第18章勾股定理单元测试试卷(二)附答案
中考数学勾股定理(讲义及答案)附解析
一、选择题1．如图，在ABC ∆中，,90︒=∠=AB AC BAC ，ABC ∠的平分线BD 与边AC 相交于点D ，DE BC ⊥，垂足为E ，若CDE ∆的周长为6，则ABC ∆的面积为（ ）.A ．36B ．18C ．12D ．9 2．如图所示，在中，，，.分别以，，为直径作半圆（以为直径的半圆恰好经过点，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．4B ．5C ．7D ．63．如图，在等腰Rt ABC △中，908C AC ∠==°，，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD CE =．连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：①DFE △是等腰直角三角形；②四边形CDFE 不可能为正方形；③DE 长度的最小值为4；④四边形CDFE 的面积保持不变；⑤△CDE 面积的最大值为8．其中正确的结论是（ ）A ．①④⑤B ．③④⑤C ．①③④D ．①②③4．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD 、正方形EFGH 、正方形MNKT 的面积分别为S 1、S 2、S 3.若S 1+S 2+S 3=15，则S 2的值是( )A ．3B ．154C ．5D ．1525．若直角三角形的三边长分别为-a b 、a 、+a b ，且a 、b 都是正整数，则三角形其中一边的长可能为（）A ．22B ．32C ．62D ．826．如图,A 、B 两点在直线l 的两侧,点A 到直线l 的距离AC=4,点B 到直线l 的距离BD=2,且CD=6,P 为直线CD 上的动点, 则PA PB -的最大值是（ ）A ．62B ．22C ．210D ．67．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 的中垂线交AC 于D ，P 是BD 的中点，若BC ＝4，AC ＝8，则S △PBC 为（ ）A ．3B ．3.3C ．4D ．4.58．将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm ，高 8cm 的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为 hcm ，则 h 的取值范围是（ ）A ．h≤15cmB ．h≥8cmC ．8cm≤h≤17cmD ．7cm≤h≤16cm9．如图，在矩形ABCD 中，AB =8，BC =4，将矩形沿AC 折叠，点B 落在点B ′处，则重叠部分△AFC 的面积为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．610．有下列的判断： ①△ABC 中，如果a 2＋b 2≠c 2，那么△ABC 不是直角三角形②△ABC 中，如果a 2－b 2＝c 2，那么△ABC 是直角三角形③如果△ABC 是直角三角形，那么a 2＋b 2＝c 2以下说法正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．②二、填空题11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm 、3 dm 和1 dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点的最短路程是 dm ．12．如图所示的网格是正方形网格，则ABC ACB ∠+∠=__________°（点A ，B ，C 是网格线交点）．13．如图，在△ABC 中，OA ＝4，OB ＝3，C 点与A 点关于直线OB 对称，动点P 、Q 分别在线段AC 、AB 上(点P 不与点A 、C 重合)，满足∠BPQ ＝∠BAO.当△PQB 为等腰三角形时，OP 的长度是_____．14．如图，在ABC 中，D 是BC 边中点，106AB AC ==，，4=AD ，则BC 的长是_____________．15．在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，以BC 为斜边作等腰直角BCD ∆，连接DA ，若22AB =，42AC =，则DA 的长为______．16．如图在三角形纸片ABC 中，已知∠ABC =90º，AC =5，BC=4，过点A 作直线l 平行于BC ，折叠三角形纸片ABC ，使直角顶点B 落在直线l 上的点P 处，折痕为MN ，当点P 在直线l 上移动时，折痕的端点M 、N 也随之移动，若限定端点M 、N 分别在AB 、BC 边上（包括端点）移动，则线段AP 长度的最大值与最小值的差为________________．17．如图,30AOB ∠=︒，点,M N 分别在,OA OB 上，且6,8OM ON ==，点,P Q 分别在,OB OA 上运动，则PM PQ QN ++的最小值为______．18．如图，△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，AD 是BAC ∠的角平分线，E 是AD 上的动点，F 是AB 边上的动点，则BE+EF 的最小值为_____．19．在ABC 中，12AB AC ==，30A ∠=︒，点E 是AB 中点，点D 在AC 上，32DE =，将ADE 沿着DE 翻折，点A 的对应点是点F ，直线EF 与AC 交于点G ，那么DGF △的面积=__________．20．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，底边BC 上的高AD ＝6cm ，腰AC 上的高BE ＝4m ，则△ABC 的面积为_____cm 2．三、解答题21．在等边ABC 中，点D 是线段BC 的中点，120,EDF DE ∠=︒与线段AB 相交于点,E DF 与射线AC 相交于点F ．()1如图1，若DF AC ⊥，垂足为,4,F AB =求BE 的长；()2如图2，将()1中的EDF ∠绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段AC 相交于点F ．求证：12BE CF AB +=．()3如图3，将()2中的EDF ∠继续绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段AC 的延长线交于点,F 作DN AC ⊥于点N ，若,DN FN =设,BE x CF y ==，写出y 关于x 的函数关系式．22．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为AC 边上一动点，且不与点A 点C 重合，连接BD 并延长，在BD 延长线上取一点E ，使AE ＝AB ，连接CE ．（1）若∠AED ＝20°，则∠DEC ＝ 度；（2）若∠AED ＝a ，试探索∠AED 与∠AEC 有怎样的数量关系？并证明你的猜想； （3）如图2，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，AF 的延长线与EC 的延长线交于点H ，求证：EH 2+CH 2＝2AE 2．23．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 点在边BC 上运动（不与B ，C 重合），点E 在边AB 的延长线上，点F 在边AC 的延长线上，AD DE DF ==． （1）若30AED ∠=︒，则ADB =∠______．（2）求证：BED CDF △≌△．（3）试说明点D 在BC 边上从点B 至点C 的运动过程中，BED 的周长l 是否发生变化？若不变，请求出l 的值，若变，请求出l 的取值范围．24．在等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°（1）如图1，D ，E 是等腰Rt △ABC 斜边BC 上两动点，且∠DAE ＝45°，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后，得到△AFC ，连接DF①求证：△AED ≌△AFD ；②当BE ＝3，CE ＝7时，求DE 的长；（2）如图2，点D 是等腰Rt △ABC 斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt △ADE ，当BD ＝3，BC ＝9时，求DE 的长．25．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，点D 在边AB 上，点E 在边AC 的左侧，连接AE ．（1）求证：AE ＝BD ；（2）试探究线段AD 、BD 与CD 之间的数量关系；（3）过点C 作CF ⊥DE 交AB 于点F ，若BD ：AF ＝1：2，CD 36，求线段AB 的长．26．如图， ABD 为边长不变的等腰直角三角形，AB AD =，90BAD ∠=︒，在 ABD外取一点 E ，以A 为直角顶点作等腰直角AEP △，其中 P 在 ABD 内部，90EAP ∠=︒，2AE AP ==，当E 、P 、D 三点共线时，7BP =．下列结论：①E 、P 、D 共线时，点B 到直线AE 的距离为5；②E 、P 、D 共线时， 13ADP ABP S S ∆∆+=+；=532ABD S ∆+③； ④作点 A 关于 BD 的对称点 C ，在 AEP 绕点 A 旋转的过程中，PC 的最小值为5+232-；⑤AEP △绕点A 旋转,当点E 落在AB 上，当点P 落在AD 上时，取BP 上一点N ，使得AN BN =，连接 ED ，则AN ED ⊥．其中正确结论的序号是___．27．如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比），记为k . （1）命题：“等边三角形为优三角形，其优比为1”，是真命题还是假命题？（2）已知ABC 为优三角形，AB c =，AC b =，BC a =，①如图1，若90ACB ∠=︒，b a ≥，6b =，求a 的值.②如图2，若c b a ≥≥，求优比k 的取值范围.（3）已知ABC 是优三角形，且120ABC ∠=︒，4BC =，求ABC 的面积.28．（1）如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 平分ACB ∠.求证：CA AD BC +=.小明为解决上面的问题作了如下思考：作ADC ∆关于直线CD 的对称图形A DC '∆，∵CD 平分ACB ∠，∴A '点落在CB 上，且CA CA '=，A D AD '=.因此，要证的问题转化为只要证出A D A B ''=即可.请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，17AC =，9AD =，求AB 的长.29．已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，过顶点A 作射线AP .（1）当射线AP 在BAC ∠外部时，如图①，点D 在射线AP 上，连结CD 、BD ，已知21AD n =-，21AB n =+，2BD n =（1n >）.①试证明ABD ∆是直角三角形；②求线段CD 的长.（用含n 的代数式表示）（2）当射线AP 在BAC ∠内部时，如图②，过点B 作BD AP ⊥于点D ，连结CD ，请写出线段AD 、BD 、CD 的数量关系，并说明理由.30．定义：在△ABC 中，若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，若a ，b ，c 满足ac +a 2＝b 2，则称这个三角形为“类勾股三角形”，请根据以上定义解决下列问题：（1）命题“直角三角形都是类勾股三角形”是 命题（填“真”或“假”）；（2）如图1，若等腰三角形ABC 是“类勾股三角形”，其中AB ＝BC ，AC ＞AB ，请求∠A 的度数；（3）如图2，在△ABC 中，∠B ＝2∠A ，且∠C ＞∠A ．①当∠A ＝32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由； ②请证明△ABC 为“类勾股三角形”．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】利用角平分定理得到DE=AD ，根据三角形内角和得到∠BDE=∠BDA ，再利用角平分线定理得到BE=AB=AC ，根据CDE ∆的周长为6求出AB=6，再根据勾股定理求出218AB =，即可求得ABC ∆的面积.【详解】∵90BAC ︒∠=，∴AB ⊥AD,∵DE BC ⊥,BD 平分ABC ∠,∴DE=AD ，∠BED=90BAC ︒∠=，∴∠BDE=∠BDA ，∴BE=AB=AC ，∵CDE ∆的周长为6，∴DE+CD+CE=AC+CE=BC=6，∵,90︒=∠=AB AC BAC∴22236AB AC BC +==,∴2236AB =, 218AB =,∴ABC ∆的面积=211922AB AC AB ⋅⋅==, 故选：D.【点睛】此题考查角平分线定理的运用，勾股定理求边长，在利用角平分线定理时必须是两个垂直一个平分同时运用，得到到角两边的距离相等的结论. 2．D解析：D【解析】【分析】先利用勾股定理计算BC 的长度，然后阴影部分的面积=以AB 为直径的半圆面积+以BC 为直径的半圆面积+-以AC 为直径的半圆面积. 【详解】解：在中 ∵，, ∴, ∴BC=3,∴阴影部分的面积=以AB 为直径的半圆面积+以BC 为直径的半圆面积+-以AC 为直径的半圆面积=6.故选D. 【点睛】本题考查扇形面积的计算和勾股定理.在本题中解题关键是用重叠法去表示阴影部分的面积. 3．A解析：A【分析】作常规辅助线连接CF ，由SAS 定理可证△CFE 和△ADF 全等，从而可证∠DFE=90°，DF=EF ．所以△DEF 是等腰直角三角形；由割补法可知四边形CDFE 的面积保持不变；△DEF 是等腰直角三角形2DF ，当DF 与BC 垂直，即DF 最小时，DE 取最小值42，△CDE 最大的面积等于四边形CDEF 的面积减去△DEF 的最小面积．【详解】连接CF；∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；∵AD=CE，∴△ADF≌△CEF；∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；∵∠AFD+∠CFD=90°，∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，∴△EDF是等腰直角三角形.当D. E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形.∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF，∴S四边形CEFD=S△AFC.由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；即当DF⊥AC时,DE最小,此时DF=12BC=4.∴22当△CEF面积最大时，此时△DEF的面积最小.此时S△CEF=S四边形CEFD−S△DEF=S△AFC−S△DEF=16−8=8，则结论正确的是①④⑤.故选A.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质, 等腰直角三角形性质.要证明线段或者角相等，一般证明它们所在三角形全等，如果不存在三角形可作辅助线解决问题.4．C解析：C【解析】将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=15，∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，∴S1+S2+S3=3x+12y=15，即3x+12y=15，x+4y=5，所以S2=x+4y=5，故答案为5．点睛：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，用x，y表示出S 1，S 2，S 3，再利用S 1+S 2+S 3=15求解是解决问题的关键．5．B解析：B【解析】由题可知（a-b ）2+a 2=（a+b ）2，解得a=4b ，所以直角三角形三边分别为3b ，4b ，5b ，当b=8时，4b=32，故选B ．6．C解析：C【解析】试题解析：作点B 关于直线l 的对称点B ',连接AB '并延长,与直线l 的交点即为使得PA PB -取最大值时对应的点.P此时.PA PB PA PB AB -=-'='过点B '作B E AC '⊥于点,E 如图,四边形B DCE '为矩形，6, 2.B E CD EC B D BD ∴=====''2.AE ∴=22210.AB AE B E ''+=PA PB -的最大值为：210.故答案为：210.7．A解析：A【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB ，根据勾股定理求出BD ，得到CD 的长，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：∵点D在线段AB的垂直平分线上，∴DA＝DB，在Rt△BCD中，BC2+CD2＝BD2，即42+（8﹣BD）2＝BD2，解得，BD＝5，∴CD＝8﹣5＝3，∴△BCD的面积＝12×CD×BC＝12×3×4＝6，∵P是BD的中点，∴S△PBC＝12S△BCD＝3，故选：A．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．8．C解析：C【分析】筷子浸没在水中的最短距离为水杯高度，最长距离如下图，是筷子斜卧于杯中时，利用勾股定理可求得.【详解】当筷子笔直竖立在杯中时，筷子浸没水中距离最短，为杯高=8cmAD是筷子，AB长是杯子直径，BC是杯子高，当筷子如下图斜卧于杯中时，浸没在水中的距离最长由题意得：AB=15cm，BC=8cm，△ABC是直角三角形∴在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC=17cm∴8cm≤h≤17cm故选：C【点睛】本题考查勾股定理在实际生活中的应用，解题关键是将题干中生活实例抽象成数学模型，然后再利用相关知识求解.9．B解析：B【分析】已知AD 为CF 边上的高，要求AFC △的面积，求得FC 即可，求证AFD CFB '△≌△，得B F DF '=，设DF x =，则在Rt AFD △中，根据勾股定理求x ，于是得到CF CD DF =-，即可得到答案．【详解】解：由翻折变换的性质可知，AFD CFB '△≌△，'DF B F ∴=，设DF x =，则8AF CF x ==-，在Rt AFD △中，222AF DF AD =+，即222(8)4x x -=+，解得：3x =，835CF CD FD ∴=-=-=， 1102AFC S AF BC ∴=⋅⋅=△． 故选：B ．【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等内容，根据折叠的性质得到AFD CFB '△≌△是解题的关键．10．D解析：D【分析】欲判断三角形是否为直角三角形，这里给出三边的长，需要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】①c 不一定是斜边，故错误；②正确；③若△ABC 是直角三角形，c 不是斜边，则a 2＋b 2≠c 2，故错误，所以正确的只有②，故选D.【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理的内容是解题的关键.二、填空题11．【解析】试题分析：将台阶展开，如图，331312,5,AC BC =⨯+⨯==222169,AB AC BC ∴=+=13,AB ∴=即蚂蚁爬行的最短线路为13.dm考点：平面展开：最短路径问题．12．45【分析】如下图,延长BA 至网络中的点D 处,连接CD. ABC ACB DAC ∠+∠=∠，只需证△ADC 是等腰直角三角形即可【详解】如下图,延长BA 至网络中的点D 处,连接CD设正方形网络每一小格的长度为1则根据网络，555BC=5，∴5其中BD 、DC 、BC 边长满足勾股定理逆定理∴∠CDA=90°∵AD=DC∴△ADC 是等腰直角三角形∴∠DAC=45°故答案为：45°【点睛】本题是在网格中考察勾股定理的逆定理，解题关键是延长BA ，构造处△ABC 的外角∠CAD13．1或78【分析】 分为三种情况：①PQ BP =，②BQ QP =，③BQ BP =，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．【详解】解：分为3种情况：①当PB PQ =时，4=OA ，3OB =，∴5BC AB ===， C 点与A 点关于直线OB 对称，BAO BCO ∴∠=∠，BPQ BAO ∠=∠，BPQ BCO ∴∠=∠，APB APQ BPQ BCO CBP ∠=∠+∠=∠+∠，APQ CBP ∴∠=∠，在APQ 和CBP 中，BAO BCP APQ B PQ B P C P ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨=⎪⎩， ()APQ CBP AAS ∴△≌△，∴5AP BC ==，1OP AP OA ∴=-=；②当BQ BP =时，BPQ BQP ∠=∠，BPQ BAO ∠=∠，BAO BQP ∴∠=∠，根据三角形外角性质得：BQP BAO ∠>∠，∴这种情况不存在；③当QB QP =时，QBP BPQ BAO ∠=∠=∠，PB PA ∴=，设OP x =，则4PB PA x ==-在Rt OBP △中，222PB OP OB =+，222(4)3x x ∴-=+， 解得：78x =； ∴当PQB △为等腰三角形时，1OP =或78； 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题，注意分类讨论．14．【分析】延长AD至点E，使得DE＝AD＝4，结合D是中点证得△ADC≌△EDB，进而利用勾股定理逆定理可证得∠E＝90°，再利用勾股定理求得BD长进而转化为BC长即可．【详解】解：如图，延长AD至点E，使得DE＝AD＝4，连接BE，∵D是BC边中点，∴BD＝CD，又∵DE＝AD，∠ADC＝∠EDB，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝6，又∵AB＝10，∴AE2＋BE2＝AB2，∴∠E＝90°，∴在Rt△BED中，2222=++=，BD BE DE64213∴BC＝2BD＝13故答案为：13【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理及其逆定理，正确作出辅助线是解决本题的关键．15．6或2.【分析】由于已知没有图形，当Rt△ABC固定后，根据“以BC为斜边作等腰直角△BCD”可知分两种情况讨论：①当D点在BC上方时，如图1，把△ABD绕点D逆时针旋转90°得到△DCE，证明A、C、E三点共线，在等腰Rt△ADE中，利用勾股定理可求AD长；②当D点在BC下方时，如图2，把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，证明过程类似于①求解．【详解】解：分两种情况讨论：①当D点在BC上方时，如图1所示，把△ABD绕点D逆时针旋转90°，得到△DCE，则∠ABD=∠ECD，2，AD=DE，且∠ADE=90°在四边形ACDB中，∠BAC+∠BDC=90°+90°=180°，∴∠ABD+∠ACD=360°-180°=180°，∴∠ACD+∠ECD=180°，∴A、C、E三点共线．∴AE=AC+CE=42+22=62在等腰Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，即2AD2=（62）2，解得AD=6②当D点在BC下方时，如图2所示，把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，则CE=AB=22，∠BAD=∠CED，AD=AE且∠ADE=90°，所以∠EAD=∠AED=45°，∴∠BAD=90°+45°=135°，即∠CED=135°，∴∠CED+∠AED=180°，即A、E、C三点共线．∴AE=AC-CE=42-22=22在等腰Rt△ADE中，2AD2=AE2=8，解得AD=2．故答案为：6或2.【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理，解决这类等边（或共边）的两个三角形问题，一般是通过旋转的方式作辅助线，转化线段使得已知线段于一个特殊三角形中进行求解．1671【分析】分别找到两个极端,当M与A重合时，AP取最大值，当点N与C重合时，AP取最小，即可求出线段AP长度的最大值与最小值之差【详解】如图所示，当M 与A 重合时，AP 取最大值，此时标记为P 1，由折叠的性质易得四边形AP 1NB 是正方形，在Rt △ABC 中，2222AB=AC BC =54=3--，∴AP 的最大值为A P 1=AB=3如图所示，当点N 与C 重合时，AP 取最小，过C 点作CD ⊥直线l 于点D ，可得矩形ABCD ，∴CD=AB=3，AD=BC=4，由折叠的性质有PC=BC=4，在Rt △PCD 中，2222PD=PC CD =43=7--，∴AP 的最小值为AD PD=47-线段AP 长度的最大值与最小值之差为(1AP AP=347=71-- 71【点睛】本题考查勾股定理的折叠问题，可以动手实际操作进行探索.17．10【分析】首先作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，连接M ′N ′，即为MP +PQ +QN 的最小值，易得△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∠N ′OM ′=90°，继而可以求得答案．【详解】作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，连接M ′N ′，即为MP +PQ +QN 的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N ′OQ =∠M ′OB =30°，∠ONN ′=60°，OM ′=OM =6，ON ′=ON =8，∴△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∴∠N ′OM ′=90°．在Rt △M ′ON ′中，M ′N 22''OM ON +． 故答案为10．【点睛】本题考查了最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到直角三角形是解题的关键．18．12013【解析】 ∵AB=AC ，AD 是角平分线，∴AD ⊥BC ，BD=CD ， ∴B 点，C 点关于AD 对称，如图，过C 作CF ⊥AB 于F ，交AD 于E ，则CF=BE+FF 的最小值，根据勾股定理得，AD=12，利用等面积法得：AB ⋅CF=BC ⋅AD ，∴CF=BC AD AB ⋅=101213⨯=12013故答案为12013. 点睛：本题主要考查的是翻折的性质、垂线段最短、勾股定理的应用及三角形面积的等积法.明确当CF ⊥AB 时，CF 有最小值是解题的关键.19．39或639【分析】通过计算E 到AC 的距离即EH 的长度为3，所以根据DE 的长度有两种情况：①当点D 在H 点上方时，②当点D 在H 点下方时，两种情况都是过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，利用含30°的直角三角形的性质和勾股定理求出AH,DH 的长度，进而可求AD 的长度，然后利用角度之间的关系证明AG GE =，再利用等腰三角形的性质求出GQ 的长度，最后利用2DGF AED AEG SS S =-即可求解． 【详解】①当点D 在H 点上方时，过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，12AB = ，点E 是AB 中点，162AE AB ∴== ． ∵EH AC ⊥，90AHE ∴∠=︒ ．30,6A AE ∠=︒=，132EH AE ∴== ， 22226333AH AE EH ∴=-=-=． 32DE =，2222(32)33DH DE EH ∴=-=-= ，DH EH ∴=，333AD AH DH =-=，45EDH ∴∠=︒，15AED EDH A ∴∠=∠-∠=︒ ．由折叠的性质可知，15DEF AED ∠=∠=︒，230AEG AED ∴∠=∠=︒ ，AEG A ∴∠=∠，AG GE ∴= ． 又GQ AE ⊥ ，132AQ AE ∴== ． 30A ∠=︒ ， 12GQ AG ∴=． 222GQ AQ AG += ， 即2223(2)GQ GQ +=， 3GQ ∴= ．2DGF AED AEG S S S =- ，112(333)36363922DGF S ∴=⨯⨯-⨯-⨯⨯=-； ②当点D 在H 点下方时，过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，12AB = ，点E 是AB 中点，162AE AB ∴== ． ∵EH AC ⊥，90AHE ∴∠=︒．30,6A AE ∠=︒= ，132EH AE ∴== ， 22226333AH AE EH ∴=-=-=．3DE =，3DH ∴=== ，DH EH ∴=，3AD AH DH =+=，45DEH ∴∠=︒ ，90105AED A DEH ∴∠=︒-∠+∠=︒ ．由折叠的性质可知，105DEF AED ∠=∠=︒，218030AEG AED ∴∠=∠-︒=︒ ，AEG A ∴∠=∠，AG GE ∴= ． 又GQ AE ⊥ ，132AQ AE ∴== ． 30A ∠=︒，12GQ AG ∴= ． 222GQ AQ AG += ， 即2223(2)GQ GQ +=，GQ ∴= ．2DGF AED AEG S S S =- ，1123)36922DGF S ∴=⨯⨯⨯-⨯=，综上所述，DGF △的面积为9或9．故答案为：9或9．【点睛】本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，能够作出图形并分情况讨论是解题的关键．20．【分析】根据三角形等面积法求出32AC BC = ，在Rt△ACD 中根据勾股定理得出AC 2=14BC 2+36，依据这两个式子求出AC 、BC 的值.【详解】 ∵AD 是BC 边上的高，BE 是AC 边上的高， ∴12AC•BE＝12BC•AD， ∵AD＝6，BE ＝4，∴AC BC ＝32， ∴22AC BC ＝94， ∵AB＝AC ，AD⊥BC，∴BD＝DC ＝12BC ， ∵AC 2﹣CD 2＝AD 2，∴AC 2＝14BC 2+36， ∴221364BC BC +＝94， 整理得，BC 2＝3648⨯， 解得：BC＝∴△ABC 的面积为12×cm 2故答案为：【点睛】本题考查了三角形的等面积法以及勾股定理的应用，找出AC 与BC 的数量关系是解答此题的关键．三、解答题21．（1）BE ＝1；（2）见解析；（3）(2y x =【分析】（1）如图1，根据等边三角形的性质和四边形的内角和定理可得∠BED ＝90°，进而可得∠BDE =30°，然后根据30°角的直角三角形的性质即可求出结果；（2）过点D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，如图2，根据AAS 易证△MBD ≌△NCD ，则有BM ＝CN ，DM ＝DN ，进而可根据ASA 证明△EMD ≌△FND ，可得EM ＝FN ，再根据线段的和差即可推出结论；（3）过点D 作DM ⊥AB 于M ，如图3，同（2）的方法和已知条件可得DM ＝DN ＝FN ＝EM ，然后根据线段的和差关系可得BE +CF ＝2DM ，BE ﹣CF ＝2BM ，在Rt △BMD 中，根据30°角的直角三角形的性质可得DMBM ，进而可得BE +CF（BE ﹣CF ），代入x 、y 后整理即得结果．【详解】解：（1）如图1，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠C ＝60°，BC ＝AC ＝AB ＝4．∵点D是线段BC的中点，∴BD＝DC＝12BC＝2．∵DF⊥AC，即∠AFD＝90°，∴∠AED＝360°﹣60°﹣90°﹣120°＝90°，∴∠BED＝90°，∴∠BDE=30°，∴BE＝12BD＝1；（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，则有∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90°．∵∠A＝60°，∴∠MDN＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．∵∠EDF＝120°，∴∠MDE＝∠NDF．在△MBD和△NCD中，∵∠BMD＝∠CND，∠B＝∠C，BD=CD，∴△MBD≌△NCD（AAS），∴BM＝CN，DM＝DN．在△EMD和△FND中，∵∠EMD＝∠FND，DM＝DN，∠MDE＝∠NDF，∴△EMD≌△FND（ASA），∴EM＝FN，∴BE+CF＝BM+EM+CN－FN＝BM+CN＝2BM＝BD＝12BC＝12AB；（3）过点D作DM⊥AB于M，如图3，同（2）的方法可得：BM＝CN，DM＝DN，EM＝FN．