2018高考浙江版数学一轮复习课件： 第3章 第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数
高考数学第一轮章节复习课件 第三章 三角函数 解三角形
【注意】 若角α的终边落在某条直线上，一般要分类讨论.
已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα， cosα，tanα的值.
.
解析：tan= 答案：
5.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀 地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B
重
合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d
＝
，其中t∈[0,60].
解析：∵经过t(s)秒针转了 弧度
d
5. t
, d
t
10 sin
.
2 60
)内的单调性.
知识点
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考情上线
函数y＝ Asin(ωx ＋φ)的图 象
1.考查图象的变换和 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)
解析式的确定，以 的
及通过图象描绘， 物理意义；能画出y＝
观察讨论有关性质. Asin(ωx＋φ)的图象，了解
2.以三角函数为载体， 参数A、ω、φ对函数图象
考查数形结合的思想. 变化的影响.
当且仅当α＝ ，即α＝2时取等号， 此时 故当半径r＝1 cm，圆心角为2弧度时，扇形面积最大， 其最大值为1 cm2.
法二：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r，面积为S，
则扇形的弧长为rα，由题意有：2r＋rα＝4⇒α＝
×r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，
∴当r＝1(cm)时，S有最大值1(cm2)，
为余弦线
有向线段 AT 为正切线
一轮复习三角函数PPT课件
[自主解答] (1)∵在(0，π)内终边在直线 y＝ 3x 上的角 是π3，∴终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合为
α|α＝π3＋kπ，k∈Z. (2)∵θ＝67π＋2kπ(k∈Z)， ∴θ3＝27π＋2k3π(k∈Z)． 依题意 0≤27π＋2k3π＜2π⇒－37≤k＜178，k∈Z.
[备考方向要明了]
考什么 1.了解任意角的概念． 2.了解弧度制的概念，能进
行弧度与角度的互化． 3.理解任意角三角函数(正
弦、余弦、正切)的定 义．
1.三角函怎数么的定考义与三 角恒等变换等相结 合，考查三角函数
求 值问 题，如2008
年 高考T15等.
[归纳
1．角的有关概念
知识整合]
角的特点
三角函数线
有向线段 ____ 有向线段____ 有向线段____
MP
OM
AT
为正弦线
为余弦线
为正切线
[探究] 3.三角函数线的长度及方向各有什么 意义？
提示：三角函数线的长度表示三角函数值的绝 对值，方向表示三角函数值的正负．
[自测 牛刀小试] 1．(教材习题改编)下列与94π的终边相同的角 α 的集合为___．
解析：∵94π＝94×180°＝360°＋45° ∴与94π 终边相同的角可表示为 k·360°＋45°(k∈Z)
答案：{α|α＝k·360°＋ 45°(k∈Z)}
2．(教材习题改编)若角θ同时满足sin θ＜0且tan θ＜0， 则角θ的终边一定落在第________象限． 解析：由sin θ＜0，可知θ的终边可能位于第三或第 四象限，也可能与y轴的非正半轴重合．由tan θ＜0， 可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，可知θ的
2．弧度的概念与公式
(浙江版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数(测)
第01节 任意角和弧度制及任意角的三角函数班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。
）1．如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（ ） A ．5.0sin 1B ．sin 0.5C ．2sin 0.5D ．tan 0.5【答案】A ． 【解析】5.0sin 1=r ，5.0sin 15.0sin 11=⨯==∴r l α，故选A.2．若cos α＝－32，且角α的终边经过点P (x ，2)，则P 点的横坐标x 是( ) A ．2 3 B ．±2 3 C ．－2 2 D ．－2 3 【答案】D∴x ＝－2 3.故选D.3. 若3π2<α<2π，则直线x cos θ＋y sin α＝1必不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】 判断cos α>0，sin α<0，数形结合．4．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )．A.π4B.3π4C.5π4D.7π4 【答案】D【解析】由sin 3π4＞0，cos 3π4＜0知角θ是第四象限的角，∵tan θ＝cos3π4sin3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.5. 