内蒙古乌兰察布市2021届新高考四诊数学试题含解析
2021年内蒙古乌兰察布市四子王旗一中高考数学模拟试卷(理科)(4月份)(附答案详解)
2021年内蒙古乌兰察布市四子王旗一中高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={x|y =lg(1−x)}，B ={y|y =2x }，则A ∩B =( )A. (0,+∞)B. [−1,0)C. (0,1)D. (−∞,1)2. 以下有关命题的说法错误的是( )A. 命题“若x 2−3x +2=0，则 x =1”的逆否命题为“若x ≠1，则 x 2−3x +2≠0B. “x =1”是“x 2−3x +2=0”的充分不必要条件C. 若 p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题D. 对于命题 p ：∃x ∈R 使得x 2+x +1<0，则￢p ：∀x ∈R ，均有x 2+x +1≥03. 已知角α的终边经过点(−4,−3)，则cos(π2+2α)=( )A. −2425B. −1225C. 1225D. 24254. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=4，a ⃗ ⊥(a ⃗ +b ⃗ )，则向量a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为( )A. −1B. −2C. 2D. 15. 已知等比数列{a n }中，a 5a 11=9a 8，数列{b n }是等差数列，且b 8=a 8，则b 3+b 13=( )A. 18B. 9C. 16D. 816. 若x ，y 满足约束条件{0≤2x +y ≤63≤x −y ≤6,则z =x +2y 的最大值为( )A. 10B. 8C. 5D. 37. 已知函数f(x)=√3sinx −cosx ，则下列说法正确的是( )A. f(x)的图象关于(2π3,0)对称 B. f(x)图象关于直线x =π6对称 C. f(x)的最小正周期为πD. f(x)在(0,2π3)上单调递增8. 函数f(x)=(21+e x −1)cosx(其中e 为自然对数的底数)图象的大致形状是( )A. B.C. D.9.已知F1，F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P，且|PF2|=b，则该双曲线的离心率为()A. √3B. √5C. √52D. √6210.已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的正弦值为()A. 12B. √105C. √155D. √6311.在直角坐标系xOy中，抛物线M：y2=2px(p>0)与圆C：x2+y2−2√3y=0相交于两点，且两点间的距离为√6，则抛物线M的焦点到其准线的距离为()A. √32B. √3 C. √62D. √612.定义在R上的偶函数f(x)，其导函数f′(x)，当x≥0时，恒有x2f′(x)+f(−x)<0，若g(x)=x2f(x)，则不等式g(x)<g(1−2x)的解集为()A. (13,1) B. (−∞,13)∪(1,+∞)C. (13,+∞) D. (−∞,13)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=ln(x−1)的一条切线方程是y=2x−b，则b=______．14.设n=∫21(3x2−2)dx，则(x√x)n的展开式中含x2项的系数是______ ．15.设i是虚数单位，复数z=(a−i)(1+i3)(其中a∈R)，则|z|的最小值为______．16.已知三棱锥P−ABC的体积为83,PA⊥底面ABC，且△ABC的面积为4，三边AB，BC，CA的乘积为16，则三棱锥P−ABC的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，S n=n2+n(a1−1)(n∈N∗)，且a1，(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=1，求数列{b n}的前n项和T n．a n a n+118.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a(cosB−3cosC)=(3c−b)cosA．(1)求c的值；b(2)若角C=2π，a=4，求△ABC的周长．319.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=2，E为PD中点．(1)求证：AE⊥PC；(2)求二面角B−AE−C的正弦值．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为M，直线FM的斜率为−√22，且原点到直线FM的距离为√63．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若不经过点F的直线l：y=kx+m(k<0,m>0)与椭圆C交于A，B两点，且与圆x2+y2=1相切．试探究△ABF的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．21.已知函数f(x)=lnx+(x−2)e x．(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若关于x 的不等式f(x)<x +a 在(12,1)上恒成立，求a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=acosθ(a >0)，过点P(−2,−4)的直线l 的参数方程为{x =−2+√22ty =−4+√22t (t 为参数)，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点． (Ⅰ)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (Ⅱ)若|PA|⋅|PB|=|AB|2，求a 的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵1−x>0，∴x<1，∴A=(−∞,1)，∵2x>0，∴B=(0,+∞)，∴A∩B=(0,1)．故选：C．求对数函数的定义域，求指数函数的值域，确定集合A、B，然后根据交集定义求结果．本题考查了交集及其运算，考查了对数函数的定义域，指数函数的值域，是基础题．2.【答案】C【解析】解：A.命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2−3x+2≠0”，故A正确，B.由x2−3x+2=0得x=1或x=1，则“x=1”是“x2−3x+2=0”的充分不必要条件，故B正确，C.若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故C错误，D.命题p：∃x∈R使得x2+x+1<0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，正确故D 正确．故错误的是C，故选：C．①根据逆否命题的定义进行判断．②根据充分条件和必要条件的定义进行判断③根据复合命题的真假关系进行判断．④根据含有量词的命题的否定进行判断．本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题真假关系，含有量词的命题的否定以及充分条件和必要条件的判断，综合性较强，但难度不大．3.【答案】A【解析】解：由题意可得x=−4，y=−3，r=5，∴cosα=xr =−45，sinα=yr=−35∴cos(π2+2α)=−sin2α=−2sinαcosα=(−2)×(−35)×(−45)=−2425．故选：A．由任意角的三角函数的定义可求sinα，cosα的值，进而利用诱导公式，二倍角公式化简所求即可计算得解．本题主要考查任意角的三角函数的定义以及诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：∵a⃗⊥(a⃗+b⃗ )，∴a⃗⋅(a⃗+b⃗ )=0∴a⃗2+a⃗⋅b⃗ =0，∴a⃗⋅b⃗ =−4，所以向量a⃗在b⃗ 方向上的投影为：a⃗ ⋅b⃗|b⃗|=−44=−1，故选：A．先根据a⃗⊥(a⃗+b⃗ )推出a⃗⋅b⃗ =−4，然后根据向量a⃗在b⃗ 上投影的概念得到：a⃗ ⋅b⃗|b⃗|=−1．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．5.【答案】A【解析】解：等比数列{a n}中，∵a5a11=a82=9a8，∴a8=9(a8≠0)，∵a8=b8，∴b8=9，等差数列{b n}中，b3+b13=2b8=18．故选：A．由a5a11=9a8，结合等比数列的中项性质解出a8的值，由等差数列的中项性质可得b3+ b13=2b8，则答案可求．本题考查等差数列、等比数列的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．【解析】解：由约束条件{0≤2x +y ≤63≤x −y ≤6,作出可行域如图，化目标函数z =x +2y 为直线方程的斜截式，y =−12x +z2，由图可知，当直线y =−12x +z2过A(3,0)时，直线在y 轴上的截距最大， z 有最大值为3． 故选：D ．由约束条件作出可行域，化目标函数z =x +2y 为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．7.【答案】D【解析】解：∵f(x)=√3sinx −cosx =2sin(x −π6)， ∴f(2π3)=2sin(2π3−π6)=2≠0，∴f(x)的图象不关于点(2π3,0)对称，A 错误； 又f(π6)=0，∴f(x)的图象不关于直线x =π6对称，B 错误； f(x)的最小正周期T =2π1≠π，C 错误；当x ∈(0,2π3)时，x −π6∈(−π6,π2)⊆(−π2,π2)， ∴f(x)在(0,2π3)上单调递增，D 正确，故选：D ．答案．本题考查两角和与差的三角函数，考查正弦函数的单调性、对称性、周期性等性质，考查逻辑推理能力与数学运算能力，属于中档题．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数图象的判断，考查函数奇偶性的应用，属于中档题．判断f(x)的奇偶性，再根据f(x)在(0,π2)上的函数值的符号得出答案．【解答】解：f(x)=(21+e x −1)cosx=1−e x1+e xcosx，f(−x)=1−e−x1+e−x cos(−x)=e x−1e x+1cosx=−f(x)．∴f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除A，C；当0<x<π2时，e x>1，cosx>0，∴f(x)=1−e x1+e xcosx<0，排除D，故选：B．9.【答案】B【解析】解：F1，F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P，且|PF2|=b，可得|PF1|=2a+b，所以(2a+b)2+b2=4c2，又a2+b2=c2，可得b=2a，则e=ca =√a2+b2a2=√5．故选：B．利用双曲线的定义，结合勾股定理，转化求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．10.【答案】C【解析】 【分析】本题考查了直三棱柱的定义，通过向量求异面直线所成角的问题的方法，向量加法的平行四边形法则，相等向量和相反向量的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．可画出图形，可知∠ABC =120°，AB =2，BC =CC 1=BB 1=1，∠B 1BC =∠B 1BA =90°，然后根据AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )进行数量积的运算即可求出AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，并可求出|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5，然后即可求出cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >的值，进而得出异面直线AB 1与BC 1所成角的正弦值． 【解答】 解：如图，∵∠ABC =120°，AB =2，BC =CC 1=BB 1=1，∠B 1BC =∠B 1BA =90°，∴AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−2×1×(−12)+1=2，又|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5,|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2，∴cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√10，∴异面直线AB 1与BC 1所成角的正弦值为√155．故选：C ．11.【答案】A【解析】解：圆C：x2+y2−2√3y=0整理可得：x2+(y−√3)2=3，可得圆C过O(0,0)，而抛物线也过原点O，设抛物线与圆的另一个交点B，由|OB|=√6，而圆的半径r=|OC|=√3，所以可得OC⊥BC，即△BOC为直角三角形，∠BOC=π，2可得B(√3,√3)，将B代入抛物线的方程可得：3=2p⋅√3，，解得：p=√32，所以抛物线M的焦点到其准线的距离为p=√32故选：A．由圆的的方程可得圆C过原点，抛物线也过原点，设另一个交点为B，由题意可得|OB|的值，再由圆的半径可得OC⊥BC，进而去B的坐标，再将B的坐标代入抛物线的方程求出p的值，进而求出抛物线焦点到准线的距离．本题考查抛物线与圆的综合及抛物线的性质，属于中档题．12.【答案】Af′(x)+f(−x)]≤0，【解析】解：g(x)=x2f(x)，当x≥0时，g′(x)=2x[x2∴函数g(x)在[0,+∞)上单调递减．∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，∴函数g(x)是定义在R上的偶函数，则不等式g(x)<g(1−2x)即g(|x|)<g(|1−2x|)，∴|x|>|1−2x|，<x<1．解得：13,1)．∴不等式g(x)<g(1−2x)的解集为(13故选：A．f′(x)+f(−x)]≤0，可得函数g(x)在[0,+∞) g(x)=x2f(x)，当x≥0时，g′(x)=2x[x2上单调递减．根据函数f(x)是定义在R上的偶函数，可得函数g(x)是定义在R上的偶函数，不等式g(x)<g(1−2x)即g(|x|)<g(|1−2x|)，转化即可得出不等式的解集．本题考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】3+ln2【解析】解：由y=ln(x−1)，得y′=1x−1，由1x−1=2，得x=32，∴y=ln(32−1)=−ln2，则切点坐标为(32,−ln2)，代入y=2x−b，可得−ln2=2×32−b，则b=3+ln2．故答案为：3+ln2．求出原函数的导函数，由导函数值为2求解切点坐标，再把切点坐标代入切线方程即可求得b值．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．14.【答案】40【解析】解：由于n=∫21(3x2−2)dx=(x3−2x)|12=4−(−1)=5，则(x√x )n的展开式的通项公式为Tr+1=C5r⋅x5−r⋅2r⋅x−r2=2r⋅ C5r⋅x5−3r2，令5−3r2=2，解得r=2，∴展开式中含x2项的系数是22⋅ C52=40，故答案为：40先利用定积分求得n的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r 的值，即可求得展开式中含x2项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．15.【答案】√2【解析】解：∵z=(a−i)(1+i3)=(a−i)(1−i)=(a−1)−(a+1)i，∴|z|=√(a−1)2+(a+1)2=√2a2+2≥√2．∴|z|的最小值为√2．故答案为：√2．利用复数代数形式的乘除运算化简z，求出|z|，再由二次函数求最值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．16.【答案】8π【解析】解：设△ABC的外接圆的半径为r，则S△ABC=12absinC=12ab×c2r=abc4r，解得r=1∵三棱锥P−ABC的体积为83,PA⊥底面ABC，且△ABC的面积为4．∴13×4×PA=83，∴PA=2如图，设球心为O，M为△ABC的外接圆的圆心，则OM=12PA=1则三棱锥P−ABC的外接球的半径R=√OM2+r2=√2．三棱锥P−ABC的外接球的表面积为4πR2=8π．故答案为：8π设△ABC外接圆半径为r，设三棱锥P−ABC球半径为R，由正弦定理，求出r=1，再由勾股定理得R=OP，由此能求出三棱锥的外接球的表面积．本题考查三棱锥的外接球体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、勾股定理的合理运用．属于中档题．17.【答案】解：(1)等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，S n=n2+n(a1−1)(n∈N∗)，当n=2时，a1+a2=4+2(a1−1)，整理得：a2−a1=d=2，由于：a1，a3−1，a5+7成等比数列．则：(a3−1)2=a1⋅(a5+7)，即：(a1+2d−1)2=a1⋅(a1+4d+7)，解得：a1=1．所以数列的通项公式为：a n=1+2(n−1)=2n−1，(2)由于：a n=2n−1，则：b n=1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，所以：T n=12[(1−13)+(13−15)+⋯(12n−1−12n+1)]，=12(1−12n+1)，=n2n+1．【解析】本题考查的知识要点：数列通项公式的求法，裂项相消法在数列求和中的应用，属于一般题．(1)直接利用递推关系式求出数列的通项公式．(2)利用裂项相消法求出数列的和．18.【答案】解：(1)由题设及正弦定理得sinAcosB−3cosCsinA=3sinCcosA−sinBcosA，整理得sinAcosB+sinBcosA=3sinCcosA+3cosCsinA，sin(A+B)=3sin(C+A)，∵A+B+C=180°，∴sinC=3sinB，由正弦定理得cb=3．(2)由已知及余弦定理得cos2π3=b2+42−c22⋅4⋅b，∵c=3b，∴b2+42−9b22⋅4⋅b =−12，∴2b2−b−4=0，∴b=1+√334，∴△ABC的周长为a+b+c=4+4b=4+4⋅1+√334=5+√33．【解析】(1)根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sinC= 3sinB；进而得到结论；(2)根据(1)的结论，再结合余弦定理，即可求b的值，进而得到其周长本题考查了正弦定理和余弦定理以及三角形的内角和公式的灵活运用．属于基础题．19.【答案】(1)证明：∵底面ABCD 是边长为2的正方形，PA =2，E 为PD 中点， ∴AE ⊥PD ，CD ⊥AD ．∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴CD ⊥PA ． ∵PA ∩AD =A ，∴CD ⊥平面PAD ， ∵AE ⊂平面PAD ，∴CD ⊥AE ， ∵CD ∩PD =D ，∴AE ⊥平面PCD ， ∵PC ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PC ；(2)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立如图空间直角坐标系． 