甘肃省兰州一中2015届高考数学三模试卷(理科)

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甘肃省兰州一中2015届高三上学期期中考试数学试题 Wor

甘肃省兰州一中2015届高三上学期期中考试数学试题（解析版）【试卷综析】试卷贴近中学教学实际,在坚持对五个能力、两个意识考查的同时,注重对数学思想与方法的考查,体现了数学的基础性、应用性和工具性的学科特色.以支撑学科知识体系的重点内容为考点挑选合理背景,考查更加科学.试卷从多视角、多维度、多层次地考查数学思维品质,考查考生对数学本质的理解,考查考生的数学素养和学习潜能.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）【题文】1．函数y = ( )A. [1,2]B. [1,2)C. 1(,1]2D. 1[,1]2【知识点】函数定义域的求法. B1【答案解析】C 解析：由231log (21)0021112x x x -≥⇒<-≤⇒<≤，故选C. 【思路点拨】利用偶次根式有意义的条件，以及对数函数单调性求解.【题文】2. 已知向量(1,2)a =-,(3,)b m =,R m ∈,则“6m =-”是“//()a a b +”的( )A ．充要条件 B.充分不必要条件C ．必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【知识点】向量共线的条件；充分条件；必要条件. F1 A2【答案解析】A 解析：因为向量(1,2)a =-,(3,)b m =,R m ∈,所以()2,2a b m +=+，所以//()a a b +()122206m m ⇔-⨯+-⨯=⇔=-，所以“6m =-”是“//()a a b +”的充要条件，故选A.【思路点拨】求//()a a b +的充要条件得结论.【题文】3. 若函数2()log (1)f x m x x =+≥存在零点，则实数m 的取值范围是 ( ) A ． (,0]-∞ B. [0,)+∞ C ． (,0)-∞ D. (0,)+∞ 【知识点】函数零点的意义. B9【答案解析】A 解析：因为函数2()log (1)f x m x x =+≥存在零点，所以函数()2log ,1y x x =≥，与直线y m =-有交点，所以00m m -≥⇒≤，故选A.【思路点拨】函数2()log (1)f x m x x =+≥的零点就是方程2log 0(1)m x x +=≥的解，即函数()2log ,1y x x =≥与y m =-的交点横坐标.【题文】4．在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则=+753a a ( ) A ．10 B. 18 C ． 20 D ．28 【知识点】等差数列. D2【答案解析】 C 解析：因为3812910a a a d +=+=，所以=+753a a ()1141822920a d a d +=+=，故选 C.【思路点拨】根据等差数列的通项公式，把已知和所求都化为关于1a 和d 的式子求解. 【题文】5．给出如下四个命题：①若“p q ∨”为真命题，则,p q 均为真命题；②“若,221a b a b >>-则”的否命题为“若a b ≤，则221a b -≤”； ③“2,1x R x x ∀∈+≥”的否定是“2000,1x R x x ∃∈+≤”； ④“0x >”是 “12x x+≥”的充要条件．其中不正确的命题是 ( ) A ．①② B.②③ C ．①③ D.③④【知识点】命题及其关系；简易逻辑；含一个量词的命题的否定；充要条件. A2 A3 【答案解析】C 解析：若“p q ∨”为真命题，则p 、q 中至少有一个真命题，故①不正确；命题②显然正确；“2,1x R x x ∀∈+≥”的否定是“2000,1x R x x ∃∈+<”，所以③不正确；显然命题④正确.故选C.【思路点拨】逐一分析各命题的正误的结论.【题文】6．已知函数2()cos f x x x =-，则(0.6),(0),(0.5)f f f -的大小关系是 ( ) A ．(0)(0.6)(0.5)f f f <<- B. (0)(0.5)(0.6)f f f <-< C ．(0.6)(0.5)(0)f f f <-< D. (0.5)(0)(0.6)f f f -<< 【知识点】函数的奇偶性与单调性. B3 B4【答案解析】B 解析：易得函数f(x)是偶函数，且()2sin 0f x x x '=+>在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，所以f(x)是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的增函数，所以(0)(0.5)(0.6)f f f <-<，故选B. 【思路点拨】分析已知函数的奇偶性、单调性得结论.【题文】7.若G 是ABC ∆的重心，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边30aGA bGB cGC ++=，则角A = ( ) A ．90 B.60 C ．45 D.30 【知识点】向量的线性运算；余弦定理. F1 C8 【答案解析】 D 解析：因为G是ABC ∆的重心，所以()()211323A G A B A C A B A C =⨯+=+,同理，()()()1112333B G B A B C A B =+=-+-=, ()()11233CG CB CA AB AC =+=-.代入已知等式整理得2333c a bABAC --=,又因为,AB AC 不共线，所以360330a ba b c a b ⎧=⎧-=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪+-=⎪⎩⎩，所以222222cos 22b c a A bc +-===，因为()0,180A ∈,所以A =30，故选D.【思路点拨】利用向量的线性运算及共线向量的性质，得关于a,b,c 的方程组，从而用b 表示a,c ，然后用余弦定理求解.【题文】8．已知函数()sin cos f x a x b x =-在4x π=时取得极值，则函数3()4y f x π=-是( )A ．奇函数且图象关于点(,0)π对称 B. 偶函数且图象关于点3(,0)2π对称 C ．奇函数且图象关于点3(,0)2π对称 D. 偶函数且图象关于点(,0)-π对称【知识点】函数()sin y A x ωϕ=+的性质. C4【答案解析】A 解析：因为函数()sin cos f x a x b x =-在4x π=时取得极值，所以sincos44a b b a ππ=-⇒=-，所以()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以 3()4y f x π=-3sin sin 44x x ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，故选A.【思路点拨】根据已知条件求得b=-a ，代回原函数得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，从而得3()4y f x π=-sin x ，由此得结论.【题文】9．函数)0)(sin(3)(>+=ωϕωx x f 的部分图象如图所示,若2||AB BC AB =⋅,则ω等于( ) A ．12πB.4πC ．3πD.6π【知识点】由函数sin()y A x ωϕ=+的图像求其解析式；向量的应用. C4 F1【答案解析】D 解析：因为2||=⋅，所以()()0AB BC AB AB BC BA ⋅-=⋅+=, 而BC BA BE +=，所以AB BE ⊥(如图)，因为AE=BC=2AB 所以30AEB ∠=,30BAD ∠=,因为点B 所以，从而函数的周期为12，所以2126ππω==，故选D.【思路点拨】如图：由2||=⋅，得AB B E ⊥，因为AE=BC=2AB 所以30AEB ∠=,30BAD ∠=,因为点B 所以，从而函数的周期为12，所以2126ππω==. 【题文】10．如图，A 是半径为5的圆O 上的一个定点，单位向量AB 在A 点处与圆O 相切，点P 是圆O 上的一个动点，且点P 与点A 不重合，则AP ×AB 的取值范围是( )A ．(5,5)- B. []5,5- C ．55(,)22- D. []0,5【知识点】向量数量积的坐标运算. F2 F3【答案解析】B 解析：以O 为原点，OA 所在直线为y 轴建立直角坐标系，则圆O 的方程为：2225x y +=，A(0,-5),(1,0)AB =,设P(x,y),则(),5AP x y =+，所以()()x,y 51,0AP AB x ⋅=+⋅=[]5,5∈-，所以AP ×AB 的取值范围是[]5,5-，故选B. 【思路点拨】建立适当直角坐标系，得点P 所在圆的方程，及向量,AP AB 的坐标，利用向量数量积的坐标运算求得结论.【题文】11．定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，(4)()f x f x -=.现有以下三种叙述：①8是函数()f x 的一个周期；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③()f x 是偶函数.其中正确的是 ( ) A ．②③ B. ①② C ．①③ D. ①②③ 【知识点】函数的性质. B1 B3 B4【答案解析】D 解析：由()()20f x f x ++=(2)(4)0f x f x ⇒+++=()(4)f x f x ⇒=+，所以函数()f x 的周期为4，所以①正确；由(4)()f x f x -=(2)(2)f x f x ⇒-=+，所以()f x 的图象关于直线2x =对称，所以②正确；因为函数()f x 的周期是4，且(4)()f x f x -=所以()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，所以③正确.故选D.【思路点拨】根据已知条件可得函数f(x)的周期性、对称轴，从而推得函数的奇偶性.【题文】12．(理)已知函数2014sin (01)()log (1)x x f x x x π≤≤⎧=⎨>⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则++a b c的取值范围是( )A. (1,2014)B. [1,2014]C. (2,2015)D. [2,2015]【知识点】函数性质分析. B1 B8【答案解析】C 解析：设a<b<c 则a,b 的中点是12，所以++a b c =1+c ，因为当 01x ≤≤时，[]()0,1f x ∈，(2014)1f =，又,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==令()()()f a f b f c ==k =，则()0,1k ∈，由图像易得当k 趋向于0时，c 趋向于1，当k 趋向于1时，c 趋向于2014，所以++a b c 的取值范围是(2,2015).故选C.【思路点拨】由图像可知当,,a b c 互不相等且()()()f a f b f c ==时，若a<b<c ，则a,b 的中点是12，()1,2014c ∈，由此得++a b c 的取值范围. 【题文】（文）已知函数m x x e x f x-+-=)1()(2，若,,a b c R ∃∈，且a b c <<，使得0)()()(===c f b f a f .则实数m 的取值范围是 ( )A ．)1,(-∞ B. ()31,e C ． )3,1(eD.)()1,(3∞+-∞e 【知识点】函数零点的意义. B9【答案解析】C 解析：根据题意得：函数f(x)有3个零点，即直线y=m 与函数()2(1)x g x e x x =-+有3个不同交点，因为()2()0x g x e x x '=+=得x=0或-1,可得函数()g x 有极大值()31g e -=，极小值()01g =，所以实数m 的取值范围是)3,1(e，故选 C.【思路点拨】把命题转化为：直线y=m 与函数()2(1)xg x e x x =-+有3个不同交点，再通过分析函数g(x)图像的单调性、极值性，得实数m 的取值范围. 第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分.）【题文】13.（理）11(2)1x dx x ++ò=_______________________. 【知识点】定积分；微积分基本定理. B13 【答案解析】1ln 2+ 解析：11(2)1x dx x ++ò()210[ln 1]|ln 21x x =++=+.【思路点拨】利用微积分基本定理求解.【题文】（文）已知直线21=+y x 与曲线3y x ax b =++相切于点(1,3)，则实数b 的值为______.【知识点】导数的几何意义. B11【答案解析】3 解析：因为函数3y x ax b =++的导函数为23y x a '=+，所以此函数在点(1,3)切线的斜率为3+a ，所以3231a a b +=⎧⎨=++⎩解得13a b =-⎧⎨=⎩. 【思路点拨】根据导数的几何意义求解.【题文】14. 若将函数sin 2y x =的图象向右平移()0ϕϕ>个单位，得到的图象关于直线6x π=对称，则ϕ的最小值为_________.【知识点】平移变换. C4【答案解析】512π解析：将函数sin 2y x =的图象向右平移ϕ个单位,得sin 2()y x ϕ=-，由这个函数图象关于直线6x π=对称得，2(),62212k k k Z ππππϕπϕ-=+⇒=--∈，因为0ϕ>所以当k=-1时，ϕ有最小值512π.【思路点拨】根据题意得平移后的函数为sin 2()y x ϕ=-，此函数图象关于直线6x π=对称得，2(),62212k k k Z ππππϕπϕ-=+⇒=--∈，再由0ϕ>得ϕ的最小值. 【题文】15．已知tan 4α=，则21cos 24sin sin 2++ααα的值为 .【知识点】三角函数式的求值. C7【答案解析】334解析：因为tan 4α=，所以21cos 24sin sin 2++ααα22222cos 4sin 12tan 124332sin cos tan 44αααααα+++⨯====.【思路点拨】利用二倍角公式，同角三角函数关系，把所求化为关于tan α的式子即可. 【题文】16．以下命题：①若⋅=⋅a b a b ,则//a b ；②向量(1,1)a =-在(3,4)b =方向上的投影为15； ③若ABC ∆中, 5,8,7a b c ===,则BC ×20=CA ； ④若非零向量a ,b 满足+=a b b ,则22>+b a b . 所有真命题的序号是______________. 【知识点】向量的运算. F1【答案解析】①②④ 解析：因为⋅=⋅a b a b ，所以cos ,1a b =±，或者,a b 中至少有一个零向量，所以//a b ，故①为真命题；因为(1,1)a =-，(3,4)b =，所以cos ,52a b a b a b⋅==⋅，所以向量(1,1)a =-在(3,4)b =方向上的投影为1cos ,25a ab =⨯=，故②为真命题；若ABC ∆中, 5,8,7a b c ===,则 ()cos 40cos BC CA BC CA C C π⋅=⋅-=-=-20，故③为假命题；因为+=a b b ,所以220a a b +⋅=，所以22222240b a b a a b a -+=--⋅=>，故④为真命题.所以所有真命题的序号是①②④.【思路点拨】逐一分析各命题的正误即可.三、解答题（本大题共5小题，每小题12分,共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）【题文】17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且2,60c C ︒==. (Ⅰ)求sin sin a bA B++的值；（Ⅱ）若a b ab +=，求ABC ∆的面积ABC S ∆.【知识点】正弦定理；余弦定理. C8【答案解析】(Ⅰ)3；（Ⅱ）. 解析：(Ⅰ)由正弦定理可得：2sin sin sin sin 60a b c A B C =====︒，所以sin sin a b A B +==+. …………………6分（Ⅱ）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即2224()3a b ab a b ab =+-=+-，又a b ab +=，所以2()340ab ab --=，解得4ab =或1ab =-（舍去），所以11sin 422ABC S ab C ∆==⨯= …………………12分【思路点拨】(Ⅰ)把正弦定理代入所求得结论；（Ⅱ）由余弦定理及已知以及求得ab 值，代入面积公式求ABC ∆的面积. 【题文】18. （本小题满分12分）已知集合}2|1||{<-=x x A ，()()()4{|0}12x x B x x x -=≤-- ，}012|{2<-+=mx x x C ,m R ∈.（Ⅰ）求,A B A B ⋂⋃；（Ⅱ）若()C A B ⊆⋃，求m 的取值范围．【知识点】不等式的解法；集合运算. E2 E3 E4 A1 【答案解析】（Ⅰ）A B [0,1)(2,3),⋂=⋃A B (1,4]?-；（Ⅱ）3114m -≤≤. 解析：（Ⅰ）A (1,3)=-，B [0,1)(2,4]=?，∴A B [0,1)(2,3),⋂=⋃ A B(1,4]?-. …………………6分（Ⅱ）因为2C (1,4]2mx 10?\+-=x 方程小根大于或等于-1，大根小于或等于4，令()221f x x mx =+-，则f (1)1m 031f (4)4m 310,m 1.4m 144ìïïï-=-?ïïïï=+?＃íïïïïï-<-<ïïïî解之得 …………………12分【思路点拨】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法，一元高次不等式的解法，化简集合A 、B, 再根据交集、并集的意义求得结论；（Ⅱ）因为()01f =-，所以集合C 不是空集，要使 ()C A B ⊆⋃则22mx 10x +-=方程的两根在区间[]-1,4内，由此得关于m 的不等式组求解.【题文】19. （本小题满分12分）已知函数1cos 4cos sin 34)(2+-=x x x x f ．（Ⅰ）求函数()f x 在]2,0[π上的值域；（Ⅱ）若对于任意的x R ∈，不等式0()()f x f x ≤恒成立，求0sin(2)3x π-．【知识点】二倍角公式；两角和与差的三角函数；sin()y A x ωϕ=+的性质；不等式恒成立问题. C4 C5 C6 E1 【答案解析】(Ⅰ)[－3，3]；解析：(Ⅰ)1)2cos 1(22sin 321cos 4cos sin 34)(2++-=+-=x x x x x x f1)62sin(4--=πx ，…………………3分∵20π≤≤x ，∴65626πππ≤-≤-x ，∴1)62sin(21≤-≤-πx ， ∴3)(3≤≤-x f ，即函数)(x f 在]2,0[π上的值域是[－3，3] ．…………6分（Ⅱ）∵对于任意的x R ∈，不等式0()()f x f x ≤恒成立， ∴)(0x f 是)(x f 的最大值，∴由Z k k x ∈+=-,22620πππ，解得Z k k x ∈+=,32220ππ∴233sin )3322sin()32sin(0==-+=-πππππk x ．……12分【思路点拨】(Ⅰ)利用二倍角公式，两角和与差的三角函数，把已知函数化为：()4sin(2)16f x x π=--,再由x 范围求函数()f x 值域；（Ⅱ）根据题意知)(0x f 是)(x f 的最大值，由此得关于0x 方程Z k k x ∈+=,32220ππ，所以233sin )3322sin()32sin(0==-+=-πππππk x .【题文】20．（本小题满分12分）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为n S ，且4228S S =+．（Ⅰ）求公差d 的值；（Ⅱ）若11a =，n T 是数列11{}n n a a +的前n 项和，不等式21(5)18n T m m ≥-对所有的*n N ∈恒成立,求正整数m 的最大值.【知识点】等差数列及其前n 项和；裂项求和法；不等式恒成立问题. D2 D4 E1【答案解析】（Ⅰ）2=d ；（Ⅱ）6. 解析：（Ⅰ）∵4228S S =+，即11462(2)8+=++a d a d ，化简得：48=d ，解得2=d ． ………………4分（Ⅱ）由11,2,21===-得n a d a n ， ∴11n n a a +=1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+． …………………6分 ∴=n T 12233411111n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+=11111111(1)2335572121-+-+-+⋅⋅⋅+--+n n =11(1)221n -+≥13， ……………………8分又∵ 不等式≥n T 21(5)18m m -对所有的*n N ∈恒成立∴13≥21(5)18m m -，化简得：2560--≤m m ，解得：16-≤≤m ．∴正整数m 的最大值为6．……12分【思路点拨】（Ⅰ）利用等差数列的通项公式、前n 项和公式求解；（Ⅱ）利用裂项求和法求得111221n T n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，再用不等式恒成立的条件得关于m 的不等式，解得m 的最大值. 【题文】21．（本小题满分12分）已知函数()ln f x ax x =+，函数()xg x e =，其中e 为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若(0,)x ∃∈+∞，使得不等式()g x<m 的取值范围；（Ⅲ）当0a =时，对于(0,)x ∀∈+∞，求证：()()2f x g x <-．【知识点】导数的应用. B12【答案解析】（Ⅰ）当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上为增函数.当0a <时，()f x 在1(0,)-a上为增函数，在1(,)-+∞a上为减函数；(Ⅱ) 3m <； (Ⅲ) 证明：见解析. 解析：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x a x'=+(0)x >．①当0a ≥时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上为增函数.②当0a <时，若1(0,)x a ∈-，()0f x '>,()f x ∴在1(0,)x a∈-上为增函数；若1(,)x a ∈-+∞，()0f x '<,()f x ∴在1(,)x a∈-+∞上为减函数. 综上所述，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上为增函数. 当0a <时，()f x 在1(0,)-a 上为增函数，在1(,)-+∞a上为减函数 . ………4分 (Ⅱ)(0,)x ∃∈+∞，使得不等式()g x<成立，∴(0,)x ∃∈+∞，使得3m x e <-+成立，令()3h x x e =-，则()1xh x e '=-+，当(0,)x ∈+∞时，1x e >≥=1x e ∴>，()0h x '∴<，从而()h x 在(0,)+∞上为减函数，()(0)3h x h ∴<=3m ∴< ………8分(Ⅲ)当0a =时，()ln f x x =，令()()()2x g x f x ϕ=--，则()ln 2xx e x ϕ=--，∴1()x x e xϕ'=-，且()x ϕ'在(0,)+∞上为增函数. 设()0x ϕ'=的根为x t =，则1t e t=，即t t e -=.当(0,)x t ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ在(0,)t 上为减函数；当(,)x t ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ在(,)t +∞上为增函数，min ()()ln 2ln 22t t t t x t e t e e e t ϕϕ-∴==--=--=+-(1)10e ϕ'=->，1()202ϕ'=<，1(,1)2t ∴∈由于()2t t e t ϕ=+-在1(,1)2t ∈上为增函数，12min 11()()222022tx t e t e ϕϕ∴==+->+->+-=()()2f x g x ∴<-. …………………12分【思路点拨】（Ⅰ）通过讨论a 的取值条件得：定义域上导函数大于0的x 范围是函数的增区间，定义域上导函数小于0的x 范围是函数的减区间；(Ⅱ)命题转化为：(0,)x ∃∈+∞，使得3m x e<-+成立，所以只需求函数()3h x x e =-的最大值n ，利用导数求出此最大值，则m<n ； (Ⅲ)即证：()0,x ∈+∞时，ln 20xx e -+<，利用导数证明此结论. 四、选考题（本大题10分.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.）【题文】22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知,,,A B C D 为圆O 上的四点，直线DE 为圆O 的切线，//AC DE ，AC 与BD 相交于H 点.(Ⅰ)求证：BD 平分ABC ∠.(Ⅱ)若4,6,8,AB AD BD ===求AH 的长.【知识点】平面几何问题. N1【答案解析】(Ⅰ)证明：见解析；(Ⅱ)3. 解析：(Ⅰ)ACD CDE AC DE ∠=∠∴,// 又DE 切圆O 于点D ，CBD CDE ∠=∠∴CBD ACD ∠=∠∴，而ABD ACD ∠=∠（同弧）ABD CBD ∠=∠∴，所以，BD 平分ABC Ð.----…5分 (Ⅱ)由（1）知ABD CBD ∠=∠，又CAD CBD ∠=∠ ，CAD ABD ∠=∠∴ 又ADH ∠ 为公共角，所以DBA ∆与DAH ∆相似.BDADAB AH =∴，因为AB 4,AD 6,BD 8,===所以AH 3\= ………10分【思路点拨】(Ⅰ)利用平行线的性质、弦切角与其所夹弧所对圆周角的关系证得结论；(Ⅱ)利用DBA ∆与DAH ∆相似求得结果.【题文】23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C ：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），2C ：8cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.(Ⅰ)化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (Ⅱ)若1C 上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线332,:2,=+⎧⎨=-+⎩x t C y t （t 为参数）距离的最小值. 【知识点】参数方程与普通方程的互化；参数方程的应用. N3【答案解析】（Ⅰ）221:(4)(3)1C x y ++-=，S 是圆心是(4,3)-，半径是1的圆.222:1649x y C +=，是中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.(Ⅱ. 解析：（Ⅰ）222212:(4)(3)1,:1649x y C x y C ++-=+=， 1C 为圆心是(4,3)-，半径是1的圆.2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆. …5分（Ⅱ）当2t π=时，(4,4)-P .设(8cos ,3sin )Q θθ，则3(24cos ,2sin )2M θθ-++， 3C 为直线270x y --=，∴M 到3C 的距离|4cos 3sin 13|d θθ=-- 43cos ,sin 55∴==-θθ时，d. .… ………10分【思路点拨】（Ⅰ）消去参数方程中的参数得普通方程；(Ⅱ)求得P 点坐标，设出点Q 的参数坐标，利用中点坐标公式得点M 坐标，把直线332,:2,=+⎧⎨=-+⎩x t C y t 化为普通方程，再用点到直线的距离公式求解.【题文】24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知,,,+∈a b c R 且1++=a b c .证明：（Ⅰ）22213++≥a b c ；（Ⅱ）2221++≥a b c b c a.【知识点】综合法证明不等式. N4【答案解析】（Ⅰ）证明：见解析； (Ⅱ)证明：见解析. 解析：（Ⅰ）222,+≥a b ab 222,+≥b c bc 222,+≥c a ac222222222,∴++≥++a b c ab bc ac 222222333222∴++≥+++++a b c a b c ab bc ac 2()1=++=a b c22213∴++≥a b c . ………5分 2222,2,2a b c b a c b a c b c a +≥+≥+≥，2222()a b c a b c a b c b c a ∴+++++≥++， 222a b c a b c b c a ∴++≥++，2221a b c b c a∴++≥.-----------10分【思路点拨】（Ⅰ）由基础不等式222,a b ab +≥222,+≥b c bc 222,+≥c a ac 证明结论；(Ⅱ) 由基本不等式2222,2,2a b c b a c b a c b c a+≥+≥+≥证明结论.。

