有关二重积分计算及应用本科论文
二重积分的计算方法及应用
二重积分的计算方法及应用二重积分是微积分中重要的计算方法之一，它用于计算二元函数在平面区域上的累积效应。
本文将介绍二重积分的计算方法和其在实际问题中的应用。
一、二重积分的计算方法1. 矩形区域上的二重积分计算当被积函数在矩形区域上有明显的解析表达式时，可以使用矩形区域的特点进行计算。
首先，将矩形区域划分成小矩形，计算每个小矩形上函数值的加权累计，然后将这些小矩形的累加值相加得到最终结果。
2. 极坐标下的二重积分计算在某些情况下，函数的表达式在直角坐标下很难处理，但在极坐标下却具有较简单的形式。
对于极坐标下的二重积分计算，我们需要根据被积函数的性质选择适当的极坐标变换，并利用极坐标系下的面积微元进行计算。
3. 变量替换法变量替换是一种常用的二重积分计算方法。
通过引入新的变量替换原有的积分变量，可以简化被积函数的形式，使问题变得更易处理。
变量替换法的关键在于选择合适的变换关系，并确定新的积分范围。
4. 利用对称性简化计算当被积函数具有一定的对称性时，我们可以利用对称性简化计算。
例如，如果被积函数关于某个坐标轴对称，可以将积分区域关于对称轴进行映射，再利用对称性将两边的积分结果相等。
二、二重积分的应用1. 物理学中的应用二重积分在物理学中有广泛的应用。
例如，通过对平面区域上的力场进行二重积分计算，可以求解物体的质心、转动惯量等物理量。
二重积分还可以用于计算电场、磁场等物理场的分布情况。
2. 统计学中的应用统计学中的某些问题可以通过二重积分来求解。
例如，在概率密度函数已知的情况下，可以通过二重积分计算随机变量落在某一区域内的概率。
这在统计推断和假设检验中有着重要的应用。
3. 经济学中的应用在经济学中，二重积分可以用于计算产量、收入、消费等指标。
通过对经济模型中的生产函数或效用函数进行二重积分计算，可以分析经济变量之间的相互作用关系。
4. 工程学中的应用工程学中常常需要对平面区域上的物理量进行计算和分析。
二重积分的计算机和信息科学应用
二重积分的计算机和信息科学应用二重积分是微积分中的一种重要概念，它的应用领域非常广泛。
计算机科学和信息科学作为现代科技的两个重要分支，同样也离不开二重积分的应用。
本文将介绍二重积分在计算机和信息科学领域中的具体应用，并探讨其中涉及的数学原理。
一、图像处理中的二重积分图像处理是计算机科学中非常重要的研究领域之一，而二重积分则是图像处理中常用的数学工具之一。
在图像处理中，我们经常需要对图像进行滤波、去噪、边缘检测等操作，而这些操作通常涉及到对图像的二重积分。
以滤波为例，滤波可以看作是对图像进行加权平均的操作。
而在加权平均中，不同的像素点由于其位置关系以及灰度值的不同，所应获得的权重是不同的。
因此，我们需要对图像中不同位置的像素点进行加权计算，从而得到最终的滤波结果。
而这个加权计算的过程，就是对图像进行二重积分的过程。
二、计算机视觉中的二重积分和图像处理类似，计算机视觉也是一个与计算机图像处理密切相关的领域。
在计算机视觉中，人们通常需要对图像中的某些特征进行检测，例如人脸、字符等。
而这些特征的检测往往也涉及到对图像的二重积分。
以人脸识别为例，人脸识别的基本思路是根据人脸的某些特征来进行识别。
而这些特征通常可以用二重积分来表示。
例如，我们可以通过对人脸的灰度图像进行二重积分，来获得人脸的某些特征（例如亮度、对比度等），从而进行人脸识别。
三、信号处理中的二重积分和图像处理、计算机视觉类似，信号处理中也常常涉及到对信号的二重积分。
信号处理可以理解为是对信号进行处理的过程，而信号可以是声音、图像、视频等。
在信号处理中，常常需要对信号进行滤波、去噪、分析等操作，而这些操作同样涉及到对信号的二重积分。
以声音信号处理为例，声音信号的频域分析是声音信号处理中的一个非常重要的工具。
而频域分析通常可以看作是一种信号的二重积分。
通过对声音信号进行二重积分，我们可以获得声音信号在频域上的分布情况，从而进行频域分析。
四、数值计算中的二重积分在数值计算中，二重积分同样是一个非常基础的概念。
二重积分计算及其应用（已处理）
二重积分计算及其应用包头师范学院本科毕业论文题目:二重积分的计算及其应用学生姓名:学院:数学科学院专业:数学与应用数学班级:08本一班指导教师: 讲师二 ? 一二年五月二重积分计算及其应用内容摘要在二重积分的计算中,由于计算和函数比较繁杂,因此按照二重积分的定义计算二重积分有很大的局限性。
常用方法是化简二重积分为两次定积分或累次积分,又因为二重积分的计算与被积函数和积分区域有关。
掌握二重积分计算和它的性质的基础上,讨论如何利用函数的奇偶性与区域的对称性,探讨如何利用二重积分的性质解决二重积分的计算中的证明不等式、确定积分值的符号、估计积分之值、求极限等问题。
对于这些问题我们可以利用二重积分的性质和函数的奇偶性与区域的对称性来解决问题,试图找到一些简便方法,简化二重积分的计算。
关于二重积分的应用它可以求曲面面积以外,二重积分在物理学当中的应用也极其广泛,尤其是在平面薄板当中巧妙而简练的利用二重积分来解决平面薄板的重心坐标、转动惯量以及对质点的引力等问题,二重积分的应用在物理学当中是一种不可忽视的知识。
关键词:二重积分; 直角坐标; 极坐标系; 曲面面积;平面薄片Abstract In the calculation of double integrals, due to the complex calculations and comparison functions, in accordance with the definition of double integral calculation of double integrals have a lot of limitations. A common approach to simplification double integrals are definite integral and repeated integral as twice, because the calculationof double integrals with integrand and integral region. Mastering double integral calculation and on the basis