则A(0,0，0)，B(2,0，0)，C(2,2，0)，E(0,1，1)， AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0)， 设平面ABE 的一个法向量m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则{m⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x =0m ⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =y +z =0，取y =1，得m⃗⃗⃗ =(0,1,−1)； 设平面AEC 的一个法向量为n⃗ =(a,b,c)， 则{n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a +2b =0n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =b +c =0，取a =1，得n ⃗ =(1,−1,1)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−2√3×√2=−√63， ∴二面角B −AE −C 的正弦值为√1−(−√63)2=√33．【解析】(1)由已知可得AE ⊥PD ，CD ⊥AD.再由PA ⊥平面ABCD ，得CD ⊥PA.则CD ⊥平面PAD ，得到CD ⊥AE ，利用线面垂直的判定可得AE ⊥平面PCD ，则AE ⊥PC ； (2)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立如图空间直角坐标系．分别求出平面ABE 与平面AEC 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角B −AE −C 的正弦值．本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20.【答案】解：(1)可设F(c,0)，M(0,b)，可得−bc =−√22，直线FM的方程为bx+cy=bc，即有bc√b2+c2=√63，解得b=1，c=√2，a=√3，则椭圆方程为x23+y2=1；(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2). (x1>0,x2>0)，连接OA，OQ，在△OAQ中，|AQ|2=x12+y12−1=x12+1−x123−1=23x12，即|AQ|=√63x1，同理可得|BQ|=√63x2，∴|AB|=|AQ|+|BQ|=√63(x1+x2)，∴|AB|+|AF|+|BF|=√63(x1+x2)+√3−√63x1+√3−√63x2=2√3，∴△ABF的周长是定值2√3．【解析】(1)可设F(c,0)，M(0,b)，由直线的斜率公式和点到直线的距离公式，解方程可得b，c，进而得到a，可得椭圆方程；(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2).(x1>0,x2>0)，运用勾股定理和点满足椭圆方程，求得|AQ|=√63x1，同理可得|BQ|=√63x2，再由焦半径公式，即可得到周长为定值．本题综合考查椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、勾股定理、两点之间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查推理能力和计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)依题意，f′(x)=1x +e x+(x−2)e x=1x+(x−1)e x，则f′(1)=1，而f(1)=−e，故所求切线方程为y=x−1−e；(2)证明：依题意，a>lnx+(x−2)e x−x，令g(x)=lnx+(x−2)e x−x，则g′(x)=(x−1)(e x−1x)，当12<x<1时，x−1<0，令ℎ(x)=(e x−1x)，则ℎ′(x)=e x +1x 2>0， ∴ℎ(x)在(12,1)上单调递增，又ℎ(12)=√e −2<0，ℎ(1)=e −1>0，∴存在x 0∈(12,1)，使得ℎ(x 0)=0，即e x 0=1x 0，即lnx 0=−x 0，∴当x ∈(12,x 0)时，ℎ(x)<0，此时g′(x)>0，当x ∈(x 0,1)时，ℎ(x)>0，此时g′(x)<0， ∴g(x)max =g(x0)=lnx 0+(x 0−2)e x 0−x 0=1−2x 0−2x 0，令m(x)=1−2x −2x ，(12,1)， 则m′(x)=2(1−x 2)x 2>0，∴函数m(x)在(12,1)上单调递增， ∴m(x)<m(1)=−3， ∴a ≥−3，故a 的取值范围为[−3,+∞)．【解析】(1)求导后，求出切线斜率f′(1)=1，利用点斜式求出切线方程；(2)分离参数可得a >lnx +(x −2)e x −x ，令g(x)=lnx +(x −2)e x −x ，利用导数研究函数g(x)的最大值即可．本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的性质，着重考查化归转化思想、应用意识，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)曲线C 的极坐标方程ρsin 2θ=acosθ(a >0)，可化为ρ2sin 2θ=aρcosθ(a >0)， 即y 2=ax(a >0)；直线l 的参数方程为{x =−2+√22ty =−4+√22t (t 为参数)， 消去参数t ，化为普通方程是y =x −2；(Ⅱ)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程y 2=ax(a >0)中， 得t 2−√2(a +8)t +4(a +8)=0； 设A 、B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1+t 2=√2(a +8),t 1⋅t 2=4(a +8)；∵|PA|⋅|PB|=|AB|2，∴t1⋅t2=(t1−t2)2，∴(t1+t2)2=(t1−t2)2+4t1⋅t2=5t1⋅t2，即[√2(8+a)]2=20(8+a)；解得：a=2或a=−8(不合题意，应舍去)；∴a的值为2．【解析】(Ⅰ)把曲线C的极坐标方程、直线l的参数方程化为普通方程即可；(Ⅱ)把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，得关于t的一元二次方程，由根与系数的关系，求出t1、t2的关系式，结合参数的几何意义，求出a的值．本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，也考查了直线与圆锥曲线的应用问题，解题时应先把参数方程与极坐标化为普通方程，再解答问题，是中档题．。
内蒙古乌兰察布市2021届新高考第四次质量检测数学试题含解析
内蒙古乌兰察布市2021届新高考第四次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．给出下列四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p ﹑q 均为假命题；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③若命题0:p x R ∃∈，200x ≥，则命题:p x R ⌝∀∈，20x <；④设集合{}1A x x =>，{}2B x x =>，则“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件；其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】 ①利用p ∧q 真假表来判断，②考虑内角为90o ，③利用特称命题的否定是全称命题判断，④利用集合间的包含关系判断. 【详解】若“p 且q ”为假命题，则p ﹑q 中至少有一个是假命题，故①错误；当内角为90o 时，不是象限角，故②错误；由特称命题的否定是全称命题知③正确；因为B A ⊆，所以x B ∈⇒x A ∈，所以“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件， 故④正确. 故选：B. 【点睛】本题考查命题真假的问题，涉及到“且”命题、特称命题的否定、象限角、必要条件等知识，是一道基础题. 2．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（ ） A ．84 B ．54C ．42D ．18【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午；②语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类加法计数原理可得答案． 【详解】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午，要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻，将2节语文课和2节数学课分别捆绑，然后在剩余3节课中选1节到上午，由于2节英语课不加以区分，此时，排法种数为1233232218C A A A =种； ②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午.语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但2节语文课不加以区分，2节数学课不加以区分，2节英语课也不加以区分，此时，排法种数为14242224C A A =种. 综上所述，共有182442+=种不同的排法. 故选：C ． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中等题．3．设全集U =R ，集合{}2A x x =<，{}230B x x x =-<，则()U A B =I ð（ ） A ．()0,3 B ．[)2,3C ．()0,2D ．()0,∞+【答案】B 【解析】 【分析】可解出集合B ，然后进行补集、交集的运算即可． 【详解】{}()2300,3B x x x =-<=Q ，{}2A x x =<，则[)2,U A =+∞ð，因此，()[)2,3U A B =I ð.故选：B. 【点睛】本题考查补集和交集的运算，涉及一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题. 4．已知i 为虚数单位，若复数12z i =+，15z z ⋅=，则||z = A ．1 BC ．5 D．【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 由15z z ⋅=可得15z z =，所以155||2i ||||z z +====B ．5．已知()f x 是定义是R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()2ln 1f x x x =-+，则函数()f x 在区间[]0,6上的零点个数是（ ）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】D 【解析】 【分析】根据()f x 是定义是R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得函数()f x 的周期为3，再由奇函数的性质结合已知可得33101022f f f f f -=-====（）（）（）（）（） ，利用周期性可得函数()f x 在区间[]0,6上的零点个数． 【详解】∵()f x 是定义是R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33332222f x f x ∴-++=++（）（） ，可得3f x f x （）（）+=，函数()f x 的周期为3， ∵当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()()2ln 1f x x x =-+， 令0fx =（），则211x x -+=，解得0x =或1， 又∵函数()f x 是定义域为R 的奇函数，∴在区间33[]22-，上，有11000f f f -=-==（）（），（）． 由3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取0x =，得3322f f -=（）（） ，得33022f f =-=（）（）， ∴33101022f f f f f -=-====（）（）（）（）（）． 又∵函数()f x 是周期为3的周期函数，∴方程()f x =0在区间[]0,6上的解有39012345622，，，，，，，，． 共9个，故选D ． 【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查抽象函数周期性的应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于中档题．6．若4log 15.9a =， 1.012b =，0.10.4c =，则（ ） A ．c a b >> B ．a b c >> C ．b a c >> D ．a c b >>【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与1和2的大小关系，进而可得出a 、b 、c 三个数的大小关系. 【详解】对数函数4log y x =为()0,∞+上的增函数，则4441log 4log 15.9log 162=<<=，即12a <<； 指数函数2xy =为R 上的增函数，则 1.011222b =>=； 指数函数0.4x y =为R 上的减函数，则100.0.410.4c <==. 综上所述，b a c >>. 故选：C. 【点睛】本题考查指数幂与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.7．甲乙两人有三个不同的学习小组A ， B ， C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．16【答案】A【解析】依题意，基本事件的总数有339⨯=种，两个人参加同一个小组，方法数有3种，故概率为3193=. 8．若i 为虚数单位，则复数112iz i+=+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算，化简得到3155z i =-，再结合复数的表示，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，根据复数的运算，可得()()()()1121331121212555i i i i z i i i i +-+-====-++-，所对应的点为31,55⎛⎫-⎪⎝⎭位于第四象限.故选D.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9．已知抛物线2()20C x py p：＝＞的焦点为1(0)F，，若抛物线C上的点A关于直线22l y x+：＝对称的点B恰好在射线()113y x≤＝上，则直线AF被C截得的弦长为（）A．919B．1009C．1189D．1279【答案】B【解析】【分析】由焦点得抛物线方程，设A点的坐标为2()14m m，，根据对称可求出点A的坐标，写出直线AF方程，联立抛物线求交点，计算弦长即可.【详解】抛物线2()20C x py p：＝＞的焦点为1(0)F，，则12p＝，即2p＝，设A点的坐标为2()14m m，，B点的坐标为()113n n≤，，，如图：∴2211114211142222mn mm m n⎧-⎪=-⎪⎪-⎨⎪++⎪=⨯+⎪⎩，解得62m n =⎧⎨=⎩，或343359m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(舍去)， ∴9(6)A ，∴直线AF 的方程为413y x +＝， 设直线AF 与抛物线的另一个交点为D ，由24134y x x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，解得69x y =⎧⎨=⎩或2319x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴21,39D ⎛⎫-⎪⎝⎭， ∴2221100||69399AD ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故直线AF 被C 截得的弦长为1009． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，简单几何性质，点关于直线对称，属于中档题.10．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极大值，则函数()y xf x =-'的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先确定导函数的符号，然后结合题意确定函数在区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞和0,1x x ==处函数的特征即可确定函数图像.【详解】Q 函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在1x =处取得极大值，∴当1x >时，()0f x '<；当1x =时，()0f x '=；当1x <时，()0f x '>.0x ∴<时，()0y xf x '=->，01x <<时，()0y xf x '=-<，当0x =或1x =时，()0y xf x '=-=；当1x >时，()0xf x '->. 故选：B 【点睛】根据函数取得极大值，判断导函数在极值点附近左侧为正，右侧为负，由正负情况讨论图像可能成立的选项，是判断图像问题常见方法，有一定难度.11．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，22()log (1)1f x x ax a =++-+(a 为常数)，则不等式(34)5f x +>-的解集为（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(2,)-+∞【答案】D 【解析】 【分析】由(0)0f =可得1a =，所以22()log (1)(0)f x x x x =+≥+，由()f x 为定义在R 上的奇函数结合增函数+增函数=增函数，可知()y f x =在R 上单调递增，注意到(2)(2)5f f -=-=-，再利用函数单调性即可解决. 【详解】因为()f x 在R 上是奇函数.所以(0)0f =，解得1a =，所以当0x ≥时，22()log (1)f x x x =++，且[0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，所以()y f x =在R 上单调递增，因为(2)5(2)5f f =-=-，，故有342x +>-，解得2x >-. 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查学生对函数性质的灵活运用能力，是一道中档题.12．已知α、,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，αβ≠，则下列是等式sin sin 2αβαβ-=-成立的必要不充分条件的是（ ）A ．sin sin αβ>B ．sin sin αβ<C ．cos cos αβ>D ．cos cos αβ<【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()sin h x x x =-，()sin 2f x x x =-，利用导数分析出这两个函数在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上均为减函数，由sin sin 2αβαβ-=-得出sin sin 2ααββ-=-，分0α=、02πα-<<、02πα<<三种情况讨论，利用放缩法结合函数()y h x =的单调性推导出02παβ-<<<或02πβα<<<，再利用余弦函数的单调性可得出结论. 【详解】构造函数()sin h x x x =-，()sin 2f x x x =-， 则()cos 10h x x '=-<，()cos 20f x x '=-<，所以，函数()y f x =、()y h x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上均为减函数，当02x π-<<时，则()()00h x h >=，()()00f x f >=；当02x π<<时，()0h x <，()0f x <.由sin sin 2αβαβ-=-得sin sin 2ααββ-=-. ①若0α=，则sin 20ββ-=，即()00f ββ=⇒=，不合乎题意；②若02πα-<<，则02πβ-<<，则()()sin sin 2sin h h αααβββββ=-=->-=，此时，02παβ-<<<，由于函数cos y x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，函数sin y x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则sin sin αβ<，cos cos αβ<；③若02πα<<，则02πβ<<，则()()sin sin 2sin h h αααβββββ=-=-<-=，此时02πβα<<<，由于函数cos y x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数sin y x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则sin sin αβ>，cos cos αβ<.综上所述，cos cos αβ<. 故选：D.【点睛】本题考查函数单调性的应用，构造新函数是解本题的关键，解题时要注意对α的取值范围进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
