7.2用配方法解一元二次方程(1)
九年级数学上册 第二章 一元二次方程 2 用配方法求解一元二次方程 解一元二次方程课标解读素材 (新
解一元二次方程课标解读一、课标要求包括配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程．?义务教育数学课程标准〔 2022年版〕?对解一元二次方程一节相关内容提出的要求如下。
1．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程．2．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等．3．了解一元二次方程的根与系数的关系．二、课标解读1．学生已经学习一元一次方程的解法和实际应用，知道可以利用运算律、等式的根本性质，通过去括号、移项、合并同类项等求出它的解．学生还学过二元一次方程组以及三元一次方程组的解法和实际应用，知道可以通过消元，将它们转化为一元一次方程．从数学知识的内部开展看，二元、三元一次方程组可以看成是对一元一次方程在“元〞上的推广．自然地，如果在次数上做推广，首先就是一元二次方程．类比二〔三〕元一次方程组的解法，可以想到：能否将一元二次方程转化为一元一次方程？如何转化？因此，利用什么方法将“二次〞降为“一次〞，这是本章学习的另一条主线．与一元一次方程、二元一次方程组的解法相比，一元二次方程的解法涉及更多的知识，可以根据方程的具体特点，选择相关的知识和方法，对方程进行求解．这是培养学生的思维品质，特别是思维的敏捷性、灵活性、深刻性的时机．根据?课程标准〔 2022年版〕?的规定，教科书着重介绍了配方法、公式法和因式分解法等一元二次方程的解法，而且限定解数字系数的一元二次方程．2．解一元二次方程的根本策略是降次，即通过配方、因式分解等，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．具体地，根据平方根的意义，可得出方程和的解法；通过配方，可将一元二次方程转化为的形式再解；一元二次方程的求根公式，就是对方程配方后得出的．如能将分解为两个一次因式的乘积，那么可令每个因式为0来解．一元二次方程的三种解法——配方法、公式法和因式分解法各有特点．一般地，配方法是推导一元二次方程求根公式的工具．掌握了公式法，就可以直接用公式求一元二次方程的根了．当然，也要根据方程的具体特点，选择适当的解法，因式分解法就显示了这样的灵活性．配方法是一种重要的、应用广泛的数学方法，如后面研究二次函数时也要用到它．在推导求根公式的过程中，从到再到，是方程形式的不断推广，表达了从特殊到一般的过程；而求解方程的过程那么是将推广所得的方程转化为已经会解的方程，表达了化归思想．显然，这个过程对于培养学生的推理能力、运算能力等都是很有作用的．3．与?课程标准〔实验稿〕?相比，?课程标准〔 2022年版〕?重新强调了一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系的重要性，要求“会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等〞，“了解一元二次方程的根与系数的关系〞，这是需要注意的一个变化．这里不仅是为了一元二次方程理论的完整性，更重要的是为了解决初高中衔接问题．实际上，一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系在高中数学中有着广泛的应用，是学习高中数学的必备根底．教科书先以一个设计人体雕像的实际问题作为开篇，并在第一节中又给出两个实际问题，通过建立方程，并引导学生思考这些方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念、一般形式，给出一元二次方程根的概念．在这个过程中，通过归纳具体方程的共同特点，定义一元二次方程的概念，表达了研究代数学问题的一般方法；一般形式也是对具体方程从“元〞〔未知数的个数〕、“次数〞和“项数〞等角度进行归纳的结果；a ≠0的规定是由“二次〞所要求的，这实际上也是从不同侧面理解一元二次方程概念的契机．一元二次方程的解法，包括配方法、公式法和因式分解法等，是全章的重点内容之一．教科书在第二节中，首先通过实际问题，建立了一个最简单的一元二次方程，并利用平方根的意义，通过直接开平方法得到方程的解；然后将它一般化为，通过分类讨论得到其解的情况，从而完成解一元二次方程的奠基．接着，教科书安排“探究〞栏目，自然引出解并总结出“降次〞的策略，从而为用配方法解比拟复杂的一元二次方程做好铺垫，然后教科书重点讲解了配方的步骤，并归纳出通过配方将一元二次方程转化为后的解的情况．以配方法为根底，教科书安排了“探究〞栏目，引导学生自主地用配方法解一般形式的一元二次方程(a≠0)，得到求根公式．最后，通过实际问题，获得一个显然可以用“提取公因式法〞而到达“降次〞目的的方程，从而引出因式分解法解一元二次方程，并在“归纳〞栏目中总结出几种解法的根本思路、各自特点和适用范围等．上述过程的思路自然，表达了从简单的、特殊的问题出发，通过逐步推广而获得复杂的、一般的问题，并通过将一般性问题化归为特殊问题，获得这一类问题的解．这是具有普适性的数学思想方法．由于限定在实数范围，因此对求根公式，首先要关注判别式的讨论．这是使学生领悟分类讨论数学思想方法的契机．另一方面，求根公式不仅直接反映了方程的根由系数唯一确定〔系数a，b，c确定，方程就确定，其根自然就唯一确定〕，而且也反映了根与系数的联系．这里表达了一种多角度看问题的思想观点，而根与系数的联系表达非常简洁．教科书仍然采用从特殊到一般的方法，先讨论“将方程化为的形式，，与p，q之间的关系〞，在“+，〞的启发下，利用求根公式求和，进而得到根与系数的关系．让学生学习根与系数的关系，不仅能深化对一元二次方程的理解，提高用一元二次方程分析和解决问题的能力，而且也是培养学生发现和提出问题的能力的时机．根与系数的关系是求根公式的自然延伸，得出它的过程并不复杂，而其中蕴含的思想很重要．所以，对于根与系数的关系，教科书着重在其数学思想的启发和引导上，而对用根与系数的关系去解决问题，严格地控制了难度．。
