奥数质数 合数 分解质因素讲义及答案
数的整除（2）质数、合数、分解质因数
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【知识要点】
1、质数与合数
自然数按其因数的个数可以分成三类：
（1）单位1：只含有1这一个因数的自然数。
（2）质数（也称为素数）：只含有1与它本身这两个因数的自然数。
（质数有无穷多个，不存在最大的质数，但有最小的质数2，而且2是质数中唯一的偶数。
）（3）合数：含有三个或三个以上因数的自然数。
（4）分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
（5）因数个数定理：
例如：1980=22×32×5×11
所以：（T表示因数个数）T（1980）=（1+2）×（1+2）×（1+1）×（1+1）=36 （6）因数和的定理：
例如：1980=22×32×5×11
所以：S（1980）=（02+12+22）×（03+13+23）×（05+15）×（0
11+111）
=7×13×6×12=6552
【典型例题】
例1、两个质数的和是49，这两个质数的积是多少？
解：因为两个质数的和49是奇数，所以必有一个质数是偶数，另一个质数是奇数，而偶数中只有2是质数，于是另一个质数是49－2=47，从而得到它们的积是2×47=94。
例2、有三张卡片，上面分别写着2、3、4三个数字，从中任意抽出一张、两张、三张，按任意顺序排列起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数，写出其中的质数。
解：由于2+3+4=9是3的倍数，所以任意排出的三位数都不是质数。
任意取两张卡片排出的两位数，末尾数字不能是2和4，只能排3.所以用2、3、4三个数字排出两位质数有23和43.取一张卡片排出的质数有2和3.所以最后排出的质数有2、3、23、43这四个。
例3、360这个数的因数有多少个？这些因数的和是多少？
解：360=2×2×2×3×3×5=23×32×5，所以360有（3+1）×（2+1）×（1+1）=24个因数。
因数的和是：（1+2+22+23）×（1+3+32）×（1+5）=1170
例4、筐里共有96个苹果，如果不一次全拿出，也不一个个地拿；要求每次拿出的个数同样多，拿完时，又正好不多不少，有多少种不同的拿法？
解：每次拿的个数都是96的因数（除96和1之外），这样问题转化为求96的因数个数，将96分解质因数，得96=2×2×2×2×2×3，除去96和1之外，96的因数有10个：2、3、4、6、8、12、16、24、32、48.有10种不同拿法。
【精英班】例5、504乘一个自然数a，得到一个平方数，求a的最小值和这个平方数。
解：一个数的平方数所含不同的质因数的个数为偶数。
504=23×32×7=22×32×（2×7），还少（2×7），使得504×a是个平方数，所以所求的a的最小值是2×7=14；这个平方数是504×14=7056。
【竞赛班】例6、将下列八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等，可以怎样
分？说明理由。
14，33，35，30，75，39，143，169.
解：14=2×7，33=3×11，35=5×7，30=2×3×5，75=3×5×5，39=3×13，143=11×13，169=13×13.这八个数分解质因数后共有质因数18个（包括相同的），其中：质因数2有两个，质因数3有4个，质因数5有4个，质因数7有2个，质因数11有2个，质因数13有4个。
相同的质因数应该平均分摊在两个乘积里，因此可以分为：
（1）（14，75，33，169）和（30，35，39，143）
或（2）（14，75，39，143）和（30，35，33，169）.
【课后分层练习】
A组：入门级
1、有7个不同的质数，它们的和是60，其中最小的质数是多少？
解：6个奇质数的和是偶数，60减去偶数仍是偶数，所以剩下的一个质数应当是唯一的偶质数2，即这7个数中最小的是2.
2、如果“○”是一个质数，“□”是一个合数，下列第（ 4 ）项的值一定是
一个质数。
（1）○ + □（2）○－□
（3）○×□（4）○×□÷□
3、210的因数有几个。
这些因数的和是多少？
解：210=2×3×5×7，根据因数个数和及因数和定理有：210的因数有（1+1）×（1+1）×（1+1）×（1+1）=16个。
这些因数的和是1+2）×（1+3）×（1+5）×（1+7）=576.
