2018年江苏苏州市高三期中数学试题及答案

2017—2018学年第一学期高三期中调研数学试卷

2017.11

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸．．．

相应的位置) 1．已知集合{1,2,3,4,5},{1,3},{2,3}U A B ===，则()U A B =eI ▲ ．

2．函数1ln (1)

y

x =

-的定义域为 ▲ ．

3．设命题:4

p x

>；命题2

:540

q x x -+≥，那么p 是q 的 ▲ 条件（选填“充分不必

要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）． 4．已知幂函数2

2*

()

m m

y x

m -=∈N 在(0,)+∞是增函数，则实数m 的值是 ▲ ．

5．已知曲线

3

()ln f x a x x

=+在(1,(1))f 处的切线的斜率为

2，则实数a 的值是 ▲ ． 6．已知等比数列{}n a 中，32a =，4616a a =，则

7935

a a a a -=-

▲ ．

7．函数sin (2)(0)

2

y

x ??π=+<<

图象的一条对称轴是12

x

π=

，则?的值是 ▲ ．

8．已知奇函数()

f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0

f =，则不等式()0

1

f x x >-的解集为 ▲ ．

9．已知ta n ()2

4

απ-

=，则co s 2α的值是 ▲ ．

10．若函数

8,2

()lo g 5,2a x x f x x x -+?=?+>?

≤(01)

a a >≠且的值域为[6,)+∞，则实数a 的取值范围是

▲ ．

11．已知数列{},{}n n a b 满足1

111,1,(*)

2

1

n n n n a a b b n a +=+==

∈+N ，则12

2017b b b ??=

L

▲ ．

12．设A B C △的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，D 为A B 的中点，若cos sin b

a C c A

=+

且

C D =

，则A B C △面积的最大值是 ▲ ．

13．已知函数

()sin ()

6f x x π=-

，若对任意的实数5[,]6

2

α

ππ∈-

-

，

都存在唯一的实数[0,]m β∈，使

()()0

f f αβ+=，则实数m 的最小值是 ▲ ．

14．已知函数

l n ,0()21,0

x x

f x x x >?=?

+?≤，若直线y a x =与

()

y f x =交于三个不同的点

(,()),(,(

A m f m

B n f

n (,())C t f t （其中m n t <<），则12

n

m ++的取值范围是 ▲ ．

二、解答题(本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、

证明过程或演算步骤) 15．(本题满分14分)

已知函数

1()(2)(0,0)

2

42

f x a x b a b π=-

+

+

+>>的图象与x 轴相切，且图象上相邻

两个最高点之间的距离为2

π．

（1）求,a b 的值； （2）求()f x 在[0,]4

π上的最大值和最小值．

16．(本题满分14分)

在A B C △中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ，已知sin sin sin ()

B

C m A m +=∈R ，且

2

40

a b c -=．

（1）当52,4

a

m ==

时，求,b c 的值；

（2）若角A 为锐角，求m 的取值范围．

17．(本题满分15分)

已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且满足11a =，*

131()

n n S S n +=+∈N ．

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）在数列{}n b 中，1

3b =，*

11()

n n n n

a b b n a ++-=

∈N ，若不等式2

n

n a b n

λ+≤对*n ∈N 有

解，求实数λ的取值范围．

18．(本题满分15分)

如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是等腰梯形，其中A B 为2米，梯形的高为1米，C D 为3米，上部C m D 是个半圆，固定点E 为CD 的中点．MN 是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆（横杆面积可忽略不计），且滑动过程中始终保持和CD 平行．当MN 位于CD 下方和上方时，通风窗的形状均为矩形MNGH （阴影部分均不通风）． （1）设MN 与AB 之间的距离为5(02

x x <

≤且1)

x

≠米，试将通风窗的通风面积S （平

方米）表示成关于x 的函数()

y

S x =；

（2）当MN 与AB 之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积S 取得最大值？

19．(本题满分16分)

