2022年中考数学专题复习：动态几何问题
2022年九年级中考数学冲刺专题---几何动态及最值问题
中考数学冲刺专题---几何动态及最值问题一、单选题1．（2020·江阴模拟）如图，在边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF.则在点E运动过程中，DF的最小值是（）A．6B．3C．2D．1.52．（2020·无锡模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6）.动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动.设运动的时间为t秒，作AG⊥PQ于点G，则AG的最大值为（）C．365D．6 A．√73B．18√553．（2020·无锡模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知A（10，0），点P为线段OA上任意一点.在直线y＝34x上取点E，使PO＝PE，延长PE到点F，使PA＝PF，分别取OE、AF中点M、N，连结MN，则MN的最小值是（）A．4.8B．5C．5.4D．64．（2020·宜兴模拟）如图，等边△ABC的边长为1，D，E两点分别在边AB，AC上，CE=DE，则线段CE的最小值为（）A．2﹣√3B．2 √3﹣3C．12D．√3−125．（2020·南通模拟）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝8，AD＝17，折叠纸片使点B落在边AD上的E处，折痕为PQ.当E在AD边上移动时，折痕的端点P，Q也随着移动.若限定P，Q分别在边BA，BC上移动，则点E在边AD上移动的最大距离为（）A．6B．7C．8D．96．（2020·无锡模拟）如图，正方形ABCD中，AB=4，E，F分别是边AB，AD上的动点，AE=DF，连接DE，CF交于点P，过点P作PK//BC，且PK=2，若∠CBK的度数最大时，则BK长为（）A．6B．2√5C．2√10D．4√27．（2020·镇江模拟）如图，已知P是半径为3的⊙A上一点，延长AP到点C，使AC＝4，以AC为对角线作▱ABCD，AB＝4 √3，⊙A交边AD于点E，当▱ABCD面积为最大值时，EP⌢的长为（）A．12πB．πC．32πD．3π8．（2020·泰兴模拟）如图，直线l与⊙O相切于点A，M是⊙O上的一个动点，MH⊥l，垂足为H.若⊙O的半径为1，则MA-MH的最大值为（）A．12B．13C．14D．159．（2020·如皋模拟）如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3.E，F分别是AD，CD上的动点，EF=2.Q是EF的中点，P为BC上的动点，连接AP，PQ.则AP+PQ的最小值等于()A．2B．3C．4D．510．（2019·丹阳模拟）如图，已知⊙C的半径为3，圆外一点O满足OC=5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不经过点C，则AB的最小值（）A．2B．4C．5D．611．（2020·鼓楼模拟）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝60°，AB＝4，D是边BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于点E、F，则弦EF长度的最小值为（）A．√3B．√6C．2 √2D．2 √3 12．（2020·张家港模拟）如图，已知A，B两点的坐标分别为(8,0)，(0,8)，点C，F分别是直线x=−5和x轴上的动点，CF=10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当ΔABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（）A．817B．4√217C．4√213D．71713．（2020·苏州模拟）如图，正方形ABCD的边长为1，点P为BC上任意一点（可与点B或C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′＋CC′＋DD′的最小值是（）A．1B．√2C．√3D．√514．（2020·无锡模拟）如图，正方形ABCD中，AB=2，E是BC中点，CD上有一动点M，连接EM、BM，将的最小值为（）ΔBEM沿着BM翻折得到ΔBFM.连接DF、CF，则DF+12FCA．52B．83C．94D．125二、填空题15．（2020·苏州模拟）如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB=5cm，AC=4cm.D是BC⏜上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE.在点D移动的过程中，BE的最小值为.16．（2020·扬州模拟）已知点A、B是半径为2的⊙O上两点，且∠BOA=120°，点M是⊙O上一个动点，点P是AM的中点，连接BP，则BP的最小值是.17．（2020·昆山模拟）如图，已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点M是AC边上任意一点，连接MB，以MB、MC为邻边作平行四边形MCNB，连接MN，则MN的最小值是18．（2020·南京模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是A边上一点，且AE＝√3，点F 是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD 的面积的最小值为.19．（2020·徐州模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8，点E在AD边上，且AE:ED=1:3，动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止，过点E作EF⊥PE，交射线BC于点F，设M是线段EF 的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为.20．（2020·苏州模拟）如图，折线AB−BC中，AB=3，BC=5，将折线AB−BC绕点A按逆时针方向旋转，得到折线AD−DE，点B的对应点落在线段BC上的点D处，点C的对应点落在点E处，连接CE，若CE⊥BC，则tan∠EDC=°.21．（2020·扬州模拟）如图，在平面直角坐标系中，A（1，√3），B（2，0），C点在x轴上运动，过点Ｏ作直线AC的垂线，垂足为D.当点C在x轴上运动时，点D也随之运动.则线段BD长的最大值为.22．（2020·镇江模拟）如图，在RtΔABC中, ∠ACB=90°,AC=10,BC=5,将直角三角板的直角顶点与AC边的中点P重合，直角三角板绕着点P旋转，两条直角边分别交AB边于M,N,则MN的最小值是.23．（2020·宜兴模拟）如图，已知⊙O的半径是2，点A，B在⊙O上，且∠AOB＝90°，动点C在⊙O 上运动（不与A，B重合），点D为线段BC的中点，连接AD，则线段AD的长度最大值是.24．（2020·太仓模拟）如图所示，等边△ABC的边长为4，点D是BC边上一动点，且CE＝BD，连接AD，BE，AD与BE相交于点P，连接PC.则线段PC的最小值等于.25．（2020·惠山模拟）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=4.如图，将直角顶点B放在原点，点A放在y轴正半轴上，当点B在x轴上向右移动时，点A也随之在y轴上向下移动，当点A到达原点时，点B停止移动，在移动过程中，点C到原点的最大距离为.26．（2020·淮安模拟）如图，正方形ABCD的边长为2,E为BC上一点，且BE=1,F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为底向右侧作等腰直角△EFG，连接CG，则CG的最小值为.27．（2020·江阴模拟）如图，等边△AOB，点C是边AO所在直线上的动点，点D是x轴上的动点，在矩形CDEF中，CD=6，DE= √3，则OF的最小值为.28．（2020·灌南模拟）如图，在ΔABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是.29．（2019·崇川模拟）如图，在等边△ABC中，AB=4，点P是BC边上的动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是.三、综合题30．（2021·泰州模拟）如图，在▱ABCD 中，AB ＝5，BC ＝10，sinB ＝45，点P 以每秒2个单位长度的速度从点B 出发，沿着B→C→D→A 的方向运动到点A 时停止，设点P 运动的时间为ts.（1）连接AC ，判断△ABC 是否是直角三角形，试说明理由；（2）在点P 运动的过程中，若以点C 为圆心、PC 长为半径的⊙C 与AD 边相切，求t 的值；（3）在点P 出发的同时，点Q 以每秒1个单位长度的速度从点C 出发，沿着C→D→A 的方向运动，当P 、Q 中的一点到达终点A 时，另一点也停止运动.求当BP ⊥CQ 时t 的值.31．（2021·扬州模拟）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点E 是AD 边上的动点，将矩形ABCD 沿BE 折叠，点A 落在点A′处，连接A′C 、BD.（1）如图1，求证：∠DE A′＝2∠ABE ；（2）如图2，若点A′恰好落在BD 上，求tan ∠ABE 的值；（3）若AE ＝2，求S △A′CB .（4）点E 在AD 边上运动的过程中，∠A′ CB 的度数是否存在最大值，若存在，求出此时线段AE 的长；若不存在，请说明理由.32．（2020·无锡模拟）在综合与实践课上，老师组织同学们以“三角形纸片的旋转”为主题开展数学活动.如图1，现有矩形纸片ABCD，AB＝8cm，AD＝6cm.连接BD，将矩形ABCD沿BD剪开，得到△ABD 和△BCE.保持△ABD位置不变，将△BCE从图1的位置开始，绕点B按逆时针方向旋转，旋转角为α（0°≤α＜360°）.在△BCE旋转过程中，边CE与边AB交于点F.（1）如图2，将图1中的△BCE旋转到点C落在边BD上时，CF=；（2）继续旋转△BCE，当点E落在DA延长线上时，求出CF的长；（3）在△BCE旋转过程中，连接AE，AC，当AC＝AE时，直接写出此时α的度数及△AEC的面积.33．（2020·常州模拟）如图，△ABC中，∠ACB=90∘,BC=6,AC=8.点E与点B在AC的同侧，且AE⊥AC.（1）如图1，点E不与点A重合，连结CE交AB于点P.设AE=x,AP=y,求y关于x的函数解析式，写出自变量x的取值范围；（2）是否存在点E，使△PAE与△ABC相似，若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由；（3）如图2，过点B作BD⊥AE,垂足为D.将以点E为圆心，ED为半径的圆记为⊙E.若点C到OE上点的距离的最小值为8，求⊙E的半径.34．（2020·无锡模拟）如图1，已知：在矩形ABCD中，AB =3√3cm，AD＝9cm，点O从A点出发沿AD以acm/s的速度移向点D移动，以O为圆心，2cm长为半径作圆，交射线AD于M（点M在点O右侧）．同时点E从C点出发沿CD以√3cm/s的速度移向点D移动，过E作直线EF∥BD交BC于F，再把△CEF沿着动直线EF对折，点C的对应点为点G．若在整过移动过程中△EFG的直角顶点G 能与点M重合．设运动时间为t（0＜t≤3）秒．（1）求a的值；（2）在运动过程中，①当直线FG与⊙O相切时，求t的值；②是否存在某一时刻t，使点G恰好落在⊙O上（异于点M）？若存在，请写出t的值；若不存在，请说明理由．35．（2020·无锡模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，2），点M从点A出发沿x轴负方向以每秒3cm的速度移动，同时点N从原点出发沿y轴正方向以每秒1cm 的速度移动.设移动的时间为t秒.（1）若点M在线段OA上，试问当t为何值时，△ABO与以点O、M、N为顶点的三角形相似？（2）若直线y=x与△OMN外接圆的另一个交点是点C.①试说明：当0<t<2时，OM、ON、OC在移动过程满足OM+ON= √2OC；②试探究：当t>2时，OM、ON、OC之间的数量关系是否发生变化，并说明理由. 36．（2020·南通模拟）（1）如图，已知△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，求证：DE∥BC，DE= 12BC．（2）利用第（1）题的结论，解决下列问题：①如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，求证：EF∥BC，FE= 12（AD+BC）②如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3 √3，AD＝3，点M，N分别在边AB，BC上，点E，F分别为MN，DN的中点，连接EF，求EF长度的最大值．37．（2020·南京模拟）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，经过点C的⊙O与△ABC 的每条边都相交.⊙O与AC边的另一个公共点为D，与BC边的另一个公共点为E，与AB边的两个公共点分别为F、G.设⊙O的半径为r.（1）（操作感知）根据题意，仅用圆规在图①中作出一个满足条件的⊙O，并标明相关字母；（2）（初步探究）求证：CD2+CE2＝4r2；（3）当r＝8时，则CD2+CE2+FG2的最大值为；（4）（深入研究）直接写出满足题意的r的取值范围；对于范围内每一个确定的r的值，CD2+CE2+FG2都有最大值，每一个最大值对应的圆心O所形成的路径长为.38．（操作体验）如图①，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB=30°，如图②，小明的作图方法如下：第一步：分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧在AB上方交于点O；第二步：连接OA，OB；第三步：以O为圆心，OA长为半径作⊙O，交l于P1,P2；所以图中P1,P2即为所求的点.（1）在图②中，连接P1A,P1B，说明∠AP1B=30°（方法迁移）（1）如图③，用直尺和圆规在矩形ABCD内作出所有的点P，使得∠BPC=45°，（不写做法，保留作图痕迹）.（2）已知矩形ABCD，BC=2.AB=m，P为AD边上的点，若满足∠BPC=45°的点P恰有两个，则m 的取值范围为.（3）已知矩形ABCD，AB=3，BC=2，P为矩形ABCD内一点，且∠BPC=135°，若点P绕点A逆时针旋转90°到点Q，则PQ的最小值为.39．（1）如图1，点A在⊙O上，请在图中用直尺（不含刻度）和圆规作等边三角形ABC，使得点B、C 都在⊙O上.（2）已知矩形ABCD中，AB=4，BC=m.①如图2，当m=4时，请在图中用直尺（不含刻度）和圆规作等边三角形AEF，使得点E在边BC上，点F在边CD上；②若在该矩形中总能作出符合①中要求的等边三角形AEF，请直接写出m的取值范围. 40．（2020·建邺模拟）（概念认识）若以三角形某边上任意一点为圆心，所作的半圆上的所有点都在该三角形的内部或边上，则将符合条件且半径最大的半圆称为该边关联的极限内半圆.如图①，点P是锐角△ABC的边BC上一点，以P为圆心的半圆上的所有点都在△ABC的内部或边上.当半径最大时，半圆P为边BC关联的极限内半圆.（1）（初步思考）若等边△ABC的边长为1，则边BC关联的极限内半圆的半径长为.（2）如图②，在钝角△ABC中，用直尺和圆规作出边BC关联的极限内半圆（保留作图痕迹，不写作法）.（3）（深入研究）如图③，∠AOB＝30°，点C在射线OB上，OC＝6，点Q是射线OA上一动点.在△QOC中，若边OC关联的极限内半圆的半径为r，当1≤r≤2时，求OQ的长的取值范围.。
江苏省2022学年中考数学试题研究几何图形中的动态问题练习