∵DN ＝FN ，∴DM ＝DN ＝FN ＝EM ，∴BE +CF ＝BM +EM +FN －CN ＝NF +EM ＝2DM =x +y ，BE ﹣CF ＝BM +EM ﹣（FN －CN ）＝BM +NC ＝2BM =x －y ，在Rt △BMD 中，∵∠BDM =30°，∴BD =2BM ，∴DM ＝22=3BD BM BM -，∴()3x y x y +=-，整理，得()23y x =-．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，具有一定的综合性，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．22．（1）45度；（2）∠AEC ﹣∠AED ＝45°，理由见解析；（3）见解析【分析】（1）由等腰三角形的性质可求∠BAE ＝140°，可得∠CAE ＝50°，由等腰三角形的性质可得∠AEC ＝∠ACE ＝65°，即可求解；（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE ＝180°﹣2α，可得∠CAE ＝90°﹣2α，由等腰三角形的性质可得∠AEC ＝∠ACE ＝45°+α，可得结论；（3）如图，过点C 作CG ⊥AH 于G ，由等腰直角三角形的性质可得EH 2EF ，CH ＝2CG ，由“AAS ”可证△AFB ≌△CGA ，可得AF ＝CG ，由勾股定理可得结论．【详解】解：（1）∵AB ＝AC ，AE ＝AB ，∴AB ＝AC ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ，∠ACE ＝∠AEC ，∵∠AED ＝20°，∴∠ABE ＝∠AED ＝20°，∴∠BAE ＝140°，且∠BAC ＝90°∴∠CAE ＝50°，∵∠CAE +∠ACE +∠AEC ＝180°，且∠ACE ＝∠AEC ，∴∠AEC ＝∠ACE ＝65°，∴∠DEC ＝∠AEC ﹣∠AED ＝45°，故答案为：45；（2）猜想：∠AEC ﹣∠AED ＝45°，理由如下：∵∠AED ＝∠ABE ＝α，∴∠BAE ＝180°﹣2α，∴∠CAE ＝∠BAE ﹣∠BAC ＝90°﹣2α，∵∠CAE +∠ACE +∠AEC ＝180°，且∠ACE ＝∠AEC ，∴∠AEC ＝45°+α，∴∠AEC ﹣∠AED ＝45°；（3）如图，过点C 作CG ⊥AH 于G ，∵∠AEC ﹣∠AED ＝45°，∴∠FEH ＝45°，∵AH ⊥BE ，∴∠FHE ＝∠FEH ＝45°，∴EF ＝FH ，且∠EFH ＝90°，∴EH 2EF ，∵∠FHE ＝45°，CG ⊥FH ，∴∠GCH ＝∠FHE ＝45°，∴GC ＝GH ，∴CH 2CG ，∵∠BAC ＝∠CGA ＝90°，∴∠BAF +∠CAG ＝90°，∠CAG +∠ACG ＝90°，∴∠BAF ＝∠ACG ，且AB ＝AC ，∠AFB ＝∠AGC ，∴△AFB ≌△CGA （AAS ）∴AF ＝CG ，∴CH 2AF ，∵在Rt △AEF 中，AE 2＝AF 2+EF 2， 2AF ）2+2EF ）2＝2AE 2，∴EH 2+CH 2＝2AE 2．【点睛】本题是综合了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定的动点问题，三个问题由易到难，在熟练掌握各个相关知识的基础上找到问题之间的内部联系，层层推进去解答是关键.23．（1）90°；（2）证明见解析；（3）变化，234l +≤<．（1）由等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°，由等腰三角形的性质可求DAE=∠DEA=30°，由三角形内角和定理可求解；（2）根据等腰三角形的性质，可证得∠CDF=∠DEA 和∠EDB=∠DFA ，由此可利用“ASA”证明全等；（3）根据全等三角形的性质可得l =2+AD ，根据AD 的取值范围即可得出l 的取值范围．【详解】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠ABC=∠ACB=60°，∵AD=DE∴∠DAE=∠DEA=30°，∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=90°，故答案为：90°；（2）∵AD=DE=DF ，∴∠DAE=∠DEA ，∠DAF=∠DFA ，∵∠DAE+∠DAF=∠BAC=60°，∴∠DEA+∠DFA=60°，∵∠ABC=∠DEA+∠EDB=60°，∴∠EDB=∠DFA ，∵∠ACB=∠DFA+∠CDF=60°，∴∠CDF=∠DEA ，在△BDE 和△CFD 中∵CDF DEA DE DF EDB DFA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BDE ≌△CFD （ASA ）（3）∵△BDE ≌△CFD ，∴BE=CD ，∴l =BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD=2+AD ，当D 点在C 或B 点时，AD=AC=AB=2,此时B 、D 、E 三点在同一条直线上不构成三角形，2+AD=4；当D 点在BC 的中点时，∵AB=AC ，∴BD=112BC =，AD ==此时22l AD =+=综上可知24l +≤<．本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．（1）掌握等腰三角形等边对等角是解决此问的关键；（2）中注意角之间的转换；（3）中注意临界点是否可取．24．（1）①见解析；②DE ＝297；（2）DE 的值为 【分析】（1）①先证明∠DAE ＝∠DAF ，结合DA ＝DA ，AE ＝AF ，即可证明；②如图1中，设DE ＝x ，则CD ＝7﹣x ．在Rt △DCF 中，由DF 2＝CD 2+CF 2，CF ＝BE ＝3，可得x 2＝（7﹣x ）2+32，解方程即可；（2）分两种情形：①当点E 在线段BC 上时，如图2中，连接BE ．由△EAD ≌△ADC ，推出∠ABE ＝∠C ＝∠ABC ＝45°，EB ＝CD ＝5，推出∠EBD ＝90°，推出DE 2＝BE 2+BD 2＝62+32＝45，即可解决问题；②当点D 在CB 的延长线上时，如图3中，同法可得DE 2＝153．【详解】（1）①如图1中，∵将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°后，得到△AFC ，∴△BAE ≌△CAF ，∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠CAF ，∵∠BAC ＝90°，∠EAD ＝45°，∴∠CAD +∠BAE ＝∠CAD +∠CAF ＝45°，∴∠DAE ＝∠DAF ，∵DA ＝DA ，AE ＝AF ，∴△AED ≌△AFD （SAS ）；②如图1中，设DE ＝x ，则CD ＝7﹣x ．∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠B ＝∠ACB ＝45°，∵∠ABE ＝∠ACF ＝45°，∴∠DCF ＝90°，∵△AED ≌△AFD （SAS ），∴DE ＝DF ＝x ，∵在Rt △DCF 中， DF 2＝CD 2+CF 2，CF ＝BE ＝3，∴x 2＝（7﹣x ）2+32，∴x ＝297， ∴DE ＝297； （2）∵BD ＝3，BC ＝9，∴分两种情况如下：①当点E 在线段BC 上时，如图2中，连接BE ．∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠EAB＝∠DAC，∵AE＝AD，AB＝AC，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴∠ABE＝∠C＝∠ABC＝45°，EB＝CD＝9-3=6，∴∠EBD＝90°，∴DE2＝BE2+BD2＝62+32＝45，∴DE＝35；②当点D在CB的延长线上时，如图3中，连接BE．同理可证△DBE是直角三角形，EB＝CD＝3+9=12，DB＝3，∴DE2＝EB2+BD2＝144+9＝153，∴DE＝317，综上所述，DE的值为35或317．【点睛】本题主要考查旋转变换的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理，添加辅助线，构造旋转全等模型，是解题的关键．25．（1）见解析；（2）BD2+AD2＝2CD2；（3）AB＝2+4．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明△ACE≌△BCD即可得到结论；（2）利用全等三角形的性质及勾股定理即可证得结论；（3）连接EF，设BD＝x，利用（1）、（2）求出EF=3x，再利用勾股定理求出x，即可得到答案.【详解】（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝90°∴∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD．（2）解：由（1）得△ACE ≌△BCD ，∴∠CAE ＝∠CBD ，又∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝∠CBA ＝∠CAE ＝45°，∴∠EAD ＝90°，在Rt △ADE 中，AE 2+AD 2＝ED 2，且AE ＝BD ，∴BD 2+AD 2＝ED 2，∵ED ＝2CD ，∴BD 2+AD 2＝2CD 2，（3）解：连接EF ，设BD ＝x ，∵BD ：AF ＝1：2AF ＝2x ，∵△ECD 都是等腰直角三角形，CF ⊥DE ，∴DF ＝EF ，由 （1）、（2）可得，在Rt △FAE 中，EF 22AF AE +22(22)x x +3x ， ∵AE 2+AD 2＝2CD 2，∴222(223)2(36)x x x ++=，解得x ＝1，∴AB ＝2+4．【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理.26．②③⑤【分析】①先证得ABE ADP ≅，利用邻补角和等腰直角三角形的性质求得90PEB ∠=︒，利用勾股定理求出BE ，即可求得点B 到直线AE 的距离；②根据①的结论，利用APD ABP ABE APB S S S S ∆∆∆+=+AEP BEP S S ∆∆=+即可求得结论； ③在Rt AHB 中，利用勾股定理求得2AB ，再利用三角形面积公式即可求得ABD S ∆； ④当A P C 、、共线时，PC 最小，利用对称的性质，AB BC =的长，再求得AC 的长，即可求得结论；⑤先证得ABP ADE ≅，得到ABP ADE ∠=∠，根据条件得到ABP NAB ∠=∠，利用互余的关系即可证得结论．【详解】①∵ABD 与AEP 都是等腰直角三角形，∴90BAD ∠=︒，90EAP ∠=︒，AB AD =，AE AP =，45APE AEP ∠=∠=︒， ∴EAB PAD ∠=∠， ∴()ABE ADP SAS ≅，∴180********AEB APD APE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴1354590PEB AEB AEP ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴222PE BE PB +=，∵2AE AP ==，90EAP ∠=︒， ∴22PE AE ==，∴()22227BE +=， 解得：3BE =，作BH ⊥AE 交AE 的延长线于点H ，∵45AEP ∠=︒，90PEB ∠=︒， ∴180180904545HEB PEB AEP ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴26sin 453HB BE =︒==， ∴点B 到直线AE 6，故①错误； ②由①知：ABE ADP ≅，2EP =，3BE =∴APD ABP ABE APB S S S S ∆∆∆∆+=+AEP BEP S S ∆∆=+1122AE AP PE EB =⨯⨯+⨯⨯ 11222322=⨯ 13=，故②正确；③在Rt AHB 中，由①知：6EH HB ==∴622 AH AE EH=+=+，22222256623AB AH BH⎛⎫⎛⎫=+=++=+⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，21153222ABDS AB AD AB∆=⋅==+，故③正确；④因为AC是定值，所以当A P C、、共线时，PC最小，如图，连接BC，∵A C、关于BD的对称，∴523AB BC==+∴225231043AC BC==+=+∴minPC AC AP=-，10432=+⑤∵ABD与AEP都是等腰直角三角形，∴90BAD∠=︒，90EAP∠=︒，AB AD=，AE AP=，在ABP和ADE中，AB ADBAP DAEAP AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABP ADE SAS≅，∴ABP ADE∠=∠，∵AN BN=，∴ABP NAB∠=∠，∴EAN ADE∠=∠，∵90EAN DAN∠+∠=︒，∴90ADE DAN∠+∠=︒，∴AN DE⊥，故⑤正确；综上，②③⑤正确，故答案为：②③⑤．【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，三角形的面积公式，综合性强，全等三角形的判定和性质的灵活运用是解题的关键．27．（1）该命题是真命题，理由见解析；（2）①a 的值为92；②k 的取值范围为13k ≤<；（3）ABC ∆的面积为2033或1235． 【分析】 （1）根据等边三角形的性质、优三角形和优比的定义即可判断；（2）①先利用勾股定理求出c 的值，再根据优三角形的定义列出,,a b c 的等式，然后求解即可；②类似①分三种情况分析，再根据三角形的三边关系定理得出每种情况下,,a b c 之间的关系，然后根据优比的定义求解即可；（3）如图（见解析），设BD x =，先利用直角三角形的性质、勾股定理求出AC 、AB 的长及ABC ∆面积的表达式，再类似（2），根据优三角形的定义分三种情况分别列出等式，然后解出x 的值，即可得出ABC ∆的面积．【详解】（1）该命题是真命题，理由如下：设等边三角形的三边边长为a则其中两条边的和为2a ，恰好是第三边a 的2倍，满足优三角形的定义，即等边三角形为优三角形又因该两条边相等，则这两条边的比为1，即其优比为1故该命题是真命题；（2）①90,6CB b A ∠=︒=22236c a b a ∴=++根据优三角形的定义，分以下三种情况：当2a b c +=时，26236a a +=+，整理得24360a a -+=，此方程没有实数根。
江阴市华西实验学校(中学部)八年级数学下册第二单元《勾股定理》检测题(答案解析)
一、选择题1．如图，在ABC 中，2,30,105AC ABC BAC =∠=︒∠=︒，D 为AB 边上一点，连接CD ，15ACD =︒∠，把ACD △沿直线AC 翻折，得到ACD '△，CD '与BA 延长线交于点E ，则D E '的长为（ ）A ．33+ B ．33- C ．33+ D ．33- 2．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作正方形，面积分别为1S ，2S ，3S ；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为4S ，5S ，6S ．其中11S =，23S =，52S =，64S =，则34S S +=（ ）A ．10B ．9C ．8D ．73．下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是直角三角形的是（ ） A ．a ＝7，b ＝25，c ＝24 B ．a ＝11，b ＝41，c ＝40 C ．a ＝12，b ＝13，c ＝5D ．a ＝8，b ＝17，c ＝154．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A 处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A 的相对方向有一小虫P ，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A 处的最短距离是（ ）A 73B ．10厘米C ．82D ．8厘米5．如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=8，将△ABC 沿直线BC 向右平移，得到△EDF ，连接AD ，若四边形ACFD 为菱形，EC=4，则平移的距离为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．86．如图，平面直角坐标系中，点A 在第一象限，点B 、C 的坐标分别为3,02⎛⎫⎪⎝⎭、1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭．若ABC ∆是等边三角形，则点A 的坐标为（ ）A ．1,32⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,37．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，若30B ∠=︒，3AC =，2AD =，则ABD △的面积为（ ）A 3B ．2C ．23D ．38．若实数m 、n 满足340m n --=，且m 、n 恰好是Rt ABC △的两条边长，则第三条边长为（ ）． A ．5 B 7C ．57D ．以上都不对9．()224129x x ++-+ ）A ．12B ．13C ．14D ．1110．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，DE 是斜边AB 的垂直平分线，与BC 相交于点D 连接AD ，若AC ＝5，△ACD 的周长为17，则斜边AB 的长为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．1411．下图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边()x y >，下列四个说法：①2249x y +=，②2x y -=，③2449xy +=，④9x y +=．其中说法正确的是（ ）．A ．①③B ．①②③C ．②④D ．①②③④12．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CA=CB=4，D 、E 分别为边AC 、BC 上的两点，且AD=CE ， 当线段DE 取得最小值时，试在直线AC 或直线BC 上找到一点P ，使得△PDE 是等腰三角形，则满足条件的点P 的个数是（ ）A ．6B ．7个C ．8个D ．以上都不对二、填空题13．如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，MN=4，MA=1，MB ＞1．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成ABC ．设AB=x ，若ABC 为直角三角形，则x=__．14．如图所示，在ABC 中，90C DE ∠=︒,垂直平分AB ，交BC 于点E ，垂足为点D ，8,15BE B =∠=︒，则EC 的长为________________________．15．如图，在等腰ABC 中，13AB AC ==，AD 是ABC 的高，12AD =，10BC =，E 、F 分别是AC 、AD 上一动点，则CF EF +的最小值为______．16．如图，90MON ∠=︒，点A 、B 分别在射线OM ，ON 上，点C 是线段AB 的一点，且2BC AC OC ===，A OC '与AOC 关于直线OC 对称，A O '与AB 相交于点D ，当A DC ∆'是直角三角时2OB 等于__________．17．如图，l 1∥l 2∥l 3，且l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3．若点A ，B ，C 分别在直线l 1，l 2，l 3上，且AC ⊥BC ，AC ＝BC ，则AB 的长是_____．18．一个直角三角形，一边长5cm ，另一边长4cm ，则该直角三角形面积为____ 19．《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》“勾股”一章记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，那么门的高为_____尺．（1丈＝10尺，1尺＝10寸）20．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影的部分是一个小正方形EFGH，这样就组成了一个“赵爽弦图”．若AB＝13，AE＝12，则正方形EFGH的面积为___________．三、解答题21．Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5．（1）如图1，点E在边BC上，且∠AEC=2∠B．①在图1中用尺规作图作出点E，并连结AE（保留作图痕迹，不写作法与证明过程）；②求CE的长．（2）如图2，点D为斜边上的动点，连接CD，当△ACD是以AC为底的等腰三角形时，求AD的长．22．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形解决下列问题：（1）试说明：a2+b2＝c2；（2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求（a+b）2的值．23．拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB 由点A 向点B 行驶，已知点C 为一所学校，且点C 与直线AB 上两点A ，B 的距离分别为150m 和200m ，又AB ＝250m ，拖拉机周围130m 以内为受噪声影响区域． （1）学校C 会受噪声影响吗？为什么？（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？24．在ABC 中，,90︒=∠=AB AC BAC ．（1）如图1，点,P Q 在线段BC 上，,15AP AQ BAP ︒=∠=，求AQB ∠的度数；（2）点,P Q 在线段BC 上（不与点,B C 重合），AP AQ =，点Q 关于直线AC 的对称点为M ，连接,AM PM ． ①依题意将图2补全；②用等式表示线段,,BP AP PC 之间的数量关系，并证明．25．在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，请在图中画出2个形状不同的5，且顶点都在格点上，则满足条件的形状不同的等腰三角形共 个．26．阅读下面的情景对话，然后解答问题：老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．小华：等边三角形一定是奇异三角形！ 小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华的说法：“等边三角形一定是奇异三角形”______正确（填“是”或“不是”）（2）在Rt ABC 中，两边长分别是52a =10c =，这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先根据三角形的内角和定理60CDE ∠=︒，再根据翻折的性质可得,60,15AD AD D CDE ACD ACD '''=∠=∠=︒∠=∠=︒，从而可得90,30CED D AE '∠=︒∠=︒，设D E x '=，然后利用直角三角形的性质、勾股定理可得(3,323AE x CE x ==+，最后在Rt ACE △中，利用勾股定理即可得．【详解】3150,105,ABC B D A AC C ∠=︒∠=∠=︒︒，30018BCD ABC BAC ACD ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒， 60ABC BC CDE D ∴∠=∠+∠=︒，由翻折的性质得：,60,15AD AD D CDE ACD ACD '''=∠=∠=︒∠=∠=︒，30DCE ACD ACD '∴∠=∠+∠=︒，90,9030CED D AE D ''∴∠=︒∠=︒-∠=︒，设D E x '=，则2,AD AD x AE '===，(2DE AD AE x ∴=+=，在Rt CDE △中，((222,3CD DE x CE x ==+==+，在Rt ACE △中，222AE CE AC +=，即)(2223x ⎡⎤++=⎣⎦，解得x =或0x =<（不符题意，舍去），即D E '=故选：D ． 【点睛】本题考查了翻折的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握翻折的性质是解题关键．2．A解析：A 【分析】由题意可得S 1+S 2=S 3， S 5+S 6=S 4，然后根据S 1=1，S 2=3，S 5=2，S 6=4，然后求出S 3+S 4的值即可． 【详解】 解：如图：∵S 1=a 2，S 2=b 2，S 3=c 2， ∴a 2+b 2=c 2，即S 1+S 2=S 3， 同理可得：S 5+S 6=S 4， ∵S 1=1，S 2=3，S 5=2，S 6=4 ∴S 3+S 4=（1+3）+（2+4）=4+6=10． 故答案为A ． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用以及正方形的面积、圆的面积的解法，审清题意、灵活运用数形结合的思想成为解答本题的关键．3．B解析：B 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形． 【详解】解：A 、72+242＝52，能构成直角三角形，不符合题意；B 、112+402≠412，不能构成直角三角形，符合题意；C 、52+122＝132，能构成直角三角形，不符合题意；D 、82+152＝172，能构成直角三角形，不符合题意． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，准确分析计算是解题的关键．4．B解析：B 【分析】把圆柱沿着点A 所在母线展开，把圆柱上最短距离转化为将军饮马河型最短问题求解即可. 【详解】把圆柱沿着点A 所在母线展开，如图所示， 作点A 的对称点B ， 连接PB ， 则PB 为所求，根据题意，得PC=8，BC=6， 根据勾股定理，得PB=10， 故选B.【点睛】本题考查了圆柱上的最短问题，利用圆柱展开，把问题转化为将军饮马河问题，灵活使用勾股定理是解题的关键.5．C解析：C 【分析】根据平移的性质可得8,,AB DE AC DF BC EF ====，设AC DF CF AD x ====，求得BC=4x +，再由勾股定理理出方程求解即可． 【详解】解：由平移的性质可得：8,,AB DE AC DF BC EF ==== 又∵四边形ACFD 是菱形 ∴设AC DF CF AD x ==== 又∵4EC =∴4BC EF CF CE x ==+=+ 又∵∠90BAC ︒= ∴222AB AC BC += ∴2228(4)x x +=+ 解得，6x =即6AD DF CF AC ==== 故平移的距离为：6AD = 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，熟练掌握平移的基本性质是解答此题的关键．6．A解析：A 【分析】先过点A 作AD ⊥OB ，根据△ABC 是等边三角形，求出AC=BC ，CD=BD ，∠ACB=60°，再根据点B 、C 的坐标，求出CB 的长，再根据勾股定理求出AD 的值，从而得出点A 的坐标． 【详解】过点A 作AD ⊥OB ，∵△ABC 是等边三角形， ∴AC=BC ，CD=BD ，∠ACB=60°， ∵点B 的坐标为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，点C 的坐标为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭∴BC=2，OC=12∴CA=2， ∴CD=1，∴2222=1=32CA CD -- ∵OD=CD-CO ∴OD=1-12=12∴点A 的坐标是132⎛⎝．故选A ．【点睛】此题考查了等边三角形的性质，用到的知识点是勾股定理，关键是作出辅助线，求出点A 的坐标．7．A解析：A【分析】根据含30度角的直角三角形性质可求出CD=1，过点D 作DE ⊥AB ，证明Rt △ACD ≌Rt △AED ，得AE=AC=3，再证明Rt △BED ≌Rt △AED ，得BE=AE=3，最后利用三角形面积公式即可求出答案．【详解】解：∵30B ∠=︒，90C ∠=︒，∴∠BAC=90゜-30゜=60゜∵AD 平分BAC ∠，∴∠BAD=∠CAD=1302BAC ∠=︒ 在Rt △ACD 中，由AD=2∴CD=1；过点D 作DE ⊥AB ，如图，∵AD 平分BAC ∠，90C ∠=︒，∴DE=DC=1又AD=AD∴Rt △ACD ≌Rt △AED ，∴3在Rt △ADE 和Rt △BDE 中DAE DBE AED BED DE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt △BED ≌Rt △AED∴3∴3∴11123322ABD S AB DE ∆=⨯=⨯⨯= 故选：A ．【点睛】 此题主要考查了角平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握相关定理、性质是解答此题的关键．8．C解析：C【分析】根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性求出m=3，n=4，再分两种情况利用勾股定理求出第三边．【详解】∵340m n -+-=，0,340m n --≥≥，∴m-3=0，n-4=0，解得m=3，n=4，当3、4都是直角三角形的直角边长时，第三边长=2234+=5；当3是直角边长，4是斜边长时，第三边长=22437-=，故选：C ．【点睛】此题考查绝对值的非负性及算术平方根的非负性，勾股定理，根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性求出m=3，n=4是解题的关键．注意：没有明确给出的是直角三角形直角边长还是斜边长时，应分情况求解第三边长．9．B解析：B【分析】建立直角坐标系，设P 点坐标为P （x ，0），设A （0，-2），B （12，3），过点B 作BC ⊥x 轴，交AC 于点C ，则AB 的长即为代数式()224129x x ++-+ 的最小值，然后根据Rt △ABC ，利用直角三角形的性质可求得AB 的值．【详解】解：如图所示：设P 点坐标为P （x ，0），设A （0，-2），B （12，3），过点B 作BC ⊥x 轴，交AC 于点C ，∴BC=3－(-2)=5，AC=12+，AP BP，∴=AP＋BP根据两点之间线段最短AB的最小值∴AB13．的最小值为13．故选：B．【点睛】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理的应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键．10．C解析：C【分析】=，根据三角形的周长公式计算，得到答案．根据线段的垂直平分线的性质得到DA DB【详解】解：DE是AB的垂直平分线，DA DB∴=，∆的周长为17，ACDAC CD AD∴++=，17AC CD DB AC BC∴++=+=，17AC=，5∴=-=，BC17512由勾股定理得，13AB==，故选：C．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．11．B解析：B【分析】根据直角三角形的性质，直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答即可．【详解】解：如图所示，∵△ABC 是直角三角形，∴根据勾股定理：22249x y AB +==，故①正确； 由图可知42x y CE -===，故②正确；由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 列出等式为144492xy ⨯+=， 即2449xy +=，故③正确； 由2449xy +=可得245xy =，又∵2249x y +=，两式相加得：2224945x xy y ++=+，整理得：()294x y +=， 949x y +=≠，故④错误； 故正确的是①②③．故选：B ．【点睛】 本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理、直角三角形的面积公式和完全平方公式是解题的关键．12．B解析：B【分析】先找出DE 最短时的位置，然后根据等腰三角形的性质，进行分类讨论，即可求出点P 的个数．