27.2与圆有关的位置关系(点与圆的位置关系1)
27.2.1点与圆的位置关系 (共12张PPT)
A、B、D的位置关系是怎样的？
实践与探索
2：不在一条直线上的三点确定一个圆
问题与思考：平面上有一点A，经过A点的圆有几个？ 圆心在哪里？平面上有两点A、B，经过A、B点的圆 有几个？圆心在哪里？平面上有三点A、B、C，经过 A、B、C三点的圆有几个？ 圆心在哪里？
实践与探索
思考：如果A、B、C三点在一条直线上，能画出经过 三点的圆吗？为什么？ 即有：不在同一条直线上的三个点确定一个圆 也就是说，经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且 只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心． 这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心 就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形 三个顶点的距离相等. 思考：随意画出四点，其中任何三点都不在同一条直线上， 是否一定可以画一个圆经过这四点？请举例说明.
若点A在⊙O内 若点A在⊙O上 若点A在⊙O外
OA r OA r OA r
图 27.2.1
思考与练习 1、⊙O的半径 r 5cm ，圆心O到直线的AB距离 d OD 3cm。在直线AB上有P、Q、R三点， 且有 PD 4cm，QD 4cm， RD 4cm .P、Q、 R三点对于⊙O的位置各是怎么样的？ 2、Rt ABC 中， C 90， CD AB ，AB 13，
课堂练习
判断题：
1、过三点一定可以作圆 （错） 2、三角形有且只有一个外接圆 （对） 3、任意一个圆有一个内接三角形，并且只有 一个内接三角形 （错 ） 4、三角形的外心就是这个三角形任意两边垂 直平分线的交点 （对 ） 5、三角形的外心到三边的距离相等 （ 错 ）
与圆有关的位置关系
与圆有关的位置关系知识要点透析知识点一、点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有知识点二、圆的确定已知圆心和半径可以确定圆，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.1．不在同一直线上的三个点确定一个圆. 2．经过三角形三个顶点可以作一个圆.3．用反证法证明命题的一般步骤为：(1) 假设命题的结论不成立；(2) 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3) 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.知识点三、直线和圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：如果⊙O的半径为r，圆心O 到直线的距离为d，那么2．直线与圆的位置关系的判定和性质．知识点四、切线的判定定理和性质定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.知识点五、切线长定理1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长. 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.知识点六、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.(3) 三角形的外心与内心的区别：1．圆与圆的五种位置关系的定义2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则：两圆外离d＞r1+r2两圆外切d=r1+r2两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2) 两圆内切d=r1-r2 (r1＞r2)两圆内含d＜r1-r2 (r1＞r2)3．两圆相切的性质：若两圆相切，则切点一定在连心线上.规律方法指导1．首先要掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的得出过程，结合相应图形得出各位置关系下的d与r(R与r)之间的关系；2．理解好切线的性质及判定，总结出判定切线常添加的辅助线：(1)过圆心作切线的垂线；(2)作出过切点的半径；3．每个知识点只有在真正理解的基础上才能够掌握并灵活应用.经典例题透析类型一：判断直线和圆的位置关系1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2厘米；(2)r=2.4厘米；(3)r=3厘米．类型二、运用切线的性质定理解题2．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．求证：AC平分∠DAB．类型三、切线的判定3．如图，P点是∠AOB的平分线OC上一点，PE⊥OA于E，以P为圆心，PE为半径作⊙P .求证：⊙P与OB相切.【变式1】已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=AB+DC，AD 是⊙O的直径．求证：BC和⊙O相切．【变式2】如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和CD相等，且AB与小圆切于点E．求证：CD与小圆相切．4．△ABC内接于⊙O，D为AB延长线上一点，且∠DCB=∠A，求证：CD是⊙O的切线.方法一：可利用直径所对圆周角是直角.方法二：可采用圆周角定理.【变式】如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O，交AB于D，E为BC中点.求证：DE是⊙O切线.类型四、切线长定理的应用5．已知，如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，若AB=7，AC=8，BC=9，求AD、BE、CF的长.【变式1】已知：如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，过上的一点C作⊙O的切线，交PA于D，交PB于E.(1)若∠P=70°，求∠DOE的度数；(2)若PA=4cm，求△PDE的周长.总结升华：此题的解答中推出两个重要结论：(1)；(2)△PDE的周长=PA+PB=2PA.【变式2】已知：如图，△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，求△ABC的内切圆⊙O的半径r.总结升华：通过此题的求解过程，总结如下结论：在Rt△ABC中，∠C=90°，设BC=a，AC=b，AB=c，三角形内切圆半径为r这均是计算直角三角形内切圆半径的重要结论.【变式3】已知：如图，△ABC的内切圆⊙O切边AB、BC、AC于点D、E、F，且∠A=50°，求∠DEF的度数.方法一：先求圆心角，再由切线的性质方法二：可由切线长定理和内心性质求解.总结升华：事实上，在此求解过程中可以得到如下结论：(1)(2)类型五、两圆的位置关系6．已知相交两圆的半径分别为，圆心距为d，试求d的整数值.【变式1】已知两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，且满足，试确定这两圆的位置关系.想一想，若两圆内切，圆心距为3cm，其中一个圆的半径为5cm，则另一个圆的半径为_____.