数学建模动态规划库存问题
动态规划教学中关于生产库存问题模型求解的改进
Model Solve in Production Inventory on Dynamic
Programming Teaching
作者： 芮世春[1] 王永富[2]
作者机构： [1]安徽财经大学管理科学与工程学院,安徽蚌埠233030 [2]中国科学技术大学工程科学学院,安徽合肥230027
出版物刊名： 蚌埠学院学报
页码： 14-17页
年卷期： 2012年 第6期
主题词： 动态规划 顺序递推法 生产计划问题 生产量取值范围 库存量取值范围
摘要：解决动态规划问题的方法有逆序递推和顺序递推两种。
通过实例验证指出，在当前的动态规划应用举例“生产计划问题”最优化模型的求解中，讲解动态规划顺序递推法时，存在不太合理之处。
体现在运用动态规划顺序递推法求解过程中涉及到的第k阶段的生产量xk和第k 阶段末的库存量vk的取值范围推导不太合理，这能够导致最优解的遗失；同时也会造成学生在学习过程中产生不解和困惑。
在对“生产计划问题”的最优化模型进行研究后，按照总的生产成本费用和库存费用之和最小的原则，运用动态规划顺序递推法推导出更为合理的xk和vk的取值范围。
数学建模中的动态规划问题的开题报告
数学建模中的动态规划问题的开题报告一、选题背景动态规划作为一种求解最优化问题的有效方法，被广泛应用于数学建模中。
在实际问题中，需要考虑多个决策的选择，以使得目标函数能够达到最优值。
与贪心算法相比，动态规划通过记录历史状态的方式来优化决策，具有更强的求解能力。
因此，本次选题将探讨与动态规划相关的数学建模问题。
二、选题意义作为数学建模的重要组成部分，动态规划既能够解决实际问题中的最优化问题，又能够为学生提供优秀的数学思维和计算机编程能力的锻炼机会。
此外，动态规划的模型具有很强的推广性和普适性，对提高学生的综合素质以及培养计算思维和解决问题能力具有重要意义。
三、选题目的本次选题的目的在于探究动态规划常见问题的建模思路和数值求解方法，为实际问题的建模提供参考。
以背包问题、最长公共子序列问题、最长递增子序列问题、最长回文子序列问题等为例，深入研究动态规划模型的建立方法和数值计算方法，提高学生的动手实践能力和创新能力。
四、选题内容（一）背包问题针对背包问题，可将其分为01 背包问题、完全背包问题和多重背包问题等类型。
本次选题将重点考虑 01 背包问题和完全背包问题的建模和求解方法。
（二）最长公共子序列问题最长公共子序列问题（LCS）在计算机科学中应用广泛，是处理字符串相似度的基础算法之一。
本次选题将研究 LCS 问题的建模方法和数值求解方法。
（三）最长递增子序列问题最长递增子序列问题（LIS）是指在一个给定的序列中，找到一个严格递增子序列使其长度最长。
本次选题将研究 LIS 问题的建模方法和数值求解方法。
（四）最长回文子序列问题最长回文子序列问题（LPS）是指在一个给定的序列中，找到一个回文子序列使其长度最长。
本次选题将研究 LPS 问题的建模方法和数值求解方法。
五、选题方法本次选题的研究方法主要为文献资料查阅和数值计算。
通过阅读相关文献和代码，整理动态规划建模的基本思路和数值求解的方法；通过编写算法程序、调试代码和进行实验计算，进一步验证理论分析的可行性和有效性。
数学建模之动态规划(一)
一段和未来各段分开，又把当前效益和未来效益结合起来 考虑的一种最优化方法。
（３）在求整个问题的最优策略时，由于初始状态是已 知的，而每段的决策都是该段状态的函数，故最优策略所 经过的各段状态便可逐次变换得到，从而确定了最优路线。
表6-1
单位：万元
盈利 企业
甲
乙
丙
设备台数
0
0
0
0
1
3
5
4
2
7
10
6
3
9
11
11
4
12
11
12
5
13
11
12
？ 这五台设备如何分配给各企业，才能使国家得到的盈
利最大。
2020/8/23
18
解 将问题按企业分为三个阶段，甲、乙、丙三个企
业分别编号为1、2、3。设:
sk表示为分配给第k个企业至第ｎ个企业的设备台数。
设状态变量表示分配用于生产第种产品至第ｎ种产品
的原料数量。
2020/8/23
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决 策 变 量 uk 表 示 分 配 给 生 产 第 k 种 产 品 的 原 料 数 ， 即 uk=xk。
状态转移方程： s 1 s u s x
允许决策集合： D (s ) {u 0 u x s }
令最优值函数fk(sk)表示以数量为sk的原料分配给第种产
∧,n。如例1就可以看成是一个6个阶段决策问题。状态选
每阶段的初始节点Sk，决策则是每阶段的终止节点Uk，状 态转移方程可以 Sk+1=Uk(Sk) 用来表示。
2020/8/23
数学建模Lingo求解动态规划二
2.运用Lingo软件求解最短路问题
例1 求下图的最短路.