若α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，则sin α的值为( ) A.12 B ．－12 C ．－32 D ．－33 【答案】C【解析】 P (2sin30°，－2cos30°)即P (1，－3)， ∴r ＝2，故sin α＝－32，故选C. 6．若一扇形的圆心角为72°,半径为20cm,则扇形的面积为( ) (A)40πcm 2(B)80πcm 2(C)40cm 2(D)80cm 2【答案】选B.【解析】72°=, ∴S 扇形=αR 2=××202=80π(cm 2). 7．若α是第三象限角，则y ＝sin α2sin α2＋cosα2cosα2的值为( )A ． 0B ．2C ．－2D ．2或－2 【答案】A8．角α与角β的终边互为反向延长线，则( ) A ．α＝－β B ．α＝180°＋βC ．α＝k ·360°＋β(k ∈Z )D ．α＝k ·360°±180°＋β(k ∈Z ) 【答案】D【解析】因为角α与角β的终边互为反向延长线，则360180,360180()k k k Z αβαβ-=⋅±∴=⋅±+∈o o o o ，选D9．若扇形圆心角的弧度数为2，且扇形弧所对的弦长也是2，则这个扇形的面积为( ) A.1sin 21B.2sin 22 C.1cos 21 D.2cos 22【答案】A【解析】由题意得扇形的半径为1sin 1.又由扇形面积公式得，该扇形的面积为12·2·1sin 21＝1sin 21. 10. 如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠ AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ)【答案】A【解析】 由三角函数的定义知P (cos θ，sin θ)，选A.11. 已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( )A ．－32B.32C ．－12D.12【答案】D12. 点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 【答案】A【解析】 由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ， y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
高三高考数学第一轮复习课件三角函数复习
]
20）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B
、C的对边，4sin2
B
2
C
-cos2A=
7 2
。
（1）求角A的度数；
（2）若a= 3 ，b+c=3，求b和c的值。
解：∴c4∴ocsoc2Aos(21s=A+A2 c-b=co2os122csAb22c)Aa-∴22==c72oA12s=2A60+。1=b272+c2-a2=bc 又∵b+c=3 bc=2
22 3
选A
例4
函数f(x)=cos2(x-
2 3
)+sin2(x-
5 6
)
+msinxcosx的值域为[a,2](x∈R,m>a)求m
值和f(x)的单调增区间。
解 ：1 f (x1 2 )[ = c 2 1 x c o o 2 2 4 3 x s ) 4 3 ()c s 1 2 co x ( o 2 2x 5 s 3 5 3 ) (s ) m ] 2 m 2( s s2 i2 x i x n
=sin(45。±35。). ∴ Sinα =sin 10。 ,sinβ=sin 80。
∴α=10。 β=80。 cos(2α-β)=cos60。= 1
2
〔三〕单元测试
一、选择题
1〕函数y=
coxs s
|cox|s |s
inx inx|
|ttaaxxnn|的值域是〔A〕
(A) |3,-1| (B) |3,1| (C) |-1,1,3| (D) |-1,1-3|
（2）若x∈[求a的值。
2
,
2
]时，f(x)的最大值为1，
解：（1）f(x)=sin(x+
【高考数学】2018最新高三数学课标一轮复习课件：4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数(PPT课件)
关闭
2������ + ������ = 6, ������ = 1, 设此扇形的半径为 r cm, 弧长为 l cm, 则 1 解得 或 ������������ = 2 , ������ = 4 2 ������ = 2, ������ 4 ������ 2 从而 α= = =4 或 α= = =1. 关闭 ������ 1 ������ 2 ������ = 2 . C
r
l
①1°=180 rad, ②1 rad=
1 2 1 2 180 ������
������
°≈57.3°
弧长 l= |α|r S= lr= |α|r2
第四章
知识梳理 双击自测
4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养
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3.任意角的三角函数 (1)三角函数定义:设P(x,y)是角α终边上任一点,且|PO|=r(r>0),则 ������ ������ ������ 自变量 有 sin α=������ ,cos α=������,tan α=������ ,它们都是以角为 ,以比 函数值 值为 的函数. (2)三角函数符号:三角函数在各象限内的正值口诀是:一全正、 二正弦、三正切、四余弦.