of its nature, discusses how to use functions of symmetry of parity with regional, nature of the discussion on how to use double integral to prove inequality solving double integral calculation, identifying symbols, estimated value of the integral, the integral values for limit and so on. These questions we can use the double integral and parity of the nature and functions of symmetry to solving problems of the region, trying to find some easy way to simplify the calculation of double integrals. But also concise and clear to problem conclusion. On the application of double integral it can be found outside of the surface area of, and applications of double integrals in physics are very widely, especially in a flat sheet, ingenious and simple to use double integral to solving Planar sheet of Barycentric coordinates, moments of inertia and gravitational energy of the particle, and other issues, applications of double integrals in physics is a knowledge that cannot be neglected.Key words: double integral;Cartesian; polar; surface area; flat blades目录内容摘要 (2)关键词 (2)引言 (7)二重积分的定义 (8)二. 二重积分的计算 (8)(一)直角坐标系下二重积分的计算 (8)(二)极坐标系下二重积分的计算 (9)三.利用函数的奇偶性与区域的对称性计算二重积分 (9)(一)计算二重积分,设区域D关于轴对称 (9)若函数关于是奇函数 (9)若函数关于是偶函数 (9)(二)计算二重积分,设区域D关于轴对称 (10)若函数关于是奇函数 (10)若函数关于是偶函数 (10)(三)计算二重积分,设区域D关于轴和轴都对称,同时也是关于,对称的 (10)四.二重积分的性质 (13)五.应用二重积分的性质解题 (14)(一)证明不等式 (14)(二)确定积分值的符号 (14)(三)估计积分之值 (15)(四)求极限 (16)六.二重积分的应用 (17)(一)曲面的面积 (17)1.曲面由显函数给出的情形 (17)2.曲面由参数方程给出的情形 (18)(二)平面薄片的重心 (19)(三)平面薄片的转动惯量 (20)(四)平面薄片对质点的引力 (21)结语 (23)参考文献 (24)引言在二重积分的计算中,由于计算和函数比较繁杂,因此按照二重积分的定义计算二重积分有很大的局限性。
二重积分的计算及应用
二重积分的计算及应用学生姓名：*** 学号：*** 学院：*** 专业：*** 指导老师：*** 职称：***摘 要：本文介绍了如何利用对称性来计算二重积分，并提出了通过适当改造被积函数和积分区域以利用对称性来简化计算的方法．最后对积分区域的边界曲线由参数方程表示的二重积分，也将给出两种不经消参数而直接计算的方法．关键词：二重积分；被积函数；积分区域The Calculate and Application of Double IntegralAbstract ：The paper introduces the method of calculating double integral with symmetry,and then puts forward a calculating method by rebuilding integrand and domain of integration reasonably.At last,for the double integral which the boundary curve of its domain of integration is denoted by the panameter equation,it supplies a directed method which does not eliminate the parameter.Key word ：Double integral ；Integralted function ；Integral region引言二重积分是一类非常重要的积分形式，主要用于求平面面积，将实际问题数学化，有利于计算．1.二重积分的定义定义1 若平面图形P 的内面积P I 等于它的外面积P I ，则称P 为可求面积，并称其共同值P P P I I I ==为P 的面积．定义2：设(,)f x y 是定义在可求面积的有界闭区域D 上的函数．J 是一个确定的数，若对任给的正数ε，总存在某个正数δ，使对于D 的任何分割T ，当它的细度T δ<时，属于T 的所有积分和都有1(,)niiii f J ξησε=∆-<∑，则称(,)f x y 在D 上可积，数J 称为函数(,)f x y 在D 上的二重积分，记作(,)DJ f x y d σ=⎰⎰，其中(,)f x y 称为二重积分的被积函数，x ，y 称为积分变量，D 称为积分区域．2.二重积分的定理定理1 平面有界图形P 可求面积的充要条件是：对任给的0ε>，总存在直线网T ，使得()()P P S T s T ε-<．定理2 平面有界图形P 可求面积的充要条件是：P 的边界K 的面积为零． 