2、用105个大小相同的正方形拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？
解：105=3×5×7；105共有（1+1）×（1+1）×（1+1）=8个因数，所以共有不同8÷2=4（种）拼法。
3、有三个学生，他们的年龄一个比一个大3岁，他们三人年龄的乘积是1620.这
三个学生的年龄分别是几岁。
解：1620=2×2×3×3×3×3×5=9×12×15.他们的年龄分别是9岁、12岁、15岁。
B组：进阶级
1、哥德巴赫猜想是说：每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和，问：168
是哪两个两位数的质数之和，并且其中一个的个位数字是1？
解：个位数字是1的两位质数有11，31，41，61，71；其中168－11=157，168－31=137，168－41=127，168－61=107，都不是两位数，只有168－71=97是两位数，而且是质数，所以168=71+97.
2、甲、乙二人轮流在黑板上写下不超过10的自然数，规定禁止在黑板上写已写过的数的因数。
最后不能写的人为失败者。
如果甲第一个写数，试问谁一定获胜？给出一种获胜的方法。
解：甲必胜。
甲先写6，这样除去6的因数1，2，3，6，乙只能写4，5，7，8，9，10中的一个数，甲心中把（4，5），（7，9），（8，10）分组，乙写任何一组中的某个数，甲写这一组中的另一个数，则甲总可获胜。
3.将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数分成三组，第一组数的连乘积与第三组数的连乘积相等，第二组各数的和是15，问每组的数各是多少？
解：2，4=2×2，6=2×3，8=2×2×2，由于两组的积相等，显然是4和6在一组，1、2、5、7只出现一次，其和正好为15.这样3，4，6，8，9分成两组，即为3，
4，6和8，9.因此三组数是：（3，4，6）；（1，2，5，7）；（8，9）。
4、1×2×3×…×40能否被90909整除？
解：首先将90909分解质因数，得 90909=33×7×13×37。
因为33（=27），7，13，37都在1～40中，所以1×2×3×…×40能被90909整除。
C组：挑战级
1、学区举行团体操表演，有1430名学生参加，分成人数相等的若干队，要求每队人数在100至200
之间，共有几种分法？
解：按题意，每队人数×队数=1430，每队人数在100至200之间，所以问题相当于求1430有多少个在100至200之间的因数。
为此，先把1430分解质因数，得1430＝2×5×11×13。
从这四个质数中选若干个，使其乘积在100到200之间，这是每队人数，其余的质因数之积便是队数。
2×5×11=110，13；2×5×13=130，11；11×13=143，2×5=10。
所以共有三种分法，即分成13队，每队110人；分成11队，每队130人；分成10队，每队143人。
2、试求不大于50的所有因数个数为6的自然数。
解：因为这个数有六个因数，6=5+1=（2+1）×（1+1），所以，当这个数只有一个质因数a时，这个数是a5；当这个数有两个质因数a和b时，这个数是a2×b。
因为这个数不大于50，所以对于a5，只有a=2，即25=32；对于a2×b，经试算得到，22×3=12，22×5=20，22×7=28，22×11=44，32×2=18，32×5=45，52×2=50。
所以满足题意的数有八个：32，12，20，28，44，18，45，50
3、要使1×2×3×4×5×…×n的积得尾部仅有10个连续的零，n最小值是（）；最大值是（）。
解：这n个连续自然数分解质因数后至少必须共含有十个因数2和十个因数5.当n=45时，其中5的倍数有9个，一个倍数是25的，已经含有十个因数5.这样最小值是45，最大值是49.