7
2 7
4 7
1 9
1
6
2 6 3 6
6
5
用动态规划方法求解。
定义 f (i ) 是由 p i 点出发至终点 原理可得
p N 的最短路程，由最优化
f ( i ) min { c f ( j )}, i 1 , 2 , ,N 1 ij j f ( N ) 0
6 4 5 7 2 5 35
2 9 2 6 3 5 37
6 5 1 7 9 2 22
7 3 9 3 5 2 32
4 8 7 9 7 8 41
2 5 4 2 2 1 32
5 8 3 7 6 4 43
9 2 3 1 5 3 38
60 55 51 43 41 52
使用LINGO软件，编制程序如下：
model: !6发点8收点运输问题; !集合部分; sets: warehouses/wh1..wh6/: capacity; vendors/v1..v8/: demand; links(warehouses,vendors): cost, volume; endsets !目标函数; min=@sum(links:cost*volume); !需求约束; @for(vendors(J):@sum(wareho uses(I):volume(I,J))=demand (J)); !产量约束; @for(warehouses(I):@sum(ven dors(J):volume(I,J))<=capac ity(I));
i 1 ,..., m
x 或 1 ,i 1 ,..., m , j 1 ,..., m i j0
基于动态规划的库存管理模型研究
基于动态规划的库存管理模型研究在现代商业中，库存管理对于企业的正常运营至关重要。
有效的库存管理可以帮助企业降低成本、提高客户满意度，从而获得竞争优势。
而动态规划作为一种常用的优化方法，可以应用于库存管理模型的研究中，以帮助企业制定合理的库存策略。
一、库存管理的挑战库存管理的目标是在保证供应链畅通和满足客户需求的基础上，最大限度地降低库存成本。
然而，库存管理常常面临许多挑战。
首先，需求的不确定性使得企业很难精确地预测客户的需求量。
其次，供应链的复杂性导致供应链各环节之间的传递延迟，从而使库存管理变得复杂。
最后，企业面临的竞争压力和市场需求的变化使得库存策略需要不断调整。
二、动态规划在库存管理中的应用动态规划作为一种将问题划分为子问题，并通过寻找最优子结构来解决复杂问题的方法，可以应用于库存管理模型的研究中。
动态规划在库存管理中的应用主要包括两个方面：一是优化库存订货策略，二是优化库存的定价策略。
2.1 优化库存订货策略库存订货策略是企业库存管理的核心内容之一。
动态规划可以在不同时间点对库存水平进行优化，并根据需求变化调整订货量。
通过动态规划模型的建立，企业可以在最小化总成本的同时满足客户需求量。
2.2 优化库存的定价策略库存的定价策略也是库存管理中的重要问题。
通过动态规划模型，企业可以根据库存水平和市场需求变化来调整产品的定价，从而最大化利润。
同时，动态规划还可以考虑不同产品之间的替代关系，以避免库存积压或缺货。
三、动态规划库存管理模型的建立动态规划库存管理模型的建立主要包括以下几个步骤：确定状态变量、建立状态转移方程、确定目标函数和约束条件。
3.1 确定状态变量状态变量是描述库存管理系统动态变化的变量。
例如，可以选择库存水平、订货量、需求量等作为状态变量，以便分析他们之间的关系。
3.2 建立状态转移方程状态转移方程描述了状态变量之间的变化关系。
通过分析需求量、供应延迟、订货量等因素的影响，可以建立状态转移方程，并通过动态规划方法求解最优解。
建立动态规划数学模型的步骤
建立动态规划数学模型的步骤动态规划是一种解决多阶段决策问题的优化方法，它将问题分为若干阶段，每个阶段采取一个最优决策，通过递推的方式得到问题的最优解。
建立动态规划数学模型的步骤主要包括以下几个方面。
