精品 八年级数学下册 二次根式同步讲义+练习45页
） C. a 2
2
B. a 2
2
2
D. a 4
2
2
6.若 a 1 ，则 (1 a ) 3 化简后为（ A. a 1 a 1 B. 1 a 1 a
） C. a 1 1 a D. 1 a a 1
7.做一做：根据算术平方根的意义填空：
(2)当 x 是多少时， 2 x 3 +
1 在实数范围内有意义？ x 1
例 3.求下列二次根式有意义的条件： (1) x 1 (2) x 1 3 x (3)
1 x3
(4)
x2 1
(5) x 1 3 x
(6) ( x 1) 2
(7) x 2 6 x 9
(8) x 2 6 x 10
8.当
1 1 2 x x 2 =___________ ＜x＜1 时， x 2 x 1 4 2
1 1 1 后的结果是 2 1 2 a 1 a a
9.若 0＜a＜1，化简 a 2
10.已知实数 a 满足 a a 2 3 a 3 0 ，那么 a 1 a 1 11.若 a、b、c 是△ABC 的三边,化简 12.已知 x
x 1
A. 1 x
B. x 1
C. x 1
例 5.在实数范围内分解下列因式: （1）x -3
2
（2）x -4
4
(3) 2x -3
2
例 6.化简下列各二次根式： (1) ( 7 2) 2 ( 7 3) 2
2 (2) x 2 ( x 5)（ x 0）
(3) x 2 8x 16 x 2 4x （ 4 2 x 4）
3 x 4 4 3 x _____________________；
(3) 2 x 2 x ________________________； （4）
2 x 1 ______________________________ | x | 1
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15.求下列分式 x 的取值范围。 (1)
x5 x2
(2) x 5
2x
16.已知 x y 1 + x 3 =0，求 xy 的值．
17.当 x 为何值时，下列各式有意义？ (1) x 2 ； (2) 3 x 8 ； (3)
x2 ；
(4) 2 x ；
2
(5)
x 2 2 ；
(6)
2 x 12 ；
二次根式 第 01 课 二次根式定义及性质
定义： 二次根式有意义的条件： 二次根式非负性：
例 1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
2、3 3、
1 1 、 x （x>0） 、 0 、 4 2 、- 2 、 、 x y （x≥0，y≥0） ． x x y
例 2.(1)当 x 是多少时， 3x 1 在实数范围内有意义？
3 2x 1 （1） 6 x ；（2） x 2 3 ；3） 3 x ；（4） 2x 3 ；（5） ；（6） x 2 2 x 3 x x 1 2x 5
22.当 x 是多少时， 2 x 3 x 2 在实数范围内有意义？
x
24.某工厂要制作一批体积为 1m 的产品包装盒，其高为 0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问 底面边长应是多少？
）
A.2 个 B.3 个 3.下列各式一定是二次根式的是（ A. 7 B. 3 2m
C.4 个 ） C. a 2 1 ) C. x 2 ） D.
D.5 个 D. a b
1 x2
4.下列二次根式中， x 的取值范围是 x ≥2 的是( A. 2 x B. x 2
5.已知一个正方形的面积是 5，那么它的边长是（ A.5 B. 5 C.
