2021-2022学年上海市杨浦区高三上学期期末数学试卷(一模)(含答案解析)
2021-2022学年上海市徐汇区高三(上)期末数学试卷(一模)(学生版+解析版)
2021-2022学年上海市徐汇区高三〈上）期末数学试卷（一模）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分〉考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．l.(4分〉已知集合M=(4r2 -2x>O), N= (xllxl运I），则MUN＝一一一一··2.(4分〉若直线l的一个法向量是；；＿= (I, -,/3), Ji.l•J直线l的倾斜角的大小为·3.(4分）已知复数z满足i•z=I÷i ( i为虚数单位），则121＝＿一一－4.(4分〉己知某团饿的底丽圆的半径为、fi.，若其侧面展开图为一个半圆，则该困锥的侧面积为5时）若函数f(x) =a•3x＋抖偶函数，贝l以如＝一6. (4分〉己知菱形ABCD的边长为l，ζDAB＝；，点E为该菱形边上任意一点，9!tlAB·AE 的取值范回是-2 •. 27.(5分〉设椭圆－＋」＝I上的一点P到椭圆肉’焦点的距离的乘积为s，则当s取得最大25 9值时，点P的坐标是18.0分〉设xER Ji. x#O，则（x+2)(--1沪的展开式中常数项为－x9.(5分）设函数f(x) =cos (wx+j) （叫＜孔若斗的（x）图像向左平移子个单位后，所得函数图像的对称轴与原函数图像的对称轴重合，贝I J w＝·10.(5分）秉辰“新时代、其事未来”的主题．第四届”进博会”于2021年ll月5至10日在上海召开．某高校派出2名主：教师、2名男教师和1名学生参加前五天的志愿者服务工作，每天安排l人，每人工作l天，如果2名男教师不能安排在相邻两天，2名女教师也是如此，那么符合条件的不同安排方案共有种．11.( 5分〉己知数列｛a11) ta { b11），其中a，，是、fi.=l.41421356237的小数点后的第n位数字，（例如ai=4, a6=3 ）.若bi＝俐，且对任意的，1εN气均有bn+I＝αb饨，贝。
2021-2022学年上海市金山区高三(上)期末数学试卷(一模)
2021-2022学年上海市金山区高三（上）期末数学试卷（一模）试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={x|x ＞2}，B={x|x ＜3}，则A∩B=___ ．2.（填空题，4分）函数y=log 2（x-1）的定义域是___ ．3.（填空题，4分）若复数z 满足iz= √3 -i （i 为虚数单位），则|z|=___ ．4.（填空题，4分）（x+2）6的展开式中x 3的系数为 ___ .（结果用数值表示）5.（填空题，4分）已知cosα= 13，则行列式 |1sinαsinα1| 的值为 ___ ． 6.（填空题，4分）某小区共有住户2000人，其中老年人600人，中年人1000人，其余为青少年等人群，为了调查该小区的新冠疫苗接种情况，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为400的样本，则样本中中年人的人数为 ___ ．7.（填空题，5分）设P 为直线y=2x 上的一点，且位于第一象限，若点P 到双曲线 x 24-y 2=1的两条渐近线的距离之积为27，则点P 的坐标为 ___ ．8.（填空题，5分）已知x ＞0，y ＞0，且 4x+ 1y=1，则4x+y 的最小值为 ___ ．9.（填空题，5分）有身高全不相同的6位同学一起拍毕业照，若6人随机排成两排，每排3人，则后排每人都比前排任意一位同学高的概率是 ___ .（结果用最简分数表示）10.（填空题，5分）已知P 1、P 2、P 3、⋯、P 10是抛物线y 2=8x 上不同的点，点F （2，0），若 FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 1 + FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 +…+ FP 10⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ ，则| FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 1 |+| FP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+…+| FP 10⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=___ ．11.（填空题，5分）若数列{a n }满足a n +a n+1+a n+2+…+a n+k =0（n∈N *，k∈N *），则称数列{a n }为“k 阶相消数列”．已知“2阶相消数列”{b n }的通项公式为b n =2cosωn ，记T n =b 1b 2…b n ，1≤n≤2021，n∈N *，则当n=___ 时，T n 取得最小值．12.（填空题，5分）已知点O （0，0）、A 0（2，3）和B 0（5，6），记线段A 0B 0的中点为P 1，取线段A 0P 1和P 1B 0中的一条，记其端点为A 1、B 1，使之满足（|OA 1|-5）（|OB 1|-5）＜0，记线段A 1B 1的中点为P 2，取线段A 1P 2和P 2B 1中的一条，记其端点为A 2、B 2，使之满足（|OA 2|-5）（|OB 2|-5）＜0，依次下去，得到点P 1、P 2、…，P n 、…，则 n→∞|A 0P n |=___ ．13.（单选题，5分）已知a 、b∈R ，则“ ba ＞1”是“b ＞a”的（ ）条件 A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要D.非充分非必要14.（单选题，5分）下列函数中，以π2为周期且在区间[ π4，π2]上单调递增的是（）A.f（x）=|cos2x|B.f（x）=|sin2x|C.f（x）=sin4xD.f（x）=cos2x15.（单选题，5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q、R分别是棱AB、BC、BB1的中点，以△PQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上，则这个直三棱柱的体积为（）A. 38B. √38C. 316D. √31616.（单选题，5分）已知向量a与b⃗的夹角为120°，且a• b⃗ =-2，向量c满足c=λ a +（1-λ）b⃗（0＜λ＜1），且a• c = b⃗• c，记向量c在向量a与b⃗方向上的投影分别为x、y．现有两个结论：① 若λ= 13，则| a |=2| b⃗ |；② x2+y2+xy的最大值为34．则正确的判断是（）A. ① 成立，② 成立B. ① 成立，② 不成立C. ① 不成立，② 成立D. ① 不成立，② 不成立17.（问答题，14分）如图，已知圆锥的底面半径r=2，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧AB̂的中点，点P为母线SA的中点．（1）求此圆锥的表面积；（2）求异面直线PQ与SO所成角的大小．18.（问答题，14分）已知函数f（x）=3x．（1）设y=f-1（x）是y=f（x）的反函数，若f-1（x1x2）=1，求f-1（x 13）+f -1（x 23）的值；（2）是否存在常数m∈R ，使得函数g （x ）=1+ mf (x )+1 为奇函数，若存在，求m 的值，并证明此时g （x ）在（-∞，+∞）上单调递增，若不存在，请说明理由．19.（问答题，14分）落户上海的某休闲度假区预计于2022年开工建设．如图，拟在该度假园区入口处修建平面图呈直角三角形的迎宾区，∠ACB= π2 ，迎宾区的入口设置在点A 处，出口在点B 处，游客可从入口沿着观景通道A-C-B 到达出口，其中AC=300米，BC=200米，也可以沿便捷通道A-P-B 到达出口（P 为△ABC 内一点）．（1）若△PBC 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形，某游客的步行速度为每分钟50米，则该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快几分钟？（结果精确到1分钟） （2）园区计划将△PBC 区域修建成室外游乐场，若∠BPC= 2π3 ，该如何设计使室外游乐场的面积最大，请说明理由．20.（问答题，16分）已知P （0，1）为椭圆C ： x 24 + y 23 =1内一定点，Q 为直线l ：y=3上一动点，直线PQ 与椭圆C 交于A 、B 两点（点B 位于P 、Q 两点之间），O 为坐标原点． （1）当直线PQ 的倾斜角为 π4 时，求直线OQ 的斜率； （2）当△AOB 的面积为 32时，求点Q 的横坐标；（3）设 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，试问λ-μ是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．21.（问答题，18分）已知有穷数列{a n}的各项均不相等，将{a n}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{p n}，称{p n}为{a n}的“序数列”．例如，数列a1、a2、a3满足a1＞a3＞a2，则其“序数列”{p n}为1、3、2，若两个不同数列的“序数列”相同，则称这两个数列互为“保序数列”．（1）若数列3-2x、5x+6、x2的“序数列”为2、3、1，求实数x的取值范围；）•（2）若项数均为2021的数列{x n}、{y n}互为“保序数列”，其通项公式分别为x n=（n+ 12）n，y n=-n2+tn（t为常数），求实数t的取值范围；（23（3）设a n=q n-1+p，其中p、q是实常数，且q＞-1，记数列{a n}的前n项和为S n，若当正整数k≥3时，数列{a n}的前k项与数列{S n}的前k项（都按原来的顺序）总是互为“保序数列”，求p、q满足的条件．2021-2022学年上海市金山区高三（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={x|x＞2}，B={x|x＜3}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]{x|2＜x＜3}【解析】：利用交集定义直接求解．【解答】：解：∵集合A={x|x＞2}，B={x|x＜3}，∴A∩B={x|2＜x＜3}．故答案为：{x|2＜x＜3}．【点评】：本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.（填空题，4分）函数y=log2（x-1）的定义域是___ ．【正确答案】：[1]（1，+∞）【解析】：由函数的解析式知，令真数x-1＞0即可解出函数的定义域．【解答】：解：∵y=log2（x-1），∴x-1＞0，x＞1函数y=log2（x-1）的定义域是（1，+∞）故答案为（1，+∞）【点评】：本题考查求对数函数的定义域，熟练掌握对数函数的定义及性质是正确解答本题的关键．3.（填空题，4分）若复数z满足iz= √3 -i（i为虚数单位），则|z|=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：根据复数的四则运算先化简复数，然后计算复数的长度即可【解答】：解：∵ iz=√3−i，∴-z= √3 i+1，∴z=-1- √3 i，∴|z|= √1+3 =2，故答案为：2．【点评】：本题主要考查复数的计算，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，比较基础．4.（填空题，4分）（x+2）6的展开式中x3的系数为 ___ .（结果用数值表示）【正确答案】：[1]160【解析】：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中的x3的系数．【解答】：解：由于（x+2）6的二项展开式的通项公式为 T r+1= C6r•2r•x6-r，令6-r=3，求得 r=3，∴展开式中x3的系数是：23• C63 =160．故答案为：160．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．5.（填空题，4分）已知cosα= 13，则行列式|1sinαsinα1|的值为 ___ ．【正确答案】：[1] 19【解析】：利用行列式的定义，结合同角三角函数的基本关系式，求解即可．【解答】：解：cosα= 13，|1sinαsinα1| =1-sin2α=cos2α= 19．故答案为：19．【点评】：本题考查行列式的定义，同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．6.（填空题，4分）某小区共有住户2000人，其中老年人600人，中年人1000人，其余为青少年等人群，为了调查该小区的新冠疫苗接种情况，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为400的样本，则样本中中年人的人数为 ___ ．【正确答案】：[1]200【解析】：利用分层抽样的性质直接求解．【解答】：解：现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为400的样本， 则样本中中年人的人数为： 400× 10002000 =200． 故答案为：200．【点评】：本题考查样本中中年人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.（填空题，5分）设P 为直线y=2x 上的一点，且位于第一象限，若点P 到双曲线 x 24-y 2=1的两条渐近线的距离之积为27，则点P 的坐标为 ___ ． 【正确答案】：[1]（3，6）【解析】：设出点的坐标，求出双曲线的渐近线方程，利用已知条件列出方程求解即可．【解答】：解：由题意设P （s ，2s ），s ＞0， 双曲线 x 24-y 2=1的两条渐近线x±2y=0， 点P到双曲线 x 24 -y 2=1的两条渐近线的距离之积为27，5s √5•3s √5=27 ，解得s=3，所以P （3，6）． 故答案为：（3，6）．【点评】：本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题． 8.（填空题，5分）已知x ＞0，y ＞0，且 4x + 1y =1，则4x+y 的最小值为 ___ ． 【正确答案】：[1]25【解析】：4x+y=（ 4x + 1y ）（4x+y ）= 4yx + 4x y +17，然后利用基本不等式可解决此题．【解答】：解：∵x ＞0，y ＞0，且 4x + 1y =1， ∴4x+y=（ 4x + 1y ）（4x+y ）= 4yx + 4xy +17≥2 √4yx •4xy+17=25， 当且仅当 {4y x =4xy4x+1y =1即x=y=5时等号成立，∴4x+y 的最小值为25．故答案为：25．【点评】：本题考查基本不等式应用，考查数学运算能力，属于基础题．9.（填空题，5分）有身高全不相同的6位同学一起拍毕业照，若6人随机排成两排，每排3人，则后排每人都比前排任意一位同学高的概率是 ___ .（结果用最简分数表示） 【正确答案】：[1] 120【解析】：根据题意，分步计算“6个人进行全排列”和“后排每人都比前排任意一位同学高”的排法，由古典概型公式计算可得答案．【解答】：解：根据题意，将6个人进行全排列，共有A 66=720排法，若后排每人都比前排任意一位同学高，则身高高的三个同学在后排排列，其余三个同学在前排排列，共有A 33A 33=36种排法，则后排每人都比前排任意一位同学高的概率P= 36720 = 120 ； 故答案为： 120．【点评】：本题考查古典概型的计算，涉及排列组合的性质以及应用，属于基础题． 10.（填空题，5分）已知P 1、P 2、P 3、⋯、P 10是抛物线y 2=8x 上不同的点，点F （2，0），若 FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 1 + FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 +…+ FP 10⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ ，则| FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 1 |+| FP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+…+| FP 10⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=___ ． 【正确答案】：[1]40【解析】：设P 1、P 2、P 3、⋯、P 10的横坐标x 1，x 2......x 10，由向量的和为零向量，可得x 1+x 2+.....x 10=20，再由抛物线的定义可得，到焦点的距离等于到准线的距离，可得向量的模的和的值．【解答】：解：设P 1、P 2、P 3、⋯、P 10的横坐标x 1，x 2......x 10， 由抛物线的方程y 2=8x 可得准线方程x=-2，因为 FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 1 + FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 +…+ FP 10⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ ，所以（x 1+x 2+.....x 10-10×2，y 1+y 2+.....+y 10）=（0，0）， 所以x 1+x 2+.....x 10-10×2=0，即x 1+x 2+.....x 10=20，由抛物线的定义到焦点的距离等于到准线的距离可得：| FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 1 |+| FP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+…+| FP 10⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=（x 1+2）+.....（x 10+2）=x 1+x 2+.....x 10+10×2=20+20=40， 故答案为：40．【点评】：本题考查抛物线的性质的应用及向量的运算性质的应用，属于基础题．11.（填空题，5分）若数列{a n}满足a n+a n+1+a n+2+…+a n+k=0（n∈N*，k∈N*），则称数列{a n}为“k阶相消数列”．已知“2阶相消数列”{b n}的通项公式为b n=2cosωn，记T n=b1b2…b n，1≤n≤2021，n∈N*，则当n=___ 时，T n取得最小值．【正确答案】：[1]2020【解析】：由b n+b n+1+b n+2=0可求出{b n}周期，对cosωn+cosω（n+1）+cosω（n+2）=0变形可求得cosω= −12，从而求得cos2ω，cos3ω，得到{b n}的前三项，分析T n的正负情况，可得n=3k+1（k∈N）时T n为负值，对此时的T n的求表达式可得-2k，k最大时T n有最小值．【解答】：解：由已知得b n+b n+1+b n+2=0（n∈N*），故b n+1+b n+2+b n+3=0（n∈N*），故b n=b n+3（n∈N*），{b n}的周期为3，设b n=2c n，其中c n=cosωn，故{c n}的周期为3，由题意有cosωn+cosω（n+1）+cosω（n+2）=0，由和差化积公式有2cos（ωn+ω(n+2)2）cos（w(n+2)−ωn2）+cosω（n+1）=0，故2cos[ω（n+1）]cosω+cos[ω（n+1）]=0，因此（2cosω+1）cos[ω（n+1）]=0，若ω（n+1）= π2+kπ（k∈Z），不存在这样的ω对任意n恒成立，故舍，则cosω= −12，c1=cosω= −12，c2=cos2ω=2cos2ω-1= −12，由三倍角公式有c3=cos3ω=4cos3ω-3cosω=1，故T n=b1b2…b n=2n c1c2…c n，当n=3k+1（k∈N）时T n＜0，当n=3k+2（k∈N）时T n＞0，当n=3k+3（k∈N）时T n＞0，当n=3k+1（k∈N）时，T n=2n（c1c2c3）k c1=2n（14）k（- 12）=-2k，3k+1≤2021，故k≤673，此时T n最小，此时n=2020，故答案为：2020．【点评】：本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．12.（填空题，5分）已知点O（0，0）、A0（2，3）和B0（5，6），记线段A0B0的中点为P1，取线段A0P1和P1B0中的一条，记其端点为A1、B1，使之满足（|OA1|-5）（|OB1|-5）＜0，记线段A1B1的中点为P2，取线段A1P2和P2B1中的一条，记其端点为A2、B2，使之满足（|OA2|-5）（|OB2|-5）＜0，依次下去，得到点P1、P2、…，P n、…，则n→∞|A0P n|=___ ．【正确答案】：[1] √2【解析】：设线段A0B0上到原点距离等于5的点为P（x，y），可得P（3，4），根据已知条件可得A1，B1，A2，B2•••中必有一点在P（3，4）的左侧，一点在P（3，4）的右侧，再由P1，P2，…P n，…是中点，可得出P1，P2，…P n，…的极限即为P（3，4），即可求解．【解答】：解：由（|OA2|-5）（|OB2|-5）＜0，可知|OA2|和|OB2|一个大于5一个小于5，设线段A0B0上到原点距离等于5的点为P（x，y），由√x2+y2 =5且y−3x−2=y−6x−5，可得x=3，y=4，所以线段A0B0上到原点距离等于5的点为P（3，4），若（|OA2|-5）（|OB2|-5）＜0，则A1，B1应在点P（3，4）的两侧，所以第一次应取A1，B1，A2，B2•••中必有一点在P（3，4）的左侧，一点在P（3，4）的右侧，因为P1，P2，…P n，…是中点，所以P1，P2，…P n…的极限为P（3，4），所以n→∞|A0P n|=|A0P|= √2，故答案为：√2．【点评】：本题考查数列极限，考查学生的运算能力，属于难题．13.（单选题，5分）已知a、b∈R，则“ ba＞1”是“b＞a”的（）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.非充分非必要【正确答案】：D【解析】：因为ba ＞1可化为：b−aa＞0，然后分别对a＞0，a＜0讨论得出b与a的关系，进而可以求解．【解答】：解：因为ba ＞1可化为：b−aa＞0，当a＞0时，b-a＞0，即b＞a；当a＜0时，b-a＜0，即b＜a，所以ba＞1与b＞a没有关系，故选：D．【点评】：本题考查了四个条件的关系的应用，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题．14.（单选题，5分）下列函数中，以π2为周期且在区间[ π4，π2]上单调递增的是（）A.f（x）=|cos2x|B.f（x）=|sin2x|C.f（x）=sin4xD.f（x）=cos2x【正确答案】：A【解析】：由题意利用三角函数的周期性和单调性，得出结论．【解答】：解：由于f（x）=|cos2x|的周期为12 × 2π2= π2，在区间[ π4，π2]上，2x∈[ π2，π]，f（x）单调递增，故A满足条件；由于f（x）=|sin2x|的周期为12 × 2π2= π2，在区间[ π4，π2]上，2x∈[ π2，π]，f（x）单调递减，故排除B；由于f（x）=sin4x的周期为2π4 = π2，在区间[ π4，π2]上，4x∈[π，2π]，f（x）没有单调性，故排除C；由于f（x）=cos2x的周期为2π2=π，在区间[ π4，π2]上，2x∈[ π2，π]，f（x）单调递减，故排除D，故选：A．【点评】：本题主要考查三角函数的周期性和单调性，属于基础题．15.（单选题，5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q、R分别是棱AB、BC、BB1的中点，以△PQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上，则这个直三棱柱的体积为（）A. 38B. √38C. 316D. √316【正确答案】：C【解析】：连接A1C1，BC1，C1D，并分别取它们的中点R1，P1，Q1，连接AC1，RR1，PP1，QQ1，R1P1，P1Q1，Q1R1，利用线面垂直的判定定理和性质证明三棱柱PQR-P1Q1R1为直三棱柱，由体积公式求解即可．【解答】：解：如图，连接A1C1，BC1，C1D，并分别取它们的中点R1，P1，Q1，连接AC1，RR1，PP1，QQ1，R1P1，P1Q1，Q1R1，则RR1 || AC1，PP1 || AC1，QQ1 || AC1，且RR1= 12 AC1，PP1= 12AC1，QQ1= 12AC1，连接AC，可得AC⊥PQ，因为CC1⊥平面ABCD，又PQ⊂平面ABCD，则CC1⊥PQ，又CC1∩AC=C，AC，CC1⊂平面C1CA，所以PQ⊥平面C1CA，又AC1⊂平面C1CA，所以PQ⊥AC1，同理可得，AC1⊥PR，又PQ∩PR=P，则AC1⊥平面PQR，所以RR1⊥平面PQR，PP1⊥平面PQR，QQ1⊥平面PQR，则三棱柱PQR-P1Q1R1为直三棱柱，由正方体的棱长为1，可得PQ=QR=PR= √22，RR1= √32，故V PQR−P1Q1R1 = √32×12×(√22)2×√32=316．故选：C．【点评】：本题考查了空间中线线、线面位置关系的判断，线面垂直的判定定理和性质的应用，棱柱的体积公式的理解与应用，属于中档题．16.（单选题，5分）已知向量 a 与 b ⃗ 的夹角为120°，且 a • b ⃗ =-2，向量 c 满足 c =λ a +（1-λ） b ⃗ （0＜λ＜1），且 a • c = b ⃗ • c ，记向量 c 在向量 a 与 b⃗ 方向上的投影分别为x 、y ．现有两个结论： ① 若λ= 13 ，则| a |=2| b ⃗ |； ② x 2+y 2+xy 的最大值为 34．则正确的判断是（ ） A. ① 成立， ② 成立 B. ① 成立， ② 不成立 C. ① 不成立， ② 成立 D. ① 不成立， ② 不成立 【正确答案】：C【解析】： ① 根据 a ⋅b ⃗ =−2 及 a 与 b ⃗ 的夹角为120°求出 |a |⋅|b ⃗ |=4 ，假设 |a |=2|b ⃗ | 成立，求出 |b ⃗ |=√2 与 |a |=2√2 ，代入后发现等式不成立，故 ① 错误；② 利用向量共线定理可知，点C 在线段AB 上，再结合 a ⋅c =b ⃗ ⋅c 可得：OC⊥AB ，利用投影公式求出 x 2+y 2+xy =34|c |2 ，只需求出| c |最大值，利用面积公式和基本不等式求出| c |最大值为1，进而求出x 2+y 2+xy 最大值．【解答】：解：由 a ⋅b ⃗ =|a |⋅|b ⃗ |cos120°=−2 ，解得 |a |⋅|b ⃗ |=4 ， 当 λ=13 时， c =13a +23b⃗ ， 由 a ⋅c =b ⃗ ⋅c 得， a ⋅(13a +23b ⃗ )=b ⃗ ⋅(13a +23b⃗ ) ， 即 13a 2+23a ⋅b ⃗ =13a ⋅b ⃗ +23b ⃗ 2 ， 由 a ⋅b ⃗ =−2 得 13|a |2=23+23|b ⃗ |2 ， 因为 |a |⋅|b⃗ |=4 ， 假设 |a |=2|b ⃗ | ，则可求出 |b ⃗ |=√2，|a |=2√2 ，代入 13|a |2=23+23|b⃗ |2 中，等号不成立，故 ① 错误； 设 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ， 因为 c =λa +(1−λ)b⃗ (0＜λ＜1) ， 由向量共线定理可知，点C 在线段AB 上，如图，设〈a，c〉=α，则〈b⃗，c〉=120°−α，因为a⋅c=b⃗⋅c，所以|a|⋅|c|cosα=|b⃗|⋅|c|cos(120°−α)，即|a|⋅cosα=|b⃗|⋅cos(120°−α)，所以x2+y2+xy=|c|2cos2α+|c|2cos2(120°−α)+|c|2cosαcos(120°−α)=34|c|2，S△ABO=12|a|⋅|b⃗|sin120°=√34×4=√3，而要想保证|c|最大，只需|AB|最小，由余弦定理可得：|AB|2=|a |2+|b⃗|2−2|a||b⃗|cos120°=|a |2+|b⃗|2+4≥2|a||b⃗|+4= 12，当且仅当|a|=|b⃗|时等号成立，所以|AB|最小值为2√3，所以|c|最大值为2S△ABO|AB|=1，故x2+y2+xy=34|c|2的最大值为34，② 正确；故选：C．【点评】：本题考查平面向量基本定理，数量积的综合应用，属于综合题．17.（问答题，14分）如图，已知圆锥的底面半径r=2，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧AB̂的中点，点P为母线SA的中点．（1）求此圆锥的表面积；（2）求异面直线PQ与SO所成角的大小．【正确答案】：【解析】：（1）由圆锥的底面半径r=2，经过旋转轴SO 的截面是等边三角形SAB ，求出SA=4，由此能求出圆锥的表面积．（2）以O 为原点，OQ 为x 轴，OA 为y 轴，OS 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线SO 与PQ 所成角的大小．【解答】：解：（1）∵圆锥的底面半径r=2，经过旋转轴SO 的截面是等边三角形SAB ， 得SA=4，∴圆锥的表面积S=π×22+ 12 ×4π×4=12π．（2）以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OS 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意可得SO=2 √3 ，则S （0，0，2 √3 ），O （0，0，0），A （0，2，0），Q （2，0，0），P （0，1， √3 ）， SO ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，0，-2 √3 ）， PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，-1，- √3 ）， 设异面直线PQ 与SO 所成角的大小为θ， 则cosθ= |SO ⃗⃗⃗⃗⃗ •PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ||SO ⃗⃗⃗⃗⃗||PQ⃗⃗⃗⃗⃗ | = 4√6 = √64 ， ∴异面直线SO 与PQ 所成角的大小为arccos √64．【点评】：本题考查圆锥的表面积、异面直线所成角的大小的求法，考查向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.（问答题，14分）已知函数f （x ）=3x ．（1）设y=f -1（x ）是y=f （x ）的反函数，若f -1（x 1x 2）=1，求f -1（x 13）+f -1（x 23）的值； （2）是否存在常数m∈R ，使得函数g （x ）=1+ mf (x )+1 为奇函数，若存在，求m 的值，并证明此时g （x ）在（-∞，+∞）上单调递增，若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）求得f-1（x）=log3x，再由对数的运算性质可得所求值；（2）假设存在常数m∈R，使得函数g（x）=1+ mf(x)+1为奇函数，由g（0）=0，解方程可得m，检验可得结论；再由单调性的定义证明g（x）的单调性，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤．【解答】：解：（1）由f（x）=3x，y=f-1（x）是y=f（x）的反函数，可得f-1（x）=log3x，f-1（x1x2）=log3（x1x2）=1，即有x1x2=3，所以f-1（x13）+f-1（x23）=log3x13+log3x23=3（log3x1+log3x2）=3log3（x1x2）=3；（2）假设存在常数m∈R，使得函数g（x）=1+ mf(x)+1为奇函数．由g（x）=1+ m1+3x 为R上的奇函数，可得g（0）=1+ 12m=0，解得m=-2，即有g（x）=1+ −21+3x ，g（-x）+g（x）=1+ −21+3−x+1+ −21+3x=2-2• 1+3x1+3x=0，所以存在m=-2，使得g（x）为奇函数；证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，g（x1）-g（x2）=- 21+3x1 + 21+3x2=2• 3x1−3x2(1+3x1)(1+3x2)，由x1＜x2，可得0＜3x1＜3x2，即3x1-3x2＜0，所以g（x1）-g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），所以g（x）在（-∞，+∞）上单调递增．【点评】：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及函数的反函数的求法，考查转化思想和运算能力，属于基础题．19.（问答题，14分）落户上海的某休闲度假区预计于2022年开工建设．如图，拟在该度假园区入口处修建平面图呈直角三角形的迎宾区，∠ACB= π2，迎宾区的入口设置在点A处，出口在点B处，游客可从入口沿着观景通道A-C-B到达出口，其中AC=300米，BC=200米，也可以沿便捷通道A-P-B到达出口（P为△ABC内一点）．（1）若△PBC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，某游客的步行速度为每分钟50米，则该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快几分钟？（结果精确到1分钟）（2）园区计划将△PBC区域修建成室外游乐场，若∠BPC= 2π3，该如何设计使室外游乐场的面积最大，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由三角形PBC为等腰直角三角形，利用勾股定理求出PC的长，在三角形PAC中，利用余弦定理求出的PA长即可，进而计算即可得出结果；（2）在三角形PBC中由∠PCB的度数表示出∠PBC的度数，利用正弦定理表示出PB与PC，进而表示出三角形PBC面积，再利用正弦函数的值域确定出面积的最大值即可．【解答】：解：（1）由题设，∠PCA= π4，PC=100 √2米，PB=100 √2米，在△PAC中，由余弦定理得PA2=AC2+PC2-2AC•PC•cos π4，所以PA=100 √5米．游客可从入口沿着观景通道A-C-B到达出口，所需时间为t1= 300+20050=10分钟，游客沿便捷通道A-P-B到达出口所需时间为t1= 100√5+100√250=2（√5+√2）分钟，所以该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快10-2（√5+√2）≈3分钟．（2）∵∠BPC= 2π3，设∠PCB=θ则θ∈(0，π3)，在△PBC中∠PBC= π3−θ，由正弦定理得200sin2π3=PBsinθ=PCsin(π3−θ)，得PB= 400√33sinθ，PC= 400√33sin(π3−θ)．所以△PBC面积S= 12•PB•PC•sin2π3= 40000√33•sinθ•sin(π3−θ) = 20000√33•sin(2θ+π6)−10000√33，当 θ=π6∈(0，π3) 时，△PBC 面积的最大值为10000√33平方米．