幂等矩阵的性质研究

滨州学院毕业设计（论文）题目幂等矩阵的性质研究系（院）数学系专业数学与应用数学班级2010级1班学生姓名崔世玉学号1014070124指导教师田学刚职称讲师二〇一四年六月十日独创声明本人郑重声明：所呈交的毕业设计(论文)，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议。

尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本设计（论文）不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。

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作者签名：二〇一四年月日毕业设计（论文）使用授权声明本人完全了解滨州学院关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定。

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（保密论文在解密后遵守此规定）作者签名：二〇一四年月日幂等矩阵的性质研究摘要幂等矩阵是一类非常特殊的矩阵，不仅在矩阵论中有着重要的应用，而且在其它许多领域也有广泛的应用.本文的主要内容是探讨幂等矩阵性质及其应用，首先对幂等矩阵性质进行分析整理并作简单的推广；然后利用分类讨论的思想研究幂等矩阵线性组合的幂等性，在一定条件下给出3个幂等矩阵的线性组合幂等的充要条件；最后研究幂等矩阵的线性组合的可逆性，给出其可逆的具体刻画.本文研究内容能够丰富幂等矩阵的相关结论，有利于矩阵在其它领域的应用。

关键词:幂等矩阵；线性组合；可逆矩阵；矩阵的秩Research on the properties of idempotent matrixAbstractIdempotent matrix is a very special class of matrices, which having important applications not only in matrix theory, but also in many other fields .The main content of the paper is to investigate the properties of idempotent matrix and its application.Firstly, the properties of idempotent matrix are analyzed and promoted.By using the category talk and the idempotent matrix idempotency of linear combinations.In some conditions three idempotent matrices the necessary and sufficient conditions in which the linear combination is also idempotent are given.The last research idempotent matrix of the linear combination of reversibility, gives its reversible specific features.In this paper, the research content to enrich the idempotent matrix related conclusions, which is helpful for the application of matrix in other areas.Key words: idempotent matrix; linear combination; invertible matrix; rank matrix目录第一章幂等矩阵的概述 (1)1.1研究背景 (1)1.2基本概念介绍 (2)第二章幂等矩阵的性质 (4)2.1幂等矩阵的主要性质 (4)2.2幂等矩阵的等价命题 (7)第三章幂等矩阵线性组合的幂等性 (12)3.1 3个幂等矩阵线性组合的幂等性 (12)3.2 3个立方幂等矩阵的线性组合的幂等性 (14)第四章幂等矩阵线性组合的可逆性 (16)4.1 幂等矩阵线性组合的可逆性 (16)4.2 三个三次幂等矩阵的线性组合的可逆性问题 (18)小结 (20)参考文献 (21)谢辞 (22)第一章幂等矩阵的概述1.1研究背景幂等矩阵是矩阵中非常特殊的一类矩阵，也是非常重要且非常常见的一类矩阵，很多其他特殊矩阵都与幂等矩阵有着密切的联系，如对合矩阵及投影矩阵.幂等矩阵在数学领域及其他许多领域的应用都非常广泛，幂等矩阵更是矩阵论中的一个基础部分，幂等矩阵在可对角化矩阵的分解中具有重要作用.近年来有关此问题的研究吸引了国内外许多研究学者的关注，关于幂等矩阵的研究已经成为矩阵论中的活跃的研究领域.幂等矩阵在研究广义逆矩阵中占有非常重要的位，研究幂等矩阵的性质是研究其他特殊矩阵的基础.广义逆的思想可追溯到1903年(E.) i. Fred Holm的工作，他讨论了关于积分算子的一种广义逆(他称之为伪逆)。

1904年，D. Hilbert broadly 在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。

而任意矩阵的广义逆定义最早是由E.H. Moore在1920年提出的，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上.当时人们对此似乎很少注意。

这一概念在以后30年中没有多大发展.曾远荣在1933年，F.J. Murray 和J. von Neumann在1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆作过讨论。

T.N.E. Greville, C.R. Rao和其他人也作出了重要的贡献.1955年，Penrose证明了存在唯一的+=AX满足前述性质①～④，并以此作为+A的定义.1956年，R. Colorado证明了彭罗斯定义的广义逆与穆尔定义的广义逆是等价的，因此通称+A为穆尔-彭罗斯广义逆矩阵。

