甘肃省兰州市西北中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷
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2020-2021学年西北中学高一第一学期期中考试
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1. 已知集合1,12AxyxBxx,则AB( )
.1,2A .1,2B .1,C
.1,D
2. 函数214ln1fxxx的定义域为( )
.A2,00,2 .B1,00,2 .C
2, .D
1,2
3. 设0.315131log5,3,5abc，则( )
.Aabc .Bcba .C
acb .Dcab
4. 定义在R上的奇函数，当0x时，22xfxxb（b为常数），则1f( )
.A3 .B1 .C1 .D3
5. 下列函数中是同一函数的是( )
.Ayx与yx .B
lg3yx
与lg1000xy
.C
4lgyx
与22lgyx .D1yx与11xyx
6. 函数log12afxx的图像恒经过定点( )
4
.A22， .B21， .C
32，
.D
23，
7. 已知集合0,10MxxaNxax，若MNN，则a( )
.A01， .B0,1 .C
1 .D1或0或1
8. 已知函数21fx的定义域为12,2，则fx的定义域为( )
.A3122， .B32， .C
3
12，
.D
32，
9. 设偶函数20fxxx，则不等式20fx的解集为( )
.Ayx与yx .B
lg3yx
与lg1000xy
.C
4lgyx
与22lgyx .D1yx与11xyx
10. 设25abm,若113ab，则m( )
.A10 .B310 .C
30 .D1000
11. 已知314,1log,1aaxaxfxxx 是R上的减函数，那么a的取值范围是( )
.A11,73 .B10,3 .C
11,73 .D1
,1
7
12. 若函数log1xafxax在0,1上的最大值和最小值之和为a，则a为( )
.A12 .B14 .C
2 .D4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数22,2,2,2.xxfxxx若010fx，则0x .
14. 若2212fxxx，则5f .
15. 已知11223aa，则22aa .
16. 已知122log3fxxaxa在区间1,上为减函数，则a的取值范围是 .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17题为10分，其
余各题均为12分
.
4
17. 计算：
(1)30141211429164
(2)5log333323232log2loglog85log892
18. 设02x,212324xxy,试求该函数的最值.
19. 已知函数log31,log1301fxaxgxaxaa且
(1)求函数Fxfxgx的定义域，并证明Fx的奇偶性.
(2)当0fxgx时，求x的取值范围.
20. 定义在上的函数满足下面三个条件：
○
1对于任意的,ab,都有fafbfab.
○
2对于0xy，都有fxfy.
○
3213f.
(1)求1f和19f的值.
(2)求满足不等式82fxfx的x取值集合.
4
21. 如果函数4221xfxaaR.
(1)若fx为奇函数，求a的值.
(2)证明：对于任意的x，函数fx在R上为增函数.
22. 若函数fx为定义R在上的偶函数，且0x时，2fxxx.
(1)写出fxxR的解析式.
(2)若函数221,2gxfxaxx,求gx的最小值.
2020年兰州市高中必修一数学上期中一模试题(及答案)
2020年兰州市高中必修一数学上期中一模试题(及答案)一、选择题1．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,52．函数()ln f x x x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2B ．4C ．6D ．84．对于实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，那么不等式[][]2436450x x -+<成立的x 的取值范围是（ ） A ．315,22⎛⎫⎪⎝⎭ B ．[]28, C ．[)2,8 D ．[]2,75．如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()()U M P S ⋂⋂ðD ．()()U M P S ⋂⋃ð6．已知函数224()(log )log (4)1f x x x =++，则函数()f x 的最小值是A ．2B ．3116C ．158D ．17．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]5,5-8．函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．9．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭ B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,310．已知函数()f x =2log (1),(1,3)4,[3,)1x x x x ⎧+∈-⎪⎨∈+∞⎪-⎩，则函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为（ ） A ．1B ．3C ．4D ．611．函数()(1)f x x x =-在[,]m n 上的最小值为14-，最大值为2，则n m -的最大值为（ ） A ．52B ．522 C ．32D ．212．设函数3()f x x x =+ ，. 若当02πθ<<时，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1(,1]2B ．1(,1)2C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞二、填空题13．设函数()212log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是__________．14．已知函数()x xf x e e -=-，对任意的[3,3]k ∈-，(2)()0f kx f x -+<恒成立，则x的取值范围为______.15．已知函数()f x 是定义在 R 上的奇函数，且当0x >时，()21xf x =-，则()()1f f -的值为______．16．已知f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x－1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m .如果∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数m 的取值范围是______________.17．已知集合{}{}1,1,2,4,1,0,2,A B =-=-则A B =I __________．18．函数()()log 2a f x ax =-在[]0,1上是x 的减函数，则实数a 的取值范围是______．19．函数()221,0ln 2,0x x f x x x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点的个数是______． 20．若点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭）既在()2ax b f x +=图象上，又在其反函数的图象上，则a b +=____三、解答题21．已知函数()()()lg 2lg 2f x x x =++-. （1）求函数()f x 的定义域；（2）若不等式f ()x m >有解，求实数m 的取值范围.22．已知集合A ＝{x|2a ＋1≤x≤3a －5}，B ＝{x|x ＜－1，或x ＞16}，分别根据下列条件求实数a 的取值范围．（1）A∩B ＝∅；（2）A ⊆（A∩B ）． 23．计算下列各式的值：（Ⅰ)22log lg25lg4log (log 16)+- （Ⅱ）2102329273()( 6.9)()()482-----+24．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x （x N *∈）件.当20x ≤时，年销售总收人为（233x x -）万元；当20x >时，年销售总收人为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元.(年利润=年销售总收入一年总投资) (1)求y (万元)与x (件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最大?最大年利润是多少? 25．设全集U=R ，集合A={x|1≤x ＜4}，B={x|2a≤x ＜3-a}．（1）若a=-2，求B∩A ，B∩(∁U A)；（2）若A∪B=A ，求实数a 的取值范围． 26．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，m ∈R ，x ∈R}． (1)若A ∩B ＝{x |0≤x ≤3}，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C2．A解析：A 【解析】 【分析】从图象来看图象关于原点对称或y 轴对称，所以分析奇偶性，然后再用特殊值确定. 【详解】因为函数()ln f x x x =是奇函数，排除C ，D 又因为2x = 时()0f x >，排除B 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数的图象的判断，还考查了数形结合的思想，属于基础题.3．C解析：C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．4．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】分析：先解一元二次不等式得315[]22x <<，再根据[]x 定义求结果.详解：因为[][]2436450x x -+<，所以315[]22x << 因为[][]2436450x x -+<，所以28x ≤<, 选C.点睛：本题考查一元二次不等式解法以及取整定义的理解，考查基本求解能力.5．C解析：C 【解析】 【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可． 【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S). 故选C ． 【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．6．B解析：B 【解析】 【分析】利用对数的运算法则将函数()()()224log log 41f x x x =++化为()2221log 1log 12x x +++，利用配方法可得结果.【详解】化简()()()224log log 41f x x x =++()2221log 1log 12x x =+++22211131log log 224161616x x ⎛⎫=++-≥-= ⎪⎝⎭，即()f x 的最小值为3116，故选B.【点睛】本题主要考查对数的运算法则以及二次函数配方法求最值，属于中档题. 求函数最值常见方法有，①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图象法.解析：C 【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3， 解得−12⩽x ⩽2， 即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，本题选择C 选项.8．C解析：C 【解析】 由题意知，函数sin 21cos xy x =-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ． 点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．9．