a b c2 a b c2 b c a2 c a b2 =
7 ( 4 ) 2 =___； ( 2 ) 2 =____； ( 9 ) 2 =____； ( 3 ) 2 =____； ( 1 ) 2 =____； ( ) 2 =____； ( a 2 ) 2 =
3
2
;
( x 1) 2 ( x 0) =
； ( a 2 2a 1) 2 =
； ( 4 x 2 12 x 9 ) 2 =
10.若式子 2 x 1 - 1 2 x ＋1 有意义，则 x 的取值范围是（ B.x≤ 1 2 11.下面的推导中开始出错的步骤是（ A.x≥
2 3 22 3 12 1 2 3
1 2
C.x= 1 2 ）
2
2
3 12 2
2 3 2 3 3 2 2 4
例 5.若 2 x y x 2 y 0 ,求：x +y 的值。
2
2
例 6.已知： y 1 x 2 2 x ,求，x+2y 的平方根。
3
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例 4.(1)已知 y 2 x x 2 5 ,求
x 的值; y
(2)若 a 1 b 1 0 ，求 a 2013 b 2014 的值．
B.3-x
x 32
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ等于（
C. x 3
5.等式 ( x 1) 2 1 x 成立的条件是_____________． 6.当 x____________时，二次根式 2 x 3 有意义．使式子 x 4 有意义的条件是 7.当 __________ 时， 8.若 m 。
a (a 0) a2 a a (a 0)
例 1.填空：
22 =_____； 0.012 =_____；
(-3 5 ) 2 =
2 3 2 2 1 ( ) 2 =_____； ( ) 2 =_______； 0 =______； ( ) =_____． 7 3 10
； ( 7 )2 =
1 (4) x x 2 2 x 1 ( x ) ) 2
例 7.已知： y 1 8 x 8 x 1 1 ，求代数式 x y 2 x y 2 的值。 2 y x y x
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课堂练习： 1.若 x＜1，则 A.3-2x
x 12
2 x 2 等于（
B.2x-3
） C.3 D.1
2.已知实数 a、b、c 满足 a a 0 ， ab ab ， c c 0 ，那么代数式 b 2 a b a c c 2 2bc b 2 化简 后的结果为（ A.2c-b ） B.2c-2a C.-b D.b
x1 y y 1
的值。
2.已知 a,b 为实数，且 1 a (b 1) 1 b 0 ，求 a 2013 b 2014 的值。
3.若 2013 - a a - 2014 a ，求 a 2013 2 的值．
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测试题 01 日期： 月 日 满分：100 分 ） C.3a ） B.a＜0，且-a 是完全平方数 D.a≤0，且-a 是完全平方数 ） C.是 0 D.不能确定 ） D.3 D.-3a 姓名： 得分：
1 5
D.以上皆不对 ） ．
6.下列各式中 15 、 3a 、 b 2 1 、 a 2 b 2 、 m 2 20 、 144 ,二次根式的个数是（ A.4 B.3 7.数 a 没有算术平方根，则 a 的取值范围是（ A.a>0 B.a≥0 C.2 ） ． C.a<0 D.1 D.a=0 ） D.以上都不对
16. - 0.0004 =________． 17.若 20m 是一个正整数，则正整数 m 的最小值是________． 18.先化简再求值：当 a=9 时，求 a 1 2a a 2 的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式= a 1 2a a 2 =a+（1-a）=1； 乙的解答为：原式= a 1 2a a 2 =a+（a-1）=2a-1=17． 两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是_________ 19.当 x 为何值时，下列各式在实数范围内才有意义：
x 2 1 2 x 有意义。
。
1 有意义，则 m 的取值范围是 m 1
时，
9.当 x
1 x
2
是二次根式。 。
10.若 4 x 2 2 x ，则 x 的取值范围是 11.使等式
x 1 x 1
x 1 x 1 成立的条件是
12.计算： (3 1 ) 2 ( 1 ) 2 =______ 2 2 13.若 a b 1 与 a 2b 4 互为相反数，则 (a b) 2013 = 14.求使下列各式有意义的 x 的取值范围: （1） （2） x 3 2 __________________________；
