模糊层次分析法_讲得很好
模糊层次分析方法课件PPT
对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵
A， Saaty等人建议用对应于最大特征根
的特征向量作为权向量w ，即
Aw w
但允许范围是 多大？如何界 定？
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2021/3/10
3. 层次单排序及其一致性检验
对应于判断矩阵最大特征根λmax的特征向量，经归一 化(使向量中各元素之和等于1)后记为W。
W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对 重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。
其某种意义下的平均。
求
和法——取列向量的算术平均
行
1 2 6 列向量 0.6 0.615 0.545 和
例 A 1/2 1/ 6
1 1/ 4
4 归一化 1
0.3 0.308 0.364 0.1 0.077 0.091
归 一 化
0 .587
0
.
324
w
0 .089
1 .7 6 9
Aw
0
.
9
7
4
Aw w1(1.76 0 9 .97 0 4 .26 )3 8 .00
30.580 7 .320 4 .089
0 .2 6 8 精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010
1. 在海尔、新飞、容声和雪花四个牌号的电冰箱 中选购一种。要考虑品牌的信誉、冰箱的功能、价 格和耗电量。
2. 在泰山、杭州和承德三处选择一个旅游点。要 考虑景点的景色、居住的环境、饮食的特色、交通 便利和旅游的费用。
3. 在基础研究、应用研究和数学教育中选择一个 领域申报科研课题。要考虑成果的贡献（实用价值、 科学意义），可行性（难度、周期和经费）和人才 培养。
模糊层次分析法
模糊层次分析法理论基础FAHP及计算过程层次分析法(AHP)是20世纪70年代美国运筹学家T.L. Saaty教授提出的一种定性与定量相结合的系统分析方法,该方法对于量化评价指标,选择最优方案提供了依据,并得到了广泛的应用。
然而, AHP存在如下方面的缺陷:检验判断矩阵是否一致非常困难,且检验判断矩阵是否具有一致性的标准CR < 0. 1缺乏科学依据;判断矩阵的一致性与人类思维的一致性有显著差异。
为此,本文结合模糊数学理论,首先介绍了模糊层次分析法(Fuzzy - AHP) FAHP ,然后用FAHP对公共场所安全性指标权重进行了处理。
1. 1 模糊一致矩阵及有关概念[4 ,5 ]1. 1. 1 定义1. 1设矩阵R = ( rij) n×n ,若满足: 0 ≤( rij) ≤ 1 , ( i = 1 ,2 , ……n , j = 1 ,2 , ……n)，则称R 为模糊矩阵1. 1. 2 定义1. 2若模糊矩阵R = ( rij) n×n ,若满足: Πi , j , k 有rij= rik - rij + 0. 5 ,则称模糊矩阵R 为模糊一致矩阵。
1. 1. 3 定理1. 1设模糊矩阵R = ( rij) n×n是模糊一致矩阵,则有(1) Πi ( i = 1 ,2 , …n) ,则rij = 0. 5 ;(2) Πi , j ( i = 1 ,2 , …n , j = 1 ,2 , …n) ,有rij + rji= 1 ;(3) R 的第i 行和第i 列元素之和为n ;(4)从R 中划掉任一行及其对应列所得的矩阵仍然是模糊一致矩阵;(5) R 满足中分传递性,即当λ≥0. 5 时,若rij≥λ, rjk ≥λ,则rij ≥λ;当λ≤0. 5 时,若rij ≤λ, rjk ≤λ,则rij ≤λ。
(证明见文献1) 。
1. 1. 4 定理1. 2模糊矩阵R = ( rij) n×n是模糊一致矩阵的充要条件是任意指定行和其余各行对应元素之差是一个常数。
