运用完全平方公式进行因式分解
用完全平方公式分解因式
用完全平方公式分解因式好的，以下是为您生成的文章：因式分解，这玩意儿在数学里就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开好多难题的大门。
今儿个咱们就来聊聊其中的一个重要招式——用完全平方公式分解因式。
先说说啥是完全平方公式哈。
这就好比盖房子，得有个牢固的框架，完全平方公式就是这个框架。
（a ± b）² = a² ± 2ab + b²，记住喽！那这公式咋用来分解因式呢？就拿一个简单的例子来说，比如 x² +6x + 9。
咱瞅瞅，这是不是很像（a + b）² = a² + 2ab + b²这个式子？这里的 a 就是 x，b 就是 3，因为 2×x×3 = 6x 嘛。
所以，x² + 6x + 9 就能分解成（x + 3）²。
咋样，是不是有点儿意思啦？再比如 16x² - 24x + 9 ，这也能用完全平方公式。
先看前面 16x²，可以写成（4x）²，后面 9 就是 3²，中间 -24x 正好是 -2×4x×3 。
所以，它就能分解为（4x - 3）²。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小调皮一直瞪着大眼睛，一脸懵的样子。
我就走到他旁边，问他：“咋啦，这完全平方公式把你难住啦？”他苦着脸说：“老师，我感觉这就像一团乱麻，理不清啊。
”我笑着跟他说：“别着急，咱们慢慢来。
”然后我就带着他一步一步地分析，从最简单的式子开始，慢慢地，他的眼睛亮了起来，兴奋地说：“老师，我懂啦！”那一刻，我心里别提多有成就感了。
其实啊，用完全平方公式分解因式就像是解谜游戏。
只要你找准了关键，就能轻松解开谜题。
比如说 4x² + 12xy + 9y²，一看，这就是（2x + 3y）²嘛。
不过，这中间也容易出错。
部审湘教版七年级数学下册3.3第2课时《利用完全平方公式进行因式分解》说课稿
部审湘教版七年级数学下册3.3 第2课时《利用完全平方公式进行因式分解》说课稿一. 教材分析《利用完全平方公式进行因式分解》是部审湘教版七年级数学下册3.3第2课时的一节内容。
本节课的主要内容是让学生掌握完全平方公式的推导过程，理解并熟练运用完全平方公式进行因式分解。
教材通过引入平方项、交叉项和常数项的概念，引导学生探究完全平方公式的规律，从而达到培养学生观察、思考、归纳的能力。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了实数、代数式的基本知识，对于因式分解有一定的了解。
但在运用完全平方公式进行因式分解时，部分学生可能会对公式的运用产生困惑，特别是在处理交叉项时容易出错。
因此，在教学过程中，我需要关注学生的掌握情况，针对性地进行辅导。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握完全平方公式的推导过程，理解并熟练运用完全平方公式进行因式分解。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、归纳等方法，培养学生发现和总结规律的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：完全平方公式的推导过程，以及如何运用完全平方公式进行因式分解。
2.教学难点：如何引导学生发现并总结完全平方公式的规律，以及处理交叉项时的技巧。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生主动探究、归纳总结。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学工具，以及网络资源，为学生提供丰富的学习材料。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入完全平方公式的概念，激发学生的学习兴趣。
2.探究规律：引导学生观察、分析完全平方公式的结构，让学生自主发现完全平方公式的规律。
