套定理证明闭区间上连续函数的性质
高数辅导之专题八：闭区间上连续函数的性质
专题八基础知识闭区间上连续函数的几大定理：定理1（最值定理）若函数)(x f y =在闭区间],[b a 上连续，则（1）在],[b a 上至少存在一点1ξ，使得对于任意],[b a x ∈，恒有)()(1x f f ≥ξ。
（2）在],[b a 上至少存在一点2ξ，使得对于任意],[b a x ∈，恒有)()(2x f f ≤ξ。
)(1ξf 和)(2ξf 为函数)(x f y =在闭区间],[b a 上的最大值和最小值。
定理2（有界定理）闭区间上的连续函数必有界。
定理3（介值定理）若)(x f 在],[b a 上连续，则它在),(b a 内能取得介于其最小值和最大值之间的任何数。
定理4（零点定理）若)(x f 在],[b a 上连续，且0)()(<⋅b f a f ，则至少存在一点),(b a c ∈，使得0)(=c f 。
例题1. 设函数)(x f 在),(b a 内连续，b x x a <<<21，01>t ，02>t ，试证在),(b a 内至少存在一点c ，使得)()()()(212211c f t t x f t x f t +=+。
证明：令212211)()(t t x f t x f t T ++=，下面分两种情形说明： （1）)()(21x f x f =时，)()(21x f x f T ==，可取1x c =（或2x ）),(b a ∈，得证。
（2）)()(21x f x f ≠时，不妨假设)()(21x f x f <，则有)()(2111x f t x f t <，)()(2212x f t x f t < 0(1>t ，)02>t故212221212211)()()()(t t x f t x f t t t x f t x f t T ++<++=)()()(221221x f t t x f t t =++= 211211212211)()()()(t t x f t x f t t t x f t x f t T ++>++= )()()(121121x f t t x f t t =++=亦即)()(21x f T x f <<由题设，函数)(x f 在],[21x x 上连续，)()(21x f T x f <<，从而由闭区间上连续函数的介值定理知存在),(),(21b a x x c ⊂∈，使得T c f =)(。
高数第1章第7节——闭区间上连续函数的性质
y
oa
bx
注记 此定理是闭区间上连续函数的最大值和最小值 存在性定理，后面会给出具体的最大值最小值的求法. 在最大值最小值定理中，函数连续和区间是闭的是定 理成立的重要条件，缺一不可，即：
(1)f(x)在(a,b)内连续，定理的结论不一定成立. 例如：f(x) 1 在(0,1)内连续，但在(0,1)内不能
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
1
如
:
f
(x)
x
1
y
x1 1 x2 x2
在(1,2)连续, 但没有零点.
y
1
ao
o
12
x
-1
bx
定理 1.7.4 设 f(x) 在闭区间[a,b]上连续 , 且 f(a)
f(b) 那么对介于 f(a) 与 f(b) 之间的任何数 , 在开区
间(a,b)内至少存在一点 ，使 f() = .
1.7 闭区间上连续函数的性质
一、 最大值和最小值定理 二、 零点定理与介值定理
一、 最大值和最小值定理
定理1.7.1 设 f ( x)在[a, b]上连续 , 则 f ( x)在[a, b] 上
一定能取到最大值和最小值, 即存在1 ,2 [a, b], 使 对一切 x [a, b], 有f (2 ) f ( x) f (1), 其中f (1)和
几何解释:
连续曲线弧 y f ( x)与
水平直线y 至少有
一个交点.
y
M f(b)
a
o
f(a)
mHale Waihona Puke bx推论1.7.1 在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)必 取得介于最大值 与最小值 之间的任何值.
实数集的完备性的基本定理闭区间上连续函数性质的证明
第七章 实数的完备性§1 关于实数集完备性的基本定理(一) 教学目的：理解区间套定理,聚点定理,致密性定理,有限覆盖定理的条件和结论.理解这些定理的含意及关系,了解各定理的证明思路．(二) 教学内容：区间套定理、柯西判别准则的证明；聚点定理；有限覆盖定理．(三) 基本要求：(1) 掌握和运用区间套定理、致密性定理．(2)掌握聚点定理和有限覆盖定理的证明与运用．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是区间套定理和致密性定理．教会学生在什么样情况下应用区间套定理和致密性定理以及如何应用区间套定理和致密性定理．(2) 本节的难点是掌握聚点定理和有限覆盖定理．教会较好学生如何应用聚点定理和有限覆盖定理．——————————————————————————————一 区间套定理与柯西收敛准则定义1 区间套: 设} ] , [ {n n b a 是一闭区间序列. 若满足条件ⅰ） 对n ∀, 有 ] , [11++n n b a ⊂] , [n n b a , 即 n n n n b b a a ≤<≤++11, 亦即 后一个闭区间包含在前一个闭区间中;ⅱ） ,0→-n n a b )(∞→n . 即当∞→n 时区间长度趋于零.则称该闭区间序列为闭区间套, 简称为区间套 .区间套还可表达为:, 1221b b b a a a n n ≤≤≤≤<≤≤≤≤ ,0→-n n a b )(∞→n . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列} {n a 和 } {n b , 其中} {n a 递增,} {n b 递减.