【温馨提示】下节课我们将学习《数的整除（3）最大公因数、最小公倍数》，请作好预习。
奥数数论题库14-质数合数分解质因数_知识例题精讲
本讲中的知识点在小学课本内已经有所涉及，并且多以判断题考察。
质数合数的出现是对自然数的另一种分类方式，但是相对于奇数偶数的划分要复杂许多。
质数本身的无规律性也是一个研究质数结构的难点。
在奥数数论知识体系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识，在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。
分解质因数法是一个数论重点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。
1． 质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.2． 质因数与分解质因数质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.3． 唯一分解定理任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯其中为质数，12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式.例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.4. 部分特殊数的分解111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；知识点拨教学目标5-5质数合数分解质因数=⨯⨯⨯.=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯；20082222512007332235. 判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数2K，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p就为质数.=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.例如：149很接近1441212例题精讲模块一、质数合数的基本概念的应用【例 1】下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1—56号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．【例 2】两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少.【例 3】(“祖冲之杯”小学数学邀请赛)九九重阳节，一批老人决定分乘若干辆至多可乘32人的大巴前去参观兵马俑．如果打算每辆车坐22个人，就会有1个人没有座位；如果少开一辆车，那么，这批老人刚好平均分乘余下的大巴．那么有多少个老人？原有多少辆大巴？【例 4】9个连续的自然数，每个数都大于80，那么其中最多有多少个质数？请列举和最小的一组【例 5】用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数.【例 6】7个连续质数从大到小排列是a、b、c、d、e、f、g已知它们的和是偶数，那么d是多少？【例 7】将60拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少模块二、分解质因数【例 8】两个连续奇数的乘积是111555，这两个奇数之和是多少?【例 9】4个一位数的乘积是360，并且其中只有一个是合数，那么在这4个数字所组成的四位数中，最大的一个是多少？【例 10】在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少?【例 11】（老师可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？）大毛、二毛、三毛、小明四个人，他们的年龄一个比一个大2岁，他们四个人年龄的乘积是48384。
七数培优竞赛讲座第24讲 质数、合数与因数分解
第二十四讲 质数、合数与因数分解一个大于1的正整数，若除了1与它自身，再没有其他的约数，这样的正整数叫做质数；一个大于1的正整数，除了1与它自身，若还有其他的约数，这样的正整数称为合数．这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类：⎪⎩⎪⎨⎧合数质数单位正整数1质数，合数有下面常用的性质：1．1不是质数，也不是合数；2是惟一的偶质数．2．若质数p │ab ，则必有p │a 或p │b ．3．若正整a 、b 的积是质数p ，则必有a=p 或b=p ．4．算术基本定理：任意一个大于l 的整数N 能分解成K 个质因数的乘积，若不考虑质因数之间的顺序，则这种分解是惟一的，从而N 可以写成标准分解形式：k k p p p N ααα 2121=其中k p p p <<21，i p 为质数，i a 为非负整数，(i ＝1，2，…k)．例题【例1】 已知三个不同的质数a ，b ，c 满足ab b c+a=2000，那么a 十b 十c= ．(江苏省竞赛题)思路点拨 运用乘法分配律、算术基本定理，从因数分解人手，突破a 的值．