2019年高考_立体几何_专题命题分析_周远方
立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系.认识空间图形，培养和发展空间想象能力、逻辑思维能力和运算求解能力，是高中数学课程对立体几何的基本要求.高考立体几何试题对数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养的考查，集中体现在直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等方法上，着重考查点、线、面位置关系的判断、证明和计算等问题.2019年高考数学试卷中，北京卷、上海卷、天津卷、浙江卷、江苏卷均是自主命题，其他地区均采用全国卷.浙江卷和上海卷不分文、理科，江苏卷文、理科合卷，其他均为文、理科分卷.2019年高考数学共13份试卷，每份试卷都对立体几何内容进行了考查.本文将对这13份试卷中立体几何的考查情况进行分析，总结试题特点和规律，以便对2020年复习备考提供参考.一、考查内容分析2019年高考数学立体几何命题严格依据考试大纲，认真贯彻“五育并举”教育方针，突出几何学科特色，依托基本立体图形，通过数形结合的思想方法，着重考查学生的直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养，以及综合运用数学思维方法分析问题和解决问题的能力.试题以几何情境、生活情境和优秀传统文化的真实情境为载体，贴近学生实际，突出素养导向，全面覆盖立体几何的基础知识和基本技能，凸显综合性、应用性和创新性，充分体现了立体几何的考核目标、考查要求和育人功能.统计表明，2019年高考中立体几何的考查特点，主要体现在以下几个方面.一是注重考查基础知识、基本技能和基本数学思想方法.例如，点、线、面位置关系的判断，能用直观图形表示和理解空间图形，能将空间问题转化为平面问题，等等.二是以基本立体图形为载体，着重考查用度量计算点、线、面位置关系的方法.例如，求解二面角、点到平面的距离等.三是考查方式与育人方式相结合.例如，用中国悠久的金石文化赋予几何体真实背景，用工厂劳动实践场景体现劳动教育的要求，等等.在2019年的13份高考数学试卷中，关于立体几何的三类试题（选择题、填空题和解答题）中，选择题和填空题进一步减少了对三视图的考查，为不分文、理科的高考删除三视图内容做准备.试题突出立体几收稿日期：2019-07-16作者简介：周远方（1962—），男，正高级中学高级教师，湖北省特级教师，苏步青数学教育奖获得者，主要从事中学数学课程、教材、教学和评价研究.2019年高考“立体几何”专题命题分析周远方1摘要：2019年高考数学试卷中的立体几何试题，考点覆盖全面，题型布局合理，总体难度稳定.命题通过立足考查“四基”“四能”，突出几何本质，创新试题情境，彰显育人功能，注重贴近教材、强调通性通法等方式达到对学生的直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养的考查目的，对今后立体几何的命题趋势有较强的引领作用，对今后立体几何的复习备考有很好的指导价值.关键词：2019年高考；立体几何；命题思路；命题趋势；复习建议··104何的主干内容，通过点、线、面的位置关系的判断、推理和证明，考查学生的逻辑思维能力和直观想象素养.文科解答题体现综合几何法的优势，理科解答题体现向量基底法和向量坐标法的优点，并遵循“用而优则选”的原则.1.考点覆盖全面，题型一应俱全总体来看，2019年高考数学对立体几何知识点的考查覆盖面广，且形式多样.以考查点、线、面的位置关系为主线，既重点考查了有关线面平行与垂直关系的判断、四点共面证明等必备知识，又着重通过二面角求解、点到面的距离计算等考查学生的关键能力与学科素养.同时，通过真实的几何问题情境体现数学的核心价值.在注重考点全覆盖的基础上，讲究主干内容重点考查，选择题、填空题和解答题三类题型，一应俱全.2.题量、分值相当，文、理科差异缩小2019年高考试卷中的立体几何试题的题型、题号和分值如下表所示.全国Ⅰ卷全国Ⅱ卷全国Ⅲ卷北京卷科别理文理文理文理文题型选择题解答题填空题解答题选择题填空题解答题选择题填空题解答题选择题填空题解答题选择题填空题解答题填空题填空题解答题填空题填空题解答题题号1218161971617716178161981619111216121318分值1717222222222424卷别天津卷上海卷浙江卷江苏卷科别理文——————题型填空题解答题填空题解答题选择题解答题选择题选择题解答题填空题解答题题号1117121714174819916分值1818192319续表统计表明，2019年高考的13份数学试卷中的立体几何试题的题量和分值差异不大，各卷题量基本按照“两小一大”（两道选择题或填空题、一道解答题）或者“一小一大”（一道选择题或填空题、一道解答题）布局，其中文、理科分科的三套全国卷的分值为17分或22分，天津卷和北京卷的分值分别为18分和24分；而三套文、理科合卷的分值为19分或23分.基于《普通高中数学课程标准（实验）》和考试大纲，文、理科对立体几何初步的要求一致，理科对空间向量与立体几何有要求.因此，2019年高考的13份数学试卷中，文、理科分卷的立体几何试题，大部分选择题或填空题基本相同，解答题除文、理科第二问因要求不同而设问不同之外，问题背景和第一问完全一致.这种题型协调搭配的方式，进一步传递了继2018年高考后文、理科同题比例进一步提高的信号.3.总体难度稳定，突出通性、通法近几年高考中，立体几何试题总体难度都不大，考查相对稳定.考查特点是：考查全面，梯度清晰，突出基础知识、基本思想和关键能力等的考查.例如，全国Ⅱ卷文、理科共用的选择题第7题，直接考查面面平行的定义及判定定理.2019年高考的13份数学试卷中的立体几何解答题，绝大多数采用“一半证明、一半计算”的设问方式，即第一问主要考查线面位置关系的证明，第二问涉及角与距离或体积的计算.这些做法充分体现了“通过立体几何的基本图形，在考查必备知识的基础上，注重对通性、通法的考查”的命题思路.··105二、命题思路分析2019年高考数学立体几何试题，以柱、锥等常见几何体为载体，重点考查学生的空间想象、逻辑推理、数学阅读和表达等关键能力；重视几何主干知识，将其作为考查重点，并围绕主干内容加强对核心概念、思想方法和关键能力的考查.全面检测学生的立体几何基础知识、基本技能和数学素养.1.重视理论基础，突出几何本质2019年高考的13套数学试卷，除浙江卷和北京卷仍有三视图的选择题或填空题之外，其他试卷的选择题和填空题均以点、线、面的位置关系判断和计算为主，命题重心回归到重视立体几何基本定义、公理、定理、性质的考查上.这种重视立体几何的理论基础、突出几何本质的做法，有利于考查学生的空间想象能力和逻辑思维能力.例1（全国Ⅱ卷·文/理7）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（）.（A ）α内有无数条直线与β平行（B ）α内有两条相交直线与β平行（C ）α，β平行于同一条直线（D ）α，β垂直于同一平面【评析】作为全卷的第7题，一般试题难度已上升到中等难度.该题将充要条件和点、线、面的位置关系综合在一起，学生需要在明确充要条件定义的基础之上对平面位置关系做出判断.理解了面面平行判定定理及定义的学生能更快得到答案.该题体现了“紧扣考试大纲，重视基本定义和定理的考查”的命题思路，教师要引导学生在平时注重对数学基本概念的学习.例2（全国Ⅲ卷·文/理8）如图1，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则（）.ENMDCBA图1（A ）BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线（B ）BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线（C ）BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线（D ）BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线【评析】解决此题既可以用几何法，也可以用向量法.显然，利用BD ，ED 相交于点D ，得到M ，N ，B ，E 四点共面，导出BM ，EN 相交的结论更直观.