B解析：B 【解析】 【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可 【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增， ()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 故选：B ． 【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．解析：C 【解析】 【分析】令[]()()10g x f f x =-=,可得[]()1f f x =,解方程()1f x =,结合函数()f x 的图象,可求出答案. 【详解】令[]()()10g x f f x =-=,则[]()1f f x =,令()1f x =,若2log (1)1x +=,解得1x =或12x =-,符合(1,3)x ∈-;若411x =-,解得5x =,符合[3,)x ∈+∞.作出函数()f x 的图象,如下图,(]1,0x ∈-时,[)()0,f x ∈+∞;()0,3x ∈时,()()0,2f x ∈;[3,)x ∈+∞时,(]()0,2f x ∈. 结合图象,若()1f x =,有3个解;若1()2f x =-,无解;若()5f x =,有1个解. 所以函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为4个. 故选:C.【点睛】本题考查分段函数的性质,考查了函数的零点,考查了学生的推理能力,属于中档题.11．B解析：B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质，求出最大值和最小值对应的x 的取值，然后利用数形结合即可得到结论． 【详解】当x≥0时，f （x ）=x （|x|﹣1）=x 2﹣x=（x ﹣12）2﹣1144≥-， 当x ＜0时，f （x ）=x （|x|﹣1）=﹣x 2﹣x=﹣（x+12）2+14，作出函数f （x ）的图象如图：当x≥0时，由f （x ）=x 2﹣x=2，解得x=2． 当x=12时，f （12）=14-． 当x ＜0时，由f （x ）=）=﹣x 2﹣x=14-． 即4x 2+4x ﹣1=0，解得x=2444443224-±+⨯-±=⨯=44212-±-±=， ∴此时x=12--， ∵[m，n]上的最小值为14-，最大值为2， ∴n=2，1212m --≤≤， ∴n﹣m 的最大值为2﹣122--=5222+， 故选：B ．【点睛】本题主要考查函数最值的应用，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本数学思想．12．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】易得()f x 是奇函数，2()310()f x x f x '=+>⇒在R 上是增函数，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立.可得11(sin )(1)sin 1,0sin 111sin 1sin f m f m m m m m θθθθθ>-⇒>-⇒<<<⇒⇒≤--， 故选D.二、填空题13．【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为 解析：(1,0)(1,)-??【解析】 【分析】 【详解】由题意()()f a f a >-⇒2120 log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩01a a a >⎧⎪⇒⎨>⎪⎩或11a a a a<⎧⎪⇒>⎨->-⎪⎩或10a -<<，则实数a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故答案为()()1,01,-⋃+∞.14．【解析】【分析】先判断函数的单调性和奇偶性根据单调性和奇偶性化简题目所给不等式利用一次函数的性质求得的取值范围【详解】由于故函数为奇函数而为上的增函数故由有所以即将主变量看成（）表示一条直线在上纵坐解析：11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】先判断函数()f x 的单调性和奇偶性，根据单调性和奇偶性化简题目所给不等式，利用一次函数的性质，求得x 的取值范围. 【详解】由于()()f x f x -=-故函数为奇函数，而()1xxf x e e =-为R 上的增函数，故由(2)()0f kx f x -+<，有()()()2f kx f x f x -<-=-，所以2kx x -<-，即20xk x +-<，将主变量看成k （[3,3]k ∈-），表示一条直线在[]3,3-上纵坐标恒小于零，则有320320x x x x -+-<⎧⎨+-<⎩，解得112x -<<.所以填11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性的运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查一元一次不等式组的解法，属于中档题.15．【解析】由题意可得： 解析：1-【解析】由题意可得：()()()()()111,111f f ff f -=-=--=-=-16．－5－2【解析】分析：求出函数的值域根据条件确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论详解：由题意得：在－22上f(x)的值域A 为g(x)的值域B 的子集易得A ＝－33B ＝m －18＋m 从而解得－5≤m≤解析：[－5,－2]. 【解析】分析：求出函数()f x 的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论. 详解：由题意得：在[－2,2]上f (x )的值域A 为g (x )的值域B 的子集. 易得A ＝[－3,3]，B ＝[m －1,8＋m ]，从而解得－5≤m ≤－2.点睛：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强.17．【解析】【分析】直接利用集合交集的定义求解即可【详解】因为集合两个集合的公共元素为所以故答案为【点睛】研究集合问题一定要抓住元素看元素应满足的属性研究两集合的关系时关键是将两集合的关系转化为元素间的解析：{}12－，【解析】 【分析】直接利用集合交集的定义求解即可. 【详解】因为集合{}{}1,1,2,4,1,0,2,A B =-=- 两个集合的公共元素为1,2-所以{}1,2A B =-I ．故答案为{}1,2-. 【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合.18．【解析】【分析】首先保证真数位置在上恒成立得到的范围要求再分和进行讨论由复合函数的单调性得到关于的不等式得到答案【详解】函数所以真数位置上的在上恒成立由一次函数保号性可知当时外层函数为减函数要使为减 解析：()1,2【解析】【分析】首先保证真数位置20ax ->在[]0,1x ∈上恒成立，得到a 的范围要求，再分01a <<和1a >进行讨论，由复合函数的单调性，得到关于a 的不等式，得到答案.【详解】函数()()log 2a f x ax =-，所以真数位置上的20ax ->在[]0,1x ∈上恒成立，由一次函数保号性可知，2a <，当01a <<时，外层函数log a y t =为减函数，要使()()log 2a f x ax =-为减函数，则2t ax =-为增函数，所以0a ->，即0a <，所以a ∈∅，当1a >时，外层函数log a y t =为增函数，要使()()log 2a f x ax =-为减函数，则2t ax =-为减函数，所以0a -<，即0a >，所以1a >，综上可得a 的范围为()1,2.故答案为()1,2.【点睛】本题考查由复合函数的单调性，求参数的范围，属于中档题.19．4【解析】【分析】当时令即作和的图象判断交点个数即可当时令可解得零点从而得解【详解】方法一：当时令即作和的图象如图所示显然有两个交点当时令可得或综上函数的零点有4个方法二：当时令可得说明导函数有两个 解析：4【解析】【分析】当0x >时，令()2ln 20f x x x x =-+=，即2ln 2x x x =-，作y ln x =和22y x x =-的图象，判断交点个数即可，当0x <时，令()210f x x =+-=，可解得零点，从而得解. 【详解】方法一：当0x >时，令()2ln 20f x x x x =-+=，即2ln 2x x x =-. 作y ln x =和22y x x =-的图象，如图所示，显然有两个交点，当0x <时，令() 210f x x =+-=，可得1x =-或3-. 综上函数的零点有4个.方法二：当0x >时，()2ln 2f x x x x =-+，()21221'22x x f x x x x -++=-+=，令()'0f x =可得()2'2210f x x x =-++=，()'01f =，()'230f =-<，说明导函数有两个零点，函数的()110f =>，()30f <，可得0x >时，函数的零点由2个．0x <时，函数的图象如图：可知函数的零点有4个．故答案为4．【点睛】本题考查了对分段函数分类问题和利用构造函数，把方程问题转换为函数交点问题，函数()()y f x g x =-零点的个数即等价于函数()y f x =和()y g x =图象交点的个数，通过数形结合思想解决实际问题．20．【解析】【分析】由点在函数的反函数的图象上可得点在函数的图象上把点与分别代入函数可得关于的方程组从而可得结果【详解】点在函数的反函数的图象上根据反函数与原函数的对称关系点在函数的图象上把点与分别代入解析：13【解析】【分析】由点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数2ax b y +=的反函数的图象上，可得点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数2ax b y +=的图象上， 把点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭与1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭分别代入函数2ax b y +=，可得关于,a b 的方程组，从而可得结果. 【详解】 Q 点12,2⎛⎫⎪⎝⎭在函数2ax b y +=的反函数的图象上，根据反函数与原函数的对称关系， ∴点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数2ax b y +=的图象上， 把点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭与1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭分别代入函数2ax b y +=可得， 21a b +=-，①112a b +=，② 解得45,33a b =-=，13a b +=，故答案为13. 【点睛】本题主要考查反函数的定义与性质，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 三、解答题21．（1）(2,2)-；（2）lg 4m <．【解析】试题分析：（1）由对数有意义，得20{20x x +>->可求定义域；（2）不等式()f x m >有解⇔max ()m f x <，由2044x <-≤，可得()f x 的最大值为lg 4，所以lg 4m <．试题解析：（1）x 须满足20{20x x +>->，∴22x -<<， ∴所求函数的定义域为(2,2)-.（2）∵不等式()f x m >有解，∴max ()m f x <()()()lg 2lg 2f x x x =++-=2lg(4)x -令24t x =-，由于22x -<<，∴04t <≤∴()f x 的最大值为lg 4.∴实数m 的取值范围为lg 4m <.考点：对数性质、对数函数性、不等式有解问题．22．（1）{a|a≤7}；（2）{a|a ＜6或a ＞152} 【解析】【分析】 （1）根据A∩B=∅，可得-1≤2a+1≤x≤3a -5≤16，解不等式可得a 的取值范围；（2）由A ⊆（A∩B ）得A ⊆B ，分类讨论，A ＝∅与A≠∅，分别建立不等式，即可求实数a 的取值范围【详解】（1）若A ＝∅，则A∩B ＝∅成立．