【变式2】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，，AD、BC的长是方程x2-20x+75=0的两根，以D为圆心，AD长为半径的圆，和以C为圆心，BC长为半径的圆之间有怎样的位置关系？思路点拨：问题转化为比较AD+BC与DC之间的大小关系.7．如图，在长为25cm，宽为18cm的矩形ABCD中截下一个最大的⊙O2后，若想在剩余的材料中再截去一个最大的⊙O1，试求⊙O1的半径.【变式1】如图，要想在半径为R的圆铁片内剪下四个相等的圆片，那么其半径r的最大值是多少？思路点拨：欲使四个相等的圆片最大，只要使这相邻小圆片分别两两外切，且都内切于已知圆.想一想，若还要在剩下的空余剪下五个小圆(如图)，半径最大值是多少？提示：2r小=AC-2r=(2R-2r)-2r=2R-4r .【变式2】已知：如图所示，半圆O的直径为2R，分别以AO、OB为直径在半圆O内分别作半圆C和半圆F，若⊙D与⊙O内切，且分别与⊙C、⊙F外切，试求⊙D的半径r.8．已知：如图，两圆相交于A、B点，割线BEF与割线ACD互相平行，试比较线段EF与CD的大小，并证明.基础达标一、选择题1．已知如图所示，等边△ABC的边长为2cm，下列以A为圆心的各圆中，半径是3cm的圆是( )2．已知两圆的半径分别为3和5，圆心距为7，则这两圆的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.外离3．⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB长为3，以3为半径的同心圆与直线AB 的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定4．如图所示，⊙O的外切梯形ABCD中，如果AD∥BC，那么∠DOC的度数为( )A.70°B.90°C.60°D.45°5．I为△ABC的内心，如果∠ABC+∠ACB=100°，那么∠BIC等于( )A.80°B.100°C.130°D.160°6．如图，PA、PB分别切圆O于A、B两点，C为劣弧AB上一点，∠APB=30°，则∠ACB=( )A．60°B．75°C．105°D．120°二、填空题7．如图所示，O为△ABC的外心，若∠BAC=70°，则∠OBC=________.8．如图所示，PA与PB分别切⊙O于A、B两点，C是上任意一点，过C作⊙O 的切线，交PA及PB于D、E两点，若PA=PB=5cm，则△PDE的周长是_______cm.9．如图所示，△ABC的内切圆⊙O切AC、AB、BC分别为D、E、F，若AB=9，AC=7，CD=2，则BC=______.10．如图所示，两圆⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，则O1O2所在的直线是公共弦AB 的________．11．已知两圆直径为3+t，3-t，若它们圆心距为t，则两圆的位置关系是______.12．⊙O的半径为6cm，P是⊙O外一点，且OP=10cm，则当⊙P的半径为_______时，两圆相切.13. 两圆半径之比为3: 5，外切时圆心距等于24cm，则两圆内切时的圆心距d=_______. 能力提升1．图中，EB为半圆O的直径，点A在EB的延长线上，AD切半圆O于点D，BC⊥AD于点C，AB=2，半圆O的半径为2，则BC的长为( )A．2B．1 C．1.5D．0.52．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与轴相切于点Q，与轴交于M(0，2)，N(0，8)两点，则点P的坐标是( )A．B．C．D．3．如图，是⊙O的直径，点在的延长线上，过点作⊙O的切线，切点为，若，则______．4．如图，⊙O1和⊙O2相交于A，B，且AO1和AO2分别是两圆的切线，A为切点，若⊙O1的半径r1=3cm，⊙O2的半径为r2=4cm，则弦AB=___cm.5．两圆的圆心距d=8，两圆的半径长是方程x2-7x+12=0的两根，则这两个圆的位置关系是______.6．如图所示，在△ABC中，点O是△ABC的内心，∠A=70°，求∠BOC的度数.(1)变式一:在△ABC中，点O是△ABC的外心，∠A=70°，求∠BOC的度数.(2)变式二:如图所示，在△ABC中，⊙O与AB、BC、AC所截得的线段DE=FG=MN，∠A= 70°，求∠BOC的度数.7．如图，割线ABC与⊙O相交于B、C两点，D为⊙O上一点，E为的中点，OE 交BC于F，DE交AC于G，∠ADG=∠AGD，求证：AD是⊙O的切线.8．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=100°，I为它的内心，BI的延长线交AC于D点，过A、B、D三点作⊙O，交BC于E点，求证：BC=BD+AD.。
与圆有关的位置关系
与圆有关的位置关系主讲：黄冈中学数学高级教师李平友考点回顾：1、点与圆的三种位置关系：设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，点在圆内d＜r；点在圆上d＝r；点在圆外d＞r；2、直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则d ＞r直线l与圆相离；d＝r直线l与圆相切；d＜r直线l与圆相交．3、切线的判定方法：①定义；②和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③过半径外端且和这条半径垂直的直线是圆的切线．4、切线的性质：①切线和圆心的距离等于半径；②切线垂直于过切点的半径；5、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．6、和三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫三角形的内心，它是三角形三个内角平分线的交点．7、设两圆的半径分别为R，r（R≥r＞0），圆心距为d，则d＞R＋r两圆外离；d＝R＋r两圆外切；R－r＜d＜R＋r两圆相交；d＝R－r两圆内切；d＜R－r两圆内含．考点精讲精练：例1、如图，已知直线AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，且∠OBA＝40°，求∠ADC的度数．解：∵AB为⊙O的切线，∴∠OAB＝90°．∵∠OBA＝40°，∴∠AOB＝50°，∴∠ADC＝25°．变式练习1如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的长为3，点P是直线l上的一个动点，PB切⊙O于点B，则PB的最小值是（）A．B．C．3 D．2答案：连OP，OB，则△OBP是一个直角三角形．∵OB的长不变，∴当OP最小时，PB最小．当OP⊥l时，OP最小，此时，故选B．例2、如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA，CB于点E，F，点G是AD的中点．求证：GE是⊙O的切线．证明：连OE，DE．∵CD是⊙O的直径，∴∠AED＝∠CED＝90°．∵G为AD的中点，，∴∠GED＝∠GDE．∵OE＝OD，∴∠OED＝∠ODE，∴∠OED＋∠GED＝∠ODE＋∠GDE，∴∠OEG＝∠ODG＝90°，∴CE是⊙O的切线．变式练习2如图，△ABC内接于⊙O，CA＝CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D．（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若∠ACB＝120°，OA＝2，求CD的长．答案：（1）解：CD与⊙O相切，理由如下：连OC．∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB．设OC交AB于E，则OC⊥AB，AE＝BE．∵AB∥CD，∴OC⊥CD，∴CD与⊙O相切．（2）∵CD∥AB，OC⊥DC，∴OC⊥AB，又∠ACB＝120°，∴∠OCA＝∠OCB ＝60°，∵OA＝OC，∴△OAC是等边三角形，∴∠DOC＝60°，∴∠D＝90°－∠DOC ＝90°－60°＝30°．在Rt△DCO中，OD＝2OC＝2³2＝4，．例3、如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB，AC，切点分别为B，C，且⊙O 的直径BD＝6，连CD，AO．求证：CD∥AO．证明：连CO．∵AC、AB分别切⊙O于C，B，∴AO平分∠CAB，∠ACO＝∠ABO＝90°，∴∠COA＝∠BOA．∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠COB＝∠OCD＋∠ODC，∴∠AOC＝∠DCO，∴CD∥AB．变式练习31、如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）如果AB＝4，AE＝2，求⊙O的半径．证明：（1）连OA．∵OA＝OD，∴∠1＝∠2．∵DA平分∠BDE，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．∴OA∥DE．∵AE⊥CD，∴∠3＋∠4＝∠1＋∠4＝90°．∴∠OAE＝90°，即OA⊥AE．∵点A在⊙O上，∴AE是⊙O的切线．（2）∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°．∵∠AED＝90°，∴∠BAD＝∠AED．又∵∠2＝∠3，∴△BAD∽△AED．．∵AB＝4，AE＝2，∴BD＝2AD．在Rt△BAD中，由勾股定理得．∴⊙O的半径为．2、如图，AB是⊙O的直径，AC和BD是它的两条切线，CO平分∠ACD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AC＝2，BD＝3，求AB的长．答案：（1）如图，过O点作OE⊥CD，垂足为E．∵CO平分∠ACD，∴∠ACO＝∠ECO∵AC是切线，∴OA⊥AC，∠OAC＝∠OEC．又OC＝OC，∴△OAC≌△OEC．∴OA＝OE．∵OE⊥CD于E，∴CD是⊙O的切线．（2）过C作CF⊥BD，垂足为F. ∵AC，CD，BD是切线，∴AC＝CE＝2，BD＝DE＝3．∴CD＝CE＋DE＝5．∵∠CAB＝∠ABD＝∠CFB＝90°，∴四边形ABFC是矩形．∴BF＝AC＝2，DF＝BD－BF＝1．在Rt△CDF中，CF2＝CD2－DF2＝52－12＝24，．例4、如图，⊙A，⊙B的圆心A、B在直线l上，两圆半径都为1cm，开始时圆心距AB＝4cm，现⊙A、⊙B同时沿直线l以2cm/s的速度相向移动，则当两圆相切时，求⊙A运动的时间．解：假定⊙B不动，则⊙A以4cm/s的速度向⊙B移动．当⊙A第一次与⊙B相切时，⊙A运动了2cm，则运动时间为；当⊙A第二次与⊙B相切时，⊙Q运动了6cm，则运动时间为．- 返回 -备考模拟一、选择题1、两圆的圆心坐标分别为和（0，1），它们的半径分别为3和5，则这两个圆的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切2、在平面直角坐标系中，以点（－3，4）为圆心，4为半径的圆（）A．与x轴相交，与y轴相切B．与x轴相离，与y轴相交C．与x轴相切，与y轴相交D．与x轴相切，与y轴相离3、如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，∠B＝25°，则∠D＝（）A．25°B．40°C．30°D．50°4、已知两圆的半径R，r分别为方程x2－5x＋6＝0的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系为（）A．相离B．内切C．相交D．外切5、已知⊙O1与⊙O2外切，它们的半径分别为2和3，则圆心距O1O2的长为（）A．O1O2＝1 B．O1O2＝5C．1＜O1O2＜5 D．O1O2＞5二、填空题6、在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（m，0），半径为2，若⊙M与y轴相切，则m＝__________；若⊙M与y轴相交，则m的取值范围为__________．7、△ABC中，AB＝10cm，AC＝8cm，BC＝6cm，以点B为圆心，6cm为半径作⊙B，则边AC所在直线与⊙B的位置关系为__________．8、如图，平面直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（0，2），半径为1，点N在x轴的正半轴上，若以点N为圆心，半径为4的⊙N与⊙M相切，则圆心N的坐标为__________．9、如图，直线与x轴，y轴分别相交于A，B两点，圆心的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P有__________个．10、如图，⊙O1和⊙O2的半径分别为1和3，连O1O2，交⊙O2于点P，O1O2＝8，若将⊙O1绕点P顺时针方向旋转360°，则⊙O1与⊙O2共相切了__________次．隐藏答案答案：6、±2；－2＜m＜27、相切8、9、310、3三、综合题11、如图，在△ABC中，∠B＝60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点P，CP交⊙O于点D．（1）求证：AP＝AC；（2）若AC＝3，求PC的长．隐藏答案解：（1）证明：连AO，则AO⊥PA，∵∠AOC＝2∠B＝120°，∴∠AOP＝60°，∴∠P＝30°．又∵OA＝OC，∴∠ACP＝30°．∴∠P＝∠ACP．∴AP＝AC．（2）在Rt△PAO中，∠P＝30°，PA＝3．，，12、如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D，连DB．过点D作DE⊥BC，垂足为E．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）求证：DB2＝AB²BE．隐藏答案解：（1）证明：连OD．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∵AB＝BC，∴D为AC的中点．∵O为AB的中点，∴OD∥BC．∵DE⊥BC，∴∠ODE＝∠CED＝90°．∴DE为⊙O的切线．（2）∵AB＝BC，∠ADB＝90°，∴∠CBD＝∠DBA．又∠ADB＝∠DEB ＝90°，∴△ADB∽△DEB，，∴DB2＝AB²B E．13、已知：如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过点D作DF⊥AC于点F，交BA的延长线于点E．求证：（1）BD＝CD；（2）DE为⊙O的切线．隐藏答案证明：（1）连AD．∵AB为直径，∴∠ADB＝90°．∵AB＝AC，∴BD＝CD．（2）连OD．∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC．∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴D E是⊙O的切线．14、已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于D，E，连EB交OD于点F．（1）求证：OD⊥BE；（2）若，AB＝5，求AE 的长．隐藏答案解：（1）证明：连AD．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠AEB＝90°．∵AB＝AC，∴CD＝BD．又∵OA＝OB，∴OD∥AC．∵BE⊥AC，∴OD⊥BE.（2）∵∠CEB＝∠AEB＝90°，CD＝BD，，．在△ABE和△BCE中，由勾股定理有AB2－AE2＝BC2－EC2，设AE＝x，则，∴x＝3，∴AE＝3．-END-。