此题较好地体现了要重视立体几何基本公理、定理的学习的命题意图，突出了立体几何的本质特征.特别是对“部分学生过度依赖向量法”的纠偏，起到了很好的引领作用.例3（北京卷·文13/理12）已知l ，m 是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：.【评析】此题主要考查直线与平面平行和垂直的判定及性质，属于立体几何的主干知识.试题的设问方式新颖别致、不落俗套，需要学生自拟条件然后得出结论，具有一定的开放性，拓展了学生的思维空间.这种开放题既考查了基础知识，又考查了学生的探究能力.2.紧扣教材素材，引导教学回归教材是实现数学课程目标、发展学生数学学科核心素养的重要学习资源.通过对教材上的例题和习题的挖掘，改编和拓展，可以很好地考查学生学习目标的达成情况，从而引导中学数学教学从“题海战术、题型套路”回归到“素养为本、教材为本”的正确轨道上来.例4（全国Ⅱ卷·理17）如图2，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.（1）证明：BE ⊥⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，求二面角B -EC -C 1的正弦值.例5（全国Ⅱ卷·文17）如图2，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.ED 1C 1B 1A 1DC BA 图2··106（1）证明：BE⊥⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥E-BB1C1C 的体积.【评析】上面这两道试题文、理科题干和第一问完全相同，仅第二问不同，属于典型的姊妹题，体现了文、理科立体几何试题问题背景趋同的变化.两道题都由人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2—1）》第三章的复习参考题B组第2题改编而成，并采用分步设问.第一问都是证明线面垂直，主要考查学生的逻辑推理素养；第二问文、理科有别，文科是求四棱锥的体积，关键是求其高，理科则是求二面角的问题，利用长方体为学生提供了建立空间直角坐标系的基本架构，让学生将精力集中在分析建立基本几何元素的关系上，综合考查学生的几何直观和数学运算素养.两道试题的设计较好地诠释了“动态中的变化、变化中的稳定”的命题理念，起到了良好的区分效果.3.注重几何联系，凸显直观想象近几年的高考立体几何试题都出现了组合体的问题，这种以多个简单几何体组合为问题背景的试题，要求学生在面对不同形状的几何对象时，适当运用几何知识和技能进行探究，可以充分甄别学生的几何思维水平、几何应用能力和直观想象素养.例6（全国Ⅰ卷·理12）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为（）.（A）86π（B）46π（C）26π（D）6π【评析】该题以常见的三棱锥的外接球问题为载体，主要考查了球的基本概念、三棱锥中元素的几何度量与位置关系判定，突出考查了球与三棱锥组合情境下的空间想象能力，同时着重考查学生的运算求解能力和应用能力.试题以学生熟悉的三棱锥为依托，通过∠CEF=90°为情境，巧妙地隐藏了PA，PB，PC 两两相互垂直这一重要条件.由于球的特征由三棱锥的几何特征来决定，因此思维的关键在于对三棱锥图形特征的分析，学生必须通过观察、分析、想象、判断、计算等思维过程，才能发现PA，PB，PC两两互相垂直，进而解决问题.另外，如果能将三棱锥的外接球等价于正方体的外接球，整个解题思维就显得清晰快捷了.试题设计源于教材，面向全体学生，难度适宜，突出了对学生综合、灵活运用知识解决问题的能力的考查，对中学数学教学有积极的引导作用和很好的指导意义.例7（全国Ⅰ卷·文16）已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB的两边AC，BC的距离均为3，那么点P到平面ABC的距离为.【评析】该题是常规的点到平面的距离问题，考查学生对空间几何结构的掌握与运用.试题的思维起点立足于空间想象能力，需要学生根据题设几何条件的相互联系构建成空间图形，解题的关键在于将相对零散、陌生的问题背景构置于集中、熟悉的几何体中来研究.不仅是对整体图形的分析，也是对局部图形的想象，并能通过自主探究画出几何体的图形，很好地考查了学生的应用意识和创新意识.试题的设计源于教材，体现了要求学生自主探究的理念.试题的研究从读懂文字到想象图形再到构造图形，学生要经历分析、判断和推理的逻辑过程.因此，试题既注重基础也关注能力，体现了从能力立意到素养导向的转变，从常规性的问题解决技能到创造性的探究能力，对教学有很好的指导意义.例8（天津卷·文12/理11）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为.【评析】该题以正四棱锥的一个内接圆柱为背景，主要依托简单组合体的基本特征，考查学生“无图想图、无图构图”的直观想象素养，要求学生在图形构建过程中强化棱、弱化面，抓住轴截面解决问题，整个构图过程很好地考查了学生的空间想象能力和抽象概括能力.计算时需要将空间问题转化为平面问题，体现了化归与转化的思想.4.展现多种解法，强调优选原则在研究几何问题时，综合几何方法能很好地考查学生的逻辑思维能力，对学生的理性思维有较高的要求.向量坐标方法可以通过建立空间直角坐标系，运用合适的向量模型，将相对困难的逻辑推理问题转化··107为向量运算来解决，需要学生具备较强的数学运算素养.解法的多样性既能展现学生的综合解题能力，又需要学生遵循“解而优则选”的原则，根据问题情境，结合个人实际，在多种方法的选择中做到为我所用、游刃有余.例9（全国Ⅰ卷·理18）如图3，直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；（2）求二面角A -MA 1-N 的正弦值.【评析】该题是以学生熟悉的直四棱柱为载体，设计的空间的线面关系和面面关系的证明问题和计算问题，让学生对试题中的线与面、面与面的空间图形会有“似曾相识又不相认”的感觉.试题贴近广大学生的学习实际，给出的信息含量是多样的，给不同基础的学生提供了想象的空间和多维度的思维平台，同时为学生分析问题和解决问题提供了发挥能力水平的空间.试题在全面考查学生的立体几何基础知识的同时，把空间想象能力、逻辑推理能力、向量运算、空间建系、二面角的平面角作图等较好地融入到试题的两问之中，着重考查了学生的化归与转化思想和针对多种解法的优化选择意识.第一问考查线面平行的判定，发现MN ∥DE 即可得到证明，思维难度不大，展现了几何法直观简洁的特点.第二问考查二面角的求解，几何法的思维难度较大，且作出二面角的平面角的途径不一，对纯平面几何的运算有较高的要求.评卷发现采用几何法的学生几乎是凤毛麟角，绝大多数学生都选择了向量坐标法，但建系方式多种多样，给阅卷带来了一定的困难.两种方法的灵活选择体现了学生有较强的立体几何的综合解题能力.例10（全国Ⅲ卷·理19）图4是由矩形ADEB ，Rt△ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°，将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连接DG ，如图5所示.（1）证明：图5中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；（2）求图5中的二面角B -CG -A 的大小.D CBAEFG图4D CBAE （F ）G图5【评析】该题以折叠问题为背景，借助于将平面图形折叠的方式构成一个三棱柱，主要通过四点共面、面面垂直和二面角的求法，考查学生的直观想象、逻辑推理和数学运算素养.折叠问题的特点就是从平面到空间的基本元素需要重置，重点要关注折叠前后发生变化的量与不变量，抓住这些特征是解决折叠问题的前提.第一问，几何法仍然是最佳的选择；第二问，几何法的逻辑推理难度并不大，过程简洁明了，这对过度依赖向量法的学生起到了一定的警示作用.试题通过方法的选择和解题时间的长短，区分出学生能力的差异，体现了让不同学生在数学上得到不同的发展.5.创新试题情境，彰显育人功能试题情境是试题的材料和介质，体现着立意表达的程度，其目的是反映试题的立意.