计算机图形学 第三章 变换与裁剪
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图形变换与裁剪课件
错切变换是指图形在水平或垂直方向上倾斜，产生错位效果。
总结词
错切变换常用于创建倾斜角度或斜切效果，使图形更加生动和富有动态感。在计算机图形学中，错切变换可以通过应用错切矩阵运算来实现。
详细描述
03
CHAPTER
图形裁剪技术
基本裁剪方法
总结词
窗口裁剪是最基本的裁剪方法，通过定义一个矩形窗口，只显示窗口内的部分图形。
图形变换与裁剪课件
目录
图形变换基础图形变换技术图形裁剪技术图形变换与裁剪的实践应用图形变换与裁剪的优化技巧案例分析
01
CHAPTER
图形变换基础
01
02
图形变换在计算机图形学中广泛应用于图像处理、动画制作、游戏开发等领域。
图形变换是指对图形进行旋转、平移、缩放、镜像等操作，以改变图形的位置、大小和方向。
交互设计
通过图形变换和裁剪技术，实现虚拟现实和增强现实的实时跟踪，提高虚拟物体的真实感和动态效果。
实时跟踪
05
CHAPTER
图形变换与裁剪的优化技巧
在图形处理中，尽量减少不必要的变换操作，特别是那些不会改变图像内容的变换。
减少不必要的变换
选择高效的变换算法，如矩阵乘法、仿射变换
01
02
03
04
绕某一点旋转图形。
沿某方向移动图形。
改变图形的大小。
以某轴为对称轴翻转图形。
02
CHAPTER
图形变换技术
总结词
平移变换是指图形在水平或垂直方向上移动而不发生旋转或缩放。
详细描述
平移变换通常用于调整图形位置，使其符合特定的布局或设计需求。在计算机图形学中，平移变换通常通过在图形数据的坐标系中添加一个偏移量来实现。
总结词
错切变换常用于创建倾斜角度或斜切效果，使图形更加生动和富有动态感。在计算机图形学中，错切变换可以通过应用错切矩阵运算来实现。
详细描述
03
CHAPTER
图形裁剪技术
基本裁剪方法
总结词
窗口裁剪是最基本的裁剪方法，通过定义一个矩形窗口，只显示窗口内的部分图形。
图形变换与裁剪课件
目录
图形变换基础图形变换技术图形裁剪技术图形变换与裁剪的实践应用图形变换与裁剪的优化技巧案例分析
01
CHAPTER
图形变换基础
01
02
图形变换在计算机图形学中广泛应用于图像处理、动画制作、游戏开发等领域。
图形变换是指对图形进行旋转、平移、缩放、镜像等操作，以改变图形的位置、大小和方向。
交互设计
通过图形变换和裁剪技术，实现虚拟现实和增强现实的实时跟踪，提高虚拟物体的真实感和动态效果。
实时跟踪
05
CHAPTER
图形变换与裁剪的优化技巧
在图形处理中，尽量减少不必要的变换操作，特别是那些不会改变图像内容的变换。
减少不必要的变换
选择高效的变换算法，如矩阵乘法、仿射变换
01
02
03
04
绕某一点旋转图形。
沿某方向移动图形。
改变图形的大小。
以某轴为对称轴翻转图形。
02
CHAPTER
图形变换技术
总结词
平移变换是指图形在水平或垂直方向上移动而不发生旋转或缩放。
详细描述
平移变换通常用于调整图形位置，使其符合特定的布局或设计需求。在计算机图形学中，平移变换通常通过在图形数据的坐标系中添加一个偏移量来实现。
计算机图形学-二维图形变换与裁剪ppt课件
18
基本几何变换——比例变换
比例变换是指对P点相对于坐标原点沿x方向放 缩Sx倍，沿y方向放缩Sy倍。 其中Sx和Sy称为比例系数。
Y
P'(4,3) P(2,1)
X
比例变换(Sx=2,Sy=3)
以坐标原点为缩放参照点 不仅改变了物体的大小和形状，也改变了位置(离原点的距离 )
19
基本几何变换——比例变换
21
基本几何变换——旋转变换
二维旋转是指将p点绕坐标原点转动某个角度 （逆时针为正，顺时针为负）得到新的点p’ 的重定位过程。
P' r θ r
α
图 旋转变换
22
Y
P X
基本几何变换——旋转变换
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P' r P X
推导: α x r cos y r sin 极坐标: 逆时针旋转θ 角
P P T
27
规范化齐次坐标——平移变换矩阵
平移：
x 'y ' x y T xT y
1 0 0 x' y' 1x y 1 0 1 0 T T 1 x y
28
规范化齐次坐标——比例变换矩阵
比例:
S 0 x x ' y ' x y 0 S y
16
基本几何变换——平移变换
平移 将P点从一个坐标位置 移到另一个坐标位置的 重定位过程。
T P Tx
P' Ty
Y
X
图 平移变换
17
基本几何变换——平移变换
推导：
x' x Tx y ' y Ty
基本几何变换——比例变换