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，设AD=CE=x ，则4CD x =-，由勾股定理，得：2222222(4)28162(2)8DE CD CE x x x x x =+=-+=-+=-+， ∴当2x =时，2DE 最小，即DE 最小，∴此时2AD CD CE BE ====，822DE ==∵在直线AC 或直线BC 上找到一点P ，使得△PDE 是等腰三角形，则可分为三种情况进行分析：PD=PE ；PD=DE ，PE=DE ；如下图所示：点P 共有7个点；故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，完全平方公式的应用，勾股定理，最短路径问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的确定点P 的位置，注意运用数形结合的思想进行解题．二、填空题13．或【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边即可得到关于x 的不等式组求出x 的取值范围再根据勾股定理即可列方程求解【详解】解：∵在△ABC 中AC=1AB=xBC=3-x 解得1＜x ＜2；①∵1＜x 解析：43或53【分析】 根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，即可得到关于x 的不等式组，求出x 的取值范围，再根据勾股定理，即可列方程求解．【详解】解：∵在△ABC 中，AC=1，AB=x ，BC=3-x ．1313x x x x +>-⎧∴⎨+->⎩， 解得1＜x ＜2；①∵1＜x ，∴AC 不能为斜边，②若AB 为斜边，则x 2=（3-x ）2+1，解得x=53，满足1＜x ＜2， ③若BC 为斜边，则（3-x ）2=1+x 2，解得x=43 ，满足1＜x ＜2， 故x 的值为：43或53，故答案为：43或53． 【点睛】 本题主要考查了三角形的三边关系以及勾股定理，正确理解分类讨论是解题的关键． 14．【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC 根据线段垂直平分线性质求出求出然后求出∠EAC 根据含30°角的直角三角形的性质求解即可【详解】解：∵在△ABC 中∴∵垂直平分∴∴∴∵∴∴∴在Rt △ECA 中故答解析：【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC ，根据线段垂直平分线性质求出8BE AE ==，求出15EAB B ∠=∠=︒，然后求出∠EAC ，根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：∵在△ABC 中，90ACB ∠=︒，15B ∠=︒，∴901575BAC ∠=︒-︒=︒，∵DE 垂直平分AB ，8BE =，∴8BE AE ==，∴15EAB B ∠=∠=︒，∴751560EAC ∠=︒-︒=︒，∵90C ∠=︒，∴30AEC ∠=︒， ∴184221AC AE =⋅=⨯=， ∴在Rt △ECA 中，EC ==故答案为：【点睛】本题考查了三角形的边长问题，掌握三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．15．【分析】作E 关于AD 的对称点M 连接CM 交AD 于F 连接EF 过C 作CN ⊥AB 于N 再求出BD 的长根据三角形面积公式求出CN 根据对称性得CF ＋EF ＝CM 根据垂线段最短得出CF ＋EF≥CM 即可得出答案【详解】 解析：12013【分析】作E 关于AD 的对称点M ，连接CM 交AD 于F ，连接EF ，过C 作CN ⊥AB 于N ，再求出BD 的长，根据三角形面积公式求出CN ，根据对称性得CF ＋EF ＝CM ，根据垂线段最短得出CF ＋EF≥C M ，即可得出答案．【详解】作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N，∵AB＝AC＝13，BC＝10，AD是BC边上的高，∴BD＝DC＝5，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴M在AB上，在Rt△ABD中，AD＝12，∴S△ABC＝12×BC×AD＝12×AB×CN，∴CN＝BC×AD÷AB＝10×12÷13＝12013，∵E关于AD的对称点M，∴EF＝FM，∴CF＋EF＝CF＋FM＝CM，根据垂线段最短得出：CM≥CN，即CF＋EF≥120 13，即CF＋EF的最小值是120 13，故答案为：120 13．【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，掌握“点与直线上的所有点的连线中，垂线段最短”，是一道比较好的题目．16．4或【分析】分两种情况讨论：①当时和②当时分别利用轴对称性质和勾股定理求解即可【详解】解：分两种情况讨论：①当时如图1此时由折叠可知；②当时如图2过点作于点由折叠可知在中在中在中；综上或故答案为：4 解析：4或82【分析】分两种情况讨论：①当90A DC '∠=︒时和②当90A CD '∠=︒时，分别利用轴对称性质和勾股定理求解即可．【详解】解：2BC AC OC ===，4AB BC AC ∴=+=．分两种情况讨论：①当90A DC '∠=︒时，如图1，此时90ADO ∠=︒，由折叠可知，CA CA '=，OC CA =，OC CA '∴=，COA CA O ''∴∠=∠，COA CAO ∠=∠，COA COA CAO '∴∠=∠=∠，90COA COA CAO '∠+∠+∠=︒，30COA COA CAO '∴∠=∠=∠=︒， ∴114222OB AB ==⨯=， 24OB ∴=；②当90A CD '∠=︒时，如图2，过点O 作OH AB ⊥于点H ．90A CA ∴='∠︒，由折叠可知，11(360)(36090)13522A CO ACO A CA ''∠=∠=︒-=︒-︒=︒， 1359045HCO A CO A CD ''∴∠=∠-∠=︒-︒=︒， 45HOC ∴∠=︒，在Rt OHC ∆中，2OC =，222OH CH ∴===， 22AH CH CA ∴=+=，在Rt OHA ∆中，22222(2)(22)842OA OH AH =+=+=+在Rt AOB ∆中，22224(842)842OB AB OA -==-+=-；综上，24OB =或842-．故答案为：4或842-．【点睛】本题考查了轴对称的性质，正确利用勾股定理，能分类讨论是解题的关键．17．【分析】过点A 作AD ⊥l3于D 过点B 作BE ⊥l3于E 易证明∠BCE ＝∠CAD 再由题意可证明△ACD ≌△CBE （AAS ）得出结论BE ＝CD 由l1l2之间的距离为2l2l3之间的距离为3即得出CD 和AD17【分析】过点A 作AD ⊥l 3于D ，过点B 作BE ⊥l 3于E ，易证明∠BCE ＝∠CAD ，再由题意可证明△ACD ≌△CBE （AAS ），得出结论BE ＝CD ，由l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3，即得出CD 和AD 的长，利用勾股定理即可求出AC 的长，从而得到AB 的长．【详解】如图，过点A 作AD ⊥l 3于D ，过点B 作BE ⊥l 3于E ，则∠CAD+∠ACD ＝90°，∵AC ⊥BC ，∴∠BCE+∠ACD ＝180°﹣90°＝90°，∴∠BCE ＝∠CAD ，∵在△ACD 和△CBE 中，BCE CAD ADC CEB 90AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴BE ＝CD ，∵l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3，∴CD ＝3，AD ＝2+3＝5，在Rt △ACD 中，AC 2222AD CD 5334=+=+=∵AC ⊥BC ，AC ＝BC ，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB2=⨯=217．=AC234故答案为：17【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质、平行线的性质、直角三角形的性质以及勾股定理．作出辅助线并证明BE＝CD是解答本题的关键．18．10或6【分析】分5为直角边和5为斜边两种情况求解三角形的面积即可【详解】解：当5为直角边时4也为直角边则该直角三角形的面积为5×4÷2=10；当5为斜边时由勾股定理得另一直角边为=3则该直角三角形解析：10或6【分析】分5为直角边和5为斜边两种情况求解三角形的面积即可．【详解】解：当5为直角边时，4也为直角边，则该直角三角形的面积为5×4÷2=10；当52254-，则该直角三角形的面积为3×4÷2=6，综上，该直角三角形的面积为10或6，故答案为：10或6．【点睛】本题考查直角三角形的面积、勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解答的关键．19．6【分析】设长方形门的宽x尺则高是（x+68）尺根据勾股定理即可列方程求解【详解】解：设长方形门的宽x尺则高是（x+68）尺根据题意得x2+（x+68）2＝102解得：x＝28或﹣96（舍去）则宽是解析：6．【分析】设长方形门的宽x尺，则高是（x+6.8）尺，根据勾股定理即可列方程求解．【详解】解：设长方形门的宽x尺，则高是（x+6.8）尺，根据题意得x2+（x+6.8）2＝102，解得：x＝2.8或﹣9.6（舍去）．则宽是6.8+2.8＝9.6（尺）．答：门的高是9.6尺；故答案为：9.6．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列方程是关键．20．49【分析】根据正方形EFGH的面积＝大正方形面积﹣4个直角三角形面积即可求得正方形EFGH的面积【详解】直角三角形直角边的较短边为=5正方形EFGH的面积＝13×13﹣4×＝169﹣120＝49故解析：49【分析】根据正方形EFGH的面积＝大正方形面积﹣4个直角三角形面积即可求得正方形EFGH的面积．【详解】直角三角形直角边的较短边为221312-=5，正方形EFGH的面积＝13×13﹣4×5122⨯＝169﹣120＝49．故答案为：49．【点睛】此题考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的推导过程是解决问题的关键．三、解答题21．（1）①见解析；②78CE=；（2）2.5【分析】（1）①作出AB的垂直平分线交BC于点E，则可得结论；②由勾股定理求得BC=4，设CE=x，则BE=AE=4-x，依据勾股定理列出方程求解即可；（2）求得BD=CD=AD=2.5即可．【详解】解：（1）①如图，作∠BAE=∠B，②可求得BC=4∵∠AEC=∠B+∠BAE，又∵∠AEC=2∠B，∴∠BAE=∠B ，∴BE=AE，．设CE=x，则BE=AE=4-x，在Rt△AEC中，222CE AC AE+=，∴2223(4)x x+=-，∴78x=，∴78CE=（2）AC为底时，如图2所示，此时AD=CD，∴∠A=∠DCA∵∠A+∠B=90°，∠DCA+∠BCD=90°，∴∠B=∠BCD，∴BD=CD，即AD=BD=2.5．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解答此题的关键．22．（1）证明见解析；（2）23【分析】（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．（2）根据完全平方公式的变形解答即可．【详解】解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为12ab，小正方形面积为（b﹣a）2，∴c2＝4×12ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b2；（2）由图可知：（b﹣a）2＝3，4×12ab＝13﹣3＝10，∴2ab＝10，∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝3+2×10＝23．【点睛】本题考查了对勾股定理的证明和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键．23．（1）会受噪声影响，理由见解析；（2）有2分钟；【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC 是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD 的长，进而得出学校C 是否会受噪声影响；（2）利用勾股定理得出ED 以及EF 的长，进而得出拖拉机噪声影响该学校持续的时间．【详解】解：（1）学校C 会受噪声影响．理由：如图，过点C 作CD ⊥AB 于D ，∵AC ＝150m ，BC ＝200m ，AB ＝250m ，∴AC 2+BC 2＝AB 2．∴△ABC 是直角三角形．∴AC ×BC ＝CD ×AB ，∴150×200＝250×CD ，∴CD ＝150200250⨯＝120（m ）， ∵拖拉机周围130m 以内为受噪声影响区域，∴学校C 会受噪声影响．（2）当EC ＝130m ，FC ＝130m 时，正好影响C 学校，∵ED 2222130120EC CD -=-（m ），∴EF ＝50×2=100（m ），∵拖拉机的行驶速度为每分钟50米，∴100÷50＝2（分钟），即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2分钟．【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答.24．（1）60︒；（2）①见解析；②2222PC BP AP +=，证明见解析【分析】（1）根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质可以得解；（2）①根据轴对称的意义和性质可以作出图形；②连结MC ，然后根据轴对称的性质和直角等腰三角形的性质以及三角形全等的判定和性质可以得到解答．【详解】解：（1）∵在ABC 中，,90AB AC BAC ︒=∠=，45B C ︒∴∠=∠=.APQ ∠是ABP △的一个外角，APQ B BAP ∴∠=∠+∠.15BAP ︒∠=，60APQ ︒∴∠=.AP AQ =，60AQB APQ ︒∴∠=∠=．（2）①如图，由题意可得补全图如下：②2222PC BP AP +=，理由如下：如上图，连接MC .,90AB AC BAC ︒=∠=，45B ACB ︒∴∠=∠=.AP AQ =，APQ AQP ∴∠=∠.BAP CAQ ∴∠=∠.ABP ACQ ∴△≌△.BP CQ ∴=.∵点Q 关于直线AC 的对称点为M ，,,,45AQ AM CQ CM CAM CAQ ACM ACQ ︒∴==∠=∠∠=∠=.,45,AP AM B ACM BAP CAM ︒∴=∠=∠=∠=∠，∴△ABP ≌△ACM ，∴BP=CM ，90BAC PAM ︒∴∠=∠=.在Rt APM △中，,90AP AM PAM =∠=︒， 2PM AP ∴=. 45ACQ ACM ︒∠=∠=，90PCM ︒∴∠=.在Rt PCM 中，90PCM ︒∠=，222PC CM PM ∴+=，2222PC BP AP ∴+=【点睛】本题考查直角三角形的综合应用，熟练掌握直角等腰三角形和三角形的性质、轴对称的意义和性质、三角形全等的判定和性质以及勾股定理的应用是解题关键．25．画图见解析，5【分析】根据等腰三角形的定义作图即可求解．【详解】解：如图，OAB 和OBC 是腰长为5的等腰三角形，作图如下：，可画出满足条件的形状不同的等腰三角形有OAB 、OAE △、OAD △、OBC 、OBD 共5种．【点睛】本题考查等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．26．（1）是；（2）①当c 为斜边时，Rt △ABC 不是奇异三角形；②当b 为斜边时，Rt △ABC 是奇异三角形．【分析】（1）根据题中所给的奇异三角形的定义直接进行判断即可；（2）分c 是斜边和b 是斜边两种情况，再根据勾股定理判断出所给的三角形是否符合奇异三角形的定义．【详解】解：（1）设等边三角形的边长为a，∵a2+a2=2a2，∴等边三角形一定是奇异三角形，∴“等边三角形一定是奇异三角形”是正确的，故答案为：是；(2)①当c为斜边时，Rt△ABC不是奇异三角形；②当b为斜边时，Rt△ABC是奇异三角形；理由如下，分两种情况：①当c为斜边时，=∴a=b，∴a2+c2≠2b2(或b2+c2≠2a2)，∴Rt△ABC不是奇异三角形；②当b为斜边时，=，∵a2+b2=200，∴2c2=200，∴a2+b2=2c2，∴Rt△ABC是奇异三角形．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，需要熟练掌握勾股定理的公式，运用分类讨论的思想是解决第（2）问的关键．。
勾股定理单元测试试卷
新人教版八年级下册第17章勾股定理单元测试试卷（B卷）（时间90分钟满分100分）班级学号姓名得分一、填空题（共14小题，每题2分，共28分）1．已知直角三角形的两边分别为3、4，则第三边为___ __．2．如图所示，某风景名胜区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C 处，若在A处测得∠EAC=30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为_______米．123．已知，如图所示，Rt △ABC 的周长为4+23，斜边AB 的长为23，则Rt △ABC •的面积为_____．4．如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．•当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B ′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯______米．5．在△ABC 中，∠C=90°， AB ＝5，则2AB +2AC +2BC =_______．6．已知三角形三边长n n n n n n ,122,22,1222++++为正整数，则此三角形是________三角形． 7．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 、3dm 、第2题 第3题第4题3220BA第7题32dm ，•A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是_________．8．如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成.如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于 ．9．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______． 10．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．11．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有___米．60 12014060BAC第8题第11题第12题第13题图12．如图所示，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为．13．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到A’，使梯子的底端A’到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B’，那么BB’的值：①等于1米；②大于1米5；③小于1米.其中正确结论的序号是．14．小刚准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，河水的深度为．二、选择题（共4小题，每题3分，共12分）15．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（）A．5 B．25 C．7D．5或716．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A．24cm2B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2417．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A．121 B．120 C．90 D．不能确定18．放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（）A．600米 B. 800米 C. 1000米 D. 不能确定三、解答题（共60分）19．（5分）如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？520．（5分）小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城门高1米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竿长多少米？6721．（5分）已知，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F•处，•如果AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．822．（6分）如图所示，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4km，又往北走1.5km，遇到障碍后又往西走2km，再折回向北走到4.5km处往东一拐，仅走0.5km就找到宝藏．问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是多少？91011 23．（6分）如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和㎝的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？24．（6分）某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D 点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？1225．（6分）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？小河13141526．（6分）印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题．27．（7分）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛.若C、B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？1617181928．（8分）如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以107千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200•千米范围内是受台风影响的区域．（1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；（2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？2021参考答案一、填空题1．52．．1 4．2 5．50 6．直角 7．25 8．10 9．1360 10．6，8，10 11．2412．100mm 13．③ 14．2m二、选择题15．D 16．A 17．C 18．C三、解答题19．15米 20．5米 21．3cm 22．AB=6.5km 23．5cm 24．64米处，最低造价为480元 25．17km 26．22. 3.75尺 27．12海里/时 28．（1）会受影响；（2）10小时勾股定理单元测试题1、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝15，AC＝17，以AB为直径作半圆，则此半圆的面积为（）．A．16πB．12πC．10πD．8π222、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）．A．12 B．7＋7C．12或7＋7D．以上都不对3、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m．同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（）．A．小于1m B．大于1m C．等于1m D．小于或等于1m4、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（）．A．h≤17cm B．h≥8cmC．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm5、在Rt△ABC中，∠C＝90°，且2a＝3b，c＝213，则a＝_____，b＝_____．23246、如图，矩形零件上两孔中心A 、B 的距离是_____（精确到个位）．7、如图，△ABC 中，AC ＝6，AB ＝BC ＝5，则BC 边上的高AD ＝______．8、某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要 元． 9、如图，设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去．（1）记正方形ABCD 的边长为a 1=1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a 2，a 3，a 4，……，a n ，请求出a 2，a 3，a 4的值；150o20米30米（2）根据以上规律写出a n的表达式．10、如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明C处用侧角仪测得树顶端A的仰角为30°，已知侧角仪高DC＝1.4m，BC＝30米，请帮助小明计算出树高AB．（3取1.732，结果保留三个有效数字）2511、如图，甲船以16海里/时的速度离开港口，向东南航行，乙船在同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，问乙船每小时航行多少海里？2612、去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2.732km的A、B两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的西偏北45°方向C处有一个半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（3≈1.732）参考答案与提示27281、D （提示：在Rt △ABC 中，AB 2＝AC 2－BC 2＝172－152＝82，∴AB ＝8．∴S 半圆＝21πR 2＝21π×（28）2＝8π．故选D ）；2、C （提示：因直角三角形的斜边不明确，结合勾股定理可求得第三边的长为5或7，所以直角三角形的周长为3＋4＋5＝12或3＋4＋7＝7＋7，故选C ）；3、A （提示：移动前后梯子的长度不变，即Rt △AOB 和Rt △A ′OB ′的斜边相等．由勾股定理，得32＋B ′O 2＝22＋72，B ′O ＝44，6＜B ′O ＜7，则O ＜BB ′＜1．故应选A ）；4、D （提示：筷子在杯中的最大长度为22815+＝17cm ，最短长度为8cm ，则筷子露在杯子外面的长度为24－17≤h ≤24－8，即7cm ≤h ≤16cm ，故选D ）． 5．a ＝b ，b ＝4（提示：设a ＝3k ，b ＝2k ，由勾股定理，有（3k ）2＋（2k ）2＝（213）2，解得a ＝b ，b ＝4．）；6．43（提示：做矩形两边的垂线，构造Rt △ABC ，利用勾股定理，AB 2＝AC 2＋BC 2＝192＋392＝1882，AB ≈43）；7．3.6（提示：设DC ＝x ，则BD ＝5－x ．在Rt △ABD 中，AD 2＝52－（5－x ）2，在Rt △ADC 中，AD 2＝62－x 2，∴52－（5－x ）2＝62－x 2，x ＝3.6．故AD ＝226.36-＝4.8）； 8、150a ．9、解析：利用勾股定理求斜边长．（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝1，∠B ＝90°．∴在Rt △ABC 中，AC ＝22BC AB +＝2211+＝2．同理：AE ＝2，EH ＝22，…，即a 2＝2，a 3＝2，a 4＝22． （2）a n ＝12-n （n 为正整数）．10、解析：构造直角三角形，利用勾股定理建立方程可求得．过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则ED ＝BC29＝30米，EB ＝DC ＝1.4米．设AE ＝x 米，在Rt △ADE 中，∠ADE ＝30°，则AD ＝2x ．由勾股定理得：AE 2＋ED 2＝AD 2，即x 2＋302＝（2x ）2，解得x ＝103≈17.32．∴AB ＝AE ＋EB ≈17.32＋1.4≈18.7（米）．答：树高AB 约为18.7米．11、解析：本题要注意判断角的大小，根据题意知：∠1＝∠2＝45°，从而证明△ABC 为直角三角形，这是解题的前提，然后可运用勾股定理求解．B 在O 的东南方向，A 在O 的西南方向，所以∠1＝∠2＝45°，所以∠AOB ＝90°，即△AOB 为Rt △．BO ＝16×23＝24（海里），AB ＝30海里，根据勾股定理，得AO 2＝AB 2－BO 2＝302－242＝182，所以AO ＝18．所以乙船的速度＝18÷23＝18×32＝12（海里/时）．答：乙船每小时航行12海里．12、解 如图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ，由题意可得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，在Rt △CDB 中，∠BCD ＝45°，∴∠CBA ＝∠BCD ，∴BD ＝CD ．在Rt △ACD 中，∠CAB ＝30°，∴AC ＝2CD ．设CD ＝DB ＝x ，∴AC ＝2x ．由勾股定理得AD ＝22CD AC -＝224x x -＝3x ．∵AD ＋DB ＝2.732， ∴3x ＋x ＝2.732，∴x ≈1．即CD ≈1＞0.7， ∴计划修筑的这条公路不会穿过公园．有效处理学生的不当行为当学生在课堂上故意做出某些出格的行为时,他往往心里清楚教师将会对此做出什么反应。
(人教版)上海市八年级数学下册第二单元《勾股定理》测试(有答案解析)