试题情境通常包含着试题的知识背景、呈现形式和设问方式.主要包括数学情境、现实情境和科学情境等几种类型.每种情境又可以分为熟悉的、关联的和综合的等几个层次.素养导向的高考数学命题注重情境化试题的考查，并坚持贴近学生、贴近生活、贴近社会的“三贴近”原则.其主要特点表现为人文性、趣味性、新颖性、生活性、开放性等.当然，高考受作答时间、评卷时间和工作量的制约，试题情境不同于日常教学情境设计的开放性和真实性，而是有限度地开放、有条件地探索、渐进式地创新.2019年高考中的立体几何试题的情境主要体现出多样化、真实化和结构化的特点，重在将学生的解题转变为解决问题，将做题转变为做人、做事.例11（全国Ⅱ卷·文/理16）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图6）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面D 1C 1B 1A 1NMED CB A图3··108体体现了数学的对称美.图7是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面，其棱长为.图7图6【评析】该题的问题背景融入了中国悠久的金石文化，赋以几何体真实的背景和浓厚的人文气息，需要学生将实物图形（图6）抽象成几何模型（图7），主要考查学生的抽象概括能力和空间想象能力.试题以“半正多面体”为载体，将美育教育融入数学教育，体现了中国古代数学智慧的传承与发展，既可使学生关注中华优秀的传统文化，又可让学生感受到数学的现实应用，激发学生学习立体几何的兴趣，使他们养成良好的数学学习习惯.例12（全国Ⅲ卷·文/理16）学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图8，该模型为长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O -EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，AB =BC =6cm ，AA 1=4cm ，3D 打印所用原料密度为0.9g /cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为.D 1C 1B 1A 1D CBAOH G E F 图8【评析】该题以现实问题情境为依托，将劳动实践与立体几何有机结合，需要学生综合使用数学学科中的体积公式和物理学科中的密度公式，充分体现了学科间的纵横联系，反映了数学知识和方法的应用价值.试题再现学生到工厂劳动实践的场景，引导学生关注劳动、尊重劳动、参加劳动，体现了劳动教育的要求.试题贴近生活，有利于在中学数学教育中激发学生学习数学的热情，提高学生对数学价值的认识，提升他们的数学素养，对中学的素质教育有很好的导向和促进作用.三、复习建议1.回归教材，重视基础教材是落实数学课程目标、发展学生数学核心素养的重要教学资源，也是历年高考命题的重要素材.基于高考数学“重题海战术、重题型套路、重猜题押题、重机械刷题”的复习备考现状，复习过程必须紧扣考纲、用好教材.首先，应该结合图形对几何公理、定理、性质进行理解学习，让学生形成基本的几何素养，为能力的提升垫定坚实的基础.其次，应该通过对教材上的例题和习题的变式、拓展，挖掘教材上的例题和习题的深度和宽度，从中提炼通性、通法，准确把握立体几何的本质，提高复习效率.2.强化联系，形成体系在立体几何的学习过程中，应该准确把握柱、锥、台、球的基本特征，认真梳理核心概念、基本事实和公理（定理）之间的相互联系，形成有效的知识网络结构，明确几何问题的研究思路和一般观念，认清线面平行和垂直关系既彼此独立又相互交织、互联互通的本质特征，在复习时相互推演，构成整体，提高学生的逻辑推理能力.3.识图作图，习得素养识图作图是立体几何学习的基本素养.识图应遵循从整体到局部、从具体到抽象的原则，认识空间几何体的结构特征，掌握在平面上表示空间图形的基本方法，并能根据已知条件准确、迅速地构建空间几何图形；要以柱体、椎体等常见几何体为载体，认识和理解空间点、直线和平面的位置关系，重点研究直线、平面之间的平行和垂直关系，并能证明一些简单的几何命题.要充分运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等方法，认识和探索空间图形的性质，建立空间观念，提升直观想象、逻辑推理和数学运算等素养.4.规范书写，精益求精每年的评卷过程表明，学生在解答立体几何试题时的突出问题：一是证明过程表达不准确、不清晰、··109不到位，甚至是主观臆断、逻辑混乱；二是使用向量方法时经常出现计算错误，将相应点的坐标、向量坐标或平面的法向量求错，导致后续出错.为此，复习时要以教材上的例题的解答书写为模板，反复对比演练，精益求精，做到条理清晰，表达规范，计算准确.5.研究高考，掌握动向新一轮高考改革正在进行之中，“一核、四层、四翼”的高考评价体系，推动着高考命题由能力立意向素养导向的变革.在不分文、理科的背景下，高考数学试题的命制会适时优化试卷结构、适当调整命题目标、适度降低试题难度，更加重视考查学生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，考查学生对数学思想方法和数学本质的理解水平，考查学生关键能力的发展水平，检验学生进入高等学校继续学习的潜能.立体几何在形成学生的空间想象能力、逻辑思维能力和促进学生智力发展的过程中发挥着不可替代的作用，在高考数学改革的新变化、新导向、新举措和新要求的驱动下，2020年高考立体几何试题将会延续2019年的命题趋势，进一步体现文、理科趋同，进一步突出立体几何的考查特点，重视考查学生的逻辑思维能力和直观想象素养，为学生的可持续发展和终身学习打下坚实的基础.四、模拟题欣赏1.已知两个平面垂直，下列命题：①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②过一个平面内的任意一点作另一个平面的平行线，则此平行线必与交线平行；③垂直于其中一个平面的直线必平行于另一个平面；④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确命题的个数是（）.（A）3（B）2（C）1（D）0答案：B.2.已知一个四面体的四个平面都是边长分别是5，6，7的全等三角形，则这个四面体的外接球的表面积为.答案：55π.3.如图9，边长为2的正方形ABCD中，点O是正方形ABCD的中心，点E是AB的中点，点F是BC 的中点，将△AED和△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′，如图10所示.FEDCBA图9FEDBA′图10（1）A′D上是否存在一点P，使得OP∥平面A′EF？若存在，试确定点P的位置.（2）求二面角A′-FD-E的正弦值.答案：（1）A′D上存在点P，且A′P=13A′D；（2）二面角A′-FD-E的正弦值为.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准（实验）［M］.北京：人民教育出版社，2003.［2］郑喜中，罗苑华，雷波，等.2016年高考“立体几何”专题命题分析［J］.中国数学教育（高中版），2016（7/8）：110-119.［3］范美卿，张晓斌.2017年高考“立体几何”专题命题分析［J］.中国数学教育（高中版），2017（7/8）：106-112.［4］李晓群，吴丽华.2018年高考“立体几何”专题命题分析［J］.中国数学教育（高中版），2018（7/8）：88-97.［5］任子朝.从能力立意到素养导向［J］.中学数学教学参考（上旬），2018（5）：1.［6］任子朝，陈昂，赵轩.数学核心素养评价研究［J］.课程·教材·教法，2018，38（5）：116-121.［7］于涵，任子朝，陈昂，等.新高考数学科考核目标与考查要求研究［J］.课程·教材·教法，2018，38（6）：21-26.［8］任子朝，赵轩.高考数学逻辑思维能力测评研究［J］.中国考试，2019（6）：32-36.··110。
高考全国卷立体几何命题动向分析
高考全国卷立体几何命题动向分析作者：***来源：《中学生数理化·高考使用》2019年第11期一.近三年试题特点分析题型上，近三年高考全国卷对立体几何的考查题型有选择题、填空题及解答题。