幂等矩阵是国内外学者都非常感兴趣的一类矩阵，如文[1]中研究了幂等矩阵的可对角化性质，证明了幂等矩阵是可对角化的；文[2]研究了幂等矩阵的伴随矩阵的幂等性等等。

本文在接下来的章节中，我们将先给出幂等矩阵的定义及几个简单命题，并证明.然后给出幂等矩阵的一系列性质，在前人的基础上进行总结以及推广，并进行证明。

再给出幂等矩阵的等价命题，并给出证明。

然后讨论幂等矩阵的线性组合的相关性质并对幂等矩阵进行深入研究。

1.2 幂等矩阵的概念 定义1.1]3[ 若n n C A ⨯∈有性质A A =2, 则称A 为幂等矩阵. 为了更好地了解幂等矩阵, 现在来看以下几个命题:引理1.1 若n 阶方阵A 是幂等矩阵, 则与A 相似的任意n 阶方阵是幂等矩阵. 证明 设A B ~(即矩阵B 与矩阵A 相似),则,可逆n n C P ⨯∈∃使得B AP P =-1且 P A P AP P AP P B 21112---=⋅=,又 A A =2,所以B AP P P A P B ===--1212，所以B 是幂等矩阵.定理1.1也可以表述为: 若A 是幂等矩阵, 则对于任意可逆阵T , AT T 1-也 为幂等矩阵.引理1.2 若n 阶方阵A 是幂等矩阵, 则A 的转置T A , A 的伴随矩阵*A 及A E - 都是幂等矩阵.证明 ()()T T T A A A ==22, 即T A 为幂等矩阵;对*A , 先证明对任意两个幂等矩阵B A 、, 有关系式()***A B AB =.由binet Cauchy -公式有:()()=j i AB ,*矩阵AB 的第i 行第j 列的代数余子式 所以,()()()2*****2*A A A AA A A ====， 对A E -, 有()A E A A E A A E A E -=+-=+-=-22222. 引理1.3 若A 是幂等矩阵, A 的k 次幂仍是幂等矩阵.证明 可用数学归纳法证明. 当1=k 时, 显然成立.假设当n k =时, 命题成立, 现考虑1+n 情形:()1222221+++=⋅=⋅==n n n n n A A A A A A A ，即当1+=n k 时命题仍成立, 由数学归纳法知, 对任意N k ∈命题都成立.第二章 幂等矩阵的性质2.1 幂等矩阵的主要性质性质2.1 0矩阵和单位矩阵E 都是幂等矩阵.证明 由0和E 的定义可知命题成立.性质2.2 幂等矩阵A 满足: ()()0=-=-A A E A E A .证明 ()02=-=-=-A A A A A E A ,()02=-=-=-A A A A A A E .性质2.3 若矩阵B A ,均为幂等矩阵, 且BA AB =, 则AB 与T T B A 也是幂等矩阵.证明 ()AB B A B AB A B BA A AB AB AB ==⋅⋅=⋅⋅=⋅=222, 同理, T T B A 也是幂等矩阵.性质2.4 若幂等矩阵A 可逆, 则E A =.证明 因为A A =2.所以E A A A A A =⋅=⋅=--121.性质2.5 幂等矩阵的特征值只能为0或1.证明 设A 是幂等矩阵, 即A A =2, 再设A 的特征值为λ, 则λλ=2(由特征值的性质), 故10或=λ.由这个性质可以知道幂等矩阵是半正定矩阵.性质2.6 幂等矩阵可对角化.证明 设A 是幂等矩阵, λm 为A 的最小多项式, 由性质2.5知: λλ=m 或1-λ或()1-λλ,最小多项式是互素的一次因式的乘积, 从而A 可对角化. 另]1[证明 当E A 或0=(即n r A 或0=)时, 显然成立.当n r A <<0时, A 的特征值全为0, 1. A 的属于1的特征子空间的维数等于齐次线性方程组()0=-x A E 的解空间的维数()A E r n --. 属于0的特征子空间的维数等于齐次线性方程组0)(=--x A E 的解空间的维数A r n -.由幂等矩阵的性质有[])(A E r n --[]n n n r r n r n A A E A =-=--=-+-22)(故A 可对角化, 设t r A =, 则由幂等矩阵的性质得()r r n A E =--, 因此A 的相似标准型为⎥⎦⎤⎢⎣⎡000rE . 性质2.7 若A 是幂等矩阵, 则()1,0≠∈∀a R a , aE A +是可逆矩阵.证明 因为A A =2，所以()()[]()()E a a E a a A A E a A aE A 1112+-=+--=+-+,又因为A A =21,0≠a ,所以()()()[]E E a A a a aE A =⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+-+111, 故aE A +可逆, 且()()[]E a a A a a aE A 1)1(11+-+-=+-. 