定理3 若曲线K 为由定义在[],a b 上的连续函数()f x 的图象，则曲线K 的面积为零．定理4 (,)f x y 在D 上可积的充要条件是：lim ()lim ()T T S T s T →→=．定理5 (,)f x y 在D 上可积的充要条件是：对于任给的正数ε，存在D 的某个分割T ，使得()()S T s T ε-<．定理6 有界闭区域D 上的连续函数必可积．定理7 设(,)f x y 是定义在有界闭区域D 上的有界函数．若(,)f x y 的不连续点都落在有限条光滑曲线上，则(,)f x y 在D 上可积．定理8 设(,)f x y 在矩形区域[][],,D a b c d =⨯上可积，且对每个[],x a b ∈，积分(,)dcf x y dy ⎰存在，则累次积分(,)b dacdx f x y dy ⎰⎰也存在，且(,)(,)b dacDf x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰⎰．定理9 设(,)f x y 在矩形区域[][],,D a b c d =⨯上可积，且对每个[],y c d ∈，积分(,)baf x y dx ⎰存在，则累次积分(,)d bcady f x y dx ⎰⎰也存在，且(,)(,)d bcaDf x y d dy f x y dx σ=⎰⎰⎰⎰．定理10 若(,)f x y 在如(){}12,|()(),D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤所示的x 型区域D 上连续，其中1()y x ，2()y x 在[],a b 上连续，则21()()(,)(,)by x ay x Df x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰⎰．即二重积分可化为先对y ，后对x 的累次积分．定理11 若函数(,)P x y ，(,)Q x y 在闭区域D 上连续，且有连续的一阶偏导数，则有()L DQ Pd Pdx Qdy x yσ∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰ ， 这里L 为区域D 的边界曲线，并取正方向．定理12 设D 是单连通闭区域．若函数(,)P x y ，(,)Q x y 在D 内连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价： (1) 沿D 内任一按段光滑封闭曲线L ，有0LPdx Qdy +=⎰ ；(2) 对D 中任一按段光滑封闭曲线L ，曲线积分LPdx Qdy +⎰与路线无关，只与L 的起点及终点有关；(3) Pdx Qdy +是D 内某一函数(,)u x y 的全微分，即在D 内有du Pdx Qdy =+；(4) 在D 内处处成立P Qy x∂∂=∂∂． 定理13 设(,)f x y 在有界闭区域D 上可积，变换T ：(,)x x u v =，(,)y y u v =将uv 平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域∆一对一地映成xy 平面上的闭区域D ，函数(,)x u v ，(,)y u v 在∆内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式(,)(,)0(,)x y J u v u v ∂=≠∂，(,)u v ∈∆， 则(,)((,),(,))(,)Df x y d x d y f x u v y u v J u v d u d v∆=⎰⎰⎰⎰． 定理14：设(,)f xy 满足定理１３的条件，且在极坐标变换T ：cos ,sin ,x r y r θθ=⎧⎨=⎩ 0r ≤<+∞，02θπ≤≤下，xy 平面上有界闭区域D 与r θ平面上区域∆对应，则成立(,)(cos ,sin )Df x y dxdy f r r rdrd θθθ∆=⎰⎰⎰⎰．3.二重积分的性质性质1 若(,)f x y 在区域D 上可积，k 为常数，则(,)kf x y 在D 上也可积，且(,)(,)DDkf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰．性质2 若(,)f x y ，(,)g x y 在D 上都可积，则(,)(,)f x y g x y ±在D 上也可积，且[](,)(,)(,)(,)DDDf x yg x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰．性质3 若(,)f x y 在1D 和2D 上都可积，且1D 与2D 无公共内点，则(,)f x y 在12D D 上也可积，且1212(,)(,)(,)D D D D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ．性质4 若(,)f x y 与(,)g x y 在D 上可积，且(,)(,)f x y g x y ≤，(,)x y D ∈，则＼．性质5 若(,)f x y 在D 上可积，则函数(,)f x y 在D 上也可积，且(,)(,)DDf x y d f x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰．性质6 若(,)f x y 在D 上可积，且(,)m f x y M ≤≤，(,)x y D ∈，则(,)D D DmS f x y d MS σ≤≤⎰⎰，这里D S 是积分区域D 的面积．性质7 （中值定理）若(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，则存在(,)D ξη∈，使得(,)(,)DDf x y d f Sσξη=⎰⎰，这里D S 是积分区域D 的面积．4.二重积分的计算例1 计算2()Dx y d σ+⎰⎰，其中[][]0,10,1D =⨯．解 应用定理8（或定理9），有(,)Df x y d σ⎰⎰＝1120()dx x y dy +⎰⎰＝3310(1)33x x dx ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦⎰＝76． 