例如 } ] 1 , 1 [ {n n -和} ] 1 , 0 [ {n都是区间套. 但 } ] 21 , ) 1 (1 [ {n n n +-+、} ] 1 , 0 ( {n 和 } ] 11 , 1 [ {nn +- 都不是. 区间套定理Th7.1(区间套定理) 设} ] , [ {n n b a 是一闭区间套. 则在实数系中存在唯一的点 ξ, 使对n ∀有∈ξ] , [n n b a . 简言之, 区间套必有唯一公共点.二 聚点定理与有限覆盖定理定义 设E 是无穷点集. 若在点ξ(未必属于E )的任何邻域内有E 的无穷多个点, 则称点ξ为E 的一个聚点.数集 E =} 1 {n有唯一聚点 0, 但 E ∉0;开区间 ) 1 , 0 (的全体聚点之集是闭区间] 1 , 0 [;设Q 是] 1 , 0 [中全体有理数所成之集, 易见Q 的聚点集是闭区间 ] 1 , 0 [.Th 7.2 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.2. 聚点原理 : Weierstrass 聚点原理.Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点. 三 实数完备性基本订立的等价性证明若干个命题等价的一般方法.本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行:Ⅰ: 确界原理 ⇒ 单调有界原理 ⇒ 区间套定理 ⇒ Cauchy 收敛准则 ⇒确界原理 ;Ⅱ: 区间套定理 ⇒ 致密性定理 ⇒ Cauchy 收敛准则 ;Ⅲ: 区间套定理 ⇒ Heine –Borel 有限复盖定理 ⇒ 区间套定理 .一. “Ⅰ” 的证明: (“确界原理 ⇒ 单调有界原理”已证明过 ).1. 用“确界原理”证明“单调有界原理”:Th 2 单调有界数列必收敛 .2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”:Th 3 设} ] , [ {n n b a 是一闭区间套. 则存在唯一的点ξ,使对n ∀有∈ξ] , [n n b a . 推论1 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点, 则对0>∀ε, ,N ∃ 当N n >时, 总有] , [n n b a ) , (εξ ⊂.推论2 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点, 则有n a ↗ξ, n b ↘ξ, ) (∞→n .3. 用“区间套定理”证明“Cauchy 收敛准则”:Th 4 数列} {n a 收敛 ⇔ } {n a 是Cauchy 列.引理 Cauchy 列是有界列. ( 证 )Th 4 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书P217—218上的证明留作阅读 . 现采用三等分的方法证明, 该证法比较直观.4． 用“Cauchy 收敛准则” 证明“确界原理” ：Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 .证 （只证“非空有上界数集必有上确界”）设E 为非空有上界数集 . 当E 为有限集时 , 显然有上确界 .下设E 为无限集, 取1a 不是E 的上界, 1b 为E 的上界. 对分区间 ] , [11b a , 取 ] , [22b a , 使2a 不是E 的上界, 2b 为E 的上界. 依此得闭区间列} ] , [ {n n b a . 验证} {n b 为Cauchy 列, 由Cauchy 收敛准则,} {n b 收敛; 同理} {n a 收敛. 易见n b ↘. 设n b ↘β.有 n a ↗β.下证β=E sup .用反证法验证β的上界性和最小性.二. “Ⅱ” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“致密性定理”:Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.证 （ 突出子列抽取技巧 ）Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.2．用“致密性定理” 证明“Cauchy 收敛准则” ：Th 4 数列} {n a 收敛 ⇔ } {n a 是Cauchy 列.证 （ 只证充分性 ）证明思路 ：Cauchy 列有界→ 有收敛子列→验证收敛子列的极限即为} {n a 的极限.“Ⅲ” 的证明:1.用“区间套定理”证明“Heine –Borel 有限复盖定理”: 2. 用“Heine –Borel 有限复盖定理” 证明“区间套定理”:§2 闭区间上连续函数性质的证明 ( 4 时 )(一) 教学目的：证明闭区间上的连续函数性质．(二) 教学内容：闭区间上的连续函数有界性的证明；闭区间上的连续函数的最大(小)值定理的证明；闭区间上的连续函数介值定理的证明；闭区间上的连续函数一致连续性的证明．(三)基本要求：1）理解闭区间上连续函数性质的证明思路和证明方法.掌握用有限覆盖定理或用致密性定理证明闭区间上连续函数的有界性；用确界原理证明闭区间上的连续函数的最大(小)值定理；用区间套定理证明闭区间上的连续函数介值定理．2)掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的有界性和一致连续性．(四) 教学建议：(1) 本节的重点是证明闭区间上的连续函数的性质．(2) 本节的难点是掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的一致连续性以及实数完备性的六大定理的等价性证明，对较好学生可布置这方面的习题．