【资料】轨迹方程解平抛运动汇编
平抛运动复习资料（黄川生整合版）
）平抛运动的轨迹是一条抛物线，其一般表达式为。
）平抛运动在竖直方向上是自由落体运动，加速度恒定，所以竖直方向上在相等的时间内相邻的位移的高度之比为…位移之差是一个恒量。
）在同一时刻，平抛运动的速度（与水平方向之间的夹角为）方向和位移方向（与水平方向之间的夹角是）是不相同的，其关系式（即任意一点的速度延长线必交于此时物体位移的水平分量的中点）。
描绘平抛运动的物理量有、、、、、、、，已知这八个物理量中的任速度位移方向方向与方向个有用的结论：做平抛（或类平抛）运动的物体，在任意时刻的瞬时速度的方向延长线一定通过此时水平二、平抛运动的常见问题及求解思路关于平抛运动的问题，有直接运用平抛运动的特点、规律的问题，有平抛运动与圆周运动组合的问题、有平抛运动与天体运动组合的问题等。
本文主要讨论直接运用平抛运动的特点和规律来求解的问题，即有关平抛运动的常见问题。
1. 从同时经历两个运动的角度求平抛运动的水平速度求解一个平抛运动的水平速度的时候，我们首先想到的方法，就应该是从竖直方向上的自由落体运动中求出时间，然后，根据水平方向做匀速直线运动，求出速度。
[例1] 如图1所示，某人骑摩托车在水平道路上行驶，要在A处越过的壕沟，沟面对面比A处低，摩托车的速度至少要有多大？g取10解析：在竖直方向上，摩托车越过壕沟经历的时间在水平方向上，摩托车能越过壕沟的速度至少为2. 从分解速度的角度进行解题对于一个做平抛运动的物体来说，如果知道了某一时刻的速度方向，则我们常常是“从分解速度”的角度来研究问题。
[例2] 如图甲所示，以9.8m/s的初速度水平抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为的斜面上。
可知物体完成这段飞行的时间是（）A. B. C. D.解析：先将物体的末速度分解为水平分速度和竖直分速度（如图乙所示）。
根据平抛运动的分解可知物体水平方向的初速度是始终不变的，所以；又因为与斜面垂直、与水平面垂直，所以与间的夹角等于斜面的倾角。
探究做平抛运动物体的轨迹课件
观察绘制的图像是否符合平抛运动的规律。分析误差产生的原因，如空气阻力、 摩擦力等因素对实验结果的影响。同时，结合理论分析，探讨实验中可能存在的 误差来源及其对实验结果的影响。
06 相关知识点拓展
与平抛运动相关的力学知识
1 2
重力加速度
平抛运动中物体受到的重力加速度是恒定的，为 9.8m/s^2。
通过轨迹方程可以求解出 物体在任意时刻的位置。
预测运动轨迹
已知初始条件，可以预测 物体未来的运动轨迹。
优化投掷
在体育项目中，如投掷标 枪或铁饼，可以通过轨迹 方程优化投掷角度和速度 。
轨迹方程的图形表示
2D轨迹图
通过二维坐标系可以绘制出平抛运动的轨迹图。
3D轨迹图
使用三维坐标系可以更直观地展示出平抛运动的 立体轨迹。
根据自由落体运动的公式，竖直位 移等于重力加速度乘以时间的平方 再除以2。因此，竖直位移越大，所 需时间越长。
速度与加速度的关系
01
02
03
加速度与速度无关
平抛运动中，物体的加速 度保持不变，与速度大小 无关。
加速度的方向
平抛运动中，加速度的方 向与重力的方向一致，即 竖直向下。
加速度的大小
平抛运动中，加速度的大 小等于重力加速度的大小 。
初速度
平抛运动的初速度与水平方向成一定角度，决定 了物体在水平方向和垂直方向的分速度。
3
分运动
平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和 垂直方向的自由落体运动。
与平抛运动相关的数学方法
微积分
利用微积分可以描述平抛运动物体的速度、位移随时间的变化规律。
三角函数
在处理平抛运动的垂直方向时，常常用到正弦、余弦、正切等三角函数。
平抛运动公式及结论有哪些
平抛运动公式及结论有哪些
平抛运动可用两种途径进行解答。
一种是位移途径;另一种是速度途径。
位移途径为：（水平）s=V0t、（竖直）H=gt^2/2、t^2=2H/g。
还有速度途径为：V=s/t、V（竖直）=gt。
扩展资料
平抛运动结论
物体以水平方向抛出，在不计空气阻力的情况下，其运动可分解为在竖直方向上的自由落体运动和在水平方向上的匀速直线运动。
平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的.距离都等于水平位移的一半。
平抛运动公式：
分析
平抛运动可视为以下两个运动的合运动：
（1）物体在水平方向上不受外力，由于惯性而做初速度不变的匀速直线运动
（2）物体在竖直方向上初速度为零，只受重力作用而做的自由落体运动。
这两个分运动各自独立，又是同时进行，具有分运动的独立性和等时性。
(3) 平抛运动的运动轨迹:
∵x=v0t,y=(1/2)*gt^2
∴ s=1/2g(x/v0)^2
∴其运动轨迹是被称为抛物线的曲线。
平抛
1.水平方向速度Vx=V0
2.竖直方向速度Vy=gt
3.水平方向位移x=V0t
4.竖直方向位移y=(1/2)*gt^2
5.合速度Vt=√Vx^2+Vy^2
6.合速度方向与水平夹角β: tgβ=Vy/Vx=gt/V0
7.合位移S=(x^2+ y^2)^1/2
8.位移方向与水平夹角α: tgα=Sy/Sx=gt/2V0。
《平抛运动轨迹》课件
其中，x表示水平 位移，y表示垂直 位移，v0表示初速 度，g表示重力加 速度，t表示时间
平抛运动轨迹是一 条抛物线
平抛运动轨迹方程 的物理意义：描述 了物体在重力作用 下的运动规律
平抛运动轨迹的图象
轨迹是一条抛物线
轨迹的顶点坐标：(0,c)
添加标题
添加标题
抛物线方程：y=ax^2+bx+c
添加标题
验证平抛运动规律：通过实验观察平抛运动轨迹，验证平抛运动规律
测量初速度：通过测量平抛运动轨迹，可以计算出物体的初速度
测量加速度：通过测量平抛运动轨迹，可以计算出物体的加速度
测量抛射角度：通过测量平抛运动轨迹，可以计算出物体的抛射角度
测量空气阻力：通过测量平抛运动轨迹，可以计算出空气阻力对物体 的影响
其中，g为重力 加速度，v0为初 速度
平抛运动轨迹的推导结论
平抛运动轨迹是一条抛物线 抛物线的方程为y=ax^2+bx+c a、b、c的值可以通过实验测量得到 抛物线的顶点坐标为(x0,y0)，其中x0=v0*t/2，y0=v0^2*t^2/2
05
平抛运动轨迹的应用
平抛运动轨迹在物理实验中的应用
04
平抛运动轨迹的推导
平抛运动轨迹的推导方法
假设物体在竖直方 向上做自由落体运 动，在水平方向上 做匀速直线运动
建立坐标系，将物 体初始位置设为原 点，水平方向为x轴， 竖直方向为y轴
利用自由落体运动 公式和匀速直线运 动公式，分别推导 出物体在x轴和y轴 上的运动方程