【点评】：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强解答这类问题，两角和与差的正余弦公式，诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心．20.（问答题，16分）已知P （0，1）为椭圆C ： x 24 + y 23 =1内一定点，Q 为直线l ：y=3上一动点，直线PQ 与椭圆C 交于A 、B 两点（点B 位于P 、Q 两点之间），O 为坐标原点． （1）当直线PQ 的倾斜角为 π4 时，求直线OQ 的斜率； （2）当△AOB 的面积为 32 时，求点Q 的横坐标；（3）设 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，试问λ-μ是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）先得到直线PQ 的方程为y=x+1，联立 {y =x +1y =3，解之即可求得Q 点坐标，进而可得OQ 斜率； （2）直线PQ 方程为y=kx+1，联立 {x 24+y 23=1y =kx +1，结合韦达定理求得|x 1-x 2|，再由S △AOB = 12|OP||x 1-x 2|= 32，即可求解； （3）直线PQ 的方程为x=m （y-1），联立 {x 24+y 23=1x =m (y −1)，结合韦达定理表示得到y 1-1+y 2-1=- 84+3m 2 ，（y 1-1）（y 2-1）=- 84+3m 2 ，再根据 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得到λ= 1−y 1y2−1，μ= y 2−y 13−y 2 = y 2−3+3−y 13−y 2 =-1+ 3−y 13−y 2，即可求解．【解答】：解：（1）因为直线PQ 的倾斜角为 π4 ，且P （0，1）， 所以直线PQ 方程为y=x+1，联立 {y =x +1y =3，解得Q （2，3），则直线OQ 的斜率为 32 ；（2）已知直线PQ 斜率存在，设直线PQ 方程为y=kx+1，联立 {x 24+y 23=1y =kx +1，得（3+4k²）x²+8kx-8=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=- 8k 3+4k 2 ，x 1x 2=- 83+4k 2， 则|x 1-x 2|= √(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =√96+192k 23+4k 2 = 32，解得k²= 14 ，即k=± 12，所以直线PQ 方程为y= 12 x+1或y=- 12 x+1，由 {y =12x +1y =3 得Q （4，3）；由 {y =−12x +1y =3 得Q （-4，3）； （3）已知直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为x=m （y-1），联立 {x 24+y 23=1x =m (y −1)，得（4+3m²）（y-1）²+8（y-1）-8=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y 1-1+y 2-1=- 84+3m 2 ，（y 1-1）（y 2-1）=- 84+3m 2 ， 所以y 1-1+y 2-1=（y 1-1）（y 2-1），因为 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以λ= 1−y 1y 2−1 ，μ= y 2−y 13−y 2= y 2−3+3−y 13−y 2=-1+ 3−y 13−y2， 则λ-μ= 1−y 1y 2−1 +1- 3−y 13−y 2= 2[(1−y 1)2+(1−y 1)]2+2(1−y 1)(1−y 1)(y 2−1)(3−y 2) +1=1．【点评】：本考查直线与椭圆的综合，考查直线斜率求解，椭圆中定值问题，属于中档题． 21.（问答题，18分）已知有穷数列{a n }的各项均不相等，将{a n }的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{p n }，称{p n }为{a n }的“序数列”．例如，数列a 1、a 2、a 3满足a 1＞a 3＞a 2，则其“序数列”{p n }为1、3、2，若两个不同数列的“序数列”相同，则称这两个数列互为“保序数列”． （1）若数列3-2x 、5x+6、x 2的“序数列”为2、3、1，求实数x 的取值范围；（2）若项数均为2021的数列{x n }、{y n }互为“保序数列”，其通项公式分别为x n =（n+ 12 ）•（ 23）n ，y n =-n 2+tn （t 为常数），求实数t 的取值范围；（3）设a n =q n-1+p ，其中p 、q 是实常数，且q ＞-1，记数列{a n }的前n 项和为S n ，若当正整数k≥3时，数列{a n }的前k 项与数列{S n }的前k 项（都按原来的顺序）总是互为“保序数列”，求p 、q 满足的条件．【正确答案】：【解析】：（1）由题意得出不等式即可求出；（2）作差判断{x n}增减，得出序数列即可求解；（3）讨论q=±1或q=0，q＞1，0＜q＜1，-1＜q＜0，根据数列的单调性结合题意可得．【解答】：解：（1）由题意得a2＞a3＞a1，即{5x+6＞x2x2＞3−2x，解得1＜x＜6，即x的取值范围是{x|1＜x＜6}；（2）x n+1−x n=(n+32)(23)n+1−(n+12)(23)n=3−2n6(23)n，当n=1时，x2-x1＞0，即x2＞x1，当n≥2时，x n+1-x n＜0，即x n+1＜x n，故x2＞x1，x2＞x3＞x4＞⋯＞x2021，又x1=1，x3=2827，x4=89，因此{x n}的序数列为2，3，1，4，5，⋯，2021．又因{x n}、{y n}互为“保序数列“，故y2＞y3＞y1＞y4＞y5＞⋯＞y2021，只需满足2＜t2＜52，解得：4＜t＜5．即t的取值范围是{t|4＜t＜5}；（3）① 当q=±1或q=0时，数列{a n}中有相等的项，不满足题意．② 当q＞1时，数列{a n}单调递增，故{S n}也应单调递增，从而S n+1−S n=a n+1=q n+p＞0对n∈N*且n＜k恒成立．又数列{q n+p}单调递增，故p+q ＞0．③ 当0＜q＜1时，数列{a n}单调递减，故{S n}也应单调递减，从而S n+1−S n=a n+1=q n+p＜0对n∈N*且n＜k恒成立．又数列{q n+p}单调递减，故p+q＜0．④ 当-1＜q＜0时，数列{a2n-1}单调递减，且a2n-1＞p；{a2n}单调递增，且a2n＜p，于是S2n+1−S2n−1=a2n+a2n+1=q2n−1+q2n+2p＜0对n∈N*且n≤k−12恒成立，即2p＜（-q）2n-1（1+q），从而2p≤0．另一方面，S2n+2−S2n=a2n+1+a2n+2=q2n+q2n+1+2p＞0对n∈N*且n≤k−22恒成立，即2p＞-q2n（1+q），从而2p≥0．综上，2p=0，即p=0．此时S2n−1=1−q2n−11−q =11−q−q2n−11−q＞11−q，S2n=1−q2n1−q=11−q−q2n1−q＜11−q，满足题意．综上，当q＞1时，p、q满足的条件是p+q＞0；当0＜q＜1时，p、q满足的条件是p+q＜0；当-1＜q＜0时，p、q满足的条件是p=0．【点评】：本题主要考查数列中的新定义问题，数列的单调性等知识，属于中等题．。
上海市杨浦区2021-2022学年九年级(上)期末数学试卷(一模)及答案解析
2021-2022学年上海市杨浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移2个单位，下列结论中，正确的是（）A．开口方向不变B．顶点不变C．与x轴的交点不变D．与y轴的交点不变2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AC＝1，那么AB等于（）A．sinαB．cosαC．D．3．（4分）已知和都是单位向量，下列结论中，正确的是（）A．＝B．﹣＝C．||+||＝2D．+＝2 4．（4分）已知点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，下列结论中，正确的是（）A．B．C．D．5．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，过对角线交点O的直线与两底分别交于点E、F，下列结论中，错误的是（）A．B．C．D．6．（4分）如图，点F是△ABC的角平分线AG的中点，点D、E分别在AB、AC边上，线段DE过点F，且∠ADE＝∠C，下列结论中，错误的是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知＝，那么＝．8．（4分）计算：cos245°﹣tan30°sin60°＝．9．（4分）抛物线y＝x2+3与y轴的交点坐标为．10．（4分）二次函数y＝x2﹣4x图象上的最低点的纵坐标为．11．（4分）已知的长度为2，的长度为4，且和方向相反，用向量表示向量＝．12．（4分）如果两个相似三角形对应边之比是4：9，那么它们的周长之比等于．13．（4分）已知在△ABC中，AB＝10，BC＝16，∠B＝60°，那么AC＝．14．（4分）已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点G是△ABC的重心，那么点G到斜边AB的距离是．15．（4分）在某一时刻，直立地面的一根竹竿的影长为3米，一根旗杆的影长为25米，已知这根竹竿的长度为1.8米，那么这根旗杆的高度为米．16．（4分）如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A在它的北偏东60°方向上，航行12海里到达点C处，测得小岛A在它的北偏东30°方向上，那么小岛A到航线BC的距离等于海里．17．（4分）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如图，已知等腰Rt△ABC为“格线三角形”，且∠BAC＝90°，那么直线BC与直线c的夹角α的余切值为．18．（4分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，将△ABC绕点A逆时针旋转90°后得△ADE，点B落在点D处，点C落在点E处，联结BE、CD，作∠CAD的平分线AN，交线段BE于点M，交线段CD于点N，那么的值为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE＝BC．（1）如果AC＝6，求AE的长；（2）设＝，＝，试用、的线性组合表示向量．20．（10分）已知二次函数y＝2x2﹣4x+5．（1）用配方法把二次函数y＝2x2﹣4x+5化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）如果将该函数图象沿y轴向下平移5个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，顶点为C，求△ABC的面积．21．（10分）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD＝2，BD＝6，tan∠B＝，点E是边BC的中点．（1）求边AC的长；（2）求∠EAB的正弦值．22．（10分）如图，为了测量建筑物AB的高度，先从与建筑物AB的底部B点水平相距100米的点C处出发，沿斜坡CD行走至坡顶D处，斜坡CD的坡度i＝1：3，坡顶D到BC 的距离DE＝20米，在点D处测得建筑物顶端A点的仰角为50°，点A、B、C、D、E 在同一平面内，根据测量数据，请计算建筑物AB的高度（结果精确到1米）（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）23．（12分）已知，如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，点E在边BC上，AE∥CD，DE∥AB，过点C作CF∥AD，交线段AE于点F，联结BF．（1）求证：△ABF≌△EAD；（2）如果射线BF经过点D，求证：BE2＝EC•BC．24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），点P是该抛物线在第一象限内一点，联结AP、BC，AP与线段BC相交于点F．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与线段BC交于点E，如果点F与点E重合，求点P的坐标；（3）过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，PG与线段BC交于点H，如果PF＝PH，求线段PH的长度．25．（14分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，点D为射线AB上一动点，且BD＜AD，点B关于直线CD的对称点为点E，射线AE与射线CD交于点F．（1）当点D在边AB上时，①求证：∠AFC＝45°；②延长AF与边CB的延长线相交于点G，如果△EBG与△BDC相似，求线段BD的长；＝12，求S△ABE的值．（2）联结CE、BE，如果S△ACE2021-2022学年上海市杨浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．【分析】由于抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，a不变，抛物线的增减性不变．【解答】解：A、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移2个单位，a不变，开口方向不变，故正确．B、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移2个单位，顶点的横坐标不变，纵坐标改变，故错误；C、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移2个单位，形状不变，顶点改变，与x轴的交点改变，故错误．D、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移2个单位，与y轴的交点也向下平移两个单位，故错误．故选：A．【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，注意：抛物线平移后的形状不变，开口方向不变，顶点坐标改变．2．【分析】在Rt△ABC中，根据∠A的余弦即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AC＝1，那么：cos A＝＝，∴AB＝，故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦，余弦和正切的区别是解题的关键．3．【分析】根据单位向量的定义逐一判断即可．【解答】解：根据单位向量的定义可知：和都是单位向量，但是这两个向量并没有明确方向，∴A，B，D错误，C正确，故选：C．【点评】本题考查了平面向量中的单位向量知识，熟练掌握单位向量的定义是解题的关键．4．【分析】根据黄金分割的定义判断即可．【解答】解：∵点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，∴AP2＝PB•AB，∴点P是AB的黄金分割点，∴＝，故选：C．【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义，找出黄金分割中成比例的对应线段是解题的关键．5．【分析】根据相似三角形的判定得出△AOE∽△COF，△DEO∽△BFO，△AOD∽△COB，再根据相似三角形的性质得出比例式，最后根据比例的性质得出即可．【解答】解：A．∵AD∥BC，∴△AOE∽△COF，∴＝，故本选项不符合题意；B．∵AD∥BC，∴△AOE∽△COF，△DEO∽△BFO，∴＝，＝，∴＝，∴＝，故本选项符合题意；C．∵AD∥BC，∴△AOE∽△COF，△AOD∽△COB，∴＝，＝，∴＝，故本选项不符合题意；D．∵AD∥BC，∴△DEO∽△BFO，△AOD∽△COB，∴＝，＝，∴＝，∴＝，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理和比例的性质等知识点，能熟记相似三角形的性质定理和判定定理是解此题的关键．6．【分析】通过证明△EAF∽△BAG，可得＝，通过证明△ADF∽△ACG，可得，即可求解．【解答】解：∵AG平分∠BAC，∴∠BAG＝∠CAG，∵点F是AG的中点，∴AF＝FG＝，∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠BAC，∴△DAE∽△CAB，∴∠AEB＝∠B，又∵∠BAG＝∠CAG，∴△EAF∽△BAG，∴＝，∵∠ADE＝∠C，∠BAG＝∠CAG，∴△ADF∽△ACG，∴，故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．【分析】利用设k法解答即可．【解答】解：∵＝，∴设x＝4k，y＝3k，∴＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．8．【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：cos245°﹣tan30°sin60°＝﹣×＝﹣＝0，故答案为：0．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．【分析】把x＝0代入解析式求出y，根据y轴上点的坐标特征解答即可．【解答】解：当x＝0时，y＝3，则抛物线y＝x2+3与y轴交点的坐标为（0，3），故答案为：（0，3）【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．10．【分析】将二次函数解析式化为顶点式求解．【解答】解：∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，∴抛物线最低点坐标为﹣4．故答案为﹣4．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数一般式与顶点式的转化．11．【分析】根据与的长度与方向即可得出结果．【解答】解：∵的长度为2，的长度为4，且和方向相反，∴，故答案为：﹣2【点评】本题考查了平面向量的基本知识，熟练掌握平面向量的定义和性质是解题的关键．12．【分析】根据相似三角形的性质得出即可．【解答】解：∵两个相似三角形对应边之比是4：9，∴它们的周长之比等于4：9，故答案为：4：9．【点评】本题考查了相似三角形的性质，能熟记相似三角形的周长之比等于相似比是解此题的关键．13．【分析】过A作AD⊥BC于D，解直角三角形求出BD和AD，求出CD，再根据勾股定理求出AC即可．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB＝∠ADC＝90°，∵∠B＝60°，∴sin60°＝，cos60°＝，∵AB＝10，∴＝，＝，∴BD＝5，AD＝5，∵BC＝16，BD＝5，∴CD＝BC﹣BD＝11，由勾股定理得：AC＝＝＝14，故答案为：14．【点评】本题考查了解直角三角形和勾股定理，能熟记锐角三角形函数的定义和勾股定理解此题的关键．14．【分析】过C点作CE⊥AB于E，过G点作GH⊥AB于H，如图，先利用勾股定理计算出AB，再利用面积法求出CE＝，根据G是△ABC的重心得到DG＝CD，然后证明△DHG∽△DEC，利用相似比可求出GH的长度．【解答】解：过C点作CE⊥AB于E，过G点作GH⊥AB于H，如图．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，∵CE•AB＝AC•BC，∴CE＝＝，∵G是△ABC的重心，∴DG＝CG，∴DG＝CD，∵CE⊥AB，GH⊥AB，∴GH∥CE，∴△DHG∽△DEC，∴＝＝，∴GH＝CE＝×＝．故答案为：．【点评】此题考查了三角形重心的性质：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，也考查了勾股定理，三角形的面积，相似三角形的判定与性质．15．【分析】根据同一时刻，物高与影长成正比即可列出等式．【解答】解：根据同一时刻，物高与影长成正比得，旗杆的高度：1.8＝25：3，∴旗杆的高度为15米，故答案为：15．【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握平行投影的基本特征：物高与影长成正比是解题的关键．16．【分析】过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，由三角形的外角性质得∠BAC＝∠ABC，再由等腰三角形的判定得AC＝BC，锐角由锐角三角函数定义求出AE的长即可．【解答】解：过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，由题意得：BC＝12海里，∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠ACE＝90°﹣30°＝60°，∴∠BAC＝∠ACE﹣∠ABC＝30°，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC＝12海里，在Rt△ACE中，sin∠ACE＝，∴AE＝AC•sin∠ACE＝12×＝6（海里），即小岛A到航线BC的距离是6海里，故答案为：6．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．17．【分析】过B作BE⊥直线a于E，延长EB交直线c于F，过C作CD⊥直线a于D，根据全等三角形的判定得出△CDA≌△AEB，根据全等三角形的性质得出AE＝CD＝2d，AD＝BE＝d，求出CF＝DE＝AE+AD＝3d，再解直角三角形求出答案即可．【解答】解：过B作BE⊥直线a于E，延长EB交直线c于F，过C作CD⊥直线a于D，则∠CDA＝∠AEB＝90°，∵直线a∥直线b∥直线c，相邻两条平行线间的距离相等（设为d），∴BF⊥直线c，CD＝2d，∴BE＝BF＝d，∵∠CAB＝90°，∠CDA＝90°，∴∠DCA+∠DAC＝90°，∠EAB+∠DAC＝90°，∴∠DCA＝∠EAB，在△CDA和△AEB中，，∴△CDA≌△AEB（AAS），∴AE＝CD＝2d，AD＝BE＝d，∴CF＝DE＝AE+AD＝2d+d＝3d，∵BF＝d，∴cotα＝＝＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，平行线间的距离等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．18．【分析】先根据题目条件作出图象，由∠C＝90°和tan A＝设BC＝5k，AC＝12k，然后由旋转的性质得到AE＝AC＝12k，ED＝BC＝5k，AB＝AD＝13k，以点C为原点、BC 和AC所在直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，则A（0，12k），B（﹣5k，0），E（12k，12k），D（12k，7k），过点N作NF⊥AC于点F，交BE于点P，NH⊥AD于点H，得到NF＝NH，得到＝＝，然后由高相等的两个三角形的面积之比为底边长之比得到的值，进而用含有k的式子表示点N的坐标，再求得直线BE的解析式，然后求得点P的坐标得到NP的长，最后通过△MAE∽△MNP得到的值，即可得到的值．【解答】解：由∠C＝90°和tan A＝可设BC＝5k，AC＝12k，∴AB＝13k，由旋转得，AE＝AC＝12k，ED＝BC＝5k，AB＝AD＝13k，如图，以点C为原点，BC和AC所在直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则A（0，12k），B（﹣5k，0），∵旋转角为90°，∴E（12k，12k），D（12k，7k），过点N作NF⊥AC于点F，NH⊥AD于点H，∵AN平分∠CAD，∴NF＝NH，∴＝＝，又∵△ANC在边CN上的高和△AND在边DN上的高相等，∴＝＝，∴点N的坐标为（，），设直线BE的解析式为y＝mx+n，则，解得：，∴直线BE的解析式为y＝x+，当y＝时，x+＝，解得：x＝﹣，∴P（﹣，），∴NP＝﹣（﹣）＝6k，∵NF⊥AC，∠EAC＝90°，∴AE∥NP，∴△MAF∽△MNP，∴＝2，∴＝，故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、三角形的面积，解题的关键是通过旋转的性质建立平面直角坐标系．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．【分析】（1）根据相似三角形的性质得出等式求解即可；（2）根据平面向量的加减运算法则即可求解．【解答】解：（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵DE＝，∴AE＝4；（2）由（1）知，，∴DE＝，∵，∴＝．【点评】本题考查了平面向量，相似三角形的性质等知识，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．20．【分析】（1）利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答．（2）首先求得抛物线y＝2x2﹣4x+5沿y轴向下平移5个单位后解析式，利用配方法求得C的坐标，令y＝0求得A、B的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可．【解答】解：（1）y＝2x2﹣4x+5＝2（x2﹣2x）+5＝2（x2﹣2x+1﹣1）+5＝2（x﹣1）2+3，∴开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点（1，3）．（2）抛物线y＝2x2﹣4x+5沿y轴向下平移5个单位后解析式是y＝2x2﹣4x+5﹣5，即y ＝2x2﹣4x．∵y＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2，∴顶点C的坐标是（1，﹣2）．在y＝2x2﹣4x中令y＝0，则2x2﹣4x＝0，解得x＝0或2，∴A（2，0），B（0，0），∴△ABC的面积为：＝2．【点评】本题考查的是二次函数三种形式的转化，抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与几何变换，三角形的面积，掌握配方法、平移的规律是解题的关键．21．【分析】（1）利用∠B的正切值先求出CD，再利用勾股定理求出AC；（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．先判断EF是三角形的中位线，再求出EF、DF、AF及AE，最后求出∠EAB的正弦值．【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴△ACD、△BCD均为直角三角形．在Rt△CDB中，∵BD＝6，tan∠B＝＝，∴CD＝4．在Rt△CDA中，AC＝＝＝2．（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF．又∵点E是边BC的中点，∴EF是△BCD的中位线．∴DF＝BF＝3，EF＝CD＝2．∴AF＝AD+DF＝5．在Rt△AEF中，AE＝＝＝．∴sin∠EAB＝＝＝．【点评】本题主要考查了解直角三角形和勾股定理，掌握直角三角形的边角间关系以及三角形的中位线定理是解决本题的关键．22．【分析】过D作DF⊥AB于F，由坡度的定义求出CE＝3DE＝60（米），则DF＝EB＝40（米），再解直角三角形求出AF的长，即可得出答案【解答】解：过D作DF⊥AB于F，则DF＝EB，FB＝DE＝20米，∵斜坡CD的坡度i＝1：3＝DE：CE，坡顶D到BC的距离DE＝20米，∴CE＝3DE＝60（米），∴DF＝EB＝BC﹣CE＝100﹣60＝40（米），在Rt△ADF中，∠ADF＝50°，∵tan∠ADF＝＝tan50°≈1.19，∴AF≈1.19DF＝1.19×40＝47.6（米），∴AB＝AF+BF≈47.6+20≈68（米），即建筑物AB的高度约为68米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．23．【分析】（1）先证AB＝AE，DE＝DC，再证四边形ADCF是平行四边形，得出AF＝CD，进而得出AF＝DE，再由平行线性质得∠AED＝∠BAF，进而证得结论；（2）通过证明△BEF∽△BCD，△DEF∽△BAF，可得，即可得结论．【解答】证明：（1）∵AE∥CD，∴∠AEB＝∠BCD，∵∠ABC＝∠BCD，∴∠ABC＝∠AEB，∴AB＝AE，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠ABC，∠AED＝∠BAF，∵∠ABC＝∠BCD，∴∠DEC＝∠BCD，∴DE＝DC，∵CF∥AD，AE∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AF＝CD，∴AF＝DE，在△ABF和△EAD中，，∴△ABF≌△EAD（SAS）；（2）如图，连接FD，∵射线BF经过点D，∴点B，点F，点D三点共线，∵AE∥DC，∴△BEF∽△BCD，∴，，∵DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴，∴，∵CD＝AF，∴，∴BE2＝EC•BC．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，利用相似三角形的性质得到线段的关系是解题的关键．24．【分析】（1）将点A（﹣1，0）和点C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，即可求解；（2）分别求出B（4，0）和直线BC的解析式为y＝﹣x+2，可得E（，），再求直线AE的解析式为y＝x+，联立，即可求点P（3，2）；（3）设P（t，﹣t2+t+2），则H（t，﹣t+2），则PH＝﹣t2+2t，用待定系数法求出直线AP的解析式为y＝x+，联立，可求出F（，），直线AP与y轴交点E（0，），则CE＝，再由PF＝PH，可得CE＝EF，则有方程（）2＝（）2+（﹣）2，求出t＝，即可求PH＝﹣t2+2t＝．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）和点C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，∴，∴y＝﹣x2+x+2；（2）∵y＝﹣x2+x+2，∴对称轴为直线x＝，令y＝0，则﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或x＝4，∴B（4，0），设直线BC的解析式为y＝kx+m，∴，∴，∴y＝﹣x+2，∴E（，），设直线AE的解析式为y＝k'x+n，∴，∴，∴y＝x+，联立，∴x＝3或x＝﹣1（舍），∴P（3，2）；（3）设P（t，﹣t2+t+2），则H（t，﹣t+2），∴PH＝﹣t2+2t，设直线AP的解析式为y＝k1x+b1，∴，∴，∴y＝x+，联立，∴x＝，∴F（，），直线AP与y轴交点E（0，），∴CE＝2﹣＝，∵PF＝PH，∴∠PFH＝∠PHF，∵PG∥y轴，∴∠ECF＝∠PHF，∵∠CFE＝∠PFH，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝EF，∴（）2＝（）2+（﹣）2，∴（4﹣t）2+4＝（5﹣t）2，∴t＝，∴PH＝﹣t2+2t＝．【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，会求函数的交点坐标，本题计算量较大，准确的计算是解题的关键．25．【分析】（1）①如图1，连接CE，根据轴对称的性质可得：EC＝BC，∠ECF＝∠BCF，设∠ECF＝∠BCF＝α，则∠BCE＝2α，∠ACE＝90°﹣2α，再利用等腰三角形性质即可证得结论；②如图2，连接BE，CE，由△EBG∽△BDC，可得出∠G＝∠BCD＝22.5°，过点D作DH⊥AB交BC于点H，则△BDH是等腰直角三角形，推出CH＝DH＝BD，再根据CH+BH ＝BC＝5，建立方程求解即可；（2）分两种情况：Ⅰ．当点D在AB上时，如图3，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，利用勾股定理、三角形面积建立方程求解即可；Ⅱ．当点D在AB的延长线上时，如图4，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，利用勾股定理、三角形面积建立方程求解即可．【解答】解：（1）①证明：如图1，连接CE，∵点B关于直线CD的对称点为点E，∴EC＝BC，∠ECF＝∠BCF，设∠ECF＝∠BCF＝α，则∠BCE＝2α，∴∠ACE＝90°﹣2α，∵AC＝BC，∴AC＝EC，∴∠AEC＝∠EAC＝[180°﹣（90°﹣2α）]＝45°+α，∵∠AEC＝∠AFC+∠ECF＝∠AFC+α，∴∠AFC＝45°；②如图2，连接BE，CE，∵B、E关于直线CF对称，∴CF垂直平分BE，由（1）知：∠AFC＝45°，∴∠BEF＝45°，∵△EBG与△BDC相似，∠BEG＝∠DBC＝45°，∵∠EBG与∠BDC均为钝角，∴△EBG∽△BDC，∴∠G＝∠BCD＝∠BAG，∵∠G+∠BAG＝∠ABC＝45°，∴∠G＝∠BCD＝22.5°，过点D作DH⊥AB交BC于点H，则△BDH是等腰直角三角形，∴DH＝BD，BH＝BD，∠BHD＝45°，∵∠CDH＝∠BHD﹣∠BCD＝45°﹣22.5°＝22.5°＝∠BCD，∴CH＝DH＝BD，∵CH+BH＝BC＝5，∴BD+BD＝5，∴BD＝＝5﹣5，∴线段BD的长为5﹣5；（2）Ⅰ．当点D在AB上时，如图3，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，∵AC＝EC＝BC＝5，∴AM＝EM＝AE，∴①AM2+CM2＝AC2＝25，＝AE•CM＝12，∵S△ACE∴②AM•CM＝12，①+②×2，得：（AM+CM）2＝49③，①﹣②×2，得：（AM﹣CM）2＝49③，∵CM＞AM＞0，∴AM＝3，CM＝4，∴AE＝6，由（1）知：∠AFC＝45°，BE⊥CF，∴∠BEF＝45°，∵∠AFC＝∠ABC＝45°，∴A、C、B、F四点共圆，∴∠AFB+∠ACB＝180°，∴∠AFB＝90°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF＝BF，设EF＝BF＝x，则AE＝x+6，在Rt△ABF中，AF2+BF2＝AB2，∴（x+6）2+x2＝50，解得：x＝1或x＝﹣7（舍去），∴BF＝1，＝AE•BF＝×6×1＝3；∴S△ABEⅡ．当点D在AB的延长线上时，如图4，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，由（1）知：∠AFC＝45°，CF垂直平分BE，∴∠BEF＝45°，BF＝EF，∴∠EBF＝∠BEF＝45°，∴∠BFE＝90°，∵AC＝EC＝BC＝5，∴AM＝EM＝AE，与Ⅰ同理可得：AM＝EM＝4，CM＝3，AE＝8，设BF＝EF＝y，则AF＝8﹣y，在Rt△ABF中，AF2+BF2＝AB2，∴（8﹣x）2+x2＝50，解得：x＝1或x＝7（舍去），∴BF＝1，＝AE•BF＝×8×1＝4；∴S△ABE的值为3或4．综上，S△ABE【点评】本题考查了三角形面积，等腰直角三角形性质和判定，相似三角形的判定和性质，轴对称变换的性质，勾股定理等，解题关键是添加辅助线构造直角三角形，运用分类讨论思想和方程思想解决问题．。