+注： 对于研究者来说，寻找最大质数的精神，犹如物理学家在寻找比原子更懂小的粒子、或天文学家在不断追寻未为人所知的星体般，都须付出惊人的救力，正是这种单纯为满足求知欲的好奇心，正好是人类突破知识领域的动力．18世纪，欧拉发现了当时最大的质数231一l ，20世纪末人类借助超级计算机，发现了最大的质数2859433—1．【例2】 不超过100的所有质数的乘积减去不超过60且个位数字为7的所有质数的乘积所得之差的个位数字是( )．A ．3B ．1C ．7D ．9思路点拨 从寻找适合题意的质数人手．【例3】 求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数．(上海市竞赛题)思路点拨 由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数进行实验，但这样的质数惟一吗?还需按剩余类的方法进行讨论．【例4】(1)将l ，2，…，2004这2004个数随意排成一行，得到一个数N ．求证：N 一定是合数；(2)若n 是大于2的正整数，求证：2n 一1与2n +1中至多有一个是质数．思路点拨 (1)将1到2004随意排成一行的数有很多，不可能一一排出，不妨能找出无论怎样排．所得数都有非1和本身的约数；(2)只需说明2n 一1与2n +1中必有一个是合数，不能同为质数即可．【例5】 用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为xcm 规格的地砖，恰用n 块；若选田边长为ycm 规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块．已知x ，y 、n 都是正整数．且(x ，y)＝1．试问这块地有多少平方米?(湖北省荆州市竞赛题)思路点拨 虽然同一块地有不同的铺法，但是这块地的面积不变，利用面积不变建立x 、y 、n 的等式．寻找解题的突破口．【例6】由超级计算机运算得到的结果2859433—1是一个质数，则2859433+1是( )A ．质数B ．合数C 奇合数D ．偶合数思路点拨 ∵ 2859433—1，2859433，2859433+1是三个连续正整数，∵2859433—1的末位数字是1，∴2859433是偶合数．∵上述三个数中一定有一个能被3整除，而2859433—1是质数，∴2859433+1的末位数字是奇数且能被3整除，故2859433+1是奇合数，故选C ．注：同学们，你们知道什么是“哥德巴赫猜想”吗?二百多年前，德国数学家哥德巴赫发现：任一个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数之和．如6=3+3，12=5+7等．对许多偶数进行检验，都说明这个猜想是正确的，但至今仍无法从理论上加以证明，也没有找到一个反例．到目前最好的结论是我国数学家陈景润证明的“1+2”，即任一充分大的偶数，都可表示成一个质数加上一个质数或两个质数的积，这一结论被命名为“陈氏定理”．【例7】用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为x(㎝)规格的地砖，恰用n 块；若选用边长为了y(cm)规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块．已知x ，、y 、n 都是正整数，且(x ，y)=1．试问：这块地有多少平方米?思路点拨 设这块地的面积为S ，则S=nx 2=(n+124)y 2，得n (x 2—y 2)=124y 2． ∵ x>y ，(x ，y)=1，∴．(x 2－y 2，y 2)=l ，得(x 2－y 2)│124．∵124=22×31，x 2－y 2=(x 十y)(x －y)，x 十y>x －y ，且x 十y 与x －y 奇偶性相同， ⎩⎨⎧=-=+131y x y x 或⎩⎨⎧=-⨯=+2312y x y x 解之得x=16，y=15，此时n=900．故这块地的面积为S=nx 2=900×162=230400(cm 2)=23．04(m 2) ．注：虽然同—块地有不同的铺法，但是这块地的面积不变，利用面积不变建立x 、y 、n 的等式，寻找解题的突破口．【例8】p 是质数，p 4+3仍是质数，求p 5+3的值．思路点拨 ∵ p 是质数，∴p 4+3 >3又p 4+3为质数，∴p 4+3必为奇数，∴p 4必为偶数，∴p 必为偶数．又∵p 是质数，∴p=2，∴p 5+3=25+3=35．【例9】已知正整数p 和q 都是质数，且7p+q 与pq+11也都是质数，试求p q +q p 的值．思路点拨 pq+11＞11且pq+11是质数，∴pq+11必为正奇质数，pq 为偶数，而数p 、q 均为质数，故p=2或q=2．当p=2时，有14+q 与2q+11均为质数．当q=3k+1(k ≥2)时，则14+q=3 (k+5)不是质数；当q==3k+2(k ∈N)时，2q+11=3(2k+5)不是质数，因此，q=3k ，且q 为质数，故q=3． 当q=2时，有7p+2与2p+11均为质数．当p==3k+1(k ≥2)时，7p+2=3(7k+3)不是质数；当p=3k+2(k ∈N )时，2p+11=3(2k+5)不是质数，因此，p=3k ，当p 为质数，故p=3． 故p q +q p =23+32=17．【例10】若n 为自然数，n+3与n+7都是质数，求n 除以3所得的余数．思路点拨 我们知道，n 除以3所得的余数只可能为0、1、2三种．