比例变换是指对P点相对于坐标原点沿x方向放 缩Sx倍，沿y方向放缩Sy倍。 其中Sx和Sy称为比例系数。
Y
P'(4,3) P(2,1)
X
比例变换(Sx=2,Sy=3)
以坐标原点为缩放参照点 不仅改变了物体的大小和形状，也改变了位置(离原点的距离 )
19
基本几何变换——比例变换
21
基本几何变换——旋转变换
二维旋转是指将p点绕坐标原点转动某个角度 （逆时针为正，顺时针为负）得到新的点p’ 的重定位过程。
P' r θ r
α
图 旋转变换
22
Y
P X
基本几何变换——旋转变换
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P' r P X
推导: α x r cos y r sin 极坐标: 逆时针旋转θ 角
P P T
27
规范化齐次坐标——平移变换矩阵
平移：
x 'y ' x y T xT y
1 0 0 x' y' 1x y 1 0 1 0 T T 1 x y
28
规范化齐次坐标——比例变换矩阵
比例:
S 0 x x ' y ' x y 0 S y
16
基本几何变换——平移变换
平移 将P点从一个坐标位置 移到另一个坐标位置的 重定位过程。
T P Tx
P' Ty
Y
X
图 平移变换
17
基本几何变换——平移变换
推导：
x' x Tx y ' y Ty
计算机图形学-变换
1
第3章 变换
基本的二维几何变换 二维复合变换 其他二维变换 三维几何变换 OpenGL几何变换函数 三维图形的显示流程 投影 裁剪
2
几何变换
应用于对象几何描述并改变它的位置、方 向或大小的操作称为几何变换（geometric transformation） 基本的二维几何变换包括平移、旋转和缩 放
8
矩阵表示和齐次坐标
许多图形应用涉及到几何变换的顺序 需要用一个通式来表示平移、旋转和缩放
P M1 P M 2
将2×2矩阵扩充为3×3矩阵，可以把二维几 何变换的乘法和平移项组合为单一矩阵表示
9
二维平移矩阵
x 1 0 t x x y 0 1 t y y 1 0 0 1 1
三维坐标轴旋转
X轴坐标不变，循环替代x、y、z三个 轴可以得到绕x轴旋转的公式
z
y ' y cos z sin
y
z ' y sin z cos x' x
x
35
三维坐标轴旋转
y轴坐标不变，循环替代x、y、z三个 轴可以得到绕y轴旋转的公式
x
z
y
z ' z cos x sin x' z sin x cos y' y
glMatrixMode (GL_MODELVIEW); glColor3f (0.0, 0.0, 1.0); glRecti (50, 100, 200, 150); //显示蓝色矩形
glColor3f (1.0, 0.0, 0.0); glTranslatef (-200.0, -50.0, 0.0); glRecti (50, 100, 200, 150); //显示红色、平移后矩形
第3章 变换
基本的二维几何变换 二维复合变换 其他二维变换 三维几何变换 OpenGL几何变换函数 三维图形的显示流程 投影 裁剪
2
几何变换
应用于对象几何描述并改变它的位置、方 向或大小的操作称为几何变换（geometric transformation） 基本的二维几何变换包括平移、旋转和缩 放
8
矩阵表示和齐次坐标
许多图形应用涉及到几何变换的顺序 需要用一个通式来表示平移、旋转和缩放
P M1 P M 2
将2×2矩阵扩充为3×3矩阵，可以把二维几 何变换的乘法和平移项组合为单一矩阵表示
9
二维平移矩阵
x 1 0 t x x y 0 1 t y y 1 0 0 1 1
三维坐标轴旋转
X轴坐标不变，循环替代x、y、z三个 轴可以得到绕x轴旋转的公式
z
y ' y cos z sin
y
z ' y sin z cos x' x
x
35
三维坐标轴旋转
y轴坐标不变，循环替代x、y、z三个 轴可以得到绕y轴旋转的公式
x
z
y
z ' z cos x sin x' z sin x cos y' y
glMatrixMode (GL_MODELVIEW); glColor3f (0.0, 0.0, 1.0); glRecti (50, 100, 200, 150); //显示蓝色矩形
glColor3f (1.0, 0.0, 0.0); glTranslatef (-200.0, -50.0, 0.0); glRecti (50, 100, 200, 150); //显示红色、平移后矩形
计算机图形学ppt课件 第三章图形变换与输出
变换的数学基础
矩阵的含义 矩阵：由m×n个数按一定位置排列的一个
整体，简称m×n矩阵。
a 11 a 12 ... a 1 n
A=
a
21
a
22
...