甘肃省嘉峪关一中2015届高三数学三模试卷文(含解析)

2015年某某省嘉峪关一中高考数学三模试卷（文科）一、选择题（5*12=60）1．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A． a＞b+1 B． a＞b﹣1 C． a2＞b2 D． a3＞b3【考点】：充要条件．【专题】：简易逻辑．【分析】：利用不等式的性质得到a＞b+1⇒a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b推不出a＞b+1；利用条件的定义判断出选项．【解析】：解：a＞b+1⇒a＞b；反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．故选：A．【点评】：本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法．2．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a5=8，S3=6，则a9=（） A． 8 B． 12 C． 16 D． 24【考点】：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由给出的等差数列的第5项和前3项和代入通项公式及前n项和公式求等差数列的首项和公差，然后直接运用通项公式求a9．【解析】：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则，解得：a1=0，d=2，所以a9=a1+8d=0+8×2=16．故选C．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，考查了计算能力，此题属基础题．3．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（） A．﹣2 B． 0 C． 1 D． 2【考点】：函数的值．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：利用奇函数的性质，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案．【解析】：解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，故选A．【点评】：本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题．4．（5分）已知向量、的夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=（）A． 3 B． 2 C． D． 1【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：计算题；平面向量及应用．【分析】：将|2﹣|=平方，然后将夹角与||=1代入，得到||的方程，解方程可得．【解析】：解：因为、的夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，所以42﹣4•+2=10，即||2﹣2||﹣6=0，解得||=3或||=﹣（舍），故选A．【点评】：本题解题的关键是将模转化为数量积，从而得到所求向量模的方程，利用到了方程的思想．5．（5分）设a，b为两条直线，α，β为两个平面，则下列结论成立的是（） A．若a⊂α，b⊂β，且a∥b，则α∥β B．若a⊂α，b⊂β，且a⊥b，则α⊥β C．若a∥α，b⊂α，则a∥b D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b【考点】：平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】：证明题．【分析】： A选项可由两个平面中的两条直线平行不能得出两平面平行；B选项可由两个平面中的两条直线垂直不能得得出两平面垂直；C选项可由一个直线与一个平面平行，则与这个平面中的直线的位置关系是平行或异面D选项可由垂直于同一平面的两条直线平行【解析】：解：A选项不正确，两个平面中的两条直线平行不能得出两平面平行；B选项不正确，两个平面中的两条直线垂直不能得得出两平面垂直；C选项不正确，一个直线与一个平面平行，则与这个平面中的直线的位置关系是平行或异面；D选项正确，垂直于同一平面的两条直线平行；故选D【点评】：本题考查平面与平面之间的位置关系，主要考查空间想像能力以及熟练运用线面间的相关理论进行判断的能力．6．（5分）已知a≠0直线ax+（b+2）y+4=0与直线ax+（b﹣2）y﹣3=0互相垂直，则ab的最大值等于（）A． 0 B． 2 C． 4 D．【考点】：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】：直线与圆．【分析】：当b=2 或b=﹣2时，经过检验不满足条件．当b≠±2时，根据两直线方程求出它们的斜率，根据斜率之积等于﹣1求得ab的最大值．【解析】：解：若b=2，两直线方程为y=﹣x﹣1和x=，此时两直线相交但不垂直．若b=﹣2，两直线方程为x=﹣和y=x﹣，此时两直线相交但不垂直．所以当b≠±2时，两直线方程为 y=﹣﹣和y=﹣，此时两直线的斜率分别为﹣、﹣，由﹣（﹣）=﹣1，求得 a2+b2=4．因为 a2+b2=4≥2ab，所以ab≤2，即ab的最大值等2，当且仅当a=b=时取等号．故选B．【点评】：本题主要考查两条直线垂直的性质，基本不等式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．7．（5分）若P（2，1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线的方程为（） A． x+y﹣1=0 B． 2x﹣y﹣5=0 C． 2x+y=0 D． x+y﹣3=0【考点】：直线的一般式方程．【专题】：计算题．【分析】：利用圆心和弦的中点的连线和弦所在的直线垂直，两直线垂直，斜率之积等于﹣1，求出直线AB的斜率，用点斜式求得直线AB的方程．【解析】：解：圆（x﹣1）2+y2=25的圆心为（1，0），直线AB的斜率等于=﹣1，由点斜式得到直线AB的方程为y﹣1=﹣1（x﹣2），即x+y﹣3=0，故选 D．【点评】：本题考查用点斜式求直线方程的方法，圆心和弦的中点的连线和弦所在的直线垂直，两直线垂直，斜率之积等于﹣1．8．（5分）已知向量=（m，1﹣n），=（1，2），其中m＞0，n＞0，若∥，则+的最小值是（）A． 2 B． 3+2 C． 4 D． 3+【考点】：基本不等式；平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：根据向量平行，建立m，n的关系，利用基本不等式的性质即可得到结论．【解析】：解：∵向量=（m，1﹣n），=（1，2），∴若∥，则2m﹣（1﹣n）=0，即2m+n=1，∴+=（+）（2m+n）=3+，当且仅当，即n=，即m=1﹣，n=时取等号．故最小值为3+2，故选：B．【点评】：本题主要考查基本不等式的应用，利用向量平行的坐标公式求出m，n的关系是解决本题的关键．9．（5分）过点P（﹣，﹣1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值X 围是（）A．（0，] B．（0，] C． D．【考点】：直线与圆的位置关系．【分析】：用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤1，由此求得斜率k的X围，可得倾斜角的X围．【解析】：解：由题意可得点P（﹣，﹣1）在圆x2+y2=1的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k，则直线方程为 y+1=k（x+），即 kx﹣y+k﹣1=0．根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤1，即 3k2﹣2k+1≤k2+1，解得0≤k≤，故直线l的倾斜角的取值X围是，故选：D．【点评】：本题主要考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．10．（5分）将函数y=cos2x+1的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为（）A． y=sin2x B． y=sin2x+2 C． y=cos2x D． y=cos（2x﹣）【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：首先把函数解析式中的x变化为，利用诱导公式整理后把函数式右边减1即可得到答案．【解析】：解：把函数y=cos2x+1的图象向右平移个单位，得=sin2x+1，再向下平移1个单位，得y=sin2x+1﹣1=sin2x．∴将函数y=cos2x+1的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为：y=sin2x．故选：A．【点评】：本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减，是基础题．11．（5分）已知函数f（x）=log a（2x+b﹣1）（a＞0，且a≠1）在R上单调递增，且2a+b≤4，则的取值X围为（）A． B． C． D．【考点】：复合函数的单调性；基本不等式．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由条件可得a＞1，且b≥1．再根据2a+b≤4，可得1≤b＜2，1＜a≤，故有≤＜1，∴≤＜2，从而求得的取值X围．【解析】：解：已知函数f（x）=log a（2x+b﹣1）（a＞0，且a≠1）在R上单调递增，而函数t=2x+b﹣1是R上的增函数，故有a＞1．再根据t＞0恒成立可得b≥1．又2a+b≤4，∴1≤b＜2，∴2a≤3，∴1＜a≤，≤＜1，∴≤＜2，则的取值X围为2＜m2，则m的取值X围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】：正弦函数的定义域和值域．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，再由题意可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，可得m2 ＞m2+3，由此求得m的取值X围．【解析】：解：由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，即 x0=m．再由x02+2＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．求得 m＞2，或m＜﹣2，故选：C．【点评】：本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．二、填空题（4*5=20）13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题．【分析】：利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积．【解析】：解：几何体为圆锥被轴截面分割出的半个圆锥体，底面是半径为1的半圆，高为2．所以体积．故答案为：．【点评】：本题考查几何体与三视图的对应关系，几何体体积的求法，考查空间想象能力与计算能力．14．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边过直线x=1与曲线y=2x的交点，则cos2θ=﹣．【考点】：指数函数的图像与性质．【专题】：函数的性质及应用；三角函数的求值．【分析】：求出直线x=1与曲线y=2x的交点，进而求出sinθ的值，代入倍角余弦公式，可得答案．【解析】：解：∵直线x=1与曲线y=2x的交点为（1，2）故x=1，y=2则r==故sinθ===∴cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣=﹣故答案为：﹣【点评】：本题考查的知识点是函数图象与交点，三角函数的定义，倍角公式是指数函数与三角函数的综合应用，难度不大，为基础题．15．（5分）已知矩形ABCD的边AB=a，BC=3，PA⊥平面ABCD，若BC边上有且只有一点M，使PM⊥DM，则a的值为 1.5 ．【考点】：直线与平面垂直的判定．【分析】：连结AM，根据条件，要使PM⊥MD，则DM⊥面PAM，即DM⊥AM即可．然后利用圆的性质，只要保证以AB为直径的圆和BC相切即可．【解析】：解：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DM，若BC边上存在点M，使PM⊥MD，则DM⊥面PAM，即DM⊥AM，∴以AD为直径的圆和BC相交即可．∵AD=BC=3，∴圆的半径为3，要使线段BC和半径为3的圆相切，则AB=1.5，即a=1.5，∴a的值是1.5．故答案为：1.5．【点评】：本题主要考查线面垂直的性质的应用，将线面垂直转化为直线垂直进而利用圆的性质是解决本题的关键．16．（5分）已知直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于不同的两点A、B，O是坐标原点，，那么实数m的取值X围是．【考点】：直线与圆相交的性质．【专题】：计算题．【分析】：根据直线与圆有两个交点可推断出圆心到直线的距离小于或等于半径，根据，利用平行四边形法则推断出和的夹角为锐角，利用直线的斜率可推断出其与x轴的夹角，看当和的夹角为直角时求得原点到直线的距离，进而可推断出d＞1，最后综合可得dX围，然后过原点作一直线与x+y+m=0垂直，两直线交点可得，进而求得d和m的关系，进而根据d的X围求得m的X围．【解析】：解：∵直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于相异两点A、B，∴O点到直线x+y+m=0的距离d＜，又∵，由平行四边形可知，夹角为钝角的邻边所对的对角线比夹角为锐角的邻边所对的对角线短，∴和的夹角为锐角．又∵直线x+y+m=0的斜率为﹣1，即直线与x的负半轴的夹角为45度，当和的夹角为直角时，直线与圆交于（﹣，0）、（0，﹣），此时原点与直线的距离为1，故d＞1综合可知1≤d＜，过原点作一直线与x+y+m=0垂直，即y=x，两直线交点为（﹣，﹣），则d=|m|综上有：﹣2＜m≤﹣或≤m＜2故答案为：【点评】：本题主要考查了直线与圆相交的性质，向量的几何意义等．考查了学生分析问题和解决问题的能力．三、解答题（5*12+1*10=70分）17．（12分）已知函数f（x）=的定义域为A，函数g（x）=（﹣1≤x≤0）的值域为B．（1）求A∩B；（2）若C={x|a≤x≤2a﹣1}且C⊆B，求a的取值X围．【考点】：交集及其运算；集合关系中的参数取值问题．【专题】：计算题．【分析】：（1）根据根式有意义的条件及害幂函数的性质可得集合A，B，再进行集合的运算即可（2）先根据集合C，结合C⊆B，得出区间端点的不等关系，解不等式得到实数a的取值X围．【解析】：解：（1）由题意得：A=x|x≥2（2分），B=y|1≤y≤2，A∩B={2}（2）由（1）知：【点评】：本题属于以函数的定义域，值域的求解为平台，进而求集合的交集的运算的基础题，也是高考常会考的基础的题型．特别注意利用集合间的关系求参数的取值X围的方法是借助于区间端点间的大小关系列出不等式组．18．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，△ABC的面积是30，cosA=．（1）求；（2）若c﹣b=1，求a的值．【考点】：平面向量数量积的运算；余弦定理．【专题】：平面向量及应用．【分析】：（1）由同角三角函数的基本关系可得sinA=，结合面积可得bc=156，由数量积的定义可得；（2）由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=（c﹣b）2+2bc（1﹣cosA），代值计算可得．【解析】：解：（1）在△ABC中，∵cosA=，∴sinA==，∴△ABC的面积S=bcsinA=bc=30，解得bc=156，∴=bccosA=156×=144，（2）由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=（c﹣b）2+2bc（1﹣cosA）=1+2×156（1﹣）=25．∴a=5．【点评】：本题考查平面向量的数量积，涉及解三角形，属基础题．19．（12分）公差不为零的等差数列{a n}中，a3=7，又a2，a4，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】：等比数列的性质；等差数列的通项公式；等比数列的前n项和．【专题】：综合题．【分析】：（1）设数列的公差为d，根据a3=7，又a2，a4，a9成等比数列，可得（7+d）2=（7﹣d）（7+6d），从而可得d=3，进而可求数列{a n}的通项公式；（2）先确定数列{b n}是等比数列，进而可求数列{b n}的前n项和S n．【解析】：解：（1）设数列的公差为d，则∵a3=7，又a2，a4，a9成等比数列．∴（7+d）2=（7﹣d）（7+6d）∴d2=3d∵d≠0∴d=3∴a n=7+（n﹣3）×3=3n﹣2即a n=3n﹣2；（2）∵，∴∴∴数列{b n}是等比数列，∵∴数列{b n}的前n项和S n=．【点评】：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查等差数列的通项，等比数列的求和公式，属于中档题．20．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=．（1）证明：BC1∥平面A1CD；（2）求异面直线BC1和A1D所成角的大小；（3）当AB=时，求三棱锥C﹣A1DE的体积．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（1）连接AC1与A1C相交于点F，连接DF，利用矩形的性质、三角形中位线定理可得：DF∥BC1，再利用线面平行的判定定理即可证明．（2）由（1）可得∠A1DF或其补角为异面直线BC1和A1D所成角．不妨取AB=2，在△A1DF中，由余弦定理即可得出．（3）利用面面垂直的性质定理可得：CD⊥平面ABB1A1，利用=﹣S△BDE﹣﹣可得，再利用三棱锥C﹣A1DE的体积V=即可得出．【解析】：（1）证明：连接AC1与A1C相交于点F，连接DF，由矩形ACC1A1可得点F是AC1的中点，又D是AB的中点，∴DF∥BC1，∵BC1⊄平面A1CD，DF⊂平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD；（2）解：由（1）可得∠A1DF或其补角为异面直线BC1和A1D所成角．不妨取AB=2，═==1，A1D===，=1．在△A1DF中，由余弦定理可得：cos∠A1DF==，∠A1DF∈（0，π），∴∠A1DF=，∴异面直线BC1和A1D所成角的大小；（3）解：∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，∵平面ABB1A1∩平面ABC=AB，∴CD⊥平面ABB1A1，CD==．=﹣S△BDE﹣﹣=﹣﹣﹣=，∴三棱锥C﹣A1DE的体积V===1．【点评】：本题考查了直三棱柱的性质、矩形的性质、三角形中位线定理、线面平行的判定定理、异面直线所成角、余弦定理、勾股定理、线面面面垂直的性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）对于函数f（x）=x2﹣lnx．（1）求其单调区间；（2）点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，求点P到直线y=x﹣2的最小距离；（3）若g（x）=8x﹣7lnx﹣k，f（x）与g（x）两个函数图象有三个交点，求k的取值X围．【考点】：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】：（1）根据题意得f（x）的定义域为x＞0，通过f′（x）即得单调区间；（2）由题，令f′（x）==1，解得x=1或（舍），此时y=1﹣ln1=1，即曲线上过P （1，1）的切线平行于直线y=x﹣2时，有最小距离d==；（3）令f（x）=g（x），记G（x）=﹣x2+8x﹣6lnx，讨论G′（x）即得结论．【解析】：解：（1）根据题意，得f（x）的定义域为x＞0，所以f′（x）=2x﹣=，故当x∈（0，）时f′（x）＜0，即在此区间内单调减；当x∈（，+∞）时f′（x）＞0，即在此区间里单调增；（2）由题，知直线y=x﹣2的斜率为k=1，令f′（x）==1，得2x2﹣x﹣1=（2x+1）（x﹣1）=0，解得x=1或（舍），此时y=1﹣ln1=1，即曲线上过P（1，1）的切线平行于直线y=x﹣2时，那么这一点到直线的距离最小，此最小距离d==；（3）令f（x）=g（x），即x2﹣lnx=8x﹣7lnx﹣k，得k=﹣x2+8x﹣6lnx，记G（x）=﹣x2+8x﹣6lnx，令G′（x）===0，解得，x1=1，x2=3，不难判断x1=1是极小点，x2=3是极大点，故G min（x）=G（1）=﹣1+8=7，G max（x）=G（3）=﹣9+24﹣6ln3=15﹣6ln3，又当x→0时，G（x）→+∞，当x→+∞时，G（x）→﹣∞，故要使f（x）与g（x）两个函数的图象有三个交点，必须有：7＜k＜15﹣6ln3．【点评】：本题考查函数的单调性，点到直线的距离，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2015•嘉峪关校级三模）如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，且与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点，（1）证明A、P、O、M四点共圆；（2）求∠OAM+∠APM的大小．【考点】：弦切角．【专题】：选作题；矩阵和变换．【分析】：（1）要证明四点共圆，可根据圆内接四边形判定定理：四边形对角互补，而由AP 是⊙O的切线，P为切点，易得∠APO=90°，故解答这题的关键是证明，∠AMO=90°，根据垂径定理不难得到结论．（2）由（1）的结论可知，∠OPM+∠APM=90°，只要能说明∠OPM=∠OAM即可得到结论．【解析】：（1）证明：连结OP，OM，∵AP与⊙O相切于点P，∴OP⊥AP，∵M是⊙O的弦BC的中点，∴OM⊥BC，∴∠OPA+∠OMA=180°，∵圆心O在∠PAC的内部，∴四边形APOM的对角互补，∴A、P、O、M四点共圆…（5分）（2）解：由（1）得A、P、O、M四点共圆，∴∠OAM=∠OPM，由（1）得OP⊥AP，∵圆心O在∠PAC的内部，∴∠OPM+∠APM=90°，∴∠OAM+∠APM=90°…（10分）【点评】：本题是考查同学们推理能力、逻辑思维能力的好资料，题目以证明题为主，特别是一些定理的证明和用多个定理证明一个问题的题目，我们注意熟练掌握：1．射影定理的内容及其证明； 2．圆周角与弦切角定理的内容及其证明；3．圆幂定理的内容及其证明；4．圆内接四边形的性质与判定．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程．（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y），求x+y 的最小值．【考点】：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：（1）由直线L的参数方程为消去参数t得直线L的直角坐标方程．由公式ρ2=x2+y2得曲线C的直角坐标方程．（2）曲线C经过伸缩变换变为代入直角坐标方程即可得到曲线C′的方程，联立方程组，消去x，令△=0，解之即可．【解析】：解：（1）由直线L的参数方程消去参数t得直线L的直角坐标方程为：x﹣y+2﹣=0，由公式ρ2=x2+y2得曲线C的直角坐标方程为x2+y2=1；（2）曲线C经过伸缩变换变为，将其代入直角坐标方程得到曲线C′的方程为，即，记z=x+y，联立方程组，消去x，得，显然，解得z=，故x+y得最小值为．【点评】：本题考查了参数方程极坐标化为普通方程、伸缩变换、直线与椭圆的位置关系，考查了计算能力，属于基础题．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值X围．【考点】：绝对值不等式的解法．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解析】：解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即 6﹣a+＜5，即 a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值X围（，）．【点评】：本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

数学_2015年甘肃省某校高考数学五模试卷(理科)(含答案)