题量上，多数以“两小一大”为主，偶有“一小一大”，如2018年全国I卷有“三小一大”共27分，而2019年全国I卷才“一大一小”共17分，所以说题量并不是固定的，有时有微调。
知识点分布上，小题主要考查点线面的位置关系与数量关系，求体积、面积等知识，部分试题渗透数学文化、实际背景及知识交汇处命题，突出试题的思想性和知识点的实际应用价值，主要考查同学们的直观想象、逻辑推理、数学运算、数学抽象等核心素养。
另外2019年全国9套试卷均未考查三视图，这与新课改中要求删除三视图有一定关系，但2020年高考的命题仍按老课标与老教材进行命题，没有任何信息表明2020年高考不考三视图，因此在备考时一定要注意。
立体几何解答题一般位于17-20题的位置，题型比较常规，第一小题重点考查线线、线面、面面的位置关系的证明，第二小题理科主要考查空间角，文科主要考查求锥体的体积、表面积等问题，要求同学们对基本概念的掌握要清晰，并且具备一定的运算能力。
难度上，小题以容易题和中档题为主，也有压轴小题，比如2018年全国I卷理科第12题，2019年全国I卷理科第12题，2017年全国I卷理科第16题。
解答题基本上是以中档题为主。
二、考查问题分析高考全国卷立体几何的小题主要考查以下几个方面的问题：（1）几何体中的线面位置关系、数量关系，主要情形有：①已知一个球及其内接或外切的几何图形求其中的数量关系;②已知一个多面体中的位置或数量关系求其他的数量关系。
（2）根据某几何体的三视图猜想其几何特征并求该几何体的某个数量关系，主要情形有：①给出几何体的三视图，通过看图、想图和画图得到其直观图，以此确定其几何特征并求其有关数量;②根据三视图的条件确定直观图所表示的几何体的几何特征，计算难度很低，一般是求能反映几何体本身特征的量，并且只要求代公式直接求值。
2019年高考真题理科数学解析分类汇编7立体几何
2019年高考真题理科数学解析分类汇编7 立体几何一、选择题1.【2018高考新课标理7】如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9()C 12 ()D 18【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3，所以几何体的体积为93362131=⨯⨯⨯⨯=V ,选B.2.【2018高考浙江理10】已知矩形ABCD ，AB=1，BC=2。
将△沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中。
A.存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直.B.存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直.C.存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直.D.对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直 【答案】C【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项C 是正确的．3.【2018高考新课标理11】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）()A 6 ()B ()C 3 ()D 2【答案】A【解析】ABC ∆的外接圆的半径r =点O 到面ABC 的距离d ==SC为球O 的直径⇒点S 到面ABC 的距离为2d =此棱锥的体积为11233ABC V S d ∆=⨯==另：123ABC V S R ∆<⨯=排除,,B C D ,选A.4.【2018高考四川理6】下列A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 [答案]C[解析]若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A 错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B 错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D 错；故选项C 正确.[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.5.【2018高考四川理10】如图，半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径CD 作平面α成45角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B ，该交线上的一点P 满足60BOP ∠=，则A 、P 两点间的球面距离为（ ）A 、R、4R π C 、R 、3R π[答案]A[解析] 以O 为原点，分别以OB 、OC 、OA 所在直线为x 、y 、z 轴，则A )0,23,21(),22,0,22(R R P R R42arccos=∠∴AOP42arccos ⋅=∴R P A[点评]本题综合性较强，考查知识点较为全面，题设很自然的把向量、立体几何、三角函数等基础知识结合到了一起.是一道知识点考查较为全面的好题.要做好本题需要有扎实的数学基本功.6.【2018高考陕西理5】如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB夹角的余弦值为（ ）35【答案】A.【解析】法1：设a CB =||，则a CC CA 2||||1==，),2,0(),0,2,0(),,0,0(),0,0,2(11a a B a C a B a A ，),2,0(),,2,2(11a a BC a a a -=-=∴，55||||,cos 111111=>=<∴BC AB BC AB ，故选A. 法2：过点1B 作11//B D C B 交Oz 轴于点D ，连结AD ，设122CA CC CB a ===，则422=∙=∠∴R PO AO AOP COS113,,AB a B D AD ==，在1AB D ∆中，由余弦定理知直线1AB 与直线1BC 夹角的余弦值为22211112AB B D AD AB B D +-==⋅. 7.【2018高考湖南理3】某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是【答案】D【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.查空间想象能力.是近年高考中的热点题型.8.【2018高考湖北理4】已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A．8π3B ．3πC．10π3D ．6π【答案】B考点分析：本题考察空间几何体的三视图.【解析】显然有三视图我们易知原几何体为 一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个1/2的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为6，则知所求几何体体积为原体积的一半为3π.选B. 9.【2018高考广东理6】某几何体的三视图如图所示，它的体积为俯视图侧视图正视图第4题图4A ．12π B.45π C.57π D.81π 【答案】C【解析】该几何体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱，根据三视图中的数量关系，可得πππ57533-53312222=⨯⨯+⨯⨯⨯=+=圆柱圆锥V V V ．故选C ．10.【2018高考福建理4】一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是A.球B.三棱柱C.正方形D.圆柱 【答案】D. 【【解析】法1：球的三视图全是圆；如图正方体截出的三棱锥三视图全是等腰直角三角形；正方体三视图都是正方形.可以排除ABC ，故选Ｄ．法2：球的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为圆；三棱锥的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图可以为全等的三角形； 正方体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为正方形； 圆柱的正视图（主视图）、侧视图（左视图）为矩形，俯视图为圆。
