最新北师大版九年级数学上册第四章图形的相似4.4探索三角形相似的条件第1课时
∵ ∠A=∠A
∵ ∠A=∠A
∠AEቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ=∠C
∴ △ ADE∽ △ABC
∠AED=∠B
∴ △ AED∽ △ABC
（1）有一个锐角相等的两直角三角形是否为相
似 三角形？
A ∠B= ∠ B' ∠A= ∠ A' B A'
相似
C
B'
C'
你有疑问吗 ？
（2）有一个角相等的两等腰三角形是否为相似
三角形？
顶角相 等
底角相 等
顶角与底角 相等
A
A'
第 一 种 情 况
C'
B'
B
C
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
A
A'
B'
C'
第 二 种 情 况
B
C
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
A
A'
B'
C'
B
C
第 三 种 情 况
两三角形不相似
你有疑问吗 ？
（2）有一个角相等的两等腰三角形是否为相似
三角形？
顶角相 等
底角相 等
直角三角形被斜边上的高分成的 两个直角三角形和原三角形相似。
A
D
B
ΔACD∽ΔABC
AC AD AB AC
C
AC AD AB 2 BC BD AB
2
A
D
B
CD AD BD
2
射影定理
说说你的 收 获 ！
1、 探索了判断两个三角形相似的条件之一: 两角对应相等的两个三角形相似.
∴ ∠ADE =∠B , ∠AED =∠C ∴△ADE∽△ABC ⑵∵ △ADE∽△ABC AD DE AE = = ∴ AB BC AC
D
E
B
BD CE AB AC
C
AD AE BD CE
学以致用
例3
已知：DE∥BC,分别交BA,CA的延长线于点D,点E。
问：△ADE与△ABC 相似吗？
① ∠C = ∠C1 吗？ ② 先量出自己所画的三角形三边的长度，再合作求出对应 边的比: AB 、AC 、BC (比值精确到0.1），它们相等吗？ A 1B1 A 1C1 B1C1 ③这两个三角形相似吗？
两角对应相等的两个三角形相似
用 数 C C1
学 符 号 表 示
A
∠A= ∠A1 ∠B= ∠B1
√） ⑹有一个角是70 °的两个等腰三角形相似。 （ × ）
⑸有一个角是100°的两个等腰三角形相似。（
例题欣赏
例1、已知：ΔABC和ΔDEF中， ∠A=400，∠B=800， ∠E=800， ∠F=600。求证：ΔABC∽ΔDEF D A
400 800 600
B
C
800 E
600
F
证明：∵ 在ΔABC中，∠A=400，∠B=800， ∴ ∠C=1800－∠A －∠B =1800－400 －800 ＝600
三角形全等
判定方法
边边边（SＳS） 边角边（SAS） 斜边与 （ HL ) 直角边
三角形相似
判定方法
如果两个三角形有两个内角对应相等，那 么这两个三角形一定相似吗？
请依据下列条件画三角形：两人一组，一人画 △ABC，另一人画△A1B1C1 使 ∠A= ∠A1 ＝45 ° ∠B= ∠B1 ＝30 ° 画完后，请解答下列问题:
证明： ∵ DE∥BC （已知）
∴ ∠AED＝∠C （两直线平行，同位角相等） 又∵ EF∥AB （已知）, ∴ ∠A＝∠CEF（两直线平行，同位角相等） ∴△ADE∽△EFC（两角分别相等的两个三角形相似） 图中还有相似三角形吗？若有请找出来．
B A1
B1
△ABC∽△A1B1C1
做一做
A’ A
小 试 牛 刀
A C B
1、下列图形中两个三角形是否相似？
B A
C B’
C’
D E A
A’
D E C
B
C B’
C’
B
做一做
2、判断题： ⑴所有的等腰三角形都相似。 ⑵所有的等腰直角三角形都相似 。 ⑶所有的等边三角形都相似。 ⑷所有的直角三角形都相似。 ） × （ √） （ √ ） （× ） （
E A B
D
解：相似。 ∵ DE∥BC ∴ ∠ D =∠ B , ∠ E = ∠ C ∴△ADE∽△ABC
C
如图，如果 DE∥BC， 那么△ADE∽△ABC。
A
D
A型
E
E C
X型
D
A C
见平行
想相似
B
B
如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线 与原三角形的两条边 (或其延长线)分别相交，那么
所构成的三 角形与原三角形相似。
∵ 在ΔDEF中，∠E=800，∠F=600
∴ ∠B=∠E，∠C=∠F ∴ ΔABC∽ΔDEF（两角对应相等，两三角形相似）。
例2：如图，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，DE∥BC ⑴ 找出图中的相似三角形，并说明由。 A ⑵ 写出三组成比例的线段。 解：⑴ △ADE∽△ABC 理由是：
∵ DE∥BC
顶角与底角 相等
不相似
已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。 ΔACD ∽ ΔABC ∽ ΔCBD 。 求证： 证明: ∵ ∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=900 ∴ ΔACD∽ΔABC（两角对应相等，两 三角形相似） C 同理 ΔCBD ∽ ΔABC ∴ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD
此结论称为“母子相似”
北师大版九年级数学上册
4.4 探索三角形相似的条件
什么是相似三角形？ 三角对应相等，三边对应成比例的 两个三角形相似。
根据定义我们判断两个三角形相似需要哪些条件？
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F BC AB= ── ── = ── AC EF DF DE
A
D
△ABC∽△DEF
B
C
E
F
角边角（ASA） 角角边（AAS）
发散探究
这样的直线有几条？ Ａ
A
D●
B Ｂ
C
过△ABC(∠C>∠B) 的边AB上一点D作一条 直线与另一边ＡＣ相 交，截得的小三角形 与△ABC相似，这样的 直线有几条？请把它 们一一作出来。
这样的直线有两条,如下图
A D
A
平截型 E
C
D
斜截型
E
B
作DE,使∠AED=∠C
C B 作DE,使∠AED=∠B
5．在△ABC 中， D是AB上的点，
A D
且 ∠ACD＝∠B，
试说明（1）△ABC与△ACD相似. （2）AD=4,AC=6,求AB. 【解析】（1）∵∠B＝∠ACD, ∠A＝∠A, ∴ △ABC∽△ACD. （2）由（1）得AC:AB=AD:AC, 即6:AB=4:6, ∴ AB=9.