第四章
知识梳理 双击自测
4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养
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2.弧度制的定义和公式 (1)定义:把长度等于 半径长 的角.弧度记作rad. (2)公式:
角 α 的弧度数公式 角度与弧度的换算 弧长公式 扇形面积公式
的弧所对的圆心角叫做1弧度
|α|= (弧长用 l 表示)
3 π
关闭
《任意角和弧度制》三角函数PPT教学课件(第一课时任意角)
栏目 导引
第五章 三角函数
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)第一象限的角一定是正角．( × ) (2)终边相同的角一定相等．( × ) (3)锐角都是第一象限角．( √ ) (4)第二象限角是钝角．( × )
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第五章 三角函数
3．终边在直线 y＝－x 上的角 β 的集合 S＝________． 解析：由题意可知，终边在直线 y＝－x 上的角有两种情况： ①当终边在第二象限时，可知{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}； ②当终边在第四象限时，可知{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}． 综合①②可得，终边在直线 y＝－x 上的角的集合 S＝{β|β＝ 135°＋k·180°，k∈Z}． 答案：{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}
栏目 导引
第五章 三角函数
2.如图，α，β 分别是终边落在 OA，OB 位置上的两 个角，且 α＝60°，β＝315°. (1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角 γ 的集 合； (2)求终边落在阴影部分(不包括边界)，且在 0°～360°范围内 的角的集合． 解：(1)因为与角 β 终边相同的一个角可以表示为－45°，所以 阴 影 部 分 (不 包 括 边 界 )所 表 示 的 角 的 集 合 为 {γ|k·360 ° － 45 ° <γ<k·360°＋60°，k∈Z}． (2){θ|0°≤θ<60°或 315°<θ<360°}．
别是( )
2018版高考数学浙江 文理通用大一轮复习讲义课件：第
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a)为函数的最小值， f(b)为函数
的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则 f(a) 为函数的最大值， f( b )
为函数的最小值.
(3)设函数 f(x)在[a， b]上连续，在(a， b)内可导，求f(x) 在[a，b]上的最
大值和最小值的步骤如下：
§3.2 导数的应用
内容索引
基础知识
自主学习
题型分类
课时训练
深度剖析
基础知识
自主学习
知识梳理
1.函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果f′(x) > 0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调
递增；如果f′(x) < 0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.
2.函数的极值 (1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： ①如果在x0附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0 ，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧 f′(x)<0 ，右侧 f′(x)>0 ，那么f(x0)是极小值.
(2)求可导函数极值的步骤： ①求f′(x)； ②求方程 f′(x)＝0 的根； f′(x)＝0 的根附近的左右两侧导数值的符号.如 ③考察f′(x)在方程
果左正右负，那么f(x)在这个根处取得 极大值 ；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得 极小值 .
3.函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.
考点自测
1.(教材改编)f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为
答案
解析
A.(0,4)
高三数学第三章第1课时优质课件
目录
π 4π (2)在 0～2π 范围内，终边在直线 y＝ 3x 上的角有两个： ， . 3 3 π 因此，终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合为{α|α＝ ＋2kπ，k∈Z} 3 4π π ∪{α|α＝ ＋2kπ，k∈Z}＝{α|α＝ ＋kπ，k∈Z}． 3 3 (3)∵θ＝168° 360° ＋k· (k∈Z)， θ ∴ ＝56° 120° ＋k· (k∈Z)． 3 ∵0° <56° 120° ＋k· <360° ， θ 故在 0° ～360° 范围内终边与 角的终边相同的角是 56° 176° 296° ， ， . 3
目录
(1)∵角 α 是第三象限角， 3π ∴π＋2kπ<α< ＋2kπ(k∈Z)， 2 3π ∴－ －2kπ<－α<－π－2kπ(k∈Z)．① 2 ∴－α 终边在第二象限． π 又由①各边都加上 π，得－ －2kπ<π－α<－2kπ(k∈Z)． 2 ∴π－α 的终边落在第四象限． 同理可知，π＋α 的终边落在第一象限． 【解】
k ∈ Z. ∴ 当 角 α 的 终 边 在 坐 标 轴 上 时 ， 可 表 示 为 k· 90° ，
k∈Z.故选C.