用配方法解二次项系数为的一元二次方程
2.2用配方法求解一元二次方程第1课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程【学习目标】1．会用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．2．理解一元二次方程的解法——配方法．3．会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程．【学习重点】会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程．【学习难点】用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤．情景导入生成问题1．如果一个数的平方等于4，则这个数是±2．2．已知x2＝9，则x＝±3．3．填上适当的数，使下列等式成立．(1)x2＋12x＋36＝(x＋6)2；x2－6x＋9＝(x－3)2.自学互研生成能力知识模块一探索用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的方法先阅读教材P36“议一议”的内容．然后完成下列问题：1．一元二次方程x2＝5的解是x1＝5，x2＝－5．2．一元二次方程2x2＋3＝5的解是x1＝1，x2＝－1．3．一元二次方程x2＋2x＋1＝5，左边配方后得(x＋1)2＝5，此方程两边开平方，得x＋1＝±5，方程的两个根为x1＝－1＋5，x2＝－1－5．用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤是：(以解方程x2－2x－3＝0为例)1．移项：将常数项移到右边，得：x2－2x＝3；2．配方：两边同时加上一次项系数的一半的平方，得：x2－2x＋12＝3＋12，再将左边化为完全平方形式，得：(x－1)2＝4；3．开平方：当方程右边为正数时，两边开平方，得：x－1＝±2(注意：当方程右边为负数时，则原方程无解)；4．化为一元一次方程：将原方程化为两个一元一次方程，得：x－1＝2或x－1＝－2；5．解一元一次方程，写出原方程的解：x1＝__3__，x2＝－1．归纳结论：通过配成完全平方式的方法，将一元二次方程转化成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式，进而得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．知识模块二应用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程解答下列各题：1．填上适当的数，使等式成立．(1)x2＋4x＋4＝(x＋2)2；(2)x2－10x＋25＝(x－5)2.2．用配方法解方程：x2＋2x－1＝0.解：①移项，得x 2＋2x ＝1；②配方，得x 2＋2x ＋1＝1＋1，即(x ＋1)2＝2；③开平方，得x ＋1＝±2，即x ＋1＝2或x ＋1＝－2；④所以x 1＝－1＋2；x 2＝－1－2．典例讲解：解方程：x 2＋8x －9＝0.解：可以把常数项移到方程的右边，得：x 2＋8x ＝9.两边都加42(一次项系数8的一半的平方)，得：即x 2＋8x ＋42＝9＋42，即(x ＋4)2＝25.两边开平方，得：x ＋4＝±5，即x ＋4＝5，或x ＋4＝－5.所以x 1＝1，x 2＝－9.对应练习：1．解下列方程：(1)x 2－10x ＋25＝7； (2)x 2－14x ＝8；(3)x 2＋3x ＝1; (4)x 2＋2x ＋2＝8x ＋4.2．用配方法解方程x 2－2x －1＝0时，配方后得的方程为( D )A ．(x ＋1)2＝0B ．(x －1)2＝0C ．(x ＋1)2＝2D ．(x －1)2＝23．方程(x －2)2＝9的解是( A )A ．x 1＝5，x 2＝－1B ．x 1＝－5，x 2＝1C ．x 1＝11，x 2＝－7D ．x 1＝－11，x 2＝7交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 探索用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的方法知识模块二 应用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程检测反馈 达成目标1．用配方法解方程x 2＋4x －5＝0，则x 2＋4x ＋4＝5＋4，所以x 1＝1，x 2＝－5．2．若三角形的两边长分别是6和8，第三边的长是一元二次方程(x －8)2＝4的一个根，则此三角形的周长为20或24．3．下列解方程的过程中，正确的是( D )A ．x 2＝－2，解方程，得x ＝±2B ．(x －2)2＝4，解方程，得x －2＝2，x ＝4C ．4(x －1)2＝9，解方程，得4(x －1)＝±3，x 1＝74，x 2＝14D ．(2x ＋3)2＝25，解方程，得2x ＋3＝±5，x 1＝1，x 2＝－44．若a ，b ，c 是△ABC 的三条边，且a 2＋b 2＋c 2＋50＝6a ＋8b ＋10c ，试判断这个三角形的形状．解：∵a 2＋b 2＋c 2＋50＝6a ＋8b ＋10c ，∴(a 2－6a ＋9)＋(b 2－8b ＋16)＋(c 2－10c ＋25)＝0，∴(a －3)2＋(b －4)2＋(c －5)2＝0，又∵(a －3)2≥0，(b －4)2≥0，(c －5)2≥0，∴a －3＝0，b －4＝0，c －5＝0，∴a ＝3，b ＝4，c ＝5，∵a 2＋b 2＝32＋42＝25＝c 2，∴△ABC 是直角三角形．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
解一元二次方程公式法
3
心动
不如行动
例2 解方程 2x2-9x+8=0
解: a 2, b 9, c 8.
b
2 b b 4αc 2 b 2 4ac 9 4 2 8 17 0. x 2α 2
b 4ac x 2a 9 17 2 2 9 17 . 4
1.x1 2; x2 4.
