向量与三角形结合题例析
例谈用向量解与三角形的“心”有关的综合题
（ 若 ｎ＋≥口 ， 口的取值 范 围． Ⅱ） 求
改编题 目： （ 中 ｂ ＝Ｓ 一３ 将 Ｉ） ”的铺 垫 撤去， 直接求 通项公 式．
２ （ ０ ８年 四 川 卷 理 科 ２ ．２０ Ｏ题 ） 数 列 设 ｛ 的前几项 和为 Ｓ ， ｎ） 已知 ６ 。 （一１ ｎ 一２一 ６ ）
数 学教 学 研 究
２ ３
＝
号
１（ ＋ ６ 口 ）
顶 角 Ｄ， 以 ０ ＯＤ 再 Ｃ，
为邻边 作 平 行 四边 形 ， 它 的第 ４个顶 点 为 Ｈ． （ 若 一口 Ｉ） ，
一 ｂ Ｏｅ — ｃ 用 ａ， ｃ ， ， ｂ，
Ｄ
＝
２
一
÷ ， ｃ ，
一 一
＝ 一 一 ｃ ６。 ～
（－） ÷ １ ｈ＝ Ａ
消去 得 百 １十 ＝３ １： ：
．
．
髓 ＝（＋６ （－ｂ ｃ ）ｃ ）
一ｃ一ｂ 一 ｌ Ｉ一 ｌ ｌ 。 。 ｂ ｃ ．
因为 ０为△ＡＢＣ的外 心 ， 以 所
Ｓ．
３ 课 堂小节 ， 总结 出一 般性 问题 的处理 方法
１对 Ｓ 一ｋ ） ａ ＋６既 可 以通 过递 归 写 出
Ｓ ＝ｋ ＋６ 两式 相 减 ， 到关 于 ｛ 数 ａ ， 得 口｝
列的递 推关 系式 ， 可 以倒用 ａ 一Ｓ 一Ｓ一 也
转 化为关 于｛ 的数 列进行 处理． Ｓ）
２ ２
数 学教 学 研 究
第 ２ 卷 第 ３期 ９
２１ ０ ０年 ３月
例谈 用 向量解 与三角 形的“ 有关 的综 合题 心＂
佘世 庆 李 学文
（ ． 肃 省 武威 第 十 五 中学 ７ ３０ １甘 ３ ００ ・． ２ 宁夏 同心 回民 中学 ７ １０ ） ５ ３０
向量与三角形结合题例析
所 以 Ｏ 是 △Ａ ＢＣ 的垂 心 ， 即三 条 高 的交 点 ， 故答 案选 （ ． Ｄ） 例 ５ （ ０ ３年 山西高 考题 ） ２０ 已知 Ｏ是平 面 内 的一个点 ， Ｂ、 Ａ、 Ｃ是 平 面上不 共线 的三 点 ， 点 Ｐ 动
）
解 ： Ａ 中点为 Ｄ， 设 Ｂ 因为 （ 一 ） １
．
＋
．
＋
．
一
ｃ ｓ — ａ ＯＳ 一 ６ ｃ Ａ ＝ ｏＢ ｂＣ Ｃ ｃ ｏｓ
妻（ 口 一６ 一ｃ） ６ 一口 一ｃ ＋ｃ 一口 一ｂ ４ ： ２ －
厶
此类 问题 的一 般性 的策 略． １ 三角形 中的有 关量 的运 算
例 １ （０ ６ 广东 高考题 ） 图 １ ２０ 年 如 所示 ， Ｄ是
＋ 萌 ， 故答案选（ ） Ａ．
厶
例 ２ （ ０ ４年浙 江高考 题 ）已知平 面上三 点 ２０ Ａ、 Ｃ满足 ｌ Ｂ、 则
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．一
ｌ ２ ｌ 一 ， ． ＋
ｌ １ 一 ，ｌ ．
ｌ 一 ，
．
●
＋
的 值 等 于
均 为单 位 向量 ， 以 （ 所
蟊
． ｏ 年１月 半 － ｏ西 ２ 上 月 羁
＋ ）・
一
解： 由题 意可 知 ， Ｂ、 Ａ、 Ｃ三 点不 共 线 ， 以它 所 们 可构成 △ Ａ Ｃ． Ｂ 又 ｌ ｌ ２ 一 ，Ｉ ｌ １ 一 ，ｌ ｌ ， 一 所
２
３ 三 角 形 的 “ ”的 判 断 心
ｌ
－ ｌ Ｏ（８。 ｃ ＋ｌ ｃ ｓ１０ 一 ） － Ｃ Ｘ
ｃ ｓ １ ０ 一 Ａ） 一 一 ４ ｏ（８。 ．
专题03 三角函数与平面向量综合问题(答题指导)(解析版)
专题03 三角函数与平面向量综合问题（答题指导）【题型解读】题型特点命题趋势▶▶题型一：三角函数的图象和性质1．注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解． 2．解决三角函数图象与性质综合问题的步骤 (1)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式． (2)构造f (x )＝a 2＋b 2⎝⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2·sin x ＋b a 2＋b 2·cos x . (3)和角公式逆用，得f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ为辅助角)． (4)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质． (5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．【例1】 (2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．【答案】见解析【解析】(1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sinωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z .故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.【素养解读】本题中图象的变换考查了数学直观的核心素养，将复杂的三角函数通过变形整理得到正弦型函数，从而便于对性质的研究，考查数学建模的核心素养．【突破训练1】 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 【答案】见解析 【解析】(1)f (x )＝32－3·1－cos2ωx 2－12sin2ωx ＝32cos2ωx －12sin2ωx ＝ －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.因为y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，故该函数的周期T ＝4×π4＝π.又ω>0，所以2π2ω＝π，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32＝sin 5π3≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤sin 5π2＝1，所以－1≤f (x )≤32，即f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.▶▶题型二 解三角形1．高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主．其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题． 2．用正、余弦定理求解三角形的步骤第一步：找条件，寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向．第二步：定工具，根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化． 第三步：求结果，根据前两步分析，代入求值得出结果．第四步：再反思，转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性．【例2】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sin Csin B ． (1)求A ；(2)若a ＝3，求b ＋2c 的最大值． 【答案】见解析【解析】(1)cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sinCsinB ＝cos2(C ＋B)－sinCsinB ，则cos(C ＋B)[cos(C －B)－cos(C ＋B)]＝－sinCsinB ，则－cosA·2sinCsinB＝－sinCsinB ，可得cosA ＝12，因为0＜A ＜π，所以A＝60°.(2)由a sinA ＝b sinB ＝csinC ＝23，得b ＋2c ＝23(sinB ＋2sinC)＝23[sinB ＋2sin(120°－B)]＝23(2sinB＋3cosB)＝221sin(B ＋φ)，其中tanφ＝32，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.由B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3得B ＋φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，7π6，所以sin(B ＋φ)的最大值为1，所以b ＋2c 的最大值为221.【素养解读】试题把设定的方程与三角形内含的方程(三角形的正弦定理、三角形内角和定理等)建立联系，从而求得三角形的部分度量关系，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．【突破训练2】 (2017·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值．【答案】见解析【解析】(1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知和余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝13，所以b ＝13.由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝31313. (2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin2A cos π4＋cos 2A ·sin π4＝7226.▶▶题型三 三角函数与平面向量的综合1．三角函数、解三角形与平面向量的综合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题．2．(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响． 【例3】 (2019·佛山调考)已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R .(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值． 