区间套定理在数学教学中的应用及意义
区间套定理现实意义
区间套定理现实意义嘿，朋友们！今天咱们来聊聊那个听起来超级高大上的区间套定理。
这区间套定理啊，就像是俄罗斯套娃一样神奇。
你看啊，一个大区间里面套着小一点的区间，就像大套娃里装着小套娃。
这在现实生活中就好比是那些层层嵌套的组织架构。
大公司里有各个部门，部门里又有各个小组，小组里还有不同的小团队，就这么一层一层的，像区间套定理一样严谨。
要是有个任务，就像在区间里找一个特定的点一样，得从大公司这个大区间开始，层层深入到小团队这个小区间才能精准定位。
再说说找东西吧。
假如你把钥匙丢在家里了，家就是那个大区间。
你先确定钥匙不在客厅这个稍大的区间，然后又发现不在卧室这个区间的某个角落，就这么不断缩小范围，就像区间不断缩小一样。
最后在床头柜这个小区间里找到了钥匙，这感觉就像是按照区间套定理精准定位了一样。
还有哦，这区间套定理就像一场寻宝游戏。
整个世界是个大区间，宝藏所在的大陆是个小区间，然后宝藏所在的国家、城市、街道、房子，就这么不断缩小范围，最后找到宝藏。
这个过程中，每一步都像是在确定一个更小的区间，充满了刺激和惊喜。
想象一下厨师做菜，整个菜谱是个大区间。
厨师要先确定是做中餐这个区间，然后确定是川菜这个小区间，再到麻婆豆腐这个更小的区间，最后精确到放多少花椒、辣椒这些具体的配料，就像是在区间里找到那个最完美的点。
我们找对象也有点像区间套定理呢。
整个世界的人是个大区间，先确定在自己的城市找，这就是个小一点的区间，然后是年龄范围、兴趣爱好范围，不断缩小，直到找到那个最合适的人，就像找到区间里的那个独特的点。
这区间套定理在解决问题的时候，就像是拿着放大镜不断聚焦。
从一个宽泛的问题，像大区间一样，慢慢聚焦到具体的原因，也就是小区间，最后找到解决办法这个点。
学习知识也类似，整个知识体系是个大区间，我们从学科分类这个小一点的区间开始，然后到具体的章节、知识点，不断深入，就像按照区间套定理在知识的海洋里精准捕捞。
总之呢，区间套定理虽然听起来很数学、很枯燥，但它在我们的现实生活中就像一个隐藏的魔法，无处不在，悄悄指导着我们做各种事情呢。
缠论----区间套
缠论----区间套一、基本概念区间套：就是根据背驰段从高级别向低级别逐级寻找背驰点(即买卖点)的方法。
精确大转折点寻找程序定理：某大级别的转折点，可以通过不同级别背驰段的逐级收缩范围而确定。
二、应用要点某大级别的转折点，先找到其背驰段，然后在次级别图里，找出相应背驰段在次级别里的背驰段，将该过程反复进行下去，直到最低级别，相应的转折点就在该级别背驰段确定的范围内。
三、分析理解区间套寻找背驰点的理论依据：低级别背驰是本级别背驰的必要条件而非充分条件，换句话说，就是只有在低级别发生背驰时，本级别才可能背驰。
所以，我们可以从低级别去发现本级别背驰的精确点，也就是说次级别的背驰决定了背驰点，我们说某个级别的走势背驰了，那么必须确定它以下所有级别都转折了，这是所有背驰的前提。
四、操作指导第一种情况最普遍。
其特点是时间和级别完全契合。
具体方法就是本级别进入背驰段后，到次级别去寻找背驰点，然后逐级找下去，直到所有的级别都在背驰段，最小的级别最终背驰。
这种方法要求使用者对本级别以下的所有级别都同时关注，就像一个魔方，只对一面是不够的，只有多个面都对好才有价值。
第二种情况是小转大。
本级别并未进入背驰段，由于小级别的突发情况，导致本级别背驰，这种情况是无法抓到第一买点的，只能在次级别回抽确认之后才能买到。
这种情况发生在空头/多头陷阱，在本级别一个猛烈的上或下，但随后就反转了。
第三种情况是反复背离。
注意是背离不是背驰，所谓的背了又背就是这种情况，就是本级别进入了背驰段，但次级别以下的力度很大，导致本级别迟迟无法背驰，在本级别上就显示背了又背。