已知函数

2

()ln ,()f x x g x x x m

==--．

（1）求过点(0,1)P -的

()

f x 的切线方程；

（2）当0=m 时，求函数()()()

F x f x g x =-在],0(a 的最大值；

（3）证明：当3

m ≥

-时，不等式

2

()()(2)e

x

f x

g x x x +<--对任意1[

,1]

2

x ∈均成立（其

中e 为自然对数的底数,e 2.718...=）．

20．(本题满分16分)

已知数列{}n a 各项均为正数，1

1a =,22a =，且3

12

n n n n a a a a +++=对任意*

n ∈

N

恒成立，记

{}

n a 的前n 项和为n S ．

（1）若33

a =，求5a 的值；

（2）证明：对任意正实数p ，221{}

n

n a p a -+成等比数列；

（3）是否存在正实数t ，使得数列{}

n S t +为等比数列．若存在，求出此时n a 和n S 的表达

式；若不存在，说明理由．

2017—2018学年第一学期高三期中调研试卷

数学(附加) 2017.11 注意事项：

1．本试卷共2页．满分40分，考试时间30分钟．

2．请在答题卡上的指定位置作答，在本试卷上作答无效．

3．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试证号填写在答题卡的规定位置．

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作

．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．(几何证明选讲)

（本小题满分10分）

如图，AB为圆O的直径，C在圆O上，C F A B

⊥于F，点D为线段CF上任意一点，延长AD交圆O于E，0

30

A E C

∠=．

（1）求证：A F F O

=；

（2

）若C F=，求AD AE

?的值．

B．(矩阵与变换)

（本小题满分10分）

已知矩阵

12

21

??

=??

??

A，

4

2

α

??

=??

??

u r

，求49α

u r

A的值．

C．(极坐标与参数方程) （本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为

4

2

5

2

5

x t

y t

?

=-+

??

?

?=

??

(t为参数)，以原点O为极点，x

轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C

的极坐标方程为co s()(0)

4

a

ρθ

π

=-≠．

（1）求直线l和圆C的直角坐标方程；

（2）若圆C任意一条直径的两个端点到直线l

a的值．

B

D ．(不等式选讲) （本小题满分10分） 设,x y 均为正数，且x y

>，求证：2

2

1

223

2x

y x x y y

+

+-+≥．

【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)

在小明的婚礼上，为了活跃气氛，主持人邀请10位客人做一个游戏．第一轮游戏中，主持人将标有数字1,2,…,10的十张相同的卡片放入一个不透明箱子中，让客人依次去摸，摸到数字6,7,…,10的客人留下，其余的淘汰，第二轮放入1,2,…,5五张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字3,4,5的客人留下，第三轮放入1,2,3三张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字2,3的客人留下，同样第四轮淘汰一位，最后留下的客人获得小明准备的礼物．已知客人甲参加了该游戏． （1）求甲拿到礼物的概率；

（2）设ξ表示甲参加游戏的轮数．．，求ξ的概率分布和数学期望()E ξ．

23．(本小题满分10分)

（1）若不等式(1)ln (1)x

x a x

++≥对任意[0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围；

（2）设*n ∈N ，试比较

1112

3

1

n +

++

+L 与ln (1)

n

+的大小，并证明你的结论．

2017—2018学年第一学期高三期中调研试卷

数 学 参 考 答 案

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)

1．{1} 2．(1,2)(2,)+∞U 3．充分不必要 4．1 5．1

3

6．4 7．3

π 8．(2,0)(1,2)-U 9．45

-

10．(1,2]

11．

12018

121 13．

2

π 14．1(1,e )

e

+

二、解答题(本大题共6个小题，共90分) 15．(本题满分14分) 解：（1）∵

()

f x 图象上相邻两个最高点之间的距离为

2

π， ∴

()

f x 的

周

期

为

2

π，∴

20

2||

2

a a ππ=>且，······································································2分

∴

2

a =，···············································································································