此时2a ＋1＞3a －5，即a ＜6．若A≠∅，则2135{2113516a a a a +≤-+≥--≤解得6≤a≤7．综上，满足条件A∩B ＝∅的实数a 的取值范围是{a|a≤7}．（2）因为A ⊆（A∩B ），且（A∩B ）⊆A ，所以A∩B ＝A ，即A ⊆B ．显然A ＝∅满足条件，此时a ＜6．若A≠∅，则2135{351a a a +≤--<-或2135{2116a a a +≤-+> 由2135{351a a a +≤--<-解得a ∈∅；由2135{2116a a a +≤-+>解得a ＞152． 综上，满足条件A ⊆（A∩B ）的实数a 的取值范围是{a|a ＜6或a ＞152}． 考点：1．集合关系中的参数取值问题；2．集合的包含关系判断及应用23．(Ⅰ)12；(Ⅱ)12. 【解析】 试题分析：（1）根据对数运算法则log ,lg lg lg ,m a a m m n mn =+= 化简求值（2）根据指数运算法则01(),1,m n mn m m a a a aa -===，化简求值 试题解析：（Ⅰ）原式()3111log 3lg 254222222=+⨯-=+-=. （Ⅱ）原式1223233343441112292992⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=--+=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 24．（1）232100,020160,20x x x y x x ⎧-+-<≤=⎨->⎩（x N *∈）；（2）当年产量为16件时，所得年利润最大，最大年利润为156万元.【解析】【分析】（1）根据已知条件，分当20x ≤时和当20x >时两种情况，分别求出年利润的表达式，综合可得答案；（2）根据（1）中函数的解析式，求出最大值点和最大值即可．【详解】（1）由题意得：当20x ≤时，()223310032100y x x x x x =---=-+-， 当20x >时，260100160y x x =--=-，故232100,020160,20x x x y x x ⎧-+-<≤=⎨->⎩（x N *∈）； （2）当020x <≤时，()223210016156y x x x =-+-=--+，当16x =时，156max y =，而当20x >时，160140x -<，故当年产量为16件时，所得年利润最大，最大年利润为156万元.【点睛】本题主要考查函数模型及最值的求法，正确建立函数关系是解题的关键，属于常考题.25．（1）B ∩A =[1，4），B ∩(∁U A )= [-4,1)∪[4,5)；（2）1[,)2+∞ . 【解析】【分析】(1)利用补集的定义求出A 的补集,然后根据交集的定义求解即可直接求解即可；(2 )分类讨论B 是否是空集，列出不等式组求解即可.【详解】（1）∵A ={x |1≤x ＜4}，∴∁U A ={x |x ＜1或x ≥4}，∵B ={x |2a ≤x ＜3-a }，∴a =-2时，B ={-4≤x ＜5}，所以B ∩A =[1，4），B ∩(∁U A )={x |-4≤x ＜1或4≤x ＜5}=[-4,1)∪[4,5).（2）A ∪B =A ⇔B ⊆A ，①B =∅时，则有2a ≥3-a ，∴a ≥1,②B ≠∅时，则有，∴,综上所述，所求a 的取值范围为. 【点睛】本题主要考查集合的交集、集合的补集以及空集的应用，属于简答题.要解答本题，首先必须熟练应用数学的转化与划归思想及分类讨论思想，将并集问题转化为子集问题，其次分类讨论进行解答，解答集合子集过程中，一定要注意空集的讨论，这是同学们在解题过程中容易疏忽的地方，一定不等掉以轻心.26．（1）2；（2）{|35}m m m 或【解析】试题分析：（1）根据一元二次不等式的解法，对A ，B 集合中的不等式进行因式分解，从而解出集合A ，B ，再根据A∩B=[0，3]，求出实数m 的值；（2）由（1）解出的集合A ，B ，因为A ⊆C R B ，根据子集的定义和补集的定义，列出等式进行求解．解：由已知得：A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|m ﹣2≤x≤m+2}．（1）∵A ∩B=[0，3]∴∴， ∴m=2；（2）C R B={x|x ＜m ﹣2，或x ＞m+2}∵A ⊆C R B ，∴m ﹣2＞3，或m+2＜﹣1，∴m ＞5，或m ＜﹣3．考点：交、并、补集的混合运算．。
甘肃省兰州第一中学2020学年高一数学上学期期中试题
兰州一中2020-1学期高一年级期中考试试题数 学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U ＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合A ＝{0,1,2,3}，B ＝{3,4,5}，则(∁U A )∩B 等于A ．{3}B ．{4,5}C ．{4,5,6}D ．{0,1,2}2.函数y ＝x －1＋lg(2－x )的定义域是A ．(1,2)B ．[1,4]C ．[1,2)D ．(1,2]3.若集合A ＝{y |y ＝2x，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则A ．AB ⊆B ．A B ⊇C ．A B =D ．A B =∅I4.三个数a ＝0.22，b ＝log 20.2，c ＝20.2之间的大小关系是A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<5.函数f (x )＝log 3x －8＋2x 的零点一定位于区间A ．(5,6)B ．(3,4)C ．(2,3)D ．(1,2)6.设25a b m ==，且112a b+=，则m 等于 A ．10B ．10C ．20D ．1007.直线y ＝a 与曲线y ＝x 2－||x 有四个交点，则a 的取值范围为A ．1,+∞（-）B ．1,0（-）C ．1,+4∞（-） D ．1,04（-）8.若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数2,[1,2]y x x =∈与函数2,[2,1]y x x =∈--即为“同族函数”．请你找出下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是 A ．y ＝xB ．y ＝|x －3|C ．y ＝2xD ．y ＝12log x9.定义运算：,,a a b a b b a b≤⎧*=⎨>⎩，则函数()22x x f x -=*的值域为A ．RB ．(0，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(0，1]10.若函数f (x )＝lg(10x＋1)＋ax 是偶函数，g (x )＝4x－b2x 是奇函数，则a ＋b 的值是A ．12B ．1C ．－12D ．－111.已知2()x f x a-=，()=log a g x x (a >0且a ≠1)，若(4)(4)0f g -<，则y ＝f (x )，y ＝g (x )在同一坐标系内的大致图象是12.设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有A ．f (13)<f (2)<f (12)B ．f (12)<f (2)<f (13)C ．f (12)<f (13)<f (2)D ．f (2)<f (12)<f (13)第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.幂函数()f x 的图象过点4(3,27)，则()f x 的解析式是______________．14.函数22()log (3+2)f x x x =-的单调递减区间是______________．15.函数2()=2f x x x a ++，若对任意[1,),()0x f x ∈+∞>恒成立，则实数a 的取值范围是______________．16.已知下表中的对数值有且只有一个是错误的．x 1.5 3 5 6 8 9lg x 4a －2b ＋c 2a －b a ＋c 1＋a －b －c 3[1－(a ＋c )] 2(2a －b )其中错误的对数值是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)已知函数12()=log (1)f x x -的定义域为集合A ，函数2()31m x g x -=-的值域为集合B ，且A∪B ＝B ，求实数m 的取值范围．18.(本小题满分12分)计算：(1)7log 3231lg25lg2ln log 27log 272e ++-⨯- ；(2)2210.533234122(3)+(5)(0.008)()89505----÷⨯ ．19.(本小题满分12分) 已知不等式21014124xx -+≤的解集为D ． (1)求集合D ； (2)设函数22()log )(log )24x xf x =⋅（，x D ∈．求函数()f x 的值域．20.(本小题满分12分)据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v (km/h)与时间t (h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t (h)内沙尘暴所经过的路程s (km)． (1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．21.(本小题满分12分)已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()1xf x a =-．其中0a >且1a ≠．(1)求()f x 的解析式；(2)解关于x 的不等式(1)2f x -<，结果用集合或区间表示．22.(本小题满分12分)已知函数()y f x =的定义域为D ，且()f x 同时满足以下条件： ① ()f x 在D 上是单调递增或单调递减函数；② 存在闭区间[,]a b ⊆D (其中a b <)，使得当[,]x a b ∈时，()f x 的取值集合也是[,]a b ．那么，我们称函数()y f x = (x D ∈)是闭函数．(1)判断3()=f x x -是不是闭函数？若是，找出条件②中的区间；若不是，说明理由．(2)若()=f x k +k 的取值范围．（注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出是增函数还是减函数即可）兰州一中2020-1学期高一年级期中试题答案数 学一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．34y x = 14．(,1)-∞ 15．(3,)a ∈-+∞ 16. lg1.5三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．解：由题意得A ＝{x |1<x ≤2}，B ＝(－1，－1＋3m]．由A ∪B ＝B ，得A ⊆B ，即－1＋3m≥2，即3m≥3，所以m ≥1. .………10分18．解：(1)原式=92-. .………6分(2)原式=221328491()+()2795--（）47257+25293599=-=-= .………12分19．解：(1)原不等式等价于210160x x -+≤，解得[2,8]x ∈. .………6分(2) 22()(log 1)(log 2)f x x x =--2281log 3x x ≤≤∴≤≤Q当23log ,2x x ==时，()f x 取最小值14-， 当2log 3,8x x ==时，()f x 取最大值2，∴该函数的值域是1[,2]4-. .………12分20．解：(1)由图象可知：当t ＝4时，v ＝3×4＝12，∴s ＝12×4×12＝24. .………3分(2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2，当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550.综上可知s ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2， t ∈[0，10]，30t －150，t ∈10，20]，－t 2＋70t －550，t ∈20，35]..