内蒙古乌兰察布市2021届新高考数学最后模拟卷含解析
内蒙古乌兰察布市2021届新高考数学最后模拟卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数()()2a i i --的实部与虚部相等，其中i 为虚部单位，则实数a =( ) A ．3 B ．13-C ．12-D ．1-【答案】B 【解析】 【分析】利用乘法运算化简复数()()2a i i --即可得到答案. 【详解】由已知，()()221(2)a i i a a i --=--+，所以212a a -=--，解得13a =-. 故选：B 【点睛】本题考查复数的概念及复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.2．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上,PA ⊥平面ABC ,ABC ∆是边长为23的等边三角形,若球O 的表面积为20π,则直线PC 与平面PAB 所成角的正切值为( ) A ．34B ．7 C ．377D ．7 【答案】C 【解析】 【分析】设D 为AB 中点,先证明CD ⊥平面PAB ，得出CPD ∠为所求角,利用勾股定理计算,,PA PD CD ,得出结论． 【详解】设,D E 分别是,AB BC 的中点AE CD F =IPA ⊥Q 平面ABC PA CD ∴⊥ABC ∆Q 是等边三角形 CD AB ∴⊥又PA AB A =ICD \^平面PAB CPD ∴∠为PC 与平面PAB 所成的角ABC ∆Q 是边长为23的等边三角形3CD AE ∴==，223AF AE ==且F 为ABC ∆所在截面圆的圆心 Q 球O 的表面积为20π ∴球O 的半径5OA =221OF OA AF ∴=-=PA ⊥Q 平面ABC 22PA OF ∴== 227PD PA AD ∴=+= 37tan 7CD CPD PD ∴∠===本题正确选项：C 【点睛】本题考查了棱锥与外接球的位置关系问题，关键是能够通过垂直关系得到直线与平面所求角，再利用球心位置来求解出线段长，属于中档题．3．在平行四边形ABCD 中，113,2,,D,32AB AD AP AB AQ A ====u u u v u u u v u u u v u u u v 若CP C 12,Q ⋅=u u u v u u u v则ADC ∠=( )A ．56πB ．34π C ．23π D ．2π 【答案】C 【解析】 【分析】由23CP CB BP AD AB =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，12CQ CD DQ AB AD =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,利用平面向量的数量积运算,先求得,3BAD π∠=利用平行四边形的性质可得结果.【详解】如图所示,平行四边形ABCD 中, 3,2AB AD ==,11,32AP AB AQ AD ==u u u r u u u r u u u r u u u r，23CP CB BP AD AB ∴=+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，12CQ CD DQ AB AD =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,因为12CP CQ ⋅=u u u r u u u r,所以2132CP CQ AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22214323AB AD AB AD =++⋅u u ur u u u r u u u r u u u r222143232cos 12323BAD =⨯+⨯+⨯⨯⨯∠=, 1cos 2BAD ∠=，,3BAD π∴∠= 所以233ADC πππ∠=-=，故选C. 【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.4．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A ．240，18B ．200，20C ．240，20D ．200，18【答案】A 【解析】 【分析】利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数． 【详解】样本容量为：（150+250+400）×30%＝240， ∴抽取的户主对四居室满意的人数为：15024040%18.150250400⨯⨯=++故选A ．本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用．5．点O 在ABC ∆所在的平面内，OA OB OC ==u u u v u u u v u u u v ，2AB =u u u v ，1AC =u u u v ，AO AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v(),R λμ∈，且()420λμμ-=≠，则BC =uu u v （ ） A ．73B．2C ．7D【答案】D 【解析】 【分析】确定点O 为ABC ∆外心，代入化简得到56λ=，43μ=，再根据BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r 计算得到答案. 【详解】由OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r可知，点O 为ABC ∆外心，则2122AB AO AB ⋅==u u u r u u u r u u u r ，21122AC AO AC ⋅==u u u r u u u r u u u r ，又AO AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，所以2242,1,2AO AB AB AC AB AC AB AO AC AB AC AC AB AC λμλμλμλμ⎧⋅=+⋅=+⋅=⎪⎨⋅=⋅+=⋅+=⎪⎩u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ①因为42λμ-=，②联立方程①②可得56λ=，43μ=，1AB AC ⋅=-u u u r u u u r ，因为BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r ，所以22227BC AC AB AC AB =+-⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，即BC =u u u r故选：D 【点睛】本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力. 6．圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的方程是（ ） A ．()()22211x y -+-= B ．()()22211x y +++= C ．()()22215x y -+-= D ．()()22215x y +++=【答案】A 【解析】求出所求圆的半径，可得出所求圆的标准方程. 【详解】圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的半径为1，因此，所求圆的方程为()()22211x y -+-=.故选：A. 【点睛】本题考查圆的方程的求解，一般求出圆的圆心和半径，考查计算能力，属于基础题.7．有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．4【答案】A 【解析】 【分析】224442+=()()2222224+=22222+=的最上层正方体的边长小于1时该塔形中正方体的个数的最小值的求法. 【详解】最底层正方体的棱长为8，224442+= ()()2222224+=，222222+=， ()()22222+=，22112+=2222122⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2=， ∴改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是8. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查正方体有关计算，属于基础题.8．已知函数()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 的奇函数，且()()1g x f x =-，则()2019f 的值为（ ） A ．2 B ．0C ．2-D ．2±【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及题设中关于()g x 与()1f x -关系，转换成关于()f x 的关系式，通过变形求解出()f x 的周期，进而算出()2019f .【详解】()g x Q 为R 上的奇函数，()()()()010,g f g x g x ∴=-=-=-()()()10,11f f x f x ∴-=--=--，()()2f x f x ∴-=--而函数()f x 是R 上的偶函数，()()f x f x ∴=-，()()2f x f x ∴=--()()24f x f x ∴-=--，()()4f x f x ∴=-故()f x 为周期函数，且周期为4()()201910f f ∴=-=故选：B 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，函数的周期性的应用，属于基础题.9．已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点01,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则cos2α等于（ ）A ．19B ．79-C ．23-D ．13【答案】B 【解析】 【分析】先由三角函数的定义求出sin α，再由二倍角公式可求cos2α.【详解】解：角α的终边与单位圆221x y +=交于点01,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭1cos 3α=，2217cos 22cos 12139αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：B 【点睛】考查三角函数的定义和二倍角公式，是基础题.10．在边长为23的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 折成二面角A BD C --为120︒的四面体ABCD （如图），则此四面体的外接球表面积为（ ）A ．28πB ．7πC ．14πD ．21π【答案】A 【解析】 【分析】画图取BD 的中点M ，法一：四边形12OO MO 的外接圆直径为OM ，即可求半径从而求外接球表面积；法二：根据13OO =即可求半径从而求外接球表面积；法三：作出CBD ∆的外接圆直径CE ，求出AC 和sin AEC ∠，即可求半径从而求外接球表面积； 【详解】如图，取BD 的中点M ，CBD ∆和ABD ∆的外接圆半径为122r r ==，CBD ∆和ABD ∆的外心1O ，2O 到弦BD 的距离（弦心距）为121d d ==.法一：四边形12OO MO 的外接圆直径2OM =，7R =，28S π=；法二：13OO =，7R =，28S π=；法三：作出CBD ∆的外接圆直径CE ，则3AM CM ==，4CE =，1ME =，7AE =，AC 33=，cos 27427AEC∠==-⋅⋅，33sin 27AEC ∠=，33227sin 3327AC R AEC ===∠，7R =，28S π=. 故选：A 【点睛】此题考查三棱锥的外接球表面积，关键点是通过几何关系求得球心位置和球半径，方法较多，属于较易题目. 11．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 因为，所以函数的图象关于点（2,0）对称，排除A ，B ．当时，，所以，排除D ．选C ．12．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）A ．()722+πB ．()1022+πC ．()1042+πD ．()1142+π【答案】C 【解析】 【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可， 【详解】由题意可知几何体的直观图如图：上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥, 几何体的表面积为：1442223(1042)2ππππ+⨯⨯+⨯=+， 故选：C 【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
内蒙古乌兰察布市2021届新高考数学模拟试题(2)含解析
内蒙古乌兰察布市2021届新高考数学模拟试题（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()()()'10x f x x f x -⋅+⋅>，若3(2)y f x e=+-是奇函数，则不等式1()20x x f x e +⋅-<的解集是（ ） A ．(),2-∞ B ．(),1-∞C ．()2,+∞D ．()1,+∞【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数()()xx f x g x e⋅=，根据已知条件判断出()g x 的单调性.根据()32y f x e =+-是奇函数，求得()2f 的值，由此化简不等式1()20x x f x e +⋅-<求得不等式的解集.【详解】构造函数()()x x f x g x e ⋅=，依题意可知()()()()''10xx f x x f x g x e-⋅+⋅=>，所以()g x 在R 上递增.由于()32y f x e =+-是奇函数，所以当0x =时，()320y f e =-=，所以()32f e =，所以()32222e g e e⨯==.由1()20x x f x e +⋅-<得()()()22xx f x g x e g e⋅=<=，所以2x <，故不等式的解集为(),2-∞. 故选：A 【点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.2．已知直线l ：310kx y k --+=与椭圆22122:1(0)x yC a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆2C ：()()22311x y -+-=交于C 、D 两点.若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =u u u r u u u r ，则椭圆1C 的离心率的取值范围为（ ）A ．⎣⎦B ．C ．D ． 【答案】A【分析】由题意可知直线过定点即为圆心，由此得到,A B 坐标的关系，再根据点差法得到直线的斜率k 与,A B 坐标的关系，由此化简并求解出离心率的取值范围. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，且线:310l kx y k --+=过定点()3,1即为2C 的圆心，因为AC DB =u u u r u u u r ，所以1212236212C D C D x x x x y y y y +=+=⨯=⎧⎨+=+=⨯=⎩，又因为2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，所以()()2222221212b x x a y y -=--， 所以2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，所以[]2232,1b k a=-∈--，所以2212,33b a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22212,33a c a -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()2121,33e ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以33e ∈⎣⎦. 故选：A. 【点睛】本题考查椭圆与圆的综合应用，着重考查了椭圆离心率求解以及点差法的运用，难度一般.通过运用点差法达到“设而不求”的目的，大大简化运算.3．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()22125x y -+-=的圆心，则11m n+的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D 【解析】 【分析】圆心坐标为(1,2)，代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值． 【详解】圆22(1)(2)5x y -+-=的圆心为(1,2)，由题意可得222m n +=，即1m n +=，m ，0n >， 则1111()()24n m m n m n m n m n +=++=++…，当且仅当n mm n =且1m n +=即12m n ==时取等号， 故选：D ． 【点睛】本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题．4．若双曲线22214x y a -= ）A ．B ．C ．6D ．8【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得24b =，再根据离心率求出2a ，即可求出c ，从而得解； 【详解】解：∵双曲线22214x y a -=所以22413e a=+=，∴22a =，∴c =故选：A 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题. 5．已知α满足1sin 3α=，则cos cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．718B ．79C ．718-D ．79-【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和与差的余弦公式展开计算可得结果. 