高中数学必修四第一章总复习题

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数学第一章总复习题
一、选择题
1．下列函数中，最小正周期为的是（）
A.cos4yx B.sin2yx C.sin2xy D.cos4xy
2．下列函数中，在区间[0,]2上为减函数的是( )
A.cosyx B.sinyx
C.tanyx D.sin()3yx
3．半径为cm，中心角为120o的弧长为（）

A．cm3 B．cm32 C．cm32 D．cm322

4．是第二象限角，P（x, 5 ）为其终边上一点，且cos=42x，则sin的
值为（）
A．410 B．46 C．42 D．－410

5．341cos647tan的值为（）
A．21 B．21 C．23 D．63
6．已知21cossin1xx，则1sincosxx的值是
A． 21 B． 21 C．2 D．－2
7．sin34·cos625·tan45的值是( )
A．－43 B．43 C．－43 D．43
8．若,3cos)(cosxxf那么)30(sinf的值为
（）
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z)(kk223.k22z)(k43k,4k

z)(k4k,4k



A．0 B．1 C．－1 D．23
9函数x2sin2y的奇偶数性为（）.
A. 奇函数 B. 偶函数
C．既奇又偶函数 D. 非奇非偶函数
10函数y=sin2x的单调减区间是（）
A. B.
C. z)(kk23,k2＋ D.
11．下列各式正确的是（）.
A．1317tan()tan()45 B．1317tan()tan()45
C．1317tan()tan()45 D．大小关系不确定
12.函数)3x2sin(3y的图象，可由函数sinxy的图象经过下述________变
换而得到（）.
A.向右平移3个单位，横坐标缩小到原来的21，纵坐标扩大到原来的3倍
B.向左平移3个单位，横坐标缩小到原来的21，纵坐标扩大到原来的3倍
C. 向右平移6个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的31
D.向左平移6个单位，横坐标缩小到原来的21，纵坐标缩小到原来的31
二、填空：
1．函数y=2cosx-1的单调递减区间是__________________________。
2．函数y=-2sinx+10取最小值时，自变量x的集合是
_________________________。
3．函数tan()4yx的单调区间为_______________________________。

4．3tan(,)_______________322xxx若且，则。
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sincos0,sintan0,(1)sincos,(2)sincos,(3)sincos0222222(4)tan1,25. 已知在以下四个命题中：
其中正确的是_______________
三、简答题：
1．已知tana=2，求sina，cosa的值。

2
2.sin2cos1(1)(2)5cossin2sincoscos1已知tan=-，计算：
3

，

cos()5)cos(8)23.cos(3)sin(3)sin(4)
sin(

化简：
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1
4.()3sin()1,24(1)()1()3sin()124fxxxRfxxfxx已知

求：函数的最小值及此时自变量的取值的集合。
(2)函数y=sinx的图像经过怎样的变换得到函数

的图像？

5.(1)3cos(2),3(2)sin(3),4yxxRyxxR求函数的单调区间；
求函数的单调区间。

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(常考题)北师大版高中数学必修四第一章《三角函数》检测(包含答案解析)

一、选择题1．斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形ABCD （51AB BC -=）中作正方形ABFE ，以F 为圆心，AB 长为半径作圆弧BE ；然后在矩形CDEF 中作正方形DEHG ，以H 为圆心，DE 长为半径作圆弧EG ；……；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线.记圆弧BE ，EG ，GI 的长度分别为,,l m n ，对于以下四个命题：①l m n =+；②2m l n =⋅；③2m l n =+；④211m l n=+.其中正确的是（）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④2．已知关于x 的方程2cos ||2sin ||20(0)+-+=≠a x x a a 在(2,2)x ππ∈-有四个不同的实数解，则实数a 的取值范围为（） A ．(,0)(2,)-∞+∞B ．(4,)+∞C ．(0,2)D ．(0,4)3．函数()()sin cos y x =的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4．已知0>ω，2πϕ≤，在函数()()sin f x x ωϕ=+，()()cos g x x ωϕ=+的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π，当,64x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，函数()f x 的图象恒在x 轴的上方，则ϕ的取值范围是（） A ．,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 5．已知函数()()cos f x x ωϕ=+（0>ω，0πϕ-<<）的图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且其相邻对称轴间的距离为23π，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则下列说法中正确的是（）A ．()f x 的最小正周期23T π= B ．58πϕ=-C ．()317cos 248πx g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积12=(弦⨯矢+矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有弧AB 长为83π，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）(3 1.73≈)A ．6平方米B ．9平方米C ．12平方米D ．15平方米7．已知函数()tan()0,02f x x πωϕϕω⎛⎫=+<<<⎪⎝⎭最小正周期为2π，且()f x 的图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭，则方程()sin 2([0,])3f x x x π⎛⎫=+∈π ⎪⎝⎭所有解的和为（）A ．76π B ．56π C ．2πD ．3π 8．已知函数()sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，下列说法错误的是（） A ．3π是函数()f x 的一个周期B ．函数()f x 的图象关于,13π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C ．函数的一条对称轴为712x π= D ．函数图象向左平移6π个单位后关于y 轴对称 9．已知1sin 34x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则22sin sin 36x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（） A ．1B ．151+ C ．1916D ．3410．将函数()2sin (04)6f x x πωω⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的周期为π，则以下说法正确的是（） A ．1ω=B ．函数()y f x =图象的一条对称轴为12x π=C ．()3f f x π⎛⎫⎪⎝⎭D ．函数()y f x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增11．已知函数()sin cos f x x x =+，则下列说法正确的是（） A ．()f x 的最小值为0 B ．()f x 的最大值为2 C ．()()2f x f x π-=D ．1()2f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解 12．函数22y cos x sinx ＝－的最大值与最小值分别为( ) A ．3，－1 B ．3，－2 C ．2，－1D ．2，－2二、填空题13．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()20f x f x -+=，且当(]0,1x ∈时，()21log f x x=，若函数()()()sin F x f x x π=-在区间[]1,m -上有且仅有10个零点，则实数m 的取值范围是__________. 14．函数y ＝的定义域为________．15．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为106米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上，若国歌长度约为50秒，升旗手应以__________（米 /秒）的速度匀速升旗．16．已知函数f （x ）＝A sin （3πx +φ），x ∈R ，A ＞0，0＜φ＜2π．y ＝f （x ）的部分图象，如图所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为（1，A ），点R 的坐标为（1，0），∠PRQ ＝23π，则sin ∠PQR ＝_____．17．将函数sin y x =图像上所有点向左平移4π个单位，再将横坐标变为原来的1ω倍(0)>ω，纵坐标不变，得到函数()y f x =图像，若函数()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一条对称轴和一个对称中心，则ω的取值范围为_______________．18．函数[]y x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[]3.54-=-，[]2.12=.则对于函数()[]f x x x =-，有下列说法:①()f x 的值域为[)0,1；②()f x 是1为周期的周期函数；③()f x 是偶函数；④()f x 在区间[)1,2上是单调递增函数.其中，正确的命题序号为___________. 19．给出下列命题： ①函数()4cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的一个对称中心为5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭； ②若α，β为第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>；③在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若40a =，20b =，25B =︒，则ABC ∆必有两解.④函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，得到sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.其中正确命题的序号是 _________（把你认为正确的序号都填上）．20．已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωπϕπ=+>>-<<的部分图象如下图所示，则ϕ=________.三、解答题21．如图，在扇形OMN 中，半径10OM =，圆心角6MON π∠=，D 是扇形弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇形，记DON θ∠=，矩形ABCD 的面积为S .（1）用含θ的式子表示线段DC ，OB 的长；（2）求S 的最大值.22．已知()442sin cos cossin f x x x x x ωωωω=+-（其中ω>0）．（1）若()f x 的最小正周期是π，求ω的值及此时()f x 的对称中心；（2）若将()y f x =的图像向左平移4π个单位，再将所得的图像纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，得到()g x 的图像，若y g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求ω的取值范围．23．已知函数()sin(2)02f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，函数12y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭为奇函数. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位，然后将所得的图象上各点的横坐标缩小到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数()y g x =的图象，证明：当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22()()10g x g x --≤.24．长春某日气温()C y ︒是时间t (024t ≤≤，单位：小时)的函数，下面是某天不同时间的气温预报数据： t (时)3 6 9 12 15 18 21 24 ()C y ︒ 15.714.015.720.024.226.024.220.015.7cos()y A t b ωϕ=++的图象.（1）根据以上数据，试求cos()y A t b ωϕ=++(0A >，0>ω，0ϕπ<<)的表达式；（2）大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获3倍于室内销售的利润，但对室外温度要求是气温不能低于23C ︒.根据（1）中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段(用区间表示)将该种商品放在室外销售，单日室外销售时间最长不能超过多长时间？(忽略商品搬运时间及其它非主要因素，理想状态下哦，奥力给!) 25．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：时刻 0：00 1：00 2：00 3：00 4：00 5：00 水深 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 时刻 6：00 7：00 8：00 9：00 10：00 11：00 水深 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 时刻 12：00 13：00 14：00 15：00 16：00 17：00 水深 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 时刻 18：00 19：00 20：00 21：00 22：00 23：00 水深5.0003.7542.8352.5002.8353.754（1）这个港口的水深与时间的关系可用函数sin()y A x b ωϕ=++（0A >，0>ω）近似描述，试求出这个函数解析式；（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为5米，安全条例规定至少要有1.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），利用（1）中的函数计算，该船何时能进入港口？在港口最多能呆多久？26．函数()cos()(0)f x x ωφω=+>的部分图像如图所示.（1）求()f x 的表达式；（2）若[1,2]x ∈，求()f x 的值域；（3）将()f x 的图像向右平移112个单位后，再将所得图像横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求()g x 的单调递减区间.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】设51AB =，则2BC =，再由14圆弧分别求出,,l m n ，再逐项判断即可得正确选项. 【详解】不妨设51AB =，则2BC =，所以()512l BE π==⨯， ()25135ED =-=所以(352m EG π==⨯，(5135254CG =-=，所以())422n GI ππ==⨯=，所以(())341222m n l πππ⨯+⨯=⨯==+，故①正确；(22227342m π-⨯==，))271222l n ππ-⨯⨯=⋅=，所以2m l n =⋅，故②正确；))51222l n πππ⨯++==，((22332m ππ=⨯⨯-=-，所以2m l n ≠+，故③不正确；11l n l n l n ++===⋅(113232m ππ+==⨯，所以211m l n ≠+，故④不正确；所以①②正确，故选：A 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是读懂题意，正确求出扇形的半径，利用弧长公式求出弧长即,,l m n 的值.2．D解析：D 【分析】令2()cos ||2sin ||2(0)=+-+≠f x a x x a a ，易知函数()f x 是偶函数，将问题转化为研究当(0,2)x π∈时，2()cos 2sin 2=+-+f x a x x a 有两个零点，令sin t x =，则转化为2()22(0)=--≠h t at t a 有一个根(1,1)t ∈-求解.【详解】当(2,2)x ππ∈-，2()cos ||2sin ||2(0)=+-+≠f x a x x a a ，则()()f x f x -=，函数()f x 是偶函数，由偶函数的对称性，只需研究当(0,2)x π∈时，2()cos 2sin 2=+-+f x a x x a 有两个零点，设sin t x =，则2()22(0)=--≠h t at t a 有一个根(1,1)t ∈- ①当0a <时，2()22=--h t at t 是开口向下，对称轴为10t a=<的二次函数， (0)20h =-<则(1)0->=h a ，这与0a <矛盾，舍去；②当0a >时，2()22=--h t at t 是开口向上，对称轴为10t a=>的二次函数，因为(0)20h =-<，(1)220-=+->=h a a ，则存在(1,0)t ∈-，只需(1)220=--<h a ，解得4a <，所以04a <<．综上，非零实数a 的取值范围为04a <<．故选：D ．【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解3．A解析：A 【分析】先确定奇偶性，再取特殊值确定函数值可能为负，排除三个选项后得出结论．【详解】记()()sin cos f x x =，则()()()sin cos()sin cos ()f x x x f x -=-==，为偶函数，排除D ，当23x π=时，21()sin cos sin 032f x π⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，排除B ，C ．故选：A ．【点睛】本题考查由解析式先把函数图象，解题方法是排除法，可通过研究函数的性质如奇偶性、单调性等排除一些选项，再由特殊的函数值，函数值的正负，变化趋势等排除一些选项后得出正确结论．4．D解析：D 【分析】由()()f x g x =得()()sin cos x x ωϕωϕ+=+，所以()tan 1x ωϕ+=，可求得()4k x k Z ππϕω+-=∈，再利用，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π，可得2x ππω∆==，即可得2ω=，再利用正弦函数图象的特点，可得032πϕπϕπ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，即可求出ϕ的取值范围. 【详解】由()()f x g x =得()()sin cos x x ωϕωϕ+=+，所以()tan 1x ωϕ+=，可得：()4x k k Z πωϕπ+=+∈，所以因为相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2x ππω∆==，所以2ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，当,64x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，232x ππϕϕϕ-+<+<+，要满足函数()f x 的图象恒在x 轴的上方，需满足方程032πϕπϕπ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩ ，解得32ππϕ≤≤，故选：D 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题.5．D解析：D 【分析】首先根据三角函数的性质，可知相邻对称轴间的距离是半个周期，判断A ；再求函数的解析式，判断B ；根据平移规律得到函数()g x ，判断C ；最后根据函数()g x 的解析式，利用整体代入的方法求函数的单调递减区间. 【详解】相邻对称轴间的距离是半个周期，所以周期是43π，故A 不正确； 243T ππω==，解得：32ω=，()f x 的图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称，3,282k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈，解得：5,16k k Z πϕπ=+∈ 0πϕ-<<, 1116πϕ∴=-，故B 不正确； ()311cos 216f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，向左平移3π个单位长度后得()31133cos cos 2316216g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故C 不正确；当02x π≤≤时，3339,2161616x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当3390,21616x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦时，函数单调递减，即,82x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故D 正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据三角函数的性质求得函数()f x 的解析式，第四个选项是关键，需根据整体代入的方法，先求33216x π-的范围，再确定函数的单调递减区间. 6．B解析：B 【分析】根据已知求出矢2=，弦2AD ==. 【详解】由题意可得：823=43AOB ππ∠=，4OA =，在Rt AOD 中，可得：3AOD π∠=，6DAO π∠=，114222OD AO ==⨯=，可得：矢422=-=，由sin43AD AO π===可得：弦2AD ==所以：弧田面积12=（弦⨯矢+矢221)22)292=+=≈平方米．故选：B 【点睛】方法点睛：有关扇形的计算，一般是利用弧长公式l r α=、扇形面积公式12S lr =及直角三角函数求解.7．A解析：A 【分析】先根据()f x 的最小正周期计算出ω的值，再根据图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭结合ϕ的范围求解出ϕ的值，再根据条件将方程变形，先确定出tan 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后即可求解出方程的根，由此确定出方程所有解的和. 【详解】因为()f x 的最小正周期为2π，所以22πωπ==，又因为()f x 的图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭，所以2tan 03πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2,3k k Z ϕππ+=∈，又因为02πϕ<<，所以3πϕ=且此时1k =，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即tan 2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即tan 2cos 21033x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又因为tan 203x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，sin 203x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 213x π⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，所以tan 2cos 210tan 2=0333x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=⇔+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为[]0,x π∈，所以72,333x πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当tan 2=03x π⎛⎫+⎪⎝⎭时，23x ππ+=或223x ππ+=，解得3x π=或56x π=，所以方程()[]()sin 20,3f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭所有解的和为57366πππ+=. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过分析方程得到tan 2=03x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，此处需要注意不能直接约去tan 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭，因为需要考虑tan 2=03x π⎛⎫+⎪⎝⎭的情况. 8．D解析：D 【分析】根据正弦函数性质周期，对称性，图象变换判断各选项．【详解】函数()f x 的最小正周期为π，故3π是函数()f x 的一个周期，A 正确；当3x π=时，sin 203x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故B 正确；当712x π=时，函数()f x 取得最小值，712x π=为对称轴，C 正确；函数图象向左平移6π个单位后函数解析式为sin 2163y x ππ⎡⎤⎛⎫=+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2sin 213y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，不是偶函数，图象不关于y 轴对称，D 错误．故选：D. 【点睛】本题考查正弦型函数的性质，考查周期的概念，对称轴与对称中心、奇偶性等性质，属于基础题．9．C解析：C 【分析】由诱导公式求得cos 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后再由平方关系和诱导公式计算．【详解】由已知1cos cos sin 62334x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 222115sin 1cos 166416x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，21sin sin cos 32664x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2211519sin sin 3641616x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的求值．解题关键是确定“已知角”和“未知角”的关系，选用适当的公式进行变形求值．本题中首先利用诱导公式得出cos 6x π⎛⎫-⎪⎝⎭，然后再用诱导公式得出2sin 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，用平方关系得出2sin 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，这样求解比较方便． 10．C解析：C 【分析】由周期求出ω，然后由正弦函数的性质判断．【详解】函数()2sin (04)6f x x πωω⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的周期为π，所以22πωπ==，A 错；12x π=时，206x π-=，12x π=不是对称轴，B 错；3x π=时，226x ππ-=，即23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭为最大值，因此()3f f x π⎛⎫⎪⎝⎭正确，C 正确； 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，52,666x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，而sin y x =在5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，D 错；故选：C ．【点睛】方法点睛：本题考查三角函数的性质，对函数()sin()f x A x ωϕ=+，掌握五点法是解题关键．解题时可由x 的值或范围求得x ωϕ+的值或范围，然后结合正弦函数性质判断．11．C解析：C 【分析】可得()()2f x f x π+=，得出()f x 是以2π为周期的函数，故只需考虑0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即可. 【详解】()()sin cos cos sin 222f x x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫+=+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x ∴是以2π为周期的函数，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin cos sin cos 4f x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，则3,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，41x π⎛⎫+ ⎝∴≤⎪⎭≤根据函数的周期性可得()f x 的最小值为1，故AB 错误，∴1()2f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无解，故D 错误， ()()sin cos cos sin222f x x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的应用，解题的关键是得出()f x 是以2π为周期的函数，故只需考虑0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即可. 12．D解析：D【解析】分析：将2cos x 化为21sin x -，令()sin 11x t t =-≤≤，可得关于t 的二次函数，根据t 的取值范围，求二次函数的最值即可.详解：利用同角三角函数关系化简，22cos 2sin sin 2sin 1y x x x x =-=--+ 设()sin 11x t t =-≤≤，则()()22211211y t t t t =--+=-++-≤≤，根据二次函数性质当1t =-时，y 取最大值2，当1t =时，y 取最小值2-. 故选D.点睛：本题考查三角函数有关的最值问题，此类问题一般分为两类，一种是解析式化为2sin sin y A x B x C =++的形式，用换元法求解；另一种是将解析式化为()sin y A x k ωϕ=++的形式，根据角的范围求解.二、填空题13．【分析】根据条件易得函数是关于对称以2为周期的奇函数再根据时在同一坐标系中作出函数的图象利用数形结合法求解【详解】因为是奇函数且所以即函数是关于对称以2为周期的奇函数又时在同一坐标系中作出函数的图象解析：742⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【分析】根据条件，易得函数()f x 是关于()1,0对称，以2为周期的奇函数，再根据(]0,1x ∈时，()21log f x x=，在同一坐标系中作出函数()y f x =，()sin y x π=的图象，利用数形结合法求解. 【详解】因为()f x 是奇函数，且()()20f x f x -+=，所以()()2f x f x -=-，即函数()f x 是关于()1,0对称，以2为周期的奇函数，又(]0,1x ∈时，()21log f x x=，在同一坐标系中作出函数()y f x =，()sin y x π=的图象如图所示：因为函数()()()sin F x f x x π=-在区间[]1,m -上有且仅有10个零点，所以函数()y f x =，()sin y x π=在区间[]1,m -上有且仅有10个交点，由图知：实数m 的取值范围是742⎡⎫⎪⎢⎣⎭，，故答案为：742⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【点睛】方法点睛：函数零点求参数范围问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则构造两个函数，将问题转化为两个函数图象的交点问题求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．14．(k ∈Z)【分析】解不等式2cosx －1≥0即得函数的定义域【详解】∵2cosx －1≥0∴cosx≥由三角函数线画出x 满足条件的终边的范围(如图阴影所示)∴x ∈(k ∈Z)故答案为(k ∈Z)【点睛】（解析： (k ∈Z)【分析】解不等式2cos x －1≥0即得函数的定义域. 【详解】∵2cos x －1≥0，∴cos x≥.由三角函数线画出x 满足条件的终边的范围(如图阴影所示)．∴x ∈ (k ∈Z)．故答案为 (k ∈Z)【点睛】（1）本题主要考查三角函数线和解三角不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)三角函数线是解三角不等式较好的工具，要理解掌握并灵活运用.15．6【分析】根据题意可求得然后利用正弦定理求得最后在中利用求得答案【详解】在中由正弦定理得；在中（米）所以升旗速度（米/秒）故答案为06【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用此类问题的解决关键是建立解析：6 【分析】根据题意可求得，45BDC ∠=︒，30CBD ∠=︒，106CD =BC ，最后在Rt ABC 中利用sin60AB BC =︒求得答案．【详解】在BCD 中，45BDC ∠=︒，30CBD ∠=︒，106CD = 由正弦定理，得sin 45203sin 30CD BC ︒==︒在Rt ABC 中，3sin?603302AB BC =︒==（米）．所以升旗速度300.650t AB v ===（米/秒）．故答案为0.6. 【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用．此类问题的解决关键是建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，利用所学知识解决，属于中档题.16．【分析】根据周期求出再由直角三角形的边角关系以及勾股定理求出最后由正弦定理求出【详解】过点作延长线的垂线垂足为连接如下图所示则由正弦定理可知则故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦型函数图象的性质的应解析：2114【分析】根据周期求出32TDQ ==，再由直角三角形的边角关系以及勾股定理求出,PR PQ ，最后由正弦定理求出sin PQR ∠.【详解】过点Q 作PR 延长线的垂线，垂足为D ，连接PQ ，如下图所示263T ππ==，则32T DQ == 6xRQ RQD π∠=∠=3tan336DR DQ π∴=⋅=⨯= 223,23,12921PR DP PQ PD PQ ∴===+=+=由正弦定理可知sin sin PQ PRPRQ PQR=∠∠则33sin 212sin 1421PR PRQPQR PQ⋅⋅∠∠===故答案为：2114【点睛】本题主要考查了正弦型函数图象的性质的应用，涉及了正弦定理解三角形，属于中档题.17．【分析】根据图象变换求出解析式再结合正弦函数的性质建立不等式即可求出的取值范围【详解】将函数图像上所有点向左平移个单位得到的图象再将横坐标变为原来的倍纵坐标不变得函数在上有且仅有一条对称轴和一个对称解析：35,22⎛⎤⎥⎝⎦【分析】根据图象变换求出()f x 解析式，再结合正弦函数的性质建立不等式，即可求出ω的取值范围. 【详解】将函数sin y x =图像上所有点向左平移4π个单位，得到sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将横坐标变为原来的1ω倍(0)>ω，纵坐标不变，得()sin 4y f x x πω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，函数()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一条对称轴和一个对称中心，由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得,4424x ，3242，解得3522. 故答案为：35,22⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题考查三角函数的图象变换，以及根据相关性质求参数，属于中档题.18．①②④【分析】当时即可判断①④；计算即可判断②也可以作图；计算即可判断③【详解】当时所以故①④正确；当时则故②正确；所以③错误故答案为：①②④【点睛】本题考查利用所学知识研究新定义函数的性质涉及到周解析：①②④ 【分析】当[,1)x n n ∈+时，()f x x n =-，即可判断①④；计算(1)f x +，()f x 即可判断②，也可以作图；计算12()33f -=，11()33f =即可判断③. 【详解】当[,1)x n n ∈+时，[]x n =，()||f x x n x n =-=-，所以()[0,1)f x ∈，故①④正确；当[,1)x n n ∈+时，则1[1,2)x n n +∈++，[1]1x n +=+，(1)|1[1]|f x x x +=+-+|1(1)|||()x n x n f x =+-+=-=，故②正确；1112()|[]|3333f -=---=，1111()|[]|3333f =-=，所以③错误.故答案为：①②④. 【点睛】本题考查利用所学知识研究新定义函数的性质，涉及到周期性、单调性、奇偶性以及值域，是一道中档题.19．①③【分析】分别利用余弦函数的对称性正切函数的单调性正弦定理三角函数图象变换等知识对各个命题判断【详解】①令是函数的一个对称中心①正确；②若它们为第一象限角且但②错；③在中内角所对的边分别为若∵∴∴解析：①③ 【分析】分别利用余弦函数的对称性，正切函数的单调性，正弦定理，三角函数图象变换等知识对各个命题判断．【详解】 ①，令55()4cos()4cos()012632f ππππ-=-+=-=，5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()4cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个对称中心，①正确；②若136απ=，3πβ=，它们为第一象限角，且αβ>，但tan tan αβ=<=②错；③在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若40a =，20b =，25B =︒，sin sin 2sin 251a BA b==︒<，∵b a <，∴B A <，∴A 可能为锐角，也可能为钝角，则ABC ∆有两解，③正确；④函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，得到sin 2()sin(2)42y x x ππ=+=+的图象，④错．故答案为：①③．【点睛】本题考查命题的真假判断，掌握三角函数的图象与性质是解题关键．本题需要掌握余弦函数的对称性，正切函数的单调性，正弦定理，三角函数图象变换等知识，属于中档题．20．【分析】根据图象得出函数的最小正周期可得出的值再将点代入函数解析式结合的取值范围可求出的值【详解】由图象可知函数的最小正周期则将点代入函数解析式得即因为函数在附近单调递减则得故答案为：【点睛】本题考解析：6π【分析】根据图象得出函数()y f x =的最小正周期T ，可得出ω的值，再将点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数解析式，结合ϕ的取值范围，可求出ϕ的值. 【详解】由图象可知，函数()y f x =的最小正周期11521212T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，222T ππωπ∴===，则()()sin 2f x A x ϕ=+，将点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数解析式得55sin 201212f A ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即5sin 06πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为函数()y f x =在512x π=附近单调递减，则()526k k Z πϕππ+=+∈，得()26k k Z πϕπ=+∈，πϕπ-<<，0k ∴=，6π=ϕ. 故答案为：6π. 【点睛】本题考查利用图象求三角函数解析式中的参数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、解答题21．（1）10sin DC θ=，0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；OB θ=，0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）max 100S =-【分析】（1）在Rt DCO 和Rt ABO 中利用三角函数的定义可表示出,DC OB ；（2）求出BC 后可得矩形面积S ，利用二倍角公式，两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质可得最大值．【详解】解：（1）在Rt DCO 中，10OD =，∴10sin DC θ=，0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又Rt ABO 中，6AOB π∠=，10sin AB DC θ==，∴OB θ==，0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）在Rt DOC 中，10cos OC θ=，∴10(cos )BC OC OB θθ=-=，∴100sin (cos )S AB BC θθθ=⋅=-11cos 2100sin 2100sin 2223θπθθ-⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵06πθ<<，∴22333πππθ<+<，∴当232ππθ+=即12πθ=时，max 100S =-【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的应用，解题关键是用角表示出矩形面积，然后可利用三角函数的恒等变换公式如二倍角公式、两角和与差的正弦（余弦）公式、诱导公式等化函数为一个角的一个三角函数形式，即()sin()f x A x k ωϕ=++形式，最后利用正弦函数性质求得结论．22．（1）=1ω，对称中心是(,0),82k k Z ππ-+∈，（2）1524ω≤≤【分析】（1）先对函数化简变形得(2+4f x x πω（），由函数的周期为π，得=1ω，再由2+=4x k ππ，可求出对称中心的横坐标，进而可得对称中心；（2）由题意得到())24g x x ωππω=++，由0,8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得424244x ωππωπππωωπ⎡⎤++∈++⎢⎥⎣⎦，，而y g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以可得322,24422k k k Z ωπππππωπππ⎡⎤⎡⎤++⊆++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，从而可求出ω的取值范围【详解】解：（1）()sin 2+cos 22+4f x x x x πωωω=（），()f x 的最小正周期是π，2==12ππωω∴∴，此时()2+4f x x π=（），令2+=4x k ππ，得,82k x k Z ππ=-+∈ ()f x ∴的对称中心是(,0),82k k Z ππ-+∈. （2）由题知())24g x x ωππω=++， 0,4824244x x πωππωπππωωπ⎡⎤⎡⎤∈∴++∈++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，又()y g x =在08π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，322,24422k k k Z ωπππππωπππ⎡⎤⎡⎤∴++⊆++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，即32154242,242242k k k k Z k ππωππωωππππ⎧+≤+⎪⎪⇒+≤≤+∈⎨⎪+≥+⎪⎩，150,24ωω>∴≤≤【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的图像和性质，第2问解题的关键是求出424244x ωππωπππωωπ⎡⎤++∈++⎢⎥⎣⎦，，再由y g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，可得322,24422k k k Z ωπππππωπππ⎡⎤⎡⎤++⊆++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，从而可求出ω的取值范围，属于中档题 23．（1）,(Z)36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）证明见解析.【分析】（1）根据sin 2126f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为奇函数可得6π=ϕ，则()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由222,Z 262k x k k πππππ-≤+≤+∈可得答案；（2）根据三角函数图象的变换规律可得()sin 46g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求出1(),12g x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，进而可得结论.【详解】（1）由题意知：sin 2126y f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为奇函数所以()6k k Z πϕπ-=∈，(Z)6k k πϕπ=+∈因为02πϕ<<，所以0k =，6π=ϕ 所以()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 由222,Z 262k x k k πππππ-≤+≤+∈，解得：,Z 36k x k k ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为,(Z)36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）由题知：将()y f x =的图象向右平移6π个单位得sin 266y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,再将图象上各点的横坐标缩小到原来的12倍，得()sin 46g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以54,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，因此1()sin 4,162g x x π⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则2()10g x +≥且()10g x -≤，所以22()()1[2()1][()1]0g x g x g x g x --=+-≤ 【点睛】方法点睛：函数sin()y A x ωϕ=+()0,0A ω>>的单调区间的求法：,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间；2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间.24．（1）36cos 20124y t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[0,24]t ∈；（2）[11,19]t ∈，8小时. 【分析】（1）由表中数据列方程求出b 、A 的值，再求出T 、ω和ϕ的值即可；（2）令23y ，利用余弦函数的性质求出t 的取值范围，即可得出结论．【详解】（1）根据以上数据知，2614A b A b +=⎧⎨-+=⎩，解得20b =，6A =；由153122T=-=，解得24T =，所以212T ππω==；由3x =时14y =，即36cos()201412πϕ++=，解得cos()14πϕ+=-，即24k πϕππ+=+，k Z ∈；所以324k πϕπ=+，k Z ∈；由0ϕπ<<，解得34πϕ=；所以36cos()20124y t ππ=++，[0t ∈，24]；（2）令36cos()2023124y t ππ=++，得31cos()1242t ππ+，即32231243k t k ππππππ-+++，k Z ∈；解得1324524k t k -+-+，k Z ∈；当1k =时，1124t ，所以一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在[11t ∈，19]时间段将该种商品放在室外销售，且单日室外销售时间最长不能超过19118-=（小时）．【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 25．（1） 2.5sin()56y x π=+；（2）该船1：00至5：00和13：00至17：00期间可以进港，在港口最多能呆4个小时. 【分析】（1）由表格中数据可得， 2.5,5,12A B T ===，26T ππω==，取3x =代入可得2,k k Z ϕπ=∈，则解析式可得；（2）由（1）得计算2.5sin()5 6.256x π+≥解x 范围即可得结果.【详解】解：（1）由表格中数据可得， 2.5,5,12A B T ===. 因为0>ω，所以22126T πππω===. 因为3x =时y 取得最大值，所以32,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得2,k k Z ϕπ=∈.所以这个函数解析式为 2.5sin()56y x π=+（2）因为货船的吃水深度为5米，安全间隙至少要有1.25米，所以2.5sin()5 6.256x π+≥，即1sin()562x π+≥，所以522,666m x m m N πππππ+≤≤+∈，解得112512,m x m m N +≤≤+∈.取0,1,m m ==得15,1317x x ≤≤≤≤.答：该船1：00至5：00和13：00至17：00期间可以进港，在港口最多能呆4个小时. 【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.26．（1）()cos 4f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （3）154,4,33k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由题意可得251244T πω⎛⎫==-⨯ ⎪⎝⎭，得ωπ=，又314f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可求出函数表达式. （2）当[1,2]x ∈时，52444x πππππ≤+≤+，由余弦函数图像可得答案. （3）先根据图象变换求出()g x 的解析式，再根据余弦型函数的单调减区间求解即可. 【详解】（1）由题意可得251244T πω⎛⎫==-⨯ ⎪⎝⎭，得ωπ= 所以()()cos f x x πφ=+，又当1534424x +==时，314f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭即33cos 144f πφ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则324k k Z πφππ+=+∈，所以124k k Z φππ=+∈，，所以()cos 2cos 44f x x k x πππππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）当[1,2]x ∈时，52444x πππππ≤+≤+cos 124x ππ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭所以当[1,2]x ∈时，()f x 的值域为12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（3）将()f x 的图像向右平移112个单位后可得：cos 6y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将所得图像横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到：()1cos 26g x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由122,26k x k k Z πππππ≤+≤+∈ 1544,33k x k k Z -≤≤+∈所以()g x 的单调递减区间为：154,4,33k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点睛：本题考查根据三角函数的图象求解析式以及根据解析式求值域和解决图象平移问题，解答本题的关键是读懂三角函数的图象，得到251244T πω⎛⎫==-⨯ ⎪⎝⎭和314f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭从而求出解析式，在根据图象左右平移求解析式时，要注意将()f x 的图像向右平移112个单位后可得：1cos 124y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，属于中档题.。