但是只要没有打破背驰段，就要密切注意。
这种情况发生在筑顶/底的时期，反复地诱多或诱空，诱多时要快出，诱空时可以战略建仓。
区间套是精度逐级确定的方法。
区间套操作的终极意义是追踪节点。
从高到低一级级背驰下去，一直追踪到某一单成交为止。
这个概念就好比在某个区域搜索一个人，先去定哪个区，然后哪栋楼，然后哪间房，然后哪个座位。
聚点定理证明区间套定理
聚点定理证明区间套定理区间套定理是实分析中的一个重要定理，它是由聚点定理推导而来的。
在本文中，我们将使用聚点定理证明区间套定理，并详细阐述其原理和应用。
我们回顾一下聚点定理的内容。
聚点定理是实分析中的一个基本定理，它表明在实数轴上的任意有界数列必定存在收敛子列，并且该子列的极限就是实数轴上的一个聚点。
聚点定理的证明过程比较复杂，需要使用到实数的完备性和柯西收敛准则等相关概念。
由于篇幅限制，我们不再详细展开聚点定理的证明，有兴趣的读者可以查阅相关资料进行深入学习。
现在，我们使用聚点定理来证明区间套定理。
区间套定理是实分析中的一个重要定理，它是由聚点定理推导而来的。
区间套定理的内容如下：设I1，I2，…，In，…是一列实数区间，且满足以下两个条件：1. 对于任意的正整数n，In+1是In的子区间；2. 对于任意的正整数n，In的长度为Ln，满足lim(n→∞)Ln=0。
则存在唯一的实数x，使得x同时属于所有的区间In。
现在，我们开始证明区间套定理。
首先，根据条件1，我们可以得到一个实数序列{an}，其中an是区间In的右端点。
由于每个区间In都是有界的，那么该实数序列{an}也是有界的，根据聚点定理，该实数序列必定存在一个收敛子列{an_k}，其极限为一个实数x。
接下来，我们需要证明x同时属于所有的区间In。
假设存在某个正整数N，使得x不属于In。
那么根据条件1，x也不属于In+1，这与收敛子列的定义相矛盾。
因此，我们得出结论，x必定属于所有的区间In。
我们需要证明x是唯一的。
假设存在另一个实数y，且y也同时属于所有的区间In。
由于条件1，我们可以得到一个实数序列{bn}，其中bn是区间In的左端点。
同样地，根据聚点定理，该实数序列必定存在一个收敛子列{bn_k}，其极限为一个实数y。
由于x和y同时属于所有的区间In，那么它们必定是同一个数。
否则，假设x≠y，那么根据实数的三角不等式，|x-y|≥0。
2023年度第一讲区间套定理
2023年度第一讲区间套定理区间套定理是初等实分析中一个重要的定理。
这个定理是指：如果有一个开区间序列，每个区间都在自己之后的所有区间中去掉某个端点后仍是开区间，而它们的长度趋向于零，那么它们都有一个公共点。
这个定理常常应用于数学证明中，尤其是在测度和积分理论中经常能看到。
下面我们将对区间套定理进行详细的讲解。
1. 定理表述设$(a_n,b_n)$是一列非空的开区间序列，它们满足:（1）对于任意的$n\\in \\mathbb{N}$，$(a_n,b_n)\\subset (a_{n+1},b_{n+1})$；（2）对于任意的$n\\in \\mathbb{N}$，$(a_{n+1},b_{n+1})\\backslash [a_n,b_n]\eq \\varnothing$；（3）$\\lim_{n\\to \\infty}(b_n-a_n)=0$。
则存在唯一的实数$c$，满足$c\\in (a_n,b_n)$对所有的$n\\in \\mathbb{N}$都成立。
2. 证明在区间套定理的证明中，需要使用到实数的紧致性和单调收敛定理。
首先，我们可以发现区间套定理相当于证明了开区间序列的交集非空。