B C
6.如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB， 证明：△ADE∽△EFC．
1 2
E B
C
4．如图，在□ABCD中，EF∥AB，
DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．
解：∵DE:EA=2:3，
∴DE:DA=2:5.
∵ EF∥AB，
∴ ∠DEF=∠A, 又∵∠D=∠D,
∴△DEF∽△DAB，
∴ DE:DA=EF:AB，.
即 2:5=4:AB， ∴ AB=10 ∴ CD=10
C．两个等腰三角形
D．两个等边三角形
2．（烟台·中考）手工制作课上，小红利用一些花布的 边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的 空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其 中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边 的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ D ）
3．（临沂·中考） 如图，∠1=∠2，添加一个条件使得 ∠B=∠E(或∠C=∠D答案不唯一） △ ADE∽ △ ACB,______________________________. A D
2、平行截相似
A E C
E
A
D
C A型 X型 B 3、母子相似 直角三角形被斜边上的高分成的两个 直角三角形和原三角形相似。 4、射影定理 AC 2 AD AB
BC BD AB
2
D B
CD AD BD
2
1．下列各组三角形一定相似的是（
A．两个直角三角形
D ）
B．两个钝角三角形
北师大新版九年级上数学 课件：4.4 探索三角形相似的
4.4 探索三角形相似的条件(1)
问题情境
(1)相似多边形的定义是什么？ 各角分别相等，各边对应成比例的两个多边形叫做
相似多边形。
(2) 什么是相似三角形？ 三角分别相等，三边对应成比例的两个三角形叫做
相似三角形。
(3) 两个三角形满足哪些条件就全等？ ASA(AAS)、SAS、SSS、HL(Rt△)
解：(1)△DBA∽△ABC △DAC∽△ABC △DAC∽ △DBA
(2) ∵△DAC∽ △DBA
AD BD
DC AD
∴AD2=BD·DC
巩固练习
3、将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子 (图中所有点、线都在同一平面内)，请在图中找出两对 相似而不全等的三角形，并说明它们相似的理由。
巩固练习
4、如图，为了测量一个大峡谷的宽度，地质勘探人员在对 面的岩石上观察到一个特别明显的表示点O，再在他们所在 的这一侧选点A、B、D，使得AB⊥AO，DB⊥AB，然后确 定DO和AB的交点C。测得AC=120m，CB=60m，BD=50m， 你能帮助他们算出峡谷的宽AO吗？
课堂小结
相似三角形的判定定理： (1)两角分别相等的两个三角形相似；
合作交流
ⅰ、有一个锐角对应相等的两个直角三角形是否相似？ 为什么？
D
A
C
B
F
E
两角分别相等的两个三角形相似
合作交流
ⅱ、顶角相等的两个等腰三角形是否相似？为什么？ D
A
C
BF
E
两角分别相等的两个三角形相似
范例讲解
例2、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于 点D。 (1)请指出图中所有的相似三角形； (2)你能得出AD2=BD·DC吗？
新北师大版数学九年级上册课件：探索三角形相似的条件(第1课时)
7．[2018· 株洲]如图349所示，Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形 ABCD的边AB和AD，其中AM＝AN.
图349
(1)求证：Rt△ABM≌Rt△ADN； 1 (2)线段MN与线段AD相交于点T，若AT＝ AD，求tan ∠ABM的值． 4 (1)证明：∵AM＝AN，AB＝AD，
3．如图345，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于 点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：
△CDF∽△ABP等
△ABP∽△AED或△BEF∽△CDF或△BEF∽△AED或△CDF∽△
．
图345
【解析】 ∵BP∥DE，∴∠ABP＝∠AED，又∠A＝∠A，∴△ABP∽△ AED；同理△BEF∽△CDF；△BEF∽△AED.利用相似三角形的传递性，还可 以得到△CDF∽△AED，△CDF∽△ABP等．
6．如图348，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD＝∠C， AB＝6，AD＝4，求线段CD的长．
图348
解：在△ABD和△ACB中， ∠ABD＝∠C，∠A＝∠A， ∴△ABD∽△ACB， AB AD ∴AC＝AB. ∵AB＝6，AD＝4， AB2 36 ∴AC＝ AD ＝ ＝9， 4 则CD＝AC－AD＝9－4＝5.