层次分析法讲得很好-课件
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(2) 相对于调动职工劳动积极性准则，各方案之间的重要
性比较 (判断矩阵B1—S)：
S1 S2 S3 S4 S5
S1 1
2 3 4 7
S 2 1 / 2
1
3
2
5
S3 S4
1 / 3 1 / 3 1 / 4 1 / 2
1 1/2 21
1
3
S 5 1 / 7 1 / 5 1 1 / 3 1
6
以上三个准则都是以合理使用企业利润，促进 企业发展为目的的。因此，整个层次结构分析 模型可以分成三层： 最高层 (目的层)——合理使用利润，促进企业 发展。 中间层 (各种使用企业留成利润方案所应当考 虑的准则)——进一步调动广大职工劳动积极 性，大力提高企业技术水平和尽力改善职工物 质文化生活。 最低层（所考虑的五种措施）—选择最优方案 。这种层次结构分析模型可用下图所示。
层次分析法讲得很好
精品jing
易水寒江雪敬奉
使用层次分析法的关键问题是要搞清楚问题的 背景和条件，要达到的目标、涉及的因素和解 决问题的途径与方案等等。这就需要将问题概 念化，构成概念之间的逻辑结构关系，即层次 结构模型，然后通过建立判断矩阵，进行排序 计算，最后就能得到满意的决策结果。 下面通过一个实际例子扼要介绍层次分析法的 基本原理和步骤。
模糊层次分析法_讲得很好
AHP与FAHP的区别： • 模糊层次分析法(FAHP)同普通层次分析法的区 别在于判断矩阵的模糊性,它简化了人们判断目标 相对重要性的复杂程度,借助模糊判断矩阵实现决 策由定性向定量方便、快捷的转换,直接由模糊判 断矩阵构造模糊一致性判断矩阵,使判断的一致性 问题得到解决。 例如：有些问题中进行专家咨询时，专家们往往 会给出一些模糊量（例如三值判断：最低可能值 、最可能值、最高可能值；二值区间判断） 所以引入模糊数改进AHP
STEP2 构造判断矩阵:一个因素被分解为若干个与之相关 的下层因素,各下层因素对该因素的作用大小不同 ,一般称为权重向量W。通过各因素的权重两两相 比较,构成一个判断矩阵。假设C 1,C 2,...,Cn是 n个影响因素。每个因素与其余因素之间的重要 程度之比,可以形成一个nXn阶的矩阵称为判断矩 阵。
三角模糊函数
分别取三角模糊数M1-M9为 1 到 9 ，他们 被用来改进传统AHP的9刻度指标法，把人类判 断的模糊性考虑在内。 M1-M9 三角模糊函数的成员函数：
5个三角模糊数被
定义在相应的成员 函数上。 （其余四个省略）
方案 i 与方案 j 的重要性相比, 用三角模糊数 如 对4个因素两两比较后可得到模糊评价矩阵
FAHP模型的构造步骤 STEP1 首先把复杂系统分解为各种组成因素,将这些因素 再按支配关系分解为次级组成因素,如此层层分解 ,形成一个有序的层次结构,这就建立了不同层次 因素之间的相互关系。其中最上层为目标层,最下 层为可选择的决策方案层,中间各层为评价准则层 如下图所示的综合评价指标体系就是这样一种层 次结构。其中,Cij表示第i项的第j个影响元素， vendori表示不同的方案与解决措施。
表示。例
模糊层次分析法
模糊综合评价法要建立一个备择集，是专家利用自己的经验和知识对项目因素对象可能做出的各种总的评判结果所组成的集合，即{}m V V V V ,,,21 =，其中),,2,1(m i V i =为各种可能的总评价结果。
选定项目风险的评价因素，将因素集{}n k U U U U U ,,,,,21 =按其属性分成n 个子集，n 表示U 中所包含的一级指标数目。
每个k U 由若干个二级指标集组成，即{}k kn k k k u u u U ,,,21 =，k n 表示k U 所包含的二级指标的数目。
建立U 到V 的模糊关系R ，采取专家评审打分的方法建立模糊关系矩阵)(ij r R 。
