Rn空间的区域套定理
维欧氏空间中的点集
在 n 维向量空间 Rn 中，按照以下定义内积：
设 x ( x1, x2 , , xn ) Rn , y ( y1, y2,
n
x, y xi yi i 1
构成一个 n 维 Euclid 空间.
, yn ) Rn
对于 x ( x1, x2 , , xn ) Rn , y ( y1, y2, , yn ) Rn
(5) 界点要么是聚点，要么是孤立点。
15
聚点
关于聚点，下面三条是等价的：
(1) a是A的聚点；
(2) a的任意邻域内，至少含有一个属于A而 异于a点；
(3) 存在A中互异的点所成的点列 xn,
lim
n
xn
a
See P.4定义1.2
16
内部、边界、外部、导集、闭包 定义：(1) A的全体内点所成的集合，称为A的内部， 记作 A ,或 int A
Rn 中的向量的长度（或范数）定义为： x ( x, x) x12 x22 xn2
定义距离
( x, y) x - y ( x1 - y1)2 ( x2 - y2 )2 ( xn - yn )2
4
2. Rn中点列的极限
定义1.3(邻域)：设a Rn ,d 0,称点集
U(a,d )= x Rn | ( x,a) d 为点a的d邻域,简记为
U (a);
显然，在R1, R2, R3 中, U(a,d分别是以a为中心以d为
半径的开区间、开圆和开球.
o
U (a,d )=：x Rn | 0 ( x,a) d ---点a的去心d邻域。
d
d
M0
d
d
M0
ad
a
ad x
5
点列的极限
1.1 Rn空间简介
“左右”方向(或说水平)的直线，选右方向为正向
“上下”方向线，选前方向为正向
数轴常用字母x,y,z,…来表示
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在直线上，任意选定一个原点Ｏ，一个正向和一 个单位长度，该直线就叫做数轴. 下面以考虑“左右”一对方向为例
2
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2
yn xn
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2
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特别地，当点Q与原点O重合时，或者说
当(y1, y2,…,yn)= (0, 0,…,0)时，有
| x | x12 x22
xn 2 .
称|x |为向量x的模或长度． 且具有下列性质：
1． |x + y|≤| x |+| y|；
x
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在 R3 中，若点 P，Q 的坐标分别为(x1, y1,z1)，(x2, y2, z2)
则点P与Q之间的距离为
x2 x1 y2 y1 z2 z1
2 2
2
z
P
Q
O
y
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x
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2． | cx |=|c|| x | c为常数．
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二、邻域
邻域是指位于定点周围的点的集合，其中每个点 x 与 定点 x0 的距离小于定长 δ，δ 通常是很小的正数．
换而言之，一个点的邻域是包含这个点的集合，可以 稍微“抖动”一下这个点而不会离开这个集合．
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区间套定理证明
区间套定理证明摘要：1.区间套定理的概念2.区间套定理的证明方法3.区间套定理的应用示例正文：一、区间套定理的概念区间套定理，是数学分析中的一个重要定理，主要用于研究函数的性质和单调性。
该定理主要描述了函数在一个区间内的取值情况，为研究函数的值域和单调性提供了有力的工具。
