区间套定理
数分高数数学分析关于实数集完备性的基本定理
[a1 , b1 ] = [a, b]
a1 + b1 c1 = 2
如果
f (c1 ) 0
f (c1 ) = 0 结论已经成立，故可设
那么
f (a1 ) f (c1 )
与
f (c1 ) f (b1 )
f (a1 ) f (c1 ) 0
有一个小于零，不妨设 记
[a2 , b2 ] = [a1, c1 ]
lim(bn - an ) = lim
n
n = 1, 2,
b-a =0 n 2 n -1
（3） f (an ) f (bn ) 0
n = 1, 2,
由（1）和（2）知 { a , b } 是一个区间套，由定理
n n
7.1，存在 [an , bn ]
n n
n = 1, 2, 且有
故 ( , ) H , 使 ( , ), 于是由区间套定理推论
当n充分大时有 [an , bn ] ( , ).
这表明[an , bn ]只须用H中的一个开区间( , )就能覆盖， 与挑选[an , bn ]时的假设“不能用H中有限个开区间来覆盖”矛盾.
从而证得必存在属于H的有限个开区间能覆盖[a, b].
f ( x) M x0
作开区间集
H = {( x - x , x + x ) f ( x) M x , x [a, b], x ( x - x , x + x ) [ a, b]}
显然 H 覆盖了区间 [a, b] 根据有限覆盖定理，存在
H 中有限个开区间 ( x - , x + ) ( x2 - x , x2 + x ) 1 x1 1 x1
数学分析讲义 - CH07(实数的完备性)
第七章 实数的完备性§1关于实数集完备性的基本定理前面我们学习了：戴德金切割原理、确界原理、单调有界定理、致密性定理、柯西收敛准则，这些命题都是从不同方式反映实数集的一种特性，通常称为实数的完备性或实数的连续性公理。
本节再学习见个实数的完备性公理，即区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理。
最后我们要证明这些命题都是等价的。
一、区间套定理]}定义1 设闭区间列具有如下性质： [{n n b a ,（i） []n n b a ,[]11,++⊃n n b a ， ,2,1=n ； （ii） 0)(lim =-∞→n n n a b ，则称为闭区间套，或简称区间套。
[{n n b a ,]} 这里性质（¡）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点满足如下不等式：.1221b b b a a a n n ≤≤≤≤≤≤≤≤ （1） 左端点{}n a 是单调递增的点列，右端点{}n b 是单调递减的点列。
定理1 （区间套定理） 若是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点[{n n b a ,]}ξ，使得ξ∈[]n n b a ,，，即,2,1=n ξ≤n a n b ≤， .,2,1 =n （2） 证 （由柯西收敛准则证明）设是一区间套.下面证明[{n n b a ,]}{}n a 是基本点列。
设，由区间套的条件（i）得m n >()()()()m n m n m m n n m m a a b a b a b a b a -=---≤---再由区间套的条件（ii ），易知{}n a 是基本点列。
按Cauchy 收敛准则，{}n a 有极限，记为ξ。
于是()lim lim ()lim n n n n n n n n b b a a a ξ→∞→∞→∞=-+==由{}n a 单调递增，{}n b 单调递减，易知ξ≤n a n b ≤，.,2,1 =n下面再证明满足（2）的ξ是唯一的。
闭区间套定理证明
闭区间套定理证明闭区间套定理（compact nested intervals theorem）是实分析中的一个基本定理，它描述了有限个闭区间的交集为非空且是一个闭区间。
以下是闭区间套定理的证明：设$I_1, I_2, ..., I_n$ 是$n$ 个实数区间，其中$I_1$ 是$[a_1, b_1]$，$I_2$ 是$[a_2, b_2]$，...，$I_n$ 是$[a_n, b_n]$。