一、选择题1．如图，2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A 、B 、C 都在格点上，则ABC 中AB 边上的高长为（ ）A ．355B ．255C ．3510D ．3222．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A 处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A 的相对方向有一小虫P ，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A 处的最短距离是（ ）A ．73厘米B ．10厘米C ．82厘米D ．8厘米 3．如图，小彬到雁江区高洞产业示范村参观，看到一个贴有大红“年”字的圆柱状粮仓非常漂亮，回家后小彬制作了一个底面周长为10cm ，高为5cm 的圆柱粮仓模型．如图BC 是底面直径，AB 是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A ，C 两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（ ）A ．10πcmB ．20πcmC ．102cmD ．52cm 4．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，若30B ∠=︒，3AC =，2AD =，则ABD △的面积为（ ）A ．3B ．2C ．23D ．35．如图，已知ABC 中，45ABC ∠=︒，F 是高AD 和BE 的交点，5AC =，2BD =，则线段DF 的长度为（ ）A ．22B ．2C ．3D ．16．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离AB 长度为1尺．将它往前水平推送10尺时，即A C '＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离A D '就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索OA 长为（ ）A ．13.5尺B ．14尺C ．14.5尺D ．15尺7．有四个三角形，分别满足下列条件，其中不是直角三角形的是（ ）A ．一个内角等于另外两个内角之和B ．三个内角之比为3：4：5C ．三边之比为5：12：13D ．三边长分别为7、24、258．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm 、3cm 、12cm ，现有一长为16cm 的吸管插入到盒的底部，则吸管漏在盒外面的部分()h cm 的取值范围为（ ）A ．34h <<B ．34h ≤≤C ．24h ≤≤D ．4h =9．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代《周髀算经》中早有记载．如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大正方形内．若图中阴影部分图形的面积为3，则较小两个正方形重叠部分图形的面积为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．610．若实数m 、n 满足340m n -+-=，且m 、n 恰好是Rt ABC △的两条边长，则第三条边长为（ ）．A ．5B ．7C ．5或7D ．以上都不对 11．在ABC 中，A ∠、B 、C ∠的对应边分别是a 、b 、c ，下列条件中不能说明ABC 是直角三角形的是（ ）A ．222b a c =-B ．C A B ∠=∠+∠ C ．::3:4:5A B C ∠∠∠=D ．::5:12:13a b c =12．1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE ，EB 在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（ ）A ．EDA CEB S S =△△B ．EDA CDE CEB ABCD S S S S ++=△△△四边形C ．EDA CEB CDE S S S +=△△△D ．AECD DEBC S S =四边形四边形二、填空题13．如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，MN=4，MA=1，MB ＞1．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成ABC ．设AB=x ，若ABC 为直角三角形，则x=__．14．如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，DE 是BC 的垂直平分线，点E 是垂足．若2DC =，1AD =，则BE 的长为__________．15．如图，ABC 中，点E 在边AC 上，EB EA =，2A CBE ∠=∠，CD 垂直于BE 的延长线于点D ，2BD =，114AC =，则边BC 的长为_______．16．如图，l 1∥l 2∥l 3，且l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3．若点A ，B ，C 分别在直线l 1，l 2，l 3上，且AC ⊥BC ，AC ＝BC ，则AB 的长是_____．17．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm 的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是______cm ．18．有一个三角形的两边长是8和10，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为_______．19．如图，正方形OABC 的边OC 落在数轴上，点C 表示的数为1，点P 表示的数为﹣1，以P 点为圆心，PB 长为半径作圆弧与数轴交于点D ，则点D 表示的数为___________．20．已知ABC 为等边三角形，且边长为4，P 为BC 上一动点，且PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D ，E 两点，则PD ＋PE ＝______________．三、解答题21．如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC 与AE 的长度一样，滑梯的高度4,1BC m BE m ==．求滑道AC 的长度．22．如图，△ABC 中，AB ＝6cm ，AC ＝42cm ，BC ＝25cm ，点P 以1cm/s 的速度从点B 出发沿边BA→AC 运动到点C 停止，运动时间为ts ，点Q 是线段BP 的中点． （1）若CP ⊥AB 时，求t 的值；（2）若△BCQ 是直角三角形时，求t 的值；23．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是边BC 上的两点，AD ＝AE ，点E 关于直线AC 的对称点是点M ，连接AM ，DM ；（1）如图1，当∠BAC ＝60°时；①依题意补全图形；②若∠BAD ＝α，则∠AEB ＝ ；（用含α的式子表示）；③求证：DA ＝DM ；（2）如图2，当∠BAC ＝90°时，依题意补全图形，用等式表示线段DC ，EC ，AM 之间的数量关系，并证明．24．亲爱的同学们，在全等三角形中，我们见识了很多线段关系的论证题，下面请你用本阶段所学知识，分别完成下列题目．（1）如图1，已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明：DE ＝BD ＋CE ．（2）如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ．容易证明△ACD ≌△BCE ，则①∠AEB 的度数为 ；②直接写出AE 、BE 、CM 之间的数量关系：（3）如图3，△ABC 中，若∠A ＝90°，D 为BC 的中点，DE ⊥DF 交AB 、AC 于E 、F ，求证：BE 2＋CF 2＝EF 2．25．阅读下面的情景对话，然后解答问题：老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．小华：等边三角形一定是奇异三角形！小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华的说法：“等边三角形一定是奇异三角形”______正确（填“是”或“不是”）（2）在Rt ABC 中，两边长分别是52a =10c =，这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．26．如图，在ABC 中，90C ∠=︒．（1）尺规作图：在BC 上作点D ，使得DA DB =；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若3AC =，15B ∠=︒，求BC 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】首先利用大正方形的面积减去周围三个三角形的面积计算出△ABC 的面积和AB 的长，利用三角形面积公式可得答案．【详解】过C 作CD ⊥AB 于D ，如图：∵2111321211122222ABC S =-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=△， 且12ABC S AB CD =⋅△， ∵22125AB =+= ∴1322AB CD ⋅=， 则3555CD ==， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理与网格问题，关键是正确求出三角形面积．2．B【分析】把圆柱沿着点A所在母线展开，把圆柱上最短距离转化为将军饮马河型最短问题求解即可.【详解】把圆柱沿着点A所在母线展开，如图所示，作点A的对称点B，连接PB，则PB为所求，根据题意，得PC=8，BC=6，根据勾股定理，得PB=10，故选B.【点睛】本题考查了圆柱上的最短问题，利用圆柱展开，把问题转化为将军饮马河问题，灵活使用勾股定理是解题的关键.3．C解析：C【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，AC=A'C，且点C为BB'的中点，∵AB=5cm，BC=1×10=5cm，2∴装饰带的长度=2AC=2222+=+=cm，AB BC2255102故选：C．【点睛】本题考查平面展开-最短距离问题，正确画出展开图是解题的关键．4．A解析：A根据含30度角的直角三角形性质可求出CD=1，过点D 作DE ⊥AB ，证明Rt △ACD ≌Rt △AED ，得AE=AC=3，再证明Rt △BED ≌Rt △AED ，得BE=AE=3，最后利用三角形面积公式即可求出答案．【详解】解：∵30B ∠=︒，90C ∠=︒，∴∠BAC=90゜-30゜=60゜∵AD 平分BAC ∠，∴∠BAD=∠CAD=1302BAC ∠=︒ 在Rt △ACD 中，由AD=2∴CD=1；过点D 作DE ⊥AB ，如图，∵AD 平分BAC ∠，90C ∠=︒，∴DE=DC=1又AD=AD ∴Rt △ACD ≌Rt △AED ，∴3在Rt △ADE 和Rt △BDE 中DAE DBE AED BED DE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt △BED ≌Rt △AED∴3∴3∴11123322ABD S AB DE ∆=⨯=⨯⨯= 故选：A ．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握相关定理、性质是解答此题的关键．5．D解析：D【分析】先证明△BDF ≌△ADC ，得到【详解】解：∵AD 和BE 是△ABC 的高线，∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DBF+∠C=90°，∠CAD+∠C=90°，∴∠DBF=∠CAD ，∵45ABC ∠=︒，∴∠BAD=45°，∴BD=AD ，∴△BDF ≌△ADC ，∴在Rt △BDF 中，1==．故选：D【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△BDF ≌△ADC 是解题关键． 6．C解析：C【分析】设绳索有x 尺长，此时绳索长，向前推出的10尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理可求解．【详解】解：设绳索有x 尺长，则102+（x+1-5）2=x 2，解得：x=14.5．故绳索长14.5尺．故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解．7．B解析：B【分析】根据三角形的内角和定理或勾股定理的逆定理即可进行判断，从而得到答案．【详解】解：A 、设一个内角为x ，则另外两个内角之和为x ，则x +x ＝180°，解得x=90°，故是直角三角形；B 、设较小的角为3x ，则其于两角为4x ，5x ，则3x +4x+5x ＝180°，解得x=15°，则三个角分别为45°，60°，75°，故不是直角三角形；C 、因为52+122＝132符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；D 、因为72+242＝252符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形．故选：B ．【点睛】本题考查三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．8．B解析：B【分析】根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的最长长度；最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答，进而求出露在杯口外的最短长度．【详解】①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16−12＝4（cm ）； ②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，底面对角线长，高为12cm ，由勾股定理可得：杯里面管长＝13cm ，则露在杯口外的长度最短为16−13＝3（cm ），∴34h ≤≤故选：B ．【点睛】本题考查了矩形中勾股定理的运用，解答此题的关键是要找出露在杯外面吸管最长和最短时，吸管在杯中所处的位置．9．B解析：B【分析】由图①结合勾股定理可得三个正方形面积之间的关系，在图②中，可知两个小正方形的面积与阴影部分面积之和减去大正方形的面积即可得到重叠部分的面积．【详解】设以直角三角形三边为边长的正方形面积分别为S 1，S 2，S 3，大小正方形重叠部分的面积为S ，则由勾股定理可得：S 1+S 2=S 3，在图②中，S 1+S 2+3-S=S 3，∴S=3，故选：B ．【点睛】本题主要考查勾股定理与图形面积，灵活运用勾股定理处理图形面积之间的转化是解题关键．10．C解析：C【分析】根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性求出m=3，n=4，再分两种情况利用勾股定理求出第三边．【详解】 ∵340m n --=，340m n --≥≥，∴m-3=0，n-4=0，解得m=3，n=4，当3、4都是直角三角形的直角边长时，第三边长2234+；当3是直角边长，4是斜边长时，第三边长22437-=故选：C ．【点睛】此题考查绝对值的非负性及算术平方根的非负性，勾股定理，根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性求出m=3，n=4是解题的关键．注意：没有明确给出的是直角三角形直角边长还是斜边长时，应分情况求解第三边长．11．C解析：C【分析】根据直角三角形的定义和勾股定理逆定理逐项判断即可．【详解】A ．222b a c =-，即222b c a +=，根据勾股定理逆定理可知ABC 是直角三角形，故A 不符合题意．B ．根据三角形内角和180A BC ∠+∠+∠=︒与C A B ∠=∠+∠，得出2180C ∠=︒，即90C ∠=︒，所以ABC 是直角三角形，故B 不符合题意．C ．设3A x ∠=，则4B x ∠=，5C x ∠=，根据三角形内角和180A B C ∠+∠+∠=︒，即345180x x x ++=︒，解得15x =︒，即45A ∠=︒、60B ∠=︒、75C ∠=︒．所以ABC 不是直角三角形，故C 符合题意．D ．设5a x =，则12b x =，13c x =，由222(5)(12)(13)x x x +=可知222+=a b c ，根据勾股定理逆定理可知ABC 是直角三角形，故D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查直角三角形的判定，利用勾股定理逆定理判断是否为直角三角形是解题的关键． 12．B解析：B【分析】直接根据梯形ABCD 的面积的两种算法进行解答即可．【详解】解：由图形可得：EDA CDE CEB ABCD S S S S ++=△△△四边形故答案为B ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明方法，将图形的面积用两种方式表示出来成为解答本题的关键．二、填空题13．或【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边即可得到关于x 的不等式组求出x 的取值范围再根据勾股定理即可列方程求解【详解】解：∵在△ABC 中AC=1AB=xBC=3-x 解得1＜x ＜2；①∵1＜x 解析：43或53【分析】 根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，即可得到关于x 的不等式组，求出x 的取值范围，再根据勾股定理，即可列方程求解．【详解】解：∵在△ABC 中，AC=1，AB=x ，BC=3-x ．1313x x x x +>-⎧∴⎨+->⎩， 解得1＜x ＜2；①∵1＜x ，∴AC 不能为斜边，②若AB 为斜边，则x 2=（3-x ）2+1，解得x=53，满足1＜x ＜2， ③若BC 为斜边，则（3-x ）2=1+x 2，解得x=43，满足1＜x ＜2，故x的值为：43或53，故答案为：43或53．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系以及勾股定理，正确理解分类讨论是解题的关键．14．【分析】根据是的垂直平分线得到BD=CDBE=CE推出∠DBC=∠C根据BD平分推出∠ABD=∠CBD=∠C求出∠C=得到DE=1利用勾股定理求出CE即可得到BE【详解】∵是的垂直平分线∴BD=CD【分析】根据DE是BC的垂直平分线，得到BD=CD，BE=CE，推出∠DBC=∠C，根据BD平分ABC∠，推出∠ABD=∠CBD=∠C，求出∠C=30，得到DE=1，利用勾股定理求出CE即可得到BE．【详解】∵DE是BC的垂直平分线，∴BD=CD,BE=CE，∴∠DBC=∠C，∵BD平分ABC∠，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=∠CBD=∠C，∵∠ABD+∠CBD+∠C=90︒，∴∠C=30，∵2DC=，∴DE=1，∴=，【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，熟记线段垂直平分线的性质及角平分线的性质是解题的关键．15．【分析】延长BD到F使得DF=BD根据等腰三角形的性质与判定勾股定理即可求出答案【详解】解：延长BD到F使得DF=BD∵CD⊥BF∴△BCF是等腰三角形∴BC=CF过点C作CH∥AB交BF于点H∴∠【分析】延长BD到F，使得DF=BD，根据等腰三角形的性质与判定，勾股定理即可求出答案．【详解】解：延长BD到F，使得DF=BD，∵CD⊥BF，∴△BCF是等腰三角形，∴BC=CF，过点C作CH∥AB，交BF于点H ∴∠ABD=∠CHD=2∠CBD=2∠F，∴HF=HC，∵CH∥AB，∴∠ABE=∠CHE，∠BAE=∠ECH，∴EH=CE，∵EA=EB，∴AC=BH，∵BD=DF=2，AC=114，∴DH=BH-BD=AC-BD=34，∴HF=HC=DF-DH=2-34=54，在Rt△CDH中，∴由勾股定理可知：CD=22CH DH-=1，在Rt△BCD中，∴BC=22BD CD+=5，故答案为：5．【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质与判定，本题属于中等题型．16．【分析】过点A作AD⊥l3于D过点B作BE⊥l3于E易证明∠BCE＝∠CAD再由题意可证明△ACD ≌△CBE （AAS ）得出结论BE ＝CD 由l1l2之间的距离为2l2l3之间的距离为3即得出CD 和AD 解析：17 【分析】 过点A作AD ⊥l 3于D ，过点B 作BE ⊥l 3于E ，易证明∠BCE ＝∠CAD ，再由题意可证明△ACD ≌△CBE （AAS ），得出结论BE ＝CD ，由l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3，即得出CD 和AD 的长，利用勾股定理即可求出AC 的长，从而得到AB 的长．【详解】如图，过点A 作AD ⊥l 3于D ，过点B 作BE ⊥l 3于E ，则∠CAD+∠ACD ＝90°，∵AC ⊥BC ，∴∠BCE+∠ACD ＝180°﹣90°＝90°，∴∠BCE ＝∠CAD ，∵在△ACD 和△CBE 中，BCE CAD ADC CEB 90AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴BE ＝CD ，∵l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3，∴CD ＝3，AD ＝2+3＝5，在Rt △ACD 中，AC 2222AD CD 5334=+=+=，∵AC ⊥BC ，AC ＝BC ，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴AB 2=AC 234=⨯=217．故答案为：17【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质、平行线的性质、直角三角形的性质以及勾股定理．作出辅助线并证明BE ＝CD 是解答本题的关键．17．13【分析】如图将容器侧面展开建立A 关于的对称点根据两点之间线段最短可知的长度即为所求【详解】将圆柱沿A 所在的高剪开展平如图所示则作A关于的对称点连接则此时线段即为蚂蚁走的最短路径过B 作于点则在中由 解析：13【分析】如图，将容器侧面展开，建立A 关于MM '的对称点A '，根据两点之间线段最短可知A B '的长度即为所求．【详解】将圆柱沿A 所在的高剪开，展平如图所示，则10cm MM NN '='=，作A 关于MM '的对称点A '，连接A B '，则此时线段A B '即为蚂蚁走的最短路径，过B 作BD A A ⊥'于点D ，则5,''123312cm BD NE cm A D MN A M BE ===+-=+-=，在Rt A BD '中， 由勾股定理得2213cm A B A D BD ''=+=，故答案为：13．【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，勾股定理的应用等，正确利用侧面展开图、熟练运用相关知识是解题的关键．18．或6【分析】分第三边是直角边与斜边两种情况进行讨论利用勾股定理即可求解【详解】设第三边长为x 当第三边是斜边时则x2=82+102=164;∴x=（负值舍去）当第三边是直角边时则斜边长为10∴x2+8解析：2416【分析】分第三边是直角边与斜边两种情况进行讨论，利用勾股定理即可求解．【详解】 设第三边长为x ，当第三边是斜边时，则x 2=82+102=164;∴x=241当第三边是直角边时，则斜边长为10，∴x 2+82=102，解得：x=6，（负值舍去）故答案是：241或6【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；熟练掌握勾股定理并运用分类讨论的思想是解题关键关键．19．【分析】根据勾股定理求出PB的长即PD的长再根据两点间的距离公式求出点D对应的数【详解】由勾股定理知：PB＝＝＝∴PD＝∴点D表示的数为﹣1故答案是：﹣1【点睛】此题考查勾股定理及圆的半径数轴等知识解析：51-【分析】根据勾股定理求出PB的长，即PD的长，再根据两点间的距离公式求出点D对应的数．【详解】由勾股定理知：PB＝22PC BC+＝22+＝5，21∴PD＝5,∴点D表示的数为5﹣1.故答案是：5﹣1.【点睛】此题考查勾股定理及圆的半径、数轴等知识，结合各知识点熟练运用是解题关键. 20．【分析】作出底边上的高AF连接AP分等边三角形为△APB和△APC根据三角形的面积不变可求得PD＋PE的值【详解】连接AP作AF⊥BC于点F∵AB ＝ACAF⊥BC∴CF＝BF＝2AF＝∵∴∴故填：【解析：23【分析】作出底边上的高AF，连接AP，分等边三角形为△APB和△APC，根据三角形的面积不变可求得PD＋PE的值．【详解】连接AP，作AF⊥BC于点F，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴CF＝BF＝2，AF22-AB BF=23ABC 11S =BC AF=422⋅⨯⨯， ∵ABC ABP ACP S=S +S ，∴11AB PD+AC 22⋅⋅， ∴故填：【点睛】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，解题的关键是“等面积法”．三、解答题21．5m【分析】设AC xm =，则(),1AE AC xm AB AE BE x m ===-=-，根据勾股定理得到222AB BC AC +=，即()22214x x -+=，解方程即可． 【详解】解：设AC xm =，则(),1AE AC xm AB AE BE x m ===-=-，由题意得：090ABC ∠=，在Rt ABC ∆中，222AB BC AC +=，∴()22214x x -+= 解得8.5x =，∴8.5AC m =．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，解一元一次方程，根据题意建立直角三角形，从而利用勾股定理解决实际问题是解题的关键．22．（1）2；（2）4或6＋﹣【分析】（1）如图1中，作CH ⊥AB 于H ．设BH ＝x ，利用勾股定理构建方程求出x ，当点P 与H 重合时，CP ⊥AB ，此时t ＝2；（2）由题意易知分两种情形①如图2中，当点Q 与H 重合时，BP ＝2BQ ＝4，②如图3中，当CP ＝CB ＝CQ ⊥PB ，然后根据题意求解即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，作CH ⊥AB 于H ．设BH ＝x ，∵CH⊥AB，∴∠CHB＝∠CHA＝90°，∴AC2﹣AH2＝BC2﹣BH2，∴（42）2﹣（6﹣x）2＝（25）2﹣x2，解得x＝2，∴当点P与H重合时，CP⊥AB，此时t＝2．（2）由（1）可得：BH=2，CH=4，∴点P的运动路程为1×t=t，∴如图2中，当点Q与H重合时，则有BP＝2BQ＝4，此时t＝4；如图3中，当CP＝CB＝25时，CQ⊥PB，此时t＝6＋（42﹣25）＝6＋42﹣25．+，△BCQ是直角三角形．综上所述：当t＝4或64225【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质及勾股定理是解题的关键．23．（1）①见解析；② 60°＋α；③见解析；（2）222+=；见解析2DC EC AM【分析】（1）①根据题意可直接进行作图；②由题意易得△ABC是等边三角形，则有∠B=∠C=60°，由AD=AE，则有∠ADE=∠AED，然后问题可求解；③由②易得∠DAM=60°，由轴对称的性质可得AD=AE=AM ，进而可得△ADM 是等边三角形，然后问题可求证；（2）由题意易证△DMC 是直角三角形，则有222DC CM DM +=，进而可证△ADM 是等腰直角三角形，则有2DM AM =，从而等量代换即可求解．【详解】（1）解：①由题意可得如图所示：②解：∵∠BAC=60°，AB=AC ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∵AD=AE ，∠BAD ＝α，∴∠ADE=∠AEB=60°＋α故答案为60°＋α；③证明：由②可得∠BAD=∠EAC ，∵∠BAC=60°，∴∠BAD+∠DAC=60°，∵点E 关于直线AC 的对称点是点M ，∴AC 垂直平分EM ，∴AE=AM ，∠EAC=∠MAC ，∴∠MAC=∠BAD ，DA ＝MA ，∴∠MAC+∠DAC=60°，∠DAM ＝60°，∴△ADM 是等边三角形，∴DA ＝DM ；（2）由题意可得如图所示：线段DC ，EC ，AM 之间的数量关系：2222DC EC AM +=证明：∵点E 关于直线AC 的对称点是点M ，∴AC 垂直平分EM ，∴AE=AM ，∠EAC=∠MAC ，∴∠MAC=∠BAD ，DA ＝MA ，∵∠BAC=90°，∴∠DAM=90°，∴△DAM 是等腰直角三角形， ∴2DM AM =，∵AC 垂直平分EM ，∴EC=CM ，∵∠ACB=45°，∴∠ACB=∠ACM=45°，∴∠MCD=90°，∴在Rt △DMC 中，222DC CM DM +=，∴2222DC EC AM +=．【点睛】本题主要考查勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定、轴对称的性质，熟练掌握勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定、轴对称的性质是解题的关键．24．（1）见解析；（2）①90°，②2AE BE CM =+；（3）见解析【分析】（1）利用AAS 证明△ABD ≌△CAE ，得到BD=AE ，AD=CE ，即可得到结论成立；（2）①由等腰直角三角形的性质，得∠CDE=∠CED=45°，则∠ADC=135°，由全等三角形的性质，∠BEC=135°，即可求出∠AEB 的度数；②由全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质，得到AD=BE ，CM=DM=EM ，即可得到AE=BE+2CM ；（3）延长ED 到点G ，使DG=ED ，连结GF ，GC ，证明△DBE ≌△DCG ，得到BE=CG ，根据勾股定理解答．【详解】解：（1）如图1，∵∠BAC ＝90°，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，∴∠ADB=∠AEC=90°，∴∠BAD+∠ABD=∠BAD+∠CAE=90°，∴∠ABD=∠CAE ，∵AB ＝AC ，∴△ABD ≌△CAE ，∴BD=AE ，AD=CE ，∵DE DA AE CE BD =+=+；（2）如图2，①∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴∠CDE=∠CED=45°，∴∠ADC=180°-45°=135°，∵△ACD ≌△BCE ，∴AD=BE ，∠ADC=∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC -∠CED=135°-45°=90°；②∵△DCE 均为等腰直角三角形，CM 为△DCE 中DE 边上的高，∴CM=DM=EM ，∵AD=BE ，∴AE=AD+DM+EM=BE+2CM ；故答案为：①90°；②2AE BE CM =+；（3）延长ED 到点G ，使DG=ED ，连结GF ，GC ，如图，∵ED ⊥DF ，DG=ED ，∴EF=GF ，∵D 是BC 的中点，∴BD=CD ，在△BDE 和△CDG 中，ED GD BDE GDC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBE ≌△DCG （SAS ），∴BE=CG ，∵∠A=90°，∴∠B+∠ACB=90°，∵△DBE ≌△DCG ，EF=GF ，∴BE=CG ，∠B=∠GCD ，∴∠GCD+∠ACB=90°，即∠GCF=90°，∴Rt △CFG 中，CF 2+GC 2=GF 2，∴BE 2+CF 2=EF 2．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，以及勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．25．（1）是；（2）①当c 为斜边时，Rt △ABC 不是奇异三角形；②当b 为斜边时，Rt △ABC 是奇异三角形．【分析】（1）根据题中所给的奇异三角形的定义直接进行判断即可；（2）分c 是斜边和b 是斜边两种情况，再根据勾股定理判断出所给的三角形是否符合奇异三角形的定义．【详解】解：（1）设等边三角形的边长为a ，∵a 2+a 2=2a 2，∴等边三角形一定是奇异三角形，∴“等边三角形一定是奇异三角形”是正确的，故答案为：是；(2)①当c 为斜边时，Rt △ABC 不是奇异三角形；②当b 为斜边时，Rt △ABC 是奇异三角形；理由如下，分两种情况：①当c 为斜边时，=∴a=b ，∴a 2+c 2≠2b 2(或b 2+c 2≠2a 2)，∴Rt △ABC 不是奇异三角形；②当b 为斜边时，=，∵a 2+b 2=200，∴2c 2=200，∴a 2+b 2=2c 2，∴Rt △ABC 是奇异三角形．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，需要熟练掌握勾股定理的公式，运用分类讨论的思想是解决第（2）问的关键．26．（1）见详解；（2）6+33【分析】（1）利用尺规作出AB的中垂线，中垂线与BC的交点，即为所求；（2）连接AD，先求出∠ADC=30°，根据直角三角形的性质以及勾股定理，即可求解．【详解】（1）如图，点D即为所求；（2）连接AD，∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=15°，∴∠ADC=∠DAB+∠B=15°+15°=30°，在Rt∆ADC中，DA=2AC=6，∴DB=6，∵222=+，AD DC AC∴2222--=DC AD AC6333∴BC=DB+DC=6+33【点睛】本题主要考查尺规作图以及直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，是解题的关键．。
新版北师大版八年级数学上册第1章《勾股定理》单元测试试卷及答案(1)
D C B A FE D C B A 新版北师大版八年级数学上册第1章《勾股定理》单元测试试卷及答案（1）一、填空题（1. 如图，在长方形ABCD 中，已知BC=10cm ，AB=5cm ，则对角线BD= cm 。
2. 如图，在正方形ABCD 中，对角线为22，则正方形边长为 。
3. 把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则其斜边扩大到原来的 。
4. 三角形中两边的平方差恰好等于第三边的平方，则这个三角形是 三角形。
5. 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行 千米。
6. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，若a:b=3:4，c=20，则a= ，b= 。
7. 已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长为 。
8. 如图所示，在矩形ABCD 中，AB=16，BC=8，将矩形沿AC 折叠，点D 落在点E 处，且CE 与AB 交于点F ，那么AF= 。
9. 如图，将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm （茶杯装满水），则a 的取值范围是 。
10. 如图，数轴上有两个Rt △ABC 、Rt △ABC ，OA 、OC 是斜边，且OB=1，AB=1，CD=1，OD=2，分别以O 为圆心，OA 、OC 为半径画弧交x 轴于E 、F ，则E 、F 分别对应的数是 。
11. 一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，则一个半小时后两船相距 海里。
12. 所谓的勾股数就是指使等式a 2+b 2=c 2成立的任何三个自然数。
我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，即对于任意正整数m 、n （m ＞n ），取a=m 2-n 2，b=2mn ，c=m 2+n 2，则a 、b 、c 就是一组勾股数。
八年级数学苏科版上册课时练第3单元《3.1勾股定理》(2) 练习试题试卷 含答案
课时练3.1勾股定理一．选择题1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2AC ，若AC ＝6，则BC 的长为（）A ．8B ．12C ．D ．2．在Rt △ABC 中，90ACB Ð=°，3AB =，则222AB BC AC ++=（）A ．9B ．18C ．20D ．243．如图，在ABC 中，90C °Ð=，2AC =，点D 在BC 上，ADC 2B Ð=Ð，AD =则BC 的长为（）A1-B ．1+C 1D 14．如图，等边ABC 中，AD BC ^，DE AC ^，8AB =，则DE =（）A．2B ．4C ．D ．5．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A ，B ，C ，D 的面积分别为6，10，4，6，则最大正方形E 的面积是（）A ．94B ．26C ．22D ．166.如图，数轴上点A 对应的数是0，点B 对应的数是1，BC⊥AB，垂足为B，且BC=2，以A 为圆心，AC 为半径画弧，交数轴于点D，则点D 表示的数为（）A．2.2B．C．D．7.若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x 的值可能有()．A.1个B.2个C.3个D.4个8.以面积为9cm 2的正方形对角线为边作正方形，其面积为（）A.9cm2B.13cm2C.18cm2D.24cm29．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A ．B ．C ．D ．10．等腰直角三角形的斜边长为5cm ，则它的面积是（）A ．25cm 2B ．12.5cm 2C ．10cm 2D ．6.25cm 2二．填空题11．若一个直角三角形的两边长分别是4cm ，3cm ，则第三条边长是cm ．12．如图所示，图1中x 的值为_______，图2中的y 的值为_______.13．如图，在ABC 中，90ABC Ð=°，分别以BC 、AB 、AC 为边向外作正方形，面积分别记为1S 、2S 、3S ，若24S =，36S =，则1S =______．14．如图，AB ⊥CD 于B ，△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形，如果CD =17，BE =5，那么AC 的长为_______15．图示是一种“羊头”形图案，其作法是，从正方形1开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，和2′，…，依次类推，若正方形7的边长为1cm，则正方形1的边长为__________cm.三．解答题16．如图，∠BAC＝90°，BC＝28，AC＝14，BD＝13，AD＝15．（1）求AB的长度；（2）作DH⊥AB，并求△ADB的面积．17．如图，△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF＝2AE；（2）若CD＝2，求AD的长．18．在学习勾股定理时，我们学会运用图（Ⅰ）验证它的正确性．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab．由此推出勾股定理a2+b2＝c2这种方法可以极简单地直观推论或验证出数学规律和公式．（1）请你用图（Ⅱ）的面积表达式验证勾股定理（其中四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间的部分是一个小正方形EFGH，AE＝a，BE＝b，AB＝c）；（2）请你用图（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：（x+y）2＝x2+2xy+y2．参考答案一．选择题1．C2．B3．D4．C6.D．7.B．8.C.9．D．10.D二．填空题11．5或．12．41313．214．1315．8三．解答题16．AB=25,CD=12=，连结BG、FG，17．延长ED至G，使DG DEÐ=Ð，=AD BD，ADE BDG\D@D，ADE BDGÐ=Ð，AE BG\=，A DBG\，AC BG\Ð+Ð=°，90\Ð=°，FBGC FBG180222\+=，BG BF GF=，又ED FD，ED GD^\=，EF GF222AE BF EF\+=.55 4.18．(1)；(2)20；(3)Sn(4)。
(常考题)人教版初中数学八年级数学下册第二单元《勾股定理》测试题(包含答案解析)(1)
一、选择题1．如图，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，连结AD ，把ABD △沿AD 翻折，得到AB D '，连接CB '，若2BD CB '==，3AD =，则AB C '的面积为（ ）A ．332B ．23C ．3D ．22．下列条件中不能确定ABC 为直角三角形的是（ ）．A ．ABC 中，三边长的平方之比为1:2:3B ．ABC 中，222AB BC AC +=C ．ABC 中，::3:4:5A B C ∠∠∠=D ．ABC 中，1,2,3AB BC AC ===3．已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m 和3（m <3），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（ ）A ．m 2+6m +9＝0B ．m 2﹣6m +9＝0C ．m 2+6m ﹣9＝0D ．m 2﹣6m ﹣9＝0 4．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边,AB AC ，灰色部分面积记为1S ，黑色部分面积记为2S ，白色部分面积记为3S ，则（ ）A ．12S SB ．23S S =C ．13S S =D ．123S S S =- 5．如图，90MON ∠=︒，已知ABC ∆中，10AC BC ==，12AB =，ABC ∆的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上，当点B 在边ON 上运动时，点A 随之在边OM 上运动，ABC ∆的形状保持不变，在运动过程中，点C 到点O 的最大距离为（ ）A ．12.5B ．13C ．14D ．156．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为123S S S ､､；如图2，分别以直角三角形三边长为半径向外作半圆，面积分别为456S S S ､､．其中125616,45,11,14S S S S ====，则34S S +=（ ）A ．86B ．64C ．54D ．487．如图，分别以直角三角形ABC 的三边为斜边向外作直角三角形，且AD CD =，CE BE =，AF BF =，这三个直角三角形的面积分别为1S ，2S ，3S ，且19S =，216S =，则S 3S =（ ）A ．25B ．32C ．7D ．188．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a ，较短直角边为b ，则2()a b +的值为（ ）A ．25B ．19C ．13D ．1699．已知ABC ∆的三边a ，b ，c 满足：23|4|10250a b c c -+-+-+=，则c 边上的高为（ ）A ．1.2B ．2C ．2.4D ．4.810．如图，在平面直角坐标系中，点P 为x 轴上一点，且到A （0，2）和点B （5，5）的距离相等，则线段OP 的长度为（ ）A ．3B ．4C ．4.6D ．2511．1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE ，EB 在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（ ）A ．EDA CEB S S =△△B ．EDA CDE CEB ABCD S S S S ++=△△△四边形C ．EDA CEB CDE S S S +=△△△D ．AECD DEBC S S =四边形四边形12．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CA=CB=4，D 、E 分别为边AC 、BC 上的两点，且AD=CE ， 当线段DE 取得最小值时，试在直线AC 或直线BC 上找到一点P ，使得△PDE 是等腰三角形，则满足条件的点P 的个数是（ ）A ．6B ．7个C ．8个D ．以上都不对二、填空题13．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以AC 、BC 为斜边作等腰直角三角形 S 1、S 2，以AB 为边作正方形S ．若S 1与S 2的面积和为9，则正方形S 的边长等于_______．14．如图，已知圆柱的底面周长为10cm ，高AB 为12cm ，BC 是底面的直径，一只蚂蚁沿着圆柱侧面爬行觅食从点C 爬到点A ，则蚂蚁爬行的最短路线为________cm ．15．在ABC ∆中，AC ＝8，45C ∠=︒，AB ＝6，则BC ＝___________．16．如图1是一张可折叠的钢丝床的示意图，这是展开后支撑起来放在地面上的情况，如果折叠起来，床头部分被折到了床面之下（这里的A 、B 、C 、D 各点都是活动的），活动床头是根据三角形的稳定性和四边形的不稳定性设计而成的，其折叠过程可由图2的变换反映出来．如果已知四边形ABCD 中6AB =，15CD =，那么BC =_____，AD =_______才能实现上述的折叠变化．17．已知一个三角形三边的长分别为5,10,15，则这个三角形的面积是_________________．18．有一个三角形的两边长是8和10，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为_______．19．如图，在一棵树的10米高B 处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C ，而另一只爬到树顶D 后直扑池塘C ，结果两只猴子经过的距离相等，这棵树有的高是______________ ．20．如图ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝22.5°，DE 垂直平分AB ，交BC 于点E ，若CE ＝2，则BE ＝______________．三、解答题21．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°．AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，请你利用这个图形解决下列问题：（1）试说明：a 2+b 2＝c 2；（2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求（a +b ）2的值．22．如图，在ABC 中，2,1,20AB AC BAC AD BC ︒==∠=⊥于点D ，延长AD 至点E ，使DE AD =，连接BE 和CE ．（1）补全图形；（2）若点F 是AC 的中点，请在BC 上找一点P 使AP FP +的值最小，并求出最小值． 23．如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC 与AE 的长度一样，滑梯的高度4,1BC m BE m ==．求滑道AC 的长度．24．如图，每个小正方形的边长均为1可以得到每个小正方形的面积为1．⨯的方格内作出边长为13的正方形；（1）请在图中的55-+．（2）请在数轴上表示出11325．已知长方形纸片ABCD，将长方形纸片按如图所示的方式折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．（1）△BEF是等腰三角形吗？若是，请说明理由；（2）若AB=4，AD=8，求BE的长．26．如图，在四边形ABCD中，AB=13，BC=5，CD=15，AD=9，对角线AC⊥BC．（1）求AC的长；（2）求四边形ABCD的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】证明AD∥CB′，推出S△ACB′=S△CDB′即可解决问题．【详解】∵D是BC的中点，∴BD DC=，由翻折的性质可知ADB ADB '∠=∠，DB DB '=，∴2BD CB '==，∴2CD DB CB ''===，∴CDB '是等边三角形， ∴60CDB DCB ''∠=∠=︒，120BDB '∠=︒， ∴120ADB ADB '∠=∠=︒， ∴60ADC CDB '∠=∠=︒， ∴ADC DCB '∠=∠， ∴//AD CB '，∴22ACB CDB S S ''===△△ 故选：C ．【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．2．C解析：C【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理进行判断即可．【详解】解：A 选项：ABC 中，三边长的平方之比为1:2:3，ABC ∴是直角三角形． B 选项：∵在ABC 中，222AB BC AC +=，ABC ∴是直角三角形．C 选项：ABC 中，::3:4:5A B C ∠∠∠=，∴设3,4,5A x B x C x ∠=∠=∠=，又180A B C ︒∠+∠+∠=，12180x ︒∴=,345x ︒=，460x ︒=，575x ︒=，ABC ∴不是直角三角形．D 选项：在ABC 中，1,AB BC AC ===222AB BC AC ∴+=，ABC ∴是直角三角形．故选C ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及勾股定理，熟练掌握三角形内角和定理和勾股定理是本题的关键．3．C解析：C【分析】如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得m 2+m 2＝（3﹣m ）2，整理即可解答．【详解】解：如图，m 2+m 2＝（3﹣m ）2，2m 2＝32﹣6m +m 2，m 2+6m ﹣9＝0．故选：C ．【点睛】考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，关键是熟练掌握等腰三角形的性质，根据勾股定理得到等量关系．4．A解析：A【分析】由勾股定理，由整个图形的面积减去以BC 为直径的半圆的面积，即可得出结论．【详解】Rt △ABC 中，∵AB 2+AC 2＝BC 2∴S 2＝222111*********ABC AB AC BC S πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝()22218ABC AB AC BCS π∆+-+＝S 1．故选A ．【点睛】 本题考查了勾股定理、圆面积公式以及数学常识；熟练掌握勾股定理是解题的关键． 5．C解析：C【分析】取AB 的中点D ，连接CD ，根据三角形的边角关系得到OC≤OD+DC ，只有当O 、D 及C 共线时，OC 取得最大值，最大值为OD+CD ，根据D 为AB 中点，得到BD=3，根据三线合一得到CD垂直于AB，在Rt△BCD中，根据勾股定理求出CD的长，在Rt△AOB中，OD为斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD的值，进而求出DC+OD，即为OC的最大值．【详解】解：如图，取AB的中点D，连接CD，∵AC=BC=10，AB=12，∵点D是AB边中点，∴BD=12AB=6，CD⊥AB，∴22221068BC BD-=-=，连接OD，OC，有OC≤OD+DC，当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值=OD+CD，∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，∴OD=12AB=6∴OD+CD=6+8=14，即OC的最大值=14，故选：C．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及三角形三边之间的关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，是解题的关键．6．C解析：C【分析】分别用AB、BC和AC表示出 S1、S2、S3，然后根据AB2=AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系．同理，得出S4、S5、S6的关系，即可得到结果．【详解】解：如图1，过点E作AB的垂线，垂足为D，∵△ABE是等边三角形，∴∠AED=∠BED=30°，设AB=x，∴AD=BD=12AB=12x，∴DE=22AE AD -=32x ， ∴S 2=1322x x ⨯⨯=23AB ， 同理：S 1=23AC ，S 3=23BC ， ∵BC 2=AB 2-AC 2，∴S 3=S 2-S 1，如图2，S 4=21122AB π⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=28AB π， 同理S 5=28AC π，S 6=28BC π，则S 4=S 5+S 6，∴S 3+S 4=45-16+11+14=54．【点睛】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．7．A解析：A【分析】根据△ADC 为直角三角形且AD=CD ，可得到22211111=2224S AD AC AC =⨯=，同理可得到221=4S BC 及231=4S AB ，在△ACB 中，由勾股定理得出：222AB AC BC =+，继而可得312S S S =+，代入计算即可．【详解】解：∵△ADC 为直角三角形，且AD=CD ，∴在△ADC 中，有222AC AD CD =+，∴222AC AD =，即2AC AD =，∴22211111=2224S AD AC AC =⨯=， 同理可得：221=4S BC ，231=4S AB ， ∵∠ACB=90︒，∴222AB AC BC =+，即312111444S S S =+， ∴312S S S =+，∵19S =，216S =，∴3129+16=25S S S =+=，故答案为：A ．【点睛】本题考查勾股定理，由勾股定理得出三角形的面积关系是解题的关键．8．A解析：A【分析】根据正方形的面积及直角边的关系，列出方程组，然后求解．【详解】 解：由条件可得：22131131240a b ab a b ⎧+=⎪-⎪=⎨⎪>>⎪⎩， 解之得：32a b =⎧⎨=⎩． 所以2()25a b +=，故选A【点睛】本题考查了正方形、直角三角形的性质及分析问题的推理能力和运算能力．9．C解析：C【分析】先将已知条件配方后，利用非负数和为零，求出a 、b 、c 的值，利用勾股定理确定三角形的形状，设出c 边上的高，利用面积求解即可．【详解】2|4|10250b c c -+-+=()2|4|50b c -+-=，()2|4|50b c -+-=， 30a ∴-=，40b -=，50c -=，解得：3a =，4b =，5c =，22222291653452a b c =+=+=+==，ABC ∆∴是直角三角形，设C 边上的高为h ，由直角三角形ABC 的面积为：1122c h a b =， 整理得3412===2.455a b h c ⨯=， c ∴边上的高为：2.4，故选择：C ．【点睛】本题考查非负数的性质，勾股定理的逆定理，三角形面积问题，掌握判断非负数的标准，会利用非负数和求a 、b 、c 的值，会用勾股定理判断三角形的形状，会用多种方法求面积是解题的关键．10．C解析：C【分析】设点P （x ，0），根据两点间的距离公式列方程，即可得到结论．【详解】解：设点P （x ，0），根据题意得，x 2+22=(5﹣x )2+52，解得：x =4.6，∴OP =4.6，故选：C ．【点睛】本题考查了利用勾股定理求两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． 11．B解析：B【分析】直接根据梯形ABCD 的面积的两种算法进行解答即可．【详解】解：由图形可得：EDA CDE CEB ABCD S S S S ++=△△△四边形故答案为B ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明方法，将图形的面积用两种方式表示出来成为解答本题的关键．12．B解析：B先找出DE 最短时的位置，然后根据等腰三角形的性质，进行分类讨论，即可求出点P 的个数．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，设AD=CE=x ，则4CD x =-，由勾股定理，得：2222222(4)28162(2)8DE CD CE x x x x x =+=-+=-+=-+， ∴当2x =时，2DE 最小，即DE 最小，∴此时2AD CD CE BE ====，822DE ==；∵在直线AC 或直线BC 上找到一点P ，使得△PDE 是等腰三角形，则可分为三种情况进行分析：PD=PE ；PD=DE ，PE=DE ；如下图所示：点P 共有7个点；故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，完全平方公式的应用，勾股定理，最短路径问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的确定点P 的位置，注意运用数形结合的思想进行解题．二、填空题13．6【分析】过D 作DE ⊥AC 于E 根据等腰直角三角形的性质推出DE=AE=CE=AC 求得同理：求出=36根据勾股定理得求出S==36即可得到答案【详解】如图：过D 作DE ⊥AC 于E ∵△ACD 是等腰直角三角解析：6【分析】 过D 作DE ⊥AC 于E ，根据等腰直角三角形的性质推出DE=AE=CE=12AC ，求得21111224S AC AC AC =⋅=，同理：2214S BC =，求出22AC BC +=36，根据勾股定理得222AC BC AB +=，求出S=2AB =36，即可得到答案．如图：过D 作DE ⊥AC 于E ，∵△ACD 是等腰直角三角形，∴AD=CD ，90D ∠=︒，45CAD ACD ∠=∠=︒，∴AE=CE ，45ADE CDE ∠=∠=︒，∴CAD ACD ADE CDE ∠=∠=∠=∠，∴DE=AE=CE=12AC ， ∴21111224S AC AC AC =⋅=， 同理：2214S BC =， ∴221211944S S AC BC +=+=， ∴22AC BC +=36，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，222AC BC AB +=，∴S=2AB =36，∴正方形S 的边长等于6，故答案为：6．．【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握与运用等腰直角三角形的性质是解题的关键．14．13【分析】把圆柱沿母线AB 剪开后展开点C 展开后的对应点为C′利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为AC′然后利用勾股定理计算出AC′即可【详解】把圆柱沿母线AB 剪开后展开点C 展开后的对应点解析：13【分析】把圆柱沿母线AB 剪开后展开，点C 展开后的对应点为C′，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为AC′，然后利用勾股定理计算出AC′即可．【详解】把圆柱沿母线AB 剪开后展开，点C 展开后的对应点为C′，则蚂蚁爬行的最短路径为AC′，如图，∵AB ＝12， BC′＝5，在Rt △ABC′，AC′＝2251213+=∴蚂蚁爬行的最短路程为13cm ．故答案是：13【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．15．【分析】有两种情况可能是锐角三角形可能是钝角三角形过A 点作AD 垂直于BC 当为锐角三角时BC=CD+BD 当为钝角三角形时BC=CD-BD 利用勾股定理求出各边即可得到答案【详解】如图过点A 作垂足为D 当为 解析：422±【分析】ABC ∆有两种情况，可能是锐角三角形，可能是钝角三角形，过A 点作AD 垂直于BC ，当为ABC ∆锐角三角时，BC=CD+BD ，当ABC ∆为钝角三角形时，BC=CD-BD 利用勾股定理求出各边即可得到答案．【详解】如图，过点A 作AD BC ⊥ 垂足为D当为ABC ∆锐角三角时，AC ＝8，45C ∠=︒，90ADC ∠=︒∴ AD=CD=42在Rt ABD ∆中22226(42)3632AB AD -=-=-∴BC=CD+BD=2当为ABC ∆钝角三角时，同理可得CD= ,BD=2∴BC=CD-BD=2故答案为：2【点睛】本题考查了三角形的分类，勾股定理的应用，准确的画出图形是解决本题的关键． 16．39【分析】根据已知得出图形得出AC2+CD2=AD2以及AB+AD=CD+BC 进而组成方程组求出即可【详解】解：由图2的第一个图形得：AC2+CD2=AD2即（6+BC ）2+152=AD2①又由图解析：39【分析】根据已知得出图形得出AC 2+CD 2=AD 2，以及AB+AD=CD+BC ，进而组成方程组求出即可．【详解】解：由图2的第一个图形得：AC 2+CD 2=AD 2，即（6+BC ）2+152=AD 2①，又由图2的第三和第四个图形得：AB+AD=CD+BC ，即6+AD=15+BC②，联立①②组成方程组得：()222615615BC AD AD BC⎧++=⎪⎨+=+⎪⎩， 解得：3039BC AD =⎧⎨=⎩， 故BC ，AD 分别取30和39时，才能实现上述变化，故答案为：30，39．【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和二元二次方程组的解法，得出正确的等量关系是解题关键．17．【分析】根据勾股定理的逆定理判断这是一个直角三角形再结合面积公式求解【详解】解：∵∴∴该三角形为直角三角形∴其面积为故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理以及二次根式的乘法法则熟练掌握勾股定理【分析】根据勾股定理的逆定理，判断这是一个直角三角形，再结合面积公式求解．【详解】解：∵2215+=，215=，∴222+=，∴该三角形为直角三角形，∴其面积为12=【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理以及二次根式的乘法法则，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决本题的关键． 18．或6【分析】分第三边是直角边与斜边两种情况进行讨论利用勾股定理即可求解【详解】设第三边长为x 当第三边是斜边时则x2=82+102=164;∴x=（负值舍去）当第三边是直角边时则斜边长为10∴x2+8解析：6【分析】分第三边是直角边与斜边两种情况进行讨论，利用勾股定理即可求解．【详解】设第三边长为x ，当第三边是斜边时，则x 2=82+102=164;∴x=当第三边是直角边时，则斜边长为10，∴x 2+82=102，解得：x=6，（负值舍去）故答案是：6【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；熟练掌握勾股定理并运用分类讨论的思想是解题关键关键．19．15米【分析】根据题意确定已知线段的长再根据勾股定理列方程进行计算【详解】设BD=米则AD=（）米CD=（）米∵∴解得即树的高度是10+5=15米故答案为：15米【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用解析：15米【分析】根据题意确定已知线段的长，再根据勾股定理列方程进行计算．【详解】设BD=x 米，则AD=（10x +）米，CD=（30x -）米，∵222CD AD AC -＝，∴()()222301020x x --+＝， 解得5x =．即树的高度是10+5=15米．故答案为：15米．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，把实际问题转化为数学模型，构造直角三角形，然后利用勾股定理解决．20．2【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论【详解】∵DE垂直平分AB∴AE＝BE∴∠EAB＝∠B＝225°∴∠AEC＝∠EAB＋∠B＝45°∵∠C＝90°∴AC＝CE＝2A解析：【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠B＝22.5°，∴∠AEC＝∠EAB＋∠B＝45°，∵∠C＝90°，∴AC＝CE＝2，AE2＝AC2＋CE2，∴AECE＝，∴BE＝AE＝．故答案为：【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰直角三角形性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）23【分析】（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．（2）根据完全平方公式的变形解答即可．【详解】解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为12ab，小正方形面积为（b﹣a）2，∴c2＝4×12ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b2；（2）由图可知：（b ﹣a ）2＝3，4×12ab ＝13﹣3＝10， ∴2ab ＝10， ∴（a +b ）2＝（b ﹣a ）2+4ab ＝3+2×10＝23．【点睛】本题考查了对勾股定理的证明和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键．22．（1）见解析；（2）3【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）连接EF 交BC 于点P ，根据两点之间线段最短结合等边三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）补全图形如下：（2）连接EF 交BC 于点P ，此时AP FP +的值最小．DE AD AD BC =⊥，，BC ∴为AE 的垂直平分线．2,CA CE AP EP ∴===．AP FP EP PF ∴+=+．,120AB AC AD BC BAC ︒=⊥∠=，，60BAD CAD ∴∠=∠=︒．ACE ∴为等边三角形．∵点F 是AC 的中点，1EF AC AF CF ∴⊥==，．在Rt CEF △中，90,1,2CFE CF EC ∠=︒==，3EF ∴=．AP FP ∴+的最小值为3．【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关性质和定理是解答此题的关键．23．5m【分析】设AC xm =，则(),1AE AC xm AB AE BE x m ===-=-，根据勾股定理得到222AB BC AC +=，即()22214x x -+=，解方程即可． 【详解】解：设AC xm =，则(),1AE AC xm AB AE BE x m ===-=-，由题意得：090ABC ∠=，在Rt ABC ∆中，222AB BC AC +=，∴()22214x x -+= 解得8.5x =，∴8.5AC m =．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，解一元一次方程，根据题意建立直角三角形，从而利用勾股定理解决实际问题是解题的关键．24．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据勾股定理可知，作13的长的线段时，可以作一个直角边分别为2和3的直角三角形，它的斜边长即所求；（2）先作出边长是13的线段，再以原点为圆心，13为半径画弧，与数轴的正半轴相交于点A ，再以A 为圆心，1为半径画弧，与OA 相交于点B ，则OB 为所求．【详解】解：（1）如图所示，ABCD 为所求作正方形．（2）如图所示，OB=113-+为所求．．【点睛】本题考查了勾股定理，利用勾股定理作图时找出相应线段是解题的关键．25．（1）BEF 是等腰三角形，理由见解析；（2）5．【分析】（1）先根据长方形的性质可得//AD BC ，再根据平行线的性质可得DEF BFE ∠=∠，然后根据折叠的性质可得DEF BEF ∠=∠，从而可得BFE BEF ∠=∠，最后根据等腰三角形的判定即可得；（2）先根据长方形的性质可得90A ∠=︒，再根据折叠的性质可得BE DE =，然后设BE DE x ==，从而可得8AE x =-，最后在Rt ABE △中，利用勾股定理即可得．【详解】（1）BEF 是等腰三角形，理由如下：四边形ABCD 是长方形，//AD BC ∴，DEF BFE ∴∠=∠，由折叠的性质得：DEF BEF ∠=∠，BFE BEF ∴∠=∠，BEF ∴是等腰三角形；（2）四边形ABCD 是长方形，90A ∴∠=︒，由折叠的性质得：BE DE =，设BE DE x ==，则8AE AD DE x =-=-，在Rt ABE △中，222AB AE BE +=，即2224(8)x x +-=，解得5x =，即BE 的长为5．【点睛】本题考查了长方形与折叠问题、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键．26．（1）12；（2）84．【分析】 （1）在Rt ABC 中，利用勾股定理即可得；（2）先根据勾股定理的逆定理可得ACD △是直角三角形，再根据四边形ABCD 的面积等于Rt ABC 的面积与Rt ACD △的面积之和即可得．【详解】（1）AC BC ⊥，ABC ∴是直角三角形，13,5AB BC ==，2222213514412AC AB BC AC ∴=-=-==，；（2）15,9,12CD AD AC ===，222AC AD CD ∴+=， ACD ∴是直角三角形，则四边形ABCD 的面积为1122Rt ABC Rt ACD S S AC BC AC AD +=⋅+⋅， 1112512922=⨯⨯+⨯⨯， 84=，即四边形ABCD 的面积为84．【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．。