【详解】1sin 3α=Q ，cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin 444444ππππππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()22211cos cos cos sin 12sin 222222ααααααα⎛⎫⎛⎫=-+=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2117122318⎡⎤⎛⎫=-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查三角求值，涉及两角和与差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 6．下列函数中，图象关于y 轴对称的为（ ）A ．()f x =B ．)(f x =，[]1,2x ∈-C ．si 8)n (f x x =D ．2()x xe ef x x-+= 【答案】D 【解析】 【分析】图象关于y 轴对称的函数为偶函数,用偶函数的定义及性质对选项进行判断可解. 【详解】图象关于y 轴对称的函数为偶函数； A 中，x ∈R ，()()f x f x -==-，故()f x =B 中，)(f x =的定义域为[]1,2-，不关于原点对称，故为非奇非偶函数；C 中，由正弦函数性质可知，si 8)n (f x x =为奇函数；D 中，x ∈R 且0x ≠，2((()))x x e f f e x x x -+==--，故2()x xe ef x x-+=为偶函数. 故选：D. 【点睛】本题考查判断函数奇偶性. 判断函数奇偶性的两种方法:(1)定义法：对于函数()f x 的定义域内任意一个x 都有()=()f x f x --，则函数()f x 是奇函数；都有()=()f x f x -，则函数()f x 是偶函数(2)图象法：函数是奇(偶)函数⇔函数图象关于原点(y 轴)对称． 7．若集合{}|sin 21A x x ==，,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．A B A ⋃= B ．R R C B C A ⊆C ．A B =∅ID ．R R C A C B ⊆【答案】B 【解析】根据正弦函数的性质可得集合A ，由集合性质表示形式即可求得A B ⊆，进而可知满足R R C B C A ⊆. 【详解】依题意，{}|sin 21|,4A x x x x k k Z ππ⎧⎫====+∈⎨⎬⎩⎭； 而|,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭()212|,,4242n n x x n Z x n Z ππππ+⎧⎫==+∈=+∈⎨⎬⎩⎭或()21|,,442n x x n n Z x n Z ππππ+⎧⎫==+∈=+∈⎨⎬⎩⎭或，故A B ⊆， 则R R C B C A ⊆. 故选：B. 【点睛】本题考查了集合关系的判断与应用，集合的包含关系与补集关系的应用，属于中档题. 8．已知随机变量X 的分布列如下表：其中a ，b ，0c >.若X 的方差()13D X ≤对所有()0,1a b ∈-都成立，则（ ） A ．13b ≤B ．23b ≤C ．13b ≥D ．23b ≥【答案】D 【解析】 【分析】根据X 的分布列列式求出期望,方差,再利用1a b c ++=将方差变形为21()412b D X a b -⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭,从而可以利用二次函数的性质求出其最大值为113b -≤,进而得出结论. 【详解】由X 的分布列可得X 的期望为()E X a c =-+,所以X 的方差()()()()22211D X a c a a c b a c c =-+-+-++-()()()222a c a b c a c a c =-++--++ ()2a c a c =--++ ()2211ab b =--++- 21412b a b -⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭,因为()0,1a b ∈-,所以当且仅当12ba -=时,()D X 取最大值1b -, 又()13D X ≤对所有()0,1a b ∈-成立, 所以113b -≤,解得23b ≥,故选:D. 【点睛】本题综合考查了随机变量的期望､方差的求法,结合了概率､二次函数等相关知识,需要学生具备一定的计算能力,属于中档题.9．双曲线2214x y -=的渐近线方程是（ ）A ．2y x =±B ．3y x =±C ．2x y =±D ．2y x =±【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程即可得出该双曲线的渐近线方程. 【详解】由题意可知，双曲线2214x y -=的渐近线方程是2x y =±.故选：C. 【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用．10．在直角梯形ABCD 中，0AB AD ⋅=uu u r uuu r，30B ∠=︒，AB =2BC =，点E 为BC 上一点，且u u u r u u u r u u u ru u u rAB ．2 C．2D．【答案】B 【解析】 【分析】由题，可求出1,AD CD ==2AB DC =u u u r u u u r，根据共线定理，设(01)BE BC λλ=u u u r u u u r 剟，利用向量三角形法则求出12AE AB AD λλ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭u u u u r u u u v u uv ，结合题给AE xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r ，得出1,2x y λλ=-=，进而得出12xy λλ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最后利用二次函数求出xy 的最大值，即可求出||AE =u u u r .【详解】由题意，直角梯形ABCD 中，0AB AD ⋅=uu u r uuu r，30B ∠=︒，AB =2BC =，可求得1,AD CD ==2AB DC =u u u ru u u r·∵点E 在线段BC 上， 设(01)BE BC λλ=u u u r u u u r剟 ，则()AE AB BE AB BC AB BA AD DC λλ=+=+=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r(1)12AB AD DC AB AD λλλλλ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，即12AE AB AD λλ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭u u u u r u u u v u uv ，又因为AE xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r所以1,2x y λλ=-=，所以2211111(1)1(1)22222xy λλλλ⎛⎫⎡⎤=-=---=--+ ⎪⎣⎦⎝⎭…， 当1λ=时，等号成立.所以1||||22AE AB AD =+=u u u r u u u r u u u r.故选：B. 【点睛】本题考查平面向量线性运算中的加法运算、向量共线定理，以及运用二次函数求最值，考查转化思想和解题能力.11．在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220x yx yx y-+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域内存在点()00,x y，使不等式0010x my++≤成立，则实数m的取值范围为（）A．5 (,]2-∞-B．1(,]2-∞-C．[4,)+∞D．(,4]-∞-【答案】B【解析】【分析】依据线性约束条件画出可行域，目标函数0010x my++≤恒过()1,0D-，再分别讨论m的正负进一步确定目标函数与可行域的基本关系，即可求解【详解】作出不等式对应的平面区域，如图所示：其中()2,6A，直线10x my++=过定点()1,0D-，当0m=时，不等式10x+≤表示直线10x+=及其左边的区域，不满足题意；当0m>时，直线10x my++=的斜率1m-<，不等式10x my++≤表示直线10x my++=下方的区域，不满足题意；当0m<时，直线10x my++=的斜率1m->，不等式10x my++≤表示直线10x my++=上方的区域，要使不等式组所表示的平面区域内存在点()00,x y，使不等式0010x my++≤成立，只需直线10x my++=的斜率12ADkm-≤=，解得12m≤-.综上可得实数m的取值范围为1(,]2-∞-，故选：B.【点睛】本题考查由目标函数有解求解参数取值范围问题，分类讨论与数形结合思想，属于中档题12．已知函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,则方程[]()3f f x =的实数根的个数是（ ）A ．6B ．3C ．4D ．5【答案】D 【解析】 【分析】画出函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,将方程[]()3f f x =看作()(),3t f x f t ==交点个数，运用图象判断根的个数． 【详解】画出函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩令()(),3t f x f t =∴=有两解()()120,1,1,+t t ∈∈∞ ，则()()12,t f x f x t ==分别有3个，2个解，故方程[]()3f f x =的实数根的个数是3+2=5个 故选：D【点睛】本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学结合的思想判断方程的根，难度较大，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
内蒙古乌兰察布市2021届新高考数学考前模拟卷(3)含解析
内蒙古乌兰察布市2021届新高考数学考前模拟卷（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，12a =，且139,,a a a 成等比数列，则8S =（ ） A ．56 B ．72 C ．88 D ．40【答案】B 【解析】 【分析】2319a a a =⇔2111(2)(8)a d a a d +=+，将12a =代入，求得公差d ，再利用等差数列的前n 项和公式计算即可. 【详解】由已知，2319a a a =，12a =，故2111(2)(8)a d a a d +=+，解得2d =或0d =（舍），故2(1)22n a n n =+-⨯=，1888()4(228)722a a S +==+⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，考查等差数列基本量的计算，是一道容易题.2．已知:|1|2p x +> ，:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．3a ≤-C ．1a ≥-D ．1a ≥【答案】D 【解析】 【分析】“p ⌝是q ⌝的充分不必要条件”等价于“q 是p 的充分不必要条件”，即q 中变量取值的集合是p 中变量取值集合的真子集. 【详解】由题意知：:|1|2p x +>可化简为{|31}x x x <->或，:q x a >， 所以q 中变量取值的集合是p 中变量取值集合的真子集，所以1a ≥. 【点睛】利用原命题与其逆否命题的等价性，对p ⌝是q ⌝的充分不必要条件进行命题转换，使问题易于求解. 3．设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】【分析】由复数的除法运算可整理得到z ，由此得到对应的点的坐标，从而确定所处象限. 【详解】由2z iz i -=+得：()()()()2121313111222i i i i z i i i i ++++====+--+， z ∴对应的点的坐标为13,22⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限.故选：A . 【点睛】本题考查复数对应的点所在象限的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.4．已知函数31,0()(),0x x f x g x x ⎧+>=⎨<⎩是奇函数，则((1))g f -的值为（ ）A ．－10B ．－9C ．－7D ．1【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数表达式，先求得()1f -的值，然后结合()f x 的奇偶性，求得((1))g f -的值. 【详解】因为函数3,0()(),0x x x f x g x x ⎧+≥=⎨<⎩是奇函数，所以(1)(1)2f f -=-=-，((1))(2)(2)(2)10g f g f f -=-=-=-=-.故选：B 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，考查数形结合思想.意在考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力.5．等差数列{}n a 中，已知51037a a =，且10a <，则数列{}n a 的前n 项和n S *()n N ∈中最小的是（ ）A ．7S 或8SB ．12SC ．13SD ．14S【答案】C 【解析】 【分析】设公差为d ，则由题意可得()()113479a d a d +=+，解得1451a d =-，可得1(554)51n n a a -=.令554051n -<，可得 当14n ≥时，0n a >，当13n ≤时，0n a <，由此可得数列{}n a 前n 项和()*n S n N ∈中最小的. 【详解】解：等差数列{}n a 中，已知51037a a =，且10a <，设公差为d ， 则()()113479a d a d +=+，解得 1451a d =-， 11(554)(1)51n n a a a n d -∴=+-=.令554051n -<，可得545n >，故当14n ≥时，0n a >，当13n ≤时，0n a <， 故数列{}n a 前n 项和()*n S n N ∈中最小的是13S.故选：C. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，等差数列的通项公式的应用，属于中档题.6．已知集合U =R ，{}0A y y =≥，{}1B y y ==，则U A B =I ð( )A ．[)0,1B ．()0,∞+C ．()1,+∞D ．[)1,+∞【答案】A 【解析】 【分析】求得集合B 中函数的值域，由此求得U B ð，进而求得U A B ⋂ð. 【详解】由11y =≥，得[)1,B =+∞，所以()U ,1B =-∞ð，所以[)U 0,1A B =I ð.故选：A 【点睛】本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题. 7．若复数2(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．0或2 B ．2C ．0D ．1或2【答案】C 【解析】试题分析：因为复数2(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，所以(2)0m m -=且2320m m -+≠，因此0.m =注意不要忽视虚部不为零这一隐含条件.考点：纯虚数8．设m r ，n r 均为非零的平面向量，则“存在负数λ，使得m n λ=r r ”是“0m n ⋅<r r”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论． 【详解】因为m r ，n r 均为非零的平面向量，存在负数λ，使得m n λ=r r， 所以向量m r ，n r共线且方向相反， 所以0m n ⋅<r r，即充分性成立；反之，当向量m r ，n r 的夹角为钝角时，满足0m n ⋅<r r ，但此时m r ，n r不共线且反向，所以必要性不成立． 所以“存在负数λ，使得m n λ=r r ”是“0m n ⋅<r r”的充分不必要条件． 故选B ． 【点睛】判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p ，定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确． 9．已知函数()()4,2x f x x g x a x =+=+，若[]121,3,2,32x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．1a ≥ C ．0a ≤ D ．0a ≥【答案】C 【解析】试题分析：由题意知，当11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()44f x x x =+≥=，当且仅当4x x =时，即2x =等号是成立，所以函数()f x 的最小值为4，当[]22,3x ∈时，()2xg x a =+为单调递增函数，所以()()min 24g x g a ==+，又因为[]121,3,2,32x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x ≥，即()f x 在1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值不小于()g x 在[]2,3x ∈上的最小值，即44a +≤，解得0a ≤，故选C ． 考点：函数的综合问题．【方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题，其中解答中涉及到基本不等式求最值、函数的单调性及其应用、全称命题与存在命题的应用等知识点的综合考查，试题思维量大，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，其中解答中转化为()f x 在1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值不小于()g x 在[]2,3x ∈上的最小值是解答的关键．10．若23455012345(21)(21)(21)(21)(21)a a x a x a x a x a x x +-+-+-+-+-=，则2a 的值为（ ）A ．54B ．58C ．516D ．532【答案】C 【解析】 【分析】 根据551[(21)1]32x x =-+，再根据二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】 因为551[(21)1]32x x =-+，所以二项式5[(21)1]x -+的展开式的通项公式为：55155(21)1(21)r r r r r r T C x C x --+=⋅-⋅=⋅-，令3r =，所以2235(21)T C x =⋅-，因此有32255111545323232216C C a ⨯=⋅=⋅=⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了二项式展开式通项公式的应用，考查了数学运算能力11．已知集合{|M x y =，2{|40}N x N x =∈-≥，则M N ⋂为( ) A ．[1,2] B ．{0,1,2}C ．{1,2}D ．(1,2)【答案】C 【解析】 【分析】分别求解出,M N 集合的具体范围，由集合的交集运算即可求得答案. 【详解】因为集合{}|1M x x =≥，{}{}220,1,2N x N x =∈-≤≤=， 所以{}1,2M N =I 故选：C 【点睛】本题考查对数函数的定义域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集运算，考查基本运算能力. 12．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边,AB AC .已知以直角边,AC AB 为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则sin 2α=（ ）A ．925B ．1225C ．35D ．45【答案】D 【解析】 【分析】由半圆面积之比，可求出两个直角边,AB AC 的长度之比，从而可知1tan 2AC AB α==，结合同角三角函数的基本关系，即可求出sin ,cos αα，由二倍角公式即可求出sin 2α. 【详解】解：由题意知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，以AB 为直径的半圆面积21122AB S π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 以AC 为直径的半圆面积22122AC S π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则222114S AC S AB ==，即1tan 2AC AB α==. 由22sin cos 1sin 1tan cos 2ααααα⎧+=⎪⎨==⎪⎩ ，得5sin 25cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以5254sin 22sin cos 25ααα===. 故选:D. 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