具体而言，我们构造$G_n=(a_n,b_n)$，则$G_1\\supset G_2\\supset \\cdots \\supsetG_n\\supset \\cdots$，而根据题目给出的条件，$G_{n+1}\\backslash G_n$不是空集，并且$\\lim_{n\\to\\infty}(b_n-a_n)=0$。
因此，对于任意的$n\\in\\mathbb{N}$，都有$G_n$非空。
接下来，根据实数的紧致性，序列$(a_n)$和$(b_n)$分别存在着极限$\\alpha$和$\\beta$。
由此，可以得到：$$\\alpha \\leq a_n \\leq b_n \\leq \\beta$$因为$\\lim_{n\\to \\infty}(b_n-a_n)=0$，所以由单调收敛定理可知$\\alpha=\\beta$，即$a_n$和$b_n$有共同的极限$c$。
cauchy-cantor闭区间套定理_概述及解释说明
cauchy-cantor闭区间套定理概述及解释说明大纲：1. 引言1.1 概述本文旨在概述和解释Cauchy-Cantor闭区间套定理。
该定理是数学分析中重要的基本定理之一，涉及到实数集合的闭区间套及其性质。
通过本文的介绍，读者将更好地理解这一定理的定义、原理和应用。
1.2 文章结构文章由引言、概述、解释说明、实例分析和结论五个部分组成。
在引言部分，我们将简要介绍整篇文章的目标和内容安排，帮助读者了解本文的写作意图以及预期得到的阅读收获。
1.3 目的本文旨在全面介绍Cauchy-Cantor闭区间套定理，并通过具体例子进行解释说明。
希望通过阐述相关概念和原理，使读者能够深入了解该定理所涉及的数学知识框架，并能够应用于实际问题中。
以上所述为文章“1. 引言”部分内容。
2. cauchy-cantor闭区间套定理概述在实数集上，定义了一种称为Cauchy-Cantor闭区间套的特殊序列。
这个定理是由Augustin-Louis Cauchy和Georg Cantor发现和研究的，它提供了一种描述实数集合中无限个紧凑子集之间包含关系的方法。
闭区间是指由两个实数端点所确定的区间，即包含了这两个端点及其之间所有实数的集合。
Cauchy-Cantor闭区间套定理涉及到一系列嵌套的闭区间，其中每一个闭区间都是前一个闭区间的子集。
具体而言，在给定一段大闭区间时，我们可以得到一个相似但更小的子闭区间。
然后，在这个子闭区间基础上再次构建一个更小且相似的子闭区间。
如此往复，依次进行下去。
根据Cauchy-Cantor闭区间套定理，如果我们取任何一个实数集合并通过以上方式构建出无穷多个嵌套的闭区间，则对于这些闭区间来说存在唯一的实数，它同时属于每一个终结点所围成的小闭区间。
换句话说，在这些嵌套的子闭区间中，存在着一个共同元素或极限点。
这个定理的证明基于实数集的完备性以及闭区间套的特殊构造方式。
通过递归的方式，我们可以得到一系列越来越小的闭区间，并且根据闭区间端点的构造，我们可以确保这些闭区间之间有相应的包含关系。
闭区间套定理的证明、推广及应用
重庆三峡学院数学分析课程论文闭区间套定理的证明、推广及应用院系数学与统计学院专业数学与应用数学（师范）姓名姜清亭年级 2009级学号 ************指导教师刘学飞2011年5月闭区间套定理的证明、推广及应用姜清亭（重庆三峡学院 数学与统计学院 09级数本（1）班）摘 要 闭区间套定理是数学分析中一个重要定理,可以应用到数学教学、科学研究及日常生活中。
同时得到与之相应的若干定理，并使闭区间套定理得到推广。
其中在数学教学中的应用最突出的地方是证明某些数学定理,如零点定理。
关键词 开区间套定理 闭区闭套定理 聚点定理证明 有界性定理证明1 空间上的区间套定理定理1 (闭区间套定理) 设有闭区间列｛[],n n a b ｝若1 [][][]1122,,....,....n n a b a b a b ⊃⊃⊃2 lim()0n n n b a →∞-=则存在唯一数属于l 。