···4分

此时1()in (4)2

42f x x b

π=-

+

+

+， 又

∵

()

f x 的图

象

与

x

轴

相

切

，

∴

1||0

22

b b +

=

>且，·······················································6分

∴

12

2

b =

-；·······································································································

···8分

（2）由（1）可得()(4)2

42

f x x π=-

+

+

，

∵[0,]4

x π∈，∴4[

,]4

44

x ππ5π

+

∈， ∴

当

44

4

x π5π+=

，即

4

x π=

时，

()

f x 有最大值为

2

；·················································11分 当

442

x ππ+

=，即

16

x π=

时，

()

f x 有最小值为

0．························································14分 16．(本题满分14分) 解

：由题意得

b +=

，

2

40

a b c -=．···············································································2分

（1）当52,4

a

m ==

时，5,1

2

b

c b c +=

=，

解得21

2b c =???=

??

或

122b c ?

=

??

?=?

；································································································6分

（2）

2

2

2

2

2

2

22

2

2

()()22

c o s 23

222

a

m a a

b

c

a

b c b c a

A m

a

b c

b c

--+-+--=

=

=

=-， (8)

分

∵A 为锐角，∴2

c o s

23(0,1)

A m

=-∈，∴

2

32

2m

<<，····················································11分

又由b c m a

+

=可得

m >，·························································································13分

∴

2

m <<

····································································································

·14分

17．(本题满分15分) 解：（1）∵*

1

31()

n n S S n +=+∈N ，∴*

131(,2)

n

n S S n n -=+∈N ≥，

∴

*

13(,2)

n n a a n n +=∈N ≥，······················································································

···2分

又

当

1

n =时，由

2131

S S =+得

23

a =符合

21

3a a =，∴

*

13()

n n a a n +=∈N ，······························3分

∴数列

{}

n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，通项公式为

1

*

3

()

n n a n -=∈N ；·····················5分

（2）∵

*

113()

n n n n

a b b n a ++-=

=∈N ，∴{}n b 是以3为首项，3为公差的等差数

列，····················7分

∴

*

33(1)3()

n b n n n =+-=∈N ，·················································································

····9分

∴

2

n n a b n

λ+≤，即

1

2

3

3n n n

λ-?+≤，即

2

1

33

n n n λ--≤

对

*

n ∈N

有

解，··································10分

设2

*

13()()

3

n n n f n n --=

∈N ，

∵

2

2

2

1

(1)3(1)

32(41)

(1)()3

3

3

n

n n

n n n n n n f n f n -+-+---++-=

-

=

，

∴当4

n ≥时，

(1)()

f n f n +<，当4n <时，

(1)()

f n f n +>，

∴(1)(2)(3)(4)(5)(6)f f f f f f <<<>>>L

，

∴

m a x 4[()](4)27

f n f ==

，··························································································

·14分

∴

427

λ≤

．············································································································

·15分

18．(本题满分15分) 解：（1）当01x <≤

时，过A

作A K

C D

⊥于K （如上图），

则1AK =，12

2

C D A B

D K -=

=，1H M

x

=-，

由

2

A K M H D K

D H

==，得12

2

H M x D H

-=

=

，

∴322H G D H x

=-=+，

∴

2

()(1)(2)2

S x H M H G x x x x =?=-+=--+；····························································

···4分

当512

x <

<

时，过E 作E T M N ⊥于T ，连结E N （如下图），

则1E T x =-

，2

M N T N =

=

=

∴M N =

∴

()(1)

S x M N E T x =?=-，···································································

···8分

综上：

2

2,01

()52(12x x x S x x x ?--+

=?-<

?

≤； (9)

分

（2）当01x <≤时，2

2

19()2()2

4

S x x x x =--+=-+

+

在[0,1)上递减，

∴

m ax ()(0)2

S x S ==；······························································································

··11分

2?

当512

x <

<

时，2

2

9(1)(1)

94()

2(22

4

x x S x x -+

--=-?