2021-2022学年上海市松江区高三(上)期末数学试卷(一模)
2021-2022学年上海市松江区高三（上）期末数学试卷（一模）试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={x|2x-6＜0}，则A∩B=___ ．2.（填空题，4分）计算：n→∞n 2+2n (n−1)=___ ．3.（填空题，4分）已知复数z=1+i （其中i 是虚数单位），则z 2+z=___ ．4.（填空题，4分）关于x ，y 的方程组 {x −2y =13x +y =−1的增广矩阵为 ___ ．5.（填空题，4分）二项式（x 2+ 1x ）5的展开式中含x 4的项的系数是 ___ （用数字作答）． 6.（填空题，4分）若抛物线y 2=4x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是 ___ ．7.（填空题，5分）已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的体积为 ___ ． 8.（填空题，5分）第24届冬奥会将于2022年2月4日～20日在北京——张家口举行，某大学从7名志愿者中选出4人分别从事对外联络、场馆运行、文化展示、赛会综合这四项服务中的某一项工作，则不同的选派方案共有 ___ 种．9.（填空题，5分）已知函数f （x ）= √3 sinωx+cosωx （ω＞0），若f （x ）≤f （ π4）对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 ___ ．10.（填空题，5分）已知a ＞0，b ＞0，且 1a+2 + 2b = 23 ，则2a+b 的最小值为 ___ ．11.（填空题，5分）已知等差数列{a n }的首项a 1=2，且对任意m ，n∈N *（m≠n ），存在k∈N *，使得a m +a n =a k 成立，则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5的最小值为 ___ ．12.（填空题，5分）已知函数f （x ）= {x −8x x ＜0|x −a |x ≥0 ，若对任意的x 1∈[2，+∞），都存在x 2∈[-2，-1]，使得f （x 1）•f （x 2）≥a ，则实数a 的取值范围为 ___ ．13.（单选题，5分）已知角α的终边经过点P （3，4），将角α的终边绕原点O 逆时针旋转π2得到角β的终边，则tanβ等于（ ）A. −43 B. −34 C. 45 D. −5414.（单选题，5分）某校有高一学生390人，高二学生360人，高三学生345人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取部分学生作为样本．若从高二学生中抽取的人数为24人，则高一学生和高三学生应抽取的人数分别为（ ） A.高一学生26人、高三学生23人 B.高一学生28人、高三学生21人C.高一学车多于24人、高三学生少于24人即可D.高一、高三学生人数都不限15.（单选题，5分）如图，已知点A∈平面α，点O∈α，直线a⊂α，点P∉α且PO⊥α，则“直线a⊥直线OA”是“直线a⊥直线PA”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件16.（单选题，5分）已知正六边形ABCDEF 的边长为2，当λi ∈{-1，1}（i=1，2，3，4，5）时，|λ1 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5 AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为（ ） A.6 B.12 C.18 D. 8+4√317.（问答题，14分）如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AB=BC=BB 1=2，AB⊥BC ，D 为AB 的中点．（1）求异面直线BC 1与DC 所成角的大小（用反三角函数表示）； （2）求证：BC 1 || 平面A 1CD ．18.（问答题，14分）在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，已知csinC-bsinB=a（sinA-sinB）．（1）求角C的值；（2）若c=3，求△ABC周长的最大值．19.（问答题，14分）以太阳能和风能为代表的新能源发电具有取之不尽、零碳排放等优点．近年来我国新能源发电的装机容量快速增长，学校新能源发电研究课题组的同学通过查阅相关资料，整理出《2015-2020年全国各类发电装机容量统计表（单位：万万千瓦）》．年份传统能源发电新能源发电总装机容量火力发电水力发电核能发电太阳能发电风能发电2015 10.06 3.20 0.27 0.43 1.31 15.27 2016 10.60 3.32 0.34 0.76 1.47 16.49 2017 11.10 3.44 0.36 1.30 1.64 17.84 2018 11.44 3.53 0.45 1.74 1.84 19.00 2019 11.90 3.56 0.49 2.10 2.05 20.10 2020 12.45 3.70 0.50 2.53 2.82 22.00 （1）2015年至2020年期间，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加多少万万千瓦（精确到0.01）？同期新能源发电装机容量的年平均增长率是多少（精确到0.1%）？（2）假设从2021年开始，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加2万万千瓦，新能源发电装机容量的年平均增长率为20%，问从哪一年起，我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的60%？20.（问答题，16分）已知双曲线Γ： x 2a 2 - y 2b 2 =1（a ＞0，b ＞0）的焦距为2 √3 ，渐近线方程为y=± √22 x ．（1）求双曲线Γ的方程；（2）若对任意的m∈R ，直线y=kx+m 与双曲线Γ总有公共点，求实数k 的取值范围； （3）若过点（1，0）的直线l 与双曲线Γ交于M 、N 两点，问在x 轴上是否存在定点P ，使得 PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为常数？若存在，求出点P 的坐标及此常数的值，若不存在，请说明理由．21.（问答题，18分）已知函数f （x ）的定义域为R ，若存在常数k 和A ，对任意的x∈R ，都有|f （x ）-kx|≤A 成立，则称函数f （x ）为“拟线性函数”，其中数组（k ，A ）称为函数f （x ）的拟合系数．（1）数组（2，1）是否是函数g （x ）= 2x 31+x 2 的拟合系数？（2）判断函数s （x ）=xsinx 是否是“拟线性函数”，并说明理由；（3）若奇函数h （x ）在区间[0，p]（p ＞0）上单调递增，且h （x ）的图像关于点（p ，q ）成中心对称（其中p ，q 为常数），证明：h （x ）是“拟线性函数”．2021-2022学年上海市松江区高三（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={x|2x-6＜0}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]{1，2}【解析】：先求出集合B，然后结合集合的交集运算即可求解．【解答】：解：A={1，2，3，4，5}，B={x|2x-6＜0}={x|x＜3}，则A∩B={1，2}．故答案为：{1，2}．【点评】：本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．2.（填空题，4分）计算：n→∞n2+2n(n−1)=___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：n→∞n2+2n(n−1)= limn→∞1+2n1−1n，可求．【解答】：解：n→∞n2+2n(n−1)= limn→∞1+2n1−1n=1．故答案为：1．【点评】：本题主要考查了∞∞型极限的求解，属于基础题．3.（填空题，4分）已知复数z=1+i（其中i是虚数单位），则z2+z=___ ．【正确答案】：[1]1+3i【解析】：把复数z=1+i直接代入z2+z，然后利用复数的平方和加法运算求解．【解答】：解：由z=1+i，得z2+z=（1+i）2+（1+i）=1+2i+i2+1+i=1+3i．故答案为：1+3i．【点评】：本题考查复数的基本概念，复数代数表达式及其几何意义，是基础题． 4.（填空题，4分）关于x ，y 的方程组 {x −2y =13x +y =−1 的增广矩阵为 ___ ．【正确答案】：[1] (1−2131−1)【解析】：直接由增广矩阵的定义得答案．【解答】：解：由增广矩阵的定义可知，关于x ，y 的方程组 {x −2y =13x +y =−1的增广矩阵为(1−2131−1) ， 故答案为： (1−2131−1) ．【点评】：本题考查增广矩阵的概念，属于基础题．5.（填空题，4分）二项式（x 2+ 1x ）5的展开式中含x 4的项的系数是 ___ （用数字作答）． 【正确答案】：[1]10【解析】：先求出二项式（x 2+ 1x ）5的展开式中通项公式，令x 的系数等于4，求出r 的值，即可求得展开式中含x 4的项的系数．【解答】：解：二项式（x 2+ 1x ）5的展开式中通项公式为 T r+1= C 5r x 10-2r x -r = C 5r x 10-3r．令 10-3r=4，可得 r=2，∴展开式中含x 4的项的系数是 C 52=10，故答案为10．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．6.（填空题，4分）若抛物线y 2=4x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是 ___ ．【正确答案】：[1]5【解析】：由题意得到点P 的横坐标，从而求出点P 到抛物线准线的距离，由抛物线的定义求解即可．【解答】：解：因为抛物线y 2=4x 上一点P 到y 轴的距离是4， 则点P 的横坐标为4，又抛物线的准线为x=-1，所以点P到抛物线准线的距离为4+1=5，由抛物线的定义可知，点P到该抛物线焦点的距离是5．故答案为：5．【点评】：本题考查了抛物线标准方程的理解与应用，抛物线定义的理解与应用，属于基础题．7.（填空题，5分）已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的体积为 ___ ．【正确答案】：[1] √33π【解析】：设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h，利用轴截面，求出底面半径和圆锥的高，由锥体的体积公式求解即可．【解答】：解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h，因为圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，所以r=1，l=2，h= √22−12=√3，则这个圆锥的体积为V=13Sℎ=13×π×12×√3 = √33π．故答案为：√33π．【点评】：本题考查了圆锥的体积的求解，涉及了圆锥轴截面的理解与应用，锥体体积公式的应用，属于基础题．8.（填空题，5分）第24届冬奥会将于2022年2月4日～20日在北京——张家口举行，某大学从7名志愿者中选出4人分别从事对外联络、场馆运行、文化展示、赛会综合这四项服务中的某一项工作，则不同的选派方案共有 ___ 种．【正确答案】：[1]840【解析】：显然，这是一个从7个不同元素中任意选出4个不同元素的排列数问题，结合公式容易求解．【解答】：解：由已知得：不同的选派方案共有A74 =840（种）．故答案为：840．【点评】：本题考查排列数公式的应用，属于基础题．9.（填空题，5分）已知函数f（x）= √3sinωx+cosωx（ω＞0），若f（x）≤f（π4）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1] 43【解析】：由已知条件可得， f (π4) 是函数f （x ）的最大值，再结合正弦函数的性质，即可求解．【解答】：解：∵f （x ）= √3 sinωx+cosωx= 2sin (ωx +π6) ， ∵f （x ）≤f （ π4 ）对任意的实数x 都成立， ∴ f (π4) 是函数f （x ）的最大值， ∴ π4ω+π6=π2+2kπ ，k∈Z ， ∴ω= 43+8k ，k ∈Z ， ∵ω＞0，∴ω的最小值为 43 ． 故答案为： 43．【点评】：本题主要考查两角和与差的三角函数，考查计算能力，属于基础题． 10.（填空题，5分）已知a ＞0，b ＞0，且 1a+2 + 2b = 23 ，则2a+b 的最小值为 ___ ． 【正确答案】：[1]8【解析】：2a+b=2a+4+b-4= 32（2a+4+b ）（ 1a+2+2b ）-4，展开后利用基本不等式即可求解．【解答】：解：因为a ＞0，b ＞0，且 1a+2 + 2b = 23 ，则2a+b=2a+4+b-4= 32 （2a+4+b ）（ 1a+2+2b ）-4= 32 （4+ ba+2+4(a+2)b ）-4 ≥32(4+2√ba+2•4a+8b ) -4=8， 当且仅当 ba+2=4a+8b 且 1a+2 + 2b = 23，即a=1，b=6时取等号，此时2a+b 取得最小值8．故答案为：8．【点评】：本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是利用乘1法配凑基本不等式的应用条件，属于基础题．11.（填空题，5分）已知等差数列{a n }的首项a 1=2，且对任意m ，n∈N *（m≠n ），存在k∈N *，使得a m +a n =a k 成立，则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1]-10【解析】：由条件可令m=1，n=5，得a k =a 1+a 5，进一步代入化简可得d= 2k−5 ，分析k 的取值范围，可得d 的最小值，而a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=10+10d ，故d 最小时，S 5最小．【解答】：解：对任意m ，n∈N *（m≠n ），存在k∈N *，使得a m +a n =a k 成立， 所以令m=1，n=5， 则a k =a 1+a 5，又a k =a 1+（k-1）d=2+（k-1）d ， a 1+a 5=2+2+4d=4+4d ， 所以2+（k-1）d=4+4d ， 所以（k-5）d=2， 显然k≠5， 所以d=2k−5， 当1≤k≤4时，d=2k−5单调递减， 所以当k=4时，d min =-2， 当k≥6时，d= 2k−5 ＞0， 所以d min =-2， 因为a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=5(a 1+a 5)2=10+10d ， 所以当d 最小时，a 1+a 2+a 3+a 4+a 5有最小值10-20=-10， 故答案为：-10．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式，前n 项和公式，属于基础题．12.（填空题，5分）已知函数f （x ）= {x −8x x ＜0|x −a |x ≥0 ，若对任意的x 1∈[2，+∞），都存在x 2∈[-2，-1]，使得f （x 1）•f （x 2）≥a ，则实数a 的取值范围为 ___ ． 【正确答案】：[1] (−∞，74]【解析】：问题可转化为 |x 1−a |min ≥(ax 2−8x 2)min=a 7，分类讨论结合x 1∈[2，+∞） 即可得出结论．【解答】：解：∵x1∈[2，+∞），x2∈[-2，-1]，f（x2）＞0，∴ (x2−8x2)⋅|x1−a|≥a，即对任意的x1∈[2，+∞），都存在x2∈[-2，-1]，使|x1−a|≥ax2−8x2恒成立，∴有|x1−a|min≥(ax2−8x2)min=a7，当a≤0 时，显然不等式恒成立；当0＜a＜2时，2−a≥a7，解得0＜a≤74；当a≥2时，|x1-a|∈[0，+∞），此时不成立．综上，a≤74．故答案为：(−∞，74]【点评】：本题考查分段函数的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．13.（单选题，5分）已知角α的终边经过点P（3，4），将角α的终边绕原点O逆时针旋转π2得到角β的终边，则tanβ等于（）A. −43B. −34C. 45D. −54【正确答案】：B【解析】：直接利用三角函数关系式的变换和三角函数的诱导公式的应用求出结果．【解答】：解：角α的终边经过点P（3，4），所以tan α=43，cot α=34将角α的终边绕原点O逆时针旋转π2得到角β的终边，所以tan β=tan(π2+α)=−cotα = −34．故选：B．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的诱导公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．14.（单选题，5分）某校有高一学生390人，高二学生360人，高三学生345人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取部分学生作为样本．若从高二学生中抽取的人数为24人，则高一学生和高三学生应抽取的人数分别为（）A.高一学生26人、高三学生23人B.高一学生28人、高三学生21人C.高一学车多于24人、高三学生少于24人即可D.高一、高三学生人数都不限【正确答案】：A【解析】：根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．【解答】：解：∵高二学生360人，抽取人数为24人，360÷24=15，∴高一学生抽取人数为390÷15=26人，高三学生抽取人数为345÷15=23人．故选：A．【点评】：本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．15.（单选题，5分）如图，已知点A∈平面α，点O∈α，直线a⊂α，点P∉α且PO⊥α，则“直线a⊥直线OA”是“直线a⊥直线PA”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：C【解析】：利用直线与平面垂直的判断定理，推出结果，即可判断选项．【解答】：解：已知点A∈平面α，点O∈α，直线a⊂α，点P∉α且PO⊥α，直线a⊥直线OA，PO∩OA=O，可知直线a⊥平面POA，PO⊂平面POA，所以直线a⊥直线PA；直线a⊥直线PA，PA∩OA=A ，可知直线a⊥平面POA ，OA⊂平面POA ，所以直线a⊥直线OA ， 所以“直线a⊥直线OA”是“直线a⊥直线PA”的充要条件． 故选：C ．【点评】：本题考查直线与平面的位置关系的判断，三垂线定理与逆定理的应用，充要条件的判断，是中档题．16.（单选题，5分）已知正六边形ABCDEF 的边长为2，当λi ∈{-1，1}（i=1，2，3，4，5）时，|λ1 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5 AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为（ ） A.6 B.12 C.18 D. 8+4√3 【正确答案】：B【解析】：建立平面直角坐标系，由坐标法表示出|λ1 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5 AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |，并利用列举法求得最大值．【解答】：解：以A 为原点，AD 为x 轴建立如图所示平面直角坐标系，正六边形的边长为2，所以：B （1，- √3 ），F （1， √3 ），C （3，- √3 ），E （3， √3 ），D （4，0）， |λ1 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5 AF⃗⃗⃗⃗⃗ | =|λ1（1，- √3 ）+|λ2（3，- √3 ）+λ3（4，0）+λ4（3， √3 ）+λ5（1， √3 ）| = |(λ1，−√3λ1)+(3λ2，−√3λ2)+(4λ3，0)+(3λ4，√3λ4)+(λ5，√3λ5)| = |(λ1+3λ2+4λ3+3λ4+λ5，−√3λ1−√3λ2+√3λ4+√3λ5)| = √(λ1+3λ2+4λ3+3λ4+λ5)2+(−√3λ1−√3λ2+√3λ4+√3λ5)2=√4λ12+12λ22+16λ32+12λ42+4λ52+2(6λ1λ2+4λ1λ3−2λ1λ5+12λ2λ3+6λ2λ4+12λ3λ4+4λ3λ5+6λ4λ5) =√4+12+16+12+4+2(6λ1λ2+4λ1λ3−2λ1λ5+12λ2λ3+6λ2λ4+12λ3λ4+4λ3λ5+6λ4λ5)= √48+4(3λ1λ2+2λ1λ3−λ1λ5+2λ3λ5+6λ2λ3+6λ3λ4+3λ2λ4+3λ4λ5)令t=3λ1λ2+2λ1λ3-λ1λ5+2λ3λ5+6λ2λ3+6λ3λ4+3λ2λ4+3λ4λ5，下用例举法求得t的所有可能取值．由表格数据可知t 的最大值为24，所以|λ1 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5 AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为 √48+4×24 =12， 故选：B ．【点评】：本题考查平面向量的数量积运算及坐标表示，考查学生的运算能力，属于难题． 17.（问答题，14分）如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AB=BC=BB 1=2，AB⊥BC ，D 为AB 的中点．（1）求异面直线BC 1与DC 所成角的大小（用反三角函数表示）； （2）求证：BC 1 || 平面A 1CD ．【正确答案】：【解析】：（1）根据异面直线所成角的定义进行求解即可； （2）根据线面平行的判定定理即可证明BC 1 || 平面A 1CD ．【解答】：解：（1）连结AC 1，交A 1C 于点O ，连结OD ，因为D 是AB 的中点，所以BC 1 || OD ， 易知∠CDO 即为异面直线BC 1与DC 所成角， 因为AB=BC=BB 1=2，AB⊥BC ，D 为AB 的中点， CD= √12+22 = √5 ，OD= 12 BC 1= 12 × √22+22 = √2 ， 又因为该三棱柱是直三棱柱， A 1C= √22+(2√2)2=2 √3 ， OC= 12 A 1C= √3 ， ∴在△ODC中，cos∠CDO= √2)2√5)2√3)22×√2×√5=√105， ∴∠CDO=arccos√105； （2）证明：连结AC 1，交A 1C 于点O ，连结OD ， 因为D 是AB 的中点，所以BC 1 || OD ， 因为BC 1⊄平面A 1CD ，OD⊂平面A 1CD ， 所以BC 1 || 平面A 1CD ．【点评】：本题主要考查线面平行的判定以及异面直线所成角的求解，利用相应的判定定理以及异面直线所成角的定义是解决本题的关键．18.（问答题，14分）在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，已知csinC-bsinB=a （sinA-sinB ）． （1）求角C 的值；（2）若c=3，求△ABC 周长的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用正弦定理和余弦定理的应用求出C 的值； （2）利用余弦定理和基本不等式的应用求出三角形周长的最大值．【解答】：解：（1）已知csinC-bsinB=a （sinA-sinB ）， 利用正弦定理：c 2-b 2=a 2-ab ， 整理得 cosC =a 2+b 2−c 22ab=12，由于C∈（0，π），故C= π3；（2）由于c=3，C= π3，利用余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC，所以9=（a+b）2-3ab，利用基本不等式的应用：3×(a+b2)2≥3ab=(a+b)2−9，整理得：（a+b）2≤36，（当且仅当a=b=3时，等号成立）所以3＜a+b≤6，故三角形的周长的最大值为3+6=9．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦定理和余弦定理的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．19.（问答题，14分）以太阳能和风能为代表的新能源发电具有取之不尽、零碳排放等优点．近年来我国新能源发电的装机容量快速增长，学校新能源发电研究课题组的同学通过查阅相关资料，整理出《2015-2020年全国各类发电装机容量统计表（单位：万万千瓦）》．（1）2015年至2020年期间，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加多少万万千瓦（精确到0.01）？同期新能源发电装机容量的年平均增长率是多少（精确到0.1%）？（2）假设从2021年开始，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加2万万千瓦，新能源发电装机容量的年平均增长率为20%，问从哪一年起，我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的60%？【正确答案】：【解析】：（1）由题意直接求2015～2020年平均每年增加的容量即可，再设出平均增长率，列出指数形的方程，再求解即可；（2）设n 年后我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的60%，列出不等式6.05(1+0.2)n23.35+2n＞0.6，代入n=7与n=8时，验证即可．【解答】：解：（1）由表可知，我国2015年发电总装机容量为15.27万万千瓦，2020年发电总装机容量为22.00万万千瓦， 则2015～2020年平均每年增加22.00−15.275=1.35万万千瓦，且2015年新能源装机容量为（0.43+1.31）=1.74万万千瓦， 2020年新能源装机容量为（2.53+2.82）=5.35万万千瓦， 设年平均增长率为x ， ∴1.74（1+x ）5=5.35， ∴（1+x ）5≈3.075， 解得x=0.252，故同期新能源发电装机容量年平均增长率为0.252，（2）由（1）可知，我国2021年发电总装机容量为：22.00+1.35=23.35万万千瓦， 新能源发电装机容量为：5.35+0.7=6.05万万千瓦，设n 年后我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的60%， ∴6.05(1+0.2)n23.35+2n＞0.6，其中当n=7时， 6.05(1+0.2)n23.35+2n=0.580＜0.6，当n=8时， 6.05(1+0.2)n23.35+2n =0.661＞0.6，∴n≥8， ∴2021+8=2029即2029年我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的60%．【点评】：本题考查函数的实际应用，考查学生的综合能力，属于中档题． 20.（问答题，16分）已知双曲线Γ： x 2a 2 - y 2b2 =1（a ＞0，b ＞0）的焦距为2 √3 ，渐近线方程为y=± √22 x ．（1）求双曲线Γ的方程；（2）若对任意的m∈R ，直线y=kx+m 与双曲线Γ总有公共点，求实数k 的取值范围；（3）若过点（1，0）的直线l 与双曲线Γ交于M 、N 两点，问在x 轴上是否存在定点P ，使得 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为常数？若存在，求出点P 的坐标及此常数的值，若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）利用焦距以及渐近线方程，结合c 2=a 2+b 2，求出a ，b 的值，即可得到答案； （2）当k=时不合题意，当k≠0时，将直线与双曲线联立方程，则Δ=16k 2m 2-4（1-2k 2）（-2m 2-2）≥0对于任意的m 恒成立，求解即可；（3）设存在点P （a ，0），设直线l 的方程与双曲线方程联立，得到韦达定理，利用向量的坐标运算表示出 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，分析求解即可．【解答】：解：（1）因为2c= 2√3 ，所以c= √3 ， 又渐近线方程为y=± √22 x ， 则 ba =√22， 又c 2=a 2+b 2， 解得a 2=2，b 2=1，所以双曲线的方程为 x 22−y 2=1 ；（2）当k=0时，y=m 对于任意的实数m 与双曲线不是总有公共点，不符合题意； 当k≠0时，直线y=kx+m 与双曲线方程联立，可得（1-2k 2）x 2-4kmx-2m 2-2=0， 则Δ=16k 2m 2-4（1-2k 2）（-2m 2-2）≥0对于任意的m 恒成立， 即2k 2≤（m 2+1）min ， 所以2k 2≤1，解得 −√22≤k ≤√22， 故实数k 的取值范围为 [−√22，√22] ； （3）设存在点P （a ，0），设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则 PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−a ，y 1)，PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−a ，y 2) ， 所以 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−a )(x 2−a )+y 1y 2 = x 1x 2−a (x 1+x 2)+y 1y 2+a 2 ， 设直线l 的方程为y=k （x-1），将直线l 的方程与双曲线的方程联立，可得（1-2k 2）x 2+4k 2x-2k 2-2=0，所以 x 1+x 2=4k 22k 2−1，x 1x 2=2k 2+22k 2−1 ，故 y 1y 2=k 2(x 1−1)(x 2−1) =k 2[x 1x 2-（x 1+x 2）+1]= k 21−2k 2 ， 故 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a 2−4a+3)k 2+2−a 2)2k 2−1，若 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为常数， 则2a 2−4a+32=a 2−21，解得 a =74，故存在点 P (74，0) ，使得 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为常数 1716．【点评】：本题考查了双曲线标准方程的求解、直线与双曲线位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．21.（问答题，18分）已知函数f （x ）的定义域为R ，若存在常数k 和A ，对任意的x∈R ，都有|f （x ）-kx|≤A 成立，则称函数f （x ）为“拟线性函数”，其中数组（k ，A ）称为函数f （x ）的拟合系数．（1）数组（2，1）是否是函数g （x ）= 2x 31+x 2 的拟合系数？（2）判断函数s （x ）=xsinx 是否是“拟线性函数”，并说明理由；（3）若奇函数h （x ）在区间[0，p]（p ＞0）上单调递增，且h （x ）的图像关于点（p ，q ）成中心对称（其中p ，q 为常数），证明：h （x ）是“拟线性函数”．【正确答案】：【解析】：（1）根据所给新定义推出|g （x ）-2x|≤1即可得出结论；（2）根据新定义，利用特例法可知不存在（k ，A ）使|s （x ）-kx|≤A 成立，即可得出结论； （3）根据所给函数的性质可构造函数H （x ）=h （x ）- qp x ，利用周期定义可得H （x ）为周期函数，先证明H （x ）在x∈[-p ，p]时，|H （x ）|≤q ，再利用周期证明对一切x∈R ，都有|H （x ）|≤q 即可得证．【解答】：解：（1）因为g （x ）-2x= 2x 31+x 2−2x =−2x1+x 2 ，所以当x=0时，g （x ）-2x=0，当x≠0时，g （x ）-2x= −2x1+x 2 = −21x+x，因为1x +x≥2或1x+x≤−2，所以|g（x）-2x|≤1，所以数组（2，1）是函数g（x）= 2x 31+x2的拟合系数；（2）① 当x=π/2+2nπ（n∈N*）时，|s（x）-kx|=| π2+2nπ−k(π2+2nπ)|≤A对于n∈N*恒成立，所以k=1成立，② 当x=2nπ（n∈N*）时，|s（x）-kx|=|2nkπ|≤A恒成立，所以k=0成立，由① ② 可知，k不能同时满足，所以函数s（x）=xsinx不是“拟线性函数”；（3）∵h（x）的图像关于点（p，q）成中心对称，∴h（p+x）+h（p-x）=2q，令x=0，得：h（p）=q，由于h（x）在区间[0，p]（p＞0）上单调递增，∴h（p）＞h（0），∴q＞0，又∵h（x）为奇函数，∴h（0）=0，∴x∈[0，p]时，h（x）∈[0，q]，记H（x）=h（x）- qpx，下面证明对一切x∈R，都有|H（x）|≤q，∵h（x）为奇函数，∴h（-x）=-h（x），∴h（p+x）+h（p-x）=h（x+p）-h（x-p）=2q，即h（x+2p）=h（x）+2q，由于H（x+2p）=h（x+2p）- qp （x+2p）=[h（x）+2q]- qpx-2q=h（x）- qpx =H（x），∴H（x）是周期函数，且一个周期为T=2p，因为当x∈[0，p]时，0 ≤qpx≤q，∴-q ≤−qpx≤0，又因此时0≤h（x）≤q，∴当x∈[0，p]时，H（x）=h（x）- qpx∈[-q，q]，∴|H（x）|≤q，由于y=h（x），y= qpx均为奇函数，∴H（x）也为奇函数，当x∈[-p，0]时，-x∈[0，p]，∴|H（x）|=|H（-x）|≤q也成立，综合得：当x∈[-p，p]时，|H（x）|≤q，当x∈[（2n-1）p，（2n+1）p]（n∈Z）时，x-2np∈[-p，p]，∴|H（x）|=|H（x-2np）|≤q，x|≤q恒成立，因此，对一切x∈R，都有|H（x）|≤q，即|h（x）- qp所以h（x）是“拟线性函数”．【点评】：根据所给新定义，理解“拟线性函数”，并选取恰当的拟合系数是解题的关键所在，证明h（x）是“拟线性函数”，需要根据所给函数的奇偶性，单调性，对称性进行充分推理，，q），是解决问题的难点，探求出拟合系数为探求拟合系数准备，找到合适的拟合系数（qp后根据定义推导即可，属于难题．。
2021-2022学年上海市杨浦区高一(上)期末数学试卷(附详解)