若余数为0，即n=3k(k 是一个非负整数，下同)，则n+3=3k+3=3(k+1)，所以3│n+3，又3≠n+3，故n+3不是质数，与题设矛盾．若余数为2，且n=3k+2，则n+7=3k+2+7=3(k+3)，故3│n+7，n+7不是质数；与题设矛盾．所以n 除以3所得的余数只能为1．注：一个整数除以m 后，余数可能为0，1，…，m —1，共m 个，将整数按除以m 所得的余数分类，可以分成m 类．如m=2时，余数只能为0与1，因此可以分为两类，一类是除以2余数为0的整数，即偶数；另一类是除以2余数为1的整数，即奇数．同样，m=3时，就可将整数分为三类，即除以3余数分别为0、1、2这样的三类．通过余数是否相同来分类是一种重要的思想方法，有着广泛的应用．【例11】设a 、b 、c 、d 都是自然数，且a 2+b 2=c 2+d 2，证明：a+b+c+d 定是合数． 思路点拨 ∵a 2+b 2与a+b 同奇偶，c 2+d 2与c+d 同奇偶，又a 2+b 2=c 2+d 2，∴a 2+b 2与c 2+d 2同奇偶，因此a+b+c+同奇偶． ∴ a+b+c+d 是偶数，且a+b+c+d ≥4， ∴a+b+c+d 一定是合数．注：偶数未必都是合数，所以a+b+c+d ≥4在本题中是不能缺少的．【例12】正整数m 和m 是两个不同的质数，m+n+mn 的最小值是p ，求222pn m +的值． 思路点拨 要使p 的值最小，而m 和n 都是质数，则m 和n 分别取2和3，于是p=m+n+mn=11，故12113222=+p n m ． 注：要使p 值最小，别m 和n 尽可能取较小的值，而m 、n 是两个不同的质数，故m 和n 分别取2和3，从而p 值可求．【例13】若a 、b 、c 是1998的三个不同的质因数，且a ＜b ＜c ，则(b+c)a 的值是多少? 思路点拨 ∵1998=2×3×3×37，而a 、b 、c 为质数，∴a 、b 、c 的值分别为2、3、37．a ＜b ＜c ，故a=2，b=3，c=37，得(b+c)a =1600．【例14】n 是不小于40的偶数，试证明：n 总可以表示成两个奇合数的和．思路点拨 因为n 是不小于40的偶数，所以，n 的个位数字必为0、2、4、6、8，现在以n 的个位数字分类：(1)若n 的个位数字为0，则n=15+5k(k ≥5为奇数)；(2)若n 的个位数字为2，则n=27+5k(k ≥3为奇数)；(3)若n 的个位数字为4，则n=9+5k(k ≥7为奇数)；(4)若n 的个位数字为6，则n=21+5k(k ≥5为奇数)；(5)若n 的个位数字为8，则n=33+5k(k ≥3为奇数)；综上所述，不小于40的任一偶数，都可以表示成两个奇合数的和．注：本题证明一个不小于40的偶数可以表示成两个奇合数之和，其难度与“哥德巴赫猜想”当然不可同日而语，但本题证明时使用了构造的方法，值得大家注意．【例15】 41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：(1)能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数?(2)能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数? 若能办到，请举一例；若不能办到，请说明理由．思路点拨 (1)能办到．注意到41与43都是质数，据题意，要使相邻两数的和都是质数，显然，它们不能都是奇数，因此，在这排数中只能一奇一偶相间排列，不妨先将奇数排成一排：1，3，5，7，…，41，在每两数间留有空档，然后将所有的偶数依次反序插在各空档中，得1，40，3，38，5，36，7，34，…，8，35，6，37，4，39，2，41，这样任何相邻两数之和都是41或43，满足题目要求．(2)不能办到．若把1，2，3，…，40，41排成一圈，要使相邻两数的和为质数，这些质数都是奇数，故圆圈上任何相邻两数必为一奇一偶，但现有20个偶数，21个奇数，总共有41个号码，由此引出矛盾，故不能办到．注 站成一排和站成一圈虽只一字之差，但却有着质的不同，因为一圈形成了首尾相接的情形．【例16】 (第62届莫斯科竞赛试题)写出5个正整数，使它们的总和等于20，而它们的积等于420．思路点拨 设这5个正整数为54321x x x x x 、、、、，则7532420254321⨯⨯⨯==⋅⋅⋅⋅x x x x x ，而2054321=++++x x x x x ，故知这5个数分别为1、4、3、5、7．注： 在420的分解式中，把22看作2×2(即两个数相乘)还是一个数4，是否再增加一个因数1，这取决于对求和式的观察．【例17】若自然数n+3与n+7都是质数，求n 除以6的余数．思路点拨 不妨将n 分成六类，n=6k ，n=6k+1，…，n=6k+5，然后讨论． 当n=6k 时，n+3=6k+3=3(2k+1)与n+3为质数矛盾；当n=6k+1时，n+3=6k+4=2(3k+2)与n+3为质数矛盾；当n=6k|+2时，n+7=6k+9=3(2k+3)与n+7为质数矛盾；当n=6k+3时，n+3=6k+6=6(k+1)与n+3为质数矛盾；当n=6k+5时，n+7=6k+12=6(k+2)与n+7为质数矛盾．所以只有n=6k+4，即n除以6的余数为4．本题利用分类讨论进行．学力训练1．在l，2，3，…，n这n个自然数中，已知共有p个质数，q个合数，k个奇数，m个偶数，则(q一m)十(p一k)＝．