………8分(3)∵t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650.t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650.∴当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650. 解得t 1＝30，t 2＝40，∵20<t ≤35，∴t ＝30，所以沙尘暴发生30h 后将侵袭到N 城． .………12分 21. 解：(1)当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝a －x－1.由f (x )是奇函数，有f (－x )＝－f (x )， ∵f (－x )＝a －x－1， ∴f (x )＝－a －x ＋1(x <0)．∴所求的解析式为1(0)()=1(0)x x a x f x a x -⎧-≥⎪⎨-+<⎪⎩. .………6分(2)（法一）不等式等价于+110+12x x a --<⎧⎨-<⎩或11012x x a --≥⎧⎨-<⎩，即+1101x x a--<⎧⎨>-⎩或113x x a -≥⎧⎨<⎩.当a >1时，有1x <或11log 3a x ≤<+，可得此时不等式的解集为,1log 3)a -∞+（. 同理可得，当0<a <1时，不等式的解集为R .综上所述，当a >1时，不等式的解集为,1log 3)a -∞+（；当0<a <1时，不等式的解集为R . .………12分 （法二）图象求解也可. 22．解：(1)f (x )＝－x 3在R 上是减函数，满足①；设存在区间[,]a b ，f (x )的取值集合也是[,]a b ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a 3＝b－b 3＝a ，解得a ＝－1，b ＝1，所以存在区间[－1,1]满足②， .………5分 使得f (x )＝－x 3(x ∈R )是闭函数.(2) （法一）f (x )＝k ＋x ＋2是在[－2，＋∞)上的增函数， 由题意知，f (x )＝k ＋x ＋2是闭函数，存在区间[,]a b 满足②即：⎩⎨⎧k ＋a ＋2＝ak ＋b ＋2＝b.即a ，b 是方程k ＋x ＋2＝x 的两根，令t =220t t k ---=，该方程存在两相异实根12,t t 满足120t t ≤<，01020k ∆>⎧⎪∴>⎨⎪--≥⎩，解得924k -<≤-，所以实数k 的取值范围是9(,2]4-. .………12分 （法二）图象求解也可.。
2022-2023学年甘肃省兰州市西北师范大学附属中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年甘肃省兰州市西北师范大学附属中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}124,2A xx B x x ⎧⎫=-<<=>⎨⎬⎩⎭∣，则A B =（ ） A ．(),2-∞- B ．12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()4,+∞D ．1,42⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【分析】由交集的定义与区间的概念求解即可【详解】因为{}124,2A x x B x x ⎧⎫=-<<=>⎨⎬⎩⎭，所以142A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭，故选：D2．已知a R ∈，则“2a >”是“2a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解不等式得出a 的范围，再由充分必要条件的定义得出结论即可. 【详解】由2a a >，得1a >或a<0， 所以“2a >”是“1a >或a<0”的子集， 所以“2a >”能推出“1a >或a<0”， “1a >或a<0”不能推出“2a >”， 所以“2a >”是2a a >的充分不必要条件， 故选：A.3．下列不等式中成立的是（ ） A ．若0a b >>，则22ac bc > B ．若0a b >>，则22a b > C ．若0a b <<，则22a ab b << D ．若0a b <<，则11a b <【答案】B【分析】A ，如0c 时，22ac bc =，所以该选项错误；BCD ，利用作差法比较大小分析得解.【详解】A. 若0a b >>，则22ac bc >错误，如0c 时，22ac bc =，所以该选项错误； B. 若0a b >>，则2222()()0,a b a b a b a b -=+->∴>，所以该选项正确； C. 若0a b <<，则22()0,a ab a a b a ab -=->∴>，所以该选项错误； D. 若0a b <<，则11110,b a a b ab a b--=>∴>，所以该选项错误. 故选：B4．函数()f x = ） A ．(],4-∞ B ．()(],11,4-∞ C ．()(),11,4-∞⋃ D ．()0,4【答案】B【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数()f x =4010x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得4x ≤且1x ≠，所以函数()f x 的定义域为()(],11,4-∞.故选：B5．函数()()21R f x x kx k =-+∈.若()f x 在区间[)2,+∞上单调递增，则k 的取值范围是（ ）A ．(),4-∞B ．(],4∞-C ．()4,+∞D ．[)4,+∞【答案】B【分析】由于函数()()21R f x x kx k =-+∈的对称轴为2k x =，开口朝上，由题意可得22k≤， 从而可求得k 的取值范围．【详解】因为函数()()21R f x x kx k =-+∈的对称轴为2kx =，且开口朝上， 函数()()21R f x x kx k =-+∈在[)2,+∞上是增函数，所以区间[)2,+∞在对称轴的右侧 即22k≤，得4k ≤ 故选：B6．设函数()[](]23,2,13,1,5x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，若()1f a =，则实数a 的值为（ ）A B ． 4 C ．4- D 4【答案】B【分析】根据函数解析式，分别求解，即可得出结果. 【详解】当[]2,1a ∈-时，由231a -=，解得a =a = 当(]1,5a ∈时，由31a -=， 解得4a =．则实数a 的值为或4 故选：B7．已知正数a ，b 满足8ab =，则2+a b 取得最小值时a ，b 的值为（ ） A ．2，2 B ．2，4C ．4，4D ．4，2【答案】D【分析】根据基本不等式，由等号成立的条件即可求解. 【详解】因为0a >，0b >，所以28a b +≥，当且仅当82ab a b =⎧⎨=⎩即42a b =⎧⎨=⎩时，2+a b 取得最小值，所以2+a b 取得最小值时a ，b 的值为4，2， 故选：D.8．已知二次函数2()32(1)2,f x x a x =-+-+且对任意的12,(1,)x x ∈-+∞都有1212()(()())0x x f x f x --<恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)2,-+∞ B ．(],2-∞- C ．[)1,-+∞ D ．(],1-∞-【答案】B【分析】利用二次函数的性质列不等式可得实数a 的取值范围． 【详解】2()32(1)2f x x a x =-+-+的对称轴为13a x -=，开口向下 由题意可得函数在(1,)-+∞上单调递减 则113a -≤-，解得2a ≤- 故选：B二、多选题9．下列函数定义域和值域相同的是（ ） A ．()f x =5x +1 B ．()f x =x 2+1C ．()f x =1xD ．()f x【答案】ACD【分析】根据解析式直接分析函数的定义域及值域即可求解. 【详解】对A ，()f x =5x +1定义域及值域都为R, 对B ，()f x =x 2+1的定义域为R,值域为[1,)+∞， 对C ，()f x =1x的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，值域为(,0)(0,)-∞+∞， 对于D ，()f x的定义域为[0,)+∞，值域为[0,)+∞. 故选： ACD10．下列叙述中不正确的是（ ）A ．若,,R a b c ∈，则“20ax bx c ++≥”的充要条件是“240b ac -≤”B ．已知,a b 为正实数，则“12a b b a+>+”是“a b >”的既不充分也不必要条件 C ．“1a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 D ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件 【答案】AB【分析】取0a =，0b =，0c <可判断A ；由充分条件和必要条件的定义可判断B ；由两根之积小于0以及0∆>求出a 的范围结合充分条件和必要条件的定义可判断C ；解不等式11a<，结合充分条件和必要条件的定义即可判断D ，进而可得正确答案.【详解】对于A ：若0a =，0b =，0c <，满足240b ac -≤，但20ax bx c ++≥不成立，故选项A 不正确；对于B ：因为0a >，0b >，由12a b b a+>+，可得11a b b a +>+，即()()10a b ab -+>，可得a b >所以充分性成立；当0a b >>时，取a =1b =，此时12a b b a+=+，所以必要性不成立，所以“12a b b a+>+”是“a b >”的充分不必要条件，故选项B 不正确； 对于C ：设方程20x x a ++=的两根分别为1x ，2x ，若方程20x x a ++=有一个正根和一个负根，则12140a x x a ∆=->⎧⎨=<⎩ ，可得a<0，所以“1a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故选项C 正确；对于D ：由11a <可得a<0或1a >，所以“1a >”是“11a<”的充分不必要条件，故选项D 正确；所以AB 不正确， 故选：AB.11．若“R x ∃∈，使得2210x x λ-+<成立”是假命题，则实数λ可能的值是（ ）A ．1B ．C ．3D ．【答案】AB【分析】由题意可得：“R x ∀∈，使得2210x x λ-+≥成立”是真命题，即不等式2210x x λ-+≥恒成立，由0∆≤求得λ的范围即可得正确选项.【详解】若“R x ∃∈，使得2210x x λ-+<成立”是假命题， 则“R x ∀∈，使得2210x x λ-+≥成立”是真命题，可得24210λ∆=-⨯⨯≤，解得：λ-≤ 故选项AB 正确； 故选：AB.12．已知函数()24f x x x =-，则下列选项成立的是（ ）A ．()min 2f x =-B ．()f x 在(),2-∞-和()0,2上是减函数C ．()f x 是R 上的偶函数D ．()f x 的对称轴是2x =-和2x = 【答案】BC【分析】()2224,044,0x x x f x x x x x x ⎧-≥=-=⎨+<⎩，画出()f x 的图象，由图象即可求解【详解】因为函数()2224,044,0x x x f x x x x x x ⎧-≥=-=⎨+<⎩，画出()f x 的图象，如图所示：由图象可知：当2x =-或2x =时，()min 4442f x =⨯=--，故A 错误； 由图象可知：()f x 在(),2-∞-和()0,2上是减函数，故B 正确；由图象可知：()f x 的图象关于y 轴对称，故()f x 是R 上的偶函数，故C 正确，D 错误； 故选：BC三、填空题13．已知函数()f x 的定义域为()2,3，则函数()21f x -的定义域为___________. 【答案】3,22⎛⎫⎪⎝⎭【详解】因为函数()f x 的定义域为()2,3， 所以2213x <-<，解得322x <<， 即函数()21f x -的定义域为3,22⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：3,22⎛⎫⎪⎝⎭.14．