2015年甘肃省某校高考数学五模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合P ={x|x ≥0}，Q ={x|x+1x−2≥0}，则P ∩Q =( )A (−∞, 2)B (−∞, −1)C [0, +∞)D (2, +∞)2. 复数z 满足(1+i)z =2i ，则z 在复平面上对应的点位于( ) A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限3. 公比不为1等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且−3a 1，−a 2，a 3成等差数列，若a 1=1，则S 4=( )A −20B 0C 7D 404. 已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m ，n ，下列四个命题： ①若m // n ，m ⊥α，则n ⊥α； ②若m ⊥α，m ⊥β，则α // β；③若m ⊥α，m // n ，n ⊂β，则α⊥β； ④若m // α，α∩β=n ，则m // n ．其中正确命题的个数是（） A 0个 B 1个 C 2个 D 3个5. 已知a =∫(π20sinx +cosx)dx ，在(1+ax)6(1+y)4的展开式中，xy 2项的系数为（） A 45 B 72 C 60 D 1206. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A 323 B 64 C32√33 D 6437. 如图给出的是计算12+14+16+⋯+12014的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（）A i ≤2013B i ≤2015C i ≤2017D i ≤2019 8. 设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则（）A b <a <cB c <a <bC c <b <aD a <c <b9. 过平面区域{x −y +2≥0y +2≥0x +y +2≤0 内一点P 作圆O:x 2+y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，记∠APB ＝α，则当α最小时cosα的值为（） A √9510 B 1920 C 910 D 1210. 设三次函数f(x)=ax 3+bx 2+cx +1的导函数f′(x)=3ax(x −1)，且a >2，则函数f(x)的零点个数为（） A 0 B 1 C 2 D 311. 已知P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 是圆(x −3)2+(y −1)2＝1上的一个动点，N(1, 0)是一个定点，则|PQ|+|PN|的最小值为（） A 3 B 4 C 5 D √2+1 12. 已知函数f(x)={sin(π2x)−1，x <0log a x(a >0，且a ≠1)，x >0的图象上关于y 轴对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（） A (0,√55) B (√55，1) C (√33，1) D (0,√33)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 在直角三角形ABC 中，∠C =π2，AB =2，AC =1，若AD →=32AB →，则CD →⋅CB →=________．14. 连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a ，b ，则函数f(x)=ax 2−bx 在x =1处取得最值的概率是________．15. 若cos(π3−α)=14，则cos(π3+2α)=________． 16.设等差数列{a n }满足a 5=11，a 12=−3，{a n }的前n 项和S n 的最大值为M ，则lg M =________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且bsinA =√3acosB ． (1)求角B 的大小；(2)若b =3，sinC =2sinA ，求a ，c 的值．18. 如图，直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，侧面是正方形，∠DAB ＝60∘，E 是棱CB 的延长线上一点，经过点A 、C 1、E 的平面交棱BB 1于点F ，B 1F ＝2BF ．（1）求证：平面AC1E⊥平面BCC1B1；（2）求二面角E−AC1−C的平面角的余弦值．19.某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．把符合条件的1000名志愿者按年龄分组：第1组[20, 25)、第2组[25, 30)、第3组[30, 35)、第4组[35, 40)、第5组[40, 45)，得到的频率分布直方图如图所示：(1)若从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3、4、5组各抽取多少名志愿者？(2)在(1)的条件下，该市决定在这12名志愿者中随机抽取3名志愿者介绍宣传经验求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率；(3)在(2)的条件下，若ξ表示抽出的3名志愿者中第3组的人数，求ξ的分布列和数学期望．20. 已知圆F1：(x+1)2+y2=r2与圆F2：(x−1)2+y2=(4−r)2(0<r<4)的公共点的轨迹为曲线E，且曲线E与y轴的正半轴相交于点M．若曲线E上相异两点A、B满足直线MA，MB的斜率之积为1．4（1）求E的方程；（2）证明直线AB恒过定点，并求定点的坐标；（3）求△ABM的面积的最大值．−mlnx21. 设函数f(x)=x−1x（1）若函数f(x)在定义域上为增函数，求m范围；（2）在（1）条件下，若函数ℎ(x)=x−lnx−1，∃x1，x2∈[1, e]使得f(x1)≥ℎ(x2)成立，e求m的范围．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】 22. 选修4−1：几何证明选讲如图所示，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过点O 的割线，PA ＝10，PB ＝5，∠BAC 的平分线与BC 和⊙O 分别交于点D 和E ． (Ⅰ)求证：AB AC=PA PC；(Ⅱ)求AD ⋅AE 的值．【选修4-4：坐标系与参数方程】23. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是{x =1+tcosαy =tsinα （t 是参数）(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|AB|=√14，求直线的倾斜角α的值．【选修4-5：不等式选讲】24. 已知a >0，b >0，且a 2+b 2=92，若a +b ≤m 恒成立，（1）求m 的最小值；（2）若2|x −1|+|x|≥a +b 对任意的a ，b 恒成立，求实数x 的取值范围．2015年甘肃省某校高考数学五模试卷（理科）答案1. D2. A3. A4. D5. B6. D7. B8. B9. C 10. D 11. A 12. A13. 9214. 11215. 7816. 217. 解：(1)由bsinA=√3acosB及正弦定理得：sinBsinA=√3sinAcosB，∵ A为三角形的内角，∴ sinA≠0，∴ sinB=√3cosB，即tanB=√3，又B为三角形的内角，0<B<π，∴ B=π3；(2)由sinC=2sinA及正弦定理得：c=2a①，∵ b=3，cosB=12，∴ 由余弦定理b2=a2+c2−2accosB得：9=a2+c2−ac②，联立①②解得：a=√3，c=2√3．18. 证明：设四棱柱ABCD−A1B1C1D1的棱长为a，∵ B1F＝2BF，△B1C1F∽△BEF，∴ BE=a2⋯由∠DAB＝60∘＝∠ABE，∠ABC＝120∘，得AE=√3a2，AC=√3a⋯∵ CE=3a2，∴ AE2+CE2＝AC2，AE⊥CE∵ ABCD−A1B1C1D1是直四棱柱，C1C⊥ABCD，又AE⊂ABCD，∴ C1C⊥AE，∵ CE∩CC1＝C，∴ AE⊥平面BCC1B1∵ AE⊂平面AC1E，∴ 平面AC1E⊥平面BCC1B1过C作CG⊥AC1于G，CH⊥C1F于H，连接GH由平面AC1E⊥平面BCC1B1，平面AC1E∩平面BCC1B1＝C1E，CH⊥平面AC1E∴ CH⊥AC1，又CG⊥AC1，CG∩CH＝C，∴ AC1⊥平面CGH，AC1⊥GH，∴ ∠CGH是二面角E−AC1−C的平面角在Rt△ACC1中，AC=√3a，CC1＝a，AC1＝2a，CG=√32a，在Rt△ECC1中，CE=32a，CC1＝a，EC1=√132a，CH=3√1313a，CG=√32a、CH=3√1313a，求得任何一个给，两个全对给GH=√CG2−CH2=√3926a，cos∠CGH=GHCG=√1313．∴ 二面角E −AC 1−C 的平面角的余弦值是√1313．19. 解：(1)由题意可知：第3组的人数为0.06×5×1000=300，第4组的人数为0.04×5×1000=200，第5组的人数为0.02×5×1000=100，第3、4、5组共600名志愿者，故由分层抽样的特点可知每组抽取的人数为：第3组12600×300=6，第4组12600×200=4，第5组12600×100=2，所以第3、4、5组分别抽取6人，4人，2人.(2)从12名志愿者中抽取3名共有C 123=220种可能，第4组至少有一位志愿者被抽中有C 123−C 83=164种可能，所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为P =164220=4155.(3)由题意知：ξ的可能取值为：0，1，2，3，且P(ξ=0)=C 60C 63C 123=20220，P(ξ=1)=C 61C 62C 123=90220，P(ξ=2)=C 62C 61C 123=90220，P(ξ=3)=C 63C 60C 123=20220，所以ξ的分布列为∴ ξ的期望Eξ=0×20220+1×90220+2×90220+3×20220=1.5.20. 解：（1）设⊙F 1，⊙F 2的公共点为Q ，由已知得，|F 1F 2|=2，|QF 1|=r ，|QF 2|=4−r ，故|QF 1|+|QF 2|=4>|F 1F 2|，因此曲线E 是长轴长2a =4，焦距2c =2的椭圆，且b 2=a 2−c 2=3，所以曲线E 的方程为x 24+y 23=1（2）由曲线E 的方程得，上顶点M(0,√3)，记A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由题意知，x 1≠0，x 2≠0．若直线AB 的斜率不存在，则直线AB 的方程为x =x 1，故y 1=−y 2，且y 12=y 22=3(1−x 124)，因此，k MA ⋅k MB =y 1−√3x 1⋅y 2−√3x 2=−y 12−3x 12=34，与已知不符，因此直线AB 的斜率存在设直线AB:y =kx +m ，代入椭圆E 的方程x 24+y 23=1，得(3+4k 2)x 2+8kmx +4(m 2−3)=0①因为直线AB 与曲线E 有公共点A ，B ，所以方程①有两个非零不等实根x 1，x 2 所以x 1+x 2=−8km3+4k 2，x 1⋅x 2=4(m 2−3)3+4k 2又k AM =y 1−√3x 1=kx 1+m−√3x 1，k MB =y 2−√3x 2=kx 2+m−√3x 2由k AM ⋅k BM =14得，4(kx 1+m −√3)(kx 2+m −√3)=x 1x 2，即(4k 2−1)x 1x 2+4k(m −√3)(x 1+x 2)+4(m −√3)2=0，所以4(m 2−3)(4k 2−1)+4k(m −√3)(−8km)+4(m −√3)2(3+4k 2)=0，化简得m 2−3√3m +6=0，故m =√3或m =2√3．结合x 1x 2≠0知m =2√3，即直线AB 恒过定点N(0，2√3)．（3）由△>0且m =2√3得k >32或k <−32又S △ABC =|S △ANM −S △BNM =12|MN|⋅|x 1−x 2||=√32√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√32√(−8km 3+4k 2)2−4⋅4(m 2−3)3+4k 2=6√4k 2−93+4k 2=√4k 2−9+12√4k 2−9≤√32当且仅当4k 2−9=12，即k =±√212时，△ABM 的面积最大，最大值为√3221. 解：函数f(x)=x −1x−mlnx(1)定义域上为(0, +∞)， f′(x)=1+1x2−m x=x 2−mx+1x 2，∵ 函数f(x)在定义域上为增函数，∴ f(x)的最大值=f(e)=e −1e −m ，ℎ(x)单调递增，即x +1x >m 在x >0时恒成立，根据对钩函数得出m <2，故m 的范围为：m <2．（2）函数ℎ(x)=x −lnx −1e ，∃x 1，x 2∈[1, e]使得f(x 1)≥ℎ(x 2)成，即f(x)的最大值≥ℎ(x)的最小值， ∵ f(x)的最大值=f(e)=e −1e −m ，ℎ′(x)=1−1x >0，x ∈[1, e]，∴ ℎ(x)单调递增，ℎ(x)的最小值为ℎ(1)=1−1e ， ∴ 可以转化为e −1e−m ≥1−1e，即m ≤e −1，m 的范围为：m ≤e −1． 22. ( I)∵ PA 为⊙O 的切线， ∴ ∠PAB ＝∠ACP ，又∠P 公用，∴ △PAB ∽△PCA ． ∴AB AC=PA PC．( II)∵ PA 为⊙O 的切线，PBC 是过点O 的割线， ∴ PA 2＝PB ⋅PC ．又∵ PA ＝10，PB ＝5，∴ PC ＝20，BC ＝15．由( I)知，AB AC=PA PC=12，∵ BC 是⊙O 的直径， ∴ ∠CAB ＝90∘．∴ AC 2+AB 2＝BC 2＝225， ∴ AC =6√5,AB =3√5 连接CE ，则∠ABC ＝∠E ，又∠CAE ＝∠EAB ， ∴ △ACE ∽△ADB ， ∴AB AE=AD AC∴ AD ⋅AE =AB ⋅AC =3√5×6√5=90．23. 解：(1)∵ ρcosθ＝x ，ρsinθ＝y ，ρ2＝x 2+y 2， ∴ 曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ可化为： ρ2＝4ρcosθ， ∴ x 2+y 2＝4x ， ∴ (x −2)2+y 2＝4．(2)将{x =1+tcosαy =tsinα 代入圆的方程(x −2)2+y 2＝4得：(tcosα−1)2+(tsinα)2＝4，化简得t 2−2tcosα−3＝0．设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，则{t 1+t 2=2cosαt 1t 2=−3，∴ |AB|＝|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√4cos 2α+12， ∵ |AB|=√14，∴ √4cos 2α+12=√14． ∴ cosα=±√22． ∵ α∈[0, π)， ∴ α=π4或α=34π．∴ 直线的倾斜角α=π4或α=34π．24. 解：（1）∵ a >0，b >0，且a 2+b 2=92，∴ 9=(a 2+b 2)(12+12)≥(a +b)2，∴ a +b ≤3，（当且仅当a 1=b 1，即{a =32b =32时取等号）又∵ a +b ≤m 恒成立，∴ m ≥3．故m 的最小值为3．…（2）要使2|x −1|+|x|≥a +b 恒成立，须且只须2|x −1|+|x|≥3． ∴ {x ≤0−2x +2−x ≥3或{0<x ≤1−2x +2+x ≥3或{x >12x −2+x ≥3∴ x ≤−13或x ≥53．…。

2015年全国卷数学高考真题(理科)2015年全国卷数学高考真题(理科)

绝密★启封并使用完毕前试题类型：A2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|=（A ）1 （B （C （D ）2 （2）sin20°cos10°-con160°sin10°=（A ）（B （C ）12- （D ）12（3）设命题P ：∃n ∈N ，2n >2n ，则⌝P 为（A ）∀n ∈N, 2n >2n （B ）∃ n ∈N, 2n ≤2n （C ）∀n ∈N, 2n ≤2n （D ）∃ n ∈N, 2n =2n（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。

已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312（5）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2212x y -= 上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF •2MF ＜0，则y 0的取值范围是（A ）（（B ）（（C ）（3-，3）（D ）（）（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛（7）设D为ABC所在平面内一点=3，则（A）=+(B)=（C）=+(D)=(8)函数f(x)=的部分图像如图所示，则f（x）的单调递减区间为(A)（）,k (b)（）,k(C)（）,k(D)（）,k（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（A）5 （B）6 （C）7 （D）8（10）的展开式中，y²的系数为（A）10 （B）20 （C）30（D）60圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。

甘肃省天水市一中2015届高三高考信息卷(一)数学(理)试卷

天水一中2015届高考模拟信息卷理科数学（一）1.若集合{0}A x x =≥，且AB B =，则集合B 可能是（）（A ）{}1,2 （B ）{1}x x ≤ （C ）{1,0,1}- （D ） R 2.已知命题:p R x ∃∈，2lg x x ->，命题:q R x ∀∈，1x e >，则（）（A ）命题p q ∨是假命题（B ）命题p q ∧是真命题（C ）命题()p q ∧⌝是真命题（D ）命题()p q ∨⌝是假命题 3.已知1122log log a b <，则下列不等式一定成立的是（）（A ）11()()43a b < （B ）11a b> （C ）ln()0a b -> （D ）31a b -<4.已知m R ∈，“函数21xy m =+-有零点”是“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数”的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件5.某工厂对一批新产品的长度（单位：mm ）进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为（）（A ）20 （B ）25 （C ）22.5 （D ）22.75 6.2321(2)x x+-展开式中的常数项为（）（A ）-8 （B ）-12 （C ）-20 （D ）207.已知{}n a 是首项为32的等比数列，n S 是其前n 项和，且646536=S S ,则数列|}log {|2n a 前10项和为（）（A ）58 （B ）56 （C ）50 （D ）458.已知不等式组0,x y x y ⎧+-≥⎪⎪≤⎨⎪≤⎪⎩表示平面区域Ω,过区域Ω中的任意一个点P ,作圆221x y +=的两条切线且切点分别为,A B ,当APB ∠最大时, PA PB ⋅的值为（）（A ）2 （B ）32 （C ）52（D ）39. 平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===,BD =BD CD ⊥,将其沿对角线BD折成四面体A BCD '-,使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）（A （B ）3π （C （D ）2π10.在ABC ∆中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且222a b c bc =++，a ，S 为ABC ∆的面积，则cos S B C +的最大值为( )（A ) 1 （B ）1+ （C （D ）311.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线分别交于点B A ,,若点)0,(m P 满足PB PA =，则该双曲线的离心率是( )（A ）25（B ） 32 （C ）52 （D 1+12. 设函数()f x 的定义域为D ，如果x D y D ,∀∈∃∈，使得()()f x fy =-成立，则称函数()fx 为“Ω函数” 给出下列四个函数：①yx =sin ；②2xy =；③11y x =-；④()ln f x x =, 则其中“Ω函数”共有（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个 13. 向面积为S 的ABC ∆内任投一点P ,则PBC ∆的面积大于3S的概率为________ 14.函数)12lg()(xa x f ++=为奇函数，则实数=a . 15.如下图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{}n a （n *∈N ）的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则201320142015a a a ++= ．16.我们把离心率215+=e 的双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 称为黄金双曲线．如图是双曲线()222222,0,01b a c b a by a x +=>>=-的图象，给出以下几个说法：①双曲线115222=+-y x 是黄金双曲线； ②若ac b =2，则该双曲线是黄金双曲线；③若21,F F 为左右焦点，21,A A 为左右顶点，1B （0，b ），2B （0，﹣b ）且021190=∠A B F ，则该双曲线是黄金双曲线； ④若MN 经过右焦点2F 且21F F MN ⊥，090=∠MON ，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确命题的序号为 _________ ．17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a =，1231n n a a a a n a ++++++=，*n ∈N ．（Ⅰ) 求证：数列{1}n a +是等比数列；（Ⅱ) 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，11b =，点1(,)n n T T +在直线112x y n n -=+上，若不等式1212911122n n nb b bm a a a a +++≥-++++对于*n ∈N 恒成立，求实数m 的最大值． 18. 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,按照题目要求独立完成规定:至少正确完成其中2道题的便可通过已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成,2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23,且每题正确完成与否互不影响（1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列,并计算其数学期望；（2）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？19. 如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形，120BCD ∠=，2AB PC ==，AP BP ==（Ⅰ）求证：AB PC ⊥；（Ⅱ）求二面角B PC D --的余弦值.20.如图，1F 、2F 为椭圆2222:1x y C a b+=的左、右焦点，D 、 E 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率e =，21DEF S ∆=．若00(,)M x y 在椭圆C 上，则点00(,)x y N a b称为点M 的一个“好点”．直线l 与椭圆交于A 、B 两点， A 、B 两点的“好点”分别为P 、Q ，已知以PQ 为直径的圆经过坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）AOB ∆的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由．21. 设*n ∈N ，函数ln ()n x f x x =，函数e ()xn g x x=，(0,)x ∈+∞.（Ⅰ）当1n =时，写出函数()1y f x =-零点个数，并说明理由；（Ⅱ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =分别位于直线1l y =：的两侧，求n的所有可能取值.22. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ,BD 是⊙O 的直径，CD AE ⊥于点E ,DA 平分BDE ∠. （Ⅰ）证明：AE 是⊙O 的切线（Ⅱ）如果24==AE AB ，,求CD .23. 在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