第四章 图形的相似
总第34课时——4 探索三角形相似的条件 (第1课时)
知识管 理 归类探 究 随堂练 习 分层作 业
1．相似三角形的概念
知识管 理
相似三角形：三角分别 相等 ，三边 成比例 的两个三角形叫做相似三角形． 表示方法：△ABC 与△DEF 相似，记作△ABC∽△DEF. 注 意：(1)全等三角形是特殊的相似三角形，它的特殊性体现在相似比为 1. (2)相似三角形的定义，既可以作为相似三角形的判定，又可以作为相似三角形 的性质，其性质为：两个三角形相似，对应角相等、对应边成比例．
2024年北师大版九年级上册教学第四章 图形的相似探索三角形相似的条件
第1课时相似三角形的定义及其判定定理1 课时目标1.经历两个三角形相似条件的探索过程,增强发现问题、提出问题的意识,进一步体会类比、分类、归纳等思想与方法.2.了解相似三角形的概念,掌握“两角分别相等的两个三角形相似”的判定方法.3.能够运用上述相似三角形的条件解决简单的问题,发展应用意识.学习重点了解相似三角形的概念,掌握相似三角形的判定定理1:两角分别相等的两个三角形相似.学习难点运用两角分别相等的两个三角形相似解决相关问题.课时活动设计情境引入各小组派代表展示自己小组课前调查搜集的相似三角形,并解释从相似三角形中获取的信息,总结出相似三角形的概念.总结:相似三角形概念:三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.设计意图:培养学生从相似三角形中获得信息的能力,而且由此引出:生活中有很多相似三角形,那么人们在判断三角形相似时,是以什么为依据呢?这就是本节课要研究的问题,自然引出课题.探究新知学生分小组进行讨论.1.依据全等三角形的定义:两个三角形的三条边及三个角都对应相等,这样的两个三角形全等,你还记得三角形全等的其他判定方法吗?2.如果两个三角形只有一个角相等,它们一定相似吗?如果有两个角分别相等呢?3.与同伴合作,两个人分别画△ABC 和△A'B'C',使得∠A 和∠A'都等于∠α,∠B 和∠B'都等于∠β,此时,∠C 和∠C'相等吗?三边的比ABA 'B ',ACA 'C ',BCB 'C '相等吗?这样的两个三角形相似吗?改变∠α,∠β的大小,再试一试.4.如果两个三角形有若干个角对应相等,那么至少有几个角对应相等就能保证这两个三角形相似?相似三角形的判定定理1:两角分别相等的两个三角形相似.设计意图:以复习旧知识和问题串的形式引导学生逐步深入思考三角形相似的条件,问题1是让学生回顾旧知识,为新知识学习奠定基础,起到“抛砖引玉”的作用,问题2为学生提供了猜测、交流、联想的机会,问题3通过画图、测量、计算等,对所猜测的结论进行验证,问题4实际上起到归纳总结的作用.典例精讲例 如图,D ,E 分别是△ABC 的边AB ,AC 上的点,DE ∥BC ,AB =7,AD =5,DE =10,求BC 的长.解:∵DE ∥BC ,∴∠ADE =∠B ,∠AED =∠C.∴△ADE ∽△ABC (两角分别相等的两个三角形相似). ∴AD AB =DEBC . ∴BC =AB ·DE AD=7×105=14.设计意图:通过分析例题,理解判定定理1的使用方法:在两个三角形中,两内角分别相等→两个三角形相似→对应边成比例,从而解决问题.巩固训练1.如图,在△ABC 和△DEF 中,∠A =40°,∠B =80°,∠E =80°,∠F =60°,则△ABC 与△DEF 相似 .(“相似”或“不相似”)2.有一个锐角相等的两个直角三角形是否为相似三角形?解:有一个锐角相等的两个直角三角形是相似三角形,理由是两角对应相等的两个三角形相似.设计意图:在上面的问题中,两个三角形中是否有两角对应相等是解决问题的关键,通过分析问题,加深对相似三角形判定定理1的理解,培养学生的推理能力.课堂小结通过本节课的学习,你有何收获?还有哪些疑问?1.相似三角形的概念:三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.2.相似三角形的判定定理1:两角分别相等的两个三角形相似.3.相似三角形的对应角相等,对应边成比例.设计意图:学生畅所欲言自己的切身感受和实际收获,进一步认识相似三角形的判定,提高逻辑推理能力.课堂8分钟.1.课本第90页习题4.5第1,2,3题.2.七彩作业.第1课时相似三角形的定义及其判定定理11.相似三角形的概念:三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.2.相似三角形的判定定理1:两角分别相等的两个三角形相似.3.相似三角形的对应角相等,对应边成比例.教学反思第2课时相似三角形的判定定理2课时目标1.理解并掌握相似三角形的判定定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”.2.在进行探索的活动过程中,发展类比的数学思想,增强学生的探索、发现、归纳意识,增强合情推理的语言表达能力.3.培养学生积极思考、动手、观察的能力,使学生感悟几何知识在生活中的价值. 学习重点掌握相似三角形的判定定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”. 学习难点相似三角形判定定理在实际问题中的灵活运用. 课时活动设计复习回顾1.相似三角形的相关概念.(1)三个角对应 相等 、三条边对应 成比例 的两个三角形叫做相似三角形.