不等式213xx ->+的解集是______________ . 【答案】1(3,)2--【分析】移项后可转化为一元二次不等式来求解. 【详解】213x x ->+等价于2103x x +<+即()()2130x x ++<，故132x -<<-，故解集为1(3,)2--. 故答案为：1(3,)2--.15．已知()(31)4,11,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨-+⎩是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是___.【答案】11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】利用函数在R 上是减函数，可列出不等式组()31031411a a a -<⎧⎨-+-+⎩，由此求得a 的取值范围.【详解】由于()(31)4,11,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨-+⎩是定义在R 上的减函数，∴()31031411a a a -<⎧⎨-+-+⎩，求得1173a <， 故答案为：11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭.16．已知偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，若()()211f a f ->，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】()0,1【分析】利用函数()f x 为偶函数，可得()()()()211|21|1f a f f a f ->⇔->，()f x 在[)0,∞+上单调递减，可得|21|1a -<，求解即可 【详解】由题意，函数()f x 为偶函数， 故()()()()211|21|1f a f f a f ->⇔-> 又()f x 在[)0,∞+上单调递减，|21|0,10a -≥> 故()()|21|1|21|1f a f a ->⇔-< 121101a a ∴-<-<∴<<故答案为：()0,1四、解答题17．（1）若正数a ，b 满足281a b+=，求a b +的最小值；（2）若正数x ，y 满足8x y xy ++=，求xy 的最小值. 【答案】（1）18;（2）16.【分析】（1）利用“1的代换”的方法求得a b +的最小值. （2）结合基本不等式求得xy 的最小值.【详解】（1）()2882101018a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当82,6,12a ba b b a===时等号成立.（2）88xy x y =++≥, )8420xy -=≥，由于,x y 4,16xy ≥，当且仅当4x y ==时等号成立. 18．分别求下列条件下函数()f x 的解析式： (1)()f x 是一次函数，且()332f x x -=-； (2)已知21112f x x x ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭.【答案】(1)()37f x x =+(2)()24107f x x x =-+【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）用换元法求解即可【详解】（1）设()()0f x kx b k =+≠，则()()333f x k x b kx b k -=-+=+-，又()332f x x -=-所以3,32k b k =-=-，解得3,7k b ==， 所以()37f x x =+； （2）令112t x =+，则22x t =-， 所以()()()22222214107f t t t t t =---+=-+，所以()24107f x x x =-+19．解关于x 的不等式：(2)(2)0x ax -->.【答案】当a<0时，原不等式的集为2{|2}x x a<<，当0a =时，原不等式的集为{|2}x x <，当01a <<时，原不等式的集为2{x xa或2}x <，当1a =时，原不等式的集为{|2}x R x ∈≠. 【详解】试题分析：不等式中含有参数a ，对a 分0a =和0a ≠两种情况讨论，当0a =时，原不等式为20x -<，解得即可，当0a ≠时，原不等式化为一元二次不等式(2)(2)0x ax -->，再对a 分0a >和a<0两种情况分别求解. 试题解析：原不等式整理得22(1)40ax a x -++>. 当0a =时，原不等式为20x -<，∴2x <； 当0a ≠时，原不等式为(2)(2)0x ax -->， ∴当a<0时，原不等式可化为2{|2}x x a<<， 当0a >时，原不等式可化为2(2)()0x x a-->，当01a <<时，原不等式为22a >，原不等式的集为2{x x a或2}x <， 若1a >，则22a <，原不等式的集为{2x x 或2}x a<， 当1a =时，原不等式的集为{|2}x R x ∈≠. 综上，当a<0时，原不等式的集为2{|2}x x a<<， 当0a =时，原不等式的集为{|2}x x <， 当01a <<时，原不等式的集为2{x xa或2}x <， 当1a =时，原不等式的集为{|2}x R x ∈≠. 【解析】不等式的解法.20．已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23. （1）求证：f (x )是R 上的单调减函数. （2）求f (x )在[－3，3]上的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）2-.【分析】(1)设x 1，x 2是任意的两个实数，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，由已知条件得出f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)<0，再根据函数单调性的定义可得证；(2)由(1)得出的函数的单调性知，f (x )在[－3，3]上也是减函数，可求得最小值. 【详解】(1)证明：设x 1，x 2是任意的两个实数，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，因为x >0时，f (x )<0，所以f (x 2－x 1)<0，又因为x 2＝(x 2－x 1)＋x 1，所以f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)， 所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)<0，所以f (x 2)<f (x 1). 所以f (x )是R 上的单调减函数.(2)由(1)可知f (x )在R 上是减函数，所以f (x )在[－3，3]上也是减函数， 所以f (x )在[－3，3]上的最小值为f (3). 而f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1)＝3×23⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－2.所以函数f (x )在[－3，3]上的最小值是－2.【点睛】本题考查抽象函数的单调性的证明，单调性的应用求函数在某区间上的最值，属于中档题. 21．已知函数()21x bf x ax +=+是定义在[]1,1-上的奇函数，且()112f =. （1）求a ，b 的值；（2）判断函数()f x 在[]1,1-上的单调性，并用定义证明； （3）解关于t 的不等式，11022f t f t ⎛⎫⎛⎫++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】（1）1,0a b ==；（2）()f x 在[]1,1-上递增，证明见解析；（3）102⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，. 【分析】（1）由题意，令()00f =，()112f =代入求解,a b ，再检验是奇函数，即得解；（2）利用单调性的定义按照步骤作差证明即可；（3）利用奇函数原式等价于1122f t f t ⎛⎫⎛⎫+<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再结合单调性、定义域列出不等式求解即可.【详解】（1）依题意函数()21x bf x ax +=+是定义在[]1,1-上的奇函数， 所以()00f b ==， ()111112f a a ==⇒=+， 所以()21xf x x =+ 检验：()22()()11x xf x f x x x --==-=--++，为奇函数满足题意（2）()f x 在[]1,1-上递增，证明如下： 任取[]1212,1,1,x x x x ∈-<()()()()()()221221121222221212111111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++第 11 页 共 11 页 ()()22121212221211x x x x x x x x +--=++()()()()()()()()12212112212222121211111x x x x x x x x x x x x x x -----==++++， 其中122110,0x x x x -<->，所以()()()()12120f x f x f x f x -<⇒<， 故()f x 在[]1,1-上递增.（3）由11022f t f t ⎛⎫⎛⎫++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得1122f t f t ⎛⎫⎛⎫+<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为()f x 是定义在(1,1)-上的奇函数， 所以1122f t f t ⎛⎫⎛⎫+<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为()f x 是增函数， 所以112211121112t t t t ⎧+<-⎪⎪⎪-≤+≤⎨⎪⎪-≤-≤⎪⎩，即031221322t t t ⎧⎪<⎪⎪-≤≤⎨⎪⎪-≤≤⎪⎩，解得：102t -≤<， 所以不等式的解集为102⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，.。
2020-2021学年高一上数学期中考试试卷及答案解析
答案C
解析由题意知，不等式ax2＋2ax＋1>0恒成立，
当a＝0时，1>0，不等式恒成立，
当a≠0时，则 解得0<a<1，
综上有0≤a<1，故选C.
7．函数f(x)＝2x＋ (x>1)，则f(x)的最小值为()
A．8 B．6 C．4 D．10
答案D
解析f(x)＝2(x－1)＋ ＋2
答案①③
解析对于①，这是全称量词命题，
因为Δ＝(－3)2－4×2×4<0，
所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①为真命题；
对于②，这是全称量词命题，
因为当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题；
对于③，这是存在量词命题，当x＝1时，x为29的约数成立，所以③为真命题．
15．正数a，b满足 ＋ ＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是________．
12．设非空数集M同时满足条件：①M中不含元素－1,0,1；②若a∈M，则 ∈M.则下列结论正确的是()
A．集合M中至多有2个元素
B．集合M中至多有3个元素
C．集合M中有且仅有4个元素
D．集合M中至少有4个元素
答案D
解析因为a∈M， ∈M，
所以 ＝－ ∈M，
所以 ＝ ∈M，
又因为 ＝a，
所以集合M中必同时含有a，－ ， ， 这4个元素，
答案D
解析依题意可知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x；
当4<x≤8时，f(x)＝8；
当8<x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知选D.