几何图形中的动态问题★1.如图，在矩形ABCD 中，点E 在BC 边上，动点P 以2厘米/秒的速度从点A 出发，沿△AED 的边按照A →E →D →A 的顺序运动一周．设点P 从点A 出发经x (x >0)秒后，△ABP 的面积是y .(1)若AB ＝8cm ，BE ＝6cm ，当点P 在线段AE 上时，求y 关于x 的函数表达式；(2)已知点E 是BC 的中点，当点P 在线段ED 上时，y ＝125x ；当点P 在线段AD 上时，y ＝32－4x .求y 关于x 的函数表达式．第1题图解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABE ＝90°， 又∵AB ＝8cm ，BE ＝6cm ，∴AE ＝AB 2＋BE 2＝82＋62＝10厘米， 如解图①，过点B 作BH ⊥AE 于点H ，第1题解图①∵S △ABE ＝12AE ·BH ＝12AB ·BE ，∴BH ＝245cm ，又∵AP ＝2x ，∴y ＝12AP ·BH ＝245x (0<x ≤5)；(2) ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝DC , AD ＝BC ， ∵E 为BC 中点， ∴BE ＝EC ，∴△ABE ≌△DCE (SAS)， ∴AE ＝DE ，∵y ＝125x (P 在ED 上), y ＝32－4x (P 在AD 上)，当点P 运动至点D 时，可联立得，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝125x y ＝32－4x ， 解得x ＝5， ∴AE ＋ED ＝2x ＝10， ∴AE ＝ED ＝5cm ，当点P 运动一周回到点A 时，y ＝0， ∴y ＝32－4x ＝0, 解得x ＝8， ∴AE ＋DE ＋AD ＝16， ∴AD ＝BC ＝6cm ，∴BE ＝3cm ， 在Rt △ABE 中，AB ＝AE 2－BE 2＝4cm ，如解图②，过点B 作BN ⊥AE 于N ，则BN ＝125cm ，第1题解图②∴y ＝125x (0<x ≤2.5)，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧125x （0<x ≤5）32－4x （5≤x ≤8）.★2. 已知：如图①，菱形ABCD 的边长为4 cm,P 、Q 分别是AB 、BC 两边上的动点，P 、Q 分别从A 、B 两点同时出发，均以1 cm/s 的速度沿AB 、BC 向点B 和点C 匀速运动，当点P 到达点B 时停止运动，点Q 也随之停止运动，设运动时间为t (s)，点P 到AD 的距离与点Q 到CD 的距离差的绝对值为y (cm)，且y 与t 的函数图象如图②所示. (1)∠A 的度数为 ，M 点的坐标所表示的实际意义是 ； (2)求证：PD =QD ; (3)当y =3时，求t 的值.第2题图（1）解：60°，点P 到AD 的距离与点Q 到CD 的距离相等；【解法提示】如解图①，过B 作BE ⊥CD 于E ,由题图②知，运动时间t =0时，点P 到AD 的距离为0，点Q 到CD 的距离是菱形的高为23，即BE=23,在Rt △BCE 中，BC =4,BE=23,∴sin C =BE BC =3, ∴∠A =∠C =60°，由题图②知，点M 在t 轴上，∴点M 的坐标所表示的意义是点P 到AD 的距离与点Q 到CD 的距离相等；第2题解图①（2）证明：如解图②，连接BD ,由（1）知，∠C =60°，第2题解图②∵在菱形ABCD 中，BC =CD , ∴△BCD 是等边三角形， ∴DB=BC =AD ,∠DBQ =∠A=60°， 由运动的过程知，BQ =AP ， 在△BDQ 和△ADP 中，BD AD DBQ ABD BQ AP =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩， ∴△BDQ ≌△ADP , ∴PD ＝QD ;(3)解：如解图③，过点P 作PE ⊥AD ,过点Q 作QF ⊥CD ,第2题解图③由运动过程知，AP=BQ=t,(0≤t≤4) ∴CQ=4-t,在Rt△APE中，∠A=60°，AP=t,∴PE=AP·sin A=32t,同理：FQ=32(4-t),∴y=｜32t-32(4-t)｜=3|t-2|,∵y=3,∴3｜t-2｜＝32，化简得2|t-2|=1,∴t=32s或t=52s.★3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达B点即停止运动．M，N分别是AD，CD的中点，连接MN.设点D运动的时间为t.(1)判断MN与AC的位置关系；(2)求在点D由点A向点B匀速运动的过程中，线段MN所扫过区域的面积；(3)若△DMN是等腰三角形，求t的值．第3题图解：(1)MN∥AC.证明：在△ADC中，M是AD的中点，N是DC的中点，∴MN∥AC；(2)如解图①，分别取△ABC三边中点E，F，G并连接EG，FG，第3题解图①根据题意，可知线段MN 扫过区域的面积就是▱AFGE 的面积． ∵AC ＝6，BC ＝8， ∴AE ＝3，GC ＝4， ∵∠ACB ＝90°， ∴S ▱AFGE ＝AE ·GC ＝12，∴线段MN 扫过区域的面积为12；(3)依题意可知，MD ＝12AD ，DN ＝12DC ，MN ＝12AC ＝3.分三种情况讨论：(ⅰ)当MD ＝MN ＝3时，△DMN 为等腰三角形，此时AD ＝AC ＝6， ∴t ＝6.(ⅱ)当MD ＝DN 时，AD ＝DC .如解图②，过点D 作DH ⊥AC 于点H ，则AH ＝12AC ＝3，第3题解图②∵cos A ＝AH AD ＝AC AB，AB ＝10， 即3AD ＝610. ∴t ＝AD ＝5.(ⅲ)当DN ＝MN ＝3时，AC ＝DC ， 如解图③，连接MC ，则CM ⊥AD .∵cos A ＝AM AC ＝AC AB ，即AM 6＝610，∴AM ＝185，∴t ＝AD ＝2AM ＝365.综上所述，当t ＝5或6或365时，△DMN 为等腰三角形．第3题解图③★4. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，G 分别是边AD ，BC 的中点，AF ＝14AB .(1)求证：EF ⊥AG ；(2)若点F ，G 分别在射线AB ，BC 上同时向右、向上运动，点G 运动速度是点F 运动速度的2倍，EF ⊥AG 是否成立(只写结果，不需说明理由)?(3)正方形ABCD 的边长为4，P 是正方形ABCD 内一点，当S △PAB ＝S △OAB 时，求△PAB 周长的最小值．第4题图(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ＝AB ＝BC ，∠EAF ＝∠ABG ＝90°， ∵点E ，G 分别是边AD ，BC 的中点，AF ＝14AB ，∴AE AB ＝12，AF BG ＝12， ∴AE AB ＝AF BG，又∵∠EAF ＝∠ABC ＝90°， ∴△AEF ∽△BAG ， ∴∠AEF ＝∠BAG ， 又∵∠BAG ＋∠EAO ＝90°， ∴∠AEF ＋∠EAO ＝90°， ∴∠EOA ＝90°，即EF ⊥AG ； (2)解：EF ⊥AG 仍然成立；(3)解：如解图，过点O 作MN ∥AB 分别交AD 、BC 于点M ，N ，连接PA ，第4题解图∵P 是正方形ABCD 内一点，当S △PAB ＝S △OAB ， ∴点P 在线段MN 上(不含端点)，作点A 关于MN 的对称点A ′，连接BA ′交MN 于点P ， 此时PA ＋PB ＝PA ′＋PB ＝BA ′最小，即△PAB 的周长最小． ∵正方形ABCD 的边长为4，∴AE ＝12AD ＝2，AF ＝14AB ＝1，∴EF ＝AE 2＋AF 2＝5，OA ＝AE ·AF EF ＝255， ∵∠AMO ＝∠EOA ，∠EAO ＝∠EAO ， ∴△EOA ∽△OMA ， ∴AE OA ＝OAAM， ∴OA 2＝AM ·AE ，∴AM ＝OA 2AE ＝25，∴A ′A ＝2AM ＝45，∴BA ′＝A ′A 2＋AB 2＝4265， 故△PAB 周长的最小值为4＋4265.★5. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，点M 在线段BC 上，连接AM ，作∠AMN ＝∠AMB ，点N 在直线AD 上，MN 交CD 于点E .(1)求证：△AMN 是等腰三角形； (2)求BM ·AN 的最大值；(3)当M 为BC 中点时，求ME 的长．第5题图(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ， ∴∠NAM ＝∠AMB ， 又∵∠AMN ＝∠AMB ， ∴∠AMN ＝∠NAM ，∴AN ＝MN ，即△AMN 是等腰三角形； (2)解：如解图，作NH ⊥AM 于点H ，第5题解图∵AN ＝MN ，NH ⊥AM ， ∴AH ＝12AM ，∵∠NHA ＝∠ABM ＝90°， ∠AMB ＝∠NAH ， ∴△NAH ∽△AMB ， ∴AN AM ＝AH BM，∴AN ·BM ＝AH ·AM ＝12AM 2，在Rt △AMB 中，AM 2＝AB 2＋BM 2＝9＋BM 2，∵BM ≤2， ∴9＋BM 2≤13， ∴AN ·BM ≤132，即当BM ＝2时，BM ·AN 的最大值为132；(3)解：∵M 是BC 中点， ∴BM ＝CM ＝12BC ＝1，由(2)得，AN ·BM ＝12AM 2，∵AM 2＝32＋12＝10， ∴AN ＝5， ∴DN ＝5－2＝3， 设DE ＝x ，则CE ＝3－x ， ∵AN ∥BC ，∴DN CM ＝DE CE ，即31＝x 3－x， 解得x ＝94，即DE ＝94，∴CE ＝34，∴ME ＝CE 2＋CM 2＝54.★6. 如图①，点O 在线段AB 上，AO ＝2，OB ＝1，OC 为射线，且∠BOC ＝60°，动点P 以每秒2个单位长度的速度从点O 出发，沿射线OC 做匀速运动，设运动时间为t 秒．(1)当t ＝12秒时，则OP ＝________，S △ABP ＝________；(2)当△ABP 是直角三角形时，求t 的值；(3)如图②，当AP ＝AB 时，过点A 作AQ ∥BP ，并使得∠QOP ＝∠B ，求证：AQ ·BP ＝3.第6题图(1)解：1，334；【解法提示】因为动点P 以每秒2个单位长度的速度从点O 出发，故当t ＝12秒时，OP ＝12×2＝1.如解图①，过点P 作△ABP 的高h ，由于∠BOC ＝60°，OP ＝1，故h ＝OP ·sin 60°＝32，即S △ABP ＝12AB ·h ＝12(OA ＋OB )·h ＝12×(2＋1)×32＝334.第6题解图①(2)解：①∵∠BAP ＜∠BOP ＝60°， ∴∠A 不可能为直角； ②如解图②，当∠B ＝90°时，第6题解图②∵∠BOC ＝60°，∴∠OPB ＝30°，∴OP ＝2OB ＝2，即2t ＝2， ∴t ＝1；③当∠APB ＝90°时，如解图③，作PD ⊥AB ，垂足为D ，则∠ADP ＝∠PDB ＝90°.第6题解图③∵OP ＝2t ，∴OD ＝t ，PD ＝3t ，AD ＝2＋t ，BD ＝1－t ，∴BP 2＝BD 2＋PD 2＝(1－t )2＋3t 2，AP 2＝AD 2＋PD 2＝(2＋t )2＋3t 2， ∵BP 2＋AP 2＝AB 2，∴(1－t )2＋3t 2＋(2＋t )2＋3t 2＝9， 即4t 2＋t －2＝0，解得t 1＝－1＋338，t 2＝－1－338(舍去)．综上所述，当△ABP 是直角三角形时，t 的值为1或－1＋338； (3)证明：∵AP ＝AB ，∴∠APB ＝∠B .如解图④，作OE ∥AP 交BP 于点E ，第6题解图④∴∠OEB ＝∠APB ＝∠B ， ∵AQ ∥BP ，∴∠QAB ＋∠B ＝180°， 又∵∠3＋∠OEB ＝180°， ∴∠3＝∠QAB ，又∵∠AOC ＝∠2＋∠B ＝∠1＋∠QOP ， 已知∠B ＝∠QOP ，∴∠1＝∠2， ∴△QAO ∽△OEP ，∴AQ EO ＝AO EP，即AQ ·EP ＝EO ·AO ， ∵OE ∥AP ， ∴△OBE ∽△ABP ， ∴OE AP ＝BE BP ＝BO BA ＝13，∴OE ＝13AP ＝1，BP ＝32EP ，∴AQ ·BP ＝AQ ·32EP ＝32AO ·OE ＝32×2×1＝3.★7.如图①，在矩形ABCD 中，AB ＝16，BC ＝8，在AD 边上取一点E ，使AE ＝3，点F 是AB 边上的一个动点，以EF 为一边作菱形EFMN ，使点N 落在CD 上，点M 落在矩形ABCD 内或其边上，连接BM .(1)当四边形EFMN 是正方形时，求AF 的长； (2)设△BFM 的面积为S ，AF ＝x . ①写出S 与x 之间的函数关系式；②当S 由最大值变到最小值时，求点M 运动的路线长．第7题图解：(1)在正方形EFMN 中，∠FEN ＝90°，EF ＝EN ； ∴∠DEN ＋∠AEF ＝90°，在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°， ∴∠AEF ＋∠AFE ＝90°， ∴∠DEN ＝∠AFE ， 在△DEN 与△AFE 中，∠D=∠A ，∠DEN=∠AFE ，EN=EF ，∴△DEN ≌△AFE (AAS)． ∴AF ＝DE ＝8－3＝5， ∴AF 的长为5；(2)①如解图①，过点M 作MH ⊥AB 于点H ，连接NF .第7题解图①在矩形ABCD 中， ∵AB ∥CD ， ∴∠DNF ＝∠NFB . ∵四边形EFMN 是菱形， ∴NE ∥MF ，NE ＝MF ， ∴∠ENF ＝∠MFN ，∴∠DNF －∠ENF ＝∠NFB －∠MFN ， 即∠DNE ＝∠MFB ， 在△DEN 与△HMF 中，∠D=∠MHF=90°，∠DNE=∠MFB ，EN=MF ，∴△DEN ≌△HMF (AAS )， ∴MH ＝DE ＝5， 又∵BF ＝16－x ，∴S ＝12BF ·MH ＝12(16－x )×5＝－52x ＋40；②当点D 与N 重合时，S 最大(如解图②)，第7题解图②此时DE ＝EF ＝5，由勾股定理得AF ＝4， 当点M 落在BC 上时，S 最小(如解图③)，第7题解图③由①得MB ＝DE ＝5，∵点M 到AB 的距离是定值5，∴点M 运动的路径是一条线段M 1M 2(如解图④)，第7题解图④∴M 1M 2＝F 1B ＝16－4＝12. ∴点M 运动的路线长为12.★8.如图①，在△ABC 中，∠A ＝30°，点P 从点A 出发以2cm/s 的速度沿折线A －C －B 运动，点Q 从点A 出发以a (cm/s)的速度沿AB 运动，P ，Q 两点同时出发，当某一点运动到点B 时，两点同时停止运动．设运动时间为x (s)，△APQ 的面积为y (cm 2)，y 关于x 函数图象由C 1，C 2两段组成，如图②所示．(1)求a 的值；(2)求图②中图象C 2段的函数表达式；(3)当点P 运动到线段BC 上某一段时，△APQ 的面积大于当点P 在线段AC 上任意一点时△APQ 的面积，求x 的取值范围．第8题图解：(1)如解图①，过点P 作PD ⊥AB 于点D .第8题解图①∵∠A ＝30°，PA ＝2x ， ∴PD ＝PA ·sin30°＝2x ·12＝x ，∴y ＝12AQ ·PD ＝12ax ·x ＝12ax 2.由图象得，当x ＝1时，y ＝12，则12a ·12＝12， ∴a ＝1；(2)如解图②，当点P 在BC 上时，PB ＝5×2－2x ＝10－2x .第8题解图②∴PD ＝PB ·sin B ＝(10－2x )·sin B ， ∴y ＝12AQ ·PD ＝12x ·(10－2x )·sin B .由图象得，当x ＝4时，y ＝43，∴12×4×(10－8)·sin B ＝43，∴sin B ＝13， ∴y ＝12x ·(10－2x )·13＝－13x 2＋53x ；(3)令12x 2＝－13x 2＋53x ，解得x 1＝0(舍去)，x 2＝2.由图象得，当x ＝2时，函数y ＝12x 2的最大值为y ＝12×22＝2.将y ＝2代入函数y ＝－13x 2＋53x ，得2＝－13x 2＋53x ，解得x 1＝2，x 2＝3.∴由图象得，x 的取值范围是2＜x ＜3.★9.如图①，在长方形ABCD 中，AB =8，AD =6，动点P 、Q 分别从点D 、A 同时出发向点C 、B 运动，点P 的运动速度为每秒2个单位长度，点Q 的运动速度为每秒1个单位长度，当点P 运动到点C 时，两个点都停止运动.设运动的时间为t (s).(1)当t =2时，PQ 的长为；(2)在运动过程中，若△BPQ 为等腰三角形，求相应时刻的t 值；(3)如图②，连接BD ，是否存在某个时刻，使得PQ 垂直平分BD ?若能，求t 的值；若不能，说明理由.第9题图解：（1）如解图①，作PH ⊥AB 于H ， 由题意得:DP =4,AQ =2, ∴QH =2,又∵PH =AD =6, 由勾股定理得：PQ =PH 2+QH 2=210;(2)当PQ =PB 时，QH =BH ,∴2t -t =8-2t ， 整理得t +2t =8,解得t =38; 当PQ =BQ 时，QH 2+PH 2＝PQ 2＝BQ 2，即（2t -t ）2+62=(8-t )2,解得t =74; 当BP =BQ 时，BH 2+PH 2＝BP 2＝BQ 2，即（8-2t ）2+62=(8-t )2,方程无解；综上所述，当t =38或47时，△BPQ 为等腰三角形； （3）不存在.如解图②，第9题解图②假设PQ 垂直平分BD ,则QB =QD ，PD =PB ,在Rt △ADQ 中，t 2+36=(8-t )2,解得：t =47, 在Rt △CPB 中，（8-2t ）2+36=(2t )2,解得t =825,∴不存在某个时刻t ，使得PQ 垂直平分BD .★10. 如图①，矩形ABCD 中，AB =7 cm ，AD =4 cm,点E 为AD 上一定点，点F 为AD 延长线上一点，且DF ＝a cm.