一道高考立体几何题的评析及教学反思
一道高考立体几何试题的评析及教学反思一年一度的高考已尘埃落定，新的学年即将来临，教师只有深入研究高考原题，及时反思自己的教学行为，积极总结教学的得失与成败，才能不断丰富自我素养，提升自我发展能力，最终达到切实提高教育教学效益的目的。
下面从2019年全国3数学（理）高考题19题的立体几何试题说起：1试题2试题特点2019年全国3数学高考试题充分体现了高考核心功能：立德树人、服务选才、引导教学，重点考查必备知识、关键能力、学科素养、核心价值，强调基础性、综合性、应用性及创新性。
第19题立体几何的考查也毫不例外， 题目的优点是：（1）该题是一道背景熟悉、朴实无华、极为简约、通俗易懂的试题，不存在阅读、审题障碍，也没有设置让考生摸不着门道的思维深度和阻碍；（2）本题全面考查空间立体几何的公理，考查面面垂直的证明，考查二面角的计算及空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力和计算能力，属中档题；（3）第一问比较基础，易得分，另外本题的三问之间没有直接联系，即使第一问错，第二问也可以做对，即使前两问都做错了，也不影响第三问的解答；（4）每个小问解决的方法比较多，不同思路可得到不同的解法；（5）考查跨度非常大，以初中平面几何为出发点，通过折叠得到空间几何体，充分体现数学是一门非常重要的基础学科。
3解法探析3.1证明A 、C 、G 、D 四点共面的方法有：证法一：（依据是平行公理4和公理2的推论）由已知得AD BE CG BE AD CG ，，所以， 故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面．1ADEB RT ABC BFGC 1,2,60,AB,BC BE BF DG A C G D ABC BCGE 22B-CG-A AB BE BF FBC ∆===∠=⊥图是由矩形、和菱形 组成的一个平面图形，其中将其沿 折起使得与重合，连结，如图2（1）证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面；（）求图中的二面角的大小。
2019年高考立体几何解析几何考试大纲命题分析
11．立体几何一、考试大纲1．空间几何体(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.(2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图.(3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.(4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求).(5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.2．点、直线、平面之间的位置关系(1)理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内.公理2：过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补.(2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.理解以下判定定理.如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行.如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直.如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直.理解以下性质定理,并能够证明.如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行.垂直于同一个平面的两条直线平行.如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直. 3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.4．空间直角坐标系(1)了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置.(2)会推导空间两点间的距离公式.二、新课标全国卷命题分析立体几何小题常考的题型包括：（1）球体；（2）多面体的三视图、体积、表面积或角度，包括线线角、线面角以及面面角，要重视常见几何体的三视图、三视图还原几何体的常用方法、面积和体积的计算式以及点线面的位置关系等，也要注意提高空间想象能力与数学计算能力．立体几何解答题第1问主要集中考查空间中直线、平面的位置关系的判断，注重对公理、定理的考查，而第2问多考查空间向量在空间立体几何中的应用，在证明与计算中一般要用到初中平面几何的重要定理，空间思维要求较高，运算量较大，对学生的空间想象能力、转化能力、计算能力要求较高．在考查考生运算求解能力的同时侧重考查考生的空间想象能力和推理论证能力，给考生提供了从不同角度去分析问题和解决问题的可能，体现了立体几何教学中课程标准对考生的知识要求和能力要求，提升了对考生的数学能力和数学素养的考查.本试题能准确把握相关几何元素之间的关系，把推理论证能力、空间想象能力等能力和向量运算、二面角作图、建立空间直角坐标系等知识较好地融入试题中，使考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力得到了有效考查.12．解析几何一、考试大纲1．直线与方程(1)在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素.(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.(3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.(4)掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式), 了解斜截式与一次函数的关系.(5)能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.(6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.2．圆与方程(1)掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.(2)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.(4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想.3.空间直角坐标系(1)了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置.(2)会推导空间两点间的距离公式.3．圆锥曲线(1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.(4)了解圆锥曲线的简单应用.(5)理解数形结合的思想.4．曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.二、新课标全国卷命题分析解析几何部分一般是2小1大，小题一般考查圆、圆锥曲线的性质，如离心率、渐近线，与圆、圆锥曲线有关的最值、取值范围问题，解答题一般考查直线与圆、圆锥曲线的位置关系，充分地考查了考生的逻辑思维能力、应用解析几何思想解决问题的能力和进行代数运算的能力．突出考查了用解析几何方法解决几何问题的能力，试题计算量较大，在计算的过程中，无论是公式记错了，用错了，还是算错了，都会由于一步的计算错误而导致整道试题的解答错误，因此，强调运算的准确性对于解析几何是十分必要的，充分应用解析几何基本知识与基本思想的通性通法．。
