平抛运动轨迹方程在解题中的应用(中国多媒体教学学报2011第五期)

平抛运动轨迹方程在解题中的应用
摘要：本文首先介绍了平抛运动的轨迹方程，然后以两道典型习题为例，通过运动合成分解与轨迹方程两种解法的对比，分析了利用平抛运动的轨迹方程解决平抛运动问题的优越性。

对中学生应用数学工具解决物理问题有一定的参考价值。

关键字： 平抛运动 轨迹方程 运动合成与分解
平抛运动的迹方程是半支开口向下的抛物线。

我们处理平抛运动的基本方法是将其分解为水平方向的匀速直线和竖直方向的自由落体两个运动分别研究。

实际上，许多平抛运动的问题借助运动轨迹方程更容易求解。

一、平抛运动的轨迹方程
平抛运动是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合成。

两
个方向上的运动规律分别为t v x 0=和22
1gt y -=，负号表示物体竖直向下运动。

两式联立，消掉t 可得2202x v g
y -=。

如果物体是从距离地面h 处抛出，且令
2202x v g
a =，则 h ax y +-=2。

此式就是平抛运动的轨迹方程，其中的二次项系
数a 由物体抛出时的速度v 0唯一确定。

二、轨迹方程在解题中的应用
利用得到的轨迹方程，我们可以将许多平抛运动的问题转化为数学问题轻松求解。

下面举两个实例。

[例1]如图(1)所示，从高为H 的A 点平抛一物体，其水平射程为2s ；在A 点正上方的高为2H 的B 点，以同方向平抛另一物体，其水平射程为s ，两物体在空中运行的轨道在同一竖直平面内，且都从同一屏的顶端擦过，求屏M 的高度？
解析：利用运动合成与分解来分析：设屏幕的高度h ，它距物体抛出点的水平距
离为x , 物体从A 处抛出的速度v 1, 从B 处抛出速度v 2,根据平抛运动规律可得； 对A 处抛出的物体： H =gt 12/2 (1)， 2s =v 1t 1 (2)
对B 处抛出的物体； 2H =gt 22/2 (3)， s =v 2t 2 (4)
因为A 处抛出的物体擦过屏M 的顶端，所以 H-h = gt 32/2 (5) ，x =v 1t 3 (6) 同理，B 处抛出的物体也擦过屏M 的顶端， 2H -h = gt 42/2 (7) ，x =v 2t 4 (8)
(1)(2)(3)(4) 联立解得 v 12/v 22=8， (5)(6)(7)(8) 联立解得 v 12/v 22 =(2H-h )/(H-h ) 所以 (2H-h )/(H-h )=8，h =6H /7。

即屏幕的高度为h =6H /7
如果利用运动轨迹求解，我们只要建立图(2)中直角坐标系，使物体从A 、B 两点抛出后的运动的轨迹都是顶点在y 轴上的抛物线。

设两抛物线方程分别为：
y=-a A x 2+H 和 y=-a B x 2+2H
把E （2s ，0）、F （s ，0）两点分别代入两个方程求解系数得：a A =H /4s 2, a B =2H /s 2；由此确定两个平抛运动的轨迹方程并联立：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=+-=H x s H y H x s H y 2242222 这个方程组的解的纵坐标y =6H /7即为屏的高度。

[例2]如图(3)所示，排球场的总长为18m ，设球网高度为2m ，运动员在离网3m 的线上正对网前跳起将球水平击出(空气阻力不计)。

(1)设击球点在3m 线正上方高度为2.5m 处，试问击球的速度在什么围内才能使球既不触网也不界．(2)若击球点在3m 线正上方的高度小于某个值，那么无论水平击球的度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度(g 取10m/s 2)．
解析：利用运动的合成与分解求解:(1) 如图(4)所示，设球刚好触网而过，此过程球水平射程s 1=3m ，球下落高度 △h=h 2－h 1=0.5m ，根据平抛运动规律：
球下落时间t 1=
2(h 2-h 1)/g =
1010 s ， 水平方向速度为v 1=s 1/t 1 =3 10 m/s 。

此速度是球被击出时的下限速度。

设球恰好落在边界线上，此过程水平射s 2=12m ，
下落高度为h 2，根据平抛运动规律：球飞行时间t 2=
2h 2/g = 22 s ，水平方向速度为v 2= s 2/t 2=12 2 m /s 。

此速度是球被击出时的上限速度。

可以看出：欲使球
既不触网也不出界则球被击时的速度应满足3 10 m /s<v <12 2 m /s 。

(2) 如图(5)所示，设击球点高度为h 3时，球恰好既触网又压线。

根据平抛运动规律：球触网，则△h =h 3－h 1=gt 32/2，t 3=s 1/v =3/v ，所以 h 3－2.5=9g /2v 2。

又球压线，则 h 3= gt 42/2，t 4=12/v ，所以h 3=144g /2v 2，由以上式子消去v ，解得:
h 3=32/15m=2215 m 。

即当击球高度小于2215
m ，球不是触网就是出界。

利用平抛运动的轨迹分析：(1) 建立图(6)所示的直角坐标系, 使击球点A 位于y 轴上，边界C 点在x 轴上。

设球以速度v 1击出后刚好触网，则球被击出后过B 点，运动轨迹为抛物线Ⅰ；设球以速度v 2击出后刚好压线，则球过C 点，运动轨迹为抛物线Ⅱ。

设抛物线Ⅰ和Ⅱ的方程分别为：
5.22221+-=x v g
y 和 5.22222+-=x v g y
将B(3,2) 代入抛物线Ⅰ，可得方程 5.229221+-=v g
，
将C(12,0) 代入抛物线Ⅱ，得方程 5.272022+-=v g。

分别求解两个方程得：v 1=3 10 ，v 2= 12 2 。

欲使球既不触网也不出界则球被
击时的速度应满足3 10 m/s<v <12 2 m/s 。

(2) 设球从h 高处击出后刚好既触网又压线。

建立图(7)所示的直角坐标系，使击球点A 位于y 轴上，边界C 点在x 轴上，且A 、B 、C 三点均在抛物线上。

设抛物线方程为h ax y +-=2，将B(3,2)、C(12,0)两点分别代入抛物线得：
⎩
⎨⎧+-=+-=h a h a 144092 解方程组得 h =2215 ，即当击球高度小于2215 m 时，球不是触网就是出界
三、小结
通过上面两个实例我们可以看到，通过平抛运动轨迹，将平抛运动的问题转化为数学问题求解的确简单方便。

现行的高考大纲明确地把“利用数学方法解决物理问题”作为物理学科考查的五大能力之一，这是物理学作为一门精确科学与数学之间密不可分的关系决定的，也是我们实施素质教育，培养创新型人才的要求。

物理教师在平时的教学中应该加强这方面的引导，多给学生渗透函数与方程、数形结合、极限等数学思想。

指导学生在处理物理问题时灵活应用这些数学方法，以适应素质教育的要求。

利用轨迹方程求解平抛运动问题就是典型的一例。