所有的闭区间（即[]1,n n n a b l ∞==），且lim lim n n n n a b l →∞→∞== 证明:由条件1可知，数列增加有上界1b ，数列｛n b ｝单调减少有下界1a ，1221.........n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤根据公理，数列｛n a ｝收敛，设lim n n a →∞=l ．由条件2 有()lim lim ()lim lim 0n n n n n n n n nx n n b b a a b a a l l →∞→∞→∞→∞=-+=-+=+=于是，lim lim n n n n a b l →∞→∞==，对任意取定的,n k N k +∈∀,有k nn k a a b b ≤≤，从而，lim lim k n n k n n a a l b b →∞→∞≤==≤， 或k k a l b ≤≤，即l 属于所有的闭区间．证明l 唯一性．假设还有一个'l 也属于所有的闭区间，从而'',,,,n n n n n N l l a b l l b a +⎡⎤∀∈∈-≤-⎣⎦有有有条件2),有'l l =即l 是唯一的．2 闭区间套定理的推广定理2 （开区间套定理）若开区间列｛(),n n a b ｝，若1 [][][]1122,,....,....n n a b a b a b ⊃⊃⊃2 )(lim n n n a b -∞→= nn ab 2lim-∞→=0对每个闭区间[n n b a ,]，有)()(n n b f a f <0，根据闭区间套定理知，存在唯一数l 属于所有的闭区间，且n n a ∞→lim =n n b ∞→lim =l证：由条件⑴知：1221b b b a a a n n ≤≤⋅⋅⋅⋅≤≤⋅⋅⋅⋅⋅≤≤⋅⋅⋅⋅⋅≤≤， 即{}()的数列，是单调增加有上界1b a n {}的数列。
数学分析区域套定理
区域套定理在求解极限问题中也有一定的应用
• 可以用于求解极限的存在性、唯一性等问题
• 为求解极限问题提供有效方法
⌛️
03
区域套定理的应用实例
区域套定理在求解积分中的应用
区域套定理可以用于求解定积分
区域套定理可以用于求解不定积分
Hale Waihona Puke • 如∫[0,1]x^n dx，n≠-1
• 如∫e^x dx
• 通过区域套定理可以得到积分的近似值
• 结合其他定理和方法，提高求解问题的准确性和效率
• 探索区域套定理在更多领域的应用，扩大其适用范围
区域套定理的未来发展将对数学分析产生重要影响
• 推动数学分析理论的发展和完善
• 为实际问题解决提供更有效的方法和工具
对数学分析学科发展的启示与建议
区域套定理的研究对数学分析学科发展具有启示意义
• 强调数学分析基本定理的重要性
• 通过区域套定理可以得到不定积分的近似解
区域套定理在求解微分方程中的应用
区域套定理可以用于求解线性微分方程
• 如y'+y=0
• 通过区域套定理可以得到微分方程的近似解
区域套定理可以用于求解非线性微分方程
• 如y'=y^2
• 通过区域套定理可以得到微分方程的近似解
区域套定理在求解极限问题中的应用
• 是高等数学的基础课程
• 为其他数学分支提供理论和方法支持
• 在自然科学、工程技术等领域具有广泛应用
数学分析中的基本定理概述
数学分析中有许多基本定理
基本定理的应用广泛
• 如极限存在定理、微分定理、积分定理等
• 在求解微分方程、积分方程、极限问题等方面具有重要
实数域中的完备性与区间套定理
实数域中的完备性与区间套定理在数学领域中，实数域是非常重要的一个概念。