(常考题)北师大版高中数学必修四第一章《三角函数》测试题(答案解析)(2)

一、选择题1．已知函数()sin()(f x A x A ωϕ=+，ω，ϕ是常数，0A >，0>ω，0)2πϕ<<的部分图象如图所示.为了得到函数()f x 的图象，可以将函数2sin y x =的图象（）A ．先向右平移6π个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变 B ．先向左平移6π个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 C ．先向左平移3π个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 D ．先向左平移3π个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变2．设函数5()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 为偶函数，则ϕ的最小值是（） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 3．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若方程()35f x =的解为1x ，2x （120x x π<<<），则()12sin x x -=（） A ．35B ．45-C ．23-D ．34．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移ϕ(02πϕ<≤)个单位，得到函数()g x 的图象.在同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则ϕ=（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 5．已知函数f （x ）=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，其中(0,)2πϕ∈ ，则函数g （x ）=cos （2x-φ）的图象（） A ．关于点(,0)12π对称 B ．关于轴512x π=-对称 C ．可由函数f （x ）的图象向右平移6π个单位得到 D ．可由函数f （x ）的图象向左平移3π个单位得到 6．已知函数()tan()0,02f x x πωϕϕω⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭最小正周期为2π，且()f x 的图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭，则方程()sin 2([0,])3f x x x π⎛⎫=+∈π ⎪⎝⎭所有解的和为（）A ．76πB ．56π C ．2πD ．3π 7．函数()3sin 22xf x x =-的部分图象大致为（） A ． B ．C ．D ．8．现有四个函数：①y =x |sin x |，②y =x 2cos x ，③y =x ·e x ；④1y x x=+的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（）A ．①②③④B ．①③②④C ．②①③④D ．③②①④9．:sin 31p x x +>的一个充分不必要条件是（） A ．02x π<<B ．203x π<<C ．32x ππ-<<D ．566x ππ<<10．已知函数()tan()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≠<⎪⎝⎭，点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是其相邻的两个对称中心，且在区间54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则ϕ=（） A ．6π B ．6π-C ．3π D ．3π-11．将函数()3sin()2f x x =--图象上每一点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的13，再向右平移29π个单位得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间,18πθ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，则θ的最小值为（）A ．12πB ．6πC ．3π D ．18π 12．函数()()sin ln 0=->f x x x ωω只有一个零点，则实数ω的取值范围是（） A ．()0,πB ．5,2⎫⎛⎪⎝⎭ππe C ．50,2⎫⎛ ⎪⎝⎭πe D ．5,2⎫⎛∞⎪⎝⎭π+e二、填空题13．已知函数cos ,[],y a x x ωππ=+∈-（其中,a ω为常数，且0>ω）有且仅有3个零点，则ω的最小值是_________． 14．以下关于函数()()21sin 324f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的结论： ①()y f x =的图象关于直线2x π=-对称； ②()f x 的最小正周期是4π；③()y f x =在区间[]2,3ππ上是减函数； ④()y f x =的图象关于点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称．其中正确的结论是__________________（写出所有正确结论的序号）．15．已知函数()f x x ω=-（0>ω）的图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且()f x 在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的值为______.16．已知tan22α=，则sin()2πα+=_______. 17．函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，以下结论中正确的是______（写出所有正确结论的编号）. ①图象C 关于直线1112π=x 对称； ②图象C 关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内是增函数； ④由3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C . 18．已知如下变换：①将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标保持不变； ②将图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标保持不变； ③将图像整体向右平移3π个单位长度； ④将图像整体向右平移6π个单位长度；⑤将图像整体向左平移3π个单位长度； ⑥将图像整体向左平移6π个单位长度；要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需将函数sin y x =的图象经过变换____________（填上你认为正确的一种情况即可，注意编号顺序） 19．关于函数()4sin(2)(),3f x x x R π=+∈有下列命题：①由12()()0f x f x ==可得12x x -必是π的整数倍；②()y f x =的图象关于点(,0)6π-对称；③()y f x =的表达式可改写为4cos(2);6y x π=-④()y f x =的图象关于直线6x π=-对称.其中正确命题的序号是_________.20．在①()f x 的图像关于直线56x πω=对称，②()cos 3sin f x x x ωω=-，③()(0)f x f ≤恒成立这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的ω存在，求出ω的值，若ω不存在，请说明理由．设函数()2cos()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+>≤≤，________，是否存在正整数ω，使得函数()f x 在[0,]2π上是单调的？三、解答题21．已知函数()()1sin 226f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭．（1）填写下表，并用“五点法”画出()f x 在[0,]π上的图象；26x π+6π 136πxπ()f x（2）将()y f x =的图象向上平移1个单位，横坐标缩短为原来的2，再将得到的图象上所有点向右平移4π个单位后，得到()g x 的图象，求()g x 的对称轴方程． 22．已知函数21()3sin cos cos 2222x x x f x =++. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()y f x =的图象上的各点向左平移32π个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半；得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的最大值及取得最大值时x 的取值集合.23．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）的最大值和最小正周期相同，()f x 的图象过点()0,3，且在区间10,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()()1g x f x =+在区间()0,b 上只有4个零点，求b 的最大值. 24．函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,[0,2))A ωϕπ>>∈的图象如图所示：（1）求()f x 的解析式；（2）()f x 向左平移12π个单位后得到函数()g x ，求()g x 的单调递减区间；（3）若,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且()32f x ≥，求x 的取值范围．25．已知712sin cos 2225ππαα⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求tan α的值；（2）求3sin sin 3cos ααα-的值．26．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω）的图像是由3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移3π个单位得到的.（1）若()f x 的最小正周期为π，求()f x 的与y 轴距离最近的对称轴方程；（2）若()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上仅有一个零点，求ω的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先根据函数图象求出函数()f x 的解析式，由三角函数图象的变换即可求解. 【详解】由图可知，1741234A T πππ==-=，，所以T π=，即2ππω=，解得2ω=.当712x π=时，73π22π,122k k Z πϕ⨯+=+∈, 所以 2,3k k Z πϕπ=+∈又2πϕ<，所以3πϕ=.所以()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.将y x =的图象先向左平移3π个单位长度，得到)3y x π=+，.再将所得图象的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到())3f x x π=+. 故选：D 【点睛】易错点点睛：图象变换的两种方法的区别，由sin y x =的图象，利用图象变换作函数()()()sin 0,0y A x A x R ωϕω=+>>∈的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x 轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位，而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是ϕω个单位． 2．A解析：A 【分析】根据题意有()5sin 226g x x ϕπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-，若()g x 为偶函数则52()62k k Z πππϕ-=+∈，结合0ϕ>可得出答案. 【详解】解：由题意可得()()55()sin 2sin 2266g x f x x x πϕϕϕπ⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ -⎪⎪⎝⎭⎝⎭因为()g x 为偶函数，则52()62k k Z πππϕ-=+∈，即2()32k k Z ππϕ=+∈ 因为0ϕ>，所以当1k =-时ϕ取得最小值6π. 故选：A. 【点睛】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法（1）求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；（2）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于()f x 的方程(组)，从而得到()f x 的解析式；（3）求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；（4）画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.3．B解析：B 【分析】求出函数()f x 在(0,)π上的对称轴，然后由正弦函数性质得1223x x π+=，这样12sin()x x -化为2222sin(2)sin 2cos(2)336x x x πππ⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭，而已知条件为23sin(2)65x π-=，再由正弦函数性质确定226x π-的范围，从而由平方关系求得结论．【详解】函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的对称轴满足：()262x k k Z πππ-=+∈，即()23k x k Z ππ=+∈，令0k =可得函数在区间()0,π上的一条对称轴为3x π=，结合三角函数的对称性可知1223x x π+=，则：1223x x π=-，()122222sin sin 2sin 2cos 2336x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意：0πx <<，则112666x πππ-<-<，23sin 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，120x x π<<<，则2226x πππ<-<，由同角三角函数基本关系可知：24cos 265x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数的性质，考查平方关系．解题时根据自变量的范围求得此范围内函数的对称轴，从而得出两个变量12,x x 的关系，可化双变量为单变量，再根据函数值及函数性质确定出单变量的范围，从而求得结论．注意其中诱导公式的应用，目的是把求值式与已知条件中的角化为一致．4．C解析：C 【分析】由图可知，172482g f ππ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据函数图象的平移变化法则可知()()sin 2x g x ϕ=-，于是推出1717sin 22424g ππϕ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1722124k ππϕπ-=+或324k ππ+，k Z ∈，再结合02πϕ<≤，解之即可得ϕ的值.【详解】由图可知，17sin 224882g f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为()f x 的图象向右平移ϕ个单位，得到函数()g x 的图象，所以()()sin 2x g x ϕ=-，所以171717sin 2sin 22424122g πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1722124k ππϕπ-=+或17322124k ππϕπ-=+，k Z ∈，解得712k πϕπ=-或3k πϕπ=-，k Z ∈，因为02πϕ<≤，所以3πϕ=.故选：C 【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，属于中档题.5．B解析：B 【分析】利用三角函数的奇偶性求得φ，再利用三角函数的图象对称性、函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】函数f （x ）=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴y=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，∴3φ=2π，φ=6π，则函数g （x ）=cos （2x ﹣φ）=cos （2x ﹣6π）．当12x π=时，206x π-=，112g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数不关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，选项A 错误；当512x π=-时，26x ππ-=-，则函数关于直线512x π=-对称，选项B 正确；函数()2sin sin 2sin cos sin 22f x x x x x x π⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，其图像向右平移6π个单位的解析式为sin 2sin 2sin 263y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，选项C 错误；其图像向左平移3π个单位的解析式为2sin 2sin 2sin 233y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，选项D 错误；故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、对称性，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．函数()sin y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的性质：（1）奇偶性：=k ϕπ ,k Z ∈时，函数()sin y A x ωϕ=+为奇函数；=2k πϕπ+,k Z ∈时，函数()sin y A x ωϕ=+为偶函数.；（2）周期性：()sin y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =2πω；（3）单调性：根据y =sin t 和t =x ωϕ+的单调性来研究，由+22,22k x k k Z πππωϕπ-≤+≤+∈得单调增区间；由3+22,22k x k k Z πππωϕπ≤+≤+∈得单调减区间；（4）对称性：利用y =sin x 的对称中心为()(),0k k Z π∈求解，令()x k k ωϕπ+=∈Z ，求得x ；利用y =sin x 的对称轴为()2x k k Z ππ=+∈求解，令()+2x k k πωϕπ+=∈Z ，得其对称轴.6．A解析：A 【分析】先根据()f x 的最小正周期计算出ω的值，再根据图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭结合ϕ的范围求解出ϕ的值，再根据条件将方程变形，先确定出tan 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后即可求解出方程的根，由此确定出方程所有解的和. 【详解】因为()f x 的最小正周期为2π，所以22πωπ==，又因为()f x 的图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭，所以2tan 03πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2,3k k Z ϕππ+=∈，又因为02πϕ<<，所以3πϕ=且此时1k =，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即tan 2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即tan 2cos 21033x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又因为tan 203x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，sin 203x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 213x π⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，所以tan 2cos 210tan 2=0333x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=⇔+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为[]0,x π∈，所以72,333x πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当tan 2=03x π⎛⎫+⎪⎝⎭时，23x ππ+=或223x ππ+=，解得3x π=或56x π=，所以方程()[]()sin 20,3f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭所有解的和为57366πππ+=. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过分析方程得到tan 2=03x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，此处需要注意不能直接约去tan 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭，因为需要考虑tan 2=03x π⎛⎫+⎪⎝⎭的情况. 7．A解析：A 【分析】求得函数()y f x =的定义域，分析函数()y f x =的奇偶性，结合2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值以及排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数()3sin 22xf x x =-，20x -≠，得2x ≠±，所以，函数()y f x =的定义域为{}2x x ≠±.()()()sin 2sin 222x xf x f x x x --==-=----，函数()y f x =为奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D 选项；又02f ⎛⎫=⎪⎝⎭π，排除C 选项. 故选：A. 【点睛】本题考查利用函数的解析式选择图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8．D解析：D 【分析】根据各函数的特征如函数值的正负，单调性、奇偶性，定义域、值域等进行判断．【详解】左边第一个图象中0x <时，0y <，只有③满足，此时只有D 可选，实际上，左边第二个图象关于y 轴对称，是偶函数，只有②满足，而0x >时，10y x x=+>恒成立，只有最右边的图象满足，由此也可得顺序是③②①④，选D ．故选：D ．【点睛】思路点睛：本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可两者结合，由函数解析式和图象分别确定函数的性质，如奇偶性、单调性、函数值的正负，特殊的函数值，变化趋势等等，两者对照可得结论．9．A解析：A 【分析】首先求解命题p 表示的集合，再根据集合关系表示充分不必要条件，判断选项. 【详解】:sin 2sin 13p x x x π⎛⎫+=+> ⎪⎝⎭，即1sin 32x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，解得：522,636k x k k Z πππππ+<+<+∈，得22,62k x k k Z ππππ-+<<+∈，设22,62M x k x k k Z ππππ⎧⎫=-+<<+∈⎨⎬⎩⎭经分析，只有选项A 的集合是集合M 的真子集，故选：A 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．10．A解析：A 【分析】由正切函数的图象性质，得出相邻两个对称中心之间的距离为半个周期，可求出T ，然后由T πω=求出ω，然后再代点讨论满足题意的ϕ，即可得出答案. 【详解】由正切函数图象的性质可知相邻两个对称中心的距离为2T ，得72263T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 则由1T πω==得1ω=，即得1ω=±. 由2πϕ<，且在区间54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则可得1ω=-，∴()()()tan tan f x x x ϕϕ=-+=--. 由2,32k k Z ππϕ-=∈得2,32k k Z ππϕ=-∈，因2πϕ<，可得6π=ϕ或3π-，当3πϕ=-时，()tan +3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由+,232k x k k Z πππππ-<<+∈，得5,66k x k k Z ππππ-<<+∈，则函数()f x 的单调减区间为5,,66k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，令1k =，由54,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭7,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭⊄，得函数()f x 在54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不是单调递减，所以3πϕ=-不满足题意；当6π=ϕ时，()tan 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由,262k x k k Z πππππ-<-<+∈，得2,33k x k k Z ππππ-<<+∈，则函数()f x 的单调减区间为2,,33k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，令1k =，由25,3354,63ππππ⎛⎫⊂⎛⎫ ⎪⎝ ⎪⎝⎭⎭，得函数()f x 在54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以6π=ϕ满足题意；综上可得：6π=ϕ满足题意. 故选：A.【点睛】关键点睛：正切型函数的对称中心和单调性的问题，通常采用代入检验法，注意正切函数的对称中心为0,2k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭，. 11．D解析：D 【分析】由题先求出()3sin 323g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，可得3,3363x πππθ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，要满足题意，则332ππθ+≥，即可求出.【详解】将()f x 横坐标缩短为原来的13得到3sin(3)2y x =--，再向右平移29π个单位得到()23sin 323sin 3293g x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫---=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=，,18x πθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则3,3363x πππθ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，要使()g x 在区间,18πθ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，则332ππθ+≥，即18πθ≥，则θ的最小值为18π. 故选：D. 【点睛】本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是通过图象变化得出()3sin 323g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质求解.12．C解析：C 【分析】函数()()sin ln 0=->f x x x ωω只有一个零点，等价于sin y x ω=与ln y x =图象只有一个交点，作出两个函数的图象，数形结合即可求解. 【详解】函数()()sin ln 0=->f x x x ωω只有一个零点，可得sin ln 0x x ω-=只有一个实根，等价于sin y x ω=与ln y x =图象只有一个交点，作出两个函数的图象如图所示，由sin y x ω=可得其周期2T πω=，当x e =时，ln 1y e ==sin y x ω=最高点5,12A πω⎛⎫⎪⎝⎭所以若恰有一个交点，只需要5ln 12πω>，即52e πω>，解得：52e πω<，又因为0>ω，所以502eπω<<，故选：C 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、填空题13．2【分析】根据函数为偶函数可知函数必有一个零点为可得根据函数的图象可知解得即可得解【详解】因为函数为偶函数且有且仅有3个零点所以必有一个零点为所以得所以函数的图象与直线在上有且仅有3个交点因为函数的解析：2 【分析】根据函数为偶函数可知函数必有一个零点为0x =，可得1a =-，根据函数cos y x ω=(0)>ω的图象可知222πππωω≤<⨯，解得24ω≤<即可得解.【详解】因为函数cos ,[],y a x x ωππ=+∈-为偶函数，且有且仅有3个零点，所以必有一个零点为0x =，所以cos00a +=，得1a =-，所以函数cos y x ω=(0)>ω的图象与直线1y =在[,]-ππ上有且仅有3个交点，因为函数cos y x ω=(0)>ω的最小正周期2T πω=，所以2T T π≤<，即222πππωω≤<⨯，得24ω≤<，所以ω的最小值是2.故答案为：2 【点睛】关键点点睛：根据偶函数图象的对称性求出a 是解题关键.14．①②③【分析】利用正弦型函数的对称性可判断①④的正误；利用正弦型函数的周期公式可判断②的正误；利用正弦型函数的单调性可判断③的正误【详解】对于①所以的图象关于直线对称①正确；对于②的最小正周期是②正解析：①②③ 【分析】利用正弦型函数的对称性可判断①④的正误；利用正弦型函数的周期公式可判断②的正误；利用正弦型函数的单调性可判断③的正误. 【详解】对于①，212sin 232243f πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以，()y f x =的图象关于直线2x π=-对称，①正确；对于②，()f x 的最小正周期是2412T ππ==，②正确；对于③，当23x ππ≤≤时，3154244x πππ≤-≤，所以，函数()y f x =在区间[]2,3ππ上是减函数，③正确；对于④，由①可知，④错误. 故答案为：①②③. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.15．【分析】根据函数图像的对称点得到的表达式根据在区间上单调得到的范围从而得到的范围再得到的值【详解】函数的图像关于点对称所以即得到在区间上单调所以即所以所以而所以故答案为：【点睛】本题考查根据余弦型函解析：23【分析】根据函数图像的对称点，得到ω的表达式，根据()f x 在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调，得到T 的范围，从而得到ω的范围，再得到ω的值. 【详解】函数()f x x ω=-的图像关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以304πω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即342k ππωπ=+，k ∈Z ，得到4233k ω=+，k ∈Z ， ()f x 在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以223T π≥，即43T π≥，所以243ππω≥，所以32ω≤，而0>ω，所以0k =，23ω=. 故答案为：23. 【点睛】本题考查根据余弦型函数的对称中心求参数的值，根据余弦型函数的周期求参数的值，属于中档题.16．【分析】先切化弦再诱导公式化简后运用余弦二倍角公式得解【详解】故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系诱导公式二倍角公式同角三角函数的基本关系本身是恒等式也可以看作是方程对于一些题可利用已知解析：19-【分析】先切化弦，再诱导公式化简后，运用余弦二倍角公式得解. 【详解】2tan|cos |,|sin |2232ααα∴=∴== 22451sin()cos cos sin 222999παααα∴+==-=-=-故答案为：19-. 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角公式.同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．应用诱导公式化简求值的关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．17．①②③【分析】利用整体代入的方式求出对称中心和对称轴分析单调区间利用函数的平移方式检验平移后的图象【详解】由题：令当时即函数的一条对称轴所以①正确；令当时所以是函数的一个对称中心所以②正确；当在区间解析：①②③ 【分析】利用整体代入的方式求出对称中心和对称轴，分析单调区间，利用函数的平移方式检验平移后的图象. 【详解】由题：()3sin 23x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2,32x k k Z πππ-=+∈，5,122k x k Z ππ=+∈，当1k =时，1112π=x 即函数的一条对称轴，所以①正确；令2,3x k k Z ππ-=∈，,62k x k Z ππ=+∈，当1k =时，23x π=，所以2,03π⎛⎫⎪⎝⎭是函数的一个对称中心，所以②正确；当5,1212x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，,2223x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝π⎭-，()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数，所以③正确；3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度得到23sin 23sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与函数()3sin 23x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭不相等，所以④错误.故答案为：①②③ 【点睛】此题考查三角函数的图象和性质，利用整体代入的方式求解对称轴对称中心，求解单调区间，根据函数的平移变换求解平移后的函数解析式.18．②④或③②(填一种即可)【分析】利用三角函数图象变换可以先平移后伸缩也可以先伸缩后平移即可得到结论【详解】经过变换②可得到再经过变换④可得;或者经过变换③可得到再经过变换②可得故答案为:②④或③②(解析：②④或③②(填一种即可) 【分析】利用三角函数图象变换,可以“先平移，后伸缩”,也可以“先伸缩，后平移”即可得到结论. 【详解】sin y x =经过变换②可得到sin 2y x =,再经过变换④可得sin(2)3y x π=-;或者sin y x =经过变换③可得到sin()3y x π=-,再经过变换②可得sin 2y x =.故答案为: ②④或③②(填一种即可). 【点睛】本题考查三角函数图象变换,分辨清“先平移，后伸缩”,还是“先伸缩，后平移”是解题的关键,熟练掌握无论是哪种变换,切记每一个变换总是对x 而言,属于中档题.19．②③【分析】根据三角函数的零点性质三角函数对称和三角函数诱导公式依次判断每个选项得到答案【详解】①中是的两个零点即是的整数倍①错误；②中②正确；故④错误；③中③正确；所以正确命题序号是②③故答案为：解析：②③ 【分析】根据三角函数的零点性质，三角函数对称和三角函数诱导公式依次判断每个选项得到答案. 【详解】①中12,x x 是()f x 的两个零点，即12x x -是2π的整数倍，①错误； ②中06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，②正确；故④错误； ③中4sin 24cos 2cos 23236y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，③正确；所以正确命题序号是②③. 故答案为：②③. 【点睛】本题考查了三角函数的对称，零点，诱导公式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.20．见解析【分析】任选一个条件求出的取值结合单调性分析的情况即可得解【详解】若选①令代入解得因为所以当时当时若函数在上单调则有解得所以存在正整数时使得函数在上是单调的若选②所以当时若函数在上单调则有解得解析：见解析【分析】任选一个条件求出ϕ的取值，结合单调性分析ω的情况即可得解. 【详解】若选①，令,x k k Z ωϕπ+=∈，代入56x πω=，解得5,6k k Z πϕπ=-∈，因为02πϕ≤≤，所以当1k =时，6π=ϕ，()2cos()6f x x πω=+，当[0,]2x π∈时，[,]6626x πππωπω+∈+，若函数()f x 在[0,]2π上单调，则有26πωππ+≤，解得503ω<≤，所以存在正整数1ω=时，使得函数()f x 在[0,]2π上是单调的．若选②，()cos 2cos()3f x x x x πωωω==+，所以3πϕ=，当[0,]2x π∈时，[,]3323x πππωπω+∈+，若函数()f x 在[0,]2π上单调，则有23πωππ+≤，解得403ω<≤，所以存在正整数1ω=时，使得函数()f x 在[0,]2π上是单调的．若选③，因为()(0)f x f ≤恒成立，即max ()(0)2cos 2f x f ϕ===，所以cos 1ϕ=，因为02πϕ≤≤，所以0ϕ=，()2cos f x x ω=，当[0,]2x π∈时，[0,]2x πωω∈，若函数()f x 在[0,]2π上单调，则有2πωπ≤，解得02ω<≤，所以存在正整数1ω=或2时，使得函数()f x 在[0,]2π上是单调的．【点睛】此题考查三角函数的综合应用，根据对称性单调性以及最值的关系求解参数，需要熟练掌握三角函数相关性质.三、解答题21．（1）答案见解析；（2）34k x ππ=+，k Z ∈. 【分析】（1）分别令x 等于0、6π、512π、23π、1112π、π，求得对应的纵坐标，确定点的坐标，列表、描点、作图即可；（2）利用放缩变换与平移变换法则可得到()15sin 4126g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再令5462x k k Z πππ-=+∈，可得答案. 【详解】（1）由题意可得表格如下：26x π+6π 2π π32π 2π136πx6π 512π 23π 1112ππ()f x141212- 014（2）将()y f x =的图象向上平移1个单位得到1sin 2126y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，再横坐标缩短为原来的12可得到1sin 4126y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，再向右平移4π个单位可得115sin 41sin 412626y x x πππ⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，即()15sin 4126g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令5462x k πππ-=+，解得34k x k Z ππ=+∈，，所以()g x 的对称轴方程是34k x ππ=+，k Z ∈．【点睛】方法点睛：“五点法”作一个周期上的图象，主要把握三处主要位置点：1、区间端点；2、最值点；3、零点.22．（1）2π；（2）2，5,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 【分析】（1）先利用二倍角公式化简，再用辅助角公式化为()f x sin 16x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即可求出()f x 的最小正周期；（2）利用图像变换得到()y g x =的解析式，利用换元法就可以得到()y g x =的最大值及取得最大值时 x 的取值【详解】（1）∵函数1cos 1()22x f x x +=++ sin 16x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴函数的周期为2π（2）依题意：函数()f x sin 16x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象上的各点向左平移32π个单位，得到y 3sin +1= -cos 1626x x πππ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，得到y = -cos 216x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭；所以()cos 216g x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭令226t x k πππ=+=+，即5()12x k k Z ππ=+∈ 使函数()g x 取得最大值2，即max ()2g x =使函数()g x 取得最大值的集合为5,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭．【注意】取得最大值的集合为7,12x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭也可以．【点睛】：(1)关于三角函数图像平移伸缩变换：先平移的话，如果平移a 个单位长度那么相位就会改变ωa ；而先伸缩势必会改变ω大小，这时再平移要使相位改变值仍为ωa ，那么平移长度不等于a ；(2)求y =Asin (ωx +φ)+B 的值域通常用换元法； 23．()2sin 3f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）296【分析】（1）根据条件先求ω，再根据()0f =ϕ，最后再验证ϕ值，确定函数的解析式；（2）根据条件求函数的零点，确定b 的最大值应是第5个零点. 【详解】（1）函数的最大值是2，∴,函数的周期2T =，即22πωπω=⇒=，()02sin f ϕ==，且0ϕπ<<，3πϕ∴=或23π，当3πϕ=时，()2sin 3f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当10,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5,3312x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，满足条件；当23ϕπ=时，()22sin 3f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当10,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，223,334x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以函数在区间10,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以舍去，所以函数()2sin 3f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）()2sin 103g x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，得1sin 32x ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 72,36x k k Z ππππ+=+∈，解得：52,6x k k Z =+∈，或112,36x k k Z ππππ+=+∈，解得：32,2x k k Z =+∈，函数()()1g x f x =+在区间()0,b 上只有4个零点，∴这四个零点应是56，32，176，72，那么b 的最大值应是第5个零点，即296，所以b 的最大值是296. 【点睛】关键点点睛：本题第一问注意求出两个ϕ 后需验证是否满足条件，第二个关键点是，注意()0,b 是开区间，开区间内只有四个零点，则b 的最大值是第5个零点.24．（1）()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）,,2πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ；（3）{},66πππ⎡⎤-⋃⎢⎥⎣⎦．【分析】(1)利用题中图象可知A =，44T π=，结合周期公式求得=2ω，再由3x π=代入计算得=3πϕ即得解析式；(2)根据三角函数平移的方法求得()g x ，再利用整体代入法求单调递减区间即可；(3)先由()32fx ≥可得sin 23x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，再由,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦得到23x π+的前提范围，结合正弦函数性质得到不等式中23x π+的范围，再计算x 范围即可.【详解】解：（1）由题中图象可知：A =，741234T πππ=-=， 2T ππω∴==，即2ω=，又由图象知，3x π=时，223k πϕππ⋅+=+，即23k πϕπ=+，k Z ∈，又02ϕπ≤<，∴=3πϕ，()23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭；（2）()f x 向左平移12π个单位后得到函数()g x ，故()2221232g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由余弦函数性质知，令222,k x k k Z πππ≤≤+∈，得减区间,,2πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ， ∴()g x 的单调递减区间为,,2πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ；（3）由题意知：()3232f x x π⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，即sin 23x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，由,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，知[]0,x π∈，2,2333x ππππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，由正弦函数图象性质可知，22333x πππ≤+≤或2233x πππ+=+ 即06x π≤≤或x =π，又,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得x 的取值范围为{},66x πππ⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎣⎦．【点睛】方法点睛：求三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++性质问题时，通常利用整体代入法求解单调性、对称性，最值等性质，或者整体法求三角不等式的解.25．（1）3tan 4α=；（2）3sin 3sin 3cos 25ααα=--.【分析】（1）利用诱导公式可得出12cos sin 25αα=，根据题意可得出关于cos α、sin α的值，求出cos α、sin α的值，利用同角三角函数的商数关系可求得tan α的值；（2）将所求代数式变形为()()3322sin sin sin 3cos sin 3cos sin cos αααααααα=--+，在分式的分子和分母中同时除以3cos α，利用弦化切可求得所求代数式的值. 【详解】（1）712sin cos 2225ππαα⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由诱导公式可得123sin cos cos sin 2522ππαααα⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos sin 0αα∴>>，由已知可得2212cos sin 25cos sin 1cos sin 0αααααα⎧=⎪⎪+=⎨⎪>>⎪⎩，解得4cos 53sin 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此，sin 3tan cos 4ααα==；（2）()()3322sin sin sin 3cos sin 3cos sin cos αααααααα=--+()()332223sin tan 325sin sin tan 3tan 131cos cos cos ααααααααα===-⎛⎫-+⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】方法点睛：三角函数求值问题中已知tan α，求关于sin α、cos α的代数式的值时，一般利用弦化切公式后直接代入tan α的值，在关于sin α、cos α的齐次式中，常常利用弦化切的方程转化为含tan α的代数式. 26．（1）12x π=-；（2）512ω≤<. 【分析】（1）由函数的()f x 的最小正周期求得ω，再根据图象的平移得出函数()f x 的解析式，由正弦函数的性质可得答案；（2）由图象平移得出：()33f x x ππω⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再由()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上仅有一个零点，建立不等式组，解之可得范围. 【详解】解：（1）因为()f x 的最小正周期为π，2ππω∴=，2ω∴=，()f x的图像是由3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移3π个单位得到，()33f x x ππω⎡⎤⎛⎫∴=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即()23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令232x k ππ-=π+，k Z ∈，得()f x 的对称轴方程为212k x π5π=+，k Z ∈，要使直线212k x π5π=+（k Z ∈）与y 轴距离最近，则须5212k ππ+最小，1k ∴=-，此时对称轴方程为12x π=-，即所求对称轴方程为12x π=-.（2）由已知得：()33f x x ππω⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令()0f x =得：33x k ππωωπ+-=，k Z ∈，即33k x πππωω+-=，k Z ∈，。