例2 设D 是由直线0x =，1y =及y x =围成的区域，试计算：22y DI x e d σ-=⎰⎰的值．解 若用先对y 后对x 的积分，则21120y xI x dx e dy -=⎰⎰．由于函数2y e -的原函数无法用初等函数形式表示，因此改用另一种顺序的累次积分，则有2211230013yy y I dy x e dx y e dy --==⎰⎰⎰． 由分部积分法，即可算得：1163I e=-． 例3 计算二重积分Dd σ⎰⎰，其中D 为由直线2y x =，2x y =及3x y +=所围的三角形区域．解 当把D 看作x 型区域时，相应的212,01,()()3,12,2x x xy x y x x x ≤≤⎧==⎨-<≤⎩所以1212230122x xx x DD D d d d dx dy dx dy σσσ-=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1201(2)(3)22x xx dx x dx =-+--⎰⎰ 12220133344x x x ⎡⎤⎡⎤=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦32=例4 计算ABxdy ⎰，其中曲线AB 是半径为r 的圆在第一象限部分． 解 对半径为r 的四分之一圆域D ，应用格林公式有LDd xdy σ--=⎰⎰⎰OAABBOxdy xdy xdy =++⎰⎰⎰．由于0OAxdy =⎰，0BOxdy =⎰，所以214AB Dxdy d r σπ=-=-⎰⎰⎰． 例5 计算22L xdy ydxI x y -=+⎰，其中L 为任一不包含原点的闭区域的边界线．解 因为2222222()()x y x x y x y -=++， 2222222()()y y x y x y x y ∂--=∂++ 在上述区域D 上连续且相等，于是2222()()0D x y d x x y y x y σ⎡⎤∂∂--=⎢⎥∂+∂+⎣⎦⎰⎰， 所以由格林公式立即可得0I =．例6 试应用曲线积分求(2sin )(cos )x y dx x y dy ++的原函数．解 这里(,)2sin P x y x y =+，(,)cos Q x y x y =，所以在整个平面上成立cos P Q y y x∂∂==∂∂． 由定理12，曲线积分(2sin )(cos )ABx y dx x y dy ++⎰只与起点A 和终点B 有关，而与路线的选择无关．为此，取(0,0)A ，(,)B x y ，取路线为折线段ACB ．于是有(,)2cos x yu x y xdx x ydy C =++⎰⎰2sin x x y C =++．例7 求x y x yDedxdy -+⎰⎰，其中D 是由0x =，0y =，1x y +=所围区域．解 为了简化被积函数，令u x y =-，v x y =+．为此作变换T ：1()2x u v =+，1()2y v u =-，则 11122(,)011222J u v ==>-． 在变换T 的作用下，区域D 的原象∆所示．所以12x y u x yvDedxdy e dudv -+∆=⋅⎰⎰⎰⎰1012uv vvd ve d u-=⎰⎰ 1101()2v e e dv -=-⎰ 14e e --=例8 计算DI =，其中D 为圆域：221x y +≤．解 由于原点为D 的内点，故由2()00(,)(cos ,sin )r Df x y dxdy d f r r rdr πθθθθ=⎰⎰⎰⎰，有210Dd πθ=⎰⎰120d πθ⎡=⎣⎰20d πθ=⎰2π=5.二重积分的应用例9 求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积V ． 解 设圆柱底面半径为a ，两个圆柱方程为222x y a +=与222x z a +=．利用对称性，只要求出在第一卦限（即0x ≥，0y ≥，0z ≥）部分的体积，然后再乘以8即得所求的体积．第一卦限部分的立体是以z 为曲顶，以四分之一圆域D ：00,y x a ⎧⎪≤≤⎨≤≤⎪⎩ 为底的曲顶柱体，所以18DV σ=0adx =⎰220()a a x dx =-⎰323a =． 于是3163V a =．例10 计算抛物线2()(0)x y ax a +=>与x 轴所围的面积．解 曲线AMO由函数y x =，[]0,x a ∈表示， ONA 为直线0y =，于是12D S xdy ydx =-⎰ 1122ONA AMOxdy ydx xdy ydx =-+-⎰⎰ 12AMOxdy ydx =-⎰011))2a x x dx ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰012a =⎰=⎰216a =． 例11 求抛物线2y mx =，2y nx =和直线y x α=，y x β=所围区域D 的面积()D μ (0,0)m n αβ<<<<．解 D 的面积()DD dxdy μ=⎰⎰．为了简化积分区域，作变换2u x v =，uy v=． 它把xy 平面上的区域D 对应到uv 平面上的矩形区域[][],,m n αβ∆=⨯．由于234212(,)01uu v v J u v u v vv-==>-，(,)u v ∈∆， 所以()DD d μσ=⎰⎰4ududv v ∆=⎰⎰4nmdv udu v βα=⋅⎰⎰ 223333()()6n m βααβ--=． 例12 求椭球体2222221x y z a b c++≤ 的体积．解 由对称性，椭球体的体积V 是第一卦限部分体积的8倍，这一部分是以z =(,)|0D x y y x a ⎧⎫⎪⎪=≤≤≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭为底的曲顶柱体，所以8DV =⎰⎰．应用广义极坐标变换，由于z =1208V d πθ=⎰⎰1208abc d πθ=⎰⎰43abc π=． 当a b c R ===时，得到球的体积为343R π=．参考文献：[1] 裴礼文．数学分析中的典型问题与方法[M]．北京：高等教育出版社，1993． [2] 刘玉莲，傅沛人．数学分析讲义下册第三版[M]．北京：高等教育出版社，1992． [3] 华东师范大学数学系．数学分析下册第三版[M]．北京：高等教育出版社，1987．[4] 邹应．数学分析(下册)[M]．北京：高等教育出版社，1995．11。