实数域包含了所有的有理数和无理数，它是一个无穷无尽的数集。
实数域的一个重要性质就是其完备性。
完备性是指实数域中的每一个非空子集都有一个上确界和一个下确界。
首先，我们来了解一下上确界和下确界的概念。
在实数域中，给定一个非空的有上界的数集，那么这个数集的上确界就是这个数集中的最小上界。
类似地，给定一个非空的有下界的数集，那么这个数集的下确界就是这个数集中的最大下界。
上确界和下确界的存在性是实数域完备性的一个重要体现。
实数域的完备性可以通过区间套定理来进行证明。
区间套定理是实数域完备性的一个重要推论。
它的表述是：如果在实数域中有一系列闭区间[a1, b1], [a2, b2], [a3, b3], ...，满足以下两个条件：1. 对于任意的正整数n，都有[a(n+1), b(n+1)]是[a(n), b(n)]的子集；2. 这些闭区间的长度都趋于零，即对于任意的正整数n，都有b(n) - a(n) → 0。
那么，区间套定理就保证了存在一个实数x，它同时属于所有的闭区间[a1, b1], [a2, b2], [a3, b3], ...。
这个实数x就是这个闭区间序列的交集的唯一元素。
这个定理的证明可以通过实数域的确界性质和序列的收敛性进行推导。
区间套定理的重要性在于它为实数域的完备性提供了一个重要的工具。
通过区间套定理，我们可以证明实数域中的柯西序列是收敛的。
柯西序列是指对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，使得当n, m > N时，序列中的任意两个元素的差的绝对值小于ε。
柯西序列的收敛性是实数域完备性的一个重要推论。
实数域的完备性和区间套定理在数学分析中有广泛的应用。
它们为我们解决一些重要的数学问题提供了有力的工具。
例如，通过实数域的完备性，我们可以证明无理数的存在性，以及无理数的无限循环小数表示。
通过区间套定理，我们可以证明实数域中的闭区间套序列都有一个公共点，这个点可以用来构造实数域中的实数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
区间套定理在数学教学中的应用及意义
一、问题的由来
数学思想方法是数学知识的本质，它为分析、处理和解决数学问题提供了指导方针和解题策略。
然而，笔者在调研中发现无论是在教还是在学的活动中，教师和学生自觉运用数学的思想与方法去教学或解决数学问题的意识和能力都相当薄弱。
这正如涂荣豹教授指出的：“在数学教学中注重知识的传授、记忆和模仿，忽视数学思想方法的渗透和教学的问题仍然比较普遍。
”以至于在遇到一些重点教学内容和复杂的数学问题时往往缺少科学有效的解决办法，更难形成一类数学问题解决的思想方法。
案例1梯形中位线的性质定理是集位置关系和数量关系于一身的重要定理。
然而在引导学生猜想梯形中位线性质的问题上，虽然在教学实践和相关文献中有许多方法，但绝大多数教师都因缺少恰当的数学思想方法的指导而没有较为明确的思维方向。
许多教师不得不靠创设有较明显暗示的情境来引导学生思考，或者靠降低学生的思维层次让他们通过盲目地多次试验来找到解决问题的方法目。
最近在全国性的一个学术活动上，上海某中学教师上的“梯形中位线”观摩课极具代表性。
他在引导学生猜想梯形中位线的性质时是这样设计的：教师在黑板上画了8个全等的梯形(意为让学生逐一试验)后提出了供学生探讨的三个问题。
问题一：在梯形中画出各边中点连线，并尝试分析画出的线段的情况?问题二：猜想梯形的中位线与梯形的各边有没有特殊的关系?问题三：怎样证明你的猜想?其结果，在降低了部分学生的思维层次和耗费了很多的时间后还有相当数量的学生仍没有发现结论。
