江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期期末数学试题(含答案解析)

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江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三数学文测试题含解析

江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为75°、30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．240（﹣1）m B．180（﹣1）m C．120（﹣1）m D．30（+1）m参考答案：C【考点】解三角形的实际应用；余弦定理的应用．【专题】解三角形．【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．【解答】解：如图，由图可知，∠DAB=15°，∵tan15°=tan（45°﹣30°）==．在Rt△ADB中，又AD=60，∴DB=AD?tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD?tan60°=60．∴BC=DC﹣DB=60﹣（120﹣60）=120（）（m）．∴河流的宽度BC等于120（）m．故选：C．【点评】本题考查了解三角形的实际应用，考查了两角差的正切，训练了直角三角形的解法，是中档题．2. 将的图象绕坐标原点O逆时针旋转角后第一次与y轴相切，则角满足的条件是A．esin= cos B．sin= ecos C．esin=l D．ecos=1参考答案：B3. 若变量满足约束条件则的最大值等于（）A．11 B．10 C．8 D．7参考答案：B解析：本题考查线性规划问题。

在平面直角坐标系中画图，作出可行域，可得该可行域是由（0，0），（0，3），（2，3），（4，2），（4，0）组成的五边形。

由于该区域有限，可以通过分别代这五个边界点进行检验，易知当x=4，y=2时，z=2x+y取得最大值10。

江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期12月测试数学试题含答案

江苏省海安高级中学2020年12月测试试卷数学参考公式：1.随机变量X 的方差()21()ni i i D X x p μ==-∑，其中μ为随机变量X 的数学期望.2.球的体积公式：343V R π=. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.已知集合{42}M x x =-<<∣，{}2560N x x x =--<∣，则M N =（）A.{12}xx -<<∣ B.{42}xx -<<∣ C.{46}x x -<<∣ D.{26}xx <<∣ 2.若2z i =+，则22z z -=（）A.03.已知,a b ∈R ，下列四个条件中，使a b <成立的充分不必要的条件是（） A.1a b <-B.1a b <+C.22a b <D.33a b <4.赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方程”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图是一张弦图，已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，若直角三角形较小的锐角为α，则tan 2α的值为（）A.34B.2425C.127D.2475.函数ln ||()x f x x x=-的图象大致为（）A. B. C. D.6.已知随机变量X 的概率分布如表所示.当a 在(1,1)-内增大时，方差()D X 的变化为（） A.增大B.减小C.先增大再減小D.先减小再增大7.在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，连接AC ，MN 交于点P .已知13AP AC =且34AM AB =，若AN AD λ=，则实数λ的值为（） A.12 B.35 C.23 D.348.三棱锥A BCD -中，60ABC CBD DBA ∠=∠=∠=︒，2BC BD ==，ACD △，则此三棱锥外接球的体积为（） A.16πB.4πC.163π D.323π 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题绐出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.某城市为了解景区游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2020年2月至7月A ，B 两景区旅游人数（单位：万人），得到如下的折线图，则下列说法正确的是（）A.根据A 景区的旅游人数折线图可知，该景区旅游人数的平均值在[34,35]内B.根据B 景区的旅游人数折线图可知，该景区旅游人数总体呈上升趋势C.根据A ，B 两景区的旅游人数的折线图，可得A 景区旅游人数极差比B 景区大D.根据A ，B 两景区的旅游人数的折线图，可得B 景区7月份的旅游人数比A 景区多10.已知F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F l 交抛物线于A 、B 两点（点A 第一象限），交拋物线的准线于点C ，则下列结论正确的是（） A.AF FC = B.||2||AF BF =C.||3AB p =D.以AF 为直径的圆与y 轴相切11.下列命题正确的有( )A.若a b c >>，0ac >，则()0bc a c ->B.若0x >，0y >，2x y +=，则22x y +的最大值为4C.若0x >，0y >，x y xy +=，则2x y xy ++的最小值为5+D.若实数2a ≥，则12log (2)1a a a a +++<+ 12.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer ）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（）A.函数()sin f x x =有3个不动点B.函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点C.若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数D.若函数()f x =[0,1]上存在不动点，则实数a 满足l a e ≤≤（e 为自然对数的底数）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知数列{}n a ，{}n b 满足2log ,n n b a n N +=∈，其中{}n b 是等差数列且1020112a a =，则122020b b b ++⋅⋅⋅+=______.14.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线与圆22:(3)8M x y -+=相交于A 、B 两点，||AB =______.15.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且1PA AB ==，BC =A PC B --的正弦值为______.16.函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭，已知,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，直线1312x π=为()f x 图象的一条对称轴，且()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.记满足条件的所有ω的值的和为S ，则S 的值为______.四、解笞题：本题共6小题，共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.. 17.在①2cos 22cos 12BB +=；②2sin tan b A a B =；③()sin sin()sin a c A c A B b B -++=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若______，（1）求角B 的大小；（2）若4a c +=，求ABC △的最小值.注：如果选择多个条件分別解答，按第一个解答计分.18.已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且满足22(2)21nn n S a n S =≥-.（1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）设1n n b S =，()211n n n n b c b b ++=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .19.如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==2PA PB PC AC ====.（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）点M 在棱BC 上，且PC 与平面P AM 所成角的正弦值为4，求BM . 20.某校高三年级举行班小组投篮比赛，小组是以班级为单位，每小组均由1名男生和2名女生组成.比赛中每人投篮n 次()*n N ∈，每人每次投篮及相互之间投篮都是相互独立的.已知女生投篮命中的概率均为13.男生投篮命中的概率均为23. （1）当2n =时，求小组共投中4次的概率；（2）当n l =时，若三人都投中小组获得30分，投中2次小组获得20分，投中1次小组获得10分，三人都不中，小组减去60分，随机变量X 表示小组总分，求随机变量X 的分布列及数学期望.21.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，离心率为2，左右顶点为A ，B ，斜率存在的直线l 与椭圆交于M ，N 两点（M 在x 轴上方，N 在x 轴下方），记直线MA ，NB 的斜率分别为1k ，2k .（1）求椭圆的标准方程；（2）若213k k =，证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标. 22.已知函数()1xf x e =-，()sing x x =.（1）判断()()()F x f x g x =-在[0,)x ∈+∞上零点的个数；（2）当[0,]x π∈时，()()()f x ag x a R ≥∈恒成立，求实数a 的取值范围.江苏省海安高级中学2020年12月数学学科测试试卷答案一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.【答案】C2.【答案】B3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】D7.【答案】B 解：34AM AB =，则43AB AM = AN AD λ=，则1AD AN λ=1141()3393AP AC AB AD AM AN λ==+=+ ∵P ，M ，N 共线，∴41193λ+=，∴35λ=，选B.8.【答案】D解：取CD 中点E ，连接AE ，BE ，∵ABC ABD ∠=∠ ∴A 在底面BCD 上的锤子数学射影落在CBD ∠的平分线上由AB ABABC ABD ABC ABD BC BD =⎧⎪∠=∠⇒⎨⎪=⎩△≌△，∴AC AD = ∴AE CD ⊥，∵ACD S =△2CD =，∴22AE=AE =∴AD =设AB x =，在ABD △中，由余弦定理214221242x x x ⇒+-⋅⋅=⇒=，即4AB =，BE =，cos AEB ∠=，过A 作AM BE ⊥交其延长线于M ，∴EM ==AM ==在BE 上取一点G 使23BG BE =，∴G 为BCD △的锤子数学中心也为外心过G 作GH ⊥底面BCD ，∴O 在直线GH ，设OG t =由2222OA OB t t t ⎫=⇒+=+⇒=⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴2224R =+=⎝⎭⎝⎭，2R =，3432233V ππ=⨯=，选D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给岀的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9.【答案】ABD 10.【答案】AD 11.【答案】ACD解：a b c >>，0ac <，则a ，b ，c 同号，∴0bc >0a c ->，∴()0bc a c ->，A 正确224x y +≥==当且仅当1x y ==时取“=”，即()min224x y+=，B 错误x y xy +=，则1yx y =- 221111222(1)21111y y y y x y xy y y y y y y -+-+++=++=+-++----112212(1)212(1)43(1)561111y y y y y y y y y =++-++++=-+++=-++≥----，C 正确另一解法x y xy +=可得111x y+= 11232223(23)235x yx y xy x y x y x y x y x y y x ⎛⎫++=+++=+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭要锤子数学比较1log (2)a a ++与21a a ++大小，即比较ln(2)ln(1)a a ++与21a a ++大小，即比较ln(2)2a a ++与ln(1)1a a ++大小令ln ()x f x x =，21ln ()0xf x x-'==，x e = ()f x 在(0,)e ，(,)e +∞2a ≥，∴1a +，2a e +>，∴(1)(2)f a f a +>+，即ln(1)ln(2)12a a a a ++>++ ∴2ln(2)1ln(1)a a a a ++>++，D 正确. 12.【答案】BCD解：令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥()g x 在R 上单调增，(0)0g =∴()g x 在R 有且仅有一个零点即()f x 有且仅有一个“不动点”，A 错误∵20ax bx c x ++-=至多有两个根，∴()f x 至多有两个“不动点”，B 正确()f x 为定义在R 上的奇函数，则()-y f x x =为定义在R 上的奇函数0x =是y 的一个“不动点”，其它的“不动点”都锤子数学关于原点对称，个数和为偶数 ∴一定有奇数个“不动点”，C 正确()f x 在[0,1]存在“不动点”，则()f x x =在[0,1]有解则2x a e x x =+-在[0,1]有解，令2()xm x e x x =+-()12x m x e x '=+-，令()12x n x e x '=+-，()20x n x e '=-=，ln 2x =()n x 在(0,ln 2)，(ln 2,1)∴max ()(ln 2)212ln 232ln 20n x n ==+-=-> ∴()0m x '>在[0,1]恒成立，∴()m x 在[0,1]min ()(0)1m x m ==，max ()(1)m x m e ==∴1a e ≤≤，D 正确.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.【答案】1010 14.15.【答案】3解：如图补成一个长方体，建系(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,0,1)P，C设平面APC 的锤子数学法向量为()1111,,n x y z =1100n AC n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴11100z x =⎧⎪⎨=⎪⎩ 不妨设11y =，则1x =1(2,1,0)n =- 设平面PBC 的法向量为()2222,,n x y z =2200n BC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴22200y x y =⎧⎨-=⎩ 不妨设21x =，则21z =，20y =，2(1,0,1)n = 设A PB B --为α，则1212122coscos ,33n n n n n n α⋅====⋅，sin 3α=.16.【答案】125解：由题意知131264T kT ππ+=+或133,1264T kT k Z ππ+=+∈ ∴51244k ππω⎛⎫=+⋅⎪⎝⎭或53244k ππω⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭∴2(14)5k ω=+或2(34),5k k Z ω=+∈ ∵()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴191312122T ππ-≤∴12222ππωω≤⋅⇒≤ ①当2(14)5k ω=+时，取0k =知25ω=此时2()sin 515f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，当1319,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， 27,515210x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦满足()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴25ω=符合取1k =时，2ω=，此时()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，当1319,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，572,322x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭满足()f x 在锤子数学1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴2ω=符合当1k ≤-时，0ω<，舍去，当2k ≥时，2ω>也舍去 ②当2(34)5k ω=+时，取0k =知65ω= 此时6()sin 55f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，当1319,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， 6321,55210x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，此时()f x 锤子数学在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增了，舍去当1k ≤-时，0ω<，舍去，当1k ≥时，2ω>也舍去综上：25ω=或2，212255S =+=.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解：选①（1）∵2cos 22cos 12B B +=，∴22cos cos 10B B +-=，1cos 2B =，3B π=.（2）222122a c ac b +-⋅=，∴222()316316342a c b a c ac ac +⎛⎫=+-=-≥-= ⎪⎝⎭∴2b ≥，当且仅当2a c ==时取“=”∴ABC △周长为46a b c b ++=+≥，即ABC △周长锤子数学的最小值为6.18.解：（1）∵22(2)21n n n S a n S =≥-，∴21221nn n n S S S S --=- ∴1111122n n n n n n S S S S S S ----=⇒-= ∴1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列. （2）由（1）知112(1)21nn n S =+-=-，∴21n b n =- ∴2244111111(21)(21)(21)(21)22121n n n c n n n n n n -+⎛⎫===+- ⎪-+-+-+⎝⎭∴11111111112335212122121n nT n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+-=+-=+ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭. 19.解：（1）证明：取AC 中点E ，连接PE ，BE∵2PA PC AC ===，∴PE AC ⊥且PE =∵AB BC ==2224AB BC AC +==，∴ABC △为Rt △且90ABC ∠=︒∴112BE AC ==，∴2224PE BE PB +==，∴PE BE ⊥ ∵ACBE E =，∴PE ⊥平面ABC∵PE ⊂平面P AC ，∴平面PAC ⊥平面ABC . （2）法一：设BM x =，∴AM，PM ==∴22cos PAM∠===∴sin PAM∠==∴124PAMS=⨯==△AMCS==△设C到平面P AM的锤子数学距离为h，PC与平面P AM所成角为θ由1133C PAM P AMC PAM AMCV V S h S--=⇒⋅=△△h=sin2hθ==，∴h=∴)4223x=⇒=或x=∵0x≤≤3x=即3BM=.（2）法二：如图建立锤子数学空间直角坐标系，∴P，(1,0,0)B，(0,1,0)A-，(0,1,0)C设(,1,0)M x x-，01x≤≤，∴(0,1,PA=-，(,2,0)AM x x=-设平面P AM的法向量()000,,n x y z=∴0000)00(2)001xxxn PA yyx x y xn AM z⎧-=⎪⎪⎧⎧⋅=-=⎪⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⎨+-=⋅=⎪⎪⎩⎪⎩=⎪⎪⎩∴3(2n⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭设PC与平面P AM所成角为θ，PC与n所成角为ϕ，(0,1,PC =∴2sin|cos|43||||3(22PC nxPC nθϕ⋅====⇒=⋅⋅∴21,,033M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时3BM ==.20.解：（1）①男生投中2次，女生投中2次概率为22221221221212433333333C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⋅⨯+⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 32649632729729729243=+==②男生投中1次，女生投中3次的概率为211222111232233333729C C ⎛⎫⨯⨯⨯⋅⨯⋅⨯= ⎪⎝⎭ ③男生投中0次，女生投中4次的概率为2221111333729⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴共投中4次的锤子数学概率为3232143243729729243P =++=. （2）2212(30)3327P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，2122221211811(20)3333327273P X C C ⎛⎫==⨯⋅⨯+⋅⨯=+= ⎪⎝⎭ 212221124(10)333339P X C ⎛⎫==⨯+⨯⋅⨯= ⎪⎝⎭2124(60)3327P X ⎛⎫=-=⨯=⎪⎝⎭ ∴X 的分布列如下∴()302010602739279E X =⨯+⨯+⨯-⨯=. 21.解：（1）由题意知2222421a a cb a a bc =⎧⎪=⎧⎪=⇒⎨⎨=⎩⎪=+⎪⎩∴椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）∵14MA MB k k ⋅=-，即114BM k k ⋅=- 又∵213k k =，∴2134BM k k ⋅=-，34NB MB k k ⋅=-设直线MN 的锤子数学方程为y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，(2,0)B()22222242444y kx mx k x kmx m x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩ ()222148440k xkmx m +++-=0∆>，12221228144414km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，∴21113224y y x x ⋅=--- ∴()()()12121243240kx m kx m x x x x +++-++=⎡⎤⎣⎦()()22121243(46)4120kx x km x x m ++-+++=()2222244843(46)41201414m km k km m k k--+⋅+-⋅++=++ 22230k m km ++=，∴(2)()0k m k m ++=∴2m k =-或m k =-但当2m k =-时，()22y kx m kx k k x =+=-=-，直线MN 恒过(2,0) M ，N 有一点与B 重合了，舍去∴m k =-，∴()1y kx m k x =+=-，直线MN 恒过定点(1,0). 22.解：（1）()1sin sin xF x e x x x =--≥- 令()sin x x x ϕ=-，∴()1cos 0x x ϕ'=-≥∴()x ϕ在[0,)+∞上锤子数学单调递增，故()(0)0x ϕϕ≥=，∴()0F x ≥ 当且仅当0x =时取“=”，∴()()()F x f x g x =-在[0,)x ∈+∞上只有一个零点.（2）1sin 0xe a x --≥在[0,]π上恒成立，令()1sin x G x e a x =--，()cos xG x e a x '=-注意到(0)0G =，∴()(0)G x G ≥在[0,]π上恒成立首先有(0)101G a a '=-≥⇒≤（必要性）当1a ≤时，()1sin 1sin 0x xG x e a x e x =--≥--≥符合题意综上：实数a 的锤子数学取值范围为(,1]-∞.。