————————————————————————一. 有界性:命题1 ] , [)(b a C x f ∈, ⇒ 在] , [b a 上)(x f =) 1 (O .证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法.证法 二 ( 用列紧性 ). 反证法.证法 三 ( 用有限复盖定理 ).二. 最值性:命题2 ] , [)(b a C x f ∈, ⇒ )(x f 在] , [b a 上取得最大值和最小值.( 只证取得最大值 )证 ( 用确界原理 ) 参阅[1]P226[ 证法 二 ] 后半段.三. 介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”.命题3 ( 零点定理 )证法 一 ( 用区间套定理 ) .证法 二 ( 用确界原理 ). 不妨设 ,0)(>a f 0)(<b f .令} ] , [ , 0)( | {b a x x f x E ∈>=, 则E 非空有界, ⇒ E 有上确界. 设E sup =ξ有∈ξ] , [b a . 现证 0)(=ξf , ( 为此证明)(ξf 0≥且)(ξf 0≤ ). 取n x >ξ 且n x ) ( ,∞→→n ξ. 由)(x f 在点ξ连续和0)(≤n x f , ⇒ 0)(lim )(≤=∞→n n x f f ξ, ⇒ ξE ∉. 于是) ( , ∞→→∍∈∃n t E t n n ξ. 由)(x f 在点ξ连续和0)(>n t f , ⇒ 0)(lim )(≥=∞→n n t f f ξ. 因此只能有0)(=ξf . 证法 三 ( 用有限复盖定理 ).四. 一致连续性:命题4 ( Cantor 定理 )证法 一 ( 用区间套定理 ) . 参阅[1]P229—230 [ 证法一 ]证法 二 ( 用列紧性 ). 参阅[1]P229—230 [ 证法二 ]习题课 （ 4 时 ）一． 实数基本定理互证举例：例1 用“区间套定理”证明“单调有界原理”.证 设数列} {n x 递增有上界. 取闭区间 ] , [11b a , 使1a 不是} {n x 的上界, 1b 是} {n x 的上界. 易见在闭区间 ] , [11b a 内含有数列} {n x 的无穷多项, 而在] , [11b a 外仅含有} {n x 的有限项. 对分] , [11b a , 取] , [22b a 使有] , [11b a 的性质.…….于是得区间套] , [ {n n b a },有公共点ξ. 易见在点ξ的任何邻域内有数列} {n x 的无穷多项而在其外仅含有} {n x 的有限项, ⇒ ξ=∞→n n x lim . 例2 用“确界原理”证明“区间套定理”.证 ] , [ {n n b a }为区间套. 先证每个m a 为数列} {n b 的下界, 而每个m b 为数列的上界. 由确} {n a 界原理 , 数列} {n a 有上确界, 数列} {n b 有下确界 . 设 inf =α} {n b , sup =β} {n a .易见有n n b a ≤≤α 和n n b a ≤≤β.由) ( , 0∞→→-n a b n n ，βα=⇒. 例3 用“有限复盖定理”证明“聚点原理”.证 ( 用反证法 ) 设S 为有界无限点集, ] , [b a S ⊂. 反设] , [b a 的每一点 都不是S 的聚点, 则对∈∀x ] , [b a , 存在开区间 ) , (x x βα, 使在) , (x x βα内仅有S 的有限个点. …… .例4 用“确界原理”证明“聚点原理”.证 设S 为有界无限点集. 构造数集 E x E | {=中大于x 的点有无穷多个}. 易见数集E 非空有上界, 由确界原理, E 有上确界. 设 E sup =β. 则对0 >∀ε,由εβ-不是E 的上界,⇒ E 中大于εβ-的点有无穷多个; 由εβ+是E 的上界,⇒ E 中大于εβ+的点仅有有限个. 于是, 在) , (εβεβ+-内有E 的无穷多个点,即β是E 的一个聚点 .一． 确界存在定理：回顾确界概念．Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 .二. 单调有界原理: 回顾单调和有界概念 .Th 2 单调有界数列必收敛 .二. 实数基本定理应用举例：例5 设)(x f 是闭区间] , [b a 上的递增函数, 但不必连续 . 如果a a f ≥)(, b b f ≤)(, 则∈∃0 x ] , [b a , 使00)(x x f =. ( 山东大学研究生入学试题 )证法 一 ( 用确界技术 . 参阅[3] P76例10 证法1 )设集合 } , )( | {b x a x x f x F ≤≤≥=. 则F a ∈, F 不空 ; F ⊂] , [b a , F 有界 . 由确界原理 ,F 有上确界. 设 F x sup 0=, 则 ∈0x ] , [b a .下证 00)(x x f =.ⅰ） 若∈0x F , 有00)(x x f ≥; 又b b f x f ≤≤)()(0, 得∈)(0x f ] , [b a . 由 )(x f 递增和00)(x x f ≥, 有≥))((0x f f )(0x f , 可见)(0x f ∈F . 由F x sup 0=,⇒ )(0x f 0x ≤. 于是 , 只能有00)(x x f =.ⅱ） 若∉0x F , 则存在F 内的数列} {n x , 使n x ↗0x , ) (∞→n ; 也存在数列 } {n t , ,0b t x n ≤< n t ↘0x ,) (∞→n . 由f 递增, F x n ∈以及n t F ∉, 就有式 n n n n t t f x f x f x <≤≤≤)()()(0 对任何n 成立 . 令 ∞→n , 得,)(000x x f x ≤≤于是有00)(x x f =.