性质2.8 幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩, 即()()A rank A tr =.证明 设()X r A rank ,,λ=分别为A 的特征值及其相应的特征向量, 于是有: X AX X A AX X 22λλλ====,从而有()01=-λλ. 由此可推得结果. 性质2.9 若A 满足()n r r E A A =+-, 则A 是幂等矩阵.证明 设0=Ax 的基础解系为r ξξξ,,,21 (其实它们都是特征值0的特征向量), 再设()0=-x E A 的基础解系为t r r r +++ξξξ,,,21 (它们都是特征值为1的特征向量), 且n t r =+, 设矩阵(可逆)()n r r T ξξξξξ,,,,,,121 +=满足B E AT T t =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0001, 而B 是幂等矩阵, 故1-=TBT A 也是幂等矩阵.例2.1 设B A 、都是幂等矩阵, 且BA AB =, 证明AB B A -+是幂等矩阵.证明 由题意可知B B A A ==22,, 且BA AB =, 于是:()()2222AB ABB ABA BAB B BA AAB AB A AB B A +---++-+=-+ABAB AB ABA BAB B BA AB AB A +---++-+= AB AB AB BA B BA A +---++= AB B A -+=.例2.2 设B A ，为n 阶幂等矩阵, 且BA AB =, ()0,≠∈∀ab R b a . 证明 (1) 若()E bB aA =+2则0==BA AB 或1±=+b a .(2) 若()E bB aA =-2则0==BA AB 或1±=-b a .证明 (1) ()E bB aA =+2, 由题设知BA AB B B A A ===,,22,则有()B b abAB A a B b abBA abAB A a bB aA 22222222++=+++=+.对上式两边同乘于B A ，得 AB AB b abAB AB a =++222.移项得()()[]0112222=-+=-++AB b a AB b ab a .从而有()012==+AB b a 或, 即0==BA AB 或1±=-b a .同理可证)2(.例2.3 设A 是n 阶实对称阵, 且A A =2, 证明∃正交矩阵T ,使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-0001rE AT T . 证明 设ξ是属于λ的特征向量, 那么λξξ=A ,()ξλξλλξξ22===A A A ，又A A =2,λξξ=2A , 从而()02=-ξλλ,但0≠λ，所以λλ=2，故1=λ或0，(由幂等矩阵的性质也可以得知), 故A 的特征值不是0就是1.故∃正交矩阵T ,使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-0001rE AT T (T 可由特征向量构造, 将A 转化为()A Im x x Ax ∈⇔=.（1）⇔（5） “⇒” 因为A A =2，所以()0=-A E A .故A E -的列向量都满足0=Ax . 从而()()A Ker A E Im ⊆-,又()A Ker α∈∀, 有()()()A E Im A E A E A A -∈⇒-=-+⇒=ααααα0.由α的任意性可知()()A Ker A E Imf ⊇-.综上, ()()A Ker A E Im =-.“⇐” 对n R ∈∀α有()()()A Ker A E Im αA E =-∈-,即()()A Ker A E ∈-α. 于是有()[]()002=-⇒=-ααA A A E A .由α的任意性得A A A A ==-220，即.同理可证⇔=A A 2()()A E Ker A Im -=.（1）⇔（6） 若()()A E Im A Im x -⋂∈, 即()z A E Ay x -==对某两个z y 、成立, 则()02=-==z A E A y A x ,故()(){}0A E Im A Im =-⋂.同理可证后面一个式子，从而（4）成立. 反之, 若（6）成立, 则对任一x , 有()x A E Ax x -+=是x 的唯一分解.但又有唯一分解()x A E x A x 22-+=,又()()()A E Im x A E ，A Im x A 22-∈-∈，于是对任何x 成立着x A Ax 2=, 从而A A =2.（6）⇔（7） 注意到()x A E Ax x -+=对任何x 成立, 故总有()()nR A E Im A Im =-⊕, 故(vi)与(vii)等价.