江苏省南通市海安市2021-2022学年高三上学期期末数学试题附解析

【答案】
【解析】
【分析】将已知椭圆方程化为标准形式为，由题意可得，，结合以及、即可求解.
【详解】由可得，
因为，所以，所以，
可得，，，
由题意可得，所以，，
可得，离心率，
故答案为： .
15.已知函数若，则最大值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】令，作出函数以及的图象，不妨设，则，，由表示，再利用二次函数的性质计算的最大值即可求解.
2021~2022学年度第一学期学业质量监测
高三数学
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共6页，满分150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卷交回.
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号、座位号用0.5毫米黑色字迹签字笔填写在答题卷上.
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符.
对于B：的定义域为，将的图象向右平移一个单位可得，因为在上单调递增，向右平移一个单位可得在上单调递增，所以在区间上单调递增，故选项B正确；
对于C：，所以在区间上单调递增，故选项C正确；
对于D：是由和复合而成，因为单调递减，在区间上单调递增，所以在区间上单调递减，故选项D不正确；
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集与补集的定义可得结果.
【详解】由题意可知，表示区域II.
故选：B.
3.某校高三年级的名学生中，男生有名，女生有名．从中抽取一个容量为的样本，则抽取男生和女生的人数分别为（）
A. 、利用分层抽样可计算得出样本中男生和女生的人数.