2 4 2.x1 ; x2 . 3 3 3 3.x1 1; x2 . 2 3 4. y1 y2 . 3
(3). (2x-1)(x-2) =-1;
4.3 y
2
1 2 3 y.
想一想：
关于一元二次方程 ax bx c 0 a a，b，c满足什么条件时，方程的两根互
数;
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×3×8=49 - 96= - 47< 0, 3.计算: b2-4ac的值; ∴原方程没有实数根. 4.代入:把有关数值代入公式计算;
5.定根:写出原方程的根.
我最棒
解下列方程:
,解题大师——规范正确!
(1). x2-2x－8＝0；
(2). 9x2＋6x＝8；
心动
2
不如行动
公式法是这样生产的
ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
你能用配方法解方程
b c 解 : x x 0. 1.化1:把二次项系数化为1; a a b c 2 x x . 2.移项:把常数项移到方程的右边; a a2 2 b b b c 3.配方:方程两边都加上一次项 2 x x . a 2a 2a a 系数绝对值一半的平方; 2 b b 2 4ac . x 4.开方:根据平方根意义, 2 2 a 4 a 方程两边开平方; 2 当b 4ac 0时,
[伟大的数学课]7.2二元一次方程组的解法课件(共19张PPT)
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第五组 第六组
7.怎样用加减法解：
第七组
口头 口头
口头 书面 书面
第六组 第五组
第四组 第三组 第二组
展示要求：
书面展示：书写迅速，字迹工整、答题规范、内 容简练。 口头展示：声音洪亮，条理清晰，语言简练。 评价要求：1.声音洪亮，条理清晰，突出重点， 语言简练。
2.点评解题方法及思路。 3.恰当指出展示成果的优缺点 ， 并 打分（100分）。 4.补充或阐述不同观点。
3.方程组32xx
3y 5y
k k
中,x与y的和12,
2
求k的值.
解：解这个方程组得：
x 2k 6
y
4
k
∵ x＋y=12
∴ (2k－6) ＋(4－k)=12
解得：
K=14
布置作业. 1.课本P46页，复习第2题
由学科班长惠春政对本节课进行总 结：
1.可以对本节课的知识掌握、内容理解、深 刻感悟等方面来总结。
③ + ④得：
解得：
9x=114 解得：
y=5 把y=5代入③得:
x=6 把x=6代入②得:
x=5+1=6
∴ x 6
y
5
30+6y=42
解得： y=2
∴ x 6
y
2
质疑再探
同学们，在复习的过程中，你又产 生了哪些新疑惑或又有了什么新的 发现，请大胆的提出来，大家共同 来解决。
运用拓展
——画龙在于点睛，学习在于运用
答案展示：
1.只有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1,系数都不是0的整式方程,叫做二元 一次方程. 由两个一次方程组成,共有两个未知数的方程组,叫做二元一次方程组.
配方法解一元二次方程
从以上题目你能否得到启示， 如何解方程x2+8x-9=0．
【例题】 解方程：x2+8x-9=0． 解：把常数项移到方程的右边，得 x2+8x＝9
两边都加上42，（一次项系数8的一半的平方）得
x2+8x＋42=9＋42. 即 即 （x+4）2=25 x+4=5,或x+4=-5. 两边开平方，得 x+4=±5,
第二章 一元二次方程
2.2.1 配方法（一）
学习目标:
会用配方法解简单的一元二次方程
情境创设
使一块矩形场地的长比宽多8米，并 且面积为9m2，场地的长和宽应各是 多少？ （1）这个问题如何解决？ （2）如何解所列出的方程？怎样把 它转换成我们学过的方程
知识准备一
解下列方程： 1、x2＝9 3、x2-1=8 5、2(x+1)2=2
35m
【跟踪训练】
2.解下列方程: (1)
x2 6 x 6 0
（2）移项，得
2 x 2 x 2 4 x 1 2
(2) 2 x 2 4 x 2 x 2 1
解：(1)移项 ，得 x 2 6 x 6 配方，得
x 2 6 x ( 3) 2 6 ( 3) 2
2、 (x+1)2＝9
4、(x+1)2-1=0
知识准备二
a 2ab b (a b)
2 2
4 2 2 完成填空： 1、x2-4x+___=(x__)
36 6 2 2、x2+12x+___=(x+__) 16 4 2 3、y2-8y+___=(y-__) 1/16 =(x+___) 1/4 2 4、x2+1/2x+___
一元二次方程的解法--配方法
(2) x2 2x 1 6
(3) x2 2x 5
例题1
(1) y2 6 y 4 0 (2)x2 6 5x
例2、用配方法解下列方程：
(1) x2 6x 27 0
(2) x2 3x 1 0
提高
9x2 6x 3 0
x2 6x 7 0
变
这种方
形 为
程怎样 解？
2 a 的形式．（ａ为非负常数）