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin2x ＝1＋cos2x －3sin2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)因为f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1.因为0＜A ＜π，所以π3＜2A ＋π3＜7π3，所以2A ＋π3＝π，即A ＝π3.因为a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.①因为向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，所以2sin B ＝3sinC ． 由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②可得b ＝3，c ＝2.【突破训练3】(2019·湖北八校联考) 已知△ABC 的面积为S ，且32AB →·AC →＝S ，|AC →－AB →|＝3.(1)若f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω＞0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离为2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝1，求△ABC 的面积S ；(2)求S ＋3 3 cos B cos C 的最大值． 【答案】见解析【解析】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 因为32AB →·AC →＝S ，所以32bc cos A ＝12bc sin A ， 解得tan A ＝3，所以A ＝π3.由|AC →－AB →|＝3得|BC →|＝a ＝3.(1)因为f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω>0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离T ＝2，即2πω＝2，解得ω＝π，故f (x )＝2cos(πx ＋B )．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝1，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝12.因为B 是△ABC 的内角，所以B ＝π6，从而△ABC 是直角三角形，所以b ＝3，所以S △ABC ＝12ab ＝332.(2)由题意知A ＝π3，a ＝3，设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝a sin A ＝ 332＝23，解得R ＝3，所以S＋33cos B cos C ＝12bc sin A ＋33cos B cos C ＝34bc ＋33cos B cos C ＝33sin B sin C ＋33cos B cos C ＝33cos(B －C )，故S ＋33cos B cos C 的最大值为3 3.。
专题四：三角形中的三角问题含向量
高三数学微专题四三角形中的三角向量问题（含向量）一、基础回顾1．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC→＝__2．在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE→＝_______.3．在△ABC 中，a ，b ，c 为内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(1，3)与n ＝(cos A ，sin A )平行，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B ＝________.4．在△ABC 中，C ＝π2，AC ＝1，BC ＝2，则f (λ)＝|2λCA →＋(1－λ)CB →|的最小值是________．二、典型例题例1．如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，OP →＝x ·OA →＋y ·OB →.(1)若BP →＝P A →，求x ，y 的值；(2)若BP →＝3P A →，|OA →|＝4，|OB →|＝2，且OA →与OB →的夹角为60°时，求OP →·AB →的值．例2．如图所示，已知△ABC 的面积为14 cm 2，D ，E 分别是AB ，BC 上的点，且AD DB ＝BE EC ＝2，AE CD P =I , 求△APC 的面积．例3．.ABC ∆的三个内角A B C ，，依次成等差数列．（Ⅰ）若C A B sin sin sin 2=，试判断ABC ∆的形状；（Ⅱ）若ABC ∆为钝角三角形，且c a >，试求代数式2132222C A A sinsin cos +-的取值范围．例4．已知点A ，B ，C 是直线l 上不同的三点，点O 是l 外一点，向量OA →，OB →，OC →满足OA →－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋1OB →－(ln x －y )·OC →＝0，记y ＝f (x )． (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)若对任意的x ∈[1,2]，不等式|a －ln x |－ln(f ′(x ))>0恒成立，求实数a 的取值范围．三、同步练习1．设O 是△ABC 内部的一点，P 是平面内任意一点，且OA →＋2OB →＋2PC →＝2PO →，则△ABC 和△BOC 的面积之比为2．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,1)，1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|BD →，则四边形ABCD 的面积为________．3．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，S 为△ABC 的面积，若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(1，S )满足p ∥q ，则C ＝________.4．设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2 α)和b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 2＋sin α，其中λ，m ，α为实数．若a＝2b ，则λm 的取值范围是________．5． 在△ABC 中，M 是BC 的中点，|AM →|＝1，AP →＝2PM →，则P A →·(PB →＋PC →)＝________..6．△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，则AO →·BC →＝________. 7．在△ABC 中，已知BC ＝2，AB →·AC →＝1，则△ABC 的面积S △ABC 最大值是____． 8. 给出下列三个命题（1）若0<tan A tan B <1，则△ABC 一定是钝角三角形；（2）若lgcosA=lgsin C －lgsinB =－12lg2, 则ΔABC 是等腰直角三角形；（3）若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )＝1，则△ABC 一定是等边三角形以上正确命题的序号是：9．已知△ABC 所在平面上的动点M 满足2AM →·BC →＝AC →2－AB →2，则M 点的轨迹过△ABC 的__ ______心．10．已知ABC ∆中，AB 边上的高与AB 边的长相等，则ACBC AB AC BC BC AC ⋅++2的最大值为11．△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且0543=++OC OB OA ． （1）求数量积OA OC OC OB OB OA ⋅⋅⋅,,；（2）求△ABC 的面积．12．设函数f(x)=cos(2x+3π)+sin 2x. （1）求函数f(x)的最大值和最小正周期. （2）设A,B,C 为∆ABC 的三个内角，若cosB=31，f(3C)=－41，且C 为锐角，求sinA.13．在△ABC 中，A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(1,2sin A )，n ＝(sin A,1＋cos A )，且满足m ∥n ，b ＋c ＝3a . (1)求A 的大小；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6的值．.14．已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且(PC →＋12PQ →)·(PC→－12PQ →)＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求PE →·PF →的最值．专题四：三角形中的三角向量问题（含向量）一、基础回顾1．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝__－16解析 因为AM →＝12(AB →＋AC →)，所以AB →＋AC →＝2AM →，又AC →－AB →＝BC →，所以(AB →＋AC →)2－(AC →－AB →)2＝4AB →·AC →＝4AM →2－BC →2＝－64，所以AB →·AC→＝－16. 2．在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝____－14____.解析 由题意画出图形如图所示，取一组基底{AB →，AC →}，结合图形可得AD→＝12(AB →＋AC →)，BE →＝AE →－AB →＝23AC →－AB →，∴AD →·BE →＝12(AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC →－AB →＝13AC →2－12AB →2－16AB →·AC →＝13－12－16cos 60°＝－14.3．