闭区间套定理的证明、推广及应用

重庆三峡学院数学分析课程论文闭区间套定理的证明、推广及应用院系数学与统计学院专业数学与应用数学（师范）姓名姜清亭年级 2009级学号 ************指导教师刘学飞2011年5月闭区间套定理的证明、推广及应用姜清亭（重庆三峡学院 数学与统计学院 09级数本（1）班）摘 要 闭区间套定理是数学分析中一个重要定理,可以应用到数学教学、科学研究及日常生活中。

同时得到与之相应的若干定理，并使闭区间套定理得到推广。

其中在数学教学中的应用最突出的地方是证明某些数学定理,如零点定理。

关键词 开区间套定理 闭区闭套定理 聚点定理证明 有界性定理证明1 空间上的区间套定理定理1 (闭区间套定理) 设有闭区间列｛[],n n a b ｝若1 [][][]1122,,....,....n n a b a b a b ⊃⊃⊃2 lim()0n n n b a →∞-=则存在唯一数属于l 。

所有的闭区间（即[]1,n n n a b l ∞==），且lim lim n n n n a b l →∞→∞== 证明:由条件1可知，数列增加有上界1b ，数列｛n b ｝单调减少有下界1a ，1221.........n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤根据公理，数列｛n a ｝收敛，设lim n n a →∞=l ．由条件2 有()lim lim ()lim lim 0n n n n n n n n nx n n b b a a b a a l l →∞→∞→∞→∞=-+=-+=+=于是，lim lim n n n n a b l →∞→∞==，对任意取定的,n k N k +∈∀,有k nn k a a b b ≤≤，从而，lim lim k n n k n n a a l b b →∞→∞≤==≤， 或k k a l b ≤≤，即l 属于所有的闭区间．证明l 唯一性．假设还有一个'l 也属于所有的闭区间，从而'',,,,n n n n n N l l a b l l b a +⎡⎤∀∈∈-≤-⎣⎦有有有条件2),有'l l =即l 是唯一的．2 闭区间套定理的推广定理2 （开区间套定理）若开区间列｛(),n n a b ｝，若1 [][][]1122,,....,....n n a b a b a b ⊃⊃⊃2 )(lim n n n a b -∞→= nn ab 2lim-∞→=0对每个闭区间[n n b a ,]，有)()(n n b f a f <0，根据闭区间套定理知，存在唯一数l 属于所有的闭区间，且n n a ∞→lim =n n b ∞→lim =l证：由条件⑴知：1221b b b a a a n n ≤≤⋅⋅⋅⋅≤≤⋅⋅⋅⋅⋅≤≤⋅⋅⋅⋅⋅≤≤， 即{}()的数列，是单调增加有上界1b a n {}的数列。

是单调减少有下界1a b n根据公理：{}{}收敛。

收敛，n n b a设,lim l a n n =∞→由⑵知：()0lim lim lim =-=-∞→∞→∞→n n n n n n n a b a b即：l b a n n n n ==∞→∞→lim lim对任意取定的k ，(){}{}单调减少，单调增加，，n n b a n ∀于是：k n n n n k b b l a a ≤==≤∞←∞→lim lim即：,k k b l a ≤≤ 即l 属于所有的闭区间。

证明：l 是唯一性，应用反证法。

假设还有l l ≠'也属于所有的闭区间，从而对任意[]n n n n a b l l b a l l N n -≤'-<∈'∈0,,,,有有.根据极限的不等式性质有：()0lim >'-≥-∞→l l a b n n n ，与条件⑵矛盾，所以l 是唯一的。

闭区间套定理也是实数连续性的一种描述，即不是实数集可能不成立。

例1. 在有理数集上，[]n n b a ,，,11,111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n n b n a这是一个闭区间套列，但是在有理数集上不存在一点属于所有的区间。