二重积分的计算与应用
二重积分的计算与应用在微积分中，二重积分是一种对二维平面上的函数进行求和的数学工具。
它广泛应用于物理、经济学、工程学以及其他领域。
本文将介绍二重积分的计算方法以及其在实际问题中的应用。
一、二重积分的计算方法二重积分可以通过多种方法进行计算，包括直接计算、极坐标变换和换元积分等方法。
1. 直接计算直接计算是最常用的方法之一，它将二重积分分解为两个一元积分的乘积。
假设要计算的函数为f(x, y)，定义在区域D上，可以将二重积分表示为：∬D f(x, y) dA其中dA表示面积元素。
可以通过将区域D划分为小的面积元素，并在每个面积元素上进行函数值的计算，然后对所有面积元素求和，最终得到二重积分的结果。
2. 极坐标变换极坐标变换是一种常用的简化二重积分计算的方法，特别适用于具有旋转对称性的函数。
通过将直角坐标系下的变量x和y表示为极坐标下的变量r和θ，可以将二重积分转化为极坐标下的形式。
例如，对于函数f(x, y)，可以进行如下的极坐标变换：x = rcosθy = rsinθ同时，面积元素dA可以表示为：dA = rdrdθ将函数f(x, y)和面积元素dA用极坐标形式表示后，就可以将二重积分转化为对r和θ的一元积分进行计算。
3. 换元积分换元积分是一种将二重积分转化为更简单形式的计算方法。
通过选择适当的变量替换，可以减小积分的难度。
例如，当被积函数具有形如f(x, y) = g(x + y)的形式时，可以进行变量替换u = x + y，将二重积分转化为对u的一元积分进行计算。
二、二重积分在实际问题中的应用二重积分在各个领域中都有广泛的应用，下面将介绍二重积分在物理学和经济学中的一些具体应用。
1. 物理学中的应用在物理学中，二重积分可以应用于计算质心、质量、转动惯量等物理量。
例如，计算平面上杂质浓度分布可以利用二重积分来求解。
通过将杂质浓度表示为函数f(x, y)，然后计算其在给定区域上的二重积分，就可以得到平均浓度。
二重积分的计算方法与应用
二重积分的计算方法与应用二重积分是微积分中的一个重要概念，用于计算平面区域上的某一函数在该区域上的总体积量。
在本文中，我们将介绍二重积分的计算方法与应用。
首先，我们将讨论二重积分的基本概念和计算方法。
假设有一个平面区域D，可以用一个闭合曲线C来描述。
我们将函数f(x, y)定义在区域D内的每一个点上，并且假设f(x, y)在D上连续。
那么在D上的二重积分可以表示为：∬D f(x, y) dA其中，dA表示面积元素，其大小等于dxdy。
要计算二重积分，我们可以将区域D划分成许多小的面积元素，然后对每个面积元素上的函数值进行加权求和。
通常可以使用二重积分的累次积分形式来计算，可以按顺序进行x方向的积分，然后再进行y方向的积分。
在具体计算二重积分时，可以根据问题的特点选择不同的计算方法。
下面介绍常见的二重积分计算方法：1. 矩形坐标系下的二重积分：在矩形坐标系下，将区域D投影到xy平面上，可以得到一个矩形R。
这时，二重积分可以转化为对两个变量的累次积分，其中外层积分表示对x的积分，内层积分表示对y的积分。
通过对x和y的积分限进行适当选择，可以将二重积分转化为两个定积分的计算。
2. 极坐标系下的二重积分：在某些问题中，使用极坐标系进行二重积分计算可以更加简洁。
通过将区域D在极坐标系下的表示，可以将二重积分转化为对极坐标下的两个变量的累次积分。
在计算时，可以通过选择适当的极坐标系下的积分限来简化计算过程。
3. 对称性的利用：在某些问题中，可以利用区域D的对称性简化二重积分的计算。
通过观察函数f(x, y)的对称性，可以改变积分限或者变量的顺序，从而简化计算的过程。
接下来，我们将讨论二重积分在实际问题中的应用。
1. 面积与质量：二重积分可以用来计算平面区域的面积。
将函数f(x, y)设为1，即可得到区域D的面积。
此外，如果区域D上的密度函数为ρ(x, y)，那么通过计算二重积分∬D ρ(x, y) dA，可以得到区域D的质量。
二重积分的解法技巧及应用研究
二重积分的解法技巧及应用研究摘要二重积分是多元函数积分学中的一部分，而二重积分的概念和解法技巧是多元函数微积分学的重要部分，二重积分是联系其他多元函数积分学内容的中心环节，故而它也是核心。
二重积分在多元函数积分学中有重要的作用，深入理解二重积分的概念，熟练掌握二重积分的计算方法，是学好多元函数积分学的关键。
本文主要研究的是二重积分的解法技巧，对于二重积分的解法主要利用在直角坐标系下求解，极坐标的方法，积分次序的交换与坐标系的转换的方法，选择适当的积分次序求二重积分，用适当方法计算二重积分（奇偶性，周期性等）的计算技巧。
本文首先主要介绍二重积分的概念以及性质；其次介绍二重积分的解法技巧；最后主要根据二重积分的概念和性质，给出实例分析二重积分在物理、经济以及工程上的一些应用问题。
二重积分是《数学分析》中的重要内容，它涉及到多个学科领域，并且起着至关重要的作用，在计算过程中通常寻求更好的解题技巧，从而在实际应用中获得更高的效率。
关键词：二重积分；性质；解法技巧；应用研究Double integral solution techniques and application researchAbstractThe double integral is part of a multivariate function in integral calculus. The concept of double integrals and the techniques of solutions are an important part of multi-variate calculus.The double integral is the center link with other multivariate function integration of content.Therefore ,it is also the core. The double integral is important in multivariate integral calculus. Understanding the concept of double integral and