在△ABC 中，a ，b ，c 为内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(1，3)与n ＝(cos A ，sin A )平行，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B ＝________.解析 由m 与n 平行，得 3cos A －sin A ＝0，所以tan A ＝3，A ＝π3.又由a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，得sin C ＝1，C ＝π2，所以B ＝π6.4．在△ABC 中，C ＝π2，AC ＝1，BC ＝2，则f (λ)＝|2λCA →＋(1－λ)CB →|的最小值是__2______．解析 如图，以C 为原点，CA ，CB 所在直线为y 轴，x 轴建立直角坐标系，所以CA →＝(0,1)，CB →＝(2,0)，故2λCA →＋(1－λ)CB →＝(0,2λ)＋(2－2λ，0)＝(2－2λ，2λ)，所以f (λ)＝22λ2－2λ＋1＝22⎝⎛⎭⎫λ－122＋12，故最小值为2，在λ＝12时取得．二、典型例题例1．如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，OP →＝x ·OA →＋y ·OB →. (1)若BP →＝P A →，求x ，y 的值；(2)若BP →＝3P A →，|OA →|＝4，|OB →|＝2，且OA →与OB →的夹角为60°时，求OP →·AB→的值． 解析 (1)因为BP →＝P A →，所以BO→＋OP →＝PO →＋OA →，即2OP →＝OB →＋OA →，所以OP →＝12OA →＋12OB →，所以x ＝12，y ＝12.(2)因为BP →＝3P A →，所以BO →＋OP →＝3PO →＋3OA →， 即OP →＝34OA →＋14OB →，所以x ＝34，y ＝14.故OP →·AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34OA →＋14OB →·(OB →－OA →)＝14OB →·OB →－34OA →·OA →＋12OA →·OB →＝14×22－34×42＋12×4×2×12＝－9.例2．如图所示，已知△ABC 的面积为14 cm 2，D ，E 分别是AB ，BC 上的点，且AD DB ＝BE EC ＝2，求△APC 的面积．解析 设AB→＝a ，BC →＝b ，则AE →＝a ＋23b ，DC →＝13a ＋b .因为点A ，P ，E 和点D ，P ，C 均三点共线，所以存在λ和μ，使得AP →＝λAE →＝λa ＋23λb ，DP →＝μDC →＝13μa ＋μb .又因为AP →＝AD →＋DP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋13μa ＋μb ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23＋13μ，23λ＝μ，解得λ＝67，μ＝47，所以S △P AB ＝47S △ABC ＝47×14＝8 (cm 2)，S △PBC ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－67＝2 (cm 2)，故S△APC＝14－8－2＝4(cm 2).例3．.ABC ∆的三个内角A B C ，，依次成等差数列． （Ⅰ）若C A B sin sin sin 2=，试判断ABC ∆的形状； （Ⅱ）若ABC ∆为钝角三角形，且c a >，试求代数式212222C A A sin cos -的取值范围．答案 解：（Ⅰ）∴ABC ∆为正三角形.（Ⅱ）212cos 2sin 32sin 2-+A A C ==1223A cos A π⎛⎫-- ⎪⎝⎭ =A A A sin 43cos 41sin 23-+ =A A cos 41sin 43+ =)6sin(21π+A ∵223A ππ<<,∴25366A πππ<+<， ∴126sin A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，114264sin A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭.∴代数式232cos 2sin 32sin 2++A A C 的取值范围是144⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，. 例4．已知点A ，B ，C 是直线l 上不同的三点，点O 是l 外一点，向量OA →，OB →，OC →满足OA →－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋1OB →－(ln x －y )·OC →＝0，记y ＝f (x )．(1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)若对任意的x ∈[1,2]，不等式|a －ln x |－ln(f ′(x ))>0恒成立，求实数a 的取值范围． 解析 (1)由题意，得OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋1·OB →＋(ln x －y )·OC →，且A ，B ，C 三点共线，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋1＋(ln x －y )＝1，所以y ＝f (x )＝ln x ＋12x 2(x >0)．(2)因为f ′(x )＝1x ＋x ，所以|a －ln x |>ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，即a <ln x －ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 或a >ln x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 恒成立．因为ln x －ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝ln x 2x 2＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 2＋1在[1,2]上取最小值－ln 2，ln x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝ln(x 2＋1)在[1,2]上取最大值ln 5，所以a 的取值范围是(－∞，－ln 2)∪(ln 5，＋∞)．三、同步练习1．设O 是△ABC 内部的一点，P 是平面内任意一点，且OA →＋2OB →＋2PC →＝2PO →，则△ABC 和△BOC 的面积之比为 5∶12．在四边形ABCD 中，AB→＝DC →＝(1,1)，1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD→|BD →，则四边形ABCD的面积为____3____．3．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，S 为△ABC 的面积，若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(1，S )满足p ∥q ，则C ＝__π4______. 4．设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2 α)和b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 2＋sin α，其中λ，m ，α为实数．若a＝2b ，则λm 的取值范围是___[－6,1]_____．解析 由a ＝2b ，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2＝2m ，λ2－cos 2α＝m ＋2sin α.由λ2－m ＝cos 2α＋2sin α＝2－(sin α－1)2，得－2≤λ2－m ≤2，又λ＝2m －2，则－2≤4(m －1)2－m ≤2，∴⎩⎪⎨⎪⎧4m 2－9m ＋2≤0，4m 2－9m ＋6≥0.解得14≤m ≤2，而λm ＝2m －2m ＝2－2m ，故－6≤λm ≤1.5．在△ABC 中，M 是BC 的中点，|AM →|＝1，AP →＝2PM →，则P A →·(PB→＋PC →)＝_－49_______.解析 因为M 是BC 的中点，所以PB →＋PC →＝2PM →，又AP →＝2PM →，|AM →|＝1，所以P A →·(PB →＋PC →)＝P A →·2PM →＝－4|PM →|2＝－49|AM →|2＝－49..6．△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，则AO →·BC →＝__52______. 7．在△ABC 中，已知BC ＝2，AB →·AC →＝1，则△ABC 的面积S △ABC 最大值是____2． 解析 以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)．设A (x ，y )则AB →＝(－1－x ，－y )，AC →＝(1－x ，－y )，于是AB →·AC →＝(－1－x )(1－x )＋(－y )(－y )＝x 2－1＋y 2.由条件AB →·AC →＝1知x 2＋y 2＝2，这表明点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上．当OA ⊥BC 时，△ABC 面积最大，即S △ABC ＝12×2× 2 8． 给出下列三个命题（1）若0<tan A tan B <1，则△ABC 一定是钝角三角形；（2）若lgcosA=lgsin C－lgsinB =－12lg2, 则ΔABC 是等腰直角三角形；（3）若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )＝1，则△ABC一定是等边三角形以上正确命题的序号是： ⑴⑵⑶9．