1.当 a＜0 时，化简 2a a 2 的结果是（ A.a B.-a
2.如果 a 是整数，那么（ A.a＞0，且 a 是完全平方数 C.a≥0，且 a 是完全平方数
3.使等式 ( x ) 2 x 成立的 x 值（ A.是正数 4.设实数 x 满足 A.x-3 B.是负数
2 x 2 x ，则
(7)
1 x3
；
(8)
1 2x 3
；
(9)
x 1 ； 2x 3
(10)
2 x 2x 1
18.使式子成立的 x 的取值范围: （ 1）
2 1 x 1
（ 2）
x 2 4 4 x 2 1 x2
二次根式(讲练)-简单数学之2020-2021学年八年级下册同步讲练(原卷版)(人教版)
专题16.1 二次根式典例体系（本专题共14题38页）一、知识点1.（0a ≥） 的式子叫做根式；a根式有意义的条件是：被开方数大于等于0，根式为零被开方数为0；2.二次根式的性质： ① 0a ≥0 （双重非负性）②2= a （0a ≥） 运算顺序：先做开方运算，再做乘方运算；③ a （0a ≥）a =（0a ≥）运算顺序：先做乘方运算，再做开方运算；二、考点点拨与训练考点1:二次根式有意义的条件典例：（2021·四川成都市·石室中学八年级期末）已知2y =，则y x =__________． 方法或规律点拨本题考查了二次根式的非负性，掌握二次根式被开方数大于或等于0是解题的关键．巩固练习1．（2020·宜昌市第二十二中学九年级期中）则x 的取值范围是（ ） A ．31x -≤<B ．3x ≥-且1x ≠C ．1x <且3x ≠-D ．1x ≠且3x ≠-2．（2021·湖南益阳市·八年级期末）13x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( ) A ．2x ≤ B ．3x = C ．2x <且3x ≠D ．2x ≤且3x ≠ 3．（2021·北京东城区·x 的取值范围是（ ）A ．2x ≠B ．2x ≥C ．2x ≤D ．0x ≥4．（2020·浙江杭州市·a 应该满足的条件是（ ） A ．0a ≥ B ．0a = C ．0a ≤ D ．0a ≠5．（2019·2x =-，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞2 B ．x≥2 C ．x≤2 D ．x ＜26．（2021·北京石景山区·在实数范围内有意义的条件是（ ）A ．12x >-B ．12x ≠- C ．12x <- D ．21x ≥-7．（2021·北京门头沟区·八年级期末）在实数范围内有意义，那么x 的取值范围是（ ） A ．3x ≠- B ．3x ≤- C ．3x ≥- D ．3x >-8．（2021·河北邯郸市·=m 、n 满足的条件是（ ）． A ．0mn ≥ B ．0m ≥，0n ≥ C ．0m ≥，0n >D ．0m >，0n ≥ 9．（2020·河北承德市·m 能取的最小整数值是（ ）A ．m = 0B ．m = 1C ．m = 2D ．m = 310．（2020·浙江杭州市·七年级期末）已知3y =，则x y =________．11．（2021·四川成都市·八年级期末）若实数x 、y 满足12y =+，则xy =________． 12．（2020·河南许昌市·七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为(),0A a ，(),0B b ，且a 、b 满足20a +=，点C 的坐标为()0,3．（1）求a ，b 的值；（2）求三角形ABC 的面积．考点2：二次根式中的字母参数问题典例：（2020·河北唐山市·八年级期末）若54n是正整数，则满足条件的n的最小正整数值为__________．方法或规律点拨本题主要考查的是二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．巩固练习1．（2020·江苏淮安市·9﹣m，则实数m的取值范围是（）A．m＞9B．m＜9C．m≥9D．m≤92．（2020·辽宁阜新蒙古族自治县第四中学八年级期末）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简+的结果是（）．代数式a bA．-b B．2a C．-2a D．-2a-b3．（2021·贵州铜仁市·=________．4．（2020·达州市第一中学校八年级期中）若a、b为实数，且，则a+b的值为__．y=，求x y的算术平方根________．5．（2019·66．（2019·广西百色市·八年级期中）1a=-，则a=______(请写出其中一个符合条件的a值) ．7．（2020·山西八年级期末）已知n是整数，则n的最小值为________．8．（2020·河北邯郸市·02=，则a=______．