(必考题)初中数学八年级数学上册第一单元《勾股定理》测试题(含答案解析)(2)
一、选择题1．如图，在22⨯的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A 为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D．则CD的长为（）A．12B．13C．23-D．32．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以Rt△ABC各边为斜边分别向外作等腰Rt△ADB、等腰Rt△AFC、等腰Rt△BEC，然后将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC中，其中BH＝BA，CI＝CA，已知，S四边形GKJE＝1，S四边形KHCJ＝8，则AC的长为（）A．2 B．52C．4 D．63．如图，在4×4的正方形网格中，所有线段的端点都在格点处，则这些线段的长度是无理数的有（）A．1 条B．2条C．3条D．4条4．在下列四组数中，属于勾股数的是（）A．0.3，0.4，0.5 B．9，40，41 C．2，3，4 D．123 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则DE的长为（）A ．103B ．256C ．203D ．1546．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，在BA 上截取BD ＝BC ，再在AC 上截取AE ＝AD ，则AE AC的值为（ ）A ．352 B ．51- C ．5﹣1 D ．51+ 7．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为x 尺，根据题意可列方程（ ）A ．222(6)10x x ++=B ．222(6)10x x -+=C ．222(6)10x x +-=D ．222610x +=8．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》﹔“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，ABC 中，90ACB ∠=︒，10AC AB +=尺，4BC =尺，求AC 的长．则AC 的长为（ ）A ．4.2尺B ．4.3尺C ．4.4尺D ．4.5尺 9．一个直角三角形的两条边分别是9和40，则第三边的平方是（ ）A ．1681B ．1781C ．1519或1681D ．1519 10．如图，在33⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，若BD 是ABC 的边AC 上的高，则BD 的长为（ ）A ．52613B ．102613C ．13137D ．7131311．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1.点Q 在直线BC 上，且AQ ＝2，则线段BQ 的长为（ ）A ．3B ．5C ．31+或31-D ．51+或51- 12．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代《周髀算经》中早有记载．如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大正方形内．若图中阴影部分图形的面积为3，则较小两个正方形重叠部分图形的面积为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．6二、填空题13．如图，在ABC 中，90,ACB AC BC ︒∠==，点M 为射线AE 上一点，连接CM ，点N 为三角形ABC 外右侧一点，连接CN ，连接NB 交射线AE 于点D ，已知,,15CN CM CN CM EAC ︒⊥=∠= ，6260,2ACM BD ︒+∠==，则线段DN 长为________．14．将一根24cm 的筷子，置于底面直径为5cm 、高为12cm 的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为h cm ，则h 的最小值__，h 的最大值__．15．如图，在ABC 中，90C =∠，AB 的中垂线DE 交AB 于E ，交BC 于D ，若5AB =，3AC =，则ACD △的周长为__________．16．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是_________17．如图，两个正方形的面积分别是118S =，212S =，则第三个正方形的面积3S =_________．18．若直角三角形的两直角边长为a 、b 21025a a -+b ﹣12|＝0，则该直角三角形的斜边长为_____．19．现有两根木棒，长度分别为5dm 和12dm ，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需的第三根木棒的长度可以是________dm ．20．若一个直角三角形的两条直角边长分别是4和6，则斜边长为__________．三、解答题21．如图，在△ABC 中，∠ABC 的角平分线与外角∠ACD 的角平分线相交于点E ． （1）设∠A ＝α，用含α的代数式表示∠E 的度数；（2）若EC ∥AB ，AC ＝4，求线段CE 的长；（3）在（2）的条件下，过点C 作∠ACB 的角平分线交BE 于点F ，若CF ＝3，求边AB 的长．22．如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，DB ＝9.求AB 的长.23．如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点．已知∠BAC=60°，∠DAE=45°，点D 到地面的垂直距离DE=32米．求点B 到地面的垂直距离BC ．24．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，AB ＝10，AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ．求AE 的长．25．如图，//,90AD BC A ∠=︒，E 是AB 上的点，且,12AD BE =∠=∠．（1）求证：ADE BEC ≌△△．（2）若30,3AED AE ∠=︒=，求线段CD 的长度．26．如图，已知Rt △ABC 中，∠C =90°，点D 是AC 上一点，点E 、点F 是BC 上的点，且∠CDF =∠CEA ，CF =CA ．（1）如图1，若AE 平分∠BAC ，∠DFC =25°，求∠B 的度数；（2）如图2，若过点F 作FG ⊥AB 于点G ，连结GC ，求证：AG +GF =2GC ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由勾股定理求出DE ，即可得出CD 的长．【详解】解：连接AD ，如图所示：∵AD =AB =2，∴DE =2221-=3，∴CD =23-，故选：C ．本题考查了勾股定理；由勾股定理求出DE是解决问题的关键．2．D解析：D【分析】设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，由勾股定理可求a2+b2＝c2，由S四边形GHCE＝S四边形GKJE+S四边形KHCJ＝9，可求b＝，即可求解．【详解】解：设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，∴AB=，AC=，BC=，∵∠BAC＝90°，∴AB2+AC2＝BC2，∴2a2+2b2＝2c2，∴a2+b2＝c2，∵将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC，∴BG＝GH＝a，∵S四边形GHCE＝S四边形GKJE+S四边形KHCJ＝9，∴1（a+c）（c﹣a）＝9，2∴c2﹣a2＝18，∴b2＝18，∴b＝∴AC=＝6，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，利用整体思想解决问题是本题的关键．3．B解析：B【分析】由勾股定理求出a、b、c、d，即可得出结果．【详解】∵=，=d=2，=5∴长度是无理数的线段有2条，故选B．【点睛】本题考查了勾股定理、无理数，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．4．B解析：B根据勾股数的定义：满足222+=a b c 的三个正整数，成为勾股数，据此可判断．【详解】A ．0.3、0.4、0.5，不是正整数，所以不是勾股数，选项错误；B ．9、40、41，是正整数，且满足22294041+=，是勾股数，选项正确；C ．2、3、4，是正整数，但222234+≠，所以不是勾股数，选项正确；D ．1、2、3，不是正整数，所以不是勾股数，选项错误；故选：B ．【点睛】本题考查了勾股数的判定方法，解题关键是要看这组数是否为正整数，且满足最小两个数的平方和等于最大数的平法．5．C解析：C【分析】利用勾股定理求BC 的长度，连接AE ，然后设BE=AE=x ，结合勾股定理列方程求解．【详解】解：如图，∵Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∴22221086BC AB AC =-=-=，∵DE 是AB 的垂直平分线，∴BD=12AB=5，∠EDB=90°，AE=BE 连接AE ，设AE=BE=x ，则CE=x-6在Rt △ACE 中，222(6)8x x -+=，解得：253x =∴BE=AE=253 在Rt △BDE 中，ED=22222520()533BE BD -=-=． 故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形和线段垂直平分线的性质，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．6．B解析：B【分析】先由勾股定理求出BD=BC=1，得1，即可得出结论．【详解】解：∵∠C=90°，AC=2，BC=1，∴==∵BD=BC=1，∴1-，∴AE AC =， 故选B ．【点睛】本题考查了黄金分割以及勾股定理，熟练掌握黄金分割和勾股定理是解题的关键． 7．A解析：A【分析】设门的宽为x 尺，则高为（x+6）尺，根据勾股定理解答．【详解】设门的宽为x 尺，则高为（x+6）尺，根据题意可列方程222(6)10x x ++=，故选：A ．【点睛】此题考查勾股定理计算，正确理解题意掌握勾股定理计算公式是解题的关键． 8．A解析：A【分析】设AC=x 尺，则AB=（10-x ）尺，利用勾股定理解答．【详解】设AC=x 尺，则AB=（10-x ）尺， ABC 中，90ACB ∠=︒，222AC BC AB +=，∴2224(10)x x +=-，解得：x=4.2，故选：A ．【点睛】此题考查勾股定理，根据题意正确设未知数，利用勾股定理解答是解题的关键． 9．C解析：C【分析】由题意可分当第三边为直角边时和当第三边为斜边时，然后利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：当第三边是直角边时，第三边的平方是402﹣92＝1519；当第三边是斜边时，第三边的平方是402+92＝1681；故选：C．【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．10．D解析：D【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用割补法可得△ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：由勾股定理得：AC=∵S△ABC＝3×3−12×1×2−12×1×3−12×2×3＝72，∴12AC•BD＝72，∴＝7，∴BD故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理与三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．11．C解析：C【分析】分Q在CB延长线上和Q在BC延长线上两种情况分类讨论，求出CQ长，根据线段的和差关系即可求解．【详解】解：如图1，当Q在CB延长线上时，在Rt△ACQ中，CQ===∴1；如图2，当Q 在BC 延长线上时，在Rt △ACQ 中，2222213CQ AQ AC =-=-=，∴BQ=CQ+BC=31+；∴BQ 的长为31+或31-．故选：C【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意画出图形，分类讨论是解题关键．12．B解析：B【分析】由图①结合勾股定理可得三个正方形面积之间的关系，在图②中，可知两个小正方形的面积与阴影部分面积之和减去大正方形的面积即可得到重叠部分的面积．【详解】设以直角三角形三边为边长的正方形面积分别为S 1，S 2，S 3，大小正方形重叠部分的面积为S ，则由勾股定理可得：S 1+S 2=S 3，在图②中，S 1+S 2+3-S=S 3，∴S=3，故选：B ．【点睛】本题主要考查勾股定理与图形面积，灵活运用勾股定理处理图形面积之间的转化是解题关键．二、填空题13．【分析】根据题意可求证延长CM 交AB 与点G 过G 作GK 垂直于BC 于点K 根据角相等判断边相等AG=AM 列出方程求出AG 的长从而求出AM 的长从而求出BN 的长DN=BN-BD 即可求解【详解】∵∴∵CN=CM【分析】根据题意可求证ACM BCN ≅，延长CM 交AB 与点G ，过G 作GK 垂直于BC 于点K ，根据角相等判断边相等，AG=AM ，列出方程求出AG 的长，从而求出AM 的长，从而求出BN 的长，DN=BN-BD 即可求解．【详解】∵60ACM ︒∠=，90M B N A C C ︒=∠∠=，∴60ACM BCN ︒∠=∠=，∵AC BC =，CN=CM∴ACM BCN ≅，∴15CAM CBN ︒∠=∠=，延长CM 交AB 与点G ，过G 作GK 垂直于BC 于点K ，∵90,ACB AC BC ︒∠==，60ACM ︒∠=∴45ABC ︒∠=，45CAB ︒∠=，30GCB ∠=︒，∴60ABD ︒∠=，30BAD ︒∠=，75AGC ∠=︒，75AMG ∠=︒∴90ADB ︒∠=，AM=AG ，∵BD = ∴AB =∴12AC BC ===，设BK=a ，则GK=a ，CK =， ∴1a +=，∴a=1，∴1BK KG ==， ∴BG =∴AG =AM =∴6BN =， ∴622DN BN BD -=-=， 故答案为：62-．【点睛】本题主要考查的是三角形全等的性质及判定，正确做出辅助线，熟练掌握三角形全等的性质及判定是解答本题的关键．14．11cm12cm 【分析】根据筷子的摆放方式得到：当筷子与杯底垂直时h 最大当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h 最小利用勾股定理计算即可【详解】解：当筷子与杯底垂直时h 最大h 最大=24﹣12=12（cm解析：11cm 12cm【分析】根据筷子的摆放方式得到：当筷子与杯底垂直时h 最大，当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h 最小，利用勾股定理计算即可．【详解】解：当筷子与杯底垂直时h 最大，h 最大=24﹣12=12（cm ）．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h 最小，此时，在杯子内的长度22512+=13（cm ），故h =24﹣13=11（cm ）．故h 的取值范围是11≤h ≤12cm ．故答案为：11cm ；12cm ．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意、掌握勾股定理的计算公式是解题的关键． 15．7【分析】先根据勾股定理求出BC 的长再由线段垂直平分线的性质得出AD=BD 即AD+CD=BC 再由AC=6即可求出答案【详解】解：∵△ABC 中∠C=90°AB=5AC=3∴BC==4∵DE 是线段AB 的解析：7【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再由线段垂直平分线的性质得出AD=BD，即AD+CD=BC，再由AC=6即可求出答案．【详解】解：∵△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，∴BC=2222-=-=4，53AB AC∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴AD+CD=BD+CD，即AD+CD=BC，∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+BC=3+4=7．故答案为：7．【点睛】本题考查了勾股定理及线段垂直平分线的性质，能根据线段垂直平分线的性质求出AD+CD=BC是解题的关键．16．2021【分析】根据勾股定理求出生长了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和结合图形总结规律根据规律解答即可【详解】解：如图由题意得正方形A的面积为1由勾股定理得正方形B的面积+正方形C的面积=1∴解析：2021【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积=1，∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，……∴“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2021，故答案为：2021．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．17．6【分析】根据题意和图形可以得到AB2和AC2再根据△ABC是直角三角形和勾股定理可以得到BC2【详解】解：∵两个正方形的面积分别是S1=18S2=12∴AB2=18AC2=12∵△ABC是直角三角解析：6【分析】根据题意和图形，可以得到AB2和AC2，再根据△ABC是直角三角形和勾股定理，可以得到BC2．【详解】解：∵两个正方形的面积分别是S1=18，S2=12，∴AB2=18，AC2=12，∵△ABC是直角三角形，∴BC2=AB2-AC2=18-12=6，故答案为：6．【点睛】本题考查了正方形的性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．13【分析】根据非负数的性质得到ab的值然后结合勾股定理求得斜边的长度即可【详解】解：∵∴∴|a﹣5|+|b﹣12|＝0∴a＝5b＝12∴该直角三角形的斜边长为：故答案是：13【点睛】本题考查了勾股解析：13【分析】根据非负数的性质得到a、b的值，然后结合勾股定理求得斜边的长度即可．【详解】解：∵|12|0b-=，∴|12|0b-=∴|a﹣5|+|b﹣12|＝0，∴a＝5，b＝12，∴13=．故答案是：13．【点睛】本题考查了勾股定理，非负数的性质﹣绝对值、算术平方根．任意一个数的绝对值（二次根式）都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．19．13或【分析】分情况讨论当的木棒为直角边时以及当的木棒为斜边时利用勾股定理解答即可【详解】解：当的木棒为直角边时第三根木棒的长度为；当的木棒为斜边时第三根木棒的长度为；故答案为：13或【点睛】本题考解析：13【分析】分情况讨论当12dm的木棒为直角边时以及当12dm的木棒为斜边时，利用勾股定理解答即可．【详解】解：当12dm13dm；当12dm=；故答案为：13【点睛】本题考查勾股定理的应用，分情况讨论是解题的关键．20．【分析】直接根据勾股定理求解可得【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别是4和6∴斜边长为故答案为：【点睛】本题考查勾股定理在任何一个直角三角形中两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方即如果直解析：【分析】直接根据勾股定理求解可得．【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别是4和6，∴故答案为：【点睛】本题考查勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．三、解答题21．（1）12α；（2）4；（3）5625【分析】（1）设∠ABE＝∠CBE＝x，∠ACE＝∠ECD＝y，利用三角形的外角的性质，构建方程组求解即可．（2）证明CA＝CB＝CE，可得结论．（3）如图，连接AF，过点C作CT⊥BE于T．解直角三角形求出EF，BE，BF，再利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）设∠ABE＝∠CBE＝x，∠ACE＝∠ECD＝y，则有22y x Ay x E=+∠⎧⎨=+∠⎩，可得∠E ＝12∠A ＝12α． （2）∵EC ∥AB ，∴∠ABE ＝∠E ，∵∠ABC ＝2∠ABE ，∠A ＝2∠E ，∴∠A ＝∠ABC ，∠E ＝∠CBE ，∴CA ＝CB ＝4，CE ＝CB ＝4.（3）如图，连接AF ，过点C 作CT ⊥BE 于T ，延长CF 交AB 于R ．∵CF 平分∠ACB ，CE 平分∠ACD ，∴∠FCE ＝12（∠ACB ＋∠ACD ）＝90°， ∵CF ＝3，CE ＝4，∴EF5，∵S △CEF ＝12•EC•CF ＝12•EF•CT ， ∴CT ＝125， 在Rt △BCT 中，BT＝165， ∵CB ＝CE ，CT ⊥BE ，∴BT ＝TE ，∴BE ＝2BT ＝325， ∴BF ＝BE ﹣EF ＝325﹣5＝75， ∵CA ＝CB ，CF 平分∠ACB ，∴CR ⊥AB ，BR ＝AR ，设BR ＝x ，RF ＝y ， 则有2222227()5(3)4x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩， 解得2825215x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（不符合题意的解已经舍弃）． ∴AB ＝2BR ＝5625．【点睛】本题考查三角形的外角的性质，平行线的性质，勾股定理解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，题目有一定的难度．22．【分析】由题意可知三角形CDB是直角三角形，利用已知数据和勾股定理直接可求出DC的长，再利用勾股定理求出AD的长，进而求出AB的长．【详解】∵CD⊥AB于D，且BC=15，BD=9，AC=20∴∠CDA=∠CDB=90°在Rt△CDB中，CD2+BD2=CB2，∴CD2+92=152∴CD=12；在Rt△CDA中，CD2+AD2=AC2∴122+AD2=202∴AD=16，∴AB=AD+BD=16+9=25．23．33【分析】在Rt△ADE中，运用勾股定理可求出梯子的总长度，在Rt△ABC中，根据已知条件再次运用勾股定理可求出BC的长．【详解】解：在Rt△DAE中，∵∠DAE=45°，∴∠ADE=∠DAE=45°，2．∴AD2=AE2+DE2=（2）2+（2）2=36，∴AD=6，即梯子的总长为6米．∴AB=AD=6．在Rt△ABC中，∵∠BAC=60°，∴∠ABC=30°，∴AC=1AB=3，2∴BC2=AB2-AC2=62-32=27，∴BC=27=33m，∴点B到地面的垂直距离BC=33m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，如何从实际问题中整理出直角三角形并正确运用勾股定理是解决此类题目的关键．24．25 4【分析】连接BE，先利用勾股定理求出BC的长，根据线段垂直平分线的性质可得AE＝BE，然后设AE＝BE＝x，再由勾股定理可得方程（8−x）2＋62＝x2，求解后即可得出答案．【详解】解：连接BE，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，∴AC2＋BC2＝AB2．即82＋BC2＝102，解得：BC＝6．∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE．设AE＝BE＝x，则EC＝8−x，∵Rt△BCE中，EC2＋BC2＝BE2，∴（8−x）2＋62＝x2，解得：x＝254，∴AE＝254．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理，掌握线段垂直平分线的性质并结合勾股定理求解线段的长度是解题的关键，且要注意数形结合思想应用．25．（1）证明见详解；（2）26【分析】（1）根据已知可得到∠A =∠B =90°，DE =CE ，AD =BE 从而利用HL 判定两三角形全等； （2）由三角形全等可得到对应角相等，对应边相等，由已知可推出∠DEC =90°，由30,3AED AE ∠=︒=，可求得AD 、DE 的长，再利用勾股定理求得CD 的长即可．【详解】（1）∵AD ∥BC ，∠A =90°，∴∠A =∠B =90°，∵∠1=∠2，∴DE =CE ．∵AD =BE ，在Rt △ADE 与Rt △BEC 中AD BE DE CE =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ADE ≌Rt △BEC （HL ）（2）由△ADE ≌△BEC 得∠AED =∠BCE ，AD =BE ．DE=CE ,∴∠AED +∠BEC =∠BCE +∠BEC =90°．∴∠DEC =90°．在Rt △ADE 中又∵30,3AED AE ∠=︒=设AD =x ，则DE =2x,由勾股定理222AD AE DE +=，即2294x x +=解得x =∴在Rt △CDE 中由勾股定理，DC 2=DE 2+CE 2∴CD【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质的运用，熟练掌握等三角形的判定与性质的运用是解题关键．26．（1）∠B=40°；（2）见解析．【分析】（1）先利用SAS 证明△AEC ≌△FDC ，得出∠EAC=∠DFC=25°，从而得出∠BAC=50°，再根据直角三角形的两个锐角互余即可得出结论（2）过点C 作GC 的垂线交GF 的延长线于点P ，根据同角的余角得出∠PCF =∠GCA ，再根据ASA 得出△AGC ≌△FPC ，从而得出△GCP 是等腰直角三角形，即可得出答案【详解】（1）在△AEC 和△FDC 中，∵∠CDF=∠CEA CE=CD ∠C=∠C，∴△AEC≌△FDC，∴∠EAC=∠DFC=25°∵AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠EAC=50°∵∠C=90°，∴在Rt△ABC中，∠B=90°－∠BAC=40°．（2）如答图，过点C作GC的垂线交GF的延长线于点P∴∠GCP = 90°∴∠GCF＋∠PCF = 90°，∵∠ACB = 90°∴∠GCF＋∠GCA = 90°，∴∠PCF =∠GCA．∵∠ACB=90°，GF⊥AB∴∠B＋∠BAC=∠B＋∠BFG= 90°，∴∠BAC=∠BFG．又∵∠PFC=∠BFG∴∠GAC=∠PFC．由（1）知，△AEC≌△FDC，∴CA=CF，∴△AGC≌△FPC，∴GC=PC，AG=FP．又∵PC⊥GC，∴△GCP是等腰直角三角形，∴GF＋2GC，∴AG＋2GC【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．。
精品解析2022年人教版八年级数学下册第十八章-平行四边形综合测试试题(含答案及详细解析)