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《千字文》《牡丹诗》。瘦金体的线条仿佛金戈银丝，有一年把玩《秾芳诗帖》，看久了，越发觉得线条薄利，笔锋可以削水果，手不敢触。我看瘦金体，老想到春秋时候的尖首刀币。 《秾芳诗帖》，大字楷书长卷，每行二字，共二十行，清人陈邦彦曾题跋道：“此卷以画法作书，脱去笔墨畦 径，行间如幽兰丛竹，泠泠作风雨声。” 纤细，青郁，劲挺，有力，瘦金体之味差不多就是这样。不要说书法，宋人文章也涓涓始流一派文气，不像唐朝欣欣向荣、郁郁勃发。唐人写时间流逝无可奈何，“念天地之悠悠，独怆然而涕下”，宋人却是“夕阳西下几时回？无可奈何花落去”。唐朝 人慷慨，宋朝人感慨。慨慷常常是壮士，感慨往往为道家，宋徽宗恰恰是道君皇帝。 中国艺术，道家的痕迹处处可见，阴阳为骨，无为是表。前些时日读《易经》，象曰：“风行水上，涣。”大意是水上见风，涟漪泛起，散而不乱，涣然而和，成自然之象。宋人书法，受老庄道家影响，大抵虚 静，瘦金体是异数。每见瘦金体，像在冬天的梅园游玩，老树新花，四周一望，虚室生白，全是一片吉祥。 有回在朋友画室玩，他运转提顿写瘦金体给我看。想起当年的赵佶，一笔一画运转提顿在汴京皇城里自得其乐。瘦金体的精气神是入世的，也是出世的，更多还是入世的。我读赵佶书法， 读出自得其乐——天下与我何干？且写字画画去，差不多是那样的字外音， 赵佶的字有弹性，有韧性，有精神，像钢丝。书画家白蕉说：“瘦金体的线条，未必输给颜真卿的线条。”瘦金体是文人字，并非帝王字。到底什么是帝王字，我也说不清；到底什么是文人字，我更说不清。我只能说自 得其乐是文人字，旁若无人是帝王字。王羲之、颜真卿、苏东坡、米芾、赵佶、董其昌的手迹一片自得其乐或者洋洋得意，唐太宗、唐玄宗、康熙、乾隆的手迹旁若无人或者居高临下。字从心出，心惜字形，有人仰天大笑出门去，有人战战兢兢进屋来，有人桀骜不驯，有人规规矩矩，有人放肆 泼辣，有人内敛斯文…… 赵佶好诗，好画，好歌舞，好花岗岩，好李师师，好鲜衣骏马，好美食华灯，好梨园鼓吹，好古董花鸟，本是纨绔儿，可怜帝王身，糟蹋了一身才华。 瘦金体，又名瘦筋体。瘦金体三字有风雅气，瘦筋体三字有稼穑味。瘦筋，筋瘦，夏天，从水塘里挑水浇园的农夫筋 瘦筋瘦。叶圣陶先生有文章说:“每当新秋的早晨，门前经过许多的乡人：男的紫赤的臂膊和小腿肌肉突起，躯干高大且挺直，使人起康健的感觉。”每见瘦金体，总想起紫赤的臂膊和肌肉突起的小腿。 书法的奇妙在于，每个字的点画构成以及字与字之间的连绵动感产生出的墨迹之美，我对书 法的兴趣，严格说来是对墨迹的沉迷。 宣纸上，中国文化轻流徐淌。 墨迹间，前人气息屡屡不绝。 （节选自2015年4月 《人民文学》有删改） 18、本文以“泠泠风雨声”为题，有何妙处？（4分） 19、结合全文，简要概括瘦金体的特征。（4分） 20、联系全文，分析本文的语言特色。（5分） 21、请结合实际，谈谈本文带给你的启示。（3分） 代谢：四、现代文阅读 （一）（共14分） 14、引起下文，用“盛大的花事”引出记忆中的油菜花；用花事之盛大，风景之绚丽衬托出油菜花在我记忆中的重要地位。 15、种植广泛；颜色金黄；并非观赏性的花，有实用价值；普通、平凡、质 朴，但明亮、健康、泼辣、热烈。 16、①将油菜花和那些需要精心栽培、呵护的花对比，表现了油菜花沾满生活的烟火气；运用排比的修辞手法，由日常生活写到生命传承，表现了油菜花与人的生活紧密相关。 ②综合运用对偶、拟人、顶针等修辞手法，（或使用“入”“站”“跪”等词语） 生动形象地写出了我与油菜花融为一体的情境，表达了我对油菜花无比的热爱之情。 17、故乡盛产油菜花，油菜花承载着我对苏中水乡和童年的美好回忆；油菜花的特殊气质，与“故乡”这个字眼最为贴切，让人不由自主地想到故乡景，故乡事，乃至故乡人。 （二）18、“泠泠风雨声”出自 清人陈邦彦《秾芳诗帖》题跋，生动形象地写出了瘦金体给人带来的独特审美感受；以“泠泠风雨声”为题，富有诗意，别有韵味，增强了文章的吸引力。 19、线条薄利，笔锋锋利；纤细、青郁、劲挺、有力；不追求虚静，独树一帜；既入世更出世；有弹性，有韧性，有精神。 20、文章语言 古朴典雅，富有文化韵味；句式整散结合，错落有致，特别是对偶句、排比句的使用，使文章句式整齐，音韵和谐，富有气势；使用比喻、排比、引用等修辞手法，使文章语言生动，文采斐然。 21、瘦金体给了作者独特的审美感受，现实生活中，我们也应当培养审美情趣，提高审美能力，丰富 艺术素养；书法是高雅的艺术，作为中学生，我们应当热爱书法艺术；中国传统文化博大精深，作为中国人，我们应当学习传承传统文化，并将其发扬光大。 （2017江苏常州）阅读议代谢，完成11～15题。（共13分） 利剑总是对精神俯首称臣 高国成 ①拿破仑说：世界上只有两种力量——利 剑和精神，从长远说，精神总能征服利剑。 ②一名军人过硬的本领，是拳头暴是意志；一支军队可持的法宝，是武器装备更是战斗精神。在人民军队的历史上，无论是对抗反动派军队，还是对垒日本侵略军，我们从来没在武器装备上占有绝对优势，但总能以胜利者的姿态出现。其中一个最根本 的原因，就是我军具有“逢敌亮剑、英勇顽强”的血性虎气，具有“一不怕苦，二不怕死”的战斗精神。这也充分印代谢了这样一句真理：利剑总是对精神俯首称臣。 ③如今，少数吃着薯片、看着大片、玩着芯片长大的年轻官兵，对强敌有少许“恐高心态”，对精神能否战胜利剑有所怀疑，对 传承军人血性的意义认知不足，对立足现有装备打胜仗的信心、决心不足。有的唯技术论，认为技不如人，打赢胜算不大；还有的唯武器论，认为器不如人，无法与对手较量。 ④剑之利靠科技，剑之雄靠士气，剑之魂靠血性。战场不仅是武器装备的对抗，更是军人血性和勇气的较量。精神上有 了“恐高症”，战场上就无法抢占胜利的“制高点”。武器上的差距不可怕，最可怕的是观念上有“代差”、精神上有“落差”。武器装备上的不足可以通过意志、精神和信念等因素来弥补，而心理上的“恐高”不消除，精神上的“准备”不到位，未战先怯、遇敌先怂，何足一战？ ⑤战争的胜 负，四分之三取决于精神因素，只有四分之一取决于实际力量的对比。抗美援朝战争中，美军一个军拥有坦克430辆，我初入朝的6个军无一辆坦克；美军一个步兵师拥有电台1600部，我一个军才数十部，仅装备到营，营以下通信依然靠军号和哨子。但是，志愿军打赢了战争，获得了对手的尊敬， 靠的就是“东方之谜”的神奇、“钢少气多”的魅力，以及“原木在移动①”的震撼。！ ⑥气为兵神，勇为兵本。气实则斗，气夺则走。缺失战斗意志，丧失必胜信念，打仗必败！甲午战争中，清军与日军的装备差距不大，但少数官兵没有敢于亮剑、刺刀见红的拼命精神，一遇强敌，要么逃跑， 要么投降。如此恐惧心理、恐战心态，再先进的武器也挽救不了覆灭的命运。 ⑦枪是不会自己动的，需要勇敢的心和强有力的手来驾驭。朱德元帅也说过：“勇敢加技术，就战无不胜。”未来战争中，武器在战斗力要素中的；比重有所提升。但武器依然要靠人来操作，人始终是武器的灵魂和主 宰。有了人的现代化，有了人的智慧和血性，人与装备才能完美结合，发挥最大战斗力。 ⑧心胜则兴，心败则衰。真正的力量，发自内心。如果内心缺乏力量而期待装备力量、技术力量来弥补，那么不管外部力量多么壮观、多么强大，恐怕都难以支撑。除了胜利一无所求，为了胜利一无所惜！ 作为新一代革命军人，必须具有敢于亮剑、血战到底的意志、血性和精神。 （选自《解放军报>） 【注】①原木在移动：朝鲜战场上，被冻僵的志愿军战士，虽动作僵硬如原木，但仍冲锋不止，视死如归，让敌军肝胆俱裂。于是联合国军士兵用“原木”来称呼让他们震惊不已的中国军人。 11．请简述本文的写作目的。（2分） 12．请分析文章第⑤段使用的论代谢方法及其作用。（3分） 13．结合语境，说说加点词语在文中的含义。（3分） 精神上有了“恐高症”，战场上就无法抢占胜利的“制高点”。 14．下面一则材料能否代谢明第⑥段的观点？请说明理由。（3分） 进攻意大利时，为了出奇制胜，拿破仑派了一支部队翻越高山，经过一条冒险的“死亡之路”。每当部队遇到特殊困难，雄壮的冲锋号声就会响彻群山之巅。尽管在危险的攀登中到处充满了障碍，导致部队被拉长到30公里，但始终没有一个士兵掉队。四天之后，这支部队犹如神兵突然出现在意 大利平原。 15．通读全文，选出下列对选文理解与分析正确的一项。（2分）（ ） A．文章开头引用拿破仑的名言，是专门为了引出本文的论题：利剑与精神。 B．本文论代谢思路清晰：第①段提出问题，②至⑥段分析问题，⑦至⑧段得出结论。 C．作者认为，未来战争中，武器在战斗力 要素中的比重会有所提升。武器是灵魂和主宰。只有武器装备完美结合，才能发挥最大战斗力。 D．第⑧段画线句和第②段画线句的意思基本相同，结尾处又出现，是再次发出号召，强调新时代革命军人必须具有意志、血性和精神。 （2017江苏常州）（三）阅读散文，完成16～20题。（共14分） 观秦兵马俑 ①车驶过秦始皇陵，骊山巍峨，扑人眉宇。一个高高的土丘上长满了郁郁葱葱的石榴树，田地里长满了青青的蔬菜，间或能看到青翠茁壮、逗人喜爱的麦苗。 ②西安是一个最容易让人发思古幽情的地方。看到半坡，自然就想到了蒙昧远古的祖先，想到汉族公认的始祖轩辕黄帝。骊 山当然让我想到周幽王和骊姬，始皇陵里埋着妇孺皆知的秦始皇，而茂陵是雄才大略的汉武帝的陵墓。至于唐代，那遗迹更是到处可见。抬头一看，低头一想，无一不让你想到唐诗辉煌的黄金时代，想到那些显赫的诗人与脍炙人口的诗句。 走过灞桥，我怎会不想到当年折柳赠别的名句和真挚不 舍的友情呢？一看到终南山，那“终南阴岭秀，积雪浮云端”的吟咏之声，就在我耳边响起。一走过渭水，那“秋风生渭水，落叶满长安”的诗句马上把我带到了长安的深秋中，凉意袭人。而“云里帝城双凤阙，雨中春树万人家”把春雨中千树万树枝头滴着红雨的杏花带到我眼前，湿意阵阵。 大明宫“九天阊阖开宫殿，
完整版)一元二次方程解法及其经典练习题
完整版)一元二次方程解法及其经典练习题一元二次方程的解法及经典练题方法一：直接开平方法（基于平方根的定义）平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
即，如果x²=a，那么x=±√a。
注意，x可以是多项式。
一、使用直接开平方法解下列一元二次方程：1.4x²-1=22.(x-3)²=233.81(x-2)²=1644.(x+1)²/4=255.(2x+1)²=(x-1)²6.(5-2x)²=9(x+3)²7.2(x-4)²/3-6=0.方法二：配方法解一元二次方程1.定义：把一个一元二次方程的左边配成一个平方，右边为一个常数，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