27.2.1.点与圆的位置关系+课时作业+2024-2025学年华东师大版数学九年级下册
27.2与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系点与圆的位置关系1.已知☉O的半径OA的长为√2,OB=√3,则下列图形正确的是()A B C D2.(2024定西期末)已知☉P的半径为4,圆心P的坐标为(-3,4),则平面直角坐标系的原点O在☉P.(填“上”“内”或“外”)3.在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=3,M为AB的中点.(1)若以点C为圆心,2为半径作☉C,试判断点A、B、M与☉C的位置关系;(2)若以点C为圆心作☉C,要使A、B、M三点中至少有一点在☉C内,且至少有一点在☉C外,则☉C的半径r的取值范围是多少?过已知点作圆4.下列条件中不一定能确定一个圆的是()A.圆心和半径B.直径C.三角形的三个顶点D.平面上的三个已知点5.(易错题)若点A、B、C在同一条直线上,点D在直线AB外,则过这四点中的任意三个点,能画圆的个数是()A.1B.2C.3D.4三角形的外接圆6.三角形的外心具有的性质是()A.到三边的距离相等B.到三个顶点的距离相等C.外心在三角形外D.外心在三角形内7.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(4,0),B(3,3),点P是△OAB的外接圆的圆心,则点P的坐标为.1.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了,其中四块碎片如图所示,为了配到与原来大小一样的圆形镜子,小明带到商店去的一块碎片应该是()A.第①块B.第②块C.第③块D.第④块2.若一个三角形两边的长分别是8和6,第三边的长是方程x2-12x+20=0的一个实数根,则这个三角形的外接圆的半径是()A.4B.5C.6D.83.(2024石家庄期末)如图,在5×5的正方形网格中,一条圆弧经过A、B、C三点,那么点M在这条圆弧所在圆的()A.内部B.外部C.圆上D.不能确定4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,AB=10,CD是斜边AB上的中线,以AC为直径作☉O,设线段CD的中点为P,则点P与☉O的位置关系是()A.点P在☉O内B.点P在☉O上C.点P在☉O外D.无法确定5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5, BC=4.以点A为圆心,r为半径作圆,当点C在☉A内且点B 在☉A外时,r的值可能是()A.2B.3C.4D.56.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,以顶点D为圆心作半径为r的圆,若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,则r的取值范围是.7.如图,已知点D是∠BAC的平分线上一点,且BD⊥AD,过点D作DE∥AC交AB于点E.求证:点E是过A、B、D三点的圆的圆心.8.(推理能力)如图,△ABC是☉O的内接三角形,直径HF交AC于点D,HF、BC的延长线交于点E.(1)若HF⊥AB,求证:∠OAD=∠E;(2)若A点是下半圆上一动点,当点A运动到什么位置时,△CDE的外心在△CDE的一边上?请简述理由.【详解答案】课堂达标 1.A 2.外3.解:(1)在△ABC 中,∵∠C =90°,AC =2,BC =3,AB 的中点为M , ∴AB =√AC 2+BC 2=√22+32=√13, CM =12AB =√132.以点C 为圆心,2为半径作☉C ,∵AC =2,∴点A 在圆上.∵CM =√132<2,∴点M 在圆内.∵BC =3>2,∴点B 在圆外.(2)以点C 为圆心作☉C ,使A 、B 、M 三点中至少有一点在☉C 内时,r >√132,当至少有一点在☉C 外时,r <3,故☉C 的半径r 的取值范围为√132<r <3. 4.D 5.C 6.B 7.(2,1) 课后提升1.A 解析:第①块出现一段完整的弧,可在这段弧上任作两条弦,作出这两条弦的垂直平分线,两条垂直平分线的交点就是圆心,进而可得到半径的长.故选A.2.B 解析:解方程x 2-12x +20=0,得x =10或2.当x =2时,2+6=8,不符合题意,∴x =10,即第三边长为10.∵62+82=102,∴这个三角形是直角三角形,∴这个三角形的外接圆的半径为5.故选B.3.C 解析:如图,线段AB 的垂直平分线和线段BC 的垂直平分线的交点O 即为圆心,连结OC 、OM ,则OC =√12+22=√5, OM =√12+22=√5, ∴OC =OM .∴点M 在这条圆弧所在圆的圆上. 故选C.4.A 解析:连结OP (图略),∵AC =6,AB =10,CD 是斜边AB 上的中线,∴AD =5.∵点O 是AC 的中点,点P 是CD 的中点,∴OP 是△CAD 的中位线,OC =OA =3,OP =12AD =2.5.∴OP <OA ,∴点P 在☉O 内.故选A.5.C 解析:∵在△ABC 中,∠ACB =90°,AB =5,BC =4,∴AC =√AB 2-BC 2 =3.∵点C 在☉A 内且点B 在☉A 外,∴AC <r <AB ,即3<r <5.观察四个选项可知,只有选项C 符合.故选C.6.3<r<5解析:连结BD(图略),在Rt△ABD中,AB=4,AD=3,则BD=√32+42=5,由题图可知3<r<5.7.证明:如图,∵点D在∠BAC的平分线上,∴∠1=∠2.∵DE∥AC,∴∠1=∠3.∴∠2=∠3.∴AE=DE.∵BD⊥AD于点D,∴∠ADB=90°.∴∠EBD+∠2=∠EDB+∠3=90°.∴∠EBD=∠EDB.∴BE=DE.∴AE=BE=DE.∴点E是过A、B、D三点的圆的圆心.8.(1)证明:如图,连结OB,⏜=AH⏜.∵HF⊥AB,∴BH∠AOB.∴∠AOH=∠ACB=12∵∠AOD+∠AOH=180°,∠ECD+∠ACB=180°,∴∠AOD=∠ECD.∵∠ODA=∠CDE,∴∠OAD=∠E.(2)解:当AB是直径或AC⊥HF时,△CDE的外心在△CDE的一边上.理由如下:①当AB是直径时,∠ACB=90°,∴∠DCE=90°,即△CDE是直角三角形,∴△CDE的外心在△CDE的边DE上;②当A运动到使AC⊥HF时,△CDE是直角三角形,此时△CDE的外心在△CDE的边CE上.综上所述,当AB是直径或AC⊥HF时,△CDE的外心在△CDE的一边上.。
与圆有关的位置关系(一)
o1
o2
o1
o2 图5
〈1〉外离 o1 o2 〈4〉内切
〈2〉外切
〈3〉相交
O1 (O2)
o1 o2 〈5〉内含
〈6〉内含中 的特例:同心圆
其中内含又有特例:同心圆.(如图5)如果两圆的半径分别为 R和r,圆心距为d,那么: (1)两圆外离 d > R + r,此时两圆没有公共点. (2)两圆外切 d = R + r,此时两圆有唯一公共点. (3)两圆相交 R r< d < R + r,此时两圆有两个公共点 (4)两圆内切 d =R r,此时两圆有唯一公共点. (5)两圆内含 d <R r,此时两圆没有公共点. 特别地,当d=0时,两圆心重合,两圆称为同心圆.