已知△ABC 所在平面上的动点M 满足2AM →·BC →＝AC →2－AB →2，则M 点的轨迹过△ABC的__外______心．解析 如图，设N 是BC 的中点，则由2AM →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →＋AB →)＝BC →·2AN →，得(AM →－AN →)·BC →＝0，即NM →·BC →＝0， 所以NM→⊥BC →，所以M 点的轨迹过△ABC 的外心． 10．已知ABC ∆中，AB 边上的高与AB 边的长相等，则ACBC AB AC BC BC AC ⋅++2的最大值为 22 11．△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且0543=++OC OB OA ． （1）求数量积OA OC OC OB OB OA ⋅⋅⋅,,； （2）求△ABC 的面积．解析（1）OC OB OA 543-=+．两边平方，得222||25||1624||9OC OB OB OA OA =+⋅+，0=⋅∴OB OA ．同理可得，54-=⋅OCOB ，54-=⋅OC OB ．（2）由0=⋅OB OA ，可得，21||||21,=⋅=∴⊥∆OB OA S OB OA AOB ． 由54-=⋅OCOB ，得53sin ,54cos =∠∴-=∠BOC BOC ，103sin ||||21=∠⋅=∴∆BOC OC OB S BOC 同理求得其他三角形面积， 所以565210321=++=++=∆∆∆∆AOC BOC AOB ABC S S S S ． 12．设函数f(x)=cos(2x+3π)+sin 2x. （1）求函数f(x)的最大值和最小正周期.（2）设A,B,C 为∆ABC 的三个内角，若cosB=31，f(3C)=－41，且C 为锐角，求sinA. 解析（1）f(x)=1cos 213cos 2cos sin 2sin sin 23322x x x x ππ--+=- ∴函数f(x)的最大值为13+,最小正周期π. （2）f(3C )=132sin 23C -=－41，∴23sin 3C =，∵C 为锐角， ∴233C π=，∴2C π=,∴sinA =cosB=31.13．在△ABC 中，A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(1,2sin A )，n ＝(sin A,1＋cos A )，且满足m ∥n ，b ＋c ＝3a .(1)求A 的大小；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6的值．解析 (1) A ＝π3.(2)b ＋c ＝3a ，由正弦定理，得sin B ＋sin C ＝3sin A ＝32.因为B ＋C ＝2π3，所以sin B ＋sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝32.所以32cos B ＋32sin B ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝32.14．已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且(PC →＋12PQ →)·(PC→－12PQ →)＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求PE →·PF→的最值．解析 (1)设P (x ，y )，则Q (8，y )．由(PC →＋12PQ →)·(PC→－12PQ →)＝0，得|PC |2－14|PQ |2＝0，即(x －2)2＋y 2－14(x －8)2＝0，化简得x 216＋y 212＝1.所以点P 在椭圆上，其方程为x 216＋y 212＝1.(2)因PE →·PF →＝(NE →－NP →)·(NF →－NP →)＝(－NF →－NP →)·(NF →－NP →)＝(－NP →)2－NF →2＝NP →2－1，是设P (x 0，y 0)，则有x 2016＋y 2012＝1，即x 20＝16－4y 203，又N (0,1)，所以NP →2＝x 20＋(y 0－1)2＝－13y 20－2y 0＋17＝－13(y 0＋3)2＋20.因y 0∈[－23，23]，所以当y 0＝－3时，NP →2取得最大值20，故PE →·PF →的最大值为19；当y 0＝23时，NP →2取得最小值13－43，(此时x 0＝0)，故PE →·PF →的最小值为12－4 3.。
专题：平面向量与三角形四心问题
专题:平面向量与三角形四心问题三角形四心指的是三角形的垂心、重心、内心和外心，在高考中常常结合平面向量的知识进行考察，是高中数学的一个难点.很多学生对三角形四心总是产生混淆，面对与四心有关的问题也常常束手无策，为了解决广大学子的困扰，本文以四心的常见结论出发，借助几道经典的例题，对三角形四心问题进行系统梳理，希望能够为读者提供帮助.如果读者是在校高中生，则标注了星号的内容可作为拓展知识. 一、三角形的内心（1）定义：三角形内切圆的圆心，即三角形三条角平分线的交点（如图1）. （2）向量表示：若O 为△ABC 的内心→→→→=⋅+⋅+⋅⇔0OC c OB b OA a . （注：本文中的边a ，b ，c 分别表示BC ，AC ，AB .角A ，B ，C 分别表示BAC ∠，ABC ∠，ACB ∠.）证明：→→→→→→→→→→=+⋅++⋅+⋅⇔=⋅+⋅+⋅0)()(0AC OA c AB OA b OA a OC c OB b OA a→→→→=⋅+⋅+⋅++⇔0)(AC c AB b OA c b a →→→⋅+⋅=⋅++⇔AC c AB b AO c b a )(||||||||)(→→→→→→→⋅⋅+⋅⋅=⋅++⇔AC AC AC c AB AB AB b AO c b a)||||()(→→→→→+⋅=⋅++⇔AC ACAB ABbc AO c b a)||||(→→→→→+⋅++=⇔AC ACAB AB c b a bc AO （图1）⇔点O 在角A 的角平分线上，同理点O 也在角B 、C 的角平分线上. ⇔O 为△ABC 的内心.（3）常用性质性质1：))(||||(R AC ACAB AB∈+⋅→→→→λλ所在的直线与A ∠的角平分线重合（经过内心）.证明：如图所示，||→→AB AB 表示→AB 上的单位向量，不妨记作→AD ，||→→AC AC 表示→AC 上的单位向量，不妨记作→AE .设→→→+=AE AD AP ，由平行四边形法则知，四边形ADPE 为菱形， 故直线AP 为A ∠的角平分线.))(||||(RAC ACAB AB∈+⋅∴→→→→λλ所在的直线与A ∠的角平分线重合（经过内心）.性质2：r c b a S ABC ⋅++=∆)(21（r △ABC 内切圆的半径）. 证明：由等面积法易证.性质3：O 为△ABC 的内心c b a S S S OAB OAC OBC ::::=⇔∆∆∆. 证明：由面积公式易证. （4）典例剖析例1-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足)||||(→→→→→→++=AC ACAB ABOA OP λ,),0(+∞∈λ.则动点P 的轨迹经过△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：由性质1知，答案为A .例1-2：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若cb a PCc PB b PA a PO ++++=→→→→（其中P 是△ABC 所在平面内任意一点），则O 是△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：由题意知→→→→→→++=++PC c PB b PA a PO c PO b aPO ，即+-→→)(PO PA a→→→→→=-+-0)()(PO PC c PO PB b ，化简得→→→→=⋅+⋅+⋅0OC c OB b OA a .根据内心的向量表示知，O 是△ABC 的内心，答案为A .例1-3：已知O 是△ABC 内的一点，且满足0)||||(=-⋅→→→→→AC ACAB ABOA ，则OA 所在的直线一定经过三角形的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：||→→AB AB 表示→AB 上的单位向量，不妨记作→1e ，||→→AC AC 表示→AC 上的单位向量，不妨记作→2e .故0)(21=-⋅→→→e e OA ，即→→→→⋅=⋅21e OA e OA ,即>>=<<→→→→21,,e OA e OA .∴直线OA 与A ∠的角平分线重合，故OA 所在的直线一定经过三角形的内心，答案A .二、三角形的外心（1）定义：三角形外接圆的圆心，即三角形三边中垂线的交点（如图2）. （2）向量表示：若O 为△ABC 的外心||||||→→→==⇔OC OB OA . （3）常用性质：奔驰定理*：已知O 为△ABC 内的一点（不一定为外心）， 则→→∆→∆→∆=⋅+⋅+⋅0OC S OB S OA S OAB OAC OBC .（该定理反之也成立）证明：不妨延长AO 到D （如下图），则 （图2）=++===∆∆∆∆∆∆∆∆ACD ABD OAC OAB ACD OAC ABD OAB S S S S S S S S AD AO ABC OACOAB S S S ∆∆∆+， 即→∆∆∆→+=AD S S S AO ABCOAC OAB .且根据B ，D ,C 三点共线知，→∆∆∆→∆∆∆→+++=AB S S S AC S S S AD OAC OAB OACOAC OAB OAB ，故→∆∆→∆∆→+=AB S S AC S S AO ABC OAC ABC OAB ，即)()(→→∆∆→→∆∆→-+-=-OA OB S S OA OC S S OA ABCOAC ABC OAB . →→∆→∆→∆=⋅+⋅+⋅∴0OC S OB S OA S OAB OAC OBC （反之易证）性质1*：O 为△ABC 的外心C B A S S S OAB OAC OBC 2sin :2sin :2sin ::=⇔∆.