对各因素ij r 进行评价可通过Delphi 法或随机调查方式来获取隶属于第i （i=1,2,…,n ）个评语i V 的程度ij r ，则可得到模糊评估矩阵：()ij R r m n F U V ⎡⎤=⨯∈⨯⎣⎦。
通过对各个因素),,2,1(m i u i =赋予一定相应的权数),,2,1(m i a i =，权重集即{}m a a a A ,,,21 =。
采用),(⊗∙M 算子确定评估项目风险的向量元素集：{}R K b b b B m ∙==,,,21 ，其中{}n K K K K ,,,21 =为对应每个k U 的权重向量。
模糊层次分析模型模型原理：模糊层次分析法采用0.1～0.9标度法（见附录1）， 能够准确地描述任意两个因素之间关于某准则的相对重要程度。
且由优先判断矩阵改造成的模糊一致矩阵满足加性一致性条件即21+-=jk ik ij r r r ，就是R 的任意两行的对应元素之差为常数。
无须再做一致性检验，另外模糊层次分析法还解决了解的收敛速度及精度问题，具体步骤如下： (1).建立优先关系矩阵。
优先关系矩阵是每一层次中的因素针对于上层因素的相对重要性两两比较建立的矩阵，也称为模糊互补矩阵，即：1111R ()n ij n nn nn r r r r r ⨯⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ 其中ij r 表示下层第i 个元素相对于第j 个元素的模糊关系。
模糊层次分析法_讲得很好
主讲：田静
模糊数简介
FAHP的基本概念 三角模糊函数 FAHP的步骤
FAHP应用实例
Contents
模糊数简介
论域 ：
用U表示，它指将所讨论的对象限制在一定范围内，并称所 讨论的对象的全体成为论域。总假定它是非空的。
模糊集：
明确集合A：元素x不是属于A就是不属于A。A
模糊数简介 FAHP的基本概念 三角模糊函数 FAHP的步骤
FAHP应用实例
实例一：供应商的选择
❖ 供应商选择是一个多目标决策问题，选择供应商 的评价指标如下图。假设有三个供应商B1，B2， B3
❖ 对定量指标的处理：只需标准化统计值来获得权 重。
如，B1，B2，B3三个供应商的产品合格率分别为 90%，94%，98%。则标准化后得到权重如 下。
二、计算各个指标的综合权重
❖ Step1：第K层元素i的综合模糊值 权重）。
Dk （初始 i
n
nn
计算方式如下：
Dk i
ak ij
(
a k ), i ij
1,
2,...,
n
j 1
i1 j1
拿FCM1举例：c1的初始权重计算如下。
44
aij (1,1,1) (0.39, 0.67,1.00) …+（1，1，1）
▪ 论域U中元素x与A的关系由隶属度μA(x) 给出，不是简 单的二值属于或不属于而是多大程度上属于；
▪ U上所有模糊子集的集合称为模糊幂集，记作F(U)
模糊数简介
例1：用A表示“高个子男生”的集，并认为身高1.80m以上的男
生必为高个，而身高1.6m以下的男生都不是高个。用x表示某男
模糊层次法
模糊层次法模糊层次法是一种常用的组织和分析决策问题的方法。
它是一种定量分析技术，可以帮助决策者在不完整和含糊的情况下进行决策。
这种方法能够将复杂的多层决策问题分解成易于处理的子问题，然后通过逐层比较，确定各层因素有权重和优先级次序，最终得到决策方案。
本文将对模糊层次法的定义、应用、流程、优缺点和开发前景进行阐述。
一、定义模糊层次法是一种多轮逐步分析的决策方法，它可以解决由于客观条件的不确定性、主客观因素的互动和数据缺失等因素导致的决策问题。
该方法将一个大的主题分解成若干个层次，每个层次包含若干个指标，这些指标之间存在一定的关系。
通过定量化的描述和模糊量化的处理，最终得到决策结果。
二、应用模糊层次法在实际运用中有着广泛的应用，例如市场调查、战略规划、工程项目管理、投资分析和环境评估等领域。
这种方法可以帮助决策者做出科学、综合和客观的决策，提高组织和个人的竞争力。
三、流程模糊层次法的流程主要包括确定目标、构建层次结构、两两比较、计算权重和确认排序等步骤。