第一步，明确问题：首先要明确要解决的问题是什么，分析问题的特点和要求，明确决策的目标和约束条件。
例如，我们可以考虑求解一个最优化问题，使一些目标函数取得最大（或最小）值。
第二步，定义状态：将问题的解表示为一个或多个状态变量。
状态是问题的一个关键特征，它描述了问题在每个阶段的情况，通常用一个或多个变量表示。
状态可以是离散的，也可以是连续的。
例如，假设我们要解决一个装箱问题，可以将状态定义为装箱剩余空间的大小。
第三步，确定决策变量：决策变量是问题中可以通过决策调整的变量，其取值将影响问题的解。
决策变量通常与状态有关，帮助我们在每个阶段做出最优决策。
继续以装箱问题为例，决策变量可以是选择放入的物品或物品的数量。
第四步，建立状态转移方程：通过分析问题的特点和约束条件，建立各个阶段之间的状态转移方程。
状态转移方程描述了问题中不同状态之间的关系，即通过做出一些决策后，当前状态如何转移到下一个状态。
状态转移方程通常由决策变量和前一阶段的状态变量表示。
在装箱问题中，状态转移方程可以描述为剩余空间等于前一阶段的剩余空间减去当前决策变量所占空间。
第五步，确定边界条件：边界条件是求解动态规划问题的关键，它们表示问题的起始状态和结束状态。
通常，起始状态是已知的，而结束状态需要根据问题的要求进行分析确定。
例如，装箱问题的起始状态可以是剩余空间等于货柜的总容量，结束状态可以是没有物品剩余可以放入货柜。
第六步，确定目标函数：目标函数是求解最优化问题时需要优化的目标。
在动态规划中，目标函数通常与状态有关，它表示在每个阶段的状态下所要最大（或最小）化的目标量。
例如，在装箱问题中，目标函数可以是放入货柜的物品总价值。
第七步，建立递推关系：根据状态转移方程和边界条件，可以利用递推的方法从起始状态逐步计算到结束状态。
库存建模
数学实验作业
果分析和解释说明：
[总结及心得体会]请谈谈您在这次实训项目设计中的心得感悟和收获
参照老师给的几个例子，对其结构布局进行一系列的认识，分析，慢慢弄懂了其中的原理，对于课本的类型题的想法学习后，我有了对于这个问题做法的一些思路，用windows画图工具对其进行画图最后根据流程图的思路进行编程，经过反复的运行侧试，由于过程中出现很多错误，所以就向同学进行请教，最终的出了结果。
这两天我得到了很大的收获。
通过此次的学习，我懂得了怎么着手于一个问题的分析。
感觉这次写的小论文给我蛮大收获的，一来提高了我的思维能力，那是一种真正思想上自由的思考，虽然一开始让人摸不着头脑，找不到头绪，只能到处去查资料、看书，查看相关专题，在短时间内要理解运用相关知识，这是平时我们学习很难得到的，真正能锻炼到思维的。
二来又锻炼了我的计算机应用能力，检索文献的能力，学习新知识的能力和论文撰写能力等等。
这次写论文对我来说是次很好的经历，这段日子的体会和收获，我相信对我今后的生活学习会有一定的影响，让我不断努力、进步。
[参考书目] 列出你查阅的参考书或网络资料（作者、书名或文章名、出版社、时间）。
5.3动态规划模型建立与求解
§5.3 动态规划模型建立与求解
(1)、分析问题 、 划分阶段，正确选择状态变量，保证 划分阶段，正确选择状态变量， 状态变量有递推的转移关系S 状态变量有递推的转移关系 k+1＝T(Sk , uk ) (2)、正确建立基本方程 、
3
1
例1
最短路径问题
1
C1
3 8
6 3 5
D1
2 2
E1
5 5 E2 2 6
3
5
B1
8
6 7 6
C2 C3 C4
F1
4
A
3DΒιβλιοθήκη 1 32 3G F2
6 3
B2
3 8 4
D3 3
E3
2
例1 资源分配问题 例2 生产存贮问题 例3 复合系统工作可靠性问题 求解：结合具体问题的特点， 求解：结合具体问题的特点，利用数学技巧 灵活求解 (1)、离散变量分段穷举法 、 (2)、连续变量解法： 、连续变量解法： 经典解析方法， 经典解析方法，线性规划方法 非线性规划方法， 非线性规划方法，离散化解法