=

，

当且仅当(1)x

-=

51(1,

)

4

2

x

=

+∈时取“=”，

∴

m a x 9()4

S x =

，此时

m a x 9()2

4

S x =

>，∴

()

S x 的最大值为

94

，············································14分 答：当MN 与AB 之间的距离

为

1

4+米时，通风窗的通风面积

S

取得最大

值．····················15分 19．(本题满分16分) 解：（1）设切点坐标为00(,ln

)

x x ，则切线方程为000

1ln ()

y

x x x x -=

-，

将(0,1)P -代入上式，得0ln

x =，0

1

x =，

∴切线方程

为

1y x =-；·

······························································································2分

（2）当0m =时，2

()ln ,(0,)

F x x x x x =-+∈+∞，

∴

(21)(1)

(),(0,)

x x F x x x

+-'=-

∈+∞，·········································································

···3分

当01x <<时，()

F x '>，当1x >时，()0

F x '<

，

∴()F x 在(0,1)递增，在(1,)+∞递

减，·············································································5分

∴当01a <≤时，()F x 的最大值为2

()ln F a a a

a

=-+；

当1a

>时，()F x 的最大值为

(1)0

F =；········································································7分

（3）2

()()(2)e

x

f x

g x x x +<--可化为(2)e ln x

m

x x x

>-+-， 设1()

(2)e ln ,[

,1]2

x

h x x x x x =-+-∈，要证3m ≥-时()

m

h x >对任意1[

,1]

2x ∈均成立，

只要证m a x ()3h x <-，下证此结论成立．

∵1()

(1)(e )

x

h x x x

'=--

，∴当

112

x <<时，

10

x -<，·······················································8分

设1()

e x

u x x

=-

，则2

1()

e 0

x

u x x

'=+

>，∴()u x 在1(

,1)

2

递增，

又∵()u x 在区间1[

,1]

2

上的图象是一条不间断的曲线，且1()20

2u =

<，

(1)e 10

u =->，

∴01(,1)

2x ?∈使得0()

u x =，即0

1e x

x =

，

00ln x x =-， (11)

分

当01(

,)

2

x x ∈时，()0

u x <

，()

h x '>；当0(,1)x x ∈时，()

u x >，()0

h x '<

；

∴函数()h x 在01[,]

2x 递增，在0[,1]x 递减，

∴

m a x 0000000

12()()(2)e

ln (2)212x h x h x x x x x x x x x ==-+-=-?

-=-

-，··························

··14分

∵212y

x

x =-

-在1(

,1)

2

x ∈递增，∴000

2()

121223

h x x x =-

-<--=-，即m a x

()3

h x <-，

∴当

3

m ≥-时，不等式

2

()()(2)e x

f x

g x x x

+<--对

任意1[

,1]2

x ∈均成

立．··························16分 20．(本题满分16分) 解

：

（1）∵

1423

a a a a =，∴

46

a =，又∵

2534

a a a a =，∴

5439

2

a a =

=；·······································2分

（2）由3121423

n n n n n n n n a a a a a a a a +++++++=??=?，两式相乘得2

134

123

n n n n n n n a a a a a a a ++++++=，

∵0

n a >，∴2*

4

2()

n n n a a a n ++=∈N ，

从

而{}

n a 的奇数项

和

偶

数

项

均

构

成

等

比

数

列，···································································4分

设

公

比

分别为

12

,q q ，则

1

1

222

2

2n n n a a q q --==，

1

1

2111

1

n n n a a q q ---==，······································5分

又∵

312

=

n n n n

a a a a +++，∴

4223

1

1

22a a q a a q =

==

，即

12

q q =，···························································6分

设12q q q

==，则2212223()

n

n n n a p a q a p a ---+=+，且2210

n

n a p a -+>恒成立，

数列

221

{}n n a p a -

+是首项为

2p

+，公比为q 的等比数列，问题得

证；····································8分

（3）法一：在（2）中令1p

=，则数列221{}

n n a a -+是首项为3，公比为q 的等比数列，

∴22212223213 ,1

()()()3(1)

,11k k

k k k k k q S a a a a a a q q q ---=??