2021-2022学年上海市杨浦区高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共16.0分） 1. 设a >0，下列计算中正确的是( )A. a 34⋅a 43=aB. a 34÷a 43=aC. (a 34)43=aD. (a 34)−43=a2. 若a >b 且1a >1b ，则下列不等式中正确的是( )A. a +b >0B. a +b <0C. ab >0D. ab <03. 若log 12(4−x 2)>log 12(2x +1)，则实数x 的取值范围是( ) A. 1<x <2 B. x <−3或x >1 C. −2<x <2D. −12<x <24. 已知函数y =f(x)的表达式是f(x)={2x ,x ≥a−x,x <a，若函数y =f(x)存在零点，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,0)B. (−∞,1)C. (1,+∞)D. (0,+∞)二、单空题（本大题共12小题，共36.0分） 5. 已知全集为R ，集合A =(1,+∞)，则A −=______． 6. 函数y =√x+1的定义域是______ ． 7. 集合{1,2,3}的子集一共有______个． 8. 已知a =lg5，用a 表示lg20=______． 9. 不等式33−x >9x 的解集是______．10. 命题“若x >1，则x ≥1”是______命题(填“真”或“假”其中一个)． 11. 里氏震级M 的计算公式为：M =lgA −lgA 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为______倍．12. 已知方程x 2+2x −4=0的两个根为x 1、x 2，则x 12+x 22的值为______． 13. 已知a ∈R 、b ∈R ，函数y =x 2+(2−a)x −3，x ∈[1−b,a]是偶函数，则a +b =______．14. 函数y =12−x 2的值域是______．15. 已知m ∈R ，“不等式|x −m|+|x +5|≥6对任意x ∈R 恒成立”的一个充分非必要条件是______．16. 设a 为实数，若关于x 的一元一次不等式组{2x +a >03x −6a <0的解集中有且仅有4个整数，则a 的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共48.0分）17. 已知全集U =R ，集合A ={x|3≤x <7}，B ={x|1<x <6}.求A ∩B −，A −∪B ．18. 解下列不等式(1)5−x x+3>0；(2)|1−3x|>2x ．19. 证明：函数y =lg(1−2x)在其定义域上是严格减函数．20.小明将上周每天骑车上学路上的情况用图像表示：很遗憾图像的先后次序不小心被打乱了．还好小明同时用文字进行了记录：周一：匀速骑车前进；周二：匀速骑车前进，中间遇到红灯停了一次；周三：骑车出门晚了，越骑越快；周四：骑车出门后一会儿想起忘带东西又加速回去拿；周五：……(1)请将图像的编号填入表格中对应日期的下方，日期周一周二周三周四周五图像编号并描述周五小明上学途中可能发生的情况，填在下面的空格中；周五：______．(2)本周小明打算跑步上学，多消耗点热量．已知单位时间消耗的热量y(卡/小时)与跑步的平均速度v(千米/小时)满足函数y=−503v2+350v−32003，小明家到学校的距离是1.5千米，假设小明上学路上不停顿，则他从家跑步到学校最多可以消耗最多热量？21.已知函数y=f(x)的定义域为D，若存在区间[a,b]⊆D使得函数y=f(x)满足：①函数y=f(x)在区间[a,b]上是严格增函数或严格减函数；②函数y=f(x)，x∈[a,b]的值域是[na,nb](n∈Z且n≥2)，则称区间[a,b]为函数y=f(x)的“n倍区间”．(1)判断下列函数是否存在“2倍区间”(不需要说明理由)；①y=1−x；②y=x2+1；2(2)证明：函数y=x−2不存在“n倍区间”；(3)证明：当有理数m满足m∈(0,1)∪(1,+∞)时，对于任意n(n∈Z且n≥2)，函数y=x m都存在“n倍区间”，并求函数y=x3和y=x23所有的“10倍区间”．答案和解析1.【答案】C【解析】解：对于A ：a 34⋅a 43=a 34+43≠a ，故A 错误， 对于B ：a 34÷a 43=a 34−43≠a ，故B 错误， 对于C ：a (34)43=a ，故C 正确， 对于D ：a(34)−43=a −1=1a，故D 错误，故选：C ．根据指数幂的运算性质分别判断即可． 本题考查了指数幂的运算性质，是基础题．2.【答案】D【解析】解：根据题意，若a >b 且1a >1b ，则1a −1b =b−a ab>0，则有ab <0，依次分析选项：对于A 和B ，当a =−b 时，a >b 且1a >1b 也成立，错误； 对于C 和D ，ab <0，C 错误，D 正确； 故选：D ．根据题意，利用作差法可得ab <0，由此分析选项可得答案．本题考查不等式的性质以及应用，注意分析a 、b 的关系，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：根据题意得{4−x 2>02x +1>04−x 2<2x +1，解得x ∈(1,2)．故选：A ．根据对数函数单调性和一元二次不等式解法可解决此题．本题考查对数性质及一元二次不等式解法，考查数学运算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：函数y =f(x)的表达式是f(x)={2x ,x ≥a−x,x <a，因为2x >0恒成立，函数y =f(x)存在零点，只有f(x)=−x 存在零点， 所以a >0， 故选：D ．利用分段函数的值域，判断函数存在零点的条件，推出结果即可． 本题考查分段函数的应用，函数的零点的判断，是基础题．5.【答案】(−∞,1]【解析】解：∵全集为R ，集合A =(1,+∞)， ∴A −=(−∞,1]． 故答案为：(−∞,1]． 利用补集的定义直接求解．本题考查集合的运算和补集的定义，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】(−1,+∞)【解析】解：∵函数y =√x+1， ∴√x +1≠0， 即x +1>0， 解得x >−1，∴函数y 的定义域是(−1,+∞)． 故答案为：(−1,+∞)．根据函数y 的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可． 本题考查了利用函数的解析式求函数定义域的应用问题，是基础题目．7.【答案】8【解析】解：集合{1,2,3}的子集有：⌀，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}共8个，故答案为：8．根据子集的定义列出所有的子集即可．本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2n个，属基础题．8.【答案】2−a【解析】解：∵a=lg5，∴lg20=1+lg2=1+1−lg5=2−a．故答案为：2−a．根据对数的运算即可得出lg20=2−lg5=2−a．本题考查了对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．9.【答案】(−∞,1)【解析】解：不等式33−x>9x⇔33−x>32x，∴3−x>2x，解得x∈(−∞,1)．故答案为：(−∞,1)．不等式33−x>9x⇔33−x>32x，结合指数函数单调性可求得解集．本题考查指数函数性质及一元一次不等式解法，考查数学运算能力，属于基础题．10.【答案】真【解析】解：因为x≥1即x>1或x=1，又因为x>1，所以x>1或x=1为真命题，即“若x>1，则x≥1”是真命题．故答案为：真．x≥1即x>1或x=1是p∨q形式，只需有一个命题为真即为真．本题考查了复合命题p∨q的真假判断，需有一个命题为真即为真，属于易做题．11.【答案】6【解析】解：根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则M=lgA−lgA0=lg1000−lg0.001=3−(−3)=6．故答案为：6．根据题意中的假设，可得M=lgA−lgA0=lg1000−lg0.001=6．本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用．12.【答案】12【解析】解：方程x2+2x−4=0的两个根为x1、x2，x1+x2=−2，x1x2=−4，则x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=4+8=12．故答案为：12．利用根与系数的关系，转化求解即可．本题考查函数的零点与方程根的关系，考查转化思想以及计算能力，是基础题．13.【答案】5【解析】解：根据题意，函数y=x2+(2−a)x−3，x∈[1−b,a]是偶函数，则有(1−b)+a=0，即b−a=1，又由y=x2+(2−a)x−3是二次函数，若其为偶函数，必有2−a=0，即a=2，则b=3，故a+b=5；故答案为：5．根据题意，由偶函数的性质可得(1−b)+a=0，即b−a=1，又由二次函数的性质求出a的值，由此可得b的值，计算可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及二次函数的性质，属于基础题．14.【答案】{y|y ≥12，或y <0}【解析】解：2−x 2≤2； ∴0<2−x 2≤2，或2−x 2<0； ∴12−x 2≥12，或12−x 2<0；∴原函数的值域为{y|y ≥12，或y <0}． 故答案为：{y|y ≥12，或y <0}．可求得0<2−x 2≤2，或2−x 2<0，从而可求出12−x 2的范围，从而得出原函数的值域． 考查函数值域的概念，以及根据不等式的性质求函数值域的方法．15.【答案】(−∞,−11]∪[2,+∞)答案不唯一【解析】解：∵|x −m|+|x +5|≥|x −m −x −5|=|m +5|， ∴要使不等式|x −m|+|x +5|≥6对任意x ∈R 恒成立，∴|m +5|≥6，即m +5≥6或m +5≤−6，解得m ≥1或m ≤−11，∴m ≥1或m ≤−11成立的充分不必要条件是(−∞,−11]∪[1,+∞)的真子集即可， 则(−∞,−11]∪[2,+∞)即可，故答案为：(−∞,−11]∪[2,+∞)答案不唯一．由不等式|x −m|+|x +5|≥6对任意x ∈R 恒成立，可得|m +5|≥6，再利用充分不必要条件与集合关系进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据三角不等式的性质求出不等式恒成立的等价条件是解决本题的关键，是基础题．16.【答案】(32,2]【解析】解：一元一次不等式组{2x +a >03x −6a <0⇔−a 2<x <2a ，且a >0， ∵关于x 的一元一次不等式组{2x +a >03x −6a <0的解集中有且仅有4个整数，①当4个整数为0，1，2，3时，则{−1≤−a2<03<2a ≤4，∴32<a ≤2，②当4个整数为−1，0，1，2时，则{−2≤−a2<−12<2a ≤3，∴a ∈⌀， 综上，a 的取值范围是(32,2]． 故答案为：(32,2]．先求出不等式组的解集，再分类讨论4个整数的情况，分别列出关于a 的不等式组，从而求出a 的取值范围．本题主要考查了一元一次不等式的解集，是中档题．17.【答案】解：∵A ={x|3≤x <7}，B ={x|1<x <6}．∴A ∩B ={x|3≤x <6}，则A ∩B −={x|x ≥6或x <3}， A −={x|x ≥7或x <3}， 则A −∪B ={x|x ≥7或x <6}．【解析】根据补集，交集，并集的定义进行计算即可．本题主要考查集合的基本运算，交、并、补的定义是解决本题的关键，是基础题．18.【答案】解：(1)不等式5−xx+3>0等价为(5−x)(x +3)>0，即(x −5)(x +3)<0，得−3<x <5，即不等式的解集为(−3,5)．(2)若x <0，则不等式|1−3x|>2x 恒成立，当x ≥0时，不等式|1−3x|>2x 等价为(1−3x)2>4x 2， 得5x 2−6x +1>0，即(x −1)(5x −1)>0，得x >1或x <15， ∵x ≥0，∴此时x >1或0≤x <15， 综上x >1或x <15，即不等式的解集为(−∞,15)∪(1,+∞)．【解析】(1)根据分式不等式的解法进行转化求解即可． (2)讨论x 的取值范围，进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，根据分式不等式和绝对值不等式的解法是解决本题的关键，是基础题．19.【答案】解：令1−2x>0，解得x<12，则函数的定义域为(−∞,12)，设任意x1<x2<12，则f(x1)−f(x2)=lg(1−2x1)−lg(1−2x2)=lg1−2x11−2x2，因为x1<x2<12，则1−2x11−2x2>1，所以lg1−2x11−2x2>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数y=lg(1−2x)在其定义域上是严格减函数．【解析】先求出函数的定义域，然后按照单调性的定义进行证明即可．考查了函数的单调性，涉及到函数的单调性的定义，属于基础题．20.【答案】匀速骑车，中途发现车故障，停下来维修，但没修好，只能推着车到学校【解析】解：(1)周五：匀速骑车，中途发现车故障，停下来维修，但没修好，只能推着车到学校．(2)由题意可得，上学用时t=1.5v小时，设消耗的热量为S，则S=yt=1.5v ⋅(−503v2+350v−32003)=−25(v+64v)+525≤−25⋅2√v⋅64v=−25×16+525=125，当且仅当v=64v，即v=8时，S取得最大值125，故他从家跑步到学校最多可以消耗最多热量125卡．(1)根据实际情况将图像的编号填入表格中对应日期的下方，即可求解．(2)根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式公式是解本题的关键，属于基础题．21.【答案】解：(1)y =1−x 不存在2倍区间，y =x 2+12存在2倍区间．理由如下：根据严格单调定义可知，函数y =1−x 在R 上严格单调递减，若[a,b]是函数的2倍区间，则函数的值域为[1−b,1−a]，且{1−b =2a1−a =2b⇒a =b −13，不满足a <b.所以y =1−x 不存在2倍区间．易知函数y =x 2+12在[0,+∞)上严格单调递增，若[a,b]是函数的“2倍区间“，则函数的值域为[a 2+12,b 2+12]，且{a <b a 2+12=2a b 2+12=2b⇒{a =1−√22b =1+√22,即函数存在“2倍区间“[1−√22,1+√22]． (2)证明：假设存在区间[a,b]是y =x −2的“n 倍区间”(n ∈Zn ≥2)， 由条件(1)可知，[a,b]⊆(−∞，0)或[a,b]⊆(0，+∞)． 当[a,b]⊆(0，+∞)，即0<a <b 时， 因为y =1x 2在(0,+∞)是严格减函数，所以{1a 2=nb 1b 2=na，得ba =1，即a =b ，这与a <b 的假设矛盾，所以假设不成立， 即y =x −2在x ∈(0,+∞)不存在“n 倍区间“； 当[a,b]⊆(−∞，0)时，[na,nb]⊆(−∞，0)， 这与x ∈(−∞,0)时，y =x 2>0矛盾， 即y =x −2在x ∈(−∞,0)不存在“n 倍区间“， 综上所述，y =x −2不存在“n 倍区间“． (3)证明：先考虑y =x m ，x ∈[0,+∞)的情况， 因为y =x m 在[0,+∞)是严格增函数，若存在“n 倍区间”，则x m =nx 有两个非负解， 原方程可化为x(x m−1−n)=0，当m ∈(0,1)∪(1,+∞)时，原方程有两个非负解x =0和x =n 1m−1， 所以，至少存在一个“n 倍区间”为[0,n 1m−1]， y =x 3在(−∞,+∞)是严格增函数，令x 3=10x 得x 1=0,x 2=√10,x 2=−√10，所以y =x 3有三个“10倍区间”：[−√10,0],[0,√10],[−√10,√10]．y=x23在[0,+∞)是严格增函数，在(−∞,0]是严格减函数，当x∈(−∞,0]时，x23≥0，所以不存在“10倍区间”，]．所以y=x23有1个“10倍区间”：[0,11000【解析】(1)先确定两个函数是否严格单调，若是，则设出区间，进而根据“2倍区间”的定义判断答案；(2)先假设函数存在“n倍区间“，进而根据“n倍区间”的定义证明问题；(3)先考虑函数y=x m，x∈[0,+∞)的情况，根据题意得到x m−n=n有两个非负解并解出，然后证明问题，进而求出两个函数的“10倍区间“．本题考查了函数与方程的综合应用，属于难题．。
2021-2022学年上海市闵行区高三(上)期末数学试卷(一模)(附详解)
2021-2022学年上海市闵行区高三（上）期末数学试卷（一模）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.“1x<1”是“x>1”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分也非必要条件2.若函数f(x)=3sinωx+4cosωx(0≤x≤π3,ω>0)的值域为[4,5]，则cosωπ3的取值范围为()A. [725,45] B. [725,35] C. [−725,45] D. [−725,35]3.已知平面α经过圆柱OO1的旋转轴，点A、B是在圆柱OO1的侧面上，但不在平面α上，则下列4个命题中真命题的个数是()①总存在直线l，l⊂α且l与AB异面；②总存在直线l，l⊂α且l⊥AB；③总存在平面β，AB⊂β且β⊥α；④总存在平面β，AB⊂β且β//α．A. 1B. 2C. 3D. 44.给定一组数据15、17、14、10、12、17、17、16、14、12，设这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则()A. a>b>cB. c>b>aC. c>a>bD. b>c>a5.若直线l的一个方向向量为(1,−3)，则l的法向量可以是()A. (−3,1)B. (−1,−3)C. (3,1)D. (1,3)6.已知实数x1、y1、x2、y2、x3、y3满足x12+y12=x22+y22=x32+y32=2，则x1y2、x2y3、x3y1三个数中，大于1的个数最多是()A. 0B. 1C. 2D. 37.在空间中，直线AB平行于直线EF，直线BC、EF为异面直线，若∠ABC=120°，则异面直线BC、EF所成角的大小为()A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°8. 设函数f(x)=2x −2−x +3|x|+1，x ∈R ，对于实数a 、b ，给出以下命题：命题p 1：a +b ≥0； 命题p 2：a −b 2≥0； 命题q ：f(a)+f(b)≥0． 下列选项中正确的是( )A. p 1、p 2中仅p 1是q 的充分条件B. p 1、p 2中仅p 2是q 的充分条件C. p 1、p 2都不是q 的充分条件D. p 1、p 2都是q 的充分条件二、单空题（本大题共24小题，共108.0分）9. 已知集合A ={x|x ≤2}，B ={1,3,5,7}，则A ∩B =______．10. 设x 、y ∈R ，a >0，b >0，若a x =b y =3，a +2b =2√6，则1x +1y 的最大值为______．11. (2+x)4的二项展开式中x 2的系数为______．12. 3位同学被推荐担任进博会3个指定展馆服务志愿者，每人负责1个展馆，每个展馆只需1位同学，则共有______种不同的安排方法．13. 已知点A 、B 在抛物线Γ：y 2=4x 上，点M 在Γ的准线上，线段MA 、MB 的中点均在抛物线Γ上，设直线AB 与y 轴交于点N(0,n)，则|n|的最小值为______．14. 设曲线C 与函数f(x)=√312x 2(0≤x ≤m)的图像关于直线y =√3x 对称，若曲线C 仍为某函数的图像，则实数m 的取值范围为______．15. 在复平面xOy 内，复数z 1、z 2所对应的点分别为Z 1、Z 2，对于下列四个式子：①z 12=|z 1|2；②|z 1⋅z 2|=|z 1|⋅|z 2|； ③OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=|OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2；④|OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |．其中恒成立的是______(写出所有恒成立式子的序号) 16. 已知双曲线x 2−y 26=1的左、右焦点为F 1、F 2，过F 1的直线l 与双曲线M 的左、右两支分别交于点A 、B.若△ABF 2为等边三角形，则△ABF 2的边长为______． 17. 若线性方程组的增广矩阵为(01c 111c 2)，解为{x =1y =1，则c 1−c 2=______．18. 在直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴正半轴，顶点为坐标原点．若角α的终边经过点(−3,4)，则sin(α+π)=______．19. 已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4、S 5、S 7∈{−10,0}，则S n 的最小值为______． 20. n →∞lim3n −2n 3n +1=______．21. 已知椭圆(n+1)x 24n+1+(n+2)y 2n+1=1的右焦点为F n (c n ,0)，其中n ∈N ∗，则n →∞limc n =______．22. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=3，a 9=27，则S 22=______． 23. 若(2x +ax )6的二项展开式中的常数项为−160，则实数a =______．24. 已知D =(10,t)，数列{a n }满足a n+12+a n 2=2(a n+1+1)(a n −1)+1，n ∈N ∗.若对任意正实数λ，总存在a 1∈D 和相邻两项a k 、a k+1，使得a k+1+λa k =0成立，则实数t 的最小值为______．25. 若函数f(x)=x 3−3的反函数为y =f −1(x)，则方程f −1(x)=0的根为______． 26. 函数y =∣∣∣sinx10cosx ∣∣∣的最小正周期为______． 27. 若点P(cosθ,sinθ)与点Q(cos(θ+π2),sin(θ+π2))关于直线3x −y =0对称，则tanθ=______．28. 已知复数z 的虚部为1，且|z|=2，则z 在复平面内所对应的点Z 到虚轴的距离为______．29. 已知集合A ={3,m}，B ={m,m +1}，若A ∩B ={4}，则A ∪B =______． 30. 某学校为落实“双减”政策，在每天放学后开设拓展课程供学生自愿选择，开学第一周的安排见如表．小明同学要在这一周内选择编程、书法、足球三门课，不同的选课方案共______种．31. 函数y =log 2(1−x 2)的定义域为______．32. 已知f(x)=1+ax −√1+ax 2，若对任意x ∈[0,√2]，f(x)≤0恒成立，则实数a 的取值范围为______．三、解答题（本大题共10小题，共152.0分）(x∈R)．33.已知函数f(x)=12x+1(1)求证：函数f(x)是R上的减函数；(2)已知函数f(x)的图像存在对称中心(a,b)的充要条件是g(x)=f(x+a)−b的图像关于原点中心对称，判断函数f(x)的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标；若不存在，说明理由；]及实数m，使得f(1−mx1)+f(x1x2)=1，(3)若对任意x1∈[1,n]，都存在x2∈[1,32求实数n的最大值．34.城市道路大多是纵横交错的矩形网格状，从甲地到乙地的最短路径往往不是直线距离，而是沿着网格走的直角距离．在直角坐标系xOy中，定义点A(x1,y1)、B(x2,y2)的“直角距离”d(A,B)为：d(A,B)=|x1−x2|+|y1−y2|.设M(1,1)、N(−1,−1)．(1)写出一个满足d(C,M)=d(C,N)的点C的坐标；(2)过点M、N作斜率为2的直线l1、l2，点Q、R分别是直线l1、l2上的动点，求d(Q,R)的最小值；(3)设P(x,y)，记方程d(P,M)+d(P,N)=8的曲线为Γ，类比椭圆研究曲线Γ的性质(结论不要求证明)，并在所给坐标系中画出该曲线．35.已知△ABC三个内角A、B、C对应边分别为a、b、c，a=4，cosB=−1．4(1)若sinA=2sinC，求△ABC的面积；(2)设线段AB的中点为D，若CD=√19，求△ABC外接圆半径R的值．36.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1=2．(1)求四棱锥A−BCC1B1的体积V；(2)求直线AB1与平面ACC1A1所成角的正切值．37.随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三笔费用：购置费、燃油费、养护保险费．某种型号汽车，购置费共20万元，购买后第1年燃油费共2万元，以后每一年都比前一年增加0.2万元．(1)若每年养护保险费均为1万元，设购买该种型号汽车n(n∈N∗)年后共支出费用为S n万元，求S n的表达式；(2)若购买汽车后的前6年，每年养护保险费均为1万元，由于部件老化和事故多发，第7年起，每一年的养护保险费都比前一年增加10%，设使用n(n∈N∗)年后年平均费用为c n，当n=n0时，c n最小．请你列出n>6时c n的表达式，并利用计算器确定n0的值(只需写出n0的值)．38.如图，圆锥的底面直径与母线长均为4，PO是圆锥的高，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点．(1)求该圆锥的体积；(2)求直线CD与平面PAB所成角的大小．39.如图，某飞行器研究基地E在指挥中心F的正北方向4千米处，小镇A在E的正西方向8千米处，小镇B在F的正南方向8千米处．已知一新型飞行器在试飞过程中到点F和到直线AE的距离始终相等，该飞行器产生一定的噪音污染，距离该飞行器1千米以内(含边界)为10级噪音，每远飞行器1千米，噪音污染就会减弱1级，直至0级为无噪音污染(飞行器的大小及高度均忽略不计)．(1)判断该飞行器是否经过线段EF的中点O，并判断小镇A是否会受到该飞行器的噪音污染？(2)小镇B受该飞行器噪音污染的最强等级为多少级？40. 将有穷数列{a n }中部分项按原顺序构成的新数列{b n }称为{a n }的一个“子列”，剩余项按原顺序构成“子列”{c n }.若{b n }各项的和与{c n }各项的和相等，则称{b n }和{c n }为数列{a n }的一对“完美互补子列”．(1)若数列{a n }为2，3，5，6，8，9，请问{a n }是否存在“完美互补子列”？并说明理由；(2)已知共100项的等比数列{a n }为递减数列，且a 1>0，公比为q.若{a n }存在“完美互补子列”，求证：12<q <1；(3)数列{a n }满足a n =n ，1≤n ≤m ，n ∈N ∗.设{a n }共有f(m)对“完美互补子列”，求证：当m =4k 和m =4k +3(k ∈N ∗)时，{a n }都存在“完美互补子列”且f(4k +3)≥3f(4k)．41. 如图，在平面直角坐标系中，F 1、F 2分别为双曲线Γ：x 2−y 2=2的左、右焦点，点D 为线段F 1O 的中点，直线MN 过点F 2且与双曲线右支交于M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2)两点，延长MD 、ND ，分别与双曲线Γ交于P 、Q 两点． (1)已知点M(3,√7)，求点D 到直线MN 的距离； (2)求证：x 1y 2−x 2y 1=2(y 2−y 1)；(3)若直线MN 、PQ 的斜率都存在，且依次设为k 1、k 2.试判断k 2k 1是否为定值，如果是，请求出k 2k 1的值；如果不是，请说明理由．42.已知x∈R，m⃗⃗⃗ =(2cosx,2√3sinx)，n⃗=(cosx,cosx)，(1)设f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗，求函数y=f(x)的解析式及最大值；(2)设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，当x=A时，m⃗⃗⃗ =a n⃗，且c=2√3，求△ABC的面积．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由1x <1解得：x >1或x <0， 所以{x|x >1}⊊{x|x >1或x <0}，所以“1x <1”是“x >1”的必要不充分条件， 故选：B ．由1x <1解得：x >1或x <0，所以{x|x >1}⊊{x|x >1或x <0}，进而可以得出结论． 本题考查了四个条件的应用，涉及到解不等式问题，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：因为函数f(x)=3sinωx +4cosωx =5sin(ωx +φ)，其中sinφ=45，cosφ=35，0<φ<π2． 令t =ωx +φ，得g(t)=5sint ，因为ω>0，0≤x ≤π3，所以φ≤t ≤π3ω+φ， 又因为g(φ)=4，且0<φ<π2，所以g(π−φ)=4，g(π2)=5， 所以π2≤π3ω+φ≤π−φ，即π2−φ≤π3ω≤π−2φ． 当0<π2−φ≤x ≤π−2φ<π时，y =cosx 单调递减．因为cos(π2−φ)=sinφ=45，cos(π−2φ)=−cos2φ=sin 2φ−cos 2φ=1625−925=725， 所以cosωπ3的取值范围是[725,45].故选：A ．利用辅助角公式化函数f(x)为正弦型函数，设t =ωx +φ，根据ω、x 的取值范围，求出φ、ω的取值范围，再根据余弦函数的性质求得cosωπ3的取值范围．本题考查了三角函数的单调性、不等式的性质、转化方法，也考查了推理与计算能力，是中档题．【解析】解：对于①，当A，B同侧时，平面α和圆柱在底面上的交线与AB是异面的；当A，B异侧时，平面α和圆柱在侧面上的交线与AB是异面的，故①正确；对于②，当A，B同侧时，平面α和圆柱在底面上的交线与AB是垂直的；当A，B异侧时，直线O1O2⊥AB，故②正确；对于③，无论A，B同侧，还是异侧，若β为过AB的圆柱轴截面，则β⊥α，故③正确；对于④，当A，B异侧时，直线AB与平面α相交，不可能存在β//α，故④错误．故选：C．分A，B两点在平面α的同侧还是异侧，进行讨论，即可求出结果．本题考查空间中线与面的位置关系，考查分类讨论思想、空间立体感和推理论证能力，属于中档题．4.【答案】B【解析】解：该组数据从小到大排列为10、12、12、14、14、15、16、17、17、17，×(10+12+12+14+14+15+16+17+17+计算这组数据的平均数为a=11017)=14.4，×(14+15)=14.5，中位数为b=12众数为c=17，所以c>b>a．故选：B．把这组数据从小到大排列，再求出它们的平均数、中位数和众数，比较大小即可．本题考查了平均数、中位数和众数的计算问题，是基础题．【解析】解：直线l的一个方向向量为a⃗=(1,−3)，由于直线l的法向量与直线的方向向量之间存在v⃗⋅a⃗=0，故当v⃗=(3,1)时，满足条件．故选：C．直接利用直线的方向向量和法向量之间的关系求出结果．本题考查的知识要点：直线的方向向量和直线的法向量之间的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：根据题意，x12+y12=x22+y22=x32+y32=2，则有x12+y12+x22+y22+x32+y32=x12+y22+x22+y32+x32+y12=6，又由x12+y22≥2x1y2，x22+y32≥2x2y3，x32+y12≥2x3y1，则有2(x1y2+x2y3+x3y1)≤6，即x1y2+x2y3+x3y1≤3，当且仅当x1=y1=x2= y2=x3=y3=1时等号成立，故x1y2、x2y3、x3y1三个数中，不能三个都大于1，当x1=√62，y1=√22，x2=1，y2=1，x3=√22，y3=√62时，x1y2、x2y3、x3y1三个数中，有2个大于1，故三个数中，最多有2个大于1，故选：C．根据题意，分析可得x12+y12+x22+y22+x32+y32=x12+y22+x22+y32+x32+y12=6，由基本不等式的性质变形分析可得x1y2+x2y3+x3y1≤3，由此分析可得三个数不能都大于1，举出例子可得可以有2个数大于1，即可得答案．本题考查合情推理的应用，涉及不等式的性质以及应用，属于基础题，7.【答案】B【解析】解：如图，∵直线BC、EF为异面直线，且直线AB平行于直线EF，∴AB与BC所成角即为异面直线BC、EF所成角，∵∠ABC=120°，且异面直线所成角的范围是(0°,90°]，∴异面直线BC、EF所成角的大小为60°．故选：B．由已知利用异面直线所成角的定义结合异面直线所成角的范围得答案．本题考查异面直线所成角的定义，是基础题．8.【答案】D【解析】解：令f(x)=g(x)+ℎ(x)，g(x)=2x−2−x，ℎ(x)=3|x|+1,x∈R，g(x)是奇函数，在R上单调递增，ℎ(x)是偶函数，在(−∞,0)单调增，在(0,+∞)单调减，且ℎ(x)>0，f(a)+f(b)≥0⇒f(a)≥−f(b)，即g(a)+ℎ(a)≥−g(b)−ℎ(b)，即g(a)+ℎ(a)≥g(−b)+[−ℎ(b)]，①当a+b≥0时，a≥−b，故g(a)≥g(−b)，又ℎ(x)>0，故ℎ(a)>−ℎ(b)，∴此时f(a)+f(b)≥0，可得p1是q的充分条件；②当a−b2≥0时，则有：a≥0，−√a≤b≤√a，−√a≤−b≤√a，(i)当a≥1时，a≥√a，则−b≤a，故g(a)≥g(−b)；此时，ℎ(a)>0，−ℎ(b)<0，∴ℎ(a)>−ℎ(b)，∴f(a)+f(b)≥0成立；(ii)当a=0时，b=0，f(0)+f(0)=6≥0成立，即f(a)+f(b)≥0成立；(iii)∵g(x)在R上单调递增，ℎ(x)在(−∞,0)单调递增，∴f(x)=g(x)+ℎ(x)在(−∞,0)单调递增，∵f(−1)=0，∴f(x)>0在(−1,0)上恒成立；又∵x≥0时，g(x)≥0，ℎ(x)>0，∴f(x)>0在[0,+∞)上恒成立，∴f(x)>0在(−1,+∞)恒成立，故当0<a<1时，a<√a<1，−1<−√a≤b≤√a<1，∴f(a)>0，f(b)>0，∴f(a)+f(b)≥0成立．综上所述，a−b2≥0时，均有f(a)+f(b)≥0成立，∴p2是q的充分条件．故选：D．令f(x)=g(x)+ℎ(x)，g(x)=2x−2−x，ℎ(x)=3|x|+1,x∈R，g(x)是奇函数，在R上单调递增，ℎ(x)是偶函数，在(−∞,0)单调增，在(0,+∞)单调减，且ℎ(x)>0，根据这些信息即可判断．本题的关键是将函数f(x)拆成一个奇函数和一个函数值始终为正数的偶函数之和，考查对函数基本性质的掌握与熟练运用．9.【答案】{1}【解析】解：∵集合A={x|x≤2}，B={1,3,5,7}，∴A∩B={1}．故答案为：{1}．利用交集定义直接求解．本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】1【解析】解：∵a x=b y=3，∴x=log a3，y=log b3，∴1x =log3a，1y=log3b，∴1x +1y=log3a+log3b=log3ab，∵2ab≤(a+2b2)2=6，∴ab≤3，故ab的最大值为3，当且仅当a=2b=√6时，等号成立，故1x +1y=log3ab≤log33=1，故1x +1y的最大值为1，故答案为：1．由a x=b y=3化简得1x+1y=log3ab，再由基本不等式可得2ab≤(a+2b2)2=6，从而可得ab≤3，从而确定最大值．本题考查了对数式与指数式的互化，对数函数的单调性及基本不等式在求最值中的应用，同时考查了整体思想与转化思想的应用，属于中档题．11.【答案】24【解析】解：由于(2+x)4的二项展开式的通项公式为T r+1=C4r⋅24−r⋅x r，令r=2，∴展开式中x2的系数是：22⋅C42=24，故答案为：24．