a 2n
... ...
...
a
m
1
am2
...
a mn
其中，aij称为矩阵A的第i行第j列元素
变换的数学基础
矩阵运算 加法 设A，B为两个具有相同行和列元素的矩阵
p' p.T (xr , yr )
p'' p'.R( )
p''' p''.T (xr , yr )
（3.4） （3.5） （3.6）
将式(3.4)(3.5)代入(3.6)得
p ''' p . T ( x r , y r ) R ( .) T ( . x r ,y r )
令 T c T ( x r, y r)R ( .)T ( .x r .y r) p''' p.Tc
矩阵的乘法不适合交换律
齐次坐标
所谓齐次坐标表示法就是由n+1维向量表示
一个n维向量。如n维向量(P1,P2, … ,Pn)表示
为（hP1,hP2,hPn,h），其中h称为哑坐标。 1、h可以取不同的值，所以同一点的齐次 坐标不是唯一的。 如普通坐标系下的点（2,3）变换为齐次坐标 可以是(1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3)等等。 2、 普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多” 由普通坐标h→齐次坐标 由齐次坐标÷h→普通坐标 3、 当h=1时产生的齐次坐标称为“规格化 坐标”，因为前n个坐标就是普通坐标系下 的n维坐标。
图形变换与裁剪ppt课件
1.齐次坐标技术的引入
平移、比例和旋转等变换的组合变换
处理形式不统一，将很难把它们级联在一起。 2.变换具有统一表示形式的优点
– 便于变换合成 – 便于硬件实现
3.齐次坐标技术的基本思想
把一个n维空间中的几何问题转换到n+1维空间中解决
4.齐次坐标表示
( x ,x ,..., x ) 1 2 n
有n个分量的向量
x
相对于原点的比例变换
y
几何关系
x' x S x y' y S y 矩阵形式
（5-9）
重心
S 0 x y x x y 0 S （5-10） y
x
相对于重心的比例变换
比例变换的性质
当 Sx Sy 时，变换前的图形与变换后的图形相似
( x , x ,..., x , ) 1 2 n
有n+1个分量的向量 哑元或标量因子
( x , x ,..., x , ) 1 2 n
( x / , x / ,..., x / ) 1 2 n
齐次坐标表示不是唯一的
1 规格化的齐次坐标
5.基本几何变换的齐次坐标表示
图形变换与裁剪
5.1 窗口视图变换
1.窗口和视图区 用户坐标系（world coordinate system，简称 WCS） 设备坐标系（device coordinate system，简称 DCS） 窗口区（window） 视图区（viewport）
2.窗口到视图区的变换
窗口区与视图区间的映射关系： 窗口区中的任一点(x w , y w) 与视图区中的任一点(x v , y v) 存
x 'x cos ysin （5-13） y 'x sin ycos cos sin （5-14） x y xy 矩阵形式 sin cos
变换与裁剪
记为：T(tx , ty)
计算机图形学 福建师范大学
二维几何变换
• 旋转变换(rotation transformation)
–如
– 点P(x, y)的极坐标表示 （r为P 到原点的距离） x r cos y r sin – 绕坐标原点（称为参照点，基准点）旋转角度θ （逆时针为正，顺时针为负） x' r cos( ) y' r sin( )
S s
x
s
y
s
z
• 矢量和
ux v x U V uy v y uz v z
计算机图形学
福建师范大学
数学基础
• 矢量的数乘
kux k U ku y kuz
• 矢量的点积
– 运算 U V ux v x uy v y uz vz
– 放缩变换具有可乘性
S( s x2 , s y2 ) S( s x1 , s y1 ) S( s x1 s x2 , s y1 s y2 )