高中数学必修四第一章《三角函数》单元测试题(含答案)

高中数学必修四第一章单元测试题《三角函数》（时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（）A. B. C. D.2．函数的一条对称轴可能是（）A. B. C. D.3．已知1sin 3θ=， ,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan θ= A. 2- B. 2- C. 24-D. 28- 4．已知，，则（）．A. B. C. D. ，5．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是（） A. 2 B.C.D.6．下列区间上函数cos 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为增函数的是（）A. ,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 24,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 711,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．已知α为第二象限角，则222sin 1-sin cos 1-cos αααα+的值是（） A. -1 B. 1 C. -3 D. 3 8．如图，函数（，）的图象过点，则的函数解析式为（）A.B.C. D.9．将函数的图象向右平移个单位后关于轴对称，则的值可能为（）A. B. C. D.10．已知tan 4θ=，则2sin cos sin 17sin 4θθθθ++的值为（）A.1468 B. 2168 C. 6814 D. 682111．函数()()sin f x A x ωϕ=+的图象如下图所示，为了得到()cos g x A x ω=-的图像，可以将()f x 的图像（）A. 向右平移12π个单位长度 B. 向右平移512π个单位长度C. 向左平移12π个单位长度 D. 向左平移512π个单位长度 12．同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线3x π=对称；③在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；④一个对称中心为,012π⎛⎫⎪⎝⎭”的一个函数是（） A. sin 26x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若角α的终边经过点()1,2--，则2sin2cos αα+=____________. 14．函数()()π20,2f x sin x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象如图所示，则ω=__________， ϕ=__________．15．若()()sin 2cos 2,αππα-=-则()()()()sin 5cos 23cos sin παπαπαα-+----的值为____________.16．给出下列四个命题： ①函数2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一条对称轴是512x π=； ②函数tan y x =的图象关于点(2π,0)对称； ③函数2cos sin y x x =+的最小值为1-；= 0，则12x x k π-=，其中k Z ∈；以上四个命题中正确的有_____________（填写正确命题前面的序号）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题10（1（2）2sin sin2αα+.18．（本小题12分）（1）已知角α终边上一点，求cos α和tan α的值．（2）已知α是第三象限的角，且简()f α；②若，求()f α19．（本小题12分）已知函数()()sin (0,24,)2f x A wx b A w πϕϕ=++><<<.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 的图象的对称中心及()2f x 的递减区间.20．（本小题12分）某同学用“五点法”画函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：6π23π0 22-（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并求出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动12π个单位长度，得到()y g x =图象，求()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心. 21．（本小题12分）已知函数为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为.（1）求的值；（2）函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间.22．（本小题12分）函数()()sin (0,)2f x x πωϕωϕ=+><在它的某一个周期内的单调减区间是511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （1）求()f x 的解析式；（2）将()y f x =的图象先向右平移6π个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为()g x ，求函数()g x 在3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.高中数学必修四第一章单元测试题《三角函数》参考答案（时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】,选D.2．函数的一条对称轴可能是（）A. B. C. D.【答案】B3．已知1sin 3θ=， ,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan θ= A. 2- B. 2- C. 24- D. 28- 【答案】C 【解析】∵1sin 3θ=， ,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴222cos 1sin 3θθ=--=-，则1sin 23tan cos 4223θθθ===--，故选C.4．已知，，则（）．A. B. C. D. ，【答案】D 【解析】 ∵，，∴，，∴．故选．5．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是（） A. 2 B. C.D.【答案】C【解析】6．下列区间上函数cos 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为增函数的是（） A. ,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 24,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 711,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】当44x ππ-≤≤时，712312x πππ≤+≤，函数不是增函数；当263x ππ≤≤时， 23x πππ≤+≤，函数是减函数；当2433x ππ≤≤时， 533x πππ≤+≤，函数是增函数；选C.7．已知α为第二象限角，则222sin 1-sin cos 1-cos αααα+的值是（） A. -1 B. 1 C. -3 D. 3 【答案】B8．如图，函数（，）的图象过点，则的函数解析式为（）A.B.C. D.【答案】B【解析】由题意可得A=2,f(0)=由所以，，选B.9．【2018届河南省天一大联考高三上测试二（10月】将函数的图象向右平移个单位后关于轴对称，则的值可能为（）A. B. C. D.【答案】D10．已知tan 4θ=，则2sin cos sin 17sin 4θθθθ++的值为（）A.1468 B. 2168 C. 6814 D. 6821【答案】B【解析】()2222sin cos sin 1sin 17sin 417tan 4sin cos tan θθθθθθθθθ+++=++ ()22141162117tan 68686841tan tan tan θθθθ++=+=+=+,故选B 11．函数()()sin f x A x ωϕ=+的图象如下图所示，为了得到()cos g x A x ω=-的图像，可以将()f x 的图像（）A. 向右平移12π个单位长度B. 向右平移512π个单位长度 C. 向左平移12π个单位长度 D. 向左平移512π个单位长度【答案】B【解析】试题分析:由题意可得,解之得,故,又可得,即,所以,而,即函数可由函数的图象向右平移512π个单位长度而得到,故应选B. 12．【2018届广西柳州市高三上摸底】同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线3x π=对称；③在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；④一个对称中心为,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭”的一个函数是（）A. sin 26x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【2018届福建省惠安惠南中学高三10月月考】若角α的终边经过点()1,2--，则2sin2cos αα+=____________.【答案】1【解析】由三角函数定义得2tan 21α-==∴- 2sin2cos αα+= 22222sin cos cos 2tan 1411sin cos 141tan ααααααα+++===+++14．函数()()π20,2f x sin x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象如图所示，则ω=__________， ϕ=__________．【答案】2π3 π615．若()()sin 2cos 2,αππα-=-则()()()()sin 5cos 23cos sin παπαπαα-+----的值为____________.【答案】35-【解析】因为()()sin 2cos 2sin 2cos ,αππααα-=-∴=-()()()()sin 5cos 2sin 5cos 3cos 33cos sin 3cos sin 5cos 5παπααααπααααα-+-+===-----+-故答案为35-.16．给出下列四个命题： ①函数2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一条对称轴是512x π=； ②函数tan y x =的图象关于点(2π,0)对称； ③函数2cos sin y x x =+的最小值为1-；④若12sin 2sin 244x x ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ = 0，则12x x k π-=，其中k Z ∈；以上四个命题中正确的有_____________（填写正确命题前面的序号）．【答案】①②③ 【解析】把512x π=代入函数得1y =,为最大值，故正确；结合函数tan y x =的图象可得点,02π⎛⎫⎪⎝⎭是函数tan y x =的图象的一个对称中心，故正确；函数 22215cos sin sin 124y x x x sinx sinx ⎛⎫=+=-++=--+ ⎪⎝⎭ []1,1sinx ∈-Q 当sin 1x =-时，函数取得最小值为1-，故正确。

数学必修4复习题

数学必修4复习题数学必修4通常涵盖了高中数学的多个重要主题，如函数、导数、积分、三角函数等。

以下是一些复习题，旨在帮助学生巩固这些概念。

一、函数与方程1. 给定函数 \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，求其定义域和值域。

2. 判断函数 \( g(x) = \frac{1}{x} \) 在 \( x > 0 \) 时的单调性，并给出证明。

3. 求解方程 \( 2x^3 - 5x^2 + x - 3 = 0 \) 的实根。

二、导数与微分4. 求函数 \( h(x) = x^3 - 4x^2 + 5 \) 的导数 \( h'(x) \)。

5. 利用导数求函数 \( f(x) = x^4 - 3x^3 + 2 \) 在 \( x = 2 \)处的切线方程。

6. 判断函数 \( y = \ln(x) \) 是否在其定义域内单调递增，并证明。

三、积分7. 求定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值。

8. 利用牛顿-莱布尼茨公式计算 \( \int_{1}^{2} (2t - 1) dt \)。

9. 求原函数：\( \int \frac{1}{x^2 + 1} dx \)。

四、三角函数10. 利用正弦定理求解三角形 ABC，其中 \( a = 5 \)，\( b = 7 \)，且 \( \angle A = 60^\circ \)。

11. 证明余弦定理：对于任意三角形 ABC，有 \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C) \)。

12. 求函数 \( y = \sin(x) + \cos(x) \) 在区间 \( [0, 2\pi] \) 上的最大值和最小值。

五、解析几何13. 求直线 \( y = 2x + 3 \) 与抛物线 \( y^2 = 4x \) 的交点。

14. 证明椭圆 \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) 的焦点位于直线 \( x = \pm \frac{a^2}{c} \) 上。

(易错题)高中数学必修四第一章《三角函数》测试(含答案解析)(5)