江苏省南通市2020-2021学年度高三年级第一学期期初调研数学试题(解析版)

江苏省南通市2021届高三上学期开学考试数学试题2020．9一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．记全集U ＝R ，集合A ＝{}216x x ≥，集合B ＝{}22x x ≥，则U (A)B ＝A ．[4，+∞)B ．(1，4]C ．[1，4)D ．(1，4)2．已知5log 2a =，7log 2b =，20.5a c -=，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．c ＜b ＜a D ．c ＜a ＜b3．若3cos()5αβ+=，5sin()413πβ-=，α，β∈(0，2π)，则cos()4πα+＝ A ．3365- B ．3365 C ．5665 D ．1665-4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为 A ．30 B ．60 C ．90 D ．1205．函数()2sin()f x x ωϕ=+(ω＞0，ϕ＜π)的部分图像如图所示，且()f x 的图像过A(2π，1)，B(2π，﹣1)两点，为了得到()2sin g x x ω=的图像，只需将()f x 的图像 A ．向右平移56π B ．向左平移56π C ．向左平移512π D ．向右平移512π第5题第6题6．《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成( -表示一根阳线，--表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为A ．18B ．14 C ．38 D ．12 7．设F 1，F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与圆O ：222x y a +=相切，l 与C 的渐近线在第一象限内的交点是P ，若PF 2⊥x 轴，则双曲线的离心率等于AB ．2 C．．48．对于函数()y f x =，若存在区间[a ，b]，当x ∈[a ，b]时的值域为[ka ，kb](k ＞0)，则称()y f x =为k 倍值函数．若()e 2x f x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是A ．(e ＋1，+∞)B ．(e ＋2，+∞)C ．(1e e +，+∞)D ．(2e e+，+∞)二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列说法正确的是A ．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍B ．设有一个回归方程y ＝3﹣5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位C ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，2σ)(σ＞0)，则P(ξ＞1)＝0.5 10．已知抛物线C ：22y px =过点P(1，1)，则下列结论正确的是A ．点P 到抛物线焦点的距离为32B ．过点P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q ，则△OPQ 的面积为532C ．过点P 与抛物线相切的直线方程为x ﹣2y ＋1＝0D ．过P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M ，N ，则直线MN 的斜率为定值 11．在△ABC 中，已知bcosC ＋ccosB ＝2b ，且111tan A tan B sin C+=，则 A ．a ，b ，c 成等比数列B ．sinA ：sinB ：sinC ＝2：1C ．若a ＝4，则S △ABCD ．A ，B ，C 成等差数列12．已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列选项正确的是A ．1212()()0f x f x x x -<-B ．1122()()x f x x f x +<+C ．2112()()x f x x f x <D ．当211ex x >>时，11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+ 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的16，而且三好学生中女生占一半．现在从该班任选一名同学参加某一座谈会．则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为．14．曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为．15．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是． 16．椭圆与双曲线有相同的焦点F 1(﹣c ，0)，F 2(c ，0)，椭圆的一个短轴端点为B ，直线F 1B 与双曲线的一条渐近线平行．若椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ＝；且22123e e +的最小值为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知函数2()cos 2sin 1f x x x x =+-．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(A)2f =，C ＝4π，c ＝2，求△ABC 的面积． 18．（本小题满分12分）2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意．（1；（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为ξ．求出ξ的分布列及期望值．附公式及表：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，其焦点与双曲线22221x y -=的焦点重合，点P(0)在椭圆C 上，动直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于不同两点A ，B ，且OA OB 0⋅=(O 为坐标原点)．（1）求椭圆的方程；（2）讨论7m 2﹣12k 2是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 20．（本小题满分12分）已知函数2()f x x bx c =++，且()0f x ≤的解集为[﹣1，2]．（1）求函数()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()2(1)mf x x m >--(m ≥0)；（3）设()31()2f x x g x +-=，若对于任意的1x ，2x ∈[﹣2，1]都有12()()g x g x M -≤，求M 的最小值． 21．（本小题满分12分）已知221()(ln )x f x a x x x -=-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当a ＝1时，证明3()()2f x f x '>+对于任意的x ∈[1，2]成立． 22．（本小题满分12分）已知点P 是抛物线C 1：24y x =的准线上任意一点，过点P 作抛物线的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点．（1）证明：直线AB 过定点，并求出定点的坐标；（2）若直线AB 交椭圆C 2：22143x y +=于C 、D 两点，S 1，S 2分别是△PAB ，△PCD 的面积，求12S S 的最小值．江苏省南通市2021届高三上学期开学考试数学试题2020．9一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．记全集U ＝R ，集合A ＝{}216x x ≥，集合B ＝{}22x x ≥，则U (A)B ＝A ．[4，+∞)B ．(1，4]C ．[1，4)D ．(1，4)答案：C解析：∵集合A ＝{}{}21644x x x x x ≥=≥≤-或，∴{}UA 44x x =-<<，又∵B ＝{}{}221x x x x ≥=≥，∴U (A)B ＝[1，4)，故选C ．2．已知5log 2a =，7log 2b =，20.5a c -=，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．c ＜b ＜a D ．c ＜a ＜b 答案：A解析：∵555log 2log 1<=，∴1a <，∴210.50.52a -->=，∴2c >，又57log 2log 2>，a b >，∴b ＜a ＜c ，故选A ．3．若3cos()5αβ+=，5sin()413πβ-=，α，β∈(0，2π)，则cos()4πα+＝ A ．3365- B ．3365 C ．5665 D ．1665-答案：C解析：∵α，β∈(0，2π)，∴αβ+∈(0，π)，4πβ-∈(4π-，4π)，∴4sin()5αβ+=，12cos()413πβ-=，∴cos()cos[()()]cos()cos()sin()444πππααββαββαβ+=+--=+-++3124556sin()451351365πβ-=⨯+⨯=，故选C ．4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为 A ．30 B ．60 C ．90 D ．120 答案：B解析：有两种情况，①一艘航母配2搜驱逐舰和1搜核潜艇，另一艘航母配3搜驱逐舰和2搜核潜艇，②一艘航母配2搜驱逐舰和2搜核潜艇，另一艘航母配3搜驱逐舰和1搜核潜艇，2122535360C C C C +=，故选B ．5．函数()2sin()f x x ωϕ=+(ω＞0，ϕ＜π)的部分图像如图所示，且()f x 的图像过A(2π，1)，B(π，﹣1)两点，为了得到()2sin g x x ω=的图像，只需将()f x 的图像A ．向右平移56πB ．向左平移56πC ．向左平移512πD ．向右平移512π 答案：C解析：由题意知22T π=，T π=，∴ω＝2，2226k ππϕπ⨯+=+，526k ϕππ=-+， ∵ϕ＜π，∴56ϕπ=-，∴55()2sin(2)2sin 2()612f x x x ππ=-=-，故选C ．6．《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成( -表示一根阳线，--表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为A ．18 B ．14 C ．38 D ．12答案：C解析：P ＝38，故选C ．7．设F 1，F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与圆O ：222x y a +=相切，l 与C 的渐近线在第一象限内的交点是P ，若PF 2⊥x 轴，则双曲线的离心率等于AB ．2 C．．4 答案：A解析：12tan P F F 2bc aa b c∠==，222b a =，223c a =，e =A ．8．对于函数()y f x =，若存在区间[a ，b]，当x ∈[a ，b]时的值域为[ka ，kb](k ＞0)，则称()y f x =为k 倍值函数．若()e 2x f x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是A ．(e ＋1，+∞)B ．(e ＋2，+∞)C ．(1e e +，+∞)D ．(2e e+，+∞)答案：B解析：()e 2xf x x =+是单调增函数，故e 2e 2ab a kab kb⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，故a ，b 是方程e 2x x kx +=的两个根，令()e (2)x g x k x =+-，()e (2)x g x k '=+-，当k ＞2，x ＝ln(2)k -时，()g x 有最小值为(ln(2))2(2)ln(2)0g k k k k -=----<，解得k ＞e ＋2，故选B ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列说法正确的是A ．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍B ．设有一个回归方程y ＝3﹣5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位C ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，2σ)(σ＞0)，则P(ξ＞1)＝0.5 答案：BD解析：选项A ，方差变为原来的a 2倍，故A 错误；线性相关系数r 的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强；线性相关系数r 的绝对值越接近0，线性相关性越弱，由此可见C 错误，故选BD ．10．已知抛物线C ：22y px =过点P(1，1)，则下列结论正确的是A ．点P 到抛物线焦点的距离为32B ．过点P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q ，则△OPQ 的面积为532C ．过点P 与抛物线相切的直线方程为x ﹣2y ＋1＝0D ．过P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M ，N ，则直线MN 的斜率为定值答案：BCD解析：∵抛物线C ：22y px =过点P(1，1)，∴12p =，∴2y x =，故该抛物线焦点坐标为(14，0)，准线方程为x ＝14-，故点P 到抛物线焦点的距离为54，故A 错误；△OPQ 的面积215442sin 3225p S θ===⨯，故B 正确；设过点P 的直线方程为1y kx k =+-，与抛物线联立并化简得210ky y k -+-=，14(1)0k k --=，解得k ＝12，故过点P 与抛物线相切的直线方程为x ﹣2y ＋1＝0，C 正确；设PM 的斜率为k ，则PN 的斜率为﹣k ，求得M(22(1)k k -，1k k -)，N(22(1)k k+，1k k +-)，求得MN 的斜率为12-，D 正确，故选BCD ． 11．在△ABC 中，已知bcosC ＋ccosB ＝2b ，且111tan A tan B sin C+=，则 A ．