内蒙古乌兰察布市2021届新高考数学四模考试卷含解析
内蒙古乌兰察布市2021届新高考数学四模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知1cos ,,32πααπ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭,则()sin πα+= ( )A ．3B ．3-C ．3±D ．13【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可． 【详解】1cos 3α=-Q ，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 3α∴===()sin sin 3παα∴+=-=-本题正确选项：B 【点睛】本题考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．2．已知函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）在区间[],2m m 上的值域为[],2m m ，则a =（ ）A B ．14C ．116D ．14或4 【答案】C 【解析】 【分析】对a 进行分类讨论，结合指数函数的单调性及值域求解. 【详解】分析知，0m >.讨论：当1a >时，22m m a ma m ⎧=⎨=⎩，所以2m a =，2m =，所以a =01a <<时，22m ma m a m ⎧=⎨=⎩，所以12ma =，14m =，所以116a =.综上，116a =或a = C. 【点睛】本题主要考查指数函数的值域问题，指数函数的值域一般是利用单调性求解，侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养. 3．函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)+∞D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【答案】B 【解析】 【分析】对a 分类讨论，当0a ≤，函数()f x 在(0,)+∞单调递减，当0a >，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解. 【详解】当0a ≤时，函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递减， 所以0a >，1()f x ax x =+的递增区间是⎫+∞⎪⎭，所以2≥14a ≥. 故选:B. 【点睛】本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题.4．已知函数()222ln 02x x e f x e x x e ⎧<≤=⎨+->⎩，，，存在实数123x x x <<，使得()()()123f x f x f x ==，则()12f x x 的最大值为（ ） A ．1eB．CD ．21e【答案】A 【解析】 【分析】画出分段函数图像，可得121x x =，由于()()122222ln f x f x x x x x ==，构造函数()ln xg x x=，利用导数研究单调性，分析最值，即得解. 【详解】由于22123012x x e x e <<<<<<+，1212ln ln 1x x x x -=⇒=,由于()()122222ln f x f x x x x x ==， 令()ln xg x x =，()21x e ∈，， ()()21ln xg x g x x=⇒'-在()1e ，↗，()2e e ，↘ 故()1()max g x g e e==.故选：A 【点睛】本题考查了导数在函数性质探究中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.5．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，点P 椭圆上，且PF AF ⊥，若1tan 2PAF ∠=，则椭圆的离心率e 为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】C 【解析】 【分析】不妨设P 在第一象限，故2,b P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据1tan 2PAF ∠=得到2120e e --=，解得答案.【详解】不妨设P 在第一象限，故2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，21tan 2b aPAF a c ∠==+，即2220a ac c --=， 即2120e e --=，解得12e =，1e =-（舍去）.故选：C . 【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力.6．我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积. 其实质是根据三角形的三边长a ，b ，c 求三角形面积S ，即S =若ABC ∆的面积2S =，a =2b =，则sin A 等于（ ）A B ．C D ．1120或1136【答案】C 【解析】 【分析】将2S =，a =2b =，代入S =225,9c c ==，再分类讨论，利用余弦弦定理求cos A ，再用平方关系求解. 【详解】已知S =，a =2b =，代入S =2=， 即4212450c c -+= ， 解得225,9c c ==，当25c =时，由余弦弦定理得：222cos 2b c a A bc +-==，sin A ==当29c =时，由余弦弦定理得：2225cos 26b c a A bc +-== ，11sin 6A ==. 故选：C 【点睛】本题主要考查余弦定理和平方关系，还考查了对数学史的理解能力，属于基础题. 7．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos2tan 1sin 2βαβ=-，则（ ）A ．22παβ+=B ．4παβ+=C ．4αβ-=π D ．22παβ+=【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式,和同角三角函数的商数关系式,化简可得cos 2tan tan 1sin 24βπαββ⎛⎫==+ ⎪-⎝⎭,即可求得结果. 【详解】2222cos 2cos sin 1tan tan tan 1sin 2cos sin 2sin cos 1tan 4ββββπαβββββββ-+⎛⎫====+ ⎪-+--⎝⎭，所以4παβ=+，即4αβ-=π. 故选:C. 【点睛】本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数,难度较易.8．设函数()(1x g x e x a =+-（a R ∈，e 为自然对数的底数）,定义在R 上的函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <．若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()y g x x =-的一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．,2⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭B ．)+∞C ．)+∞D ．2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】先构造函数()()212T x f x x =-，由题意判断出函数()T x 的奇偶性，再对函数()T x 求导，判断其单调性，进而可求出结果. 【详解】构造函数()()212T x f x x =-， 因为()()2f x f x x -+=，所以()()()()()()()22211022T x T x f x x f x x f x f x x +-=-+---=+--=， 所以()T x 为奇函数，当0x ≤时，()()''0T x f x x =-<，所以()T x 在(],0-∞上单调递减， 所以()T x 在R 上单调递减. 因为存在()()0112x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭， 所以()()000112f x f x x +≥-+， 所以()()()220000011111222T x x T x x x ++≥-+-+，化简得()()001T x T x ≥-， 所以001x x ≤-，即012x ≤令()()12xh x g x x e a x ⎛⎫=-=--≤ ⎪⎝⎭，因为0x 为函数()y g x x =-的一个零点， 所以()h x 在12x ≤时有一个零点 因为当12x ≤时，()12'0x h x e e =≤=，所以函数()h x 在12x ≤时单调递减，由选项知0a >，102<<，又因为0h ea e⎛=-=> ⎝，所以要使()h x 在12x ≤时有一个零点，只需使102h a ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，解得a ≥所以a 的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎣⎭，故选D. 【点睛】本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大. 9．已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,为了得到函数()cos g x x ω=的图象,只要将()y f x =的图象( ) A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】由()f x 的最小正周期是π，得2ω=， 即()sin(2)4f x x π=+cos 224x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos 24x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭cos 2()8x π=-， 因此它的图象向左平移8π个单位可得到()cos2g x x =的图象．故选A ． 考点：函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质． 【名师点睛】三角函数图象变换方法：10．已知等式2324214012141(1(2))x x x a a x a x a x -+⋅-=++++L 成立，则2414a a a +++=L （ ）A ．0B ．5C ．7D ．13【答案】D 【解析】 【分析】根据等式和特征和所求代数式的值的特征用特殊值法进行求解即可. 【详解】由2324214012141(1(2))x x x a a x a x a x -+⋅-=++++L 可知： 令0x =，得0011a a ⇒==；令1x =，得012140121411(1)a a a a a a a a =++++++++⇒=L L ；令1x =-，得0123140123142727(2)()()a a a a a a a a a a =-++-++-++⇒=+-+L L ，(2)(1)+得，024********(28)14a a a a a a a a ++++=⇒++++=L L ，而01a =，所以 241413a a a +++=L .故选：D 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了特殊值代入法，考查了数学运算能力.11．已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（ ）A ．B ．8C ．D ．4【答案】C 【解析】 【分析】将直线方程1y x =-代入抛物线方程，根据根与系数的关系和抛物线的定义即可得出FA FB -的值． 【详解】F （1，0），故直线AB 的方程为y ＝x ﹣1，联立方程组241y xy x ⎧=⎨=-⎩，可得x 2﹣6x+1＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由根与系数的关系可知x 1+x 2＝6，x 1x 2＝1． 由抛物线的定义可知：|FA|＝x 1+1，|FB|＝x 2+1，∴||FA|﹣|FB||＝|x 1﹣x 2|＝==故选C ． 【点睛】本题考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．12．在复平面内，复数21(1)i i +-对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】化简复数为a bi +的形式，然后判断复数的对应点所在象限，即可求得答案. 【详解】Q211(1)(1)22i i i ii i i i+++==---⋅111222i i -+==-+ ∴对应的点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
内蒙古呼伦贝尔市2021届新高考四诊数学试题含解析
内蒙古呼伦贝尔市2021届新高考四诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（ ）A ．()85424πB ．()85824πC ．()854216πD ．()858216π【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图可知，该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成，由此计算出陀螺的表面积. 【详解】最上面圆锥的母线长为2，底面周长为2π24π⨯=，侧面积为1224π42π2⨯=，下面圆锥的母线长为252π48π⨯=，侧面积为1258π85π2⨯=，没被挡住的部分面积为22π4π212π⨯-⨯=，中间圆柱的侧面积为2π214π⨯⨯=.故表面积为()854216π，故选C.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，属于基础题. 2．已知命题p:直线a ∥b ，且b ⊂平面α，则a ∥α；命题q:直线l ⊥平面α，任意直线m ⊂α，则l ⊥m.下列命题为真命题的是（ ） A ．p ∧q B ．p ∨（非q ）C ．（非p ）∧qD ．p ∧（非q ）【答案】C 【解析】 【分析】首先判断出p 为假命题、q 为真命题，然后结合含有简单逻辑联结词命题的真假性，判断出正确选项. 【详解】根据线面平行的判定，我们易得命题:p 若直线//a b ，直线b ⊂平面α，则直线//a 平面α或直线a 在平面α内，命题p 为假命题；根据线面垂直的定义，我们易得命题:q 若直线l ⊥平面α，则若直线l 与平面α内的任意直线都垂直，命题q 为真命题.故:A 命题“p q ∧”为假命题；B 命题“()p q ∨⌝”为假命题；C 命题“()p q ⌝∧”为真命题；D 命题“()p q ∧⌝”为假命题. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查线面平行与垂直有关命题真假性的判断，考查含有简单逻辑联结词的命题的真假性判断，属于基础题.3．集合{}|212P x N x =∈-<-<的子集的个数是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．8【答案】D 【解析】 【分析】先确定集合P 中元素的个数，再得子集个数． 【详解】由题意{|13}{0,1,2}P x N x =∈-<<=，有三个元素，其子集有8个． 故选：D ． 【点睛】本题考查子集的个数问题，含有n 个元素的集合其子集有2n 个，其中真子集有21n -个． 4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．103B ．3C ．83D ．73【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可得几何体，利用体积计算即可.由题意，该几何体如图所示：该几何体的体积11110222222323V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题． 5．设i 为数单位，z 为z 的共轭复数，若13z i=+，则z z ⋅=（ ） A ．110B ．110i C ．1100D ．1100i 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法求出z ，然后计算z z ⋅． 【详解】13313(3)(3)1010i z i i i i -===-++-， ∴223131311()()()()10101010101010z z i i ⋅=-+=+=． 故选：A. 【点睛】本题考查复数的乘除法运算，考查共轭复数的概念，掌握复数的运算法则是解题关键．6．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右顶点分别为1A ，2A ，虚轴的两个端点分别为1B ，2B ，若四边形1122A B A B 的内切圆面积为18π，则双曲线焦距的最小值为（ ）A ．8B ．16C ．62D ．122【答案】D【分析】根据题意画出几何关系，由四边形1122A B A B 的内切圆面积求得半径，结合四边形1122A B A B 面积关系求得c 与ab 等量关系，再根据基本不等式求得c 的取值范围，即可确定双曲线焦距的最小值.【详解】根据题意，画出几何关系如下图所示：设四边形1122A B A B 的内切圆半径为r ，双曲线半焦距为c ， 则21,,OA a OB b == 所以2221A B a b c =+=，四边形1122A B A B 的内切圆面积为18π， 则218r ππ=，解得32OC r ==则112212122111422A B A B S A A B B A B OC =⋅⋅=⨯⋅⋅四边形， 即112243222a b c ⋅⋅=⨯⋅⋅故由基本不等式可得2222323262a b c +=≤=，即62c ≥， 当且仅当a b =时等号成立. 故焦距的最小值为122故选：D 【点睛】本题考查了双曲线的定义及其性质的简单应用，圆锥曲线与基本不等式综合应用，属于中档题. 7．已知i 是虚数单位，若z211i i=+-，则||z =（ ）A ．2B ．2C ．10D ．10【答案】 C 【解析】 【分析】根据复数模的性质计算即可. 