2015年甘肃省高考数学一模试卷(理科)

2015年甘肃省高考数学一模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A={x|x2-2x-3＞0}，集合B=Z，则（∁R A）∩B=（）A.{-3，-2，-1，0，1}B.{-1，0，1，2，3}C.{0，1，2}D.{-2，-1，0}2.设i是虚数单位，复数Z=1+为（）A.1+iB.1-iC.C、-1+iD.-1-i3.设a=dx，b=dx，c=dx，则下列关系式成立的是（）A.a＜b＜cB.b＜a＜cC.a＜c＜bD.c＜a＜b4.函数y=f（x）的图象向右平移个单位后与函数y=cos（2x-）的图象重合，则y=f（x）的解析式为（）A.y=cos（2x-）B.y=cos（2x+）C.y=sin（2x+）D.y=sin（2x-）5.数字“2015”中，各位数字相加和为8，称该数为“如意四位数”，则用数字0，1，2，3，4，5组成的无重复数字且大于2015的“如意四位数”有（）个．A.21B.22C.23D.246.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.（）πB.（）πC.（）πD.（π7.阅读如图所示的程序框图，若输入的n=10，则该算法的功能是（）A.计算数列{2n-1}的前11项和B.计算数列{2n-1}的前10项和C.计算数列{2n-1}的前11项和D.计算数列{2n-1}的前10项和8.若x，y满足约束条件，且向量=（3，2），=（x，y），则•的取值范围（）A.[，5]B.[，5]C.[，4]D.[，4]9.已知面积为S的凸四边形中，四条边长分别记为a1，a2，a3，a4，点P为四边形内任意一点，且点P到四边的距离分别记为h1，h2，h3，h4，若====k，则h1+2h2+3h3+4h4=类比以上性质，体积为y的三棱锥的每个面的面积分别记为S l，S2，S3，S4，此三棱锥内任一点Q到每个面的距离分别为H1，H2，H3，H4，若====K，则H1+2H2+3H3+4H4=（）A. B. C. D.10.已知△ABC的三边长a，b，c成等差数列，且a2+b2+c2=84，则实数b的取值范围是（）A.[2，2]B.（2，2]C.[2，2]D.（2，2]11.在平面直角坐标系x O y中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A.（，）B.（，1）C.（，1）D.（0，）12.已知函数f（x）=xcos，存在f（x）的零点x0，（x0≠0），满足[f′（x0）]2＜π2（λ2-x02），则λ的取值范围是（）A.（-，0）∪（0，，）B.（-，0）∪（0，）C.（-∞，-）∪（，+∞）D.（-∞，-）∪（，+∞）二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.在的展开式中，常数项等于______ （用数字作答）14.直三棱柱ABC-A1B1C1的顶点在同一个球面上，AB=3，AC=4，AA1=2，∠BAC=90°，则球的表面积______ ．15.下面给出的命题中：①m=-2”是直线（m+2）x+my+1=0与“直线（m-2）x+（m+2））y一3=0相互垂直”的必要不充分条件；②已知函数f（a）=sinxdx，则f[f（）]=1-cos1；③已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（-2≤ξ≤0）=0，4，则P（ξ＞2）=0.2；④已知⊙C1：x2+y2+2x=0，⊙C2：x2+y2+2y-1=0，则这两圆恰有2条公切线；⑤线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越小．其中是真命题的序号有______ ．16.设数列{a n}的前n项的和为S n，已知，设若对一切n∈N*均有，，则实数m的取值范围为______ ．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若bcos A+acos B=-2ccos C．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若a+b=6，且△ABC的面积为2，求边c的长．18.多面体ABCDE中，△ABC是边长为2的正三角形，AE＞1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD=CD，且BD⊥CD．（Ⅰ）若AE=2，求证：AC∥平面BDE；（Ⅱ）若二面角A一DE一B的余弦值为，求AE的长．19.某市为了治理污染，改善空气质量，市环境保护局决定每天在城区主要路段洒水防尘，为了给洒水车供水，供水部门决定最多修建3处供水站．根据过去30个月的资料显示，每月洒水量X（单位：百立方米）与气温和降雨量有关，且每月的洒水量都在20以上，其中不足40的月份有10个月，不低于40且不超过60的月份有15个月，超过60的月份有5个月．将月洒水量在以上三段的频率作为相应的概率，并假设各月的洒水量相互独立．（Ⅰ）求未来的3个月中，至多有1个月的洒水量超过60的概率；（Ⅱ）供水部门希望修建的供水站尽可能运行，但每月供水站运行的数量受月洒水量限制，有如下关系：站的月总利润的均值最大，应修建几处供水站？20.已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，其中一个顶点是抛物线x2=的焦点．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在过点P（2，1）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B满足•，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明埋由．21.已知函数f（x）=ax2+1n（x+1）．（Ⅰ）当时a=-时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）的图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数口的取值范围．22.选修4-1：几何证明选讲如图，点C是⊙O直径BE的延长线上一点，AC是⊙O的切线，A为切点，∠ACB的平分线CD与AB相交于点D，与AE相交于点F，（Ⅰ）求∠ADF的值（Ⅱ）若AB=AC，求的值．23.在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=asinθ．（Ⅰ）若a=2，求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值．24.已知函数f（x）=|2x-1|+|2x+5|，且f（x）≥m恒成立．（Ⅰ）求m的取值范围；（Ⅱ）当m取最大值时，解关于x的不等式：|x-3|-2x≤2m-8．。

2013年兰州一中高考三模数学理科参考答案

2013年兰州一中高考三模参考答案数学理科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分, 共20分．13. 40 14. 2y = 15. -2 16. 45 三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤. 17. （本题满分12分）解：（Ⅰ）22222233,cos 224a b c a b c ab C ab +-+-=∴== ()21cos 1cos 7,sin 2228A B A B C A B C π-++++=-∴=== …………６分（Ⅱ）ab ，b a ，c ab c b a 2342,2322222=-+∴==-+且又2232,24,82a b ab ab ab ab +≥∴≥-∴≤3cos ,sin 44C C =∴===,7s i n 21≤=∴∆C ab S ABC 当且仅当22==b a 时，△ABC 面积取最大值，最大值为7. …………12分 18.（本小题满分12分）解：（Ｉ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人，所以该考场有100.2540÷=人所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为40(10.3750.3750.150.025)400.0753⨯----=⨯=………………3分(II ) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)2.940⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=……7分（Ⅲ）设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，202621015(16)45C P C ξ===， 116221012(17)45C C P C ξ=== 11262222101013(18)45C C C P C C ξ==+=， 11222104(19)45C C P C ξ=== 222101(20)45C P C ξ===所以ξ的分布列为所以161718192045454545455E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 所以ξ的数学期望为865.………………12分19. (本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为11ABB A 是矩形，D 为1AA 中点，1AB =，1AA =2AD =, 所以在直角三角形1ABB 中,11tan 2AB AB B BB ∠==, 在直角三角形ABD 中,1tan 2AD ABD AB ∠==, 所以1AB B ∠=ABD ∠,又1190BAB AB B ∠+∠= ， 190BAB ABD ∠+∠=，所以在直角三角形ABO 中，故90BOA ∠=，即1BD AB ⊥， ………………………4分又因为11CO ABB A ⊥侧面，111AB ABB A ⊂侧面, 所以1CO AB ⊥所以，1AB BCD ⊥面,BC BCD ⊂面, 故1BC AB ⊥…………………………6分（Ⅱ）解法一：如图，由（Ⅰ）可知，,,OA OB OC 两两垂直，分别以,,OA OB OC 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -. 在Rt ∆ABD中，可求得OB =OD =,OC OA ==，在Rt ∆ABB 1中，可求得1OB =，故0,,06D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,0,3B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,0,0,3C ⎛ ⎝⎭,13B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以BD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,BC ⎛= ⎝⎭,1BB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭可得，11BC BC BB ⎛=+= ⎝⎭……………………………8分设平面1BDC 的法向量为(),,x y z =m ，则 10,0BD BC ⋅=⋅=m m ，即03330x y z y ⎧-++=⎪⎪=，取1,0,2x y z ===，则()1,0,2=m ，…10分又BCD 面()1,0,0=n ，故cos ,==m n ，所以，二面角1C BD C --…………………………………12分解法二：连接1CB 交1C B 于E ,连接OE ，因为11CO ABB A ⊥侧面，所以BD OC ⊥，又1BD AB ⊥，所以1BD COB ⊥面，故BD OE ⊥所以EOC ∠为二面角1C BD C --的平面角 ……………………8分BD =，1AB =，1112AD AO BB OB ==，1123OB AB ==1133OC OA AB ===，在Rt ∆COB 1中，13B C === ， …………10分又EOC OCE ∠=∠1c o sOC EOC CB ∠== 故二面角1C BD C --的余弦值为. …………12分 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，直线AB 的斜率存在，设其方程为(1)y k x =+．将其代入22143x y +=，整理得 2222(43)84120k x k x k +++-=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以 2122843k x x k -+=+．…………4分故点G 的横坐标为21224243x x k k +-=+．依题意，得2241434k k -=-+，解得 12k =±． ………………6分（Ⅱ）解：假设存在直线AB ，使得 12S S =，显然直线AB 不能与,x y 轴垂直．由（Ⅰ）可得 22243(,)4343k kG k k -++．因为 DG AB ⊥，所以 2223431443Dk k k kx k +⨯=---+，解得 2243D k x k -=+，即 22(,0)43k D k -+．因为 △GFD ∽△OED ，所以 12||||S S GD OD =⇔=．所以2243k k -=+，整理得 2890k +=．因为此方程无解，所以不存在直线AB ，使得 12S S =． …………12分 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题21[ln(1)]10,()0,x x x f x x+++'>=-< 故()f x 在区间(0,)+∞上是减函数; …………3分（Ⅱ）当0x >时，()1kf x x >+恒成立，即1[1ln(1)]x k x x+<++在(0,)+∞上恒成立，取1()[1ln(1)]x h x x x +=++，则′()21ln(1)(x x h x x--+=，…………………5分再取()1ln(1),g x x x =--+则1()10,11xg x x x '=-=>++故()g x 在(0,)+∞上单调递增，而(1)ln 20,(2)1ln 30,(3)22ln 20g g g =-<=-<=->，故()0g x =在(0,)+∞上存在唯一实数根(2,3),1ln(1)0a a a ∈--+=，故(0,)x a ∈时，()0;(,)g x x a <∈+∞时，()0,g x > 故[]min 1()1ln(1)1(3,4),3,a h x a a k a +=++=+∈≤故max 3k =…………………7分（Ⅲ）由（Ⅱ）知：1ln(1)3333(0)ln(1)122111x x x x x x x x x++>>⇒+>-=->-+++令311(1),ln[1(1)]223()(1)1x n n n n n n n n =+++>-=--++，又ln[(112)(123)(134)(1(1))]n n +⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++ln(112)ln(123)ln(1(1))n n =+⨯++⨯+++⨯+ 1111123[(1)()()]2231n n n >--+-++-+1323(1)232311n n n n n =--=-+>-++ 即：23(112)(123)(134)(1(1))n n n e -+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++> ………………12分22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲（I ）∵EC EF DE ⋅=2，∴C EDF ∠=∠，又∵C P ∠=∠，∴P EDF ∠=∠， ∴EDF ∆∽PAE ∆ ∴EP EF ED EA ⋅=⋅ 又∵EB CE ED EA ⋅=⋅，∴EP EF EB CE ⋅=⋅ ………………5分（II ）29=CE ，3=BE ，415=BP PA 是⊙O 的切线，PC PB PA ⋅=2，4315=PA ………………10分 23. (本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程解：(Ⅰ)由)4πρθ=+得：ρ=cos θ+sin θ两边同乘以ρ得：ρ2=ρcos θ+ρsin θ ∴x 2+y 2-x -y =0 即(x -12)2+(y -12)2=12………………5分 (Ⅱ) 将直线参数方程代入圆C 的方程得: 5t 2-21t +20=0 ∴t 1+t 2=215, t 1t 2=4 ∴∣MN ∣=∣t 1-t 2∣=5………………10分 24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．解：(Ⅰ)∵ f (x )=|2x -1|+|2x -3| , f (x )≤5∴有12445x x ⎧<⎪⎨⎪-≤⎩ 或132225x ⎧≤≤⎪⎨⎪≤⎩或32445x x ⎧>⎪⎨⎪-≤⎩ 解得：11,42x -≤<或13,22x ≤≤或39,24x <≤∴不等式的解集为：{x ∣19,44x -≤≤}. ………………5分(Ⅱ) 若mx f x g +=)(1)(的定义域为R ，则f (x )+m ≠0恒成立，即f (x )+m =0在R 上无解.又f (x )=|2x -1|+|2x -3|≥|2x -1-2x +3|=2， ∴f (x )最小值为2,∴m >-2 ………………10分。

【2015年全国各地高考三模数学试题汇编】专题3 三角函数、解三角形、平面向量第3讲平面向量(理卷B)