a ，b ，c 成等比数列B ．sinA ：sinB ：sinC ＝2：1C ．若a ＝4，则S △ABCD ．A ，B ，C 成等差数列答案：BC 解析：由111tan A tan B sin C +=得，cos cos 1sin sin sin A B A B C+=，2sin sin sin A B C =，故ab ＝c 2，故a ，c ，b 成等比数列，故A 错误；∵bcosC ＋ccosB ＝2b ，∴a ＝2b ，又ab ＝c 2，∴c＝b ，∴a ：b ：c ＝2：1，∴sinA ：sinB ：sinC ＝2：1B 正确；cosC ＝222412322214a b c ab +-+-==⨯⨯，sinC＝，∴S ＝11sin 422a b C ⨯⨯=⨯⨯2=，故C 正确；cosB＝22228a c b ac +-==，故B ≠60°，故D 错误，故选BC ． 12．已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列选项正确的是A ．1212()()0f x f x x x -<- B ．1122()()x f x x f x +<+ C ．2112()()x f x x f x < D ．当211ex x >>时，11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+ 答案：CD解析：首先注意到函数()ln f x x x =，在(0，1e )单调递减，在(1e，+∞)单调递增，故A 错误，112221121112()()()()()[()()]0x f x x f x x f x x f x x x f x f x +>+⇒-->，故D 正确；令()()ln g x f x x x x x =+=+，不是单调函数，故B 错误；令()()ln f x h x x x==，是单调增函数，故C 正确，故选CD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的16，而且三好学生中女生占一半．现在从该班任选一名同学参加某一座谈会．则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为．答案：18解析：P ＝51408=．14．曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为．答案：2y x =解析：ln 1y x x =++，11y x'=+，设切点横坐标为0x ，001121x x +=⇒=，所以切点(1，2)，故切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =．15．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是．答案：(﹣2，6)解析：点P 与点F 重合时，AP AB ⋅有最小值为﹣2，当点P 与点C 重合时，AP AB ⋅有最大值为6，故AP AB ⋅的取值范围是(﹣2，6)．16．椭圆与双曲线有相同的焦点F 1(﹣c ，0)，F 2(c ，0)，椭圆的一个短轴端点为B ，直线F 1B 与双曲线的一条渐近线平行．若椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ＝；且22123e e +的最小值为．答案：1；解析：设椭圆方程为2222111x y a b +=，双曲线方程为2222221x y a b -=，则由直线F 1B 与双曲线的一条渐近线平行，得222222212121222222222211b b b b a c c a e c a c a c a e --=⇒=⇒=⇒=，∴12e e ＝1；所以2212123e e e +≥=21223e e ⎧=⎪⎨⎪=⎩取等号．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知函数2()cos 2sin 1f x x x x =+-．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(A)2f =，C ＝4π，c ＝2，求△ABC 的面积．解：（1）∵()221f x sin x =+-=﹣cos2x＝2sin （2x 6π-），令2kπ2π-≤2x 6π-≤2kπ2π+，k ∈Z ，解得kπ6π-≤x≤kπ3π+，k ∈Z ，∴函数f （x ）的单调递增区间为：[kπ6π-，kπ3π+]，k ∈Z ．（2）∵f （A ）＝2sin （2A 6π-）＝2， ∴sin （2A 6π-）＝1， ∵A ∈（0，π），2A 6π-∈（6π-，116π），∴2A 62ππ-=，解得A 3π=，∵C 4π=，c ＝2，∴由正弦定理sin a b sinA B =，可得2sin sin 12c B b sinC ππ⎛⎫⨯+ ⎪⋅===+ ∴S △ABC 12=absinC 12=（1322+⨯=． 18．（本小题满分12分）2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意．（1；（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为ξ．求出ξ的分布列及期望值．附公式及表：22()n ad bc K -=，其中n a b c d =+++．解：（1）因为男生人数为：120551113⨯=+，所以女生人数为1205565-=，于是可完成22⨯列联表，如下：根据列联表中的数据，得到K 的观测值2120(30152550)960 6.713 6.63555658040143k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”（2）由（1）可知男生抽3人，女生抽5人，依题可知ξ的可能取值为0,1,2,3，并且ξ服从超几何分布，()()335380,1,2,3k kC C P k k C ξ-===，即 3215533388515(0),(1)2828C C C P P C C ξξ======, 1235333388151(2),(3)5656C C C P P C C ξξ======. 可得分布列为可得1519()0123282856568E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.19．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，其焦点与双曲线22221x y -=的焦点重合，点P(0)在椭圆C 上，动直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于不同两点A ，B ，且OA OB 0⋅=(O 为坐标原点)．（1）求椭圆的方程；（2）讨论7m 2﹣12k 2是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解：（1）因为双曲线22221x y-=的焦点为()1,0，所以在椭圆C 中1c =，设椭圆C 的方程为()2222110y x a a a +=>-，由点(P 在椭圆C 上得2311a =-，解得242a a =⇒=，则b == 所以椭圆C 的方程为22143x y +=（2）22712m k -为定值，理由如下：设()()1122,,,A x y B x y ，由0OA OB ⋅=可知12120x x y y +=，联立方程组()222223484120143y kx mk x mkx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩，由()()2222644344120m k k m ∆=-+->得2234m k <+，21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++，① 由12120x x y y +=及y kx m =+得()()12120x x kx m kx m +++=，整理得()()22121210k x x km x x m ++++=，将①式代入上式可得()222224128103434m kmk km m k k-+⋅-⋅+=++，同时乘以234k +可化简得()()222222214128340k m k m m m k +--++=，所以22712=12m k -，即22712m k -为定值. 20．（本小题满分12分）已知函数2()f x x bx c =++，且()0f x ≤的解集为[﹣1，2]．（1）求函数()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()2(1)mf x x m >--(m ≥0)；（3）设()31()2f x x g x +-=，若对于任意的1x ，2x ∈[﹣2，1]都有12()()g x g x M -≤，求M 的最小值．解：（1）因为()0f x ≤的解集为[1,2]-，所以20x bx c ++=的根为1-，2，所以1b -=，2c =-，即1b =-，2c =-；所以2()2f x x x =--；（2）()2(1)mf x x m >--，化简有2(2)2(1)m x x x m -->--，整理(2)(1)0mx x -->，所以当0m =时，不等式的解集为(,1)-∞，当02m <<时，不等式的解集为2(,1),m ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，当2m =时，不等式的解集为(,1)(1,)-∞+∞，当2m >时，不等式的解集为()2(,)1,m-∞+∞，（3）因为[2,1]x ∈-时2()3123f x x x x +-=+-，根据二次函数的图像性质，有2()3123[4,0]f x x x x +-=+-∈-，则有2()3123()22f x x x xg x +-+-==，所以，1(),116g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，因为对于任意的12,[2,1]x x ∈-都有12|()()|g x g x M -≤，即求12|()()|Max g x g x M -≤，转化为()()Max Min g x g x M -≤，而()(1)1Max g x g ==，1()(1)16Min g x g =-=，所以，此时可得1516M ≥，所以M 的最小值为1516.21．（本小题满分12分）已知221()(ln )x f x a x x x -=-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当a ＝1时，证明3()()2f x f x '>+对于任意的x ∈[1，2]成立．解：（1）的定义域为；223322(2)(1)'()a ax x f x a x x x x--=--+=. 当，时，'()0f x >，单调递增；(1,),'()0x f x ∈+∞<时，单调递减.当时，3(1)22'()()()a x f x x x x a a-=+-. ① ，，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减；② 时，，在x ∈内，'()0f x ≥，单调递增；③ 时，，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减.综上所述，当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当时，在内单调递增；当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.（2）由（Ⅰ）知，时，22321122()'()ln (1)x f x f x x x x x x x --=-+---+23312ln 1x x x x x =-++--，，令，.则()'()()()f x f x g x h x -=+，由1'()0x g x x-=≥可得，当且仅当时取得等号.又24326'()x x h x x --+=，设，则在x ∈单调递减，因为，所以在上存在使得时，时，，所以函数()h x 在上单调递增；在上单调递减，由于，因此，当且仅当取得等号，所以3()'()(1)(2)2f x f xgh ->+=，即3()'()2f x f x >+对于任意的恒成立22．（本小题满分12分）已知点P 是抛物线C 1：24y x =的准线上任意一点，过点P 作抛物线的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点．（1）证明：直线AB 过定点，并求出定点的坐标；（2）若直线AB 交椭圆C 2：22143x y +=于C 、D 两点，S 1，S 2分别是△PAB ，△PCD 的面积，求12S S 的最小值．解：（1）证明：设点()11,A x y 、()22,B x y ，则以A 为切点的切线方程为()1112y y x x y -=-，即()112y y x x =+，同理以B 为切点的切线方程为()222y y x x =+，两条切线均过点()1,P t -，()()11222121ty x ty x ⎧=-+⎪∴⎨=-+⎪⎩，即1122220220x ty x ty --=⎧⎨--=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足直线220x ty --=的方程，所以，直线AB 的方程为220x ty --=，在直线AB 的方程中，令0y =，可得1x =，所以，直线AB 过定点()1,0；（2）设点P 到直线AB 的距离为d ，则1212PABPCDd AB AB S S CD d CD ⋅==⋅△△. 由题意可知，直线AB 不与x 轴重合，可设直线AB 的方程为1x my =+，设()33,C x y 、()44,D x y ，由241y x x my ⎧=⎨=+⎩，得2440y my --=，()21610m ∆=+>恒成立，由韦达定理得124y y m +=，124y y =-，由弦长公式可得()21241AB y y m =-==+由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2234690m y my ++-=，()()22236363414410m m m ∆=++=+>恒成立.由韦达定理得342634m y y m +=-+，342934y y m =-+，由弦长公式得()234212134m CD y m +=-==+.()()2222241344433312134PAB PCD m AB S m m S CD m m ++∴====+≥++△△，当且仅当0m =时，等号成立.因此，12S S 的最小值为43.。