人教版八年级数学下册第十八章-平行四边形综合测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知直线:l y x =，点P 在直线l 上，点(2A ，点(2B +，若APB △是直角三角形，则点P 的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、如图，四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）A ．当▱ABCD 是矩形时，∠ABC ＝90°B ．当▱ABCD 是菱形时，AC ⊥BD C ．当▱ABCD 是正方形时，AC ＝BD D ．当▱ABCD 是菱形时，AB ＝AC3、如图所示，在矩形ABCD 中，已知AE ⊥BD 于E ，∠DBC ＝30°，BE =1cm ，则AE 的长为（ ）A．3cm B．2cm C．D4、ABCD的周长为32cm，AB：BC=3：5，则AB、BC的长分别为（）A．20cm，12cm B．10cm，6cm C．6cm，10cm D．12cm，20cm5、如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，过点B作BE⊥CD于点E，则BE的长为（）A．125B．245C．6 D．4856、如图菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，若BD＝8，AC＝6，则AB的长是（）A．5 B．6 C．8 D．107、如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E，若∠1＝40°，则∠2的度数为（）A ．25°B ．20°C ．15°D ．10°8、平行四边形ABCD 中，60A ∠=︒，则C ∠的度数是（ ）A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒9、如图，平行四边形ABCD 的周长为36，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是CD 的中点，BD ＝12，则△DOE 的周长是（ ）A ．12B ．15C ．18D ．2410、如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，6BC =，BDC ∆面积为21，AB 的垂直平分线MN 分别交,AB AC 于点,M N ，若点P 和点Q 分别是线段MN 和BC 边上的动点，则PB PQ +的最小值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图所示，正方形ABCD 的面积为6，△CDE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线BD 上有一动点K ，则KA +KE 的最小值为 _____________．2、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为DC的中点，若2OE ，则菱形的周长为__________．3、点D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，已知BC＝12，则DE＝_____4、判断：（1）菱形的对角线互相垂直且相等____( )____（2）菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形____( )____5、如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝45°，AD＝8，E、H分别为边AB、CD上一点，将▱ABCD沿EH 翻折，使得AD的对应线段FG经过点C，若FG⊥CD，CG＝4，则EF的长度为 _____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，ABCD是平行四边形，AD＝4，AB＝5，点A的坐标为（－2，0），求点B、C、D的坐标．2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°．（1）作AB 的垂直平分线l ，交AB 于点D ，连接CD ，分别作∠ADC ，∠BDC 的平分线，交AC ，BC 于点E ，F （尺规作图，不写作法，保作图痕迹）；（2）求证：四边形CEDF 是矩形．3、如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别是边AB 和BC 上的点，且BE ＝BF ．求证：∠DEF ＝∠DFE ．4、如图，在平行四边形ABCD 中，8cm AB =，16cm BC =．30B ∠=︒．点P 在BC 上由点B 向点C 出发，速度为每秒2cm ；点Q 在边AD 上，同时由点D 向点A 运动，速度为每秒1cm ．当点P 运动到点C 时，点P ，Q 同时停止运动．连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）当t为何值时，四边形ABPO为平行四边形？（2）设四边形ABPQ的面积为y，求y与t之间的函数关系式．∠的度数．（3）当t为何值时，四边形ABPQ的面积是四边形ABCD的面积的四分之三？求出此时PQD（4）连接AP，是否存在某一时刻t，使ABP△为等腰三角形？若存在，请求出此刻t的值；若不存在，请说明理由．5、如图，已知正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF DE⊥，垂足为点F，BF与CD交于点G．（1）求证：CG CE=；（2）若BE=DG=BG的长．---------参考答案-----------一、单选题1、C【解析】【分析】分别讨论90APB∠=︒三种情况，求出P点坐标即可得出答案．PAB∠=︒，90PBA∠=︒，90【详解】如图，当90PAB ∠=︒时，点A 与点P 横坐标相同，(22,0)A -2x ∴=y x =中得：2y =1(2P ∴，当90PBA ∠=︒时，点B 与点P 横坐标相同，(22,0)B +，2x ∴=代入y x =中得：2y =2(2P ∴，当90APB ∠=︒时，取AB 中点为点C ，过点P 作PM AB ⊥交于点M ，设(,)P a a ，OM a ∴=，PM a =，(22,0)A -，(2B +，2(2AB ∴=+=12AC PC AB ∴==22OC OA AC ∴=+==，2CM a ∴=-，在Rt PMC 中，222(2)a a +-=，解得：1a =，(1,1)P ∴，P ∴点有3个．故选：C ．【点睛】本题考查直角三角形的性质与平面直角坐标系，掌握分类讨论的思想是解题的关键．2、D【解析】【分析】由矩形的四个角是直角可判断A ，由菱形的对角线互相垂直可判断B ，由正方形的对角线相等可判断C ，由菱形的四条边相等可判断D ，从而可得答案.【详解】解：当▱ABCD 是矩形时，∠ABC ＝90°，正确，故A 不符合题意；当▱ABCD 是菱形时，AC ⊥BD ，正确，故B 不符合题意；当▱ABCD 是正方形时，AC ＝BD ，正确，故C 不符合题意；当▱ABCD 是菱形时，AB ＝BC ，故D 符合题意；【点睛】本题考查的是矩形，菱形，正方形的性质，熟练的记忆矩形，菱形，正方形的性质是解本题的关键.3、D【解析】【分析】根据矩形和直角三角形的性质求出∠BAE=30°，再根据直角三角形的性质计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∠BDA=∠DBC=30°，∵AE⊥BD，∴∠DAE=60°，∴∠BAE=30°，在Rt△ABE中，∠BAE=30°，BE=1cm，∴AB=2cm，cm)，∴AE故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．4、C【解析】根据平行四边形的性质，可得AB =CD ，BC =AD ，然后设3cm,5cm AB x BC x == ，可得到()23532x x += ，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，BC =AD ，∵AB ：BC =3：5，∴可设3cm,5cm AB x BC x == ，∵ABCD 的周长为32cm ，∴()232AB BC += ，即()23532x x += ，解得：2x = ，∴6cm,10cm AB BC == ．故选：C【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对边相等是解题的关键．5、B【解析】【分析】根据菱形的性质求得BD 的长，进而根据菱形的面积等于12AC BD CD BE ⋅=⋅，即可求得BE 的长【详解】解：如图，设,AC BD 的交点为O ，四边形ABCD 是菱形AC BD ∴⊥，142AO CO AC ===，DO BO =，5CD AB == 在Rt AOB 中，5AB =，4AO =3BO ∴26BD BO ∴== 菱形的面积等于12AC BD CD BE ⋅=⋅1168242255AC BD BE CD ⋅⨯∴==⨯= 故选B【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质，求得BD 的长是解题的关键．6、A【解析】【分析】由菱形的性质可得OA =OC =3，OB =OD =4，AO ⊥BO ，由勾股定理求出AB ．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，AC =6，BD =8，∴OA =OC =3，OB =OD =4，AO ⊥BO ，在Rt△AOB中，由勾股定理得：5AB=，故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形对角线互相垂直且平分的性质是解题的关键．7、D【解析】【分析】根据矩形的性质，可得∠ABD＝40°，∠DBC＝50°，根据折叠可得∠DBC′＝∠DBC＝50°，最后根据∠2＝∠DB C′−∠DBA进行计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，CD∥AB，∴∠ABD=∠1＝40°，∴∠DBC＝∠ABC-∠ABD=50°，由折叠可得∠DB C′＝∠DBC＝50°，∴∠2＝∠DB C′−∠DBA＝50°−40°＝10°，故选D．【点睛】本题考查了长方形性质，平行线性质，折叠性质，角的有关计算的应用，关键是求出∠DBC′和∠DBA 的度数．8、B【解析】【分析】根据平行四边形对角相等，即可求出C∠的度数．【详解】解：如图所示，∵四边形ABCD是平行四边形，∴A C∠=∠，∴60A∠=︒，∴60∠=°．C故：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质．9、B【解析】【分析】根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB＝OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是BC，所以易求△DOE的周长．△BCD的中位线，可得OE＝12【详解】解：∵▱ABCD的周长为36，∴2（BC＋CD）＝36，则BC＋CD＝18．∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD＝12，∴OD＝OB＝12BD＝6．又∵点E是CD的中点，∴OE是△BCD的中位线，DE＝12CD，∴OE＝12BC，∴△DOE的周长＝OD＋OE＋DE＝12BD＋12（BC＋CD）＝6＋9＝15，故选：B．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质．解题时，利用了“平行四边形对角线互相平分”、“平行四边形的对边相等”的性质．10、C【解析】【分析】连接AQ，过点D作DH BC⊥，根据垂直平分线的性质得到PA PB=，再根据PB PQ AP PQ AQ+=+≥计算即可；【详解】连接AQ，过点D作DH BC⊥，∵6BC=，BDC∆面积为21，∴1212BC DH =， ∴7DH =，∵MN 垂直平分AB ，∴PA PB =，∴PB PQ AP PQ AQ +=+≥，∴当AQ 的值最小时，PB PQ +的值最小，根据垂线段最短可知，当AQ BC ⊥时，AQ 的值最小， ∵AD BC ∥，∴7AQ DH ==，∴PB PQ +的值最小值为7；故选C ．【点睛】本题主要考查了四边形综合，垂直平分线的性质，准确分析计算是解题的关键．二、填空题1【解析】【分析】根据正方形的性质可知C 、A 关于BD 对称，推出CK ＝AK ，推出EK +AK ≥CE ，根据等边三角形性质推出CE ＝CD ，根据正方形面积公式求出CD 即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴C 、A 关于BD 对称，即C 关于BD 的对称点是A ，如图，连接CK ，则CK ＝AK ，∴EK+CK≥CE，∵△CDE是等边三角形，∴CE＝CD，∵正方形ABCD的面积为6，∴CD，∴KA+KE【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称-最短路径问题，等边三角形的性质等知识点的应用，解此题的关键是确定K的位置和求出KA+KE的最小值是CE．2、16【解析】【分析】由菱形的性质和三角形中位线定理即可得菱形的边长，从而可求得菱形的周长．【详解】∵四边形ABCD是菱形，且对角线相交于点O∴点O是AC的中点∵E为DC的中点∴OE为△CAD的中位线∴AD=2OE=2×2=4∴菱形的周长为：4×4=16故答案为：16【点睛】本题考查了菱形的性质及三角形中位线定理、菱形周长等知识，掌握这些知识是解答本题的关键．3、6【解析】【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半进行计算即可．【详解】解：∵D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵BC=12，BC=6，∴DE=12故答案为6．【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，熟知三角形中位线定理是解题的关键．4、× √【解析】【分析】根据菱形的性质，即可求解．【详解】解：（1）菱形的对角线互相垂直且平分；（2）菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形．故答案为：（1）×；（2）√【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的对角线互相垂直且平分是解题的关键．5、8【解析】【分析】延长CF与AB交于点M，由平行四边形的性质得BC长度，GM⊥AB，由折叠性质得GF，∠EFM，进而得FM，再根据△EFM是等腰直角三角形，便可求得结果．【详解】解：延长CF与AB交于点M，∵FG⊥CD，AB∥CD，∴CM ⊥AB ，∵∠B =45°，BC =AD =8，∴CM由折叠知GF =AD =8，∵CG =4，∴MF =CM -CF =CM -（GF -CG ）-4，∵∠EFC =∠A =180°-∠B =135°，∴∠MFE =45°，∴EF （）故答案为：【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，解直角三角形的应用，关键是作辅助线构造直角三角形．三、解答题1、(3,0)B 、(5,C 、(0,D【分析】根据5AB =，(2,0)A -即可求得点B ，勾股定理求得OD 即可求得点D ，再根据平行四边形的性质可得C 点坐标．【详解】解：ABCD 是平行四边形，∴CD x ∥轴，5CD AB ==，由题意可得，2OA =，90AOD ∠=︒，∴OD =，即(0,D ，∵(2,0)A -，5AB =，∴(3,0)B ，∵(0,D ，5CD AB ==，CD x ∥轴，∴(5,C ，∴(3,0)B 、(5,C 、(0,D ．【点睛】此题考查了坐标与图形，涉及了勾股定理、平行四边形的性质，解题的关键是掌握并灵活运用相关性质进行求解．2、（1）见解析（2）见解析【分析】（1）利用垂直平分线和角平分线的尺规作图法，进行作图即可．（2）利用直角三角形斜边中线性质，以及角平分线的性质直接证明CED ∠与EDF ∠都是90︒，最后加上90ACB ∠=︒，即可证明结论．【详解】（1）答案如下图所示：分别以A 、B 两点为圆心，以大于2AB 长为半径画弧，连接弧的交点的直线即为垂直平分线l ，其与AB的交点为D ，以点D 为圆心，适当长为半径画弧，分别交DA 于点M ，交CD 于点N ，交BD 于点T ，然后分别以点M ，N 为圆心，大于2MN 为半径画弧，连接两弧交点与D 点的连线交AC 于点E ，同理分别以点T ，N 为圆心，大于2TN 为半径画弧，连接两弧交点与D 点的连线交BC 于点F ． （2）证明：D 点是AB 与其垂直平分线l 的交点，D ∴点是AB 的中点，CD ∴是Rt △ABC 上的斜边的中线，2AB CD AD ∴==， DE 、DF 分别是∠ADC ，∠BDC 的角平分线，12CDE ADE ADC ∴∠=∠=∠，12CDF CDB ∠=∠， EDF CDE CDF ∠=∠+∠，11190222EDF ADC CDB ADB ∴∠=∠+∠=∠=︒ ， CD AD CDE ADE DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()CDE ADE SAS ∴∆∆≌，1902CED AED AEC ∴∠=∠=∠=︒， 在四边形CEDF 中，90ACB CED EDF ∠=∠=∠=︒，∴四边形CEDF 是矩形．【点睛】本题主要是考查了尺规作图、直角三角形斜边中线性质以及矩形的判定，熟练利用直角三角形斜边中线性质，找到三角形全等的判定条件，并且选择合适的矩形判定条件，是解决本题的关键．3、见解析【分析】根据菱形的性质可得AB =BC =CD =AD ，∠A =∠C ，再由BE =BF ，可推出AE =CF ，即可利用SAS 证明△ADE ≌△CDF 得到DE =DF ，则∠DEF =∠DFE ．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD ，∠A =∠C ，∵BE =BF ，∴AB -BE =BC -BF ，即AE =CF ，∴△ADE ≌△CDF （SAS ），∴DE =DF ，∴∠DEF =∠DFE ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的性质．4、（1）163；（2）y ＝S 四边形ABPQ ＝2t ＋32（0＜t ≤8）；（3）t ＝8，75PQD ∠=；（4）当t ＝4或ABP △为等腰三角形，理由见解析．【分析】（1）利用平行四边形的对边相等AQ ＝BP 建立方程求解即可；（2）先构造直角三角形，求出AE ，再用梯形的面积公式即可得出结论；（3）利用面积关系求出t，即可求出DQ，进而判断出DQ＝PQ，即可得出结论；（4）分三种情况，利用等腰三角形的性质，两腰相等建立方程求解即可得出结论．【详解】解：（1）∵在平行四边形ABCD中，8cmAB=，16cmBC=，由运动知，AQ＝16−t，BP＝2t，∵四边形ABPQ为平行四边形，∴AQ＝BP，∴16−t＝2t∴t＝163，即：t＝163s时，四边形ABPQ是平行四边形；（2）过点A作AE⊥BC于E，如图，在Rt△ABE中，∠B＝30°，AB＝8，∴AE＝4，由运动知，BP＝2t，DQ＝t，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝16，∴AQ＝16−t，∴y＝S四边形ABPQ＝12（BP＋AQ）•AE＝12（2t＋16−t）×4＝2t＋32（0＜t≤8）；（3）由（2）知，AE＝4，∵BC＝16，∴S四边形ABCD＝16×4＝64，由（2）知，y＝S四边形ABPQ＝2t＋32（0＜t≤8），∵四边形ABPQ的面积是四边形ABCD的面积的四分之三∴2t＋32＝34×64，∴t＝8；如图，当t＝8时，点P和点C重合，DQ＝8，∵CD＝AB＝8，∴DP＝DQ，∴∠DQC＝∠DPQ，∴∠D＝∠B＝30°，∴∠DQP＝75°；（4）①当AB＝BP时，BP＝8，即2t＝8，t＝4；②当AP＝BP时，如图，∵∠B＝30°，过P作PM垂直于AB，垂足为点M，∴BM＝4，22242BPBP⎛⎫+=⎪⎝⎭，解得：BP，∴2t，∴t③当AB＝A P时，同（2）的方法得，BP＝∴2t＝∴t＝所以，当t＝4或ABP为等腰三角形．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，含30°的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解（1）的关键是利用AQ＝BP建立方程，解（2）的关键是求出梯形的高，解（3）的关键是求出t，解（4）的关键是分类讨论的思想思考问题．5、（1）见解析；（2）BG=【分析】（1）由正方形的性质可得BC DC=，BCG DCE∠=∠，由E∠的余角相等可得∠CBG=∠CDE，进而证明△BCG≌△DCE，从而证明CG=CE；CG BC，进而勾股定理即可求得BG的（2）证明正方形的性质可得BC DC=，结合已知条件即可求得,长【详解】（1）∵BF⊥DE∴∠BFE=90°∵四边形ABCD是正方形∴∠DCE=90°BC DC=,BCG DCE∴∠=∠∴∠CBG+∠E=∠CDE+∠E，∴∠CBG=∠CDE∴△BCG≌△DCE∴CG=CE（2）∵BC DC=，且BE=DG=∴CE CG=∵CG=CE∴CG BC=在Rt BCG中，BG=【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握三角形全等的性质与判定与勾股定理是解题的关键．。
人教版八年级下册《第17章 勾股定理》单元测试试卷及答案(共五套)
人教版八年级下册《第17章勾股定理》单元测试试卷（一）一、认真选一选，你一定很棒！（每题3分，共30分）1，分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10；②13，5，12 ③1，2，3；④9，40，41；⑤321，421，521.其中能构成直角三角形的有（ ）组 A.2B.3C.4D.52，已知△ABC 中，∠A ＝12∠B ＝13∠C ，则它的三条边之比为（ ） A.1∶1∶2 B.1∶3∶2 C.1∶2∶3 D.1∶4∶13，已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（ ）A.52B.3C.3+2D.334，如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ） A.12米 B.13米 C.14米 D.15米5，放学以后，萍萍和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若萍萍和晓晓行走的速度都是40米/分，萍萍用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，萍萍家和晓晓家的距离为（ ）A.600米B. 800米C.1000米D.不能确定6，如图1所示，要在离地面5•米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L 1＝5.2米，L 2＝6.2米，L 3＝7.8米，L 4＝10米四种备用拉线材料中，拉线AC 最好选用（ ） A.L 1 B.L 2 C.L 3 D.L 47，如图2，分别以直角△ABC 的三边AB ，BC ，CA 为直径向外作半圆.设直线ABABC图25m BCAD图1BCED图3左边阴影部分的面积为S 1，右边阴影部分的面积和为S 2，则（ ） A.S 1＝S 2B.S 1＜S 2C.S 1＞S 2D.无法确定8，在△ABC 中，∠C ＝90°，周长为60，斜边与一直角边比是13∶5，则这个三角形三边长分别是（ ）A.5，4，3B.13，12，5C.10，8，6D.26，24，109，如图3所示，AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝1，AB ⊥BC ，AC ⊥CD ，AD ⊥DE ，则AE ＝（ ） A.1 B.2 C.3 D.210，直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长都是自然数，则周长为（ ） A.182 B.183 C.184 D.185 二、仔细填一填，你一定很准！（每题3分，共24分）11，根据下图中的数据，确定A ＝_______，B ＝_______，x ＝_______.12，直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______. 13，直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________. 14，如图5，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处.树折断之前有______米.15，如果一个三角形的三个内角之比是1∶2∶3，且最小边的长度是8，最长边的长度是________.16，在△ABC 中，AB ＝8cm ，BC ＝15cm ，要使∠B ＝90°，则AC 的长必为______cm. 17，如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若6AC =，5BC =，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ．图5图418，甲、乙两只轮船同时从港口出发，甲以16海里/时的速度向北偏东75°的方向航行，乙以12海里/时的速度向南偏东15°的方向航行，若他们出发1.5小时后，•两船相距＿＿＿海里.三、细心做一做，你一定会成功！（共66分）19，古埃及人用下面方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉成如图所示的一个三角形，其中一个角便是直角，请说明这种做法的根据.图620，从旗杆的顶端系一条绳子，垂到地面还多2米，小敏拉起绳子下端绷紧，刚好接触地面，发现绳子下端距离旗杆底部8米，小敏马上计算出旗杆的高度，你知道她是如何解的吗？21，如图7，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？22，（1）四年一度的国际数学家大会日在北京召开，大会会标如图8，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求中间小正方形的面积.（2）现有一张长为6.5cm ，宽为2cm 的纸片，如图9，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形.（要求：先在图9中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据）23，清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王近日，西安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”.用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S ，则第一步：6S＝m；第二步：m ＝k ；第三步：分别用3、4、5乘以k ，得三边长”.（1）当面积S 等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长；（2）你能证明“积求勾股法”的正确性吗？请写出证明过程.A B 小河东北 牧童小屋 图7图8图924，学校科技小组研制了一套信号发射、接收系统.在对系统进行测试中，如图10，小明从路口A 处出发，沿东南方向笔直公路行进，并发射信号，小华同时从A 处出发，沿西南方向笔直公路行进，并接收信号.若小明步行速度为39米／分，小华步行速度为52米／分，恰好在出发后30分时信号开始不清晰.（1）你能求出他们研制的信号收发系统的信号传送半径吗？（以信号清晰为界限）（2）通过计算，你能找到题中数据与勾股数3、4、5的联系吗？试从中寻找求解决问题的简便算法.参考答案：一、1，B ；2，B ；3，D ；4，A ；5，C .点拨：画出图形，东南方向与西南方向成直角；6，B .点拨：在Rt△ACD 中，AC ＝2AD ，设AD ＝x ，由AD 2+CD 2＝AC 2，即x 2+52＝(2x )2，x所以2x ＝5.7736；7，A ；8，D .点拨：设斜边为13x ，则一直角边长为5x ，12x ，所以 13x +5x +12x ＝60，x ＝2，即三角形分别为10、24、26；9，D .点拨：AE2；10，A . 二、11，15、144、40；12，1360；13，6、8、10；14，24；15，16；16，17；17，：76；18，30.三、19，设相邻两个结点的距离为m ，则此三角形三边的长分别为3m 、4m 、5m ，有(3m )2+(4m )2＝(5m )2，所以以3m 、4m 、5m 为边长的三角形是直角三角形. 20，15m.北A图1021，如图，作出A 点关于MN 的对称点A ′，连接A ′B 交MN 于点P ，则A ′B 就是最短路线.在Rt△A ′DB 中，由勾股定理求得A ′B ＝17km.22，（ 1）设直角三角形的两条边分别为a 、b （a ＞b ），则依题意有22513a b a b +=⎧⎨+=⎩由此得ab ＝6，(a －b )2＝(a+b)2－4ab ＝1，所以a －b ＝1，故小正方形的面积为1.（2）如图：23，（1）当S ＝150时，k ＝m＝1502566S ==＝5，所以三边长分别为：3×5＝15，4×5＝20，5×5＝25；（2）证明：三边为3、4、5的整数倍，设为k 倍，则三边为3k ，4k ，5k ，•而三角形为直角三角形且3k 、4k 为直角边.其面积S ＝12(3k )·(4k )＝6k 2，所以k 2＝6S，k ＝6S （取正值），即将面积除以6，然后开方，即可得到倍数.24，（1）利用勾股定理求出半径为1950米；（2）小明所走的路程为39×30＝3×13×30，小华所走的路程为52×30＝4×13×30，根据前面的探索，可知勾股数3、4、5的倍数仍能构成一组勾股数，故所求半径为5×13×30=1950（米）.ABDPNM人教版八年级下册《第17章勾股定理》单元测试试卷（二）一、选择题(每小题3分,共30分)1. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A ．25 B ．14 C ．7D ．7或252.直角三角形的一条直角边长是另一条直角边长的,斜边长为10,则它的面积为( )A.10B.15C.20D.303. 如图，已知正方形的面积为144，正方形的面积为169，那么正方形的面积是（ ）A.313B.144C.169D.254、下列说法中正确的是（ ）A.已知c b a ,,是三角形的三边，则222c b a =+B.在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方C.在Rt△中，∠°，所以222c b a =+D.在Rt△中，∠°，所以222c b a =+5.如果将长为6 cm,宽为5 cm 的长方形纸片折叠一次,那么这条折痕的长不可能是( ) A.8 cm B.5cm C.5.5 cmD.1 cm6.在Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C 到AB 的距离是( )ABC第3题图A. B. C. D.7. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=2，点D 在BC 上， ∠ADC=2∠B ，AD=5，则BC 的长为（ ） A.3-1 B. 3+1 C. 5-1 D. 5+1 8. 如图，一圆柱高8 cm ，底面半径为π6cm ，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程是（ ）cm. A.6 B.8 C.10D.129.三角形三边长分别是6,8,10,则它的最短边上的高为( )A.6B.14C.2D.810.如图,将长方形纸片ABCD 折叠,使边DC 落在对角线AC 上,折痕为CE,且D 点落在对角线上D'处.若AB=3,AD=4,则ED 的长为( )A.B.3C.1D.二、填空题(每题4分,共20分) 11. 在△中，cm ，cm ，⊥于点，则_______.12.在△中，若三边长分别为9、12、15，则以两个这样的三角形拼成的长方形的面积为__________.13.如果一梯子底端离建筑物9 m 远，那么15 m 长的梯子可达到建筑物的高度是_______m.14.三角形一边长为10,另两边长是方程x 2-14x+48=0的两实根,则这是一个________三角形,面积为________.15. 如图,从点A(0,2)发出的一束光,经x 轴反射,过点B(4,3),则这束光从点A 到点B 所经过路径的长为__________.三、解答题(共7题,共70分)16. （6分）如图，台风过后，一希望小学的旗杆在某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？17.（8分）一副直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长.18.（8分）如图,小丽想知道自家门前小河的宽度,于是她按以下办法测出了如下数据:小丽在河岸边选取点A,在点A的对岸选取一个参照点C,测得∠CAD=30°;小丽沿河岸向前走30 m选取点B,并测得∠CBD=60°.请根据以上数据,用你所学的数学知识,帮小丽计算小河的宽度.19.（10分）如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，cm， cm，求：（1）的长；（2）的长.20.（12分）如图,将竖直放置的长方形砖块ABCD推倒至长方形A'B'C'D'的位置,长方形ABCD的长和宽分别为a,b,AC的长为c.(1)你能用只含a,b的代数式表示S△ABC ,S△C'A'D'和S直角梯形A'D'BA吗?能用只含c的代数式表示S△ACA'吗?(2)利用(1)的结论,你能验证勾股定理吗?21.（12分）如图,要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN,已知点C周围200 m范围内为原始森林保护区,在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上,从A向东走600 m到达B处,测得C在点B的北偏西60°方向上.(1)MN是否穿过原始森林保护区?为什么?(参考数据:≈1.732)(2)若修路工程顺利进行,要使修路工程比原计划提前5天完成,需将原定的工作效率提高25%,则原计划完成这项工程需要多少天?22.（14分）如图,将长方形OABC置于平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,4),点C的坐标为(m,0)(m>0),点D(m,1)在BC上,将长方形OABC沿AD折叠压平,使点B落在坐标平面内,设点B的对应点为点E.(1)当m=3时,点B的坐标为_________,点E的坐标为_________;(2)随着m的变化,试探索:点E能否恰好落在x轴上?若能,请求出m的值;若不能,请说明理由.参考答案一、1.C 2.B 3.A 4.A 5.A6.C7.C8.D9.D 10.A二、11.37012.直角;24 分析：解方程得x1=6,x2=8.∵+=36+64=100=102,∴这个三角形为直角三角形,从而求出面积.13.4 cm 分析：过点A作AE⊥BC于点E,AF⊥CD交CD的延长线于点F.易得△ABE≌△ADF,所以AE=AF,进一步证明四边形AECF是正方形,且正方形AECF与四边形ABCD的面积相等,则AE==2(cm),所以AC=AE=×2=4 (cm).14.略15.分析：如图,设这一束光与x轴交于点C,作点B关于x轴的对称点B',过B'作B'D⊥y轴于点D,连接B'C.易知A,C,B'这三点在同一条直线上,再由轴对称的性质知B'C=BC,则AC+CB=AC+CB'=AB'.