9．（2019·河北唐山市·有意义，则x能取得最小整数是___________．10．（2021·北京顺义区·1=-，则实数a的取值范围是__________．a11．（2019·海口市金盘实验学校九年级期中）当2＜a＜3时，化简：2a-______．考点3：利用二次根式的性质化简典例：．（2020·福建泉州市·泉州七中八年级期中）已如实数a、b在数轴上的位置如图所示，请化简-1b方法或规律点拨本题考查的是实数的大小比较，二次根式的性质，二次根式的化简，绝对值的化简，合并同类项，掌握以上知识是解题的关键．巩固练习1．（2021·河北唐山市·的值为（ ）A ．2B ．4C ．2±D ．2．（2020·浙江杭州市· ）A ．3B ．3-C ．3±D ．93．（2020·吉林长春市· ）A ．3B ．-3C ．±3D ．94．（2019·安徽阜阳市·八年级期中）知-65．（2020·浙江杭州市·八年级期末）计算：2=___________．6．（2020·_____．7．（2021·北京通州区·八年级期末）如果23=，那么m 的值是_____．8．（2020·a c -+．9．（2020·渠县贵福中学八年级期中）已知a ，b 0b =（1）a=_______， b=______（2）把a ，b 的值代下以下方程并求解关于x 的方程()221a x b a ++=-10．（2021·北京延庆区·八年级期末）我们规定用（a ，b ）表示一对数对．给出如下定义：记m=，n =其中（a ＞ 0，b ＞ 0），将（m ，n ）与（n ，m ）称为数对（a ，b ）的一对“对称数对”． 例如：（4，1）的一对“对称数对”为（12，1）和（1，12）； （1）数对（9，3）的一对“对称数对”是 ；（2）若数对（3，y ）的一对“对称数对”相同，则y 的值为 ；（3）若数对（x ，2）的一个“对称数对”，1），则x 的值为 ；（4）若数对（a ，b ）的一个“对称数对”，，求ab 的值．。
二次根式的加减(知识点及常考题型精讲)课件2024-2025学年鲁教版(五四制)八年级数学下册
×
（2）如果两个正方形的面积分别是 18 和 8 ，那么大正方形的边
长比小正方形的边长大多少？
− = − = ( − ) =
几个二次根式化简成最简二次根式后，如果它们的被开方
数相同，那么这几个二次根式是同类二次根式.
练习：下列二次根式中，哪些是同类二次根式？
， ，
（） −
+
= + + −
= − +
= +
=
练习 计算：
解：
（1）( − ) − ( + ��)= − − −
=− −
（2） − (
（3）
+
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
= + −
=
例 计算：
解：
− (
+ )
=
−
−
= − −
=−
练习 计算：
（1）
−
= − = −
（2） − (
= −
+
−
)
=
【新】八年级下册数学 人教版二次根式应用复习(知识点讲解+练习题)教案
二次根式应用复习教案知识点一：二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．1.二次根式的定义及其意义 形如)0(≥a a 的代数式叫二次根式 二次根式a 有意义，a 的取值范围是;0≥a 当a 0<时，a 在实数范围内没有意义。
如：)0(2),1(1,2≥-≥+a ax x 等都是二次根式。
)0(≥a a 是一个非负数；)0()(2≥=a a a ；⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a典型例题二次根式：(1).下列式子一定是二次根式的是（）A ．2--x B.x C ．22+x D ．22-x 二次根式有意义的条件:(2) .a 的取值范围是（）． A ．a<1 B ．a ≤1 C ．a ≥1 D．a>1（3）.有意义的x 取值范围是________．根据算术平方根意义计算（4）.根据算术平方根意义计算：（）2 （）2二次根式化简（5）.化简：362)13(-6.3-课后练习基础练习1、形如______________________的式子叫做二次根式 1.2322、4的平方根是3x 的取值范围是．4、面积为a 的正方形的边长为________．5、负数________平方根．6．下列式子中，是二次根式的是（）A ．BCD ．x7.=-a 的取值范围是（ ）（A ）0a ≥ （B ）02a ≤≤ （C ）20a -≤≤ （D ）2a ≤-8.已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A ．5BC ．D ．以上皆不对 9.若代数式1-x x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（） A ．0>x B ．