的半径分别是r [例5]:设⊙O1和⊙O2的半径分别是 1和r2,圆心距 ]
O1O2 = 5
是方程x 的两根, ,且r1和r2是方程 23x+1=0的两根,则⊙O1 + = 的两根 .
和⊙O2的位置关系是
分析:要判断两个圆的位置关系,首先要知道两圆半径 的和,差,然后与圆心距比较大小. 这里两圆半径r1,r2是方程x23x+1=0的两根,由一元二 次方程根与系数关系,可以求得r1+ r2和r1 r2.从而 判断出⊙O1和⊙O2的位置关系.
[例1]:如图 ,在矩形 例 :如图1,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,以A 中 = , = , 为圆心作圆, 三点中至少有一点在圆内, 为圆心作圆,使B,C,D三点中至少有一点在圆内, 三点中至少有一点在圆内 至少有一点在圆外,则此图半径 的取值范围 至少有一点在圆外,则此图半径R的取值范围
[例8]:如图 ,ABC,内心为 ,∠BOC=110° 则 ] 如图7, ,内心为O, = ° 1 ∠A = ∠BOC = 55° 2
与圆有关的位置关系1
1． (2016· 湘西州)在 Rt△ABC 中， ∠C＝90° ， BC＝3 cm ， AC ＝4 cm ，以点 C 为圆心，以 2.5 cm 为半径画圆，则 ⊙C 与直线 AB 的位置关系是( A．相交 B ．相切 C ．相离 ) D．不确定
在 Rt △ABC 中， ∠C＝90°，AC＝4 cm ，BC＝3 cm ，由勾股定理，得 AB ＝ 32＋42＝
(1)证明：∵ BC 为⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90° . 又∵∠ABC ＝30° ，∴∠ACB ＝60° . 又∵OA ＝OC，∴△OAC 为等边三角形， 即∠OAC ＝∠AOC ＝60° . ∵AF 为⊙O 的切线，∴∠OAF ＝90° ， ∴∠CAF ＝∠AFC ＝30° . ∵DE 为⊙O 的切线，∴∠DBC ＝∠OBE ＝90° ， ∴∠D＝∠DEA ＝30° ， ∴∠D＝∠CAF ，∠DEA ＝∠AFC ， ∴△ACF ∽△DAE .
在 Rt △ AOF 中 ，由勾股定理得， AF 2 ＋ OF 2 ＝ AO2 ，即 3－ 2r 2 3 ＋r2＝ 13－ 13r 2 6 ，解得 r ＝ . 3 7
7．(2016· 广东) 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆， BC 是⊙O 的直径，∠ABC ＝30° . 过点 B 作⊙O 的切线 BD ，与 CA 的延长线交于点 D ，与半径 AO 的延长线 交于点 E . 过点 A 作⊙O 的切线 AF ，与直径 BC 的延 长线交于点 F . (1)求证：△ ACF ∽△DAE ； 3 (2)若 S △AOC＝ ，求 DE 的长； 4 (3)连接 EF ，求证：EF 是⊙O 的切线．
【点拨】本题考查了切线的判定、相似三角形的 判定与性质． (1)证明：如图，作 OD⊥ AB 于⊥ AC，∴ OD＝ OC． ∵ OC 是⊙ O 的半径，∴ OD 是⊙O 的半径， ∴ AB 是⊙O 的切线．
点与圆的位置关系
点与圆有关的位置关系一、点与圆的位置关系：点P与⊙O的位置关系:设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔;rd>点P在圆上⇔;rd=点P在圆内⇔.rd<注意：OP长是两个点之间距离，不是点到直线距离，P点到圆心距离与半径大小关系决定P点与圆的位置关系.过已知点画圆：（1）过已知一点画圆→可画无数个圆→圆心无规律可循；（2）过已知两点画圆→可画无数个圆→圆心在连接两点的线段垂直平分线上；（3）过不在同一直线上的三点画圆→只可画一个圆→圆心是连接两点的线段垂直平分线的交点. 三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.三角形的外心：三角形三条边垂直平分线的交点.（1）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.（2）锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是三角形的斜边中点，钝角三角形的外心在三角形的外部，反之成立.任何一个三角形都有唯一的外接圆反证法定义：不是直接从原题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立.反证法的一般步骤：（1）假设命题的结论不成立；（2）推理得出矛盾；（3）得出结论.类型1. 点与圆的位置关系例1.如图，在ABCRt∆中，∠C＝900，BC＝3cm，AC=4cm，以B为圆心，以BC为半径作⊙B，问点A,C及AB、AC的中点D、E与⊙B有怎样的位置关系?变式题:如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4，以A为圆心，使B、C、D三点中至少有一个点在圆内，至少有一个点在圆外，求此圆半径R的取值范围.例3. 如图⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上的一个动点，那么OP长的取值范围是多少?例4. 如图是某平原地区的三个村庄A 、B 、C ，现计划新建一个电站，为了使变电站到三个村庄的距离相等，请你帮助规划者确定变电站P 的位置.例5. 在等腰三角形ABC 中B,C 为定点，且AC=AB ，D 是BC 的中点，以BC 为直径作⊙D ，回答下列问题：（1）∠A 等于多少度时，点A 在⊙D 上？ （2）∠A 等于多少度时，点A 在⊙D 内？（3）∠A 等于多少度时，点A 在⊙D 外？类型2. 证明几个点在同一个圆上例1. 如图，已知菱形ABCD 的对角线为AC 和BD ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：E 、F 、G 、H 四个点在同一个圆上.例2. 如图，∠A=∠C=∠D ＝900，求证：A 、B 、C 、D 、E 在同一个圆上.类型3. 不在同一直线上的三点确定一个圆例1. （1）已知一个三角形的三边长分别为6cm 、8cm 、10cm ，则这个三角形外接圆面积等于 2cm .(2) 下列说法正确的是（ ）A. 经过三个点一定可以作圆B. 任意一个圆一定有内接三角形，并且只有一个内接三角形C. 任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接D. 三角形的外心到三角形各边距离相A B C D O H E G F A E B C D . A . B . C例2. 