结合两个运动方程 ，得到物体在空间 中的运动轨迹方程 ，即平抛运动轨迹 方程
物体在垂直方向上的位 移与水平方向上的位移
相等
【课件】第五章 专题：平抛运动题型总结 课件-高一下学期物理人教版(2019)必修第二册
v0
则v y 2v0 tan
练习1．在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别
以v和V/2的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在
A 该斜面上．甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面
时速率的( )A．2倍
B．4倍
C．6
倍
D．8倍
2．对着斜面抛：
如图所示，做平抛运动的物体垂直打在斜面上，
此时物体的合速度与竖直方向的夹角等于斜面的倾
水平初速度v1、v2沿相反方向抛出两个小球1和2(可视为质点)，
最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂
直，且OA与竖直方向成α角，则两小球的初速度之比
v1 v2
为
C
A.tan α
B.cos α
C.tan α tan α
D.cos α cos α
解析 两小球被抛出后都做平抛运动，设容器的半径 为R，两小球运动的时间分别为t1、t2. 对球 1：Rsin α＝v1t1，Rcos α＝12gt12， 对球 2：Rcos α＝v2t2，Rsin α＝12gt22， 联立以上四式解得vv12＝tan α tan α，故选 C.
9．如图所示，竖直平面内有A、B、C三点， 三点连线构成一直角三角形，AB边竖直，BC 边水平，D点为BC边中点．一可视为质点的物 体从A点水平抛出，轨迹经过D点，与AC交于 E点．若物体从A运动到E的时间为t1，从A运
B 动到D的时间为t2，则t1: t2为( )
A．1∶1 B．1∶2C．2∶3 D．1∶3
gtan θ D.由于不知道抛出点位置，位移大小无法求解
课堂练习
4、如图8所示，固定斜面的倾角为α，高为h，一小球从斜面顶端 水平抛出，落至斜面底端，重力加速度为g，不计空气阻力，则
高三物理08_平抛运动_知识点解析、解题方法、考点突破、例题分析、达标测试
【本讲主要内容】平抛运动平抛运动及类平抛运动的特征及解法【知识掌握】 【知识点精析】1、平抛定义：水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动。
广义地说，当物体所受的合外力恒定且与初速度垂直时，做类平抛运动。
2、平抛特点：（1）初速度：水平。
（2）运动性质：加速度为g 的匀变速曲线运动。
（3）运动轨迹：抛物线，轨迹方程：22x v g y =，抛物线顶点为抛出点。
问题：人站在平台上平抛一小球，球离开手的速度为v 1，落地时速度为v 2，不计空气阻力，下图中能表示出速度矢量的演变过程的是xCAy解释：平抛运动中，任意两个时刻（或两个位置）间的速度变化量t g v ∆=∆，方向恒为竖直向下，正确答案是C 。
3、研究方法：复杂曲线运动可分解为两个互相垂直方向上的直线运动,一般以初速度或合外力的方向为坐标轴进行分解。
平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动这两个分运动。
练习：战争和自然灾害造成了大量难民。
一架飞机正在执行一次国际救援行动，空投救援物资。
设飞机做水平匀速直线飞行，从某时刻起，每隔一秒钟投下一只货箱，这样接连投下了4只相同的货箱，每只货箱在离开飞机后的4s 内，由于降落伞还没有打开，可以假设空气阻力不计，则从第一只货箱离开飞机后的4s 内，关于几只货箱在空中的位置关系的下列说法中正确的是A . 在空中总是排成抛物线，落地点是等间距的B . 在空中总是排成抛物线，落地点是不等间距的C . 在空中总是排成直线，位于飞机的正下方，落地点是等间距的D . 在空中总是排成直线，位于飞机的后方，落地点是等间距的E . 在空中总排成直线，位于飞机正下方，相邻货箱间在竖直方向上的距离保持不变 解释：平抛运动的水平分运动是匀速的，且不受竖直方向的运动的影响，所以应选C 。
4、解题思路：两个方向上分别计算最后再合成。
注意合运动、分运动间的同时性。
5、平抛运动的规律：如图，质点从O 处以v 0平抛，经时间t 后到达P 点。
实验5 探究做平抛运动物体的轨迹
3．在研究平抛物体运动的实验中，用一张印有小方格的纸 记录物体的运动轨迹，小方格的边长L＝1.6 cm，若小球 在平抛运动途中的几个位置如图13中的a、b、c、d所示， 则小球平抛运动的初速度的计算式为v0＝________(用L、 g表示)，其值是________(g＝10 m/s2)．小球在b点的速率 为________．(取二位有效数字)
例2
某同学用图 7 甲所示装置做“研究平抛运动”的实验，
根据实验结果在坐标纸上描出了小球水平抛出后的运动轨 迹，但不慎将画有轨迹图线的坐标图丢失了一部分，剩余 部分如图乙所示，图乙中水平方向与竖直方向每小格的长 度均代表 0.10 m，P1、P2 和 P3 是轨迹图线上的 3 个点， P1 和 P2、P2 和 P3 之间的水平距离相等． 完成下列填空：(重力加速度取 9.8 m/s2)
4．描绘出平抛运动的轨迹：取下坐标纸，将坐标纸上记下 的一系列点，用平滑曲线连起来，即为小球做平抛运动的 轨迹． 5．计算初速度：在小球平抛运动轨迹上选取分布均匀的六 个点——A、B、C、D、E、F，用刻度尺、三角板测出它 们的坐标(x、y)，并记录在下面的表格中，已知g值，利 1 用公式y＝ gt2和x＝v0t，求出小球做平抛运动的初速度 2 v0，最后算出v0的平均值. A x/mm y/mm v0＝x g/2y (m/s) v0的平均值 B C D E F
图4
六、注意事项 1．利用描迹法做实验时必须调整斜槽末端使其切线水平(检 验是否水平的方法是：将小球放在斜槽末端，看其是否滚 动)． 2．方木板必须处于竖直平面内，固定时要用重垂线检查坐 标纸竖线是否竖直． 3．小球每次必须从斜槽上同一位置滚下． 4．坐标原点不是槽口的端点，应是小球出槽口时球心在木 板上的投影点． 5．小球开始滚下时的位置高度要适中，以使小球做平抛运 动的轨迹由坐标纸的左上角一直到达右下角为宜． 6．在轨迹上选取离坐标原点O点较远的一些点来计算初速 度．
(完整版)平抛运动的知识点