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的x2的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．12.【答案】6【解析】解：根据题意，3位同学被推荐担任进博会3个指定展馆服务志愿者，每人负责1个展馆，每个展馆只需1位同学，是排列问题，有A33=6种安排方法，故答案为：6．根据题意，由排列数公式计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．13.【答案】2√2【解析】解：设A(y 124,y 1)，B(y 224,y 2)，由抛物线的方程可得焦点F(1,0)，准线方程为x =−1，设M(−1,m)， 则MA ，的中点P(y 124−12,y 1+m 2)，即P(y 12−48,y 1+m 2)，因为P 在抛物线Γ上，所以(y 1+m 2)2=4⋅y 12−48，整理可得y 12−2my 1−m 2−8=0， 同理可得y 22−2my 2−m 2−8=0，所以y 1，y 2为方程y 2−2my −m 2−8=0的两根， 所以y 1+y 2=2m ，y 1y 2=−m 2−8， 因为准线AB 与y 轴交于(0,n)，所以m ≠0， 所以k AB =y 1−y 2y 124−y 224=4y1+y 2=2m ，所以直线AB 的方程为：y −y 1=2m (x −y 124)，令x =0，可得y =y 1−y 122m，因为直线AB 与y 轴交于(0,n)， 所以n =y 1−y 122m①， 同理n =y 2−y 222m②，所以①+②可得2n =y 1+y 2−y 12+y 222m=(y 1+y 2)−(y 1+y 2)2−2y 1y 22m=2m −4m 2−2(−m 2−8)2m=−m 2−4m ，因为对勾函数的y =x2+4x 的取值范围为(−∞,−2√2]∪[2√2,+∞)， 所以|n|min =2√2． 故答案为：2√2．设A ，B 的坐标，M 的坐标，可得MA 的中点P 的坐标，将P 的坐标代入抛物线的方程，可得A 的横纵坐标的关系，同理可得B 的横纵坐标的关系，进而可得A ，B 的坐标满足的二次方程，求出两根之和及两根之积，再求直线AB 的方程，可得在y 轴上N 的纵坐标n 的表达式，换元，由对勾函数的最值可得|n|的最小值．本题考查直线与抛物线的综合应用，对勾函数的最值的求法，换元法的应用，属于中档题．14.【答案】(0,2]【解析】解：设l 是函数f(x)=√312x 2(0≤x ≤m)在点M(m,√312m 2)的切线，因为曲线C 与函数f(x)=√312x 2(0≤x ≤m)的图像关于直线y =√3x 对称，所以直线l 关于y =√3x 对称后的直线方程必为x =a ，曲线C 才能是某函数的图像， 如图所示，直线y =√3x 与x =a 的夹角为30°，所以直线l 的倾斜角为30°，则直线l 的方程为l ：y =√33(x −m)+√312m 2，联立方程组{y =√33(x −m)+√312m 2y =√312x 2，可得x 2−4x +4m −m 2=0，则Δ=16−16m +4m 2=0，解得m =2， 由图像可得，0<m ≤2， 所以实数m 的取值范围为(0,2]． 故答案为：(0,2]．设l 是函数f(x)=√312x 2(0≤x ≤m)在点M(m,√312m 2)的切线，则直线l 关于y =√3x 对称后的直线方程必为x =a ，曲线C 才能是某函数的图像，联立方程组结合函数的图像，分析求解即可．本题考查了直线与抛物线位置关系的应用，反函数定义的理解与应用，函数与方程的综合应用，考查了逻辑推理能力与数形结合法的理解与应用，属于中档题．15.【答案】②③【解析】解：设z 1=a +bi ，z 2=c +di ，则Z 1(a,b)，Z 2(c,d)，对于①，z 12=a 2+b 2+2abi ，|z 1|2=a 2+b 2，∴z 12≠|z 1|2，故A 错误；对于②，z 1⋅z 2=(ac −bd)+(bc +ad)i ，|z 1⋅z 2|=√(ac −bd)2+(bc +ad)2=√a 2c 2+b 2c 2+a 2d 2+b 2d 2， |z 1|⋅|z 2|=√a 2+b 2⋅√c 2+d 2=√a 2c 2+b 2c 2+a 2d 2+b 2d 2， ∴|z 1⋅z 2|=|z 1|⋅|z 2|，故②正确；对于③，OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b)，∴OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=a 2+b 2，|OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2=a 2+b 2，故③正确； 对于④，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c,d)，∴OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ac +db ， ∴|OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(ac +bd)2=√a 2c 2+b 2d 2+2acbd ，|OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√a 2+b 2⋅√c 2+d 2=√a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2， ∴|OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≠|OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，故D 错误． 故答案为：②③．设z 1=a +bi ，z 2=c +di ，则Z 1(a,b)，Z 2(c,d)，利用复数的乘法运算法则和复数的模判断①②；利用向量数量积公式和向量的模判断③④．本题考查命题真假的判断，考查复数的乘法运算法则和复数的模、向量数量积公式和向量的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】4【解析】解：如图，设△ABF 2的边长为r ，|AF 1|=m ， 因为△ABF 2为等边三角形，所以|AB|=|AF 2|=|BF 2|=r ，由双曲线的方程知a =1,b =√6，所以由双曲线的定义得|AF 2|−|AF 1|=2，|BF 1|−|BF 2|=2， 即r +m −r =2，r −m =2，解得r =4，m =2． 所以△ABF 2的边长为4． 故答案：4．根据题意，结合双曲线的定义求解即可． 本题主要考查双曲线的性质，属于基础题．17.【答案】−1【解析】解：∵线性方程组的增广矩阵为(01c 111c 2)，解为{x =1y =1，∴{y =c 1x +y =c 2，∴{c 1=1c 2=2，则c 1−c 2=1−2=−1． 故答案为：−1．利用增广矩阵及线性方程组的解能求出结果．本题考查代数式求和，考查增广矩阵及线性方程组的解等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．18.【答案】−45【解析】解：因为直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴正半轴，顶点为坐标原点．若角α的终边经过点(−3,4)，所以x =−3，y =4，r =√(−3)2+42=5， 所以sin(α+π)=−sinα=− y r=−45．故答案为：−45．由已知利用任意角的三角函数及诱导公式即可求解．本题主要考查了任意角的三角函数的定义及诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．19.【答案】−12【解析】解：S n 取得最小值，则公差d >0，a 4=−10或a 4=0． (1)当a 4=0,d >0,S 7=a 1+a 72×7−7a 4=0,S 5=5a 3=−10，⇒a 1+3d =0，5a 1+10d =−10，⇒a 1=−6，d =2>0，a n =2n −8，a n =2n −8≤0⇒n ≤4， 所以S n 的最小值为S 4=4a 1+6d =−24+12=−12． (2)当a 4=−10,d >0,S 7=a 1+a 72×7=7a 4=−70，不合题意．综上所述：a 4=0，S 5=−10，S 7=0，S n 的最小值为−12． 故答案为：−12．对a 4的值进行分类讨论，结合等差数列前n 项和最值的求法求得S n 的最小值． 本题考查等差数列的前n 项和，考查学生的运算能力，属于中档题．20.【答案】1【解析】解：n →∞lim3n −2n 3n +1=n →∞lim1−(23)n1+13n=1−01+0=1．故答案为：1．直接利用数列极限的运算法则，化简求解即可． 本题考查数列极限的运算法则的应用，是基础题．21.【答案】√3【解析】解：椭圆(n+1)x 24n+1+(n+2)y 2n+1=1化为标准方程可得x 24n+1n+1+y 2n+1n+2=1，所以a 2=4n+1n+1,b 2=n+1n+2，则c 2=a 2−b 2=4n+1n+1−n+1n+2=3+1n+2−3n+1，当n →+∞时，1n+1→0，3n+1→0，所以n →∞limc n 2=3，又右焦点为F n (c n ,0)， 则c n >0，所以n →∞limc n =√3． 故答案为：√3．先将椭圆的方程化为标准方程，求出c 2，然后利用极限的思想求出n →∞limc n 2=3，即可求得答案．本题考查了椭圆方程的理解与应用，椭圆焦点坐标的理解与应用，极限思想的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．22.【答案】759【解析】解：由题意可得，a 9=a 1+8d ， ∵a 1=3，a 9=27， ∴d =3，∴a 22=a 1+21d =3+21×3=66， ∴S 22=22×(a 1+a 22)2=22×(3+66)2=759．故答案为：759．根据已知条件，结合等差数列的通项公式，求出公差d ，再结合等差数列的前n 项和公式，即可求解．本题主要考查等差数列的前n 项和公式，属于基础题．23.【答案】−1【解析】解：根据二项式的展开式：T r+1=C 6r⋅(2x)6−r ⋅(ax )r ， 当r =3时，C 63⋅23⋅a 3=−160，解得：a =−1． 故答案为：−1．直接利用二项展开式的应用和组合数的应用求出结果．本题考查的知识要点：二项展开式，组合数的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．24.【答案】11【解析】解：a n+12+a n 2=2(a n+1+1)(a n −1)+1=2a n+1a n −2a n+1+2a n −1， 即为a n+12+a n 2−2a n+1a n +2a n+1−2a n +1=0，即(a n+1−a n )2+2(a n+1−a n +)+1=0， 即为(a n+1−a n +1)2=0，所以a n+1−a n +1=0，即a n+1−a n =−1， 所以{a n }是首项为a 1，公差为−1的等差数列， 则a n =a 1−(n −1)=a 1−n +1，a k+1=a k −1， a k+1+λa k =0即为a k −1+λa k =0， 所以a k =11+λ，由于λ>0，则1+λ>1，可得0<a k <1， 因为ak =a1−k +1，所以0<a1−k +1<1， 即k −1<a 1<k ，因为总存在a 1∈(10,t)，使得a k+1+λa k =0成立， 即(k −1,k)⊆(10,t)， 所以k −1≥10，即k ≥11， 又t ≥k ，所以t 的最小值为11． 故答案为：11．由已知数列的递推式化简可得a n+1−a n =−1，再由等差数列的通项公式和恒成立思想，解不等式可得所求最小值．本题考查等差数列的通项公式和运用，以及恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．25.【答案】−3【解析】解：∵y =f(x)=x 3−3， ∴x =√y +33，将x 与y 对调可得，y =f −1(x)=√x +33， ∵f −1(x)=0， ∴x =−3． 故答案为：−3．根据已知条件可得，x =√y +33，将x 与y 对调可得，y =f −1(x)=√x +33，即可求解．本题主要考查反函数的求解，考查计算能力，属于基础题．26.【答案】π【解析】解：∵y=∣∣∣sinx10cosx∣∣∣=sinx⋅cosx−0×1=12sin2x，∴y的最小正周期T=2π2=π．故答案为：π．根据已知条件，结合行列式的计算公式可得，y=12sin2x，再结合正弦函数的周期公式，即可求解．本题主要考查行列式的计算公式，以及正弦函数的周期公式，属于基础题．27.【答案】12【解析】解：点Q(cos(θ+π2),sin(θ+π2))，即Q(−sinθ,cosθ)，因为点P(cosθ,sinθ)与Q(−sinθ,cosθ)关于直线3x−y=0对称，所以{cosθ−sinθ−sinθ−cosθ=−133⋅cosθ−sinθ2−sinθ+cosθ2=0，解得tanθ=12．故答案为：12．利用点关于直线的对称点，列出关系式，由同角三角函数关系求解即可．本题考查了点关于直线的对称点的理解与应用，三角函数诱导公式以及同角三角函数关系的运用，考查了逻辑推理能力，属于中档题．28.【答案】√3【解析】解：设z=a+i(a∈R)，由|z|=2，得√a2+1=2，解得a=±√3．∴z在复平面内所对应的点Z到虚轴的距离为|a|=√3．故答案为：√3．由题意设z=a+i(a∈R)，再由|z|=2求解a值得答案．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．29.【答案】{3,4,5}【解析】解：因为集合A={3,m}，B={m,m+1}，若A∩B={4}，所以4∈A，则m=4，所以A={3,4}，B={4,5}，所以A∪B={3,4,5}．故答案为：{3,4,5}．由A∩B={4}，可得4∈A，从而可求得m的值，从而可求得集合A，B，再由并集运算求解即可．本题主要考查交集和并集的运算，考查运算求解能力，属于基础题．30.【答案】15【解析】解：由表可知周一至周五都可选足球，周二和周三可选编程，周三、周四和周五可选书法，故可分两类：当周二选编程，则书法有C31种选法，足球有C31种选法，共有C31×C31=9种选法，当周三选编程，则书法有C21种选法，足球有C31种选法，共有C21×C31=6种选法，再由分类加法计数原理可得不同的选课方案共有9+6=15种．故答案为：15．由表可知分周二选编程和周三选编程两类，由分步乘法计数原理及分类加法计数原理即可求解．本题主要考查简单计数原理问题以及分类讨论思想的应用，属于基础题．31.【答案】(−1,1)【解析】解：要使原函数有意义，则1−x2>0，即−1<x<1．∴函数y=log2(1−x2)的定义域为(−1,1)．故答案为：(−1,1)．由对数式的真数大于0求解一元二次不等式得答案．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．32.【答案】[1−√2,0]【解析】解：∵对于任意的x ∈[0,√2]，f(x)≤0恒成立， ∴{f(0)≤0f(√2)≤0，解得1−√2≤a ≤0．又当1−√2≤a ≤0时，1+ax 2>0，∴对于任意的x ∈[0,√2]，f(x)≤0恒成立，等价于√1+ax 2≤1在x ∈[0,√2]上恒成立， 令g(x)=√1+ax 2，x ∈[0,√2]， 则只需g(x)max ≤1即可． ∵g′(x)=(1+ax 2)√1+ax 2，且a ≤0，∴g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,√2)上单调递增， ∴g(x)max =max{g(0),g(√2)}，由g(0)≤1，g(√2)≤1，解得a ∈[1−√2,0]． 依题意，{f(0)≤0f(√2)≤0，解得1−√2≤a ≤0⇒1+ax >0，对于任意的x ∈[0,√2]，f(x)≤0恒成立⇔√1+ax 2≤1≤1在x ∈[0,√2]上恒成立，令g(x)=√1+ax 2，x ∈[0,√2]，求导，分析可得g(x)max =max{g(0),g(√2)}，由g(0)≤1，g(√2)≤1，可求得实数a 的取值范围．本题考查利用导数研究函数的最值，考查构造法与函数恒成立问题的求解，突出考查转化与化归思想、函数与方程思想的综合运用，考查逻辑推理能力与运算能力，属于难题．33.【答案】(1)证明：设x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=11+2x 1−11+2x 2=2x 2−2x 1(1+2x 1)(1+2x 2)>0，所以f(x 1)>f(x 2)， 所以f(x)在R 上单调递减；(2)解：假设函数f(x)的图像存在对称中心(a,b)， 则g(x)=f(x +a)−b =11+2x−a −b 的图象关于原点对称， 则g(−x)+g(x)=11+2a−x +11+2a+x −2b =0恒成立，整理得(1−2b)(2a+x +2a−x )+2−2b −2b ⋅22a =0恒成立， 所以{1−2b =02−2b −2b ⋅22a =0，解得a =0，b =12，故函数f(x)的对称中心为(0,12)；(3)解：因为对任意x 1∈[1,n]，都存在x 2∈[1,32]及实数m ，使得f(1−mx 1)+f(x 1x 2)=1， 所以11+21−mx 1+11+2x 1x 2=1， 即21−mx 1+x 1x 2=0， 所以1−mx 1+x 1x 2=0， 所以x 2=m −1x 1，因为x 1∈[1,n]，所以m −1x 1∈[m −1,m −1n ]，因为x 2∈[1,32]，所以[m −1,,m −1n ]⊆[1,32]， 所以{m −1≥1m −1n≤32，即{m ≥21n≥m −32，所以1n ≥(m −32)min =12， 所以n ≤2，即n 的最大值为2．【解析】(1)先设x 1<x 2，然后利用作差法比较f(x 1)与f(x 2)的大小即可判断； (2)结合函数的对称性及恒成立问题可建立关于a ，b 的方程，进而可求a ，b ； (3)由已知代入整理可得x 1，x 2的关系，然后结合恒成立可求m 的范围，进而可求． 本题主要考查了函数的单调性，对称性的应用，还考查了不等式的恒成立问题求解参数范围，属于中档题．34.【答案】解：(1)设C 点的坐标为C(x 0,y 0)，若d(C,M)=d(C,N)，所以|x 0−1|+|y 0−1|=|x 0+1|+|y 0+1|，所以C 点在直线y =−x 上，故(0,0)满足要求． (2)由题可知，l 1：y =2x −1，l 2：y =2x +1， 因此Q(x 1,2x 1−1)，R(x 2,2x 2+1)，所以d(Q,R)=|x 1−x 2|+|(2x 1−1)−(2x 2+1)|=|x 1−x 2|+2|x 1−x 2−1|， 令x 1−x 2=t ，则d(Q,R)=|t|+2|t −1|， 所以d(Q,R)={−3t +2,t <0−t +2,0≤t <13t −2,t ≥1，所以当t =1时，d(Q,R)取得最小值1． (3)因为d(P,M)+d(P,N)=8，所以|x−1|+|x+1|+|y−1|+|y+1|=8，所以，类比椭圆的几何性质，曲线Γ的性质的性质有：对称性：曲线Γ即是以x轴、y轴为对称轴的对称图形，也是以原点为对称中心的中心对称图形：顶点：(±3,±1)，(±1,±3)范围：−3≤x≤3，−3≤y≤3．【解析】(1)根据题意设C(x0,y0)，进而代入(0,0)检验即可得答案；(2)由题设Q(x1,2x1−1)，R(x2,2x2−1)，进而得d(Q,R)=|x1−x2|+2|x1−x2−1|，故令x1−x2=t得d(Q,R)={−3t+2,t<0−t+2,0≤t<13t−2,t≥1，再求函数的最值即可得答案；(3)根据题意，作出图像，结合图像研究性质即可．本题考查归纳推理，及两点间的距离公式，考查学生的运算能力，属于中档题．35.【答案】解：(1)因为sinA=2sinC，所以a=2c，又a=4，所以c=2，因为cosB=−14，所以sinB=√1−cos2B=√154，所以△ABC的面积S=12acsinB=12×4×2×√154=√15．(2)因为线段AB的中点为D，若CD=√19，在△BCD中，由余弦定理可得19=16+BD2−2×4×BD×(−14)，整理可得BD2+2BD−3=0，解得BD=1或−3(舍去)，所以c=AB=2，在△ABC中，由余弦定理可得b=√a2+c2−2accosB=√4+16−2×4×2×(−14)= 2√6，所以由正弦定理可得△ABC外接圆半径R=b2sinB=2√62×√154=4√105．【解析】(1)由正弦定理化简已知等式可得a=2c，可求c的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．(2)由已知在△BCD中，利用余弦定理可得BD2+2BD−3=0，解得BD的值，可求c=2，在△ABC中，由余弦定理可得b的值，进而利用正弦定理可得△ABC外接圆半径R的值．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．36.【答案】解：因为直三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，所以CC1⊥AC，CC1⊥BC，因为AC⊥BC，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1，因为AC=BC=CC1=2，所以S BCC1B1=4，四棱锥A−BCC1B1的体积V=13×S BCC1B1⋅AC=13×4×2=83；(2)因为直三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，所以CC1⊥BC，因为AC⊥BC，AC∩CC1=C，所以BC⊥平面ACC1A1，因为在直三棱柱ABC−A1B1C1中，BC//B1C1，所以B1C1⊥平面ACC1A1，则∠B1AC1是直线AB1与平面ACC1A1所成角，所以tan∠B1AC1=B1C1AC1=2√2=√22，所以直线AB1与平面ACC1A1所成角的正切值为√22．【解析】(1)根据题意得AC⊥平面BCC1B1，进而根据体积公式计算可得；(2)由题意可证C1B1⊥平面ACC1A1，进而∠C1AB1是直线AB1与平面ACC1A1所成的角，再计算即可得答案．本题考查空间几何体的体积问题和线面角的求法，属中档题．37.【答案】解：(1)∵购买后第1年燃油费共2万元，以后每一年都比前一年增加0.2万元，∴购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为2，公差为0.2，∴购买该种型号汽车第n(n∈N∗)年的燃油费用为a n=0.2n+1.8，∴购买该种型号汽车第n(n∈N∗)年的燃油总费用为n(0.2n+1.8+2)2=n210+1910n，∵每年养护保险费均为1万元，购置费共20万元，∴购买该种型号汽车n(n∈N∗)年后共支出费用为S n=n210+1910n+n+20=n210+29n10+20．(2)当n>6时，每一年的养护保险费都比前一年增加10%，故从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为1.1，公比为1.1，∴从第七年起，第n(n∈N∗,n>6)年的养护保险费用为1.1n−6，n∈N∗，∴购买该种型号汽车n(n∈N∗,n>6)年后，养护保险费为6+1.1×(1−1．1n−6)1−1.1= 10×1.1n−5−5，∴当n>6时，使用n(n∈N∗)年后，养护保险费的年平均费用cn =10×1．1n−5−5n,n>6，经计算器计算可得n0=7时，c n最小．【解析】(1)由已知条件可得，购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为2，公差为0.2，故购买该种型号汽车第n(n∈N∗)年的燃油费用为a n=0.2n+1.8，再结合等差数列的前n项和公式，即可求解．(2))当n>6时，每一年的养护保险费都比前一年增加10%，故从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为1.1，公比为1.1，从第七年起，第n(n∈N∗,n>6)年的养护保险费用为1.1n−6，n∈N∗，再结合等比数列的前n项和公式可得，c n=10×1．1n−5−5n,n>6，经计算器计算可得n0=7时，c n最小．本题主要考查函数的实际应用，掌握等差数列，等比数列的公式是解本题的关键，属于中档题．38.【答案】解：(1)由题意可得，OB=2，PB=4，所以OP=√PB2−OB2=2√3，故圆锥的体积为V=13πr2ℎ=13π×22×2√3=8√33π；(2)因为PO是圆锥的高，则PO⊥平面AOC，又OC⊂平面AOC，则OC⊥OP，因为点C是底面直径AB所对弧的中点，所以OC⊥AO，又AO∩OP=O，AO，OP⊂平面PAB，故OC⊥平面PAC，所以∠CDO即为直线CD与平面PAB所成的角，因为D为Rt△PAO斜边的中线，所以OD=12PA=2，又OC=2，所以tan∠CDO=OCOD =22=1，又0°≤∠CDO≤90°，故∠CDO=45°．故直线CD与平面PAB所成角的大小为45°．【解析】(1)由勾股定理求出圆锥的高OP，然后由体积公式求解即可；(2)先证明OC⊥平面PAC，利用线面角的定义得到∠CDO即为直线CD与平面PAB所成的角，在三角形中，由边角关系求解即可．本题考查了圆锥体积的求解，线面角的求解，线面垂直的判定定理和性质的应用，解题的关键是确定直线与平面所成的角，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．39.【答案】解：(1)O点为EF中点，则OE=OF，其中OE长正好为O到AE的距离，满足到F点和到AE距离相等的条件，。
2021-2022学年上海市杨浦区高一上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年上海市杨浦区高一上学期期末数学试题一、单选题1．设0a >，下列计算中正确的是（ ） A ．4334a a a ⋅= B ．4334a a a ÷=C ．4334a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．4334a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C【分析】由指数的运算逐一判断即可. 【详解】443325334412a a aa +⋅==，43437343412a a aa--÷==，43433434a a a ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭，4343314341a aa a-⎛⎫⨯- ⎪-⎝⎭⎛⎫===⎪⎝⎭故选：C 2．若a b >且11a b>，则下列不等式中正确的是（ ） A ．0a b +> B ．0a b +< C ．0ab > D ．0ab <【答案】D【分析】利用作差法可得出结果.【详解】因为a b >，则0a b ->，110b aa b ab--=>，所以，0ab <，故有0b a <<，无法判断a b +与0的大小关系. 故选：D.3．若()()11222log 4log 21x x ->+，则实数x 的取值范围是（ ） A ．12x << B ．3x <-或1x >C ．22x -<<D ．122x -<<【答案】A【分析】根据对数函数单调性即可求解.【详解】解：由题意得：2242121040x x x x ⎧-<+⎪+>⎨⎪->⎩，解得：12x <<，故选：A.4．已知函数2,(),x x af x x x a ⎧≥=⎨-<⎩若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),0-∞B ．()0,∞+C ．(),1-∞D ．()1,+∞【答案】B【分析】在同一坐标系中，作出指数函数2x y =，y x =-根据函数()f x 存在零点，利用数形结合法求解. 【详解】如图所示：指数函数20x y =>，没有零点，y x =-有唯一的零点0x ＝，所以若函数()f x 存在零点，须()()f x x x a =-<有零点，即()0,a ∈-∞， 所以0a >， 故选：B.【点睛】本题主要考查函数的零点，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题. 二、填空题5．已知全集为R ，集合()1,A =+∞，则A =__________. 【答案】(],1-∞【分析】直接利用补集的定义求解即可 【详解】因为全集为R ，集合()1,A =+∞， 所以A =(],1-∞，故答案为：(],1-∞ 6．函数y =_________ ． 【答案】()1,-+∞【解析】【详解】试题分析：函数满足10x +>，即函数定义域为()1,-+∞ 【解析】求函数定义域7．集合{}1,2,3的子集个数为________． 【答案】8【分析】根据子集定义，用列举法列出所有子集，或是利用子集个数的计算公式可计算子集个数．【详解】方法一、列举法{}{}{}{}{}{}{},1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3φ ，共8个．方法二、一个集合中元素个数为n 时，其子集个数为2n ，所以集合{}1,2,3的子集个数为8． 【点睛】本题考查了集合子集个数的计算方法，属于基础题． 8．已知lg5a =，用a 表示lg 20=__________. 【答案】2a -【分析】直接利用对数的运算性质求解 【详解】因为lg5a =， 所以100lg 20lglg100lg525a ==-=-， 故答案为：2a -9．不等式339x x ->的解集是_____________. 【答案】(),1-∞【分析】化为同底数幂，然后利用指数函数的单调性求解 【详解】由339x x ->，得3233x x ->， 所以32x x ->，解得1x <， 所以不等式的解集为(),1-∞， 故答案为：(),1-∞10．命题“若1x >，则1≥x ”是____________命题（填“真”或“假”其中一个）. 【答案】真【分析】直接利用两数集的关系判断即可【详解】因为当1x >时，1≥x 一定成立， 所以此命题为真命题， 故答案为：真11．里氏震级M 的计算公式为：0lg lg M A A =-，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，0A 是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_________级.【答案】6【分析】将1000A =，00.001A =代入等式0lg lg M A A =-计算即可得解. 【详解】将1000A =，00.001A =代入等式0lg lg M A A =-得6lg1000lg 0.001lg106M =-==.故答案为：6.12．已知方程2240x x +-=的两个根为12x x 、，则2212x x +的值为________.【答案】12【分析】利用韦达定理即可求解.【详解】解：由韦达定理得122x x +=-，124x x ⋅=-，所以()()222121212242412x x x x x x +=+-⋅=-⨯-=. 故答案为：12.13．已知a ∈R 、b ∈R ，函数()[]223,1,y x a x x b a =+--∈-是偶函数，则a b +=_________.【答案】5【分析】根据偶函数的性质进行求解即可.【详解】因为该函数是偶函数，所以定义域必须关于原点对称，因此有10b a -+=， 设2()(2)3f x x a x =+--，由偶函数的性质可知：22()()()(2)3(2)3(2)020f x f x x a x x a x a x a -=⇒----=+--⇒-=⇒-=2a ⇒=，因此12035b b a b -+=⇒=⇒+=，故答案为：5 14．函数21y 2x =-的值域是_____________. 【答案】()1,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭【分析】先求得22x -的取值范围，再求得函数21y 2x =-的值域. 【详解】解：由于222x -≤，所以2102x <-或21122x ≥-， 所以21y 2x =-的值域为()1,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭. 故答案为：()1,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭.15．已知m ∈R ，“不等式 56x m x -++≥对任意x ∈R 恒成立”的一个充分非必要条件是_____________.【答案】[1,)+∞（答案不唯一）【分析】先利用绝对值三角不等式得5()(5)5x m x x m x m -++≥--+=+，转化为56m +≥，解不等式求出使不等式恒成立的充要条件，从而可求出一个使其成立的充分非必要条件【详解】因为5()(5)5x m x x m x m -++≥--+=+， 所以56m +≥，解得11m ≤-或m 1≥，所以“不等式 56x m x -++≥对任意x ∈R 恒成立”的一个充分非必要条件是(][),111,-∞-+∞的任意一个真子集即可，所以可以是[1,)+∞，故答案为：[1,)+∞（答案不唯一）16．设a 为实数，若关于x 的一元一次不等式组20360x a x a +>⎧⎨-<⎩的解集中有且仅有4个整数，则a 的取值范围是____________. 【答案】322⎛⎤⎥⎝⎦， 【分析】求得不等式组的解集为,22a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则0一定为不等式组的一个整数解，分不等式的4个整数解为0，1，2，3和不等式的4个整数解为1,012-,,两种情况讨论，即可得出答案.【详解】解：关于x 的一元一次不等式组20360x a x a +>⎧⎨-<⎩的解集为,22a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则0a >，故0一定为不等式组的一个整数解， 若不等式的4个整数解为0，1，2，3时，则102324a a ⎧-≤-<⎪⎨⎪<≤⎩，解得322a <≤；当不等式的4个整数解为1,012-,,时， 则212223a a ⎧-≤-<-⎪⎨⎪<≤⎩，不等式组无解，综上所述，a 的取值范围是3,22⎛⎤⎥⎝⎦.故答案为：3,22⎛⎤⎥⎝⎦.三、解答题17．已知全集=U R ，集合={|37}A x x ≤<，={|16}B x x <<．求A B ⋂，A B ． 【答案】()[),36,A B =-∞+∞，()[),67,A B =-∞+∞【分析】根据集合并集、交集、补集的定义进行求解即可. 【详解】[)3,6A B =， ()[),36,A B ∴=-∞+∞.()[),37,A =-∞+∞，()[),67,A B ∴=-∞+∞.18．解下列不等式 (1)503xx ->+ (2)132x x -> 【答案】(1)()3,5- (2)()1,1,5⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）原不等式等价于()()530x x -+>，从而可求得结果， （2）分13x >和13x ≤两种情况求解即可(1)原不等式等价于()()530x x -+>，即()()530x x -+<， 所以，原不等式的解集是()3,5- (2)当13x >时，原不等式化为312x x ->，即1x >.当13x ≤时，原不等式化为132x x ->，即15x <.综上，原不等式的解集为()1,1,5⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭19．证明：函数()lg 12y x =-在其定义域上是严格减函数． 