2.配方法解一元二次方程的步骤：1）将方程移项，使等式左边为完全平方，右边为常数。
2）将等式左右两边开平方。
3）解出方程的根。
二、使用配方法解下列一元二次方程：1.y²-6y-6=02.3x²-2=4x3.3x²-4x=94.x²-4x-5=05.2x²+3x-1=06.3x²+2x-7=0方法三：公式法1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
2.公式的推导：使用配方法解方程ax²+bx+c=0（a≠0），解得x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)。
3.由上可知，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因为1）当b²-4ac>0时，方程有两个实数根，x₁=[-b+√(b²-4ac)]/(2a)，x₂=[-b-√(b²-4ac)]/(2a)。
2）当b²-4ac=0时，方程有一个实数根，x₁=x₂=-b/(2a)。
专题11配方法解一元二次方程-重难点题型(学生版)
专题2.3 配方法解一元二次方程-重难点题型将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．【题型1 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程】【例1】（2021春•上城区校级期中）用配方法解一元二次方程x2+2x﹣3＝0，配方后得到的方程是（）A．（x﹣1）2＝4B．（x+1）2＝4C．（x+2）2＝1D．（x﹣2）2＝1【变式1-1】（2020秋•隆回县期末）把x2﹣3x+1＝0的左边配方后，方程可化为（）A．(x−32)2=134B．(x+32)2=134C．(x−32)2=54D．(x+32)2=54【变式1-2】（2020秋•崂山区期末）解方程：x2﹣5x+1＝0（配方法）．【变式1-3】（2020秋•白银期末）解方程：x2+2＝2√2x．【题型2 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程】【例2】（2020秋•陇县期中）用配方法解方程2x2＝7x﹣3，方程可变形为（）A．（x−72）2=374B．（x−72）2=434C．（x−74）2=116D．(x−74)2=2516【变式2-1】（2020秋•巩义市期中）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A．2m2+m﹣1＝0化为(m+14)2=916B．x2﹣6x+4＝0化为（x﹣3）2＝5C．2t2﹣3t﹣2＝0化为(t−32)2=2516D．3y2﹣4y+1＝0化为(y−23)2=19【变式2-2】（2020秋•开江县期末）解方程：3x2+1＝2√3x．【变式2-3】（2020春•朝阳区校级期中）已知y 1=13x 2+8x ﹣1，y 2＝6x +2，当x 取何值时y 1＝y 2．【题型3 利用一元二次方程的配方求字母的值】【例3】（2020秋•津南区期中）一元二次方程x 2﹣8x +c ＝0配方，得（x ﹣m ）2＝11，则c 和m 的值分别是（ ）A ．c ＝5，m ＝4B ．c ＝10，m ＝6C ．c ＝﹣5，m ＝﹣4D ．c ＝3，m ＝8【变式3-1】（2020•镇江校级期中）已知方程x 2﹣6x +q ＝0配方后是（x ﹣p ）2＝7，那么方程x 2+6x +q ＝0配方后是（ ）A ．（x ﹣p ）2＝5B ．（x +p ）2＝5C ．（x ﹣p ）2＝9D ．（x +p ）2＝7 【变式3-2】（2020秋•内江期末）如果x 2﹣8x +m ＝0可以通过配方写成（x ﹣n ）2＝6的形式，那么x 2+8x +m ＝0可以配方成（ ）A ．（x ﹣n +5）2＝1B ．（x +n ）2＝1C ．（x ﹣n +5）2＝11D ．（x +n ）2＝6 【变式3-3】（2020秋•邓州市期末）若一元二次方程x 2+bx +5＝0配方后为（x ﹣4）2＝k ，则k 的值为 ．【题型4 利用一元二次方程的配方法解新定义问题】【例4】（2020秋•建平县期末）设a 、b 是两个整数，若定义一种运算“△”，a △b ＝a 2+b 2+ab ，则方程（x +2）△x ＝1的实数根是（ ）A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝0，x 2＝1C ．x 1＝x 2＝﹣1D ．x 1＝1，x 2＝﹣2【变式4-1】（2021秋•北辰区校级月考）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：a ☆b ＝a 2+b 2，a ★b =ab 2，则方程3☆x ＝x ★12的解为 ．