目录
4．已知sin θ<0，tan θ>0，那么θ是第________象限角．
解析：∵sin θ<0，
∴θ在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上， 又tan θ>0，∴θ在第一或第三象限，∴θ在第三象限． 答案：三
象限角 轴线角 ②按终边位置不同分为__________和__________.
(2)终边相同的角 终 边 与 角 α 相 同 的 角 可 写 成 α ＋ k· 360°(k ∈ Z) 或 α ＋ k· 2π(k∈Z)．
(浙江版)2018年高考数学一轮复习专题4.1任意角和弧度制及任意角的三角函数(讲)
第01节 任意角和弧度制及任意角的三角函数【考纲解读】【知识清单】1．象限角及终边相同的角 1．任意角、角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． 2.弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝l r，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值l r与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．3.弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． 对点练习：下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A.2k π＋45°(k ∈Z )B.k ·360°＋94π(k ∈Z )C.k ·360°－315°(k ∈Z )D.k π＋5π4(k ∈Z )【答案】C.确.2．三角函数的定义1.任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．2．三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦 3.三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M .由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线.对点练习：【河南省林州一中2017-2018上学期开学】已知角α终边经过点12P ⎫⎪⎪⎝⎭，则cos α=（ ） A.1212± 【答案】B【解析】由于1,2r OP x ===，所以由三角函数的定义可得cos 2x r α==，应选答案B.3. 扇形的弧长及面积公式弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2.对点练习：已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l. (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)已知扇形的周长为10 cm ，面积是4 cm 2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【答案】(1) 10π3(cm).(2)圆心角为12.(3)l ＝10，α＝2.【解析】(1)α＝60°＝π3 rad ，∴l ＝α·R＝π3×10＝10π3(cm).【考点深度剖析】高考对任意角三角函数定义的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求学生深刻认识利用坐标法定义任意角三角函数的背景和目的．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值；二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标．【重点难点突破】考点1 象限角及终边相同的角 【1-1】已知角α＝45°，(1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β；(2)设集合M=18045,,N=18045,24k k x x k x x k ⎧⎫⎧⎫=⨯+∈=⨯+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z ，判断两集合的关系．【答案】（1）β＝－675°或β＝－315°.(2)M N ⊆. 【解析】(1)所有与角α有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )， 则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.(2)因为M ＝{x |x ＝(2k ＋1)×45°，k ∈Z }表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合； 而集合N ＝{x |x ＝(k ＋1)×45°，k ∈Z }表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而M N ⊆.【1-2】若sin 0θ>且sin 20θ>，则角θ的终边所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【1-3】终边在直线y ＝3x 上的角的集合为________． 【答案】{α|α＝k π＋π3，k ∈Z }【解析】终边在直线y ＝3x 上的角的集合为{α|α＝k π＋π3，k ∈Z }．【1-4】若角α是第二象限角，试确定α2，2α的终边所在位置．【答案】角α2的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上,2α的终边在第一象限或第三象限.【解析】∵角α是第二象限角，∴ 22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，（1）4242,k k k Z ππαππ+<<+∈，∴ 角α2的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上．综上所述，2的终边在第一象限或第三象限．【领悟技法】1.对与角α终边相同的角的一般形式α＋k ·360°(k ∈Z )的理解;(1)k ∈Z;(2)α任意角;(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.2.利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角3.已知角α的终边位置，确定形如k α，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出k α、π±α等形式的角范围，然后就k 的可能取值讨论所求角的终边位置 【触类旁通】【变式一】如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )【答案】C当t ＝0时，d ＝2，排除A 、D ；当t ＝π4时，d ＝0，排除B.