2020-2021学年江苏省南通市海门市高三(上)期末数学试卷 (解析版)

2020-2021学年江苏省南通市海门市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|﹣1＜x＜m}，A∩B＝A，则实数m的取值范围为（）A．（2，+∞）B．（﹣1，2）C．[2，+∞）D．（﹣1，2]2．已知复数Z＝（1+2i）（2﹣i）（其中i为虚数单位），则复数Z的共轭复数在复平面内对应的点为（）A．（3，4）B．（3，﹣4）C．（4，3）D．（4，﹣3）3．“m2＜n2”是“lnm＜lnn”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件4．为防控需要，南通市某医院呼吸科准备从5名男医生和3名女医生中选派3人前往3个隔离点进行核酸检测采样工作，则选派的三人中少有1名女医生的概率为（）A．B．C．D．5．若的二次式展开式中x7项的系数为15，则n＝（）A．5B．6C．7D．86．已知向量，满足||＝2，＝（1，1），＝﹣2，则cos＜，＞＝（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）＝x2e ax+1﹣ax，若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y＝2x平行，则a＝（）A．﹣2B．﹣2或﹣1C．﹣1或2D．﹣18．已知实数a，b，c∈R，满足，则a，b，c大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c二、多项选择题（共4小题）.9．某同学在研究函数时，给出下面几个结论中正确的是（）A．f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称B．f（x）是单调函数C．f（x）的值域为（﹣1，1）D．函数g（x）＝f（x）﹣x有且只有一个零点10．某地区机械厂为倡导“大国工匠精神”，提高对机器零件质量的品质要求，对现有产品进行抽检，由抽检结果可知，该厂机器零件的质量指标值Z服从正态分布N（200，224），则（）（附：≈14.97，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544）A．P（185.03＜Z＜200）＝0.6826B．P（200≤Z＜229.94）＝0.4772C．P（185.03＜Z＜229.94）＝0.9544D．任取10000件机器零件，其质量指标值位于区间（185.03，229.94）内的件数约为8185件11．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且直线x＝﹣是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为B．函数f（x）在区间[﹣，]上单调递增C．点（﹣，0）是函数f（x）图象的一个对称中心D．将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到g（x）＝sin2x的图象12．已知正数a，b满足，则（）A．最小值为2B．ab的最小值为4C．a+4b的最小值为8D．4a+b的最小值为8三、填空题（共4小题）.13．若数列{a n}满足：a n+a n+1＝2n+1，a1＝1，则a2021＝．14．已知f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x）．若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2021）＝．15．设椭圆与双曲线的公共焦点为F1，F2，将C1，C2的离心率记为e1，e2，点A是C1，C2在第一象限的公共点，若点A关于C2的一条渐近线的对称点为F1，则＝．16．我国古代数学名著《九章算数》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1为一个“堑堵”，底面△ABC 是以AB为斜边的直角三角形，且AB＝5，AC＝3，点P在棱BB1上，且PC⊥PC1，当△APC1的面积取最小值时，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．四、解答题（共6小题）.17．已知数列{a n}满足++…+＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，求T n．18．在平面四边形ABCD中，已知AB＝2，AD＝3，∠ADB＝2∠ABD，∠BCD＝．（1）求BD；（2）求△BCD周长的最大值．19．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD 的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1﹣BCDE的体积为36，求a的值．20．甲、乙两人组成“虎队”代表班级参加学校体育节的篮球投篮比赛活动，每轮活动由甲、乙两人各投篮一次，在一轮活动中，如果两人都投中，则“虎队”得3分；如果只有一个人投中，则“虎队”得1分；如果两人都没投中，则“虎队”得0分．已知甲每轮投中的概率是，乙每轮投中的概率是；每轮活动中甲、乙投中与否互不影响．各轮结果亦互不影响．（1）假设“虎队”参加两轮活动，求：“虎队”至少投中3个的概率；（2）①设“虎队”两轮得分之和为X，求X的分布列；②设“虎队”n轮得分之和为X n，求X n的期望值．（参考公式E（X+Y）＝EX+EY）21．已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若对任意x∈[0，+∞），f（x）≥﹣sin x恒成立，求a的取值范围．22．已知抛物线P：y2＝2px（p＞0），焦点为F，M为P上任一点，l为过M点的切线．（1）若l的方程为，求抛物线方程；（2）求证：FM与l的夹角等于l与x轴的夹角．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|﹣1＜x＜m}，A∩B＝A，则实数m的取值范围为（）A．（2，+∞）B．（﹣1，2）C．[2，+∞）D．（﹣1，2]解：A＝{x|﹣1＜x＜2}；∵A∩B＝A；∴A⊆B；∴m≥2；∴m的取值范围为[2，+∞）．故选：C．2．已知复数Z＝（1+2i）（2﹣i）（其中i为虚数单位），则复数Z的共轭复数在复平面内对应的点为（）A．（3，4）B．（3，﹣4）C．（4，3）D．（4，﹣3）解：∵Z＝（1+2i）（2﹣i）＝2﹣i+4i﹣2i2＝4+3i，∴，则复数Z的共轭复数在复平面内对应的点为（4，﹣3），故选：D．3．“m2＜n2”是“lnm＜lnn”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解：lnm＜lnn，则0＜m＜n，故m2＜n2，反之，m2＜n2，得|m|＜|n|，推不出lnm＜lnn，故“m2＜n2”是“lnm＜lnn”的必要不充分条件．故选：B．4．为防控需要，南通市某医院呼吸科准备从5名男医生和3名女医生中选派3人前往3个隔离点进行核酸检测采样工作，则选派的三人中少有1名女医生的概率为（）A．B．C．D．解：南通市某医院呼吸科准备从5名男医生和3名女医生中选派3人前往3个隔离点进行核酸检测采样工作，基本事件总数n＝＝56，选派的三人中少有1名女医生包含的基本事件个数m＝＝46，∴选派的三人中少有1名女医生的概率为P＝＝＝．故选：A．5．若的二次式展开式中x7项的系数为15，则n＝（）A．5B．6C．7D．8解：中，T r+1＝＝，∵二次式展开式中x7项的系数为15，由2n﹣3r＝7，得n＝，∴＝15，解得r＝1，∴n＝＝5．故选：A．6．已知向量，满足||＝2，＝（1，1），＝﹣2，则cos＜，＞＝（）A．B．C．D．【分析】通过向量的数量积的运算法则，化简求解即可．解：cos＜，＞＝＝＝＝．故选：C．7．已知函数f（x）＝x2e ax+1﹣ax，若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y＝2x平行，则a＝（）A．﹣2B．﹣2或﹣1C．﹣1或2D．﹣1【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝1处的导数，再由导数值等于2列式求得a值．解：∵f（x）＝x2e ax+1﹣ax，∴f′（x）＝2xe ax+1+ax2e ax+1﹣a，∵曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y＝2x平行，∴f′（1）＝2e a+1+ae a+1﹣a＝2，即（2+a）e a+1＝2+a，∴2+a＝0，即a＝﹣2．故选：A．8．已知实数a，b，c∈R，满足，则a，b，c大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c【分析】由已知可得a＞0，c＜0，利用lna＜a，可得，构造函数h（x）＝，即可比较a，b大小．解：因为，则a＞0，c＜0，对于函数f（x）＝x﹣lnx，（x＞0），f′（x）＝1﹣，可得f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴f（x）≥（1）＝1＞0，∴lna＜a，即，∴，令函数h（x）＝，h′（x）＝，可得h（x）的图像如下：∴a＜b，综上：a＞b＞c，故选：D．二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．某同学在研究函数时，给出下面几个结论中正确的是（）A．f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称B．f（x）是单调函数C．f（x）的值域为（﹣1，1）D．函数g（x）＝f（x）﹣x有且只有一个零点【分析】容易看出f（x）是奇函数，从而得出f（x）的图象关于（0，0）对称，从而判断选项A错误；容易判断f（x）是R上的增函数，从而判断选项B正确，并可求出f（x）的值域，并判断选项C正确；可得出g（x）＝x（﹣1）＝0时，x＝0，从而判断选项D正确．解：对于A：f（x）的定义域为R，f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）为R上的奇函数，∴f（x）的图象关于原点对称，从而判断选项A错误；对于B：x＞0时，f（x）＝是增函数；x＜0时，f（x）＝是增函数，∴f（x）在R上是增函数，∴若x1≠x2，则f（x1）≠f（x2），选项B正确；对于C：x＞0，x趋向正无穷时，可得出f（x）趋向1；x＜0，x趋向负无穷时，f（x）趋向﹣1，从而得出f（x）的值域为（﹣1，1），选项C正确；对于D：g（x）＝f（x）﹣x＝x（﹣1）＝0时，x＝0，从而得出g（x）只有一个零点，选项D正确．故选：BCD．10．某地区机械厂为倡导“大国工匠精神”，提高对机器零件质量的品质要求，对现有产品进行抽检，由抽检结果可知，该厂机器零件的质量指标值Z服从正态分布N（200，224），则（）（附：≈14.97，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544）A．P（185.03＜Z＜200）＝0.6826B．P（200≤Z＜229.94）＝0.4772C．P（185.03＜Z＜229.94）＝0.9544D．任取10000件机器零件，其质量指标值位于区间（185.03，229.94）内的件数约为8185件【分析】根据该厂机器零件的质量指标值Z服从正态分布N（200，224），可得μ＝200，σ＝，结合由正态分布函数的对称性即可求出所求．解：因为N（200，224），所以μ＝200，σ＝≈14.97，故μ+σ＝214.97，μ+2σ＝229.94，μ﹣σ＝185.03，μ﹣2σ＝170.06，故P（170.06＜Z＜229.94）＝0.9544，P（185.03＜Z＜214.97）＝0.6826，由正态分布函数的对称性可知A选项应为P（185.03＜Z＜200）＝0.3413，故A错；P（200≤Z＜229.94）＝0.4772，故B正确；P（185.03＜Z＜229.94）＝P（185.03＜Z＜200）+P（200＜Z＜229.94）＝0.3413+0.4772＝0.8185，故C错；由C可知任取10000件机器零件，其质量指标值位于区间（185.03，229.94）内的件数约为10000×0.8185＝8185件，故D正确．故选：BD．11．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且直线x＝﹣是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为B．函数f（x）在区间[﹣，]上单调递增C．点（﹣，0）是函数f（x）图象的一个对称中心D．将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到g（x）＝sin2x的图象【分析】由周期求出ω，由图象的对称性求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为•＝，∴ω＝4，f（x）＝sin（4x+φ）．∵直线x＝﹣是其中一条对称轴，∴4×（﹣）+φ＝kπ+，k∈Z，∴φ＝﹣，f（x）＝sin（4x﹣）．