证法二 ( 用区间套技术, 参阅[3] P77例10 证法2 ) 当a a f =)(或bb f =)(时,a 或b 就是方程x x f =)(在] , [b a 上的实根 . 以下总设b b f a a f <>)( ,)(. 对分区间] , [b a , 设分点为 c . 倘有c c f =)(, c 就是方程x x f =)(在] , [b a 上的实根.(为行文简练计, 以下总设不会出现这种情况 ) . 若c c f >)(, 取b b c a ==11 , ; 若c c f <)(, 取c b a a ==11 , , 如此得一级区间 ] , [11b a . 依此构造区间套] , [ {n n b a }, 对n ∀,有 n n n n b b f a a f <>)( , )(. 由区间套定理, 0 x ∃, 使对任何n ,有] , [0n n b a x ∈.现证00)(x x f =.事实上, 注意到 ∞→n 时n a ↗0x 和n b ↘0x 以及f 递增,就有n n n n b b f x f a f a <≤≤<)()()(0.令 ∞→n , 得,)(000x x f x ≤≤于是有00)(x x f =.例6 设在闭区间] , [b a 上函数)(x f 连续, )(x g 递增 , 且有)()(a g a f <, )()(b g b f >. 试证明: 方程 )()(x g x f =在区间 ) , (b a 内有实根 .证 构造区间套] , [ {n n b a },使 )()( , )()(n n n n b g b f a g a f ><.由区间套定理, ξ ∃, 使对n ∀, 有ξ∈] , [ n n b a . 现证 )()(ξξg f =. 事实上, 由)(x g 在] , [b a 上的递增性和] , [ n n b a 的构造以及n a ↗ξ和n b ↘ξ,, 有)()( )g( )()(n n n n b f b g a g a f <≤≤<ξ.注意到)(x f 在点ξ连续，由Heine 归并原则, 有)()(lim ξf a f n n =∞→, ).()(lim ξf b f n n =∞→ ⇒ )()()(ξξξf g f ≤≤, ⇒ )()(ξξg f =. ξ为方程)()(x g x f =在区间 ) , (b a 内的实根.例7 试证明: 区间 ] 1 , 0 [上的全体实数是不可列的 .证 ( 用区间套技术, 具体用反证法 ) 反设区间 ] 1 , 0 [上的全体实数是可列的,即可排成一列:,,,,21n x x x把区间 ] 1 , 0 [三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含1x ，记该区间为一级区间] , [11b a . 把区间] , [11b a 三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含2x ，记该区间为二级区间] , [22b a . …… .依此得区间套] , [ {n n b a }, 其中区间], [ n n b a不含n x x x ,,,21 . 由区间套定理, ξ ∃, 使对n ∀, 有ξ∈] , [ n n b a . 当然有 ξ∈] 1 , 0 [. 但对, n ∀ 有 ∉n x ] , [ n n b a 而ξ∈] , [ n n b a , ⇒ ξ≠n x . 矛盾 .友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。
闭区间上连续函数性质的证明
闭区间上连续函数性质的证明在数学中，闭区间上的连续函数是一种十分重要的概念。
在这里，我们将证明闭区间上连续函数的一些性质。
首先，我们来定义闭区间上的连续函数。
设[a,b]是一个闭区间，f(x)是定义在[a,b]上的函数。
我们称f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，如果对于任意ε>0，存在δ>0，使得当，x-y，<δ时，有，f(x)-f(y)，<ε成立。
接下来，我们将证明闭区间上的连续函数具有以下性质：性质1：闭区间上的连续函数在区间内部取得最大和最小值。
证明：设f(x)是闭区间[a, b]上的连续函数。
对于任意y∈(a, b)，由连续函数的定义可知，存在δ>0，使得当，x-y，<δ时，有，f(x)-f(y)，<ε成立。
取δ=min(y-a, b-y)，则当，x-y，<δ时，有x∈[a, b]。
即在(y-δ, y+δ)区间内，f(x)与f(y)的差的绝对值小于ε。
由于f(x)是闭区间[a,b]上的函数，所以在[a,b]上取最小值m和最大值M。
设m=f(x1)，M=f(x2)，其中x1∈(a,b)，x2∈(a,b)。
由于x1和x2在(a,b)内，根据前面证明的结果，对于任意ε>0，存在δ1>0和δ2>0，使得当，x1-y，<δ1和，x2-y，<δ2时，有，f(x1)-f(y)，<ε和，f(x2)-f(y)，<ε成立。
取δ=min(δ1, δ2)，则当，x1-y，<δ和，x2-y，<δ时，有f(x1)-ε<f(y)<f(x1)+ε和f(x2)-ε<f(y)<f(x2)+ε。
由此可见，在区间(y-δ, y+δ)内，f(y)的取值范围完全包含在[f(x1)-ε, f(x2)+ε]内，即m-ε<f(y)<M+ε。
由于ε是任意正数，所以当ε趋近于0时，可以得到m≤f(y)≤M。
数学分析第七章 实数的完备性
设 S 为数轴上的点集, H 为开区间的集合,(即 H 的每一个 元素都是形如 (, )的开区间).若 S 中任何一点都含在至少一个 开区间内,则称 H为 S的一个开覆盖,或简称H 覆盖 S .
若 H 中开区间的个数是无限(有限)的, 则称 H 为 S 的一个
无限(有限)开覆盖.