证明：如图2所示，O 为△ABC 的外心A R BOC R S OBC 2sin 212sin 2122=∠=⇔∆，B R AOC R S OAC 2sin 212sin 2122=∠=∆，C R AOB R S OAB 2sin 212sin 2122=∠=∆ C B A S S S OAB OAC OBC 2sin :2sin :2sin ::=⇔∆（R 为△ABC 外接圆半径）.性质2*：O 为△ABC 的外心→→→→=⋅+⋅+⋅⇔0)2(sin )2(sin )2(sin OC C OB B OA A . 证明：结合性质1与奔驰定理易证.（4）典例剖析例2-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足++=→→→2OCOB OP )cos ||cos ||(CAC AC BAB AB →→→→+λ，),0(+∞∈λ.则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：设线段BC 的中点为D ，故)cos ||cos ||(C AC AC BAB AB OD OP →→→→→→++=λ，即)cos ||cos ||(CAC AC BAB AB DP →→→→→+=λ,而)cos ||cos ||(CAC BC AC BAB BC AB BC DP →→→→→→→→⋅+⋅=⋅λ，即)cos ||cos ||||cos ||)cos(||||(CAC CBC AC B AB B BC AB BC DP →→→→→→→→⋅+-⋅=⋅πλ0|)|||(=+-=→→BC BC λ 即→→⊥BC DP ，故点P 在线段BC 的垂直平分线上. ∴动点P 的轨迹一定经过△ABC 的外心，答案B .例2-2：在△ABC 中，动点O 满足→→→→⋅=-BC AO AB AC 222，则点O 一定经过△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：由题知→→→→→→⋅=+-BC AO AB AC AB AC 2))((，设D 为BC 的中点，则=⋅→→AD BC 2→→⋅BC AO 2,故0=⋅→→OD BC ,即→→⊥OD BC ，O ∴在BC 的垂直平分线上，故点O 一定经过△ABC 的外心，答案B .例2-3：已知O 为△ABC 所在平面内的一点，满足→→→→⋅=⋅BA OB AB OA ，=⋅→→BC OB→→⋅CB OC ，则O 为△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：由→→→→⋅=⋅BA OB AB OA 知0)(=+⋅→→→OA OB AB ,即0)()(=+⋅-→→→→OA OB OA OB ，即||||→→=OA OB ,同理可得：||||→→=OC OB ，O ∴为△ABC 的外心，答案B .三、三角形的垂心（1）定义：三角形三条高的交点（如图3）.（2）向量表示：若O 为△ABC 的垂心→→→→→→⋅=⋅=⋅⇔OC OB OC OA OB OA . 证明：→→→→→→→→→→→⊥⇔=⋅=-⋅⇔⋅=⋅BC OA BC OA OB OC OA OC OA OB OA 0)(.同理→→⊥AC OB ,O AB OC ⇔⊥→→为△ABC 的垂心.（3）常用性质性质1*：O 为锐角△ABC 的垂心⇔=∆∆∆OAB OAC OBC S S S ::C B A tan :tan :tan . （图3）证明：ACDOC b BCDOC a OF b OE a S S OAC OBC ∠⋅⋅∠⋅⋅=⋅⋅=∆∆sin sin ,且在直角△BCD 和直角△ACD 中有 B BCD cos sin =∠，A ACD cos sin =∠.故BAA B B A A b B a S S OAC OBC tan tan cos sin cos sin cos cos =⋅⋅=⋅⋅=∆∆. 同理，CBS S OAB OAC tan tan =∆∆. C B A S S S OAB OAC OBC tan :tan :tan ::=∴∆∆∆，反之易证.性质2*：当O 为锐角△ABC 的垂心→→→→=⋅+⋅+⋅⇔0tan tan tan C OC B OB A OA .证明：利用性质1和“奔驰定理”易证. （4）典例剖析例3-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足)cos ||cos ||(CAC AC BAB AB OA OP →→→→→→++=λ，),0(+∞∈λ，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：由题知)cos ||cos ||(CAC AC BAB AB AP →→→→→+=λ,得=⋅+-⋅=⋅+⋅=⋅→→→→→→→→→→→→→→)cos ||cos ||||cos ||)cos(||||()cos ||cos ||(CAC CBC AC B AB B BC AB CAC BC AC BAB BC AB BC AP πλλ0|)|||(=+-→→BC BC λ，即→→⊥BC AP .P ∴在BC 边上的高上，过垂心，答案C .例3-2：已知O 为△ABC 所在平面内的一点，且满足=+=+→→→→2222||||||||AC OB BC OA22||||→→+AB OC ,则O 是△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：由题知2222||||||||→→→→-=-BC AC OB OA ，即=+⋅-→→→→)()(OB OA OB OA)()(→→→→+⋅-BC AC BC AC ，即0)()(=+⋅++⋅→→→→→→OB OA AB BC AC AB ,即02=⋅→→OC AB ，故→→⊥OC AB ，同理→→⊥OB AC ，→→⊥OA BC∴O 是△ABC 的垂心，答案C .例3-3：设O 是△ABC 的外心，点P 满足→→→→=++OP OC OB OA ,则P 是△ABC 的（ ）A .内心B .任意一点C .垂心D .重心 解析：由题知→→→→→=-=+CP OC OP OB OA ，由于O 是△ABC 的外心，故→→→=+OD OB OA 2（D 为线段AB 的中点）且→→⊥AB OD ，即→→=OD CP 2，→→⊥∴AB CP ，同理→→⊥AC BP ，→→⊥BC AP ，故P 是△ABC 的垂心，答案C .四、三角形的重心（1）定义：三角形三条中线的交点（如图4）.（2）向量表示：若O 为△ABC 的重心→→→→=++⇔0OC OB OA . （3）常用性质 （ 图4 ）性质1：若O 为△ABC 的重心ABC OBC OAC OAB S S S S ∆∆∆∆===⇔31性质2：若O 为△ABC 的重心→→=⇔AF AO 32，→→=BD BO 32，→→=CF CO 32性质3：已知),(11y x A ，),(22y x B ,),(33y x C .若O 为△ABC 的重心)3,3(321321y y y x x x O ++++⇔.（4）典例剖析例4-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足)sin ||sin ||(CAC AC BAB AB OA OP →→→→→→++=λ，),0(+∞∈λ，则动点P 的轨迹一定经过△ABC的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：由题知)sin ||sin ||(CAC AC BAB AB AP →→→→→+=λ，其中hC AC B AB ==→→sin ||sin ||（h 表示BC 边上的高），故)(hACh AB AP →→→+=λ→=AF h λ2（F 为线段BC 的中点）. P ∴在BC 边上的中线上，故动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心，答案D .例4-2：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足])21()1()1[(31→→→→++-+-=OC OB OA OP λλλ，R ∈λ，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：设AB 的中点为D ，故])21()1(2[31→→→++-=OC OD OP λλ，由于+-3)1(2λ1321=+λ，即点P ，C ，D 三点共线. P ∴在AB 边上的中线上，故动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心，答案D .例4-3：已知O 在△ABC 内，且满足→→→→=++0432OC OB OA ，现在到△ABC 内随机取一点，次点取自△OAB ，△OAC ，△OBC 的概率分别记为1P 、2P 、3P ,则（ ）A .321P P P ==B .123P P P >>C .321P P P >>D .312P P P >> 解析：法一：如图，延长OA ，OB ，OC 使得OA OD 2=,OB OE 3=，OC OF 4=, 故→→→→=++0OF OE OD ，即O 是△DEF 的重心，即△OED 、△ODF 、 △OEF 的面积相等，不妨令它们的面积都为1. 61=∴∆OAB S ，81=∆OAC S ，121=∆OBC S ,故321P P P >>，答案C . 法二：由“奔驰定理”知，k S OBC 2=∆，k S OAC 3=∆，kS OAB 4=∆（k 为比例系数），故321P P P >>，答案C .法三：根据三角形内心的向量表示，不妨设O 是以2k ，3k ，4k （k 为比例系数）为边长的三角形的内心，所以OBC OAC OAB S S S ∆∆∆>>,即321P P P >>，答案C .五、等腰（边）三角形的四心 （1）等腰三角形等腰三角形只有顶角的角平分线与中线、高三线重合，其余的线不重合.另外，等腰三角形的四心不重合. （2）等边三角形性质1：若△ABC 为等边三角形⇔△ABC 四心合一. 性质2：若△ABC 为等边三角形⇔△ABC 三线合一. 六、欧拉线*瑞士数学家欧拉（1707~1783）于1765年在他的著作《三角形 的几何学》中首次提出：（如图5）任意△ABC （非等边三角形）的垂心D 、重心E 、外心F 三点共线，即欧拉线. （图5）特别地，（如图6）当△ABC 为直角三角形时（A 为直角），垂心D 与A 重合，外心F 在BC 的中点上，欧拉线为直角△ABC 的外接圆半径（或BC 边上的中线）.（图6）性质1：在任意三角形中，垂心与重心的距离是重心与外心距离的2倍，即EF DE 2=.。