(2)相似三角形的对应角 相等 ,对应边 成比例 . (3)相似比等于 1 的两个三角形全等.2.我们已经学过哪些判定两个三角形相似的方法?类比三角形全等的判定,你认为可能还有哪些方法能判定两个三角形相似?(请大胆猜想)3.(1)两个三角形有两边成比例,它们一定相似吗?(2)在(1)的前提下,如果再增加一个条件,你能说出有哪几种可能的情况吗? (3)在(1)的前提下,如果增加一角相等,你能说出有哪几种可能的情况吗? 设计意图:通过课前预习发现学生易出现的错误,巩固上节课学过的知识,为新课的学习做好铺垫,有利于帮助学生体会到新旧知识之间的联系与转化.情境导入如图,A ,B 两点被池塘隔开,为测量A ,B 两点间的距离,在池塘边任选一点C ,连接AC ,BC ,并延长AC 到点D ,使CD =12AC ,延长BC 到点E ,使CE =12BC ,连接DE ,如果测量DE =20 m,那么AB =2×20=40 m .你知道这是为什么吗?设计意图:通过生活中的的实际问题入手,激发了学生的求知欲和好奇心,激起了学生探究活动的兴趣.探究新知以四人为一组,合作探究、交流展示:1.画△ABC 与△A'B'C',使∠A =∠A',AB A 'B '=ACA 'C '都等于给定的值k.设法比较∠B 与∠B'(或∠C 与∠C')的大小.△ABC 和△A'B'C'相似吗? 2.改变k 值的大小,再试一试.由学生归纳总结:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.3.如果△ABC 与△A'B'C'两边成比例(如图),且其中一边所对的角相等,那么这两个三角形一定相似吗?由此你能得到什么结论?小结:两边对应成比例且其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定相似.设计意图:学生以自己的思维方式进行探究,充分经历从特殊到一般的过程;讲解中小组之间互相补充,培养了学生们的合作交流精神和语言表达能力.典例精讲例 如图,D ,E 分别是△ABC 的边AC ,AB 上的点,AE =1.5,AC =2,BC =3,且AD AB =34,求DE 的长.解:∵AE =1.5,AC =2,∴AE AC =1.52=34.∵AD AB =34,∴AE AC =ADAB .又∵∠EAD =∠CAB ,∴△ADE ∽△ABC (两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). ∴DE BC =AD AB =34.∵BC =3,∴DE =34BC =34×3=94设计意图:此题是“共角型”相似三角形的典型例题,旨在让学生观察认识图形,并充分体会从直观发现到自觉说理的过渡过程,渗透了简单逻辑推理的思想,为第五节相似三角形判定定理的证明的学习做好铺垫,从而达到承前启后的目的.巩固训练 1.如图,(1)若AEAB =AF AC,则△ABC ∽△AEF ;(2)若∠E=∠B ,则△ABC∽△AEF.2.如图,在△ABC中,∠A=52°,AB=2.5,AC=5.5.在△DEF中,∠E=52°,DE=7,EF=3,△ABC与△EDF是否相似?为什么?解:不相似,理由:∵AB=2.5,AC=5.5,DE=7,EF=3,∴ABEF =2.53=56,ACED=5.57=1114.∴AB EF ≠ACED,∴△ABC与△EDF不相似.设计意图:通过这两道练习,对比判定定理1,2的使用条件,加深对这两个定理的理解,对本节课的知识进行巩固练习.课堂小结通过这节课的学习,你有哪些收获?1.相似三角形的判定定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.2.两边对应成比例且其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定相似.3.常见模型:设计意图:让学生复述本节课所学知识,从归纳总结中获取知识,从而加深对本节知识的理解,培养学生梳理知识的学习习惯.课堂8分钟.1.教材第93页习题4.6第1,2,3,4题.2.七彩作业.第2课时 相似三角形的判定定理21.相似三角形的判定定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.2.两边对应成比例,且其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定相似.3.常见模型: 教学反思第3课时 相似三角形的判定定理3课时目标1.掌握相似三角形的判定定理“三边成比例的两个三角形相似”,能够运用相似三角形的条件解决简单的问题.2.通过对判定定理的探索,发展思维的灵活性,进一步培养逻辑推理能力. 学习重点掌握相似三角形的判定定理:“三边成比例的两个三角形相似”. 学习难点相似三角形的判定定理在实际问题中的灵活运用. 课时活动设计复习回顾1.三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形(定义);2.两角分别相等的两个三角形相似;3.两边成比例及夹角相等的两个三角形相似.设计意图:通过复习回顾,巩固上节课学过的知识,为新课的学习作铺垫,有利于帮助学生体会到新旧知识之间的联系与转化.探究新知1.画△ABC 与△A'B'C',使ABA 'B ',BCB 'C '和CAC 'A '都等于给定的值k.(1)设法比较∠A 与∠A'的大小.(2)△ABC 与△A'B'C'相似吗?说说你的理由. 2.改变k 值的大小,再试一试.