平抛运动的规律与典型例题解析一.平抛运动的条件1.平抛运动的初始条件：物体具有水平初速度V02.平抛运动的受力特点：只受重力：F=mg（实际问题中阻力远远小于重力，可以简化为只受重力）3.平抛运动的加速度：mg=mα ,α=g ,方向竖直向下，与质量无关，与初速度大小无关4.平抛运动的理论推理：水平方向——x：物体不受外力，根据牛顿第一定律，水平方向的运动状态保持不变，水平方向应做匀速直线运动,V x=V0．竖直方向——y：初速度为0，只受重力，加速度为g，做自由落体运动，V y=gt．二.平抛运动的规律如左图所示，以抛出点为坐标原点，沿初速度方向建立x轴，竖直向下为y轴．在时间t 时，加速度：α=g，方向竖直向下，与质量无关，与初速度大小无关；平抛运动速度规律：速度方向与水平方向成θ角平抛运动位移规律：位移方向与水平方向成α角平抛运动的轨迹方程：为抛物线平抛运动在空中飞行时间：，与质量和初速度大小无关，只由高度决定平抛运动的水平最大射程：由初速度和高度决定，与质量无关三.平抛运动的考察知识点与典型例题1. 平抛运动定义的考察例题：飞机在高度为0.8km的上空，以2.5×102km/h的速度水平匀速飞行，为了使飞机上投下的炮弹落在指定的轰炸目标，应该在离轰炸目标的水平距离多远处投弹？解析：设炮弹离开飞机后做平抛运动，在空中飞行时间为：，炮弹离开飞机后水平位移答案：炮弹离开飞机后要在空中水平飞行0.9km，所以要在离轰炸目标0.9km处投弹问题展开：轰炸定点目标；轰炸运动目标；飞车跨壕沟等问题研究方法相同2.平抛运动中模型规律考察例题：一架飞机水平匀速飞行从飞机上每隔一秒释放一个炮弹，不计空气阻力在它们落地之前，炮弹（）A、在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是等间距的B、在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是不等间距的C、在空中任何时刻总是在飞机的正下方排成竖直直线，它们的落地点是等间距的D、在空中任何时刻总是在飞机的正下方排成竖直直线，它们的落地点是不等间距的解析：炮弹离开飞机时，具有和飞机共同的水平初速度，在空中做平抛运动．相对于地面，每一个炮弹在空中的轨迹为抛物线，但在空中的几个炮弹本身并不排成抛物线．由于它们与飞机的水平速度相同，所以相对于飞机，它们都做自由落体运动，总在飞机的正下方，排成竖直直线．答案：C3.平抛运动试验的考察例题：怎样用平抛运动知识测量子弹的初速度？解析：子弹初速度相当大，水平射程相当远，如果测量实际水平射程很不方便，且由于空气阻力影响，将出现较大的测量误差．可以记录子弹的初始位置，如右图所示，在离枪口一定的距离上，竖直放一块厚纸板，用枪将子弹水平射出，测量枪口到地面的高度H、子弹在纸板上留下的弹孔到地面的距离h、枪口到纸板的水平距离x．将子弹在不太长时间内的运动看成是平抛运动．则子弹竖直方向的位移为H-h，由自由落体运动关系水平位移联立求解得：4.平抛运动中合速度与两个分速度的关系例题：一个物体以初速度V0水平抛出，落地时速度的大小为V，则运动时间为（）解析：末速度与初速度不在同一个方向上，不能用代数方法运算．物体在竖直方向做自由落体运动，在竖直方向的速度比重力加速度才是运动时间，不能用末速度与重力加速度的比值求时间．由矢量的合成分解关系：如左图所示，竖直分速度答案：C。
平抛运动
第2讲平抛运动一、平抛运动1.定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动.2.性质：平抛运动是加速度为g的匀加速曲线运动，其运动轨迹是抛物线.3.平抛运动的条件(1)v0≠0，沿水平方向；(2)只受重力作用.4.研究方法平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动.5.基本规律(如图1所示)图1[深度思考]从离水平地面某一高度的地方平抛的物体，其落地的时间由哪些因素决定？其水平射程由哪些因素决定？平抛的初速度越大，水平射程越大吗？答案运动时间t＝2hg，取决于高度h和当地的重力加速度g.水平射程x＝v0t＝v02hg，取决于初速度v0、高度h和当地的重力加速度g.当高度、重力加速度一定时，初速度越大，水平射程越大.二、斜抛运动(说明：斜抛运动只作定性要求)1.定义将物体以初速度v0沿斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动.2.性质加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线.3.研究方法斜抛运动可以看做水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动的合运动.1.判断下列说法是否正确.(1)平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化.()(2)无论初速度是斜向上方还是斜向下方的斜抛运动都是匀变速曲线运动.()(3)做平抛运动的物体质量越大，水平位移越大.()(4)做平抛运动的物体初速度越大，落地时竖直方向的速度越大.()(5)从同一高度水平抛出的物体，不计空气阻力，初速度大的落地速度大.()2.(人教版必修2P10做一做改编)(多选)为了验证平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图2所示的装置进行实验.小锤打击弹性金属片后，A球水平抛出，同时B球被松开，自由下落，关于该实验，下列说法中正确的有()图2A.两球的质量应相等B.两球应同时落地C.应改变装置的高度，多次实验D.实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动3.(教科版必修2P18第2题)一架投放救援物资的飞机在某个受援区域的上空水平地匀速飞行，从飞机上每隔1s 投下1包救援物资，先后共投下4包，若不计空气阻力，则4包物资落地前( )A.在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是等间距的B.在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点不是等间距的C.在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线，它们的落地点是等间距的D.在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线，它们的落地点不是等间距的4.如图3所示，在水平路面上一运动员驾驶摩托车跨越壕沟，壕沟两侧的高度差为0.8m ，水平距离为8m ，则运动员跨过壕沟的初速度至少为(g 取10m/s 2)( )图3A.0.5m/sB.2 m/sC.10m/sD.20 m/s命题点命题点一 平抛运动的基本规律1.飞行时间：由t ＝2hg知，时间取决于下落高度h 和当地的重力加速度g ，与初速度v 0无关.2.