【变式4-2】（2020秋•福州期中））将4个数a ，b ，c ，d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成|a c bd |，定义|a c b d |=ad ﹣bc ，上述记号就叫做2阶行列式．若|x +11−x x −1x +1|=8x ，则x ＝ ．【变式4-3】（2020秋•市中区期中）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i 2＝﹣1，这个数i 叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为a +bi （a ，b 为实数），a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加法，减法，乘法运算与整式的加法，减法，乘法运算类似．例如：解方程x 2＝﹣1，解得：x 1＝i ，x 2＝﹣i ．同样我们也可以化简√−4=√4×(−1)=√22×i 2=2i ；读完这段文字，请你解答以下问题：（1）填空：i3＝，i4＝，i6＝，i2020＝；（2）在复数范围内解方程：（x﹣1）2＝﹣1．（3）在复数范围内解方程：x2﹣4x+8＝0．【题型5 配方法的应用】【例5】（2021春•常熟市期中）我们知道“a2≥0”，其中a表示任何有理数，也可表示任意代数式．有时我们通过将某些代数式配成完全平方式进行恒等变形来解决符号判断、大小比较等问题，简称“配方法”．例如：x2+2x+2＝x2+2x+1+1＝（x+1）2+1．∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2+1≥1．即：x2+2x+2≥1．试利用“配方法”解决以下问题：（1）填空：x2﹣2x+4＝（A）2+B，则代数式A＝，常数B＝；（2）已知a2+b2＝6a﹣4b﹣13，求a b的值；（3）已知代数式M＝4x﹣5，N＝2x2﹣1，试比较M，N的大小．【变式5-1】（2020秋•石狮市校级月考）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m，n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知△ABC的三边长a，b，c，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求c的取值范围；（2）已知P＝2x2+4y+13，Q＝x2﹣y2+6x﹣1，比较P，Q的大小．【变式5-2】（2021春•历城区期中）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，例如：x2﹣8x+17＝x2﹣2•x•4+42﹣42+17＝（x﹣4）2+1．根据以上材料，解答下列问题：（1）填空：将多项式x2﹣2x+3变形为（x+m）2+n的形式，并判断x2﹣2x+3与0的大小关系，∵x2﹣2x+3＝（x﹣）2+；所以x2﹣2x+30（填“＞”、“＜”、“＝”）；（2）将多项式x2+6x﹣9变形为（x+m）2+n的形式，并求出多项式的最小值；（3）求证：x、y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数．【变式5-3】（2021春•南京月考）教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：m2﹣6m﹣7．（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+20有最小值，并求出这个最小值；（3）当a，b为何值时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+28有最小值，并求出这个最小值．【题型6 一元二次方程的几何解法】【例6】（2020秋•内江期末）《代数学》中记载，形如x2+10x＝39的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为52x的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+6x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（）A．6B．3√5−3C．3√5−2D．3√5−3 2【变式6-1】（2020春•丰台区期末）公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的名著《代数学》中用图解一元二次方程．他把一元二次方程x2+2x﹣35＝0写成x2+2x＝35的形式，并将方程左边的x2+2x看作是由一个正方形（边长为x）和两个同样的矩形（一边长为x，另一边长为1）构成的矩尺形，它的面积为35，如图所示，于是只要在这个图形上添加一个小正方形，即可得到一个完整的大正方形，这个大正方形的面积可以表示为：x2+2x+＝35+，整理，得（x+1）2＝36．因为x表示边长，所以x＝．【变式6-2】（2020秋•东海县期中）某“优学团”在社团活动时，研究了教材第12页的“数学实验室”他们发现教材阐述的方法其实是配方过程的直观演示．