考点2 三角函数的定义【2-1】已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－45，则m 等于( )A ．－114 B.114 C ．－4 D ．4【答案】C【解析】由题意可知，cos α＝m m 2＋9＝－45， 又m <0，解得m ＝－4.【2-2】已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，32，则tan α＝( ) A. 3B ．± 3 C.33D ．±33【答案】B【解析】由|OP |2＝x 2＋34＝1，得x ＝±12，tan α＝± 3.【2-3】已知角α的终边上有一点P (t ，t 2＋1)(t >0)，则tan α的最小值为( ) A ．1 B ．2 C.12D. 2【答案】B【解析】根据已知条件得tan α＝t 2＋1t ＝t ＋1t≥2，当且仅当t ＝1时，tan α取得最小值2.【2-4】已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6 【答案】D【领悟技法】1.已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数的定义求解．2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值． 【触类旁通】【变式一】已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3)D ．[－2,3]【答案】A【解析】 ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.故选A.【变式二】已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．【答案】0【解析】设α终边上任一点为P (k ，－3k )， 则r ＝k 2＋－3k2＝10|k |.当k >0时，r ＝10k ， ∴sin α＝－3k10k＝－310，1cos α＝10 k k ＝10，∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0；当k <0时，r ＝－10k ， ∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10k k＝－10，∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.综上，10sin α＋3cos α＝0.考点3 扇形的弧长及面积公式【3-1】【2018届黑龙江省齐齐哈尔八中8月月考】若扇形的圆心角120α=，弦长12AB cm =，则弧长l =__________ cm ．【解析】画出图形，如图所示.设扇形的半径为rcm ，由，∴【3-2】已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？ 【答案】 当r ＝10，θ＝2时，扇形面积最大【领悟技法】(1)弧度制下l ＝|α|·r ，S ＝12lr ，此时α为弧度．在角度制下，弧长l ＝n πr 180，扇形面积S ＝n πr 2360，此时n 为角度，它们之间有着必然的联系．(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．【触类旁通】【变式一】一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A.π3 B.2π3 C. 3 D. 2 【答案】C【变式二】一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________． 【答案】(7＋43)∶9【解析】设扇形半径为R ，内切圆半径为r .则(R －r )sin 60°＝r ， 即R ＝1＋233r .又S 扇＝12|α|R 2＝12×2π3×R 2＝π3R 2＝7＋439πr 2，∴S 扇πr 2＝7＋439. 【易错试题常警惕】易错典例：已知角α的终边过点(,2)m m ,0m ≠,求角α的的正弦值、余弦值. 易错分析：学生在做题时容易遗忘0m <的情况．正确解析：当0m <时，,sin r αα===当0m >时，,sin r αα===温馨提醒：本题主要考察了三角函数的定义以及分类讨论思想方法，这也是高考考查的一个重点.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。
2018版高考数学浙江 文理通用大一轮复习讲义课件：第
sin x＋cos x ＝－ . ex
π (4)y＝sin(2x＋3)； 解答 π 设 u＝2x＋3，则 y＝sin u，
π 则 y′＝(sin u)′· u′＝cos(2x＋ )· 2 3 π ∴y′＝2cos(2x＋ ). 3
(5)y＝ln(2x－5). 解答 令u＝2x－5，则y＝ln u， 1 2 则 y′＝(ln u)′· u′＝ · 2＝ ， 2x－5 2x－5 2 即 y′＝ . 2x－5
(1)y＝x2sin x； 解答
y′＝(x2)′· sin x＋x2· (sin x)′ ＝2xsin x＋x2cos x.
1 (2)y＝ln x＋x ； 解答
1 1 1 1 y′＝(ln x＋ )′＝(ln x)′＋( )′＝ － 2. x x x x
cos x (3)y＝ ex ；
解答
x x cos x ′ · e － cos x e ′ cos x y′＝( x )′＝ x 2 e e
思维升华
(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后
求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的
商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少
运算量.
(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可
换元.
跟踪训练1 (1)f(x)＝x(2 016＋ln x)，若f′(x0)＝2 017，则x0等于
0
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*) 导函数 f′(x)＝ __ 0 f′(x)＝ αxα－1
f(x)＝sin x
f(x)＝cos x
f′(x)＝ cos x
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225°，…}，显然有 M⊆N，故选 B.
法二：由于 M 中，x＝2k·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1 是奇数；
而 N 中，x＝4k·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1 是整数，因此必有 M⊆N，故选 B.