向量与三角形内心外心重心垂心
向量与三角形的重心、垂心、内心、外心的关系一、四心的概念介绍、（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四线与向量的结合121212,PA =1=,=.ABOA OB PB AB λλλλλλ=++u u r u u u r u u u r1.定理：如图，设OP 则，且(记忆:交叉分配系数)=()OA OBAP BPλ+u u u r u u u r2.若M 是OP 上的任意一点，则OM (记忆:分母对应分配系数)应用1:（1）中线: （2）高线:（3）角平分线: （4）中垂线:应用2.四线上的动点表示:(1)中线上的动点: ()AB AC λ+u u u r u u u r 或()||sin ||sin ABAC AB B AC Cλ+u u u ru u u r u u ur u u u r(2)高线上的动点:()cos cos AB ACAB B AC Cλ+u u u r u u u r u u u r u u u r, (3)角平分线上的动点:()AB ACAB AC λ+u u u r u u u r u u u r u u u r(4)中垂线上的动点: ()2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλ+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,三、四心与向量的结合 1.BOC AOC AOB O ABC S OA S OB S OC ∆∆∆∆++=u u u r u u u r u u u r r 定理：设是内任意一点，则（记忆：拉力平衡原则） 应用:（1）O 是ABC ∆的重心. ⇔b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆=1:1:1⇔ 0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r（2）O 为ABC ∆的垂心. ⇔ C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ ⇔0OC C tan OB B tan OA A tan =++（3）O 为ABC ∆的内心.⇔c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆=sin :sin :sin A B C⇔0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或⇔0aOA bOB cOC ++=u u u r u u u r u u u r r （4）O 为ABC ∆的外心⇔ ⇔ 0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++2.四心的向量表示：（1）O 是ABC ∆的重心. ⇔ 1()3PO PA PB PC =++u u u ru u u ru u u ru u u r（2）O 为ABC ∆的垂心. ⇔OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（3）O 为ABC ∆的内心.⇔()()()0AB AC BC BA CA CBOA OB OC AB AC BC BA CA CB•-=•-=•-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （4）O 为ABC ∆的外心 ⇔OC OB OA ==四．典型例题：一、与三角形“四心”相关的向量问题题1：已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足||||AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r , [0,)λ∈+∞. 则P 点的轨迹一定通过△ABC 的 A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心题2：已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++u u u r u u u r u u u r u u u r, [0,)λ∈+∞. 则P 点的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题3：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||sin ||sin AB ACOP OA AB B AC Cλ=++u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ,[0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的 C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心题4：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC Cλ=++u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ,[0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心题5：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλ+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , [0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心题6：三个不共线的向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 满足()||||AB CA OA AB CA ⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =(||BA OB BA ⋅u u u r u u u r u u u r+||CB CB u u u r u u u r ) =()||||BC CA OC BC CA ⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r = 0，则O 点是△ABC 的( )A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心题7：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OC ++u u u r u u u r u u u r= 0, 则O 点是△ABC的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题8：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若1()3PO PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r(其中P 为平面上任意一点), 则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题9：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则O点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题10：已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足2222||||||||OA BC OB CA +=+u u u r u u u r u u u r u u u r=22||||OC AB +u u u r u u u r ，则O 点是△ABC 的( )A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心题11：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若()OA OB AB +⋅u u u r u u u r u u u r =()OB OC BC +⋅u u u r u u u r u u u r= ()OC OA CA +⋅u u u r u u u r u u u r= 0，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心 题12：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若aOA bOB cOC ++u u u r u u u r u u u r= 0，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题13：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若aPA bPB cPCPO a b c++=++u u u r u u u r u u u ru u u r (其中P 是△ABC 所在平面内任意一点)，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题14：△ABC 的外接圆的圆心为O ，两边上的高的交点为H ，OH u u u r =()m OA OB OC ++u u u r u u u r u u u r，则实数m =____________.