点P 从A 点出发，沿AB 边向点B 以2 cm/s 的速度运动.连接PE ，设点P 运动的时间为t s ，△PAE 的面积为y cm 2.当0≤t ≤1时，△PAE 的面积y (cm 2)关于时间t (s)的函数图象如图②所示.连接PF ，交CD 于点H .(1)t 的取值范围为 s ，AE ＝ cm;(2)如图③，将△HDF 沿线段DF 进行翻折，与CD 的延长线交于点M ，连接AM ，当a 为何值时，四边形PAMH 为菱形？并求出此时点P 的运动时间t ;(3)如图④，当点P 出发1 s 后，AD 边上另一动点Q 从E 点出发，沿ED 边向点D 以1 cm/s 的速度运动.如果P ，Q 两点中的任意一点到达终点后，另一点也停止运动，连接PQ ，QH .若a ＝43cm ，请问△PQH 能否构成直角三角形？若能，请求出点P 的运动时间t ；若不能，请说明理由.第10题图解：（1）0≤t ≤3.5，1；【解法提示】当P 运动到点B 时，t =3.5 s, ∴t 的取值范围为0≤t ≤3.5； 由题意知，y ＝21AP ·AE ＝21×2t ·AE ＝AE ·t ， 将（0.5，0.5）代入y ＝AE ·t ，得AE ＝1.(2)若四边形PAMH 为菱形，则PA ∥HM ，且PA =HM ，AM =PA ， ∵∠HDF ＝∠PAF ＝90°，∠HFD =∠PFA ， ∴△PAF ∽△HDF , ∴12FD HD AF PA ==, ∵DF =a , ∴AF =4+a , ∴412a a +=, ∴a =4.在Rt △ADM 中，AM =PA =2t ,∵△MDF 是由△HDF 沿线段DF 翻折而得， ∴DM ＝HD ＝12PA ＝t ， ∵AM 2=DM 2+AD 2, 即4t 2=t 2+42,解得t 43或t 43（舍去），∴当a =4时，四边形PAMH 为菱形，此时点P 43s. (3) △PQH 等构成直角三角形，理由如下：若a =34时，由题意得，AQ =1+1×（t -1）=t ,QD =4-t , ∵413=444+3HD DF PA AF ==, ∴HD =41×2t =2t ,过P 作PG 垂直于CD ,垂足为G ，如解图①，第10题解图①则GH =2t -2t =23t, PQ 2=PA 2+AQ 2=5t 2, QH 2=QD 2+HD 2=(4-t )2+14t 2, PH 2=PG 2+HG 2=16+94t 2,若△PQH 为直角三角形， ①当Q 为直角顶点时，根据勾股定理可得PQ 2+QH 2＝PH 2，即5t 2+(4-t )2+14t 2=16+94t 2,解得t =2或t =0(舍去)；②当H 为直角顶点时，根据勾股定理可得PH 2+HQ 2＝PQ 2，即16+94t 2+(4-t )2+14t 2=5t 2，解得t =38或t =-8(舍去)； ③当P 为直角顶点时，根据勾股定理可得PQ 2+PH 2＝QH 2，即5t 2+16+94t 2=(4-t )2+14t 2,解得t =-34(舍去)或t =0(舍去).∴当t =2或t =38时，△PQH 为直角三角形；。
2022年中考数学专题复习：动态几何问题
2022年中考数学专题复习：动态几何问题1．在△ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝BC ，点F 是AB 的中点．点D 为边BC 上一点，连接AD ．在AD 上取一点E ，使得△DEB ＝45°，连接CE ，EF ．(1)如图1，当点C ，E ，F 三点共线且EF ＝1时，求CE 的长；(2)如图2，当点D 在线段BC 上运动时，探究CE 与EF 数量关系的变化情况．2．如图1，点P 、Q 分别是等边△ABC 边AB 、BC 上的动点（端点除外），点P 从顶点A 、点Q 从顶点B 同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ 、CP 交于点M ．(1)求证：ABQ CAP ≌△△：(2)当点P 、Q 分别在AB 、BC 边上运动时，△QMC 的大小变化吗？若变化，请说明理由：若不变，求出它的度数．(3)如图2，若点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动，直线AQ 、CP 相交于点M ，则△QMC 的大小变化吗？若变化，请说明理由：若不变，则求出它的度数．3．如图1，在等腰△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，点D是射线BC上的一点，且在点C的右侧．当动点P从点A匀速运动到点B时，点Q恰好从点D匀速运动到点B．记AP＝x，DQ＝y，且x，y满足关系式32y x．过点P作PE△AC于E，连接PQ．(1)求线段CD的长．(2)连接AD，求证：△BPQ△△BAD．(3)如图2，以CQ，CE为边在AC左侧作平行四边形CQFE，当点F落在△ABC高所在直线上时，求x的值．(4)当PE平分FQ时，求x的值．4．如图，在平行四边形ABCD中，BD△AD，AD=12，BD=16．动点E在线段AD上，从点A出发沿AD方向以每秒2个单位匀速运动．动点F在线段CD上，从点C出发沿CD方向以每秒4个单位匀速运动．过点E作EG△AD交AB于G．若点E、F同时出发，当其中一点到达终点时整个运动随之停止，设运动时间为t秒（0＜t≤5）．(1)是否存在某一时刻t，使四边形BCFG为平行四边形，若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．(2)是否存在某一时刻t，使四边形BDEG的面积占△ABD面积的9，若存在，求出t值；25若不存在，请说明理由．(3)是否存在某一时刻t，使点G在△ADC的平分线上，若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．(4)是否存在某一时刻t，使△GEF=45°，若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．5．在边长为10的等边△ABC中，点P从点B出发沿射线BA移动，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．(1)如图△，当点P为AB的中点时，△求证：PD＝QD；△求CD的长；(2)如图△，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，试确定BE、CD的数量关系，并说明理由．6．正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为6和2，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转．(1)当旋转至图1位置时，连接BE，DG，线段BE和DG是否相等且垂直？请说明理由；(2)在图1中，连接BD，BF，DF，请直接写出在旋转过程中BDF的面积最大值；(3)在旋转过程中，当点G，E，D在同一直线上时，请求出线段BE的长．7．如图，在□ABCD中，△ABD＝90°，AD ，BD＝8cm．点P从点A出发，沿折线AB—BC向终点C运动，点P在AB边、BC边上的运动速度分别为1cm/s/s．在点P的运动过程中，过点P作AB所在直线的垂线，交边AD或边CD于点Q，以PQ 为一边作矩形PQMN，且QM=2PQ，MN与BD在PQ的同侧．设点P的运动时间为t （秒），矩形PQMN与□ABCD重叠部分的面积为S（cm2）．(1)求边AB的长；(2)当0＜t＜4时，PQ＝，当4＜t＜8时，PQ＝（用含t的代数式表示）；(3)当点M落在BD上时，求t的值；(4)当矩形PQMN与□ABCD重叠部分图形为四边形时，求S与t的函数关系式．8．已知AD 是等边△ABC 的高，AC =2，点O 为直线AD 上的动点(不与点A 重合)，连接BO ，将线段BO 绕点O 顺时针旋转60°，得到线段OE ，连接CE 、BE ． (1)问题发现：如图1，当点O 在线段AD 上时，线段AO 与CE 的数量关系为 ，△ACE 的度数是 ． (2)问题探究：如图2，当点O 在线段AD 的延长线上时，(1)中结论是否还成立？请说明理由． (3)问题解决：当△AEC =30°时，求出线段BO 的长9．如图，四边形ABCD 是菱形，其中60B ∠=︒，点E 在对角线AC 上，点F 在射线CB 上运动，连接EF ，作60FEG ∠=︒，交DC 延长线于点G ．(1)试判断EFG 的形状，并说明理由； (2)图中7AB =，1AE =．△当CF 10=时，以点B 为原点，射线BC 为正半轴建立平面直角坐标系．平面内是否存在一点M ，使得以点M 、E 、F 、G 为顶点的四边形与菱形ABCD 相似？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理由；△记点F 关于直线AB 的轴对称点为点N ．若点N 落在EDC ∠的内部（不含边界），求CF 的取值范围．10．如图1所示，在边长为6 cm 的等边△ABC 中，动点P 以1cm/s 的速度从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动设点P 的运动时间为t （s ），t ＞0(1)当t ＝ 时，△P AC 是直角三角形；(2)如图2，若另一动点Q 从点C 出发，沿线段CA 向点A 运动，且动点P ，Q 均以1cm/s 的速度同时出发，那么当t 取何值时，△P AQ 是直角三角形？请说明理由；(3)如图3，若另一动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动，且动点P ，Q 均以1cm/s 的速度同时出发．当点P 到达终点B 时，点Q 也随之停止运动，连接PQ 交AC 于点D ，过点P 作PE △AC 于E ，试问线段DE 的长度是否变化？若変化，请说明如何变化；若不变，请求出DE 的长度．11．在ABC 中，AB AC =，()CE CD BC CE CA ==≥，180ACB ECD ∠+∠︒=，点P 为直线DE 上一点，且PB PD =．(1)如图1，点D 在线段BC 延长线上，若50∠=°ACB ，求ABP ∠的度数； (2)如图2，ABC 与CDE △在图示位置时，求证：BP 平分ABC ∠；(3)如图3，若60ABC ∠=︒，4AB =，将图3中的CDE △（从CE 与CA 重合时开始）绕点C 按顺时针方向旋转一周，且点B 与点D 不重合，当EPC 为等腰三角形时，求2BE的值．A x y中的横坐标x与纵坐标y 12．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点(),y-=，过点A作x轴的垂线，垂足为点D，点E在x轴的负半轴上，80-=，线段AE与y轴相交于点F，将线段AD向右平移8个单位长度，且满足AD OD OE得到线段BC．(1)直接写出点A和点E的坐标；(2)在线段BC上有一点G，连接DF，FG，DG，若点G的纵坐标为m，三角形DFG的面积为S，请用含m的式子表示S（不要求写m的取值范围）；S=时，动点P从D出发，以每秒1个单位的速度沿着线段(3)在（2）的条件下，当26→向终DA向终点A运动，动点Q从A出发，以每秒2个单位的速度沿着折线AB BC点C运动，P，Q两点同时出发，当三角形FGP的面积是三角形AGQ面积的2倍时，求出P点坐标．13．将一副三角板按照如图1所示的位置放置在直线EF上，现将含30°角的三角板OCD绕点O 逆时针旋转180°，在这个过程中，(1)如图2，当OD 平分AOB ∠，求BOC ∠的度数(2)当OC 在直线EF 上方，且30COE ∠=︒时，求AOD ∠的度数 (3)若BOC α∠=，AOD β∠=，请直接写出α，β满足的数量关系．14．如图，在Rt△ABC 中，△C=90°，AC=8，BC =6，动点P 从点A 出发，沿AB 以每秒5个单位长度的速度向终点B 运动．当点P 不与点A 重合时，过点P 作PD △AC 于点D ，PE △AC ，过点D 作DE △AB ，DE 与PE 交于点E ．设点P 运动时间为t 秒．（1）线段AD 的长为 ；（用含t 的代数式表示） （2）当点E 落在△ABC 外部时，求t 的取值范围；（3）设△DPE 和△ABC 重合部分图形的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式； （4）若线段PE 的中点为Q ，当点Q 落在△ABC 的角平分线上时，直接写出 t 的值．15．如图，△ABC 是等边三角形，AB ＝4cm ，动点P 从A 出发，以2cm/s 的速度沿AB 向点B 匀速运动，过点P 作PQ △AB ，交折线AC ﹣CB 于点Q ，以PQ 为边作等边三角形PQD，使A，D在PQ异侧，设点P的运动时间是x（s）（0＜x＜2）．（1）AP的长为cm（用含x的代数式表示）；（2）当Q与C重合时，则x＝s；（3）△PQD的周长为y（cm），求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围．16．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝16，BD＝12．（1）求菱形ABCD的面积及周长；（2）点M是射线DA上一个动点，作射线BM，交射线CA于点E．将射线BM绕点B逆时针旋转后交射线CA于点N，旋转角为△MBN，且△MBN＝12BAD∠，连接MN．△如图2，当点N与点O重合时，求△AMN的周长；△当AE＝BE时，请直接写出AM的长为；△BN＝AM的长为．17．如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s 的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t s，且t≤5（1）PC＝cm（用含t的代数式表示）（2）如图2，当点P从点B开始运动时，点Q从点C出发，以v cm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得以A﹑B﹑P为顶点的三角形与以P﹑Q﹑C为顶点的三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．18．如图1，在等腰三角形ABC中，△A＝120°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC 上，AD＝AE，连接BE点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．（1）图1中，观察猜想线段M、NP的数量关系是，△MNP的大小为；（2）把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE，判断△MMP的形状，并说明理由；（3）把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝1，AB＝3，请求出△MNP面积的最大值．19．如图，在△ABC中，AB=AC，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），在AD 的右侧作△ADE，使得AE=AD，△DAE=△BAC，连接CE．（1）当D在线段BC上时，△求证：△BAD△△CAE；△若AC△DE，求证：BD=DC；（2）当CE△AB时，若△ABD中最小角为20°，试探究△ADB的度数（直接写出结果）20．已知：如图，在Rt△ACB中，△C=90°，BC=3cm，AC=3cm，点P由B点出发沿BA 方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为cm/s；若设运动的时间为t(s)(0＜t＜3)，解答下列问题：(1)如图△，连接PC，当t为何值时△APC△△ACB，并说明理由；(2)如图△，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得点P在线段QC的垂直平分线上，请说明理由；(3)如图△，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱形？若存在，试求出BG长；若不存在请说明理由．。
专题45动态几何之多形式变化问题-2022年中考数学备考百日捷进提升系列(解析版)
考点概述：动态几何多问题主要有点动成线、线动成面、面动成体等类型的问题，其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动等。
根据其运动的特点，又可分为〔1〕动点类〔点在线段或弧线上运动〕也包括一个动点或两个动点；〔2〕动直线类；〔3〕动图形问题。