（7）⇔（8） ()()n R A E Im A Im =-⊕总是成立的. 由维数公式知()[]()[]()n A E A A E A A E A =-+=-⋂+-+dim dim dim dim .由性质2.8可知, 若A A =2, 则trA r A =.另外, 利用矩阵的满秩分解, 我们可以具体的找出(ix)中的变换阵()0≠P P . 设11Q P A =,22Q P A E =-均为满秩分解, 则有[]E Q Q P P =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121,,且[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121,Q Q P P ，均为方阵. 从而[]E Q Q P P =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121,， 由此可知r E P Q =11, 021=P Q , 012=P Q , r n E P Q -=22.于是可证明[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡000,2121rE P P A Q Q . 从此式还可以看出, 1P 与2P 的列向量分别是A 的属于特征值1与0的特征向量. 最后,矩阵的满秩分解可用来判定幂等性: 若21A A A =是满秩分解, 则A A =2当且仅当E A A =12. 另一方面, 常用此特殊性来构造幂等矩阵. 下面给出几个构造幂等矩阵的定理:定理2.2]4[ 设非零列向量()Tn αααα，，， 21=, 则n 阶矩阵T E A αα-=为幂等矩阵⇔122221=+++=n T ααααα .证明 “⇒”因为A A =2, 所以()()TTTE E E αααααα-=--,即()T T T T E E αααααααα-=+-2,从而()01=-T T αααα,因为α, 0≠Tα, 因此, 122221=+++=n Tααααα . “⇐”因为122221=+++=n T ααααα ,所以()A E E A T T T T =-=+-=αααααααα22.推论2.1 令T E A αα-=, 其中: ()Tn αααα，，， 21=为非零列向量. 若122221=+++=n T ααααα , 则n 阶方阵A 不可逆.证明 设A 可逆, 则由幂等矩阵的性质可知E A =, 当122221=+++n ααα 时, 由定理2.2可知A 为幂等矩阵, 即A A =2,但T E A αα-=, 所以T E E αα-=, 得0=T αα, 与122221=+++n ααα 矛盾, 所以A 不可逆. 定理2.3]5[ 若A 和B 是同阶幂等矩阵, 则B A +为幂等矩阵⇔0=+BA AB .证明 因为()BA AB B A B BA AB A B A +++=+++=+222,所以0=+⇔+BA AB B A 为幂等矩阵.定理2.4 若A 和B 是同阶幂等矩阵, 且BA AB =,则AB 为幂等矩阵. 证明 由题意可得 ()AB AABB ABAB AB ===2, 即AB 为幂等矩阵.定理2.5 若A 为幂等矩阵, 且E A ≠, 则A 不可逆.证明 设A A =2,则有()0=-E A A . 若A 可逆, 则1-∃A ,t s .E A A AA ==--11在()0=-E A A 的两边同时乘以1-A , 得0=-E A ,即E A =. 与题设矛盾, 故A 不可逆.定理2.6 若A 是幂等矩阵, 且E A ≠, 则矩阵方程0=Ax 有非零解.证明 由定理2.5可知, A 不可逆, 即0=A . 故矩阵方程0=Ax 有非零解.定理2.7 若A 和B 是同阶幂等矩阵, 则B A -是幂等矩阵⇔B BA AB ==.证明 “⇒”因为B A -是幂等矩阵, 所以()BA AB B A B BA AB A B A B A --+=+--=-=-222,将BA AB B +=2两边分别左乘和右乘B 得:BBA BAB B +=22, 即BA BAB B +=2. （2.1） BAB AB B +=222, 即BAB AB B +=2. （2.2） 两式相减可得BA AB =, 从而B BA AB ==.“⇐” ()B A B B B A B BA AB A B A -=+--=+--=-222.第三章 幂等矩阵线性组合的幂等性3.1 3个幂等矩阵线性组合的幂等性设1T ，2T ，3T 是3个不同的非零的两两相互可交换的m m ⨯幂等矩阵，对于非零复数1l ，2l ，3l 我们将讨论332211T l T l T l T ++= （3.1）是幂等矩阵的一些充分条件.首先，我将给出以下2个引理。