2．p是质数，并且p+3也是质数，则p11一52＝．(北京市竞赛题)3．若a、b、c、d为整数，且(a2+b2)(c2+d2)=1997，则a2+b2+c2+d2= ．4．已知a是质数，b是奇数，且a2+b＝2001，则a+b＝．(江苏省竞赛题)5．以下结论中( )个结论不正确．(1)1既不是合数也不是质数；(2)大于0的偶数中只有一个数不是合数；(3)个位数字是5的自然数中，只有一个数不是合数；(4)各位数字之和是3的倍数的自然数，个个都是合数．A．1 B．2 C．3 D．4( “五羊杯”竞赛题)6．若p为质数，p3+5仍为质数，p5+7为( )．A ．质数B ．可为质数也可为合数C ．合数D ．既不是质数也不是合数 (湖北省黄冈市竞赛题)7．超级计算机曾找到的最大质数是2859433一1，这个质数的末尾数字是( )．A ．1B ．3C ．7D ．98．若正整数a 、b 、c 满足222c b a =+，a 为质数，那么b 、c 两数( )．A ．同为奇数B ．同为偶数C ． 一奇一偶D ．同为合数9．设n 为自然数，n+3与n+7都是质数，求n 除以3所得的余数．10．试证明：形如11111l 十9×10n (n 为自然数)的正整数必为合数．11．若p 、q 为质数，m 、n 为正整数，p ＝m+n ，q ＝mn ，则m n qp nm q p ++= ． 12．若质数，m 、n 满足5m+7n ＝129，则m+n ＝ ．(河北省竞赛题)13．已知三个质数m 、n 、p 的积等于这三个质数的和的5倍，则m 2+n 2+p 2＝ ． (2004年武汉市选拔赛试题)14．一个两位质数，将它的十位数字与个位数字对调后仍是一个两位质数，我们称它为“无暇质数”，则所有“无暇质数”之和等于 ．15．机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则进行染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，则第1992个数是 ．(北京市“迎春杯”竞赛题)16．证明有无穷多个n ，使多项式n 2+n 十41(1)表示合数；(2)为43的倍数．17．已知正整数p 、q 都是质数，且7p+q 与pq+1l 也都是质数，试求pq q p +的值． (湖北省荆州市竞赛题)18． 1与0交替排列，组成下面形式的一串数101，10101，1010101，101010101，…… 请你回答：在这串数中有多少个质数?并证明你的结论．(北京市竞赛题) 19．41名运动员所穿运动衣号码是l ，2，…，40，41这41个自然数，问：(1)能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数?(2)能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数? 若能办到，请单一例；若不能办到，请说明理由．参考答案。
【精品奥数】五年级下册数学奥数讲义—第十四讲 质数与合数 通用版(含答案)
质数与合数一、质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。
常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p就为质数.例如：149很接近，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.1. 判断质数、合数例：下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1—56号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．解：按要求编号排序，并画出质数号码：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28九天九霄志凌云，九七共庆手相握；29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56将质数对应的汉字依次写出就是：少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山．2. 质数的个位性质例：哥德巴赫猜想是说：“每个大于2的偶数都可以袤示成两个质数之和”。
五年级奥数下册第二讲质数、合数和分解质因数
第二讲质数、合数和分解质因数
1、一个数除了1和它本身,不再有别的因数,这个数叫做质数(也叫素数)
2、一个数除了1和它本身,还有别的因数,这个数叫做合数。
3、如果一个质数是某个数的因数,那么就说这个质数是这个数的质因数。
4、把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
例1、三个连续自然数的乘积是210,求这三个数。
例2、两个质数的和是40,求这两个质数的乘积的最大值是多少?
例3、自然数123456789是质数,还是合数?为什么？
例4、把5、6、7、14、15这五个数分成两组,使每组数的乘积相等。
例5、有三个自然数,最大的比最小的大6,另一个是它们的平均数,且三数的乘积是42560,求这三个自然数。
同步训练
1、五个相邻自然数的乘积是5540,求这五个自然数的因数共有多少个。
2、求10500的因数共有几个？
课后作业与检测
1、边长为自然数,面积为105的形状不同的长方形共有多少种?