10≠≥x x 且 C ．0≠x D ．0≥x10.代数式11-x 有意义时，字母x 的取值范围是（）A ．0>xB ．0≥xC ．10≠>x x 且D ．10≠≥x x 且16.2 二次根式的乘除知识框架二次根式的乘法规定⇒二次根式的除法规定⇓⇓⇓最简二次根式⇐⇐⇐⇐⇐⇐化简（明确二次根式的特点）1.乘法：)0,0(≥≥=⋅b a ab b a ⇒)0,0(≥≥⋅=b a b a ab2.除法：)0,0(>≥=b a b a b a ⇒)0,0(>≥=b a ba b a ⇓二次根式有如下两个特点：（1）被开方数不含分母（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
人教版八年级数学下册16.1二次根式-同步精讲精练.docx
初中数学试卷桑水出品一、基础知识(一)、二次根式的概念一般地，我们把形如)0(0≥≥a a 的式子叫做二次根式。
二次根式的实质是一个非负数数a 的算数平方根。
二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a 必须是非负数。
（二）、二次根式中字母的取值范围二次根式有意义的条件：根据任何数的平方是非负数可得，当a ≥0时，a 有意义，所以二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0.二次根式无意义的条件：因为负数没有平方根，所以当a ＜0时，a 无意义 （三）、二次根式的性质 1、二次根式的非负性，)0(0≥≥a a 的最小值是0；也就是说)0(≥a a 是一个非负数，即)0(0≥≥a a 。
注：因为二次根式)0(0≥≥a a 表示a 的算术平方根，这个性质在解答题目时应用较多，如 若0=+b a ，则a=0,b=0；若0=+b a ，则a=0,b=0；若02=+b a ，则a=0,b=0。
2、())0(2≥=a a a 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式())0(02≥=a a 是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若0≥a ，则2)(a a =，如：2)2(2=3、⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a二、重难点分析例题精析1．重点：（1）二次根式的定义一般地，我们把形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式，所以判断一个代数式是不是二次根式，需要满足两个条件：一是根指数是2；二是被开方数必须大于或等于0.如1+x 不一定是二次根式，因为当1<x 时，二次根式无意义；而12+x 是二次根式，因为无论x 取任何值，被开方数12+x 永远大于0.（2）二次根式中字母的取值范围二次根式a 有意义的条件是0≥a 所以求二次根式中字母的取值范围，只需要解被开方数大于等于0的不等式即可.但在求二次根式中字母的取值范围时，一定要考虑全面，满足代数式成立的所有条件的公共部分才是字母的取值范围.如式子11+x 中x 的取值范围是1->x ，易错点是忽略分式中分母不为0.（3）二次根式的性质①二次根式具有双重非负性：0;0≥≥a a 这个性质在解答题目时应用较多，如 若0=+b a ，则a=0,b=0；若0=+b a ，则a=0,b=0；若02=+b a ，则a=0,b=0。
第01课 二次根式八年级数学下册同步精品讲义(人教版)
第01课 二次根式课程标准1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论：0(0)a a ≥≥，2()(0)a a a =≥，2(0)a a a =≥，并利用它们进行计算和化简．知识点01 二次根式及代数式的概念1.二次根式：一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式，“”称为 ．要点诠释：正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1） 二次根式的概念是从形式上界定的， “ ”，“”的根指数为 ，即“2”，我们一般 ，写作“”。
如25可以写作 。
（2） 二次根式中的被开方数既可以是一个 ，也可以是一个含有字母的 。
（3） 式子 a 表示 的 ，因此a ≥0， a ≥0。
其中a ≥0是 a 有意义的前提条件。
（4） 在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了 这一隐含条件。
（5） 形如b a （a ≥0）的式子也是二次根式，b 与 a 是 的关系。
要注意当b 是分数时 ，例如83 2 可写成8 2 3 ，但不能写成2 23 2 。