计算机图形学
福建师范大学
齐次坐标
• 逆变换
– 逆平移变换：正平移距离tx，ty
1 0 t x T 0 1 t y 0 0 1
l 1 n
• 性质：结合律和分配律（不满足交换律）
计算机图形学 福建师范大学
数学基础
• 矩阵（续）
– 矩阵的转臵
a11 a12 a1n a a 22 a 2 n A 21 a m1 a m 2 a mn a11 a 21 a m1 a a 22 a m 2 AT 12 a1n a 2 n a mn
计算机图形学之裁剪算法
窗口特别小的场合。
2、中点裁剪法
中点分割裁剪法是将Cohen-Sutherland 算法中求线段与窗口边界的交点的过程用折 半查找（即求中点）的方法来代替。仍然采 用对线段端点进行编码的方式判断完全可见 和显然完全不可见的线段，对于与窗口有交 点的线段，该算法分别求离两个端点最近 （或最远）的可见点。这两个可见点之间的 线段即是原线段的可见部分。
计算P1P2的最近可见点Pma和 Pmb ： （一）直线段P1P2的一个端点可见， P1 另一个端点不可见。 只需解算不可见端点的最近的 可见点。 1）设P1不可见，计算P1P2的中点Pm1。
P1
pm
P2
P2
判断中点Pm1如果落在（接近）窗口边上，则 确定该中点为最近可见点。裁剪结束。否则，
2）判断Pm1是否可见： 如果Pm1可见，以Pm1取代P2 ，返回到 1）计算 P1Pm1的中点Pm2，判断Pm2 如果Pm1不可见，以Pm1取代P1 ，返回到 1）计 算Pm1P2的中点Pm2，判断Pm2
关键： 根据多边形的边表，逐 次对每一段边与裁剪线 (窗口边直线)比较，判 别输入顶点的个数和坐 标，并联结成封闭多边 形。
不可见侧
2
多边形边与裁剪线相对位置的四种
情况与处理方法： (1) 位于可见一侧：输出终点作 为新多边形顶点 (2) 位于不可见一侧：不输出 (3) 由可见到不可见：输出与裁剪
P2
两种线段裁剪算法的比较
Cohen-Sutherland算法是最早的、使用最广泛的线
段裁剪算法之一。在裁剪窗口很大，大部分线段完全
可见，或裁剪窗口很小，大部分线段完全不可见的情 况下，该算法特别有效；在一般情况下，该算法有时 要做不必要的求交运算，因而效率不是太高.
计算机图形学的裁剪算法
计算机图形学的裁剪算法
计算机图形学的裁剪算法是图形学的一种重要算法，它的基本思想是将一个完整的几何图形（如线段、多边形、圆圈等）按照指定的裁剪窗口（矩形）进行裁剪，只保留在窗口内的部分，而把窗口外的部分抛弃掉。
由于裁剪算法的应用非常广泛，像图形显示系统、图形设备接口（GDI）和图形处理器（GPU）等都广泛使用裁剪算法。
计算机图形学的裁剪算法可以分为两种：2D裁剪算法和
3D裁剪算法。
2D裁剪算法是基于二维空间的，它将一个几何
图形投影到一个平面上，然后按照指定的窗口裁剪；而3D裁
剪算法是基于三维空间的，它将一个几何图形投影到一个三维空间，然后按照指定的窗口裁剪。
2D裁剪算法的基本步骤如下：首先，将要裁剪的几何图
形投影到平面上；其次，计算出投影后的几何图形以及裁剪窗口之间的交点；最后，将裁剪窗口内的部分保留，而把窗口外的部分抛弃掉。
3D裁剪算法的基本步骤如下：首先，将要裁剪的几何图
形投影到三维空间；其次，计算出投影后的几何图形以及裁剪窗口之间的交点；最后，将裁剪窗口内的部分保留，而把窗口外的部分抛弃掉。
计算机图形学的裁剪算法在图形处理中有着重要的作用，它不仅能够有效减少图形处理时间，而且还可以节约存储空间。
此外，它还可以有效提高图形处理效率，提高图形显示效果。
但是，它也存在着一定的局限性，比如，当几何图形的运动变得复杂时，它就会变得费时费力，这就对性能产生了一定的影响。
总之，计算机图形学的裁剪算法是图形学的重要算法，它的应用非常广泛，在图形处理中有着重要的作用。
虽然它也存在着一定的局限性，但是它仍然是一种有效的图形处理算法。
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刚体 变换