应用数学在供应链管理中的优化问题
应用数学在供应链管理中的优化问题供应链管理是现代企业运营中不可或缺的一环，通过科学的管理和优化，可以实现高效的物流运作和良好的产品供应。
而在供应链管理中，应用数学方法可以帮助企业解决各种优化问题，从而提高效益和竞争力。
本文将探讨应用数学在供应链管理中的优化问题，并提出相关解决方案。
一、库存管理库存管理是供应链管理中的一个重要环节。
合理的库存管理可以避免库存积压和仓储成本的增加，同时确保供应链的高效运转。
在库存管理中，数学模型可以帮助企业确定最优的库存量和采购策略，以实现成本最小化和服务水平的最大化。
1.1 基于经济批量模型的库存管理经济批量模型是库存管理中常用的数学模型之一。
该模型通过考虑订货成本、库存持有成本和缺货成本等因素，确定最优的订货数量和订货周期。
通过优化订货策略，企业可以实现库存成本和服务水平之间的平衡，从而提高供应链效率。
1.2 基于动态规划的库存管理动态规划是一种常用的优化算法，可以用于解决库存管理中的决策问题。
通过将供应链中的各个节点和决策点建模为状态和决策的组合，利用动态规划算法求解最优的决策序列。
动态规划方法可以考虑不同的供需情况和约束条件，从而获得更准确的库存管理策略。
二、生产调度生产调度是供应链管理中的另一个重要问题。
合理的生产调度可以优化生产资源利用率，降低生产成本，同时满足市场需求。
在生产调度中，数学模型可以帮助企业确定最优的生产计划和调度策略，提高生产效率和交货能力。
2.1 基于线性规划的生产调度线性规划是一种经典的数学优化方法，可以用于解决生产调度中的决策问题。
通过将生产资源、生产任务和约束条件建模为线性关系，利用线性规划算法求解最优的生产计划和调度方案。
线性规划可以考虑不同的优化目标，如最小化生产成本或最大化生产能力，从而达到优化生产调度的目的。
2.2 基于遗传算法的生产调度遗传算法是一种常用的进化计算方法，适用于解决复杂的优化问题。
在生产调度中，可以将不同的生产计划和调度方案编码为染色体，利用遗传算法的选择、交叉和变异操作，搜索最优的调度序列。
数学建模_线性动态规划问题_教程共87页
•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。—随。——韩愈
数学建模_线性动态规划问题_教程
•
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
•
28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
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随机库存的分配
摘要
卖方管理库存（VMI，Vendor-Managed Inventory）是现代物流中一个比较新的管理思想，它是指货物的提供者根据所有客户的当前库存量决定在一定时间内对他们的货物分配量。
基于VMI思想，设计出当供货方的供应能力有限、客户需求随机情况下的分配方案，能够应用到实际的物流管理信息系统中，具有实际意义。
针对此问题，在客户需求量服从同一指数分布的前提条件下，首先通过MATLAB软件编写程序，得到50个客户的随机需求量和初始库存量，然后从车辆配载能力出发，以客户的库存费用最小为目标函数，以供货总量和每辆车的承载能力为约束条件，建立非线性随机规划模型，通过lingo软件求解模型，得到所有客户库存费用最小时的分配方案，同时得到最小库存费用为699.5543。
关键词：随即需求库存分配随机规划
一、问题重述
考虑由一个供货方和n个客户组成的配送网络，配送活动的组织基于VMI 思想。
假设供货方的供应能力有限(意味着某些客户可能得不到供应)，可供应的货物总量为A；拥有车辆数为K，车辆k的载重量为b k(k∈K)。