推论1 （半开半闭区间套定理） 若半开半闭区间列{}(,]n n a b 满足：1 11,a n nn n n N a b b +++∀∈≤有2 lim()0n n n b a →∞-=则存在唯一数属于l 所有的开区间（即()1,n n n a b l ∞==）1 lim lim n n n n a b l →∞→∞==2 [](),123.........n n a b n ξ∈=同理 半闭半开区间列在相应条件下，有相同的结论．特别的，若定理1和推论1中区间 列的端点组成的数列{}n a 时结论（1）为lim n n a b ξ→∞==推论2 若开区间列｛(),n n a b ｝满足1 ,n N +∀∈，11nn n n a ab b ++<<<2 lim()0n n n b a →∞-=则存在一个实数l 属于所有的开区间｛()1,n n n a b l ∞==｝，且l =lim lim n n n n a b →∞→∞= 证明 据条件1 和2 由定理1和定理2显然可得l =lim lim n n n n a b →∞→∞=且(),nn l ab ∈n=1，2，3，．．．．3 闭区间套定理的应用例1 用区间套定理证明有界性定理证明:()f x 在[],a b 上无界，则等分[],a b ，即[],a b = ,,22a b a b a b ++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，至 少有一个子区间上()f x 无界，不妨为()11,a b ，将()11,a b 等分，则存在子()22,a b ，使得()f x 在()22,a b 上无界，依此类推，不断等分区间，则得到无穷区间列(),n n a b1 [][][]1122,,....,....n n a b a b a b ⊃⊃⊃2 1102n n nb a b a --=→ n →∞ 3 ()f x 在(),n n a b 上无界， 由1 和2根据区间套定理∃唯一[],,a b ξ∈使lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==而由于3n z +∀∈[](),,nx n n n a b f x n ∃∈使，从而 得到一点列{}()()n s t x ,0n n n x f x f x ξ→→及函数列，且 n →∞由数列极限与连续函数极限的关系应用n x ξ→、()()f x fξ→，这与()f x →∞矛盾所以假设不成立 从而有界性定理得证． 例2 用闭区间套证明聚点聚点定理：有界无限点集E 至少有一个聚点ξ定义：设E 是数轴上的点集，ξ是一个定点，若点ξ的任意邻域内都含有E 的不同于ξ的一点，则称点ξ是点集E 的聚点。

证明 因为点集E 有界，所以存在闭区间[]11,a b ,使[]11,E a b ⊂ 将闭区间[]11,a b 二等分1111,,22a b a b a b ++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，至少有一个闭区间含有额的无限多个点，否则闭区间[]11, a b 只含有E 的有限个点，与已知条件矛盾，设含有E 的无限多个点的哪个闭区间表为[]22,a b ，如果二个闭区间都含有111,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦和1,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦都含有E 的无限多个点，则任取其一．再将闭区间[]22,a b 二等分为222222,,22a b a b a b ++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，同样至少有一个闭区间E 含有无限多个点，将此闭区间表为[]33,a b ． 同样方法 无限次作下去，构造闭区间套1 [][][][]112233,,,.....,.....n n a b a b a b a b ⊃⊃⊃⊃⊃2 ()111lim lim02n n n n n b a b a -→∞→∞--==每个闭区间[],n n a b 都含有E 的无限多个点，根据闭区间套定理，存在唯一ξ所有的闭区间[],n n a b n N +∀∈，且lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==，已知有n N +∀∈，有n n a b ξ≤≤，根据极限的保序性，0ξ∀k N +∃∈有k a ξςξξς-≤+即[]()(),,,k k a b ξςξςξς⊂-+=，已知闭区间(),k k a b 含有E 的无限多个点，从而(),ξς因为含有E 的无限多个点，即ξ是E 的聚点．参考文献1 刘玉琏等编 数学分析讲义上册 [M], 北京：.高等教育出版社（第四版） 2003R空间的区间套定理【J】高等数学研究 2004，7（1）2张伟、许宏伟n3陈娓区间套定理极其应用[J] 长沙大学学报 200014（2）4刘玉琏等编数学分析讲义下册 [M], 北京：.高等教育出版社（第四版） 20035 毛一波.闭区间套定理的推广[J].渝西学院报（自然）The proof close nested interval theorem and its extension and applicationJiangQingTing(Class one of Grand 2009,Mathematics and statistics institute,College,Chongqing institute Three Goreges University (404000) )Abstract The Closed interval set of theorem is an important theorem in mathematics analysis, can be applied to the mathematics teaching, scientific research and daily life. And get some corresponding theorem and make closed interval set of theorem promoted. In mathematics teaching of the application is the most prominent place to prove some math theorem, such as zero theorem.Keywords Closed interval set of theorem CloseTheorem of Interval Accumulation point theorem proving Boundedness theorem .。