2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，s t，2x ，0(0)a a ≥≥这些式子，用基本的运目标导航知识精讲算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把和表示数的连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.列代数式的常用方法：（1）：根据问题的语言叙述直接写出代数式。
（2）：根据公式列出代数式。
（3）：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。
知识点02 二次根式的性质注意：2()a与2a的区别与联系：2()a2a区别表示的意义不同表示表示取值范围不同a a读法不同读作“”或“”读作“”或“”被开方数不同被开方数是被开方数是运算顺序不同先后先后运算结果，运算依据不同（ a ）2 =a，依据平方与开平方得到依据算术平方根的定义得到作用不同（ a ）2 = a（a≥0），正向运用可化简二次根式，逆向运用可以将任意一个非负数写成一个数的平方的形式a2=｜a｜，正向运用可以将根号内的非负因式取算术平方根移到根号外，逆用运用可以将根号外的非负因式平方后移到根号内联系①含有两种相同的运算，都要进行平方与开方②结果都是；③a时，（ a ）2=a2考法01 二次根式的判断【典例1】在式子2x（x＞0），2，33，21x+，3x-（x＞0）中，二次根式有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【即学即练】下列各式中，不是二次根式的是（）A．21B．3π-C．222a+D．12考法02 二次根式有意义的条件【典例2】若二次根式2x-在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．2x>B．2x≥C．2x≤D．2x<【典例3】式子22xx+-中x的取值范围是（）能力拓展A．x＞2B．x≥﹣2C．x≠2D．x≥﹣2且x≠2【典例4】x的取值范围是（）A．x＞﹣3且x≠0B．x＞﹣3C．x≥﹣3D．x≠﹣3【典例5】如果5y，那么xy的值是______．考法03 二次根式非负性的逆用【典例6】12a=-，则a的取值范围是（）A．12a<B．12a≤C．12a>D．12a≥【即学即练】1x-，则x的取值范围是（）A．x≤1B．x≥1C．x＜1D．x＞1【典例7】把）A B．C D．考法04 利用二次根式的非负性化简求值【典例8】计算：2______．【即学即练】=______．【典例9】（y﹣3）2＝0_____．【即学即练】若x＜23x-＝_______________．【即学即练】＝_______________．考法05 ｜a｜并结合数轴化简求值【典例10】如图，a，b，c||b c+______________【即学即练】如果表示a、b的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a﹣的结果是_____．【即学即练】如图，数轴上点A 表示的数为a ，化简：a244a a +-+=_____．【即学即练】已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简：222||()()a a c c a b -++--.考法06 利用2a =｜a ｜与三角形三边关系的综合应用【典例11】已知：a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简()2a b c ++－()2b c a +-＋()2c b a --.【即学即练】设a ，b ，c 为△ABC 的三边，化简：()()()()2222a b c a b c b a c c b a +++--+--+-- .考法07 逆用2()a = a （a ≥0）在实数范围内分解因式【典例12】在实数范围内分解因式： （1）22x -； （2）253x -．【即学即练】分解因式（在实数范围内）：33a a -．题组A 基础过关练1．在式子23(0),2,1(2),2(0),3,1,2xx y y x x x x y >+=-->++中，二次根式有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个分层提分2x 的取值范围是（ ） A ．x≤3 B ．x ＜3C ．x≥3D ．x ＞33A ．﹣3B ．3C ．﹣9D ．94．已知3y ，则2xy 的值为（ ） A ．15-B ．15C ．152-D ．1525．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|a b +的结果为（ ）A ．2a+bB ．-2a+bC ．bD ．