3.讲解示范：对完全平方公式的推导过程进行详细讲解，并通过例题展示如何运用完全平方公式进行因式分解。
4.练习巩固：布置一些练习题，让学生独立完成，检验学生对完全平方公式的掌握程度。
人教版八年级数学上册14.3.2.2《运用完全平方公式因式分解》教学设计
人教版八年级数学上册14.3.2.2《运用完全平方公式因式分解》教学设计一. 教材分析完全平方公式因式分解是八年级数学上册14.3.2节的一个重要内容。
本节课的主要目的是让学生掌握完全平方公式，并能够运用完全平方公式进行因式分解。
教材中通过例题和练习题的形式，帮助学生理解和掌握完全平方公式，并能够将其应用到实际问题中。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了多项式的乘法、完全平方公式的概念和应用。
但部分学生对于完全平方公式的理解和运用仍存在困难，需要通过本节课的学习来进一步巩固和提高。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解完全平方公式的含义，并能够运用完全平方公式进行因式分解。
2.过程与方法目标：通过练习和实际问题，培养学生运用完全平方公式解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。
四. 教学重难点1.完全平方公式的理解和运用。
2.因式分解的方法和技巧。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过思考和探索来理解完全平方公式。
2.通过例题和练习题，让学生通过实际操作来掌握完全平方公式的运用。
3.采用小组合作学习的方式，培养学生的合作能力和交流能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。
2.准备练习题和实际问题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习多项式的乘法和完全平方公式的概念，引导学生回顾已学的相关知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过讲解和演示，向学生介绍完全平方公式的含义和运用方法。
通过具体的例题，让学生理解和掌握完全平方公式的运用。
3.操练（10分钟）学生分组合作，通过实际的练习题，运用完全平方公式进行因式分解。
教师巡回指导，解答学生的疑问，帮助学生巩固完全平方公式的运用。
4.巩固（10分钟）学生独立完成一些练习题，巩固对完全平方公式的理解和运用。
教师选取部分学生的作业进行点评和讲解，帮助学生进一步提高。
14.3.2.2 运用完全平方公式分解因式(共10张PPT)
-6-
第2课时
运用完全平方公式分解因式
-7-
10.正方形的面积是9a2+12ab+4b2( a>0,b>0 ),求该正方形的边长.
解:∵9a2+12ab+4b2=( 3a+2b )2,
∴1<c<5,∴c=4.
( 2 )x4+y4+2x2y2=( x2+y2 )2.
∴正方形的边长为3a+2b.
∴1<c<5,∴c=4.
x-2y-2 )2=0,∴xy=4,y=2,
)假设不彻底,请直接写出因式分解的最后结果 ( x-2 )4 .
4
2 2
2 2 4 4
4
|xy-4|+( x-2y-2 )2=0,求x2+4xy+4y2的值.
下面是某同学对多项式(
x2-4x+2 )( x2-4x+6 )+4进行因式分解的过程.
( 3 )该多项式因式分解时,既运用了平方差公式,又运用了完全平分公式.
C.9-6( m-n )+( m-n )2=( 3-m-n )2
D.-a2-b2+2ab=-( a-b )2
7.9( a-b )2+12( a2-b2 )+4( a+b )2 因式分解的结果是
( A )
A.( 5a-b )2
B.( 5a+b )2
C.( 3a-2b )( 3a+2b )
D.( 5a-2b )2
B.3( x2-2x+1 )
C.3( x-1 )2
D.( 3x-1 )2
5.( 贺州中考 )将多项式2mx2-8mx+8m分解因式的结果是 2m( x-2 )2 .