二、区间套定理的证明方法区间套定理的证明方法有多种，这里我们介绍一种较为常见的证明方法。
证明：设函数f(x) 在区间[a, b] 上连续，在开区间(a, b) 内单调，且f(a) 与f(b) 的值确定。
我们用f(x) 的值域为A，那么A 是[a, b] 的一个子集。
我们在[a, b] 上取一个新的函数g(x)，使得g(x) 的值域是A。
由于f(x) 在(a, b) 内单调，所以g(x) 在(a, b) 内也单调。
由于f(a) 与f(b) 的值确定，所以g(a) 与g(b) 的值也确定。
于是我们可以在[a, b] 上构造一个新的函数h(x)，使得h(x) 在[a, b] 上连续，且h(x) 在(a, b) 内单调。
同时，h(a) = g(a)，h(b) = g(b)。
根据罗尔定理，h(x) 在[a, b] 上必然有一点c，使得h"(c) = 0。
由于h(x) 在(a, b) 内单调，所以h(x) 在[a, b] 上也单调。
由于h(a) = g(a)，h(b) = g(b)，所以g(x) 在[a, b] 上也单调。
由于g(x) 的值域是A，所以A 是[a, b] 的一个子集。
于是我们证明了f(x) 的值域是[a, b] 的一个子集。
三、区间套定理的应用示例区间套定理在数学分析中有广泛的应用，下面我们举一个应用区间套定理的例子。
例：设函数f(x) 在区间[0, 1] 上连续，且f(0) = 0，f(1) = 1。
证明f(x) 在[0, 1] 上的值域是[0, 1]。
证明：由于f(x) 在[0, 1] 上连续，所以f(x) 在[0, 1] 上的值域是[f(0), f(1)]。
区间套定理证明
区间套定理证明标题：区间套定理的证明引言：区间套定理是数学分析中一个重要的定理，它在实数域中的区间套序列中具有重要的性质。
本文将对区间套定理进行证明，以展示其证明过程及相关概念。
正文：区间套定理是指对于实数域中的一个区间套序列{I_n}，即I_1⊃I_2⊃I_3⊃...⊃I_n⊃...，其中每个区间I_n=[a_n, b_n]，存在唯一的实数c，使得c∈I_n，对任意正整数n。
证明过程如下：步骤一：首先证明区间套序列的长度有界性。
给定一个区间套序列{I_n}，由于每个区间I_n=[a_n,b_n]都是一个闭区间，因此其长度为b_n-a_n，且长度不为负数。
由于区间套序列是严格递减的，所以长度序列{b_n-a_n}也是严格递减的。
根据实数域中的阿基米德性质，存在一个正整数N，使得对于任意的正实数ε，存在正整数n>N，使得b_n-a_n<ε。
因此，区间套序列的长度有界。
步骤二：证明区间套序列的交集非空性。
由于区间套序列的长度有界，根据实数域中的确界原理，存在实数c，使得c是区间套序列长度序列{b_n-a_n}的确界。
我们需要证明c∈I_n，对任意正整数n。
首先，根据确界的定义，对于任意的正实数ε，存在正整数N，使得b_N-a_N<ε。
由于区间套序列是严格递减的，所以对于任意的正整数n>N，有b_n-a_n<b_N-a_N<ε。
因此，实数c的确界性质保证了c∈I_n，对任意正整数n。
步骤三：证明区间套序列存在唯一的交点。
假设存在两个实数c_1和c_2，满足c_1∈I_n和c_2∈I_n，对任意正整数n。
由于区间套序列是严格递减的，所以对于任意正整数n，有c_1∈I_{n+1}，c_2∈I_{n+1}。
然而，根据区间套序列的定义，I_{n+1}⊂I_n，因此c_1和c_2必须在同一个区间I_n中，否则不可能同时满足c_1∈I_n和c_2∈I_n。
因此，区间套序列存在唯一的交点，即证明了区间套定理。
区间套定理证明
区间套定理证明一、区间套定理的基本概念区间套定理（Interval Division Theorem）是数学中一个关于区间分割的定理。
它指出，对于任意一个实数，都可以通过不断缩小区间的办法，找到一个区间，使得这个区间内的所有实数都满足给定的条件。
区间套定理在数学分析、数值计算等领域具有广泛的应用。
二、区间套定理的证明过程区间套定理的证明过程可以分为以下几个步骤：1.设区间A的左端点为a，右端点为b，区间长度为Δx。
2.假设存在一个实数c，位于区间A内，满足条件。