2019年全国高考数学·分类汇编 专题17 立体几何综合(解析版)
专题17 立体几何综合【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1．（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，求二面角B –EC –C 1的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）2.【母题来源二】【2018年高考全国II 卷理数】如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2C【母题来源三】【2017年高考全国Ⅱ理数】如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点．（1）证明：直线CE ∥平面P AB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45，求二面角M AB D --的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）5．【命题意图】高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查线面关系、面面关系、线面角及二面角的求解，考查数形结合的思想，空间想象能力及运算求解能力等．【命题规律】高考对该部分内容的考查主要有两种形式：一是利用立体几何的知识证明线面关系、面面关系；二是考查学生利用空间向量解决立体几何的能力，考查空间向量的坐标运算，以及平面的法向量等，难度属于中等偏上，解题时应熟练掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，把空间立体几何问题转化为空间向量问题.【答题模板】运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：（1）建立恰当的空间直角坐标系；（2）求出相关点的坐标；（3）写出向量坐标；（4）结合公式进行论证、计算；（5）转化为几何结论．【方法总结】1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量判定方法设直线l 的方向向量为a =(a 1，b 1，c 1)，平面α，β的法向量分别为μ=(a 2，b 2，c 2)，v =(a 3，b 3，c 3)，则（1）线面平行：l ∥α⇔a ⊥μ⇔a·μ=0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2=0；（2）线面垂直：l ⊥α⇔a ∥μ⇔a =k μ⇔a 1=ka 2，b 1=kb 2，c 1=kc 2；（3）面面平行：α∥β⇔μ∥v ⇔μ=λv ⇔a 2=λa 3，b 2=λb 3，c 2=λc 3；（4）面面垂直：α⊥β⇔μ⊥v ⇔μ·v =0⇔a 2a 3＋b 2b 3＋c 2c 3=0.注意：用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a ∥b ，只需证明向量a =λb （λ∈R ）即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.2.利用向量求异面直线所成的角把角的求解转化为向量运算，“转化”是求异面直线所成角的关键，一般地，异面直线AC ，BD 的夹角β的余弦值为cos β=||||AC BD AC BD ⋅⋅uuu r uu u r uuu r uu u r . 注意：两条异面直线所成的角α不一定是两直线的方向向量的夹角β，即cos α=|cos β|.3.利用向量求直线与平面所成的角（1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．注意：直线和平面所成的角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，即注意函数名称的变化．设直线l 的方向向量为a =(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为μ=(a 3，b 3，c 3)，直线l 与平面α的夹角为π20θθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，则||sin |cos ,|||||θ⋅==〈〉a a a μμμ. 4.利用向量求二面角求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．注意：两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角．设平面α，β的法向量分别为μ=(a 3，b 3，c 3)，v =(a 4，b 4，c 4)，平面α，β的夹角为θ(0≤θ≤π)，则|||cos ||cos ,|||||θ⋅==〈〉v v v μμμ.5.用向量解决探索性问题的方法（1）确定点在线段上的位置时，通常利用向量共线来求．（2）确定点在平面内的位置时，充分利用平面向量基本定理表示出有关向量的坐标而不是直接设出点的坐标．（3）解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题．1．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA PD AD ===，点E ，F 分别为PD ，AB 上的一点，且2PE ED =，2BF FA =．（1）求证：AE //平面PFC ；（2）求PB 与平面PCD 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）5. 2．【陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试数学】如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，∥EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上.3．（1）求证：AF ⊥平面ABCD ；（2）若二面角D AP C --，求PF 的长度.【答案】（1）见解析；（23．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学】如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，12AA AC CB ==，90ACB ∠=︒.（1）求证：平面11AB C ⊥平面11A B C ；（2）若1A A 与平面ABC 所成的线面角为60︒，求二面角11C AB C --的余弦值.【答案】（1）见解析；（24．【重庆南开中学2019届高三第四次教学检测考试数学试题】在直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，AB AD ⊥，24AB CD ==，E ，F 分别为AD ，BC 的中点（如图1）．沿EF 将四边形EFCD 折起，使得DE BF ⊥（如图2）．（1）求证：平面ABFE ⊥平面EFCD ；（2）若AC BE ⊥，求二面角C EB F --的余弦值．【答案】（1）见证明；（2）7.5．【宁夏银川市2019届高三下学期质量检测数学试题】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC △是等腰直角三角形，1AC BC ==，12AA =，点D 是侧棱1AA 的上一点．（1）证明：当点D 是1AA 的中点时，1DC ⊥平面BCD ；（2）若二面角1D BC C --的余弦值为29，求AD 的长． 【答案】（1）见证明；（2）max 1408y =.6．【贵州省2019届高三高考教学质量测评卷（八）】如图所示的几何体中，111ABC A B C -为三棱柱，且1AA ⊥平面ABC ，四边形ABCD 为平行四边形，2AD CD =，60ADC ∠=︒．（1）若1AA AC =，求证：1AC ⊥平面11A B CD ；（2）若2CD =，1AA AC λ=，二面角11C A D C --的余弦值为4，求三棱锥11C A CD -的体积． 【答案】（1）见解析；（2）4.。