11．函数f(x)＝ (x>0)的值域是()
甘肃省兰州市第一中学2020学年高一上学期期中考试数学试题版含答案-精品
甘肃省兰州市第一中学2020学年高一上学期期中考试数学试题版含答案-精品2020-12-12【关键字】条件、矛盾、关系、满足数 学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.） 1. 设集合{}012345U =，，，，，，集合{}035M =，，，{}145N =，，，则()U M C N ⋂等于（ ） A ．{}5 B ．{}0,3 C ．{}0,2,3,5 D ． {}0,1,3,4,52. 下列四组函数，表示同一函数的是（ ）A. (),()f x x g x ==B. 2()lg ,()2lg f x x g x x ==C. ()()f x g x ==D. (),()f x x g x ==3．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是（ ） A ．(-∞,- 1) B. (1,+∞) C. (-1,1)∪(1,+∞) D. (-∞,+∞)4. 设集合A ＝B ＝{(,),}x y x R y R ∈∈，从A 到B 的映射:(,)(2,2)f x y x y x y →+-， 则在映射f 下B 中的元素（1，1）对应的A 中元素为（ ）A.（1，3）B.（1，1） C . 11(,)22 D. 31(,)555．下列函数在),0(+∞上是增函数的是（ ）A ．xy 1=B ．x y =C ．2x y -= D ．12+-=x y 6．设0.3222,0.3,log 0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ． a b c <<7. 若函数()11x mf x e =++是奇函数,则m 的值是（ ） A ．-1 B ．-2 C ．1 D ．28．函数22()log (2)f x x x =--的单调递减区间是（ ）A ．(,1)-∞-B ．1(,]2-∞C ．1[,2)2D ．(2,)+∞9. 已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(2)0(log )(2x x x x f x ，则满足21)(<a f 的a 的取值范围是（ ）A ．)1,(--∞B ．)1,(--∞∪)2,0(C ．)2,0( D ．)1,(--∞∪)2,0(10. 已知()xf x a =，()log (01)a g x x a a =≠>且，若(3)(3)0f g <，那么()f x 与()g x 在同一坐标系内的图像可能是（ ）11f (x C ．()()75f f > D ． ()()54f f >12．设A 、B 是非空数集，定义A x x B A ∈=|{*∪A x B ∉且∩}B ，已知集合=A |{x =y }22x x -，}0,2|{>==x y y B x ，则=B A *（ ）A ．]1,0[∪),2(∞+B ．)1,0[∪),2(∞+C ．(],1-∞D ．]2,0[第Ⅱ卷（非选择题）二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上．．．．．．．．．.） 13. 已知x e f x=)(，则)5(f 等于________.14. 如果函数2()2(3)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是单调减函数，那么实数a 的取值范围是________.15. 函数)2(log log )(22x x x f ⋅=的最小值为________.16．定义在R 上的偶函数()f x 在区间[1,2]上是增函数，且(1)(1)f x f x +=-，关于函数()f x 有如下结论：①31()()22f f =-；②图象关于直线1x =对称；③在区间[0,1]上是减函数；④在区间[2,3]上是增函数，其中正确结论的序号是________. 三、解答题（本大题共6 小题，共70分） 17. （本小题满分10分）集合{|17}A x x =-≤≤，{|231}B x m x m =-<<+，若A ∩B =B ，求实数m 的取值范围. 18．（本小题满分12分）计算： （1）5log 3231lg25lg2log 9log 252++-⨯- ；（2） 2210.5332341(3)-(5)(0.008)()89505---+÷⨯.19．（本小题满分12分）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且0x ≥时，2()log (1)f x x =+. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若(2)(5)0f a f a ---<，求a 的取值范围. 20.（本小题满分12分）已知定义在R 上的函数xx x f 212)(-=.（1）若f (x )=23，求x 的值； （2）若0)()2(2≥+⋅t mf t f t对于]2,1[∈t 恒成立，求实数m 的取值范围. 21.（本小题满分12分）已知函数y =xax +有如下性质：如果常数a >0,那么该函数在],0(a 上是减函数，在),[+∞a 上是增函数.（1）若]1,0[,123124)(2∈+--=x x x x x f ，利用上述性质，求函数f (x )的值域；（2）对于（1）中的函数f (x )和函数g (x )=-x -2a ，若对任意]1,0[1∈x ，总存在]1,0[2∈x ，使得g (x 2)=f (x 1),求实数a 的值.22.（本小题满分12分）已知函数1()()2x f x =,函数g (x )的图象与f (x )的图象关于直线y =x 对称.（1） 若)12(2++x mx g 的定义域为R ，求实数m 的取值范围；（2） 当[]1,1x ∈-时，求函数[]2()2()3y f x af x =-+的最小值)(a h ；（3） 是否存在实数2m n >>，使得(2)中函数)(x h y =的定义域为[],n m ，值域为22,n m ⎡⎤⎣⎦，若存在，求出m 、n 的值；若不存在，则说明理由．兰州一中2017-2018-1学期高一数学期中考试答案一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分） 二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,）13. ln5 14. a ≤-1 15. -4116．①②③三、解答题（本大题共6 小题，共70分）17. （10分） 解：由A∩B=B ，得B A ⊆ ………………2分当B =∅时，有：231m m -≥+，解得14m ≤ ………………4分. 当B ≠∅时，如右图数轴所示，则23121317m m m m -<+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得124m <≤ ………………8分 综上可知，实数m 的取值范围为2m ≤. ………………10分 18．（12分）解：（1）原式=72-. .………6分 （2）原式=221328491()()2795-+（）471712529399=-+=-+= .………12分 19．（12分）解：（1）设0x <，则0x -> ∴2()log (1)()f x x f x -=-+=∴0x <时，2()log (1)f x x =-+ ∴22log (1),(0)()log (1),(0)x x f x x x +≥⎧=⎨-+<⎩ ………………6分（2）∵2()log (1)f x x =+在[0,)+∞上为增函数，∴()f x 在(,0)-∞上为减函数.由于(2)(5)f a f a -<-，∴25a a -<- ， ∴72a <. ∴a 的取值范围是)27,(-∞．……………12分20.（12分）解：（1）由条件可知122x x -=23，解得2x =2或2x =-12（舍去）， ∴x =1 ………………5分（2）当[1,2]t ∈时，22112(2)(2)022t t tt tm -+-≥, 即24(21)(21)t t m -≥--， 2210t ->∵，2(21)t m ≥-+∴ ………………9分 [1,2]t ∈∵，2(21)[17,5]t -+∈--∴，故m 的取值范围是[5,)-+∞ ………………12分21.（12分）解：（1） 241234()=2x+1+82121x x f x x x --=-++. ………………2分令t =2x +1, x ∈[0,1], 则t ∈[1,3], 则y =t +4t-8又函数y =t +4t-8在t ∈[1,2]上是减函数，在t ∈[2,3]上是增函数，∴函数f (x )在x ∈[1, 12]上是减函数，在x ∈[12,1]上是增函数， ∴f (x )min =f(12)= -4, 又f (0)= -3, f (1)= -113, ∴f (x )max =f (0)= -3 ∴函数f (x )的值域为[-4,-3]. ………………6分 (2)∵ g (x )=-x -2a 为减函数，∴g (x )∈[-1-2a , -2a ],由题意，函数f (x )的值域为函数g (x )值域的子集，………………9分 ∴12423a a --≤-⎧⎨-≥-⎩ 解得a =32. ………………12分22.（12分）解 ：（1）12()log g x x =，2212(21)log (21)g mx x mx x ++=++定义域为R ，∴2210mx x ++>恒成立，所以0,440,m m >⎧⎨∆=-<⎩(1,)m ∈+∞.……………4分（2）令11(),[,2]22x t t =∈，22223()3y t at t a a =-+=-+-， 当a>2时，可得，t=2时，min 74.y a =-当122a ≤≤时，得t=a 时，y min =3-a 2;当12a <时，得t=12时y min = 134a-∴274,21()3,22131,42a a h a a a a a ⎧⎪->⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-<⎪⎩. ………………8分（3）()74,(2,)h x x x =-∈+∞，且()h x 在(2,)x ∈+∞上单调递减速.所以22()74,()74,h n n m h m m n ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩ 两式相减得，4m n +=，与2m n >>矛盾， 所以不存在,m n 满足条件. ………………12分。
甘肃省2020年高一上学期数学期中考试试卷A卷
第 1 页 共 19 页 甘肃省2020年高一上学期数学期中考试试卷A卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、 单选题 (共12题；共24分) 1. （2分） (2020高一上·诸暨期末) 设集合 ， ， ，则 （ ） A . {0} B . {2} C . D . 【考点】
2. （2分） 设集合，则等于（ ） A . B . C . D . 【考点】
3. （2分） (2019高一上·临河月考) 已知函数 ，则 （ ） 第 2 页 共 19 页
A . B . C . D . 【考点】
4. （2分） (2019高一上·株洲月考) 下列四组中 表同一函数的是（ ） A . B . C . D . 【考点】
5. （2分） (2016高三上·黑龙江期中) 函数y= 的定义域为（ ） A . （﹣∞，2） B . （2，+∞） C . （2，3）∪（3，+∞） D . （2，4）∪（4，+∞） 【考点】 第 3 页 共 19 页
6. （2分） 如果 那么 xy>0 是 |x+y|=|x|+|y| 成立的（ ） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 【考点】
7. （2分） 设函数f（x）（x∈R）是以2为最小正周期的周期函数，且x∈[0，2]时，f（x）=（x﹣1）2 ， 则f（ ）=（ ）
A . B . ﹣ C . D . ﹣ 【考点】
8. （2分） (2018·呼和浩特模拟) 已知关于 的不等式 存在唯一的整数解，则实数 的取值范围是（ ）
A . B . C . 第 4 页 共 19 页
D . 【考点】
9. （2分） 已知函数,则“”是“函数在R上递增”的（ ） A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 【考点】