mastering the double integral calculation method are the key to learn the multivariate function in integral calculus.This paper mainly studies the solutions for double integral and application research.Dou- ble integral to the solution of the main use is solved in the Cartesian coordinate system, polar coordinates method, method of integral order exchange and coordinate system, selecting the integral order appropriate for calculation of double integral, double integral with the appropri- ate method (parity, periodic etc.) on the computational techniques.Firstly,this paper introduces the concept and properties of double integral solution skill; Secondly,it introduces the introdu- ction of double integral; finally, according to the concept and nature of the double integral, it gives examples to analyze some application problems in physics, economics and engineering of the double integral.The double integral is the important content of "mathematical analysis", which involves many fields and plays a vital role. we often seek better problem-solving skills in the process of calculation, so as to gain higher efficiency in practical application.Keywords:double integral; properties; solution techniques; application research目录引言 (1)第1章二重积分的概念与性质........................................... - 2 -1.1二重积分的概念...................................................... - 2 -1.2二重积分的性质...................................................... - 6 -第2章二重积分的解法技巧.............................................. - 7 -2.1计算二重积分的方法步骤.............................................. - 7 -2.2直角坐标中下二重积分的计算 .......................................... - 7 -2.3特殊类型的二重积分解题技巧.......................................... - 8 -2.4极坐标系下计算二重积分............................................. - 11 -2.5用变量替换计算二重积分............................................. - 12 -2.6无界区域上的二重积分............................................... - 13 -第3章二重积分的应用研究............................................ - 14 -3.1物理上应用研究..................................................... - 14 -3.2经济上的应用....................................................... - 16 -3.3工程力学上的应用 ................................................... - 18 -结论与展望 ............................................................ - 22 -致谢 ................................................................ - 23 -参考文献 .............................................................. - 24 -附录 .................................................................. - 25 -附录A外文文献及翻译 ................................................. - 25 -附录B 主要参考文献的题录及摘要 ....................................... - 33 -插图清单图1-1 直线网图 (3)图1-2 曲顶柱体图 (5)图1-3 曲顶柱体分割图 (5)引言目前，关于二重积分方面的讨论非常活跃，随着二重积分的不断发展与创新，为使二重积分在各个学科领域中得到更广泛的应用，还得继续探讨与研究。