假设这些区间是按照长度递增的顺序排列的，即$b_1 \leq b_2 \leq ... \leq b_n$。
我们需要证明$\bigcap_{i=1}^n I_i$ 是非空的，并且是一个闭区间。
首先，我们可以证明$\bigcap_{i=1}^n I_i$ 是非空的。
假设$\bigcap_{i=1}^n I_i = \emptyset$，则对于任意$i \in \{1, 2, ..., n\}$，$I_i$ 不包含任何实数。
因此，$b_i < a_i$，这意味着$I_1 \cap I_2 \cap ... \cap I_n = \emptyset$，与假设矛盾。
因此，$\bigcap_{i=1}^n I_i$ 是非空的。
接下来，我们需要证明$\bigcap_{i=1}^n I_i$ 是一个闭区间。
为了证明这一点，我们需要证明$\bigcap_{i=1}^n I_i$ 的左端点和右端点都是实数。
设$x$ 是$\bigcap_{i=1}^n I_i$ 的左端点，即$x \leq b_1, b_2, ..., b_n$。
由于$I_i$ 是一个闭区间，因此$b_i$ 是$I_i$ 的右端点。
因此，$x \leq b_i$ 对于所有$i \in \{1, 2, ..., n\}$ 都成立。
由于这些区间是按照长度递增的顺序排列的，因此存在一个$j$，使得$b_j < x$。
因此，$x$ 是一个实数。
类似地，设$x$ 是$\bigcap_{i=1}^n I_i$ 的右端点，即$x \geq a_1, a_2, ..., a_n$。
01第一讲 区间套定理
实数完备性基本 定理之间的等价性
定义1
设闭区间列 {[an , bn ]} 满足如下条件 : 1. [an , bn ] ⊃ [an+1, bn+1] , n = 1, 2, ,
2. lni→m∞(bn − an ) = 0 , 则称 {[an , bn ]} 为闭区间套, 简称区间套.
定义1 中的条件1 实际上等价于条件 a1 ≤ a2 ≤ ≤ an ≤ ≤ bn ≤ ≤ b2 ≤ b1.
那么 ξ − ξ1 ≤ bn − an → 0.
即 ξ = ξ1, 唯一性得证.
实数完备性基本 定理之间的等价性
数学分析 第七章 实数的完备性
高等教育出版社
§1 关于实数集完备性的基本定理
区间套定理
聚点定理与有限覆盖定理
实数完备性基本 定理之间的等价性
推论
设 {[an ,bn]} 是一个区间套, ξ ∈[an , bn ], n = 1, 2, . 则任给ε > 0, 存在 N, 当 n ≥ N 时,
数学分析 第七章 实数的完备性
高等教育出版社
§1 关于实数集完备性的基本定理
区间套定理
聚点定理与有限覆盖定理
实数完备性基本 定理之间的等价性
定理7.1（区间套定理）
若 {[an , bn ]} 是一个区间套, 则存在唯一的实数 ξ , 使
ξ ∈[an , bn ],
n = 1, 2, ,
或者
∞
高等教育出版社
§1 关于实数集完备性的基本定理
区间套定理
聚点定理与有限覆盖定理
lim
n→∞
bn=
lni→m∞(bn
−
an
)
+
区间套定理证明
区间套定理证明摘要：1.区间套定理的概念2.区间套定理的证明方法3.区间套定理的应用示例正文：一、区间套定理的概念区间套定理，是数学分析中的一个重要定理，主要用于研究函数的性质和单调性。
该定理主要描述了函数在一个区间内的取值情况，为研究函数的值域和单调性提供了有力的工具。
二、区间套定理的证明方法区间套定理的证明方法有多种，这里我们介绍一种较为常见的证明方法。
证明：设函数f(x) 在区间[a, b] 上连续，在开区间(a, b) 内单调，且f(a) 与f(b) 的值确定。
我们用f(x) 的值域为A，那么A 是[a, b] 的一个子集。
我们在[a, b] 上取一个新的函数g(x)，使得g(x) 的值域是A。
由于f(x) 在(a, b) 内单调，所以g(x) 在(a, b) 内也单调。
由于f(a) 与f(b) 的值确定，所以g(a) 与g(b) 的值也确定。
于是我们可以在[a, b] 上构造一个新的函数h(x)，使得h(x) 在[a, b] 上连续，且h(x) 在(a, b) 内单调。
同时，h(a) = g(a)，h(b) = g(b)。