10. （2分） (2019高三上·临沂期中) 设函数 ，则 （ ） A . 9 B . 11 C . 13 D . 15 【考点】
2020-2021高一数学上期中试卷(附答案)
2020-2021高一数学上期中试卷(附答案)一、选择题1．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =U IA ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}2．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,44．若集合{}|1,A x x x R =≤∈，{}2|,B y y x x R ==∈，则A B =I A ．{}|11x x -≤≤B ．{}|0x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ．∅5．已知函数()25,1,,1,x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -≤<B ．0a <C ．2a ≤-D ．32a --≤≤6．1()xf x e x=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)27．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）．A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]8．设x ∈R ，若函数f （x ）为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f （f （x ）-e x ）=e +1（e 是自然对数的底数），则f （ln1.5）的值等于（ ） A ．5.5B ．4.5C ．3.5D ．2.59．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( )A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,310．已知函数21,0,()|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩若函数()y f x a =-有四个零点1x ，2x ，3x ，4x ，且12x x <3x <4x <，则312342()x x x x x ++的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(1,0)-C ．(0,1]D ．[1,0)-11．已知函数在上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．12．已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-.则(6)f =（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．2二、填空题13．设函数()212log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是__________．14．函数y=232x x --的定义域是 . 15．若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是__________． 16．若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 ．17．定义在[3,3]-上的奇函数()f x ，已知当[0,3]x ∈时，()34()x xf x a a R =+⋅∈，则()f x 在[3,0]-上的解析式为______．18．函数()221,0ln 2,0x x f x x x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点的个数是______． 19．已知函数()()2ln 11f x x x =+-+，()4f a =，则()f a -=________．20．给出下列结论： ①已知函数是定义在上的奇函数，若，则；②函数的单调递减区间是； ③已知函数是奇函数，当时，，则当时，；④若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则对任意实数都有.则正确结论的序号是_______________________（请将所有正确结论的序号填在横线上）．三、解答题21．已知函数()()log 1xa f x a =-（0a >，1a ≠）（1）当12a =时，求函数()f x 的定义域； （2）当1a >时，求关于x 的不等式()()1f x f <的解集；（3）当2a =时，若不等式()()2log 12xf x m -+>对任意实数[]1,3x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.22．已知2256x ≤且21log 2x ≥，求函数22()log log 22x xf x =⋅的最大值和最小值． 23．已知幂函数2242()(1)m m f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2xg x k =-；（1）求m 的值；（2）当[1,2]x ∈时，记()f x 、()g x 的值域分别是A 、B ，若A B A ⋃=，求实数k 的取值范围；24．已知集合A ＝{x|2a ＋1≤x≤3a －5}，B ＝{x|x ＜－1，或x ＞16}，分别根据下列条件求实数a 的取值范围．（1）A∩B ＝∅；（2）A ⊆（A∩B ）．25．已知二次函数()f x 满足(0)2f =，且(1)()23f x f x x +-=+. （1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()2h x f x tx =-，当[1,)x ∈+∞时，求()h x 的最小值；（3）设函数12()log g x x m =+，若对任意1[1,4]x ∈，总存在2[1,4]x ∈，使得()()12f x g x >成立，求m 的取值范围.26．函数是奇函数．求的解析式；当时，恒成立，求m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果.详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.2．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.3．B解析：B 【解析】 【分析】判断函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，求出f （0）=-4，f （1）=-1，f （2）=3＞0，即可判断． 【详解】∵函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，∴f（0）=-4，f （1）=-1，f （2）=7＞0，根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是()1,2， 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理的运用，属于容易题．4．C解析：C【分析】求出集合B 后可得A B I . 【详解】因为集合{}|1,{|11}A x x x R x x =≤∈=-≤≤，{}2|,{|0}B y y x x R y y ==∈=≥则A B =I {}|01x x ≤≤，选C【点睛】本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如(){}|,x y f x x D =∈表示函数的定义域，而(){}|,y y f x x D =∈表示函数的值域，()(){},|,x y y f x x D =∈表示函数的图像.5．D解析：D 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处的函数值. 【详解】要使函数在R 上为增函数，须有()f x 在(,1]-∞上递增，在(1,)+∞上递增，所以21,20,115,1a a a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪⎪--⨯-≤⎩，解得32a --≤≤.故选D. 【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.6．B解析：B 【解析】 函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （12）2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（12，1），故选B ．点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.7．D【解析】 【分析】 【详解】()f x 是奇函数，故()()111f f -=-=- ；又()f x 是增函数，()121f x -≤-≤，即()(1)2(1)f f x f -≤-≤ 则有121x -≤-≤ ，解得13x ≤≤ ，故选D.【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为()(1)2f f x -≤-(1)f ≤，再利用单调性继续转化为121x -≤-≤，从而求得正解.8．D解析：D 【解析】 【分析】利用换元法 将函数转化为f （t ）=e+1，根据函数的对应关系求出t 的值，即可求出函数f （x ）的表达式，即可得到结论 【详解】 设t=f （x ）-e x ，则f （x ）=e x +t ，则条件等价为f （t ）=e+1， 令x=t ，则f （t ）=e t +t=e+1， ∵函数f （x ）为单调递增函数， ∴t=1， ∴f （x ）=e x +1，即f （ln5）=e ln1.5+1=1.5+1=2.5， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．9．B解析：B 【解析】 【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可 【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增，()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 故选：B ． 【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．10．C解析：C 【解析】作出函数函数()21,0,|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩的图象如图所示，由图象可知，123442,1,12x x x x x +=-=<≤， ∴ ()312334422222x x x x x x x ++=-+=-+， ∵422y x =-+在412x <≤上单调递增， ∴41021x <-+≤，即所求范围为(]0,1。
2020-2021学年高一上学期数学期中考试卷含答案