它常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性，题目灵活、多变，动中有静，动静结合，解决这类问题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系.一、选择题 1. 【江苏泰兴市】如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为6，M 是弦AB 上的动点，那么OM 长的最小值为A. 5B. 4C.3D. 2∵OM 过O ，OM ⊥AB ，∴AM=12AB=12×8=4， 在Rt △AMO 中，由勾股定理得：OM=2222543OA AM =-=-，应选C ．2.【江苏大丰市】如图2，⊙A 和⊙B 的半径分别为2和3，AB=7，假设将⊙A 绕点C 逆时针方向旋转一周角，⊙A 与⊙B 相切的次数为A ．4B ．3C ．2D ．13.【江苏大丰市】如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是4.【湖南耒阳市】⊙O 的半径为9cm ，射线PM 经过点O ，OP ＝15 cm ，射线PN 与⊙O 相切于点Q ．动点A 自P 点以25cm/s 的速度沿射线PM 方向运动，同时动点B 也自P 点以2cm/s 的速度沿射线PN 方向运动，那么它们从点P 出发 s 后AB 所在直线与⊙O 相切.试题解析: 连接OQ ，∵PN 与⊙O 相切于点Q ，∴OQ ⊥PN ，即∠OQP=90°，∵OP=15，OQ=9，∴PQ=2210612-=〔cm 〕．过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C ，①当AB 运动到如图1所示的位置，BQ=PQ-PB=12-2t ，∵BQ=9，∴8-4t=9，∴t=0.25〔s 〕．5.【浙江省临安市】如图，一只蚂蚁从O 点出发，沿着扇形OAB 的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t ，蚂蚁绕一圈到O 点的距离．．为s ，那么s 关于t 的函数图象大致为〔 〕6.【海南省安定县】将点A(4,0)绕着原点O 顺时针方向旋转300角到对应点A /,那么点A /的坐标是〔 〕A ．()2,32B ．(4,-2)C ． ()2,32-D ．(),32,2-∵OA ′=OA=4，∠AOA ′=30°，∴A ′B=12OA ′=2，OB=OA ×cos30°=23． 所以点A ′的坐标为〔23，-2〕应选C.考点: 坐标与图形变化-旋转．二、填空题1.【江苏大丰市】矩形ABCD 的长AB=4,宽AD=3,按如图放置在直线AP 上,然后不滑地转动,当它转动一周时( A---A /),顶点A 所经过的路线长等于 。
最新中考数学复习：动态几何问题压轴题专项训练(带答案)
2022年中考数学复习：动态几何问题压轴题专项训练1．已知AD是等边△ABC的高，AC=2，点O为直线AD上的动点(不与点A重合)，连接BO，将线段BO 绕点O顺时针旋转60°，得到线段OE，连接CE、BE．(1)问题发现：如图1，当点O在线段AD上时，线段AO与CE的数量关系为，△ACE的度数是．(2)问题探究：如图2，当点O在线段AD的延长线上时，(1)中结论是否还成立？请说明理由．(3)问题解决：当△AEC=30°时，求出线段BO的长2．如图1，在平面直角坐标系中，已知△ABC中，△ABC＝90°，B(4，0)，C(8，0)，tan△ACB＝2，抛物线y＝ax2+bx经过A，C两点．(1)求点A的坐标及抛物线的解析式；(2)如图2，过点A作AD△AB交BC的垂线于点D，动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，过点P作PE△AB交AC于点E．△过点E作EF△AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG取得最大值？最大值是多少？△连接EQ，在点P，Q运动过程中，t为何值时，使得△CEQ与△ABC相似？3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋1的对称轴为直线x32＝，其图象与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C．(1)直接写出抛物线的解析式和△CAO的度数；(2)动点M，N同时从A点出发，点M以每秒3个单位的速度在线段AB上运动，点N速度在线段AC上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t（t＞0）秒，连接MN，再将线段MN绕点M顺时针旋转90°，设点N落在点D的位置，若点D恰好落在抛物线上，求t的值及此时点D的坐标；(3)在（2）的条件下，设P为抛物线上一动点，Q为y轴上一动点，当以点C，P，Q为顶点的三角形与△MDB相似时，请直接写出点P及其对应的点Q的坐标．4．如图，在□ABCD 中，△ABD ＝90°，AD =，BD ＝8cm ．点P 从点A 出发，沿折线AB —BC 向终点C 运动，点P 在AB 边、BC 边上的运动速度分别为1cm /s /s ．在点P 的运动过程中，过点P 作AB 所在直线的垂线，交边AD 或边CD 于点Q ，以PQ 为一边作矩形PQMN ，且QM =2PQ ，MN 与BD 在PQ 的同侧．设点P 的运动时间为t （秒），矩形PQMN 与□ABCD 重叠部分的面积为S （cm 2）．(1)求边AB 的长；(2)当0＜t ＜4时，PQ ＝ ，当4＜t ＜8时，PQ ＝ （用含t 的代数式表示）；(3)当点M 落在BD 上时，求t 的值；(4)当矩形PQMN 与□ABCD 重叠部分图形为四边形时，求S 与t 的函数关系式．5．如图，四边形ABCD 是菱形，其中60B ∠=︒，点E 在对角线AC 上，点F 在射线CB 上运动，连接EF ，作60FEG ∠=︒，交DC 延长线于点G ．(1)试判断EFG 的形状，并说明理由；(2)图中7AB =，1AE =．△当CF 10=时，以点B 为原点，射线BC 为正半轴建立平面直角坐标系．平面内是否存在一点M ，使得以点M、E、F、G为顶点的四边形与菱形ABCD相似？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由；△记点F关于直线AB的轴对称点为点N．若点N落在EDC的内部（不含边界），求CF的取值范围．6．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OA在x轴上，OA＝AB，且线段OA的长是方程x2﹣4x﹣5＝0的根，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，tan∠BAE＝43，动点M以每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿线段AB向点B运动，到达点B停止．过点M作x轴的垂线，垂足为D，以MD为边作正方形MDCF，点C在线段OA上，设正方形MDCF与△AOB重叠部分的面积为S，点M的运动时间为t（t＞0）秒．(1)求点B的坐标；(2)求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；7．小明在学过圆之后，对该题进行重新探究，请你和他一起完成问题探究．【问题探究】小明把原问题转化为动点问题，如图1，在边长为6cm 的正方形ABCD 中，点E 从点A 出发，沿边AD 向点D 运动，同时，点F 从点B 出发，沿边BA 向点A 运动，它们的运动速度都是2cm/s ，当点E 运动到点D 时，两点同时停止运动，连接CF 、BE 交于点M ，设点E ， F 运动时问为t 秒．(1)【问题提出】如图1，点E ，F 分别在方形ABCD 中的边AD 、AB 上，且BE CF =，连接BE 、CF 交于点M ，求证：BE CF ⊥．请你先帮小明加以证明．(2)如图1，在点E 、F 的运动过程中，点M 也随之运动，请直接写出点M 的运动路径长 cm ．(3)如图2，连接CE ，在点E 、F 的运动过程中．△试说明点D 在△CME 的外接圆O 上； △若△中的O 与正方形的各边共有6个交点，请直接写出t 的取值范围．8．如图，菱形ABCD ，120ABC ∠=︒，点E 为平面内一点，连接AE ．(1)如图1，点E 在BC 的延长线上，将AE 绕点A 顺时针旋转60°得AF ，交EB 延长线于点G ，连接EF 交AB 延长线于点H ，若15AEB ∠=︒，4HF =，求AE 的长；(2)如图2，点E 在AC 的延长线上，将AE 绕点A 逆时针旋转60°得AF ，连接EF ，点M 为CE 的中点，连接BM ，FM ，证明：FM =；(3)如图3，将AB 沿AS 翻折得()120AE BAE ∠<︒，连DE 交AS 于点S ，点T 为平面内一点，当DS 取得最大值时，连接TD ，TE ，若3AT =，AD =6，求TD TE -的最大值．9．已知抛物线()()12y x x m m=+-与x 轴负半轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，点P 为抛物线上一动点（点P 不与点C 重合）．(1)当ABC 为直角三角形时，求ABC 的面积(2)如图，当AP BC ∥时，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，求BQ 的长．(3)当以点A ，B ，P 为顶点的三角形和ABC 相似时（不包括两个三角形全等），求m 的值．10．已知：如图，在△ABC 纸片中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，按图所示的方法将△ACD 沿AD 折叠，使点C恰好落在边AB上的点C′处，点P是射线AB上的一个动点．(1)求折痕AD长．(2)点P在线段AB上运动时，设AP＝x，DP＝y．求y关于x的函数解析式，并写出此函数的定义域．(3)当△APD是等腰三角形时，求AP的长．11．如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣3经过A、B、C三点，点A（﹣3，0）、C（1，0），点B在y轴上．点P 是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）．(1)求此抛物线的解析式；(2)过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线AB于点E，动点P在什么位置时，PE最大，求出此时P点的坐标；(3)点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点Q，使以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．A-和点B，与y轴交于点C，顶点D 12．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c=++与x轴交于点(1,0)-．的坐标为(1,4)(1)直接写出抛物线的解析式；∠=∠，求点P的坐标；(2)如图1，若点P在抛物线上且满足PCB CBD⊥轴交抛物线于点N，Q是直线AC上一个动点，当(3)如图2，M是直线BC上一个动点，过点M作MN x∆为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q的坐标QMNB-，与y轴交于点C，且13．如图，已知抛物线2(0)=++≠与x轴交于点(1,0)y ax bx c aA和点(3,0)=．OC OB（1）求此抛物线的解析式；（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，BC，求BCE面积的最大值；（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段P A绕点P逆时针旋转90︒后，点A的对应点'A恰好也落在此抛物线上，求点P 的坐标．14．综合与探究如图，已知抛物线228y x x =--与x 轴相交于点A ，B （点B 在点A 的右侧），与y 轴相交于点C ，其顶点为点D ，连接AC ，BC ．（1）求点A ，B ，D 的坐标；（2）设抛物线的对称轴DE 交线段BC 于点E ，P 为第四象限内抛物线上一点，过点P 作x 轴的垂线，交线段BC 于点F ．若四边形DEFP 为平行四边形，求点P 的坐标；（3）设点M 是线段BC 上的一个动点，过点M 作MN AB ，交AC 于点N ．点Q 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA 向点A 运动，运动时间为t （6t <）秒，直接写出当t 为何值时，QMN 为等腰直角三角形．15．如图△，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为A （4，0）、B （0，3），连结AB ．抛物线234y x bx c =++经过点B ，且对称轴是直线52x =-．（1）求抛物线的函数关系式．（2）将图△中的△ABO 沿x 轴向左平移得到△DCE （如图△），当四边形ABCD 是菱形时，说明点C 和点D 都在该抛物线上．（3）在（2）中，若点M 是抛物线上的一个动点（点M 不与点C 、D 重合），过点M 作MN △y 轴交直线CD 于点N ．设点M 的横坐标为m ，线段MN 的长为l ．求l 与m 之间的函数关系式．（4）在（3）的条件下，直接写出m 为何值时，以M 、N 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形．16．如图，抛物线y ＝－212x ＋32x ＋2与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴交于点B ． （1）求A ，B 两点的坐标；（2）如图1，点C 在y 轴右侧的抛物线上，且AC ＝BC ，求点C 的坐标；（3）如图2，将△ABO 绕平面内点P 顺时针旋转90°后，得到△DEF （点A ，B ，O 的对应点分别是点D ，E ，F ），D ，E 两点刚好在抛物线上．△求点F 的坐标；△直接写出点P 的坐标．17．如图1，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点C 在x 轴负半轴上，这三个点的坐标分别为A(4，0)，B(0，4)，C(−1，0) ．（1）请求出直线AB的解析式；（2）连接BC，若点E是线段AC上的一个动点（不与A，C重合），过点E作EF//BC交AB于点F，当△BEF的面积是52时，求点E的坐标；（3）如图2，将点B向右平移1个单位长度得到点D，在x轴上存在动点P，若△DCO+△DPO=△α，当tan△α=4时，请直接写出点P的坐标．18．将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，其中点E与点B，点G与点D分别是对应点，连接BG．(1)如图，若点A，E，D第一次在同一直线上，BG与CE交于点H，连接BE．△求证：BE平分△AEC．△取BC的中点P，连接PH，求证：PH∥CG．△若BC＝2AB＝2，求BG的长．(2)若点A，E，D第二次在同一直线上，BC＝2AB＝4，直接写出点D到BG的距离．19．如图，△ABC是等边三角形，AB＝4cm，动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ△AB，交折线AC﹣CB于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使A，D在PQ异侧，设点P 的运动时间是x（s）（0＜x＜2）．（1）AP的长为cm（用含x的代数式表示）；（2）当Q与C重合时，则x＝s；（3）△PQD的周长为y（cm），求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围．20．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+154x+c与x轴负半轴相交于点A（﹣20，0），与y轴相交于点B（0，﹣15）．（1）求抛物线的函数表达式及直线AB的函数表达式；（2）如图2，点C是第三象限内抛物线上的一个动点，连接AC、BC，直线OC与直线AB相交于点D，当△ABC的面积最大时，求此时△ABC面积的最大值及点C的坐标；（3）在（2）的条件下，点E为线段OD上的一个动点，点E从点O开始沿OD速度向点D运动（运动到点D时停止），以OE为边，在OD的左侧做正方形OEFG，设正方形OEFG与△OAD重叠的面积为S，运动时间为t秒．当t＞3时，请直接写出S与t之间的函数关系式为（不必写出t的取值范围）．参考答案：1．