=++++

++=-?≠?

-?

，

1

21221

32 ,13(1)2,11k k k k k

k k q q S S a q q q q ---?-=?

=-=?--≠?

-?

，···························································

··········10分

且1

2341,3,3,33S S S q S q

===+=+，

∵数列{}n S t +为等比数列，∴2

2132

324()()(),

()()(),S t S t S t S t S t S t ?+=++??

+=++??

即2

2

(3)(1)(3),

(3)(3)(33),

t t q t q t t q t ?+=+++??

++=+++??，即26(1),3,

t q t t q +=+??

=-?

解得

1

4

t q =??

=?（

3

t =-舍

去），·························································································13分

∴22412

1k

k

k

S =-=-，21

212

1k k S --=-，

从而对任意*n ∈N 有21n

n S =-，

此时2

n

n

S t +=，

12

n n S t S t

-+=+为常数，满足{}

n

S t +成等比数列，

当2n ≥时，1

1

122

2

n n n n

n n a S S ---=-=-=，又11a =，∴1

*

2

()

n n a n -=∈N ，

综上，存在

1

t =使数列

{}

n S t +为等比数列，此时

1

*

2

,21()

n n n n a S n -==-∈N ．······················16分

法二：由（2）知，则1

22n n a q

-=，1

21

n n a q

--=，且1

2341,3,3,33S S S q S q

===+=+，

∵数列{}n S t +为等比数列，∴2

2132

324()()(),

()()(),S t S t S t S t S t S t ?+=++??

+=++??

即2

2

(3)(1)(3),

(3)(3)(33),

t t q t q t t q t ?+=+++??

++=+++??，即26(1),3,

t q t t q +=+??

=-?

解得

1

4

t q =??

=?（

3

t =-舍

去），·······················································································11分

∴

1

21

222

n n n a q

--==，

22

212

n n a --=，从而对任意

*

n ∈N

有

1

2

n n a -=，····································13分

∴0

1

2

1

12

2222

21

12

n

n n

n

S --=+++

+=

=--，

此时2

n

n

S t +=，

12

n n S t S t

-+=+为常数，满足{}

n

S t +成等比数列，

综上，存在

1

t =使数列

{}

n S t +为等比数列，此时

1

*

2

,21()

n n n n a S n -==-∈N ．······················16分

21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应．．．．．．．．．．．的答题区域内作．．．．．．．答．

．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．(几何证明选讲，本小题满分10分) 解：（1）证明 ：连接,O C A C ，∵0

30

A E C

∠=，∴0

260

A O C

A E C ∠=∠=， 又O A O C =，∴A O C ?为等边三角形，

∵C F A B ⊥，∴C F 为A O C ?中A O 边上的中线，

∴A F

F O

=；······································································5分

（2）解：连接BE ，

∵C F

=

A O C ?是等边三角形，

∴可求得1A F =，4A B =， ∵A B 为圆O 的直径，∴90

A E B

∠=o

，∴AEB AFD ∠=∠，

又∵BAE D FA ∠=∠，∴A E B ?∽AFD ?，∴A D A F A B

A E

=，

即

414

AD AE AB AF ?=?=?=．················································································

··10分

B ．(矩阵与变换，本小题满分10分) 解：矩阵A 的特征多项式为

2

12

()23

2

1

f λλλ

λλ--=

=----， 令

()0

f λ=，解得矩阵

A

的

特

征

值

121,3

λλ=-=，····························································2分

当1

1

λ=-时特征向量为111α??

=??-??

uu r

，当2

3

λ=时特征向量为

B

211α??

=??

??

uu r

，·····································6分

又

∵

12

432ααα??