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第 1 页2019年高考真题理科数学解析汇编：立体几何一、选择题1 ．（2019年高考（新课标理））已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =;则此棱锥的体积为 （ ）A．6BC．3 D22 ．（2019年高考（新课标理））如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为A ．6B ．9C ．12D ．183 ．（2019年高考（浙江理））已知矩形ABCD ,AB =1,BC 将∆ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻着,在翻着过程中, A ．存在某个位置,使得直线AC 与直线BD 垂直 B ．存在某个位置,使得直线AB 与直线CD 垂直 C ．存在某个位置,使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置,三直线“AC 与BD ”,“AB 与CD ”,“AD 与BC ”均不垂直4 ．（2019年高考（重庆理））设四面体的六条棱的长分别为a ,且长为a 异面,则a 的取值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ．5 ．（2019年高考（四川理））如图,半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内,过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ,过圆O 的直径CD 作平面α成45角的平面与半球面相交,所得交线上到平面α的距离最大的点为B ,该交线上的一点P 满足60BOP ∠=,则A 、P 两点间的球面距离为 （ ）A ．arccos4R B ．4Rπ C ．arccos3R D ．3Rπ 6 ．（2019年高考（四川理））下列命题正确的是（ ）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行7 ．（2019年高考（上海春））已知空间三条直线.l m n 、、若l 与m 异面,且l 与n 异面,则 [答]第 2 页（ ）A ．m 与n 异面.B ．m 与n 相交.C ．m 与n 平行.D ．m 与n 异面、相交、平行均有可能.8 ．（2019年高考（陕西理））如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱111A B C A B C -,12CA CC CB ==,则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为 （ ）ABCD ．359 ．（2019年高考（江西理））如图,已知正四棱锥S-ABCD 所有棱长都为1,点E 是侧棱SC 上一动点,过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分.记SE=x(0<x<1),截面下面部分的体积为V(x),则函数y=V(x)的图像大致为10．（2019年高考（湖南理））某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯视图不可能是11．（2019年高考（湖北理））我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ,求其直径d的一个近似公式d ≈人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159判断,下列近似公式中最精确的一个是（ ）[来源:shulihua]A．d ≈ B．d ≈C．d ≈D ．(一)必考题(11—14题)12．（2019年高考（湖北理））已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A ．8π3B ．3πC ．10π3D ．6π13．（2019年高考（广东理））(立体几何)某几何体的三视图如图1所示,它的体积为 （ ）A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π14．（2019年高考（福建理））一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是 （ ）A 图1B C D 侧视图正视图俯视图第 3 页A ．球B ．三棱柱C ．正方形D ．圆柱15．（2019年高考（大纲理））已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12,AB CC E ==为1CC 的中点,则直线1AC 与平面BED 的距离为 （ ）A ．2BCD ．116．（2019年高考（北京理））某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是 （ ）A．28+B．30+C．56+D ．60125+17．（2019年高考（安徽理））设平面α与平面β相交于直线m ,直线a 在平面α内,直线b 在平面β内,且b m ⊥,则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分不必要条件二、填空题18．（2019年高考（天津理））―个几何体的三视图如图所示(单位:m ),则该几何体的体积为______3m .19．（2019年高考（浙江理））已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积等于___________cm 3.20．（2019年高考（四川理））如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,M 、N 分别是CD 、1CC 的中点,则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________.21．（2019年高考（上海理））如图,AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱,BC=2。
2019年高考立体几何专题命题分析
12 题中 13 题中 18 题中 12 题中 13 题易 16 题中
1. 考点解读
(接下表)
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《中学数学研究》编辑委员会
名誉主编: 柳柏濂 顾 问: 王林全, 柳柏濂 社 长: 黎 稳 主 编: 吕 杰 副 主 编: 何小亚, 徐 勇 编委: 尤利华, 邓春源, 叶远灵, 吕伟泉, 吕杰, 刘喆, 刘名生, 刘秀湘, 孙道椿,
2019 年江苏卷 9, 16
2019 年 上海卷
春 15, 17
季 秋
14, 17 季
正四棱锥与圆柱内接; 线面平行, 18
线面垂直, 线面角. 正四棱锥与圆柱内接; 直线与平 18 面平行, 线面角, 二面角.
1 道填空题, 1 道解答题. 1 道填空题, 1 道解答题.
三视图; 异面直线所成角、直线 2 道选择题,
17 面平行的判定, 二面角.
面面平行的判定定理; 线面垂直 22
的证明, 棱锥体积.
面面平行的判定定理; 球内接多 22
面体; 线面垂直的证明, 二面角.
空 间 中 线 线、线 面、面 面 间 的 位 置关系的判定; 长方体、四棱锥 22 的体积; 线面垂直的证明, 二面 角. 空 间 中 线 线、线 面、面 面 间 的 位 置关系的判定; 长方体、四棱锥 22 的体积; 四点共面的证明; 面面 垂直的证明; 侧面积计算.
题型
1 道填空题, 1 道解答题. 1 道选择题, 1 道解答题. 1 道选择题, 1 道填空题, 1 道解答题. 1 道选择题, 1 道填空题, 1 道解答题.