2、1111222棋子排成一个长方阵,每一横行的棋子数比每一竖列的棋子数多1个,这个长方阵每一横行有多少个棋子?。
5102五年级奥数上册第二讲质数合数和分解质因数
五年级奥数上册：第二讲质数、合数和分解质因数五年级奥数上册：第二讲质数、合数和分解质因数一r基本慨念和知识L质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数〉.一个数除了1和它本身，还有别陶约数,这个数叫做台数。
要特别记住’ 1不是质教，也不是台数。
Z质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数.那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数埔质因数相乘的形式春示出耒，叫做分解质因数。
例’把孔分解质因数。
解建30=2X3X5e其中2、3s 5叫做孔的质因数。
又如12 = 2X2X3二上X3* 2. 3都叫做12的质因数。
二例题例1三个连续自然数的乘积是210,求这三个数-解，V210=2X3X5X7•••可知这三个数是5、&和7。
例2两个质数的和是40,求这两个质数的乘积的最大值是多少？解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式：40 二17+23=11 + 29=33。
717X23 = 391> 11X29 = 319>3 X 37= 111.・・・所求的最大值是391。
答：这两个质数的最大乘积是391。
例3自然数123456789是质数，还是合数？为什么？解：123456789是合数。
因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3,所以它是一个合数。
例4连续九个自然数中至多有几个质数？为什么*?解：如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1〜9中有4个质数2、3、§、7）。
如杲这连续的九个自然中最小的不小于3,那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有$个•这5个奇数中必只有一个个位数是5,因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。
综上所述，连续九个自然数中至多有J个质数。
例5把5、6、7. 14. 15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。
解；丁5=5, 7=7, 6=2X3, 14=2*7, 15=3X5,ZL 这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14 02X7）放在笫一组，那么7和6 O2X?）只能放在笫二组，继而廿（=3X5）只能畝在第一组，则5必须放在第二组。
小学奥数系列：第二讲 质数、合数和分解质因数
第2讲质数、合数和分解质因数一、基本概念和知识1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。
一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
要特别记住：1不是质数，也不是合数。
2.质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例：把30分解质因数。
解：30＝2×3×5。
其中2、3、5叫做30的质因数。
又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。
二、例题例1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.解：∵210=2×3×5×7∴可知这三个数是5、6和7。
例2 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式：40=17+23=11＋29=3+37。
∵17×23＝391＞11×29＝319＞3×37＝111。
∴所求的最大值是391。
答：这两个质数的最大乘积是391。
例3 自然数123456789是质数，还是合数？为什么？解：123456789是合数。
因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。
例4 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？解：如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1～9中有4个质数2、3、5、7）。
如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。
综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。
例5 把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。
解：∵5=5，7=7，6=2×3，14＝2×7，15=3×5，这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14（=2×7）放在第一组，那么7和6（=2×3）只能放在第二组，继而15（＝3×5）只能放在第一组，则5必须放在第二组。
A五年级奥数—【第二讲】质数、合数、分解质因数
【例题 2】24 有多少个因数？这些因数的和是多少？
【例题 3】新河村民用几只船分三次运送 315 袋化肥。已知每只船载的化肥袋数 相等且至少载 7 袋。问：每次应有多少只船，每只船载多少袋化肥？
【例题 11】要使 145×32×20×□的积的末五位数都是 0，□里填入的自然数的 最小值是多少？
【例题 12】陈虎是个中学生，他说：“这次考试（百分制），我的名次乘我的年 龄再乘我的考试分数，结果是 2910.”你能算出陈虎的名次、年龄与他这次考试 的分数吗？
【例题 13】用 216 元去买一种钢笔，正好将钱用完。若每支钢笔便宜 1 元，则 可以多买 3 支钢笔，钱也正好用完。共买了多少支钢笔？
【变式训练】船夫用几只船分 3 次把 90 名同学渡过河去，已知每只船载的人数 都相等，并且至少载 2 人，问：每次应有多少只船，每只船载多少人？
【变式训练】某自然数是 3 和 4 的倍数，这个数包括 1 和本身在内共有 10 个因 数，这个自然数是多少？
【变式训练】把 111222 颗棋子摆成一个长方形阵，每一横行的棋子颗数比每一 竖行的棋子颗数多 1，这个长方形阵每一横行有多少颗棋子？
【变式训练】四个连续自然数的积是 1680，则这四个自然数中，最小的是几？
【变式训练】用 1、2、3、4、5、6、7、8、9 这九个数字组成质数，如果每个数 字都要用到，并且只能用一次，那么这九个数字最多能组成多少个质数？