注意事项:按照上面的步骤进行,这里的k 由自己定,为了节约时间,一个组取一个相同的k 值,不同的组取不同的k 值.学生根据画出的相似三角形的图形及在画相似三角形中的“发现”进行相互交流,教师给予适当的帮助,后由学生展示、讲解画出来的相似三角形,展示自己探索的过程及自己得出的结论.师:经过大家的亲身参与体会,你们得出的结论是什么呢?生:结论为∠A =∠A',△ABC ∽△A'B'C',理由:∠A =∠A',AB A 'B '=CAC 'A '. 根据“两边成比例及夹角相等的两个三角形相似”可知△ABC ∽△A ’B ’C ’.师:其他组的同学的结论相同吗? 生:相同.师:经过大家的探讨,我们又掌握了一种相似三角形的判定方法. 判定定理3:三边成比例的两个三角形相似.△ABC 与△A'B'C'的边长如图所示,这两个三角形是否相似? 解:如图,在△ABC 与△A'B'C'中,ABA 'B '=BCB 'C '=CAC 'A '=12, 则△ABC ∽△A'B'C'.设计意图:通过活动使得学生对相似三角形的判定定理3有了系统的了解,通过学生自己的探索和教师对知识的系统教学,加深了学生对知识的记忆.典例精讲例 如图,在△ABC 和△ADE 中,AB AD =BC DE =ACAE ,∠BAD =20°,求∠CAE 的度数.解:∵AB AD =BC DE =ACAE ,∴△ABC ∽△ADE (三边成比例的两个三角形相似). ∴∠BAC =∠DAE.∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.∵∠BAD=20°,∴∠CAE=20°.设计意图:通过分析例题,明晰定理的使用方法,规范综合法证明的数学格式,加深学生对相似三角形判定定理3的理解.巩固训练1.如图,每组中的两个三角形是否相似?为什么?解:(1)不相似.因为两个三角形三边的比不相等.(2)相似.因为三边成比例的两个三角形相似.2.如图,△ABC与△A'B'C'相似吗?你有哪些判断方法?学生先独立思考,然后小组合作交流.解:△ABC∽△A'B'C'.定义法设计意图:巩固对本节知识的理解,并让学生将上两节课:“相似三角形的判定定理1”“相似三角形的判定定理2”与本课知识“相似三角形的判定定理3”的内容系统地掌握.课堂小结设计意图:让学生养成自主梳理知识要点的习惯,提高归纳总结的能力,在归纳总结的过程中,通过对比全等三角形的判定定理和相似三角形的判定定理,完善知识架构.课堂8分钟.1.教材第95页习题4.7第1,2题.2.七彩作业.第3课时 相似三角形的判定定理3全等三角形的判定定理ASA ,AAS ,SSS ,SAS相似三角形的判定定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 两角分别相等的两个三角形相似三边成比例的两个三角形相似教学反思第4课时 黄金分割课时目标1.知道黄金分割的定义;会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点;会找一条线段的黄金分割点.2.通过找一条线段的黄金分割点,培养学生理解与动手能力.3.理解黄金分割的现实意义,让学生认识数学与生活的密切联系. 学习重点了解黄金分割的意义并能运用. 学习难点找出黄金分割点和作黄金矩形. 课时活动设计复习回顾1.什么是“成比例线段”?解:四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即ab =cd,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段.2.相似三角形的相关概念:(1)三个角对应相等、三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.(2)相似三角形的对应角相等,对应边成比例.3.相似三角形的判定定理有哪些?解:两角分别相等的两个三角形相似;两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;三边成比例的两个三角形相似.设计意图:通过复习回顾,巩固上节学过的知识,为新课的学习作铺垫,帮助学生体会新旧知识之间的联系与转化.探究新知一个五角星如图所示.(1)从图中找出相等的角、相等的线段.(2)在图中找出两对相似比不同的相似三角形.小亮认为,ACAB =BCAC,你同意他的看法吗?说说你的理由.学生组内合作,互相交流讨论,教师及时给予指导并引出黄金分割的相关概念.一般地,点C把线段AB分成两条线段AC和BC(如图),如果ACAB =BCAC,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫黄金比.设计意图:通过对五角星进行探究,发现黄金分割所描述的线段之比,获得对黄金分割的直观认识,进而得到黄金分割的定义.典例精讲1.计算黄金比.解:由ACAB =BCAC,得AC2=AB·BC.设AB =1,AC =x ,则BC =1-x. ∴x 2=1×(1-x ), 即x 2+x -1=0. 解这个方程,得x 1=-1+√52,x 2=-1-√52(不符合题意,舍去).所以,黄金比AC AB =√5-12≈0.618. 2.如图1是古希腊时期的帕提侬神庙,如果把图中用虚线表示的矩形画成如图2中的矩形ABCD ,以矩形ABCD 的宽为边在其内部作正方形AEFD ,那么,我们可以惊奇的发现,BE BC =BCAB .点E 是AB 的黄金分割点吗?矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比吗?图1图2解:由BE BC =BCAB ,可以得到BC AB =BEAE ,即AE AB =BEAE .所以点E 是AB 的黄金分割点.AEAB (即BC AB)是黄金比,也就是说,矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比.设计意图:通过分析帕提侬神庙中的黄金分割,加深对黄金分割的理解,体会黄金分割在现实生活中的广泛应用和文化价值.操作感知1.提出问题:如何找到一条线段的黄金分割点?多数学生尝试画出1 cm,2 cm 的线段,通过计算找到黄金分割点大概的位置.可以用这种方法大概的找到当线段长为a 时黄金分割点的位置,但不能精确地找到.2.如图,已知线段AB ,按照如下方法画图: (1)经过点B 作BD ⊥AB ,使BD =12AB ; (2)连接DA ,在DA 上截取DE =DB ;(3)在AB 上截取AC =AE ,则点C 为线段AB 的黄金分割点.3.提出问题:为什么点C 为线段AB 的黄金分割点?方法提示:设AB=2a,分别求出AC和BC,并计算ACAB 和BCAC,或计算AC2和BC·AB.设AB=2a,则BD=a,DE=a.在Rt△ABD中,AD=√AB2+BD2=√(2a)2+a2=√5a.∴AE=AD-ED=√5a-a=(√5-1).∴AE=AE=(√5-1)a,BC=AB-AC=2a-(√5-1)a=3-√5.∴ACAB =√5-12,BCAC=√5-12.∴ACAB =BC AC.∴点C为线段AB的黄金分割点.注意事项:由于学生所学过的尺规作图方法有限,作图工具可以用三角尺和刻度尺.设计意图:向学生介绍一种作黄金分割点的方法,同时巩固学生对黄金分割的认识.巩固训练1.电视节目主持人在主持节目时,站在舞台的黄金分割点处最自然得体,若舞台AB长为20 m,试计算主持人应走到离A点至少多少米处是比较得体的位置?(A在B左边,主持人在A处结果精确到0.1 m).解:她离点A至少20×(1-√5-12)=10(3-√5)=30-10√5≈7.6(m).2.人体下半身(即脚底到肚脐的长度)与身高的比越接近0.618越给人以美感,遗憾的是即使是身材修长的芭蕾舞演员也达不到如此完美.某女士身高1.68 m,下半身1.02 m,她应选择多高的高跟鞋才能使她看起来更美丽?(精确到1 cm) 解:1.02 m=102 cm,1.68 m=168 cm.设她应选择的高跟鞋的高为x cm.根据题意,得102+x168+x=0.618,解得x≈5.答:她应选择约5 cm的高跟鞋看起来更美丽.3.采用如下方法也可以作出一条已知线段AB的黄金分割点H.(1)以线段AB为边作正方形ABCD;(2)取AD的中点E,连接EB;(3)延长DA至F,使EF=EB;(4)以线段AF为边作正方形AFGH.点H就是线段AB的黄金分割点.任意作一条线段,用上述方法作出这条线段的黄金分割点,你能说说这种作法的道理吗?解:设AB=2,那么在Rt△BAE中,BE=√AB2+AE2=√22+12=√5.于是EF=BE=√5,AH=AF=BE-AE=√5-1,BH=AB-AH=3-√5,因此AHAB =BHAH,点H是AB的黄金分割点.设计意图:前两个练习题与本节课第一环节相呼应,在于展示黄金分割在人类生活中的作用,提高学生解决问题的能力.第3题向学生介绍另一种可以作黄金分割点的方法,同时进一步巩固学生对黄金分割点的认识.课堂小结1.什么叫做黄金分割?黄金比是多少?解:一般地,点C把线段AB分成两条线段AC和BC(如图),如果ACAB =BCAC,那么称线段AB被点C分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫黄金比.其中AC∶AB=√5-12∶1≈0.618,即ACAB≈0.618.2.一条线段有几个黄金分割点?解:一条线段有2个黄金分割点.3.如何用尺规作线段的黄金分割点?解:(方法一)已知线段AB,按照如下方法画图.(1)经过点B作BD⊥AB,使BD=12AB;(2)连接DA,在DA上截取DE=DB;(3)在AB上截取AC=AE,则点C为线段AB的黄金分割点.(方法二)如图,设AB是已知的线段,在AB上作正方形ABCD,取AD的中点E,连接EB,延长DA至点F,使EF=EB,以线段AF为边作正方形AFGH,点H就是AB的黄金分割点.4.如何说明一个点是一条线段的黄金分割点?解:分得的线段比符合黄金分割定义.设计意图:鼓励学生总结本节课所学的知识,并应用到现实之中,逐步形成正确的数学观,培养学生的审美意识.课堂8分钟.1.教材第98页习题4.8第1,4题.2.七彩作业.第4课时黄金分割一般地,点C把线段AB分成两条线段AC和BC(如图),如果ACAB =BCAC,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫黄金比.其中AC∶AB=√5-12∶1≈0.618,即ACAB≈0.618.教学反思。
北师大版九年级上册数学《探索三角形相似的条件》图形的相似说课教学课件复习提高
知识技能 3．如图所示的 6 个三角形中，哪些三角形相似？为什么？
数学理解
4．在一张 8 × 8 的方格纸上连接三个格点，得到一个三角 形．在这样的三角形中，找出三对两两相似、大小不同的三 角形，并指出它们的相似比．
已知△ABC和 △A’B’C’,根据下列条件判断它们是 否相似.