【答案】证明见解析【分析】利用函数单调性的定义及对数函数的单调性即可证明.【详解】证：设12x x 、是定义域(),1-∞上任意给定的两个实数，且12x x <， 则121212x x ->-，由对数函数的性质，可知()()12lg 12lg 12x x ->-， 因此，函数()lg 12y x =-在其定义域上是严格减函数 20．小明将上周每天骑车上学路上的情况用图象表示：很遗憾图象的先后次序不小心被打乱了. 还好小明同时用文字进行了记录： 周一：匀速骑车前进；周二：匀速骑车前进，中间遇到红灯停了一次； 周三：骑车出门晚了，越骑越快；周四：骑车出门后一会儿想起忘带东西又加速回去拿； 周五：……(1)请将图象的编号填入表格中对应日期的下方，日期 周一 周二 周三 周四 周五 图像编号并描述周五小明上学途中可能发生的情况，填在下面的空格中； 周五：__________(2)本周小明打算跑步上学，多消耗点热量. 已知单位时间消耗的热量y （卡/小时）与跑步的平均速度v （千米/小时）满足函数250320035033y v v =-+-，小明家到学校的距离是1.5千米，假设小明上学路上不停顿，则他从家跑步到学校最多可以消耗最多热量？ 【答案】(1)答案见解析；(2)当平均速度为8千米/小时，消耗热量最多为125卡.【分析】（1）根据实际情况将图象的编号填入表格中对应日期的下方，描述周五小明上学途中可能发生的情况；（2）设消耗得热量为S ，求出6425525S v v ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式求解.(1) 解：周五：匀速骑车，中途发现车坏了停下来修，但修不好只好推着车走到学校. （答案不唯一，描述出匀速骑行，中间停顿，然后减速即可） (2)解：平均速度0v >，上学用时 1.5t v=小时， 设消耗得热量为S ，则S y t =⋅， 所以21.5503200643502552533S v v v v v ⎛⎫⎛⎫=⋅-+-=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭252516525125≤-⋅=⋅+=， 且当且仅当8v =时，S 达到最大值125.所以，当平均速度为8千米/小时，消耗热量最多为125卡.21．已知函数()y f x =的定义域为D ，若存在区间[],a b D ⊆使得函数()y f x =满足： ①函数()y f x =在区间[],a b 上是严格增函数或严格减函数； ②函数()y f x =，[],x a b ∈的值域是[],na nb ()2n n ∈≥Z 且， 则称区间[],a b 为函数()y f x =的“n 倍区间”.(1)判断下列函数是否存在“2倍区间”（不需要说明理由）； ①1y x =-； ②212y x =+； (2)证明：函数2yx 不存在“n 倍区间”；(3)证明：当有理数m 满足()()0,11,m ∈+∞时，对于任意n ()2n n ∈≥Z 且，函数my x =都存在“n 倍区间”，并求函数3y x =和23y x =所有的“10倍区间”.【答案】(1)1y x =-不存在2倍区间，212y x =+存在2倍区间； (2)证明见解析；(3)证明见解析，3y x =的“10倍区间”有,,⎡⎤⎡⎡⎣⎦⎣⎣，23y x =的“10倍区间”有10,1000⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）先确定两个函数是否严格单调，若是，则设出区间，进而根据“2倍区间”的定义判断答案；（2）先假设函数存在“n 倍区间”，进而根据“n 倍区间”的定义证明问题；（3）先考虑函数[),0,my x x =∈+∞的情况，根据题意得到m x nx =有两个非负解并解出，然后证明问题，进而求出两个函数的“10倍区间”. (1)1y x =-不存在2倍区间，212y x =+存在2倍区间. 理由如下：根据严格单调定义可知，函数1y x =-在R 上严格单调递减，若[],a b 是函数的2倍区间，则函数的值域为[]1,1b a --，且121123b a a b a b-=⎧⇒==⎨-=⎩，不满足a <b .所以1y x =-不存在2倍区间.易知函数212y x =+在[0,)+∞上严格单调递增，若[],a b 是函数的“2倍区间”，则函数的值域为2211,22a b ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，且2211221122a b a a a b b b ⎧⎪<⎧=⎪⎪⎪⎪+=⇒⎨⎨⎪⎪=+⎪⎪⎩+=⎪⎩，即函数存在“2倍区间”122⎡-+⎢⎣⎦. (2)假设存在区间[],a b 是2y x 的“n 倍区间”()Z,2n n ∈≥，由条件①可知，[](),,0a b ⊆-∞或[](),0,a b ⊆+∞.当[](),0,a b ⊆+∞，即0a b <<时， 因为21y x =在()0,∞+是严格减函数， 所以2211nb a nab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得1ba =，即ab =，这与a b <的假设矛盾，所以假设不成立， 即2yx 在()0,x ∈+∞不存在“n 倍区间”当[](),,0a b ⊆-∞时，[](),,0na nb ⊆-∞， 这与(),0x ∈-∞时，20y x矛盾即2yx 在(),0x ∈-∞不存在“n 倍区间”综上所述，2y x 不存在“n 倍区间”.(3)先考虑[),0,my x x =∈+∞的情况，因为m y x =在[)0,∞+是严格增函数，若存在“n 倍区间”，则m x nx =有两个非负解， 原方程可化为()10m x x n --=，当()()0,11,m ∈+∞时，原方程有两个非负解0x =和11m x n -=，所以，至少存在一个“n 倍区间”为110,m n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦.3y x =在(),-∞+∞是严格增函数，令310x x =得1220x x x ==、，所以3y x =有三个“10倍区间”：⎡⎤⎡⎡⎣⎦⎣⎣、、. 23y x =在[)0,∞+是严格增函数，在(],0-∞是严格减函数，当(],0x ∈-∞时，230x ≥，所以不存在“10倍区间”，所以23y x =有1个“10倍区间”：10,1000⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。
上海市杨浦区2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)
上海市杨浦区2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、填空题（每小题3分，共36分）1．已知全集为R，集合A＝（1，+∞），则＝．2．函数y＝的定义域是．3．集合{1，2，3}的子集一共有个．4．已知a＝lg5，用a表示lg20＝．5．不等式33﹣x＞9x的解集是．6．命题“若x＞1，则x≥1”是命题（填“真”或“假”其中一个）．7．里氏震级M的计算公式为：M＝lg A﹣lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为倍．8．已知方程x2+2x﹣4＝0的两个根为x1、x2，则x12+x22的值为．9．已知a∈R、b∈R，函数y＝x2+（2﹣a）x﹣3，x∈〖1﹣b，a〗是偶函数，则a+b＝．10．函数y＝的值域是．11．已知m∈R，“不等式|x﹣m|+|x+5|≥6对任意x∈R恒成立”的一个充分非必要条件是．12．设a为实数，若关于x的一元一次不等式组的解集中有且仅有4个整数，则a的取值范围是．二、选择题（每小题4分，共16分）13．设a＞0，下列计算中正确的是（）A．B．C．D．14．若a＞b且，则下列不等式中正确的是（）A．a+b＞0B．a+b＜0C．ab＞0D．ab＜015．若log（4﹣x2）＞log（2x+1），则实数x的取值范围是（）A．1＜x＜2B．x＜﹣3或x＞1C．﹣2＜x＜2D．16．已知函数y＝f（x）的表达式是，若函数y＝f（x）存在零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（0，+∞）三、解答题（共48分）17．（8分）已知全集U＝R，集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|1＜x＜6}．求，．18．（8分）解下列不等式（1）；（2）|1﹣3x|＞2x．19．（10分）证明：函数y＝lg（1﹣2x）在其定义域上是严格减函数．20．（10分）小明将上周每天骑车上学路上的情况用图像表示：很遗憾图像的先后次序不小心被打乱了．还好小明同时用文字进行了记录：周一：匀速骑车前进；周二：匀速骑车前进，中间遇到红灯停了一次；周三：骑车出门晚了，越骑越快；周四：骑车出门后一会儿想起忘带东西又加速回去拿；周五：……（1）请将图像的编号填入表格中对应日期的下方，日期周一周二周三周四周五图像编号并描述周五小明上学途中可能发生的情况，填在下面的空格中；周五：．（2）本周小明打算跑步上学，多消耗点热量．已知单位时间消耗的热量y（卡/小时）与跑步的平均速度v（千米/小时）满足函数，小明家到学校的距离是1.5千米，假设小明上学路上不停顿，则他从家跑步到学校最多可以消耗最多热量？21．（12分）已知函数y＝f（x）的定义域为D，若存在区间〖a，b〗⊆D使得函数y＝f（x）满足：①函数y＝f（x）在区间〖a，b〗上是严格增函数或严格减函数；②函数y＝f（x），x∈〖a，b〗的值域是〖na，nb〗（n∈Z且n≥2），则称区间〖a，b〗为函数y＝f（x）的“n倍区间”．（1）判断下列函数是否存在“2倍区间”（不需要说明理由）；①y＝1﹣x；②；（2）证明：函数y＝x﹣2不存在“n倍区间”；（3）证明：当有理数m满足m∈（0，1）∪（1，+∞）时，对于任意n（n∈Z且n≥2），函数y＝x m都存在“n倍区间”，并求函数y＝x3和所有的“10倍区间”．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、填空题（每小题3分，共36分）1．（﹣∞，1〗〖解析〗∵全集为R，集合A＝（1，+∞），∴＝（﹣∞，1〗．故答案为：（﹣∞，1〗．2．（﹣1，+∞）〖解析〗∵函数y＝，∴≠0，即x+1＞0，解得x＞﹣1，∴函数y的定义域是（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣1，+∞）．3．8〖解析〗集合{1，2，3}的子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}共8个，故答案为：8．4．2﹣a〖解析〗∵a＝lg5，∴lg20＝1+lg2＝1+1﹣lg5＝2﹣a．故答案为：2﹣a．5．（﹣∞，1）〖解析〗不等式33﹣x＞9x⇔33﹣x＞32x，∴3﹣x＞2x，解得x∈（﹣∞，1）．故答案为：（﹣∞，1）．6．真〖解析〗因为x≥1即x＞1或x＝1，又因为x＞1，所以x＞1或x＝1为真命题，即“若x＞1，则x≥1”是真命题．故答案为：真．7．6〖解析〗根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则M＝lg A﹣lg A0＝lg1000﹣lg0.001＝3﹣（﹣3）＝6．故答案为：6．8．12〖解析〗方程x2+2x﹣4＝0的两个根为x1、x2，x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣4，则x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4+8＝12．故答案为：12．9．5〖解析〗根据题意，函数y＝x2+（2﹣a）x﹣3，x∈〖1﹣b，a〗是偶函数，则有（1﹣b）+a＝0，即b﹣a＝1，又由y＝x2+（2﹣a）x﹣3是二次函数，若其为偶函数，必有2﹣a＝0，即a＝2，则b＝3，故a+b＝5；故答案为：5．10．{y|，或y＜0}〖解析〗2﹣x2≤2；∴0＜2﹣x2≤2，或2﹣x2＜0；∴，或；∴原函数的值域为{y|y，或y＜0}．故答案为：{y|，或y＜0}．11．（﹣∞，﹣11〗∪〖2，+∞）答案不唯一〖解析〗∵|x﹣m|+|x+5|≥|x﹣m﹣x﹣5|＝|m+5|，∴要使不等式|x﹣m|+|x+5|≥6对任意x∈R恒成立，∴|m+5|≥6，即m+5≥6或m+5≤﹣6，解得m≥1或m≤﹣11，∴m≥1或m≤﹣11成立的充分不必要条件是（﹣∞，﹣11〗∪〖1，+∞）的真子集即可，则（﹣∞，﹣11〗∪〖2，+∞）即可，故答案为：（﹣∞，﹣11〗∪〖2，+∞）答案不唯一．12．（，2〗〖解析〗一元一次不等式组⇔﹣＜x＜2a，且a＞0，∵关于x的一元一次不等式组的解集中有且仅有4个整数，①当4个整数为0，1，2，3时，则，∴＜a≤2，②当4个整数为﹣1，0，1，2时，则，∴a∈∅，综上，a的取值范围是（，2〗．故答案为：（，2〗．二、选择题（每小题4分，共16分）13．C〖解析〗对于A：•＝≠a，故A错误，对于B：÷＝≠a，故B错误，对于C：＝a，故C正确，对于D：＝a﹣1＝，故D错误，故选：C．14．D〖解析〗根据题意，若a＞b且，则﹣＝＞0，则有ab＜0，依次分析选项：对于A和B，当a＝﹣b时，a＞b且也成立，错误；对于C和D，ab＜0，C错误，D正确；故选：D．15．A〖解析〗根据题意得，解得x∈（1，2）．故选：A．16．D〖解析〗函数y＝f（x）的表达式是，因为2x＞0恒成立，函数y＝f（x）存在零点，只有f（x）＝﹣x存在零点，所以a＞0，故选：D．三、解答题（共48分）17．解：∵A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|1＜x＜6}．∴A∩B＝{x|3≤x＜6}，则＝{x|x≥6或x＜3}，＝{x|x≥7或x＜3}，则＝{x|x≥7或x＜6}．18．解：（1）不等式等价为（5﹣x）（x+3）＞0，即（x﹣5）（x+3）＜0，得﹣3＜x＜5，即不等式的解集为（﹣3，5）．（2）若x＜0，则不等式|1﹣3x|＞2x恒成立，当x≥0时，不等式|1﹣3x|＞2x等价为（1﹣3x）2＞4x2，得5x2﹣6x+1＞0，即（x﹣1）（5x﹣1）＞0，得x＞1或x＜，∵x≥0，∴此时x＞1或0≤x＜，综上x＞1或x＜，即不等式的解集为（﹣∞，）∪（1，+∞）．19．解：令1﹣2x＞0，解得x，则函数的定义域为（﹣∞，），设任意x，则f（x1）﹣f（x2）＝lg（1﹣2x1）﹣lg（1﹣2x2）＝lg，因为x，则，所以lg＞0，即f（x1）＞f（x2），所以函数y＝lg（1﹣2x）在其定义域上是严格减函数．20．解：（1）日期周一周二周三周四周五图像编号E A C B D 周五：匀速骑车，中途发现车故障，停下来维修，但没修好，只能推着车到学校．（2）由题意可得，上学用时t＝小时，设消耗的热量为S，则S＝yt＝•＝≤﹣25•，当且仅当v＝，即v＝8时，S取得最大值125，故他从家跑步到学校最多可以消耗最多热量125卡．21．（1）解：y＝1﹣x不存在2倍区间，存在2倍区间．理由如下：根据严格单调定义可知，函数y＝1﹣x在R上严格单调递减，若〖a，b〗是函数的2倍区间，则函数的值域为〖1﹣b，1﹣a〗，且，不满足a＜b．所以y＝1﹣x不存在2倍区间．易知函数在〖0，+∞）上严格单调递增，若〖a，b〗是函数的“2 倍区间“，则函数的值域为，且即函数存在“2 倍区间“．（2）证明：假设存在区间〖a，b〗是y＝x﹣2的“n倍区间”（n∈Zn≥2），由条件（1）可知，〖a，b〗⊆（﹣∞，0）或〖a，b〗⊆（0，+∞）．当〖a，b〗⊆（0，+∞），即0＜a＜b时，因为在（0，+∞）是严格减函数，所以，得，即a＝b，这与a＜b的假设矛盾，所以假设不成立，即y＝x﹣2在x∈（0，+∞）不存在“n倍区间“；当〖a，b〗⊆（﹣∞，0）时，〖na，nb〗⊆（﹣∞，0），这与x∈（﹣∞，0）时，y＝x2＞0矛盾，即y＝x﹣2在x∈（﹣∞，0）不存在“n倍区间“，综上所述，y＝x﹣2不存在“n倍区间“．（3）证明：先考虑y＝x m，x∈〖0，+∞）的情况，因为y＝x m在〖0，+∞）是严格增函数，若存在“n倍区间”，则x m＝nx有两个非负解，原方程可化为x（x m﹣1﹣n）＝0，当m∈（0，1）∪（1，+∞）时，原方程有两个非负解x＝0和，所以，至少存在一个“n倍区间”为，y＝x3在（﹣∞，+∞）是严格增函数，令x3＝10x得，所以y＝x3有三个“10 倍区间”：．在〖0，+∞）是严格增函数，在（﹣∞，0〗是严格减函数，当x∈（﹣∞，0〗时，，所以不存在“10 倍区间”，所以有1个“10 倍区间”：．上海市杨浦区2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、填空题（每小题3分，共36分）1．已知全集为R，集合A＝（1，+∞），则＝．2．函数y＝的定义域是．3．集合{1，2，3}的子集一共有个．4．已知a＝lg5，用a表示lg20＝．5．不等式33﹣x＞9x的解集是．6．命题“若x＞1，则x≥1”是命题（填“真”或“假”其中一个）．7．里氏震级M的计算公式为：M＝lg A﹣lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为倍．8．已知方程x2+2x﹣4＝0的两个根为x1、x2，则x12+x22的值为．9．已知a∈R、b∈R，函数y＝x2+（2﹣a）x﹣3，x∈〖1﹣b，a〗是偶函数，则a+b＝．10．函数y＝的值域是．11．已知m∈R，“不等式|x﹣m|+|x+5|≥6对任意x∈R恒成立”的一个充分非必要条件是．12．设a为实数，若关于x的一元一次不等式组的解集中有且仅有4个整数，则a的取值范围是．二、选择题（每小题4分，共16分）13．设a＞0，下列计算中正确的是（）A．B．C．D．14．若a＞b且，则下列不等式中正确的是（）A．a+b＞0B．a+b＜0C．ab＞0D．ab＜015．若log（4﹣x2）＞log（2x+1），则实数x的取值范围是（）A．1＜x＜2B．x＜﹣3或x＞1C．﹣2＜x＜2D．16．已知函数y＝f（x）的表达式是，若函数y＝f（x）存在零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（0，+∞）三、解答题（共48分）17．（8分）已知全集U＝R，集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|1＜x＜6}．求，．18．（8分）解下列不等式（1）；（2）|1﹣3x|＞2x．19．（10分）证明：函数y＝lg（1﹣2x）在其定义域上是严格减函数．20．（10分）小明将上周每天骑车上学路上的情况用图像表示：很遗憾图像的先后次序不小心被打乱了．还好小明同时用文字进行了记录：周一：匀速骑车前进；周二：匀速骑车前进，中间遇到红灯停了一次；周三：骑车出门晚了，越骑越快；周四：骑车出门后一会儿想起忘带东西又加速回去拿；周五：……（1）请将图像的编号填入表格中对应日期的下方，日期周一周二周三周四周五图像编号并描述周五小明上学途中可能发生的情况，填在下面的空格中；周五：．（2）本周小明打算跑步上学，多消耗点热量．已知单位时间消耗的热量y（卡/小时）与跑步的平均速度v（千米/小时）满足函数，小明家到学校的距离是1.5千米，假设小明上学路上不停顿，则他从家跑步到学校最多可以消耗最多热量？21．（12分）已知函数y＝f（x）的定义域为D，若存在区间〖a，b〗⊆D使得函数y＝f（x）满足：①函数y＝f（x）在区间〖a，b〗上是严格增函数或严格减函数；②函数y＝f（x），x∈〖a，b〗的值域是〖na，nb〗（n∈Z且n≥2），则称区间〖a，b〗为函数y＝f（x）的“n倍区间”．（1）判断下列函数是否存在“2倍区间”（不需要说明理由）；①y＝1﹣x；②；（2）证明：函数y＝x﹣2不存在“n倍区间”；（3）证明：当有理数m满足m∈（0，1）∪（1，+∞）时，对于任意n（n∈Z且n≥2），函数y＝x m都存在“n倍区间”，并求函数y＝x3和所有的“10倍区间”．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、填空题（每小题3分，共36分）1．（﹣∞，1〗〖解析〗∵全集为R，集合A＝（1，+∞），∴＝（﹣∞，1〗．故答案为：（﹣∞，1〗．2．（﹣1，+∞）〖解析〗∵函数y＝，∴≠0，即x+1＞0，解得x＞﹣1，∴函数y的定义域是（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣1，+∞）．3．8〖解析〗集合{1，2，3}的子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}共8个，故答案为：8．4．2﹣a〖解析〗∵a＝lg5，∴lg20＝1+lg2＝1+1﹣lg5＝2﹣a．故答案为：2﹣a．5．（﹣∞，1）〖解析〗不等式33﹣x＞9x⇔33﹣x＞32x，∴3﹣x＞2x，解得x∈（﹣∞，1）．故答案为：（﹣∞，1）．6．真〖解析〗因为x≥1即x＞1或x＝1，又因为x＞1，所以x＞1或x＝1为真命题，即“若x＞1，则x≥1”是真命题．故答案为：真．7．6〖解析〗根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则M＝lg A﹣lg A0＝lg1000﹣lg0.001＝3﹣（﹣3）＝6．故答案为：6．8．12〖解析〗方程x2+2x﹣4＝0的两个根为x1、x2，x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣4，则x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4+8＝12．故答案为：12．9．5〖解析〗根据题意，函数y＝x2+（2﹣a）x﹣3，x∈〖1﹣b，a〗是偶函数，则有（1﹣b）+a＝0，即b﹣a＝1，又由y＝x2+（2﹣a）x﹣3是二次函数，若其为偶函数，必有2﹣a＝0，即a＝2，则b＝3，故a+b＝5；故答案为：5．10．{y|，或y＜0}〖解析〗2﹣x2≤2；∴0＜2﹣x2≤2，或2﹣x2＜0；∴，或；∴原函数的值域为{y|y，或y＜0}．故答案为：{y|，或y＜0}．11．（﹣∞，﹣11〗∪〖2，+∞）答案不唯一〖解析〗∵|x﹣m|+|x+5|≥|x﹣m﹣x﹣5|＝|m+5|，∴要使不等式|x﹣m|+|x+5|≥6对任意x∈R恒成立，∴|m+5|≥6，即m+5≥6或m+5≤﹣6，解得m≥1或m≤﹣11，∴m≥1或m≤﹣11成立的充分不必要条件是（﹣∞，﹣11〗∪〖1，+∞）的真子集即可，则（﹣∞，﹣11〗∪〖2，+∞）即可，故答案为：（﹣∞，﹣11〗∪〖2，+∞）答案不唯一．12．（，2〗〖解析〗一元一次不等式组⇔﹣＜x＜2a，且a＞0，∵关于x的一元一次不等式组的解集中有且仅有4个整数，①当4个整数为0，1，2，3时，则，∴＜a≤2，②当4个整数为﹣1，0，1，2时，则，∴a∈∅，综上，a的取值范围是（，2〗．故答案为：（，2〗．二、选择题（每小题4分，共16分）13．C〖解析〗对于A：•＝≠a，故A错误，对于B：÷＝≠a，故B错误，对于C：＝a，故C正确，对于D：＝a﹣1＝，故D错误，故选：C．14．D〖解析〗根据题意，若a＞b且，则﹣＝＞0，则有ab＜0，依次分析选项：对于A和B，当a＝﹣b时，a＞b且也成立，错误；对于C和D，ab＜0，C错误，D正确；故选：D．15．A〖解析〗根据题意得，解得x∈（1，2）．故选：A．16．D〖解析〗函数y＝f（x）的表达式是，因为2x＞0恒成立，函数y＝f（x）存在零点，只有f（x）＝﹣x存在零点，所以a＞0，故选：D．三、解答题（共48分）17．解：∵A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|1＜x＜6}．∴A∩B＝{x|3≤x＜6}，则＝{x|x≥6或x＜3}，＝{x|x≥7或x＜3}，则＝{x|x≥7或x＜6}．18．解：（1）不等式等价为（5﹣x）（x+3）＞0，即（x﹣5）（x+3）＜0，得﹣3＜x＜5，即不等式的解集为（﹣3，5）．（2）若x＜0，则不等式|1﹣3x|＞2x恒成立，当x≥0时，不等式|1﹣3x|＞2x等价为（1﹣3x）2＞4x2，得5x2﹣6x+1＞0，即（x﹣1）（5x﹣1）＞0，得x＞1或x＜，∵x≥0，∴此时x＞1或0≤x＜，综上x＞1或x＜，即不等式的解集为（﹣∞，）∪（1，+∞）．19．解：令1﹣2x＞0，解得x，则函数的定义域为（﹣∞，），设任意x，则f（x1）﹣f（x2）＝lg（1﹣2x1）﹣lg（1﹣2x2）＝lg，因为x，则，所以lg＞0，即f（x1）＞f（x2），所以函数y＝lg（1﹣2x）在其定义域上是严格减函数．20．解：（1）日期周一周二周三周四周五图像编号E A C B D 周五：匀速骑车，中途发现车故障，停下来维修，但没修好，只能推着车到学校．（2）由题意可得，上学用时t＝小时，设消耗的热量为S，则S＝yt＝•＝≤﹣25•，当且仅当v＝，即v＝8时，S取得最大值125，故他从家跑步到学校最多可以消耗最多热量125卡．21．（1）解：y＝1﹣x不存在2倍区间，存在2倍区间．理由如下：根据严格单调定义可知，函数y＝1﹣x在R上严格单调递减，若〖a，b〗是函数的2倍区间，则函数的值域为〖1﹣b，1﹣a〗，且，不满足a＜b．所以y＝1﹣x不存在2倍区间．易知函数在〖0，+∞）上严格单调递增，若〖a，b〗是函数的“2 倍区间“，则函数的值域为，且即函数存在“2 倍区间“．（2）证明：假设存在区间〖a，b〗是y＝x﹣2的“n倍区间”（n∈Zn≥2），由条件（1）可知，〖a，b〗⊆（﹣∞，0）或〖a，b〗⊆（0，+∞）．当〖a，b〗⊆（0，+∞），即0＜a＜b时，因为在（0，+∞）是严格减函数，所以，得，即a＝b，这与a＜b的假设矛盾，所以假设不成立，即y＝x﹣2在x∈（0，+∞）不存在“n倍区间“；当〖a，b〗⊆（﹣∞，0）时，〖na，nb〗⊆（﹣∞，0），这与x∈（﹣∞，0）时，y＝x2＞0矛盾，即y＝x﹣2在x∈（﹣∞，0）不存在“n倍区间“，综上所述，y＝x﹣2不存在“n倍区间“．（3）证明：先考虑y＝x m，x∈〖0，+∞）的情况，因为y＝x m在〖0，+∞）是严格增函数，若存在“n倍区间”，则x m＝nx有两个非负解，原方程可化为x（x m﹣1﹣n）＝0，当m∈（0，1）∪（1，+∞）时，原方程有两个非负解x＝0和，所以，至少存在一个“n倍区间”为，y＝x3在（﹣∞，+∞）是严格增函数，令x3＝10x得，所以y＝x3有三个“10 倍区间”：．在〖0，+∞）是严格增函数，在（﹣∞，0〗是严格减函数，当x∈（﹣∞，0〗时，，所以不存在“10 倍区间”，所以有1个“10 倍区间”：．。
2021-2022学年上海市黄浦区高三(上)期末数学试卷(一模)
2021-2022学年上海市黄浦区高三（上）期末数学试卷（一模）试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）设m∈R ，已知集合A={1，3，m}，B={3，4}，若A∪B={1，2，3，4}，则m=___ ．2.（填空题，4分）不等式|x-1|＜1的解集是 ___ ．3.（填空题，4分）若圆柱的高、底面半径均为1，则其表面积为 ___ ．4.（填空题，4分）设a ＞0且a≠1，若函数y=a x 的反函数的图像过点（2，-1），则a=___ ．5.（填空题，4分）若线性方程组的增广矩阵为 (23c 101c 2) 解为 {x =3y =5 ，则c 1-c 2=___ ．6.（填空题，4分）圆x 2+y 2-2x-4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离为 ___ ．7.（填空题，5分）以双曲线 x 24 - y 25 =1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 ___ ．8.（填空题，5分）若O 为△ABC 内一点，则 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗ + OB ⃗⃗⃗⃗⃗ • CA ⃗⃗⃗⃗⃗ + OC ⃗⃗⃗⃗⃗ • AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． 9.（填空题，5分）设无穷等比数列{a n }的公比为q ，且a 1=q 2+1，则该数列的各项和的最小值为 ___ ．10.（填空题，5分）在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，若要求男、女教师都有，则选取方式的种数为 ___ .（结果用数值表示）11.（填空题，5分）设b∈R ，若曲线y 2=-|x|+1与直线y=-x+b 有公共点，则b 的取值范围是 ___ ．12.（填空题，5分）若数列{a n }满足a 0=0，且|a k |=|a k-1+3|（k∈N *），则|a 1+a 2+⋯+a 19+a 20|的最小值为 ___ ．13.（单选题，5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（ ） A.y=x -2 B.y=x -1 C.y=x 2 D. y =x 1314.（单选题，5分）若z 1、z 2∈C ，则“z 1、z 2均为实数”是“z 1-z 2是实数”的（ ）条件 A.充分非必要 B.必要非充分C.充要D.非充分非必要15.（单选题，5分）下列不等式中，与不等式x+8x2+2x+3＜2解集相同的是（）A.（x+8）（x2+2x+3）＜2B.x+8＜2（x2+2x+3）C. 1x2+2x+3＜2x+8D. x2+2x+3x+8＞1216.（单选题，5分）设ω为正实数，若存在a、b（π≤a＜b≤2π），使得sinωa=sinωb=1，则ω的值可以是（）A.1B.2C.3D.417.（问答题，14分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC= π2，AB=BC=1．（1）求异面直线B1C1与AC所成角的大小；（2）若A1C与平面ABC所成角为π4，求三棱锥A1-ABC的体积．18.（问答题，14分）已知直线x=t（t∈R）与函数y=sin2x、y=cos（2x+ π6）的图像分别交于M、N两点．（1）当t= π4时，求|MN|的值；（2）求|MN|关于t的表达式f（t），写出函数y=f（t）的最小正周期，并求其在区间[0，2π]内的零点．19.（问答题，14分）某地区2020年产生的生活垃圾为20万吨，其中6万吨垃圾以环保方式处理，剩余14万吨垃圾以填埋方式处理，预测显示：在以2020年为第一年的未来十年内，该地区每年产生的生活垃圾量比上一年增长5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量比上一年增加1.5万吨，剩余的垃圾以填埋方式处理．根据预测，解答下列问题：（1）求2021年至2023年，该地区三年通过填埋方式处理的垃圾共计多少万吨？（结果精确到0.1万吨）（2）该地区在哪一年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生生活垃圾量的50%？20.（问答题，16分）设常数m＞0且m≠1，椭圆Γ：x2+y2=1，点P是Γ上的动点．m2（1）若点P的坐标为（2，0），求Γ的焦点坐标；（2）设m=3，若定点A的坐标为（2，0），求|PA|的最大值与最小值；，若Γ上的另一动点Q满足OP⊥OQ（O为坐标原点），求证：O到直线PQ的（3）设m= 12距离是定值．21.（问答题，18分）设函数y=f（x）定义在区间（a，b）上，若对任意的x1、x2、x1'、x2'∈（a，b），当x1+x2=x1'+x2'且|x1'-x2'|＜|x1-x2|时，不等式f（x1）+f（x2）＜f（x1'）+f（x2'）成立，就称函数y=f（x）具有M性质．（1）判断函数f（x）=2x，x∈（-3，3）是否具有M性质，并说明理由；（2）已知函数y=f（x）在区间（a，b）上恒正，且函数y=lgf（x），x∈（a，b）具有M性）]2；质，求证：对任意的x1、x2∈（a，b），且x1≠x2，有f（x1）•f（x2）＜[f（x1+x22（3）① 已知函数y=f（x），x∈（a，b）具有M性质，证明：对任意的x1、x2、x3∈（a，b），有f（x1）+f（x2）+f（x3）≤3f（x1+x2+x3），其中等号当且仅当x1=x2=x3时成立；3）具有M性质，若A、B、C为三角形ABC的内角，求② 已知函数f（x）=sinx，x∈（0，π2sinA+sinB+sinC的最大值．2021-2022学年上海市黄浦区高三（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）设m∈R，已知集合A={1，3，m}，B={3，4}，若A∪B={1，2，3，4}，则m=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：结合集合的并集运算及集合元素的互异性即可求解．【解答】：解：因为A={1，3，m}，B={3，4}，若A∪B={1，2，3，4}，所以m=2．故答案为：2．【点评】：本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题．2.（填空题，4分）不等式|x-1|＜1的解集是 ___ ．【正确答案】：[1]（0，2）【解析】：先去掉绝对值然后再根据绝对值不等式的解法进行求解．【解答】：解：∵|x-1|＜1，∴-1＜x-1＜1⇒0＜x＜2．故答案为：（0，2）．【点评】：此题考查绝对值不等式的解法，解题的关键是去掉绝对值，此类题目是高考常见的题型，此题是一道基础题．3.（填空题，4分）若圆柱的高、底面半径均为1，则其表面积为 ___ ．【正确答案】：[1]4π【解析】：由题意结合圆柱的表面积公式即可直接求解．【解答】：解：由题意得，表面积S=2π×1×1+2π×1×1=4π．故答案为：4π．【点评】：本题主要考查了圆柱的表面积公式的应用，属于基础题．4.（填空题，4分）设a ＞0且a≠1，若函数y=a x 的反函数的图像过点（2，-1），则a=___ ． 【正确答案】：[1] 12【解析】：结合互为反函数的函数关系，代入即可求解．【解答】：解：由题意得，函数y=a x 的反函数的图像过点（-1，2）， 所以a -1=2， 所以a= 12 ． 故答案为： 12 ．【点评】：本题主要考查了互为反函数的函数关系，属于基础题． 5.（填空题，4分）若线性方程组的增广矩阵为 (23c 101c 2) 解为 {x =3y =5 ，则c 1-c 2=___ ．【正确答案】：[1]16【解析】：根据增广矩阵的定义得到 {x =3y =5 ，是方程组 {2x +3y =c 1y =c 2 的解，解方程组即可．【解答】：解：由题意知 {x =3y =5 ，是方程组 {2x +3y =c 1y =c 2 的解，即 {c 1=6+15=21c 2=5 ，则c 1-c 2=21-5=16， 故答案为：16．【点评】：本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键． 6.（填空题，4分）圆x 2+y 2-2x-4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离为 ___ ． 【正确答案】：[1]3【解析】：根据已知条件，结合点到直线的距离公式，即可求解．【解答】：解：∵x 2+y 2-2x-4y+4=0，即（x-1）2+（y-2）2=1， ∴圆心为（1，2），∴圆心（1，2）到直线3x+4y+4=0的距离d= √32+42=3 ．故答案为：3．【点评】：本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．7.（填空题，5分）以双曲线 x 24 - y 25 =1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 ___ ．【正确答案】：[1]y 2=12x【解析】：由题意知抛物线的顶点为（0，0），焦点为（3，0），所以抛物线方程．【解答】：解：双曲线x 24−y 25=1 的中心为O （0，0），该双曲线的右焦点为F （3，0）， ∴抛物线的顶点为（0，0）， 焦点为（3，0）， ∴p=6，∴抛物线方程是）y 2=12x ． 