如图，∆ABC 中AB=AC=10，BC=12，求∆ABC 的外接圆半径.类型4. 反证法例1. 求证：经过同一直线上的三个点不能作出一个圆.例2. 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于600.例3. 用反证法证明：圆内不是直径的两条弦不能互相平分.例4. 用反证法证明：已知，如图AB ∥CD ，CD ⊥EF ，垂足是N ，求证：AB ⊥EF.作业：填空题： 1．若⊙O 的半径为r ，点A 到圆心O 的距离为d ，当点A 在圆外时，d ______r ；当点A 在圆上时，d ______r ；当点A 在圆内时，d ______r ．2．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2cm ，BC ＝4cm ，CM 是中线，以C 为圆心，以cm 5长为半径画圆，则A 、B 、C 、M 四点在圆外的有点______，在圆上的有点______，在圆内的有点______．3．已知⊙O 的半径为1，点P 与O 的距离为d ，且方程x 2－2x ＋d ＝0有实数根，则P 在 ⊙O 的______．4．过一点A 可作______个圆，过两点A 、B 可作______个圆，且圆心在线段AB 的______上，过三点A 、B 、C ，当这三点______时能且只能作一个圆，且圆心在______上．5．等边三角形的边长为6cm ，则它的外接圆的面积为______．6．在Rt △ABC 中，已知两直角边的长分别为6cm 和8cm ，那么Rt △ABC 的外接圆的面积是7．锐角三角形的外心在______，直角三角形的外心在______，钝角三角形的外心在______． 选择题：8．两个圆的圆心都是O ，半径分别为r 1和r 2，且r 1＜OA ＜r 2，那么点A 在( )(A)⊙r 1内 (B)⊙r 2外EF AC9．⊙O的半径r＝10cm，圆心到直线L的距离OM＝8cm，在直线L上有一点P，且PM＝6，则点P( )(A)在⊙O内(B)在⊙O上(C)在⊙O外(D)可能在⊙O内也可能在⊙O外10．⊙O的半径为5，圆心O的坐标为(0，0)，点P的坐标为(4，2)，则点P与⊙O的位置关系是( )(A)点P在⊙O内(B)点P在⊙O上(C)点P在⊙O外(B)点P在⊙O上或在⊙O外11．三角形的外心是( )(A)三条中线的交点(B)三条中垂线的交点(C)三条高的交点(D)三条角平分线的交点解答题：12．如图1，使用直尺和圆规确定如图所示的破残轮片的圆心位置．图113．点P到⊙O上的点的最大距离是6cm，最小距离是2cm，求⊙O的半径．14．某商场有三个销量较大的柜台，经理想修建一个收银台，使得三个柜台到收银台的距离相等．如果三个柜台的位置如图2所示，那么如何确定收银台的位置?图2问题探究：15．已知：如图3，三个边长为2a个单位长度的正方形如图所示方式摆放．图①图②图③∴______为所求作的圆．∴______为所求作的圆．(1)画出覆盖图①的最小圆；(2)将图①中上面的正方形向右平移a个单位长度，得到图②，请用尺规作出覆盖新图形的最小圆(不写作法，保留作图痕迹)；(3)可以利用图③，比较(1)和(2)中的两个圆的大小，通过计算简要说明理由．。
与圆有关的位置关系
与圆有关的位置关系知识强化一、知识概述1、点和圆的位置关系如果圆的半径为r，已知点到圆心的距离为d，则可用数量关系表示位置关系．(1)d＞r点在圆外；(2)d=r点在圆上；(3)d＜r点在圆内．2、确定圆的条件不在同一直线上的三个点确定一个圆．3、三角形的外接圆（1）定义：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．三角形的外心：外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．注意：①要弄清“接”是指三角形各顶点在圆上，“外”是指三角形外，“内”是指圆内．②三角形的外接圆和圆的内接三角形是针对上述同一个图形，从不同角度的两种说法．(2)三角形外心的性质：①三角形的外心是外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等．②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是惟一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合．4、反证法(1)定义：从命题结论的反面出发，经过推理论证，得出矛盾，从而证明命题成立，这种方法叫做反证法．(2)反证法证明命题的一般步骤①反设：作出与结论相反的假设；②归谬：由假设出发，利用学过的公理、定理推出矛盾；③作结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．5、直线和圆的位置关系的定义及有关概念(1)直线与圆的位置关系有关概念①相交与割线：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．②切线与切点：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点．③相离，当直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．(2)用数量关系判断直线与圆的位置关系如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：(1)直线l和⊙O相交d＜r(如图(1)所示)；(2)直线l和⊙O相切d=r(如图(2)所示)；(3)直线l和⊙O相离d＞r(如图(3)所示)．6、切线(1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．(3)切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．(4)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．7、三角形的内切圆与三角形的内心①与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形．②三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，三角形的内心到三边的距离相等．8、圆和圆的位置关系(1)图示定义法(交点数)①相离：如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，如上图(1)、(5)、(6)所示，其中(1)又叫做外离，(5)(6)叫做内含；②相切：如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，如图(2)、(3)所示，其中(2)叫外切，(3)叫内切；③相交：如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交，如图(4)所示．