故函数f（x）的最小正周期为＝，故A正确；当x∈[﹣，]，4x﹣∈[﹣，]，函数f（x）没有单调性，故B错误；令x＝﹣，求得f（x）＝0，可得点（﹣，0）是函数f（x）图象的一个对称中心，故C正确；将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得y＝sin（2x ﹣）的图象；再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到g（x）＝sin（2x+）的图象，故D 错误，故选：AC．12．已知正数a，b满足，则（）A．最小值为2B．ab的最小值为4C．a+4b的最小值为8D．4a+b的最小值为8【分析】利用基本不等式的性质分别进行求解即可．解：∵≥2＝，即≥4，即ab≥4，当且仅当＝，即b＝4a时取等号，则ab的最小值为4，故B正确，设t＝ab，则t≥4，则＝t+在[4，+∞）上为增函数，则最小值为4+＝，故A错误，a+4b≥2≥2＝8，第一个等号当a＝4b时取等号，第二个等号在b＝4a时取等号，在两个等号不能同时取得，则a+4b＞8，故C错误，4a+b≥2≥2＝8，第一个等号当4a＝b时取等号，第二个等号在b＝4a时取等号，在两个等号能同时取得，则a+4b≥8成立，即4a+b的最小值是8，故D正确，故选：BD．三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．）13．若数列{a n}满足：a n+a n+1＝2n+1，a1＝1，则a2021＝2021．【分析】利用题中的恒等式，分别取n＝1，2，3，…，通过列举找到数列的规律，利用规律求解即可．解：因为a n+a n+1＝2n+1，a1＝1，所以当n＝1时，a1+a2＝3，解得a2＝2，当n＝2时，a2+a3＝5，解得a3＝3，当n＝3时，a3+a4＝7，解得a3＝4，…以此类推，可得a n＝n，故a2021＝2021．故答案为：2021．14．已知f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x）．若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2021）＝2．【分析】利用恒等式以及奇函数的定义可以求出f（x）的周期为4，再利用恒等式可得f （1）+f（3）＝0，f（2）+f（4）＝0，即f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0，将所求的式子利用周期进行求解即可得到答案．解：因为足f（1﹣x）＝f（1+x），所以有f（﹣x）＝f（2+x），又f（x）为R上的奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），则有f（x+2）＝﹣f（x），即f（x+4）＝f（x），所以函数f（x）是周期为4的周期函数，因为f（x+2）＝﹣f（x），所以f（1）+f（3）＝0，f（2）+f（4）＝0，故在一个周期内f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0，所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2021）＝505×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）＝2．故答案为：2．15．设椭圆与双曲线的公共焦点为F1，F2，将C1，C2的离心率记为e1，e2，点A是C1，C2在第一象限的公共点，若点A关于C2的一条渐近线的对称点为F1，则＝4．【分析】由椭圆和双曲线的定义可求得|AF1|和|AF2|，设直线AF1与渐近线y＝﹣x相交于点B，连接AF2，可推出AF2⊥AF1，再结合勾股定理，即可得解．解：由椭圆的定义知，|AF1|+|AF2|＝2a，由双曲线的定义知，|AF1|﹣|AF2|＝2m，∴|AF1|＝a+m，|AF2|＝a﹣m，设直线AF1与渐近线y＝﹣x相交于点B，则OB垂直平分线段AF1，连接AF2，∵O为线段F1F2的中点，∴AF2∥OB，∴AF2⊥AF1，∴，即（a+m）2+（a﹣m）2＝4c2，化简得，a2+m2＝2c2，∴＝2，即＝2，∴＝2×2＝4．故答案为：4．16．我国古代数学名著《九章算数》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1为一个“堑堵”，底面△ABC 是以AB为斜边的直角三角形，且AB＝5，AC＝3，点P在棱BB1上，且PC⊥PC1，当△APC1的面积取最小值时，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为45π．【分析】由已知证明AP⊥PC1，设BB1＝z，BP＝t，则B1P＝z﹣t，求得AP，PC1，AC1，由AP⊥PC1，得z＝t+，可得，写出三角形APC1的面积，利用基本不等式求最值，得到对应的AP，设三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为R，由图可知，线段AP为外接球的直径，得到外接球的半径，代入球的表面积公式得结论．解：由堑堵的定义可知，△ABC为直角三角形，故BC＝＝4，由已知可得，平面BB1C1C⊥平面ABC，且平面BB1C1C∩平面ABC＝BC，而AC⊥BC，∴AC⊥平面BB1C1C，而PC1⊂平面BB1C1C，∴AC⊥PC1，又PC⊥PC1，AC∩PC＝C，AC，PC⊂平面APC，∴PC1⊥平面APC，于是AP⊥PC1，设BB1＝z，BP＝t，则B1P＝z﹣t，∴AP＝，＝，，由AP⊥PC1，得9+z2＝25+t2+16+（z﹣t）2，整理得z＝t+，∴，则AP•PC1＝＝2≥2＝18，当且仅当，即t＝2时，△APC1的面积取得最小值为18，此时AP＝，设三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为R，由图可知，线段AP为外接球的直径，故所求外接球的表面积S＝4π×＝45π．故答案为：45π．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}满足++…+＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，求T n．【分析】本题第（1）题先令b n＝，设数列{b n}的前n项和为S n，则S n＝，再利用公式b n＝即可计算出数列{b n}的通项公式，再计算出数列{a n}的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{}的通项公式，然后对通项公式进行转化，再运用裂项相消法计算出前n项和T n．解：（1）由题意，令b n＝，设数列{b n}的前n项和为S n，则S n＝．当n＝1时，b1＝S1＝，当n≥2时，b n＝S n﹣S n﹣1＝，∴数列{b n}是常数列，即b n＝，故a n＝，n∈N*．（2）由（1）知，，∴T n＝++…+＝（﹣）+（﹣）+…+[﹣]＝[﹣+﹣+…+﹣]＝[﹣]＝[﹣]＝﹣＝．18．在平面四边形ABCD中，已知AB＝2，AD＝3，∠ADB＝2∠ABD，∠BCD＝．（1）求BD；（2）求△BCD周长的最大值．【分析】（1）在△ABD中，由正弦定理可求出cos∠ABD＝，再利用余弦定理即可求出BD；（2）在△BCD中，∠BCD＝，由余弦定理可得（BC+CD）2＝BD2+3BC×CD，再利用基本不等式得（BC+CD）2≤4BD2，结合BD的值即可求出△BCD周长的最大值．解：（1）在△ABD中，由正弦定理得：＝＝2cos∠ABD，∴cos∠ABD＝，∴cos∠ABD＝＝＝，即：BD2﹣8BD+15＝0，解得：BD＝3或5，当BD＝3时，BD＝AD＝3，∴∠ABD＝∠BAD，∠ADB＝2∠ABD＝2∠BAD，∴∠ABD＝∠BAD＝45°，∠ADB＝90°，△ABD为等腰直角三角形，不符合题意，舍去，∴BD＝5；（2）在△BCD中，∠BCD＝，由余弦定理得：cos∠BCD＝＝，∴BC2+CD2﹣BD2＝BC×CD，∴（BC+CD）2＝BD2+3BC×CD，由基本不等式得：，∴（BC+CD）2≤，∴，∴（BC+CD）2≤4BD2，∵BD＝5，∴BC+CD≤10，即5＜BC+CD≤10，所以10＜BC+CD+BD≤15．所以△BCD周长的最大值为：15．19．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD 的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1﹣BCDE的体积为36，求a的值．【分析】（I）运用E是AD的中点，判断得出BE⊥AC，BE⊥面A1OC，考虑CD∥DE，即可判断CD⊥面A1OC．（II）运用好折叠之前，之后的图形得出A1O是四棱锥A1﹣BCDE的高，平行四边形BCDE的面积S＝BC•AB＝a2，运用体积公式求解即可得出a的值．解：（I）在图1中，因为AB＝BC＝＝a，E是AD的中点，∠BAD＝，所以BE⊥AC，即在图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，从而BE⊥面A1OC，由CD∥BE，所以CD⊥面A1OC，（II）即A1O是四棱锥A1﹣BCDE的高，根据图1得出A1O＝AB＝a，∴平行四边形BCDE的面积S＝BC•AB＝a2，V＝＝a＝a3，由V＝a3＝36，得出a＝6．20．甲、乙两人组成“虎队”代表班级参加学校体育节的篮球投篮比赛活动，每轮活动由甲、乙两人各投篮一次，在一轮活动中，如果两人都投中，则“虎队”得3分；如果只有一个人投中，则“虎队”得1分；如果两人都没投中，则“虎队”得0分．已知甲每轮投中的概率是，乙每轮投中的概率是；每轮活动中甲、乙投中与否互不影响．各轮结果亦互不影响．（1）假设“虎队”参加两轮活动，求：“虎队”至少投中3个的概率；（2）①设“虎队”两轮得分之和为X，求X的分布列；②设“虎队”n轮得分之和为X n，求X n的期望值．（参考公式E（X+Y）＝EX+EY）【分析】（1）设甲、乙在第n轮投中分别记作事件A n，B n，“虎队”至少投中3个记作事件C，则P（C）＝P（）+P（）+P（）+P（A1A2B1B2），由此能求出结果．（2）①“虎队”两轮得分之和X的可能取值为：0，1，2，3，4，6，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．②X1有可能取为0，1，3，分别求出相应的概率，求出EX1，再由X n的期望值EX n＝nEX1，能求出结果．解：（1）设甲、乙在第n轮投中分别记作事件A n，B n，“虎队”至少投中3个记作事件C，则P（C）＝P（）+P（）+P（）+P（A1A2B1B2）＝+＝．（2）①“虎队”两轮得分之和X的可能取值为：0，1，2，3，4，6，则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝2×[]＝，P（X＝2）＝+++＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝2×[+]＝，P（X＝6）＝＝．故X的分布列如下图所示：X012346P②X1有可能取为0，1，3，P（X1＝0）＝（1﹣）（1﹣）＝，P（X1＝1）＝＝，P（X1＝3）＝＝，∴EX1＝＝，设“虎队”n轮得分之和为X n，则X n的期望值EX n＝nEX1＝．21．已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若对任意x∈[0，+∞），f（x）≥﹣sin x恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）求出导函数，分a≤0和a＞0两种情况，然后再利用导函数的正负研究函数的单调性即可；（2）构造，由条件得到F（x）在[0，+∞）上单调递增，故F'（0）≥0，求出a≤1，再通过a≤1证明F（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，从而得到a的取值范围．解：（1）函数，故，当a≤0时，f′（x）≥0，故f（x）在R上单调递增，当a＞0时，令，当时，f'（x）＞0，所以f（x）单调递增，当时，f'（x）＜0，所以f（x）单调递减，当时，f'（x）＞0，故f（x）单调递增；（2）对任意x∈[0，+∞），f（x）≥﹣sin x恒成立，即在[0，+∞）上恒成立，令，又F（x）≥F（0），所以F（x）在[0，+∞）上单调递增，由F'（x）＝，所以F'（0）≥0，即1﹣a≥0，所以a≤1（必要性），下证充分性，当a≤1时，，令，则，令，则h′（x）＝x﹣sin x≥0，故h（x）在[0，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（0）＝0，所以g′（x）≥0，故g（x）在[0，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（0）＝0，所以F（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，符合题意．综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，1]．22．已知抛物线P：y2＝2px（p＞0），焦点为F，M为P上任一点，l为过M点的切线．（1）若l的方程为，求抛物线方程；（2）求证：FM与l的夹角等于l与x轴的夹角．【分析】（1）根据题意可以直接设出抛物线的切线方程，进而可以直接解出；（2）利用直线的倾斜角和斜率的关系，可以直接证明．解：（1）设M（x0，y0），故切线l的方程为y0y＝2p⋅，即px﹣y0y+px0＝0，故l的方程为x﹣2y+2＝0时，，∴x0＝2，y0＝2，p＝1，抛物线方程为y2＝2x．（2）证明：当l不垂直于x轴时，设l与x轴的夹角为θ，∴|FM与l夹角设为α，k PM＝，∴|∴tanθ＝tanα，θ＝α．。

