数学建模线性规划问题(超全)
八种 经典线性规划例题(超实用)
线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将【l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B'三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D~五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件220240330x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2 .C、13，45D、5解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为45，选C六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）"A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于230 230x y mx y m-++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩,故0＜m ＜3，选C七·比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
数学建模线性规划问题超全
可行域（Feasible regio指n决) 策变量取值时受到
最优解（Optimal
的各种资源条件的限制
soluti，o通n)常表达为含决策变
量的等式或不等式。
可行域中使目标 函数达到最优的 决策变量的值
满足约束条件的决 策变量的取值范围
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• 第1步 -确定决策变量
•设 x1 ——I的产量
max z = x1 2x2 + 3(x4 x5 ) + 0x6 + 0x7
x1 + x2 + (x4 x5 ) + x6 = 7
x1 x2 + (x4 x5 ) x7 = 2
3x1 + x2 + 2(x4 x5 )
=7
x1, x2, x4, x5, x6 , x7 0
C—价值向量 b—资源向量 X—决策变量向量
资.aa源 .1m.1.1.向 ...A......=..量 ....a..a.1..aan.m.1m.1.n1C..........-..=....a.价 .a.1.(nm.nP值 1,=P向 (2P1,,量 .P.2.X,,.P..3-,P)决 n ) 策00=变 = 量 .000.000....向量
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线性规划模型举例
(一) 运输问题 (二) 布局问题 (三) 分派问题 (四) 生产计划问题 (五) 合理下料问题
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“” 约束：加入非负松驰变量
例： max z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5
x1 + 2x2 + x3
=8
4
线性规划建模练习题
线性规划建模练习题1.背包问题有一组物品S,共有9件，其中第i件重w，价值v，从S中取出一些物品出来装背包，使2 •农作物的生产安排问题以色列的某社区联盟，其农业生产受农田面积和灌溉配水量的限制，其资料如表1所示适合该地区种植的农作物有甜菜、棉花和栗子，其每英亩的期望净收益、用水量及可种植的最大面积如表2所示试问，该社区联盟应如何安排这三种农作物的生产，方使总的收益最大?3 •空气污染管理问题位于钢城的诺利公司为当地的主要钢铁厂家之一，公司为钢城的繁荣与发展作出了一定的贡献。
但现在情况有所改变，由于钢厂对熔炉的排放物未进行管理,致使空气污染破坏了钢城的环境，并危害了当地居民的健康。
公司董事会就此作出了明智的决定，指定专门人员与市政官员和人民团体商讨解决空气污染问题，以保证工厂的排放物能达到环保部门的要求。
研究发现，造成空气污染的物质主要有三种：微粒、氧化硫及碳化氢，钢厂每年须减少的污染物排放量达到表3的要求时，方满足环保的要求。
表3污染物的主要来源为：（1制造生铁之鼓风炉；（2）炼钢之敞炉。
减少污染物排放的有效方法为：（1）增加烟囱高度；（2）在烟囱内安装过滤器；（3）使用优质燃料。
这些方法对减少污染虽有帮助（其效果见表4），但任一方法的单独使用，均不能达到环保部门的要求，若三种方法同时以最高的标准实施，则工厂的产品成本将陡增，从而使产品失去市场竞争力甚至因此而破产，管理部门因此而忧心忡忡。
表4 （各减污法每年最高可能减少的污染排放量（单位：百万磅））专题组人员经分析知各减污方法中最高减污量之总成本的近似值如表5所示。
而公司每年可拨出的治污专款也有一底限，试确定该公司是否能实施“空气污染管理”工程。
表5（最高减污法之总成本：以百万元为单位）4.饲料配比问题某公司长期饲养实验用的动物以供出售，已知这些动物的生长对饲料中的蛋白质、矿物质、维生素这三种营养成分特别敏感，每个动物每天至少需要蛋白质70g、矿物质3g、维生素10mg，该公司能买到五种不同的饲料，每种饲料 1 kg 所含的营养成分如表6所示，每种饲料1kg的成本如表7所示，试为公司制定相应的饲料配方，以满足动物生长的营养需要，并使投入的总成本最低。
数学建模算法大全线性规划
第一章 线性规划§1 线性规划在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。
此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。
自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。
特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。