解：AO =CE ，△ACE =90°，理由如下：△线段BO 绕点O 顺时针旋转60°，得到线段OE ，△BO =OE ，△BOE =60°，△△BOE 为等边三角形，△△OBE =60°，BE =BO ，△△OBE =60°=△OBD +△DBE ，△△ABC 为等边三角形，△△ABC =60°=△ABO +△OBD ，AB=AC ，△△ABO =△CBE ，在△ABO 和△CBE 中，AB AC ABO CBE BO BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABO △△CBE (SAS)，△AO =CE ，△BAO =△BCE ，△AD 是等边三角形ABC 的高，△△ACB =60°，AD 也是△BAC 的平分线，△△BAO =30°=△BCE ，△△ACE =△BCE +△ACB =30°+60°=90°，故答案为：AO =CE ，△ACE =90°；(2)解：成立，理由如下：如图：连接BE ．△线段BO 绕点O 顺时针旋转了60°得EO ，△BO =EO ，△BOE =60°，△△BOE 是等边三角形，△BO =BE ，△OBE =60°，△△ABC 是等边三角形，△BA =BC ，△ABC =60°，△△ABC +△OBC =△OBE +△OBC ，即△ABO =△CBE ，在△ABO 和△CBE 中，AB AC ABO CBE BO BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ABO △△CBE (SAS)，△AO =CE ，△BAO =△BCE ，△AD 是等边△ABC 的高，△△BCE =△BAO =30°，△BCA =60°，△△ACE =△BCE +△ACB =30°+60°=90°，△AO =CE ，△ACE =90°；(3)解：△当点O 1在线段AD 的延长线上时，由(1)和(2)知：△BO 1E 1是等边三角形，△ACE 1=90°，△△ACE 1=90°，△AE 1C =30°，△△E 1AC =60°，△△BAC =60°，△点A 、B 、E 1在一条直线上，△在Rt △ACE 1中，AC =2，△AE 1C =30°，△A E 1=4，△BO 1=BE 1=2；△当点O 2在线段DA 的延长线上时，△△ACE 2=90°，△AE 2C =30°，AC =2，△AE 2=4，2CE△△ABO 2△△CBE 2(SAS)，△22AO CE ==△AD 是等边△ABC 的高，AB =AC =2，△BD =1，AD ==在Rt △O 2DB 中，BD =1，而22O D AO AD ==+△2BO ===综上，BO =2或2．解：△B （4，0），C （8，0），△BC ＝4，△△ABC ＝90°，tan△ACB ＝2，△AB ＝BC •tan△ACB ＝8，△A 的坐标为（4，8），将A （4，8），C （8，0）代入y ＝ax ²+bx ，得：16486480+=⎧⎨+=⎩a b a b ， 解得：124⎧=-⎪⎨⎪=⎩a b ， △抛物线得解析式为：2142y x x =-+； (2)解：△由题得：AP ＝t ，△APE ＝△ABC ＝90°，△EAP ＝△CAB ，△tan△EAP ＝tan△CAB ＝=EP BC AP AB ， △4=8PE t ，即PE ＝2t ， △PB ＝AB ﹣AP ＝8﹣t ，△E 的坐标为（4+2t ，8﹣t ）， 将x ＝4+2t 代入2142y x x =-+， 得：2188=-+y t ， △G 的纵的坐标为2188-+t ， △EG ＝218(8)8-+--t t ＝21+8-t t ＝21(4)+28--t ，△0≤t ≤8， △t ＝4时，线段EG 有最大值且为2；△△CQ ＝t ，PE ＝2t ，AP ＝t ，BC ＝4，AB ＝8， △AE=，AC= △CE ＝AC ﹣AE＝，当△CEQ △△ACB 时，=CE CQ AC AB ，代入数据：8=t ，解得：t ＝4，当△CEQ △△ABC 时，=CE CQ AB AC ，代入数据：△28=解得t ＝409， △综上，t ＝4或409． 3． 解：由题意：32216410b a a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩， 解得1434a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， △抛物线的解析式为y 14=-x 234+x +1， 令y ＝0，可得x 2﹣3x ﹣4＝0，解得x ＝﹣1或4，△A （﹣1，0），令y ＝0，得到x ＝1，△C （0，1），△OA ＝OC ＝1，△△CAO ＝45°．(2)解：如图1中，过点C 作CE △OA 于E ，过点D 作DF △AB 于F ．△△NEM＝△DFM＝△NMD＝90°，△△NME + △DMF＝90°，△DMF+△MDF＝90°，△△NME＝△MDF，△NM＝DM，△MEN DFM AAS≌（）△NE＝MF，EM＝DF，△△CAO＝45°，AN=，AM＝3t，△AE＝EN＝t，△EM＝AM﹣AE＝2t，△DF＝2t，MF＝t，OF＝4t﹣1，△D（4t﹣1，2t），△14-（4t﹣1）234+（4t﹣1）+1＝2t，△t＞0，故可以解得t34 =，经检验，t34=时，M，N均没有达到终点，符合题意，△D（2，32）．(3)解：如图3﹣1中，当点Q在点C的下方，点P在y的右侧，△QCP＝△MDB时，取E （12，0），连接EC ，过点E 作EG △EC 交PC 于G ， △M （54，0），D （2，32），B （4，0） △53244FM =-=，DM =，BM 114=，BD 52=， △DF ＝2MF ，△OC ＝2OE ，△tan△OCE ＝tan△MDF 12=， △△OCE ＝△MDF ，△△OCP ＝△MDB ，△△ECG ＝△FDB ，△tan△ECG ＝tan△FDB 43=， △EC =， △EG =G （116，23）， △直线CP 的解析式为y 211=-x +1， 由2211113144y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩或411139121x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， △4139(,)11121P ，(0,1)C ，△PC =当MD BD CQ CP =或时MD BD PC CQ =，△QCP 与△MDB 相似，可得615242CQ =或2050363，△373(0,)242Q -或1687(0,)363-． 如图3﹣2中，当点Q 在点C 的下方，点P 在y 的右侧，△QCP ＝△DMB 时，设PC 交x 轴于K ．△tan△OCK ＝tan△DMB ＝2，△OK ＝2OC ＝2，△点K 与F 重合，△直线PC 的解析式为112y x =-+， 由211213144y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩或532x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩， △3(5,)2P -，△PC =当DM BM PC CQ =或DM BM CQ PC =时，△QCP 与△MDB 相似，可得556CQ =或7522， △49(0,)6Q -或53(0,)22-． 当点Q 在点C 的下方，点P 在y 的右侧，△QCP ＝△DBM 时，同法可得2591257(,)(0,)3918P Q --，或1151(0,)99， 当点Q 在点C 上方，△QCP ＝△DMB 时，同法可得P （1，32），Q （0，176）或（0，3722）， 当点Q 在点C 上方，△QCP ＝△MDB 时，同法可得25171617(,)(0,)11121242P Q ，或1613(0,).363，当点Q 在点C 下方，点P 在y 轴的左侧时，△QCP ＝△DBM 时，同法可得71959(,)(0,)3918P Q ---，或251(0,)99-． 4(1)解：△△ABD ＝90°，AD =，BD ＝8cm ．△4cm AB = ；(2)解：当0＜t ＜4时，点P 在AB 边上，cm AP t = ，如图，△PQ △AB ，△ABD ＝90°，△PQ △BD ，△△APQ △△ABD ，△AP PQ AB BD = ， △4182AP AB PQ BD === ， 即12t PQ = ， △2cm PQ t = ；当4＜t ＜8时，点P 在BC 边上，)4cm BP t =- ，如图，△四边形ABCD 是平行四边形，△BC AD == ，AB △CD ，△BDC =△ABD =90°，△)()4cm CP BC BP t =-=-= ，△PQ △AB ，△PQ △CD ，△PQ △BD ，△△CPQ △△CBD ， △CP PQ BC BD= ，△CP BC PQ BD === ， △()162cm PQ t =- ；(3)解：如图，当点P 在AB 上时，cm AP t = ，则()4cm BP t =- ，在矩形PQMN 中， BP =QM ，△QM =2PQ ，△BP =2PQ ，△2cm PQ t =，△224t t ⨯=- ，解得：45t = ；如图，当点P 在BC 边上时，点M 与点D 重合，由（2）得：此时4182CQ CD PQ BD === ， △()162cm PQ t =-，△()18cm 2CQ PQ t ==- ， △()4cm MQ CD CQ t =-=- ，△QM =2PQ ，△()42162t t -=- ，解得：365t = ； 综上所述，当点M 落在BD 上时， t 的值为45或365； (4) 解：如图，当405t ≤≤ 时，△2cm PQ t =，QM =2PQ ，△4cm QM t =，△矩形PQMN 与□ABCD 重叠部分的面积为22248cm S PQ QM t t t =⋅=⨯= ； 如图，当445t << 时，设MQ 交BC 于点T ，根据题意得：AQ △BT ，QT △AB ，△四边形ABTQ 是平行四边形，△4cm QT = ，△()4cm BP AB AP t =-=- ，2cm PQ t =，△矩形PQMN 与□ABCD 重叠部分的面积为()()()2114428cm 22S PB QT PQ t t t t =+⨯=-+⨯=-+； 如图，当点N 落在AD 边上时，四边形ABPN 是平行四边形，△4cm PN AB == ，△4cm MQ PN == ，△QM =2PQ ，()162cm PQ t =-，△()21624t -= ，解得：7t = ，如图，当47t <≤ 时，设PN 交AD 于点K ，此时四边形ABPK 是平行四边形，△4cm PK AB == ，△()162cm PQ t =-，4182CQ CD PQ BD ===， △()18cm 2CQ PQ t ==- ， △()()484cm DQ t t =--=- ，△矩形PQMN 与□ABCD 重叠部分的面积为()()()()211441628cm 22S PK DQ PQ t t t t =+⨯=-+⨯-=-+； 如图，当3685t ≤< 时，△()162cm PQ t =-，QM =2PQ ，△()324cm MQ t =- ，△矩形PQMN 与□ABCD 重叠部分的面积为()()()221623248128512cm S PQ MQ t t t t =⨯=-⨯-=-+ ，综上所述，S 与t 的函数关系式为222248(0)548(4)58(47)368128512(8)5t t t t t S t t t t t t ⎧≤≤⎪⎪⎪-+<<⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎪-+≤<⎪⎩．5．(1) EFG 是等边三角形，理由如下：如图，过点E 作EM AB ∥，交FC 于M ，△四边形ABCD 是菱形，△AB CB =，△60ACB ABC ∠=∠=︒，△60ACD ACB ∠=∠=︒，△120ACG ∠=︒,△EM AB ∥，△60ABC EMC ∠∠==︒，△120EMF ∠=︒，△60EMC ECM ∠=∠=︒，△EMC △是等边三角形，△EM EC =，60MEC ∠=︒,△60FEG MEC ∠=∠=︒，△FEM GEC ∠=∠，在FEM △和GEC 中，FGM GEC EM ECEMF ECG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △()FEM GEC ASA ≅，△EF EG =，△EFG 是等腰三角形，△60FEG ∠=︒，△EFG 是等边三角形；(2)△如图所示，过点A 作AT y ⊥轴交于点T ，△60ABC ∠=︒，△30TBA ∠=︒， △1722AT AB ==，BT == 过点E 作EH y ⊥轴交于点H ，交AB 于点K ，△EH CF ∥，△AKE 是等边三角形，△1AK KE AE ===，△6BK =，△sin 6sin 606BH BK BKH =⋅∠=⨯︒==132HK BK ==，△E ，△4HE HK KE =+=，△四边形ABCD 是菱形，△7BC AB ==，△(7,0)C ，21(2D ， △CD 的解析式为373yx ，设(G x -， △EFG 是等边三角形，△22EG EF =，即2222(4)(34)x -+-=--+，解得：15=x 或212x =（舍去），当5x =时，y =-△(5,G -，当是菱形EFMG 时，(2,M --，当是菱形EFGM 时，M ，当是菱形FGEM 时，(M -，综上所述，(2,M --或(或(-；△如图，当N 在CD 上时，作CP AB ⊥于P ，点F '关于AB 的对称点N 在CD 上，△OF ON CP '==，CP BC ==△OF '=， 在Rt BOF '中，7sin 60OF OBF ''∠==︒， △14CF '=，如图，当N 在DE 上时，N 与F '关于AB 对称，AB 与DN 交于点Q ， △60ABN ABC ∠=∠=︒，△60BAC ∠=︒，△60ABN BAC ∠=∠=︒，△BN AE ∥， △AE AQ BN QB=， △AD BC ∥，△ADE CME ，AQD BQM ， △16AD AE MC CE ==，AQ AD QB MB =， △716MC =， △42MC =，△42735MB =-=， △71355AQ QB ==， △115BN =， △5BN =，△5BF BN '==，△752CF BC BF ''=-=-=，△214CF<<．6．解：由x2﹣4x﹣5＝0，解得x＝5或﹣1，∵OA是方程的根，∴OA＝5，∴AB＝OA＝5，在Rt△ABE中，tan∠BAE=BEAE＝43，AB＝5，∴BE＝4，AE＝3，∴OE＝OA+AE＝5+3＝8，∴B（8，4）；(2)解：如图1中，当点F落在OB上时，AM＝t，DM＝45t，AD＝35t，∵FM OA∥，∴FM MB OA BA=，∴45555tt-=，∴t＝259，如图2中，当0＜t≤259时，重叠部分是四边形ACFM，S＝12•（AC+FM）•DM＝14434 25555t t t t ⎛⎫⋅+-⋅ ⎪⎝⎭＝25t2，如图3中，259＜t ≤5时，重叠部分是五边形ACHGM ， S ＝S 梯形ACFM ﹣S △FGH ＝()22211455225t t t ⎡⎤-⨯⨯--⎢⎥⎣⎦＝﹣41100t 2+92t ﹣254；综上所述，S ＝25t 2（0＜t ≤259）或S ＝﹣41100t 2+92t ﹣254（259＜t ≤5）． 7．(1)四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，BAE CBF ∠=∠又,E F 的运动速度都是2cm/s ，2AE BF t ∴==BAE CBF ∴≌BCF ABE ∴∠=∠90ABE EBC ABC ∠+∠=∠=︒90BCF EBC ∴∠+∠=︒90MBC ∴∠=︒(2)△90CMB ∠=．△点M 在以CB 为直径的圆上，如图1，当t ＝0时，点M 与点B 重合；如图2，当t ＝3时，点M 为正方形对角线的交点．点M 的运动路径为14圆，其路径长13642ππ⨯=． 故答案为：32π (3)△如图3．由前面结论可知：90CME ∠=△△CME 的外接圆的圆心O 是斜边CE 的中点， 则12OM OC OE CE === 在Rt △CDE 中，90D ∠=，O 是CE 的中点． △12OD CE =， △OM OC OE OD ===△点D 、C 、M 、E 在同一个圆（O ）上，即点D 在△CME 的外接圆O 上；． △304t <<． 如图4，当O 与AB 相切时，O 与正方形的各边共有5个交点，如图5则有6个交点，所以“当O 与AB 相切时”是临界情况．如图4，当O 与AB 相切（切点为G ），连接OG ，并延长GO 交CD 于点H ． △AB 与O 相切，△OG AB ⊥，又△AB CD ∥，132CH DC ∴== 设O 的半径为R ．由题意得：在Rt △CHO 中，2223(6)R R +-=，解得154R =△159,22CE DE =△32AE =，即3t 4= △如图5，当304t <<时，O 与正方形的各边共有6个交点．8．