专题3 三角函数、解三角形、平面向量第3讲平面向量(B 卷)一、选择题（45分）1．（2015·肇庆市高中毕业班第三次统一检测题·2）已知向量)4,2(=，)1,1(-=，则=-2（）A ．（3，7）B ．（3，9）C ．（5，7）D ．（5，9）2．（2015·佛山市普通高中高三教学质量检测（二）·3）已知向量a ()32, 0-=，b ()3, 1=，则向量a 在b 上的投影为（） A ．3-B ．3-C ．3D ．33．(2015·北京市西城区高三二模试卷·2)已知平面向量，则实数k ＝（）A ．4B ．－4C ．8D ．－84.(2015·大连市高三第二次模拟考试·5)在△ABC 中，D 为BC 边的中点，若(2,0)BC =，(1,4)AC =,则AD =（）（A ）(2,4)--（B ）(0,4)-（C ）(2,4)（D ）(0,4)5．(2015·丰台区学期统一练习二·6）平面向量a 与b 的夹角是3π，且1a =，2b =，如果AB a b =+，3AC a b =-，D 是BC 的中点，那么AD =（）(A)(B) (C) 3 (D) 66. (2015·哈尔滨市第六中学高三第三次模拟考试·10)已知O 为正三角形ABC 内一点，且满足0)1(=+++OC OB OA λλ，若OAB ∆的面积与OAC ∆ 的面积比值为3，则λ的值为（）A.21 B. 1 C.2 D. 37.(2015·济宁市5月高考模拟考试·9)8.（2015·陕西省咸阳市高考模拟考试（三）·5）9．(江西省九江市2015届高三第三次模拟考试·9)如图，已知ABC △中，4AB AC ==，2BAC π∠=，D 是BC 的中点，若向量14AM AB mAC =+，且点M 在ACD △的内部（不含边界），则AM BM 的取值范围是（）A ．(2,4)-B ． (2,6)-C ．(0,4)D ． (0,6）二、非选择题（55分）10．（2015·厦门市高三适应性考试·14）如图，在ABC △中，0AD BC ⋅=,3BC BD =，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N.若(),0,0AM AB AN AC λμλμ==>>，则μλ2+的最小值是．C11．(2015济宁市曲阜市第一中学高三校模拟考试·17)在平面上,1212,1AB AB OB OB ⊥==, 12AP AB AB =+．若13OP <,则OA 的取值范围是__ _．12. （2015·青岛市高三自主诊断试题·11）已知不共线的平面向量a ，b 满足(2,2)a =-，()()a b a b +⊥-，那么||b = ；13．（2015·山东省潍坊市高三第二次模拟考试·13）已知G 为△ABC 的重心，令=，=，过点G 的直线分别交AB 、AC 于P 、Q 两点，且m =，n =，则nm 11+=__________． 14．(2015·黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第三次模拟考试数学（理）试题·15)已知向量、的夹角为 60，且2||=，1||=，则与2+的夹角等于．15．（2015·开封市高三数学（理）冲刺模拟考试·14）若等边ABC ∆的边长为2，平面内一点M 满足2131+=，则=⋅MB MA ．16、（2015·海南省高考模拟测试题·13）在△ABC 中， 2AB =，3AC =，0AB AC ⋅<，且△ABC 的面积为32，则BAC ∠=_______ 17.（2015·河北省唐山市高三第三次模拟考试·14）18. (2015·海淀区高三年级第二学期期末练习·14)设关于,x y 的不等式组340,(1)(36)0x y x y -≥⎧⎨-+-≤⎩表示的平面区域为D ，已知点(0,0),(1,0)O A ，点M 是D 上的动点. OA OM OM ⋅=λ，则λ的取值范围是 .19．(2015·日照市高三校际联合5月检测·14)在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆()2220x y r r +=>交于A,B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足5344OC OA OB r =+=uuu r uu r uu u r，则______．20.(2015·北京市东城区综合练习二·13）已知非零向量,a b 满足||1=b ，a 与-b a 的夹角为120，则||a 的取值范围是．专题3 三角函数、解三角形、平面向量第3讲平面向量(B 卷)答案与解析1.【答案】C【命题立意】本题考查的是平面向量的坐标运算．【解析】()()()∵a =2,4,b =-1,1,∴2a -b =5,7，故选C ． 2.【答案】A【命题立意】本题旨在考查向量的数量积的定义和计算公式．【解析】向量a 在b 上的投影为026cos 321a b a bθ⋅--====-+，故选:A ． 3.【答案】 D【命题立意】本题旨在考查向量的坐标运算及两向量平行的条件。

2015-2016年甘肃省兰州一中高二上学期期中数学试卷及解析(理科)

2015-2016学年甘肃省兰州一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案写在答题卡上．）1．（3分）不等式≥﹣1的解集为（）A．（﹣∞，0]∪（1，+∞） B．（﹣∞，0）∪[1，+∞） C．（0，1]D．[0，1）2．（3分）在等差数列{a n}中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于（）A．40 B．42 C．43 D．453．（3分）已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D．4．（3分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）A．B．C． D．5．（3分）等差数列{a n}中，a1＞0，S3=S10，则当S n取最大值时，n的值为（）A．6 B．7 C．6或7 D．不存在6．（3分）已知a，b为非零实数，若a＞b且ab＞0，则下列不等式成立的是（）A．a2＞b2B．＞C．ab2＞a2b D．＜7．（3分）下列命题中正确的是（）A．的最小值是2B．的最小值是2C．的最大值是D．的最小值是8．（3分）在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，则△ABC是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形9．（3分）如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cosθ=（）A．B．C．D．10．（3分）已知O为直角坐标系原点，P，Q坐标均满足不等式组，则使cos∠POQ取最小值时的∠POQ的大小为（）A．B．πC．2πD．11．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为（）A．B．C．D．12．（3分）已知F（x）=f（x+）﹣1是R上的奇函数，a n=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1）（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为（）A．a n=n﹣1 B．a n=n C．a n=n+1 D．a n=n2二、填空题（每小题4分，共16分，将答案写在答题卡上．）13．（4分）若不等式ax2﹣bx+2＞0的解集为{x|﹣＜x＜}，则a+b=．14．（4分）如果实数x，y满足约束条件，那么目标函数z=2x﹣y的最小值为．15．（4分）已知两个等差数列{a n}，{b n}的前n项的和分别为S n，T n，且，则=．16．（4分）在等比数列{a n}中，若a7+a8+a9+a10=，a8a9=﹣，则+++=．三、解答题（本大题共5小题，共48分）17．（8分）解关于x的不等式x2+x﹣a（a﹣1）＞0，（a∈R）．18．（8分）（1）若x＞0，y＞0，x+y=1，求证：+≥4．（2）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，求2x+y的最大值．19．（10分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．20．（10分）已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n log a n，求数列{b n}的前n项和S n．21．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=1﹣，其中n∈N*．（Ⅰ）设b n=，求证：数列{b n}是等差数列，并求出{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）设C n=，数列{C n C n+2}的前n项和为T n，是否存在正整数m，使得T n ＜对于n∈N*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由．2015-2016学年甘肃省兰州一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案写在答题卡上．）1．（3分）不等式≥﹣1的解集为（）A．（﹣∞，0]∪（1，+∞） B．（﹣∞，0）∪[1，+∞） C．（0，1]D．[0，1）【解答】解：不等式≥﹣1化为：，即：，解得x∈（﹣∞，0]∪（1，+∞）．故选：A．2．（3分）在等差数列{a n}中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于（）A．40 B．42 C．43 D．45【解答】解：在等差数列{a n}中，已知a1=2，a2+a3=13，得d=3，a5=14，∴a4+a5+a6=3a5=42．故选：B．3．（3分）已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D．【解答】解：a1a2a3=5⇒a23=5；a7a8a9=10⇒a83=10，a52=a2a8，∴，∴，故选：A．4．（3分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）A．B．C． D．【解答】解：因为sinC=2sinB，所以由正弦定理得，所以，再由余弦定理可得，所以A=．故选：A．5．（3分）等差数列{a n}中，a1＞0，S3=S10，则当S n取最大值时，n的值为（）A．6 B．7 C．6或7 D．不存在【解答】解：∵等差数列{a n}中，a1＞0，S3=S10，∴S10﹣S3=a4+a5+…+a10=7a7=0，即a7=0∴等差数列{a n}中前6项为正数，第7项为0，从第8项开始为负数，∴当S n取最大值时，n的值为6或7故选：C．6．（3分）已知a，b为非零实数，若a＞b且ab＞0，则下列不等式成立的是（）A．a2＞b2B．＞C．ab2＞a2b D．＜【解答】解：A．取a=1，b=﹣2，不成立；B．取a=1，b=﹣2，不成立；C．取a=2，b=1，不成立；D．∵a，b为非零实数，a＞b，∴，化为，故选：D．7．（3分）下列命题中正确的是（）A．的最小值是2B．的最小值是2C．的最大值是D．的最小值是【解答】解：A、当x=﹣1时，f（﹣1）=﹣2，故A不对；B、∵=≥2，当且仅当时取等号，此时无解，故最小值取不到2，故B不对；C、∵x＞0，∴，当且仅当时等号成立，∴，故C正确；D、∵x＞0，∴，当且仅当时等号成立，则，故D不对；故选：C．8．（3分）在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，则△ABC是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【解答】解：根据正弦定理===2R，得到a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入已知的等式得：（2RsinB）2sin2C+（2RsinC）2sin2B=8R2sinBsinCcosBcosC，即sin2Bsin2C+sin2Csin2B=2sinBsinCcosBcosC，又sinBsinC≠0，∴sinBsinC=cosBcosC，∴cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）=0，又B和C都为三角形的内角，∴B+C=90°，则△ABC为直角三角形．故选：C．9．（3分）如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cosθ=（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，在△ABC中，AB=40，AC=20，∠BAC=120°，由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos120°=2800，所以BC=20．由正弦定理得sin∠ACB=•sin∠BAC=．由∠BAC=120°知∠ACB为锐角，故cos∠ACB=．故cosθ=cos（∠ACB+30°）=cos∠ACBcos30°﹣sin∠ACBsin30°=．故选：B．10．（3分）已知O为直角坐标系原点，P，Q坐标均满足不等式组，则使cos∠POQ取最小值时的∠POQ的大小为（）A．B．πC．2πD．【解答】解：作出满足不等式组，因为余弦函数在[0，π]上是减函数，所以角最大时对应的余弦值最小，由图得，当P与A（1，7）重合，Q与B（4，3）重合时，∠POQ最大．此时k OB=，k0A=7．由tan∠POQ==1∴∠POQ=故选：D．11．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：因为a2+b2=2c2，所以由余弦定理可知，c2=2abcosC，cosC==．故选：C．12．（3分）已知F（x）=f（x+）﹣1是R上的奇函数，a n=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1）（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为（）A．a n=n﹣1 B．a n=n C．a n=n+1 D．a n=n2【解答】解：F（x）=f（x+）﹣1在R上为奇函数故F（﹣x）=﹣F（x），代入得：f（﹣x）+f（+x）=2，（x∈R）当x=0时，f（）=1．令t=﹣x，则+x=1﹣t，上式即为：f（t）+f（1﹣t）=2．当n为偶数时：a n=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1）（n∈N*）=[f（0）+f（1）]+[f（）+f（）]+…+[f（）+f（）]+f（）==n+1．当n为奇数时：a n=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1）（n∈N*）=[f（0）+f（1）]+[f（）+f（）]+…+[f（）+f（）]=2×=n+1．综上所述，a n=n+1．故选：C．二、填空题（每小题4分，共16分，将答案写在答题卡上．）13．（4分）若不等式ax2﹣bx+2＞0的解集为{x|﹣＜x＜}，则a+b=﹣10．【解答】解：∵不等式ax2﹣bx+2＞0的解集为{x|﹣＜x＜}，∴a＜0且，解得，∴a+b=﹣12+2=﹣10故答案为：﹣1014．（4分）如果实数x，y满足约束条件，那么目标函数z=2x﹣y的最小值为﹣5．【解答】解：变量x，y满足约束条件，目标函数z=2x﹣y画出图形：点A（﹣1，0），B（﹣2，﹣1），C（0，﹣1）z在点B处有最小值：z=2×（﹣2）﹣1=﹣5，故答案为：﹣5．15．（4分）已知两个等差数列{a n}，{b n}的前n项的和分别为S n，T n，且，则=．【解答】解：令n=9，得到=，又S9==9a5，T9==9b5，∴===．故答案为：16．（4分）在等比数列{a n}中，若a7+a8+a9+a10=，a8a9=﹣，则+++=﹣．【解答】解：+++=（+）+（+）=+==﹣故答案为﹣三、解答题（本大题共5小题，共48分）17．（8分）解关于x的不等式x2+x﹣a（a﹣1）＞0，（a∈R）．【解答】解：∵关于x的不等式x2+x﹣a（a﹣1）＞0，∴（x+a）（x+1﹣a）＞0，当﹣a＞a﹣1，即时，x＜a﹣1或x＞﹣a，当a﹣1＞﹣a，即a＞时，x＜﹣a或x＞a﹣1，当a﹣1=﹣a，即时，x，∴当时，原不等式的解集为：{x|x＜a﹣1或x＞﹣a}，当a＞时，原不等式的解集为：{x|x＜﹣a或x＞a﹣1}，当时，原不等式的解集为：{x|x，x∈R}．18．（8分）（1）若x＞0，y＞0，x+y=1，求证：+≥4．（2）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，求2x+y的最大值．【解答】解：（1）∵x＞0，y＞0，x+y=1，∴xy≤（）2=∴+==≥4．（2）∵4x2+y2+xy=1，∴4x2+y2=1﹣xy≥4xy，∴xy≤．∴（2x+y）2=4x2+y2+4xy=1+3xy≤，∴﹣≤2x+y≤．∴2x+y的最大值是．19．（10分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3．（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．20．（10分）已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n log a n，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q∵a3+2是a2，a4的等差中项∴2（a3+2）=a2+a4代入a2+a3+a4=28，得a3=8∴a 2+a4=20∴∴或∵数列{a n}单调递增∴a n=2n（II）∵a n=2n∴b n==﹣n•2n∴﹣s n=1×2+2×22+…+n×2n①∴﹣2s n=1×22+2×23+…+（n﹣1）×2n+n2n+1②∴①﹣②得，s n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=2n+1﹣n•2n+1﹣221．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=1﹣，其中n∈N*．（Ⅰ）设b n=，求证：数列{b n}是等差数列，并求出{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）设C n=，数列{C n C n+2}的前n项和为T n，是否存在正整数m，使得T n ＜对于n∈N*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：∵b n﹣b n==+1==2，∴数列{b n}是公差为2的等差数列，又=2，∴b n=2+（n﹣1）×2=2n．∴2n=，解得．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，∴c n c n+2==，∴数列{C n C n+2}的前n项和为Tn=…+=2＜3．要使得T n＜对于n∈N*恒成立，只要，即，解得m≥3或m≤﹣4，而m＞0，故最小值为3．。

甘肃省兰州一中2015届高三上学期9月月考数学试卷(Word版含解析)