(2)由终边相同的角的关系知 β＝k·360°＋45°，k∈Z，
＋
号
Ⅳ
－
＋
－
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三角函
数线 有向线段_M__P__为正 有向线段__O_M__为余 有向线段__A_T__为正
弦线
弦线
切线
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1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)小于 90°的角是锐角．( ) (2)锐角是第一象限角，反之亦然．( ) (3)角 α 的三角函数值与终边上点 P 的位置无关．( ) (4)若 α 为第一象限角，则 sin α＋cos α＞1.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
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3．(教材改编)已知角 α 的终边与单位圆的交点为 M12，y，则 sin α＝(
)
3 A. 2
B．±
3 2
2 C. 2
D．±
2 2
B [由题意知|r|2＝122＋y2＝1，所以 y＝± 23.由三角函数定义知 sin α＝y＝
3 ± 2 .]
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4．在单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为( )
A．10π
B．9π
9 C.10π
10 D. 9 π
D [单位圆的半径 r＝1,200°的弧度数是 200×18π0＝190π，由弧度数的定义
得190π＝rl，所以 l＝190π.]
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2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于__半__径__长__的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，弧度记 作 rad. (2)公式：①角度与弧度的换算： a．1°＝1π80 rad；b.1 rad＝1π80°. ②弧长公式：l＝r|α|. ③扇形面积公式：S＝__12_lr__＝12r2α.
∴取 k＝－2，－1，得 β＝－675°或 β＝－315°.]
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[规律方法] 1.与角 α 终边相同的角可以表示为 β＝2kπ＋α(k∈Z)的形式，α 是任意角；相等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等；角度制与弧度 制不能混用．
2．由 α 所在象限，判定α2所在象限，应先确定α2的范围，并对整数 k 的奇、 偶情况进行讨论．
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2．若 cos θ＞0，且 sin 2θ＜0，则角 θ 的终边所在象限为( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
D [由 cos θ> 0，sin 2θ＝2sin θ cos θ＜0 得 sin θ＜0，则角 θ 的终边在第
四象限，故选 D.]
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(1)B
(2)－675°或－315°
[(1)法一：由于
M＝xx＝2k·180°＋45°，k∈Z
＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，
N＝xx＝4k·180°＋45°，k∈Z
＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，
)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第一或第三象限角
D．第二或第四象限角
(2)已知角 α 的终边在如图 3-1-1 所示阴影部分表示的范围内(不包括边界)，
则角 α 用集合可表示为________．
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图 3-1-1
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(1)C (2)2kπ＋π4，2kπ＋56π(k∈Z) ∴π2＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，
5．已知半径为 120 mm 的圆上，有一条弧长是 144 mm，则该弧所对的圆心 角的弧度数为________rad. 【导学号：51062093】
1．2 [由题意知 α＝rl＝114240＝1.2 rad.]
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角的有关概念及其集合表示
(1)若角 α 是第二象限角，则α2是(
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抓
基
础
·
自
主 学
第三章 三角函数、解三角形
课
习
时
分
第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数 层
明 考
训 练
向
·
题
型
突
破
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1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着_端__点__从一个位置旋转到另一个位 置所成的图形．
(2)分类按按旋终转边方位向置不不同同分分为为__正象____角限____角、___和负__轴角__线、角_零_. _角__. (3)终边相同的角：所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个 集合 S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
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[变式训练 1] (1)设集合 M＝
xx＝2k·180°＋45°，k∈Z
，N＝xx＝4k·180°＋45°，k∈Z
，那么(
)
A．M＝N
B．M⊆N
C．N⊆M
D．M∩N＝∅
(2)已知角 α＝45°，在区间[－720°，0°]内与角 α 有相同终边的角 β＝________.
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3．任意角的三角函数
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交x_叫做 α 的余弦， y
_x_叫做 α 的正切，记作 tan α
记作 sin α
记作 cos α
Ⅰ
＋
＋
＋
各象
Ⅱ
＋
－
－
限符
Ⅲ
－
－
[(1)∵α 是第二象限角，
∴π4＋kπ＜α2＜π2＋kπ，k∈Z.
当 k 为偶数时，α2是第一象限角；
当 k 为奇数时，α2是第三象限角．
综上，α2是第一或第三象限角．
(2)在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为4π，56π，
∴所求角的集合为2kπ＋π4，2kπ＋56π(k∈Z)．]