仿射 变换
17
例1：复合平移
求点P(x,y)经第一次平移变换（Tx1,Ty1），第二次平 移变换（Tx2,Ty2）后的坐标P*（x*, y*） 解：设点 P(x,y,1) 经第一次平移变换后的坐标为 P(x y 1)，则 1 0 0
P' x' y ' 1 x y 1 0 1 T x1 T y1 0 x 1 y 1Tt1
3、将坐标系平移 x * 回原来的原点 4、因此变换矩阵：
y * 1 x2
y2
M T x f , y f T ( ) T x f , y f
20
内容
二维变换 三维变换
场景坐标系和造型变换 视点坐标系和取景变换 投影坐标系和投影变换 屏幕坐标系和设备变换
局部坐标系可以简化物体的定义 物体=｛标准体素，变换｝
造型变换：
物体从局部坐标系到世界坐标系的变换 三维线性和非线性变换
33
三维模型变换：平移
三维平移T：三维点P(x,y,z)移动(tx,ty,tz)后， 得到点P'(x',y',z')
x 1 y 0 z 0 1 0 0 1 0 0 0 t x x 0 t y y 1 t z z 0 1 1
34
三维模型变换：放缩
y 1T x f , y f
x2
y2 1 x1 y1
cos sin 0 1 sin cos 0 x1 y1 1T 0 0 1
1 1 0 x f 0 1 yf 0 0 x2 1 y2 1T x f , yf
采用齐次坐标: (x, y) (x, y, 1)
O
X
x 1 0 t x x y 0 1 t y y 1 0 0 1 1
9
二维旋转
将点P(x,y)绕坐标原点按逆时针旋转角
Y
(x',y')
关于X轴的对称变换
(-x,y)
(-x,-y)
O
(x,y) X (x,-y)
x 1 0 0 x y 0 1 0 y 1 0 0 1 1
关于坐标原点的对称变换
x 1 0 0 x y 0 1 0 y 1 0 0 1 1
齐次坐标表示点的优势
防止浮点数溢出 矩阵变换的统一表示
8
二维平移
二维点P(x,y)移动(tx,ty)后，得到点P'(x', y')
Y (x',y') (x,y)
x ' 1 0 x t x t y ' 0 1 y y
二维显示
坐标系：窗口坐标系、规格化设备坐标系与 屏幕的物理坐标系 变换：设备变换、视窗变换
31
三维变换流程图
局部坐标系
造型变换
世界坐标系
取景变换
视点坐标系
投影变换
图像坐标系
设备变换
规格化设备 坐标系
视窗变换
屏幕坐标系
32
场景坐标系和模型变换
几何场景建立于世界坐标系中 场景中的具体物体与局部坐标系相联系
x=X/ y=Y/
3、当h=1时产生的齐次坐标称为“规格化坐 标”，因为前n个坐标就是普通坐标系下的n维 坐标。
6
齐次坐标
(x,y)点对应的齐次坐标为 ( xh , yh , h) xh hx, yh hy, h 0
(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条 直线
xh hx y h hy z h h
先旋转，再(非等比例)放缩
先(非等比例)放缩，再旋转
15
复合二维变换
二维变换不具有交换性
先平移，再旋转
先旋转，再平移
16
复合二维变换
上述变换的组合可以得到特殊的二维变换
刚体变换
可以分解为：平移和旋转的组合 物体的形状没有变化，位置和方位有变化
仿射变换
可以分解为：平移、旋转和放缩的组合 保持点的共线性、长度的比例＝>平行线
经第二次平移变换后的坐标为P*(x* y* 1)
1 P * x * y * 1 x' y ' 1 0 T x2 1 0 0 1 0 x y 1 0 1 0 0 1 T x1 Ty1 1 Tx 2 Ty 2 0 1 Ty 2 0 0 1 y 1Tt1Tt 2
U VN
得到两个向量 U=(Ux,Uy,Uz) 和V=(Vx,Vy,Vz)， 然后单位化。
28
视点坐标系的交互建立
四个矢量C、U、V、N组成了视点坐标系 由世界坐标系到视点坐标系的取景变换：
u U x v Vx n Nx 1 0
29