甘肃省兰州一中2015届高三上学期9月月考数学试卷一、选择题：（本大题共有12道小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣4x﹣12＜0}，B={x|log2（x﹣1）＜0}，则A∩B=（）A．{x|x＜6} B．{x|1＜x＜2} C．{x|﹣6＜x＜2} D．{x|x＜2}2．（5分）下列函数中既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=sinx B．y=﹣x2+C．y=x3+3x D．y=e|x|3．（5分）下列命题中错误的是（）A．命题“若p则q”与命题“若￢q则￢p”互为逆否命题B．命题p：∀x∈，e x≥1，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，p∨q为真C．若p∨q为假命题，则p、q均为假命题D．“若am2=bm2”，则a＜b的逆命题为真命题4．（5分）函数f（x）=ln（x+）的图象是（）A．B．C．D．5．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，不等式f（x）+x•f′（x）＜0成立，若a=30.2•f（30.2），b=（logπ2）•f（logπ2），c=•f ，则a，b，c间的大小关系（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞c＞b6．（5分）已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：x＞a，且¬q的一个充分不必要条件是¬p，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣1 D．a≤﹣37．（5分）若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．1B．C．D．8．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，且导函数y=f′（x）的图象如图所示．则不等式f（x）＜1的解集是（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，4）C．（0，4）D．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）9．（5分）设f（x）是定义域为R的偶函数，且对任意实数x，恒有f（x+1）=﹣f（x），已知x∈（0，1）时，f（x）=（1﹣x），则函数f（x）在（1，2）上（）A．是增函数，且f（x）＜0 B．是增函数，且f（x）＞0C．是减函数，且f（x）＜0 D．是减函数，且f（x）＞010．（5分）已知函数f（x）=，则f=（）A．2012 B．2013 C．2014 D．201511．（5分）若函数f（x）=cosx+2xf′（），则f（﹣）与f（）的大小关系是（）A．f（﹣）=f（）B． f （﹣）＞f（）C．f（﹣）＜f（）D．不确定12．（5分）设函数f（x）=log3在（1，2）内有零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，log32）B．（log32，1）C．（﹣1，﹣log32）D．（1，log34）二、填空题（本大题共有4道小题，每小题5分，共20分）13．（5分）过点A（1，1）与曲线C：y=x3相切的直线方程是．14．如图，矩形ABCD内的阴影部分是由曲线f（x）=2x2﹣2x及直线y=2x围成的，现向矩形ABCD内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为．15．（5分）设0≤x≤2则函数的最大值是．16．（5分）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x）且x∈时，f（x）=1﹣x2，函数g （x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间内零点的个数有个．17．（5分）若存在区间M=（a＜b）使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．给出下列4个函数：①f（x）=e x②f（x）=x3③f（x）=cos④f（x）=lnx+1其中存在稳定区间的函数有（写出所有正确命题的序号）．三、解答题（本大题共有5道小题，每小题12分，共60分）18．（12分）设f（x）=（4x+4﹣x）﹣a（2x+2﹣x）+a+2（a为常数）（1）当a=﹣2时，求f（x）最小值（2）求所有使f（x）的值域为，e x≥1，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，p∨q为真C．若p∨q为假命题，则p、q均为假命题D．“若am2=bm2”，则a＜b的逆命题为真命题考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：对于A：根据逆否命题的写法规则“否条件当结论，否结论当条件”进行判断；对于B：先判断每个命题真假，再判断或命题的真假；对于C：或命题为假则当且仅当两个命题都为假；对于D：先写出逆命题，再判断真假．解答：解：对于A，根据“否条件当结论，否结论当条件”，可知A是真命题；对于B，当x≥0时，根据指数函数性质e x≥1，故p是真命题，所以p∨q为真，因此B项为真命题；对于C，或命题为假，当且仅当两个命题都是假时才为假，因此C是真命题；对于D，其逆命题是：若a＜b，则am2=bm2，显然是假命题．故选D．点评：本题主要考查了命题真假的判断，要正确理解各种命题的概念基础上进行判断，特别是特称命题、全称命题及其命题的否定要引起足够的重视．4．（5分）函数f（x）=ln（x+）的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：首先根据对数函数的性质，求出函数的定义域，再很据复合函数的单调性求出f（x）的单调性，问题得以解决．解答：解：因为x﹣＞0，解得x＞1或﹣1＜x＜0，所以函数f（x）=ln（x﹣）的定义域为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．所以选项A、D不正确．当x∈（﹣1，0）时，g（x）=x﹣是增函数，因为y=lnx是增函数，所以函数f（x）=ln（x+）是增函数．故选B．点评：本题主要考查了对数函数的定义域和复合函数的单调性，属于基础题．5．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，不等式f（x）+x•f′（x）＜0成立，若a=30.2•f（30.2），b=（logπ2）•f（logπ2），c=•f ，则a，b，c间的大小关系（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞c＞b考点：对数值大小的比较；对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：构造函数g（x）=xf（x），由于当x＞0时，不等式f（x）+x•f′（x）＜0成立，利用导数可得当x＞0时，函数g（x）单调递减．函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，可得函数g（x）在R上是奇函数．进而得到g（x）在R上是减函数．解答：解：构造函数g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）．当x＞0时，不等式f（x）+x•f′（x）＜0成立，∴当x＞0时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．∵函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，∴g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=﹣xf（x）=﹣g（x），∴g（x）在R上是奇函数．∴g（x）在R上是减函数．∵a=30.2•f（30.2），b=（logπ2）•f（logπ2），c=•f ，=﹣2．，∴c＞b＞a．故选：A．点评：本题考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性、对数的运算性质及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．6．（5分）已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：x＞a，且¬q的一个充分不必要条件是¬p，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣1 D．a≤﹣3考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：先求出p的等价条件，利用¬q的一个充分不必要条件是¬p，即可求a的取值范围．解答：解：由x2+2x﹣3＞0得x＞1或x＜﹣3，即p：x＞1或x＜﹣3，￢p：﹣3≤x≤1，∵q：x＞a，∴￢q：x≤a，若¬q的一个充分不必要条件是¬p，则￢p⇒￢q成立，但￢q⇒￢p不成立，∴a≥1，故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的解法是解决本题的关键．熟练掌握命题的否定的形式．7．（5分）若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．1B．C．D．考点：点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：设出切点坐标，利用导数在切点处的函数值，就是切线的斜率，求出切点，然后再求点P到直线y=x﹣2的最小距离．解答：解：过点P作y=x﹣2的平行直线，且与曲线y=x2﹣lnx相切，设P（x0，x02﹣lnx0）则有k=y′|x=x0=2x0﹣．∴2x0﹣=1，∴x0=1或x0=﹣（舍去）．∴P（1，1），∴d==．故选B．点评：本题考查点到直线的距离，导数的应用，考查计算能力，是基础题．8．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，且导函数y=f′（x）的图象如图所示．则不等式f（x）＜1的解集是（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，4）C．（0，4）D．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）考点：函数的单调性与导数的关系．专题：导数的综合应用．分析：由函数y=f′（x）的图象，确定函数的单调性和单调区间，然后函数的单调性即可求不等式的解集．解答：解：由导函数y=f′（x）的图象可知，当x≥0时，f'（x）≥0，此时函数f（x）得到递增，当x≤0时，f'（x）≤0，此时函数f（x）得到递减，当x=0时，函数f（x）取得极小值，同时也是最小值，∵f（4）=f（﹣2）=1，∴不等式f（x）＜1的解为﹣2＜x＜4，即不等式f（x）＜1的解集为（﹣2，4），故选：B．点评：本题主要考查不等式的解法，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．9．（5分）设f（x）是定义域为R的偶函数，且对任意实数x，恒有f（x+1）=﹣f（x），已知x∈（0，1）时，f（x）=（1﹣x），则函数f（x）在（1，2）上（）A．是增函数，且f（x）＜0 B．是增函数，且f（x）＞0C．是减函数，且f（x）＜0 D．是减函数，且f（x）＞0考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x+1）=﹣f（x），可推出f（x+2）=f（x），因此函数为周期函数，T=2，由复合函数的单调性推出函数f（x）=（1﹣x）递增，再由周期性与奇偶性把（1，2）上的单调性过度到（0，1）来研究．解答：解：∵f（x+1）=﹣f（x），∴f（x+2）=f（x+1+1）=﹣f（x+1）=﹣（﹣f（x））=f （x），∴函数为周期函数，周期T=2，∵u=1﹣x递减，y=递减，由复合函数的单调性知函数f（x）=（1﹣x）递增，又x∈（0，1）时，0＜1﹣x＜1，∴（1﹣x）＞0，∴∀x∈（0，1）时，f（x）＞0，①∀x∈（1，2），2﹣x∈（0，1），∴f（2﹣x）＞0，又函数为偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=f（﹣x+2）＞0，②设1＜x1＜x2＜2，则﹣1＞﹣x1＞﹣x2＞﹣2，则1＞2﹣x1＞2﹣x2＞0，∵函数f（x）=（1﹣x）递增，∴f（2﹣x1）＞f（2﹣x2）又f（2﹣x1）=f（x1）、f（2﹣x2）=f（x2）∴f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）在（1，2）上是减函数综上，选D点评：本题综合考查函数的性质，是把函数的单调性、奇偶性、周期性相结合的题目，属于中档题．10．（5分）已知函数f（x）=，则f=（）A．2012 B．2013 C．2014 D．2015考点：抽象函数及其应用；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：利用赋值法，先令x=1，求出f（1），再令x=2，求出f（2），令x=n，则f（n）﹣f（n﹣1）=1，再根据等差数列的通项求出f．解答：解：当x=1时，f（1）=log5（5﹣1）=2，当x＞1时，f（x）=f（x﹣1）+1，令x=2，则f（2）=f（1）+1=2+1=3，令x=n，则f（n）﹣f（n﹣1）=1，∴{f（n）}是以2为首项，以1为公差的等差数列，∴f=2+×1=2015，故选：D点评：本题主要考查了抽象函数的问题，关键转化为{f（n）}是以2为首项，以1为公差的等差数列，属于基础题．11．（5分）若函数f（x）=cosx+2xf′（），则f（﹣）与f（）的大小关系是（）A．f（﹣）=f（）B． f （﹣）＞f（）C．f（﹣）＜f（）D．不确定考点：正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：利用已知条件，求出函数的导数，推出f′（），得到函数的表达式，然后比较f （﹣）与f（）的大小．解答：解：函数f（x）=cosx+2xf′（），所以函数f′（x）=﹣sinx+2f′（），所以f′（）=﹣sin+2f′（）=，f（x）=cosx+x，则f（﹣）=cos﹣；f（）=cos+，所以f （﹣）＜f（）．故选C．点评：本题是基础题，考查函数的导数应用，三角函数值的大小比较，考查计算能力．12．（5分）设函数f（x）=log3在（1，2）内有零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，log32）B．（log32，1）C．（﹣1，﹣log32）D．（1，log34）考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的零点的判定定理可得f（1）•f（2）＜0，由此求得实数a的取值范围．解答：解：∵函数f（x）在区间（1，2）内有零点，∴f（1）•f（2）＜0，∴（﹣a）（﹣a）＜0，解得：＜x＜1，故选：B．点评：本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．二、填空题（本大题共有4道小题，每小题5分，共20分）13．（5分）过点A（1，1）与曲线C：y=x3相切的直线方程是3x﹣y﹣2=0或3x﹣4y+1=0．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：设切点为（x0，y0），则y0=x03，由于直线l经过点（1，1），可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点x0处的切线斜率，便可建立关于x0的方程．