完全平方公式分解因式的方法
完全平方公式分解因式的方法完全平方公式是指一个二次多项式的平方可以被写成两个一次多项式的平方和的形式，例如 $x^2+6x+9$ 就是一个完全平方：$x^2+6x+9 = (x+3)^2$。
分解完全平方的方法有多种，其中最常用的是配方法和直接提取平方根法。
下面我们分别介绍这两种方法。
一、配方法1. 将二次项系数 $a$ 除以 $2$，得到系数 $m=frac{a}{2}$。
2. 将常数项 $c$ 和 $m$ 的平方相减，得到差值 $n=c-m^2$。
3. 将原式按照 $x^2+2mx+m^2+n$ 的形式写出来。
4. 将 $x^2+2mx+m^2$ 分解成 $(x+m)^2$。
5. 将 $(x+m)^2+n$ 分解成 $(x+m+sqrt{n})(x+m-sqrt{n})$。
例如，对于 $x^2+6x+9$ 这个完全平方，我们可以按照以上步骤进行分解：1. $m=frac{6}{2}=3$。
2. $n=9-3^2=0$。
3. 原式为 $x^2+2times3x+3^2$。
4. $x^2+2times3x+3^2=(x+3)^2$。
5. $(x+3)^2+0=(x+3+sqrt{0})(x+3-sqrt{0})=(x+3)^2$。
因此，$x^2+6x+9$ 可以分解为 $(x+3)^2$。
二、直接提取平方根法对于形如 $x^2+2mx+m^2$ 的完全平方，我们可以直接提取平方根得到 $(x+m)^2$。
例如，$x^2+6x+9$ 就可以直接提取平方根得到 $(x+3)^2$。
需要注意的是，直接提取平方根的方法只适用于完全平方的情况，如果是一般的二次多项式，就需要使用配方法等其他方法进行因式分解了。
以上就是完全平方公式的分解因式方法，希望对大家有所帮助。
利用完全平方公式进行因式分解ppt课件
④ 4x2 – 8xy + 4y2 = 4 (x2–2xy+y2) = 4 (x–y)2
例3 把下列完全平方式因式分解。
（1）x2+14x+49； （2）（m+n）2-6（m+n）+9.
例4 把下列各式因式分解。
（1）3ax2+6axy+3ay2； （2）-x2-4y2+4xy。
补例 把9x2 3x 1 因式分解
试计算：9992 + 2×1999998×1 + 1 = (999+1)2 = 106
就像平方差公式一样，完全平方公式也可 以逆用，从而进行一些简便计算与因式分解。 即：
a 2 2 a b b 2 a b 2
a 2 2 a b b 2 a b 2
这个公式可以用文字表述为：
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的 积的两倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
a 2 2 a b b 2 a b 2
牛刀小试(对下列各式因式分解)：
① a2+6a+9 = _______(a_+__3)_2______ ② n2–10n+25 = ____(n_–_5_)_2_______ ③ 4t2–8t+4 = _____4_(t_–_1_)_2 _______ ④ 4x2–12xy+9y2 = _(_2_x_–_3_y_)2______
形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式。
① 16x2 + 24x + 9
② – 4x2 + 4xy – y2 ③ x2 + 2x – 1
完全平方式
④ 4x2 – 8xy + 4y2 ⑤ 1 – 2a2 + a4 ⑥ (p+q)2 – 12(p+q) + 36
用完全平方公式进行因式分解
4y2=22y2=（2y）2
运用了积的乘方的逆 运用公式！
分解因式： (1) －2xy－x2－y2 (2) 4(m+n)2+24(m+n)+36 (3) ax2+2a2x+a3
(解析：） (1) －2xy－x2－y2
解：原式=-(2xy+x2+y2)
=-(x2+2xy+y2)
=-(x+y)2
例1：下列各式是不是完全平 方式
(1)a2+b2+2ab 是 (2)-2xy+x2+y2 是
(3)6x2-9xy+10y2不是(4)4a2+12ab+9b2 是
(5)x2+x+
1 4
是 (6)a2+6ab+b2 不是
(7)-x2+2xy-y2 是 (8)x2+y2
不是
例2：请补上一项，使下列多项式成为完全 平方式。