【变式训练】要使四个数的积 175×72×225×□的结果的最后六位数都是零， 问□中的数最小填几。
【变式训练】360 共有多少个因数？240 共有多少个因数？
五年级奥数第一讲——质数、合数和分解质因数(学生用)
远辉教育奥数班第一讲——质数、合数和分解质因数主讲人：杨老师学生：五年级电话：62379828一、基本概念和知识：1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。
一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
要特别记住：1不是质数，也不是合数。
2.质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例：把30分解质因数。
解：30＝2×3×5。
其中2、3、5叫做30的质因数。
又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。
二、典例剖析：例1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.例2 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？例3 自然数123456789是质数，还是合数？为什么？例4 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？例5 把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。
例6 有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560.求这三个自然数。
例7 有3个自然数a、b、c.已知a×b=6，b×c=15，a×c＝10.求a×b×c是多少？在例7中有a2＝22，b2=32，c2=52，其中22=4，32＝9，52＝25，像4、9、25这样的数，推及一般情况，我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。
如.12=1，22＝4，32＝9，42=16，...，112=121，122=144，...其中1，4，9，16， (121)144，…都叫做完全平方数.下面让我们观察一下，把一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数有什么特征。
例如：把下列各完全平方数分解质因数：9，36，144，1600，275625。
24.质数、合数与因数分解(含答案)-
24.质数、合数与因数分解知识纵横一个大于1的正整数,若除了1与它自身,再没有其他的约数,•这样的正整数叫做质数;一个大于1的正整数,除了1与它自身,若还有其他的约数,这样的正整数称为合数,这样,我们可以按约数个数将正整数分为三类:正整数1⎧⎪⎨⎪⎩单位质数合数质数、合数有下面常用的性质:1.1不是质数,也不是合数;2是惟一的偶质数.2.若质数p│ab,则必有p│a或p│b.3.若正整a,b的积是质数p,则必有a=p或b=p.4.算术基本定理:任意一个大于1的整数N能分解成k个质因数的乘积,•若不考虑质因数之间的顺序,则这种分解是惟一的,从而N可以写成标准分解形式:N=p1a1·p2a2·…p k ak其中p1<p2<…<p k,p i为质数,a i为非负整数.(i=1,2,…k).例题求解【例1】已知三个不同的质数a,b,c满足ab b c+a=2000,那么a+b+c=_____.(第15届江苏省竞赛题) 思路点拨运用乘法分配律、算术基本定理,从因数分解入手,突破a的值.解:42 提示：由a(b b c+1)=24×53.【例2】不超过100的所有质数的乘积减去不超过60且个位数字为7•的所有质数的乘积所得之差的个位数字是( ).A.3B.1C.7D.9思路点拨从寻找适合题意的质数入手.解:选D 提示2与5的积为10，不超过60且个位数字为7的所有质数共4个，它们是7，17，37，47，10-1=9。
【例3】求这样的质数,当它加上10和14时,仍为质数. (上海市竞赛题)思路点拨由于质数的分布不规划,不妨从最小的质数进行实验,但这样的质数惟一吗?还需按剩余类的方法进行讨论.解:3符合要求提示：当p=3k+1时，p+10=3k+11,P+14=3(k+5),显然p+14是合数；当p=3k+2时，p+10=3(k+4)是合数，当p=3k时，只有k=1才符合题意。
五年级奥数专题 质数、合数、分解质因数(学生版)
学科培优数学“质数、合数、分解质因数”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲中的知识点在小学课本内已经有所涉及,并且多以判断题考察。
质数合数的出现是对自然数的另一种分类方式,但是相对于奇数偶数的划分要复杂许多。
质数本身的无规律性也是一个研究质数结构的难点。
在奥数数论知识体系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识,在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。
分解质因数法是一个数论重点方法,本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。
知识梳理一、质数与合数的基本概念1.质数：一个数除了1和它本身没有其他的约数,这个数就称为一个质数,也叫做素数2.合数：一个数除了1和它本身还有其他的约数,这个数就称为一个合数3.质因数：如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数二、质数和合数的一些性质和常用结论1. 0和1既不是质数也不是合数,因此,我们可以说,自然数可以分成三部分,即,0和1,质数,合数。
2. 最小的质数是2,最小的合数是4。
3. 常用的100以内的质数：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,8 9,97其中2是唯一的偶数,5是唯一个位上数字是5的数,其余的数字个位只为1,3,7,94. 部分特殊数的分解：=⨯1000173137=⨯=⨯⨯1111141271=⨯100171113111337=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯200733223=⨯⨯⨯1998233337199535719=⨯⨯⨯+==⨯⨯10101371337 2008222251=⨯⨯⨯200720084015511735. 质数的判定方法判断一个数是否是质数,可以采用“连续小质数试除法”。
例如：判断251是否是质数,可以从最小的质数2开始依次除251,直到所得的商比除数小为止,可以断定251是质数。
251÷2=125...1, 251÷3=83...2, 251÷5=50...1, 251÷7=35...6, (251)17=14…13,此时除数17＞商14,由此说明251是质数。