2021届江苏省南通市海安市高三上学期期末考试化学试题

海安市2020~2021学年度第一学期末学业质量监测试卷高三化学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共6页，满分100分，考试时间为75分钟。

考试结束后，请将答题卷交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号、座位号用0.5毫米黑色字迹签字笔填写在答题卷上。

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符。

4.作答选择题必须用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米的签字笔写在答题卷上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

可能用到的相对原子质量∶B-11 O-16 Na-23选择题本题包括15小题，每小题3分，共计45分。

每小题只有一个．．．．选项符合题意。

1. 第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月20日在北京市和张家口市联合举行。

下列说法正确的是( )A. 室内场馆使用次氯酸钠灭杀病毒原理是蛋白质变性B. 水结成冰的过程中分子内氢键断裂形成分子间氢键C. 生产速滑服所用的聚氨酯属于新型无机非金属材料D. 照明广泛使用的太阳能电池其光电转换材料是SiO22. 反应2Na2S+Na2CO3+4SO2=3Na2S2O3+CO2可用于工业上制备Na2S2O3。

下列化学用语表示正确的是( )A. 中子数为20的硫原子∶2016SB. 基态O原子核外电子轨道表达式∶C. SO2分子的空间构型∶V型D. CO23-水解的离子方程式∶CO23-+2H2O H2CO3+2OH-3. 下列有关物质性质与用途具有对应关系的是( )A. 二氧化硫具有强还原性，可用作漂白纸张B. 氮气常温下化学性质稳定，可用作粮食保护气C. 苯酚溶液具有弱酸性，可用作环境杀菌消毒剂D. 氧化镁熔点高，可用作电解冶炼镁的原料4. 硫铁矿焙烧后的烧渣含有Fe 2O 3、FeO 、SiO 2、Al 2O 3，用过量硫酸浸取，过滤，将滤液分别与下列指定物质反应，所得溶液中主要存在的一组离子正确的是( ) A. 通入过量NH 3∶NH 4+、AlO 2-、SO 24-、OH - B. 通入过量SO 2∶Fe 2+、H +、Al 3+、SO 24-C. 加入过量KOH 溶液∶K +、AlO 2-、SO 24-、SiO 23-D. 加入过量新制氯水∶Fe 2+、H +、Al 3+、Cl -5. 氯是一种重要的“成盐元素”。

江苏省南通市海安县实验中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试卷含解析

江苏省南通市海安县实验中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知三个向量，，共面，且均为单位向量， ?=0，则|+﹣|的取值范围是（）A．[﹣1， +1] B．C．[，] D．[﹣1，1]参考答案：A【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，可设=（1，0），=（0，1），=（x，y），得|+﹣|=，结合图形求出它的最大、最小值．【解答】解：三个向量，，共面，且均为单位向量， ?=0，可设=（1，0），=（0，1），=（x，y），则+﹣=（1﹣x，1﹣y），||==1；∴|+﹣|==，它表示单位圆上的点到定点P（1，1）的距离，其最大值是PM=r+|OP|=1+，最小值是|OP|﹣r=﹣1，∴|+﹣|的取值范围是[﹣1， +1]．故选：A．【点评】本题考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、点与圆上的点的距离大小关系，考查了推理能力和计算能力，是中档题．2. 将个正整数、、、…、（）任意排成行列的数表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数、（）的比值,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当时, 数表的所有可能的“特征值”最大值为A． B． C． D．参考答案：D3. 已知命题p：?x∈R，cosx≥a，下列的取值能使“￢p”命题是真命题的是（）A．a∈R B． a=2 C． a=1 D． a=0参考答案：C考点：命题的否定．专题：概率与统计．分析：写出命题的否定形式，然后判断选项即可．解答：解：命题p：?x∈R，cosx≥a，则￢p，?x∈R，cosx＜a，能使“￢p”命题是真命题，由余弦函数的值域可知，cosx≤1，故选项C成立．故选：C．点评：本题考查特称命题的真假的判断与应用，三角函数的值域的应用，基本知识的考查．4. 若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（A）（B）（C）（D）参考答案：C5. 的外接圆圆心为,半径为2，,且,向量在方向上的投影为A. B. C.D.参考答案：C6. 若实数满足，则的最大值为（）A. B. C. D.参考答案：C略7. 已知单调递增的等比数列{a n}中，a2?a6=16，a3+a5=10，则数列{a n}的前n项和S n=（）A．B．C．2n﹣1 D．2n+1﹣2参考答案：B【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】由等比数列的性质和韦达定理可得a3，a5为方程x2﹣10x+16=0的实根，解方程可得q和a1，代入求和公式计算可得．【解答】解：∵a2?a6=16，a3+a5=10，∴由等比数列的性质可得a3?a5=16，a3+a5=10，∴a3，a5为方程x2﹣10x+16=0的实根，解方程可得a3=2，a5=8，或a3=8，a5=2，∵等比数列{a n}单调递增，∴a3=2，a5=8，∴q=2，，∴故选：B．8. 若将函数的图像向左平移个单位，得到偶函数，则的最小正值是（）A. B. C. D.参考答案：A知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换解析：由，把该函数的图象左移个单位，所得图象对应的函数解析式为：．又偶函数图象关于y轴对称，则，k∈Z．则，k∈Z．∴当k=0时，有最小正值是．故选：A．【思路点拨】把函数式化积为，然后利用三角函数的图象平移得到．结合该函数为偶函数求得的最小正值．9. 若向量a=(x-1,2),b=(4,y)相互垂直，则的最小值为（）A.12B.C.D.6参考答案：D略10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积可能为（）A．B．C．D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，函数的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为则．参考答案：12. (坐标系与参数方程选讲选做题)在直角坐标系中曲线的极坐标方程为，写出曲线的普通方程__________参考答案：13. 若对任意的，均有，则a的取值范围是________。

2021-2022学年江苏省扬州市海安高级中学高三数学文上学期期末试题含解析

2021-2022学年江苏省扬州市海安高级中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．8+2B．8+8C．12+4D．16+4参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图得出该几何体是一个斜四棱柱，AA1=2，AB=2，高为，画出图象，根据几何体的性质求解表面积即可．【解答】解：根据三视图得出该几何体是一个斜四棱柱，AA1=2，AB=2，高为，根据三视图得出侧棱长度为=2，∴该几何体的表面积为2×（2×+2×2+2×2）=16，故选：D【点评】本题考查了空间几何体的三视图，运用求解表面积，关键是恢复几何体的直观图，属于中档题．2. 已知点P是曲线上一动点，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的最小值是A．0 B． C．D．参考答案：D因,，即．又，所以角的最小值为．3. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（）A． B． C． D．参考答案：C4. 函数，若，则的值是（）A．2 B．1 C．1或2 D．1或﹣2参考答案：A若，则由得，，∴．此时不成立．若，则由得，，∴，故选A．考点：函数的零点；函数的值．5. 下列命题中的假命题是A. B.C. D.参考答案：C,所以C为假命题.6. 执行如图所示的程序框图，输出的s值为()A．－3 B．－C． D．2参考答案：D7. 设函数有两个极值点，且，则（）A．B．C．D．参考答案：D略8. 已知，是非零向量，且向量，的夹角为，若向量，则A．B．C．D．参考答案：D9. 已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为A.9万件B.11万件C.12万件 D.13万件参考答案：A10. 已知，，，，则向量在向量上的投影为（▲）A． B． C． D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.的展开式中的系数是参考答案：答案:1412. 点A、B、C、D在同一个球的球面上，，若四面体ABCD体积的最大值为，则该球的表面积为．参考答案：9π【考点】球的体积和表面积．【分析】根据三棱锥的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为2．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为×S△ABC×DQ=，S△ABC=AC?BQ==2．，∴DQ=2，如图．设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=（）2+（2﹣R）2，∴R=，则这个球的表面积为：S=4π（）2=9π；故答案为：9π【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD 的体积的最大值，是解答的关键．属于中档题．13. 、观察右图从上而下，其中2012第一次出现在第行，第列．参考答案：14. 抛物线C:上一点到其焦点的距离为3，则抛物线C的方程为_______. 参考答案：【分析】利用抛物线的定义，求出p，即可求C的方程；【详解】抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x，由抛物线的定义可知13，解得p＝4，∴C的方程为y2＝8x；故答案为15. 已知是定义在R上的奇函数，当时，则的值为_____.参考答案：【知识点】奇函数的性质.B4解析：因为是定义在R上的奇函数，所以，，而，所以，故答案为.【思路点拨】直接利用函数的奇偶性解题即可。