例 开区间集
H = {(x - b - x , x + b - x) | x (a,b)}
五 作业
P168: 1, 3, 5, 6.
第七章 实数的完备性
§2 闭区间上连续函数性质的证明
一 有界性定理
若函数 f 在闭区间 [a,b]上连续,则 f 在 [a,b] 上有界.
证明: (应用有限覆盖定理证明)
由连续函数的局部有界性， x' [a,b],U(x';x' ),Mx' 0使得
f (x) M x' x U (x'; x' ) [a,b]. 考虑开区间集 H = {U (x'; x' ) x' [a,b]}, 显然H是[a,b]的一个无限开覆 但不能覆盖[a, b].
•2 定理7.3 (Heine-Borele 有限覆盖定理)
设H 为闭区间 [a,b] 的一个(无限)开覆盖,则从 H 中可 选出有限个开区间来覆盖 [a,b] .
•定理的证明
用反证法 假设定理的结论不成立， 即不能用H中有限个
开区间来覆盖 [a,b]. 将[a,b]等分为两个子区间 ， 则其中至少有一个子区 间不能用H
说明:区间套中要求各个区间都是闭区间,才能保证定理结论的成立.
如{(0, 1 )},虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个, n
且 lim ( 1 - 0) = 0,但不存在属于所有开区间的公共点. n n
(整理)闭区间上连续函数的性质
§4.2 闭区间上连续函数的性质一、性质的证明定理1.（有界性）若函数)(x f 在闭区间[a,b]连续，则函数)(x f 在闭区间[a,b]有界，即∃M >0,∈∀x [a,b],有|)(x f |≤M .证法：由已知条件得到函数)(x f 在[a,b]的每一点的某个邻域有界.要将函数)(x f 在每一点的邻域有界扩充到在闭区间[a,b]有界，可应用有限覆盖定理，从而得到M >0.证明：已知函数)(x f 在[a,b]连续，根据连续定义，∈∀a [a,b]，取0ε=1，0δ∃>0,∈∀x (00,δδ+-a a )⋂[a,b],有 |)(x f )(a f -|<1.从而∈∀x (00,δδ+-a a )⋂[a,b]有 |)(x f |≤|)(x f )(a f -|+|)(|a f <|)(|a f +1即∈∀a [a,b]，函数)(x f 在开区间(00,δδ+-a a )有界。
显然开区间集 { (00,δδ+-a a )|∈a [a,b] }覆盖闭区间[a,b].根据有限覆盖定理（4.1定理3），存在有限个开区间，设有n 个开区间{（k k a k a k a a δδ+-,）|∈k a [a,b] }，k=1,2,3,…,n 也覆盖闭区间[a,b] ，且∈∀x （k k a k a k a a δδ+-,）|∈k a [a,b]，有|)(x f |≤|)(|k a f +1，k=1,2,3,…,n取M =max{|)(||,......,)(||,)(|21n a f a f a f }+1. 于是∈∀x [a,b]，∈∃i {1，2,…，n},且∈x （i i a i a i a a δδ+-,）⋂[a,b]， 有|)(x f |≤|)(|i a f +1≤M定理2（最值性）：若函数()f x 在闭区间[],a b 连续，则函数()f x 在区间能取到最小值m 与最大值M ，即：[]12,,x x a b ∃∈使：()1f x m =与()2f x M =[](),x a b m f x M ∀∈⇒≤≤证明：根据定理3，数集()[]{}|,f x x a b ∈有界。
110闭区间上连续函数的性质 (2)
September 2011
1.10 闭区间上连续函数的性质 3
A
f (a)
a
f (x)
B
f (b)
b
f(x) 在开区间 (a, b) 上连续 但在闭区间 [a, b] 上不连续
lim f (x) f (a) lim f (x) f (b)
xa
xb
同济大学《高等数学》第六版
四川大学数学学院 徐小湛
证明
同济大学《高等数学》第六版
四川大学数学学院 徐小湛
September 2011
注意：
1.10 闭区间上连续函数的性质 9
仅在开区间上连续的函数不一定能够取到 最大（最小）的函数值，也不一定有界。
例如 函数 y = x 在 (0, 1) 内连续，但它不 能取到最大和最小的函数值。
yx
同济大学《高等数学》第六版
四川大学数学学院 徐小湛
Back
September 2011
零点定理的证明 （二分法） (江泽坚《数学分析》(上册) 68页）
1.10 闭区间上连续函数的性质 29
设 f (x) 在 [a, b] 上连续，f (a) 0, f (b) 0。
取 [a, b]的中点 c 1 (a b)。若 f (c) 0, 则 c 就是要求的零点。 2
b1
c
b
同济大学《高等数学》第六版
四川大学数学学院 徐小湛
September 2011
1.10 闭区间上连续函数的性质 30
再取
[a1, b1]的中点
c1
1 2
(a1
b1 )。
若 f (c1) 0, 则 c c1 就是要求的零点。
用R~n中五个基本定理分别证明有界闭集上连续函数的重要性质
,
把F
Z
:
分 成有 限个 直 径 <
, `
’一
“
’
`
’
F、
’
“
.