一、选择题1．已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的个数是（） ①()f x 的最小值为2-； ②点,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的图象的一个对称中心； ③()f x 的最小正周期为π； ④()f x 在,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增. A ．1B ．2C ．3D ．42．函数()sin()(0||)2，f x x πωϕωϕ=+><的部分函数图象如图所示，将函数()f x 的图象先向右平移3π个单位长度，然后向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的解析式为（）A ．()sin 21g x x =-B ．()sin 21g x x =+C ．()sin(2)13g x x π=-- D ．()sin(2)13g x x π=-+3．函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，则()fπ=（）A ．3B ．3C 3D 34．已知函数f （x ）=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，其中(0,)2πϕ∈ ，则函数g （x ）=cos （2x-φ）的图象（） A ．关于点(,0)12π对称 B ．关于轴512x π=-对称 C ．可由函数f （x ）的图象向右平移6π个单位得到 D ．可由函数f （x ）的图象向左平移3π个单位得到 5．设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在区间[,]32ππ上具有单调性，且()(),23f f ππ=-2()()23f f ππ=，则ω=（） A ．6 B ．3 C ．2D ．16．我国著名数学家华罗庚先生曾倡导“0.618优选法”，0.618是被公认为最具有审美意义的比例数字，我们称为黄金分割．“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，华先生认为底与腰之比为黄金分割比51510.61822⎛⎫≈ ⎪ ⎪⎝⎭的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为36°的等腰三角形．例如，中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的．如图，在其中一个黄金ABC 中，黄金分割比为BCAC．试根据以上信息，计算sin18︒=（）A 51- B 51- C 51+ D 357．声音是由物体振动产生的声波．我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数sin y A wt =．音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与函数sin y A wt =中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音．我们听到的声音函数是111sin sin 2sin 3sin 4234y x x x x =++++．结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中正确的有（）．A ．函数1111sin sin 2sin3sin 4sin100234100y x x x x x =+++++不具有奇偶性； B ．函数111()sin sin 2sin3sin 4234f x x x x x =+++在区间,1616ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； C ．若某声音甲对应函数近似为111()sin sin 2sin3sin 4234f x x x x x =+++，则声音甲的响度一定比纯音1()sin 22h x x =响度大； D ．若某声音甲对应函数近似为1()sin sin 22g x x x =+，则声音甲一定比纯音1()sin33h x x =更低沉．8．已知函数()sin 0,2y x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A ．1ω=，6π=ϕ B ．1ω=，6πϕ=-C ．2ω=，6π=ϕ D ．2ω=，6πϕ=- 9．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，具有以下性质：（1）对任意的x ∈R ，都有()()12()f x f x f x ≤≤，且12x x -的最小值为2π；（2）6f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数；（3）任取12,0,4x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当12x x ≠时，都有()()()()11222112x f x x f x x f x x f x +>+．同时满足上述性质的一个函数可以是（） A ．4sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭10．现有四个函数：①y =x |sin x |，②y =x 2cos x ，③y =x ·e x ；④1y x x=+的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（）A ．①②③④B ．①③②④C ．②①③④D ．③②①④11．设函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><.若5()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，且1108f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()f x 在443,ππ⎛⎫-⎪⎝⎭单调，则（） A ．23ω=，12πϕ=B ．23ω=，1112πϕ=- C ．13ω=，1124πϕ=-D ．13ω=，724πϕ=12．设函数()tan 3f x x π=-，()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数是（） A ．4B ．5C ．12D ．13二、填空题13．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω，||2ϕπ<)的部分图象如图所示.则函数()y f x =的解析式为________.14．已知函数()f x 的定义域为R ，且()2()f x f x π+=，当[0,)x π∈时，()sin f x x =．若存在0(,]x m ∈-∞，使得0()43f x ≥m 的取值范围为________．15．设函数()3sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象为C ，给出下列命题：①图象C 关于直线1112π=x 对称；②函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是减函数；③函数()f x 是奇函数；④图象C 关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称.其中，错误命题的是______. 16．函数f (x )=A sin(ωx +φ)(00)2A πωϕ>><，，的部分图象如图所示，则f (0)的值为___________.17．若函数()cos()(0)4f x wx w π=+>在[]0,π的值域为212⎡-⎢⎣⎦，，则w 的取值范围是______18．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()24f π=，()0f π=，且()f x 在区间(,)43ππ上单调，则ω的值有_________个.19．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增；③()f x 在[],ππ-有4个零点；④()f x 的最大值为2；其中所有正确结论的编号是_________. 20．给出下列命题： ①函数()4cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的一个对称中心为5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭； ②若α，β为第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>；③在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若40a =，20b =，25B =︒，则ABC ∆必有两解.④函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，得到sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.其中正确命题的序号是 _________（把你认为正确的序号都填上）．三、解答题21．已知函数()1tan ln1tan xf x x-=+.（1）判断函数()f x 的奇偶性，并证明；（2）若()()()1tan tan f xa x g x e x-=-在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有零点，求实数a 的取值范围.22．已知函数2()1ax bf x x +=+是定义在R 上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）确定函数()f x 的解析式；（2）若存在实数θ，使得不等式()2(sin 2)2sin 10f f t θθ-+++<成立，求正实数t的取值范围.23．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中π0,(0,)2ωϕ>∈．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件，求：（Ⅰ）()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）()f x 在区间[0,]2π的最大值和最小值．条件①：函数()f x 最小正周期为π；条件②：函数()f x 图象关于点π(,0)6-对称；条件③：函数()f x 图象关于π12x =对称． 24．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ(0A >，0>ω，2πϕ<)的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在[]0,m 上单调递增，当实数m 取最大值时，求函数()f x 在[]0,m 上的最大值. 25．已知函数()3π2sin 24⎛⎫=+⎪⎝⎭f x x ，R x ∈.（1）求函数()f x 的最小正周期T 及()f x 的图象的对称轴；（2）完成表格，并在给定的坐标系中，用五点法作出函数()f x 在一个周期内的图象.x3π24u x =+()f x26．函数()cos()(0)f x x ωφω=+>的部分图像如图所示.（1）求()f x 的表达式；（2）若[1,2]x ∈，求()f x 的值域；（3）将()f x 的图像向右平移112个单位后，再将所得图像横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求()g x 的单调递减区间.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】求出()min f x 可判断①的正误；利用正弦型函数的对称性可判断②的正误；求出()f x 的最小正周期可判断③的正误；利用正弦型函数的单调性可判断④的正误. 【详解】对于①，()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()()min 212f x ∴=⨯-=-，①正确；对于②，2sin 22sin 20121232f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，点,012π⎛⎫⎪⎝⎭不是()f x 的图象的一个对称中心，②错误；对于③，函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，③正确；对于④，当,06x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2666x πππ-<+<，所以，函数()f x 在,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增. ④正确.因此，正确命题的序号为①③④. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：对于正弦型函数基本性质的判断问题，一般将函数解析式化为()sin y A x b ωϕ=++或()cos y A x b ωϕ=++，将x ωϕ+视为一个整体，利用正弦函数或余弦函数的基本性质来求解.2．D解析：D 【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论．【详解】根据函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的部分函数图象，1274123πππω⋅=-，2ω∴=．再根据五点法作图，23πϕπ⨯+=，3πϕ∴=，()sin(2)3f x x π=+．将函数()f x 的图象先向右平移3π个单位长度，可得sin(2)3y x π=-的图象．然后向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的解析式为()sin(2)13g x x π=-+，故选：D 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于准确地根据三角函数的图象求出三角函数sin()y A x ωϕ=+的解析式，一般根据周期求出ω的值，根据最值求出A 的值，根据最值点求出ϕ的值.3．A解析：A 【分析】由函数()f x 的部分图像得到函数()f x 的最小正周期，求出ω，代入5,212π⎛⎫⎪⎝⎭求出ϕ值，则函数()f x 的解析式可求，取x π=可得()f π的值.【详解】由图像可得函数()f x 的最小正周期为521212T πππ⎡⎤⎛⎫=⨯--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则22T πω==.又5552sin 22sin 212126f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则5sin 16⎛⎫+= ⎪⎝⎭πϕ，则5262k ϕπ=π+π+，k Z ∈，则23k πϕπ=-，k Z ∈，22ππϕ-<<，则0k =，3πϕ=-，则()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2sin 22sin 33f ππππ⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭故选：A. 【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin 0,0,2f x A x b A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图像求函数解析式的方法：（1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=；（3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.4．B解析：B利用三角函数的奇偶性求得φ，再利用三角函数的图象对称性、函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】函数f （x ）=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴y=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，∴3φ=2π，φ=6π，则函数g （x ）=cos （2x ﹣φ）=cos （2x ﹣6π）．当12x π=时，206x π-=，112g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数不关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，选项A 错误；当512x π=-时，26x ππ-=-，则函数关于直线512x π=-对称，选项B 正确；函数()2sin sin 2sin cos sin 22f x x x x x x π⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，其图像向右平移6π个单位的解析式为sin 2sin 2sin 263y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，选项C 错误；其图像向左平移3π个单位的解析式为2sin 2sin 2sin 233y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，选项D 错误；故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、对称性，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．函数()sin y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的性质：（1）奇偶性：=k ϕπ ,k Z ∈时，函数()sin y A x ωϕ=+为奇函数；=2k πϕπ+,k Z ∈时，函数()sin y A x ωϕ=+为偶函数.；（2）周期性：()sin y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =2πω；（3）单调性：根据y =sin t 和t =x ωϕ+的单调性来研究，由+22,22k x k k Z πππωϕπ-≤+≤+∈得单调增区间；由3+22,22k x k k Z πππωϕπ≤+≤+∈得单调减区间；（4）对称性：利用y =sin x 的对称中心为()(),0k k Z π∈求解，令()x k k ωϕπ+=∈Z ，求得x ；利用y =sin x 的对称轴为()2x k k Z ππ=+∈求解，令()+2x k k πωϕπ+=∈Z ，得其对称轴.5．B【分析】由2()()23f f ππ=求出函数的一条对称轴，结合()f x 在区间[,]32ππ上具有单调性，且()()23f f ππ=-，可得函数的四分之一周期，即可求出ω的值．【详解】解：由2()()23f f ππ=，可知函数()f x 的一条对称轴为2723212x πππ+==，则2x π=离最近对称轴距离为712212πππ-=．又()()23f f ππ=-，则()f x 有对称中心5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，由于()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，则1232T ππ-，所以3T π≥，从而7512124T ππ-=，所以23T π=，因为2T πω=，所以3ω=．故选：B 【点睛】本题考查()sin()f x A x ωϕ=+型函数图象的应用，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力．6．B解析：B 【分析】先由ABC 是一个顶角为36°的等腰三角形，作其底边上的高，再利用sin18sin DAC ︒=∠，结合腰和底之比求其结果即可.【详解】依题意可知，黄金ABC 是一个顶角为36°的等腰三角形，如图，51,BC AB AC AC -==，36BAC ∠=︒，过A 作AD BC ⊥于D ，则AD 也是三角形的中线和角平分线，故11112sin18sin 224BCDC DAC AC AC ︒=∠===⋅=. 故选：B. 【点睛】本题解题关键在于读懂题意，将问题提取出来，变成简单的几何问题，即突破结果.7．B解析：B 【分析】A.结合奇偶性的定义判断即可B.用正弦型函数的单调性作出判断 CD 可取特值说明【详解】 A. ()1111sin sin 2sin 3sin 4sin100234100f x x x x x x =+++++()()()()()()()1111sin sin 2sin 3sin 4sin 100234100f x x x x x x f x -=-+-+-+-++-=-，()f x 为奇函数B. ,1616x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，333,1616x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，4,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故sin ,sin 2,sin 3,sin 4x x x x 在,1616ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上均为增函数故111()sin sin 2sin3sin 4234f x x x x x =+++在区间,1616ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增. C. ()()11()sin sin 3sin 434g x f x h x x x x =-=++()()11()sin sin 3sin 434g x f x h x x x x =-=++()()11()sin sin 3sin 4034g f h ππππππ=-=++=故声音甲的响度不一定比纯音1()sin 22h x x =响度大 D. ()11()()sin sin 2sin 323h x g x h x x x x =-=+- ()11()()sin sin 2sin 3023h g h ππππππ=-=+-=甲不一定比纯音1()sin33h x x =更低沉故选：B【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.8．D解析：D 【分析】根据函数的图象求出函数的周期，然后可以求出ω，通过函数经过的最大值点求出ϕ值，即可得到结果. 【详解】由函数的图象可知:74123T πππ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭，22T πω∴==. 当3x π=，函数取得最大值1，所以sin 213πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，2232k k Z ππϕπ+=+∈，， ||,02k πϕ<∴=，6πϕ∴=-，故选：D. 【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解析式，通过周期求ω的值，通过最值点求ϕ的值是解题的关键，属于基础题.9．B解析：B 【分析】根据题设的条件可得正弦型函数的周期、对称中心以及函数在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的单调性，再逐项检验各选项中的函数是否满足即可得到正确的选项．【详解】因为对任意的x ∈R ，都有()()12()f x f x f x ≤≤，且12x x -的最小值为2π，故()f x 的半周期为2π即周期为π，此时A B C D 各选项中的函数均满足．因为6f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数，故()f x 图象的对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭，对于D 中的函数，因为sin 2166ππ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，故,06π⎛⎫⎪⎝⎭不是sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的对称中心，故排除D ．因为()()()()11222112x f x x f x x f x x f x +>+等价于()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，故()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上为增函数，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，4452336x πππ-≤-≤-，而sin y u =在45,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦为减函数，故4sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π为减函数，不合题意，舍；当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2336x πππ-≤-≤，而sin y u =在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为增函数，故sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π为增函数，符合；当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2272336x πππ≤+≤，而sin y u =在27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数，故2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π为减函数，不合题意，舍；故选：B ．【点睛】方法点睛：已知检验给定的点是否正弦型函数的对称中心，可以用代入检验法，而单调性的研究则需结合“同增异减”的原则来判断．10．D解析：D 【分析】根据各函数的特征如函数值的正负，单调性、奇偶性，定义域、值域等进行判断．【详解】左边第一个图象中0x <时，0y <，只有③满足，此时只有D 可选，实际上，左边第二个图象关于y 轴对称，是偶函数，只有②满足，而0x >时，10y x x=+>恒成立，只有最右边的图象满足，由此也可得顺序是③②①④，选D ．故选：D ．【点睛】思路点睛：本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可两者结合，由函数解析式和图象分别确定函数的性质，如奇偶性、单调性、函数值的正负，特殊的函数值，变化趋势等等，两者对照可得结论．11．A解析：A 【分析】5()8f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，可得 58x π=时函数取得最大值，则函数满足518f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，1108f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 在443,ππ⎛⎫-⎪⎝⎭单调，再利用排除法可得答案. 【详解】因为5()8f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则58x π=时函数取得最大值，所以函数满足518f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，1108f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 在443,ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调，对于A ，若23ω=，12πϕ=，可得2()sin 312f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，5sin 182f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，11sin 08f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，3254412,,4,31222x x πππππππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤∈-⇒+∈-⊆- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则2()sin 312f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在443,ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，故A 符合题意；对于B ，若23ω=，1112πϕ=-，可得211()sin 312f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，5sin 1182f ππ⎛⎫⎛⎫=-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 不符合题意；对于C ，若13ω=，1124πϕ=-，可得111()sin 324f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，5sin 1842f ππ⎛⎫⎛⎫=-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 不符合题意；对于D ，若13ω=，724πϕ=，可得17()sin 324f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，113sin 084f ππ⎛⎫==≠ ⎪⎝⎭，故D 不符合题意；故选：A. 【点睛】方法点睛：特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n 项和公式问题等等.12．A解析：A 【分析】由题意知函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数等价于函数()tan 3f x x π=-与()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象在区间[]2,2ππ-上交点的个数，作出两个函数图象，数形结合即可求解. 【详解】令()()()0h x f x g x =-=可得()()f x g x =，所以函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数等价于函数()tan 3f x x π=-与()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象在区间[]2,2ππ-上交点的个数. 分别作出()tan 3f x x π=-与()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象，由图知两个函数图象在区间[]2,2ππ-上有4个交点，所以函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数是4，故选：A 【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法（1）直接法：令()0f x =，如果能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点；（2）利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间[],a b 上是连续不断的曲线，并且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质，（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；（3）图象法：画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数，()h x 和()g x 的形式，根据()()()0f x h x g x =⇔=，则函数()f x 的零点个数就是函数()y h x =和()y g x =的图象交点个数；（4）利用函数的性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到，若所考查的函数是周期函数，则需要求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可以得出函数的零点个数.二、填空题13．【分析】由最值求得由周期求得由最高点的坐标求得【详解】由题意所以又所以所以故答案为：【点睛】方法点睛：由函数图象确定三角函数的解析式主要参考正弦函数图象中五点法由最大值和最小值确定由周期确定利用点的解析：2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．【分析】由最值求得A ，由周期求得ω，由最高点的坐标求得ϕ．【详解】由题意2A =，4312T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，所以22πωπ==， 2sin 2212πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，2,62k k Z ππϕπ+=+∈，又2πϕ<，所以3πϕ=．所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．故答案为：2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：由函数图象确定三角函数的解析式，主要参考正弦函数图象中“五点法”，由最大值和最小值确定A ，由周期确定ω，利用点的坐标确定ϕ，这样可得出表达式()sin()f x A x ωϕ=+．14．【分析】由f （x+）＝2f （x ）得f （x ）＝2f （x ﹣）分段求解析式结合图象可得m 的取值范围【详解】解：∵∴∵当时∴当时当时当时作出函数的图象：令解得：或若存在使得则故答案为：【点睛】本题考查函数与解析：10[,)3π+∞ 【分析】由f （x +π）＝2f （x ），得f （x ）＝2f （x ﹣π），分段求解析式，结合图象可得m 的取值范围．【详解】解：∵()()2f x f x π+=，∴()()2f x f x π=-，∵当0,x 时，()sin f x x =．∴当[),2x ππ∈时，()()2sin f x x π=-．当[)2,3x ππ∈时，()()4sin 2f x x π=-．当[)3,4x ππ∈时，()()8sin 3f x x π=-．作出函数的图象：令()8sin 343x π-=103x π=，或113π，若存在(]0,x m ∈-∞，使得()043f x ≥，则103m π≥，故答案为：10[,)3π+∞ 【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．15．②③④【分析】根据函数的图象与性质分析函数的对称性奇偶性与单调性即可得出结论【详解】解：①由得令直线为函数图象的对称轴故图象C 关于直线对称故①正确；由得令得函数在区间内是增函数故②错误；故函数不是奇解析：②③④ 【分析】根据函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象与性质，分析函数的对称性，奇偶性与单调性，即可得出结论. 【详解】解：①由232x k πππ-=+，Z k ∈，得25121x k ππ=+，Z k ∈，令1k =，直线1112π=x 为函数图象的对称轴，故图象C 关于直线1112π=x 对称，故①正确；由222232k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈，得5,1212x k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，令0k =，得函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内是增函数，故②错误； ()00f ≠，故函数()f x 不是奇函数，故③错误；由23x k ππ-=，k Z ∈，得612x k ππ=+，k Z ∈，图象C 不关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故④错误.故答案为：②③④. 【点睛】本题考查正弦函数的图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.16．【分析】由图可得的周期振幅即可得再将代入可解得进一步求得解析式及【详解】由图可得所以即又即又故所以故答案为：【点睛】本题考查由图象求解析式及函数值考查学生识图计算等能力是一道中档题解析：【分析】由图可得()f x 的周期、振幅，即可得,A ω，再将(,0)6π代入可解得ϕ，进一步求得解析式及()0f . 【详解】由图可得2A =，1()46124T πππ=--=，所以2T ππω==，即2ω=，又()06f π=，即2sin(2)06πϕ⨯+=，,3k k Z πϕπ+=∈，又||2ϕπ<，故3πϕ=-，所以()sin()f x x π=-223，(0)2sin()3f π=-=故答案为：. 【点睛】本题考查由图象求解析式及函数值，考查学生识图、计算等能力，是一道中档题.17．【分析】先根据题意计算出的范围再根据函数的单调性结合值域列出不等式即可求得【详解】因为且故可得因为在区间单调递减在单调递增且故要满足题意只需解得故答案为：【点睛】本题考查由余弦型函数在区间上的值域求解析：3342⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【分析】先根据题意计算出4wx π+的范围，再根据函数的单调性，结合值域，列出不等式，即可求得. 【详解】因为[]0,x π∈，且0w >，故可得1,444wx w πππ⎡⎤⎛⎫+∈+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因为y cosx =在区间,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在7,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，且7coscos424ππ==，1cos π=-，故要满足题意，只需1744w πππ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭ 解得33,42w ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 故答案为：3342⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【点睛】本题考查由余弦型函数在区间上的值域，求参数范围的问题，属中档题.18．9【分析】由在区间上单调可得故进一步求出范围即可【详解】由知故；又在区间上单调故即18符合条件的的值有9个故答案为：9【点睛】本题考查三角函数的图象与性质考查转化与化归思想考查逻辑推理能力运算求解能解析：9 【分析】由()f x 在区间(,)43ππ上单调，可得342T ππ-，故6T π，进一步求出ω范围即可．【详解】由()24f π=，()0f π=知，34244T kT πππ+=-=，k ∈N ，故312T k π=+，2(12)3k ω+=，k ∈N ；又()f x 在区间(,)43ππ上单调，∴342T ππ-，故6T π， ∴212T πω=，即2(12)123k +，∴172k，k ∈N ， 0k ∴=，1，2⋯，8符合条件的ω的值有9个．故答案为：9．【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，属中档题．19．①④【分析】结合题意得出函数的奇偶性根据奇偶性研究函数在时的性质对结论逐一判断即可【详解】解：∵定义域为∴∴函数是偶函数故①对；当时∴由正弦函数的单调性可知函数在区间上单调递减故②错；当时由得根据偶解析：①④ 【分析】结合题意，得出函数的奇偶性，根据奇偶性研究函数在0x >时的性质对结论逐一判断即可．【详解】解：∵()sin |||sin |f x x x =+，定义域为R ，∴()()sin |||sin |f x x x -=-+-sin sin ()x x f x =+=， ∴函数()f x 是偶函数，故①对；当[]0,x π∈时，()sin |||sin |f x x x =+sin sin 2sin x x x =+=， ∴由正弦函数的单调性可知，函数()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故②错；当[]0,x π∈时，由()2sin 0f x x ==得0x =，x π=，根据偶函数的图象和性质可得，()f x 在[),0π-上有1个零点x π=- ， ∴()f x 在[],ππ-有3个零点，故③错；当0x ≥时，()sin |||sin |f x x x =+sin sin x x =+2sin ,sin 00,sin 0x x x ≥⎧=⎨<⎩，根据奇偶性可得函数()f x 的图象如图，∴当sin 1x =时，函数()f x 有最大值()max 2f x =，故④对；故答案为：①④．【点睛】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题．20．①③【分析】分别利用余弦函数的对称性正切函数的单调性正弦定理三角函数图象变换等知识对各个命题判断【详解】①令是函数的一个对称中心①正确；②若它们为第一象限角且但②错；③在中内角所对的边分别为若∵∴∴解析：①③ 【分析】分别利用余弦函数的对称性，正切函数的单调性，正弦定理，三角函数图象变换等知识对各个命题判断．【详解】 ①，令55()4cos()4cos()012632f ππππ-=-+=-=，5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()4cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个对称中心，①正确；②若136απ=，3πβ=，它们为第一象限角，且αβ>，但tan tan αβ=<=②错；③在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若40a =，20b =，25B =︒，sin sin 2sin 251a BA b==︒<，∵b a <，∴B A <，∴A 可能为锐角，也可能为钝角，则ABC ∆有两解，③正确；④函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，得到sin 2()sin(2)42y x x ππ=+=+的图象，④错．故答案为：①③．【点睛】本题考查命题的真假判断，掌握三角函数的图象与性质是解题关键．本题需要掌握余弦函数的对称性，正切函数的单调性，正弦定理，三角函数图象变换等知识，属于中档题．三、解答题21．（1）函数()f x 为奇函数，证明见解析；（2）(),0-∞. 【分析】（1）求出函数()f x 的定义域，计算得出()f x -与()f x 之间的关系，由此可得出结论；（2）由,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭可得出1tan 0x -<<，1tan 0x ->，利用()0g x =可得出tan 1tan x a x =+，求出函数tan 1tan x y x =+在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上的值域，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】（1）对于函数()1tan ln1tan x f x x -=+，有1tan 01tan xx->+，即tan 10tan 1x x -<+，解得1tan 1x -<<，解得()44k x k k Z ππππ-<<+∈，所以，函数()f x 的定义域为(),44k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ， ()()()()11tan 1tan 1tan 1tan ln ln ln ln 1tan 1tan 1tan 1tan x x x x f x f x x x x x ---+--⎛⎫-====-=- ⎪+--++⎝⎭，所以，函数()f x 为奇函数；（2）()()()()1tan 1tan 1tan tan 1tan tan f x a x a x x g x ex x x---=-=-+， 04x π-<<，则1tan 0x -<<，1tan 0x ->，所以，0tan 11x <+<，令()0g x =，可得()tan 11tan 1101tan tan 1tan 1x xa x x x +-===-<+++，所以，实数a 的取值范围是(),0-∞. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 22．（1）2()1xf x x=+；（2）(0,)+∞. 【分析】（1）由已知条件建立不等式组，解之可得函数的解析式；（2）先由函数的单调性证明函数()f x 在(1,)+∞上单调递减，再由函数的单调性和奇偶性求解不等式可得22sin 12sin t θθ++>-，运用二次函数的最值可得范围．【详解】（1）因为函数2()1ax bf x x +=+是定义在R 上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()001225f f ⎧=⎪⎨⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎩，即2201+01+22511+2ba b ⎧=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得01b a =⎧⎨=⎩，所以2()1x f x x =+，（2）设12x x <，由（1）得()()()()()12121212222212121()1111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，所以当121x x <<时，221212120101>01>0x x x x x x -<-<++，，，，所以()12()>0f x f x -，所以()f x 在(1,)+∞上单调递减，又()2(sin 2)2sin10f f t θθ-+++<等价于()22sin 1(2sin )f t f θθ++<-，22sin 11t θ++>，2sin 1θ-≥，22sin 12sin t θθ∴++>-，即2212sin sin +12sin +9+84t θθθ⎛⎫>--=- ⎪⎝⎭，又1sin 1θ-≤≤，()2min2sin sin 12t θθ∴>--+=-，(0,)t ∴∈+∞.【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)； ③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.23．答案见解析. 【分析】若选择条件①②，（Ⅰ）根据最小正周期求出ω，根据对称中心求出ϕ，根据正弦函数的单调递增区间可求出函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）根据正弦函数的图象可求得结果. 若选择条件①③，（Ⅰ）根据最小正周期求出ω，根据对称轴求出ϕ，根据正弦函数的单调递增区间可求出函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）根据正弦函数的图象可求得结果.若选择②③，不能确定函数最小正周期，无法确定ω，所以无法确定函数解析式．【详解】若选择条件①②，（Ⅰ）由函数()f x 最小正周期2π=πT ω=，得2ω=.因为()f x 图象关于点π(,0)6-对称，所以πsin[2()]06ϕ⨯-+=，所以3k πϕπ-=，k Z ∈，所以3k πϕπ=+，k Z ∈，又已知π(0,)2ϕ∈，故π3ϕ=．因此π()sin(2)3f x x =+． πππ2π22π,232k x k k -+≤+≤+∈Z 由，解得5,1212k x k ππππ-+≤≤+k Z ∈. 所以()f x 的单调递增区间为5ππ[π,π]()1212k k k -++∈Z ．（Ⅱ）因为02x π≤≤，所以ππ4π2333x ≤+≤．当ππ2=32x +，即π12x =时，()f x 取得最大值1；当π4π2=33x +，即π2x =时，()f x 取得最小值．若选择条件①③，（Ⅰ）由函数()f x 最小正周期2π=πT ω=，得2ω=. 又函数()f x 图象关于π12x =对称，所以有πsin(2)112ϕ⨯+=±，所以62k ππϕπ+=+，k Z ∈，即3k πϕπ=+，k Z ∈，又已知π(0,)2ϕ∈，故π3ϕ=．因此π()sin(2)3f x x =+． πππ2π22π,232k x k k -+≤+≤+∈Z 由，解得5,1212k x k ππππ-+≤≤+k Z ∈. 所以()f x 的单调递增区间为5ππ[π,π]()1212k k k -++∈Z ．（Ⅱ）因为02x π≤≤，所以ππ4π2333x ≤+≤．当ππ2=32x +，即π12x =时，()f x 取得最大值1；当π4π2=33x +，即π2x =时，()f x 取得最小值．若选择②③，不能确定函数最小正周期，无法确定ω，所以无法确定函数解析式．【点睛】关键点点睛：根据函数性质确定函数解析式是解题关键.24．(1) ())3f x x π=+；【分析】(1)根据函数()f x 的部分图象可得A 及周期T ，再根据周期公式可求出ω，由五点法作图的第三个点可求出ϕ的值，从而可得函数()f x 的解析式；(2)根据平移变换和伸缩变换的规律，可求出()g x 的解析式，再根据函数()g x 在[]0,m 上单调递增，可求出m 的最大值，再根据正弦函数的图象与性质，即可求出函数()f x 在[0,]m 上的最大值.【详解】(1)由已知可得A =52()63πT ππ=-=，所以22=πωT =，所以())f x x ϕ=+，根据五点法作图可得23πϕπ⨯+=，所以=3πϕ，所以())3f x x π=+(2) 将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，可得22333πππy x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，因为函数()g x 在[]0,m 上单调递增，所以432m ππ-≤，所以524m π≤，m 的最大值为524π，由50,24x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得32,334x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当2=32x +ππ时，()f x .故函数()f x 在[]0,m . 【点睛】方法点睛：确定()sin()(0,0)f x A x B A ωϕω=++>>的解析式的步骤：(1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则2M mA ，2M mB +=； (2)求ω，确定函数的周期T ，则2Tπω=； (3)求ϕ，常用方法有以下2种方法：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入；②五点法：确定ϕ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口. 25．（1）最小正周期为π，对称性ππ28k x =-，Z k ∈；（2）答案见解析. 【分析】（1）利用函数siny A =()x ωϕ+的周期性和对称性，求得()f x 的最小正周期和对称轴.（2）利用五点法作图，结合题意即可列表，进而作出函数的一个周期内的图象. 【详解】解：（1）∵()3π2sin 24⎛⎫=+⎪⎝⎭f x x ，故它的最小正周期为2ππ2=，令3ππ2π42x k +=+，Z k ∈， ππ28k x =-，Z k ∈（2）由题意可得表格如下：x38π-8π-8π 38π 58π 3π24u x =+0 2π π32π 2π()f x22-【点睛】本题考查求正弦型函数的周期与对称性，考查“五点法”画图，掌握正弦函数的性质是解题。