【一】选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分．将正确答案填写在答题卡〕1、全集U R =，(){}30x x x N =+<，{}1x x M =<-，那么图中阴影部分表示的集合是〔 〕 A 、{}31xx -<<- B 、{}30x x -<<C 、{}10x x -≤< D 、{}3x x <-2、函数log 12x y x-=-的定义域是〔 〕A 、(]1,2B 、()1,2C 、()2,+∞D 、(),2-∞3、甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S 与时间t 的函数关系如下图，那么以下说法正确的选项是〔 〕A 、甲比乙先出发B 、乙比甲跑的路程多C 、甲、乙两人的速度相同D 、甲比乙先到达终点 4、设()338x f x x =+-，用二分法求方程3380xx +-=在()1,2x ∈内近似解的过程中得()10f <，()1.50f >，()1.250f <，那么方程的根落在区间〔 〕A 、()1,1.25B 、()1.25,1.5C 、()1.5,2D 、不能确定5、函数()y f x =的定义域是()1,4-，那么函数()21y f x =-的定义域是〔 〕A 、()5,5- B 、()()5,00,5- C 、()0,5 D 、()5,5-6、函数()()()f x x a x b =--〔其中a b >〕，假设()f x 的图象如以下图〔左〕所示，那么()x g x a b=+的图象是〔 〕A 、B 、C 、D 、7、函数()y f x =的对应关系如下表，函数()y g x =的图象是如以下图的曲线C AB ，其中()1,3A ，()2,1B ，()C 3,2，那么()2f g ⎡⎤⎣⎦的值为〔 〕A 、3B 、2C 、1D 、08、假设奇函数()f x 在[]1,5上为增函数，且有最小值8，那么它在[]5,1--上〔 〕 A 、是减函数，有最小值8- B 、是增函数，有最小值8- C 、是减函数，有最大值8- D 、是增函数，有最大值8-9、幂函数26m m y x --=〔m ∈Z 〕的图象与x 轴无公共点，那么m 的值的取值范围是〔 〕A 、{}1,0,1,2-B 、{}2,1,0,1,2,3--C 、{}2,1,0,1--D 、{}3,2,1,1,2---10、把函数1y x =的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得函数的解析式应为〔 〕 A 、321x y x -=- B 、211x y x -=- C 、211x y x +=-+ D 、231x y x +=+11、函数()()2ln 43f x x x =+-的单调递减区间是〔 〕A 、3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B 、3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C 、31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦ D 、3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭12、德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数()R 1,Q 0,Q x f x x ∈⎧=⎨∈⎩被称为狄利克雷函数，其中R 为实数集，Q 为有理数集，那么关于函数()f x 有如下四个结论：①()0f f x =⎡⎤⎣⎦；②函数()f x 是偶函数； ③任取一个不为零的有理数T ，()()f x f x +T =对任意的R x ∈恒成立；④存在三个点()()11,x f x A ，()()22,x f x B ，()()33C ,x f x ，使得C ∆AB 为等边三角形．其中正确结论的个数是〔 〕A 、1B 、2C 、3D 、4【二】填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分．〕13、全集{}U 1,2,3,4,5=，{}1,2,3A =，那么U A 的子集个数有 个．14、计算()()()4630.25433233282013⨯+-⨯--=．15、函数2y x =与函数ln y x x =在()0,+∞上增长较快的是 ．16、某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，如下图．假设其关系为指数函数，并给出以下说法： ①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过302m ； ③野生水葫芦从42m 蔓延到122m 只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延到22m ，32m ，62m 所需的时间分别为1t ，2t ，3t ，那么有123t t t +=；⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．其中正确的说法有 ．〔请把正确说法的序号都填在横线上〕 【三】解答题〔本大题共6小题，共70分．〕 17、〔此题总分值12分〕设集合{}R 24a a A =∈=，(){}22R 210x xm x m B =∈-++<．〔1〕假设4m =，求A B ；〔2〕假设A B =B ，求实数m 的取值范围．18、〔此题总分值12分〕()f x 是定义在()0,+∞上的减函数，且满足以下条件：()()()f xy f x f y =+，()21f =．〔1〕求证：()83f =；〔2〕求不等式()()()32f x f f x >+-的解集．19、〔此题总分值12分〕如图，∆AOB 是边长为2的正三角形，记∆AOB 位于直线x t =〔0t >〕左侧的图形的面积为()f t ．试求()f t 的解析式，并画出()y f t =的图象．20、〔此题总分值10分〕函数()1lg1xf x x +=-．〔1〕判断并证明()f x 的奇偶性；〔2〕求证：()()1a b f a f b f ab +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭； 〔3〕a ，()1,1b ∈-，且11a b f ab +⎛⎫= ⎪+⎝⎭，21a b f ab -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求()f a ，()f b 的值．21、〔此题总分值12分〕〔1〕对任意[]1,1x ∈-，函数()()2442f x x a x a=+-+-的值恒大于零，求a 的取值范围． 〔2〕对任意[]1,1a ∈-，函数()()2442f x x a x a=+-+-的值恒大于零，求a 的取值范围．22、〔此题总分值12分〕函数()22f x x a x x =-+，R a ∈． 〔1〕假设函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；〔2〕假设存在实数[]2,2a ∈-，使得关于x 的方程()()20f x tf a -=有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．选择CBDBB ABDAD CC填空 12.4 14.72 15.y=x2 16. 1,2,4[ 17.解：由题意知{}{}|242a A a R =∈==．…………1分〔1〕当4m =时，{}22|2(1)0B x R x m x m =∈-++<{}|28x x =<<．…………2分∴{}|28A B x x =<<．…………4分〔2〕∵A B B =，∴B A ⊆，………5分 此时必有B =∅．…………7分∴22[2(1)]44(21)0m m m ∆=-+-=+≤,…………8分 得12m ≤-，…………9分 故实数m 的取值范围为1(,2⎤-∞-⎥⎦．………10分 18、〔1〕证明： 由题意得f(8)＝f(4×2)＝f(4)＋f(2)＝f(2×2)＋f(2)＝f(2)＋f(2)＋f(2)＝3f(2) ……………3分又∵f(2)＝1 …………4分 ∴f(8)＝3 ……………5分 (2)解：∵f(8)＝3 ∴f(x)>f(x －2)＋f(8)＝f(8x －16) ……………7分 ∵f(x)是〔0，+∞〕上的减函数 ∴8(2)08(2)x x x ->⎧⎨>-⎩ ………………………10分解得167x > (11)分 ∴不等式的解集是167x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ ………12分19. 解：设直线()0>=t t x 交OA 于点C ，交OB 于点D①当10≤<t 时，OAB ∆位于直线()0>=t t x 左侧的图形如图①所示，那么有()102323)(2≤<=•===∆t t t t OCD S t f y②当21≤<t 时，OAB ∆位于直线()0>=t t x 左侧的图形如图②所示，那么有()()[]())21(32232232232)(2≤<+--=-•--•=-==∆∆t t t t ACD S OAB S t f y③当2>t 时，OAB ∆位于直线()0>=t t x 左侧的图形如图③所示，那么有)2(3232)(>=•===∆t OAB S t f y〔图①〕 〔图②〕∴综上所述，()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--==,3,3223,23)(22t t t f y函数的图像为.2,21,10>≤<≤<t t t∴f(a)+f(b)=1，()()()1a bf a f b f ab -+-=-， ∴()()2f a f b +-=，………8分∵()()f b f b -=-，∴()()2f a f b -=，………9分解得31(),()22f a f b ==-.………10分 21.解：〔1〕函数()()a x a x x f 2442-+-+=的对称轴为2424aa x -=--=.………1分①当124-<-a，即6>a 时，………2分()x f 的值恒大于0等价于()()()0241411>-+-⨯-+=-a a f ，解得3<a ，………3分不存在符合条件的a ；………4分 ②当1241-≤-≤a，即62≤≤a 时，………5分只要()024********>-+-⨯-+⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a a a f ，即02<a ，………6分不存在符合条件的a ；③当124>-a，即2<a 时，只要()()024411>-+-+=a a f ，即1<a ，故有1<a .………7分 综上可知，当1<a 时，对任意[]1,1-∈x ， ………8分函数()()a x a x x f 2442-+-+=的值恒大于0. ………9分 ()()()44224422+-+-=-+-+=x x a x a x a x x f .令()()4422+-+-=x x a x a g .………11分 由题意，在[]1,1-上，()a g 的值恒大于0，()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>+-+-=>+-+-⨯-=-∴，，0442104412122x x x g x x x g ………12分解得1<x 或3>x .………13分故当1<x 或3>x 时，对任意的[]1,1-∈a ，函数()x f 的值恒大于0. ………14分 22.〔1〕22(22)(2)()(22)(2)x a x x a f x x a x x a ⎧+-≥=⎨-++<⎩， ………… 1分 当2x a ≥时，()y f x =的对称轴为：1x a =-； …………2分 当2x a <时，()y f x =的对称轴为：1x a =+； ………… 3分 ∴当121a a a -≤≤+时，()y f x =在R 上是增函数，即11a -≤≤时，函数()y f x =在R 上是增函数； ………… 4分 〔2〕方程()(2)0f x tf a -=的解即为方程()(2)f x tf a =的解．………… 5分 ①当11a -≤≤时，函数()y f x =在R 上是增函数，∴关于x 的方程()(2)f x tf a =不可能有三个不相等的实数根； ………… 6分 ②当1a >时，即211a a a >+>-，∴()y f x =在(,1)a -∞+上单调增，在(1,2)a a +上单调减，在(2,)a +∞上单调增， ∴当(2)(2)(1)f a tf a f a <<+时，关于x 的方程()(2)f x tf a =有三个不相等的实数根；即244(1)a t a a <⋅<+，∵1a >∴7分∵存在[]2,2,a ∈-使得关于x 的方程()(2)f x tf a =有三个不相等的实数根， ∴max 1()t h a <<， …………8分在(1,2]上单调增9分 ③当1a <-时，即211a a a <-<+，∴()y f x =在(,2)a -∞上单调增，在(2,1)a a -上单调减，在(1,)a -+∞上单调增，∴当(1)(2)(2)f a tf a f a -<<时，关于x 的方程()(2)f x tf a =有三个不相等的实数根；即2(1)44a t a a --<⋅<，∵1a <-∴∵存在[]2,2,a ∈-使得关于x 的方程()(2)f x tf a =有三个不相等的实数根，∴max 1()t g a <<，又可证在[2,1)--上单调减∴…………11分…………12分。