二、与三角形形状相关的向量问题 题15：已知非零向量ABu u u r 与AC uuu r 满足()||||AB AC BC AB AC +⋅u u u r u u u ru u ur u u u r u u u r = 0且12||||AB AC AB AC ⋅=u u u r u u u ru u u r u u u r ，则△ABC 为( ) A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形 题16：已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足|||2|OB OC OB OC OA -=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则△ABC 一定是( )A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形题17：已知△ABC ，若对任意t R ∈，||BA tBC -u u u r u u u r ≥||AC u u u r，则△ABC( )A. 必为锐角三角形B. 必为钝角三角形C. 必为直角三角形D. 答案不确定题18：已知a , b, c 分别为△ABC 中∠A, ∠B, ∠C 的对边，G 为△ABC 的重心，且a GA b GB c GC ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r= 0, 则△ABC 为( )A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形 三、与三角形面积相关的向量问题题19：已知点O 是△ABC 内一点，23OA OB OC ++u u u r u u u r u u u r= 0, 则：(1) △AOB 与△AOC 的面积之比为___________________； (2) △ABC 与△AOC 的面积之比为___________________； (3) △ABC 与四边形ABOC 的面积之比为_____________. 四、向量的基本关系(共线)题20：如图，已知点G 是△ABC 的重心，若PQ uuu r过△ABC 的重心，记CA u u u r = a ,CB u u u r = b , CP u u u r = m a , CQ uuu r = n b , 则11m n+=_____.练习．O 为ABC ∆平面上一定点，该平面上一动点p 满足{|(sin ABM P OP OA C ABλ==++u u u ru u u r u u u r u u u r sin )0}AC B ACλ>u u u r u u u r ，，则ABC ∆的（ ） 一定属于集合M .（A ）重心 （B ）垂心 （C ）外心 （D ）内心GABCMP Q。
平面向量与三角形的“四心”问题
平面向量与三角形的“四心”综合问题【例题精讲】例题1 已知O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|，NA ―→＋NB ―→＋NC ―→＝0，且P A ―→·PB ―→＝PB ―→·PC ―→＝PC ―→·P A ―→，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心 外心 垂心B ．重心 外心 内心C ．外心 重心 垂心D ．外心 重心 内心【解析】由|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|知，O 为△ABC 的外心； 由NA ―→＋NB ―→＋NC ―→＝0知，N 为△ABC 的重心；因为P A ―→·PB ―→＝PB ―→·PC ―→，所以(P A ―→－PC ―→)·PB ―→＝0， 所以CA ―→·PB ―→＝0，所以CA ―→△PB ―→，即CA △PB ，同理AP △BC ，CP △AB ，所以P 为△ABC 的垂心，故选C.例题2 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP ―→＝x OB ―→＋y OC ―→，其中x ，y △[0,1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( ) A.1063B ．1463C ．4 3D ．62【解析】根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形及其内部， 其面积为△BOC 的面积的2倍．在△ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a ＝7.设△ABC 的内切圆的半径为r ，则12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263，所以S △BOC ＝12×a ×r ＝12×7×263＝763.故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝1463，故选B.【知识小结】三角形“四心”的向量表示(1)在△ABC 中，若|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|或OA ―→2＝OB ―→2＝OC ―→2，则点O 是△ABC 的外心．(2)在△ABC 中，若GA ―→＋GB ―→＋GC ―→＝0，则点G 是△ABC 的重心．(3)对于△ABC ，O ，P 为平面内的任意两点，若OP ―→－OA ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→＋12BC ―→，λ△(0，＋∞)，则直线AP 过△ABC 的重心． (4)OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→＝OC ―→·OA ―→或者|OA ―→|2＋|OB ―→|2＝|OB ―→|2＋|OC ―→|2＝|OC ―→|2＋|OA ―→|2，则点O 为三角形的垂心．(5)|BC ―→|·OA ―→＋|AC ―→|·OB ―→＋|AB ―→|·OC ―→＝0，则点O 为三角形的内心．(6)对于△ABC ，O ，P 为平面内的任意两点，若OP ―→＝OA ―→＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB ―→|AB ―→|＋AC ―→|AC ―→|(λ>0)，则直线AP 过△ABC 的内心．【变式练习】1．已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP ―→＝OA ―→＋λ(AB ―→＋AC ―→)，λ△(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【解析】选C 由原等式，得OP ―→－OA ―→＝λ(AB ―→＋AC ―→)，即AP ―→＝λ(AB ―→＋AC ―→)，根据平行四边形法则，知AB ―→＋AC ―→＝2AD ―→(D 为BC 的中点)，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．故选C.2．在△ABC 中，|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2，AD ―→＝12AB ―→＋34AC ―→，则直线AD 通过△ABC 的( )A ．重心B ．外心C ．垂心D ．内心解析：选D △|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2，△12|AB ―→|＝34|AC ―→|＝32.设AE ―→＝12AB ―→，AF ―→＝34AC ―→，则|AE ―→|＝|AF ―→|.△AD ―→＝12AB ―→＋34AC ―→＝AE ―→＋AF ―→，△AD 平分△EAF ，△AD 平分△BAC ，△直线AD 通过△ABC 的内心。
向量与三角形内心、外心、重心、垂心
向量与三角形的重心、垂心、内心、外心的关系一、四心的概念介绍、（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四线与向量的结合121212,PA =1=,=.ABOA OB PB AB l l l l l l =++1.1.定理：如图，设定理：如图，设定理：如图，设OP OP 则则，且 (记忆:交叉分配系数) =()OA OBAP BP l +2.2.若若M 是OP OP上的任意一点，则上的任意一点，则上的任意一点，则OM OM (记忆:分母对应分配系数) 应用1: （1）中线: （2）高线: （3）角平分线: （4）中垂线: 应用2.四线上的动点表示: (1)中线上的动点: ()AB AC l +或()||sin ||sin AB AC AB B AC Cl +(2)高线上的动点:()cos cos AB AC AB BAC C l +, (3)角平分线上的动点:()AB ACABACl +(4)中垂线上的动点: ()2||cos ||cos OB OCAB AC OP AB B AC Cl +=++,O ABC OA S OB S OC D 定理：设是内任意一点，b a SAOBAOC：：：=D =1:1:1Û0OA OB OC ++=B tan A tan S AOB AOC ：：：=D 0OC OB OA 0aOA bOB cOC 1()3PO PA PB PC =++OA OB OB OC OC OA ×=×=× )))AB AC BC BA CA OC OB OA 已知O 是平面上一定点，||||AB AC AB AC l æö=++ç÷, l 题2：已知O 是平面上一定点，()OP OA AB AC l =++, l ÎO 是平面上的一定点，A ()||sin ||sin AB AC OP OA AB B AC Cl =++是平面上的一定点，A 、B ()||cos ||cos AB AC AB B AC Cl +题5：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点()OB OCABAC++D. 内心,,OA OB OC 满足()||||AB CA OA AB CA ×+=(||BA OB BA ×+||CB CB ) ()||||BC CAOC BC CA ×+= 0内心 D. 外心OA OB OC ++= 0, 1()PO PA PB PC D. 垂心OA OB OB OC OC OA ×=×=×，则 D. 垂心 2222|||||||OA BC OB CA +=+=22|||OC AB +，则 D. 外心题11：已知O 是△ABC )OA OB AB +×()OB OC BC +×()OC OA CA +×= 0，则 D. 垂心aOA bOB cOC ++= = 00，则D. 垂心aPA bPB cPC =题14：△ABC 的外OH =()m OA OB OC ++，则实数二、与三角形形状相关的向量问题题15：已知||||ABACAB AC 12||||AB AC AB AC ×=，则△等边三角形|||2|OB OC OB OC OA -=+-，则等边三角形||BA tBC -≥||AC ，则△题18：已知a , b, c 分别为△GA b GB c GC ×+×+×= = 00, 则△内一点，23OA OB OC ++= 0, 则：题20：如图，已知点是△ABC 的重心，若PQ 过△ABC 的重心，记CA = a ,则11m n +=_____.|(sin AB OP OA C ABl =++sin )AC B ACG C P Q 。