水平射程：x ＝v 0t ＝v 02hg，即水平射程由初速度v 0、下落高度h 和当地的重力加速度g 共同决定，与其他因素无关.3.落地速度：v ＝v 2x ＋v 2y ＝v 20＋2gh ，以θ表示落地速度与x 轴正方向间的夹角，有tan θ＝v y v x ＝2ghv 0，所以落地速度只与初速度v 0、下落高度h 以及当地重力加速度g 有关.4.两个重要推论(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图4所示，即x B ＝x A2.推导：⎭⎬⎫tan θ＝y Ax A －x Btan θ＝v yv 0＝2y AxA⇒x B＝x A2图4(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α.如图4所示. 推导：⎭⎬⎫tan θ＝v y v x ＝2y Ax A tan α＝y Ax A⇒tan θ＝2tan α 例1 如图5所示，A 、B 两质点从同一点O 分别以相同的水平速度v 0沿x 轴正方向抛出，A 在竖直平面内运动，落地点为P 1；B 沿光滑斜面运动，落地点为P 2，P 1和P 2在同一水平面上，不计阻力，则下列说法正确的是()图5A.A 、B 的运动时间相同B.A 、B 沿x 轴方向的位移相同C.A 、B 运动过程中的加速度大小相同D.A 、B 落地时速度大小相同A 在竖直平面内运动，B 沿光滑斜面运动.1.如图6所示为足球球门，球门宽为L .一个球员在球门中心正前方距离球门s 处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角(图中P 点).球员顶球点的高度为h ，足球做平抛运动(足球可看成质点，忽略空气阻力)，则( )图6A.足球位移的大小x ＝L 24＋s 2 B.足球初速度的大小v 0＝g 2h (L 24＋s 2) C.足球末速度的大小v ＝g 2h (L 24＋s 2)＋4gh D.足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tan θ＝L2s2.(多选)在如图7所示的平面直角坐标系中，A 、B 、C 三个小球沿图示方向做平抛运动，下列表述正确的是( )图7A.若A 、B 、C 同时抛出，恰好能在地面相遇，需要满足v C >v B >v AB.若A 、B 能在地面相遇，则A 、B 在空中运动的时间之比为2∶1C.若A 、C 在(x 0,0)相遇，则一定满足v A ＝v CD.只要B 、C 同时开始做平抛运动，二者绝不可能在空中相遇命题点二 与斜面有关的平抛运动问题 1.从斜面上平抛(如图)已知位移方向，方法：分解位移 x ＝v 0t ，y ＝12gt 2，tan θ＝yx可求得t ＝2v 0tan θg2.对着斜面平抛(如图)已知速度的大小或方向，方法：分解速度 v x ＝v 0，v y ＝gt ，tan θ＝v 0v y ＝v 0gt可求得t ＝v 0g tan θ例2 如图所示，一名跳台滑雪运动员经过一段时间的加速滑行后从O 点水平飞出，经过3s 落到斜坡上的A 点.已知O 点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m ＝50kg ，不计空气阻力(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g 取10m/s 2).求：(1)A 点与O 点的距离L ；(2)运动员离开O 点时的速度大小；(3)运动员从O 点飞出开始到离斜坡距离最远所用的时间.经过3s 落到斜坡上的A 点.平抛运动的分解方法与技巧1.如果知道速度的大小或方向，应首先考虑分解速度.2.如果知道位移的大小或方向，应首先考虑分解位移.3.两种分解方法：(1)沿水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动； (2)沿斜面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的匀减速运动.3.如图11所示，小球以v 0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则飞行时间t 为(重力加速度为g )( )图11A.v 0tan θB.2v 0tan θgC.v 0g tan θD.2v 0g tan θ4.(多选)如图12所示，倾角为θ的斜面上有A 、B 、C 三点，现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球，三个小球均落在斜面上的D 点，今测得AB ∶BC ∶CD ＝5∶3∶1，由此可判断( )图12A.A 、B 、C 处三个小球运动时间之比为1∶2∶3B.A 、B 、C 处三个小球落在斜面上时速度与初速度间的夹角之比为1∶1∶1C.A 、B 、C 处三个小球的初速度大小之比为3∶2∶1D.A 、B 、C 处三个小球的运动轨迹可能在空中相交命题点三平抛运动中的临界问题例3在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图13所示.P是个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒.高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h.图13(1)若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间；(2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围.水平向右，初速度不同.极限分析法在临界问题中的应用分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突显出来，找到产生临界的条件.5.(2015·新课标全国Ⅰ·18)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图14所示.水平台面的长和宽分别为L 1和L 2，中间球网高度为h .发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h .不计空气的作用，重力加速度大小为g .若乒乓球的发射速率v 在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v 的最大取值范围是( )图14A.L 12g6h ＜v ＜L 1g6hB.L 14gh ＜v ＜(4L 21＋L 22)g6h C.L 12g 6h ＜v ＜12(4L 21＋L 22)g6h D.L 14g h ＜v ＜12(4L 21＋L 22)g6h6.