答案：y 2=12x ．【点评】：本题考查圆锥曲线的基本性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用． 8.（填空题，5分）若O 为△ABC 内一点，则 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗ + OB ⃗⃗⃗⃗⃗ • CA ⃗⃗⃗⃗⃗ + OC ⃗⃗⃗⃗⃗ • AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． 【正确答案】：[1]0【解析】：由向量的线性运算及数量积运算性质即可求解．【解答】：解： OA ⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗ + OB ⃗⃗⃗⃗⃗ • CA ⃗⃗⃗⃗⃗ + OC ⃗⃗⃗⃗⃗ • AB⃗⃗⃗⃗⃗ = OA ⃗⃗⃗⃗⃗ •（ OC ⃗⃗⃗⃗⃗ - OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ）+ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ •（ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ - OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）+ OC ⃗⃗⃗⃗⃗ •（ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ - OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ） = OA ⃗⃗⃗⃗⃗ • OC ⃗⃗⃗⃗⃗ - OA ⃗⃗⃗⃗⃗ • OB ⃗⃗⃗⃗⃗ + OB ⃗⃗⃗⃗⃗ • OA ⃗⃗⃗⃗⃗ - OB ⃗⃗⃗⃗⃗ • OC ⃗⃗⃗⃗⃗ + OC ⃗⃗⃗⃗⃗ • OB ⃗⃗⃗⃗⃗ - OC ⃗⃗⃗⃗⃗ • OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0．故答案为：0．【点评】：本题主要考查平面向量的线性运算及数量积的性质，考查运算求解能力，属于基础题．9.（填空题，5分）设无穷等比数列{a n }的公比为q ，且a 1=q 2+1，则该数列的各项和的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1]2（ √2−1 ）【解析】：先写出无穷等比数列各项和的表达式，然后利用基本不等式求解即可．【解答】：解：∵{a n }是公比为q 的无穷等比数列， ∴{a n }数列各项的和为 lim n→+∞(q 2+1)(1−q n )1−q=q 2+11−q，其中q∈（-1，0）∪（0，1），又∵-1＜q ＜1且q≠0， ∴0＜1-q ＜2且1-q≠0， ∴ q 2+11−q =[(1−q )−1]2+11−q=（1-q ）+ 21−q -2≥2 √2 -2=2（ √2−1 ），当且仅当1-q= 21−q ，即q=1- √2 时取等号， ∴数列{a n }的各项和的最小值为2（ √2−1 ）， 故答案为：2（ √2−1 ）．【点评】：本题考查等比数列的通项公式，考查学生的运算能力，属于中档题．10.（填空题，5分）在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，若要求男、女教师都有，则选取方式的种数为 ___ .（结果用数值表示） 【正确答案】：[1]120【解析】：利用间接法，从所有9人中任选5人的选法中，去掉5人全是女教师的选法，即为所求的结果．【解答】：解：不按性别，从9人中任选5人的选法数为： C 95=126， 5人全是女教师的选法数为： C 65=6 ，故男、女教师都有选取方式的种数为：126-6=120． 故答案为：120．【点评】：本题考查组合的应用题，本题采用了间接法求解，属于基础题．11.（填空题，5分）设b∈R ，若曲线y 2=-|x|+1与直线y=-x+b 有公共点，则b 的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1] [−54，54]【解析】：作出曲线对应的图形，联立方程组，求出判别式等于0时b 的值，结合图象，即可得到答案．【解答】：解：曲线y 2=-|x|+1= {−x +1，x ≥0x +1，x ＜0 ，作出图形如图所示，联立方程组 {y 2=−x +1y =−x +b ，可得x 2+（1-2b ）x+b 2-1=0，则Δ=（1-2b ）2-4（b 2-1）=0，解得 b =54， 同理联立y=-x+b 与y 2=x+1，可得 b =−54 ， 曲线y 2=-|x|+1与直线y=-x+b 有公共点， 则b 的取值范围是 [−54，54] ． 故答案为： [−54，54] ．【点评】：本题考查了直线与抛物线位置关系的理解与应用，曲线方程的理解与应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．12.（填空题，5分）若数列{a n }满足a 0=0，且|a k |=|a k-1+3|（k∈N *），则|a 1+a 2+⋯+a 19+a 20|的最小值为 ___ ． 【正确答案】：[1]6【解析】：先得到 a 12 =9，且a k 为整数，再利用累加法得到|a 1+a 2+...+a 20|= 16 | a 212 -189|，最后利用|a 1+a 2+...+a 20|为整数求解即可．【解答】：解：∵a 0=0，且|a k |=|a k-1+3|，∴ a 12 =9，且a k 为整数， ∵|a k |=|a k-1+3|，∴ a k 2 = a k−12 +6a k-1+9， ∴6a k-1= a k 2 - a k−12 -9，∴6（a 1+a 2+...+a 20）= a 212 - a 12 -9×20= a 212 -189， ∴|a 1+a 2+...+a 20|= 16 | a 212 -189|， ∵a 为整数，∴|a +a +...+a |为整数，∴当a212 =225时，|a1+a2+...+a20|取得最小值为16|225-189|=6，故答案为：6．【点评】：本题考查了数列递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.（单选题，5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A.y=x-2B.y=x-1C.y=x2D. y=x13【正确答案】：A【解析】：根据幂函数奇偶性与单调性与指数部分的关系，我们逐一分析四个答案中幂函数的性质，即可得到答案．【解答】：解：函数y=x-2，既是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，故A正确；函数y=x-1，是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递减，故B错误；函数y=x2，是偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递增，故C错误；函数y=x 13，是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递增，故D错误；故选：A．【点评】：本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明，函数奇偶性的判断，其中指数部分也幂函数性质的关系是解答本题的关键．14.（单选题，5分）若z1、z2∈C，则“z1、z2均为实数”是“z1-z2是实数”的（）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.非充分非必要【正确答案】：A【解析】：根据复数运算即可解决此题．【解答】：解：∵两个实数的差一定是实数，∴若z1、z2均为实数，那么z1-z2一定是实数；若z1-z2是实数，z1、z2不一定均为实数，例如z1=1+i、z2=2+i．∴“z、z均为实数”是“z-z是实数”的充分不必要条件．故选：A．【点评】：本题考查复数运算及充分、必要条件判定，考查数学运算能力及推理能力，属于基础题．15.（单选题，5分）下列不等式中，与不等式x+8x2+2x+3＜2解集相同的是（）A.（x+8）（x2+2x+3）＜2B.x+8＜2（x2+2x+3）C. 1x2+2x+3＜2x+8D. x2+2x+3x+8＞12【正确答案】：B【解析】：根据x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，可得不等式x+8x2+2x+3＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），从而得出结论．【解答】：解：由于x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，不等式x+8x2+2x+3＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），故选：B．【点评】：本题主要考查不等式的基本性质的应用，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．16.（单选题，5分）设ω为正实数，若存在a、b（π≤a＜b≤2π），使得sinωa=sinωb=1，则ω的值可以是（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：D【解析】：存在a、b（π≤a＜b≤2π），使得sinωa=sinωb=1等价于存在整数m，n（m＜n）使得ωπ≤2mπ+ π2＜2nπ+ π2≤2ωπ，然后分ω≥4和0＜ω＜4两种情况求出ω的范围．【解答】：解：由π≤a＜b≤2π，可得[ωa，ωb]⊆[ωπ，2ωπ]，存在a，b（π≤a＜b≤2π），使得sinωa=sinωb=1等价于存在整数m，n（m＜n）使得ωπ≤2mπ+ π2＜2nπ+ π2≤2ωπ ① ，当ω≥4时，区间[ωπ，2ωπ]的长度不小于4π，故必存在m，n满足① 式；当0＜ω＜4时，注意到[ωπ，2ωπ]⊆（0，8π），故仅需考虑如下几种情况：（i）ωπ≤ π2＜5π2≤2ωπ，此时ω≤ 12且ω≥ 54，无解；（ii）ωπ≤ 5π2＜9π2≤2ωπ，此时94≤ω≤ 52；（iii）ωπ≤ 9π2＜13π2≤2ωπ，此时134≤ω≤ 92，又0＜ω＜4，所以134≤ω＜4，综上，ω的取值范围为[ 94，52]∪[ 134，+∞），结合选项知ω的值可以是4．故选：D．【点评】：本题考查了三角函数的值域和不等式的性质，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题．17.（问答题，14分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC= π2，AB=BC=1．（1）求异面直线B1C1与AC所成角的大小；（2）若A1C与平面ABC所成角为π4，求三棱锥A1-ABC的体积．【正确答案】：【解析】：（1）利用异面直线所成角的定义得到∠BCA（或其补角）即为异面直线B1C1与AC 所成的角，在三角形中，利用边角关系求解即可；（2）先确定∠A1CA即为直线A1C与平面ABC所成的角，求出所需线段的长度，利用锥体的体积公式求解即可．【解答】：解：（1）因为BC || B1C1，则∠BCA（或其补角）即为异面直线B1C1与AC所成的角，因为∠ABC=90°，AB=BC=1，则∠BCA=45°，所以异面直线B1C1与AC所成的角为45°；（2）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，则∠A1CA即为直线A1C与平面ABC所成的角，所以∠A1CA=45°，在Rt△ABC中，AB=BC=1，则AC= √2，在Rt△AA1C中，AA1=AC= √2，所以V A1−ABC =13S△ABC•AA1 = 13×12×1×1×√2 = √26．【点评】：本题考查了异面直线所成角的求解和线面角的应用，锥体体积公式的理解与应，属于中档题．18.（问答题，14分）已知直线x=t（t∈R）与函数y=sin2x、y=cos（2x+ π6）的图像分别交于M、N两点．（1）当t= π4时，求|MN|的值；（2）求|MN|关于t的表达式f（t），写出函数y=f（t）的最小正周期，并求其在区间[0，2π]内的零点．【正确答案】：【解析】：（1）由题意，把t的值代入函数的解析式，并且函数值相减后取绝对值，可得结论．（2）先利用三角恒等变换化简f（t），再根据正弦函数的零点，得出结论．【解答】：解：（1）∵直线x=t（t∈R）与函数y=sin2x、y=cos（2x+ π6）的图像分别交于M、N两点，∴当t= π4时，|MN|=|sin π2-cos 2π3|= 32．（2）由题意可得，f（t）=|MN|=|sin2t-cos（2t+ π6）|=| 32sin2t- √32cos2t|=| √3 sin（2t- π6）|，故函数y=f（t）的最小正周期为12×2π2= π2．令f（t）=0，求得sin（2t- π6）=0，∴2t- π6=kπ，k∈Z，求得t= kπ2 + π12，k∈Z．结合t在区间[0，2π]内，故令k=0，1，2，3，可得t= π12，7π12，13π12，19π12，故f（t）在区间[0，2π]内的零点为π12，7π12，13π12，19π12．【点评】：本题主要考查三角函数的周期性，三角恒等变换，三角函数的零点，属于中档题．19.（问答题，14分）某地区2020年产生的生活垃圾为20万吨，其中6万吨垃圾以环保方式处理，剩余14万吨垃圾以填埋方式处理，预测显示：在以2020年为第一年的未来十年内，该地区每年产生的生活垃圾量比上一年增长5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量比上一年增加1.5万吨，剩余的垃圾以填埋方式处理．根据预测，解答下列问题：（1）求2021年至2023年，该地区三年通过填埋方式处理的垃圾共计多少万吨？（结果精确到0.1万吨）（2）该地区在哪一年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生生活垃圾量的50%？【正确答案】：【解析】：（1）设从2020年起每年生活垃圾的总量构成数列{a n}，每年以环保方式处理的垃圾总量构成数列{b n}，由等差数列和等比数列的通项公式可得a n，b n，计算（a2-b2）+（a3-b3）+（a4-b4），可得所求值；（2）令b n＞12a n，通过计算n=1，2，...，6，可得结论．【解答】：解：（1）设从2020年起每年生活垃圾的总量构成数列{a n}，每年以环保方式处理的垃圾总量构成数列{b n}，所以数列{a n}是以20为首项，1+5%为公比的等比数列，数列{b n}是以6为首项，1.5为公差的等差数列，则a n=20×1.05n-1，b n=6+1.5（n-1），1≤n≤10；则2021年至2023年，该地区这三年通过填埋方式处理的垃圾总量为（a2-b2）+（a3-b3）+（a4-b4）=（a2+a3+a4）-（b2+b3+b4）=20（1.05+1.052+1.053）-（18+1.5+3+4.5）=20×（1.05+1.1025+1.157625）-27≈39.2，则该地区三年通过填埋方式处理的垃圾共计39.2万吨；（2）设b n＞12 a n，即6+1.5（n-1）＞12×20×1.05n-1，即为4.5+1.5n＞10×1.05n-1，当n=1时，6＞10不成立；当n=2时，7.5＞10.5不成立；当n=3时，9＞11.025不成立；当n=4时，10.5＞11.57625不成立；当n=5时，12＞12.1550625不成立；当n=6时，13.5＞12.762815625成立．所以该地区在2025年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生生活垃圾量的50%．【点评】：本题考查数列模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的数列模型，分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立数列模型，进行计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20.（问答题，16分）设常数m＞0且m≠1，椭圆Γ：x2m2+y2=1，点P是Γ上的动点．（1）若点P的坐标为（2，0），求Γ的焦点坐标；（2）设m=3，若定点A的坐标为（2，0），求|PA|的最大值与最小值；（3）设m= 12，若Γ上的另一动点Q满足OP⊥OQ（O为坐标原点），求证：O到直线PQ的距离是定值．【正确答案】：【解析】：（1）由点P的坐标求出m的值，即可求出c的值，从而得到焦点坐标；（2）利用两点间距离公式表示出|PA|2，由二次函数的性质求解最值即可；（3）当直线PQ的斜率存在时，设方程为y=kx+t，与椭圆方程联立，得到韦达定理，结合OP⊥OQ，求出k和t的关系，利用点到直线的距离公式分析证明即可，当直线PQ的斜率不存在时，求出直线方程，即可证明结论．【解答】：（1）解：椭圆Γ：x 2m2+y2=1，点P（2，0）是椭圆上的点，所以m=2，则c=√m2−1=√4−1=√3，所以Γ的焦点坐标为(−√3，0)，(√3，0)；（2）解：设P（x，y），其中-3≤x≤3，且A（2，0），则 x 29+y 2=1 ，即 y 2=1−x 29， 所以 |PA|2=(x −2)2+y 2=(x −2)2+1−x 29 = 89(x −94)2+12 ，因为-3≤x≤3，所以当x=-3时，|PA|2取得最大值为25， 当x= 94 时，|PA|2取得最小值为 12 ， 所以|PA|的最大值为5，最小值为 √22 ；（3）证明：当m= 12 时，椭圆的方程为4x 2+y 2=1， 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y=kx+t ，联立方程组 {y =kx +t4x 2+y 2=1 ，可得（4+k 2）x 2+2ktx+t 2-1=0， 所以 x 1+x 2=−2kt4+k 2，x 1x 2=t 2−14+k 2 ， 则Δ=（2kt ）2-4（t 2-1）（4+k 2）＞0， 因为OP⊥OQ ，所以 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ •OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=0 ， 即x 1x 2+（kx 1+t ）（kx 2+t ）=0， 即 (1+k 2)x 1x 2+kt (x 1+x 2)+t 2=0 ， 所以 (1+k 2)•t 2−14+k 2+kt •−2kt 4+k 2+t 2=0 ，化简可得1+k 2=5t 2，满足Δ＞0， 故点O 到直线PQ 的距离d=√1+k 2=√5t2= √55为定值； 当直线PQ 的斜率不存在时，因为OP⊥OQ ， 则直线PQ 的方程为x= ±√55， 所以点O 到直线PQ 的距离d= √55为定值． 综上所述，O 到直线PQ 的距离是定值．【点评】：本题考查了椭圆标准方程的求解与应用、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．21.（问答题，18分）设函数y=f （x ）定义在区间（a ，b ）上，若对任意的x 1、x 2、x 1'、x 2'∈（a ，b ），当x 1+x 2=x 1'+x 2'且|x 1'-x 2'|＜|x 1-x 2|时，不等式f （x 1）+f （x 2）＜f （x 1'）+f （x 2'）成立，就称函数y=f（x）具有M性质．（1）判断函数f（x）=2x，x∈（-3，3）是否具有M性质，并说明理由；（2）已知函数y=f（x）在区间（a，b）上恒正，且函数y=lgf（x），x∈（a，b）具有M性质，求证：对任意的x1、x2∈（a，b），且x1≠x2，有f（x1）•f（x2）＜[f（x1+x22）]2；（3）① 已知函数y=f（x），x∈（a，b）具有M性质，证明：对任意的x1、x2、x3∈（a，b），有f（x1）+f（x2）+f（x3）≤3f（x1+x2+x33），其中等号当且仅当x1=x2=x3时成立；② 已知函数f（x）=sinx，x∈（0，π2）具有M性质，若A、B、C为三角形ABC的内角，求sinA+sinB+sinC的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）取x1=-2，x2=2，x1'=-1，x2'=1，进而检验不满足M性质的定义，进而判断；（2）设x1，x2∈（a，b）且x1≠x2，令x1′=x2′=x1+x22，进而根据对数函数的单调性与M性质的定义证明即可；（3）① ，对任意的x1，x2，x3∈（a，b），令A=x1+x2+x33，x1'=A，x2'=x2，x3'=x1+x3-A，进而x1+x3=x1'+x3'，且|x1'-x3'|＜|x3-x1|，故f（x1）+f（x2）+f（x3）＜f（x1'）+f（x2'）+f（x3'），又x2'+x3'=A+A，且|x2'-x3'|≥|A-A|，故f（x1'）+f（x2'）+f（x3'）＜f（A）+f（A）+f（A）=3f（A），综合即可证明；② 分△ABC是锐角三角形，直角三角形，钝角三角形时，结合① 的结论求解即可．【解答】：（1）解：令x1=-2，x2=2，x1'=-1，x2'=1，此时f(x1)+f(x2)=2−2+22=174，f(x1′)+f(x2′)=2−1+21=52，所以f（x1）+f（x2）＞f（x'1）+f（x'2），不满足f（x1）+f（x2）＜f（x'1）+f（x'2），所以函数f（x）=2x，x∈（-3，3）不具有M性质．（2）证明：设x1，x2∈（a，b）且x1≠x2，令x1′=x2′=x1+x22，显然x1+x22∈(a，b)，且|x1'-x2'|=0＜|x1-x2|，因为函数y=lgf（x），x∈（a，b）具有M性质，所以1gf(x1)+lgf(x2)＜f(x′1)+f(x′2)=2lgf(x1+x22)，即lgf(x1)⋅f(x2)＜lg[f(x1+x22)]2，因为函数y=lgx在（0，+∞）上单调递增，所以f(x1)⋅f(x2)＜[f(x1+x22)]2．（3）① 证明：对任意的x1，x2，x3∈（a，b），令A=x1+x2+x33，显然A∈（a，b），令x1'=A，x2'=x2，x3'=x1+x3-A，所以x1+x3=x1'+x3'，且|x1'-x3'|=|A-（x1+x3-A）|=|-（x3-A）+（A-x1）|＜|-（x3-A）|+|A-x1|=x3-A+A-x1=x3-x1=|x3-x1|，所以f（x1）+f（x3）＜f（x1'）+f（x3'），所以f（x1）+f（x2）+f（x3）＜f（x1'）+f（x2'）+f（x3'），又x2'+x3'=x2+（x1+x3-A）=A+A，且|x2'-x3'|=|x2-（x1+x3-A）|≥0=|A-A|，所以f（x2'）+f（x3'）≤f（A）+f（A），所以f（x1'）+f（x2'）+f（x3'）＜f（A）+f（A）+f（A）=3f（A），综上，f(x1)+f(x2)+f(x3)≤3f(x1+x2+x33)，其中等号当且仅当x1=x2=x3时成立；② 解：当△ABC是锐角三角形时，由① 知，sinA+sinB+sinC≤3sin(A+B+C3)=3√32，当且仅当A=B=C时成立；当△ABC是直角三角形时，不妨设C为直角，于是sinA+sinB+sinC=sinA+cosA+1=√2sin(A+π4)+1≤√2+1＜3√32；当△ABC是钝角三角形时，不妨设C为钝角，此时0＜π−C＜π2，于是sinA+sinB+sinC=sinA+sinB+sin(π−C)≤3sin(A+B+π−C3)=3sin2(π−C)3，由于0＜π−C＜π2，所以0＜2(π−C)3＜π3，所以0＜sin2(π−C)3＜√32，所以0＜3sin2(π−C)3＜3√32，综上，sinA+sinB+sinC的最大值为3√32．【点评】：本题主要考查函数方程及其应用，函数中的新定义问题等知识，属于难题．。
2021-2022学年上海市杨浦区九年级(上)期末数学试卷(一模)(含答案解析)
2021-2022学年上海市杨浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）1.将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移2个单位，下列结论中，正确的是( )A. 开口方向不变B. 顶点不变C. 与x轴的交点不变D. 与y轴的交点不变2.在Rt△ABC中，∠C=90∘，如果∠A=α，AC=1，那么AB等于( )A. sinαB. cosαC. 1sinαD. 1cosα3.已知e1⃗⃗⃗ 和e2⃗⃗⃗ 都是单位向量，下列结论中，正确的是( )A. e1⃗⃗⃗ =e2⃗⃗⃗B. e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ =0⃗C. |e1⃗⃗⃗ |+|e2⃗⃗⃗ |=2D. e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ =24.已知点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，下列结论中，正确的是( )A. PBAP =√5+12B. PBAB=√5+12C. APAB=√5−12D. APPB=√5−125.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，过对角线交点O的直线与两底分别交于点E、F，下列结论中，错误的是( )A. AEFC =OEOFB. AEDE =BFFCC. ADBC =OEOFD. ADDE =BCBF6.如图，点F是△ABC的角平分线AG的中点，点D、E分别在AB、AC边上，线段DE过点F，且∠ADE=∠C，下列结论中，错误的是( )A. DFGC =12B. DEBC=12C. AEAB=12D. ADBD=127.已知yx =34，那么x−yx=______.8.计算：cos245∘−tan30∘sin60∘=______.9.抛物线y=x2+3与y轴的交点坐标为______.10.二次函数y=x2−4x图象上的最低点的纵坐标为______.11.已知a⃗的长度为2，b⃗ 的长度为4，且b⃗ 和a⃗方向相反，用向量a⃗表示向量b⃗ =______.12.如果两个相似三角形对应边之比是4：9，那么它们的周长之比等于______.13. 已知在△ABC 中，AB =10，BC =16，∠B =60∘，那么AC =______.14. 已知在△ABC 中，∠C =90∘，AC =8，BC =6，点G 是△ABC 的重心，那么点G 到斜边AB 的距离是______.15. 在某一时刻，直立地面的一根竹竿的影长为3米，一根旗杆的影长为25米，已知这根竹竿的长度为1.8米，那么这根旗杆的高度为______米． 16. 如图，海中有一个小岛A ，一艘轮船由西向东航行，在点B 处测得小岛A 在它的北偏东60∘方向上，航行12海里到达点C 处，测得小岛A 在它的北偏东30∘方向上，那么小岛A 到航线BC 的距离等于______海里．17. 新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如图，已知等腰Rt △ABC 为“格线三角形”，且∠BAC =90∘，那么直线BC 与直线c 的夹角α的余切值为______.18. 如图，已知在Rt △ABC 中，∠C =90∘，tanA =512，将△ABC 绕点A 逆时针旋转90∘后得△ADE ，点B 落在点D 处，点C 落在点E 处，连接BE 、CD ，作∠CAD 的平分线AN ，交线段BE 于点M ，交线段CD 于点N ，那么AMAN 的值为______.19. 如图，已知在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE//BC ，且DE =23BC. (1)如果AC =6，求AE 的长；(2)设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，试用a ⃗ 、b⃗ 的线性组合表示向量DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .20. 已知二次函数y =2x 2−4x +5.(1)用配方法把二次函数y =2x 2−4x +5化为y =a(x +m)2+k 的形式，并指出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)如果将该函数图象沿y轴向下平移5个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点A，与y 轴交于点B，顶点为C，求△ABC的面积．，点E是21.如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD=2，BD=6，tan∠B=23边BC的中点．(1)求边AC的长；(2)求∠EAB的正弦值．22.如图，为了测量建筑物AB的高度，先从与建筑物AB的底部B点水平相距100米的点C 处出发，沿斜坡CD行走至坡顶D处，斜坡CD的坡度i=1：3，坡顶D到BC的距离DE=20米，在点D处测得建筑物顶端A点的仰角为50∘，点A、B、C、D、E在同一平面内，根据测量数据，请计算建筑物AB的高度(结果精确到1米)(参考数据：sin50∘≈0.77；cos50∘≈0.64；tan50∘≈1.19)23.已知，如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD，点E在边BC上，AE//CD，DE//AB，过点C作CF//AD，交线段AE于点F，连接BF.(1)求证：△ABF≌△EAD；(2)如果射线BF经过点D，求证：BE2=EC⋅BC.x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)和点B，24.已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−12与y轴交于点C(0,2)，点P是该抛物线在第一象限内一点，连接AP、BC，AP与线段BC相交于点F.(1)求抛物线的表达式；(2)设抛物线的对称轴与线段BC交于点E，如果点F与点E重合，求点P的坐标；(3)过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，PG与线段BC交于点H，如果PF=PH，求线段PH的长度．25.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC=5，点D为射线AB上一动点，且BD< AD，点B关于直线CD的对称点为点E，射线AE与射线CD交于点F.(1)当点D在边AB上时，①求证：∠AFC=45∘；②延长AF与边CB的延长线相交于点G，如果△EBG与△BDC相似，求线段BD的长；(2)连接CE、BE，如果S△ACE=12，求S△ABE的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A、将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移2个单位，a不变，开口方向不变，故正确．B、将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移2个单位，顶点的横坐标不变，纵坐标改变，故错误；C、将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移2个单位，形状不变，顶点改变，与x轴的交点改变，故错误．D、将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移2个单位，与y轴的交点也向下平移两个单位，故错误．故选：A.由于抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，a不变，抛物线的增减性不变．本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，注意：抛物线平移后的图象形状不变，开口方向不变，顶点坐标改变．2.【答案】D【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90∘，如果∠A=α，AC=1，那么：cosA=ACAB =1AB，∴AB=1cosα，故选：D.在Rt△ABC中，根据∠A的余弦即可解答．本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦，余弦和正切的区别是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：根据单位向量的定义可知：e1⃗⃗⃗ 和e2⃗⃗⃗ 的模长都是1，但是这两个向量并没有明确方向，∴A，B，D错误，C正确，故选：C.根据单位向量的定义判断即可．本题考查了平面向量中的单位向量知识，熟练掌握单位向量的定义是解题的关键．4.【答案】C【解析】解：∵点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，∴AP2=PB⋅AB，∴点P是AB的黄金分割点，∴AP AB =√5−12，故选：C.根据黄金分割的定义判断即可．本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义，找出黄金分割中成比例的对应线段是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：A.∵AD//BC，∴△AOE∽△COF，∴AE FC =OEOF，A正确，故本选项不符合题意；B.∵AD//BC，∴△AOE∽△COF，△DEO∽△BFO，∴AE FC =OEOF，DEBF=OEOF，∴AE FC =DEBF，∴AE DE =FCBF，B错误，故本选项符合题意；C.∵AD//BC，∴△AOE∽△COF，△AOD∽△COB，∴AO CO =OEOF，ADBC=AOCO，∴AD BC =OEOF，C正确，故本选项不符合题意；D.∵AD//BC，∴△DEO∽△BFO，△AOD∽△COB，∴DE BF =DOBO，ADBC=DOBO，∴AD BC =DEBF，∴AD DE =BCBF，D正确，故本选项不符合题意；故选：B.根据相似三角形的判定得出△AOE∽△COF，△DEO∽△BFO，△AOD∽△COB，再根据相似三角形的性质得出比例式，最后根据比例的性质得出即可．本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理和比例的性质等知识点，能熟记相似三角形的性质定理和判定定理是解此题的关键．6.【答案】D【解析】解：∵AG平分∠BAC，∴∠BAG=∠CAG，∵点F是AG的中点，∴AF=FG=12，∵∠ADE=∠C，∠DAE=∠BAC，∴△DAE∽△CAB，∴∠AED=∠B，DEBC =ADAC=AEAB，又∵∠BAG=∠CAG，∴△EAF∽△BAG，∴AE AB =AFAG=12，∴DE BC =AEAB=12，∵∠ADE=∠C，∠BAG=∠CAG，∴△ADF∽△ACG，∴AD AC =AFAG=DFGC=12，∴选项A、B、C正确，选项D错误. 故选：D.通过证明△DAE∽△CAB，△EAF∽△BAG，可得AEAB =AFAG=12，DEBC=AEAB=12，通过证明△ADF∽△ACG，可得ADAC =AFAG=DFGC=12，即可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．7.【答案】14【解析】解：∵yx =34，∴设x=4k，y=3k，∴x−yx =4k−3k4k=k4k=14，故答案为：14.