3.将区间A分割为两个子区间：左子区间（A1）的左端点为a，右端点为c；右子区间（A2）的左端点为c，右端点为b。
此时，Δx1为左子区间的长度，Δx2为右子区间的长度。
4.由于c满足条件，因此可以在左子区间A1中找到一个实数d，使得d 满足条件。
将左子区间A1继续分割为两个子区间：左子区间（A3）的左端点为a，右端点为d；右子区间（A4）的左端点为d，右端点为c。
此时，Δx3为左子区间的长度，Δx4为右子区间的长度。
5.重复步骤4，直到左子区间的长度Δxn趋近于0。
此时，得到的左子区间（An）即为所求的满足条件的区间。
三、区间套定理的应用实例1.求解方程根：对于一元二次方程ax+bx+c=0，可以通过区间套定理求解其根的位置。
首先确定方程的判别式Δ=b-4ac的符号，然后选取一个合适的区间（如[-1,1]），利用区间套定理逐步缩小区间，直到找到满足条件的根。
2.数值计算：在计算机科学中，区间套定理可用于求解非线性方程组、求解微分方程初值问题等。
通过不断缩小区间，可以提高计算精度。
四、结论与启示区间套定理告诉我们，只要我们找到一个合适的区间，就可以通过不断缩小区间的办法求解实数满足的条件。
在实际应用中，区间套定理为我们提供了一种有效的方法，帮助我们解决了许多数学问题。
关于实数连续性的6个基本定理的互证
∴ ∀ n , 有 x n ≤ r ，并且 ∀ε > 0, ∃xN , 有xN > r − ε
∴∀n > N , 有r − ε ≤ xN ≤ xn ≤ r ，即 | xn − r |< ε
0 0
n →∞
5、单调有界证明有限覆盖定理
证明： 假设某一闭区间 [ a, b ] 的某个开覆盖 E 的有限个区间覆盖， 等分 [ a, b ] 为 两个部分区间，则至少有一个部分区间不能被 E 的有限个区间覆盖，把这个区 间记为 [ a1 , b1 ] ，再等分 [ a1 , b1 ] ，记不能被 E 的有限个区间覆盖的那个部分区间为
∴{ x n } ∈ Q0且单调下降有下界的数列。
∴∃ξ s.t lim xn =ξ ,下面证明ξ =supE。
n →∞
（1）如果 ∃x0 ∈ E，s.tx0 > ξ，则
x0 − ξ x − ξ x0 + ξ > 0 ∴∃N，s.txn < ξ + 0 = < x0 2 2 2
∵ xN ∈ Q0 ∴ 这与xN 为E的上界 矛盾.
n →∞
n→ ∞
an
= r， lim
n→ ∞
Hale Waihona Puke bn = r ′，由
∴ ∀ n，有 an
≤ r ≤ bn .
最 后 证 明 唯 一 性 . 若 有 r , r ′ 满 足 r ∈ ∩ [ an , bn ] ， r ' ∈ ∩ [ an , bn ] ， 则
确界原理证明区间套定理
确界原理证明区间套定理区间套定理也称闭区间套定理，是实数中的一个非常重要的定理，它为实数序列的收敛性提供了一个有效的判定准则。
在证明区间套定理之前，我们首先需要了解确界原理。
确界原理（或称最大最小值定理）是关于实数集合的重要定理，它告诉我们，非空有上界的实数集合必定有上确界，也就是存在一个最小的上界，记为sup(A)。
类似地，非空有下界的实数集合必定有下确界，记为inf(A)。
确界原理是实数的一个基本性质，是我们研究实数性质的基础。
现在我们来证明区间套定理。
假设我们有一列区间[a1, b1]，[a2, b2]，[a3, b3]，...，其中ai≤bi（i=1, 2, 3, ...）。
我们要证明存在一个实数x，它属于所有这些区间，也就是说对于任意的i，x属于区间[ai, bi]。
证明方法如下：1. 首先，我们观察到这些区间是递减的，也就是说对于任意的n，有bn≥bn+1、这是因为当n增加时，an是递增的，同时bn是递减的。
我们可以通过归纳法证明这一点：对于n=1，我们有b1≥b2，这是显然成立的。
假设对于n=k，有bk≥bk+1，那么我们可以证明对于n=k+1，有bk+1≥bk+2、根据区间的定义，bk≥ak+1，同时bk+1≥bk+1，所以bk≥bk+1、因此这个性质成立。
2. 接下来，我们证明这些区间是有界的。