一
’
一
的没 之 一 2
’`
’
`
有 公 共 .匆 点 的 闭 子 集 ” 一 “ ”
’
则其 中亦必 有一 个
、 ’ `
)
,
使
`
、
’
”
“
J
一
”
一
f 堪R
(F
Z
)
如 此继 续下 去
F F
。
,
F 。} 便 得 到 一 个有 界 闭 集 列 笼
;
。
= .
、
,
’
,
、
_
、,
~
一
,
人
记 之为 F 目 一
“
。
,
盆
.
z
“
一
同理 “ ~
”
~ ~
,
’
F 把 。
` 一
*
。
`
l
办 ~ 人 二 二 卜一* 、 / 1 一 , , , 一 。 分 成一 内点 的直 径 < 子集 则 有 限个 没有 公 共 告 的闭 叼 刀 钧 曰 八 ”八 … ” 吕 ~ 一 、 2 ~
由 于 F 。子 功 V k 任 N 及 (
i )
) ( i i
,
依闭 集套 定理
,
〕x
苦
任 自F
女二 1
。
任 D
.
于是
,
由
P (%。
,
义
42闭区间连续函数整体性质的证明
有
f(x)f(i)1M。
定理2、（最值性）若函数 f ( x ) 在闭区间 a , b 连续，则函数 f ( x ) 在 a , b 取到最小
值m 与最大值 M
，即在
a , b 上存在 x
1 与x
，使
2
f (x1) m 与 f (x2) M
且x a,b ，有mf(x)M。
证法 只给出取到最大值的证明。根据定理1，函数f ( x ) 在 a , b 有界。设
因此，他们的证明要应用§4。1中描述实数集连续性的定理。
定理1.（有界性) 若函数f ( x ) 在闭区间 a , b 连续，则函数 f ( x ) 在闭区间 a , b 有
界，即 M 0 , x a,b，有
f (x) M
证法 有已知条件得到函数有 f ( x ) 在 a , b 的每一点的某个领域有界。要将
n个开区间
k k,k kk a ,b ,k1,2, ,n
也覆盖闭区间 a , b ，且 x kk,kk a,b，有 f(x) f(k)1,
k 1 ,2 , ,n。
取 Mmaxf(1), f(2), , f(n)1。于是， x a ,b , i 1 ,2 ,3 , ,n
，且 xii,ii a,b，
在 a , b 也连续。根据定理1，存在 C 0，x a,b 有
1 C M f (x)
或
f (x) M 1 C
即M 不是数集 f(x)xa,b的上确界，矛盾。于是x2 a,b，使
f (x2) M。
定理3.（零点定理） 若函数 f ( x ) 在闭区间 a , b 连续，且
即函数
1 1 , 在x 1 x 2 一致连续。
f (x) 1 a ,1
§3闭区间上连续函数性质的证明(4时)解读
§3 闭区间上连续函数性质的证明( 4 时 )一. 有界性:命题1 , 在上.证法一 ( 用区间套定理 ). 反证法.证法二 ( 用列紧性 ). 反证法.证法三 ( 用有限复盖定理 ).二.最值性:命题 2 , 在上取得最大值和最小值.( 只证取得最大值 )证 ( 用确界原理 ) 参阅[1]P226[ 证法二 ] 后半段.三.介值性:证明与其等价的“零点定理”.命题3 ( 零点定理 )证法一 ( 用区间套定理 ) .证法二 ( 用确界原理 ). 不妨设.令, 则非空有界, 有上确界. 设有. 现证, ( 为此证明且 ). 取>且.由在点连续和, ,. 于是. 由在点连续和,. 因此只能有.证法三 ( 用有限复盖定理 ).四.一致连续性:命题4 ( Cantor定理 )证法一 ( 用区间套定理 ) .证法二 ( 用列紧性 ).二.实数基本定理应用举例：例1设是闭区间上的递增函数, 但不必连续 . 如果,, 则, 使. ( 山东大学研究生入学试题 )证法一 ( 用确界技术 . 参阅[3] P76例10 证法1 )设集合. 则, 不空;,有界 . 由确界原理 ,有上确界. 设, 则.下证.ⅰ）若, 有; 又, 得.由递增和, 有, 可见. 由,. 于是 , 只能有.ⅱ）若, 则存在内的数列, 使↗, ; 也存在数列, ↘,. 由递增, 以及, 就有式对任何成立 . 令, 得于是有.证法二 ( 用区间套技术, 参阅[3] P77例10 证法2 ) 当或时,或就是方程在上的实根 . 以下总设. 对分区间, 设分点为. 倘有, 就是方程在上的实根.(为行文简练计, 以下总设不会出现这种情况) . 若, 取; 若, 取, 如此得一级区间. 依此构造区间套, 对,有. 由区间套定理, , 使对任何,有.现证.事实上, 注意到时↗和↘以及递增,就有.令, 得于是有.例2设在闭区间上函数连续, 递增 , 且有,. 试证明: 方程在区间内有实根 .证构造区间套,使.由区间套定理,, 使对,有. 现证. 事实上, 由在上的递增性和的构造以及↗和↘,, 有.注意到在点连续，由Heine归并原则, 有,, . 为方程在区间内的实根.例3试证明: 区间上的全体实数是不可列的 .证 ( 用区间套技术, 具体用反证法 ) 反设区间上的全体实数是可列的,即可排成一列:把区间三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含，记该区间为一级区间. 