积分中值定理(开区间)证明的几种方法

积分中值定理（开区间）的几种证明方法

定理：设f 在[,]a b 上连续，则(,)a b ξ∃∈，使得

()()()b

a f x dx f

b a ξ=-⎰。

[证一]：由积分第一中值定理（P217），

[,]a b ξ∃∈， 使得

()()()b a f x dx f b a ξ=-⎰。 于是

[()()]0.b a

f x f dx ξ-=⎰ 由于函数()()()F x f x f ξ=-在[,]a b 上连续，易证（可反证）：

(这还是书上例2的结论)

(,)a b η∃∈，使得()()()0F f f ηηξ=-=，即()()f f ηξ=。

[证二]：令()()x

a F x f t dt =⎰，则()F x 在[,]a

b 上满足拉格朗日中值定理的条件，故

(,)a b ξ∃∈，使得()()()()F b F a F b a ξ'-=-，即结论成立。

（注：书上在后面讲的微积分基本定理）

[证三]：反证：假设不(,)a b ξ∃∈，使得 ()()()b

a f x dx f

b a ξ=-⎰，由积分第一中值定理，

知ξ只能为a 或b ，不妨设为b ，即

1(,),()()()b a x a b f x f b f x dx b a

∀∈≠=-⎰。 由于f 连续，故(,),x a b ∀∈ ()()f x f b >（或()()f x f b <），

（这一点是不是用介值定理来说明）

这样

（上限x 改为b ）()()()().x

b

a a f x dx f

b dx f b b a >=-⎰⎰ （这个严格不等号不太显然要用书上例2结论来说明）

矛盾。

[证四]：设f 在[,]a b 上的最大值为M ，最小值为m 。若m M =，则f c ≡，ξ可任取。

若m M <，则1[,]x a b ∃∈，有1()0M f x ->，故

[()]0b a M f x dx ->⎰，即 ()().b

a f x d x M

b a

<-⎰

同理有

()().b

a m

b a f x dx -<⎰ 由连续函数的介质定理知：(,)a b ξ∃∈，使得 1()().b a f f x dx b a

ξ=-⎰。

注：以上方法有的能推广到定理9.8的证明，有的不能，再思考吧！