具体流程如下：1. 确定目标决策者首先需要明确整个决策的目标，以及与之相关的指标和因素。
在确定目标时，应充分考虑决策的适用性、实施性和可行性。
2. 构建层次结构将目标转化成各个层次子目标，构建出具有层次结构的模型，包括目标层、准则层、子准则层和方案层等。
3. 两两比较通过两两比较法，对各层次指标进行比较和排序，得到各层次指标的权重。
4. 计算权重通过模糊定量化法，将两两比较所得到的相对权重转化为数值权重，然后计算出各层次因素的综合权重，形成层次结构模型的权重向量。
5. 确认排序将各层次因素的综合权重进行排序，得到最终的决策结果。
在实现时，可以根据需要选择不同的排序方法，例如加权平均法、熵值法和TOPSIS法。
四、优缺点模糊层次法具有如下优点：1. 能够有效地处理决策问题的不确定性和对立性。
2. 可以通过分解和分析，将大的决策问题转化为易于处理的子问题。
模糊层次分析法(FAHP)
则应有 若
即 比 重要 则
有
另一方面
是 比 相对重要的一个度量 再加上 自身比较重要性的度量为 则可得 比
绝对重要的度量 即
也即
应是模糊一致矩阵
综上所述 以及模糊一致矩阵的性质知 用模糊一致矩阵
上的模糊关系 比 重要得多 是合理的
表示因素间两两重要性比较的模糊一致矩阵 同表示因素重要程度权重之间的关系
未知数
个方程 解此方程组还不能确定唯
故将此式加到方程组 中可得到含有
个方程
模糊系统与数学
年
解此方程组即可求得权重向量
结论
模糊层次分析法同普通层次分析法相比具有以下优点
用本文给出的定理 或定理 检验模糊矩阵是否具有一致性较通过计算判
断矩阵的最大特征根及其对应特征向量检验判断矩阵是否具有一致性更容易
用本文给出的方法调整模糊矩阵的元素可很快使模糊不一致矩阵具有模糊一致
故
即
具有如下形式
简记为
由
有
令
有
再由
及上式 有
第期
即 又
张吉军 模糊层次分析法
故要使
事实上 因为 也应成立 此时 有
对一切 对一切
成立 必有 成立 特别地 对
故 对一切
成立 再因
次多项式最多有
个根知
从而必有
于是有
及
由
及
有
当
时
所以 是元素 和 重要程度差异
的
度量单位 它的大小直接反映了决策者的意志趋向 越大表明决策者非常重视元素间重
性 克服了普通层次分析法要经过若干次调整 检验 再调整 再检验才能使判断矩阵具有
一致性的缺点
用定理 或定理 作为检验模糊矩阵是否具有一致性的标准较检验判断矩
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评价指标A和B的相对 权重 M1 M3 M5 M7
定义 同等重要 稍微重要 重要 明显重要
说明 A，B对目标具有同样 的贡献 A比B稍微重要 A 比B重要 A比B明显重要
j 1 i 1 j 1
4
4
4
同理：可以计算出C2,C3,C4的初始权重如下 将模糊值变 D (0.169, 0.331, 0.670) 为一般的值 (0.1368, 0.2731 0.5314) , D D (0.0658, 0.1062, 0.2041) Step2：去模糊化以及求出c1至C4的最终权重 Sup：“上确 模糊数的比较原则 界”，即最小 上界。 定义一：M1（l1,m1,u1)和M2（l2,m2,u2)是三角模
将以上权重值标准化，得到各指标的最终权重：
（wc1, wc 2, wc 3, wc 4) (0.3086, 0.3462, 0.2985, 0.0467)
注：将（a,b,c ,d）标准化是指将其化为
( a b c d , , , ) a bc d a bc d a bc d a b c d
μA(u)
1
0
a
b
c
d
u
隶属函数是梯形表面的边界方程。 当b=c时，变为三角分布函数。 3.其他不再列出，后面重点介绍三角模糊函数
Contents
模糊数简介
FAHP的基本概念
三角模糊函数
FAHP的步骤 FAHP应用实例
三角模糊函数
荷兰学者F.J.M.Van Laarhoven和W.Pedrycz提出了用 三角Fuzzy数表示Fuzzy比较判断的方法。