把区间三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含，记该区间为二级区间. …… .依此得区间套, 其中区间不含. 由区间套定理, , 使对, 有. 当然有. 但对有而, . 矛盾.习题课（ 4 时）一．实数基本定理互证举例：例4用“区间套定理”证明“单调有界原理”.证设数列递增有上界. 取闭区间, 使不是的上界, 是的上界. 易见在闭区间内含有数列的无穷多项, 而在外仅含有的有限项. 对分, 取使有的性质.…….于是得区间套,有公共点. 易见在点的任何邻域内有数列的无穷多项而在其外仅含有的有限项, .例5用“确界原理”证明“区间套定理”.证为区间套. 先证每个为数列的下界, 而每个为数列的上界. 由确界原理 , 数列有上确界, 数列有下确界 .设, .易见有和.由，.例6用“有限复盖定理”证明“聚点原理”.证 ( 用反证法 ) 设为有界无限点集, . 反设的每一点都不是的聚点, 则对, 存在开区间, 使在内仅有的有限个点. …… .例7用“确界原理”证明“聚点原理”.证设为有界无限点集. 构造数集中大于的点有无穷多个.易见数集非空有上界, 由确界原理, 有上确界. 设. 则对,由不是的上界中大于的点有无穷多个; 由是的上界,中大于的点仅有有限个. 于是, 在内有的无穷多个点,即是的一个聚点 .。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
西安工程学院学报
JOURNAL OF XI’AN ENGINEERING
UNIVERSITY
1998年 第20卷 第2期 Vol.20 No.2
用区间套定理证明闭区间上连续函数的性质
周 明
提 要 用数学分析中的区间套定理证明了闭区间上连续函数的四个定理。
关键词 区间序列；连续；一致连续
中图法分类号 O174.1
PROOF TO PROPERTIES OF CONTINUOUS FUNCTION
ON A CLOSED INTERVAL WITH AN
INTERVAL SEQUENCE THEOREM
Zhou Ming
(Xi′an Engineering University,Xi′an 710054)
Abstract Four theorems about continuous function on an closed interval are proved by a interval sequence theorem in mathematical analysis.
Key words interval sequence, continuity, uniform continuity
在高等数学中所遇到的闭区间上连续函数的性质，通常都不加以证明，其实这些性质在数学分析中都给出了证明，可用数学分析中的一些定理来证明。
实际上这些性质的证明也可用数学分析中的一个定理即区间套定理证得。
下面就用区间套定理来证明这些性质。
在证明这些性质之前，先叙述一下区间套定理。
区间套定理：设一无穷闭区间列｛〔a n,b n〕｝适合下面两个条件：
(1)后一区间在前一区间之内，即对任一正整数n，有a n≤a n+1＜b n+1≤b n。
(2)当n→∞时，区间列的长度｛(b n-a n)｝所成的数列收敛于零，即limn→∞(b n-a n) =0。
则区间的端点所成两数列｛a n｝及｛b n｝收敛于同一极限ξ，且ξ是所有区间的唯一公共点。
1 有界性定理
若函数f(x)在闭区间〔a,b〕上连续，则它在〔a,b〕上有界。
证明(反证法)：设f(x)在〔a,b〕上无界，将〔a,b〕二等分，则f(x)必在其一上无界，记其为〔a1,b1〕，再将〔a1,b1〕二等分，记f(x)在其上无界的区间为〔a2,b2〕，这样继
续下去，可得一区间序列｛〔a n,b n〕｝，它满足：
(1)〔a,b〕〔a1,b1〕…〔a n,b n〕…，且f(x)在〔a n,b n〕(n=1,2，…)上无界。
于是由区间套定理，必有一点ξ∈〔a n,b n〕，使得f(x)在ξ点无界。
因f(x)在ξ点连续，由局部有界性，存在某ξ的邻域Uδ(ξ)，使得f(x)在Uδ(ξ)上有界，所以只要n取得充分大，可使得〔a n,b n〕Uδ(ξ)，而f(x)在〔a n,b n〕上无界，那么f(x)在Uδ(ξ)上也无界，这与局部有界性矛盾，故f(x)在〔a,b〕上有界。
2 最大(小)值定理
若函数f(x)在闭区间〔a,b〕上连续，则f(x)在〔a,b〕上有最大值和最小值。
证明：将区间〔a,b〕二等分为〔a,(a+b)/(2)〕、〔(a+b)/(2),b〕，如果对区间〔a, b〕中的任何点x′，都有〔a,(a+b)/(2)〕中的某一点x使得，f(x′)≤f(x)，则把〔a,(a +b)/(2)〕记为〔a1，b1〕，否则，即对〔a,b〕中的任何点x″有〔(a+b)/(2),b〕中的某点x，使得f(x″)≤f(x)，则把〔(a+b)/(2),b〕记为〔a1,b1〕，于是在这样得到的区间〔a1,b1〕上有f(x)≤f(ξ1)，x∈〔a,b〕,ξ1∈〔a1,b1〕。
