八下平行四边形压轴题

图8 F

C A

B

D

E

图 6

F

E

D C

B

A

八(下）平行四边形压轴题

1．（本题满分7分）如图8，在ABC ∆中，︒=∠90BAC ,68==AC AB ，,O 为BC 的中点，OE 平分AOB ∠，与AB 相交于点E ，OD 平分AOC ∠，与AC 相交

于点D . 求证：四边形ADOE 为矩形，并求四边形ADOE 的周长.

2. 正方形ABCD 中，M 是BC 上一点，N 是CD 中点，且AM=DC+CM ，

求证：AN 平分∠DAM 。 3．（本题满分7分）如图8，在四边形ABCD 中，AB=AD ，对角线AC 与BD 相交于点E ，若点E ，F 分别是是AC ，BD 的中点，∠CBD =90°，连接CF ，求证：AB ＝CF ．

5.（满分12分）如图6，已知四边形ABCD 是正方形，点F 在DC 边上（不与端

点重合），点E 在线段AF 上. AD =21m +，AE =2m ，DE =21m -.

（1）若2m =，求AED ∠的度数；

（2）M 为线段BF 的中点，点N 在线段AF 上（不与点F 重合），且MN =MC .

根据题意，请在图6中画出示意图，并求AD AN -的值.

6.（本题满分7分）

如图8，在平面直角坐标系中，已知点A (1, 1)，点B

图8

A B

O C

E D

在直线y ＝1上，点C (2

＋10, 4)，

点D (2，4)，且∠D ＝∠B ，试判断四边形ABCD 的形状，并证明你的结论.

7. （本题满分6分）如图11，在正方形ABCD 中，点G 是边BC 上的任意一点，DE ⊥AG ，垂足为E ，延长DE 交AB 于点F ，在线段AG 上取点H ，使得AG=DE+HG ，连接BH ．求证：∠ABH=∠CDE ．

8.（本题满分7分）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫做四边形的和谐线.已知在四边形ABCD 中，AB=AD=BC ，∠BAD=900，AC 是四边形ABCD 的和谐线，求∠BCD 的度数.（注：已画四边形ABCD 的部分图，请你补充完整，再求解）

图8 O C

D y B x A

Q P F E

D

C

B

A

9．（本题满分11分）

设点E 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，F 是BC 边上一点，线段DE 和AF 相交于点P ，点Q 在线段DE 上，且AQ //PC ．证明：PC =2AQ ；

10、如图，在□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点P 在边AD 上，过点P 分别作PE ⊥AC ，PF ⊥BD ，

垂足分别为点E 、F ，且PE=PF 。 （1）当OE=1，∠EPF=600时，求四边形PEOF 的面积；

（2）若点P 、F 分别是AD 、OD 的中点，且423-=-BC BF ，求CD 的长。

11、如图，在□ABCD 中，点E 在AD 边上，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在□ABCD 内部，

将BG 延长交DC 于点F ，EF 平分∠DEG 。 （1）求证：GF=DF ； （2）若BC=DC=4DF ，四边形BEFC 的周长为5614+，求BC 的长。

12．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=80°，BC=12，点D、E分别在边AB、AC上，且DA=DE=EC，求EC长

13、

14.

15. 如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），连接AP，过点B作BQ⊥AP交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交BA的延长线于点M．

（1）试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论；

（2）当AB=3，BP=2PC，求QM的长；

（3）当BP=m，PC=n时，求AM的长．

16．（13分）如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为()6,6

，

将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α()︒

<

<

︒90

0α，得到正方形CDEF，ED

交线段AB于点G，ED的延长线交线段OA于点H，连结CH、CG．

（1）求证：CG平分DCB

∠；

（2）在正方形ABCO绕点C逆时针旋转的过程中，求线段HG、OH、BG之间的数量关系；

（3）连接BD、DA、AE、EB，在旋转过程中，四边形AEBD能否成为矩形？若能，试求出直线DE 的解析式；若不能，请说明理由．

(第26题图) A B

C

G

H D

E

F

x

y O

14.【考点】四边形综合题；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；轴对称的性质．

【专题】综合题；压轴题．

【分析】（1）要证AP=BQ，只需证△PBA≌△QCB即可；

（2）过点Q作QH⊥AB于H，如图．易得QH=BC=AB=3，BP=2，PC=1，然后运用勾股定理可求得AP（即BQ）=，BH=2．易得DC∥AB，从而有∠CQB=∠QBA．由

折叠可得∠C′QB=∠CQB，即可得到∠QBA=∠C′QB，即可得到MQ=MB．设QM=x，则有MB=x，MH=x﹣2．在Rt△MHQ中运用勾股定理就可解决问题；

（3）过点Q作QH⊥AB于H，如图，同（2）的方法求出QM的长，就可得到AM 的长．

【解答】解：（1）AP=BQ．

理由：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，∴∠ABQ+∠CBQ=90°．

∵BQ⊥AP，∴∠PAB+∠QBA=90°，∴∠PAB=∠CBQ．

在△PBA和△QCB中，

，∴△PBA≌△QCB，∴AP=BQ；

（2）过点Q作QH⊥AB于H，如图．

∵四边形ABCD是正方形，∴QH=BC=AB=3．

∵BP=2PC，∴BP=2，PC=1，

∴BQ=AP===，

∴BH===2．

∵四边形ABCD是正方形，∴DC∥AB，∴∠CQB=∠QBA．

由折叠可得∠C′QB=∠CQB，

∴∠QBA=∠C′QB，∴MQ=MB．

设QM=x，则有MB=x，MH=x﹣2．

在Rt△MHQ中，

根据勾股定理可得x2=（x﹣2）2+32，解得x=．∴QM的长为；

（3）过点Q作QH⊥AB于H，如图．

∵四边形ABCD是正方形，BP=m，PC=n，∴QH=BC=AB=m+n．

∴BQ2=AP2=AB2+PB2，

∴BH2=BQ2﹣QH2=AB2+PB2﹣AB2=PB2，∴BH=PB=m．

设QM=x，则有MB=QM=x，MH=x﹣m．