二重积分的金融和经济学应用
二重积分的金融和经济学应用在金融和经济学领域，二重积分是一个重要的工具，用于计算和预测各种变量。
二重积分的基本思想是将一个二元函数f(x,y)在某一区域内进行积分，可以得到该区域内f(x,y)的总体积。
在这篇文章中，我们将探讨二重积分在金融和经济学领域的应用。
第一部分：金融学中的二重积分应用在金融学中，二重积分被广泛用于计算和预测各种变量，从资产负债表到风险管理。
一个经典的例子是VaR，即Value at Risk。
VaR用于衡量一个投资组合在一段时间内可能遭受的最大亏损。
VaR的计算需要对投资组合中每个证券的价格和数量进行估算，然后将它们汇总，将众多证券汇总成一个整体，计算容易出现精度问题。
这时，二重积分就可以派上用场了。
我们可以将VaR问题视为将一个整个投资组合中的各个证券数据的二元函数统一起来，并对整个函数进行积分。
这个函数的x轴代表价格，而y轴代表数量。
对于每个证券，我们可以将其价格变量作为x轴，将其数量变量作为y轴。
然后，我们将这些函数整合起来，得到一整个投资组合的函数，并对其进行积分。
通过对这个函数进行积分，我们可以得到整个投资组合可能的最大亏损。
这个方法在金融学领域中得到了广泛应用，并成为了衡量投资组合风险的标准方法之一。
第二部分：经济学中的二重积分应用在大量的经济学理论中，二重积分也是一个重要的工具，用于计算和预测各种变量，从商品价格到生产效率。
例如，在博弈论中，二重积分被广泛用于计算均衡价格。
博弈论是一个描述人类决策行为和计算机策略的领域，它广泛应用于经济学和金融学中。
在博弈论中，人们通常需要计算一个0和1之间的策略值，这个策略值代表了每个参与者采取不同策略的预期收益。
二重积分在这里的应用场景是将价格和量作为x轴和y轴，分别绘制两个物品的市场需求曲线。
然后，用一个函数来表示两个市场需求曲线的交点。
在这个函数里，x是第一个物品的价格，y是第二个物品的价格。
将这个函数进行积分，我们就可以计算出各个参与者采取不同策略的收益。
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This paper gives the concept and nature of the double integral, on the basis of summing up the seven mon calculation method of double integral and calculation skills:usingdirect coordinate system to calculate, using variable replacement methodto calculate, using the polar coordinateto calculate, usingfunction and regional symmetrytocalculate, using the parity of green formulato calculate, using the method of rotationtocalculate, using the geometric meaning of double integraltocalculate, also studieson some practical problems about thedouble integralsuch asphysical mechanics, calculation of three-dimensional volume, surface area calculation, the calculation of curvilinear integral and surface integral.
在有些应用当中，我们会遇到一些二重积分基本运算问题，即在给定的被积函数和积分区域比较特殊时，计算二重积分，此时计算量就会很大.因此，不断寻找简便的算法便成为二重积分运算方面的重要课题.
1.3研究现状
采用层进式教学法可以数学的重点，也是难点，计算较为繁琐，有的二重积分需要一定的技巧才能求出，二重积分的计算方法主要是在极坐标系和直角坐标系下将二重积分化为二次积分，进而要利用两次定积分计算此二重积分，但是某些二重积分化为二次积分后计算仍相当困难，这时，我们就要采用特殊的算法计算[5].
此时通常把 记作 .
二重积分具有一系列与定积分完全相类似的性质，现列举如下：
性质1若 在区域 上可积， 为常数，则 在 上也可积，且
.
性质2若 在 上都可积，则 在 上也可积，且
.
性质3若 在 和 上都可积，且 与 无公共点，则 在 上也可积，且
.
性质4若 在 上可积，且 ，则
.
性质5若 在 上可积，则函数 在 上也可积，且
定理1设 在矩形区域 上可积，且对每个 ，积分 存在，则累次积分 也存在，且
.
定理2设 在矩形区域 上可积，且对每个 ，积分 存在，则累次积分 也存在，且
.
定理3设有界闭区域 是由两条交合曲线 与 ， 且 ，以及直线 与 所围成，若函数 在 上连续，则有 .
定理4设有界闭区域 是由两条交合曲线 与 ， 且 以及直线 与 所围成，若函数 在 上连续，则有
.
性质6若 在 上可积，且 ，则
这里 是积分区域 的面积.
性质7(中值定理)若 在有界闭区域 上连续，则存在 ，使得
这里 是积分区域 的面积.
中值定理的几何意义是以 为底， 为曲顶的曲顶柱体体积等于一个同底的平顶柱体的体积，这个平顶柱体的高等于 在区域 中某点 的函数值 .
2.2利用直角坐标系计算二重积分
.
例1计算二重积分 ，其中区域 是由直线 ， 和双曲线 所围成.
解 ：先对 积分后对 积分，将 积分在 轴上，在区间 ，对任意 ，对 积分，在 的积分顺序是 到 ，然后在积分区间 上对 积分，即 .
同理，如果先对 积分后对 积分，也可得到相应结果.
若给定的积分为二次积分，但它不能用初等函数形式表示出来或者积分的计算量较大，可考虑交换积分次序，其一般步骤为：（1）先根据给定的二次积分限，写出积分区域的不等式表达式，并依此作出区域的图形；(2)根据区域的图形，重新选择积分限，化为另一种类型的二重积分.特别地，若积分被积函数中出现 ， ， ， 等函数时，也可利用分部积分法来计算[6].
..