高中数学必修4习题和复习参考题及对应答案

高中数学必修4习题和复习参考题及对应答案A组1、在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：（1）－265°；（2）－1000°；（3）－843°10′；（4）3900°．答案：（1）95°，第二象限；（2）80°，第一象限；（3）236°50′，第三象限；（4）300°，第四象限．说明：能在给定范围内找出与指定的角终边相同的角，并判定是第几象限角．2、写出终边在x轴上的角的集合．答案：S={α|α=k·180°，k∈Z}．说明：将终边相同的角用集合表示．3、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－360°≤β＜360°的元素β写出来：（1）60°；（2）－75°；（3）－824°30′；（4）475°；（5）90°；（6）270°；（7）180°；（8）0°．答案：（1）{β|β=60°＋k·360°，k∈Z}，－300°，60°；（2）{β|β=－75°＋k·360°，k∈Z}，－75°，285°；（3）{β|β=－824°30′＋k·360°，k∈Z}，－104°30′，255°30′；（4）{β|β=475°＋k·360°，k∈Z}，－245°，115°；（5）{β|β=90°＋k·360°，k∈Z}，－270°，90°；（6）{β|β=270°＋k·360°，k∈Z}，－90°，270°；（7）{β|β=180°＋k·360°，k∈Z}，－180°，180°；（8）{β|β=k·360°，k∈Z}，－360°，0°．说明：用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定范围内找出与指定的角终边相同的角．4、分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合．说明：用角度制和弧度制写出各象限角的集合．5、选择题：（1）已知α是锐角，那么2α是（） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．小于180°的正角D ．第一或第二象限角（2）已知α是第一象限角，那么2α是（）、 A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第一或第二象限角D ．第一或第三象限角答案：（1）C说明：因为0°＜α＜90°，所以0°＜2α＜180°．（2）D说明：因为k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z ，所以180451802k k α︒<<︒+︒，k∈Z ．当k 为奇数时，2α是第三象限角；当k 为偶数时，2α是第一象限角． 6、一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？答案：不等于1弧度．这是因为等于半径长的弧所对的圆心角为1弧度，而等于半径长的弦所对的弧比半径长．说明：了解弧度的概念． 7、把下列各角度化成弧度：（1）36°；（2）－150°；（3）1095°；（4）1440°．答案：（1）5π；（2）56π；（3）7312π-；（4）8π．说明：能进行度与弧度的换算．8、把下列各弧度化成度：（1）76π-；（2）103π-；（3）1.4；（4）23．答案：（1）－210°；（2）－600°；（3）80.21°；（4）38.2°．说明：能进行弧度与度的换算． 9、要在半径OA=100cm 的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB 的长为112cm ，求圆心角∠AOB 是多少度（可用计算器，精确到1°）．答案：64°说明：可以先运用弧度制下的弧长公式求出圆心角的弧度数，再将弧度换算为度，也可以直接运用角度制下的弧长公式．10、已知弧长50cm 的弧所对圆心角为200°，求这条弧所在的圆的半径（可用计算器，精确到1cm ）．答案：14cm ．说明：可以先将度换算为弧度，再运用弧度制下的弧长公式，也可以直接运用角度制下的弧长公式．B 组1、每人准备一把扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子，并用计算器算出它的面积S 1．（1）假设这把扇子是从一个圆面中剪下的，而剩余部分的面积为S 2，求S 1与S 2的比值；（2）要使S 1与S 2的比值为0.618，则扇子的圆心角应为几度（精确到10°）？答案：（1）（略）（2）设扇子的圆心角为θ，由2122120.6181(2)2r S S r θπθ==-，可得θ=0.618（2π－θ），则θ=0.764π≈140°．说明：本题是一个数学实践活动．题目对“美观的扇子”并没有给出标准，目的是让学生先去体验，然后再运用所学知识发现，大多数扇子之所以“美观”是因为基本都满足：120.618SS =（黄金分割比）的道理．2、（1）时间经过4 h （时），时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？（2）有人说，钟的时针和分针一天内会重合24次、你认为这种说法是否正确？请说明理由．（提示：从午夜零时算起，假设分针走了t min 会与时针重合，一天内分针和时针会重合n 次，建立t 关于n 的函数关系式，并画出其图象，然后求出每次重合的时间．）答案：（1）时针转了－120°，等于23π-弧度；分针转了－1440°，等于－8π弧度（2）设经过t min 分针就与时针重合，n 为两针重合的次数．因为分针旋转的角速度为2(rad /min)6030ππ=，时针旋转的角速度为2(rad/min)1260360ππ=⨯，所以()230360t n πππ-=，即72011t n =．用计算机或计算器作出函数72011t n =的图象（如下页图）或表格，从中可清楚地看到时针与分针每次重合所需的时间．n u1 15． 981.82 16． 1047.3 17． 1112.7 18． 1178.2 19． 1243.6 20． 1309.1 21． 1374.5 22．1440.因为时针旋转一天所需的时间为24×60=1440（min ），所以144011n ≤，于是n≤22．故时针与分针一天内只会重合22次．说明：通过时针与分针的旋转问题进一步地认识弧度的概念，并将问题引向深入，用函数思想进行分析．在研究时针与分针一天的重合次数时，可利用计算器或计算机，从模拟的图形、表格中的数据、函数的解析式或图象等角度，不难得到正确的结论．3、已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角是__________度，即__________rad ．如果大轮的转速为180r/min （转/分），小轮的半径为10.5cm ，那么小轮周上一点每1s 转过的弧长是__________．答案：864°，245π，151.2π cm．说明：通过齿轮的转动问题进一步地认识弧度的概念和弧长公式．当大齿轮转动一周时，小齿轮转动的角是4824360864rad.205π⨯︒=︒= 由于大齿轮的转速为3r/s ，所以小齿轮周上一点每1s 转过的弧长是483210.5151.2(cm)20ππ⨯⨯⨯=． P20习题1.2A 组1、用定义法、公式一以及计算器求下列角的三个三角函数值：（1）173π-；（2）214π；（3）236π-；（4）1500°．答案：（1）1sin ,tan 22ααα===（2）sin tan 122ααα=-=-=；（3）1sin ,cos tan 2ααα===（4）1sin ,tan 2ααα=== 说明：先利用公式一变形，再根据定义求值，非特殊角的三角函数值用计算器求．2、已知角α的终边上有一点的坐标是P （3a ，4a ），其中a≠0，求sinα，cosα，tanα的三角函数值．答案：当a ＞0时，434sin ,cos ,tan 553ααα===；当a ＜0时，434sin ,cos ,tan 553ααα=-=-=-．说明：根据定义求三角函数值． 3、计算：（1）6sin （－90°）＋3sin0°－8sin270°＋12cos180°；（2）10cos270°＋4sin0°＋9tan0°＋15cos360°；（3）22322costantan sin cos sin 2446663ππππππ-+-++；（4）2423sincos tan 323πππ+-．答案：（1）－10；（2）15；（3）32-；（4）94-．说明：求特殊角的三角函数值．4、化简：（1）asin0°＋bcos90°＋ctan180°；（2）－p 2cos180°＋q 2sin90°－2pqcos0°；（3）223cos 2sincos sin 22a b ab ab ππππ-+-；（4）13tan 0cos sin cos sin 222m n p q r ππππ+---．答案：（1）0；（2）（p －q ）2；（3）（a －b ）2；（4）0．说明：利用特殊角的三角函数值化简．5、根据下列条件求函数3()sin()2sin()4cos 23cos()444f x x x x x πππ=++--++的值．（1）4x π=；（2）34x π=．答案：（1）－2；（2）2．说明：转化为特殊角的三角函数的求值问题． 6、确定下列三角函数值的符号：（1）sin186°；（2）tan505°；（3）sin7.6π；（4）23tan()4π-；（5）cos940°；（6）59cos()17π-．答案：（1）负；（2）负；（3）负；（4）正；（5）负；（6）负．说明：认识不同位置的角对应的三角函数值的符号． 7、确定下列式子的符号：（1）tan125°·sin273°；（2）tan108cos305︒︒；（3）5411sin cos tan 456πππ；（4）511cos tan 662sin 3πππ．答案：（1）正；（2）负；（3）负；（4）正．说明：认识不同位置的角对应的三角函数值的符号． 8、求下列三角函数值（可用计算器）：（1）67sin()12π-；（2）15tan()4π-；（3）cos398°13′；（4）tan766°15′．答案：（1）0.9659；（2）1；（3）0.7857；（4）1.045．说明：可先运用公式一转化成锐角三角函数，然后再求出三角函数值． 9、求证：（1）角θ为第二或第三象限角当且仅当sinθ·tanθ＜0；（2）角θ为第三或第四象限角当且仅当cosθ·tanθ＜0；（3）角θ为第一或第四象限角当且仅当sin 0tan θθ>；（4）角θ为第一或第三象限角当且仅当sinθ·cosθ＞0．答案：（1）先证如果角θ为第二或第三象限角，那么sinθ·tanθ＜0．当角θ为第二象限角时，sinθ＞0，tanθ＜0，则sinθ·tanθ＜0；当角θ为第三象限角时，sinθ＜0，tanθ＞0，则sinθ·tanθ＜0，所以如果角θ为第二或第三象限角，那么sinθ·tanθ＜0．再证如果sinθ·tanθ＜0，那么角θ为第二或第三象限角．因为sinθ·tanθ＜0，即sinθ＞0且tanθ＜0，或sinθ＜0且tanθ＞0，当sinθ＞0且tanθ＜0时，角θ为第二象限角；当sinθ＜0且tanθ＞0时，角θ为第三象限角，所以如果sinθ·tanθ＜0，那么角θ为第二或第三象限角．综上所述，原命题成立．（其他小题略）说明：以证明命题的形式，认识位于不同象限的角对应的三角函数值的符号．10、（1）已知sin α=，且α为第四象限角，求cosα，tanα的值；（2）已知5cos 13α=-，且α为第二象限角，求sinα，tanα的值；（3）已知3tan 4α=-，求sinα，cosα的值；（4）已知cosα=0.68，求sinα，tanα的值（计算结果保留两个有效数字）．答案：（1）1,2 （2）1212,135-；（3）当α为第二象限角时，34sin ,cos 55αα==-，当α为第四象限角时，34sin ,cos 55αα=-=；（4）当α为第一象限角时，sinα=0.73，tanα=1.1，当α为第四象限角时，sinα=－0.73，tanα=－1.1．说明：要注意角α是第几象限角．11、已知1sin 3x =-，求cosx ，tanx 的值．答案：当x 为第三象限角时，cos tan x x ==当x 为第四象限角时，cos tan 34x x ==- 说明：要分别对x 是第三象限角和第四象限角进行讨论．12、已知3tan 2απαπ=<<，求cosα－sinα的值．答案：11)2说明：角α是特殊角． 13、求证：（1）2212sin cos 1tan 1tan cos sin x x xxx x--=+-；（2）tan 2α－sin 2α=tan 2α·sin 2α；（3）（cosβ－1）2＋sin 2β=2－2cosβ；（4）sin 4x ＋cos 4x=1－2sin 2xcos 2x ．答案：（1）2(cos sin )cos sin 1tan (cos sin )(cos sin )cos sin 1tan x x x x xx x x x x x x---===+-++左边；（2）222222222211cos sin sin (1)sin sin sin tan cos cos cos x x x xxx x xxx-=-===左边；（3）左边=1－2cosβ＋cos 2β＋sin 2β=2－2cosβ；（4）左边=（sin 2x ＋cos 2x ）2－2sin 2x·cos 2x=1－2sin 2x·cos 2x ．说明：还可以从右边变为左边，或对左右同时变形．可提倡一题多解，然后逐渐学会选择较为简单的方法．B 组1、化简（1＋tan 2α）cos 2α．答案：1说明：根据同角三角函数的基本关系，将原三角函数式转化为正余弦函数式．2α为第二象限角．答案：－2t anα说明：先变形，再根据同角三角函数的基本关系进行化简． 3、已知tanα=2，求sin cos sin cos αααα+-的值．答案：3说明：先转化为正切函数式． 4、从本节的例7可以看出，cos 1sin 1sin cos x x x x+=-就是sin 2x ＋cos 2x=1的一个变形．你能利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗？答案：又如sin 4x ＋cos 4x=1－2sin 2x·cos 2x 也是sin 2x ＋cos 2x=1的一个变形；2211tan cos x x=+是sin 2x ＋cos 2x=1和sin tan cos xx x=的变形；等等．说明：本题要求学生至少能写出每个同角关系式的一个变形．P29习题1.3A 组1、将下列三角函数转化为锐角三角函数，并填在题中横线上：（1）cos210°=__________；（2）sin263°42′=__________；（3）cos()6π-=__________；（4）5sin()3π-=__________；（5）11cos()9π-=__________；（6）cos （－104°26′）=__________；（7）tan632°24′=__________；（8）17tan6π=__________．答案：（1）－cos30°；（2）－sin83°42′ （3）cos 6π；（4）sin3π；（5）2cos 9π-；（6）－cos75°34′；（7）－tan87°36′；（8）tan6π-．说明：利用诱导公式转化为锐角三角函数． 2、用诱导公式求下列三角函数值：（1）17cos()4π-；（2）sin （－1574°）；（3）sin （－2160°52′）；（4）cos （－1751°36′）；（5）cos1615°8′；（6）26sin()3π-．答案：（1）2；（2）－0.7193；（3）－0.0151；（4）0.6639；（5）－0.9964；（6）-说明：先利用诱导公式转化为锐角三角函数，再求值．3、化简：（1）sin（－1071°）·sin99°＋sin（－171°）·sin（－261°）；（2）1＋sin（α－2π）·sin（π＋α）－2cos2（－α）．答案：（1）0；（2）－cos2α说明：先利用诱导公式转化为角α的三角函数，再进一步化简．4、求证：（1）sin（360°－α）=－sinα；（2）cos（360°－α）=cosα；（3）tan（360°－α）=－tanα．答案：（1）sin（360°－α）=sin（－α）=－sinα；（2）略；（3）略．说明：有的书也将这组恒等式列入诱导公式，但根据公式一可知，它和公式三等价，所以本教科书未将其列入诱导公式．B组1、计算：（1）sin420°·cos750°＋sin（－330°）·cos（－660°）；（2）tan675°＋tan765°－tan（－330°）＋tan（－690°）；（3）252525sin cos tan() 634πππ++-．答案：（1）1；（2）0；（3）0．说明：先利用诱导公式转化为锐角三角函数，再求值．2、已知1sin()2πα+=-，计算：（1）sin（5π－α）；（2）sin()2πα+；（3）3cos()2πα-；（4）tan()2πα-．答案：（1）12；（2）3,,23,;2αα⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩当为第一象限角当为第二象限角（3）12-；（4）3,,3,αα⎧⎪⎨-⎪⎩当为第一象限角当为第二象限角.说明：先用诱导公式将已知式和待求式都转化为角α的三角函数，然后再根据同角三角函数的基本关系得解． P46习题1.4A 组1、画出下列函数的简图：（1）y=1－sinx ，x∈[0，2π]；（2）y=3cosx ＋1，x∈[0，2π]．答案：（1）（2）说明：可以直接用“五点法”作出两个函数的图象；也可以先用“五点法”作出正弦、余弦函数的图象，再通过变换得到这两个函数的图象．2、求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值是什么．（1）11cos ,23y x x π=-∈R ；（2）3sin(2),4y x x π=+∈R ；（3）31cos(),226y x x π=--∈R ；（4）11sin(),223y x x π=+∈R ．答案：（1）使y 取得最大值的集合是{x|x=6k ＋3，k∈Z }，最大值是32；使y 取得最小值的集合是{x|x=6k ，k∈Z }，最大值是12；（2）使y 取得最大值的集合是{|,}8x x k k ππ=+∈Z ，最大值是3；使y 取得最小值的集合是3{|,}8x x k k ππ=-+∈Z ，最小值是－3；（3）使y 取得最大值的集合是{|2(21),}3x x k k ππ=++∈Z ，最大值是32；使y 取得最小值的集合是{|4,}3x x k k ππ=+∈Z ，最小值是32-；（4）使y 取得最大值的集合是{|4,}3x x k k ππ=+∈Z ，最大值是12；使y 取得最小值的集合是5{|4,}3x x k k ππ=-+∈Z ，最小值是12-．说明：利用正弦、余弦函数的最大值、最小值性质，研究所给函数的最大值、最小值性质．3、求下列函数的周期：（1）2sin 3y x =，x∈R ；（2）1cos 42y x =，x∈R ．答案：（1）3π；（2）2π说明：可直接由函数y=Asin （ωx＋φ）和函数y=Acos （ωx＋φ）的周期2T πω=得解．4、利用函数的单调性比较下列各组中两个三角函数值的大小：（1）sin103°15′与sin164°30′；（2）4744cos()cos()109ππ--与；（3）sin508°与sin144°；（4）cos760°与cos （－770°）．答案：（1）sin103°15′＞sin164°130′；（2）4744cos()cos()109ππ->-；（3）sin508°＜sin144°；（4）cos760°＞cos （－770°）．说明：解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究． 5、求下列函数的单调区间：（1）y=1＋sinx ，x∈R ；（2）y=－cosx ，x∈R ．答案：（1）当[2,2]22x k k ππππ∈-++，k∈Z 时，y=1＋sinx 是增函数；当3[2,2]22x k k ππππ∈++，k∈Z 时，y=1＋sinx 是减函数．（2）当x∈[（2k －1）π，2kπ]，k∈Z 时，y=－cosx 是减函数；当x∈[2kπ，（2k ＋1）π]，k∈Z 时，y=－cosx 是增函数．说明：利用正弦、余弦函数的单调性研究所给函数的单调性． 6、求函数tan()26y x π=-++的定义域．答案：{|,}3x x k k ππ≠+∈Z ．说明：可用换元法．7、求函数5tan(2),()3122k y x x k πππ=-≠+∈Z 的周期．答案：2π．说明：可直接由函数y=Atan （ωx＋φ）的周期T πω=得解． 8、利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小：（1）13tan()tan()57ππ--与；（2）tan1519°与tan1493°；（3）93tan 6tan(5)1111ππ-与；（4）7tantan 86ππ与．答案：（1）13tan()tan()57ππ->-；（2）tan1519°＞tan1493°；（3）93tan 6tan(5)1111ππ>-；（4）7tantan 86ππ<．说明：解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究．9、根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的集合：（1）1＋tanx≥0；（2）tan 0x ．答案：（1）{|,}42x k x k k ππππ-+<+∈Z ≤；（2）{|,}32x k x k k ππππ+<+∈Z ≤．说明：只需根据正切曲线写出结果，并不要求解三角方程或三角不等式． 10、设函数f （x ）（x∈R ）是以 2为最小正周期的周期函数，且x∈[0，2]时f （x ）=（x －1）2．求f （3），7()2f 的值．答案：由于f （x ）以2为最小正周期，所以对任意x∈R ，有f （x ＋2）=f （x ）．于是：f （3）=f （1＋2）=f （1）=（1－1）2=0；273331()(2)()(1)22224f f f =+==-=．说明：利用周期函数的性质，将其他区间上的求值问题转化到区间[0，2]上的求值问题． 11、容易知道，正弦函数y=sinx 是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心．除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题．答案：由正弦函数的周期性可知，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心，其对称中心坐标为（kπ，0），k∈Z ．正弦曲线是轴对称图形，其对称轴的方程是,2x k k ππ=+∈Z ．由余弦函数和正切的周期性可知，余弦曲线的对称中心坐标为(,0)2k ππ+，k∈Z ，对称轴的方程是x=kπ，k∈Z ；正切曲线的对称中心坐标为(,0)2k π，k∈Z ，正切曲线不是轴对称图形．说明：利用三角函数的图象和周期性研究其对称性．B 组1、根据正弦函数、余弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的取值集合：（1）sin )2x x ∈R ≥；（22cos 0()x x ∈R ≥．答案：（1）2{|22,}33x k x k k ππππ++∈Z ≤≤；（2）33{|22,}44x k x k k ππππ-++∈Z ≤≤．说明：变形后直接根据正弦函数、余弦函数的图象写出结果，并不要求解三角方程或三角不等式．2、求函数3tan(2)4y x π=--的单调区间．答案：单调递减区间5(,),2828k k k ππππ++∈Z ．说明：利用正切函数的单调区间求所给函数的单调区间．3、已知函数y=f （x ）的图象如图所示，试回答下列问题：（1）求函数的周期；（2）画出函数y=f （x ＋1）的图象；（3）你能写出函数y=f （x ）的解析式吗？答案：（1）2；（2）y=f （x ＋1）的图象如下；（3）y=|x －2k|，x∈[2k－1，2k ＋1]，k∈Z ．说明：可直接由函数y=f （x ）的图象得到其周期．将函数y=f （x ）的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y=f （x ＋1）的图象．求函数y=f （x ）的解析式难度较高，需要较强的抽象思维能力．可先求出定义域为一个周期的函数y=f （x ），x∈[－1，1]的解析式为y=|x|，x∈[－1，1]，再根据函数y=f （x ）的图象和周期性，得到函数y=f （x ）的解析式为y=|x －2k|，x∈[2k－1，2k ＋1]，k∈Z ． P57习题1.5A 组1、选择题：（1）为了得到函数1cos()3y x =+，x∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点（）A ．向左平行移动3π个单位长度 B ．向右平行移动3π个单位长度C ．向左平行移动13个单位长度 D ．向右平行移动13个单位长度（2）为了得到函数cos5xy =，x∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点的（）、 A ．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变 B ．横坐标缩短到原来的15倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的15倍，横坐标不变（3）为了得到函数1cos 4y x =，x∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点的（）．A ．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D ．纵坐标缩短到原来的14倍，横坐标不变答案：（1）C ；（2）A ；（3）D ．2、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（有条件的可用计算器或计算机作图检验）：（1）14sin 2y x =，x∈R ；（2）1cos32y x =，x∈R ；（3）3sin(2)6y x π=+，x∈R ；（4）112cos()24y x π=-，x∈R ．答案：（1）（2）（3）（4）说明：研究了参数A 、ω、φ对函数图象的影响．3、不画图，直接写出下列函数的振幅、周期与初相，并说明这些函数的图象可由正弦曲线经过怎样的变化得到（注意定义域）：（1）8sin()48xy π=-，x∈[0,＋∞）；（2）1sin(3)37y x π=+，x∈[0,＋∞）．答案：（1）振幅是8，周期是8π，初相是8π-．先把正弦曲线向右平行移动8π个单位长度，得到函数1sin()8y x π=-，x∈R 的图象；再把函数y 1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数2sin()48x y π=-，x∈R的图象；再把函数y 2的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的8倍（横坐标不变），得到函数38sin()48x y π=-，x∈R 的图象；最后把函数y 3的图象在y 轴左侧的部分抹去，就得到函数8sin()48x y π=-，x∈[0，＋∞）的图象．（2）振幅是13，周期是23π，初相是7π．先把正弦曲线向左平行移动7π个单位长度，得到函数1sin()7y x π=+，x∈R 的图象；再把函数y 1的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），得到函数2sin(3)7y x π=+，x∈R的图象；再把函数y 2的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的13倍（横坐标不变），得到函数31sin(3)37y x π=+，x∈R 的图象；最后把函数y 3的图象在y 轴左侧的部分抹去，就得到函数1sin(3)37y x π=+，x∈[0，＋∞）的图象．说明：了解简谐振动的物理量与函数解析式的关系，并认识函数y=Asin （ωx＋φ）的图象与正弦曲线的关系．4、图 1.5－1的电流i （单位：A ）随时间t （单位：s ）变化的函数关系是5sin(100),[0,)3i t t ππ=+∈+∞．（1）求电流i 变化的周期、频率、振幅及其初相；（2）当t=0，1171,,,(:s)60015060060单位时，求电流i ．答案：（1）周期为150，频率为50，振幅为5，初相为3π．（2）t=0时，2i =；1600t =时，i=5；1150t =时，i=0；7600t =时，i=－5；160t =时，i=0．说明：了解简谐振动的物理量与函数解析式的关系，并求函数值．5、一根长为l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球．小球摆动时，离开平衡位置的位移s （单位：cm ）与时间t （单位：s）的函数关系是),[0,)3s t π=+∈+∞．（1）求小球摆动的周期；（2）已知g≈980cm/s 2，要使小球摆动的周期是1s ，线的长度l 应当是多少？（精确到0.1cm ）答案：（1）2（2）约24.8cm ．说明：了解简谐振的周期．B 组1、弹簧振子的振动是简谐运动．下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的时间t 与位移s答案：根据已知数据作出散点图（如图）．由散点图可知，振子的振动函数解析式为020sin()62x y t ππ=-，x∈[0，＋∞）．说明：作出已知数据的散点图，然后选择一个函数模型来描述，并根据已知数据求出该函数模型．2、弹簧挂着的小球作上下运动，它在t 秒时相对于平衡位置的高度h 厘米由下列关系式确定：2sin()4h t π=+．以t 为横坐标，h 为纵坐标，作出这个函数在一个剧期的闭区间上的图象，并回答下列问题：（1）小球在开始振动时（即t=0）的位置在哪里？（2）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？（3）经过多少时问小球往复运动一次？（4）每秒钟小球能往复振动多少次？答案：函数2sin()4h t π=+在[0，2π]上的图象为（1）小球在开始振动时的位置在(0,2)；（2）最高点和最低点与平衡位置的距离都是2；（3）经过2π秒小球往复运动一次；（4）每秒钟小球能往复振动12π次．说明：结合具体问题，了解解析式中各常数的实际意义．3、如图，点P是半径为r cm的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s做圆周运动．求点P的纵坐标y关于时间t的函数关系，并求点P的运动周期和频率．答案：点P的纵坐标关于时间t的函数关系式为y=rsin（ωt＋φ），t∈[0，＋∞）；点P的运动周期和频率分别为2πω和2ωπ．说明：应用函数模型y=rsin（ωt＋φ）解决实际问题．P65习题1.61、根据下列条件，求△ABC的内角A：（1）1sin2A=；（2）2cos A=-；（3）tanA=1；（4）3 tan A=-．答案：（1）30°或150°；（2）135°；（3）45°；（4）150°．说明：由角A是△ABC的内角，可知A∈（0°，180°）．2、根据下列条件，求（0，2π）内的角x：（1）3sin x=-；（2）sinx=－1；（3）cosx=0；（4）tanx=1．答案：（1）4533ππ或；（2）32π；（3）322ππ或；（4）544ππ或．说明：可让学生再变换角x的取值范围求解．3、天上有些恒星的亮度是会变化的．其中一种称为造父（型）变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化、下图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图、此变星的亮度变化的周期为多少天？最亮时是几等星？最暗时是几等星？答案：5.5天；约3.7等星；约4.4等星．说明：每个周期的图象不一定完全相同，表示视星等的坐标是由大到小．4、夏天是用电的高峰时期，特别是在晚上．为保证居民空调制冷用电，电力部门不得不对企事业拉闸限电，而到了0时以后，又出现电力过剩的情况．因此每天的用电也出现周期性的变化．为保证居民用电，电力部门提出了“消峰平谷”的想法，即提高晚上高峰时期的电价，同时降低后半夜低峰时期的电价，鼓励各单位在低峰时用电．请你调查你们地区每天的用电情况，制定一项“消峰平谷”的电价方案．答案：先收集每天的用电数据，然后作出用电量随时间变化的图象，根据图象制定“消峰平谷”的电价方案．说明：建立周期变化的模型解决实际问题．B 组1、北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起，在日落时降旗、请根据年鉴或其他的参考资料，统计过去一年不同时期的日出和日落时间．（1）在同一坐标系中，以日期为横轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时找到函数模型；（2）某同学准备在五一长假时去看升旗，他应当几点到达天安门广场？答案：略．说明：建立周期变化的函数模型，根据模型解决实际问题．2、一个城市所在的经度和纬度是如何影响日出和日落的时间的？收集其他有关的数据并提供理论证据支持你的结论．答案：略．说明：收集数据，建立周期变化的函数模型，根据模型提出个人意见．然后采取上网、查阅资料或走访专业人士的形式，获取这方面的信息，以此来说明自己的结论． P69复习参考题A 组1、写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并且把S 中适合不等式－2π≤β≤4π的元素β写出来：（1）4π；（2）23π-；（3）125π；（4）0．答案：（1）79{|2,},,,4444k k ππππββπ=+∈-Z ；（2）22410{|2,},,,3333k k ββπππππ=-+∈-Z ；（3）128212{|2,},,,5555k k ββπππππ=+∈-Z ；（4）{β|β=2kπ，k∈Z }，－2π，0，2π．说明：用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定范围内找出与指定的角终边相同的角．2、在半径为15cm 的圆中，一扇形的弧含有54°，求这个扇形的周长与面积（π取3.14，计算结果保留两个有效数字）．答案：周长约44cm ，面积约1.1×102cm 2．说明：可先将角度转化为弧度，再利用弧度制下的弧长和面积公式求解． 3、确定下列三角函数值的符号：（1）sin4；（2）cos5；（3）tan8；（4）tan （－3）．答案：（1）负；（2）正；（3）负；（4）正．说明：将角的弧度数转化为含π的形式或度，再进行判断． 4、已知1cos 4ϕ=，求sinφ，tanφ．答案：当φ为第一象限角时，sin tan 4ϕϕ==当φ为第四象限角时，sin tan ϕϕ== 说明：先求sinφ的值，再求tanφ的值．5、已知sinx=2cosx ，求角x 的三个三角函数值．答案：当x 为第一象限角时，tanx=2，cos x x ==；当x 为第三象限角时，tanx=2，cos x x == 说明：先求tanx 的值，再求另外两个函数的值．6、用cosα表示sin 4α－sin 2α＋cos 2α．答案：cos 4α．说明：先将原式变形为sin 2α（sin 2α－1）＋cos 2α，再用同角三角函数的基本关系变形． 7、求证：（1）2（1－sinα）（1＋cosα）=（1－sinα＋cosα）2；（2）sin 2α＋sin 2β－sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β=1．答案：（1）左边=2－2sinα＋2cosα－2sinαcosα=1＋sin 2α＋cos 2α－2sinα＋2cosα－2sinαcosα =右边．（2）左边=sin 2α（1－sin 2β）＋sin 2β＋cos 2αcos 2β=cos 2β（sin 2α＋cos 2α）＋sin 2β =1=右边．说明：第（1）题可先将左右两边展开，再用同角三角函数的基本关系变形． 8、已知tanα=3，计算：（1）4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+；（2）sinαcosα；（3）（sinα＋cosα）2．答案：（1）57；（2）310；（3）85．说明：第（2）题可由222sin tan 9cos ααα==，得21cos 10α=，所以23sin cos tan cos 10αααα==．或2222sin cos tan 33sin cos 10sin cos tan 131αααααααα====+++． 9、先估计结果的符号，再进行计算．（1）252525sincos tan()634πππ++-；（2）sin2＋cos3＋tan4（可用计算器）．答案：（1）0；（2）1.0771．说明：先根据各个角的位置比较它们的三角函数值的大小，再估计结果的符号． 10、已知1sin()2πα+=-，计算：（1）cos （2π－α）；（2）tan （α－7π）．答案：（1）当α为第一象限角时，cos(2)πα-=，当α为第二象限角时，cos(2)πα-=（2）当α为第一象限角时，tan(7)3απ-=，当α为第二象限角时，tan(7)απ-= 说明：先用诱导公式转化为α的三角函数，再用同角三角函数的基本关系计算． 11、先比较大小，再用计算器求值：（1）sin378°21′，tan1111°，cos642.5°；（2）sin （－879°），3313tan(),cos()810ππ--；（3）sin3，cos （sin2）．答案：（1）tan1111°=0.601，sin378°21′=0.315，cos642.5°=0.216；（2）sin （－879°）=－0.358，3313tan()0.414,cos()0.588810ππ-=--=-；（3）sin3=0.141，cos （sin2）=0.614．说明：本题的要求是先估计各三角函数值的大小，再求值验证． 12、设π＜x ＜2π，填表：说明：熟悉各特殊角的三角函数值． 13、下列各式能否成立，说明理由：（1）cos 2x=1.5；（2）3sin 4x π=-．答案：（1）因为cos x =cos x =1,1><-，所以原式不能成立；（2）因为sin x =，而|1<，所以原式有可能成立．说明：利用正弦和余弦函数的最大值和最小值性质进行判断．14、求下列函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大、最小值的x 的集合：（1）sin xy π=，x∈R ；（2）y=3－2cosx ，x∈R ．答案：（11π，此时x 的集合为{|2,}2x x k k ππ=+∈Z ；1π，此时x 的集合为{|2,}2x x k k ππ=-+∈Z ；（2）最大值为5，此时x 的集合为{x|x=（2k ＋1）π，k∈Z }；最小值为1，此时x 的集合为{x|x=2kπ，k∈Z }．说明：利用正弦、余弦函数的最大值和最小值性质，研究所给函数的最大值和最小值性质． 15、已知0≤x≤2π，求适合下列条件的角x 的集合：（1）y=sinx 和y=cosx 都是增函数；（2）y=sinx 和y=cosx 都是减函数；（3）y=sinx 是增函数，而y=cosx 是减函数；（4）y=sinx 是减函数，而y=cosx 是增函数．答案：（1）3{|2}2x x ππ≤≤；（2）{|}2x x ππ≤≤；（3）{|0}2x x π≤≤；（4）3{|}2x x ππ≤≤．说明：利用函数图象分析．16、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：（1）1sin(3),;23y x x π=-∈R （2）2sin(),;4y x x π=-+∈R （3）1sin(2),;5y x x π=--∈R（4）3sin(),.63xy x π=-∈R 答案：（1）（2）（3）（4）说明：可要求学生在作出图象后，用计算机或计算器验证． 17、（1）用描点法画出函数y=sinx ，[0,]2x π∈的图象．（2）如何根据第（1）小题并运用正弦函数的性质，得出函数y=sinx ，x∈[0，2π]的图象？（3）如何根据第（2）小题并通过平行移动坐标轴，得出函数y=sin （x ＋φ）＋k ，x∈[0，2π]的图象？（其中φ，k 都是常数）答案：（1）x 0 18π9π 6π 29π 518π 3π 718π 49π 2π sinx0.170.340.500.640.770.870.940.981（2）由sin （π－x ）=sinx ，可知函数y=sinx ，x∈[0，π]的图象关于直线2x =对称，据此可得函数y=sinx ，[,]2x ππ∈的图象；又由sin （2π－x ）=－sinx ，可知函数y=sinx ，x∈[0，2π]的图象关于点（π，0）对称，据此可得出函数y=sinx ，x∈[π，2π]的图象．（3）先把y 轴向右（当φ＞0时）或向左（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度，再把x 轴向下（当k ＞0时）或向上（当k ＜0时）平行移动|k|个单位长度，最后将图象向左或向右平行移动2π个单位长度，并擦去[0，2π]之外的部分，便得出函数y=sin （x ＋φ）＋k ，x∈[0，2π]的图象．说明：学会用不同的方法作函数图象．18、不通过画图，写出下列函数的振幅、周期、初相，并说明如何由正弦曲线得出它们的图象：（1）sin(5),;6y x x π=+∈R（2）12sin,.6y x x =∈R 答案：（1）振幅是1，周期是25π，初相是6π．把正弦曲线向左平行移动6π个单位长度，可以得函数sin()6y x π=+，x∈R 的图象；再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的15倍（纵坐标不变），就可得出函数sin(5)6y x π=+，x∈R 的图象．（2）振幅是2，周期是2π，初相是0．把正弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数1sin6y x =，x∈R 的图象；再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），就可得到函数12sin()6y x =，x∈R 的图象．说明：会根据解析式求各物理量，并理解如何由正弦曲线通过变换得到正弦函数的图象．B 组1、已知α为第四象限角，确定下列各角的终边所在的位置：（1）2α；（2）3α；（3）2α．答案：（1）3(1)42k k παππ+<<+，所以2α的终边在第二或第四象限；（2）9012030901203k k α︒+︒<<︒+︒+︒，所以3α的终边在第二、第三或第四象限；（3）（4k ＋3）π＜2α＜（4k ＋4）π，所以2α的终边在第三或第四象限，也可在y 轴的负半轴上．说明：不要求探索α分别为各象限角时，nα和nα的终边所在位置的规律．。