如图15所示，倾角为37°的粗糙斜面的底端有一质量m ＝1kg 的凹形小滑块，小滑块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.25.现小滑块以某一初速度v 从斜面底端上滑，同时在斜面底端正上方有一小球以v 0水平抛出，经过0.4s ，小球恰好垂直斜面方向落入凹槽，此时，小滑块还在上滑过程中.已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g 取10m/s 2.求：图15(1)小球水平抛出的速度大小v 0； (2)小滑块的初速度大小v .处理平抛运动的临界和极值问题的两种妙法一、极端分析法所谓极端分析法，是指两个变量之间的关系，若是单调上升或单调下降的函数关系，可以通过连续地改变某个变量甚至达到变化的极端，来对另一个变量进行判断的研究方法. 典例1 (教科版必修2P12发展空间改编)如图16所示，排球场总长为18m ，设球网高度为2m ，运动员站在离网3m 的线上(图中虚线所示)正对网前跳起将球水平击出.(不计空气阻力，取g ＝10m/s 2)图16(1)设击球点在3m 线正上方高度为2.5m 处，试问击球的速度在什么范围内才能使球既不触网也不越界？(2)若击球点在3m 线正上方的高度小于某个值，那么无论击球的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度. 答案 见解析解析 (1)如图甲所示，设球刚好擦网而过，则击球点到擦网点的水平位移x 1＝3m ，竖直位移y 1＝h 2－h 1＝(2.5－2) m ＝0.5m ，根据位移关系x ＝v t ，y ＝12gt 2，可得v ＝xg2y，代入数据可得v 1＝310m/s ，即所求击球速度的下限设球刚好打在边界线上，则击球点到落地点的水平位移x 2＝12m ，竖直位移y 2＝h 2＝2.5m ，代入上面的速度公式v ＝xg2y，可求得v 2＝122m/s ，即所求击球速度的上限 欲使球既不触网也不越界，则击球速度v 应满足 310m/s<v <122m/s.(2)设击球点高度为h 3时，球恰好既触网又压线，如图乙所示设此时排球的初速度为v ，击球点到触网点的水平位移x 3＝3m ，竖直位移y 3＝h 3－h 1＝(h 3－2) m ，代入速度公式v ＝x g2y可得v ＝35h 3－2；同理对压线点有x 4＝12m ，y 4＝h 3，代入速度公式v ＝xg2y可得v ＝125h 3两式联立解得h 3≈2.13m ，即当击球高度小于2.13m 时，无论球被水平击出的速度多大，球不是触网，就是越界.二、对称法所谓对称法，就是利用所给物理问题结构上的对称性或物理过程在时间、空间上的对称性，把已知结论推广，从而简化运算过程的处理方法.用对称法解题的关键是抓住事物在某一方面的对称性，这些对称性往往就是通往答案的捷径.一般情况下，对称性表现为研究对象在结构上的对称性、物理过程在时间上和空间上的对称性、物理量在分布上的对称性及作用效果的对称性等.典例2 抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动.现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L 、网高h ，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力.(设重力加速度为g )(1)若球在球台边缘O 点正上方高度为h 1处以速度v 1水平发出，落在球台上的P 1点(如图实线所示)，求P 1点距O 点的距离x 1.(2)若球从O 点正上方以速度v 2水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台上的P 2点(如图虚线所示)，求v 2的大小.(3)若球从O 点正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P 3点，求发球点距O 点的高度h 3.答案 (1)v 12h 1g (2)L 2g 2h (3)43h 解析 (1)如图甲所示，根据平抛规律得：h 1＝12gt 21，x 1＝v 1t 1联立解得：x 1＝v 12h 1g. (2)根据平抛规律得：h 2＝12gt 22，x 2＝v 2t 2且h 2＝h,2x 2＝L ，联立解得v 2＝L2g 2h. (3)如图乙所示，得：h 3＝12gt 23，x 3＝v 3t 3且3x 3＝2L设球从恰好越过球网到达到最高点时所用的时间为t ，水平距离为s ，有h 3－h ＝12gt 2，s ＝v 3t由几何关系得：x 3＋s ＝L ，解得：h 3＝43h .题组1 平抛运动基本规律的应用1.(多选)2015年国际乒联世界巡回赛瑞典公开赛落下战幕，中国乒乓球队包揽男女单打、男女双打四个冠军.在比赛中，乒乓球先后两次落台后恰好在等高处水平越过球网，过网时的速度方向均垂直于球网，把两次的乒乓球看成完全相同的两个球，球1和球2，如图1所示，不计乒乓球的旋转和空气阻力，乒乓球自起跳到最高点的过程中，下列说法中正确的是( )图1A.起跳时，球1的重力功率等于球2的重力功率B.球1的速度变化率小于球2的速度变化率C.球1的飞行时间大于球2的飞行时间D.过网时球1的速度大于球2的速度2.如图2所示，离地面高h 处有甲、乙两个小球，甲以初速度v 0水平射出，同时乙以大小相同的初速度v 0沿倾角为45°的光滑斜面滑下，若甲、乙同时到达地面，则v 0的大小是( )图2A.gh 2 B.gh C.2gh2D.2gh 3.(多选)如图3所示为竖直截面为半圆形的容器，O 为圆心，且AB 为沿水平方向的直径.一物体在A 点以向右的水平初速度v A 抛出，与此同时另一物体在B 点以向左的水平初速度v B 抛出，两物体都落到容器的同一点P .已知∠BAP ＝37°，下列说法正确的是( )图3A.B 比A 先到达P 点B.两物体一定同时到达P 点C.抛出时，两物体的速度大小之比为v A ∶v B ＝16∶9D.抛出时，两物体的速度大小之比为v A ∶v B ＝32∶84.如图所示，一长为2L 的木板，倾斜放置，倾角为45°，今有一弹性小球，从与木板上端等高的某处自由释放，小球落到木板上反弹时，速度大小不变，碰撞前后，速度方向与木板夹角相等，欲使小球一次碰撞后恰好落到木板下端，则小球释放点距木板上端的水平距离为( )A.12LB.13LC.14LD.15L题组2 与斜面有关的平抛运动问题5.(多选)如图所示，在斜面顶端先后水平抛出同一小球，第一次小球落到斜面中点，第二次小球落到斜面底端，从抛出到落至斜面上(忽略空气阻力)( )A.