(2) 4(m+n)2+24(m+n)+36
解：原式=[2(m+n)]2+ 2×2（m+n)×6+62
=[2(m+n)+6]2
=(2m+2n+6)2
=[2(m+n+3)]2
=4(m+n+3)2
(3) ax2+2a2x+a3 解：原式=a.x2+a.2ax+a.a2
=a(x2+2ax+a2) =a(x2+2.x.a+a2) =a(x+a)2
解：(1)3ax2+6axy+3ay2
6.3(2)运用完全平方公式因式分解[下学期]
1．分解因式： 分解因式：
1) 9a 2 − 6ab + b 2 ) − a 2 − 10a − 25 ( (2 3 ) 49b 2 + a 2 + 14ab ) 4x 3y + 4x 2y 2 + xy 3 ( (4
( 5 ) x 4 − 18x 2 + 81
2 2
2.下面因式分解对吗？为什么？ 2.下面因式分解对吗？为什么？ 下面因式分解对吗
两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的 两个数的平方和， 平方和 或减去） 积的两倍，等于这两数和 或者差）的平方． 积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方．
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b)2 a
2
− 2ab + b
2
= (a − b )
2
两个数的平方和，加上（或减去） 两个数的平方和，加上（或减去）这两个数 平方和 积的两倍，等于这两数和 或者差）的平方． 的积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方．
1．判别下列各式是不是完全平方式． ．判别下列各式是不是完全平方式．
(1) x + y ； 不是
2 2
(2) x + 2 xy + y ； 是
2 2
(3) x − 2 xy + y ； 是
2 2
(4) x + 2 xy − y ； 不是
2 2
(5) − x + 2 xy − y ． 是
2 2
你能总结出完全平方式的特点吗？ 你能总结出完全平方式的特点吗？
± 2 × 首 × 尾+ 首 尾
2
2
a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 ; a 2 − 2ab + b 2 = (a − b) 2 判别下列各式是不是完全平方式， 判别下列各式是不是完全平方式，若是说出
利用完全平方公式因式分解
利用完全平方公式因式分解当我们遇到一个多项式无法因式分解的时候，可以考虑使用完全平方公式来进行因式分解。
完全平方公式是一种通过加减法将一个二次多项式转化为一个平方的方法。
完全平方公式如下：(a+a)^2=a^2+2aa+a^2(a−a)^2=a^2−2aa+a^2我们以一个具体例子来说明这个方法。
假设我们要因式分解a^2+6a+9这个二次多项式。
我们可以将这个多项式写成一个完全平方的形式。
根据完全平方公式，(a+a)^2=a^2+2aa+a^2，我们可以将a^2+6a+9写成(a+3)^2的形式。
因此，a^2+6a+9=(a+3)^2接下来我们来看一个更复杂的例子。
假设我们要因式分解a^2+8a+12这个二次多项式。
我们可以尝试将这个多项式写成两个完全平方的和的形式。
首先，我们需要找到两个数，它们的乘积等于12，而它们的和等于8、通过试错的方法，我们可以得出这两个数是2和6然后，我们可以使用这两个数将a^2+8a+12进行因式分解。
a^2+8a+12=(a+2)(a+6)通过这种方法，我们成功将a^2+8a+12因式分解为两个一次多项式的乘积。
(a+2)(a+6)即为该多项式的因式分解形式。
除了上述的二次多项式，我们还可以使用完全平方公式来因式分解更复杂的多项式。
例如，a^4+10a^2+25这个四次多项式。
我们可以将a^4+10a^2+25写成一个完全平方的形式。
根据完全平方公式，(a+a)^2=a^2+2aa+a^2，我们可以尝试将a^4+10a^2+25写成(a^2+5)^2的形式。
通过这种方法，我们成功将a^4+10a^2+25因式分解为一个完全平方的平方。
(a^2+5)^2即为该多项式的因式分解形式。
总结一下，完全平方公式是一种因式分解多项式的方法。