案例2笔者曾对50位中学数学教师作了“用尽可能多的方法将一个正方形四等分”的能力测试，“结果能用6种以上(含6种)方法等分的教师仅占28.6％，而且这些方法几乎局限于被等分的部分是全等的图形”，其中仅有3人想出了图1的等分方法。
尽管笔者作了“由图2和图3两种四等分方法你能推出第三种四等分方法吗?”的提示，仍有大部分人找不到这种等分方法。
由上述二案例不难看到，缺少数学思想方法指导的数学教学是低效的教学，即使我们通过大量的“试验”和“题海战术”获得的一些解题思路和方法也很难上升到方法论的层面，更难以形成具有宏观指导作用的数学思想。
因此，用数学思想方法指导中小学数学教与学已成为提高中小学数学教学质量的一个十分重要而紧迫的课题。
二、区间套定理在中小学数学教学中的应用
1.“关联一互化”关系
中小学数学教学内容中常有如下一类问题：设有M,P,N三个对象满足：①M，P，N之间具有某种内在联系；②通过某种运动或变化，M,P,N均可以相互转化。
我们称M,P,N三者具有“关联一互化”关系。
例如，对于梯形ABCD(图5)，让其两顶点A，D保持在直线AD上任意滑动，则当A，D两点重合时，便得到了三角形ABC(图4)，当AB⊥BC,DC⊥BC 时，便得到了长方形ABCD(图6)，反之亦然。
因此我们说三角形、梯形、长方形具有关联——互化关系。
2.区间套定理对解决“关联一互化”关系问题的启示
区间套定理是《数学分析》中的一个基本定理，其所蕴涵的极限思想和逐步逼近的方法、运动变化的观点对于解决中小学数学教学中具有“关联——互化”关系的一类问题提供了极为重要的思想方法。
对于具有“关联——互化”关系的三个对象M,P，N，按照逐步逼近的思想，三者通过运动或变化可以互相转化，在这个意义上它们形成了类似区间套的关系，因而三者必具有(收敛于)一个共同的性质(极限)。
由此我们得到以下启示：设P是一个需要解决的复杂问题，若能找到与P具有“关联—互化”关系的M与N，且P是由M运动或变化到N(或反之)的中间状态，M与N又是较为简单或是已经解决了的问题，则由M与N相同的已然性就可推知(或猜测)P的未然性，即P与M和N应具有相同或类似的性质，从而使复杂问题转化为简单问题。
三、运用区间套定理的启示解决数学问题的几个案例
我们再来看案例1.三角形ABC(图4)、长方形ABCD(图6)与梯形ABCD(图5)形成“关联—互化”关系，且梯形是由三角形变化为长方形(或反过来)的中间图形。
设EF分别是三角形ABC、梯形ABCD和长方形ABCD的中位线(为统一起见，不妨将长方形ABCD的边AB和：CD上中点的连线叫做中位线)，则在三角形ABC中，已知EF//BC，且EF=1/2BC，在长方形ABCD中已知EF//BC//AD，且EF=BC=AD=1/2(BC+AD)，为了找到三角形和长方形相同的数量关系，并考虑到当梯形的上底长度趋于O时梯形就变为三角形，因而可以把三角形ABC看做上底AD为零的梯形，这样，在三角形ABC中亦有EF=1/2(BC+O)=1/2(BC+AD)，这与长方形中的数量关系相同，由此可以猜测梯
形中位线也有类似的性质，即梯形的中位线平行于它的两底且等于两底和的一半。
同样，案例2中四等分正方形问题。
由图7和图8两种四等分方法，其共同点是过正方形中心的两条互相垂直的直线将正方形四等分，不同点是这两条互相垂直的直线分别过正方形对角顶点和对边中点，只要将图7中互相垂直的两条直线同时绕正方形的中心旋转45°(顺时针或逆时针)，便可得到图8，反之也可由图8得到图7，而图9则是由图7变化到图8(或反之)的中间状态。
因此，图9与图7、图8形成“关联——互化”关系，故图9也应是一种四等分方法。
案例3四等分长方形问题。
正方形是特殊的长方形，运用区间套定理的逼近思想方法，我们还可将案例2的结论推广到长方形的情形：根据图10、图11两种四等分长方形的方法，你还能得到哪种四等分长方形的方法?