他们查阅资料还发现，这种构图法有阿拉伯数学家阿尔花拉子米和我国古代数学家赵爽两种不同构图方法．该社团以方程x 2+10x ﹣39＝0为例，分别进行了展示，请你完成该社团展示中的一些填空．因为x 2+10x ﹣39＝0，所以有x （x +10）＝39．展示1：阿尔•花拉子米构图法如图1，由方程结构，可以看成是一个长为（x +10），宽为x ，面积为39的矩形若剪去两个相邻的，长、宽都分别为5和x 的小矩形，重新摆放并补上一个合适的小正方形，可以拼成如图2的大正方形．（1）图2中，补上的空白小正方形的边长为 ；通过不同的方式表达大正方形面积，可以将原方程化为（x + ）2＝39+ ；展示2：赵爽构图法如图3，用4个长都是（x +10），宽都是x 的相同矩形，拼成如图3所示的正方形．（2）图3中，大正方形面积可以表示为（ ）2（用含x 的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于4×39+ ，故可得原方程的一个正的根为 ．（3）请选择上述某一种拼图方法直观地表示方程x 2+2x ＝3的配方结果（请在相应位置画出图形，需在图中标注出相关线段的长度）．【变式6-3】（2020春•杭州期中）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段AB 于点D ，连接CD ．以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交线段AB 于点E ，连接CE ．（1）求∠DCE 的度数．（2）设BC ＝a ，AC ＝b ．①线段BE 的长是关于x 的方程x 2+2bx ﹣a 2＝0的一个根吗？说明理由．②若D 为AE 的中点，求a b 的值．。
一元二次方程的配方法公式
一元二次方程的配方法公式一元二次方程的一般形式是ax² + bx + c = 0（这里a≠0哦）。
配方法呢，就像是给方程来个大变身。
咱先把二次项系数化为1，如果a不等于1的话，方程两边同时除以a，就得到x²+(b)/(a)x+(c)/(a)=0。
然后呢，配方的关键步骤来啦。
在等式左边加上一次项系数一半的平方，也就是((b)/(2a))²。
那左边就变成了x²+(b)/(a)x + ((b)/(2a))²，这部分可以写成完全平方式(x + (b)/(2a))²。
但是呢，等式右边也要跟着变哦，右边就变成了-(c)/(a)+((b)/(2a))²。
这时候方程就变成了(x + (b)/(2a))²=(b² - 4ac)/(4a²)。
宝子，你看这个配方后的方程是不是很神奇呢？就像给方程穿上了一件漂亮的新衣服，让我们能更清楚地看到方程的解。
那怎么求方程的解呢？很简单啦，两边同时开平方，就得到x+(b)/(2a)=±√(frac{b² - 4ac){4a²}}。
再把(b)/(2a)移到右边，x=(-b±√(b² - 4ac))/(2a)。
这个就是一元二次方程的求根公式啦，不过它可是从配方法得来的哦。
宝子，配方法就像是一把神奇的钥匙，能打开一元二次方程求解的大门呢。
你要是多做几道题，就会发现这方法其实还挺好玩的，就像玩拼图一样，一块一块把方程拼凑成我们想要的样子，然后轻松地找到答案。
加油哦，宝子，相信你很快就能掌握这个有趣的配方法啦。
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青岛版九上配方法(2)《一元二次方程的解法》PPT课件
回顾与复习
你还认识“老朋友” 吗
你还能规范解下列方程吗?
(2) x2=4.
(3) (x+2)2=5.
(4) (x-1)2=4
独立 作业
2. 解下列方程:
你还认识“老朋友” 吗
(1). (x-1)2=4 (2). 4-(x-1)2=0 (3). (x-1)2-4 =0 (4). x2 -2x-1 = 4.
九年级数学(上)第三章 一元二次方程
1.配方法(2)一元二次方程的解法
回顾与复习
平方根的意义:
旧意新释:
2
你还认识“老朋友” 吗
x2=5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1. 解方程 (1)
解 : 1.x 5. x 5,
x1 5
老师提示: 这里是解一元二次方程的 基本格式,要按要求去做.
x2 5
结束寄语
下课了!
• 配方法是一种重要的数学方 法——配方法,它可以帮助你 到达希望的顶点. • 一元二次方程也是刻画现实 世界的一个有效数学模型.
解这个方程,得 x1 ＝1
26m
x2 ＝60 (不合题意,舍去)
答:道路的宽应为1m.
挑战 自我
知识的升华
x2 +12x+ 25 = 0; x2 +4x =1 0; x 2 –6x =11; x2 –2x-4 = 0.
2. 解下列方程:
(1). (2). (3). (4).
你能解:（x+1)2+2(x+1) = 8 吗？
x a b
独立作业
知识的升华
1.如图,在一块长35m,宽26m矩形地面上,修建同样宽 的两条互相垂直的道路,剩余部分栽种花草,在使剩余部 分的面积为850m2,道路的宽应是多少？ 解：设道路的宽为 x m，根据题意得