【详解】 因为z211i i=+-， 所以(1)(21)z i i =-+，|||1||21|2510z i i =-⋅+=⨯=，故选：C 【点睛】本题主要考查了复数模的定义及复数模的性质，属于容易题.8．已知ba b c a 0.2121()2,log 0.2,===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】利用函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数12log y x =互为反函数，可得01a b <<<，再利用对数运算性质比较a,c 进而可得结论. 【详解】依题意，函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数12log y x =关于直线y x =对称，则0.21210log 0.22⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即01a b <<<，又0.211220.2log 0.2log 0.20.20.20.211110.22252bc a a ⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====<= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，c a b <<. 故选：B. 【点睛】本题主要考查对数、指数的大小比较，属于基础题.9． 下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2kπ＋45°(k ∈Z)B ．k·360°＋π(k ∈Z)C ．k·360°－315°(k ∈Z)D ．kπ＋(k ∈Z)【答案】C 【解析】 【分析】利用终边相同的角的公式判断即得正确答案. 【详解】 与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k ∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确.故答案为C 【点睛】（1）本题主要考查终边相同的角的公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 与α终边相同的角β=0360k ⋅+α 其中k z ∈.10．已知函数()()0x e f x x a a=->，若函数()y f x =的图象恒在x 轴的上方，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()0,eC ．(),e +∞D ．1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】函数()y f x =的图象恒在x 轴的上方，0x e x a ->在()0,∞+上恒成立.即x e x a >，即函数x ey a =的图象在直线y x =上方，先求出两者相切时a 的值，然后根据a 变化时，函数xey a=的变化趋势，从而得a 的范围． 【详解】由题0x e x a ->在()0,∞+上恒成立.即xe x a>，xe y a=的图象永远在y x =的上方，设xe y a =与y x =的切点()00,x y ，则01x x e ae xa⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得a e =，易知a 越小，xey a=图象越靠上，所以0a e <<.故选：B ． 【点睛】本题考查函数图象与不等式恒成立的关系，考查转化与化归思想，首先函数图象转化为不等式恒成立，然后不等式恒成立再转化为函数图象，最后由极限位置直线与函数图象相切得出参数的值，然后得出参数范围．11．已知等差数列{}n a 满足1=2a ，公差0d ≠，且125,,a a a 成等比数列，则=d A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】 【分析】先用公差d 表示出25,a a ，结合等比数列求出d . 【详解】252,24a d a d =+=+,因为125,,a a a 成等比数列，所以2(2)2(24)d d +=+，解得4d =.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式.属于简单题，化归基本量，寻求等量关系是求解的关键.12．已知()f x 是定义是R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()()2ln 1f x x x =-+，则函数()f x 在区间[]0,6上的零点个数是（ ）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】D 【解析】 【分析】根据()f x 是定义是R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得函数()f x 的周期为3，再由奇函数的性质结合已知可得33101022f f f f f -=-====（）（）（）（）（） ，利用周期性可得函数()f x 在区间[]0,6上的零点个数．【详解】∵()f x 是定义是R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33332222f x f x ∴-++=++（）（） ，可得3f x f x （）（）+=，函数()f x 的周期为3， ∵当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()()2ln 1f x x x =-+， 令0fx =（），则211x x -+=，解得0x =或1， 又∵函数()f x 是定义域为R 的奇函数，∴在区间33[]22-，上，有11000f f f -=-==（）（），（）． 由3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取0x =，得3322f f -=（）（） ，得33022f f =-=（）（）， ∴33101022f f f f f -=-====（）（）（）（）（）． 又∵函数()f x 是周期为3的周期函数，∴方程()f x =0在区间[]0,6上的解有39012345622，，，，，，，，． 共9个，故选D ． 【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查抽象函数周期性的应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
内蒙古乌兰察布市2021届新第四次高考模拟考试数学试卷含解析
内蒙古乌兰察布市2021届新第四次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P Q 、分别为抛物线与圆22(6)1x y -+=上的动点，则PQ 的最小值为（ ）A1B．25- C．D．1 【答案】D【解析】【分析】利用抛物线的定义，求得p 的值，由利用两点间距离公式求得PM ，根据二次函数的性质，求得min PM ，由PQ 取得最小值为min 1PM-，求得结果. 【详解】由抛物线2:2(0)C y px p =>焦点在x 轴上，准线方程2p x =-， 则点(5,)t 到焦点的距离为562p d =+=，则2p =， 所以抛物线方程：24y x =， 设(,)P x y ，圆22:(6)1M x y -+=，圆心为(6,1)，半径为1，则PM ===，当4x =时，PQ11=，故选D.【点睛】该题考查的是有关距离的最小值问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，点到圆上的点的距离的最小值为其到圆心的距离减半径，二次函数的最小值，属于中档题目.2．已知数列1a ，21a a ，32a a ，…，1n n a a -是首项为8，公比为12得等比数列，则3a 等于（ ） A ．64B ．32C ．2D ．4【答案】A【解析】【分析】根据题意依次计算得到答案.【详解】根据题意知：18a=，214aa=，故232a=，322aa=，364a=.故选：A.【点睛】本题考查了数列值的计算，意在考查学生的计算能力.3．在菱形ABCD中，4AC=，2BD=，E，F分别为AB，BC的中点，则DE DF⋅=u u u r u u u r（）A．134-B．54C．5 D．154【答案】B【解析】【分析】据题意以菱形对角线交点O为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出,DE DFu u u r u u u r，再根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果.【详解】设AC与BD交于点O，以O为原点，BDu u u r的方向为x轴，CAu u u r的方向为y轴，建立直角坐标系，则1,12E⎛⎫-⎪⎝⎭，1,12F⎛⎫--⎪⎝⎭，(1,0)D，3,12DE⎛⎫=-⎪⎝⎭u u u r，3,12DF⎛⎫=--⎪⎝⎭u u u r，所以95144DE DF⋅=-=u u u r u u u r.故选：B.【点睛】本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解.4．已知i 是虚数单位，则复数24(1)i =-（ ） A ．2iB ．2i -C ．2D ．2- 【答案】A【解析】【分析】 根据复数的基本运算求解即可.【详解】224422(1)2i i i i i ===---. 故选：A【点睛】本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题.5．三棱锥S ABC -中，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，SA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．643πB ．2563πC ．4363π D【答案】B【解析】由题，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，则根据余弦定理可得7BC == ，ABC V的外接圆圆心2sin 2BC r r B === 三棱锥的外接球的球心到面ABC的距离12d SA == 则外接球的半径R == ，则该三棱锥的外接球的表面积为225643S R ππ== 点睛：本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径R 公式是解答的关键．6．已知函数21,0()2ln(1),0x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨⎪+≥⎩，若函数()()g x f x kx =-有三个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．(0,1) D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 【答案】B【解析】【分析】根据所给函数解析式，画出函数图像.结合图像，分段讨论函数的零点情况：易知0x =为()()g x f x kx =-的一个零点；对于当0x <时，由代入解析式解方程可求得零点，结合0x <即可求得k 的范围；对于当0x >时，结合导函数，结合导数的几何意义即可判断k 的范围.综合后可得k 的范围.【详解】根据题意，画出函数图像如下图所示：函数()()g x f x kx =-的零点，即()f x kx =.由图像可知，(0)0f =，所以0x =是0()f x kx -=的一个零点，当0x <时，21()2f x x x =-+，若0()f x kx -=， 则2102x x kx -+-=，即12x k =-，所以102k -<，解得12k <； 当0x >时，()ln(1)f x x =+， 则1()1f x x '=+，且()10,11x ∈+ 若0()f x kx -=在0x >时有一个零点，则()0,1k ∈， 综上可得1,12k ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 故选：B.【点睛】本题考查了函数图像的画法，函数零点定义及应用，根据零点个数求参数的取值范围，导数的几何意义应用，属于中档题.7．当输入的实数[]230x ∈，时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是（ ）A ．914B ．514C ．37D ．928【答案】A【解析】【分析】根据循环结构的运行，直至不满足条件退出循环体，求出x 的范围，利用几何概型概率公式，即可求出结论.【详解】程序框图共运行3次，输出的x 的范围是[]23247，， 所以输出的x 不小于103的概率为24710314492472322414-==-. 故选:A.【点睛】本题考查循环结构输出结果、几何概型的概率，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.8．设i 为数单位，z 为z 的共轭复数，若13z i=+，则z z ⋅=（ ） A ．110 B ．110i C ．1100 D ．1100i 【答案】A【解析】【分析】由复数的除法求出z ，然后计算z z ⋅．【详解】13313(3)(3)1010i z i i i i -===-++-， ∴223131311()()()()10101010101010z z i i ⋅=-+=+=． 故选：A.【点睛】 本题考查复数的乘除法运算，考查共轭复数的概念，掌握复数的运算法则是解题关键．9．若双曲线22214x y a -= ）A ．B ．C ．6D ．8【答案】A【解析】【分析】依题意可得24b =，再根据离心率求出2a ，即可求出c ，从而得解；【详解】解：∵双曲线22214x y a -=所以22413e a=+=，∴22a =，∴c =故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.10．设1tan 2α=，4cos()((0,))5πββπ+=-∈，则tan 2()αβ-的值为（ ） A ．724-B ．524-C ．524D ．724【答案】D【解析】【分析】 利用倍角公式求得tan2α的值，利用诱导公式求得cos β的值，利用同角三角函数关系式求得sin β的值，进而求得tan β的值，最后利用正切差角公式求得结果.【详解】1tan 2α=，22tan 4tan21tan 3ααα==-， ()4cos cos 5πββ+=-=-，()(0,βπ∈， 4cos 5β∴=，3sin 5β=，3tan 4β=， ()43tan2tan 734tan 2431tan2tan 24134αβαβαβ---===++⨯， 故选：D.【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目.11．在复平面内，31i i +-复数（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】【分析】将复数化简得=12z i +,12z i =-,即可得到对应的点为()1,2-,即可得出结果.【详解】 3(3)(1)12121(1)(1)i i i z i z i i i i +++===+⇒=---+，对应的点位于第四象限. 故选:D .【点睛】本题考查复数的四则运算,考查共轭复数和复数与平面内点的对应,难度容易.12．已知双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的面积为Γ的离心率为（ ）A ．2B．3 C ．73 D【答案】D【解析】【分析】由圆22:()4C x c y -+=与l 相切可知，圆心(,0)C c 到l 的距离为2，即2b =.又1222AF F AOF S S ab ∆===V a 的值，利用离心率公式，求出e.【详解】由题意得2b =，12AF F S ab ∆==a ∴=3e ∴==. 故选：D.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，直线与圆相切的性质，离心率的求法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
内蒙古乌兰察布市2021届新高考数学模拟试题含解析
内蒙古乌兰察布市2021届新高考数学模拟试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．正方形ABCD 的边长为2，E 是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且2AE AC ⋅=u u u r u u u r，则()2AE AC +u u u r u u u r 的最小值为（ ） A ．232B ．12C ．252D ．13【答案】C 【解析】 【分析】分别以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴建立平面直角坐标系，设(,)E x y ，根据2AE AC ⋅=u u u r u u u r，可求1x y +=，而222()(2)(2)AE AC x y u u u r u u u r +=+++，化简求解.【详解】解：建立以A 为原点，以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴的平面直角坐标系.设(,)E x y ，(0,2)x ∈，(0,2)y ∈，则(,)AE x y =u u u r ，(2,2)AC =u u u r ，由2AE AC ⋅=u u u r u u u r，即222x y +=，得1x y +=.所以222()(2)(2)AE AC x y u u u r u u u r +=+++224()8x y x y =++++22213x x =-+=21252()22x -+，所以当12x =时，2()AE AC +u u u r u u u r 的最小值为252. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示，属于基础题.2．设,a b r r 为非零向量，则“a b a b +=+r r r r ”是“a r 与b r共线”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案. 【详解】若a b a b +=+r r r r ，则a r 与b r共线，且方向相同，充分性； 当a r 与b r共线，方向相反时，a b a b ≠++r r r r ，故不必要.故选：A .本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.3．已知数列{}n a 为等差数列，且16112a a a π++=，则()39sin a a +=的值为（ ） AB． C ．12D ．12-【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的性质和已知可得623a π=，即可得到9343a a π+=，代入由诱导公式计算可得．【详解】解：由等差数列的性质可得1611632a a a a π++==，解得623a π=， 963324a a a π+==∴， ()394sin sin s si in 333n a a ππππ∴⎛⎫=+=-= =⎪⎝+⎭故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列的下标和公式的应用，涉及三角函数求值，属于基础题．4．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积S =.根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）AB．CD．【答案】A 【解析】 【分析】根据()cos 3cos 0a B b c A ++=，利用正弦定理边化为角得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=，整理为()sin 13cos 0C A +=，根据sin 0C ≠，得1cos 3A =-，再由余弦定理得3bc =，又2222a b c --=，代入公式=S 求解.