(常考题)北师大版高中数学必修四第一章《三角函数》测试题(含答案解析)(1)

一、选择题1．将函数sin()y x ϕ=+的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移12π个单位后得到的函数图像关于原点中心对称，则sin 2ϕ=( )A ．12-B ．12C ．D 2．设函数()3sin()10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++><⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象关于直线3x π=对称，则下列说法正确是（）A ．()f x 的图象过点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭； B ．()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减； C ．()f x 的一个对称中心是7,012π⎛⎫⎪⎝⎭； D ．将()f x 的图象向左平移12ϕ个单位长度得到函数3sin 21y x =+ 的图象. 3．如果一个函数在给定的区间上的零点个数恰好为8，则称该函数为“比心8中函数”.若函数()2sin()1f x x ωπ=-，(0)>ω是区间[0,1]上的“比心8中函数”，则ω的取值范围是（） A ．4149,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．4953,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3741,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[8,9)4．函数1sin3y x =-的图像与直线3x π=，53x π=及x 轴所围成的图形的面积是（） A ．23π B ．πC ．43π D ．53π 5．已知函数sin()0,0,||2y A x b A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的图象上相邻的一个最大值点与对称中心分别为2,39π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,018π⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()f x 的单调增区间为（） A ．222,3939k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈ B ．242,3939k k ππππ⎛⎫--⎪⎝⎭，k Z ∈ C ．227,318318k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭，k Z ∈ D ．272,318318k k ππππ⎛⎫--⎪⎝⎭，k Z ∈6．使函数())cos(2)f x x x θθ=+++是偶函数，且在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是减函数的θ的一个值是（） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π7．已知曲线1C ：sin y x =，2C ：cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移12π个单位长度，得到曲线2C8．已知奇函数()f x 满足()(2)f x f x =+，当(0,1)x ∈时，函数()2x f x =，则12log 23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A ．1623-B ．2316-C ．1623D ．23169．有以下四种变换方式： ①向左平移12π个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍；②向左平移6π个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍； ③再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移6π个单位长度； ④再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移6π个单位长度；其中能将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象变为函数sin y x =图象的是（）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④10．已知函数1,01()11sin ,14242x x f x x x π+≤≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩，若不等式2()()20f x af x -+<在[]0,4x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．3a >B ．23a <<C ．22a >D ．92a >11．函数()()sin ln 0=->f x x x ωω只有一个零点，则实数ω的取值范围是（） A ．()0,πB ．5,2⎫⎛⎪⎝⎭ππe C ．50,2⎫⎛ ⎪⎝⎭πeD ．5,2⎫⎛∞ ⎪⎝⎭π+e 12．如图，摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为120m ，转盘直径为110m 设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要20min .游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t min 后距离地面的高度为H m ，则在转动一周的过程中，高度H 关于时间t 的函数解析式是（）A ．()55cos 65020102H t t ππ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭B ．()55sin 65020102H t t ππ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭C ．()55cos 65020102H t t ππ⎛⎫=++≤≤ ⎪⎝⎭D ．()55sin 65020102H t t ππ⎛⎫=++≤≤ ⎪⎝⎭二、填空题13．下列判断正确的是___________(将你认为所有正确的情况的代号填入横线上). ①函数1tan 21tan 2xy x+=-的最小正周期为π；②若函数()lg f x x =，且()()f a f b =，则1ab =； ③若22tan 3tan 2αβ=+，则223sin sin 2αβ-=；④若函数()2221sin 41x xy x ++=+的最大值为M ，最小值为N ，则2M N +=.14．已知函数cos ,[],y a x x ωππ=+∈-（其中,a ω为常数，且0>ω）有且仅有3个零点，则ω的最小值是_________．15．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成.两岸连接点间距离为603米.其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米.某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为_______米.16．已知函数()()π5sin 24f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ，对于下列说法：①要得到()5sin 2g x x =的图象，只需将()f x 的图象向左平移4π个单位长度即可；②()y f x =的图象关于直线3π8x =对称：③()y f x =在[]π,π-内的单调递减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④5π8y f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数.则上述说法正确的是________（填入所有正确说法的序号）. 17．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0,0ωϕπ><<）的图象关于点M 5(,0)12π成中心对称,且与点M 相邻的一个最低点为2(,3)3π-，则对于下列判断： ①直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；②函数()3y f x π=-为偶函数；③函数1y =与35()()1212y f x x ππ=-≤≤的图象的所有交点的横坐标之和为7π.其中正确的判断是__________________．（写出所有正确判断的序号）18．已知函数f (x )，任意x 1，x 2∈,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭(x 1≠x 2)，给出下列结论：①f (x ＋π)＝f (x )；②f (－x )＝f (x )；③f (0)＝1； ④1212()()f x f x x x -->0；⑤1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭.当()tan f x x =时，正确结论的序号为________．19．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()24f π=，()0f π=，且()f x 在区间(,)43ππ上单调，则ω的值有_________个.20．关于函数()()4sin 23f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，有下列命题： ①函数()y f x =的表达式可以改写为4cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭； ②函数()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数； ③函数()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称； ④函数()y f x =的图象关于直线6x π=-对称.其中正确的序号是______.三、解答题21．已知函数1()sin 22,23f x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的单调递减区间；（3）求()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值 22．如图，在矩形OABC 中，22OA OC ==，将矩形OABC 绕着顶点O 逆时针旋转，得到矩形OA B C '''，记旋转的角度为θ，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭旋转前后两个矩形公共部分的面积为()S θ.（1）求3S π⎛⎫⎪⎝⎭；（2）若()72S θ=，求sin θ. 23．已知2sin ()cos(2)tan()(),sin()tan(3)f παπαπααπααπ-⋅-⋅-+=+⋅-+ （1）化简()f α；（2）若1(),8f α=且,42ππα<<求cos sin αα-的值；（3）求满足1()4f α≥的α的取值集合. 24．己知函数()sin 3cos (0, 0 )f x A x A x A ωωω=+>>，其部分图象如图所示．（1）求A 和ω的值；（2）求函数()y f x =在[]0,π的单调增区间．25．已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如下图所示.（1）求函数()f x 的解析式，并写出函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的14(纵坐标不变)，再将所得的函数图象上所有点向左平移02m m π⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度，得到函数()g x 的图象.若函数()g x 的图象关于直线512x π=对称，求函数()g x 在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域. 26．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：时刻 0：00 1：00 2：00 3：00 4：00 5：00 水深5.0006.2507.1657.5007.1656.250（1）这个港口的水深与时间的关系可用函数（，）近似描述，试求出这个函数解析式；（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为5米，安全条例规定至少要有1.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），利用（1）中的函数计算，该船何时能进入港口？在港口最多能呆多久？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】先根据条件写出图像变换后的函数解析式，然后根据图像关于原点中心对称可知函数为奇函数，由此得到ϕ的表示并计算出sin 2ϕ的结果. 【详解】因为变换平移后得到函数sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由条件可知sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数，所以6k πϕπ+=，sin 2sin 2sin 332k ππϕπ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选C ．【点睛】本题考查三角函数的图像变换以及根据函数奇偶性判断参数值，难度一般.正弦型函数()()sin f x A x =+ωϕ为奇函数时,k k Z ϕπ=∈，为偶函数时,2k k Z πϕπ=+∈.2．D解析：D 【分析】先根据对称轴及最小正周期，求得函数()f x 的解析式，再结合正弦函数的图象与性质，判断点是否在函数图象上可判断A ，求得函数的单调区间及对称中心即可判断选项BC ，由平移变换求得变化后的解析式并对比即可判断D. 【详解】函数()3sin()10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π 所以22πωπ==，则()()3sin 21f x x ϕ=++，()()3sin 21f x x ϕ=++图象关于直线3x π=对称,对称轴为2,2x k k Z πϕπ+=+∈,代入可得2,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得,6k k Z πϕπ=-+∈，因为,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以当0k =时, 6πϕ=-，则()3sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，对于A,当0x =时,()3103sin 11622f π=-+=-+=- ，所以错误；对于B,()3sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为3222,262k x k k πππππ+-+∈Z ≤≤，解得5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈，因为123ππ<，则()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是减函数,所以错误；对于C ，773sin 213sin 11012126f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-+=+=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以7,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭不是()f x 的一个对称中心，所以错误；对于D ，1212πϕ=，将()3sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度得到可得3sin 213sin 21126y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-++=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以能得到3sin 21y x =+的图象,所以正确. 故选: D. 【点睛】本题考查了正弦函数的图象与性质的综合应用，关键点是根据已知条件先求出正弦函数的解析式，还要熟练掌握三角函数的性质才能正确的解题，属于中档题.3．A解析：A 【分析】根据题意问题转化为方程1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上有8个解，根据正弦函数的图像与性质可求得1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第8个解为416x ω=、第9个解为496x ω=，则4149166ωω≤<，解不等式即可. 【详解】根据题意，函数()2sin()1f x x ωπ=-，(0)>ω是区间[0,1]上零点个数为8，即方程1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上有8个解， ∴26x k πωππ=+或52,6x k k Z πωππ=+∈，当0k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第1个解16x ω=，取第2个解56x ω=；当1k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第3个解136x ω=，取第4个解176x ω=；当3k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第7个解376x ω=，取第8个解416x ω=；当4k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第9个解496x ω=. 则4149166ωω≤<，解得414966ω≤<. 故选：A4．C解析：C 【分析】作出函数1sin3y x =-的图像，利用割补法，补成长方形，计算面积即可. 【详解】作出函数1sin3y x =-的图象，如图所示，利用割补法，将23π到π部分的图象与x 轴围成的图形补到图中3π到23π处阴影部分，凑成一个长为3π，宽为2的长方形，后面π到53π，同理；∴1sin3y x =-的图象与直线3x π=，53x π=及x 轴所围成的面积为24233ππ⨯=，故选：C. 【点睛】用“五点法”作()sin y A ωx φ=+的简图，主要是通过变量代换，设z x ωϕ=+，由z 取0，2π，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象． 5．A解析：A 【分析】由最大值点和对称中心的坐标可以求出()f x 的解析式，利用三角函数的性质，整体代换得出该复合函数的单调增区间. 【详解】图像上相邻的一个最大值点与对称中心分别为2,39π⎛⎫⎪⎝⎭，,018π⎛⎫⎪⎝⎭， 3A ∴=，0b =且124918T ππ=-，可得23T π=， 23Tπω∴==， 3sin(3)y x ϕ∴=+ 将2,39π⎛⎫⎪⎝⎭代入可得3sin(3)3y x ϕ=+=，可得22,32k k Z ππϕπ+=+∈，且2πϕ<， 6πϕ∴=-，可得()3sin(3)6f x x π=-，令6232,22k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，可得222+9393k x k ππππ-≤≤，故选：A. 【点睛】方法点睛：根据图像求函数()sin()f x A x k ωϕ=++的解析式，根据最高点和对称中心的纵坐标可求出A 和k ，根据横坐标可求出周期T ，进而求出ω.求该函数的单调区间时，用整体代换的思想，借助正弦函数的单调区间，用解不等式的方法求复合函数的单调区间.6．B解析：B 【解析】1())cos(2))cos(2))2sin(2)26f x x x x x x πθθθθθ=+++=+++=++,由于()f x 为偶函数，则(0)2sin()26f πθ=+=±，sin()1,662k πππθθπ+=±+=+，3k πθπ=+，当0k =时，3πθ=，()2sin(2)2sin(2)362f x x x πππ=++=+2cos2x =，当[0,]4x π∈时，2[0,]2x π∈，()2cos2f x x =为减函数，符合题意，所以选B.7．C解析：C 【分析】由题意利用诱导公式得1sin cos :2C y x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，根据函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论．【详解】已知曲线1sin cos :2C y x x π⎛⎫==-⎪⎝⎭，2cos 23:C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， ∴把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得cos 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把得到的曲线向左平移 12π个单位长度，得到曲线2cos 2cos 263:2C x x πππ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故选C ．【点睛】本题主要考查函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题．8．B解析：B 【分析】由已知得到(2)()f x f x +=，即得函数的周期是2，把12(log 23)f 进行变形得到223()16f log -，由223(0,1)16log ∈满足()2x f x =，求出即可．【详解】(2)()f x f x +=，所以函数的周期是2.根据对数函数的图象可知12log 230<，且122log 23log 23=-；奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=和()()f x f x -=-则2312222223(log 23)(log )(log 23)(log 234)()16f f f f f log =-=-=--=-，因为223(0,1)16log ∈ 2231622323()21616log f log ∴-=-=-，故选：B ．【点睛】考查学生应用函数奇偶性的能力，函数的周期性的掌握能力，以及运用对数的运算性质能力．9．A解析：A 【分析】直接利用三角函数图像的平移变换和伸缩变换求出结果. 【详解】对于①：sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭向左平移12π个单位长度得到sin 2+=sin2126y x x ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到sin y x =；故①正确；对于②：sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭向左平移6π个单位长度得到sin 2+=sin 2+666y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；故②错误；对于③：sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再向左平移6π个单位长度，得到sin sin 66y x x ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭；故③正确；对于③：sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再向右平移6π个单位长度，得到sin sin()663y x x πππ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭；故④错误；故选：A 【点睛】关于三角函数图像平移伸缩变换：先平移的话，如果平移a 个单位长度那么相位就会改变ωa ；而先伸缩势必会改变ω大小，这时再平移要使相位改变值仍为ωa ，那么平移长度不等于a .10．D解析：D 【分析】这是一个复合函数的问题，通过换元()t f x = ，可知新元的范围，然后分离参数，转为求函数的最大值问题，进而计算可得结果. 【详解】由题可知当[]0,1x ∈时，有[]()11,2f x x =+∈，当4](1,x ∈时，0sin14xπ≤≤，即111()sin,12422x f x π⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦ 所以当[]0,4x ∈时，1,22()f x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，令()t f x =，则1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，从而问题转化为不等式220t at -+<在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，即222t a t t t+>=+在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，由2y t t =+，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设1212t t <<<()()()1212121212122220t t f t f t t t t t t t t t --=-+-=->，所以2y t t =+在12t ⎡∈⎢⎣是单调递减函数，122t t <<<，()()()1212121212122220t t f t f t t t t t t t t t --=-+-=-<，所以2y t t=+在2t ⎤∈⎦是单调递增函数，在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上先减后增，而2t t +在12t =时有最大值为92，所以92a >.【点睛】本题考查含参数的恒成立问题，运用到分离参数法求参数范围，还结合双勾函数的单调性求出最值，同时考查学生的综合分析能力和数据处理能力.11．C解析：C 【分析】函数()()sin ln 0=->f x x x ωω只有一个零点，等价于sin y x ω=与ln y x =图象只有一个交点，作出两个函数的图象，数形结合即可求解. 【详解】函数()()sin ln 0=->f x x x ωω只有一个零点，可得sin ln 0x x ω-=只有一个实根，等价于sin y x ω=与ln y x =图象只有一个交点，作出两个函数的图象如图所示，由sin y x ω=可得其周期2T πω=，当x e =时，ln 1y e ==sin y x ω=最高点5,12A πω⎛⎫⎪⎝⎭所以若恰有一个交点，只需要5ln 12πω>，即52e πω>，解得：52e πω<，又因为0>ω，所以502eπω<<，故选：C 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.12．B解析：B 【分析】先判断游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要10min ，结合摩天轮最高点距离地面高度为120m ，可得10t =时，120H =，再利用排除法可得答案. 【详解】因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要20min ，所以游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要10min ，又因为摩天轮最高点距离地面高度为120m ，所以10t =时，120H =，对于A ，10t =时，55cos 106555cos 65651022H πππ⎛⎫=⨯-+=+= ⎪⎝⎭，不合题意；对于B ，10t =时，55sin 106555sin 651201022H πππ⎛⎫=⨯-+=+= ⎪⎝⎭，符合题意；对于C ，10t =时，355cos 106555cos65651022H πππ⎛⎫=⨯++=+= ⎪⎝⎭，不合题意；对于D ，10t =时，355sin 106555sin65101022H πππ⎛⎫=⨯++=+= ⎪⎝⎭，不合题意；故选：B. 【点睛】方法点睛：特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型： (1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n 项和公式问题等等.二、填空题13．③④【分析】①化简可得即可求出；②由可能相等可判断；③利用同角三角函数关系可化简求出；④化简可得利用奇函数的性质可得【详解】对①则最小正周期为故①错误；对②若则可能相等故②错误；对③若则即即即即故③解析：③④ 【分析】①，化简可得tan 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，即可求出；②由,a b 可能相等可判断；③利用同角三角函数关系可化简求出；④化简可得24sin 141x xy x +=++，利用奇函数的性质可得.【详解】对①，tantan 21tan 24tan 21tan 241tan tan 24xx y x x x πππ++⎛⎫===+ ⎪-⎝⎭-⋅，则最小正周期为2π，故①错误；对②，若()()f a f b =，则,a b 可能相等，故②错误；对③，若22tan 3tan 2αβ=+，则2222sin 3sin 2cos cos αβαβ=+，即222222sin cos 3cos sin 2cos cos αβαβαβ=+，即22222222sin cos cos cos 3cos sin 3cos cos αβαβαβαβ+=+，即22cos 3cos βα=，即223sin sin 2αβ-=，故③正确；对④，()22221sin 4sin 14141x xx x y x x +++==+++，令()24sin 41x x g x x =++，则()()g x g x -=，故()g x 是奇函数，()()max min 0g x g x ∴+=，()()max min 112M N g x g x ∴+=+++=，故④正确.故答案为：③④. 【点睛】本题考查正切型函数的周期，考查同角三角函数的关系，考查奇函数的应用，解题的关键是正确利用三角函数的关键进行化简.14．2【分析】根据函数为偶函数可知函数必有一个零点为可得根据函数的图象可知解得即可得解【详解】因为函数为偶函数且有且仅有3个零点所以必有一个零点为所以得所以函数的图象与直线在上有且仅有3个交点因为函数的解析：2 【分析】根据函数为偶函数可知函数必有一个零点为0x =，可得1a =-，根据函数cos y x ω=(0)>ω的图象可知222πππωω≤<⨯，解得24ω≤<即可得解.【详解】因为函数cos ,[],y a x x ωππ=+∈-为偶函数，且有且仅有3个零点，所以必有一个零点为0x =，所以cos00a +=，得1a =-，所以函数cos y x ω=(0)>ω的图象与直线1y =在[,]-ππ上有且仅有3个交点，因为函数cos y x ω=(0)>ω的最小正周期2T πω=，所以2T T π≤<，即222πππωω≤<⨯，得24ω≤<，所以ω的最小值是2.故答案为：2 【点睛】关键点点睛：根据偶函数图象的对称性求出a 是解题关键.15．【分析】如图作出月牙湖的示意图由题意可得可求的值进而由图利用扇形的弧长公式可计算得解【详解】如图是月牙湖的示意图是的中点连结可得由条件可知所以所以所以月牙泉的周长故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的解析：(40303)π+【分析】如图，作出月牙湖的示意图，由题意可得3sin 2QPO ∠=，可求,QPO QPT ∠∠的值，进而由图利用扇形的弧长公式可计算得解. 【详解】如图，是月牙湖的示意图，O 是QT 的中点，连结PO ，可得PO QT ⊥，由条件可知603QT =，60PQ = 所以3sin QPO ∠=，所以3QPO π∠=，23QPT π∠=，所以月牙泉的周长(260303403033l πππ=⨯+⨯=+. 故答案为：(40303π+ 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据实际问题抽象出图象，再根据数形结合分析问题.16．②④【分析】结合三角函数的图象与性质对四个结论逐个分析即可得出答案【详解】①要得到的图象应将的图象向左平移个单位长度所以①错误；②令解得所以直线是的一条对称轴故②正确；③令解得因为所以在定义域内的单解析：②④ 【分析】结合三角函数的图象与性质对四个结论逐个分析即可得出答案. 【详解】①要得到()5sin 2g x x =的图象，应将()ππ5sin 25sin 248f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象向左平移π8个单位长度，所以①错误；②令ππ2π42x k -=+，k ∈Z ，解得3ππ82k x =+，k ∈Z ，所以直线3π8x =是()y f x =的一条对称轴，故②正确；③令ππ3π22π42π22k k x ≤+≤-+，k ∈Z ，解得3π7πππ88k x k +≤≤+，k ∈Z ，因为[]π,πx ∈-，所以()f x 在定义域内的单调递减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5ππ,88⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，所以③错误；④5π5ππ5sin 25sin 2884y f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦是奇函数，所以该说法正确. 【点睛】本题考查了正弦型函数的对称轴、单调性、奇偶性与平移变换，考查了学生对()sin y A ωx φ=+的图象与性质的掌握，属于中档题.17．②③【分析】根据已知条件确定函数的解析式进一步利用整体思想确定函数的对称轴方程对称中心及各个交点的特点进一步确定答案【详解】函数（其中）的图象关于点成中心对称且与点相邻的一个最低点为则：所以进一步解解析：②③ 【分析】根据已知条件确定函数的解析式，进一步利用整体思想确定函数的对称轴方程，对称中心及各个交点的特点，进一步确定答案．【详解】函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0,0ωϕπ><<）的图象关于点M 5,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称,且与点M 相邻的一个最低点为2,33π⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则：2543124T πππ-＝＝，所以T π=：，326f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（）．进一步解得：223A πωπ=＝＝，由于()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0,0ωϕπ><<）的图象关于点M 5,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称,，所以：5212k k Z πϕπ⋅+∈＝（），解得：5,6k k Z πϕπ-∈＝，由于0ϕπ<<，所以：当1k = 时，6πϕ＝．所以： ①当2x π=时，33262f sin πππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭（）．故错误． ②3232633f x sin x cos x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝．则3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭为偶函数，故正确． ③由于：351212x ππ-≤≤，则：0266x ππ≤+≤，所以函数()f x 的图象与1y =有6个交点．根据函数的交点设横坐标为123456x x x x x x 、、、、、，根据函数的图象所有交点的横标和为7π．故正确．故答案为②③ 【点睛】本题考查的知识要点：正弦型函数的解析式的求法，主要确定A ，ω、φ的值，三角函数诱导公式的变换，及相关性质得应用，属于基础题型．18．①④【分析】根据正切函数的周期判断①是否正确正切函数的奇偶性判断②是否正确由判断③是否正确由正切函数的单调性判断④是否正确由正切函数的图象判断⑤是否正确【详解】由于f(x)＝tanx 的周期为π故①正解析：①④ 【分析】根据正切函数()tan f x x =的周期判断①是否正确，正切函数的奇偶性判断②是否正确，由tan 00=判断③是否正确，由正切函数的单调性判断④是否正确，由正切函数的图象判断⑤是否正确. 【详解】由于f (x )＝tan x 的周期为π，故①正确；函数f (x )＝tan x 为奇函数，故②不正确； f (0)＝tan 0＝0，故③不正确；④表明函数为增函数，而f (x )＝tan x 为区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的增函数，故④正确；⑤由函数f (x )＝tan x 的图象可知，设A =12()()2f x f x +，B =122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭故函数在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，故⑤不正确．故答案为：①④ 【点睛】本题考查了正切函数的图象和性质，属于中档题.19．9【分析】由在区间上单调可得故进一步求出范围即可【详解】由知故；又在区间上单调故即18符合条件的的值有9个故答案为：9【点睛】本题考查三角函数的图象与性质考查转化与化归思想考查逻辑推理能力运算求解能解析：9 【分析】由()f x 在区间(,)43ππ上单调，可得342T ππ-，故6T π，进一步求出ω范围即可．【详解】由()24f π=，()0f π=知，34244T kT πππ+=-=，k ∈N ，故312T k π=+，2(12)3k ω+=，k ∈N ；又()f x 在区间(,)43ππ上单调，∴342T ππ-，故6T π，∴212T πω=，即2(12)123k +， ∴172k，k ∈N ， 0k ∴=，1，2⋯，8符合条件的ω的值有9个．故答案为：9．【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，属中档题．20．①③【分析】利用诱导公式化简函数判断①正误；求出函数周期判断②；求出函数的对称中心判断③；求出函数的对称轴判断④【详解】解：对于①所以①正确；对于②最小正周期所以②不正确；对于③因为所以为的对称中心解析：①③ 【分析】利用诱导公式化简函数()f x ,判断①正误；求出函数()f x 周期判断②；求出函数()f x 的对称中心判断③；求出函数()f x 的对称轴判断④. 【详解】解：对于①，()4sin 24cos 2323f x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4cos 24cos 2326x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以①正确；对于②，最小正周期222T πππω===，所以②不正确；对于③，因为4sin 4sin 00633f πππ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 的对称中心，故③正确；对于④，()()4sin 23f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的对称直线满足2,32x k k Z πππ+=+∈，6x π=-不满足条件，所以④不正确.故答案为：①③. 【点睛】本题考查正弦函数的性质，考查基本概念、基本知识的理解掌握程度，属于基础题.三、解答题21．（1）π；（2）()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）最小值为32；最大值为94. 【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式可求得函数()f x 的最小正周期；（2）解不等式()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，可得出函数()f x 的单调递减区间；（3）由44x ππ-≤≤求出23x π-的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数()f x 的最小值和最大值. 【详解】（1）因为1()sin 2223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==；（2）由()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，得()5111212k x k k Z ππππ+≤≤+∈.即函数()f x 的单调递减区间为()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）因为44x ππ-≤≤，所以52636πππ-≤-≤x ，所以，当232x ππ-=-即12x π=-时，函数()f x 取最小值，()min 13sin 2222f x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭；当236x ππ-=即4x π=时，函数()f x 取最大值，()max 19sin 2264f x π=+=. 【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.22．（1）36S π⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）1sin 3θ=. 【分析】（1）作出图形，可知公共部分区域为直角三角形，计算出两直角边的长，由此可求得该直角三角形的面积；（2）分6πθ=、06πθ<<、62ππθ<<三种情况讨论，求出()S θ的表达式，结合()728S θ=可求得sin θ的值. 【详解】（1）当3πθ=时，A '点在矩形OABC 外部，公共部分形状为三角形，设A O BC D '⋂=，则6COD π∠=，3tan63CD CO π==，则1133132236S CD CO π⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯=⎪⎝⎭；（2）①当6πθ=时，点A '在线段BC 上，此时，223A C A O OC ''=-=，113136222S OC A C π⎛⎫'=⨯=⨯⨯=⎪⎝⎭； ②当06πθ<<时，公共部分为四边形，A '点在矩形OABC 内部，过点A '作线段AB 的平行线，分别交线段AO 、BC 于点E 、F ，设A B BC G ''⋂=，则有如下长度：2cos OE θ=，22cos AE θ=-，2sin A E θ'=，12sin A F θ'=-，()12sin tan FG θθ=-，则()OEA A FG OABC AEFB S S S S S θ''=---△△矩形矩形，即()()()()111222cos 2cos 2sin 12sin 12sin tan 22S θθθθθθθ=⨯---⨯⨯-⨯-- ()2sin 12sin 45sin 2cos 2sin cos 2cos 2cos θθθθθθθθ--=--=，由题知45sin 2cos 8θθ-=，两边同时平方得221640sin 25sin 494cos 32θθθ-+=，由22cos 1sin θθ=-，整理得2249sin 320sin 790θθ-+=，即()()3sin 183sin 790θθ--=，因为06πθ<<，所以1sin 2θ<，故1sin 3θ=；③当62ππθ<<时，公共部分为三角形，且()116228S S πθ⎛⎫<=⨯=< ⎪⎝⎭，不合题意；综上所述，1sin 3θ=. 【点睛】关键点点睛：解决本题第二问的关键就是找出θ的临界情况，然后对θ的取值进行分类讨论，确定公共区域的形状，计算求出()S θ的表达式，结合已知条件求解sin θ的值.23．（1）()sin cos f ααα=；（2）；（3）5,1212k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 【分析】（1）利用诱导公式化简，即可求出()f α；（2）结合（1）得1()sin cos 8f ααα==，利用同角三角函数的关系，结合α的范围，即可得答案；（3）由题意可得1sin 22α≥，利用三角函数的图像与性质，即可求得α的范围. 【详解】（1）2sin cos tan ()sin cos (sin )(tan )f αααααααα⋅⋅==--；（2）由（1）可得1()sin cos 8f ααα==，则23(cos sin )12sin cos 4αααα-=-=， ,sin cos 42ππααα<<∴>，即cos sin 0αα-<cos sin 2αα∴-=-；（3）由题意得11()sin cos sin 224f αααα==≥，1sin 22α∴≥， 5222,66k k k Z πππαπ∴+≤≤+∈，即5,1212k k k Z πππαπ+≤≤+∈，所以α的取值集合为5,1212k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查诱导公式的应用、同角三角函数的关系、三角函数的图像与性质，考查分析理解，求值化简的能力，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题. 24．（1）1A =，2ω=；（2）0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）根据辅助角公式和两角和的正弦公式化简得()2sin 3f x A x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由函数图象可知()f x 的最大值为2，可求出A ，由图象可知43124T πππ=-=，结合2T πω=，即可求出ω的值；（2）由（1）得2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用整体代入法并结合正弦函数的单调性，即可求出()y f x =在[]0,π的单调增区间. 【详解】解：（1）由题可知，()sin cos (0,0)f x A x x A ωωω=+>>即1()2sin cos 2sin 223f x A x x A x πωωω⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由图象可知，()f x 的最大值为2，则22A =，所以1A =，由图象可知，43124T πππ=-=，则2T ππω==，所以2ω=；（2）由（1）得2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222,232k x k k πππ-+π≤+≤+π∈Z ，解得：5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，又因为[]0,x π∈，所以函数()y f x =在[]0,π的单调增区间为：0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】思路点睛：本题考查由函数()sin y A ωx φ=+的部分图象求解析式，由函数图象的最大值求出A ，由周期2T πω=求出ω，从而可求出函数解析式，再利用整体代入法求正弦型函数的单调性，熟练掌握正弦函数的图象和性质是解题的关键. 25．（1）12()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，递增区间为74,4,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）[]1,2-. 【分析】（1）由三角函数的图象，求得函数的解析式12()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解.（2）由三角函数的图象变换，求得2()2sin 223g x x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，根据()g x 的图象关于直线512x π=对称，求得m 的值，得到()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由图象可知2A =，422433T πππ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以212T πω==，所以1()2sin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由图可求出最低点的坐标为,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2sin 236f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以262k ππϕπ+=-+，所以22,3k k Z πϕπ=-+∈，因为||ϕπ<，所以23πϕ=-，所以12()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由1222,2232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，可得744,33k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 所以函数()f x 的单调递增区间为74,4,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）由题意知，函数22()2sin 2()2sin 2233g x x m x m ππ⎡⎤⎛⎫=+-=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，因为()g x 的图象关于直线512x π=对称，所以5222,1232m k k Z ππππ⨯-+=+∈，即,62k m k Z ππ=+∈，因为02m π<<，所以6m π=，所以()2sin 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 当7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，可得1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以2sin 2[1,2]3x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，即函数()g x 的值域为[]1,2-. 【点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解. 26．（1） 2.5sin()56y x π=+；（2）该船1：00至5：00和13：00至17：00期间可以进港，在港口最多能呆4个小时. 【分析】（1）由表格中数据可得， 2.5,5,12A B T ===，26T ππω==，取3x =代入可得2,k k Z ϕπ=∈，则解析式可得；（2）由（1）得计算2.5sin()5 6.256x π+≥解x 范围即可得结果.【详解】解：（1）由表格中数据可得， 2.5,5,12A B T ===. 因为0>ω，所以22126T πππω===. 因为3x =时y 取得最大值，所以32,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得2,k k Z ϕπ=∈.所以这个函数解析式为 2.5sin()56y x π=+（2）因为货船的吃水深度为5米，安全间隙至少要有1.25米，所以2.5sin()5 6.256x π+≥，即1sin()562x π+≥，所以522,666m x m m N πππππ+≤≤+∈，解得112512,m x m m N +≤≤+∈.取0,1,m m ==得15,1317x x ≤≤≤≤.。