从而可求方程．解答：解：若直线与曲线切于点（x0，y0）（x0≠0），则k=．∵y′=3x2，∴y′|x=x0=3x02，∴2x02﹣x0﹣1=0，∴，∴过点A（1，1）与曲线C：y=x3相切的直线方程为3x﹣y﹣2=0或3x﹣4y+1=0，故答案为3x﹣y﹣2=0或3x﹣4y+1=0点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据一点坐标和斜率写出直线的方程，是一道综合题．14．如图，矩形ABCD内的阴影部分是由曲线f（x）=2x2﹣2x及直线y=2x围成的，现向矩形ABCD内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为．考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的综合应用．分析：根据见对方的几何意义，求出两条曲线的交点，由此可得所求面积为函数f（x）=2x2﹣2x及y=2x在区间上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．解答：解：∵f（x）=2x2﹣2x及直线y=2x的交点为C（0，0）和（2，4）∴曲线f（x）=2x2﹣2x及直线y=2x所围图形的面积为S===（2x2﹣）=，矩形ABCD的面积2×=9；∴矩形ABCD内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为；故答案为：．点评：本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．15．（5分）设0≤x≤2则函数的最大值是．考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：令t=2x，则原函数可转化为关于t的二次函数，配方后即可求得其最大值．解答：解：=22x﹣1﹣3•2x+5=×22x﹣3•2x+5，令t=2x，∵0≤x≤2，∴1≤t≤4，则y=t2﹣3t+5=，当t=1时，y取得最大值，为．故答案为：．点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查学生对问题的转化能力．16．（5分）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x）且x∈时，f（x）=1﹣x2，函数g （x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间内零点的个数有12个．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：数形结合；函数的性质及应用．分析：由f（x+2）=f（x），知函数y=f（x）（x∈R）是周期为2的函数，进而根据f（x）=1﹣x2与函数g（x）=的图象得到交点为8个．解答：解：因为f（x+2）=f（x），所以函数y=f（x）（x∈R）是周期为2函数，因为x∈时，f（x）=1﹣x2，所以作出它的图象，则y=f（x）的图象如图所示：（注意拓展它的区间）再作出函数g（x）=的图象，容易得出到交点为12个．故答案为：12点评：考查答题者使用图象辅助作题的意识与能力，属于中档题．17．（5分）若存在区间M=（a＜b）使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．给出下列4个函数：①f（x）=e x②f（x）=x3③f（x）=cos④f（x）=lnx+1其中存在稳定区间的函数有②③（写出所有正确命题的序号）．考点：余弦函数的单调性；对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题；新定义．分析：根据“稳定区间”的定义，我们要想说明函数存在“稳定区间”，我们只要举出一个符合定义的区间M即可，但要说明函数没有“稳定区间”，我们可以用反证明法来说明．由此对四个函数逐一进行判断，即可得到答案．解答：解：：①对于函数f（x）=e x 若存在“稳定区间”，由于函数是定义域内的增函数，故有e a=a，e b=b，即方程e x=x有两个解，即y=e x和y=x的图象有两个交点，这与即y=e x和y=x的图象没有公共点相矛盾，故①不存在“稳定区间”．②对于f（x）=x3 存在“稳定区间”，如x∈时，f（x）=x3 ∈．③对于f（x）=sin x，存在“稳定区间”，如x∈时，f（x）=sin x∈．④对于f（x）=lnx，若存在“稳定区间”，由于函数是定义域内的增函数，故有lna=a，且lnb=b，即方程lnx=x 有两个解，即y=lnx 和y=x的图象有两个交点，这与y=lnx 和y=x的图象没有公共点相矛盾，故④不存在“稳定区间”．故答案为②③．点评：本题考查的知识点是函数的概念及其构造要求，在说明一个函数没有“稳定区间”时，利用函数的性质、图象结合反证法证明是解答本题的关键，属于中档题．三、解答题（本大题共有5道小题，每小题12分，共60分）18．（12分）设f（x）=（4x+4﹣x）﹣a（2x+2﹣x）+a+2（a为常数）（1）当a=﹣2时，求f（x）最小值（2）求所有使f（x）的值域为19．（12分）设f（x）=ln（1+x）﹣x﹣ax2．（1）当x=1时，f（x）取到极值，求a的值；（2）当a满足什么条件时，f（x）在区间上有单调递增的区间．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：分类讨论；导数的综合应用．分析：（1）当x=1时，f（x）取到极值，即f′（1）=0，解得a的值；（2）f（x）在区间上有单调递增的区间，即f′（x）＞0时在上有解，解含参数的不等式．解答：解：（1）由题意知f（x）的定义域为（﹣1，+∞），且f′（x）=﹣1﹣2ax=，当x=1时，f（x）取到极值，∴f′（1）=0，解得a=﹣；当a=﹣时，f′（x）=在（0，1）上小于0，f（x）是减函数，f′（x）=在（1，+∞）上大于0，f（x）是增函数，∴f（1）是函数的极小值，∴a的值为﹣；（2）要使f（x）在区间上有单调递增的区间，即f′（x）＞0在上有解，∴2ax+（2a+1）＞0；（i）当a=0是，有1＞0，上述不等式恒成立，∴a=0满足条件；（ii）当a＞0时，有x＞﹣，此时只要﹣＜﹣，解得：a＞﹣，∴取a＞0；（iii）当a＜0时，有x＜﹣，此时只要﹣＞﹣，解得：a＞﹣1，∴取﹣1＜a＜0；综上，a满足的条件是：a∈（﹣1，+∞）点评：本题考查了利用导数判定函数的单调性、求函数的极值问题，也考查了含参数的不等式的解法问题．20．（12分）已知函数f（x）=（x2+ax﹣2a2+3a）e x（x∈R），其中a∈R．（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；（2）当a≠时，求函数y=f（x）的单调区间与极值．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：（1）抓住两点①切点是公共点，代入曲线方程求出f（1）的值；②切点处的导数是切点的斜率．（2）先求导数，令导数等于零找到所有可能的极值点，再通过列表法具体判断，注意对极值点大小的讨论．解答：解：（1）当a=0时，f（x）=x2e x，f′（x）=（x2+2x）e x，故f′（1）=3e．所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为3e．（2）f′（x）=e x=（x+2a）•e x，令f′（x）=0，解得x=﹣2a，或x=a﹣2，由a≠知，﹣2a≠a﹣2．以下分两种情况讨论：①若a＞，则﹣2a＜a﹣2，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，﹣2a）﹣2a （﹣2a，a﹣2）a﹣2 （a﹣2，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↑极大值↓极小值↑所以f（x）在（﹣∞，﹣2a），（a﹣2，+∞）上是增函数，在（﹣2a，a﹣2）上是减函数．函数f（x）在x=﹣2a处取得极大值为f（﹣2a），且f（﹣2a）=3ae﹣2a．函数f（x）在x=a﹣2处取得极小值为f（a﹣2），且f（a﹣2）=（4﹣3a）e a﹣2．②若a＜，则﹣2a＞a﹣2，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，a﹣2）a﹣2 （a﹣2，﹣2a）﹣2a （﹣2a，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↑极大值↓极小值↑所以f（x）在（﹣∞，a﹣2），（﹣2a，+∞）上是增函数，在（a﹣2，﹣2a）上是减函数．函数f（x）在x=a﹣2处取得极大值f（a﹣2），且f（a﹣2）=（4﹣3a）e a﹣2．函数f（x）在x=﹣2a处取得极小值f（﹣2a），且f（﹣2a）=3ae﹣2a．点评：切线问题是2015届高考的热点，难度不大，只要抓住切点满足的两个条件，一般都能解决问题；第二问研究极值点一般要列表来解决问题．21．（12分）某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）．（1）求函数y=f（x）的解析式及其定义域；（2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？考点：分段函数的应用．专题：应用题．分析：（1）利用函数关系建立各个取值范围内的净收入与日租金的关系式，写出该分段函数，是解决该题的关键，注意实际问题中的自变量取值范围；（2）利用一次函数，二次函数的单调性解决该最值问题是解决本题的关键．注意自变量取值区间上的函数类型．应取每段上最大值的较大的即为该函数的最大值．解答：解：（1）当x≤6时，y=50x﹣115，令50x﹣115＞0，解得x＞2.3．∵x∈N*，∴x≥3，∴3≤x≤6，x∈N*，当x＞6时，y=x﹣115．令x﹣115＞0，有3x2﹣68x+115＜0，上述不等式的整数解为2≤x≤20（x∈N*），∴6＜x≤20（x∈N*）．故y=，定义域为{x|3≤x≤20，x∈N*}．（2）对于y=50x﹣115（3≤x≤6，x∈N*）．显然当x=6时，y max=185（元），对于y=﹣3x2+68x﹣115=﹣3+（6＜x≤20，x∈N*）．当x=11时，y max=270（元）．∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多．点评：本题考查学生的函数模型意识，注意分段函数模型的应用．将每一段的函数解析式找准相应的函数类型，利用相关的知识进行解决．22．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（1）当a=﹣1时，证明：在（1，+∞）上，f（x）+2＞0；（2）求证：••…＜（n≥2，n∈N+）．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数求得函数在（1，+∞）上的最小值为f（1）=﹣2，即可得出证明；（2）由（1）得﹣ln x+x﹣3+2＞0，即ln x＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）恒成立．0＜ln n＜n﹣1，即0＜＜，即可得出结论成立．解答：解：（1）根据题意知，f′（x）=（x＞0），当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（0，1]，单调递减区间为（1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1]；当a=0时，f（x）不是单调函数．所以a=﹣1时，f（x）=﹣ln x+x﹣3，在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）＞f（1），即f（x）＞﹣2，所以f（x）+2＞0．…（6分）（2）由（1）得﹣ln x+x﹣3+2＞0，即﹣ln x+x﹣1＞0，所以ln x＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）恒成立．∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴0＜＜，∴•••…•＜•••…•=（n≥2，n∈N*）．…（12分）点评：本题主要考查利用导数判断函数的单调性求函数的最值知识，考查利用导数证明不等式问题，注意构造函数法的应用，属于难题．【选修4-1：几何证明选讲】（10分）请考生在第22、23、24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分23．（10分）如图，设C为线段AB的中点，BCDE是以BC为一边的正方形，以B为圆心，BD为半径的圆与AB及其延长线相交于点H及K．（Ⅰ）求证：HC•CK=BC2；（Ⅱ）若圆的半径等于2，求AH•AK的值．考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的性质定理的证明．专题：综合题．分析：（Ⅰ）证明△DHC∽△KDC，可得，根据DC=BC，可得结论；（Ⅱ）连接AD，BD，则可得AD是⊙B的切线，由切割线定理可得AD2=AH•AK，从而可求AH•AK的值．解答：（Ⅰ）证明：连接DH，DK，则DH⊥DK，∴△DHC∽△KDC，∴，∴DC2=HC•CK，又DC=BC，∴BC2=HC•CK…（5分）（Ⅱ）解：连接AD，BD，则AD⊥BD，AD=BD，∴AD是⊙B的切线，于是AD2=AH•AK，∵圆的半径等于2∴AH•AK=4…（10分）点评：本题考查几何证明选讲，考查三角形的相似，考查圆的切线性质，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）24．在极坐标系中，动点P（ρ，θ）运动时，ρ与成反比，动点P的轨迹经过点（2，0）（I）求动点P的轨迹其极坐标方程．（II）以极点为直角坐标系原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，将（I）中极坐标方程化为直角坐标方程，并说明所得点P轨迹是何种曲线．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：（I）设ρ=，把点（2，0）代入求得k的值，可得动点P的轨迹的坐标方程，化简可得结果．（II）由于ρ+ρsin θ=2根据x=ρcosθ、y=ρsinθ化为直角坐标方程，整理可得结论．解答：解：（I）设把点（2，0）代入可得2=，∴k=1…（5分）∴ρ=；（II）∵ρ=，∴ρ（1+sinθ）=2，∵ρ2=x2+y2，ρsinθ=y…（7分）∴∴P点轨迹是开口向下，顶点为（0，1）的抛物线…（10分）点评：本题主要考查求简单曲线的极坐标方程，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）25．（Ⅰ）解不等式|2+x|+|2﹣x|≤4；（Ⅱ）a，b∈R+，证明：a2+b2≥（a+b）．考点：不等式的证明；绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用；推理和证明．分析：（Ⅰ）通过对自变量x的取值范围的讨论，去掉绝对值符号，再解相应的不等式，最后取其并集即可；（Ⅱ）利用作差法，作差后化积，分析判断证明即可．解答：解：（I）∵|2+x|+|2﹣x|=…（2分），∴由|2+x|+|2﹣x|≤4得：或或，解得x=﹣2或﹣2＜x≤2，∴原不等式的解为：﹣2≤x≤2…（5分）（II）证明：∵==（）（）=（）（）（a++b）=（a++b）≥0，∴a2+b2≥（a+b）…（10分）点评：本题考查绝对值不等式的解法及不等式的证明，考查分类讨论思想与作差法证明不等式，属于中档题．。