2a -b621a =-，那么（ ）A ．12a <B ．12a ≤C ．12a >D ．12a ≥7．已知－2＜m ＜3|m ＋2|的结果是( ) A ．5B ．1C ．2m －1D ．2m －58．在Rt ABC ∆中，90︒∠=C ， c 为斜边，a. b 为直角边，2c a b --的结果为( ) A ．3a b c +- B ．33a b c --+ C ．33a b c +- D ．2a9．化简2+）A ．152x -B ．1-C ．27x -D ．1题组B 能力提升练12得（ ）．A ．2B ．44x -+C ．－2D ．44x -2．已知△ABC 的三边之长分别为a 、1、3，则化简|9-2a| ） A ．12-4aB ．4a -12C ．12D ．-123．把(2-x) 2-x ）适当变形后移入根号内，得（ ）AB C ． D ．4．已知1＜x ＜5-5|=____．54－m ，则m 的取值范围是____________．6．把(2-x ____________． 7．已知a ，b ，c 是三角形的三边长，化简：-+---=a b c a b c ________．81的最小值是______．9．当1时，代数式x 2+2x+2的值是__________． 10．在实数范围内因式分解：348a a -=________． 11．观察下列各式：11111122⎛⎫+=+- ⎪⨯⎝⎭，111112323⎛⎫+=+- ⎪⨯⎝⎭，111113434⎛⎫+=+- ⎪⨯⎝⎭，请利用你发现的规律，计算：____．题组C 培优拔尖练1．若实数a 、b 、c b c a c ++-．2．阅读理解题，下面我们观察：2221)211213=-⨯=-=-反之23211)-=-=，所以231)-=1 完成下列各题：（1）在实数范围内因式分解：（2（3 3．阅读下列解题过程：2=，求a 的取值． 解：原式=24a a -+-，当a<2时，原式＝(2-a)+(4-a)=6-2a=2，解得a ＝2(舍去)； 当2≤a ＜4时,原式＝(a -2)+(4-a)=2=2，等式恒成立； 当a≥4时，原式＝(a -2)+(a -4)=2a －6＝2，解得a=4； 所以，a 的取值范围是2≤a≤4．上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：(1)当3≤a≤7_________；(2)5的a 的取值范围__________；(3)6，求a 的取值．4．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋＝（12，善于思考的小明进行了以下探索：设a ＋＝（m ＋2（其中a ，b ，m ，n 均为正整数），则有a ＋m 2＋2n 2＋，△a ＝m 2＋2n 2，b ＝2mn ．这样小明就找到了一种把a ＋ 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a ，b ，m ，n 均为正整数时，若a ＋m ＋2，用含m ，n 的式子分别表示a ，b ，得a ＝ ，b ＝ ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a ，b ，m ，n 填空： ＋2 ＝（ ＋ ）2；（答案不唯一）（3）若a ＋m ＋2，且a ，m ，n 均为正整数，求a 的值。
人教版八年级下册数学 第16章《二次根式》讲义 第1讲 二次根式认识、性质(有答案)
第1讲 二次根式认识、性质形如（）的式子叫做二次根式。
必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件（（）表示a 的算术平方根， 即0（）。
非负性：算术平方根，和绝对值、偶次方。
非负性质的解题应用： （1）、如若，则a=0,b=0； （2）、若，则a=0,b=0； （3）、若，则a=0,b=0。
①、a a ≥≥00（） ②、()a a a 20=≥（）③、a a a a a a a 20000==>=-<⎧⎨⎪⎩⎪||（）（）（）④、ab a b a b =⋅≥≥（，）00 ⑤、b a baa b =>≥（，）00考点1、二次根式概念例1、下列各式：1-其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、下列各式哪些是二次根式？哪些不是？为什么？（1（2（3（4（5 （6例3)()()230,2,12,20,3,1,x y y x x x x y +=--++中，二次根式有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 例4、下列各式中，属于二次根式的有（ ） ①15 ②51 ③22b a + ④ b a2 ⑤bc ab 32⨯ ⑥215例5、若21x +的平方根是5±_____=．1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A B C D2中是二次根式的个数有______个 3、下列各式一定是二次根式的是（ ）A B C D4、下列式子，哪些是二次根式， 1x、 x>0）1x y +、（x≥0，y •≥0） ．51+x 、2+1x 、______个。