定义二：一个模糊数大于其他K个模糊数的可能 度，被定义为：
V（M M 1, M 2,……M k ) min V ( M M i), i 1, 2, …k
拿上个例子来说明：对 D ， ， ， 去模糊化： D D D
c1 c2 c3 c4
V ( D c1 D c 2)
(0.1690 0.5083) 0.8913, (0.2897 0.5083) (0.3310 0.1690)
c2 c3 c4
糊数。M1 ≥M2的可能度用三角模糊函数定义为
v( M 1
M M
2
) sup
x y
[min(u M 1( x), u M 2( y ))] m1 m 2 m1 m 2，u1 l 2 otherwise
v( M 1
1 l 2 u1 ) d 2 ( m1 u1) ( m 2 l 2) 0
M9
M2，M4，M6，M8
非常重要
中间重要性
A比B非常重要
中间状态对应的标度值
三角模糊函数
另一种确定三角模糊数的方法：通过定义置信水 平 的区间，来表示三角模糊函数： M [a , c ] [(b a) a, (c b) c] [0,1] 正三角函数（数值为正数）的运算： mL , mR , nL , nR a R , [0,1]
Step3:确定其他层次的各指标权重 利用相同的方法，得到下一层次的指标Ai权重wi。 则指标Ai的总权重:
TWi=wcm* wi
(m=1,2,3,4;i=1,2…12)
经计算得到下层指标的总权重如下：
Am TWm A1 A2 A3 0.0 25 A4 0.2 18 A5 0.1 05 A6 0.0 23 A7 0.1 81 A8 0.0 07 A9 0.1 11 A10 0.0 19 A11 0.0 02 A12 0.0 26 0.1 0.1 42 42
单的二值属于或不属于而是多大程度上属于； U上所有模糊子集的集合称为模糊幂集，记作F(U)
模糊数简介
例1：用A表示“高个子男生”的集，并认为身高1.80m以上的男
生必为高个，而身高1.6m以下的男生都不是高个。用x表示某男
生的身高，并给出μ的隶属函数如下
0, 2 x 1.60 2 , 0.2 u A ( x) 2 x 1.80 1 2 , 0.2 1, x 1.60 1.60 x 1.70 1.70 x 1.80 1.80 x
三角模糊函数
FAHP的步骤
FAHP应用实例
FAHP的基本概念
为什么引入FAHP（即Fuzzy AHP）？ 在一般问题的层次分析中，构造两两比较判断矩 阵时通常没有考虑人的判断模糊性，只考虑了人 的判断的两种可能的极端情况：以隶属度1选择某 个指标，同时又以隶属度1否定（或以隶属度0选 择）其他标度值。 有些问题中进行专家咨询时，专家们往往会给出 一些模糊量（例如三值判断：最低可能值、最可 能值、最高可能值；二值区间判断） 所以引入模糊数改进AHP
二、计算各个指标的综合权重
Step1：第K层元素i的综合模糊值 D ik （初始 权重）。 n n n k k k 计算方式如下： D i a ij ( a ij ), i 1, 2,..., n
j 1 i 1 j 1
拿FCM1举例：c1的初始权重计算如下。
a
i 1 j 1
Fuzzy Analytical Hierarchy Process
主讲：田静
Contents
模糊数简介
FAHP的基本概念
三角模糊函数
FAHP的步骤
FAHP应用实例
模糊数简介
论域 ： 用U表示，它指将所讨论的对象限制在一定范围内，并称所 讨论的对象的全体成为论域。总假定它是非空的。
模糊集：
1, x A 明确集合A：元素x不是属于A就是不属于A。 A ( x ) 0, x A
m
u
x
例子：用(4,6)表示i方案比j方案明显重要这一Fuzzy判断(
注意：不是传统AHP中用5来表示）。当隶属度为1时， 这一判断标度为5；隶属度为x-4时，判断标度为 x(x∈[4,5]);隶属度为6-x时，标度为x(x∈[5,6]).