注意：圆与圆的位置关系按公共点的个数可分为0，1，2三大类即：(Ⅰ)没有公共点：(Ⅱ)有惟一公共点：(Ⅲ)有两个公共点：相交(2)用数量关系判断两圆的位置关系当两圆的半径一定时，两圆的位置关系与两圆圆心的距离(圆心距)的大小有关，设两圆半径分别为R和r(R＞r)，圆心距为d，则：(1)两圆外离d＞R＋r；(2)两圆外切d=R＋r；(3)两圆相交R－r＜d＜R＋r；(4)两圆内切d=R－r；(5)两圆内含d＜R－r．二、重难点知识归纳与圆有关的位置关系的判断是重点，切线的判定和性质是重点也是难点．三、典型例题剖析例1、如图，已知矩形ABCD中，AB=3cm AD=4cm．若以A为圆心作圆，使B、C、D三点中至少有一点在圆外，且至少有一点在圆内，求⊙A的半径r的取值范围．解：∵矩形ABCD中，∠B=90°，AB=3cm，BC=AD=4cm，∴AC=5cm，其中点B到点A的距离最小，点C到点A的距离最大．若以AB为半径作圆，则没有点在⊙A内；若以AC为半径作圆，则没有点在⊙A外．故⊙A的半径r的取值范围是3cm＜r＜5cm．点拨：这里是由点与圆的位置确定半径r的大小．本例还要注意“至少”一词的理解．例2、阅读下列文字：在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A≠45°，则AC≠BC．证明：假设AC=BC．∵∠A≠45°，∠C=90°，∴∠A≠∠B．∴AC≠BC，这与题设矛盾，∴AC≠BC．上面的证明有没有错误，若没有错误，指出其证明方法是什么？若有错误，请给予指正．解：有错误．改正如下：假设AC=BC，则∠A=∠B，又∠C=90°，∴∠B=∠A=45°，这与∠A≠45°矛盾．∴AC=BC不成立．∴AC≠BC．点拨：运用反证法证题应从“假设”出发，即把假设当作已知条件，一步步有根据地推出与定义、定理、公理或已知矛盾的结论，从而判定“假设”不成立，进一步肯定命题的结论．例3、如图，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD∥BC，E为AB上一点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？解：以AB为直径的圆与CD是相切关系．理由如下：如图，过E作EF⊥CD，垂足为F．∵∠A=∠B=90°，∴EA⊥AD，EB⊥BC.∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，∴．∴以AB为直径的圆的圆心为E，且，∴以AB为直径的圆与边CD相切．点拨：在证明直线与圆的位置关系时，常过圆心向直线作垂线段，再比较垂线段与半径的大小即可．例4、已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD(如图)．求证：DC是⊙O的切线．证明：连结OD．．．∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°．∴∠ODC=90°．∴OD⊥DC.∴DC是⊙O的切线．点拨：已知点B是切点，连结OB得OB⊥BC，要证CD是切线，也要连结OD，证OD ⊥CD，再沟通已知与未知的联系即可．例5、如图，AB是⊙O的直径，AD、BC、CD是⊙O的切线，切点分别是A、B、E，DO、AE相交于点F，CO、BE相交于点G．求证：(1)CO⊥DO；(2)四边形EFOG是矩形．分析：(1)欲证CO⊥DO，只需证明∠ODC＋∠OCD=90°．根据切线长定理，得．再由切线的性质定理，不难得AD∥BC，从而∠ADC＋∠BCD=180°，(1)获证．(2)仍由切线长定理，可证AE⊥DO，BE⊥CO．而∠AEB=90°，(2)获证．证明：(1) ∵AB是⊙O的直径，AD、BC是⊙O的切线，∴AD⊥AB，BC⊥AB．∴AD∥BC．∴∠ADC＋∠BCD=180°．又由切线长定理，得．∴∠ODC＋∠OCD=90°，即∠DOC=90°．故CO⊥DO．(2)∵DA、DE与⊙O相切于点A、E，∴DA=DE．∴AE⊥DO．∴∠EFO=90°．同理，∠EGO=90°．又∠DOC=90°，∴四边形EFOG是矩形．点评：在有关圆的问题，切线长定理与切线的性质定理的综合应用往往是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据．例6、已知⊙O1与⊙O2的半径分别为R，r，且R≥r，r是方程x2－6x＋3=0的两根．设O1O2=d，那么：①若d=7，试判定⊙O1与⊙O2的位置关系；②若，试判定⊙O1与⊙O2的位置关系；③若d=5，试判定⊙O1与⊙O2的位置关系；④若两圆相切，求d的值．解：∵R、r是方程x2－6x＋3=0的两根，∴R＋r=6，R·r=3．∴．(1)∵d=7，即d＞R＋r，∴两圆外离．(2)∵，即d＜R－r，∴两圆内含．(3)∵d=5，即R－r＜d＜R＋r，∴两圆相交．(4)要使⊙O1与⊙O2相切，则d=R＋r或d=R－r，∴d=6或时，两圆相切．点拨：由两圆的位置与两圆的半径、圆心距之间的数量关系知，应先分别求出R＋r、R－r，然后再比较d与R＋r、R－r的大小从而作出判断．例7、已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，且O2点在⊙O1上．(1)如图（1），AD是⊙O2的直径，连结DB，并延长交⊙O1于C．求证：CO2⊥AD．(2)如图（2），如果AD是⊙O2的一条弦，连结DB并延长交⊙O1于C，那么CO2所在的直线是否与AD垂直？证明你的结论．证明：(1)连结AB，则有∠AO2C=∠ABC=180°－∠ABD=90°，∴CO2⊥AD．(2)作直径AD1交⊙O2于D1，连结D1B并延长交⊙O1于C1．由第(1)问知：∠AO2C1=90°，∴∠AD1B＋∠BC1O2=90°．在⊙O2中，∠AD1B=∠ADB；在⊙O1中，∠BC1O2=∠BCO2．∴∠ADB＋∠BCO2=90°．∴CE⊥AD．点拨：解决此类问题，关键是要找出一般与特殊的关系，在图形变换中，要找出不变量．。
课题：27.2与圆有关的位置关系(第6课时切线长定理)
O
B
E
C
选做题
2.如图,在⊙O中,直径CD垂直于不过圆心O的弦AB,垂足为点N,连接AC, 点E在AB上,且AE=CE. （1）求证： AC 2 AE AB； （2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P,试判断PB与PE是否相等, 并说明理由； （3）设⊙O半径为4,点N为OC的中点,点Q在⊙O上,求线段PQ的最小值.