考点2、根式取值范围及应用例1有意义，则x 的取值范围是例2有意义的x 的取值范围例3、当_____x 时，式子有意义． 例4、在下列各式中，m 的取值范围不是全体实数的是（ ） A ．1)2(2+-m B ．1)2(2-m C ．2)12(--m D ．2)12(-m例5、若y=5-x +x -5+2018，则x+y=例6、实数a ，b ，c │a －=______．o1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x≥3 C 、 x>4 D 、x≥3且x≠42x 的取值范围是 3、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 4、式子x x x 222+-+-有意义，x 为________ 5、yx是二次根式，则x 、y 应满足的条件是（ ） A ．0≥x 且0≥y B ．0>y xC ．0≥x 且0>yD ．0≥yx 62()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．37、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值8、当a 1取值最小，并求出这个最小值。
免费版 2014年八年级数学下册同步讲义--二次根式
D.以上答案都不对
5.已知 a<0，那么 (2a a ) 2 的值是（ A.a B.-a
6.已知 x<2，则化简 x 2 4 x 4 的结果是（ A.x-2 B.x+2
7,若 a a ，且 a 2 4a 4 a 2 ，则 a a 2 6a 9 的值为（ A.3 B.-2a-3 C.-3
3.若式子 ( x 1) 2 x 2 0 ,化简的结果为 2x-3,则 x 的取值范围是（ A.x≤1 4.式子 m m 6m A.正数 B.x≥2
m 1 的值是（ 5m 2 4 m B.负数
x x
C.1≤x≤2 ） C.非负数 ） C.-2x ） C. ( a b ) 2
5 15 x 6
17.当 1<x<5 时,化简: x2 2x 1 x2 10x 25
1 1 18.已知-1<a<0,化简 a 4 a 4 a a
2
2
19.已知 x>0，y>0，且有 x ( x 2 y ) y (6 x 5 y ) ,求 x xy y 的值。
5 1 x
12.已知 y x 4 4 x 3 ，则 x y =
(4) 2 2 x
3
(5)
3 2x 1
________
________
________
5
八年级数学 15.直接填写计算结果：(1) (1) 18 =
6
13 =
2
(2) 3.5 =
2
(3) 62 =
2.要使式子 1 a 2a 有意义，则 a 应满足（ 3a 1 A. a 1 且 a
年八年级数学下册同步训练课件二次根式的概念PPT公开课
7．若│3－a│＋ 2＋b＝0，则 a＋b 的值是 ____1____．
8．已知式子 4－x－ x－3有意义，求 x 的取 值范围．
解：∵式子 4－x－ x－3有意义， ∴4－x≥0，x－3≥0，解得 x≤4，x≥3， ∴x 的取值范围为 3≤x≤4.
9．若式子1－1
在实数范围内有意义，则 x
第1课时 二次根式的概念
第1课时 二次根式的概念
第1课时 二次根式的概念
第1课时 二次根式的概念
第1课时 二次根式的概念
第1课时 二次根式的概念
(2)先化简，再求值：m(m－3n)＋(m＋2n)2－4n2.
解：原式＝m2－3mn＋m2＋4mn＋4n2－4n2＝ 2m2＋mn，
当 m＝1，n＝－2，原式＝2×1＋1×(－2)＝0.
第1课时 第1课时
二二次次根根式式解的的概概：念念 由题意知，a－1≥0，故 a≥1；
第1课时 二次根式的概念
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第1课时 二次根式的概念
(2) 2a＋3； 第1课时 二次根式的概念
第1课时 二次根式的概念
第1课时 二次根式的概念
第1课时 二次根式的概念
第1课时 第1课时
二次根式的概念
二次根式解的概：念 由题意知，2a＋3≥0，故
a≥－32；
(3) －a； 解：由题意知，－a≥0，故 a≤0； (4) 5－a. 解：由题意知，5－a≥0，故 a≤5.
变式 3 (2020·广西)若代数式 xx－1有意义，则 x 的取值范围是__x_≥_1____.
1．有下列各式： 13， 2x， x2＋y2， －4，
第十六章 二次根式
第1课时 二次根式的概念