分析：图10和图11两种分法的共同点是长方形ABCD被过其中心O的两条直线四等分。
以图10为基础，让直线BD和AC各自按一定的速率(这两个速率使得直线BD和AC分别在长、短边上的交点所移动的距离之比等于长方形的长与宽之比)沿某一方向(如逆时针)旋转，这时直线BD与长边BC的交点B移动到B’，移动距离是d=｜BB’｜，同时直线AC与另一边(短边)AB的交点A移动到A’，移动距离是d’=｜AA’｜，两直线与长短边的交点分别在长短边上的移动距离d与d’成正比例(见图12)。
特别当d=1/2｜BC｜时d’=1/2｜AB｜，这时图10就成为图11，而图12则是由图10变化到图11(或反过来)的中间状态，显然，图12与图10、图11形成“关联一互化”关系。
因此，图10也是一种四等分分法。
由上分析，以图10的四等分分法为基础，让直线BD和直线AC各自以一定的速率(这两个速率使得直线BD和AC分别在长、短边上的交点所移动的距离之比等于长方形的长与宽之比)绕长方形的中心0旋转，当直线BD运动到B’D’位置时，点B在长边BC上的位移d=｜BB’｜，利用点B和点A分别在长方形的长短边上的移动距离成正比的关系找到直线AC上的点A在短边AB上的相应位移d’=｜AA’｜，即确定出相应的点A’的位置(见图13)，便可得到本问题的答案.
解如图13，过长方形的中心O作任一直线与长方形的两长边分别相交于点B’，D’，过B’作B’B”//AB交AD边于点B”，过B”佟B”A’//BD交AB于点A’，过点A’，O作直线A’C’交DC于点C’，则直线B’D’与A’C’将长方形ABCD四等分(证明略)
案例4初中数学“两圆位置关系”中“两圆相交的位置关系”是教学中的一个难点，运用“关联一互化”关系则可轻易地解决这一难点。
如图16，设圆O1的半径为R，圆O2的半径为r，R≥r，圆心距为d，由于两圆相交是两圆从外切(图14)变化到内切(图15)(或反过来)的中间状态，因而相交与外切、内切形成“关联一互化”关系。
因为两圆外切时明显有d=R-r，两圆内
切时明显有d=R+r，故两圆相交时应有R-r＜d＜R＋r就是很容易理解的事了。
下面再举一个经过拓展(扩大和缩小)后用逼近的思想方法来处理的数学问题。
分析；若用直接相加的方法是十分麻烦的事，按照逼近的思想，只要把“和”适当“放大”和“缩小”，就可使“和”与放大及缩小后的和形成“关联一互化”关系，从而求出解。
整数部分为98。
由以上讨论及案例不难看到，运用区间套定理及其所蕴涵的极限思想和逐步逼近的方法、运动变化的观点，我们不仅能顺利解决许多具有明显“关联—互化”关系的数学问题(如案例1—案例4)，而且也能经过迁移、拓展、变化解决不具有明显“关联一互化”关系的数学问题(如案例5)，更为有价值的是，在中学数学教学中渗透极限和逐步逼近的思想方法，引导学生从运动变化的视角去研究和解决数学问题等，可极大地提升学生的思维水平和解决问题的能力，形成正确处理数学问题的基本策略，使中学、大学各阶段的数学教学得到更好的衔接。
参考文献
[1]涂荣豹，王光明，宁连华。
新编数学教学论[M]。
上海：华东师范大学出版社，2006：143。
[2]贺素莲。
建构主义教学模式下的一堂几何探究课：梯形的中位线[J]数学教学研究，2005(6)。
[3]许兴国。
从“梯形的中位线定理”谈定理教学[J]。
中学数学(初中版)，2008(10)
[4]陈凌，梁倩，陈亚萍。
提高贵州省民族地区中小学数学教师实施新课程水平的研究[J]黔南民族师范学院学报,2007(6)。