1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。
生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。
若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则21,x x 应满足（目标函数）2134max x x z += (1)s.t.（约束条件）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0,781022122121x x x x x x x （2）这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。
由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。
总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。
在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。
而选适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。
1.2 线性规划的Matlab 标准形式线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。
数学建模线性规划上机题
例1 (任务安排)某厂计划在下月内生产4种产品B1，B2，B3，B4。
每种产品都可用三条流水作业线A1，A2，A3中旳任何一条加工出来．每条流水线（Ai）加工每件产品（Bj）所需旳工时数(i＝1,2,3,j=1,2,3,4)、每条流水线在下月内可供运用旳工时数及多种产品旳需求均列表于4.1中．又A1，A2，A3三条流水线旳生产成本分别为每小时7，8，9元。
现应怎样安排各条流水线下月旳生产任务，才能使总旳生产成本至少？例2 (外购协议)某企业下月需要B1，B2，B3，B4四种型号旳钢板分别为1000，1200，1500，2023吨。
它准备向生产这些钢板旳A1，A2，A3三家工厂订货。
该企业掌握了这三家工厂生产多种钢板旳效率（吨/小时）及下月旳生产能力（小时），如表4.2所示。
而它们销售多种型号钢板旳价格如表4.3所示。
该企业当然但愿能以至少旳代价得到自己所需要旳多种钢板，那么，它应当向各钢厂订购每种钢板各多少吨？假设该企业订购时采用如下原则，要么不订购，要么至少订购100吨以上。
该怎样处理这个问题。
若至少订购50吨，怎样处理？例3 (广告方式旳选择) 中华家电企业近来生产了一种新型洗衣机．为了推销这种新产品，该企业销售部决定运用多种广告宣传形式来使顾客理解新洗衣机旳长处。
通过调查研究，销售部经理提出了五种可供选择旳宣传方式．销售部门并搜集了许多数据。
如每项广告旳费用，每种宣传方式在一种月内可运用旳最高次数以及每种广告宣传方式每进行一次所期望得到旳效果等．这种期望效果以一种特定旳相对价值来度量、是根据长期旳经验判断出来旳．上述有关数据见表4．8中华家电企业拨了20230元给销售部作为第一种月旳广告预算费、同步提出，月内至少得有8个电视商业节目，15条报纸广告，且整个电视广告费不得超过12023元，电台广播至少隔日有一次，现问该企业销售部应当采用怎样旳广告宣传计划，才能获得最佳旳效果?例4 长城家电企业近来研制了一种新型电视机．准备在三种类型旳商场即一家航空商场、一家铁路商场和一家水上商场进行销售．由于三家商场旳类型不同样，它们旳批发价和推销费都不同样。
数学建模习题——线性规划
某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示．按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税．此表四问：（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？（3）在1000万元资金情况下，若证券A 的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C 的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？解：设利润函数为M(x),投资A 、B 、C 、D 、E 五种类型的证券资金分别为12345,,,,x x x x x 万元，则由题设条件可知12345123452341234512345123451234512345()0.0430.0270.0250.0220.0451000400225 1.4()9154325(),,,,0M x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++≤++≥++++≤++++++++≤++++≥利用MATLAB 求解最优解，代码如下： c=[-0.043 -0.027 -0.025 -0.022 -0.045];A=[1 1 1 1 1;0 -1 -1 -1 0;0.6 0.6 -0.4 -0.4 3.6;4 10 -1 -2 -3];b=[1000;-400;0;0]; Aeq=[]; beq=[];vlb=[0;0;0;0;0]; vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 运行结果如下：即12345218.1818,0,736.3636,0,45.4545x x x x x ===== 因此，应投资A 证券218.1818万元，B 证券0万元，C 证券736.3636万元，D 证券45.4545万元，最大利润为29.8364万元。
数学建模测试题-线性规划部分
313数学教育1、2班，510数学教育1、2、3班数学建模上机测试题，需要把运行结果写出来。
模型包括目标函数、约束条件，编写的程序和程序运行结果四部分内容。