重复上面的推理。
可得一区间序列｛〔a n,b n〕｝它满足：
(1)〔a,b〕〔a1,b1〕…〔a n,b n〕…，且在〔a n,b n〕(n=1,2，…)上有点ξn∈〔a n,b n〕,使f(ξn)≥f(x),x∈〔a,b〕。
设μ是这区间套的唯一公共点，因为a n≤ξn≤b n，limn→∞a n=limn→∞b n=μ，所以limn→∞ξn=μ。
又因为f(x)在〔a,b〕上连续，所以有limn→∞f(ξn)=f(μ),在f(ξn)≥f(x),x∈〔a,b〕中令n→∞，就得f(μ)≥f(x)，这就证明了f(μ)是f(x)在〔a,b〕上的最大值。
最小值可用类似的方法证之。
3 介值定理
若f(x)在闭区间〔a,b〕上连续，对于f(a)和f(b)之间的任意一个值μ，在〔a,b〕上至少有一点ξ使得f(ξ)=μ。
证明：设f(a)＜f(b)，而f(a)＜c＜f(b)。
把区间〔a,b〕二等分为两个区间〔a,(a+b)/ (2)〕、〔(a+b)/(2)，b〕，若f((a+b)/(2))=c则定理得证。
若f((a+b)/(2))≠c或有f((a+b)/ (2))＜c或有f((a+b)/(2))＞c，当f((a+b)/(2))＜c时，把区间〔(a+b)/(2)，b〕记为〔a1,
b1〕，否则记〔a,(a+b)/(2)〕为〔a1,b1〕，所以无论哪种情形都有f(a1)＜c＜f(b1)，再将
〔a1,b1〕二等分，若f((a1+b1)/(2))=c定理得证，若不然，继续上述过程，这样得到一区间序列｛〔a n,b n〕｝，它满足：
(1)〔a,b〕〔a1,b1〕…〔a n,b n〕…，且f(a n)＜c＜f(b n)。
由区间套定理必有唯一的一点ξ∈〔a n,b n〕,使得limn→∞a n=limn→∞b n=ξ,因f(x)在ξ点连续，所以有limn→∞f(a n)=limn→∞f(b n)=f(ξ)，因f(a n)＜c＜f(b n)，所以当
n→∞时，得f(ξ)=c。
对f(a)＞f(b)的情形，可用类似的方法证之。
4 一致连续性定理
若函数f(x)在闭区间〔a,b〕上连续，则它必在〔a,b〕上一致连续。
证明：按一致连续的定义，所要证明的事实是对任意的ε＞0，可找到一正数δ，把区间〔a,b〕分成有限多个小段，每一小段的长度都小于δ，使得f(x)在每一小段上任意两点的函数值之差小于ε。
假设上述事实不成立，则对某一ε0＞0，区间不能按上述要求分成有限多个小段，把区间〔a,b〕二等分得两个区间〔a,c〕，〔c,b〕，则这两个区间中至少有一个不能按上述要求分为有限多个小段，记其为〔a1,b1〕，再将区间〔a1,b1〕二等分，依上述手续继续下去，得一区间序列｛〔a n,b n〕｝，它满足：
(1)〔a,b〕〔a1,b1〕…〔a n,b n〕…，且任一区间〔a n,b n〕都不能分为有限个小段，使f(x)在其上任两点的函数值之差小于ε。
由区间套定理，存在唯一的一点ξ∈〔a n,b n〕，而f(x)在点ξ连续，按连续的定义有δ＞0，使｜x-ξ｜＜δ时，有｜f(x)-f(ξ)｜＜(ε0)/(2)，而
limn→∞a n=limn→∞b n=ξ,于是可取充分大的k，使｜a k-ξ｜＜δ，｜b k-ξ｜＜δ，那么对〔a k,b k〕上的任意一点x都有｜x-ξ｜＜δ，因此对〔a k,b k〕上的任意两点x1，x2都有
｜f(x1)-f(x2)｜≤｜f(x1)-f(ξ)｜+｜f(ξ)-f(x2)｜＜(ε0)/(2)+(ε0)/(2)=ε0这表明〔a k,b k〕能分为有限多个小段，使f(x)在每一小段上任两点的函数值之差小于ε0，这与区间〔a k, b k〕的定义矛盾，故定理得证。
作者简介：周明，男，讲师，1956年生，现从事数学教学研究工作。
作者单位：西安工程学院基础部，西安 710054
收稿日期 1997-03-21
用区间套定理证明闭区间上连续函数的性质
作者：周明， Zhou Ming
作者单位：西安工程学院基础部,西安,710054
刊名：
西安工程学院学报
英文刊名：JOURNAL OF XI'AN ENGINEERING UNIVERSITY
年，卷(期)：1998，20(2)
被引用次数：0次
1.期刊论文杜素勤.DU Su-qin闭区间上连续函数有最大值最小值的多种证明方法-三明高等专科学校学报2003,20(4)
利用数学分析中的有界性定理、Weierstrass定理、有限覆盖定理、闭区间套定理、"单调有界数列有极限"定理、上下确界定义来证明闭区间上的连续函数能取到最大、最小值.
本文链接：/Periodical_xagcxyxb199802018.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：5ac042cd-af8b-43cf-b95d-9dcb0153913e
下载时间：2010年8月7日。