(1)解：过点H 作HL △EF ，交AF 于L ，△菱形ABCD ，120ABC ∠=︒△△DAB =180°-18012060ABC ∠=-=︒︒︒，AD∥BC ，△△DAE =△AEB ，△15AEB ∠=︒，△△DAE =15°，△AE 绕点A 顺时针旋转60°得AF ，△△AEF为等边三角形，△△F=60°，△HL△EF，△△HLF=90°-△F=30°，△LF=2HF=2×4=8，根据勾股定理LH△△DAE+△EAH=△EAH+△HAF=60°△△DAE=△HAF=15°，△△HLF为△AHL的外角，△△AHL=△HLF-△HAF=30°-15°=15°，△△AHL=△HAF，△AL=LH=△AE=AF=AL+LF=；(2)证明：过B作BL△AC于L，过F作FK△AE于K，设AE=m，AC=n，△将AE绕点A逆时针旋转60°得AF，△AE=AF=m，△EAF=60°，△△AEF为等边三角形，△AF=EF，△FK△AE，△△AFK=△EFK=30°，AK=EK=12 m，在Rt△AKF中，FK==，△菱形ABCD ，120ABC ∠=︒，BL △AC ，△AL =CL =12n ,△CBL =△ABL =60°，△△LCB =90°-△CBL =30°，△BC =2BL ，在Rt △BCL 中，根据勾股定理222+BC BL CL =，即2224+BL BL CL =，解得2n BL ==， △点M 为CE 中点，△CM =EM =()1122EC m n =+， △MK =ME -KE =()111222m n m n +-=，M L=MC -CL =()111222m n n m +-=，在Rt △MKF 中，根据勾股定理FM =在Rt △MLB 中，根据勾股定理BM ，△BM =，△FM =；(3)解：连结SB ，过E 作TL △DE ，，过G 作GI △AD 于I ，过T 作TJ △AB 于J ，在TD 上截取TE ′=TE ，△将AB 沿AS 翻折得()120AE BAE ∠<︒，△△BAS =△EAS ，AB =AE ，在△ABS 和△AES 中，AB AE BAS EAS AS AS =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABS △△AES （SAS ），△△ABS =△AES ，△四边形ABCD 为菱形，△AD =AB =AE =6，△ABC =120°，△△ADE =△AED =△ABS ，△DAB =180°-△ABC =60°，△A 、S 、B 、D 四点共圆，△点S 在△ABD 的外接圆劣弧AB 上运动，△当AS △AB 时，AS 长最大，△△ADH =90°-△DAH =30°，△AH =3，DH=△点T 在以点A 为圆3为半径的圆上运动，当点A 关于TJ 直线的对称点在△ADH 的角平分线DT 上时，TD TE -的值最大，设点A 的对称点为G ，△△ADG =△HDG =1152ADH ∠=︒，GI △AD ，GH △DH ， △GI =GH =m ,AG =AH –GH =3-m ，AI =AD -DI -DH=6-在Rt △AIG 中，根据勾股定理222+AG AI IG =即()(22236+m m -=-，解得9m =，在Rt △DGH 中，根据勾股定理DG△DT=DG +TG =3，△AG =12-△AJ =JG =6-△JH =AH -AJ =3-（6-=，△TJ △AB ，DE △AB ，TL △DE ，△△TJH =△JHL =△TLH =90°，△四边形JTLH 为矩形，△JH =TL =，在DL 上截取DN =TN ，△△NDT =△NTD =15°，△△FNL =△NDT +△NTD =30°，△DN =TN =2TL =6，在Rt △TNL 中，根据勾股定理，NL9=-△DL =DN +NL =6+93-=，在Rt △AHE 中，△EAH =60°，△DE =sin60°×AE△DE△LE =DE -DL ()3=TL ，△TE=△GT -TE 最大=3-．9．(1) 解：由抛物线()()12y x x m m=+-开口向上，则m ＞0令x =0，则y =-2，即C 点坐标为（0，-2），OC =2令y =0，则()()102x x m m=+-，解得x =-2或x =m ，即点A （-2，0），点B （m ，0） △OA =2,OB =m△AB =m +2由勾股定理可得AC 2=(-2-0)2+[0-（-2）]2=8, BC 2=(m -0)2+[0-（-2）]2=m 2+4 △当ABC 为直角三角形时，仅有△ACB =90°△AB 2= AC 2+BC 2,即(m +2)2=8+m 2+4,解得m =2△AB =m +2=4△ABC 的面积为：12·AB ·OC =12×4×2=4．(2)解：设BC 所在直线的解析式为：y =kx +b则02mk b b =+⎧⎨-=⎩ ，解得22k m b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ △BC 所在直线的解析式为y =2m x -2 设直线AP 的解析式为y =2m x +c 则有：0=2m×（-2）+c ，即c =4m △线AP 的解析式为y =2m x +4m 联立()()1224y x x m m y x m m⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 解得x =-2（A 点横坐标）,x =m +2（P 点横坐标） △点P 的纵坐标为：()24822+m m m m⨯++= △点P 的坐标为（m +2，28m m +） △OQ =m +2△BQ =OQ -OB = m +2-m =2．(3)解：△点P 为抛物线()()12y x x m m=+-上一动点（点P 不与点C 重合）．△设P （x ，()()12x x m m+-） △在△ABC 中，△BAC =45°△当以点A ，B ，P 为顶点的三角形和ABC 相似时，有三种情况：△a .若△ABC △△BAP △BP AC AB AB= 又△BP =AC△△ABC △△BAP 不符合题意；b . 若△ABP △△BAC △BP AB AB AC= 过P 作PQ △x 轴于点Q ，则△PQB =90°△△BPQ =90°-△PBQ =45°△PQ =BQ =m -x由于PQ =()()12x x m m +- △1(2)()m x x x m m-=+- △1()(2)10x m x m ⎡⎤-++=⎢⎥⎣⎦△x -m =0或1(2)10x m++= △x =m （舍去），x =-m -2△BQ =m -（-m -2）=2m +2△1)PB m ==+=△m 2-4m -4=0，解得：m =2-m =△m =2-△当△P AB =△BAC =45°时，分两种情况讨论：a . 若△ABP △△ABC ,则AP AC AB AB = ,点C 与点P 重合，不合题意； b . 若△ABP △△BAC ,则PB AB AB AC= , 过P 作PQ △x 轴于点Q ，则△PQA =90°△△APQ =90°-△P AB =45°△PQ =AQ =x +2由于PQ =()()12x x m m +- △12(2)()x x x m m+=+- △1(2)(2)10x x m ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦△x +2=0或1()10x m m--= △x =-2（舍去），x =2m△AQ = =2m +2△1)AP m ==+=△m 2-4m -4=0，解得：m =2-m =△m =△当△APB=△BAC=45°时，分两种情况讨论：a.过点A作PM//BC交抛物线于点M，则△MAB=△ABC，△△MAB≠△P AB，△△P AB≠△ABC，△△P AB与△BAC不相似；b. 取点C关于x轴的对称点C'，连接并延长BC'交抛物线于点N，则△NBA=△CBA，△△PBA≠△NBA，△△PBA≠△CBA，△△P AB与△BAC不相似；综上，m的值为m=2-m=10．解：如图1中，由翻折可知：CD=DC′，AC=AC′=3，设CD=DC′=x，在Rt△BDC中，△BD2=C′D2+C′B2，△（4-x）2=x2+22，解得：x=32，△AD==(2)如图2中，当点P在C'D左侧，AC=AC'=3，则PC'=3-x，△DP△10)y x =≤≤．当点P 在C 'D 右侧，同理可得10)y x =≤≤．△y 关于x 的函数解析式为10)y x =≤≤． (3) 如图3中，△当P A =PD 时，设P A =PD =m ， 在Rt △PCD 中，△PD 2=DC ′2+C ′P 2，△2223((3))2m m =+-，解得：158=m ， △P A =158．△当AD =AP P 在P′时，△ADP 是等腰三角形， △当PD =AD 时，点P 在AB 的延长线上．如图4，AP =2AC '=6．综上所述，满足条件的P A 的值为1586． 11． (1)解：把A （﹣3，0）和C （1，0）代入y ＝ax 2+bx ﹣3，得，093303a b a b =--⎧⎨=+-⎩，解得，12a b =⎧⎨=⎩，△抛物线解析式为y ＝x 2+2x ﹣3； (2)解：设P （x ，x 2+2x ﹣3），直线AB 的解析式为y ＝kx +b ， 由抛物线解析式y ＝x 2+2x ﹣3， 令x ＝0，则y ＝﹣3， △B （0，﹣3），把A （﹣3，0）和B （0，﹣3）代入y ＝kx +b ，得，033k b b=-+⎧⎨-=⎩，解得，13k b =-⎧⎨=-⎩，△直线AB 的解析式为y ＝﹣x ﹣3， △PE △x 轴， △E （x ，﹣x ﹣3），△P在直线AB下方，△PE＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+32）2+94，当x＝﹣32时，y＝x2+2x﹣3＝154-，△当PE最大时，P点坐标为（﹣32，154-）；(3)存在，理由如下，△x＝﹣221⨯＝-1，△抛物线的对称轴为直线x＝-1，设Q（-1，a），△B（0，-3），A（-3，0），△当△QAB＝90°时，AQ2+AB2＝BQ2，△22+a2+32+32＝12+（3+a）2，解得：a＝2，△Q1（-1，2），△当△QBA＝90°时，BQ2+AB2＝AQ2，△12+（3+a）2+32+32＝22+a2，解得：a＝﹣4，△Q2（-1，﹣4），△当△AQB＝90°时，BQ2+AQ2＝AB2，△12+（3+a）2+22+a2＝32+32，解得：a1a1△Q3（-1，Q4（-1，综上所述：点Q的坐标是（-1，2）或（-1，﹣4）或（-1-1，．12．解：∵顶点D的坐标为（1，﹣4），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点A（﹣1，0）代入，得0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；(2)解：∵抛物线对称轴为直线x＝1，A（﹣1，0），∴B（3，0），设直线BD解析式为y＝kx+e，∵B（3，0），D（1，﹣4），∴304k ek e+=⎧⎨+=-⎩，解得：26ke=⎧⎨=-⎩，∴直线BD解析式为y＝2x﹣6，过点C作CP1∥BD，交抛物线于点P1，设直线CP1的解析式为y＝2x+d，将C（0，﹣3）代入，得﹣3＝2×0+d，解得：d＝﹣3，∴直线CP1的解析式为y＝2x﹣3，结合抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可得x2﹣2x﹣3＝2x﹣3，解得：x1＝0（舍），x2＝4，故P1（4，5），过点B作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G，∵OB＝OC，∠BOC＝∠OBG＝∠OCG＝90°，∴四边形OBGC是正方形，设CP1与x轴交于点E，则2x﹣3＝0，解得：x＝32，∴E（32，0），在x轴下方作∠BCF＝∠BCE交BG于点F，∵四边形OBGC 是正方形，∴OC ＝CG ＝BG ＝3，∠COE ＝∠G ＝90°，∠OCB ＝∠GCB ＝45°， ∴∠OCB ﹣∠BCE ＝∠GCB ﹣∠BCF ， 即∠OCE ＝∠GCF ， ∴△OCE ≌△GCF （ASA ），∴FG ＝OE ＝32，∴BF ＝BG ﹣FG ＝3﹣32＝32，∴F （3，﹣32），设直线CF 解析式为y ＝k 1x +e 1，∵C （0，﹣3），F （3，﹣32），∴1113332e k e =-⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得：11123k e ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线CF 解析式为y ＝12x ﹣3，结合抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3，可得x 2﹣2x ﹣3＝12x ﹣3， 解得：x 1＝0（舍），x 2＝52，∴P 2（52，﹣74），综上所述，符合条件的P 点坐标为：（4，5）或（52，﹣74）；(3)解：（3）设直线AC 解析式为y ＝m 1x +n 1，直线BC 解析式为y ＝m 2x +n 2， ∵A （﹣1，0），C （0，﹣3），∴11103m n n -+=⎧⎨=-⎩，解得：1133m n =-⎧⎨=-⎩，∴直线AC 解析式为y ＝﹣3x ﹣3， ∵B （3，0），C （0，﹣3），∴222303m n n +=⎧⎨=-⎩， 解得：2213m n =⎧⎨=-⎩，∴直线BC 解析式为y ＝x ﹣3， 设M （t ，t ﹣3），则N （t ，t 2﹣2t ﹣3）， ∴MN ＝|t 2﹣2t ﹣3﹣（t ﹣3）|＝|t 2﹣3t |，①当△QMN 是以NQ 为斜边的等腰直角三角形时，此时∠NMQ ＝90°，MN ＝MQ ，如图2，∵MQ ∥x 轴， ∴Q （﹣13t ，t ﹣3），∴|t2﹣3t|＝|t﹣（﹣13t）|，∴t2﹣3t＝±43 t，解得：t＝0（舍）或t＝53或t＝133，∴154 (,) 33M-，154 (,)93Q--；2134 (,) 33M，2134 (,)93Q-；②当△QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时，此时∠MNQ＝90°，MN＝NQ，如图3，∵NQ∥x轴，∴Q（223t t-+，t2﹣2t﹣3），∴NQ＝|t﹣223t t-+|＝13|t2+t|，∴|t2﹣3t|＝13|t2+t|，解得：t＝0（舍）或t＝5或t＝2，∴M3（5，2），Q3（﹣5，12）；M4（2，﹣1），Q4（0，﹣3）；③当△QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时，此时∠MQN＝90°，MQ＝NQ，如图4，过点Q作QH⊥MN于H，则MH＝HN，∴H（t，262t t--），∴Q（26t t-+，262t t--），∴QH＝|t﹣26t t-+|＝16|t2+5t|，∵MQ＝NQ，∴MN＝2QH，∴|t2﹣3t|＝2×16|t2+5t|，解得：t＝7或1，∴M5（7，4），Q5（﹣7，18）；M6（1，﹣2），Q6（0，﹣3）；综上所述，点M及其对应点Q的坐标为：154 (,) 33M-，154 (,)93Q--；2134 (,) 33M，2134 (,)93Q-；M3（5，2），Q3（﹣5，12）；M4（2，﹣1），Q4（0，﹣3）；M5（7，4），Q5（﹣7，18）；M6（1，﹣2），Q6（0，﹣3）．13．解：（1）△抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），△OB=3，△OC=OB，△OC=3，△c=3，△30 9330a ba b++=⎧⎨-+=⎩，解得：12ab=-⎧⎨=-⎩，△所求抛物线解析式为：223y x x=--+；（2）如图2，连接BC，过点E作EF△x轴于点F，设E（a，-a2-2a+3）（-3＜a＜0），△EF=-a2-2a+3，BF=a+3，OF=-a，△S△BEC=S四边形BOCE-S△BOC=12BF•EF+12（OC+EF）•OF-12•OB•OC=1 2（a+3）•（-a2-2a+3）+12（-a2-2a+6）•（-a）-92=-32a2-92a=-32（a+32）2+278，△当a=-32时，S△BEC最大，且最大值为278．。
2022年中考数学专题复习：动态几何问题
