在x 轴上方的面积取正号;在x 轴下方的面积取负号. 3.定积分的性质由定积分的定义,可得到定积分的如下性质: (1)dx x kf ba ⎰)(=k dx x f ba⎰)((k 为常数).(2)⎰⎰⎰±=±ba b abadx x f dx x f dx x f x f )()()]()([2121.(3)⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )()()(深化升华 不论a,b,c 三点的相互位置如何,恒有⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )()()(.这一性质表明定积分对于积分区间具有可加性. 知识拓展 性质4.若在区间［a,b ］上,f(x)≥0,则dx x f ba⎰)(≥0.推论1.若在区间［a,b ］上,f(x)≤g(x),则dx x f ba⎰)(≤dx x g ba⎰)(.推论2.|dx x f ba⎰)(|≤⎰badx x f |)(|.性质5.(估值定理)设函数f(x)在区间［a,b ］上的最小值与最大值分别为m 与M,则 m(b-a)≤dx x f ba⎰)(≤M(b -a).证明:因为m≤f(x)≤M,由性质4的推论1得⎰bamdx ≤dx x f ba⎰)(≤⎰baMdx ,即m⎰badx ≤dx x f b a⎰)(≤M ⎰badx .故m(b-a)≤dx x f ba⎰)(≤M(b -a).利用这个性质,由被积函数在积分区间上的最小值及最大值,可以估计出积分值的大致范围. 问题·探究问题1 火箭发射后t s 的速度为v(t),假定0≤t≤10,对函数v(t)按f(x 1)Δx+f(x 2)Δx+…+f(x n )Δx 式所作的和具有怎样的实际意义?思路:本题考查“近似代替”“无限细分”和“无穷积累”的数学思想方法. 探究:将区间［0,10］等分成n 个小区间,每个小区间的长度为Δt,在每个小区间上取一点,依次为t 1,t 2,…,t i ,…,t n ,虽然火箭的速度不是常数,但在一个小区间内其变化很小,所以可以用v(t 1)来代替火箭在第一个小区间上的速度,这样v(t 1)Δt≈火箭在第一个时段内运行的路程;同理,v(t 2)Δt≈火箭在第二个时段内运行的路程,从而S n =v(t 1)Δt+v(t 2)Δt+…+v(t n )Δt≈火箭在10 s 内运行的总路程.这就是函数v(t)在时间区间［0,10］上按f(x 1)Δx+f(x 2)Δx+…+f(x n )Δx 所作的和的实际背景. 当Δt 无限趋近于0,S n 就是无限趋近于火箭在10 s 内所运行的总路程. 问题2 定积分的几何意义是什么?思路:利用定积分的定义,先分割,再近似代替,然后作和,求出极限即得所求. 探究:从几何上看,如果在区间［a,b ］上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0,那么定积分dx x f ba⎰)(表示由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.这就是定积分dxx f ba⎰)(的几何意义. 典题·热题例n n nn nn222)1()21()11(lim ++++∞→ =_________________.思路解析: n n nn nn222)1()21()11(lim ++++∞→=∑+=∞→n i n n ni e 121)1ln(lim =∑+=∞→n i n n ni e11)1ln(2lim =⎰21ln 2xdxe答案:e ⎰21ln 2xdxe例2用定积分的定义求出由y=3x,x=0,x=1,y=0围成的图形的面积.思路分析:利用定积分的定义,先分割,再近似代替,然后作和,求出极限即得面积. 解:(1)分割:把区间［0,1］等分成n 个小区间［n i n i ,1-］(i=1,2,…n).其长度为Δx=n1,把曲边梯形分成n 个小曲边梯形,其面积记为ΔS i (i=1,2,…n).(2)近似代替:用小矩形面积代替小曲边梯形面积,ΔS i =f(n i 1-)Δx=3·n i 1-·n 1=23n(i-1),(i=1,2,…n). (3)作和:21213)1(3n i n S ni ni i =-=∆∑∑==［1+2+…+(n -1)］=n n 123-∙. (4)求极限:S=23123lim )1(3lim12=-∙=-∞→=∞→∑n n i nn ni n . 