根据罗尔定理，h(x) 在[a, b] 上必然有一点c，使得h"(c) = 0。
由于h(x) 在(a, b) 内单调，所以h(x) 在[a, b] 上也单调。
由于h(a) = g(a)，h(b) = g(b)，所以g(x) 在[a, b] 上也单调。
由于g(x) 的值域是A，所以A 是[a, b] 的一个子集。
于是我们证明了f(x) 的值域是[a, b] 的一个子集。
三、区间套定理的应用示例区间套定理在数学分析中有广泛的应用，下面我们举一个应用区间套定理的例子。
例：设函数f(x) 在区间[0, 1] 上连续，且f(0) = 0，f(1) = 1。
证明f(x) 在[0, 1] 上的值域是[0, 1]。
证明：由于f(x) 在[0, 1] 上连续，所以f(x) 在[0, 1] 上的值域是[f(0), f(1)]。
闭区间套定理证明单调有界数列收敛定理
闭区间套定理证明单调有界数列收敛定理摘要：一、引言二、闭区间套定理简介三、单调有界数列收敛定理证明1.准备工作2.闭区间套定理应用3.推导过程4.结论四、实例分析五、总结与展望正文：一、引言在数学分析中，收敛定理是研究数列行为的重要工具。
其中，单调有界数列收敛定理是收敛定理的一个核心部分。
本文将通过对闭区间套定理的证明，揭示单调有界数列的收敛性，并通过实例分析加深对这一定理的理解。
二、闭区间套定理简介闭区间套定理是拓扑学中的一个重要定理，它揭示了闭区间序列的性质。
该定理表述如下：设（Ai）i∈N是一个闭区间序列，如果每个区间Ai都包含在某个更大的闭区间Bi中，那么存在一个极限点，使得极限点属于所有的Bi，但不属于任何Ai。
三、单调有界数列收敛定理证明（1）准备工作首先，我们需要明确单调有界数列的定义。
设（an）n∈N是一个实数数列，如果满足以下条件：1.单调性：对于任意的n，有an+1 ≤ an；2.有界性：存在实数M，使得对于任意的n，有-M ≤ an ≤ M。
（2）闭区间套定理应用根据闭区间套定理，我们可以找到一个极限点，使得极限点属于所有的闭区间[an, M]，但不属于任何[an+1, M]。
这里，闭区间[an, M]表示数列（an）n∈N的有界区间。
（3）推导过程根据极限点的定义，我们有：lim(n→∞) an = λ其中，λ表示极限点。
（4）结论由于数列（an）n∈N是有界单调递减的，所以当n趋向于无穷大时，an 的极限存在且唯一。
这就证明了单调有界数列收敛定理。
四、实例分析为了更好地理解这一定理，我们可以举一个具体的例子。
考虑数列（an）n∈N，其中an = n - 4。
这个数列是有界且单调递减的。
我们可以找到一个极限点，例如λ = 2，使得数列（an）n∈N收敛于2。
五、总结与展望本文通过对闭区间套定理的证明，揭示了单调有界数列的收敛性。
这一定理在数学分析中具有广泛的应用，是研究数列行为的重要工具。
怎么用区间套定理证明柯西收敛准则
怎么用区间套定理证明柯西收敛准则文章标题：深入探讨区间套定理：如何用它证明柯西收敛准则在数学分析中，柯西收敛准则是判定数列收敛性的重要工具之一。
而区间套定理则是实数理论中的基本定理之一，为证明柯西收敛准则提供了重要支持。
本文将从区间套定理的基本概念入手，深入探讨如何利用它来证明柯西收敛准则，希望能为读者提供清晰、深入的理解。
一、区间套定理的基本概念区间套定理是实数理论的基本定理之一，它阐述了一个关于实数轴上闭区间的序列交叠性质。
具体而言，区间套定理指出，如果对于任意正整数n，都能找到一个闭区间In，使得In+1是In的子集，且In的长度趋于零，那么存在唯一的实数c，它同时属于所有这些闭区间的交集。
这一定理在实数分析和拓扑学中有着广泛的应用，其中之一就是证明柯西收敛准则。
二、柯西收敛准则的基本概念柯西收敛准则是数学分析中用来判断数列收敛性的一条重要准则。
若对于任意正实数ε，都存在正整数N，使得当n，m均大于N时，数列的前n项和前m项的差的绝对值小于ε，即|an - am| < ε，那么这个数列就是柯西收敛的。
这个准则的重要性在于，它不需要数列的极限存在和具体值，只要数列中的项足够接近，就能保证其收敛性。
接下来，我们将通过区间套定理来证明柯西收敛准则。