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甘肃省兰州一中2015届高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合A={x||x﹣|≤}，B={x|y=lg（4x﹣x2）}，则A∩B等于（） A．（0，2] B． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．（5分）已知函数，若存在a∈（0，π），使得f（x+a）=f（x﹣a）恒成立，则a的值是（） A． B． C． D．

4．（5分）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若Sn=，Sm=（m≠n），则Sm+n﹣4的符号是（） A．正 B．负 C．非负 D．非正

5．（5分）从平行六面体的8个顶点中任取5个顶点为顶点，恰好构成四棱锥的概率为（） A． B． C． D．

6．（5分）设f（x）=（1+x）6（1﹣x）5，则导函数f′（x）中x2的系数是（） A． 0 B． 15 C． 12 D．﹣15

7．（5分）设直线x+y=1与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB，则△OAB的面积为（）

A． 1 B． C． D．2

8．（5分）某几何体的三视图如图所示，当a+b取最大值时，这个几何体的体积为（） A． B． C． D． 9．（5分）如图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入

的条件是（） A． n＞2 B． n＞3 C． n＞4 D．n＞5

10．（5分）已知双曲线，被方向向量=（6，6）的直线截得的弦的中点为（4，1），则该双曲线离心率的值为（） A． B． C． D．2

11．（5分）函数f（x）=（x﹣a）ex在区间（2，3）内没有极值点，则实数a的取值范围是（） A．（﹣∞，3]∪ C．（﹣∞，3] D．上的最小值及相应的x值；（Ⅱ）若存在x∈，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．

【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分） 22．（10分）设AB为圆O的直径，AB=10．E为线段AO上一点，OE=AB．过E作一直线交圆O于C，D两点，使得∠CEA=45°．试求CE2+ED2的值．【选修4-4：坐标系与参数方程．】（共1小题，满分0分） 23．设直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．

【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分） 24．若实数a，b满足ab＞0，且a2b=4，若a+b≥m恒成立．（Ⅰ）求m的最大值；（Ⅱ）若2|x﹣1|+|x|≤a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．

甘肃省兰州一中2015届高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合A={x||x﹣|≤}，B={x|y=lg（4x﹣x2）}，则A∩B等于（） A．（0，2] B．，由B中y=lg（4x﹣x2），得到4x﹣x2＞0，即x（x﹣4）＜0，解得：0＜x＜4，即B=（0，4），则A∩B=（0，2]．故选：A．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2．（5分）若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，那么复数对应的点位于复平面内的（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．

分析：由图求得z，代入后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：由图知，z=2+i， ∴，

则对应的点的坐标为（），位于复平面内的第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．

3．（5分）已知函数，若存在a∈（0，π），使得f（x+a）=f（x﹣a）恒成立，则a的值是（） A． B． C． D．

考点：正弦函数的对称性．专题：计算题．

分析：由题意可得 =，再由a∈（0，π），可得

=+2π，解方程求出 a 的值．解答：解：由f（x+a）=f（x﹣a）恒成立，可得 =，

再由a∈（0，π），可得 0＜2a＜2π，故有 =+2π，∴a=．故选D．点评：本题考查了三角函数的周期性，要注意a∈（0，π）的范围，属于基础题．

4．（5分）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若Sn=，Sm=（m≠n），则Sm+n﹣4的符号是（） A．正 B．负 C．非负 D．非正

考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．

分析：利用等差数列的求和公式，求出d=，a1=，再确定Sm+n﹣4的符号．

解答：解：∵Sn=na1+d=，Sm=ma1+d=，解得d=，a1=． ∵Sm+n﹣4=（m+n）a1+d﹣4=＞0（∵m≠n）．故选：A．点评：本题考查等差数列的求和公式，考查学生的计算能力，确定d=，a1=是关键．

5．（5分）从平行六面体的8个顶点中任取5个顶点为顶点，恰好构成四棱锥的概率为（） A． B． C． D．

考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．

分析：总的基本事件为个，可得符合题意的有12×4个，由概率公式可得．

解答：解：由题意可知四棱锥的底面可由6个侧面和6个对角面构成，每个底面对应4个四棱锥，

故所求概率为P=．

故选：D．点评：本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．

6．（5分）设f（x）=（1+x）6（1﹣x）5，则导函数f′（x）中x2的系数是（） A． 0 B． 15 C． 12 D．﹣15

考点：二项式定理的应用；简单复合函数的导数．专题：二项式定理．分析： f′（x）中x2的系数，即f（x）中x3的系数的3倍，求得（x）中x3的系数，即可得出结论．解答：解：f′（x）中x2的系数，即f（x）中x3的系数的3倍．由于f（x）=（1+x）（1﹣x2）5=（1﹣x2）5+x（1﹣x2）5，

x3的系数为0﹣=﹣5，∴f（x）的解析式中含x3的项为﹣5x3，

故函数f′（x）中x2的系数是﹣15，故选：D．点评：本题主要考查二项式定理的应用，函数的导数，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，体现了转化的数学思想，属于基础题．

7．（5分）设直线x+y=1与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB，则△OAB的面积为（）

A． 1 B． C． D．2 考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：联立直线和抛物线方程，化为关于y的一元二次方程后运用求根公式，求得A，B的坐标，由OA⊥OB，可得x1x2+y1y2=0，求得p，由两点的距离公式可得OA，OB的长，利用三角形的面积公式计算即可得到．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由x+y=1与抛物线y2=2px，得y2+2py﹣2p=0，

解得y1=﹣p+，x1=1+p﹣，y2=﹣p﹣，x2=1+p+，由OA⊥OB得，x1x2+y1y2=0，即+=0，化简得2p=1，即p=，

从而A（，），B（，）， |OA|2=x12+y12=5﹣2，|OB|2=x22+y22=5+2， △OAB的面积S=|OA|•|OB|==．

故选B．点评：本题考查直线和抛物线的位置关系，考查直线方程和抛物线方程联立，求得交点，运用两点的距离公式，考查运算能力，属于中档题．

8．（5分）某几何体的三视图如图所示，当a+b取最大值时，这个几何体的体积为（）

A． B． C． D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：三视图复原几何体是长方体的一个角，设出棱长，利用勾股定理，基本不等式，求出最大值．解答：解：如图所示，可知AC=，BD=1，BC=b，AB=a．设CD=x，AD=y，则x2+y2=6，x2+1=b2，y2+1=a2，

消去x2，y2得a2+b2=8≥，所以（a+b）≤4，当且仅当a=b=2时等号成立，此时x=，y=，

所以V=××1××=．故选D．点评：本题是基础题，考查几何体的三视图，几何体的表面积和体积的求法，准确判断几何体的形状是解题的关键．

9．（5分）如图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入