2019年高考数学文真题分项解析：专题10 立体几何
第十章 立体几何1.【2019高考新课标Ⅱ，文7】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A. α内有无数条直线与β平行B. α内有两条相交直线与β平行C. α，β平行于同一条直线D. α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．【详解】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件，由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件，故选B ．【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ”此类的错误．2.【2019高考新课标Ⅲ，文8】如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面,ABCD M 是线段ED 的中点，则（ ）A. BM EN =，且直线,BM EN 是相交直线B. BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线C. BM EN =，且直线,BM EN 是异面直线D. BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线【答案】B【解析】【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．【详解】如图所示， 作EO CD ⊥于O ，连接ON ，过M 作MF OD ⊥于F ． 连BF ，Q 平面CDE ⊥平面ABCD ．,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCE ，MFB ∴∆与EON ∆均为直角三角形．设正方形边长为2，易知12EO ON EN ===，5,22MF BF BM ==∴=BM EN ∴≠，故选B ．【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角性。
3.【2019高考浙江卷，4】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）A. 158B. 162C. 182D. 32【答案】B【解析】【分析】 本题首先根据三视图，还原得到几何体—棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.4.【2019高考浙江卷，8】设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ）A. ,βγαγ<<B. ,βαβγ<<C. ,βαγα<<D. ,αβγβ<<【答案】B【解析】【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.【详解】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则cos cos PF EG DH BD PB PB PB PB α===<=β，即αβ>，tan tan PD PD ED BDγ=>=β，即y >β，综上所述，答案为B.方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γ'=γ）由最大角定理β<γ'=γ，故选B.方法3：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得cos sin sin 33α=⇒α=β=γ=，故选B. 【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.5.【2019高考新课标Ⅰ，文16】已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC ，那么P 到平面ABC 的距离为___________．【解析】【分析】本题考查学生空间想象能力，合理画图成为关键，准确找到P 在底面上的射影，使用线面垂直定理，得到垂直关系，勾股定理解决．【详解】作,PD PE 分别垂直于,AC BC ，PO ⊥平面ABC ，连CO ，知,CD PD CD PO ⊥⊥，=PD OD P I ，CD \^平面PDO ，OD ⊂平面PDO ，CD OD ∴⊥PD PE ==∵2PC =．sin sin PCE PCD ∴∠=∠=， 60PCB PCA ︒∴∠=∠=， PO CO ∴⊥，CO 为ACB ∠平分线，451,OCD OD CD OC ︒∴∠=∴===2PC =，PO ∴==．【点睛】画图视角选择不当，线面垂直定理使用不够灵活，难以发现垂直关系，问题即很难解决，将几何体摆放成正常视角，是立体几何问题解决的有效手段，几何关系利于观察，解题事半功倍．6.【2019高考新课标Ⅱ，文16】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印.信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．【答案】 (1). 共26个面. (2). 1.【解析】【分析】第一问可按题目数出来，第二问需在正方体中简单还原出物体位置，利用对称性，平面几何解决．【详解】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18826+=个面．如图，设该半正多面体的棱长为x ，则AB BE x ==，延长BC 与FE 交于点G ，延长BC 交正方体棱于H ，由半正多面体对称性可知，BGE ∆为等腰直角三角形，,21)1BG GE CH x GH x x x ∴===∴=+==，1x ∴==1．【点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形．7.【2019高考新课标Ⅲ，文17】学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，,,,E F G H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为30.9/g cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g .【答案】118．8【解析】【分析】根据题意可知模型的体积为四棱锥体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量.【详解】由题意得， 2146423122EFGH S cm =⨯-⨯⨯⨯=，四棱锥O −EFG 的高3cm ， ∴31123123O EFGH V cm -=⨯⨯=．又长方体1111ABCD A B C D -的体积为32466144V cm =⨯⨯=，所以该模型体积22114412132V V V cm =-=-=，其质量为0.9132118.8g ⨯=．【点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．8.【2019高考北京卷，文12】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．【答案】40.【解析】【分析】本题首先根据三视图,还原得到几何体,根据题目给定的数据,计算几何体的体积.属于中等题.【详解】如图所示,在棱长为4的正方体中,三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱1111MPD A NQC B -之后余下的几何体,几何体的体积()3142424402V =-+⨯⨯=. 【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．9.【2019高考北京卷，文13】已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m .【解析】【分析】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m . 正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.不正确，有可能m 在平面α内；（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α.不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α.【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.10.【2019高考天津卷，文12的正方形，侧棱长均为若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________. 【答案】4π. 【解析】【分析】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径。
聚焦高考数学创新题(湖北教研室 周远方)
n
∑i
i =1
n
k
=ak +1n k +1 + ak n k + ak −1n k −1 + ak − 2 n k − 2 + L + a1n + a0 ，
可以推测，当 k ≥ 2 ( k ∈ N* ) 时， ak +1 =
1 1 ， ak = ， ak −1 = k +1 2
其三是研究开发新的试题模式和考查方式.
三是控制难度，体现“新题不难、难题不怪”的特点.
高考数学创新题有哪些常见类型？ 高考数学创新题有哪些常见类型？
信 背 息 景 型 型 索 意 探 知识过程 立
开 设 放 问 型
研 情 究 境 型
高考数学创新题“ 高考数学创新题“新”在哪里？ 在哪里？
一是立意的鲜明性； 二是背景的深刻性； 三是情境的新颖性； 四是设问的巧妙性.
湖北省教学研究室 周远方
研究高考数学创新题的意义和价值
高校要选拔具有创新潜质的人才，高考数学就 必须重视对学生创新意识的考查，因此，设计创新题 是选拔高素质人才的必然要求. 认真研究创新题的特点，可以揣摩命题教师的 设计意图，深刻领会“能力立意”的命题指导思想， 准确把握《考试大纲》的要求，对搞好高中数学教学 和复习备考是十分有益的. 特别是一些令人津津乐道 的优秀创新题，还可研究其独特的教学功能，既可作 为教学的例题、练习题、测试题，更可用作研究性教 学的问题加以开发.
试题背景： 嫦娥一号” 试题背景：“嫦娥一号”的轨道示意图
试题背景： 试题背景：大纲版教材中相关素材
立意要素： 立意要素：选项的几何性质
① a1 + c1 = a2 + c2 ; ② a1 −c1 = a2 −c2; ③ c1 a 2 > a1 c 2 ; ④
2019年高考试题分析及教学建议
(2) 离心率问题、圆锥曲线的定义、求方程问题仍然是命 题的重点。
（全国Ⅰ文理）已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，
(4,0)，则双曲线方程为（ ）
Ａ．x 2 y 2 1 4 12
Ｂ．x 2 12
y2 4
1
Ｃ．x 2 10
y2 6
1
Ｄ．x 2 y 2 1 6 10
（全国Ⅱ文）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离
分数.
• 三套新课程试卷文科和理科的命题立意基本相同
题型分析
(1) 弦长问题、对称问题、轨迹问题、最值问题、求参数范 围问题、探求问题（探求或证明定值问题、直线过定点、 点与直线的存在）将仍然为高考命题选择的对象.
理(21)文(22)(山东卷) 已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点
径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那
么该2 棱柱的表面积为
cm2.
．
（11）已知三棱锥 SABC的各顶点都在一个半径为 r 的球
面上，球心O 在 A B 上，SO 底面 ABC ，AC 2r ，则球
的体积与三棱锥体积之比是（ ）（宁夏/海南文科）
Ａ． π
Ｂ．2 π Ｃ． 3 π
Ｄ．4 π
理 (18)
14分 解答 同上
同上
宁夏(海南)卷 (分数合计:文22分,理22分)
题号 分值 题型 考点及简要分析
山东《考试说明》
文(7) 理(6)
文/理 (13)
文 (21)
5分 5分 12分
选择 填空 解答
抛物线定义,焦半径
双曲线的定义和性质, 顶点,焦点,离心率
以圆为载体,直线与圆 的位置关系,与平面向 量知识的结合,求斜率 范围,探索性问题