三、使用区间套定理证明柯西收敛准则我们考虑一个柯西数列{an}，根据柯西收敛准则，对于任意正实数ε，都存在正整数N，使得当n，m均大于N时，有|an - am| < ε。
现在，我们希望利用区间套定理来证明这个数列的收敛性。
我们可以构造一个闭区间序列{In}，其中每个闭区间In表示有限个数列项的取值范围。
具体而言，我们可以将第n个闭区间In定义为[a1n, b1n]，其中a1n和b1n分别是数列{a1, a2, ... an}的最小和最大值。
显然，由于数列是柯西收敛的，所以每个闭区间的长度都会趋于零。
根据区间套定理，存在唯一的实数c，它同时属于所有这些闭区间的交集。
cauchy-cantor闭区间套定理_概述及解释说明
cauchy-cantor闭区间套定理概述及解释说明大纲：1. 引言1.1 概述本文旨在概述和解释Cauchy-Cantor闭区间套定理。
该定理是数学分析中重要的基本定理之一，涉及到实数集合的闭区间套及其性质。
通过本文的介绍，读者将更好地理解这一定理的定义、原理和应用。
1.2 文章结构文章由引言、概述、解释说明、实例分析和结论五个部分组成。
在引言部分，我们将简要介绍整篇文章的目标和内容安排，帮助读者了解本文的写作意图以及预期得到的阅读收获。
1.3 目的本文旨在全面介绍Cauchy-Cantor闭区间套定理，并通过具体例子进行解释说明。
希望通过阐述相关概念和原理，使读者能够深入了解该定理所涉及的数学知识框架，并能够应用于实际问题中。
以上所述为文章“1. 引言”部分内容。
2. cauchy-cantor闭区间套定理概述在实数集上，定义了一种称为Cauchy-Cantor闭区间套的特殊序列。
这个定理是由Augustin-Louis Cauchy和Georg Cantor发现和研究的，它提供了一种描述实数集合中无限个紧凑子集之间包含关系的方法。
闭区间是指由两个实数端点所确定的区间，即包含了这两个端点及其之间所有实数的集合。
Cauchy-Cantor闭区间套定理涉及到一系列嵌套的闭区间，其中每一个闭区间都是前一个闭区间的子集。
具体而言，在给定一段大闭区间时，我们可以得到一个相似但更小的子闭区间。
然后，在这个子闭区间基础上再次构建一个更小且相似的子闭区间。
如此往复，依次进行下去。
根据Cauchy-Cantor闭区间套定理，如果我们取任何一个实数集合并通过以上方式构建出无穷多个嵌套的闭区间，则对于这些闭区间来说存在唯一的实数，它同时属于每一个终结点所围成的小闭区间。
换句话说，在这些嵌套的子闭区间中，存在着一个共同元素或极限点。
这个定理的证明基于实数集的完备性以及闭区间套的特殊构造方式。
通过递归的方式，我们可以得到一系列越来越小的闭区间，并且根据闭区间端点的构造，我们可以确保这些闭区间之间有相应的包含关系。
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an
A
2
,
am
A
2
.
因而有 an am an A am A .
(充分性)由题设, 对于任意 0, 存在 N , n N 时,
an aN . 即当 n N 时, an (aN , aN ).
( 注意 : 这并不能说明
lim
n
an
aN .)
x
aN aN aN
即 U ( ; ) I S 无限集 , 则称 是 S 的一个聚点.
比如:0
是
S
1 n
的一个聚点;
1,
1
是
S
(1)n
1 n
的两个聚点.
若设 S 是 [0, 1]中的无理数全体, 则 S 的聚点集合 S (称为 S 的导集) 为闭区间 [0, 1].
为了便于应用,下面介绍两个与定义 2 等价的定义.
.
因为 {an} 递增, {bn} 递减, 所以
an bn , 这样就证明了 的存在性.
下面来证明唯一性. 设 1 也满足
an 1 bn ,
那么 1 bn an 0. 即 1 , 惟一性得证.
推论 设 {[an ,bn]} 是一个区间套,
[an , bn ],
n 1, 2, L . 则任给 > 0, 存在 N,
定义1 中的条件1 实际上等价于条件
a1 a2 L an L bn L b2 b1.
定理7.1(区间套定理)
若 {[an , bn ]} 是一个区间套,
则存在唯一的实数 , 使
[an , bn ], n 1, 2, L ,
或者
{ } [an , bn ].