2022年中考数学专题复习：动态几何问题1．在△ABC中，AB = AC，△ABC = 30°，△BDE是等边三角形，连接CD、AE．(1)如图1，当A、B、D三点在同一直线上时，AE、BC交于点P，且AE△AC.若PC = 4，求PE的长；(2)如图2，当B、E、C三点在同一直线上时，F是CD中点，连接AF、EF，求证：AE = 2AF；(3)如图3，在（2）的条件下，AB=8，E在直线BC上运动，将△AEF沿EF翻折得到△MEF，连接DM，G是AB上一点，且BG=14AB，O是直线BC上的另一个动点，连接OG，将△BOG沿OG翻折得到△HOG，连接HM，当HM最小时，直接写出此时点D到直线EM的距离．2．如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC＝5，sinC＝35．点K在AC边上，点M，N分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3≤x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK＝94，请直接写出点K被扫描到的总时长．3．如图，在等腰梯形ABCD中，AB△CD，AB=8cm，CD=2cm，AD=6cm．点P从A 点出发，以2cm/s的速度沿AB向B点运动（运动到B点即停止）；点Q从C点出发，以1cm/s的速度沿CD−DA向A点运动（当点P停止运动时，点Q也即停止），设P、Q同时出发并运动了t秒．(1)求梯形ABCD的高和△A的度数；(2)当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；(3)试问是否存在这样的t的值，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．4．如图1，点O 是正方形ABCD 两对角线的交点，分别延长OD 到点G ，OC 到点E ，使OG ＝2OD ，OE ＝2OC ，然后以OG 、OE 为邻边作正方形OEFG ，连结AG 、DE ．（1）猜想AG 与DE 的数量关系，请直接写出结论；（2）正方形ABCD 固定，将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到图2，请判断：（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）在正方形OEFG 旋转过程中，请直接写出： △当α＝30°时，△OAG 的度数；△当△AEG 的面积最小时，旋转角α的度数．5．如图1，在ABC 中，90,ACB CD ∠=︒平分ACB ∠，且AD BD ⊥于点D ．（1）判断ABD △的形状；（2）如图2，在（1）的结论下，若3,75BQ DQ BQD ==∠=︒，求AQ 的长； （3）如图3，在（1）的结论下，若将DB 绕着点D 顺时针旋转()090αα︒<<︒得到DP ，连接BP ，作DE BP ⊥交AP 于点F ．试探究AF 与DE 的数量关系，并说明理由．6．如图，在Rt ABCAB=，4∠=︒，5AC=．动点P从点A出发，沿AB △中，90C⊥交AC或BC于点Q，以每秒4个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PQ AB分别过点P、Q作AC、AB的平行线交于点M．设PQM与ABC重叠部分的面积为t t>秒．S，点P运动的时间为()0（1）当点Q在AC上时，CQ的长为______（用含t的代数式表示）．（2）当点M落在BC上时，求t的值．（3）当PQM与ABC的重合部分为三角形时，求S与t之间的函数关系式．（4）点N为PM中点，直接写出点N到ABC的两个顶点的距离相等时t的值．7．如图，△ABC是等边三角形，AB＝4cm，动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB 向点B匀速运动，过点P作PQ△AB，交折线AC﹣CB于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使A，D在PQ异侧，设点P的运动时间是x（s）（0＜x＜2）．（1）AP的长为cm（用含x的代数式表示）；（2）当Q与C重合时，则x＝s；（3）△PQD的周长为y（cm），求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围．8．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P 在线段BC上以3cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．设P点的运动时间为t．（1）CP＝cm．（用含t的式子表示）；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？9．如图，在Rt△ABC中，△B=90°，BC=5 ，△C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF△BC于点F，连接DE、EF．（1）AC的长是________，AB的长是________．（2）在D、E的运动过程中，线段EF与AD的关系是否发生变化？若不变化，那么线段EF与AD是何关系，并给予证明；若变化，请说明理由．（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．（4）当t为何值，△BEF的面积是2 ？10．在Rt△ABC中，△BAC＝90°，AB＝AC，动点D在直线BC上（不与点B，C重合），连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接DE，F，G分别是DE，CD的中点，连接FG．【特例感知】（1）如图1，当点D是BC的中点时，FG与BD的数量关系是，FG 与直线BC的位置关系是；【猜想论证】（2）当点D在线段BC上且不是BC的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？△请在图2中补全图形；△若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展应用】（3）若AB＝AC，其他条件不变，连接BF、CF．当△ACF是等边三角形时，请直接写出△BDF的面积．11．如图，等腰三角形△ABC的腰长AB=AC=5cm，BC=8cm，动点P从B出发沿BC 向C运动，速度为2cm/s．动点Q从C出发沿CA向A运动，速度为1cm/s，当一个点到达终点时两个点同时停止运动．点P'是点P关于直线AC的对称点，连接PP′和P′Q，P′P和AC相交于点E．设运动时间为t秒．（1）若当t的值是多少时，P'P恰好经过点A？（2）设△P′PQ的面积为y，求y与t之间的函数关系式（0＜t≤4）；（3）是否存在某一时刻t，使PQ平分△P′PC？若存在，求出相应的t值，若不存在，请说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使点Q在PC的垂直平分线上？若存在，求出相应的t值，若不存在，请说明理由．12．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，将CA绕点C顺时针旋转至CD，连接AD，E为直线CD上一点，连接AE；（1）如图1，若△BAC＝60°，△ACD＝90°，E为CD中点，AB=△BCE的面积；（2）如图2，若△ACD＝90°，点E在线段CD上且△DAE＋△ABC＝90°，AE的延长线与BC的延长线交于点F，连接DF，求证：BC=；（3）如图3，AB＝1，△BAC＝90°，△ACD＝105°，若BE恰好平分△AEC，点P为线段AE上的动点，点E′与点E关于直线DP对称，AE′与CD交于点Q，连接CE′，当'+-''的值最小时，直接写出CQ的值．AE CE13．已知，如图△，在平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，AC△AB，△ACD 沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s：同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图△，设移动时间为t（s）（0＜t＜4），连接PQ，MQ，MC，解答下列问题：（1）CQ＝，BQ＝，AP＝，CP＝．（2）当t为何值时，PQ∥MN；（3）设△OMC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（4）是否存在某一时刻t，使S△QMC：S四边形ABQP＝1：4．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．14．如图，等腰ABC的底边BC＝8，高AD＝2，M是AB中点，连接MD．动点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC向点C运动，到点C停止，另一动点F从点B出发，以相同的速度沿BC运动，到点D停止．已知点E比点F早出发1秒，当点F出发后，以EF为边作正方形EFGH，使点G、H和点A在BC的同侧，设点E运动的时间为t秒．（1）当t≥1时，用含t的代数式表示EF的长；（2）设正方形EFGH面积为S 1，正方形EFGH与ABC重叠面积为S2，当S1：S2＝2时，求t的值；（3）在点F开始运动时，点P从点D出发，以每秒DM ﹣MB﹣BM﹣MD运动，到达点D停止，在点E的整个运动过程中，求点P在正方形EFGH内（含边界）的时长．15．如图1，正方形ABCD中，点P、Q是对角线BD上的两个动点，点P从点B出发沿着BD以1cm/s的速度向点D运动；点Q同时从点D出发沿着DB以2cm的速度向点B运动．设运动的时间为x s，△AQP的面积为y cm2，y与x的函数图象如图2所示，根据图象回答下列问题：（1）a＝．（2）当x为何值时，APQ的面积为6cm2；（3）当x为何值时，以PQ为直径的圆与APQ的边有且只有三个公共点．16．如图1，有一张矩形纸条ABCD ，边AB 、BC 的长分别是方程27100x x -+=的两个根()AB BC >，E 为CD 上一点，1CE =． （1）连接AE ，BE ，试说明90AEB =︒∠．（2）如图2，M 为边AB 上一个动点，将四边形BCEM 沿ME 折叠，使点B ，C 分别落在点B ′，C '上，边MB '与边CD 交于点N ． △如图3，当点M 与点A 重合时，求N 到ME 的距离．△在点M 从点A 运动到点B 的过程中，求点N 相应运动的路径长（路程）．17．如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，8AC =，16BC =，D 是AC 上的一点，3CD =，点P 从B 点出发沿射线BC 方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P 的运动时间为t ，连接AP ．（1）当3t =秒时，求AP 的长度；（2）当ABP △为等腰三角形时，求t 的值；（3）过点D 作DE AP ⊥于点E ，连接PD ，在点P 的运动过程中，当PD 平分APC ∠时，直接写出t 的值．18．如图，已知在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，点D 是斜边AB 上的动点，联结CD ，作DE △CD 交射线CB 于点E ，设AD ＝x ． （1）当点D 是边AB 的中点时，求线段DE 的长； （2）当△BED 是等腰三角形时，求x 的值； （3）如果DEy DB=，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域．19．已知：如图，在长方形ABCD 中，4cm,6cm AB BC ==，点E 为AB 中点．点P 在线段BC 上以每秒2cm 的速度由点B 向点C 运动，同时，点Q 在线段CD 上由点C 向点D 运动．设点P 的运动时间为t 秒，解答下列问题：（1）线段,BP PC 的长可用含t 的式子分别表示为 cm ， cm ；（2）若某一时刻BPE 与CQP 全等，求此时t 的值和点Q 的运动速度．20．在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（4，0），连接AB，点P（0，t）是y 轴上的一动点，以BP为一直角边构造等腰直角△BPC（B，P，C的顺序为顺时针），且△BPC＝90°，过点A作AD△x轴并与直线BC交于点D，连接PD．（1）如图1，当t＝2时，求点C的坐标；（2）如图2，当t＞0时，求证：△ADC＝△PDB；（3）如图3，当t＜0时，求DP﹣DA的值（用含有t的式子表示）．。
2022中考压轴精品--动态几何4(几何图形的定性演变)--数学
2022中考压轴精品--动态几何4(几何图形的定性演变)--数学关于几何图形性质方面的探究，已成为近年来各地中考试卷中带有普遍性的热点，细分起来，如此的题目又可分为两大类：第一类，设置变化性的图形背景，探究由变化所表达的“图形不变性”或“变化规律”。
第二类，设置附有专门条件或专门结论的图形背景，研究由此生产的“特定性质”。
这两类探究问题正好表达着人们扩展认识的两个差不多方向：一是由专门向一样扩充，二是向相对更为专门的方向深入。
现在我们分别来解析与归纳这两类探究性问题应解的摸索特点。
一、探究图形变化引出的不变性或变化规律从图形变化过程来看，又分为三条途径：I、由“图形变换”形成变化背景，探究其中的不变性或变化规律；II、由“专门到一样”形成的变化背景，探究其中的不变性或变化规律；III、由“类比”形成的变化背景，探究其中的不变性或变化规律；从解法的摸索来说，三类问题尽管有专门多一致性，但因图形变化的背景不同必定带来差不多切入点的不同。
1、图形变换引出的不变性或变化规律我们明白，图形的“轴对称”、“平移”、“旋转”这些变换，是图形运动及延伸的重要途径，研究这些“变换”中的图形的“不变性”或“变化规律”，便是既自然又现成的展开方式。
关于这些起源于“变换”的探究性问题，解法的摸索因此要围绕“变换”而展开，要紧摸索方向可有：I、化规到差不多图形的“变换性质”；II、沿“变换”考查图形变化中所表达的统一性和差异性。
（1）借助于“化归到差不多图形或变换性质”的摸索获得解达.例1 如图（1），在ABC ∆中，BA CG AC AB ⊥=,交BA 的延长线于点G 。
一等腰直角三角尺按如图（1）所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F ，一条直角边与AC 边在一条直线上，另一条直角边恰好通过点B 。
（1）（2） （3）（1）在图（1）中请你通过观看、测量BF 与CG 的长度，猜想并写出BF 与CG 满足的数量关系，然后证明你的猜想。
2022中考压轴精品--动态几何1(图形变换)--数学
2022中考压轴精品--动态几何1（图形变换）--数学一、知识点讲练：知识点1：平移变换判定一个图案，其中是否包含平移变换，第一要观看是否包含平移所需的“差不多图形”，然后观看平移的方向或平移的距离，即平移的方式. 找平移的方向和距离，只要找图形中的某一点和它的对应点之间的平移关系就能够了。
例1 ：小明收集了如图观赏并说明下列各种商标图案，其中哪些是利用平移来设计的？例2：在平面直角坐标系中，将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为（ ）A ．222-=x yB ．222+=x yC ．2)2(2-=x yD ．2)2(2+=x y 例3：如图，在55⨯方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（ ）A ．先向下平移3格，再向右平移1格B ．先向下平移2格，再向右平移1格C ．先向下平移2格，再向右平移2格D ．先向下平移3格，再向右平移2格例4：如图，把⊙O 1向右平移8个单位长度得⊙O 2，两圆相交于A 、B ，且O 1A ⊥O 2A ，则图中阴影部分的面积是（ ） A.4π-8 B. 8π-16 C.16π-16 D. 16π-32（1） （2） （3） （4） （5） （6）图②甲 乙图①甲乙思路点拨：此题是平移和圆的综合运用，依照勾股定理能够求出圆的半径，再依照扇形和三角形面积能够求解。
答案选B。
练习：1.ABC△向右平移3个单位长度后得△在如图所示的平面直角坐标系中，将ABC2.在如图所示的四个汽车标志图案中,能用平移变换来分析其形成过程的图案是( )A．B． C ．D．3.下列图形中，由原图平移得到的图形是（）原图A．B．C．D．答案：1.D 2.D 3.D4. 将图1所示的图案通过平移后能够得到的图案是（）5. 如图2，在边长为1的正方形网格中，将ABC △向右平移两个单位长度得到A B C '''△，则与点B '关于x 轴对称的点的坐标是（ ）A ．()01-，B ．()11，C ．()21-，D ．()11-，6. 如图，ABC △和的DEF △是等腰直角三角形，90C F ∠=∠=，24AB DE ==，．点B 与点D 重合，点A B D E ，（），在同一条直线上，将ABC △沿D E →方向平移，至点A 与点E 重合时停止．设点B D ，之间的距离为x ，ABC △与DEF △重叠部分的面积为y ，则准确反映y 与x 之间对应关系的图象是（ ）答案：4.A 5.D 6.B. 知识点2：轴对称变换例1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）．yxO （A ）BC图2思路点拨：依照概念求解即可。
2022中考压轴精品--动态几何3(动图中的函数关系)--数学
2022中考压轴精品--动态几何3(动图中的函数关系)--数学图形中引入动点以后 ，随着点 的移动，便会引起其他相关量的变化，如此就会显现变量之间的函数关系；而动点在运动过程中，也会引起相关图形的变化，如此就可能产生特定形状、特定位置或特定关系的图形。