(常考题)北师大版高中数学必修四第一章《三角函数》测试题(包含答案解析)(2)

一、选择题1．函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象，则下列说法正确的是（）A ．函数()g x 为奇函数B ．函数()g x 的最小正周期为2πC ．函数()g x 的图象的对称轴为直线()6x k k ππ=+∈ZD ．函数()g x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z2．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移ϕ(02πϕ<≤)个单位，得到函数()g x 的图象.在同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则ϕ=（）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 3．已知函数f （x ）=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，其中(0,)2πϕ∈ ，则函数g （x ）=cos （2x-φ）的图象（） A ．关于点(,0)12π对称 B ．关于轴512x π=-对称C ．可由函数f （x ）的图象向右平移6π个单位得到 D ．可由函数f （x ）的图象向左平移3π个单位得到 4．已知实数a ，b 满足0<2a <b <3-2a ，则下列不等关系一定成立的是（） A ．sin sin2b a < B ．()2cos >cos 3a b -C ．()2sin sin3a b +<D ．23cos >sin 2b a ⎛⎫-⎪⎝⎭5．设函数()3cos22sin cos f x x x x =+，给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为π ②()y f x =的图像关于直线12x π=对称③()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减 ④把函数2cos2y x =的图象上所有点向右平移12π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象.其中所有正确结论的编号是（）. A ．①④B ．②④C ．①②④D ．①②③6．将函数()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），然后向左平移3π个单位，所得函数记为()g x .若1x ，20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12x x ≠，且()()12g x g x =，则()12g x x +=（） A ．12-B ．3-C ．12D ．327．函数()13cos313xxf x x -=+的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．8．函数1cos y x x=+的图象可能是（） A ． B ．C ．D ．9．函数()()sin ln 0=->f x x x ωω只有一个零点，则实数ω的取值范围是（） A ．()0,πB ．5,2⎫⎛⎪⎝⎭ππe C ．50,2⎫⎛ ⎪⎝⎭πeD ．5,2⎫⎛∞ ⎪⎝⎭π+e 10．已知函数()sin cos f x x x =+，则下列说法正确的是（） A ．()f x 的最小值为0 B ．()f x 的最大值为2 C ．()()2f x f x π-=D ．1()2f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解 11．若函数)22()sin 23cos sin f x x x x =-的图像为E ，则下列结论正确的是（） A ．()f x 的最小正周期为2π B ．对任意的x ∈R ，都有()()3f x f x π=-C ．()f x 在7(,)1212ππ上是减函数D ．由2sin 2y x =的图像向左平移3π个单位长度可以得到图像E 12．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象（如图所示），则下列有关函数()f x 的结论错误的是（）A ．图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 B ．最小正周期是π C ．在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值是3 二、填空题13．若函数()()()4sin 0f x x ωϕω=+>对任意的x 都有()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值是___________. 14．已知函数()()πsin (00)2f x M x M ωϕωϕ=+>><，的部分图象如图所示，其中()23A ，(点A 为图象的一个最高点)502B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则函数()f x =___________.15．已知函数()()2sin 0f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是－2，则ω的最小值等于__________.16．关于函数()()4sin 23f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，有下列命题： ①函数()y f x =的表达式可以改写为4cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭； ②函数()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数； ③函数()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称；④函数()y f x =的图象关于直线6x π=-对称.其中正确的序号是______.17．函数[]y x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[]3.54-=-，[]2.12=.则对于函数()[]f x x x =-，有下列说法:①()f x 的值域为[)0,1；②()f x 是1为周期的周期函数；③()f x 是偶函数；④()f x 在区间[)1,2上是单调递增函数.其中，正确的命题序号为___________.18．如图，游乐场所的摩天轮匀速旋转，每转一周需要l2min ，其中心O 离地面45米，半径40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请问：当你第六次距离地面65米时，用了________分钟？19．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增； ③()f x 在[],ππ-有4个零点；④()f x 的最大值为2；其中所有正确结论的编号是_________. 20．已知函数sin cos |sin cos |3()22+--=+x x x x f x [0,]m 上恰有4个零点，则实数m 的取值范围为________.三、解答题21．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）当113,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，试由实数m 的取值讨论函数()()2g x f x m =-的零点个数． 22．已知函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象与直线2y =的相邻两个交点间的距离为2π，且________.在①函数6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数；②33f π⎛⎫=⎪⎝⎭；③x R ∀∈，()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭；这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间.23．广东省清远市美林湖摩天轮是国内最大的屋顶摩天轮，该摩天轮直径为84米，摩天轮的最高点距地面101米，摩天轮匀速转动，每转动一圈需要t 分钟，若小明从摩天轮的最低点处登上摩天轮，从小明登上摩天轮的时刻开始计时.（1）求小明与地面的距离y （米）与时间x （分钟）的函数关系式；（2）在摩天轮转动一圈过程中，小明的高度在距地面80米以上的时间不少于5分钟，求t 的最小值.24．已知函数21()3cos cos 2222x x x f x =++. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()y f x =的图象上的各点向左平移32π个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半；得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的最大值及取得最大值时x的取值集合.25．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间和水深关系表：时刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00 水深/米7.05.03.05.07.05.03.05.0()()sin ,0,2f t A t B A πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭来描述.（1）根据以上数据，求出函数()()sin f t A t B ωϕ=++的表达式；（2）一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4.0米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船在一天内(0：00~24：00)何时能进入港口然后离开港口？每次在港口能停留多久？26．已知向量a ＝(cosωx －sinωx ，sinωx)，b ＝(－cosωx －sinωx,2cosωx)．设函数f(x)＝a b ⋅＋λ(x ∈R)的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈1,12⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若y ＝f(x)的图象经过点,04π⎛⎫⎪⎝⎭，求函数f(x)在区间30,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据图象得到函数()f x 解析式，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象，可得()y g x =解析式，分别根据正弦函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，对选项中的结论判断，从而可得结论. 【详解】由图象可知3A =，33253441234ππππω⎛⎫=⋅=--= ⎪⎝⎭T ， ∴2ω=，则()3sin(2)f x x ϕ=+. 将点5,312π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入()3sin(2)f x x ϕ=+中，整理得5sin 2112πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， ∴522,Z 122k k ππϕπ⨯+=+∈，即2,Z 3k k πϕπ=-∈；||2ϕπ<， ∴3πϕ=-，∴()3sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. ∵将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象， ∴()3sin 23sin 2,333g x x x x R πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ()()3sin 23sin 233g x x x g x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+=--≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()g x 既不是奇函数也不是偶函数，故A 错误；∴()g x 的最小正周期22T ππ==，故B 不正确. 令2,32πππ+=+∈x k k Z ，解得,122k x k Z ππ=+∈，则函数()g x 图像的对称轴为直线,122k x k Z ππ=+∈. 故C 错误；由222,232k x k k πππππ-++∈Z ，可得5,1212k x k k ππππ-+∈Z ，∴函数()g x 的单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 故D 正确；故选：D. 【点睛】关键点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，熟记正弦函数的奇偶性、单调区间、最小正周期与对称轴是解决本题的关键.2．C解析：C 【分析】由图可知，172482g f ππ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据函数图象的平移变化法则可知()()sin 2x g x ϕ=-，于是推出1717sin 224242g ππϕ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1722124k ππϕπ-=+或324k ππ+，k Z ∈，再结合02πϕ<≤，解之即可得ϕ的值.【详解】由图可知，17sin 22488g f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为()f x 的图象向右平移ϕ个单位，得到函数()g x 的图象，所以()()sin 2x g x ϕ=-，所以171717sin 2sin 22424122g πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1722124k ππϕπ-=+或17322124k ππϕπ-=+，k Z ∈，解得712k πϕπ=-或3k πϕπ=-，k Z ∈，因为02πϕ<≤，所以3πϕ=.故选：C 【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，属于中档题.3．B解析：B 【分析】利用三角函数的奇偶性求得φ，再利用三角函数的图象对称性、函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】函数f （x ）=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴y=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，∴3φ=2π，φ=6π，则函数g （x ）=cos （2x ﹣φ）=cos （2x ﹣6π）．当12x π=时，206x π-=，112g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数不关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，选项A 错误；当512x π=-时，26x ππ-=-，则函数关于直线512x π=-对称，选项B 正确；函数()2sin sin 2sin cos sin 22f x x x x x x π⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，其图像向右平移6π个单位的解析式为sin 2sin 2sin 263y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，选项C 错误；其图像向左平移3π个单位的解析式为2sin 2sin 2sin 233y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，选项D 错误；故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、对称性，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．函数()sin y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的性质：（1）奇偶性：=k ϕπ ,k Z ∈时，函数()sin y A x ωϕ=+为奇函数；=2k πϕπ+,k Z ∈时，函数()sin y A x ωϕ=+为偶函数.；（2）周期性：()sin y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =2πω；（3）单调性：根据y =sin t 和t =x ωϕ+的单调性来研究，由+22,22k x k k Z πππωϕπ-≤+≤+∈得单调增区间；由3+22,22k x k k Z πππωϕπ≤+≤+∈得单调减区间；（4）对称性：利用y =sin x 的对称中心为()(),0k k Z π∈求解，令()x k k ωϕπ+=∈Z ，求得x ；利用y =sin x 的对称轴为()2x k k Z ππ=+∈求解，令()+2x k k πωϕπ+=∈Z ，得其对称轴.4．D解析：D 【分析】对各个选项一一验证：对于A.由0<2a <b <3-2a ，可以判断出2ba <，借助于正弦函数的单调性判断；对于B.由0<2a <b <3-2a ，可以判断出23a b <-，借助于余弦函数的单调性判断；对于C.由0<2a <b <3-2a ，可以判断出23a b +<，借助于正弦函数的单调性判断；对于D.先用诱导公式转化为同名三角函数，借助于余弦函数的单调性判断；【详解】因为0<2a <b <3-2a 对于A. 有0<2b a <，若22b a π<<，有sin sin 2b a <；若22b a π<<，有sin sin 2ba >，故A 错；对于B.有 23ab <-，若232a b π<<-，有()2cos >cos 3a b -，故B 错；对于C. 23a b +<，若232a b π<+<，有()2sin sin 3a b +>，故C 错；对于D. 222333sin cos cos 2222a a a ππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为b <3-2a <3，所以2cos >cos(3)b a - ∵22332a a π+-<-∴()223cos 3cos 2a a π+⎛⎫->-⎪⎝⎭∴()22233cos cos 3cos sin 22a a b a π+⎛⎫⎛⎫>->-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 对. 故选：D. 【点睛】利用函数单调性比较大小，需要在同一个单调区间内．5．C解析：C 【分析】根据题意，利用辅助角公式和两角和的正弦公式化简得()2sin(2)3f x x π=+，根据2T ωπ=求出最小正周期即可判断①；利用整体代入法求出()y f x =的对称轴，即可判断②；利用整体代入法求出()y f x =的单调减区间，从而可得在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上先减后增，即可判断③；根据三角函数的平移伸缩的性质和诱导公式化简，即可求出平移后函数，从而可判断④. 【详解】解：函数()2sin cos sin 22sin(2)3f x x x x x x x π++=+，即：()2sin(2)3f x x π=+，所以()f x 的最小正周期为222T πππω===，故①正确；令2,32πππ+=+∈x k k Z ，解得：,122k x k Z ππ=+∈，当0k =时，则直线12x π=为()y f x =的对称轴，故②正确；令3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得：7,1212ππππ+≤≤+∈k x k k Z ，所以()f x 的单调递减区间为：7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，当0k =时，()f x 的一个单调递减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则区间7,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故在区间2121,3228,6ππππ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦上先减后增，故③错误；把函数2cos2y x =的图象上所有点向右平移12π个单位长度，得到s 2)2cos 22co 22cos 2126332sin(2y x x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎦⎣⎦+⎝⎭⎣即平移后得到函数()y f x =的图象，故④正确. 所以所有正确结论的编号是：①②④. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的图象和性质，熟练掌握正弦型函数的周期、对称轴、单调区间的求法，以及三角函数的平移伸缩是解题的关键，还考查辅助角公式、两角和的正弦公式以及诱导公式的应用，考查学生化简运算能力.6．D解析：D 【分析】先利用函数()sin y A ωx φ=+的图像变换规律求得()g x 的解析式，再利用正弦函数的图像的对称性，求得12x x +的值，可得()12g x x +的值. 【详解】将函数()sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），可得sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再向左平移3π个单位，所得函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若1x ，20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12x x ≠，则142,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，242,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()()12g x g x =，12223322x x πππ+++∴=，126x x π∴+=，则()122sin 2sin 6332g x x πππ⎛⎫+=⨯+==⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查函数()sin y A ωx φ=+的图像变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题.7．A解析：A 【分析】先判断奇偶性，可排除C ，D ，由特殊值()f π，可排除B ，即可得到答案.【详解】因为()()()1331cos 3cos31331x x xx f x x x f x -----=⋅-=⋅=-++，所以函数()f x 为奇函数，排除C ，D ；又()13cos3013f ππππ-=>+，排除B ，故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．8．C解析：C 【分析】利用函数的奇偶性和特殊的函数值的正负排除错误选项．【详解】函数定义域是{|0}x x ≠，关于原点对称，记1()cos f x x x=+，则11()cos()cos f x x x x x-=-+=+-()f x =，是偶函数，排除BD ，11()cos 10f ππππ=+=-+<，排除A ．故选：C ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.9．C解析：C 【分析】函数()()sin ln 0=->f x x x ωω只有一个零点，等价于sin y x ω=与ln y x =图象只有一个交点，作出两个函数的图象，数形结合即可求解. 【详解】函数()()sin ln 0=->f x x x ωω只有一个零点，可得sin ln 0x x ω-=只有一个实根，等价于sin y x ω=与ln y x =图象只有一个交点，作出两个函数的图象如图所示，由sin y x ω=可得其周期2T πω=，当x e =时，ln 1y e ==sin y x ω=最高点5,12A πω⎛⎫⎪⎝⎭所以若恰有一个交点，只需要5ln 12πω>，即52e πω>，解得：52e πω<，又因为0>ω，所以502eπω<<，故选：C 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.10．C解析：C 【分析】可得()()2f x f x π+=，得出()f x 是以2π为周期的函数，故只需考虑0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即可. 【详解】()()sin cos cos sin 222f x x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫+=+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x ∴是以2π为周期的函数，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin cos sin cos 4f x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，则3,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，41x π⎛⎫+ ⎝∴≤⎪⎭≤根据函数的周期性可得()f x 的最小值为1，故AB 错误，∴1()2f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无解，故D 错误， ()()sin cos cos sin222f x x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的应用，解题的关键是得出()f x 是以2π为周期的函数，故只需考虑0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即可. 11．C解析：C 【分析】利用二倍角和辅助角公式化简函数为()2sin(2+)3f x x π=；根据正弦型函数的性质验证选项得解【详解】()sin 222sin(2+)3f x x x x π==()f x 最小正周期22T ππ==，A 错误； ()2sin[2()+]2sin(2)2sin 2333f x x x x ππππ-=-=-=，B 错误；当7(,)1212x ππ∈时，32(,)322x πππ+∈ ()f x ∴在7(,)1212ππ上是减函数，C 正确；将2sin 2y x =向左平移3π个单位长度得到22sin[2()]2sin(2)33y x x ππ=-=-，D 错误. 故选：C 【点睛】本题考查正弦型函数性质的相关命题的辨析，涉及到二倍角和辅助角公式化简三角函数、正弦型函数的周期性、对称性和单调区间的求解、三角函数平移变换的应用等知识；关键是能够熟练掌握整体对应的方法，通过代入检验，结合正弦函数图象可确定正弦型函数的性质.12．C解析：C 【分析】首先根据题中所给的函数图象，从最值、周期和特殊点着手将解析式确定，之后结合函数的性质对选项逐一分析，得到结果. 【详解】根据图象得到：2A =，311341264T πππ=-=，所以T π=，所以2ππω=，解得2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+．将点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，得到2sin 23πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()232k k Z ππϕπ+=+∈，得()26k k Z πϕπ=+∈，又2πϕ<，所以6π=ϕ，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．对于A ，20126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，则函数()f x 关于,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故A 正确；对于B ，函数的周期22T ππ==，故B 正确；对于C ，当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时函数()f x 为增函数，故C 错误；对于D ，当0,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin 262x π⎡⎛⎫+∈⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 26x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭，故()f x 在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 正确．故选：C ．【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有根据图象确定函数解析式，正弦型函数的相关性质，属于简单题目.二、填空题13．4或-4【分析】由题意可得故函数的周期为求得；在中令求得从而求得的值【详解】∵函数对任意的都有∴故函数的周期为∴所以∴在中令可得：即∴则故答案为：4或-4【点睛】求三角函数解析式的方法：(1)求A 通解析：4或-4. 【分析】由题意可得()23f x f x π⎛⎫+=⎪⎝⎭，故函数()f x 的周期为23π，求得=3ω；在()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭中，令=0x ，求得sin 0ϕ=，从而求得6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】∵函数()()()4sin 0f x x ωϕω=+>对任意的x 都有()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴()23f x f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故函数()f x 的周期为23π， ∴22=3ππω，所以=3ω. ∴()()4sin 3f x x ϕ=+.在()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭中，令=0x ，可得：()03f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即()4sin =4sin πϕϕ+，∴sin =0ϕ.则=4sin()4cos 462f ππϕϕ⎛⎫+==± ⎪⎝⎭. 故答案为： 4或-4. 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.14．【分析】由点的坐标可得的值由图象可求得函数的图象可得该函数的最小正周期可求得的值再将点的坐标代入函数的解析式结合的取值范围可求得的值可得出函数的解析式【详解】由于函数的图象的一个最高点为则由图象可知解析：ππ3sin 36x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】由点A 的坐标可得M 的值，由图象可求得函数()y f x =的图象可得该函数的最小正周期，可求得ω的值，再将点A 的坐标代入函数()y f x =的解析式，结合ϕ的取值范围可求得ϕ的值，可得出函数()y f x =的解析式．【详解】由于函数()y f x =的图象的一个最高点为()2,3A ，则3M =，由图象可知，函数()y f x =的最小正周期为452632T ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，23T ππω∴==，()3sin 3x f x πϕ⎛⎫∴=+⎪⎝⎭，将点A 的坐标代入函数()y f x =的解析式得()223sin 33f πϕ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，可得2sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 22ππϕ-<<，则27636πππϕ<+<，232ππϕ∴+=，解得6πϕ=-，()3sin 36x f x ππ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭故答案为：()3sin 36x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查利用三角函数图象求解函数解析式，考查计算能力，属于中等题.15．【分析】先根据函数在区间上的最小值是确定的取值范围进而可得到或求出的范围得到答案【详解】函数在区间上的最小值是则的取值范围是当时函数有最小值或或的最小值等于故答案为：【点睛】本题主要考查正弦函数的最解析：32【分析】先根据函数在区间[,]34ππ-上的最小值是2-确定x ω的取值范围，进而可得到32ωππ--或342ωππ，求出ω的范围得到答案．【详解】函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-，则x ω的取值范围是[,]34ωπωπ-，当22x k πωπ=-+，k Z ∈时，函数有最小值2-，32ωππ∴--，或342ωππ，k Z ∈， ∴32ω≥，或6ω，k Z ∈， 0ω>，ω∴的最小值等于32．故答案为：32．【点睛】本题主要考查正弦函数的最值的应用．考查基础知识的运用能力．三角函数式高考的重要考点，一定要强化复习．16．①③【分析】利用诱导公式化简函数判断①正误；求出函数周期判断②；求出函数的对称中心判断③；求出函数的对称轴判断④【详解】解：对于①所以①正确；对于②最小正周期所以②不正确；对于③因为所以为的对称中心解析：①③ 【分析】利用诱导公式化简函数()f x ,判断①正误；求出函数()f x 周期判断②；求出函数()f x 的对称中心判断③；求出函数()f x 的对称轴判断④. 【详解】解：对于①，()4sin 24cos 2323f x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 4cos 24cos 2326x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以①正确；对于②，最小正周期222T πππω===，所以②不正确；对于③，因为4sin 4sin 00633f πππ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 的对称中心，故③正确；对于④，()()4sin 23f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的对称直线满足2,32x k k Z πππ+=+∈，6x π=-不满足条件，所以④不正确.故答案为：①③. 【点睛】本题考查正弦函数的性质，考查基本概念、基本知识的理解掌握程度，属于基础题.17．①②④【分析】当时即可判断①④；计算即可判断②也可以作图；计算即可判断③【详解】当时所以故①④正确；当时则故②正确；所以③错误故答案为：①②④【点睛】本题考查利用所学知识研究新定义函数的性质涉及到周解析：①②④ 【分析】当[,1)x n n ∈+时，()f x x n =-，即可判断①④；计算(1)f x +，()f x 即可判断②，也可以作图；计算12()33f -=，11()33f =即可判断③. 【详解】当[,1)x n n ∈+时，[]x n =，()||f x x n x n =-=-，所以()[0,1)f x ∈，故①④正确；当[,1)x n n ∈+时，则1[1,2)x n n +∈++，[1]1x n +=+，(1)|1[1]|f x x x +=+-+|1(1)|||()x n x n f x =+-+=-=，故②正确；1112()|[]|3333f -=---=，1111()|[]|3333f =-=，所以③错误.故答案为：①②④. 【点睛】本题考查利用所学知识研究新定义函数的性质，涉及到周期性、单调性、奇偶性以及值域，是一道中档题.18．【分析】根据题意得到化简得到或得到答案【详解】设时间为根据题意：故故或故或故故答案为：【点睛】本题考查了三角函数的应用意在考查学生的应用能力解析：【分析】根据题意得到40sin 456562t ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，化简得到124t k =+或128t k =+，得到答案. 【详解】设时间为t ，0t >，根据题意：40sin 456562t ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，故1sin 622t ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 故2626t k ππππ-=+或52626t k ππππ-=+，故124t k =+或128t k =+，k Z ∈. 故1234564,8,16,20,28,32t t t t t t ======. 故答案为：32. 【点睛】本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力.19．①④【分析】结合题意得出函数的奇偶性根据奇偶性研究函数在时的性质对结论逐一判断即可【详解】解：∵定义域为∴∴函数是偶函数故①对；当时∴由正弦函数的单调性可知函数在区间上单调递减故②错；当时由得根据偶解析：①④ 【分析】结合题意，得出函数的奇偶性，根据奇偶性研究函数在0x >时的性质对结论逐一判断即可．【详解】解：∵()sin |||sin |f x x x =+，定义域为R ，∴()()sin |||sin |f x x x -=-+-sin sin ()x x f x =+=， ∴函数()f x 是偶函数，故①对；当[]0,x π∈时，()sin |||sin |f x x x =+sin sin 2sin x x x =+=， ∴由正弦函数的单调性可知，函数()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故②错；当[]0,x π∈时，由()2sin 0f x x ==得0x =，x π=，根据偶函数的图象和性质可得，()f x 在[),0π-上有1个零点x π=- ， ∴()f x 在[],ππ-有3个零点，故③错；当0x ≥时，()sin |||sin |f x x x =+sin sin x x =+2sin ,sin 00,sin 0x x x ≥⎧=⎨<⎩，根据奇偶性可得函数()f x 的图象如图，∴当sin 1x =时，函数()f x 有最大值()max 2f x =，故④对；故答案为：①④．【点睛】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题．20．【分析】周期为先考查一个周期函数判断零点个数及坐标再结合周期性即可求解【详解】是函数的一个周期当时当时只有四个零点在上恰有4个零点实数m 的取值范围为故答案为:【点睛】本题考查函数的零点个数求参数注意解析：517[,)36ππ 【分析】()f x 周期为2π，先考查一个周期函数，判断零点个数及坐标，再结合周期性，即可求解【详解】2x π=是函数()f x 的一个周期，当[0,2]x π时，35cos [,]44()35sin [0,][,2]44x x f x x x πππππ⎧∈⎪⎪=⎨⎪+∈⋃⎪⎩当[0,2]x π时，()f x 只有四个零点5745,,,6633ππππ，在[0,]m 上恰有4个零点，实数m 的取值范围为517[,)36ππ. 故答案为:517[,)36ππ. 【点睛】本题考查函数的零点个数求参数，注意函数图像和性质的应用，属于中档题.三、解答题21．（1）()2sin 412f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）答案见解析. 【分析】（1）结合“五点法”求函数解析式：最大值确定A ，由周期确定ω，由最高点坐标确定ϕ．（2）确定113,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时()f x 的图象与性质，由2y m =与()y f x =的交点个数确定m 的范围．【详解】解：（1）由图可知2A =．函数()f x 最小正周期1374833T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，则28πω=．4πω∴=．又772sin 2312f πϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则72122k ππϕπ+=+，Z k ∈． 212k πϕπ∴=-+，Z k ∈．又2πϕ<，12πϕ∴=-．∴函数()f x 的解析式为()2sin 412f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）由题意，()()2g x f x m =-在113,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内的零点个数即函数()y f x =与2y m =的图象在113,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时公共点的个数．由（1），知()2sin 412f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭，113,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦． 113f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，723f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1303f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由图，知函数()f x 在区间17,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在区间713,33⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．（i ）当12m <-或1m 时， ()y f x =与2y m =的图象在113,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时没有公共点，（ii ）当102m -≤<或1m =时， ()y f x =与2y m =的图象在113,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时恰有一个公共点；（iii ）当01m ≤<时，()y f x =与2y m =的图象在113,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时恰有两个公共点．综上可知，当12m <-或1m 时，函数()g x 的零点个数为0；当102m -≤<或1m =时，函数()g x 的零点个数为1；当01m ≤<时，函数()g x 的零点个数为2．【点睛】关键点点睛：本题考查求三角函数的解析式，考查真分数零点个数问题．解题关键是转化，函数零点个数转化为函数图象与直线的交点个数，基本方法是利用函数的性质，确定函数图象与直线交点个数得出参数范围.22．（1）()()2sin f x x ϕ=+；（2）答案见解析. 【分析】由已知得周期从而求得ω，选①：（1）得出()6f x π+，根据偶函数与诱导公式求得ϕ；（2）求出()f x 的增区间，再与[0,]π求交集可得；选②：（1）解方程3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ϕ；（2）同选①选③：（1）由6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭是最大值可得ϕ；（2）同选① 【详解】解：∵()f x 的图象与直线2y =的相邻两个交点间的距离为2π， ∴2T π=，即22ππω=，∴1ω=，∴()()2sin f x x ϕ=+. 方案一：选条件① （1）∵2sin 66f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数， ∴62k ππϕπ+=+，即3k πϕπ=+，k Z ∈，∵02πϕ<<，∴3πϕ=，∴()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.（2）令22232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得：52266k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，令0k =，得566x ππ-≤≤， ∴函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦（写成开区间也可得分）方案二：选条件②（1）方法1：∵2sin 33f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴sin 32πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴2k 33ππϕπ+=+或2233k ππϕπ+=+，k Z ∈， ∴2k ϕ=π或23k πϕπ=+，k Z ∈，∵02πϕ<<，∴3πϕ=，∴()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；方法2：∵2sin 33f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴sin 32πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∵02πϕ<<，∴5336πππϕ<+<， ∴233ππϕ+=即3πϕ=，∴()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）同方案一. 方案三：选条件③∵x R ∀∈，()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴6f π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的最大值，∴262k ππϕπ+=+，k Z ∈，即23k πϕπ=+，k Z ∈，∵02πϕ<<，∴3πϕ=，∴()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）同方案一. 【点睛】思路点睛：本题考查三角函数的图象与性质，掌握正弦函数的性质是解题关键．()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>，只要把x ωϕ+作为一个整体，用它替换sin y x =中的x 可确定函数的性质如单调性、对称中心、对称轴，最值，也可由()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>中x 的范围求出t x ωϕ=+的范围M ，然后考虑sin y x =在x M ∈时的性质得出结论．23．（1）242cos 59y x tπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（0x ，t 为参数）；（2）15. 【分析】（1）以摩天轮最低点为原点，最低点的切线为x 轴建立直角坐标系，设sin()y A x b ωϕ=++，根据最高点和最低点的距离，求得,A b 的值，进而求得,ωϕ的值，即可求解.（2）由80y ≥，得到21cos 2x t π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，得到2533t t -≥，即可求解.【详解】（1）如图所示，以摩天轮最低点为原点，最低点的切线为x 轴建立直角坐标系，由题意可设sin()(0,0,0)y A x b A b ωϕω=++>>因为摩天轮的最高点距地面101m ，最低点距地面1018417(m)-=，所以101,17,A b A b +=⎧⎨-+=⎩解得42,59A b ==，又函数周期为t ，可得2t πω=，所以242sin 59(0)y x x t πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭. 又0x =时，17y =，所以21742sin 059t πϕ⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭，即sin 1,ϕϕ=-可取2π-，所以2242sin 5942cos 592y x x t tπππ⎛⎫⎛⎫=-+=-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭（0x ≥，t 为参数）. （2）依题意，可知242cos 5980y x tπ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭，即21cos 2x tπ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，不妨取第一圈，可得2242,3333t tx x t πππ≤≤≤≤，所以持续时间为2533t t-≥，即15t ≥，所以t 的最小值为15.【点睛】三角函数实际应用问题的处理策略： 1、已知函数模型求解数学问题；2、把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题；3、根据实际问题转化为已知条件转化为三角函数的解析式和图象，然后在根据数形结合思想研究三角函数的性质，进而加深理解函数的性质. 24．（1）2π；（2）2，5,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 【分析】（1）先利用二倍角公式化简，再用辅助角公式化为()f x sin 16x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即可求出()f x 的最小正周期；（2）利用图像变换得到()y g x =的解析式，利用换元法就可以得到()y g x =的最大值及取得最大值时 x 的取值【详解】（1）∵函数1cos 1()22x f x x +=++ sin 16x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴函数的周期为2π（2）依题意：函数()f x sin 16x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象上的各点向左平移32π个单位，得到y 3sin +1= -cos 1626x x πππ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，得到y = -cos 216x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭；所以()cos 216g x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭令226t x k πππ=+=+，即5()12x k k Z ππ=+∈ 使函数()g x 取得最大值2，即max ()2g x = 使函数()g x 取得最大值的集合为5,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭．【注意】取得最大值的集合为7,12x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭也可以．【点睛】：(1)关于三角函数图像平移伸缩变换：先平移的话，如果平移a 个单位长度那么相位就会改变ωa ；而先伸缩势必会改变ω大小，这时再平移要使相位改变值仍为ωa ，那么平移长度不等于a ；(2)求y =Asin (ωx +φ)+B 的值域通常用换元法；25．（1）()2sin 566f t t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）在0时进港4时出港或12时进港16时出港，每次在港内可停留4个小时. 【分析】由表格易知()()max min 7,3f t f t ==，由()()()()max minmax min,22f t f t f t f t A B -+==，求得A ，B ，再根据14212T =-=和2t =时，函数取得最大值，分别求得,ωϕ即可.（2）根据货船需要的安全水深度为6，由()2sin 5666f t t ππ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭求解. 【详解】由表格可知()()max min 7,3f t f t ==,，则()()()()max minmax min2,522f t f t f t f t A B -+====，又214212,6T T ππω=-===，当2t =时，()22sin 2576f πϕ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭，即sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以232k ππϕπ+=+，又2πϕ<，所以6π=ϕ，所以()2sin 566f t t ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭. （2）因为货船需要的安全水深度为6，所以()2sin 5666f t t ππ⎛⎫=++≥⎪⎝⎭，即1sin 662t ππ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以5226666k t k ππππππ+≤+≤+，即12412k t k ≤≤+，又因为[]0,24t ∈，当0k =时，[]0,4t ∈，当1k =时，[]12,16t ∈，所以在0时进港4时出港或12时进港16时出港，每次在港内可停留4个小时. 【点睛】方法点睛：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象或表格确定A ，ω，φ的题型，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准“零点”或“最大（小）值点”的位置．要善于抓住特殊量和特殊点．26．(1)65π；(2)1222⎡⎤---⎣⎦, . 【解析】试题分析：(1)整理函数的解析式可得：56ω=，利用最小正周期公式可得函数的最小正周期为65π ； (2)化简三角函数的解析式()52sin 236f x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，结合函数的定义域可得函数的取值范围是12,22⎡⎤---⎣⎦ .试题(1)因为f(x)＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋2sinωx·cosωx ＋λ＝－cos2ωx ＋sin2ωx ＋λ ＝2sin＋λ.由直线x ＝π是y ＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin ＝±1，所以2ωπ－＝kπ＋ (k ∈Z)，即ω＝＋ (k ∈Z)．又ω∈，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝.所以f(x)的最小正周期是. (2)由y ＝f(x)的图象过点，得f ＝0，即λ＝－2sin＝－2sin ＝－，即λ＝－.故f(x)＝2sin－，由0≤x≤，有－≤x－≤，所以－≤sin≤1，得－1－≤2sin x－－≤2－.故函数f(x)在上的取值范围为[－1－，2－]．。