B
探究发现
从圆外一点引圆的切线，这点和切点之间的线段叫做切线长。
A
O B
P
【切线和切线长的区别】切线是直线，不可度量；切线长是切线上切点 与除切点外另一点之间的线段的长，是条线段，可以度量。
探究发现
问题3：在纸上画出如下图所示的图形，沿着直线PO将纸对折。 （1）你有何发现？ （2）请证明你发现的结论？
A
O
P
B
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点 的连线平分两条切线的夹角。
探究发现
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和 这一点的连线平分两条切线的夹角。
A
E
O
C B
D
P ∵PA、PB是⊙O的切线
∴PA=PB,∠OPA=∠OPB
【温馨提示】（1）由切线长定理既可以得到线段相等,又可得到角相 等，运用时要根据题意选用；（2）上图是切线长定理的一个基本图 形，可以直接得到很多结论。
经 典 数 学
（2）若∠P=40°，求∠AFB的度数。
A D C P E B F O
小 结
这节课我学到了什么？
我的收获是……
我还有……的疑惑
P 56
习题 27.2
第 5、 7 题
选做题
1.如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交斜边AC于点D，过圆心O 作OE//AC，交BC于点E，连结DE. （1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由； （2）求证： 2 DE 2 CD OE； 4 5 （3）若tan C ，DE ,求AD的长。 3 2 A
点与圆的位置关系
2、任意一个三角形一定有一个外 接圆；
3、任意一个圆一定有一内接三角 形,并且只有一个内接三角形；
4、三角形的外心到三角形各个顶 点的距离都相等。
你能使得 “破镜重圆” 吗？
解决问题的关键是什么？ (找圆心)
B
A
C
O
练习：书第93页第3题。
三角形的外心的位置：
1、锐角三角形
A.
. .O
.C
锐角三B角形的外心在
......... .点与圆的位置关系
......o...... .
点与圆的位置关系有三种：
点在圆上； 点在圆外。
点在圆内；
动动脑，你一定知道
我们知道圆上所有的点
到圆心的距离都等于半径,如
图,设⊙O的半径为r，A点在
圆内，B点在圆上，C点在圆
外，那么有：OA_<__r, OB_=__r，OC_>__rC。 O
经过三角形三个顶点可以
画一个圆，并且只能画一个。
△ABC
A.
⊙O
. .O
.C
经过三角形三个B顶点的
圆叫做三角形的外接圆。
三角形外接圆的圆心叫
做这个三角形的外心；
就是三角形三条边的垂直平
分线的交点。 A.
. 这个三角形叫做这个.O
.C
圆的内接三角形。 B
判断正误
品尝喜悦!
1、经过三个点一定可以作圆；
D
如何？
B
C
(2)若以A点为圆心作⊙A，
使B、C、D三点中至少有
一个点在圆内，且至少有
一个点在圆外，则圆A的
半径 r 的取值 A
D
范围是什么？ B
C
练习、正方形ABCD的边长
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爆破时，导火索燃烧的速度是每 秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆 破点120m以外的的安全区域，已知这 个导火索的长度为18cm，如果点导火 索的人以每秒6.5m的速度撤离，那么 是否安全？为什么？
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(B)点P在⊙O 外
y 5
(D)不能确定
P 5 x
-5
20 4
o2 -5
4. 如下图, ⊙O 的半径为5,直线l与 ⊙O交于A、B两点，圆心O到直线l的 距离OD=3。在直线l上有P,Q,R三点, 并且PD=4，QD>4,RD<4。则点P在 上 ,点Q在⊙O____ 外 ,点R在 ⊙O_____ 内 。 ⊙O_____
的中点，若线段OA=12cm，则点P在
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⊙O 外 ；若线段OA=8cm，则点P在 ⊙O 上 ；若线段OA=5cm，则点P在 内 。 ⊙O_____
3. 已知⊙O的半径是5，O为原点，点P
的坐标为（2，4），则点P与⊙O的位 置关系为( A ) (A)点P在⊙O内 (C)点P在⊙O上
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实例2：代号“白沙”的台风经过了小岛A。在 每一时刻，台风所侵袭的区域总是以其中心为 圆心的一个圆。小岛A在遭受台风袭击前后，它 与台风的侵袭区域有什么不同的位置关系？
O
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R
A
点与圆的位置关系有几种？
猜想用什么数量关系来描述 点与圆的位置关系？
点在圆外
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O
∟
5 3 A 4D
B
l
能力提升
1、平面上点M到⊙O的最大距离 b 为19 ，那么⊙O的 a ，最小距离是3 11或8 。 半径为_________
B B
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O
O M A
3
M A
2、已知⊙O的半径为4，点P与圆心 的距离为m，且方程x2-4x+m=0有 两个不等实根，则点P与⊙O的位置 点P在圆内 关系是__________________ 。
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在
圆上 ；当OP ＜10 时，点P在圆内；
当OP ≤10 时，点P不在圆外。
例题解析
在△ABC中，∠C=90°， B AB=5，BC=4，以点A为圆心， 以3为半径作圆，请判断： D5 4 （1）C点与⊙A的位置关系； 2.5 （2）B点与⊙A的位置关系； C 3 A （3）AB的中点D与⊙A的位置 关系。 方法点拨：要判定一个点是否在圆上、 圆外、圆内，只需求出此点与圆心的 距离，然后与半径作比较即可.
点在圆上 O
C
A
B
点在圆内
验证猜想
在你画的三幅图中，分别验证点P到圆心 O 的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系，与同 学交流并写出结论：
语言描述
d<r
P
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点在圆上
O
d=r
P
点在圆外
O
d>r
1、已知⊙O的半径为5cm，若线段 OA=3cm,则点A在⊙O 内 ；若线段 OB=5cm，则点B在⊙O 上 ；若线段 OC=7cm，则点C在⊙O____ 外。 2、⊙O的半径10cm，当OP=10时，点P
∟
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基础验收
1
倍 速 课 时 学 练
2
3
4
1. 若⊙O的直径为6，点A到圆心O的 d>3 ， 距离为d，若点A在圆外，则______ 若点A在圆上，则______ d=3 ，若点A在圆 内，则_______ d<3 。
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2、 ⊙O的半径4cm，点P为线段OA
27.2与圆有关的
位置关系
点与圆的位置关系
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情境导入
射击的靶子是由许多同心圆组成的， 射击的成绩是由击中靶子不同位置决定 的。下图是一位运动员射击10发子弹在 靶子上留下的痕迹。
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实践探究 实例1：足球运动员踢出的地滚球在球场 上滚动，在其穿越中间圆形区域的过程 中，足球与这个圆有怎样的位置关系？