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一、区间套定理与柯西收敛定理 二、聚点定理与有限覆盖定理 三、实数完备性基本定理的等价性
一、区间套定理与柯西收敛定理
定义1 设闭区间列 {[an, bn]} 满足如下条件 : 1. [an , bn ] [an1, bn1] , n 1, 2, L , 2. lnim(bn an ) 0 , 则称 {[an, bn]} 为闭区间套, 简称区间套.
a1a2 L anan1 L
n1
L bn1bn L b2b1
x
证 由定义1 的条件1 可知, 数列{an}递增, 有上界
b1.所以由单调有界定理, 可知 {an} 的极限存在.
设 从而由定义1 的条件2 可得
lim
n
an
,
lim
n
bn
lnim(bn
an )
lim
n
an
0，n1
,
按照定理
1
的
证明过程, 哪一步通不过?
区间套定理的应用, 下面来证明柯西收敛准则
即证明数列 {an} 收敛的充要条件是: 对任意的
> 0, 存在 N, 当 m, n N 时, 有 an am .
证 (必要性)
设
lim
n
an
A,由数列极限的定义,
对于任意正数 ,存在 N 0, m, n N 时, 有
令
1, 2
存在N1,
n
N1
时,an
(aN1
1, 2
aN1
1 ), 2
取 [a1,
b1] [
aN1
1, 2
aN1
1 2
]. 令
1 22
,
存在
N2( N1 ), n N 2 时,
1
1
an [aN2 22 , aN2 22 ],
取 [a2,
b2] [a1,b1] I
aN2
1 22
,
aN2
1 22
§1 关于实数集完备性的基本定理
在第一章与第二章中, 我们已经证明了实 数集中的确界定理、单调有界定理并给出了 柯西收敛准则. 这三个定理反映了实数的一种 特性,这种特性称之为完备性. 而有理数集是 不具备这种性质的. 在本章中, 将着重介绍与 上述三个定理的等价性定理及其应用.这些定 理是数学分析理论的基石.
[ak0 , bk0 ] ( , ),
由性质 3, 当 n Nk0 时,
an [ak0 , bk0 ] ( , ), 所以 an . 这就证明了
lim
n
an
.
二、聚点定理与有限覆盖定理
定义2 设 S 为数轴上的非空点集, 为直线上的 一个定点(当然可以属于 S, 也可以不属于S). 若对 于任意正数 ,在 ( , +) 中含有S 的无限个点,
注1 该推论有着很强的应用价值,请大家务必牢记.
注2 区间套定理中的闭区间若改为开区间, 那么结
论不一定成立. 例如对于开区间列
, 显然
0，n1
1.
0,
1 n
0,
1 n
1
,
n 1,
2,
L
,
2.
lim
n
1 n
0
0.
但是定理1中的 是不存在的, 这是因为
I
0,
n1
1 n
.
读者可以反思一下,对于
aNk
1 2k间 {[ak , bk ]}, 满足
(i) [ak , bk ] [ak1, bk1], k 1, 2, L ;
(ii)
bk
ak
1 2k 1
0, k ;
(iii) k N+ , 当 n Nk 时, an [ak , bk ].
由区间套定理, 存在惟一的 [ak , bk ]. 由定理1的 推论， 对于任意 0, 存在 k0 , 使
第七章 实数的完备性
§1 关于实数完备性的基本定理 §2 闭区间上连续函数性质的证明
第七章 实数的完备性
§1 关于实数完备性的基本定理
§1 关于实数完备性的基本定理
教学内容: 区间套定理、柯西判别准则的证明； 聚点定理；有限覆盖定理 ．
教学重点: 区间套定理和致密性定理 ． 教学要求: 掌握和运用区间套定理、致密性定理
.
显然有
1
[a1 ,
b1] [a2 ,
b2 ],
b2 a2
, 2
并且当 n N2 时, an [a2 ,b2 ].
......
令
1 2k
,
存在
Nk (
N k1 ), 当
n
Nk
时,
an
a
N
k
1 2k
,
aNk
1 2k
.
取 [ak ,
bk ] [ak1, bk1] I
a
N
k
1 2k
,
当 n N 时,
[an ,bn ] U ( ; ).
证 由区间套定理的证明可得:
lim
n
an
lim
n
bn
.
由极限的保号性, 对于任意正数 , 存在 N,
当 n N 时, 有
an , bn . 即 an bn , 这就是说
[an , bn ] ( , ).
定义2 设 S R, R. 若对于任意 0,
U o(; ) I S , 那么称 是 S 的一个聚点.