三维变换的基本概念
场景造型：
场景坐标系：世界坐标系、局部坐标系 变换：造型变换
放置虚拟照相机
坐标系：视点坐标系(虚拟照相机的位置、朝 向以及向上的方向) 变换：取景变换 (在视域四棱锥进行裁剪和背 面剔除 )
30
三维变换的基本概念
投影(照相、摄影)：
坐标系：投影坐标系和窗口坐标系 变换：投影变换
0 x 0 y 1 1
(1) 变换过程中, y坐标保持不变,而x坐标值发生线性变化;
(2) 平行于X轴的线段变换后仍平行于X轴，平行于Y轴的线段变换 后错切成与Y轴成固定角的直线
12
对称变换
Y
x 1 0 0 x y 0 1 0 y 1 0 0 1 1
7
齐次坐标的作用
1. 将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵 运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐 标系变换到另一坐标系的有效方法。 2. 便于表示无穷远点。 例如：（x h, y h, h)，令h等于0 3. 齐次坐标变换矩阵形式把直线变换成直线段，平面变 换成平面，多边形变换成多边形，多面体变换成多面 体。(图形拓扑关系保持不变） 4. 变换具有统一表示形式的优点 便于变换合成,便于硬件实现
26
4、视点坐标系
视点坐标系定义于世界坐标系中； 其过程类似于拍照片：
照相机镜头的朝向N：视线方向 照相机的位置C UP方向
27
视点坐标系的交互建立
坐标原点C=(Cx,Cy,Cz)：相机的位置 单位向量N=(Nx,Ny,Nz)：镜头的朝向 与N不平行的向量UP：
N UP V N UP
裁剪
21
三维变换的基本概念
三维变换可以看作照相过程模拟，即如何将场景中的三 维几何物体变换到二维屏幕上
22
三维变换中的各种坐标系
23
坐标系
24
例如，对显示器而言，分辨率就是其设备的坐标系的界限范围。
25
3 规格化设备坐标系 用于用户的图形是定义在用户坐标系里， 而图形的输出定义在设备坐标系里，它依赖于 基体的图形设备。由于不同的图形设备有不同 的设备坐标系，且不同设备间坐标范围也不尽 相同， 例如：分辨率为1024*768的显示器其屏幕坐标的 范围：x方向为0~1023，y方向为0~767，分辨 率为640*480的显示器，其屏幕坐标范围为：x 方向0~639，y方向0~479
19
例3：旋转变换
例：对参考点F(xf,yf)做旋转变换。
解：1、把旋转中 心 F(xf,yf) 平移至坐 标原点，即坐标系 平 移 （ -xf,-yf ） ， 则 2、进行旋转变换
x1
y1 1 x
1 y 1 0 x f
0 1 yf
0 0 x 1
x 0 1 0 x y 1 0 0 y 1 0 0 1 1
关于直线y=-x的对称变换
14
复合二维变换
平移、旋转和放缩矩阵通常记为T、R和S 二维变换具有结合性：(AB)C=A(BC) 二维变换不具有交换性
齐次坐标表示： 基本变换：平移、旋转、放缩 其它变换：剪切、对称、复合
4
齐次坐标
所谓齐次坐标表示法就是由n+1维向量表示一个 n 维 向 量 。 如 n 维 向 量 (P1,P2, … ,Pn) 表 示 为 （hP1,hP2,hPn,h），其中h称为哑坐标。
5
齐次坐标
1、h可以取不同的值，所以同一点的齐次坐标 不是唯一的。如普通坐标系下的点（2,3）变换 为齐次坐标可以是(1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3) 等等。 2、普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”由 普通坐标h→齐次坐标,由齐次坐标÷h→普通 坐标 齐次坐标与普通坐标之间是一一对应关系
关于Y轴的对称变换
13
对称变换
Y y=x (x,y) O O (-y,-x) X y=-x Y (x,y)
X
(y,x)
x 0 1 0 x y 1 0 0 y 1 0 0 1 1
关于直线y=x 0 y 1 1