通过将一个二次多项式转化为一个平方的形式，我们可以更容易地因式分解一个多项式。
通过试错的方法或其他的求解技巧，我们可以找到适合使用完全平方公式的例子来进行因式分解。
运用完全平方公式分解因式
运用完全平方公式分解因式完全平方公式是指一个二次多项式的平方可以进行因式分解成两个一次多项式之和，并且这两个一次多项式都是该二次多项式的根。
设二次多项式为$ax^2+bx+c$，其中$a\neq0$。
根据完全平方公式，可以将其因式分解为$(px+q)^2$的形式，其中$p$和$q$分别表示两个一次多项式的系数。
根据完全平方公式进行因式分解的步骤如下：1. 计算二次项的系数：$p=\sqrt{a}$。
2. 计算常数项的系数：$q=\frac{b}{2\sqrt{a}}$。
3. 将一次项表示为$p$和$q$的线性组合：$bx=c(q+px)$。
这一步是将一次项表示为两个一次多项式的和的形式。
对于一个给定的二次多项式，如果其平方形式与完全平方公式的形式相同，则可以直接确定因式分解。
否则，需要对二次多项式进行平方操作，然后根据完全平方公式进行因式分解。
下面以两个例子来说明完全平方公式的应用。
例子1：将$4x^2+4x+1$进行因式分解。
步骤1：计算二次项的系数：$p=\sqrt{4}=2$。
根据以上步骤，可以将$4x^2+4x+1$分解为$(2x+1)^2$。
例子2：将$9x^2-12x+4$进行因式分解。
步骤1：计算二次项的系数：$p=\sqrt{9}=3$。
根据以上步骤，可以将$9x^2-12x+4$分解为$(3x-2)^2$。
除了完全平方公式，还可以使用差平方公式和平方差公式进行因式分解。
差平方公式是指一个二次多项式可以进行因式分解成两个一次多项式之差的平方，并且这两个一次多项式都是该二次多项式的根。
平方差公式是指一个二次多项式可以进行因式分解成两个一次多项式的平方差的形式，并且这两个一次多项式都是该二次多项式的根。
完全平方公式、差平方公式和平方差公式是进行因式分解的重要工具。
在解决实际问题中，常常会遇到需要进行因式分解的情况。
因此，熟练掌握这些公式的应用是很重要的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
运用公式法进行因式分解
(完成后红笔批阅,拍照与课本119页练习全部、习题第3题一起
提交至家校本)
一．选择题（共6小题）
1．下列因式分解正确的是（）
A．m2﹣4n2＝（m﹣2n）2
B．﹣3x﹣6x2＝﹣3x（1﹣2x）
C．a2+2a+1＝a（a+2）
D．﹣2x2+2y2＝﹣2（x+y）（x﹣y）
2．下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（）
A．x2+2x﹣1B．x2﹣x+1
4C．x
2+xy+y2D．9+x2﹣3x
3．下列各式中，能用完全平方公式分解的个数为（）
①x2﹣10x+25：②4a2+4a﹣1；③x2﹣2x﹣1；④﹣m2+m−14；⑤4x4﹣x2+14
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（）
A．y2﹣x2+2xy B．y2+x2+xy C．25y2+15y+9D．4x2+9﹣12x 5．把（a2+1）2﹣4a2分解因式得（）
A．（a2+1﹣4a）2B．（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）
C．（a+1）2（a﹣1）2D．（a2﹣1）2
6．若4x2+（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为（）A．±6B．±12C．﹣13或11D．13或﹣11二．填空题（共7小题）
7．因式分解：25x2﹣20xy+4y2＝．
8．因式分解：16a2+24ab+9b2＝．
9．4a2﹣12a+9分解因式得．
10．写分解因式a2﹣8ab+16b2的结果．
11．分解因式：m2﹣4m+4＝．
12．因式分解：9a2﹣12a+4＝．
13．分解因式：﹣x2+4x﹣4＝．
三．解答题（共5小题）
14．因式分解：9x2﹣6x+1
15．因式分解：（a2﹣2）2﹣4（a2﹣2）+4．
16. 因式分解：9a2+（﹣30ab）+25b2
17. 因式分解：（x2﹣1）2+6（1﹣x2）+9
18．分解因式：
（1）2a3﹣4a2b+2ab2；（2）x4﹣y4。