两次小球运动时间之比t 1∶t 2＝1∶ 2B.两次小球运动时间之比t 1∶t 2＝1∶2C.两次小球抛出时初速度之比v 01∶v 02＝1∶ 2D.两次小球抛出时初速度之比v 01∶v 02＝1∶26.(多选)如图所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A 正上方的小球以初速度v 0正对斜面顶点B 水平抛出，小球到达斜面经过的时间为t ，重力加速度为g ，则下列说法中正确的是( )A.若小球以最小位移到达斜面，则t ＝2v 0g tan θB.若小球垂直击中斜面，则t ＝v 0g tan θC.若小球能击中斜面中点，则t ＝2v 0g tan θD.无论小球怎样到达斜面，运动时间均为t ＝2v 0tan θg7.如图所示为湖边一倾角为30°的大坝的横截面示意图，水面与大坝的交点为O.一人站在A 点处以速度v0沿水平方向扔小石块，已知AO＝40m，g取10m/s2.下列说法正确的是()A.若石块不能落入水中，则v0越大，落到斜面上时速度方向与斜面的夹角越大B.若石块不能落入水中，则v0越大，落到斜面上时速度方向与斜面的夹角越小C.若石块能落入水中，则v0越大，落水时速度方向与水平面的夹角越大D.若v0＝18m/s，则石块可以落入水中8.(多选)如图所示，光滑斜面固定在水平面上，顶端O有一小球，从静止释放，运动到底端B 的时间为t1，若给小球不同的水平初速度，落到斜面上的A点，经过的时间为t2，落到斜面底端B点，经过的时间为t3，落到水平面上的C点，经过的时间为t4，则()A.t2>t1B.t3>t2C.t4>t3D.t1>t49.如图9所示，滑板运动员从倾角为53°的斜坡顶端滑下，滑下的过程中他突然发现在斜面底端有一个高h＝1.4m、宽L＝1.2m的长方体障碍物，为了不触及这个障碍物，他必须在距水平地面高度H＝3.2m的A点沿水平方向跳起离开斜面(竖直方向的速度变为0).已知运动员的滑板与斜面间的动摩擦因数μ＝0.1，忽略空气阻力，重力加速度g取10m/s2.(已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6)求：(1)运动员在斜面上滑行的加速度的大小；(2)若运动员不触及障碍物，他从斜面上起跳后到落至水平面的过程所经历的时间；(3)运动员为了不触及障碍物，他从A点沿水平方向起跳的最小速度.题组3 平抛运动中的临界问题10.如图10所示，可视为质点的小球，位于半径为3m 半圆柱体左端点A 的正上方某处，以一定的初速度水平抛出小球，其运动轨迹恰好能与半圆柱体相切于B 点.过B 点的半圆柱体半径与水平方向的夹角为60°，则初速度为(不计空气阻力，重力加速度g 取10m/s 2)( )图10A.553m/sB.43m/sC.35m/sD.152m/s11.如图11所示，水平屋顶高H ＝5m ，围墙高h ＝3.2m ，围墙到房子的水平距离L ＝3m ，围墙外空地宽x ＝10m ，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的空地上，g 取10m/s 2.求：图11(1)小球离开屋顶时的速度v 0的大小范围； (2)小球落在空地上的最小速度.12.一探险队在探险时遇到一山沟，山沟的一侧OA竖直，另一侧的坡面OB呈抛物线形状，与一平台BC相连，如图12所示.已知山沟竖直一侧OA的高度为2h，平台在离沟底h高处，C点离OA的水平距离为2h.以沟底的O点为原点建立直角坐标系xOy，坡面的抛物线方程为y＝x22h.质量为m的探险队员在山沟的竖直一侧从A点沿水平方向跳向平台.人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g.求：图12(1)若探险队员从A点以速度v0水平跳出时，掉在坡面OB的某处，则他在空中运动的时间为多少？(2)为了能跳在平台上，他在A点的初速度应满足什么条件？请计算说明.【参考答案】 1答案 ×√××√ 2答案 BC解析 小锤打击弹性金属片后，A 球做平抛运动，B 球做自由落体运动.A 球在竖直方向上的运动情况与B 球相同，做自由落体运动，因此两球同时落地.实验时，需A 、B 两球从同一高度开始运动，对质量没有要求，但两球的初始高度及击打力度应该有变化，实验时要进行3～5次得出结论.本实验不能说明A 球在水平方向上的运动性质，故选项B 、C 正确，选项A 、D 错误. 3答案 C 4答案 D命题点一 【例1】答案 D解析 设O 点与水平面的高度差为h ，由h ＝12gt 21，h sin θ＝12g sin θ·t 22可得：t 1＝2hg ，t 2＝2hg sin 2θ，故t 1<t 2，A 错误；由x 1＝v 0t 1，x 2＝v 0t 2，可知，x 1<x 2，B 错误；由a 1＝g ，a 2＝g sin θ可知，C错误；A 落地的速度大小为v A ＝v 20＋(gt 1)2＝v 20＋2gh ，B 落地的速度大小v B ＝v 20＋(a 2t 2)2＝v 20＋2gh ，所以v A ＝v B ，故D 正确. 1答案 B解析 足球位移大小为x ＝(L2)2＋s 2＋h 2＝L 24＋s 2＋h 2，A 错误；根据平抛运动规律有：h ＝12gt 2，L 24＋s 2＝v 0t ，解得v 0＝g 2h (L 24＋s 2)，B 正确；根据动能定理mgh ＝12m v 2－12m v 20可得v ＝v 20＋2gh ＝g 2h (L 24＋s 2)＋2gh ，C 错误；足球初速度方向与球门线夹角正切值tan θ＝sL2＝2sL ，D 错误. 2答案 CD【例2】答案 (1)75m (2)20m/s (3)1.5s 解析 (1)运动员在竖直方向做自由落体运动，有 L sin37°＝12gt 2，L ＝gt 22sin37°＝75m.(2)设运动员离开O 点时的速度为v 0，运动员在水平方向的分运动为匀速直线运动，有L cos37°＝v 0t ， 即v 0＝L cos37°t＝20m/s.(3)解法一 运动员的平抛运动可分解为沿斜面方向的匀加速运动(初速度为v 0cos37°、加速度为g sin37°)和垂直斜面方向的类竖直上抛运动(初速度为v 0sin37°、加速度为g cos37°). 当垂直斜面方向的速度减为零时，运动员离斜坡最远，有v 0sin37°＝g cos37°·t ，解得t ＝1.5s 解法二 当运动员的速度方向平行于斜坡或与水平方向成37°角时，运动员离斜坡最远，有gt v 0＝tan37°，t ＝1.5s. 3答案 D解析 如图所示，要使小球到达斜面的位移最小，则小球落点与抛出点的连线应与斜面垂直，所以有tan θ＝x y ，而x ＝v 0t ，y ＝12gt 2，解得t ＝2v 0g tan θ.4答案 BC解析 由于沿斜面AB ∶BC ∶CD ＝5∶3∶1，故三个小球在竖直方向运动的位移之比为9∶4∶1，运动时间之比为3∶2∶1，A 项错误；斜面上平抛的小球落在斜面上时，速度与初速度之间的夹角α满足tan α＝2tan θ，与小球抛出时的初速度大小和位置无关，因此B 项正确；同时tan α＝gtv 0，所以三个小球的初速度之比等于运动时间之比，为3∶2∶1，C 项正确；三个小球的运动轨迹(抛物线)在D 点相交，因此不会在空中相交，D 项错误. 