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8．A
【分析】
分别求出每个选项中对应的即可判断.
【详解】
对A，，，联立解得，不满足，故A不可能，符合题意；
对B，，，联立解得，满足，，故B可能，不符合题意；
对C，，，联立解得，满足，，故D可能，不符合题意；
对D，，，联立解得，满足，，故D可能，不符合题意；
故选：A.
江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，集合，则（）
A． B． C． D．
2．若复数满足，其中为虚数单位，则对应的点满足方程（）
（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
20．2020年8月，教育部发布《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》，要求体育纳入高中学业水平考试范围.《国家学生体质健康标准》规定高三男生投掷实心球6.9米达标，高三女生6.2米达标.某地初步拟定投掷实心球的考试方案为每生可以投掷3次，一旦通过无需再投，为研究该方案的合理性，到某校任选4名学生进行测试，如果有2人不达标的概率超过0.1，该方案需要调整；否则就定为考试方案.已知该校男生投掷实心球的距离服从，女生投掷实心球的距离服从（，的单位：米）.
10．ACD
【分析】
对A，由线面平行的判定定理即可判断；对B，可得四边形EFGH为边长为1的正方形，且为截面，即可判断；对C，可得EG即为与的公垂线段，求出即可；对D，可得即为二面角的平面角，即为与平面所成角，求出即可比较.
【详解】
对A，点，为棱，的中点，，平面，平面，平面，故A正确；
A． B．
C． D．
3．圭表（圭是南北方向水平放置测定表影长度的刻板，表是与圭垂直的杆）是中国古代用来确定节令的仪器，利用正午时太阳照在表上，表在圭上的影长来确定节令.已知冬至和夏至正午时，太阳光线与地面所成角分别为，，表影长之差为，那么表高为（）
A． B．
C． D．
4．已知，，，则，，的大小关系为（）
A．平面
B．过点，，的截面的面积为
C．与的公垂线段的长为
D．与平面所成角的大小小于二面角的大小
11．嫦娥奔月是中华民族的千年梦想.2020年12月我国嫦娥五号“探月工程”首次实现从月球无人采样返回.某校航天兴趣小组利用计算机模拟“探月工程”，如图，飞行器在环月椭圆轨道近月点制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离月球表面的环月圆形轨道（月球的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为，已知远月点到月球表面的最近距离为，则（）
11．BC
【分析】
根据题意结合椭圆定义和性质分别求出各量即可判断.
【详解】
由题，以的速度进入距离月球表面的环月圆形轨道，环绕周期为，则可得环绕的圆形轨道周长为 km，半径为 km，故A错误；
则月球半径为，故B正确；
则近月点与远月点的距离为，故C正确；
设椭圆方程为，则（为月球的半径），
【详解】
如图，在中，，所以由正弦定理得，，
可得，
在中， .
故选：D
4．B
【分析】
利用指数函数和幂函数的单调性可比较大小并求出范围，求出的范围即可得出结果.
【详解】
，，
，，
.
故选：B.
5．A
【分析】
由题可得，利用和的正弦公式和二倍角公式，辅助角公式化简可得，令可求出对称轴.
【详解】
【详解】
由题可得一共有中组合方式，假设这10种组合，每种都有4名同学选择，而最后一名同学选择“剥黄豆、捉鱼、喂马”项目组合，则可得选该项目组合的人数至少是5人.
故选：B.
7．C
【分析】
由，得，由题意可得，从而可求出的值
【详解】
解：因为，
所以，
由题意得时，，代入上式得
，所以，
，
，
故选：C
由圆的切线性质可得，
所以，
在直角三角形AFB和直角三角形AEO中，
因为，所以，
所以，则可得，
过点E作，D为垂足，
则球O与圆锥的侧面的交线是以DE为半径的圆，
，
因为，所以，
所以球O与圆锥的侧面的交线长为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查圆锥与球的相切问题，解题的关键是利用轴截面，用平面几何的知识解决.
A． B． C． D．
5．若的内角，，依次成等差数列，则函数的图象的一条对称轴方程为（）
A． B． C． D．
6．某校学生到学校农场参加劳动实践，在剥黄豆、翻土、喷农药、捉鱼、喂马5个劳动项目中自主选择3个参加.已知某班41名学生中选择“剥黄豆、捉鱼、喂马”项目组合的人数最多，那么选该项目组合的人数至少是（）
对B，取AB中点H，则可得四边形EFGH为截面，由A选项可得， ,同理可得， ,则且，故四边形EFGH为平行四边形，取BD中点M，则可得，，则平面AMC，，则，故平行四边形EFGH为正方形，且边长为1，故截面面积为1，故B错误；
对C，连接AE，ED，因为正四面体中，可得，，同理可得，故EG即为与的公垂线段，由B选项可得，故C正确；
①求的取值范围；
②设曲线在处的切线方程为 .当时，试比较与的大小，并说明理由.
22．已知椭圆：的离心率为，且过点 .
（1）求椭圆的方程；
（2）已知，是椭圆上的两点，且直线，的斜率之积为，点为线段的中点，连接并延长交椭圆于点，求证：为定值.
参考答案
1．C
【分析】
，，依次成等差数列，，
，，
，
令，解得，
当时，，是的一条对称轴.
故选：A.
【点睛】
本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数对称轴的判断，解题的关键是利用三角恒等变换化简得出 .
6．B
【分析】
可得一共有中组合方式，由每种都有4名同学选择，而最后一名同学选择“剥黄豆、捉鱼、喂马”项目组合可得.
15．答案不唯一，如
【分析】
由题可得，存在n使得，即可写出.
【详解】
若，则满足①，
又不存在正整数，使得且，则可得连续两项取得最小值，
即存在n使得，
则可得的通项公式可以是 .
故答案为：答案不唯一，如 .
16．2 2
【分析】
由题可得，表示出，则可求出，联立抛物线与双曲线方程求出点P横坐标即可根据抛物线焦半径公式求出.
对D，当时，的可能取值为1，2，则，，故的数学期望为 ,故D正确.
故选：BCD.
【点睛】
本题考查概率的相关计算，解题的关键是正确应用概率的乘法公式，正确求出对应的概率.
13．
【分析】
由题可得，根据与垂直，可得，即可求得.
【详解】
，是单位向量，，
，
与垂直，
，解得 .
故答案为： .
【详解】
由题可得，则，即，
则抛物ห้องสมุดไป่ตู้方程为，
轴，，
是渐近线上的点，，
则，联立抛物线与双曲线方程可得，
解得（舍负），则，
则，解得，则 .
故答案为：2；2.
【点睛】
本题考查双曲线与抛物线的综合应用，解题的关键是正确利用渐近线关系，正确利用抛物线的定义.
17．（1）4；（2）
【分析】
【点睛】
本题考查函数的计算，解题的关键是直接利用选项列式求值判断.
9．CD
【分析】
根据的通项公式依次计算判断即可.
【详解】
对A，，可得不是中的项，故A错误；
对B，，可得不是中的项，故B错误；
对C，，可得是中的第项，故C正确；
对D，，可得是中的第项，故D正确.
故选：CD.
对D，如图，易得，即为二面角的平面角，因为四面体的棱长为2，则，，，则，又，平面GBC，则即为与平面所成角，易得，，故，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】
本题考查线面平行的判定，考查截面面积的计算，考查异面直线公垂线的求解，考查线面角和面面角的求解，解题的关键是正确理解判定定理和角的概念，正确利用正四面体的相关性质.
14．已知某空心圆锥的母线长为，高为，记该圆锥内半径最大的球为球，则球与圆锥侧面的交线的长为________ .
15．设数列的前项和为，写出一个同时满足条件①②的等差数列的通项公式 ________.
① 存在最小值且最小值不等于；
②不存在正整数，使得且 .
四、双空题
16．在平面直角坐标系中，设抛物线与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为，，抛物线的焦点恰与双曲线的右顶点重合，轴，则 ________；若，则 ________.
A．4B．5C．9D．10
7．新冠疫情防控常态化，核酸检测应检尽检！核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时检测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，的数量与扩增次数满足：，其中为扩增效率，为的初始数量.已知某被测标本扩增5次后，数量变为原来的10倍，那么该标本的扩增效率约为（）（参考数据：，）
A．0.369B．0.415C．0.585D．0.631
8．设函数（，为常数，且，），则，的值不可能是（）
A．-3，0B．2，8C．1，-5D．，