写在作业本上。
按学号顺序做，如35号同学做习题35习题1：某厂计划生产甲、乙、丙三种零件，有机器、人工工时和原材料的限制，有关数据1、2、若原材料为2元/公斤，试建立获得最大利润生产计划的线性规划模型。
习题2：一塑料厂利用四种化工原料合成一种塑料产品。
这四种原料含A、B、C的成分见下表，这种塑料产品要求含A为25%，含B、C都不得少于30%。
问各种原料投放比例为习题3：建立以下线性规划模型1）某家具厂生产桌椅，每张桌子耗用木材0.28立方米、2小时人工，售价288元；每把椅子耗用木材0.13立方米、0.8小时人工，售价147元。
且1张桌子必须配4把椅子。
已知木材本月供应量不得超过52立方米，且每立方米成本价为500元。
本月人工工时上限为288小时，且每小时成本为20元。
（1）写出最大月收益线性规划模型；（2）写出月收益不低于8000元而动用木材最省的线性规划模型（其余条件不变）。
习题4 某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如右表。
问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？习题5、某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。
已知：项目A ：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；项目B ：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不超过30万元；项目C ：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；项目D ：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元；问：a.应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？ b.应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？习题6 某公司计划在三年的计划期内，有四个建设项目可以投资：项目Ⅰ从第一年到第三年年初都可以投资。
线性规划经典例题
线性规划经典例题【问题描述】某工厂生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A每件需要2小时的生产时间，产品B每件需要3小时的生产时间。
产品A的利润为200元/件，产品B的利润为300元/件。
每天的生产量不能超过100件。
工厂希翼最大化每天的利润。
【数学建模】设工厂每天生产的产品A的件数为x，产品B的件数为y。
根据题目条件，可以得到以下数学模型：目标函数：最大化利润Maximize Z = 200x + 300y约束条件：1. 生产时间限制：2x + 3y ≤ 82. 产量限制：x + y ≤ 1003. 非负性约束：x ≥ 0，y ≥ 0【求解过程】将目标函数和约束条件转化为标准形式，得到如下线性规划模型：Maximize Z = 200x + 300ysubject to2x + 3y ≤ 8x + y ≤ 100x ≥ 0，y ≥ 0使用线性规划求解器进行求解，得到最优解。
【求解结果】经过计算，得到最优解为：x = 50（产品A的件数）y = 16.67（产品B的件数，近似值）此时，工厂每天的最大利润为：Z = 200 * 50 + 300 * 16.67 = 33333.33 元（近似值）【结果分析】根据最优解，工厂每天应该生产50件产品A和16.67件产品B，以达到每天最大利润33333.33元。
由于生产时间和产量限制，工厂无法达到每天生产更多的产品。
【结论】根据线性规划模型的最优解，工厂每天生产50件产品A和16.67件产品B，可以获得每天最大利润33333.33元。
这个结果可以作为工厂生产计划的参考，以实现最大化利润的目标。
【备注】以上的数学模型和求解结果仅为示例，实际问题中的数值和约束条件可能有所不同。
为了得到准确的结果，需要根据具体情况进行调整和求解。
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本（单位：元／个）如表1及表2所示。
问：在这个生产周期，怎样安排各机床的 生产任务，才能既完成加工任务，又使总 的加工成本最低。
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(四）生产组织与计划问题
(Ⅰ) 总的加工成本最低
m
xij = bj
各产地发到销地Bj的发量 总和应等于Bj的销量
(j =1,2,L, n)
i=1
xij 0 (i =1,2调,L运量, m不;能j 为=负1,L数0, n)
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(Ⅰ)产销平衡的模型
nm
目标函数 min s =
ci xj ij 的值最
n
xij = ai
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(一) 运输问题
设某种物资有m个产地，A1，A2，…，A m； 联合供应n个销地：B1，B2，…，Bn。 各产地产量（单位：吨），各销地销量（单位： 吨），各产地至各销地单位运价（单位：元／ 吨）如下表所示。
应如何调运， 才使总运费最
少？
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产 地
销
地 B1
B2 … Bn
Max(min)z = c1x1 + c2 x2 + ... + cn xn
a11 x1 a21 x1
+ +
a12 x2 a22 x2
+ ... + + ... +
a1n xn a2n xn
(=, )b1 (=, )b2
...................................................