由()cos 3cos 0a B b c A ++=得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=， 即()sin 3sin cos 0A B C A ++=，即()sin 13cos 0C A +=， 因为sin 0C ≠，所以1cos 3A =-， 由余弦定理22222cos 23a b c bc A bc --=-==，所以3bc =， 由ABC ∆的面积公式得()222222211()312424c b a S bc ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故选：A 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若816S =，61a =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．32B ．32-C ．23D ．23-【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列公式直接计算得到答案. 【详解】 依题意，()()183********a a a a S ++===，故364a a +=，故33a =，故63233a a d -==-，故选：D ．【点睛】本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力. 6．中，如果，则的形状是（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【解析】 【分析】 化简得lgcosA ＝lg＝﹣lg2，即，结合， 可求，得代入sinC＝sinB ，从而可求C ，B ，进而可判断.由，可得lgcosA ＝＝﹣lg2，∴，∵，∴，，∴sinC ＝sinB ＝＝，∴tanC ＝，C＝，B ＝.故选：B 【点睛】本题主要考查了对数的运算性质的应用，两角差的正弦公式的应用，解题的关键是灵活利用基本公式，属于基础题．7．若21i iz =-+，则z 的虚部是A ．3B ．3-C ．3iD ．3i -【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】因为1i 2i 13i z =--=-，所以z 的虚部是3-.故选B ．8．函数()3sin 3x f x x π=+的图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】根据函数奇偶性，可排除D ；求得()f x '及()f x ''，由导函数符号可判断()f x 在R 上单调递增，即可排除AC 选项. 【详解】函数()3sin 3x f x x π=+易知()f x 为奇函数，故排除D.又()2cos x f x x π'=+，易知当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '>； 又当,2x π⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()2sin 1sin 0x f x x x π''=->-≥， 故()f x '在,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，所以()24f x f ππ⎛⎫''>= ⎪⎝⎭， 综上，[)0,x ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 单调递增. 又()f x 为奇函数，所以()f x 在R 上单调递增，故排除A ，C. 故选：B 【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，导函数性质与函数图象关系，属于中档题. 9．函数2sin 1x xy x +=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况。
2021年内蒙古乌兰察布市四子王旗一中高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(附答案详解)
2021年内蒙古乌兰察布市四子王旗一中高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 集合A ={x ∈N|log 2x ≤1}，集合B ={x ∈Z|x 2≤5}，则A ∩B =( )A. {2}B. {1,2}C. {0,1，2}D. ⌀2. 已知i 是虚数单位，则复数z =3+7i i的实部和虚部分别是( )A. −7，3B. 7，−3iC. 7，−3D. −7，3i3. 下列说法中，错误的是( )A. 若命题p ：∀x ∈R ，x 2≥0，则命题 ￢p ：∃x 0∈R ，x 02<0B. “sinx =12”是“x =5π6”的必要不充分条件C. “若a +b ≥4，则a 、b 中至少有一个不小于2”的逆否命题是真命题D. ∀x ∈R ，2x >x 24. 若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√5，则斜率为正的渐近线的斜率为( )A. √32B. 12C. √3D. 25. 已知函数f(x)=lg(1−x)的值域为(−∞,0]，则函数f(x)的定义域为( )A. [0,+∞)B. [0,1)C. [−9,+∞)D. [−9,1)6. 平面向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60°，a ⃗ =(2,0)，|b ⃗ |=1，则|a ⃗ +2b ⃗ |等于( )A. 2√2B. 2√3C. 12D. √107. 已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1、a 3、a 9成等比数列，则a 1+a 3+a 9a2+a 4+ a 10的值为( )A. 914B. 1115C. 1316D. 15178. 若x ，y 满足约束条件{x −2y ≤2x −y ≥−1−1≤y ≤1，则z =2x −y 的最大值为( )A. 9B. 8C. 7D. 69. 如图，正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的各棱长(包括底面边长)都是2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，则EF 与侧棱C 1C 所成的角的余弦值是( )A. √55B. 2√55C. 12D. 210.设函数f(x)=sinx−cosx，则下列结论正确的是()A. f(x)的最小正周期为πB. f(x)的图象关于直线x=9π4对称C. f(x+π)的一个零点为π4D. f(x)在(π4,3π4)，上单调递减11.函数y=1x−ln(x+1)的图象大致为()A. B. C. D.12.设函数f′(x)是奇函数f(x)x∈R的导函数，f(−1)=0，当x>0时，xf′(x)−f(x)<0则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A. (−∞,−1)∪(0,1)B. (0,1)C. (−1,0)∪(1,+∞)D. (−∞,−1)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(−1,2)，b⃗ =(m,1)，若向量a⃗+b⃗ 与a⃗垂直，则m=．14.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为______ ．15.设f(x)在R上是奇函数，且f(1−x)=f(1+x)，当x∈(0,1)时，f(x)=x3，则f(72)=______．16.在直角坐标系xOy中，抛物线M：y2=2px(p>0)与圆C：x2+y2−2√3y=0相交于两点，且两点间的距离为√6，则抛物线M的焦点到其准线的距离为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知数列{a n}满足a1=1，且数列{a n+1}是以2为公比的等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)已知数列{b n}的通项公式为b n=1，设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项n(n+1)和．18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosB=2c+b．(1)求∠A的大小；(2)若△ABC的外接圆的半径为2√3，面积为3√3，求△ABC的周长．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，已知AB//CD，PA=AB=AD=2，DC=1，AD⊥AB，PB=PD=2√2，点M是线段PB的中点．(Ⅰ)证明：CM//平面PAD；(Ⅱ)求四面体MPAC的体积．20. 设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B.已知椭圆的离心率为√53，|AB|=√13． (1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y =kx(k <0)与椭圆交于P ，Q 两点，直线l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值．21. 已知函数f(x)=13x 3−bx 2+2x +a ，x =2是f(x)的一个极值点．(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)若直线y =2x 和此函数的图象相切，求a 的值；(Ⅲ)若当x ∈[1,3]时，f(x)−a 2>23恒成立，求a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =−2+35ty =−2+45t，(t 是参数).以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cosθ． (1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)若C1，C2交于A，B两点，P点坐标为(−2,−2)，求1|PA|+1|PB|的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A ={1,2}，B ={−2,−1,0，1，2}； ∴A ∩B ={1,2}． 故选：B ．可解出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法表示集合的概念，以及交集的概念及其运算．2.【答案】C【解析】解：∵z =3+7i i=(3+7i)(−i)−i 2=7−3i ，∴复数z =3+7i i的实部和虚部分别是7，−3．故选：C ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】解：对于A ，若命题p ：∀x ∈R ，x 2≥0，则命题 ￢p ：∃x 0∈R ，x 02<0，满足命题的否定形式，所以A 正确； 对于B ，“sinx =12”推不出“x =5π6”，反之成立，所以“sinx =12”是“x =5π6”的必要不充分条件，所以B 正确；对于C ，“若a +b ≥4，则a 、b 中至少有一个不小于2”原命题是真命题，所以它的逆否命题是真命题，所以C 正确；对于D ，x =2时，2x =x 2，所以，∀x ∈R ，2x >x 2，不正确；即D 不正确； 故选：D ．利用命题的否定判断A ；充要条件判断B ；命题的真假判断C ，反例判断D ． 本题考查命题的真假的判断与应用，考查命题的否定，充要条件，四种命题的的逆否关系，是基本知识的考查．4.【答案】D【解析】解：由e2=c2a2=1+b2a2=5，可得ba=2，即可得渐近线的斜率k=±ba=±2．故斜率为正的渐近线的斜率为2，故选：D．由e2=c2a2=1+b2a2，可得a，b的关系，即可得出结论．本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．5.【答案】B【解析】解：∵函数f(x)=lg(1−x)的值域为(−∞,0]，∴1−x∈(0,1]，∴x∈[0,1)，即函数f(x)的定义域为[0,1)，故选：B．根据函数f(x)=lg(1−x)的值域为(−∞,0]，可得：1−x∈(0,1]，可得答案．本题考查的知识点是对数函数的定义域和值域，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．6.【答案】B【解析】解：由向量a⃗与b⃗ 的夹角为60°，a⃗=(2,0)，|b⃗ |=1，可得|a⃗|=2，a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗ |cos60°=2⋅1⋅12=1，则|a⃗+2b⃗ |=√a⃗2+4a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2=√4+4+4=2√3．故选：B．运用向量的数量积的定义，可得，a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗ |cos60°=1，再由向量的模的平方即为向量的平方，计算即可得到所求值．本题考查向量的数量积的定义和性质，主要是向量的模的平方即为向量的平方，考查运算求解的能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：等差数列{a n }中，a 1=a 1，a 3=a 1+2d ，a 9=a 1+8d ， 因为a 1、a 3、a 9恰好是某等比数列，所以有a 32=a 1a 9，即(a 1+2d)2=a 1(a 1+8d)，解得d =a 1，所以该等差数列的通项为a n =nd 则a 1+a 3+a 9a2+a 4+ a 10的值为1+3+92+4+10=1316．故选：C ．因为{a n }是等差数列，故a 1、a 3、a 9都可用d 表达，又因为a 1、a 3、a 9恰好是等比数列，所以有a 32=a 1a 9，即可求出d ，从而可求出该等比数列的公比，最后即可求比值．本题考查等差数列的通项公式、等比数列的定义和公比，属基础知识、基本运算的考查．8.【答案】C【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z =2x −y 得y =2x −z 平移直线y =2x −z ，由图象可知当直线y =2x −z 经过点A 时，直线y =2x −z 的截距最小， 此时z 最大．由{y =1x −2y =2，解得x =4，y =1，即A(4,1)，将C 的坐标代入目标函数z =2x −y ， 得z =8−1=7， 故选：C ．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查异面直线及其所成的角，属于基础题．先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点F，取AC的中点G，连接FG，EG，∠EFG 为EF与侧棱C1C所成的角(或其补角)，在直角三角形EFG中求出此角的余弦值即可．【解答】解：取AC的中点G，连接FG，EG，根据题意可知FG//C1C，FG=C1C，∴∠EFG为EF与侧棱C1C所成的角(或其补角)，因为正三棱柱ABC−A1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2，而EG//BC，EG=12BC，所以在Rt△EFG中，EG=1，FG=2，EF=√12+22=√5，得cos∠EFG=FGEF =2√55，故选B．10.【答案】C【解析】【分析】先利用辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的周期公式，对称性及零点和单调性进行判断．本题主要考查了正弦函数的性质的简单应用，属于基础试题．【解答】解：因为f(x)=sinx−cosx=√2sin(x−π4)，结合周期公式可知T=2π，故A错误；结合正弦函数的对称性可知，当x=9π4时，函数值为0，不是最值，不符合对称轴处取得最值的条件，故B错误；由于f(x+π)=√2sin(x+3π4)，当x=π4时，函数值为0，即π4为f(x+π)的一个零点，故C正确；结合正弦函数的性质可知，函数f(x)在(π4,3π4)上单调递增，故D错误．故选：C．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数的图象与性质的应用，属于基础题．根据函数的单调性排除B，D，根据函数值，排除C．【解答】解：函数定义域为(−1,0)∪(0,+∞)，由于y′=−1x2−1x+1=−x+1+x2x2(x+1)<0，所以函数y=1x−ln(x+1)在(−1,0)，(0,+∞)单调递减，故排除B，D，当x=1时，y=1−ln2>0，故排除C，故选A．12.【答案】A【解析】解：设g(x)=f(x)x，则g(x)的导数为：g′(x)=xf′(x)−f(x)x2，∵当x>0时总有xf′(x)<f(x)成立，即当x>0时，g′(x)恒小于0，∴当x>0时，函数g(x)=f(x)x为减函数，又∵g(−x)=f(−x)−x =−f(x)−x=f(x)x=g(x)，∴函数g(x)为定义域上的偶函数，又∵g(−1)=f(−1)−1=0，∴函数g(x)的大致图象如图所示：数形结合可得，不等式f(x)>0等价于x⋅g(x)>0，即{x >0g(x)>0或{x <0g(x)<0， 解得0<x <1或x <−1．∴f(x)>0成立的x 的取值范围是(−∞,−1)∪(0,1)．故选：A ．构造函数g(x)=f(x)x ，利用g(x)的导数判断函数g(x)的单调性与奇偶性，再画出函数g(x)的大致图象，结合图形求出不等式f(x)>0的解集．本题考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式的应用问题，是综合题．13.【答案】7【解析】【分析】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用．利用平面向量坐标运算法则先求出a ⃗ +b ⃗ ，再由向量a ⃗ +b ⃗ 与a⃗ 垂直，利用向量垂直的条件能求出m 的值． 【解答】解：∵向量a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(m,1)，∴a ⃗ +b⃗ =(−1+m,3)， ∵向量a ⃗ +b ⃗ 与a⃗ 垂直， ∴(a ⃗ +b ⃗ )·a ⃗ =(−1+m)×(−1)+3×2=0，解得m =7．故答案为7．14.【答案】22π【解析】解：由三视图还几何体，几何体是从同一个顶点出发的三条棱两两垂直的三棱锥，且长分别为2，3，3，将该三棱锥放入一个长，宽，高分别为2，3，3的长方体中，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，长方体的题对角线即为外接球的直径，所以外接球的直径2R =√22+32+32=√22， 所以外接球的半径为R =√222， 故外接球的表面积为S =4πR 2=22π．故答案为：22π．先利用三视图还原几何体，几何体是从同一个顶点出发的三条棱两两垂直的三棱锥，且长分别为2，3，3，然后将三棱锥的外接球转化为长方体的外接球进行求解即可． 本题考查了由三视图求面积、体积问题，涉及了三棱锥外接球的理解和应用，解题的关键是将三棱锥的外接球转化为长方体的外接球，属于中档题．15.【答案】−18【解析】解：∵f(1−x)=f(1+x)，∴f(x)关于直线x =1对称，又f(x)为奇函数，∴f(x)的最小正周期为4，∴f(72)=f(72−4)=f(−12)=−f(12)=−18． 故答案为：−18．先求出函数f(x)的一条对称轴为x =1，进一步求得其周期为4，由此即可转化得解． 本题考查利用函数性质求函数值，主要考查了函数的对称性，奇偶性及周期性，属于基础题．16.【答案】√32【解析】解：依题意不妨设抛物线M ：y 2=2px(p >0)与圆C 的一个交点为O ，设另一个交点为A(x 1,y 1)又|OA|=√6，∴cos∠AOC =|OA|2+|OC|2−|AC|22⋅|OA|⋅|OC|=|OA|2|OC|=√22， 则∠AOC =π4，点A 坐标为(√3,√3)，代入抛物线方程，解得p =√32， 则抛物线M 的焦点到其准线的距离为√32 依题意不妨设抛物线M ：y 2=2px(p >0)与圆C 的一个交点为O ，设令一个交点为A(x 1,y 1)，又因为点A 在抛物线上，求出p 的值，问题得以解决本题考查抛物线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查计算能力．