高中数学(人教,必修4)第一章《三角函数》测试题B卷.docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作高中数学必修4第一章《三角函数》测试题B 卷考试时间：100分钟，满分：150分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）.1．sin(－103π)的值等于 ( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－322．若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π6的值为 ( )A ．0 B.33C ．1 D. 33．函数y ＝sin(2x ＋π3)图象的对称轴方程可能是 ( )A ．x ＝－π6B ．x ＝－π12C ．x ＝π6D ．x ＝π124．已知f (sin x )＝x ，且x ∈[0，π2]，则f (12)的值等于( )A ．sin 12 B.12 C ．－π6 D.π65．已知sin(α＋π2)＝13，α∈(－π2，0)，则tan α等于 ( )A ．－2 2B ．22C ．－24 D.246．如果sin α＋cos α＝34，那么|sin 3α－cos 3α|的值为 ( )A.2512823 B ．－2512823 C.2512823或－2512823 D ．以上全错7．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ的值为 ( )A ．－81727 B.81727 C.82027D ．－820278．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则sin (－α－3π2)sin (3π2－α)tan 2(2π－α)cos (π2－α)cos (π2＋α)sin (π＋α)＝ ( )A.35B.53C.45D.549．若函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x 轴向左平移π2个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线与y ＝12sin x 的图象相同，则y ＝f (x )是( ) A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋1 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋1 C ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1 D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1 10．已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y (米)可看作是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )，经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b ，下表是某日各时的浪高数据：t /时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y /米2321322320.99322则最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是( )A ．y ＝12cos π6t ＋1B ．y ＝12cos π6t ＋32C ．y ＝2cos π6t ＋32D ．y ＝12cos6πt ＋32二、填空题（每小题6分，共计24分）.11．已知tan θ＝2，则sin θsin 3θ－cos 3θ＝________.12．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是____________．13．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，则f (x )＝________. 14．关于函数f (x )＝4sin(2x ＋π3)(x ∈R )，有下列命题：①函数y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos(2x －π6)；②函数y ＝f (x )是以2π为最小正周期的周期函数； ③函数y ＝f (x )的图象关于点(－π6，0)对称；④函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．其中，正确的是________．(填上你认为正确命题的序号) 三、解答题（共76分）.15.（本题满分12分）已知：f (x )＝2010x ＋2011sin 3x ＋1，且f (5)＝7，求f (－5)．16.（本题满分12分）已知α是第三象限的角，且f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)tan (－α＋32π)·tan (－α－π)sin (－α－π)，(1)化简f (α)；(2)若cos(α－32π)＝15，求f (α)；(3)若α＝－313π，求f (α)．17.（本题满分12分）设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一个对称中心是(π8，0)．(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．18.（本题满分12分）已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4－1，x ∈R . 求：(1)函数f (x )的最小值及此时自变量x 的取值集合；(2)函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4－1的图象？19.（本题满分14分）如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)，x ∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S (3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP .试求A 、ω的值和M 、P 两点间的距离．20.（本题满分14分）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的一系列对应值如下表：x －π6 π3 5π6 4π3 11π6 7π3 17π6 y－1131－113(1)根据表格提供的数据求函数f (x )的一个解析式；(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k >0)的周期为2π3，当x ∈[0，π3]时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围．高中数学必修4第一章《三角函数》测试题B 卷参考答案一、选择题1.【答案】C.【解析】 sin(－103π)＝sin(－4π＋2π3) ＝sin 2π3＝sin(π－π3)＝sin π3＝32.2. 【答案】D.【解析】∵点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，∴9＝3a ，∴a ＝2，∴tan a π6＝tan π3＝ 3.3. 【答案】D.【解析】 y ＝sin(2x ＋π3)的对称轴方程为2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )．∴x ＝k ·π2＋π12(k ∈Z )，令k ＝0即得．4. 【答案】D.【解析】∵f (sin x )＝x ，且x ∈[0，π2]， ∴求f (12)，即解sin x ＝12，且x ∈[0，π2]，∴x ＝π6，故选D.5.【答案】A.【解析】sin(α＋π2)＝cos α＝13. ∵α∈(－π2，0)，∴sin α＝－1－cos 2α＝－223，∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.6. 【答案】 C【解析】由已知，两边平方得sin αcos α＝－732. ∴|sin 3α－cos 3α|＝|(sin α－cos α)(sin 2α＋cos 2α＋sin αcos α)|＝1－2sin αcos α·|1＋sin αcos α|＝2523128.∴sin 3α－cos 3α＝±2523128. 7. 【答案】 C【解析】 ∵sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，∴sin θ＝3cos θ ， ∴sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ＝3cos 2θ＋127cos 2θ＝8227cos 2θ 由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝3cos θsin 2θ＋cos 2θ＝1得cos 2θ＝110， ∴sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ＝82027. 8. 【答案】 B【解析】方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2.则sin α＝－35 ，原式＝cos α(－cos α)tan 2αsin α(－sin α)(－sin α)＝－1sin α＝53.9.【答案】B【解析】逆向法解决，将y ＝12sin x 的图象沿y 轴向上平移1个单位，得函数y ＝12sin x ＋1的图象；再将函数y ＝12sin x ＋1的图象向右平移π2个单位，得函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＋1的图象；再将函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＋1图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，得函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋1. 10. 【答案】 B【解析】 ∵T ＝12－0＝12，∴ω＝2πT ＝2π12＝π6. 又最大值为2，最小值为1，则⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝2，－A ＋b ＝1，解得A ＝12，b ＝32，∴y ＝12cos π6t ＋32.二、填空题11.【答案】107【解析】sin θsin 3θ－cos 3θ＝sin θ(sin 2θ＋cos 2θ)sin 3θ－cos 3θ ＝sin 3θ＋sin θcos 2θsin 3θ－cos 3θ ＝tan 3θ＋tan θtan 3θ－1 ＝23＋223－1＝107.12. 【答案】[－32，3]【解析】由对称轴完全相同知两函数周期相同，∴ω＝2，∴f (x )＝3sin(2x －π6)．由x ∈[0，π2]，得－π6≤2x －π6≤56π，∴－32≤f (x )≤3.13.【答案】 2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋6【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝8，－A ＋B ＝4，解得A ＝2，B ＝6. 周期T ＝2(7－3)＝8，∴ω＝2πT ＝π4.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ＋6. 又当x ＝3时，y ＝8，∴8＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＋6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝1，取φ＝－π4. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋6. 14. 【答案】 ①③【解析】①f (x )＝4sin(2x ＋π3)＝4cos(π2－2x －π3)＝4cos(－2x ＋π6)＝4cos(2x －π6)．②T ＝2π2＝π，最小正周期为π.③∵2x ＋π3＝k π，当k ＝0时，x ＝－π6，函数f (x )关于点(－π6，0)对称．④2x＋π3＝π2＋k π，当x ＝－π6时，k ＝－12，与k ∈Z 矛盾．∴①③正确．二、解答题15. 解：法一：f (－x )－1＝－2010x －2011sin 3x ＝－[f (x )－1]， ∴f (x )－1为奇函数．∴f (－5)－1＝－[f (5)－1]＝－(7－1)＝－6.∴f (－5)＝1－6＝－5，即f (－5)＝－5即为所求．法二：⎭⎪⎬⎪⎫f (5)＝2010×5＋2011·sin 35＋1＝7f (－5)＝－2010×5－2011·sin 35＋1二式相加，得：f (－5)＋7＝2，∴f (－5)＝2－7＝－5.16. 解：(1)f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)tan[π＋(π2－α)]tan[－(α＋π)]sin[－(π＋α)]＝sin α·cos α·tan (π2－α)[－tan (π＋α)][－sin (π＋α)]＝sin αcos α·cot α(－tan α)sin α＝－cos α.(2)由cos(α－32π)＝15得：cos[－2π＋(α＋π2)]＝cos(π2＋α)＝－sin α＝15.∴sin α＝－15.∵α是第三象限的角，∴cos α<0.∴f (α)＝－cos α＝1－sin 2α＝1－125＝265. (3)若α＝－313π，∵－313π＝－5×2π－π3，∴cos(－313π)＝cos(－5×2π－π3)＝cos(－π3)＝cos π3＝12.∴此时，f (α)＝－cos(－313π)＝－12.17. 解：(1)∵(π8，0)是函数y ＝f (x )的图象的对称中心，∴sin(2×π8＋φ)＝0，∴π4＋φ＝k π(k ∈Z )，∴φ＝k π－π4(k ∈Z )．∵－π<φ<0，∴φ＝－π4.(2)由(1)知φ＝－π4，因此y ＝sin(2x －π4)，由题意得：2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，即：k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z ，所以函数y ＝sin(2x －π4)的单调增区间为：[k π－π8，k π＋3π8]，k ∈Z .18. 解： (1)函数f (x )的最小值是3×(－1)－1＝－4，此时有12x ＋π4＝2k π－π2，解得x ＝4k π－3π2(k ∈Z )，即函数f (x )的最小值是－4，此时自变量x 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝4k π－3π2，k ∈Z . (2)步骤是：①将函数y ＝sin x 的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象； ②将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的图象；③将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变)，得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的图象；④将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的图象向下平移1个单位长度，得函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4－1的图象． 19. 解： ∵函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)图象的最高点为S (3,23)， ∴A ＝2 3.由图象，得T4＝3，∴T ＝12.又T ＝2πω，∴ω＝π6，即y ＝23sin π6x .当x ＝4时，y ＝23sin 2π3＝3. ∴M (4,3)．又P (8,0)． ∴|MP |＝42＋32＝5，即MP 的长是5.20. 解： (1)设f (x )的最小正周期为T ，则T ＝11π6－(－π6)＝2π，由T ＝2πω，得ω＝1，又⎩⎪⎨⎪⎧B ＋A ＝3，B －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2B ＝1，令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2，解得φ＝－π3，∴f (x )＝2sin(x －π3)＋1.(2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin(kx －π3)＋1的周期为2π3，又k >0，∴k ＝3，令t ＝3x －π3，∵x ∈[0，π3]，∴t ∈[－π3，2π3]，如图，sin t ＝s 在[－π3，2π3]上有两个不同的解，则s ∈[32，1]，∴方程 f (kx )＝m 在x ∈[0，π3]时恰好有两个不同的解，则m ∈[3＋1,3]，即实数m 的取值范围是[3＋1,3]．。

人教版高中数学必修四第一章三角函数1.2任意角的三角函数(教师版)【个性化辅导含答案】

任意角的三角函数__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系； 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。

3.牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题. （一）任意角的三角函数：任意点到原点的距离公式：22y x r +=1.三角函数定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么（1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=；（2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos xr α=；（3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan yxα=；（4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x yα=； 2.说明：（1）α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；（2）根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小；（3）当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan yxα=无意义；同理当()k k Z απ=∈时，y x =αcot 无意义；（4）除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、yx、x y 分别是一个确定的实数。

正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。

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