【例3】答案 (1)3h g (2)L 2gh≤v ≤L g 2h解析 (1)打在AB 中点的微粒，则32h ＝12gt 2解得t ＝3h g(2)设打在B 点的微粒初速度为v 1，则 v 1＝L t 1，2h ＝12gt 21解得v 1＝L 2g h同理，设打在A 点的微粒初速度为v 2，则 v 2＝Lg 2h所以微粒初速度范围为 L 2gh≤v ≤L g 2h. 5答案 D解析 发射机无论向哪个方向水平发射，乒乓球都做平抛运动.当速度v 最小时，球沿中线恰好过网，有： 3h －h ＝gt 212① L 12＝v 1t 1 ②联立①②两式，得v 1＝L 14g h当速度v 最大时，球斜向右侧台面两个角发射，有 (L 22)2＋L 21＝v 2t 2 ③ 3h ＝12gt 22④联立③④两式，得v 2＝12(4L 21＋L 22)g6h所以使乒乓球落到球网右侧台面上，v 的最大取值范围为L 14g h ＜v ＜12(4L 21＋L 22)g6h，选项D 正确.6答案 (1)3m/s (2)5.35 m/s解析 (1)设小球落入凹槽时竖直速度为v y ，则 v y ＝gt ＝10×0.4m/s ＝4 m/s v 0＝v y tan37°＝3m/s(2)小球落入凹槽时的水平位移 x ＝v 0t ＝3×0.4m ＝1.2m 则滑块的位移为 x ′＝ 1.2cos37°m ＝1.5m滑块上滑时，mg sin37°＋μmg cos37°＝ma 解得a ＝8m/s 2根据公式x ′＝v t －12at 2解得：v ＝5.35m/s.课后作业： 1答案 AD解析 乒乓球起跳后到最高点的过程，其逆过程可看成平抛运动.重力的瞬时功率等于重力乘以竖直方向的速度，两球起跳后能到达的最大高度相同，由v 2＝2gh 得起跳时竖直方向分速度大小相等，所以两球起跳时重力功率大小相等，A 正确.速度变化率即加速度，两球在空中的加速度都等于重力加速度，所以两球的速度变化率相同，B 错误.由h ＝12gt 2可得两球飞行时间相同，C 错误.由x ＝v t 可知，球1的水平位移较大，运动时间相同，则球1的水平速度较大，D 正确. 2答案 A解析 甲球做平抛运动，由h ＝12gt 2，解得飞行时间t 1＝2h g .乙球下滑加速度a ＝g sin45°＝22g .由匀变速直线运动规律得2h ＝v 0t 2＋12at 22，根据题述，甲、乙同时到达地面，t 1＝t 2，联立解得v 0＝gh2，选项A 正确. 3答案 BC解析 两物体同时抛出，都落到P 点，由平抛运动规律可知两物体下落了相同的竖直高度，由H ＝gt 22，得t ＝2Hg，同时到达P 点，A 错误，B 正确.在水平方向，抛出的水平距离之比等于抛出速度之比，设圆的半径为R ，由几何关系得x AM ＝2R cos 237°，而x BM ＝x MP tan37°，x MP ＝x AP sin37°，x AP ＝2R cos37°，联立上述表达式得x AM ∶x BM ＝16∶9，C 正确，D 错误.4答案 D解析 设小球释放点距木板上端的水平距离为x ，由θ＝45°可知，小球自由下落高度h ＝x ，由v 20＝2gh 可得：v 0＝2gx .水平抛出后，小球落到木板下端时竖直方向速度v y ＝2g (L －x )，由竖直位移和水平位移相等可得：12v y t ＝v 0t ，解得：x ＝L5，故D 正确.5答案 AC解析 两次小球在竖直方向上均做自由落体运动，两次小球下落高度之比为1∶2，由自由落体运动规律可知，运动时间之比为1∶2，选项A 正确，B 错误；水平方向两次小球均做匀速直线运动，由水平位移关系以及时间关系可得初速度之比为1∶2，选项C 正确，D 错误. 6答案 AB解析 小球以最小位移到达斜面时，位移与水平方向的夹角为π2－θ，则tan (π2－θ)＝gt2v 0，即t＝2v 0g tan θ，A 正确；小球垂直击中斜面时，速度与水平方向夹角为π2－θ，则tan (π2－θ)＝gtv 0，即t ＝v 0g tan θ，B 正确，D 错误；小球击中斜面中点时，设斜面长为2L ，则水平射程为L cos θ＝v 0t ，下落高度为L sin θ＝12gt 2，联立两式得t ＝2v 0tan θg ，C 错误.7答案 D解析 若石块不能落入水中，速度方向与水平方向的夹角的正切值tan α＝gtv 0，位移方向与水平方向夹角的正切值tan θ＝12gt 2v 0t ＝gt2v 0，可知tan α＝2tan θ，因为θ一定，则速度与水平方向的夹角一定，可知石块落到斜面上时速度方向与斜面的夹角一定，与初速度无关，故A 、B 错误.若石块能落入水中，则落水时下落的高度一定，可知竖直分速度一定，根据tan α＝v yv 0知，初速度越大，则落水时速度方向与水平面的夹角越小，故C 错误.根据h ＝gt 22得t ＝2s ，则石块落入水中的最小初速度v min ＝103m/s<18 m/s, 故D 正确. 8答案 BD解析 由h sin α＝12g sin α·t 21可得t 1＝2hg sin 2α，而t 4＝t 3＝2h g，故有C 错误，D 正确；由t 2<2h g可得：t 1>t 2，t 3>t 2，A 错误，B 正确. 9答案 (1)7.4m/s 2 (2)0.8 s (3)6.0 m/s解析 (1)设运动员连同滑板的质量为m ，运动员在斜面上滑行的过程中，根据牛顿第二定律有mg sin53°－μmg cos53°＝ma ，解得运动员在斜面上滑行的加速度a ＝7.4m/s 2.(2)运动员从斜面上起跳后沿竖直方向做自由落体运动， 根据自由落体运动规律有H ＝12gt 2，解得t ＝0.8s.(3)为了不触及障碍物，运动员以速度v 沿水平方向起跳后竖直下落高度为H －h 时，他沿水平方向运动的距离为H tan53°＋L ，设该段时间为t ′，则H －h ＝12gt ′2，Htan53°＋L ＝v t ′，解得v ＝6.0m/s. 10答案 C解析 小球飞行过程中恰好与半圆柱体相切于B 点，可知在B 点的速度与水平方向的夹角为30°，设位移与水平方向的夹角为θ，则有tan θ＝tan30°2＝36.