由于这些区间是递减的，所以对于所有的n，有ak≤ak+1≤...≤an≤bn≤bn-1≤...≤b1、也就是说，[a1, b1]是一个紧区间，而[a1, b2]，[a1, b3]，...等等都是[a1,b1]的子集，所以它们也是紧区间。
根据闭区间套定理，这些区间都有交集。
3. 最后，我们要证明这些区间的交集不为空。
我们假设交集为空，也就是说对于一些i，[ai, bi]与[ai+1, bi+1]没有非空交集。
根据确界原理，这意味着bi≤ai+1，而这与条件ai≤bi相矛盾。
因此，这个假设是错误的，这些区间的交集不为空。
区间套定理证明
区间套定理证明1. 引言区间套定理是实分析中的一个重要定理，它在数学分析、拓扑学以及其他领域中有着广泛的应用。
本文将介绍区间套定理的定义、证明思路和具体证明过程。
2. 定义首先，我们来定义区间套。
定义1：区间套设给定一系列闭区间[a n,b n]，其中n∈ℕ。
如果满足以下两个条件：1. 区间之间存在包含关系，即对于任意自然数n，都有a n+1≤a n且b n+1≥b n； 2. 区间长度逐渐趋于0，即lim n→∞(b n−a n)=0。
则称闭区间序列[a n,b n]为一个区间套。
3. 区间套定理接下来，我们将介绍区间套定理。
定理2：区间套定理如果存在一个闭区间套{[a n,b n]}，满足上述定义，并且这个闭区间套的长度逐渐趋于0，则存在唯一的实数c，使得c∈[a n,b n]对于所有n∈ℕ成立。
简言之，区间套定理表明，在实数轴上的闭区间套中，存在一个实数c，它同时属于每一个闭区间[a n,b n]。
4. 证明思路我们将使用实数完备性公理来证明区间套定理。
实数完备性公理：如果对于任意的实数序列{a n}满足a1≤a2≤a3≤⋯≤a n，则存在一个实数L，使得L=lim n→∞a n。
我们将利用实数完备性公理来证明区间套定理。
首先，我们构造两个序列{a n}和{b n}，使得a n是闭区间[a n,b n]的左端点，b n是闭区间[a n,b n]的右端点。
然后证明这两个序列分别满足单调有界条件，并利用实数完备性公理得出结论。
5. 证明过程步骤1：构造两个序列给定一个闭区间套{[a n,b n]}，我们构造两个序列{a n}和{b n}： - 序列{a n}：每一项a n是闭区间[a n,b n]的左端点； - 序列{b n}：每一项b n是闭区间[a n,b n]的右端点。
步骤2：证明序列{a n}和{b n}满足单调有界条件由定义可知，对于任意自然数n，都有a n+1≤a n且b n+1≥b n。
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引理 （柯西准则） 空间点列｛ 收敛的充分必要条件是： 任意给定正数!， 必存在正整数 $ ， # "｝ 使得当 ""$ 时， 对于一切自然数 % 都有" （# ）! # ( "， "’ % # 定义 对于两个有界区域 &， 设 (， 则称 ’， $ 分别是其边界上的任意一点， （&， （( ， # ’） )* + , $） " 为这两个有界区域之间的距离。
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第7卷第"期
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Rn空间的区域套定理
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数： 张伟， 许宏伟 郑州航空工业管理学院,郑州,450005 高等数学研究 STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS 2004，7(1) 2次
参考文献(2条) 1.陈宗铎.陈娓 再谈区间套定理及其应用 2000(04) 2.华东师范大学数学系 数学分析 1991
引证文献(2条) 1.李响.李春明 闭区间套定理的延伸[期刊论文]-齐齐哈尔大学学报（自然科学版） 2008(4) 2.魏静 区间套定理的推广和应用技巧[期刊论文]-喀什师范学院学报 2008(3)
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