由题意得AD=5,B'D=4,由勾股定理,得AB'=.所以AC+CB=.三、16.解:如图,过点A作AD⊥BC于点D.在Rt△ABD中,由勾股定理得AD2=AB2-BD2.在Rt△ACD中,由勾股定理得AD2=AC2-CD2.所以AB2-BD2=AC2-CD2.设BD=x,则82-x2=62-(7-x)2,解得x=5.5,即BD=5.5.所以AD==≈5.8.=·BC·AD≈×7×5.8=20.3≈20.所以S△ABC17.解:如图,过B点作BM⊥FD于点M.在△ACB中,∵∠ACB=90°,∠A=60°,∴∠ABC=30°,∴AB=2AC=20,∴BC== =10.∵AB∥CF,∴∠BCM=∠ABC=30°,∴BM=BC=5,∴CM===15.在△EFD中,∵∠F=90°,∠E=45°,∴∠EDF=45°,∴MD=BM=5,∴CD=CM-MD=15-5.18.解:过点C 作CE⊥AD 于点E,由题意得AB=30 m,∠CAD=30°,∠C BD=60°,故可得∠ACB=∠CAB=∠BCE=30°,即可得AB=BC=30 m,∴BE=15 m. 在Rt△BCE 中,根据勾股定理可得CE===15(m).答:小丽自家门前小河的宽度为15 m.19.略20.解:(1)易知△ABC,△C'A'D'和△ACA'都是直角三角形,所以S △ABC =ab,S △C'A'D'=ab,S 直角梯形A'D'BA =(a+b)(a+b)=(a+b)2,S △ACA'=c 2. (2)由题意可知S △ACA'=S 直角梯形A'D'BA-S △ABC -S △C'A'D'=(a+b)2-ab-ab=(a 2+b 2),而S △ACA'=c 2.所以a 2+b 2=c 2.21.解:(1)MN 不会穿过原始森林保护区.理由如下: 过点C 作CH⊥AB 于点H. 设CH=x m.由题意知∠EAC=45°,∠FBC=60°,则∠CAH=45°,∠CBA=30°. 在Rt△ACH 中,AH=CH=x m,在Rt△HBC 中,BC=2x m.由勾股定理,得HB==x m.∵AH+HB=AB=600 m,∴x+x=600.解得x=≈220>200.∴MN 不会穿过原始森林保护区.(2)设原计划完成这项工程需要y 天,则实际完成这项工程需要(y-5)天.根据题意,得=(1+25%)×.解得y=25.经检验,y=25是原方程的根.∴原计划完成这项工程需要25天.22.解:(1)(3,4);(0,1)(2)点E能恰好落在x轴上.理由如下:∵四边形OABC为长方形,∴BC=OA=4,∠AOC=∠DCE=90°,由折叠的性质可得DE=BD=BC-CD=4-1=3,AE=AB=OC=m.如图,假设点E恰好落在x轴上.在Rt△CDE中,由勾股定理可得EC===2,则有OE=OC-CE=m-2.在Rt△AOE中,OA2+OE2=AE2,即42+(m-2)2=m2,解得m=3.人教版八年级下册《第17章勾股定理》单元测试试卷（三）一、选择题(每小题4分,共28分)1.一个直角三角形的斜边长比一条直角边长大2,另一直角边长为6,则斜边长为( )A.4B.8C.10D.122.已知三角形的三边长之比为1∶1∶,则此三角形一定是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形3.如图,两个较大正方形的面积分别为225,289,则字母A所代表的正方形的面积为( )A.4B.8C.16D.644.如图,一个高1.5m,宽3.6m的大门,需要在相对的顶点间用一条木板加固,则这条木板的长度是( )A.3.8 mB.3.9 mC.4 mD.4.4 m5. 设a,b是直角三角形的两条直角边,若该三角形的周长为6,斜边长为2.5,则ab的值是( )A.1.5B.2C.2.5D.36.如图所示,要在离地面5m处引拉线固定电线杆,使拉线和地面成60°角,若要考虑既要符合设计要求,又要节省材料,则在库存的L1=5.2m,L2=6.2m,L3=7.8m,L4=10m四种备用拉线材料中,拉线AC最好选用( )A.L1B.L2C.L3D.L47.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,AD平分∠BAC交BC于D,则BD的长为( )A. B. C. D.二、填空题(每小题5分,共25分)8.定理“全等三角形的对应边相等”的逆命题是,它是命题(填“真”或“假”).9.如图所示,AB=BC=CD=DE=1,AB⊥BC,AC⊥CD,AD⊥DE,则AE= .10.如图,教室的墙面ADEF与地面ABCD垂直,点P在墙面上.若PA=AB=5,点P到AD的距离是3,有一只蚂蚁要从点P爬到点B,它的最短行程的平方应该是.11.如图所示,在△ABC中,AB∶BC∶CA=3∶4∶5,且周长为36 cm,点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动;点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动,如果同时出发,则过3s时,△BPQ的面积为cm2.12.在△ABC中,AB=2,BC=1,∠ABC=45°,以AB为一边作等腰直角三角形ABD,使∠ABD=90°,连接CD,则线段CD的长为.三、解答题(共47分)13.(10分)已知△ABC的三边分别为a,b,c,且a+b=4,ab=1,c=,试判定△ABC 的形状,并说明理由.14.(12分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若AC=6,BC=8,CD=3.(1)求DE的长.(2)求△ADB的面积.15.(12分)《中华人民共和国道路交通管理条例》规定:小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处,过了2s后,测得小汽车与车速检测仪间距离为50m,这辆小汽车超速了吗?(参考数据转换:1m/s=3.6km/h)16.(13分) 在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,设c为最长边.当a2+b2=c2时,△ABC是直角三角形;当a2+b2≠c2时,利用代数式a2+b2和c2的大小关系,探究△ABC的形状(按角分类).(1)当△ABC三边长分别为6,8,9时,△ABC为三角形;当△ABC三边长分别为6,8,11时,△ABC为三角形.(2)猜想:当a2+b2c2时,△ABC为锐角三角形;当a2+b2c2时,△ABC 为钝角三角形.(3)判断当a=2,b=4时,△ABC的形状,并求出对应的c的取值范围.答案解析1.【解析】选C.设斜边长为x,则一直角边为x-2,由勾股定理得,x2=(x-2)2+62,解得x=10.2.【解析】选D.由题意设三边长分别为x,x,x,∵x2+x2=(x)2,∴三角形一定为直角三角形,并且是等腰三角形.3.【解析】选D.由题意得,直角三角形的斜边为17,一条直角边为15,所以正方形A的面积为172-152=64.4.【解析】选B.设木板的长为xm,由题意知,x2=1.52+3.62,解得x=3.9(m).5.【解析】选D.∵三角形的周长为6,斜边长为2.5,∴a+b+2.5=6,∴a+b=3.5①,∵a,b是直角三角形的两条直角边,∴a2+b2=2.52②,由①②可得ab=3.6.【解析】选B.在Rt△ACD中,AC=2AD,设AD=x,由AD2+CD2=AC2,即x2+52=(2x)2,得x=≈2.8868,2x=5.7736,所以最好选用L.27.【解析】选A.∵∠BAC=90°,AB=3,AC=4,∴BC===5,∴BC边上的高=3×4÷5=,∵AD平分∠BAC,∴点D到AB,AC上的距离相等,设为h,则S=×3h+×4h=×△ABC5×,解得h=,S=×3×=BD·,△ABD解得BD=.8.【解析】“全等三角形的对应边相等”的逆命题是三边分别对应相等的两个三角形全等,它是真命题.答案:三边分别对应相等的两个三角形全等真9.【解析】AE=====2.答案:210.【解析】如图,则AG=3.在Rt△APG中,PG2=PA2-AG2=52-32=16.在Rt△PGB中,PB2=PG2+GB2=16+(3+5)2=80.答案:8011.【解析】设AB为3xcm,BC为4xcm,AC为5xcm,因为周长为36 cm,AB+BC+AC=36,所以3x+4x+5x=36,得x=3,所以AB=9,BC=12,AC=15,因为AB2+BC2=AC2,所以△ABC是直角三角形,过3s时,BP=9-3×1=6,BQ=2×3=6,所以S=BP·BQ=×6×6=18(cm2).△PBQ答案:1812.【解析】当点D与C在AB同侧,BD=AB=2,作CE⊥BD于E,CE=BE=,ED=,由勾股定理得CD=(如图1);当点D与C在AB异侧,BD=AB=2,∠DBC=135°,作DE⊥BC于E,BE=ED=2,EC=3,由勾股定理得CD=(如图2).答案:或13.【解析】△ABC是直角三角形,理由:∵(a+b)2=16,a2+2ab+b2=16,ab=1,∴a2+b2=14.又∵c2=14,∴a2+b2=c2.∴△ABC是直角三角形.14.【解析】(1)∵A D平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,∴CD=DE,∵CD=3,∴DE=3.(2)在Rt△ABC中,由勾股定理得,AB===10,=AB·DE=×10×3=15.∴S△ADB15.【解析】在Rt△ABC中,AC=30m,AB=50m,根据勾股定理可得:BC ===40(m).∴小汽车的速度为v==20m/s=20×3.6km/h=72km/h.∵72km/h>70km/h,∴这辆小汽车超速行驶.16.【解析】(1)锐角钝角.(2)> <.(3)∵a=2,b=4,∴2<c<6,且由题意,c为最长边,∴4<c<6,当a2+b2=c2,即c=2时,△ABC是直角三角形,∴当4<c<2时,△ABC是锐角三角形,当2<c<6时,△ABC是钝角三角形.人教版八年级下册《第17章勾股定理》单元测试试卷（四）（时间90分钟满分100分）班级学号姓名得分一、填空题（共14小题，每题2分，共28分）1．△ABC，∠C=90°，a=9，b=12，则c=__________．2．△ABC，AC=6，BC=8，当AB=__________时，∠C=90°．3．等边三角形的边长为6 cm，则它的高为__________．4．△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则BC∶AC∶AB=__________．5．直角三角形两直角边长分别为5 和12，则斜边上的高为__________．6．等腰三角形的顶角为120° ，底边上的高为3，则它的周长为__________．7．若直角三角形两直角边之比为3∶4，斜边长为20，则它的面积为__________．8．等腰三角形的两边长为2和4，则底边上的高为__________．9．若等腰直角三角形斜边长为2，则它的直角边长为_______．10．测得一个三角形花坛的三边长分别为5cm，12cm，•13cm，•则这个花坛的面积是_____．11．已知△ABC的三边a、b、c满足（a-5）2+（b-12）2+c2-26c+169=0，则△ABC 是三角三角形．12．如图在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个正方形中，与众不同的是_________，不同之处：_____ ．13．如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需________米．14．若一个三角形的三边长分别为3，4，x ，则使此三角形是直角三角形的x 的值是___ _．二、选择题（共4小题，每题3分，共12分）15．下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ） A ．1，2，B ．1，2，C ．3，4，5D ．6，8，1216．如图，△ABC 中AD ⊥BC 于D ，AB =3，BD =2，DC =1， 则AC 等于（ ） A ．6B ．C ．D ．417．已知三角形的三边长之比为1∶1∶，则此三角形一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形18．直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长（ ） A ．4 cmB ．8 cmC ．10 cmD ．12 cm三、解答题（共60分）19．（5分）如图，每个小正方形的边长是1． ①在图中画出一个面积是2的直角三角形； ②在图中画出一个面积是2的正方形．A B C D53652 第13题 第16题第19题②第19题①20．（5分）如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？21．（5分）在某山区需要修建一条高速公路，在施工过程中要沿直线AB 打通一条隧道，动工前，应先测隧道BC 的长，现测得∠ABD =150°，∠D =60°，BD =32 k m ，请根据上述数据，求出隧道BC 的长(精确到0.1 k m)．22．（6分）如图，△ABC 中，AB =15 cm ， AC =24 cm ，∠A =60°．求BC 的长．8.26.9 2.8米9.6米23．（6分）如图，△ABC 中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC 边上的高AD ．24．（6分）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A 正前方米B 处，过了秒后，测得小汽车C 与车速检测仪A 间距离为米，这辆小汽车超速了吗？25．（6分）如图，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ． （1）图中有__________个直角三角形； A ．0B ．1C ．2D ．3（2）若AD =12，AC =13则CD =__________． （3）若CD 2=AD ·DB ， 求证：△ABC 是直角三角形．26．（6分）小明把一根长为160 cm 的细铁丝剪成三段，将其做成一个等腰三角形风筝的边框ABC ，已知风筝的高AD =40 cm ，你知道小明是怎样弯折铁丝的吗？BC AD 703025027．（7分）去年某省将地处A、B两地的两所大学合成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A、B两地之间修建一条笔直公路(即图中的线段)，经测量在A地的北偏东60°方向，B地的西偏北方向处有一个半径为0．7千米的公园，问计划修建的这条公路会不会穿过公园？为什么？28．（8分）学习了勾股定理以后，有同学提出“在直角三角形中，三边满足a²+b²=c²，其它的三角形三边也有这样的关系吗？”．让我们来做一个实验：（1）在下列方框（1）中任意画出一个锐角三角形，量出各边的长度（精确到1毫米），较短的两条边长分别是a= mm；b= mm；较长的一条边长c= mm．比较a²+ b²c²（填写“ >”，“ <”或“ =”）．（2）在下列方框（2）中任意画出一个钝角三角形，量出各边的长度（精确到1毫米），较短的两条边长分别是a= mm；b= mm；较长的一条边长c= mm．比较a²+ b²c²（填写“ >”，“ <”或“ =”）．（3）根据以上的操作和结果，对这位同学提出的问题，你猜想的结论是：．参考答案 一、填空题1．15 2．10 3．3cm 4．1∶∶2 5． 6．12+6 7． 96 8．910．30cm 2 11．直角 12．A A 不是直角三角形，B、C 、D 是直角三角形 13．2+2 14． 5或 二、选择题15．D 16．B 17．D 18．C 三、解答题19．略解 20．10米 21．7 k m 22．21 cm 23．5 24．超速了 25．（1）C ；（2）5；（3）略 26．AB =AC =50 cm ，BC =60 cm 27．不会穿过公园 28．（1）最后一格填“>”；（2）最后一格填“<”；（3）当三角形为锐角三角形时，三边满足 a ²+b ²>c ²；当三角形为钝角三角形时，三边满足 a ²+b ²<c ²新人教版八年级下册《第17章勾股定理》单元测试试卷（五）（时间90分钟 满分100分）班级 学号 姓名 得分一、填空题（共14小题，每题2分，共28分）33136031537 （1） （2）1．已知直角三角形的两边分别为3、4，则第三边为___ __．2．如图所示，某风景名胜区为了方便游人参观，计划从主峰A 处架设一条缆车线路到另一山峰C 处，若在A 处测得∠EAC =30°，两山峰的底部BD 相距900米，则缆车线路AC 的长为_______米．3．已知，如图所示，Rt△ABC 的周长为4+2，斜边AB 的长为2，则Rt△ABC •的面积为_____． 4．如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．•当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B ′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯______米．5．在△ABC 中，∠C=90°， AB ＝5，则++=_______． 6．已知三角形三边长为正整数，则此三角形是________三角形．7．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 、3dm 、2dm ，•A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是_________．8．如图，是北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成.如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于 ．332AB 2AC 2BC n n n n n n ,122,22,1222++++第2题 第3题第4题3220A第7题9．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______． 10．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________． 11．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有___米．12．如图所示，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm ）计算两圆孔中心A 和B 的距离为 ．13．如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2米，梯子的顶端B 到地面的距离为7米．现将梯子的底端A 向外移动到A ’，使梯子的底端A ’到墙根O 的距离等于3米，同时梯子的顶端 B 下降至 B ’，那么 BB ’的值： ①等于1米；②大于1米5；③小于1米.其中正确结论的序号是 ． 14．小刚准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m 远的水底，竹竿高出水面0.5m ，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，河水的深度为 ．二、选择题（共4小题，每题3分，共12分）15．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ） A ．5B ．25C ．D ．5或16．已知Rt△ABC 中，∠C=90°，若a +b =14cm ，c =10cm ，则Rt△ABC 的面积是 （ ） A ．24cm 2B ．36cm 2C ．48cm 2D ．60cm 217．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ） A ．121B ．120C ．90D ．不能确定18．放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小7760 12014060BAC第8题第11题第12题第13题图红和小颖家的直线距离为 （ ）A ．600米 B. 800米 C. 1000米 D. 不能确定 三、解答题（共60分）19．（5分）如图，在一棵树的10米高B 处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C ，而另一只爬到树顶D 后直扑池塘C ，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？20．（5分）小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城门高1米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竿长多少米？21．（5分）已知，如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F•处，•如果AB =8cm ，BC =10cm ，求EC 的长．22．（6分）如图所示，某人到岛上去探宝，从A 处登陆后先往东走4km ，又往北走1.5km ，遇到障碍后又往西走2km ，再折回向北走到4.5km 处往东一拐，仅走0.5km 就找到宝藏．问登陆点A 与宝藏埋藏点B 之间的距离是多少？23．（6分）如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和㎝的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？24．（6分）某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB =90°，AC =80米，BC =60米，若线段CD 是一条小渠，且D 点在边AB 上，已知水渠的造价为10元/米，问D 点在距A 点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？25．（6分）如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？小河26．（6分）印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？” 请用学过的数学知识回答这个问题．27．（7分）如图，甲乙两船从港口A 同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，3小时后，甲船到达C 岛，乙船到达B 岛.若C 、B 两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？28．（8分）如图，A 市气象站测得台风中心在A 市正东方向300千米的B 处，以 千米/时的速度向北偏西60°的BF 方向移动，距台风中心200•千米范围内是受台风影响的区域．（1）A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； （2）如果A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？。
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第18章 勾股定理自主学习达标检测
B卷
（时间90分钟 满分100分）
班级 学号 姓名 得分
一、填空题（共14小题，每题2分，共28分）
1．已知直角三角形的两边分别为3、4，则第三边为___ __．
2．如图所示，某风景名胜区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一
山峰C处，若在A处测得∠EAC=30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的
长为_______米．
3．已知，如图所示，Rt△ABC的周长为4+23，斜边AB的
长为23，则Rt△ABC•的面积为_____．
4．如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8
米高的路灯．•当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到
了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路
灯______米．
5．在△ABC中，∠C=90°， AB＝5，则2AB+2AC+2BC=_______．
6．已知三角形三边长nnnnnn,122,22,1222为正整数，则此三角形是________三
角形．
第2题 第3题
第4题
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7．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为
20dm、3dm、2dm，•A和B是这个台阶两个相对的端点，
A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着
台阶面爬到B点的最短路程是_________．
8．如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合
而成.如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和
等于 ．
9．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．
10．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．
11．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有___米．
12．如图所示，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）
计算两圆孔中心A和B的距离为 ．
13．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面
的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到A’，使梯子的底端A’到墙根O的距离等
于3米，同时梯子的顶端 B下降至 B’，那么 BB’的值： ①等于1米；②大于1米5；
③小于1米.其中正确结论的序号是 ．
14．小刚准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，
把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，河水的深度为 ．
二、选择题（共4小题，每题3分，共12分）
15．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是 （ ）
A．5 B．25 C．7 D．5或7
60
1
2
0
140
6
0
B
A
C
第8题 第11题 第12题 第13题图
3
2
20
B
A
第7题
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16．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是 （ ）
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm
2
17．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）
A．121 B．120 C．90 D．不能确定
18．放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行
走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线
距离为 （ ）
A．600米 B. 800米 C. 1000米 D. 不能确定
三、解答题（共60分）
19．（5分）如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池
塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有
多高？
20．（5分）小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，
结果竿比城门高1米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竿长多少米？
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21．（5分）已知，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F•处，•如果
AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．
22．（6分）如图所示，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4km，又往北走1.5km，
遇到障碍后又往西走2km，再折回向北走到4.5km处往东一拐，仅走0.5km就找到宝藏．问
登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是多少？
A
B
4
1.5
2
4.5
0.5
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23．（6分）如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和103㎝的长
方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？
24．（6分）某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80
米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/
米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？
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25．（6分）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km
北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短
路程是多少？
26．（6分）印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：
“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；
出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，
渔人观看忙向前，花离原位二尺远；
能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”
请用学过的数学知识回答这个问题．
A
B
小河
东
北
牧童
小屋
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A
C
B
27．（7分）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东40°航行，
乙船向南偏东50°航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛.若C、B两岛相距60
海里，问乙船的航速是多少？
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28．（8分）如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以107 千
米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200•千米范围内是受台风影响的
区域．
（1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；
（2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？
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参考答案
一、填空题
1．5或7 2．6003 3．1 4．2 5．50 6．直角 7．25 8．10 9．1360
10．6，8，10 11．24 12．100mm 13．③ 14．2m
二、选择题
15．D 16．A 17．C 18．C
三、解答题
19．15米 20．5米 21．3cm 22．AB=6.5km 23．5cm
24．64米处，最低造价为480元 25．17km 26．22. 3.75尺
27．12海里/时 28．（1）会受影响；（2）10小时