利用设k法解答，即可得到结果．本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．8.【答案】0【解析】解：cos245∘−tan30∘sin60∘=12−√33×√32=12−12=0，故答案为：0.原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．此题考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9.【答案】(0,3)【解析】解：当x=0时，y=3，则抛物线y=x2+3与y轴交点的坐标为(0,3)，故答案为：(0,3)把x=0代入解析式求出y，根据y轴上点的坐标特征解答即可．本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．10.【答案】−4【解析】解：∵y=x2−4x=(x−2)2−4，∴抛物线最低点坐标为(2,−4)，∴抛物线最低点的纵坐标为−4.故答案为：−4.将二次函数解析式化为顶点式求解即可．本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数一般式与顶点式的转化．11.【答案】−2a⃗【解析】解：∵a⃗的长度为2，b⃗ 的长度为4，且b⃗ 和a⃗方向相反，∴b⃗ =−2a⃗，故答案为：−2a⃗ .根据a⃗与b⃗ 的长度与方向即可得出结果．本题考查了平面向量的基本知识，熟练掌握平面向量的定义和性质是解题的关键．12.【答案】4：9【解析】解：∵两个相似三角形对应边之比是4：9，∴它们的周长之比等于4：9，故答案为：4：9.根据相似三角形的性质即可得出结果．本题考查了相似三角形的性质，能熟记相似三角形的周长之比等于相似比是解此题的关键．13.【答案】14【解析】解：过A 作AD ⊥BC 于D ，则∠ADB =∠ADC =90∘，∵∠B =60∘， ∴sin60∘=ADAB，cos60∘=BD AB， ∵AB =10， ∴√32=AD 10，12=BD10， ∴BD =5，AD =5√3， ∵BC =16，BD =5， ∴CD =BC −BD =11，由勾股定理得：AC =√AD 2+CD 2=√(5√3)2+112=14， 故答案为：14.过A 作AD ⊥BC 于D ，解直角三角形求出BD 和AD ，求出CD ，再根据勾股定理即可求出AC. 本题考查了解直角三角形和勾股定理，能熟记锐角三角形函数的定义和勾股定理是解此题的关键．14.【答案】85【解析】解：过C 点作CE ⊥AB 于E ，过G 点作GH ⊥AB 于H ，如图． 在Rt △ABC 中，∠ACB =90∘，AC =8，BC =6， ∴AB =√AC 2+BC 2=√82+62=10， ∵12CE ⋅AB =12AC ⋅BC ， ∴CE =8×610=245， ∵G 是△ABC 的重心， ∴DG =12CG ， ∴DG =13CD ，∵CE ⊥AB ，GH ⊥AB ，∴GH//CE，∴△DHG∽△DEC，∴GH CE =DGDC=13，∴GH=13CE=13×245=85.故答案为：85.过C点作CE⊥AB于E，过G点作GH⊥AB于H，如图，先利用勾股定理计算出AB，再利用三角形等面积法求出CE=245，根据G是△ABC的重心得到DG=13CD，然后证明△DHG∽△DEC，利用相似比可求出GH的长度．此题考查了三角形重心的性质：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，也考查了勾股定理，三角形的面积，相似三角形的判定与性质．15.【答案】15【解析】解：设旗杆的高度为x米，根据同一时刻，物高与影长成正比得，x：1.8=25：3，x=15，∴旗杆的高度为15米，故答案为：15.根据同一时刻，物高与影长成正比即可列出等式求解．本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握平行投影的基本特征：物高与影长成正比是解题的关键．16.【答案】6√3【解析】解：过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，由题意得：BC=12海里，∠ABC=90∘−60∘=30∘，∠ACE=90∘−30∘=60∘，∴∠BAC=∠ACE−∠ABC=30∘，∴∠BAC=∠ABC，∴AC=BC=12海里，在Rt△ACE中，sin∠ACE=AEAC，∴AE=AC⋅sin∠ACE=12×√32=6√3(海里)，即小岛A到航线BC的距离是6√3海里，故答案为：6√3.过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，根据三角形的外角性质得∠BAC=∠ABC，由等腰三角形的判定得AC=BC，再由锐角三角函数定义求出AE的长即可．本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．17.【答案】3【解析】解：过B作BE⊥直线a于E，延长EB交直线c于F，过C作CD⊥直线a于D，则∠CDA=∠AEB=90∘，∵直线a//直线b//直线c，相邻两条平行线间的距离相等(设为d)，∴BF⊥直线c，CD=2d，∴BE=BF=d，∵∠CAB=90∘，∠CDA=90∘，∴∠DCA+∠DAC=90∘，∠EAB+∠DAC=90∘，∴∠DCA=∠EAB，在△CDA和△AEB中，{∠DCA=∠EAB ∠CDA=∠AEB AC=AB，∴△CDA≌△AEB(AAS)，∴AE=CD=2d，AD=BE=d，∴CF=DE=AE+AD=2d+d=3d，∵BF=d，∴cotα=CFBF =3dd=3，故答案为：3.过B作BE⊥直线a于E，延长EB交直线c于F，过C作CD⊥直线a于D，根据全等三角形的判定得出△CDA≌△AEB，根据全等三角形的性质得出AE=CD=2d，AD=BE=d，求出CF= DE=AE+AD=3d，再解直角三角形求出答案即可．本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，平行线间的距离等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．18.【答案】23 【解析】解：由∠C =90∘和tanA =512可设BC =5k ，AC =12k ， ∴AB =13k ，由旋转得，AE =AC =12k ，ED =BC =5k ，AB =AD =13k ，如图，以点C 为原点，BC 和AC 所在直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则A(0,12k)，B(−5k,0)，∵旋转角为90∘，∴E(12k,12k)，D(12k,7k)，过点N 作NF ⊥AC 于点F ，交BE 于点P ，过点N 作NH ⊥AD 于点H ，∵AN 平分∠CAD ，∴NF =NH ，∴S △ANC S △AND =AC AD =12k13k =1213， 又∵△ANC 在边CN 上的高和△AND 在边DN 上的高相等，∴CNDN =S △ANC S △AND =1213， ∴点N 的坐标为(144k 25,84k 25)，设直线BE 的解析式为y =mx +n (m ≠0)，则{−5km +n =012km +n =12k ，解得：{m =1217n =60k 17， ∴直线BE 的解析式为y =1217x +6017k ， 当y =84k 25时，1217x +6017k =84k 25， 解得：x =−625k ，∴P(−625k,84k 25)， ∴NP =144k 25−(−625k)=6k ，∵NF ⊥AC ，∠EAC =90∘，∴AE//NP ，∴△MAF ∽△MNP ，∴AM NM =AE NP =12k6k =2，∴AM AN =23，故答案为：23.先根据题目条件作出图象，由∠C =90∘和tanA =512设BC =5k ，AC =12k ，然后由旋转的性质得到AE =AC =12k ，ED =BC =5k ，AB =AD =13k ，以点C 为原点、BC 和AC 所在直线分别为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，则A(0,12k)，B(−5k,0)，E(12k,12k)，D(12k,7k)，过点N 作NF ⊥AC 于点F ，交BE 于点P ，过点N 作NH ⊥AD 于点H ，得到NF =NH ，得到S △ANC S △AND=AC AD =12k 13k ，然后由高相等的两个三角形的面积之比为底边长之比得到CN DN 的值，进而用含有k 的式子表示点N 的坐标，再求得直线BE 的解析式，然后求得点P 的坐标得到NP 的长，最后通过△MAE ∽△MNP 得到AM NM 的值，即可得到AM AN的值． 本题考查了旋转的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、三角形的面积，解题的关键是通过旋转的性质建立平面直角坐标系．19.【答案】解：(1)∵DE//BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AE AC =DE BC ，∵DE =23BC ，∴AE =23×6=4；(2)由(1)知，DE BC =23， ∴DE =23BC ，∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −a ⃗ ，∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(b ⃗ −a ⃗ ). 【解析】(1)根据相似三角形的性质得出等式即可求解；(2)根据平面向量的加减运算法则即可求解．本题考查了平面向量，相似三角形的性质等知识，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．20.【答案】解：(1)y =2x 2−4x +5=2(x 2−2x)+5=2(x 2−2x +1−1)+5=2(x −1)2+3，∴开口向上，对称轴为直线x =1，顶点坐标为(1,3).(2)抛物线y =2x 2−4x +5沿y 轴向下平移5个单位后解析式是y =2x 2−4x +5−5，即y =2x2−4x.∵y=2x2−4x=2(x−1)2−2，∴顶点C的坐标是(1,−2).在y=2x2−4x中令y=0，则2x2−4x=0，解得x=0或2，∴A(2,0)，B(0,0)，∴△ABC的面积为：12×2×2=2.【解析】(1)利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可．(2)首先求得抛物线y=2x2−4x+5沿y轴向下平移5个单位后解析式，利用配方法求得C的坐标，令y=0求得A、B的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可．本题考查的是二次函数三种形式的转化，抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与几何变换，三角形的面积，掌握配方法、平移的规律是解题的关键．21.【答案】解：(1)∵CD⊥AB，∴△ACD、△BCD均为直角三角形．在Rt△CDB中，∵BD=6，tan∠B=CDBD =23，∴CD=4.在Rt△CDA中，AC=√CD2+AD2=√42+22=2√5.(2)过点E作EF⊥AB，垂足为F.∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD//EF.又∵点E是边BC的中点，∴EF是△BCD的中位线．∴DF=BF=3，EF=12CD=2.∴AF=AD+DF=5.在Rt△AEF中，AE=√AF2+EF2=√52+22=√29.∴sin∠EAB=EF AE=2√29=229√29.【解析】(1)利用∠B的正切值先求出CD，再利用勾股定理即可求出AC；(2)过点E作EF⊥AB，垂足为F.先判断EF是三角形的中位线，再求出EF、DF、AF及AE，最后即可求出∠EAB的正弦值．本题主要考查了解直角三角形和勾股定理，掌握直角三角形的边角间关系以及三角形的中位线定理是解决本题的关键．22.【答案】解：过D作DF⊥AB于F，则DF=EB，FB=DE=20米，∵斜坡CD的坡度i=1：3=DE：CE，坡顶D到BC的距离DE=20米，∴CE=3DE=60(米)，∴DF=EB=BC−CE=100−60=40(米)，在Rt△ADF中，∠ADF=50∘，∵tan∠ADF=AFDF=tan50∘≈1.19，∴AF≈1.19DF=1.19×40=47.6(米)，∴AB=AF+BF≈47.6+20≈68(米)，即建筑物AB的高度约为68米．【解析】过D作DF⊥AB于F，由坡度的定义求出CE=3DE=60(米)，则DF=EB=40(米)，再解直角三角形求出AF的长，即可得出答案本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．23.【答案】解：(1)证明：∵AE//CD，∴∠AEB=∠BCD，∵∠ABC=∠BCD，∴∠ABC=∠AEB，∴AB=AE，∵DE//AB，∴∠DEC=∠ABC，∠AED=∠BAF，∵∠ABC=∠BCD，∴∠DEC=∠BCD，∴DE=DC，∵CF//AD，AE//CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AF=CD，∴AF=DE，在△ABF和△EAD中，{AB=EA∠BAF=∠AED AF=ED，∴△ABF≌△EAD(SAS)；(2)如图，连接FD，∵射线BF经过点D，∴点B，点F，点D三点共线，∵AE//DC，∴△BEF∽△BCD，∴BE BC =EFCD，ECBE=DFBF，∵DE//AB，∴△DEF∽△BAF，∴EF AF =DFBF，∴EC BE =EFAF，∵CD=AF，∴BE BC =EFCD=EFAF=ECBE，∴BE2=EC⋅BC.【解析】(1)先证AB=AE，DE=DC，再证四边形ADCF是平行四边形，得出AF=CD，进而得出AF=DE，再由平行线性质得∠AED=∠BAF，进而证得结论；(2)通过证明△BEF∽△BCD，△DEF∽△BAF，可得BEBC =EFCD=EFAF=ECBE，即可得结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，利用相似三角形的性质得到线段的关系是解题的关键．24.【答案】解：(1)将点A(−1,0)和点C(0,2)代入y =−12x 2+bx +c ，∴{−12−b +c =0c =2， ∴{b =32c =2， ∴y =−12x 2+32x +2；(2)∵y =−12x 2+32x +2，∴对称轴为直线x =32，令y =0，则−12x 2+32x +2=0，解得x =−1或x =4，∴B(4,0)，设直线BC 的解析式为y =kx +m (k ≠0)，∴{4k +m =0m =2， ∴{k =−12m =2， ∴y =−12x +2，∴E(32,54)，设直线AE 的解析式为y =k′x +n (k ′≠0)，∴{−k′+n =032k′+n =54， ∴{k′=12n =12， ∴y =12x +12，联立{y =12x +12y =−12x 2+32x +2， ∴x =3或x =−1(舍)，∴P(3,2)；(3)设P(t,−12t 2+32t +2)，则H(t,−12t +2)，∴PH =−12t 2+2t ，设直线AP 的解析式为y =k 1x +b 1(k 1≠0)，∴{−k 1+b 1=0k 1t +b 1=−12t 2+32t +2， ∴{k 1=4−t 2b 1=4−t 2， ∴y =4−t 2x +4−t 2， 联立{y =−12x +2y =4−t 2x +4−t 2， ∴x =t 5−t ，∴F(t 5−t ,20−5t 10−2t)， 直线AP 与y 轴交点E(0,4−t 2)， ∴CE =2−4−t2=t2， ∵PF =PH ，∴∠PFH =∠PHF ，∵PG//y 轴，∴∠ECF =∠PHF ，∵∠CFE =∠PFH ，∴∠CEF =∠CFE ，∴CE =EF ，∴(t 2)2=(t 5−t )2+(20−5t 10−2t −4−t 2)2，∴(4−t)2+4=(5−t)2，∴t =52，∴PH =−12t 2+2t =158. 【解析】(1)将点A(−1,0)和点C(0,2)代入y =−12x 2+bx +c ，即可求解；(2)分别求出B(4,0)和直线BC 的解析式为y =−12x +2，可得E(32,54)，再求直线AE 的解析式为y =12x +12，联立{y =12x +12y =−12x 2+32x +2，即可求点P(3,2)； (3)设P(t,−12t 2+32t +2)，则H(t,−12t +2)，则PH =−12t 2+2t ，用待定系数法求出直线AP 的解析式为y =4−t 2x +4−t 2，联立{y =−12x +2y =4−t 2x +4−t 2，可求出F(t 5−t ,20−5t 10−2t )，直线AP 与y 轴交点E(0,4−t 2)，则CE =t 2，再由PF =PH ，可得CE =EF ，则有方程(t 2)2=(t 5−t )2+(20−5t 10−2t −4−t 2)2，求出t =52，即可求PH=−12t2+2t=158.本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，会求函数的交点坐标，本题计算量较大，准确的计算是解题的关键．25.【答案】解：(1)①证明：如图1，连接CE，∵点B关于直线CD的对称点为点E，∴EC=BC，∠ECF=∠BCF，设∠ECF=∠BCF=α，则∠BCE=2α，∴∠ACE=90∘−2α，∵AC=BC，∴AC=EC，∴∠AEC=∠EAC=12[180∘−(90∘−2α)]=45∘+α，∵∠AEC=∠AFC+∠ECF=∠AFC+α，∴∠AFC=45∘；②如图2，连接BE，CE，∵B、E关于直线CF对称，∴CF垂直平分BE，由(1)知：∠AFC=45∘，∴∠BEF=45∘，∵△EBG与△BDC相似，∠BEG=∠DBC=45∘，∵∠EBG与∠BDC均为钝角，∴△EBG∽△BDC，∴∠G=∠BCD=∠BAG，∵∠G+∠BAG=∠ABC=45∘，∴∠G=∠BCD=22.5∘，过点D作DH⊥AB交BC于点H，则△BDH是等腰直角三角形，∴DH=BD，BH=√2BD，∠BHD=45∘，∵∠CDH=∠BHD−∠BCD=45∘−22.5∘=22.5∘=∠BCD，∴CH=DH=BD，∵CH+BH=BC=5，∴BD+√2BD=5，∴BD=5√2+1=5√2−5，∴线段BD的长为5√2−5；(2)Ⅰ.当点D在AB上时，如图3，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，∵AC=EC=BC=5，∴AM=EM=12AE，∴①AM2+CM2=AC2=25，∵S△ACE=12AE⋅CM=12，∴②AM⋅CM=12，①+②×2，得：(AM+CM)2=49③，①-②×2，得：(AM−CM)2=49③，∵CM>AM>0，∴AM=3，CM=4，∴AE=6，由(1)知：∠AFC=45∘，BE⊥CF，∴∠BEF=45∘，∵∠AFC=∠ABC=45∘，∴A、C、B、F四点共圆，∴∠AFB+∠ACB=180∘，∴∠AFB=90∘，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF=BF，设EF=BF=x，则AE=x+6，在Rt△ABF中，AF2+BF2=AB2，∴(x+6)2+x2=50，解得：x=1或x=−7(舍去)，∴BF=1，∴S△ABE=12AE⋅BF=12×6×1=3；Ⅰ.当点D在AB的延长线上时，如图4，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，由(1)知：∠AFC=45∘，CF垂直平分BE，∴∠BEF=45∘，BF=EF，∴∠EBF=∠BEF=45∘，∴∠BFE=90∘，∵AC=EC=BC=5，∴AM=EM=12AE，与Ⅰ同理可得：AM=EM=4，CM=3，AE=8，设BF=EF=y，则AF=8−y，在Rt△ABF中，AF2+BF2=AB2，∴(8−x)2+x2=50，解得：x=1或x=7(舍去)，∴BF=1，∴S△ABE=12AE⋅BF=12×8×1=4；综上，S△ABE的值为3或4.【解析】(1)①如图1，连接CE，根据轴对称的性质可得：EC=BC，∠ECF=∠BCF，设∠ECF=∠BCF=α，则∠BCE=2α，∠ACE=90∘−2α，再利用等腰三角形性质即可证得结论；②如图2，连接BE，CE，由△EBG∽△BDC，可得出∠G=∠BCD=22.5∘，过点D作DH⊥AB交BC于点H，则△BDH是等腰直角三角形，推出CH=DH=BD，再根据CH+BH=BC=5，建立方程求解即可；(2)分两种情况：Ⅰ.当点D在AB上时，如图3，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，利用勾股定理、三角形面积建立方程求解即可；Ⅰ.当点D在AB的延长线上时，如图4，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，利用勾股定理、三角形面积建立方程求解即可．本题考查了三角形面积，等腰直角三角形性质和判定，相似三角形的判定和性质，轴对称变换的性质，勾股定理等，解题关键是添加辅助线构造直角三角形，运用分类讨论思想和方程思想解决问题．。
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2021-2022学年上海市杨浦区高三上学期期末数学试卷(一模)一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1. 关于x 、y 的二元一次方程组{x +2y =33x +4y =−1的增广矩阵为( ) A. (1234) B. ∣∣∣1234∣∣∣ C. (12−3341) D. (12334−1) 2. 记数列{a n }的通项公式为a n ={(−1)n ,n ≤20212n+1n+1,n ≥2022，n ∈N ∗，则数列{a n }的极限为( ) A. −1B. 1C. 2D. 不存在 3. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 分别在棱AA 1、CC 1上，则“直线MN ⊥直线C 1B ”是“直线MN ⊥平面C 1BD ”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件4. 已知非空集合A ，B 满足：A ∪B =R ，A ∩B =⌀，函数f(x)={x 2,x ∈A 2x −1,x ∈B，对于下列两个命题：①存在唯一的非空集合对(A,B)，使得f(x)为偶函数；②存在无穷多非空集合对(A,B)，使得方程f(x)=2无解．下面判断正确的是( )A. ①正确，②错误B. ①错误，②正确C. ①、②都正确D. ①、②都错误 二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.函数y =sin(2x +π3)的最小正周期T =______． 6.已知集合A ={1,2,3,4}，B ={x|x ≤52,x ∈R}，则A ∩B =______． 7.已知函数f(x)=x−1x+2的反函数为f −1(x)，则f −1(0)=______． 8.若双曲线x 2−y 2m =1的渐近线方程为y =±2x ，则实数m =______． 9. 在(1+2x)6的二项展开式中，x 2项的系数为______． 10. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则圆锥的体积为______．11. 已知复数z 满足：i +2+i z −=0(i 为虚数单位)，则|z|=______．12. 方程log 3(x 2−1)=2+log 3(x −1)的解为x =______．13. 某市高考新政规定每位学生在物理、化学、生物、历史、政治、地理中选择三门作为等级考试科目，则甲、乙两位学生等级考试科目恰有一门相同的不同选择共有______种．(用数字作答)14. 在△ABC 中，三边a 、b 、c 所对的三个内角分别为A 、B 、C ，若a =3，b =2√6，B =2A ，则边长c =______．15. 在平面直角坐标系中，已知点A(−1,0)，B(0,3)，E 、F 为圆x 2+y 2=4上两个动点，且|EF⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为______．16. 等差数列{a n }满足：①a 1<0，a 2>32；②在区间(11,20)中的项恰好比区间[41,50]中的项少2项，则数列{a n }的通项公式为a n =______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 如图，直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面为直角三角形且∠ACB =90°，直角边CA 、CB 的长分别为3、4，侧棱AA 1的长为4，点M 、N 分别为线段A 1B 1、C 1B 1的中点．(1)求证：A ，C ，N ，M 四点共面；(2)求直线AC 1与平面ACNM 所成角的大小．18. 已知函数f(x)=sinωx +cosωx ．(1)若ω=2，求函数f(x)在[0,π]上的零点；(2)已知ω=1，函数g(x)=(f(x))2+√3cos2x ，x ∈[0,π4]，求函数g(x)的值域．19. 为了防止某种新冠病毒感染，某地居民需服用一种药物预防．规定每人每天定时服用一次，每次服用m 毫克．已知人的肾脏每24小时可以从体内滤除这种药物的80%，设第n 次服药后(滤除之前)这种药物在人体内的含量是a n 毫克(即a 1=m)．(1)已知m =12，求a 2、a 3；(2)该药物在人体的含量超过25毫克会产生毒副作用，若人需要长期服用这种药物，求m 的最大值．20.如图，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过右焦点F2与x轴垂直的直线交椭圆于M、N两点，动点P、Q分别在直线MN与椭圆C上．已知|F1F2|=2，△MNF1的周长为4√2．(1)求椭圆C的方程；(2)若线段PQ的中点在y轴上，求三角形F1QP的面积；(3)是否存在以F1Q、F1P为邻边的矩形F1PEQ，使得点E在椭圆C上？若存在，求出所有满足条件的点Q的横坐标；若不存在，说明理由．21.给定区间I和正常数a，如果定义在R上的两个函数y=f(x)与y=g(x)满足：对一切x∈I，均有|f(x)−g(x)|≤a，称函数y=f(x)与y=g(x)具有性质P(I,a)．(1)已知I=(0,+∞)，判断下列两组函数是否具有性质P(I,2)？①f1(x)=1x2+1，g1(x)=2；②f2(x)= x2+x+1，g2(x)=x2−x+1；(不需要说明理由)(2)已知f(x)=0，y=g(x)是周期函数，且对任意的a>0，均存在区间I=(M,+∞)，使得函数y=f(x)与y=g(x)具有性质P(I,a)，求证：g(x)=0；(3)已知I=[1,m]，f(x)=x2，若存在一次函数y=g(x)与y=f(x)具有性质P(I,1)，求实数m的最大值．参考答案及解析1.答案：D解析：关于x 、y 的二元一次方程组{x +2y =33x +4y =−1的增广矩阵为： (12334−1)． 故选：D ．利用增广矩阵的定义直接求解．本题考查增广矩阵的求法，考查增广矩阵的定义等基础知识，是基础题．2.答案：C解析：数列{a n }的通项公式为a n ={(−1)n ,n ≤20212n+1n+1,n ≥2022，n ∈N ∗， 则数列{a n }的极限为：n →∞lim a n =n →∞lim 2n+1n+1=n →∞lim 2+1n 1+1n =2+01+0=2． 故选：C ． 直接利用数列的极限的运算法则，化简求解即可．本题考查数列极限的运算法则的应用，是基础题．3.答案：C解析：充分条件：因为MN 在面ABCD 上的投影为AC ，且AC ⊥BD ，所以MN ⊥BD ，又MN ⊥C 1B ，C 1B ∩BD =B ，C 1B 、BD ⊂平面C 1BD ，所以MN ⊥平面C 1BD ，必要条件：由线面垂直的性质定理知，若直线MN ⊥平面C 1BD ，因为C 1B ⊂平面C 1BD ，所以MN ⊥C 1B ， 所以“直线MN ⊥直线C 1B ”是“直线MN ⊥平面C 1BD ”的充要条件．故选：C ．由三垂线定理可推出MN ⊥BD ，再由线面垂直的判定定理，可证充分条件；由线面垂直的性质定理课证必要条件．本题考查空间中线与面的位置关系，熟练掌握线面垂直的判定定理和性质定理是解题的关键，考查空间立体感和推理论证能力，属于基础题．4.答案：B解析：命题①.因为A ∪B =R ，A ∩B =⌀，所以要么{0∈A 0∉B ，要么{0∈B 0∉A所以不存在非空集合对(A,B)，使f(x)为偶函数，则命题①错误．假设存在某个非空集合对(A,B)满足{0∈A 0∉B且为偶函数， 将元素0从集合A 中取出，放入集合B ，其它元素不变，得到一个新的非空集合对(A 1,B 1)， 则新的非空集合对(A 1,B 1)，使函数f(x)仍然是偶函数．假设某个非空集合对(A,B)满足{0∈B 0∉A且f(x)为偶函数， 将元素0从集合B 中取出，放入集合A ，其它元素不变，得到一个新的非空集合对(A 2,B 2)， 则新的非空集合对(A 2,B 2)，使函数f(x)仍然是偶函数．当存在非空集合对(A,B)，使f(x)为偶函数时，非空集合对(A,B)不唯一，综上所述，命题①错误；命题②，解方程x 2=2，得x =±√2，解方程2x −1=2，得x =32，当非空集合对(A,B)满足√2∈A ，(−√2)∉A ，32∉B 时，方程f(x)=2无解，而满足这个条件的非空集合对(A,B)有无穷多个，故命题②正确；故选：B ．分析命题①.因为A ∪B =R ，A ∩B =⌀，则{0∈A 0∉B ，要么{0∈B 0∉A，从反面寻找满足条件的集合对(A,B)可判断①；解方程f(x)=2，检验可判断②．本题考查了命题的真假的判断，属于中档题． 5.答案：π解析：函数y =sin(2x +π3)的最小正周期T =2π2=π，故答案为：π．由题意利用正弦函数的周期性，得出结论．本题主要考查正弦函数的周期性，属于基础题． 6.答案：{1,2}解析：∵集合A ={1,2,3,4}，B={x|x≤5,x∈R}，2∴A∩B={1,2}．故答案为：{1,2}．利用交集定义直接求解．本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.答案：1解析：∵已知函数y=f(x)存在反函数y=f−1(x)，设f(x)=0，=0，解得x=1，则x−1x+2则f−1(0)=1．故答案为：1．直接利用反函数的关系式的定义域和函数的值的对应关系求出结果．本题考查了反函数的性质的应用，利用原函数与反函数的定义域和值域恰相反，求出反函数的函数值．8.答案：4=1表示双曲线，故m>0，且焦点在x轴上，解析：由于x2−y2m∴渐近线为y=±√mx，∴√m=2⇒m=4．故答案为：4．根据双曲线标准方程与渐近线的关系即可列式求解．本题主要考查双曲线的几何性质，由双曲线的渐近线求参数值的方法等知识，属于基础题．9.答案：60解析：由于(1+2x)6的二项展开式的通项公式为T r+1=C6r⋅(2x)x6−r，令6−r=2，求得r=4，∴展开式中x2的系数是：22⋅C64=60，故答案为：60．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的x2的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．10.答案：2√23π解析：因为圆锥的底面半径r为1，母线长l为3，所以圆锥的高ℎ=√l2−r2=√32−12=2√2，则圆锥的体积为V=13Sℎ=13×π×12×2√2=2√23π．故答案为：2√23π．利用勾股定理求出圆锥的高，由锥体的体积公式求解即可．本题考查了圆锥的几何性质的理解与应用，圆锥体积公式的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．11.答案：√5解析：∵i+2+iz−=0，∴z−=2+i−i =(2+i)i−i2=−1+2i，∴z=−1−2i，∴|z|=√(−1)2+(−2)2=√5．故答案为：√5．根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．本题考查了复数代数形式的乘法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．12.答案：8解析：∵log3(x2−1)=2+log3(x−1)，∴log3(x2−1)−log3(x−1)=2，即log3(x+1)=2=log39，∴x+1=9且x2−1>0，x−1>0，解得x=8，故答案为：8．利用对数的性质及运算法则直接求解．本题考查对数方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则的合理运用．13.答案：180解析：根据题意，分2步进行分析：①，在6科中选出1科，作为甲乙共同选择的科目，有6种选法，②，甲在剩下的5科中选出2科，乙在剩下的3科中选出2科，有C 52C 32=30种选法， 则甲、乙两位恰有一门相同的不同选择有6×30=180种，故答案为：180．根据题意，分2步进行分析：①在6科中选出1科，作为甲乙共同选择的科目，②甲在剩下的5科中选出2科，乙在剩下的3科中选出2科，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．14.答案：5或3解析：因为a =3，b =2√6，B =2A ， 所以由正弦定理a sinA =b sinB ，可得3sinA =2√6sinB =2√62sinAcosA ，可得cosA =√63， 由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ，可得9=24+c 2−2×2√6×c ×√63，整理可得c 2−8c +15=0， 解得c =5或3．故答案为：5或3．由已知利用正弦定理，二倍角的正弦公式可求得cosA 的值，进而利用余弦定理可得c 2−8c +15=0，解方程即可求解c 的值．本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想和转化思想，属于基础题．15.答案：2√10−4解析：解：如图，因为E 、F 为圆x 2+y 2=4上两个动点，且|EF⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，所以EF 为该圆直径，即点E 与点F 关于O 点对称，设E(2cosθ,2sinθ)，则F(−2cosθ,−2sinθ)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2cosθ+1,2sinθ)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2cosθ,−2sinθ−3)，AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2cosθ(2cosθ+1)−2sinθ(2sinθ+3)=−4cos 2−2cosθ−4sin 2θ−6sinθ=−4−2cosθ−6sinθ=−4−2√10sin(θ+α)，其中cosα=3√10，sinα=1√10，所以当sin(θ+α)=−1时，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 最大值为2√10−4，故答案为：2√10−4．先确定E 、F 关于O 点对称，设E 点坐标(2cosθ,2sinθ)，再用θ函数表达AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，最后转化为求正弦函数最大值．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．。