模糊层次分析法讲解

模糊层次分析法理论基础
FAHP及计算过程层次分析法(AHP)是20世纪70年代美国运筹学家T.L. Saaty教授提出的一种定性与定量相结合的系统分析方法,该方法对于量化评价指标,选择最优方案提供了依据,并得到了广泛的应用。

然而, AHP存在如下方面的缺陷:检验判断矩阵是否一致非常困难,且检验判断矩阵是否具有一致性的标准CR < 0. 1缺乏科学依据;判断矩阵的一致性与人类思维的一致性有显著差异。

为此,本文结合模糊数学理论,首先介绍了模糊层次分析法(Fuzzy - AHP) FAHP ,然后用FAHP对公共场所安全性指标权重进行了处理。

1. 1 模糊一致矩阵及有关概念[4 ,5 ]
1. 1. 1 定义1. 1
设矩阵R = ( rij) n×n ,若满足: 0 ≤( rij) ≤1 , ( i = 1 ,2 , ……n , j = 1 ,2 , ……n)，则称R 为模糊矩阵
1. 1. 2 定义1. 2
若模糊矩阵R = ( rij) n×n ,若满足: Πi , j , k 有rij= rik - rij + 0. 5 ,则称模糊矩阵R 为模糊一致矩阵。

1. 1. 3 定理1. 1
设模糊矩阵R = ( rij) n×n是模糊一致矩阵,则有
(1) Πi ( i = 1 ,2 , …n) ,则rij = 0. 5 ;
(2) Πi , j ( i = 1 ,2 , …n , j = 1 ,2 , …n) ,有rij + rji= 1 ;
(3) R 的第i 行和第i 列元素之和为n ;
(4)从R 中划掉任一行及其对应列所得的矩阵仍然是模糊一致矩阵;
(5) R 满足中分传递性,即当λ≥0. 5 时,若rij≥λ, rjk ≥λ,则rij ≥λ;当λ≤0. 5 时,若rij ≤λ, rjk ≤λ,则rij ≤λ。

(证明见文献1) 。

1. 1. 4 定理1. 2
模糊矩阵R = ( rij) n×n是模糊一致矩阵的充要条件是任意指定行和其余各行对应元素之差是一个常数。

1. 1. 5 定理1. 3
如果对模糊互补矩阵F = ( f ij) n×n按行求和,记为ri = 6nk = 1f ik ( i = 1 ,2 , …, n) ,并施之如下数学变换:rij =ri - rj2 m + 0. 5 (1)，则由此建立的矩阵是模糊一致的。

1. 2 模糊一致判断矩阵的建立
模糊一致判断矩阵的建立R 表是针对上一层某元素,本层次与之有关元素之间相对重要性的比较,假定上一层次元素T 同下一层次元素a1 , a2 ,…, an 有关系,则模糊一致判断矩阵可表示为:
rij的实际意义是:元素ai 和元素aj 相对于元素T 进行比较时, ai 和aj 具有模糊关系“…比…重要得多”的隶属度,表1采用0. 1～0. 9 数量标度来说明其模糊关系。

有了上述数字标度之后，元素a1 , a2 ……an相对于上一层元素进行比较，从而得到如下的模糊一致矩阵：
R具有如下性质：
(1) Πi ( i = 1 ,2 , …n) ,则rij = 0. 5 ;
(2) Πi , j ( i = 1 ,2 , …n , j = 1 ,2 , …n) ,有rij + rji= 1 ;
因此，R为模糊一致矩阵，模糊判断矩阵R的一致性反映了人们思维判断的一致性，在构造模糊判断矩阵时非常重要，但在实际的决策分析中，由于研究问题的复杂性和人们认识上可能产生的片面性，构造出的模糊矩阵往往不具有一致性，可由模糊一致矩阵的充要条件来进行调整。

将模糊不一致矩阵调整为模糊一致矩阵的方法：
1 确定一个同其余元素的重要性相比较得出的判断有把握的元素，不失一般性，设决策者认为对判断r11、r12、……r1n有把握。

2 用R的第一行元素减去对应的第二行元素，若得到的n为常数，则不需要调整第二行的元素，否则对其调整。

由R的性质rij + rji= 1，可得r11+r22=r12+r21=1;
R11-r21=r22-r12=a(a为常数)；
R23=r13-a,r24=r14-a,…,r2n=r1n-a.
3 同理，用r的第一行元素减去对应的第三行元素，若得到的n差为常数，则不需要调整第三行的元素，否则对其调整。

由R的性质rij + rji= 1，可得r11+r33=r13+r31=1;
R11-r31=r33-r13=b(b为常数)；
R32=r13-b,r34=r14-b,…,r3n=r1n-b.
4 同理，用r的第一行元素减去对应的第k行元素，若得到的n差为常数，则不需要调整第
k行的元素，否则对其调整。

由R的性质rij + rji= 1，可得r11+rkk=r1k+rk1=1;
R11-rk1=rkk-r1k=c(c为常数)；
Rk2=r1k-c,rk4=r1k-c,…,rkj=r1k-c(j=2,3, …,n;k=/j).
1. 3 由模糊一致矩阵求元素的权重
设元素 a1 , a2 ……an 进行两两重要性比较后得到模糊一致矩阵 R = ( rij) n×m ,其权重值ω1 ,ω2 , …ωn 有如下关系成立: rij = 0. 5 + a (ωi - ωj) ( i , j = 1 ,2 , …, n) (2)其中0 < a < = 0. 5 ,且 a 是人们所感知对象的差异程度的一种度量,同评价对象个数和差异程度有关,当评价的个数或差异程度较大时, a 可以取较大值;另外,决策者还可以通过调整 a 的大小,求出若干个不同的权向量,在从中选择一个比较满意的权向量。

1. 4 几点说明[4 ]
(1)定理1. 1中第4条的意义在于:当设计好模糊一致矩阵后 ,如果又要删除某一个元素 ,则不必重新设计模糊一致矩阵 ,说明模糊一致矩阵具有良好的鲁棒性;
(2)定理1. 1 中第 5 条的中分传递性符合人们决策思维的心理特性;
(3)在实际决策分析中 ,由于所研究问题的复杂性和人们认识上可能产生的片面性 ,使构造出的判断矩阵不具有一致性 ,可以按定理 1. 2 或 1. 3 进行调整。