深化升华 本题考查的是用定积分的方法求面积,用定积分的定义求面积是定积分的一个应用方式,也是定积分产生的源泉.通常的做法就是将图形分成一些非常小的图形,然后求出这些小图形面积的和,最后再求极限.例3已知某运动的物体做变速直线运动,它的速度v 是时间t 的函数v(t),求物体在t=0到t=t 0这段时间内所经过的路程s.思路分析:利用定积分的定义,先分割,再近似代替,然后作和,求出极限即得路程. 解:(1)分割:将时间区间［0,t 0］分成n 等份:［nit n i ,10-t 0］(i=1,2,…,n),每个小区间所表示的时间为Δt=nt 0;各区间物体运动的距离记作Δs i (i=1,2,…,n). (2)近似代替:在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的距离.在小区间［00,1t nit n i -］上任取一时刻ξi (i=1,2,…,n).用时刻ξi 的速度v(ξi )近似代替第i 个小区间上的速度.由匀速直线运动的路程公式,每个小区间上物体运动所经过的距离可以近似地表示为Δs i ≈v(ξi )Δt(i=1,2,…,n).(3)求和:因为每个小区间上物体运动的距离可以用这一区间上做匀速直线运动的路程近似代替,所以在时间［0,t 0］内物体运动的距离s,就可以用这一物体分别在n 个小区间上作n 个匀速直线运动的路程和近似代替,即s=∑∑==∆≈∆ni in i it v S 11)(ε.(4)求极限:当所分时间区间越短,即Δt=n t 0越小时,∑=∆ni i t v 1)(ε的值越接近于s.因此,当n→∞,即Δt=n t 0→0时,∑=∆ni i t v 1)(ε的极限,就是所求的物体在时间区间［0,t 0］上经过的路程.由此得到s=∑=∞→∆ni in t v 1)(limε.深化升华 s=∑=∞→∆ni in t v 1)(limε为做变速直线运动的物体在［0,t 0］这段时间内所运动的路程,其中ξi 为区间［00,1t n i t n i -］上的任意值,取ξi =n i 1-t 0时,s=∑=∞→∆-ni n t t n i v 10)1(lim ;取ξi =n i t 0时,s=∑=∞→∆ni n t t n iv 10)(lim ;取ξi =i i n t n it n t i )1()1(000-=⨯-时,s=∑=∞→∆-ni n t i i nt v 1])1([lim.当物体做匀速直线运动时,上面的结论仍成立. 例4利用定积分的几何意义,说明下列等式. (1)⎰12xdx =1;(2)21112π=-⎰-dx x .思路分析:定积分的几何意义是指曲边梯形的面积,只要理解被积函数和积分极限的意义,并作出图形,即可得到解决. 解:(1)如图1-5-2,⎰12xdx 表示由曲线y=2x,直线x=0,x=1,y=0所围成的图形(直角三角形)的面积, 由S Δ=21×2×1=1,故⎰102xdx =1.(2)如图1-5-3,⎰--1121dx x 表示圆x 2+y 2=1在第一、二象限的上半圆的面积.由S 半圆=2π,又在x 轴上方,故21112π=-⎰-dx x .图1-5-2 图1-5-3 例5利用定积分计算⎰23dx x 的值.思路分析:令f(x)=x 3,按分割、近似代替、作和、求极限四步求解.解:令f(x)=x 3.⎰23dx x ≈∑=-+ni ni a f 1)2(·n 2=∑=n i ni n 13)2(2=]321[16])2()4()2[(233334333n n n n n n n ++++=+++2222)1(4)1(4n n n n +=+∙= 取极限⎰23dx x =22)1(4lim nn n +∞→=4. 误区警示 将区间［0,2］分成n 个小区间,每个区间长为n2,并且第i 个区间是［n i n i 2,)1(2-］,习惯上按n1计算ξ. 例6估计定积分⎰+π023sin 21dx x的值. 思路分析:首先计算出被积函数在给定区间上的最大值和最小值,然后利用估值定理求解. 解:∵当x ∈［0,π］时,0≤sinx≤1,∴0≤23sin x≤1, 因此有2≤2+23sin x≤3,31≤x23sin 21+≤21, 于是由估值定理有2sin 21323πππ≤+≤⎰dx x.。