==+????u r

uu r uu r ， (8)

分

∴

50

49

49

49

1122

50

31331αλαλα??

-=+=??+??

u r

uu r

uu r

A

．··········································································

·10分

C ．(极坐标与参数方程，本小题满分10分) 解

：

（

1

）

直

线

l

的普通方程为

220x y +-=； (3)

分

圆

C

的

直角坐标方程为

2

2

2

()()2

22

a a a

x y -

+-

=

；·······························································6分

（2）∵圆C 任意一条直径的两个端点到直线l

∴

圆心C 到直线l 的距离

为

2

，

即

|2|

2

a a +-=

，·······················································8分

解

得

3

a =或

13

a =-

．·······························································································10分

D ．(不等式选讲，本小题满分10分) 证：∵0,0,0

x

y x y >>->，

∴2

2

2

1

1222()2()

x

y x y x x y y

x y +-=-+

-+-

2

1()()3

()

x y x y x y =-+-+

=-≥，

∴

2

2

1

223

2x y x x y y

+

+-+≥．··················································································

··10分

22．(本题满分10分)

解：（1）甲拿到礼物的事件为A ，

在每一轮游戏中，甲留下的概率和他摸卡片的顺序无关， 则13211()

253210

P A =???=，

答：甲拿到礼物的概率为

110

；·

······················································································3分 （2）随机变量ξ的所有可能取值是

1,2,3,4．·····································································4分

()112P ξ==，

()1212255P ξ==?=，

()1311325310P ξ==??

=， ()132142

53

5

P ξ==

??=

，

随机变量ξ的概率分布列为：

所以

1111()12342

25

10

5

E ξ=?

+?

+?

+?

=．·

···································································10分 23．(本题满分10分) 解：（1）原问题等价于ln (1)0

1

a x x

x +-

+≥对任意[0,)x ∈+∞恒成立，

令()

ln (1)1

a x g x x x =+-

+，则2

1'()

(1)

x a g x x +-=

+，

当1a ≤时，2

1'()0

(1)

x a g x x +-=

+≥恒成立，即()g x 在[0,)+∞上单调递增，

∴()(0)0

g x g =≥

恒成立；

当1a >时，令'()0

g x =，则10x a =->，

∴()g x 在(0,1)

a -上单调递减，在(1,)

a -+∞上单调递增，

∴(1)(0)0

g a g -<=，即存在0

x

>使得()0

g x <

，不合题意；

综

上所述

，a

的

取

值

范围

是

(,1]-∞．·

···············································································4分

（2）法一：在（1）中取1a =，得ln (1)((0,))

1

x x x x +>∈+∞+，

令*

1()

x n n

=∈N ，上式即为11

ln (

)1

n n

n +>

+，

即

1ln (1)ln 1

n n n +->

+，··························································································

···7分

∴1ln 2ln 1,2

1ln 3ln 2,3

1ln (1)ln ,1n n n ?

->?

?

?

->????

?

+->?+?

L L

上述各式相加可得

111ln (1)231

n n +++

<++L *

()n ∈N ．····················································10分

法二：注意到1ln 2

2

<，

11ln 32

3

+

<，……，

故猜想

111ln (1)231

n n +++

<++L *

()

n ∈N ， (5)

分

下面用数学归纳法证明该猜想成立． 证明：①当1n =时，

1ln 2

2<，成

立；·············································································6分

②假设当n

k

=时结论成立，即

111ln (1)

2

31

k k +

++

<++L ，

在（1）中取1a =，得ln (1)((0,))

1

x

x x x +>

∈+∞+，

令*

1()

1x

k k =

∈+N ，有

12ln ()

2

1

k k k +<++，·······································································8分

那么，当1n

k =+时， 11111ln (1)ln (1)231

2

2ln (

)ln (2)

2

1

k k k k k k k k +++

+

<++

<++++++=++L ，也成立；

由①②可知，

111ln (1)

231

n n +++

<++L ．·····································································10分