17.【答案】解：(1)∵a 1+1=2，且数列{a n +1}是以2为公比的等比数列， ∴数列{a n +1}是首项为2，公比为2的等比数列，(2分)∴a n +1=2×2n−1=2n ，(4分)∴a n =2n −1.(5分)(2)设数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，则S n =(21+22+23+⋯+2n )−n =2(1−2n )1−2−n =2n+1−2−n ，(7分) ∵b n =1n(n+1)=1n −1n+1，(9分) ∴T n =(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯…+(1n −1n+1)=1−1n+1，(11分)所以数列{c n }的前n 项和为：S n +T n =2n+1−1n+1−n −1(12分)．【解析】(1)根据数列{a n +1}是首项为2，公比为2的等比数列，利用通项公式即可得出．(2)设数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，分别利用等比数列的求和公式、裂项求和方法即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)因为2acosB =2c +b ，由正弦定理可得：2sinAcosB =2sinC +sinB ， 由三角形内角和定理和诱导公式可得：sinC =sin(π−(A +B))=sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB ，代入上式可得：2sinAcosB =2sinAcosB +2cosAsinB +sinB ，所以：2cosAsinB+sinB=0．因为：sinB>0，所以：2cosA+1=0，即：cosA=−12．由于：0<A<π，所以：A=2π3．(2)因为：△ABC的外接圆的半径为2√3，由正弦定理可得：a=4√3sinA=4√3×√32=6．又△ABC的面积为3√3，所以：12bcsinA=3√3，即：12bc×√32=3√3，所以：bc=12．由余弦定理得：a2=b2+c2−2bccosA，则：36=b2+c2+bc=(b+c)2−bc=(b+c)2−12，所以：(b+c)2=48，即：b+c=4√3．所以：△ABC的周长a+b+c=6+4√3．【解析】(1)由正弦定理，三角形内角和定理和诱导公式化简已知2cosAsinB+sinB=0，结合sinB>0，可求cos A的值，结合范围0<A<π，可求A的值．(2)由已知利用正弦定理可求a的值，根据三角形的面积公式可求bc=12，由余弦定理可得b+c=4√3，进而可求△ABC的周长的值．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.【答案】(Ⅰ)证明：取PA的中点N，连接MN，有MN//AB，且2MN=AB，又AB//CD，AB=2CD，∴MN//CD且MN=CD，得四边形MNDC是平行四边形，∴CM//DN．又DN⊂平面PAD，CM⊄平面PAD，∴CM//平面PAD；(Ⅱ)解：依题意，PA2+AB2=PB2，PA2+AD2=PD2，∴PA⊥AB，PA⊥AD，又AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD，∵AD⊥AB，AD⊥PA，AB∩PA=A，∴AD⊥平面PAB．又CD//AB ，∴AD 是C 到平面PAB 的距离．则V C−PAM =13S △PAM ⋅AD =13×12×12×2×2×2=23．【解析】(Ⅰ)取PA 的中点N ，连接MN ，有MN//AB ，且2MN =AB ，结合已知可得MN//CD 且MN =CD ，得四边形MNDC 是平行四边形，则CM//DN.再由直线与平面平行的判定得到CM//平面PAD ；(Ⅱ)由已知结合勾股定理得到PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，则PA ⊥平面ABCD ，有AD ⊥AB ，再由AD ⊥PA ，可得AD ⊥平面PAB.则AD 是C 到平面PAB 的距离．然后利用等体积法求解．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．20.【答案】解：(1)设椭圆的焦距为2c ，由已知可得c 2a 2=59， 又a 2=b 2+c 2，|AB |=√a 2+b 2=√13，解得a =3，b =2，∴椭圆的方程为：x 29+y 24=1，(2)设点P(x 1,y 1)，M(x 2,y 2)，(x 2>x 1>0)，则Q(−x 1,−y 1).∵△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，∴|PM|=2|PQ|，从而x 2−x 1=2[x 1−(−x 1)]，∴x 2=5x 1，易知直线AB 的方程为：2x +3y =6．由{2x +3y =6y =kx，可得x 2=63k+2>0． 由{4x 2+9y 2=36y =kx，可得x 1=√9k 2+4， √9k 2+4=5(3k +2)⇒18k 2+25k +8=0，解得k =−89或k =−12．由x 2=63k+2>0，可得k >−23，故k =−12．【解析】本题考查了椭圆的方程、几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．(1)设椭圆的焦距为2c ，由已知可得c 2a 2=59，又a 2=b 2+c 2，解得a =3，b =2，即可得解．(2)设点P(x 1,y 1)，M(x 2,y 2)，(x 2>x 1>0)，则Q(−x 1,−y 1)，由△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，可得x 2−x 1=2[x 1−(−x 1)]，x 2=5x 1，联立方程求出由x 2=63k+2>0，x 1=√9k 2+4，可得k ．21.【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=x 2−2bx +2．∵x =2是f(x)的一个极值点∴x =2是方程x 2−2bx +2=0的一个根，解得b =32．令f′(x)>0，则x 2−3x +2>0，解得x <1或x >2．∴函数y =f(x)的单调递增区间为(−∞,1)，(2,+∞)．(Ⅱ) 设切点为(x 0,y 0)，则x 02−3x 0+2=2 ∴x 0=0或x 0=3∴切点为(0,0)，(3,6) 代入函数f(x)=13x 3−32x 2+2x +a ，可得a =0或a =92(Ⅲ)∵当x ∈(1,2)时，f′(x)<0，x ∈(2,3)时，f′(x)>0，∴f(x)在(1,2)上单调递减，f(x)在(2,3)上单调递增．∴f(2)是f(x)在区间[1,3]上的最小值，且f(2)=23+a ．若当x ∈[1,3]时，f(x)−a 2>23恒成立，只需f(2)>a 2+23，即23+a >a 2+23，解得 0<a <1．【解析】(Ⅰ)根据x =2是f(x)的一个极值点，可知f′(2)=0，从而可求b 的值，进而利用导数大于0，可求函数y =f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)根据直线y =2x 和此函数的图象相切，故在切点处的斜率为2，从而可求切点，进而可求a 的值；(Ⅲ)先确定函数在x =2处取最小值，进而利用最值法解决恒成立问题，故可解． 本题以极值为依托，考查导数的运用，考查函数的单调性，考查导数的几何意义，考查恒成立问题的处理．22.【答案】解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =−2+35t y =−2+45t，(t 是参数)，转换为普通方程为4x −3y +2=0；曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cosθ，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为直角坐标方程为(x −2)2+y 2=4．(2)把直线的参数式{x =−2+35t y =−2+45t，代入(x −2)2+y 2=4，得到t 2−8t +16=0， 所以t 1+t 2=8，t 1t 2=16，故1|PA|+1|PB|=|t 1+t 2||t 1t 2|=12．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程和普通方程，极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)将直线的参数式{x =−2+35t y =−2+45t ，代入(x −2)2+y 2=4，利用直线参数方程的几何意义，求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和普通方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式，考查运算能力，属于基础题．。
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内蒙古乌兰察布市2021届新高考四诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．甲、乙、丙三人相约晚上在某地会面，已知这三人都不会违约且无两人同时到达，则甲第一个到、丙第三个到的概率是（ ）A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】D【解析】【分析】先判断是一个古典概型，列举出甲、乙、丙三人相约到达的基本事件种数，再得到甲第一个到、丙第三个到的基本事件的种数，利用古典概型的概率公式求解.【详解】甲、乙、丙三人相约到达的基本事件有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6种， 其中甲第一个到、丙第三个到有甲乙丙，共1种， 所以甲第一个到、丙第三个到的概率是16p =. 故选：D【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.2．()2523(2)x x x --+的展开式中，5x 项的系数为（ ）A ．－23B ．17C ．20D ．63 【答案】B【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式，结合乘法分配律，求得5x 的系数.【详解】 5(2)x +的展开式的通项公式为5152r r r r T C x -+=⋅.则①()223x x --出(3)-，则5(2)x +出5x ，该项为：00555(3)23C x x -⋅⋅⋅=-；②()223x x --出(2)x -，则5(2)x +出4x ，该项为：11555(2)220C x x -⋅⋅⋅=-；③()223x x --出2x ，则5(2)x +出3x ，该项为：225551240C x x ⋅⋅⋅=； 综上所述：合并后的5x 项的系数为17.故选：B【点睛】本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识，考查理解能力，计算能力，分类讨论和应用意识.3．已知二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象如图所示，则函数()'()x g x e f x =+的零点所在区间为（ ）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】B【解析】 由函数f(x)的图象可知，0＜f(0)＝a ＜1，f(1)＝1－b ＋a ＝0，所以1＜b ＜2.又f′(x)＝2x －b ，所以g(x)＝e x ＋2x －b ，所以g′(x)＝e x ＋2＞0，所以g(x)在R 上单调递增，又g(0)＝1－b ＜0，g(1)＝e ＋2－b ＞0，根据函数的零点存在性定理可知，函数g(x)的零点所在的区间是(0，1)，故选B.4．将函数22cos 128x y π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则m 的最小值为（ ）A ．3πB ．4πC ．2πD ．π【答案】B【解析】【分析】 由余弦的二倍角公式化简函数为cos 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要想在括号内构造2π变为正弦函数，至少需要向左平移4π个单位长度，即为答案. 【详解】 由题可知，22cos 1cos 2cos 28284x x y x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦对其向左平移4π个单位长度后，cos cos sin 442y x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其图像关于坐标原点对称 故m 的最小值为4π 故选：B【点睛】本题考查三角函数图象性质与平移变换，还考查了余弦的二倍角公式逆运用，属于简单题.5．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（ ）A ．438π+B ．238π+C ．434π+D ．834π+ 【答案】A【解析】由题意得到该几何体是一个组合体，前半部分是一个高为234的等边三角形的三棱锥，后半部分是一个底面半径为2的半个圆锥，体积为21311434234238323V ππ=⨯⨯⨯⨯=+ 故答案为A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-【答案】C【解析】【分析】利用n S 先求出n a ，然后计算出结果.【详解】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142a λ+∴=, 故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=, Q 数列{}n a 是等比数列,则11a =，故412λ+=, 解得2λ=-,故选C .【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础. 7．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点E 在线段11A C 上，F 、M 分别是AD 、CD 的中点，则下列结论中错误的是（ ）A ．11//FM AC ，B ．存在点E ，使得平面//BEF 平面11CCD D C ．BM ⊥平面1CC FD ．三棱锥B CEF -的体积为定值【答案】B【解析】【分析】 根据平行的传递性判断A ；根据面面平行的定义判断B ；根据线面垂直的判定定理判断C ；由三棱锥B CEF -以三角形BCF 为底，则高和底面积都为定值，判断D.【详解】在A 中，因为,F M 分别是,AD CD 中点，所以11////FM AC AC ，故A 正确；在B 中，由于直线BF 与平面11CC D D 有交点，所以不存在点E ，使得平面//BEF 平面11CC D D ，故B 错误；在C 中，由平面几何得BM CF ⊥，根据线面垂直的性质得出1BM C C ⊥，结合线面垂直的判定定理得出BM ⊥平面1CC F ，故C 正确；在D 中，三棱锥B CEF -以三角形BCF 为底，则高和底面积都为定值，即三棱锥B CEF -的体积为定值，故D 正确；故选：B【点睛】本题主要考查了判断面面平行，线面垂直等，属于中档题.8．执行如图所示的程序框图，若输出的310S =，则①处应填写（ ）A ．3?k <B ．3?k …C ．5?k …D ．5?k < 【答案】B【解析】【分析】 模拟程序框图运行分析即得解.【详解】2111,0;2,0226k S k S ====+=+； 21113,6334k S ==+=+；21134,44410k S ==+=+. 所以①处应填写“3?k …”故选：B【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．若复数221a i i++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】【分析】 化简复数221a i i++，由它是纯虚数，求得a ，从而确定22a i +对应的点的坐标． 【详解】 221a i i ++2()(1)1(1)(1)(1)a i i a a i i i +-==++-+-是纯虚数，则1010a a +=⎧⎨-≠⎩，1a =-， 2222a i i +=-+，对应点为(2,2)-，在第二象限．故选：B ．【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义．本题属于基础题．10．已知3log a =ln3b =，0.992c -=，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．b c a >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >> 【答案】A【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的单调性，借助特殊值即可比较大小.【详解】因为331log log 2<=， 所以12a <. 因为3＞e ，所以ln3ln 1b e =>=，因为00.991>->-，2x y =为增函数， 所以0.991221c -=<< 所以b c a ＞＞，故选：A.【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题.11．已知a ，b ，c 分别是ABC V 三个内角A ，B ，C 的对边，cos 3sin a C c A b c +=+，则A =（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π 【答案】C【解析】【分析】原式由正弦定理化简得3sin sin cos sin sin C A A C C =+，由于sin 0C ≠，0A π<<可求A 的值.【详解】解：由cos 3sin a C c A b c +=+及正弦定理得sin cos 3sin sin sin sin A C C A B C +=+.因为B A C π=--，所以sin sin cos cos sin B A C A C =+代入上式化简得3sin sin cos sin sin C A A C C =+.由于sin 0C ≠，所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 又0A π<<，故3A π=.故选：C.【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，三角函数恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题.12．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用22()4⨯⨯+=⨯+=勾股股勾朱实黄实弦实-，化简，得222+=勾股弦.设勾股形中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）A ．134B ．866C ．300D ．500【答案】A【解析】 分析：设三角形的直角边分别为13.解析：设三角形的直角边分别为1，3，则弦为2，故而大正方形的面积为4，小正方形的面积为()231423-=-. ∴图钉落在黄色图形内的概率为42323--=. ∴落在黄色图形内的图钉数大约为2310001342-⨯≈. 故选：A.点睛：应用几何概型求概率的方法建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量．(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。