实变函数重点题集

3、下列说法不正确的是（ B ）

(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测

(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测

二. 填空题(3分×5=15分)

1、()(())s s C A C B A A B ??--=?

2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =[]0,1,o

E =?,E =[]0,1. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有***()()m T m T E m T CE =?+?，则称E 是L 可测的

4、)(x f 可测的充要条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.

5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使11|()()|n i i i f x f x -=??-????

∑成一有界数集,则称()f x 为 [],a b 上的有界变差函数。

1、设1E R ?，若E 是稠密集，则CE 是无处稠密集。错误

2、若0=mE ，则E 一定是可数集.错误例如：设E 是Cantor 集，则0mE =，但E =c ， 故其为不可数集

3、若|()|f x 是可测函数，则()f x 必是可测函数。错误

二、2. 下列说法不正确的是(C )

(A) 0P 的任一领域内都有E 中无穷多个点，则0P 是E 的聚点

(B) 0P 的任一领域内至少有一个E 中异于0P 的点，则0P 是E 的聚点

(C) 存在E 中点列{}n P ，使0n P P →，则0P 是E 的聚点

(D) 内点必是聚点

3. 下列断言(B )是正确的。

（A ）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是闭集；

(C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对；

4. 下列断言中( C )是错误的。

（A ）零测集是可测集； （B ）可数个零测集的并是零测集；

（C ）任意个零测集的并是零测集；（D ）零测集的任意子集是可测集；

1、设11[,2],1,2,n A n n n

=-=L ，则=∞→n n A lim _________。

2、设P 为Cantor 集，则 =P ，mP =_____，o

P =________。

3、设{}i S 是一列可测集，则11

______i i i i m S mS ∞∞==??? ???∑ 4、鲁津定理：______________________________________________________

5、设()F x 为[],a b 上的有限函数，如果_________则称()F x 为[],a b 上的绝对连续函数。 答案：()0,2 2，c ；0 ；? 3， ≤ 4，设()f x 是E 上..a e 有限的可测函数，则对任意0δ>，存在闭子集E E δ?，使得()f x 在E δ上是连续函数，且(\)m E E δδ<。

5，对任意0,0εδ>?>，使对[],a b 中互不相交的任意有限个开区间(),,1,2,,,i i a b i n =L 只要()1n i i i b a δ=-<∑，就有1|()()|n

i i i F b F a ε=-<∑

1、由于[](){}0,10,10,1-=，故不存在使()[]0,101和，之间11-对应的映射。错误

2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。正确

3、..a e 收敛的函数列必依测度收敛。错误

4、连续函数一定是有界变差函数。错误

2.(6分) 设0,,G E ε>??开集使*()m G E ε-<，则E 是可测集。

证明：对任何正整数n ，由条件存在开集,n G E ?使*1()n m G E n -< 令1

n n G G ∞==I ，则G 是可测集，又因*()m G E -*1()n m G E n

≤-<对一切正整数n 成立，因而*()0m G E -=，即M G E =-是一零测度集，所以也可测. 由()E G G E =--知，E 可测。

4.（8分）设函数列()n f x (1,2,)n =L 在有界集E 上“基本上”一致收敛于()f x ，证明：()..n f x a e 收敛于()f x 。

证明：因为()n f x 在E 上“基本上”一致收敛于()f x ，所以对于任意的k Z +∈，存在可

测集k E E ?，()n f x 在k E 上一致收敛于()f x ，且1(\)k m E E k < 令*1

k k E E ∞==U ，则()n f x 在*E 上处处收敛到()f x ，*1

1(\)(\)(\)k k k m E E m E E m E E k ∞==≤

1、设集合N M ?，则()M M N --=N

2、设P 为Cantor 集，则 =P c ，mP =0，o P =?。

3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有***()()m T m T E m T CE =?+?，则称E 是L 可测的

4、叶果洛夫定理：设}{,)(n f E m ∞<是E 上一列..e a 收敛于一个..e a 有限的函数f 的可测函数，则对任意,0>δ存在子集E E ?δ，使}{n f 在δE 上一致收敛且δδ<)\(E E m 。

5、设)(x f 在E 上可测，则)(x f 在E 上可积的充要条件是|)(x f |在E 上可积.

1、任意多个开集之交集仍为开集。不成立反例：设G n =( n n 11,11+--- ),n=1,2, , 每个G n 为开集 但 I ∞

=-=1

]1,1[n n G 不是开集.

2、若0=mE ，则E 一定是可数集。不成立；设E 是Cantor 集，则0mE =， 但E =c ， 故其为不可数集。

3、..a e 收敛的函数列必依测度收敛。不成立

4、连续函数一定是有界变差函数。不成立

1、（6分）试证(0,1)~[0,1]

证明：记(0,1)中有理数全体12{,,}Q r r =L ,令

()x ?=122(0)(1)(),1,2(),[01]n n r r r r n x x x ????+=??=??==??=?L

为，

中无理数，显然[01]0111?-是，到（，）上的映射所以(0,1)~[0,1] 2、设()f x 是),(+∞-∞上的实值连续函数则对任意常数 c ，})(|{c x f x E >= 是一开集.

证明: .)(,00c x f E x >∈?即 因f （x ）连续，故c x f x x >?∈?>?）

时，有(),(,00δδ. 即E x ??)(0.所以0x 是E 的内点.由0x 的任意性,E 的每一个点都是内点,从而E 为开集.

1、设()f x 是(),-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数,{|()}a E x f x a =≥是闭集。 证明：

,{},lim n n n x E E x x x →∞

'?∈=则存在中的互异点列使;,()n n x E f x a ∈∴≥Q ;()()lim ()n n f x x f x f x a →∞

∴=≥Q 在点连续，;x E ∴∈;E ∴是闭集. 3、（6分）设()f x 是可测集E 的非负可积函数，()g x 是E 的可测函数，且|()|()g x f x ≤，则()g x 也是E 上的可积函数。

证明：Q |()|()g x f x ≤，

()(),()()g x f x g x f x +-∴≤≤ []()()()n n n n E E E g x dx f x dx f x dx +??∴≤

≤????? Q ()f x 是可测

集E 的非负可积函数∴ lim n →∞()()n n E E

g x dx f x dx +??≤????<+∞∴()g x +是E 上的可积函数. 同理，()g x -也是E 上的可积函数.∴()g x 是E 上的可积函数。

1．设P 为Cantor 集，则 （C ）

（A ）=P ?0 (B) 1=mP (C) P P =' (D) P P =ο

5.设)(x f 为],[b a 上的有界变差函数,则下面不成立的是( D )

(A))(x f 在],[b a 上L 可积 (B))(x f 在],[b a 上R 可积

(C))('x f 在],[b a 上L 可积 (D))(x f 在],[b a 上绝对连续

2、设E R ?,若,E E ?'则E 是闭集若0E E ?，则E 是开集；若'E E =则E 是完备集. 5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切划分，使11|()()|n i i i f x f x -=??-????

∑成一有界数集，则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。

1、A 为可数集，B 为至多可数集，则A ?B 是可数集；成立

2、若0=mE ，则0=E m ；不成立；E 为]1,0[中的全体有理点集，则有0=mE ，而1=E m

3、若|()|f x 是可测函数，则()f x 必是可测函数；不成立. 设E 是[],a b 上的不可测集，

[],;(),,;x x E f x x x a b E ∈??=?-∈-??则|()|f x 是[],a b 上的可测函数，但()f x 不是[],a b 上的…

4．设()f x 在可测集E 上可积分，若,()0x E f x ?∈>，则()0E

f x >?;不成立. 见下页