因为tan θ＝y x ＝y 32R ，则竖直位移为y ＝34R ，v 2y ＝2gy ＝32gR ，又有tan30°＝v y v 0，联立以上各式解得v 0＝332gR ＝332×10×3m/s ＝35m/s ，故选C. 11答案 (1)5m /s≤v 0≤13 m/s (2)55m/s解析 (1)设小球恰好落到空地的右侧边缘时的水平初速度为v 01，则小球的水平位移：L ＋x ＝v 01t 1，小球的竖直位移：H ＝12gt 21，联立两式得v 01＝(L ＋x )g2H＝13m/s 设小球恰好越过围墙的边缘时的水平初速度为v 02，则此过程中小球的水平位移：L ＝v 02t 2 小球的竖直位移：H －h ＝12gt 22，联立两式得：v 02＝Lg2(H －h )＝5m/s小球离开屋顶时的速度大小为5m/s ≤v 0≤13 m/s(2)小球落在空地上，下落高度一定，落地时的竖直分速度一定，当小球恰好越过围墙的边缘落在空地上时，落地速度最小. 竖直方向：v 2y ＝2gH又有：v min ＝v 202＋v 2y ，代入数据解得：v min ＝55m/s12答案 (1)2hv 20＋gh (2)gh ≤v 0≤2gh 解析 (1)设探险队员在OB 坡面上的落点坐标为(x ，y )，由平抛运动规律可得：x ＝v 0t,2h －y ＝12gt 2. 又y ＝x 22h ，联立以上三式得t ＝2h v 20＋gh .(2)将y ＝h 代入y ＝x 22h ，解得x B ＝2h ，由平抛运动规律得x B ＝v OB t 1，x C ＝v OC t 1,2h －h ＝12gt 21解得v OB ＝gh ，v OC ＝2gh .所以为了能跳到平台上，他在A 点的初速度应满足gh ≤v 0≤2gh .。
轨迹方程解平抛运动课件
06
平抛运动的教学总结与展望
平抛运动的教学重点与难点
教学重点
平抛运动的基本概念、运动规律和轨迹方程的推导与应用。
教学难点
如何理解平抛运动的规律和轨迹方程，以及如何将其应 用于实际问题中。
平抛运动的教学策略与方法
教学策略
通过实例分析和问题解决的方式，引导学生 自主探究和合作学习，加深对平抛运动的理 解和应用。
通过求解平抛运动的轨迹方程，可以精确控 制导弹的飞行轨迹，实现精确打击目标。
其他实际应用场景
喷泉设计
喷泉是城市景观中的重要组成部分，通 过求解平抛运动的轨迹方程，可以优化 喷泉的水流和喷水高度，提高喷泉的观 赏效果。
VS
航空航天领域
在航空航天领域中，许多飞行器的运动轨 迹都可以近似为平抛运动。例如，飞机在 起飞和降落时的运动轨迹可以求解平抛运 动的轨迹方程来优化。
物体开始平抛运动时在水平方向 上的速度。
初位置
物体开始平抛运动时所在的位置。
抛射角度与飞行时间
抛射角度
物体开始平抛运动时与水平方向之间的夹角。
飞行时间
物体从开始平抛运动到落地所需的时间。
射程与落地点速度
要点一
射程
物体从开始平抛运动到落地在水平方向上经过的距离。
要点二
落地点速度
物体落地时的速度。
04
详细描述
通过几何学的方法，我们可以将平抛运动分解为水平方向和 竖直方向的两个分运动。根据勾股定理，可以得出轨迹方程 的推导公式为：(x - v0 * t)^2 + (y - (1/2) * g * t^2)^2 = r^2，其中r是物体运动的初始半径。
03
平抛运动的参数与变量
初始速度与初位置
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R＋Rcos
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
60°
＝v0t。联立解得 v0＝
3 23gR，故 C 正确。
此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢
y
2H s2
x2
2H
这个方程组的解的纵坐标y=6H/7即为屏的高度。
5.一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台
面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机
安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不
同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不 计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射 速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓
gR
3.如图所示是做平抛运动的物体在空中运 动的曲线的一部分，试根据图示情况确定 物体平抛的初速度（ 方向为水平方向）及 抛出点坐标。
yax2bxc
v0 1.98m/s
4.如图所示，从高为H的A点平抛一物体， 其水平射程为2s；在A点正上方的高为2H 的B点，以同方向平抛另一物体，其水平 射程为s，两物体在空中运行的轨道在同 一竖直平面内，且都从同一屏的顶端擦过， 求屏M的高度？
球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( D )
6.(2017·吉林实验中学模拟)如图所示，一小球从一半圆轨道左端 A 点 正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半 圆轨道相切点于 B 点。O 为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为 R，OB 与水平方向夹角为 60°，重力加速度为 g，则小球抛出时的初速度为
( D)
3gR
A.
2
C.
3 3gR 2
3gR B. 2
D.
3gR 2
解析：选 C 小球做平抛运动，在飞行过程中恰好与半圆
轨道相切于 B 点，则知 B 点处速度与水平方向的夹角为 30°，
则有 vy＝v0tan 30°，又 vy＝gt，则得 v0tan 30°＝gt，则 t＝
v0tan g
30°。水平方向上小球做匀速直线运动，则有
轨迹方程解平抛运动
1.一个小球从楼梯顶以1.6m/s的水平速度 抛出，所有阶梯均为20cm宽、20cm高，问 球首先落在第几级阶梯上？
答案：首先落在第三级阶梯上
2.有一个小滑块，放在半径为的R半球的 顶端，若要使滑块离开半球做平抛运动， 而且运动过程中不与球面相碰，给滑块的 水平速度至少为多大？
解析：使物体从A、B两点抛出后的运动的轨迹
都是顶点在y轴上的抛物线。设两抛物线方程分
别为：y=-aAx2+H 和 y=-aBx2+2H 把E（2s，0）、F（s，0）
两点分别代入两个方程求解系数得：
aA=H/4s2, aB=2H/s2； 由此确定两个平抛运动的轨迹
方程并联立：
y
H 4s2
x2
H