每个客户的需求量是随机的，但需求的分布函数F i已知(假设F i是严格增函数，并假设不同客户的需求是相互独立的，且服从相同分布)，周期初的初始库存为βi，h+i为单位货物的保管费，h-i为单位货物的缺货损失费。
令q i(w i)表示客户i在得到配送量w
时的库存费用函数。
令y ik表示车辆k是否服务客户i，是取1，否取0。
i
当y ik(i=1，…，n；k=0，…，K)的取值确定后，也就意味着确定了对所有客户的一个划分，如令Y k表示车辆k服务的客户集合，其应满足Y k={i∶y ik=1}。
请写出库存分配问题的模型，并带入适当规模的数据进行计算，分析其计算结果，得出结论。
二、问题分析
本问题讨论的是当供货方的供应能力不足、客户需求随机情况下的库存分配
问题。
客户的需求量是随机的，但需求的分布函数F i已知(假设F i是严格增函数，并假设不同客户的需求是相互独立的，且服从相同分布)，在处理问题时，可以将需求量当作服从相同参数的同一指数分布，通过MATLAB软件来产生指数分布的随机数作为客户需求量，要使得所有客户的库存费用最小，需要构造与配送量、库存费、保管费等有关的目标函数，将有限的车辆数和每辆车的承载能力以及供货方的总供应量作为约束条件，建立模型，通过lingo软件求解得到具体的配送方案。
三、模型假设
1.假设客户的随即需求量服从参数为0.5的指数分布；
2.假设每个客户的初始库存量在0.1~1.5吨之间随即取值；
3.假设所有客户的库存保管费和缺货损失费相同；
4.假设供货方的总供应量为所有客户随即需求量之和的0.8倍；
5.假设不考虑运货车辆的运费。
四、符号说明
五、 对问题的分析和处理
5.1 问题分析
本问题讨论的是当供货方的供应能力不足、客户需求随机情况下的库存分配问题。
为了得到具体的分配方案，使得所有客户的库存费用最小，需要构造与配送量、库存费、保管费等有关的目标函数，将有限的车辆数和每辆车的承载能力以及供货方的总供应量作为约束条件，建立模型，通过lingo 软件求解得到具体的配送方案。
由于客户的需求量是随机的，假设每个客户的需求量均服从参数为0.5的指数分布，于是可以通过MATLAB 软件来产生指数分布的随机数作为客户需求量。
首先分析单个客户的库存费用，具体由货物的保管费和货物的缺货损失费两部分组成，分配给客户的配送量为i w ，客户的初始库存为
i β，客户的需求量为服从参数为0.5的指数分布，记指数分布函数
i F 中的自变量为x ，则客户需求量为x ，当配送量
i w 小于客户需求量ε与客户的初始库存为i β时，会产生缺货损失费，[2]中给出的具体表达式为： 当配送量i w 大于客户需求量ε与客户的初始库存为i β时，会产生货物保管费，
具体表达式为：
于是得到客户的库存费用函数为：
由此得到目标函数为：
同一辆车可以一次给若干个客户送货，用
ik y 表示车辆k 是否服务客户i ，是取1，否取0，车辆k 服务的客户集合为k Y ，由于每辆车一次的运货量不能超过其承载能力，于是有
对于供货方来说，给所有客户配送量之和不能超过总供货量A ，于是有 由此得到约束条件为
5.2 模型建立
由以上分析，建立以下模型：
S.t. 其中，(w )(w )1(w )[
][w ]i i i i i i i i i i e e q h h λβλββλλλ-+-+-+=++-+。
5.3 模型求解
首先确定(w )i i q 的具体表达式，假设所有客户的库存保管费和缺货损失费相同，均为10，即
假设客户总量为50，客户需求量服从参数为0.5的指数分布，即
编写MATLAB 程序，产生服从该指数分布的50个随机数，即得到每个客户的需求量（见附录3），求其总和sum ，将供货方的总供货量定为总和sum 的0.8倍，即A=0.8sum 。
程序得到的结果为：A=17.5334吨。