A
B
C
交流讨论 在上题的条件下，设 AB BC CA k ，改变
DE EF FD
k的值再试一试，你能判断△ABC与△DEF相似吗？
D A
B
CE
F
判定方法三：如果一个三角形的三条边与另一个三角 形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
简单叙述：三边对应成比例的两个三角形相似。
A
B
C E
D 几何语言：
(1)∠B＝∠B’＝75°，∠C＝50°，∠A’＝55°
(2) ∠A＝45°，AB=12cm， AC=15cm ∠A’＝45°，A’B’＝16cm，A’C’＝20cm
(3) AB=12cm， BC=15cm， AC＝24cm A’B’＝16cm，B’C’＝20cm，A’C’＝30cm
已知：如图 AB BC CA ， BD BE ED
九年级数学(上) 第四章 图形的相似
探索三角形 相似的条件
课件
复习回顾：
三角形相似判定方法
1.相似三角形的定义可以作为三角形相似的一种判定方法。 2.两角对应相等的两个三角形相似。
探索:如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对 应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似吗？
A
4 cm
∠B ' ＝∠B
能力拓展
北师大版九年级上册4探索三角形相似的条件第四章：探索三角形相似的条件课时一教学设计
北师大版九年级上册4探索三角形相似的条件第四章：探索三角形相似的条件课时一教学设计一、教学目标1.知识与技能：了解什么是相似，以及什么条件下的三角形相似；掌握判断三角形相似的方法；2.过程与方法：以探究式教学为主，通过讨论三角形相似的条件，启发学生发现规律；3.情感态度与价值观：培养学生探究和发现的能力，鼓励学生勇于质疑，提高学生的思维水平。
二、教学重点和难点1.教学重点：探究三角形相似的条件，掌握判断三角形相似的方法；2.教学难点：启发学生发现相似三角形的各种条件，提高学生思维水平。
三、教学方法与学时安排本节课采用探究式教学方法，分以下步骤进行： 1. 复习三角形的相关概念和性质，引出三角形相似的定义； 2. 给出几组图形，让学生通过观察发现相似的条件； 3. 通过小组讨论的方式，共同探讨相似的条件； 4. 总结归纳相似三角形的各种条件； 5. 练习判断相似三角形。
本节课计划安排为1课时。
四、教学过程设计1. 教师引导复习1.通过回顾前几节课所学内容，带领学生温习三角形的相关概念和性质，包括等边三角形、等腰三角形、直角三角形等。
2.引导学生回答以下问题：–什么是相似？在平面几何中，相似的定义是？–什么是相似比？如何计算相似比？–给出两个角相等，是否能说明这两个三角形相似？为什么？2. 学生观察1.给学生展示几组图形，其中包括相似的三角形和不相似的三角形。
2.要求学生观察这些图形，找出相似的三角形和不相似的三角形。
3. 学生讨论1.让学生成为小组，讨论相似的条件，以及如何判断两个三角形是否相似。
2.教师引导学生探讨以下问题：–相似三角形的三个内角是否相等？为什么？–相似三角形的对应边是否成比例？为什么？4. 整合总结1.学生在小组内共享讨论结果，并整合总结一下相似三角形的各种条件。
2.教师适时给出结论，确保学生对相似三角形的各个条件都有充分的了解。
5. 练习1.让学生通过判断图形是否相似的练习，进一步巩固所学知识。
北师大版九年级上册数学第四章图形的相似第四节探索三角形相似的条件
=
AD AC
C．ABCB
=
CD AB
B．DABB
=
BC AB
D．AACB
=
DB CD
感悟新知
知识点 2 两角分别相等的两个三角形相似
知2－讲
1. 定理 两角分别相等的两个三角形相似. 2. 数学表达式 如图4-4-3，
在△ABC和△DEF中， ∵∠A=∠D，且∠B = ∠E， ∴△ABC∽△DEF.
感悟新知
知5－练
6-1.已知P是线段AB的黄金分割点， 且AB= 5+1，则AP的
长为( C )
A．2
B． 5－1
C．2 或 5－1
D．3－ 5
课堂小结
探索三角形相似的条件
定义
相似三角形
判定 方法
应用
黄金分割
角角 边角边 边边边
学习目标
课后作业
作业1 必做: 请完成教材课后习题 作业2 补充:
解：设涂到 x m 高时，才使人感到最舒适． 利用黄金比，得x3＝ 52－1，解得 x≈1.85. 所以涂料大约应涂到高为 1.85 m 处．
感悟新知
知5－练
例6 已知线段AB=6，点C为线段AB的黄金分割点，求
AC－BC和AC·BC的值.
解题秘方：紧扣黄金分割点在线段中的两个不同位 置解决问题.
知5－练
当AC＜BC时，∵点C为线段AB的黄金分割点，
∴BACB = 5 2－1.又∵ AB=6，∴ BC=3 5－3. ∴ AC=AB－BC=9－3 5. ∴ AC－BC=12－6 5， AC·BC=36 5－72. 综上所述，AC－BC=6 5－12 或12－6 5， AC·BC=36 5－72.
AB A′B′
2021秋北师大版九年级上册课件第四章图形的相似课件：4.4.1 用角的关系判定两三角形相似
对应
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2．如图，△ABC∽△AED，∠ADE＝80°，
∠A＝60°，则∠B等于( A )
A．40°
B．60°
C．80°
D．100°
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3．如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2.若BC
＝1，则EF的长是( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
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知识点 2 用角的关系判定三角形相似定理
CBG＝CDE， 在△BCG与△DCE中， BC＝CD，
BCG＝DCE.
∴△BCG≌△DCE(ASA)． ∴BG＝DE.
(2)若点G为CD的中点，求 HG 的值． GF
解：设CG＝1，∵G为CD的中点， ∴GD＝CG＝1. 由(1)可知△BCG≌△DCE，∴CG＝CE＝1. 由勾股定理，得DE＝BG＝5， 易证△DCE∽△DFG，
CE ＝ DE . FG DG
∴FG＝ 5 ∵AB∥C5G，
∴∠ABH＝∠CGH，∠BAH＝∠GCH.
∴△ABH∽△CGH.
∴GH＝ .
AB＝ BH ＝2 . CG GH 1
1 3
5
HG ＝5 . GF 3
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类比法
14．(中考·天水)△ABC和△DEF是两个全等的等腰直
角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点 E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P， 线段EF与射线CA相交于点Q.