(三）分派问题
x 解：设 为ij Bj分派给人Ai情况：
Bj分派给Ai时， 不分派给Ai时，
x ij
xij =
；= 1
0(i,
j
=。1,2,L,
n)
那末这一问题的数学模型为：
求一组变量 (xij i, j = 1,2的,L值, n，)
nm
使目标函数 s =
的值c ij最x ij小。
i=1 j=1
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一般线性规划问题的标准化
min Z=CX 等价于 max Z’ = -CX
“” 约束：加入非负松驰变量
例：
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1
16
4x2 12
x1、 x2 0
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一般线性规划问题的标准形化
min Z=CX 等价于 max Z’ = -CX
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第3步 --表示约束条件
x1 + 2 x2 8
4 x1
16
4 x2 12
x1、 x2 0
I
设备 1 原材料 A 4 原材料 B 0
利润 2
II 资源限量 2 8 台时 0 16kg 4 12kg
3
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该计划的数学模型
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
这一问题的数学模型应为：
( 求一组变量xij i = 1,2,L, m; j = 1,2,L, n)
的值,使它满足
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(Ⅱ)产销不平衡—产大于销的模型
目标函数 min s产=地总jA和n=i1发不i到m超=1各过c销Aijxi地的ij 产的发量量
n
( ) xij ai 各产地i =发1到,2,销L地, mBj的发量
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– 简写为
n
max Z = c j x j i =1
n
aij x j = bi
j=1
x
j
0
i = 1,2,...m j = 1,2,...,n
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– 用矩阵表示
max Z = CX
max Z = CX
AX =AbX = b
X 0X 0
(完成全部工作的总工时最少）
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分派问题的模型
目标函数 约束条件
nm
min s =每件工作只c分ijx派ij 一人去做
i=1 j=1
n
x ij = 1 ( j = 1,2 ,L , n )
i =1
每人只做一件工作
n
x ij = 1
j =1
每(人i 对= 每1,件2工, L作只, n有) 做与不做两种情况
产量（吨）
A1
C11 C12 … C1n
a1
A2
C21 C22 … C2n
a2
┇
┇ ┇ …┇
┇
Am
Cm1 Cm2 … Cmn
am
销量（吨）
b1
b2 … bn
表中：ai表示产地Ai的产量(i=1，2， …，m)； bj表示产地Bj的产量(j=1，2， …，n)； cij表示AiBj间的单位运价（元／吨）(i=1，2， …，m; j=1，2， …，n)；
？
产品 I
产品 2
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问题中要确定的未知量，表
•基本概念
明规划中的用数量表示的方 案、措施，可由决策者决定
和控制。
决策变量（Decision variables）
目标函数（Objective functi它on是）决策变量的函数 约束条件（Constraint conditions）
.a.2.1..x.1.
+ a22 x2 ...........
+ ...+ a2n xn = b2 ........................
am1x1 + am2 x2 + ...+ amn xn = bm
x1, x2 ,...,xn 0 b1, b2 ,...bm 0
C—价值向量 b—资源向量 X—决策变量向量
资.aa源 .1m.1.1.向 ...A......=..量 ....a..a.1..aan.m.1m.1.n1C..........-..=....a.价 .a.1.(nm.nP值 1,=P向 (2P1,,量 .P.2.X,,.P..3-,P)决 n ) 策00=变 = 量 .000.000....向量
零
件
B1
B2 … Bn
A1
d11 d12 …
可行域（Feasible regio指n决) 策变量取值时受到
最优解（Optimal
的各种资源条件的限制
soluti，o通n)常表达为含决策变
量的等式或不等式。
可行域中使目标 函数达到最优的 决策变量的值
满足约束条件的决 策变量的取值范围
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• 第1步 -确定决策变量
•设 x1 ——I的产量
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线性规划模型举例
(一) 运输问题 (二) 布局问题 (三) 分派问题 (四) 生产计划问题 (五) 合理下料问题
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线性规划模型的条件
（1）要求解问题的目标函数能用数值 指标来反映，且为线性函数； （2）存在着多种方案； （3）要求达到的目标是在一定约束条 件下实现的，这些约束条件可用线性 等式或不等式来描述。
问：如何合理安排种植计划，才使总产 量最多。
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（二）布局问题
总产量最多
产 地
销
n块土地
地
B1 B2 … Bn
m
A1
种 A2
农┇
作 物
Am
销量（吨）
C1方1 法C与12运…输 C1n C21问题C2类2 似… C2n
┇ ┇ …┇
Cm1 Cm2 … Cmn
b1
b2 … bn
每亩的产量
产量（吨）
第一节 线性规划问题 及其数学模型
线性规划问题的提出 线性规划的基本概念 线性规划的数学模型 线性规划问题的标准形式
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•问题的提出
例: 生产计划问题
I
设备
1
原材料 A 4 原材料 B 0
利润
2
II 资源限量
2 8 台时
0
16kg
4
12kg
3
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如何安排生产 使利润最大
“” 约束：加入非负松驰变量
例： max z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5
x1 + 2x2 + x3
=8
4
x1
4 x2
+ x4 = 16 + x5 = 12
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
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“” 约束： 减去非负剩余变量；
j=1 i=1
(i = 1,2,L,m)
j=1
约束条件
m
xij = bj
(j = 1,2,L,n)
i=1
xij 0 (i = 1,2,L,m; j = 1,L,n)
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(一) 运输问题
(Ⅱ)产销不平衡—产大于销
即 m ai
n
bj
i =1
j =1
• xk可正可负（即无约束）；
Max
+ x6
例 ： min z = x1 + 2x2 3x3
x1
+ x2 + x3 7 x7
x1
x2 + x3 2
3x1 + x2 + 2 x3 = 7