两个三角模糊数M1和M2的运算方法：
M 1 (l1, m1, u1); M 2 (l 2, m2, u 2) M 1 M 2 (l1 l 2, m1 m2, u1 u 2) M 1 M 2 (l1l 2.m1m2, u1u 2) 1 1 1 1 ( , , ) M u m
μ(μ ∈[0,1])属于A，而非x ∈A或x不属于A。全体模糊集用F(U)
表示。
模糊数简介
隶属函数： 设论域U，如果存在 μA(x):U→[0,1] 则称μ A（x）为x ∈A 的 隶属度,从而一般称 μA(x)为A的隶属函数
论域U中元素x与A的关系由隶属度μA(x) 给出，不是简
FAHP的基本概念
上面已经说过任意一个Fuzzy集，对应着一个隶属函数。 但怎样确定一个Fuzzy集的隶属函数是一个尚未得到解决 的问题。 通常模仿概率论中的分布函数作为隶属函数，叫做Fuzzy 分布函数：正态分布型；梯形分布；K次抛物线分布； Cauchy型分布；S型分布等等。这些函数论域为实数， 带有参数，值域为【0，1】. 几种常见隶属函数的简介： 1.正态分布型：其中a,б是参数，且
u A( x; a, ) e
( x 2)
2
2
2.梯形分布函数：其中a,b,c,d是参数，且 a<b<c<d
0 xa b a ( x; a, b, c, d ) 1 uA d x d c 0 xa a xb bxd cxd d x
定义：设论域R上的Fuzzy数M，如果M的隶属 度函数μM：R [0,1]表示为
l 1 x m x ml 1 x u M ( x) mu m u 0 x [l , m] x [ m, u ] x ( , l ] [u , )
取x分别等于1.65m，1.70m，1.75m，则uA(x)分别等于0.125, 0.50, 0.875，即身高1.65m，1.70m，1.75m的男生，分别以0.125,
0.50, 0.875的程度属于高个子男生。A是“高个子男生”对应的
模糊集（Fuzzy集）。
Contents
模糊数简介
FAHP的基本概念
三角模糊函数
分别取三角模糊数M1-M9为 1 到 9 ，他们 被用来改进传统AHP的9刻度指标法，把人类判 断的模糊性考虑在内。 M1-M9 三角模糊函数的成员函数：
5个三角模糊数被
定义在相应的成员 函数上。 （其余四个省略）
Contents
模糊数简介
FAHP的基本概念
三角模糊函数
FAHP的步骤
FAHP应用实例
一、构造模糊判断矩阵
构造模糊判断矩阵：
矩阵值全是模 糊数
Step1：调研对象组利用模糊数（M1-M9）来表达他们的 偏好。这里假设有三个调研成员。他们对一组比较（比如 C1与C2的比较）各自得到一个模糊数，分别为 （l1,m1,u1),(l2,m2,u2),(l3,m3,u3) Step2：将三个模糊数整合成一个，
V ( D c1 D c 3) 1, V ( D c1 D c 4) 1, d (C1) min V ( D c1 D c 2, D c 3, D c 4) min(0.8913,1,1) 0.8913, d (C 2) min V ( D c 2 D c1, D c 3, D c 4) min(1,1,1) 1, d (C 3) min V ( D c 3 D c1, D c 2, D c 4) min(0.9583, 0.8622,1) 0.8622, d (C 4) min V ( D c 4 D c1, D c 2, D c 3) min(0.2247, 0.1349, 0.2872) 0.1349,