A．6
C
B．8
C．10
D．12
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11．(中考·东营)如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形
，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，
北师大版2020年数学九年级上册第四章《4.4-探索三角形相似的条件》课件
第四章 图形的相似
4.4 探索三角形相似的条件 第1课时
学习目标
1．掌握相似三角形的定义、表示法，并能 根据定义判断两个三角形是否相似． 2．掌握由两角对应相等判定两个三角形相 似的方法，并会运用这种判定三角形相似 的方法解决简单问题．
回顾旧知
1．各角分别相等，各边__成__比__例___的两个多边形叫做 相似多边形；相似多边形对应边的比叫做__相__似__比__． 2．已知，如图两个四边形相似，则∠α的度数是 (A )
表示为：
△ ABC ∽△ A′B′C B
用几何语言表示：
Байду номын сангаас
A A′
B′
∵ ∠A=∠ A′ 、∠B=∠ B′ 、
∠C=∠ C′
C
C′
AA'BB' BB'CC' CC'AA'
2 1
∴ △ ABC ∽△ A′B′C′
反之：若△ A′B′C′ ∽△ ABC ，则它们的相似比是多少？
练习
1．相似三角形的定义：对应角__相__等___，对应边 _成__比__例__的两个三角形叫做相似三角形，如△ABC与 △DEF相似，记作_△__A__B_C_∽__△__D__E_F__，其中对应顶 点要写在__相__同___位置上，如A与D，B与E，C与F相 对应．AB∶DE等于BC∶__E_F__． 2．两角对应__相__等___的两个三角形相似．
分析：证明相似三角形应先找相等的角，显 然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以 通过计算来求得．借助于计算也是一种常用 的方法．
证明：∵∠A＝36°，△ABC是等腰三角形， ∴∠ABC＝∠C＝72°，又BD平分∠ABC， 则∠DBC＝36°. 在△ABC和△BDC中，∠C为公共角， ∠A＝∠DBC＝36°，∴△ABC∽△BDC.
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C′
∴△ADE≌△A′B′C′，
∴ DE=B′C′，EA=C′A′.
△A′B′C′ ∽△ABC.
归纳总结
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似．
符号语言： ∵ AB BC CA ，
AB BC CA ∴ △ ABC ∽ △A′B′C.
例题
例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
第四章 图形的相似
探索三角形相似的条件
第3课时
学习目标
1. 复习已经学过的三角形相似的判定定理. 2. 掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法， 并能进行相关计算. (重点、难点)
新课导入
复习引入
1. 什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪 些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有 其缺点和局限性？
角的两边成比例； (3)已知两边对应成比例，找夹角相等，或与第三边成
比例； (4)已知等腰三角形，找顶角相等，或底角相等，或底、
腰对应成比例． (5)已知直角三角形，找一组锐角相等，或两组直角边
对应成比例，或斜边、一组直角边对应成比例
【回顾总结】
1.同桌之间相互交流本课学习收获。 2.老师引导学生总结归纳本课学习知识点，并 总结交流本课学习心得
C
3
3.5
2.4 D
E
1.8
A
4
B
2.1 F
C
3
3.5
A
4
B
2.4 D
E
1.8
2.1 F
解：在 △ABC 中，AB > BC > CA，在 △ DEF中，
DE > EF > FD.
∵ DE 2.4 0.6，EF 2.1 0.6，FD 1.8 0.6，
北师大版九年级上册4探索三角形相似的条件第四章：探索三角形相似的条件课时一课程设计 (2)
北师大版九年级上册4探索三角形相似的条件第四章：探索三角形相似的条件课时一课程设计一、教学目标1.理解三角形相似的概念；2.掌握三角形相似的判定方法；3.能够运用三角形相似的条件解决实际问题。
二、教学重点和难点1. 教学重点1.理解相似三角形的定义；2.掌握相似三角形的判定方法。
2. 教学难点1.高度的比例判定；2.角度的判定方法。
三、教学内容及安排1. 教学内容本课程主要包括两部分：相似三角形的定义和判定方法。
其中，相似三角形的定义包括比例相等和对应角相等两种情况，判定方法则包括比例法和角度法。
2. 教学安排本课程的教学安排如下：•知识点1：相似三角形的定义（15分钟）–讲解相似三角形的定义及示例；–学生自主讨论验证相似三角形的定义；•知识点2：比例法（20分钟）–讲解相似三角形的比例法，重点解释高度的比例判定；–学生自主练习；•知识点3：角度法（20分钟）–讲解相似三角形的角度法，重点解释角度的判定方法；–学生自主练习；•综合练习和总结（20分钟）四、教学方法本课程采用了讲授-自主学习的教学方法。
在讲解知识点时，教师以讲述为主，示例为辅，突出重点和难点，帮助学生理解掌握相关知识。
在自主练习环节，教师采取小组学习的方式，让学生自行探究答案，提高学生的独立思考能力。
五、教学评估为了评估学生是否学会了本课程的知识，本课程设置了以下考核环节：1.课堂互动和表现评价（20分）：根据学生现场的表现、问题提出、回答情况等进行评价；2.练习和作业评价（40分）：根据学生练习和作业的完成情况进行评价；3.测验评价（40分）：根据学生测验的成绩进行评价。
六、教学资源无七、课后拓展本课程的拓展内容包括三角形面积的计算、勾股定理和三角函数等内容，学生可以自行查询相关资料进行学习。
同时，教师可以通过复习基础知识和扩展相关知识的方式提高学生的综合能力。