这些问题就需要借助方程来解决。
但不管是动点问题引出的函数。
依旧由动点引出的方程，却都需要借助于几何运算来建立。
因此，几何运算才是图形动点问题得以解决的真正核心基础，也即一、图形中动点形成的函数例1 如图（1），ABC Rt ∆中，,5,4,90==︒=∠BA AC ACB 点P 是AC 上的动点（P 不与A ，C 重合）。
x PC =，点P 到AB 的距离为y 。
（1）求y 与x 的函数关系式； （2）试讨论以P 为圆心，半径为x 的圆与AB 所在直线的位置关系，并指出相应的x 取值范畴。
（1） （1`）【观看与摸索】（1）如图（1`），若AB PQ ⊥于Q ，要建立PQ 和CP 的函数关系，能够通过APQ Rt ∆和ABC Rt ∆的相似关系。
（2）确实是讨论⊙P 的半径（即x ）和圆心P 到AB 的距离（即y ）的大小关系。
解：（1）过P 作AB PQ ⊥于Q ，如图（1`），则y PQ =，图形动点问题通过几何运算（要紧是解直角形和三角形的相似关系函数（变化规律）方程（特定形状的图形、特定位置的图形、特定关系的图形）⇒ ⇒ACBPACBP易知AQP Rt ∆∽ACB Rt ∆，AB AP BC PQ ::=∴， ,543x y -=∴化简得：)40(51253<<+-=x x y 。
（2）令y x =，即,51253+-=x x 解得23=x ，现在⊙P 与直线AB 相切。
对应地有：230<<x 时，⊙P 与直线AB 相离；423<<x 时，⊙P 与直线AB 相交。
【说明】本题的关键确实是通过两直角三角形相似关系构成的比例等式导出函数关系式，再通过⊙P 和AB 相切这一专门情形来判定⊙P 和AB 的三种位置关系。
2022中考压轴精品--动态几何2(动图中的计算与证明)--数学
2022中考压轴精品--动态几何2(动图中的计算与证明)--数学图形（或部分图形）经“平移”、“轴对称”或“旋转”（包括中心对称）之后，就会引起图形形状，位置关系的变化，就会显现新的图形和新的关系。
因此，图形变换引出的问题要紧有两类：一类是变换引出的新的性质和位置关系问题；另一类是变换引出的几何量的运算问题。
一、平移变换中的运算与证明解法：（1）把背景图形研究清晰；（2）充分运用平移的性质（专门是“平移不改变角度”） 例1 如图，若将边长为cm 2的两个互相重合的正方形纸片沿对角线AC 翻折成等腰直角三角形后，再抽出一个等腰直角三角形沿AC 移动，若重叠部分PC A '∆的面积是21cm ，则移动的距离'AA 等于 。
【观看与摸索】第一，搞清晰背景图形：ABC ∆和'''C B A ∆ 均为底边长为cm 22的等腰直角三角形；第二，由平移搞 清晰新图形的特点：由于平移不改变角度，可知PC A '∆也 是等腰直角三角形，如此一来，,)'22(212'C A S PCA =∆ 即2411AC=。
解得,2'=C A 而22=AC ， 222'-=∴AA 。
解：填222-。
【说明】能够看出，由背景和平移的性质相结合得出CA （'C ）EPC A '∆为等腰直角三角形，是本题迅速获解之关键。
例2 如图（1），已知ABC ∆的面积为3，且,AC AB =现将ABC ∆沿CA 方向平移CA 长度得到EFA ∆。
（1）求ABC ∆所扫过的图形面积；（2）试判定，AF 与BE 的位置关系，并说明理由； （3）若,15︒=∠BEC 求AC 的长。
【观看与摸索】第一，搞清晰原图形即ABC ∆的特点：,AC AB = 面积为3，第二，搞清晰平移过程：平移沿CA 方向进行；平移距离 为CA 的长度。
注意！这就意味着每一对对应点之间的距离都等于CA ， 因此就有AE CA BF ==。
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2022年中考数学专题复习：动态几何问题1．如图，在Rt ABC △中，8AB =，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，点P 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿AB 向终点B 运动，当点P 不与点A ，B 重合时，作120BPD ∠=︒，边PD 交折线AC CB -于点D ，点A 关于直线PD 的对称点为E ，连结ED ，EP 得到PDE △．设点P 的运动时间为t （秒）．(1)直接写出线段PD 的长（用含t 的代数式表示）；(2)当点E 落在边BC 上时，求t 的值；(3)设PDE △与ABC 重合部分图形的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；(4)设M 为AB 的中点，N 为ED 的中点，连结MN ．当MN 与ABC 的边垂直时，直接写出t 的值．2．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，2cm =AC ，CD 是边AB 上的中线．P ，Q 两点同时从点A 出发，点P 在AC 上以1cm/s 的速度向终点C 运动；点Q 在AB 上以2cm/s 的速度向终点B 运动，以AP ，AQ 为邻边作APEQ ．设点P 的运动时间为x （s ），APEQ 与ACD △重叠部分图形的面积为y （cm 2）．(1)点P 到AB 的距离为_______cm ．（用含x 的代数式表示）(2)当点E 落在中线CD 上时，求x 的值．(3)当02x <<时，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．(4)连接PQ ，当直线PQ 经过中线CD 上的三等分点时，直接写出x 的值．3．如图1，点P 、Q 分别是等边△ABC 边AB 、BC 上的动点（端点除外），点P 从顶点A 、点Q 从顶点B 同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ 、CP 交于点M ．(1)求证：ABQ CAP ≌△△：(2)当点P 、Q 分别在AB 、BC 边上运动时，△QMC 的大小变化吗？若变化，请说明理由：若不变，求出它的度数．(3)如图2，若点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动，直线AQ 、CP 相交于点M ，则△QMC 的大小变化吗？若变化，请说明理由：若不变，则求出它的度数．4．如图1，ABC 与AEF 都是等边三角形，边长分别为4,FC AD 为ABC 高，连接CE ，N 为CE 的中点．（1）求证：ACF ABE ≌；（2）将AEF 绕点A 旋转，当点E 在AD 上时，如图2，EF 与AC 交于点G ，连接NG ，求线段NG 的长；（3）连接BN ，在AEF 绕点A 旋转过程中，求BN 的最大值．5．有一边长为6cm 的正方形ABCD 和等腰直角PQR ，PQ ＝PR ，QR ＝8cm ．点B ，C ，Q ，R 在同一条直线l 上．当C ，Q 两点重合时，等腰直角PQR 以1cm/秒的速度沿直线l 按箭头所示方向开始匀速运动，t 秒后正方形ABCD 与等腰直角PQR 重合部分的面积为S cm 2．解答下列问题．（1）当t ＝3秒时，求S 的值；当t ＝6秒时，求S 的值；（2）当6秒≤t ≤8秒时，求s 与t 的函数关系式．（3）若重合部分的面积为152cm 时，求t 的值．6．以BC 为斜边在它的同侧作Rt DBC 和Rt ABC ，其中90A D ∠=∠=︒，AB AC =，AC 、BD 交于点P ．（1）如图1，BP 平分ABC ∠，求证：BC AB AP =+；（2）如图2，过点A 作AE BP ⊥，分别交BP 、BC 于点E 、点F ，连接AD ，过A 作AG AD ⊥，交BD 于点G ，连接CG ，CG 交AF 于点H ，求证：GH CH =； （3）如图3，点M 为边AB 的中点，点Q 是边BC 上一动点，连接MQ ，将线段MQ 绕点M 逆时针旋转90︒得到线段MK ，连接PK 、CK ，当15DBC ∠=︒，4AP =时，求PK CK +的最小值．7．如图，长方形ABCD 中（长方形的对边平行且相等，每个角都是90°），AB ＝6cm ，AD ＝2cm ，动点P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，点P 以2cm/s 的速度向终点B 移动，点Q 以1cm/s 的速度向点D 移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t （s ），问：（1）当t ＝1s 时，四边形BCQP 面积是多少？（2）当t 为何值时，点P 和点Q 距离是3cm ？（3）当t ＝ s 时，以点P ，Q ，D 为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）8．如图，AE 与BD 相交于点C ，AC EC =，BC DC =，6cm AB =，点P 从点A 出发，沿A B A →→方向以3cm s 的速度运动，点Q 从点D 出发，沿D E →方向以1cm s 的速度运动，P 、Q 两点同时出发，当点P 到达点A 时，P 、Q 两点同时停止运动．设点P 的运动时间为()s t ．（1）求证：//AB DE ．（2）写出线段BP 的长（用含t 的式子表示）．（3）连接PQ ，当线段PQ 经过点C 时，求t 的值．9．如图，在Rt ABC 中，△C =90°，△A =30°，AB =4，动点P 从点A 出发，沿AB 以每秒2个单位长度的速度向终点B 运动，过点P 作PD △AC 于点D （点P 不与点A 、B 重合），作△DPQ =60°，边PQ 交射线DC 于点Q ，设点P 的运动时间为t 秒． （1）用含t 的代数式表示线段PD = ；PQ = ；CD = ．（2）当点Q与点C重合时，求t的值；（3）当线段PQ的垂直平分线经过ABC一边中点时，直接写出t的值．10．在△ABC中，AB＝AC＝10cm．（1）如图1，AM是△ABC的中线，MD△AB于D点，ME△AC于E点，MD＝3cm，则ME＝cm．（2）如图2，在（1）的条件下，连接DE交AM于点F，试猜想：△FD FE（填“＞”、“＝”或“＜”）；△AM DE（填位置关系）．（3）如图3，BC＝8cm，点D为AB的中点．点P在线段BC上由B向C运动，同时点Q在线段CA上以每秒2cm的速度由C向A运动，设点P的运动时间为t秒．问：运动时间t为多少时，△BDP与△PQC全等？11．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝P是AC上的一个动点．（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP、BP，求CP、DP的长；（2）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的项点Q恰好在边BC上？求出此时平行四边形的面积；（3）当点P 在运动过程中出现PD ＝BC 时，求此时∠PDA 的度数（直按写出答案）.12．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，8cm AB =，12cm AD =，18cm BC =，点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度向点D 运动；点Q 从点C 同时出发，以2cm/s 的速度向点B 运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P ，Q 运动的时间为ts ．（1）CD 边的长度为________cm ，t 的取值范围为________．（2）从运动开始，当t =________时，PQ CD =．（3）在整个运动过程中是否存在t 值，使得四边形PQCD 是菱形．若存在，请求出t 值；若不存在，请说明理由．13．如图所示，四边形ABCD 为矩形，AB ＝6cm ，AD ＝4cm ，若点Q 从A 点出发沿AD 以1cm/s 的速度向D 运动，P 从B 点出发沿BA 以2cm/s 的速度向A 运动，如果P 、Q 分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t （s ）．（1）当t为何值时，△P AQ为等腰三角形？（2）当t为何值时，△APD的面积为6cm2？（3）五边形PBCDQ的面积能否达到20cm2？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．（4）当t为何值时，P、Q两点之间的距离为？14．（1）如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，过点O的直线l与边AB、CD分别交于点E、F，绕点O旋转直线l，猜想直线l旋转到什么位置时，四边形AECF是菱形．证明你的猜想．（2）若将（1）中四边形ABCD改成矩形ABCD，使AB=4cm，BC=3cm，△如图2，绕点O旋转直线l与边AB、CD分别交于点E、F，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D的对应点为D′，连接DD′，求△DFD′的面积．△如图3，绕点O继续旋转直线l，直线l与边BC或BC的延长线交于点E，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，点B的对应点为B′，当△CEB′为直角三角形时，求BE 的长度．请直接写出结果，不必写解答过程．15．如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转．若B、P在直线a的异侧，BM△直线a于点M，CN△直线a于点N，连接PM、PN；（1）延长MP交CN于点E（如图2）．△求证：△BPM△△CPE；△求证：PM＝PN；（2）若直线a烧点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变．此时PM＝PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）若直线a 绕点A 旋转到与BC 边平行的位置时，其它条件不变．请直接判断四边形MBCN 的形状及此时PM ＝PN 还成立吗？（不必说明理由）16．边长为4的正方形ABCD 绕顶点A ，按顺时针方向旋转至正方形111AB C D ，记旋转角为α．（1）如图1，当60α=︒时，求弧1CC 的长度和线段AC 扫过的扇形面积；（2）如图2，当45α=︒时，记BC 与11D C 的交点为E ，求线段1D E 的长度； （3）如图3，在旋转过程中，若F 为线段1CB 的中点，求线段DF 长度的取值范围．17．如图，在四边形ABCD 中，△B ＝60°，AB ＝DC ＝4，AD ＝BC ＝8，延长BC 到E ，使CE ＝4，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC ﹣CD ﹣DA 向终点A 运动，设点P 运动的时间为t 秒(t ＞0)．（1）当t ＝3时，BP ＝ ；（2）当t ＝ 时，点P 运动到△B 的角平分线上；（3）当0＜t ＜6时，请用含t 的代数式表示△ABP 的面积S ；（4）当0＜t ＜6时，直接写出点P 到四边形ABED 相邻两边距离相等时t 的值．18．已知边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点，过点P作PE△PB，PE交射线DC于点E，过点E作EF垂直AC所在的直线，垂足为点F．（1）如图，当E点在线段DC上时，求证：PB＝PE；（2）在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能，直接写出此时AP的长，如果不能，说明理由；（3）在点P的运动过程中，AP、PF、FC的长度是否满足某种数量关系？若满足，试写出解答过程；若不满足，试说明理由．19．已知：正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在的直线上，且随着点P的运动而运动，PE=PD总成立．（1）如图1，当点P在对角线AC上时，请你猜想PE与PB有怎样的数量关系，并加以证明；（2）如图2，当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图2，当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图3画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）20．已知正方形ABCD，△EAF＝45°，将△EAF绕顶点A旋转，角的两边始终与直线CD交于点E，与直线BC交于点F，连接EF．（1）如图△，当BF＝DE时，求证：△ABF△△ADE；（2）若△EAF旋转到如图△的位置时，求证：△AFB＝△AFE；（3）若BC＝4，当边AE经过线段BC的中点时，在AF的右侧作以AF为腰的等腰直角三角形AFP，直接写出点P到直线AB的距离．。