高中数学向量与三角形问题专题辅导
高中数学向量与三角形问题平面向量的应用十分广泛。
由于三角形中的有关线段可以视为向量，线线之间的位置关系、大小关系以及边角关系均可以用向量表示，这就为向量与三角形的沟通、联系、交汇提供了条件。
在这类问题中，往往要涉及到向量的和差运算、数乘运算、数量积运算以及向量的共线、垂直、向量的模等性质，因此解题思路较宽、方法灵活、综合性强。
本文就此介绍几例，以供参考一、运用向量知识求三角形面积 例1. 已知△ABC ，AB →=(cos cos )2367°，°，BC →=(cos cos )268222°，°，试求△ABC 的面积。
解：因BA →=--(cos cos )2367°，°，BC →=(cos cos )268222°，°，所以||||BA BC →=→=12，，BA BC →→=--=·°°°·°2236826722cos cos cos cos-=-2452cos °，即-=→2BA ·BC BA BC B →=→→||||cos ，则cos B =-=-21222×， sin B =22，则△ABC 的面积为：1222||||sin BA BC B →→=。
二、运用向量知识判断三角形形状 例 2. 在△ABC 中，()BC CA →→·：()()CA AB AB BC →→→→·：·＝1：2：3，试判断△ABC 的形状。
解：设BC CA k CA AB k AB BC k k →→=→→=→→=·，·，·≠230()，令||BC →＝a ，||CA b →=，||AB c →=。
因BC CA BC CA →→=→→·||||cos()cos π-=-C ab C ，而ab C cos ＝12222()a b c +-，所以a b c k 2222+-=-。
高三数学-专题复习-向量专题(1)向量与三角形四心内心、外心、重心、垂心(附向量知识点)
高三数学-三角形四心与向量关系-内心、外心、重心、垂心(附向量知识点)「、三角形四心知识点(1) 重心——中线的交点：重心将中线长度分成2 : 1 ；(2) 垂心一一高线的交点：高线与对应边垂直；(3) 内心一一角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等;(4) 外心——中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、向量知识点☆零向量：长度为0的向量，记为0,其方向是任意的，0与任意向量平行☆单位向量：模为1个单位长度的向量向量a0为单位向量I a0|= 1.☆平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量平行向量也称为共线向量一uuu UULT uuur☆向量加法AB BC = AC向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：uuu uur uuur uuu uuu uuuAB BC CD L PQ QR AR，但这时必须“首尾相连”.☆实数与向量的积：①实数入与向量a的积是一个向量，记作入a，它的长度与方向规定如下：(I) a a ；(U)当0时，入a的方向与a的方向相同；当0时，入a的方向与a的方向相反；当0时，a 0，方向是任意的☆两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b = a☆平面向量的基本定理：如果0(2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数i , 2使：a 心 2e 2，其中不共线的向量©（2叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底☆平面向量的坐标运算:uuu⑵若 A X i , y i , B X 2, y 2，则 AB x ? X i , y 2 y i⑶若a ：=(x,y), 则 a =( x, y)⑷若a 冷％ r ,b r r x 2, y 2，贝U a//b x 』2 X2% 0⑸若a冷％ r ,br rx 2, y 2，贝U a b ,X iX 2y i y 2☆向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和 性质☆两个向量的数量积：rr r已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为，则a • b = I a 丨・丨b 丨cos叫做a 与b 的数量积（或内积）规定o$ 0rr☆数量积的几何意义：a • b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积ra若r br by2y1卷X1yy y1X1r bra☆向量的投影:I cos€R ，称为向量b 在a 方向上的投影 投影的绝对值称为射影☆向量的模与平方的关系: r r r 2 r 2 a a a | a |☆乘法公式成立： a br 2 r r r a 2a bb☆向量的夹角：已知两个非零向量 a 与b , uun r uuu r作O A = a , O B = b ,贝AOB=(0°1800 )叫做向量a 与b 的夹角y2卷r r 2 r 2 r r r 2 a b a 2a b br r c r r c r当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，B =0°,当且仅当a 与b 反方向时9 =180 0,同时0与其 它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 补充： 线段的定比分点x i x 2X i，p 为P i P 2中点时， y i y 21y设 P X i ，y i ，P 2 X 2，y 2，分点 Px ， y ,设R 、P 2是直线I 上两点，P 点在I 上且不同于R 、 P 2，若存在一实数，使 P i PPP 2，则叫做P 分有向线段RP 2所成的比（0，P 在线段P 1P 2内,0，P 在RP 2外），且 如: ABC ，A X i ，y i ，B X 2，y ?C X 3，y 3则ABC 重心G 的坐标是X i X 2 X 3y i y 2 y 33cos = cosrarb 9. rax 1 x 2 2 y i y 2 2—b 2 y2三角形四心与向量关系典型例题: 例1 : O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点分析：如图所示ABC , D、E分别为边BC、AC的中点.AB AC 2AD OP OA 2 ADOP OA AP AP 2 AD AP〃AD点P的轨迹一定通过ABC的重心，即选C .AB AC平分BAC ,AB AC 满足OP OA (AB AC),0, ，则点P的轨迹一定通过ABC的（A .外心B .内心C .重心D .垂心OP 例2 : O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，OA(AB AC、AC），0, ，则点P的轨迹一定通过ABC的（B动点满足A .外心B .内心C .重心D .垂心分析：ABMAC分别为AB、AC方向上的单位向量,ACOP点P的轨迹一定通过ABC的内心，即选例3: O是平面上一定点，OA (AB ACB.AB cosB),AC cosCA、B、0,是平面上不共线的三个点, 动点,则点P的轨迹一定通过ABC的（满足A .外心B .内心C .重心D .垂心分析：如图所示AD垂直BC , BE 垂直AC ,D、E是垂足.AB ACAB cosB)BCAC cosCB D=AB BC AC BCAB cosB AC cosC三、四心与向量的结合证法 1:设 O(x, y), A(x 「yj B (X 2, y 2),C(X 3, y 3)证法2 :如图AO 2ODO 是ABC 的重心(2)OA OB OB OC OC OA O 为 ABC 的垂心. 证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心, BE 垂直 AC ，AD 垂直BC E 是垂足.OA OB OB OC OB(OA OC) OB CA 0 OB AC 同理OA BC ，OC AB O 为 ABC 的垂心 (3)设a,b ,c 是三角形的三条边长，0是 ABC 的内心 AC BC cosC| AC | cosC点P 的轨迹一定通过 ABC 的垂心，即选D .(1 ) OA OB OCO 是ABC 的重心.OA OB OC 0(X i x) (y i y)(X 2 x) (X 3 x) 0 y) (y 3y) 0(y 2X i X 2 X 33 % y 2 y 33O 是ABC 的重心.OA OB OC OA2ODA 、0、D 三点共线, 且O 分AD 为2 :AB BC cosBBC + BC =0aOA bOB cOC 0 O 为 ABC 的内心.证明： AB 、、AC 分别为ABAC 方向上的单位向量,c b aOA bOB cOC 0(4) OA OB OC O 为 ABC 的外心。