本科生毕业论文
论文题目：二重积分的计算与应用研究
作者：甘泉
院系：数理学院
专业：数学与应用数学
班级：201003
指导教师：春潮
2014年5月8日
Huanggang Normal University
Thesis Graduates
Topic：DoubleIntegralCalculation andIts Application
，（1）
则称 在 上可积，数 称为函数 在 上的二重积分，记作
，
其中 称为二重积分的被积函数， ， 称为积分变量， 称为积分区域.
当 时，二重积分 在几何上就表示以 为曲顶， 为底的曲顶柱体的体积.当 时，二重积分 的值就等于积分区域 的面积.
由二重积分定义知道，若 在区域 上可积，则与定积分情况一样，对任何分割 ，只要当 时，（1）式都成立.因此为方便计算起见，常选取一些特殊的分割方法，如选用平行于坐标轴的直线网来分割 ，则每一小网眼区域 的面积 .
关键词：二重积分；计算方法；计算技巧；应用
Abstract
The double integral is widely used in practice, the double integral can be used to solve the three-dimensional volume and surface area. In mechanics, the double integral also has an irreplaceable role.
例2设 是由直线 及 围成的区域，试计算： 的值.
解 ：若用先对 后对 的积分，则
.
由于函数 的原函数无法用初等函数形式表示，因此改用另一种顺序的累次积分，则有 .由分部积分法，即可算得：
.
许多常见的区域都可以分解成为有限个除边界外无公共点的 型区域或 型区域.因而解决了 型区域或 型区域上二重积分的计算问题，那么一般区域上二重积分的计算问题也就得到了解决.
Author：GANQuan
College：College of Mathematics andPhysics
Specialty：Mathematics and Applied Mathematics
Class：201003
Tutor：LIU Chunchao
May8th,2014
重声明
本人所呈交的毕业论文（设计）是本人在指导教师春潮的指导下独立研究并完成的．除了文中特别加以标注引用的容外，没有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规和侵权行为，本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担．
定理5设 在有界闭区域 上可积，变换 ， 将 平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域 一对一地映成 平面上的闭区域 ，函数 ， 在 分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式 ， 则 .
例4求 ，其中 是由 ， ， 所围区域.
解：为了简化被积函数，令 ， ，为此作变换 ， ，则 ，在变换 的作用下，
.
例5求抛物线 ， 和直线 ， 所围成区域 的面积 ， .
本课题最终将达到的目标：根据被积函数和积分区域的特点选择简便的计算方法；利用二重积分的一些性质来解决实际问题.
第2章 二重积分的基本计
2.1二重积分的定义
设 是定义在可求面积的有界闭区域 上的函数， 是一个确定的数，若对任给的正数 ，总存在某个正数 ，使对于 的任何分割 ，当它的细度 < 时，属于 的所有积分和都有
特此重声明！
指导老师（手写签名）：
论文作者（手写签名）：
2014年5月8日
摘要
二重积分在现实中有着广泛的应用，二重积分可用于求解空间立体体积和曲面面积。在物理力学中，二重积分也有着不可代替的作用。
本文给出二重积分的概念及基本性质，在此基础上总结了二重积分的七种比较常见的计算方法与计算技巧：利用直接坐标系计算、利用变量特换法计算、利用极坐标系计算、利用函数的奇偶性和区域对称性计算、利用格林公式计算、利用轮换法计算、利用二重积分的几何意义计算，还研究了一些二重积分在物理力学、计算空间立体体积、计算曲面面积、计算曲线积分和曲面积分等方面的应用问题。
Key words:double integral；putational methods；putational skills；application
第
1
二重积分是《数学分析》中的重要容，它上承接着定积分，下引出三重积分和曲线积分、曲面积分.它在几何、物理、经济学等多个科学都有极其广泛的应用.函数的二重积分是《数学分析》中的重要容，它涉及到多个科学领域，并起着至关重要的作用.然而在计算函数二重积分的过程中，由于计算和函数比较繁琐，因此按照二重积分的定义计算二重积分有很大的局限[1].计算机的广泛应用，特别是MATLAB等数学计算软件的迅猛普及为二重积分的发展和应用开辟了广阔的前景.然而计算函数二重积分往往比较复杂和繁琐，因此，研究二重积分的计算不仅很有必要，而且不断寻找简便的算法仍然是二重积计算方面的重要课题[2].
然而计算函数二重积分往往比较复杂和繁琐因此研究二重积分的计算不仅很有必要而且不断寻找简便的算法仍然是二重积计算方面的重要课题对于二重积分的应用主要体现在求曲线积分曲面积分曲面面积和物理学中的一些平面薄板的重心坐标转动惯量以及对质点的引力等问题利用二重积分可以巧妙解决这些问题因此二重积分的计算与应用在物理学当中尤其是在数学分析里是一门不可缺少的重要知识12选题意义二重积分的计算和应用研究在高等数学研究中具有重要意义对于二重积分的研究不仅仅体现在理论上与其相关的几何模型和物理模型也在被讨论研究